פרק 2:

‫פרק ‪ :4‬משפט ‪ ,Turán‬בעיית שיחזור‬
‫מבוא לפרק‪:‬‬
‫פרק זה נפתח במשפט טורן‪ ,‬על שם המתמטיקאי ההונגרי ‪ Paul (Pál) Turán‬שעבודתו העיקרית‬
‫היתה בנושא תורת המספרים‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬נדון בבעיית שיחזור גרף מתת גרפים מסוימים שלו‪.‬‬
‫משפט טורן‬
‫משפט טורן היא דוגמה של תוצאה בתחום הנקרא "תורת הגרפים הקריטיים"‪ ,‬שהוא תחום העוסק‬
‫בגרפים שהם "קריטיים" ‪ ,‬או קיצוניים‪ ,‬מבין כל אותם הגרפים בעלי תכונה מסוימת‪.‬‬
‫התכונה שנחקרה כאן‪ :‬יהא ‪ G‬גרף מסדר ‪ . n‬מהו מספר המקסימלי של צלעות שהוא יכול להכיל‬
‫(כפונקציה של ‪ ) n‬בלי שיוצר משולש? ומהי צורת הגרף מתקבל?‬
‫כאן אותם גרפים בעלי מספר מקסימלי של צלעות הם "קריטיים" ביחס לתכונה של העדר משולשים‬
‫בגרף‪ .‬שכן הוספת צלע אחת‪ ,‬ולו רק אחת‪ ,‬לגרף‪ ,‬הופכת אותו לגרף עם משולש(ים)‪.‬‬
‫לשם מוטיבציה‪ ,‬נכוון שאלות אלו לסוג מסוים של גרפים מסדר ‪ , n‬דהיינו‪ ,‬לגרפים זוגיים שלמים‪:‬‬
‫שאלה‪:‬‬
‫נתון גרף זוגי שלם מסדר ‪ . n‬מהו מספר הצלעות שגרף זה יכול להכיל בלי שיהיה בו משולש? ומהי‬
‫צורת הגרף?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫לפי הנחתינו‪ ,‬הגרף הוא מהצורה ‪( , K x,n x‬גרף זוגי שלם מסדר ‪ .) n‬לגרף כזה‪ ,‬אכן אין משולש‬
‫(למה???)‪ .‬עלינו לקבוע כמה קודקודים "להניח" בכל צד של הגרף הדו‪-‬צדדי כדי למקסם את המספר‬
‫‪. K x ,n  x‬‬
‫הצלעות בגרף ‪ .‬לשם כך‪ ,‬נחשב את מספר הצלעות בגרף‬
‫‪n‬‬
‫מתקבל‪, E( K x,n x )  x(n  x) ,‬וערך זה הוא מקסימלי עבור‬
‫‪2‬‬
‫(השלימי!!)‬
‫‪( , x ‬למה?) ‪ .‬לכן התשובה היא ‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ n  2s‬זוגי‪ ,‬מספר המקסמלי של צלעות שווה ___________‪ ,‬והגרף המתאים הוא‬
‫?‪K?,n‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪1‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ n  2s  1‬אי זוגי‪ ,‬מספר המקסימלי של צלעות שווה___________‪ ,‬והגרף המתאים הוא‬
‫?‪K?,n‬‬
‫מסתבר‪ ,‬שמבין כל הגרפים האפשריים מסדר ‪ , n‬הגרף "הקריטי" מבחינת העדר משולשים בו‪ ,‬זאת‬
‫אומרת זה שנותן את מספר המקסימלי של צלעות‪ ,‬הוא גרף זוגי שלם‪.‬‬
‫להלן הטענה המדויקת‪:‬‬
‫משפט ‪ -4.1‬משפט ‪Turán‬‬
‫‪n2 ‬‬
‫המספר המקסימלי של צלעות בגרף חסר משולשים מסדר ‪ n‬הוא ‪ .  ‬יתר על כן‪ ,‬מספר זה מתקבל‬
‫‪ 4 ‬‬
‫אך ורק בגרף ‪. K  n   n ‬‬
‫‪ 2  , 2 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫תזכורת‪ :‬הביטוי ‪t ‬‬
‫ל‪ , t -‬וכן ‪ t ‬מכונה "פונקצית התקרה" של ‪ , t‬המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל‪. t -‬‬
‫הוא "הערך השלם" של ‪ , t‬דהיינו המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫בדקי את תשובותייך לשאלות מקודם‪-‬האם הן כמו המשפט?‬
‫נוכיח את המשפט עבור ‪ n  2s‬מספר זוגי‪ ,‬ונשאיר את המקרה האי זוגי כתרגיל ‪.‬‬
‫הנה המשפט במקרה זה‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.1‬ז‪ -‬משפט ‪– Turán‬המקרה הזוגי‬
‫(א) המספר המקסימלי של צלעות בגרף חסר משולשים מסדר ‪ n  2s‬הוא ‪. s 2‬‬
‫(ב) יתר על כן‪ ,‬מספר זה מתקבל אך ורק ב‪. K s,s -‬‬
‫לפני שניגש להוכחת המשפט‪,‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪2‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫גרף המתקבל מגרף ‪ G‬על ידי הסרת קבוצת קודקודים ' ‪ V‬ממנו וכן כל הצלעות המחברות‬
‫אל אחד או יותר מקודקודי ' ‪ V‬מסומן על ידי ' ‪. G \ V‬‬
‫לדוגמה‬
‫‪‬‬
‫‪ , K 5 \ {a, b}  K 3‬כאשר ‪ a, b‬הם ‪ 2‬קודקודים כל שהם‪ ,‬שכן הסרת הקודקודים ‪a, b‬‬
‫גורמת גם להורדת הצלעות ‪. ab, ac, ad, ae, bc, bd, be‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , C n \ {a}  Pn1‬כמודגם באיור עבור ‪. n  6‬‬
‫הוכחת משפט ‪ 4.1‬ז‬
‫נוכיח באינדוקציה על ‪. s‬‬
‫‪ ‬יהי ‪ . s  1‬סדר הגרף הוא ‪ .2‬לגרף מסדר ‪ 2‬אין אפשרות למשולשים ‪ ,‬וניתן לחבר עד צלע אחת‪.‬‬
‫אכן מתקבל ‪ K1,1‬כך שהמשפט תקף עבור ‪. s  1‬‬
‫‪ ‬נניח שהמשפט (בשני חלקיו) תקף עבור ‪ s‬כל שהוא ‪ ,‬ויהא ‪ G‬גרף בעל ‪2(s  1)  2s  2‬‬
‫קודקודים‪ ,‬חסר משולשים‪.‬‬
‫(א) ראשית כל‪ ,‬עלינו להוכיח כי מספר הצלעות ב‪ G -‬הוא לכל היותר ‪( , ( s  1) 2‬זאת אומרת‪ ,‬צ"ל‬
‫‪. ) E(G)  (s  1) 2‬‬
‫יהיו ‪ u, v‬שני שכנים בגרף‪.‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪3‬‬
‫(ברור שיש ‪ 2‬שכנים בגרף‪ ,‬כי אם לא כן‪ ,‬אין צלעות כלל ב ‪ G‬ואז‪,‬במקרה זה ‪ ,‬התנאי‬
‫‪ E(G)  (s  1) 2‬מתקיים באופן טריוויאלי)‪.‬‬
‫נתבונן בתת גרף }‪ G'  G \ {u, v‬של ‪ G ' . G‬גרף מסדר ‪, 2s‬כמו באיור‪.‬‬
‫נשים לב ש ' ‪ G‬הוא גרף מסדר ‪ . 2(s  1)  2  2s‬יתר על כן‪ G ' ,‬חסר משולשים‪ ( ,‬כי ' ‪G‬‬
‫התקבל מ‪ , G -‬גרף חסר משולשים‪ ,‬על ידי הורדת צלעות וקודקודים)‪ .‬לכן ' ‪ G‬גם מקיים את‬
‫הנחות האינדוקציה ‪.‬‬
‫לכן לפי הנחת האינדוקציה ‪ . E(G' )  s 2 ,‬יהא ‪ t  v‬שכן כל שהוא של ‪ u‬ב‪ . G -‬נשים לב ש‪-‬‬
‫‪ t‬לא יכול להיות גם שכן של ‪ v‬ב‪ , G -‬כי אז ‪ G‬היה מכיל את המשולש ‪. utv‬‬
‫המסקנה מכך‪ :‬אין ל ‪ u‬ול ‪ v‬שכנים משותפים ב ‪. G‬‬
‫אם כן‪ ,‬מבין ‪ 2s‬קודקודי ' ‪ , G‬אם ‪ k‬מהם הם שכני ‪ u‬ב‪ , G -‬אזי מספר קודקודי ' ‪ G‬שהם‬
‫שכני ‪ v‬ב‪ G -‬הוא קטן או שווה ‪. 2s  k‬‬
‫ניתן לראות המחשת הענין באיור (המתייחס רק לשכנים של ‪ u‬ושל ‪.) v‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪4‬‬
‫צלעות המתאימות‬
‫לשכני ‪ .V‬מספרם‬
‫לכל היותר ‪2s-k‬‬
‫‪ K‬צלעות המתאימות ל‪K-‬‬
‫שכני ‪.U‬‬
‫אין שכנים משותפים ל‪ U -‬ול‪-‬‬
‫‪ ,V‬שאם כן‪ ,‬יווצר משולש!‬
‫כעת נחשב את מספר הצלעות ב‪ . G -‬מספר זה הוא לכל היותר מספר הצלעות ה"פנימיות " של ' ‪G‬‬
‫(אותן צלעות שלא מופיעות באיור הנ "ל‪ ,‬אך ידוע לנו שמספרן‪ ,‬לפי הנחת האינדוקציה הוא לכל‬
‫היותר‬
‫‪ ,) s 2‬ועוד ‪ 1‬המתאים לצלע‬
‫‪ , uv‬ועוד מספר שכני ‪ u‬ב‪ , G -‬דהיינו ‪ , k‬ועוד מספר שכני ‪ v‬ב‪, G -‬‬
‫מספר הקטן או שווה ‪. 2s  k‬‬
‫לפי כל זה‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫*‬
‫‪ 1  k  2s‬‬
‫‪k‬‬
‫מקסימום שכני ‪v‬‬
‫שכני ‪u‬‬
‫‪uv‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪ , E (G) ‬שהוא ‪ , ( s  1) 2‬כמבוקש‪.‬‬
‫מקסימום צלעות ב ' ‪G‬‬
‫(ב) נשאר לנו לקבוע את צורת הגרף הקריטי (המקסימלי) הזה בעל ‪ 2(s  1)  2s  2‬קודקודים‪ ,‬ובעל‬
‫‪ ( s  1) 2‬צלעות‪ .‬לשם כך‪:‬‬
‫נניח ש ‪ G‬גרף בעל ‪ 2(s  1)  2s  2‬קודקודים‪ ,‬חסר משולשים‪ ,‬ועם מספר המקסימלי דהיינו ‪, ( s  1) 2‬‬
‫של צלעות‪ .‬עלינו להוכיח ‪. G  K s1,s1 :‬‬
‫על פי הנחתינו‪ ,‬ב‪ G -‬יש את המספר המקסימלי של צלעות‪ .‬אי לכךכל האישיוויונים ב * נהפכים‬
‫לשיוויונים‪ .‬בין השאר‪ ,‬נקבל ‪. E(G' )  s 2‬‬
‫ש ‪. G' K s,s‬‬
‫אך על פי הנחת האינדוקציה סעיף ב'‪ ,‬זה אומר ֶש‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪5‬‬
‫בנוסף‪ ,‬היות ול ‪ u‬יש ‪ k‬שכנים ב‪ , G -‬ל ‪ v‬יש בדיוק ‪ 2s  k‬שכנים ב‪( G -‬ולא פחות מכך)‪.‬‬
‫נרשום בפנינו את צורת ' ‪. G‬‬
‫ניזכר ש‪ . G' K s,s -‬לכן נסמן את קודקודי ' ‪ G‬על ידי ' ‪ V‬עם החלוקה '‪. V '  A'B‬‬
‫‪‬‬
‫כל צלע ב‪ G ' -‬מחברת קודקוד מ‪ A' -‬עם קודקוד מ‪ , B ' -‬כאשר ‪ G ' ( A'  B'  s‬זוגי)‬
‫‪‬‬
‫כל איבר ב‪ A' -‬מחובר לכל איבר ב‪ G ' ( . B ' -‬זוגי שלם)‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬אין ל ‪ u‬שכנים משתי הקבוצות (כי אחרת היה מתקבל משולש ) ‪.‬‬
‫אי לכך‪ ,‬נסיק שכל ‪ k‬שכני ‪ u‬נמצאים באחת הקבוצות –בלי הגבלת הכלליות ב‪ , B ' -‬וכל ‪2s  k‬‬
‫שכני ‪ v‬נמצאים ב‪- . A' -‬ראי איור ‪.‬‬
‫אך ‪ , A'  B'  s‬דבר שנותן את המערכת הבאה של אישיוויונים ‪:‬‬
‫‪k  s‬‬
‫‪ , ‬שפתרונה ‪. k  s‬‬
‫‪2 s  k  s‬‬
‫נעיין שוב‪ ,‬בעזרת האיור האחרון‪ ,‬בקודקודי הגרף ‪ . G‬נסמן }‪ , A  A'{u‬אלה הקודקודים‬
‫ה"אדומים"‪,‬ו‪ , B  B'{v} -‬אלה הקודקודים ה"כחולים" ‪.‬אכן קיבלנו את הדרוש ‪ A  B :‬היא חלוקה‬
‫של קודקודי ‪ G‬לשתי קבוצות בגודל ‪ s  1‬כל אחת‪ ,‬כך שכל הצלעות האפשרויות בין ‪ 2‬הקבוצות‬
‫נמצאות‪:‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪6‬‬
‫במילים אחרות‪ ,‬קיבלנו ‪G  K s1,s1‬‬
‫כמבוקש‪■ .‬‬
‫בעיית השיחזור‪ ,‬והשערת ‪:Ulam‬‬
‫באופן לא פורמלי‪" ,‬השערת השיחזור" בתורת הגרפים אומרת שניתן לקבוע גרף ביחידות על סמך‬
‫תת הגרפים שלו‪ .‬ההשערה הועלתה על ידי המתמטיקאים ‪ Stanisław Marcin Ulam‬ותלמידו‬
‫‪ . Paul Kelly‬לפני שנביא אותה נפתח בכמה דוגמאות והגדרות‪:‬‬
‫ניזכר‪ :‬השערה‪( ,‬או בעיה פתוחה) במתמטיקה היא טענה שהועלתה על ידי מתמטיקאי‬
‫אך עדיין לא ניתנה לה הוכחה ועדיין לא נמצאה דוגמה נגדית המפריכה אותה ‪.‬‬
‫נביט קודם ‪,‬בגרף ‪ G‬באיור הבא‪ ,‬וכן באוסף ‪ 4‬תת הגרפים } ‪ {G \ {v} | v V‬שלו‪.‬‬
‫דוגמה ‪4.1‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫יהא ‪ G  V , E ‬גרף‪ .‬אוסף הגרפים } ‪ {G \ {v} | v V‬נקרא חפיסה של ‪( G‬מלשון חפיסת‬
‫קלפים)‪ ,‬ומסומנת )‪ . D(G‬כל אחד מהגרפים }‪ G \ {v‬נקרא קלף בחפיסה‪.‬‬
‫שימי לב שדיברנו על האוסף } ‪ , {G \ {v} | v V‬שכן‪ ,‬כפי שנראה בדוגמה ‪ ,4.1‬שחפיסה אינה תמיד‬
‫"קבוצה"‪ ,‬אלא עלולות להיות בה חזרות (שם }‪ , G \ {b}  G \ {d‬וכמו כן‪.) G \ {a}  G \ {c} ,‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪7‬‬
‫השאלה הנשאלת‪ :‬האם ניתן לשחזר את ‪( G‬דהיינו לקבוע את ‪ G‬ביחידות‪ ,‬או "לדעת מה‬
‫‪ G‬היה") מחפיסה שלמה שלו?‬
‫ליתר דיוק‪:‬‬
‫השערה ‪ - 4.2‬השערת ‪:Ulam‬‬
‫שני גרפים מסדר ‪, n  2‬בעלי אותן חפיסות הם גרפים איזומורפיים ‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ש ‪" G‬ניתן‬
‫יהא ‪ G‬גרף עבורו השערת ‪ Ulam‬תקף‪ ,‬נאמר ש"יש ל ‪ G‬שיחזור יחיד"‪ ,‬או ֶש‬
‫לשיחזור"‪-‬כי מספיק שיהיה לנו את )‪ , D(G‬כדי ש"נכיר" את ‪. G‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ n  2‬הטענה לא נכונה‪ .‬הוכיחי! (ראי תרגיל ‪.)4‬‬
‫‪‬‬
‫ההשערה הוכחה לכל ‪ , 3  n  11‬אך לא הוכחה עבור ‪ n‬כללי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מה שהוכח בכיוון הוא ברוח אחרת ‪ :‬הוכח ש"כמעט כל גרפים" ניתנים לשיחזור‪ ,‬זאת‬
‫אומרת ‪ ,‬ההסתברות שגרף מסדר ‪ n‬לא ניתן לשיחזור שואפת לאפס כאשר ‪ . n  ‬הּוכח‬
‫אפילו של"כמעט כל גרפים"‪ ,‬מספיק להכיר רק שלשה קלפים לא איזומורפיים מהחפיסה‪,‬‬
‫ולא כל החפיסה‪ ,‬כדי לשחזר את הגרף!!! מונחים והוכחות כגון אלו חורגים מנושא הקורס‪.‬‬
‫סיכום נושאים ומונחים מפרק ‪:4‬‬
‫‪‬‬
‫גרף קריטי‬
‫‪‬‬
‫משפט טורן‬
‫‪‬‬
‫השערת ‪Ulam‬‬
‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪8‬‬