הסבר על צורה אלכסונית מאת שירה גילת

‫הצורה האלכסונית הקנונית‬
‫יהי ‪ R‬תחום ראשי‪ ,‬נאמר שמטריציות )‪ A, B ∈ Mn (R‬דומות אם קיימות מטריצות הפיכות‬
‫‪ P, Q‬כך ש ‪.B = P AQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫משפט‪ :‬כל מטריצה מעל תחום ראשי דומה למטריצה אלכסונית ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dn‬‬
‫‪0‬‬
‫עם ‪.d1 |d2 | · · · |dn‬‬
‫מה שמיוחד הוא שצורה זו היא יחידה ונקראת הצורה האלכסונית הקנונית‪ .‬האיברים‬
‫‪ d1 , d2 , . . . , dn‬עצמם נקראים הגורמים האינווריאנטים והם יחידים עד כדי חברות‪.‬‬
‫כזכור‪ ,‬פעולות אלמנטריות על שורות\עמודות מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות‬
‫)שהן הפיכות( מימין ומשמאל‪) .‬להבהרה‪ ,‬פעולות שורה אלמנטריות הן‪ :‬כפל שורה בהפיך‪,‬‬
‫הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת והחלפת שורות(‪ .‬מעל שדות‪ ,‬די לנו בזה כדי‬
‫לקבל צורה רציונלית קנונית של המטריצה )זה נובע מכך שהמטריצות האלמנטריות יוצרות‬
‫את התת חבורה של המטריצות ההפיכות(־ מעל סתם תחומי שלמות זה לא מספיק‪ .‬מעל‬
‫תחום ראשי כדי לקבל דירוג כל מה שצריך הוא את הפעולות האלמנטריות ומטריצות ‪2 × 2‬‬
‫הפיכות‪.‬‬
‫אז איך זה עובד?‬
‫נגדיר את האורך של כל איבר להיות הדרגה שלו )במקרה שזהו חוג אוקלידי( או מס'‬
‫הגורמים הראשוניים שלו )במקרה הכללי של חוג ראשי(‪ .‬נמצא את האיבר במטריצה‬
‫שהוא בעל האורך המינימלי ונקרא לו ‪ .a‬ע"י פעולות שורה ועמודה נעביר את ‪ a‬להיות‬
‫במקום ה )‪ (1, 1‬במטריצה‪ .‬כעת‪ ,‬מקרה ראשון הוא ש‪ a‬מחלק כל איבר בשורה ובעמודה‬
‫‪ ‬כל האיברים שם ע"י פעולות אלמנטריות ונקבל מטריצה‬
‫הראשונה‪‬ואז ניתן לאפס את‬
‫‪a 0 ··· 0‬‬
‫‪ 0 ∗ ∗ ∗ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , .‬מקרה שני הוא שיש איזשהו איבר ‪ b‬ש‪ a‬לא מחלק אותו־‬
‫מהצורה ‪‬‬
‫‪ .. ∗ ∗ ∗ ‬‬
‫∗ ∗ ∗ ‪0‬‬
‫נניח שהוא במקום ה)‪) (1, 2‬אפשר להזיז אותו לשם(‪ .‬אז נניח ש‪ d‬הוא הממ"מ של‬
‫כצירוף שלהם‪ .d = αa + βb :‬אז ניתן לכפול במטריצה ההפיכה‬
‫‪a‬ו־ ‪ b‬ונרשום אותו ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪α −b/d‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪α −b/d‬‬
‫‪d 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫)כשמסתכלים‬
‫=‬
‫‪ β a/d‬ולקבל‬
‫∗ ∗‬
‫‪β a/d‬‬
‫∗ ∗‬
‫‪0‬‬
‫‪I‬‬
‫רק על הפינה השמאלית עליונה(‪ .‬ממשיכים כך באינדוקציה על הבלוק המתקבל ע"י הסרה‬
‫של השורה והעמודה הראשונה‪.‬‬
‫מודולים מעל תחום ראשי‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫לכל מטריצה )‪ A · R = {Ax : x ∈ R } , A ∈ Mn (R‬הוא תת־מודול של ‪ R‬הנפרש ע"י‬
‫העמודות של ‪ .A‬למעשה‪ ,‬מעל תחום ראשי‪ ,‬כל התתי־מודולים של ‪Rn‬הם מהצורה הזאת‪.‬‬
‫אם ‪ R‬ראשי‪ ,‬אז כל מודול נוצר סופית הוא מהצורה ‪ MA = Rn /A · Rn‬לאיזשהו ‪ n‬ו־‬
‫)‪ .A ∈ Mn (R‬את זאת ניתן לראות )ולחשב( באופן הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬נבחר קבוצה פורשת ‪ x1 , x2 , . . . , xn‬של ‪.M‬‬
‫‪ .2‬נגדיר אפימורפיזם של מודולים ‪ּπ : Rn → M‬לפי ‪) ei 7→ xi‬כלומר = ) ‪π(r1 , r2 , . . . , rn‬‬
‫‪.(r1 x1 + . . . + rn xn‬‬
‫‪P‬‬
‫הפורשת את הגרעין ‪.Kerπ‬‬
‫‪ .3‬נמצא קבוצת וקטורים ‪aij ei‬‬
‫∼ ‪.M‬‬
‫‪ .4‬המטריצה ) ‪ A = (aij‬מקיימת ‪ Kerπ = A · Rn‬ו־ ‪= Rn /A · Rn‬‬
‫∼ ‪ M‬נקראת מטריצת היחסים של‬
‫עבור מודול ‪ M‬נוצר סופית‪ ,‬מטריצה ‪ A‬המקיימת ‪= MA‬‬
‫‪.M‬‬
‫∼ ‪ MA‬אם"ם המטריצות ‪ A, B‬דומות‪.‬‬
‫משפט‪= MB :‬‬
‫המסקנה מהמשפט הוא שאחרי שמצאנו מטריצת יחסים‪ ,‬ניתן להחליף אותה בצורה‬
‫∼ ‪M‬‬
‫הרציונלית‪ .‬ואם ‪ d1 , . . . , dn‬הם הגורמים האינווריאנטים של המטריצה אז ⊕ ‪= R/d1 R‬‬
‫‪) .. . . ⊕ R/dn R‬שים לב שאם ‪di = 0‬אז ‪.(R/di R = R‬‬
‫‪2‬‬