docCombinatoricsAndGraphTheory-SampleExam-v1.1
download 
Report Transcription
CombinatoricsAndGraphTheory-SampleExam-v1.1
מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים: פתרון מבחן לדוגמה תש"ע גרסה ,1.1יוני 2011 ברק שושני [email protected] | http://baraksh.co.il/ שאלות .1חשבו את הסכום: n X n k k 3 k=3 .2הוכיחו כי בכל צביעה של משבצות של לוח 6 × 16בשלושה צבעים קיים מלבן שכל ארבע פינותיו צבועות באותו צבע. .3חשבו את מספר המספרים השלמים בין 0לבין 9999בהם כל אחת מהספרות 2, 5, 8מופיעה לפחות פעם אחת. .4חשבו את מספר הסדרות באורך nהמורכבות מהספרות 0, 1, 2כאשר בסדרה לא מופיעות בסמיכות שתי ספרות זוגיות. .5מיקי הכין חמישים שאלות שונות לקורס מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים .במהלך הסמסטר הוא חילק אותן לעשרה דפי תרגילים ,כשבכל אחד חמש שאלות .בסוף הסמסטר הוא חילק אותן לעשר קבוצות ,כשבכל אחת חמש שאלות ,לפי דרגת הקושי שנקבעה עפ"י רמת ההצלחה של הסטודנטים בפתרון התרגילים .הוכיחו כי ישנה קבוצה של עשר מתוך חמישים השאלות המכילה שאלה אחת בדיוק מכל דרגת קושי ושאלה אחת בדיוק מכל דף תרגיל. 1 פתרונות שאלה 1 חשבו את הסכום: n X n k 3 k k=3 פתרון !k !n !)k! (n − k)! 3! (k − 3 n X = k=3 n X n k 3 k k=3 n n (n − 1) (n − 2) X !)(n − 3 !3 !)(k − 3)! (n − k = k=3 n−3 !)(n − 3 n (n − 1) (n − 2) X !3 !)k! (n − 3 − k k=0 n−3 n (n − 1) (n − 2) X n − 3 = k !3 = k=0 n (n − 1) (n − 2) n−3 = ·2 !3 )2n−4 n (n − 1) (n − 2 = 3 שאלה 2 הוכיחו כי בכל צביעה של משבצות של לוח 6 × 16בשלושה צבעים קיים מלבן שכל ארבע פינותיו צבועות באותו צבע. פתרון בכל עמודה בעלת 6משבצות יש 62 · 3 = 45אפשרויות שונות לקבל זוג של משבצות שצבועות באותו צבע 62 :אפשרויות למיקום המשבצות ו־ 3אפשרויות לצבע .עבור כל צביעה של עמודה ,או שיש 2משבצות מכל צבע )ואז יש 3זוגות ,אחד מכל צבע( או שיש לפחות 3משבצות מצבע מסוים )ואז יש 3אפשרויות לזוגות בצבע זה( .בכל מקרה אנו רואים כי יש לפחות 3זוגות בכל עמודה ,ולכן לפחות 3 · 16 = 48זוגות בסה"כ בלוח .מעקרון שובך היונים ,קיים זוג משבצות )מתוך 45האפשרויות( שמופיע בשתי עמודות שונות ,ולכן יוצר מלבן. 2 שאלה 3 חשבו את מספר המספרים השלמים בין 0לבין 9999בהם כל אחת מהספרות 2, 5, 8מופיעה לפחות פעם אחת. פתרון יש 4אפשרויות לבחירת מיקום לספרה 3 ,2אפשרויות לספרה 5ו־ 2אפשרויות לספרה .8נבחר את הספרה הרביעית כך שהמספר יכיל את הספרות 2, 5, 8בדיוק פעם אחת :ניתן לבחור בכל אחת מהספרות ,0, 1, 3, 4, 6, 7, 9בסה"כ 7 אפשרויות .לפיכך מספר המספרים השלמים בין 0לבין 9999בהם כל אחת מהספרות 2, 5, 8מופיעה בדיוק פעם אחת הוא .4 · 3 · 2 · 7למספר זה יש להוסיף את המספרים בהם אחת מהספרות מופיעה בדיוק פעמיים :עבור כל ספרה ,נבחר את שני המיקומים לספרה זו 42 -אפשרויות ,ואז יש 2אפשרויות לשבץ את שתי הספרות הנותרות .בסה"כ נקבל: 4 ·4·3·2·7+3 · 2 = 204 2 שאלה 4 חשבו את מספר הסדרות באורך nהמורכבות מהספרות 0, 1, 2כאשר בסדרה לא מופיעות בסמיכות שתי ספרות זוגיות. פתרון נסמן את מספר הסדרות באורך nאשר מקיימות את התנאי ב־ .Snלכל סדרה באורך n − 1אשר מקיימת את התנאי ניתן להוסיף את הספרה ) 1אם הספרה ה־ n − 1היא 0או (2או את הספרות ) 0, 1, 2אם הספרה ה־ n − 1היא .(1 התרשים הבא מתאר את התהליך עבור :n = 1, 2, 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 % → & → % → & → % → & → 1 0 0 % → 1 & 2 1 → 1 2 כלומר: S3 = 11 S2 = 5, S1 = 3, יהי Onמספר ה־ 1שהוספנו בשלב ה־ nו־ Enמספר ה־ 0וה־ 2שהוספנו בשלב ה־ .nמאחר שאת 1ניתן להוסיף עבור כל אחת מהספרות 0, 1, 2במקום האחרון ,מתקיים: On = Sn−1 את 0ו־ ,2לעומת זאת ,ניתן להוסיף רק אם הספרה במקום האחרון היא :1 En = 2On−1 = 2Sn−2 כמו כן מתקיים כמובן: Sn = On + En לכן: Sn = Sn−1 + 2Sn−2 3 לפתירת נוסחת הרקורסיה נשים לב כי הפולינום האופייני הוא: r2 − r − 2 = 0 ושורשיו הם .r = 2, −1לפיכך: n Sn = A · (−1) + B · 2n נציב את תנאי ההתחלה: 4 3 =B 1 A=− , 3 ⇒= S1 = −A + 2B = 3 S2 = A + 4B = 5 מכאן ,הפתרון הוא: + 2n+2 n+1 )(−1 3 = Sn שאלה 5 מיקי הכין חמישים שאלות שונות לקורס מבוא לקומבינטוריקה ותורת הגרפים .במהלך הסמסטר הוא חילק אותן לעשרה דפי תרגילים ,כשבכל אחד חמש שאלות .בסוף הסמסטר הוא חילק אותן לעשר קבוצות ,כשבכל אחת חמש שאלות ,לפי דרגת הקושי שנקבעה עפ"י רמת ההצלחה של הסטודנטים בפתרון התרגילים .הוכיחו כי ישנה קבוצה של עשר מתוך חמישים השאלות המכילה שאלה אחת בדיוק מכל דרגת קושי ושאלה אחת בדיוק מכל דף תרגיל. פתרון נבנה גרף דו־צדדי עם צדדים Xו־ Yבאופן הבא :כל אחד מ־ 10הקדקודים ב־ Xמתאים לדף תרגילים וכל אחד מ־10 הקדקודים ב־ Yמתאים לדרגת קושי .הצלעות המחברות בין Xו־ Yמתאימות לשאלות :צלע שמחברת בין קדקוד Xi לקדקוד Yjמייצגת שאלה שנמצאת בדף תרגילים iוהיא בעלת דרגת קושי .j תהי Sתת־קבוצה של ,Xונסמן | .(1 ≤ n ≤ 10) n ≡ |Sאנו יודעים כי בכל דף תרגילים יש 5שאלות ,ולכן יש בסה"כ 5nשאלות שקשורות לקבוצה .Sבנוסף יש )רק( 5שאלות בכל דרגת קושי ,ולכן 5nהשאלות חייבות לכלול שאלות מלפחות nדרגות קושי שונות .תהי ) N (Sקבוצת כל הקדקודים שמחוברים ל־ ,Sאז היא כוללת לפחות nקדקודים )כמספר דרגות הקושי( .לכן | ,|N (S)| ≥ |Sולפי משפט הול קיים זיווג של Xלתוך .Yזיווג כזה מחבר כל תרגיל לדרגת קושי אחת בדיוק באופן חד־חד־ערכי ,ולכן ייתן לנו קבוצה של עשר שאלות המכילה שאלה אחת בדיוק מכל דרגת קושי ושאלה אחת בדיוק מכל דף תרגיל ,כנדרש. 4
