U - Stromar.si

4. Analogni merilni pretvorniki in
priprava signalov
vhodna veličina
resnična vrednost
vmesna veličina
zajem in priprava signalov
analogni merilni pretvornik
grobi podatki
primerjava,
A/D
merjenje
primerjava z enoto
rekonstruirani
podatki
obdelava
podatkov
izhodna veličina
izmerjena vrednost
'prikaz'
Slika 4.1 Analogni merilni pretvorniki v merilnem sistemu
M4 - 1
4.1 Prireditev z zmanjšanjem
(atenuacijo) velikosti signalov
Za prireditev signalov uporabljamo pasivne in aktivne
električne elemente:
• linearni pasivni člen (npr.: R, L, C),
• nelinearni pasivni člen (npr.: dioda),
• linearni aktivni člen (npr.: napetostni ojačevalnik),
• nelinearni aktivni člen (npr.: tranzistor) itd.
Pri zmanjšanju signalov pogosto uporabljamo linearne pasivne
električne elemente, kot so:
• Upor z upornostjo R: u (t ) = R i (t )
• kompleksni zapis impedance: Z R = R
+
u (t )
i (t )
R
−
M4 - 2
du (t )
• Kondenzator s kapacitivnostjo C: i (t ) = C
dt
1
• kompleksni zapis impedance: Z C =
jωC
di (t )
• Tuljava z induktivnostjo L: u (t ) = L
dt
• kompleksni zapis impedance: Z L = jωL
+
u (t )
−
+
u (t )
C
i (t )
L
−
M4 - 3
i (t )
4.1.1 Realni upor
i (t )
iC
iRL
L
u (t )
C
R
Vsak realni upor ima zaradi induktivnosti
uporabljenega vodnika (npr. indultivnost
žice navite na telo, itd.) še induktivno
komponento, ki jo tipično ponazorimo z
zaporedno vezavo tuljavice k uporu, in
tudi kapacitivno komponento zaradi
stresane kapacitivnosti med obem koncema
upora, ki jo ponazorimo z vzporedno
vezavo kondenzatorja.
Impedanco danega vezja Z sestavljata impedanca kapacitivne
veje Z C = 1 jωC in impedanca induktivne veje Z RL = R + jωL :
U
Z C ⋅ Z RL 1 jωC (R + jωL )
= Z = Z C Z RL =
=
I
Z C + Z RL R + jωL + 1 jωC
M4 - 4
i (t )
iC
iRL
L
C
R
Dano vezje analizirajmo še v časovnem
prostoru. Velja:
diRL
du
u (t )
u = R iRL + L
,
iC = C
;
dt
dt
Vsota tokov v vozliščni točki je enaka nič.
Ker je iRL = i − iC , zapišemo:
diRL
du 
d
du 

u = R iRL + L
= R i − C  + L  i − C 
dt 
dt
dt 
dt 

Po odvajanju in preureditvi dobimo nehomogeno linearno
diferencialno enačbo člena drugega reda:
2
du
du
di
LC 2 + RC + u = Ri + L
dt
dt
dt
M4 - 5
d 2u
du
LC 2 + RC + u = 0 - homogeni del
dt
dt
Če primerjamo karakteristični homogeni del enačbe z osnovno
homogeno linearno diferencialno enačbo člena drugega reda
1 d 2u 2ξ du
+
+u =0
2
2
ω0 dt ω0 dt
RCω0 R C
sta stopnja dušenja ξ =
=
in lastna kotna
2
2 L
frekvenca nedušenega nihanja člena drugega reda:
1
• zelo visoka ( Cstresana ≈ ×10 pF , Lvodnika ≈ ×10 nH ): ω0 ≈ 1GHz
ω0 =
LC
Impedanco realnega upora sedaj zapišemo:
1 jωC (R + jωL )
R + jωL
R + jωL
Z=
=
=
2
R + jωL + 1 jωC 1 + jωRC − ω LC 1 − ω 2 ω02 + jωRC
M4 - 6
R + jωL
Z=
1 − ω 2 ω02 + jωRC
Kadar uporabljamo upor pri nižjih frekvencah ω 2 << ω02 , preide
R + jωL
enačba impedance realnega upora v obliko: Z =&
1 + jωRC
in je značaj impedance odvisen od vrednosti upornosti.
• pri velikih vrednostih upornostih ( R >> ωL ) dobimo
kapacitivni značaj:
i (t )
R
Z =&
R
C
u (t )
1 + jωRC
• pri majhnih vrednostih upornostih ( R << 1 ωC ) dobimo
induktivni značaj:
R
L
i (t )
Z =& R + jωL
u (t )
M4 - 7
4.2 Zmanjšanje in prireditev
napetostnih signalov
Za zmanjšanje in prireditev napetostnih signalov uporabljamo
najbolj pogosto napetostne delilnike in napetostne merilne
transformatorje.
Poznamo več vrst napetostnih delilnikov:
• uporovni delilnik,
• uporovno-kapacitivni delilnik,
• kapacitivni delilnik,
• induktivni delilnik,
• uporovni induktivno-kapacitivni delilnik, itd.
M4 - 8
4.2.1 Napetostni delilniki
Napetostne delilnike v
kapacitivne in induktivne.
osnovi
delimo
na
uporovne,
4.2.1.1 Uporovni napetostni delilnik
Izhodno in vhodno napetost povezuje enačba
člena ničtega reda uiz = k ⋅ uvh . Konstanto k
določa uporovni delilnik:
i (t )
R1
uiz
R2
k=
=
uvh R1 + R2
uvh (t )
R2
uiz (t )
V
• Uporovni delilniki nudijo široko frekvenčno
območje (od enosmernih vrednosti do več sto
kilohertzov).
• Sami zase ne omogočajo galvanske ločitve
vhodne napetosti od izhodne.
M4 - 9
i (t )
uiz
R2
k=
=
uvh R1 + R2
R1
uvh (t )
R2
uiz (t )
V
Standardna negotovost
faktorja k se izrazi z:
2
2
 ∂k
  ∂k

1
u (k ) = 
u (R1 ) + 
u (R2 ) =
(R1 + R2 )2
 ∂ R1
  ∂ R2

prenosnega
(R2 u (R1 ))2 + (R1u(R2 ))2
 u (R1 )   u (R2 ) 
R1
R1
u (k )
=
w(k ) =
w 2 (R1 ) + w 2 (R2 )

 +
 =
k
R1 + R2  R1   R2 
R1 + R2
2
2
M4 - 10
Zaporedna razširitev merilnega območja voltmetra
Voltmetru razširimo merilno območje z zaporedno vezanim
preduporom Rp (večkratni predupor).
Slika 4.9. Razširitev
območja voltmetra
merilnega
Merilni doseg (narisani položaj 3) je:
UV
(Rp1 + Rp2 + Rp3 + RV )
U3 =
RV
RV
RV0 =
- karakteristična upornost voltmetra
UV
• od 100Ω V do 100 kΩ V
• upornost, ki razširi merilno
območje za en volt
M4 - 11
Primer: RV0 = 10 kΩ V ; I V = 1 (10 kΩ V ) = 100 µA
• Če želimo razširiti območje za 100 V moramo imeti
Rp = 100 V ⋅ 10 kΩ V = 1 MΩ
M4 - 12
i (t )
R1
uvh (t )
R2
uiz (t )
V
Skupna upornost R1 + R 2 mora biti
čim večja, kot kaže enačba dopustne
moči, če želimo meriti veliko vhodno
napetost.
2
R1 + R2 > U vh
Pmax
• Večanje upornosti pa na drugi strani zmanjšuje dinamiko
delilnika. Upori dobivajo kapacitivni značaj (τ ≈ RC ).
• Za napetosti nizkonapetostnega sekundarnega omrežja
( 230 V 400 V ) so vrednosti upornosti delilnika okoli
enega megaohma.
M4 - 13
• Praktična realizacija napetostnega delilnika
+U
R1
U vh
U iz
R2
−U
Slika 4.11 Napetostni delilnik z diodno zaščito in impedančno ločitvijo
Za neobremenjenost izhoda delilnika lahko skrbi napetostni
izravnalnik z visoko vhodno impedanco ( Z vh >> 1M Ω 100 pF )
in majhno preostalo napetostjo (U p ≤ 100 µV ), ki ima zaščiten
vhod z diodama.
M4 - 14
i (t )
R1
uvh (t )
R2
C
uiz (t )
V
Pri dinamičnem obnašanju vezja pa ne moremo zanemariti
vplive:
• stresane kapacitivnosti na uporu,
• kapacitivnosti vhodne stopnje voltmetra
• in priključnih kablov,
ki jih ponazorimo s kondenzatorjem C . Vpliv vhodne upornosti
voltmetra lahko zanemarimo, ker je dovolj visoka (tipično
10 MΩ ) proti uporu R2 .
M4 - 15
S temi predpostavkami je za analizo
pred nami naslednji merilni člen.
Velja:
R1
iR1
uvh
iR2
R2
iC
C
uiz
uvh − uiz
duiz
iR1 =
, iR2 =
, iC = C
dt
R1
R2
Vsota tokov v vozliščni točki med
uporoma je enaka nič (i R1 − i R2 − iC = 0 ),
uiz zato zapišemo:
uvh − uiz uiz
duiz
− −C
=0
R2
dt
R1
Po preureditvi dobimo:
duiz uiz  1 1  uvh
→
+  + =
dt
C  R1 R2  CR1
duiz uiz R1 + R2 uvh
+
=
dt
C R1R2
CR1
duiz 1
k
•
+ uiz = uvh
M4 - 16
dt
duiz 1
k
+ uiz = uvh
dt
V izrazu je časovna konstanta vezja, ki jo sestavljata delilno
razmerje k = R2 ( R1 + R2 ) in časovna konstanta 1 = R1C :
R2
=
R1C = kR1C = k 1
R1 + R2
a) Odziv napetostnega delilnika na skočno spremembo vhodne
napetosti uvh = U 0
Napetostni delilnik aproksimiramo s členom 1. reda.
duiz 1
k
+ uiz = uvh
Rešitev diferencialne enačbe člena 1. reda
dt
nam da:
uiz = kU 0 (1 − e −t )
M4 - 17
Potek izhodne napetosti prikazuje naslednja slika:
uiz kU 0
+m
Ta
1
0,95
−m
m Ta
0,1
2,30
0,05
3,00
0,01
4,61
0,005 5,30
0,001 6,91
0
1
2
3
t
Pri željeni mejni vrednosti m, je odzivni čas enak:
uiz
−Ta
(
= 1− m = 1− e
kU 0
)
⇒ Ta = ln(1 m )
M4 - 18
b) Odziv napetostnega delilnika na sinusno obliko vhodne
napetosti
R1
iR1
uvh
iR2
iC
C
R2
U iz = U vh
Odnos med izhodno in vhodno
napetostjo napetostnega delilnika določata
upor R1 in impedanca Z 2 vzporedne
vezave upora R2 in kondenzatorja C :
R2
1
Z 2 = R2
=
jωC 1 + jωR2 C
uiz
Pri
sinusni
vzbujalni
napetosti
zapišemo za napetostni delilnik:
Z2
= U vh
R1 + Z 2
R2
1 + jωR2 C
R2
k
= U vh
= U vh
R2
(R1 + R2 ) + jωR1 R2 C
1+ j
R1 +
1 + jωR2 C
M4 - 19
Razmerje izhodne in vhodne napetosti imenujemo
frekvenčno karakteristiko G ( j ) in je v našem primeru:
U iz U iz ( j )
k
1− j
G( j ) =
=
=
=k
U vh U vh ( j ) 1 + j
1+ 2 2
Njena absolutna vrednost je enaka:
uˆ 2 ( )
1
G( j ) = G( ) = k
=
1 + 2 2 uˆ1 ( )
in se imenuje amplitudna karakteristika, prikazuje pa jo
naslednja slika:
Frekvenčna meja je po dogovoru tista
frekvenca, pri kateri pade absolutna
vrednost frekvenčne karakteristike na
določeno vrednost glede na statične
razmere. Zelo razširjen kriterij je padec
na 1 2 .
f m = 1 (2πτ )
G (ω ) k
1
1
2
fm
f
M4 - 20
4.2.1.2 Uporovno-kapacitivni delilnik
Kadar moramo upoštevati tudi kapacitivnost, paralelno k uporu
R1, dobimo uporovno-kapacitivni delilnik:
R1
Z2
1
1
Y1
=
=
=
Z1 + Z 2 1+ Z1 Z 2 1+ Y 2 Y 1 Y 1 + Y 2
C1
izražen z admitancama:
uvh
R2
C2
uiz
Y 1 = 1 Z 1 = 1 R1 + jωC1 ,
Y 2 = 1 Z 2 = 1 R2 + jωC2
Delilnik je frekvenčno odvisen:
(1 R1 + jωC1 )
(1 + jωR1C1 ) R1
U iz
==
=
(1 R1 + jωC1 ) + (1 R2 + jωC2 ) (1 + jωR1C1 ) R1 + (1 + jωR2C2 ) R2
U vh
M4 - 21
(1 R1 + jωC1 )
(1 + jωR1C1 ) R1
U iz
==
=
(1 R1 + jωC1 ) + (1 R2 + jωC2 ) (1 + jωR1C1 ) R1 + (1 + jωR2C2 ) R2
U vh
Če izberemo R1C1 = R2C2 , ga naredimo frekvenčno neodvisnega
(1 + jωR1C1 ) R1
U iz
R2
C1
=
=
=
U vh (1 + jωR1C1 ) R1 + (1 + jωR2C2 ) R2 R1 + R2 C1 + C2
• napetostno razmerje neodvisno od f.
Primer:
• Osciloskop z napetostno sondo
M4 - 22
Osciloskop z napetostno sondo
Delilnik sestavljajo elementi sonde, koaksialen kabel in sam
vhod EO (BNC vhod).
Slika 4.16 Nadomestno vezje osciloskopa z napetostno sondo
M4 - 23
Vhodno impedanco osciloskopa sestavljata:
• vzporedna upornost: RV ≈ 1 MΩ ,
C (30 pF ÷ 50 pF).
• kapacitivnost:
Koaksialni kabel ima svojo impedanco, katere bistveni del je
kapacitivnost C k podana na dolžino (ca.50 pF m ).
• je frekvenčno odvisna. CV = C + Ck
M4 - 24
Frekvenčno odvisnost kompenziramo s frekvenčno
kompenzirano napetostno sondo.
• ne pači signal, manj obremenjuje vir , signal pa slabi.
Napetostni delilnik:
Uy
ZV
1
1
Ys
=
=
=
=
z elementi:
U1 ZV + Zs 1+ Zs ZV 1+ Y V Y s Y s + Y V
Uy
(1 Rs + jωCs )
(1 + jωRs Cs ) Rs
=
=
U 1 (1 Rs + jωCs ) + (1 Rv + jωC v ) (1 + jωRs Cs ) Rs + (1 + jωRv C v ) Rv
• s Cs nastavimo RsCs = Rv C v in kompenziramo sondo:
Uy
Rv
Cs
- napetostno razmerje neodvisno od f
=
=
U 1 Rv + Rs Cs + C v
M4 - 25
• sondo kompenziramo s pomočjo pravokotnega signala
(priključek na osciloskopu):
• podkompenzirana (a):
RsCs < RvC v
• nadkompenzirana (b):
RsCs > Rv C v ,
• pravilno kompenzirana (c):
RsCs = RvC v ,
a)
b)
c)
Slika 4.17 Slika na zaslonu EO za različne stopnje kompenzacije sonde
M4 - 26
Impedanca osciloskopa je še vedno odvisna od frekvence:
Rs + Rv
1
1
1
1
+
=
+
=
Z = Zs + Zv =
Y s Y v 1 Rs + jωCs 1 Rv + jωC v 1 + jωRv C v
• če je sonda 1:10, je Z destkrat večja kot Z v brez sonde.
Rs + Rv
Rv
Rs + Rv
1
Z=
=
= 10 Z v
Rv 1 + jωRvCv
Rv 1 Rv + jωCv
M4 - 27
4.2.1.3 Kapacitivni napetostni delilnik
Napetostno območje lahko razširimo tudi s kapacitivnim
delilnikom. Kapacitivni delilniki se običajno uporabljajo za
merjenje napetosti višjih od 150 kV. Sestavljeni so iz zaporedno
vezanih kondenzatorjev C1 in C2 (C1 << C2).
Odnos med izhodno in vhodno napetostjo
kapacitivnega delilnika določata impedanca
Z 1 = 1 jωC1 in impedanca Z 2 vzporedne
vezave kondenzatorja C2 in upornosti
voltmetra RV :
C1
uvh
C2
RV
uiz
1
RV
=
Z 2 = RV
jωC2 1 + jωRVC2
Slika 4.18 Kapacitivni delilnik
M4 - 28
C1
uvh
C2
RV
uiz
Pri
sinusni
vzbujalni
napetosti
zapišemo za kapacitivni delilnik:
RV
Z2
1 + jωRVC2
= U vh
U iz = U vh
1
RV
Z1 + Z 2
+
jωC1 1 + jωRVC2
Problem te vezave je upornost voltmetra, saj močno vpliva na
izmerjeno napetost. Če bi bila upornost voltmetra neskončna, bi
bila napetost odvisna samo od kondenzatorjev.
U iz
C1
RV = ∞ ⇒
=
U vh C1 + C2
M4 - 29
Ob končni upornosti voltmetra temu ni tako.
 jωR C U
C1
V 1 vh

jω
C1 + C2

⋅ U vh ≈ 
U iz =
1
 C1
jω +
RV (C1 + C2 )
C + C U vh
 1
2
U iz U vh
RV < ∞
C1 (C1 + C2 )
ωRVC1
1
⇐ RV <<
jω (C1 + C2 )
1
⇐ RV >>
jω (C1 + C2 )
Napetost na delilniku se razdeli
v razmerju:
U iz
Rv C1
=
2
2
U vh
1 + ( Rv ) (C1 + C2 )
ω
M4 - 30
Poglejmo si razmere na primeru. Denimo, da je
U vh = 100 kV , U iz = 100 V , C1 = 1 nF , C 2 = 999 n F
• Ob navedenih podatkih je impedanca delilnika Z iz
(notranja impedanca delilnika na izhodu):
1
Z iz =
≈ 3,2 kΩ
( f = 50 Hz )
ω (C1 + C 2 )
• Nazivna obremenitev napetostnega delilnika z nazivno
močjo S n = 10 VA je
U iz2 100 2 V 2
Zn =
=
= 1 kΩ = RV
Sn
10 VA
• Vidimo, da je nazivna obremenitev (upornost voltmetra) celo
manjša od impedance delilnika, kar vnaša nesprejemljiv
sistematični pogrešek zaradi vključitve instrumentarija. Med
obema je sicer 90° zamik, kar nekoliko ublaži razmere.
M4 - 31
Vpliva prenizke obremenitve se lahko znebimo tako, da
delilno razmerje kapacitivnega delilnika zmanjšamo in
uporabimo dodatni merilni transformator.
Naj bo nazivna prestava tega transformatorja
kTp = 10 kV 100 V = 100 . Zato mora biti
C1
2
C2
delilno razmerje kapacitivnega delilnika
zmanjšano na 10.
U vh = 100 kV , U iz = 10 kV ,
C1 = 1 nF , C 2′ = 9 nF ⇒ Z iz ≈ 0,32 MΩ
Tp
V
1
Slika 4.20 Kapacitivni delilnik
s transformatorjem
Upornost voltmetra na primarni strani
transformatorja, ki jo čuti kapacitivni delilnik,
2
pa je: (10 kV 100 V ) 1 kΩ = 10 MΩ
Na ta način je postala upornost
instrumentarija (10 MΩ ) večja, kot je
impedanca kapacitivnega delilnika
Z iz
( 0,32 MΩ ), kar sistematični pogrešek zmanjša.
M4 - 32
Opisani sistematični pogrešek zaradi vključitve
instrumentarija pa lahko še bolj zmanjšamo, če
uporabimo dodatno kompenzacijsko tuljavo, ki hkrati
izniči tudi fazne premike (ni kotnih pogreškov).
C1
L
2
C2
Ker ima impedanca delilnika
Z iz ≈ 0,32 MΩ negativno imaginarno
komponento,
jo
s
primerno
dimenzionirano tuljavico (pozitivna
imaginarna komponenta) lahko
učinkovito izničimo.
Tp
V
1
ωL = 1 (ω (C1 + C 2 ))
Slika 4.21 Kapacitivni delilnik s transformatorjem in tuljavo
M4 - 33
4.2.1.4 Induktivni napetostni delilnik
Induktivni delilniki so napetostniki - napetostni transformatorji,
ki s svojimi odcepi omogočajo zelo natančne porazdelitve
pritisnjene napetosti.
10
9
8
U1
6
5
4
3
U2 =0,7 U1
2
1
Visoko točnost dosežemo s
prepletanjem vodnikov enakih
presekov, ki so naviti okoli jedra
odlične magnetne vodljivosti.
Vodniki so nato vezani zaporedno.
Takšna vezava omogoča, da teče
po vsakem delu praktično enak
magnetni pretok, zaradi česar se v
vseh delih inducira enaka napetost.
0
Slika 4.22 Člen induktivnega delilnika
M4 - 34
Več takšnih členov lahko vežemo v kaskado (verigo), tako da
dobimo celo 8-stopenjske kaskade z zelo točno napetostno
prestavo. Dosežemo lahko napetostne pogreške manjše od 10− 7 .
Slika 4.23 Večstopenjski induktivni delilnik
U 2 = 0,683xxx51U 1
• bremenitev predhodne dekade je minimalna, ker je magnetilni
tok majhen,
• izhodna impedanca je majhna, ker je žica
velikega preseka.
M4 - 35
4.2.1.5 Uporovni induktivno-kapacitivni
napetostni delilnik
R1
L
i
uvh
iR
R2
iC
C
uiz
Kadar zmanjšamo napetostni signal le delno
(<1%), je upor R1 precej manjši kot upor R2
in imamo namesto upora R1 serijsko
nadomestno vezavo z induktivnostjo (velja za
majhne vrednosti upornosti) in poleg upora
R2 še paralelno nadomestno vezavo
kapacitivnosti (velja za velike vrednosti
upornosti).
Dano vezje analizirajmo
prostoru. Velja:
di
uvh = R1i + L + uiz in
dt
v
časovnem
uiz
duiz
i = iR + iC = + C
R2
dt
M4 - 36
di
uiz
duiz
uvh = R1i + L + uiz ← i = iR + iC = + C
dt
R2
dt
Po vstavitvi toka iz druge enačbe v prvo, odvajanju in
preureditvi dobimo linearno diferencialno enačbo drugega
reda:
duiz L duiz
d 2uiz
R1
uvh = uiz + R1C
+
+ LC 2 + uiz
dt R2 dt
dt
R2
d uiz
L duiz R1 + R2
uiz = uvh
+
LC 2 + ( R1C + )
dt
R2 dt
R2
Če primerjamo dobljeno enačbo z osnovno
diferencialno enačbo člena drugega reda
d2 y
dy
a2 2 + a1 + a0 y = x
dt
dt
2
linearno
M4 - 37
so parametri obnašanja merilnega člena drugega reda naslednji:
• prenosni faktor ali delilno razmerje stacionarnega
stanja:
uiz 1
R2
k=
= =
uvh a0 R1 + R2
• lastna kotna frekvenca nedušenega nihanja:
a0
R1 + R2
ω0 =
=
a2
R2 LC
• in stopnja dušenja:
a1
R1C + L R2
ξ=
=
2 a0a2 2 LC ⋅ (R1 + R2 ) R2
M4 - 38
Če se vhodna veličina – napetost – hipno spremeni,
izhodna napetost merilnega člena ne more v trenutku
zavzeti nove vrednosti.
Tudi ustaviti se ne more v trenutku (niha okrog novega
ravnovesnega položaja).
• Da lahko čim hitreje odčitamo novo vrednost, mora biti
nihanje dušeno.
Značilne odzive razdelimo v tri
uiz
skupine:
k ⋅ uvh
• podkritično dušenje ξ < 1,
• kritično dušenje ξ = 1,
• nadkritično dušenje ξ > 1.
Slika 4.25 Gibanje izhodne napetosti po prikjučitvi stalne napetosti na vhodu
M4 - 39
Če je stopnja dušenja ξ < 1, je rešitev enačbe
dušeno nihanje:
uiz
e −ξω0t
2
sin
1
ξ
ω0t + arccos ξ
= 1−
−
2
uvh
1−ξ
(
u iz (t )
u iz (∞ )
• Za podkritično dušenje je kotna frekvenca ωd
odvisna od stopnje dušenja: ω d = ω0 ⋅ 1 − ξ 2
• Čim večja je stopnja dušenja,
tem manjša je kotna frekvenca.
ξ
2
0 ,1
0 , 25
+e
−e
0 ,5
0 , 71
1
)
1
2
4
0
0
5
10
15
20
25
ω 0t
Slika 4.26: Primeri različnih vrst odzivov sistema drugega reda na stopničasti vhod
M4 - 40
Dvižni čas je čas, ki je potreben, da signal izhoda preleti
interval med 10 % in 90 % svoje končne vrednosti.
• Čim večja je stopnja dušenja, tem daljši je dvižni čas.
Odzivni čas merilnega člena znotraj odstopanja e od končnega
odklona se:
u iz (t )
u iz (∞ )
• z večanjem stopnje dušenja povečuje
• počasno lezenje v novo stacionarno
stanje,
• z manjšanjem stopnje dušenja tudi povečuje,
• večje oscilacije.
ξ
2
0 ,1
0 , 25
+e
−e
0 ,5
0 ,71
1
1
2
4
0
0
5
10
15
20
25
ω 0t
Kompromisna vrednost stopnje dušenja: ξ = 0,8 ÷ 0,9
M4 - 41
t T0
3
e = 10 − 3
2 ,5
2
e = 10 − 2
1,5
1
e = 10 − 1
0 ,5
0
0,2
0,4
0 ,6
0 ,8
1
1, 2
1, 4
ξ
Slika 4.27 Odzivni čas v odvisnosti od stopnje dušenja pri različnih
vrednostih e (T0 = 2π ω0 - nihajni čas nedušenega nihanja)
M4 - 42
ξ
t T0
min
1, 4
t T0
1, 2
min
1
ξ
0 ,8
min
0,6
0, 4
0, 2
0
10 − 4
10 − 3
10 −2
10 − 1
1
e
Slika 4.28 Najkrajši odzivni čas in stopnja dušenja v odvisnosti od e
M4 - 43
Odziv člena drugega reda na sinusno obliko
Če imamo na vhodu sinusna obliko napetostnega signala, je
takšne oblike v ustaljenem stanju tudi izhodna napetost:
uvh = uˆ vh e jωt ⇒
uiz = uˆiz e j(ωt +ϕ )
Kompleksna oblika enačbe spreminjanja je:
d 2uiz
L duiz R1 + R2
+
uiz = uvh
LC 2 + ( R1C + )
dt
R2 dt
R2
d 2uiz
duiz
a2 2 + a1
+ a0uiz = uvh
dt
dt
duiz
= jω uˆiz e j(ωt +ϕ ) = jω uiz
• kjer sta odvoda:
dt
d 2uiz
2
uiz
=
−
ω
2
dt
M4 - 44
ν = ω ω0
• razmerje frekvence ω
Relativna frekvenca:
vsiljene napetosti v
primerjavi z lastno frekvenco nedušenega nihanja.
Povezava med vhodom in izhodom je:
uvh
uvh
1
⋅
uiz =
oz. uiz =
2
2
(
a0 − ω a2 + jωa1
a0 1 − ν ) + j2νξ
Zanimata nas temenska vrednost
(amplitudna karakteristika):
uˆ vh
uˆiz =
a0
izhodnega
signala
1
(1 − ν ) + (2νξ )
2 2
2
2νξ
in fazni zamik (fazna karakteristika): ϕ = −arctg
1 −ν 2
M4 - 45
uˆiz
−ϕ
o
uˆ vh
a0
Slika 4.29 Amplitudni in fazni odziv merilnega člena drugega reda
uˆiz = uˆ vh a0 - odklon pri konstantni vhodni napetosti
M4 - 46
Kadar je lastna frekvenca majhna se merilni člen
drugega reda obnaša kot nizkoprepustni filter.
• Za odklon je bolj pomembna povprečna vrednost.
Primer: ξ = 1, T0 = 1s , frekvenca vzbujanja je f = 50 Hz
Kolikokrat manjši je odklon kot pri konstantnem
vzbujanju f = 0 Hz ?
ω 2π T
ν= =
= T0 f = 1s ⋅ 50 Hz = 50
ω0 2π T0
a0uˆiz
1
1
−4
=
=
=
⋅
4
10
2
2
2 2
2 2
uˆvh
(1 − ν ) + (2νξ ) (1 − 50 ) + (2 ⋅ 50 ⋅1)
• Tako male relativne spremembe zaznamo
le z instrumentom, ker človeško oko tega
ne opazi.
M4 - 47
4.2.2 Napetostni merilni transformator
Z njim razširimo (zožimo) merilno območje voltmetrov,
vatmetrov itn.
Sestavljen je iz:
• feromagnetnega jedra,
• primarnega navitja,
• in galvansko ločenega sekundarnega navitja.
Poznamo:
• tokovni merilni transformator (tokovnik),
• napetostni merilni transformator (napetostnik).
M4 - 48
Slika 4.30 Priključek tokovnika in napetostnika
Poznati moramo prestavo transformatorja ( K i oz. K u ):
• U p = K uU s - za napetostnik
• napetost primarnega navitja dobimo tako, da
napetost sekundarnega navitja, ki jo merimo z
voltmetrom, pomnožimo s prestavo!
• I p = K i I s - za tokovnik
M4 - 49
Razmerje med primarno in sekundarno
napetostjo – prestava napetostnika – je
odvisno od:
• velikosti napetosti,
• bremena na sekundarni strani,
• frekvence, uporabljenega materiala…
Suče se okoli nazivne vrednosti prestave:
K un = U pn U sn - razmerje primarne nazivne napetosti in
sekundarne nazivne napetosti (podani)
• odstopanje je odvisno od razreda točnosti
merilnega transformatorja.
Ker uporabljamo pri izračunih primarnih vrednosti nazivne
prestave namesto dejanskih, nastane prestavni pogrešek:
K unU s − U p
Kn − K
e=
oz. napetostni prestavni pogrešek: eu =
K
Up
M4 - 50
Pri posrednem mmerjenju moči, energije, … moramo
upoštevati tudi kotni pogrešek:
• fazna razlika med fazorjema primarnega in sekundarnega
navitja.
• po dogovoru je pozitiven, če
sekundar prehiteva primar.
eu - pozitiven,
δ u - negativen,
ei - negativen,
δ i - pozitiven,
Slika 4.31 Pogreška tokovika in napetostnika
M4 - 51
Nadomestno vezje merilnega transformatorja
idealni transf.
Slika 4.32 Nadomestno vezje merilnega transformatorja
•
•
•
•
R1 - ohmska upornost primarnega navitja,
L1σ - stresana induktivnost primarnega navitja,
R2 - ohmska upornost sekundarnega navitja,
L2σ - stresana induktivnost sekundarnega navitja,
M4 - 52
idealni transf.
• L0 - induktivnost jedra,
z magnetilnim tokom im vzbuja magnetni
pretok v jedru
• R0 - upornost jedra,
z id ponazarja izgube v jedru
• na sekundarju imamo priključeno impedanco Z
M4 - 53
idealni transf.
Slika 4.32 Nadomestno vezje merilnega transformatorja
Pri napetostniku imamo vsiljeno napetost (tok i1 čim manjši).
Velja:
ui1 N1 dφ dt N1
=
=
ui 2 N 2 dφ dt N 2
M4 - 54
ui1 N1 dφ dt N1
=
=
ui 2 N 2 dφ dt N 2
Upoštevati moramo še padce napetosti ∆u1 oz. ∆u2
• na upornostih navitij ( R1, R2 ) in stresanih induktivnostih
u1 − ui1 − ∆u1 = 0
ui 2 − u2 − ∆u2 = 0
( Lσ 1, Lσ 2 ).
ui 2
N2
(u1 − ∆u1 )
u 2 + ∆u 2 = u i 2 =
ui1 =
ui1
N1
N 2   ∆u1 ∆u2 
+
u2 = u1
1− 


N1   u1
u2  
• prestava je odvisna tudi od padcev napetosti na navitjih.
M4 - 55
Osnovni podatki napetostnih merilnih transformatorjev
Po mednarodnih priporočilih IEC 186-1987 so napetostniki
razvrščeni v pet razredov točnosti:
0,1 – 0,2 – 0,5 – 1 – 3
• pogoji:
• nazivna frekvenca,
• napetost med 80% in 120 % nazivne napetosti,
• breme med 25 % in 100 % nazivnega bremena,
• faktor moči 0,8 induktivnega značaja.
Tabela 4.1 Meje pogreškov napetostnikov
razred točnosti
meje napetostnega pogreška
meje kotnega pogreška
0,1
± 0,1%
± 5'
0,2
± 0,2%
± 10'
0,5
± 0,5%
± 20'
1
± 1,0%
± 40'
3
± 3,0%
/
M4 - 56
Priporočene standardne vrednosti:
• primarna nazivna napetost v skladu
vrednostmi omrežij,
z nazivnimi
• sekundarna nazivna napetost: 100 V , ( 200 V )
• nazivna moč:
(10 − 25 − 50 − 100 − 200 − 500) VA .
• To je vrednost navidezne moči, ki jo napetostnik
daje v sekundarni tokokrog pri nazivni
sekundarni napetosti in nazivni obremenitvi:
S n = U sn2 Yn
M4 - 57
• nazivno breme je admitanca podana v siemensih:
Sn
50 VA
Yn = 2 =
= 5 mS
2
U sn (100 V )
• ustreza impedanci 200 Ω
• 25 % nazivnega bremena:
S 25% 12,5 VA
= 1,25 mS
Y25% = 2 =
2
U sn (100 V )
• ustreza impedanci 800 Ω
M4 - 58