skripta

Comments

Transcription

skripta
Laboratorijske vaje pri predmetu Mehanika,
termodinamika in elektromagnetno polje pri
pouˇcevanju za doizobraževanje tretjega
premeta
B. Golli, A. Kregar, PeF
1. marec 2012
Kazalo
1
Napake izmerjenih koliˇcin
1.1 Zapis fizikalnih koliˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Doloˇcitev napake izmerka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Raˇcunanje s koliˇcinami, obremenjenimi z napako . . . . . . . . . . .
4
4
5
7
2
Grafi
2.1 Linearna odvisnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nelinearne odvisnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja . . . . . . . . . .
10
11
14
14
3
Kinematika
3.1 Premo gibanje . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Eksperimentalne metode – premo gibanje
3.3 Vrtenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Gibanje v ravnini: poševni met . . . . . .
3.5 Eksperimentalni postopki . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
17
17
19
21
21
22
Merjenje sil in snovnih lastnosti
4.1 Merjenje sil z raˇcunalnikom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ravnovesje treh sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Ravnovesje navorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
26
26
4
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
5
6
7
8
Hookov zakon . . . . .
Površinska napetost . .
Merjenje gostot . . . .
Merjenje gostote zraka
Viskoznost . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
29
30
31
Merjenje gibalne koliˇcine, energije in temperature
5.1 Merjenje gibalne koliˇcine pri trkih . . . . . . .
5.2 Ohranitev energije pri kotaljenju . . . . . . . .
5.3 Pronyjeva zavora . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Izkoristek elektromotorja . . . . . . . . . . . . .
5.5 Temperaturno raztezanje kovin . . . . . . . . .
5.6 Temperaturno raztezanje vode . . . . . . . . .
5.7 Umeritev termoˇclena . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
34
36
37
38
39
40
Merjenje elektriˇcnega toka, napetosti in upora
6.1 Elektroliza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Zaporedna in vzporedna vezava porabnikov
6.4 Kompenzacijsko merjenje upora . . . . . . .
6.5 Termistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Temperaturna odvisnost upora . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
43
45
47
48
49
.
.
.
.
.
.
Dinamika
7.1 Newtonov zakon – ultrazvok . .
7.2 Sila pri enakomernem kroženju .
7.3 Izrek o gibalni koliˇcini . . . . . .
7.4 Balistiˇcno nihalo . . . . . . . . . .
7.5 Newtonov zakon za vrtenje . . .
7.6 Ohranitev vrtilne koliˇcine . . . .
7.7 Ohranitev vrtilne koliˇcine – uteži
7.8 Precesija . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
50
50
52
53
55
56
58
60
62
Elastomehanika in termodinamika
8.1 Upogib palice . . . . . . . . . .
8.2 Zasuk palice . . . . . . . . . . .
8.3 Gay-Lussacov zakon . . . . . .
8.4 Izoterma in adiabata . . . . . .
8.5 Toplotna prevodnost . . . . . .
8.6 Specifiˇcna toplota železa . . . .
8.7 Specifiˇcna talilna toplota ledu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64
64
65
67
68
70
72
73
2
.
.
.
.
.
.
.
8.8
8.9
9
Specifiˇcna izparilna toplota vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Joulov poskus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
75
Elektrika: frontalno
9.1 Notranji upor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Elektriˇcno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Magnetno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
76
78
82
10 Elektriˇcno in magnetno polje
10.1 Magnetna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Magnetni navor . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Indukcijski zakon . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Energija elektriˇcnega polja . . . . . . . . . . .
10.5 Energija magnetnega polja . . . . . . . . . . .
10.6 Elektroni v magnetnem in elektriˇcnem polju
11 Vzorˇcno poroˇcilo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
87
88
89
90
92
94
96
3
1
Napake izmerjenih koliˇcin
1.1
Zapis fizikalnih koliˇcin
Sistematske in statistiˇcne napake. Fizikalne koliˇcine dobimo z merjenjem. Koliˇcin ne moremo poljubno natanˇcno meriti, zato pri izmerjeni koliˇcini podamo
negotovost ali napako, s katero je koliˇcina izmerjena. Loˇcimo:
• sistematske napake, ki so posledica nenatanˇcnosti same merilne naprave
(pri boljših napravah je napaka podana; v veˇcini primerov je veˇcja od najmanjšega razdelka, ki ga lahko še odˇcitamo) ter
• sluˇcajne napake, ki so posledica negotovosti merilnih pogojev: zamik pri
zaˇcetku ali koncu merjenja s štoparico, merilni trak ni vedno enako napet,
zunanji pogoji (temperatura, tlak) niso ves cˇ as enaki . . .
Kako podamo negotovost? Izmerjeno koliˇcino moramo zapisati tako, da bo iz
zapisa razvidna njena negotovost (napaka). To dosežemo tako, da poleg koliˇcine
navedemo še njeno napako, npr. g = 9,7 m/s2 ± 0,2 m/s2 . Koliˇcino zapišemo s
toliko števkami (ciframi), da je zadnja zapisana števka že negotova. To velja tudi
tedaj, ko napake eksplicitno ne navedemo; v takšnem primeru velja, da je nenatanˇcnost (napaka) manjša od najveˇcjega možnega odstopanja zadnjega mesta; cˇ e
bi zapisali le g = 9,7 m/s2 , bi to pomenilo, da je napaka manjša od 0,5 m/s2 .
Pomembne števke. Pri tem imamo v mislih število pomembnih (signifikantnih)
ˇ bi zgornji reštevk; nepomembne števke so tiste, ki doloˇcajo decimalno mesto. Ce
2
zultat zapisali z drugimi enotami, npr.: g = 9700 mm/s , bi obe niˇcli predstavljali
nepomembni števki, podobno bi to bile tri niˇcle pri zapisu g = 0,0097 km/s2 . Pomembni števki sta le 9 in 7. V vseh zapisih je torej število pomembnih števk enako.
Vloga niˇcel v zapisu fizikalne koliˇcine. Na podlagi zgornjega zgleda pravzaprav ne smemo zakljuˇciti, da je 0 na koncu števila vedno le nepomembna števka.
ˇ je rezultat naše meritve bolj natanˇcen, recimo c = 340 m/s ± 3 m/s, nam
Ce
zadnja niˇcla tudi predstavlja pomembno števko. V tem primeru iz samega zapisa 340 m/s ne bi mogli ugotoviti, koliko pomembni števk je v rezultatu. Takšni
obliki zapisa se zato raje izognemo in uporabimo zapis z desetiškim eksponentom: c = 3,40 · 102 m/s.
Decimalna mesta. Števk ne smemo zamenjevati z decimalnimi mesti; zapis 9,81
vsebuje tri števke in dve decimalni mesti, zapis 0,049 pa tri decimalna mesta in
4
štiri števke. Eno in isto fizikalno koliˇcino lahko zapišemo z razliˇcnim številom
decimalnih mest; npr.; l = 789 mm, l = 78,9 cm, l = 7,89 dm, l = 0,789 m ali
l = 0,000789 km, število decimalnih mest torej sploh ne vpliva na natanˇcnost
koliˇcine; v vseh petih primerih natanˇcnost doloˇcajo tri pomembne števke, 7, 8
in 9. Pravilo, ki ga pogosto slišimo, da izmerjene koliˇcine zaokrožujemo na dve
decimalni mesti, je seveda popolnoma nesmiselno.
1.2
Doloˇcitev napake izmerka
Pri boljših merilnih napravah nam sistematsko napako poda proizvajalec; cˇ e smo
merilno napravo razvili sami, je pomemben del razvoja tudi doloˇcitev vseh parametrov, ki lahko vplivajo na nenatanˇcnost pri merjenju, in na tej podlagi doloˇcitev sistematske napake. Kot orientacijo lahko vzamemo najmanjši razdelek, ki ga
lahko še odˇcitamo (zadnje mesto pri digitalni napravi).
Sluˇcajno napako doloˇcimo statistiˇcno, tako da poskus ponavljamo. Denimo,
da pri N poskusih izmerimo vrednosti xi , i = 1, . . . N. Izraˇcunamo povpreˇcno
vrednost
1 N
x + x2 + . . . + x N
=
xi
x¯ = 1
N
N i∑
=1
in povpreˇcen kvadrat odstopanj σ1 kot
σ12 =
1
N
N
∑
i =1
( xi − x¯ )2 .
(1)
ˇ so meritve posameznih izmerkov med seboj neodvisne, lahko rezultat interCe
pretiramo takole: pri nadaljnjih meritvah bo približno 2/3 meritev padlo znotraj
intervala [ x¯ − σ1 , x¯ + σ1 ], 1/3 meritev pa izven tega intervala.
Približna ocena. Zgornjo trditev lahko porabimo za doloˇcitev napake brez zamudnega seštevanja kvadratov odmikov. Napako izmerka σ1 doloˇcimo tako, da
poišˇcemo interval, znotraj katerega pade 2/3 izmerkov. Postopek ilustrirajmo na
zgledu merjenja hitrosti: iz rezultatov v druge stolpcu izraˇcunamo povpreˇcno
¯ nato pa v tretjem stolpcu zapišemo odstopanja. Nekaj odstopanj gre
vrednost v,
seveda v pozitivno smer, nekaj v negativno. Poišˇcimo 1/3 izmerkov (v našem
primeru 3 ali 4), ki najbolj odstopajo (v tabeli so oznaˇceni z zvezdico). Izmed
preostalih poišˇcimo tistega, ki (po absolutni vrednosti) najbolj odstopa, v našem
primeru je to 3. izmerek. Napaka σ1 je kar enaka absolutni vrednosti odstopanja tega izmerka, saj 2/3 (7 v našem primeru) meritev pade znotraj intervala
[v¯ − σ1 , v¯ + σ1 ], v našem primeru med 9,5 in 10,5.
5
meritev
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
povpreˇcje
vi [m/s]
9,80
10,64
9,52
9,71
10,87
10,10
9,17
10,31
9,80
10,20
10,01
vi − v¯ [m/s]
−0,21
0,62 *
−0,49
−0,30
0,86 *
0,09
−0,84 *
0,30
−0,21
0,19
ˇ napako izraˇcunamo po formuli (1), dobimo praktiˇcno enako vrednost, σ1 =
Ce
0,5.
Napaka povpreˇcja. Z opisanim postopkom doloˇcimo napako merjene koliˇcine
pri poskusu. Kot rezultat podamo povpreˇcno vrednost izmerkov. Kolikšna je napaka povpreˇcne vrednosti in v cˇ em se razlikuje od napake posameznega izmerka σ1 ?
Razliko med tema dvema koliˇcinama pojasnimo na zgledu. Denimo, da eksperimentator A napravi N ponovitev poskusa in doloˇci povpreˇcno vrednost meritve
x¯ A . (Pri tem predpostavimo, da sistematske napake lahko zanemarimo.) Za njim
eksperimentator B prav tako iz N ponovitev istega poskusa doloˇci povpreˇcno
vrednost x¯ B . Za koliko se obe povpreˇcji razlikujeta? Statistika za tak primer pove,
da je razlika med x¯ A in x¯ B v povpreˇcju manjša od napake posameznega izmerka.
Napaka se zmanjšuje obratno sorazmerno s korenom iz števila ponovitev. Za napako (negotovost) povpreˇcja velja
σN = √
σ1
.
N−1
Za N = 1 dobimo nesmiselno vrednost, kar pa je razumljivo, saj lahko napako
ˇ želimo napako zmanjšati za 10
σ1 doloˇcimo šele, ko imamo vsaj dva izmerka. Ce
krat, moramo torej napraviti 100 krat veˇc ponovitev poskusa.
Negotovost napake. Statistika nam da še oceno natanˇcnosti doloˇcitve napake.
Negotovost (napaka) napake nam pri navedenem zgledu pove, za koliko bi se v
povpreˇcju razlikovali napaki, ki bi ju doloˇcila eksperimentatorja A in B. Velja
σσ = p
σN
2( N − 2)
6
.
Vidimo, da je šele pri približno 50 ponovitvah poskusa, napaka napake 10 krat
manjša od same napake. Ocena napake pri majhnem številu ponovitev (kot je to
obiˇcajno v šoli) je torej precej nezanesljiva. Zato z zapisom same napake ne kaže
pretiravati; zapis z eno pomembno števko ali kveˇcjemu dvema povsem zadošˇca.
Zapis rezultata. Kot konˇcni rezultat naše meritve navedemo povpreˇcno vrednost
meritve, poleg nje pa še napako povpreˇcja:
x = x¯ ± σN .
Napako povpreˇcja zapišemo z eno samo pomembno števko, le v primerih, ko bi
se na prvem mestu enico ali dvojko, lahko zapišemo še drugo števko. Število
pomembnih števk v zapisu povpreˇcne vrednosti se ravna po napaki: povpreˇcje
zapišemo do istega desetiškega mesta, kot je napisana napaka.
Primer: za neko povpreˇcje smo izraˇcunali t¯ = 23,456 s in za napako σN =
0,734 s. Napako zaokrožimo na σN = 0,7 s, kar pomeni, da moramo tudi povprecˇ je zapisati do prve decimalke, torej t = 23,5 s ± 0,7 s.
Zapis z relativno napako. Negotovost rezultata namesto s σN , ki jo imenujemo
absolutna napaka, lahko zapišemo tudi z relativno napako
r=
σN
,
x¯
ki je seveda brez enote (lahko jo podamo tudi v odstotkih), na primer
c = 336 m/s ± 12 m/s = 336 (1 ± 0,04) m/s .
Za zapis relativne napake velja enako pravilo, kot za zapis absolutne napake:
zapišemo le eno pomembno števko; le cˇ e je prva števka 1 ali 2, smo upraviˇceni
zapisati še drugo števko.
Zapis izmerkov. Pravilo, ki smo ga navedli, velja le pri zapisu konˇcnega rezultata; vmesne rezultate pišemo z veˇcjo natanˇcnostjo. Pri zapisu odˇcitka (recimo dolžine z merilnega traku, cˇ asa s štoparice, napetosti na voltmetru) torej
zapišemo vsa možna mesta, cˇ etudi priˇcakujemo, da bo konˇcni rezultat zapisan z
manjšo natanˇcnostjo (z manjšim številom pomembnih števk.)
1.3
Raˇcunanje s koliˇcinami, obremenjenimi z napako
Koliˇcino, ki jo želimo pri poskusu doloˇciti, ponavadi ne dobimo naravnost iz
ˇ na primer
merjenj, temveˇc jo izraˇcunamo iz ene ali veˇc izmerjenih koliˇcin. Ce
7
doloˇcamo pospešek prostega pada iz cˇ asa t, ki ga potrebuje telo za prosti pad z
višine h, velja g = 2h/t2 , pri tem sta tako h kot t obremenjena z napako. Kako v
takšnih primerih doloˇcimo napako konˇcnega rezultata?
ˇ seštejemo rezultata dveh meritev (iste koSeštevanje in odštevanje koliˇcin. Ce
liˇcine), obremenjena z napako, lahko zapišemo
od koder sledi
z = x + y = x¯ ± σx + y¯ ± σy = ( x¯ + y¯ ) ± (σx ± σy ) ,
z¯ = x¯ + y¯
σz = |σx ± σy | .
in
ˇ sta
Napaka torej leži v intervalu med σmin = |σx − σy | in σmax = σx + σy . Ce
meritvi med seboj nekorelirani – pomeni da izid prve meritve ne vpliva na izid
druge meritve – dobimo najboljšo oceno po Pitagorovem pravilu (trikotniku):
q
σz = σx2 + σy2 .
Za odštevanje velja enako pravilo, saj lahko razliko zapišemo kot
z = x − y = ( x¯ − y¯ ) ± (σx ∓ σy ) ,
saj odstopanje leži znotraj intervala med |σx − σy | in σx + σy . Pri odštevanju neq
koreliranih meritev spet velja, da je σz = σx2 + σy2 .
Pri seštevanju in odštevanju koliˇcin torej seštevamo kvadrate absolutnih
napak.
Množenje in deljenje. Podobno kot zgoraj zapišimo
¯ x ± xσ
¯ y ± σx σy .
z = xy = ( x¯ ± σx )(y¯ ± σy ) = x¯ y¯ ± yσ
¯
Zvezo delimo z z¯ = x¯ y:
z
σx σy σx σy
= 1±
± ±
(2)
z¯
x¯
y¯
x¯ y¯
in primerjamo z definicijo relativne napake
z
σz
≡ 1± .
z¯
z¯
Pri dovolj majhnih napakah lahko zadnji cˇ len v (2) zanemarimo. Vidimo, da za
¯ velja enako pravilo kot za absolutno napako pri serelativno napako, rz = σz /z,
števanju. Za nekorelirani meritvi torej lahko zapišemo
q
rz = r2x + ry2 .
Pri deljenju dobimo enako pravilo: seštevajo se kvadrati relativnih napak.
Pri množenju in deljenju seštevamo kvadrate relativnih napak.
8
Pravilo veˇcje napake. V primerih, ko pri vsoti ali zmnožku dveh koliˇcin ugotovimo, da je napaka enega cˇ lena nekajkrat veˇcja od napake drugega, seštevanje
napak po Pitagorovem pravilu ni potrebno, saj lahko hitro uvidimo, da je rezultat
zelo blizu veˇcji napaki. V takšnem primeru je napaka rezultata kar enaka napaki
najmanj natanˇcne koliˇcine (absolutni pri seštevanju ali odštevanju in relativni pri
množenju ali deljenju).
Potenciranje. Pri potenciranju lahko zapišemo
z = x n = ( x¯ ± σx )n = x¯ n + n x¯ n−1 σx +
n ( n − 1 ) n −2 2
x¯
σx + · · ·
2
Zvezo delimo z z¯ = x¯ n in dobimo
z
σx
σz
= 1±n +··· ≡ 1±
z¯
x¯
z¯
S · · · smo oznaˇcili cˇ lene, ki so majhni in jih lahko zanemarimo. Iz zgornjega rezultata razberemo pravilo: relativna napaka pomnožimo z eksponentom. Pravilo
velja tudi za necele eksponente, potenca n = 12 na primer predstavlja korensko
funkcijo, in lahko zapišemo
√
z = x.
rz = 12 r x ,
relativna napaka pri korenjenju se torej razpolovi.
9
2
Grafi
Pri merjenju pogosto išˇcemo odvisnost med dvema koliˇcinama; eno izmed njiju
spreminjamo (tej pravimo neodvisna spremenljivka) in opazujemo, kako se spreminja druga koliˇcina (odvisna spremenljivka). Izmerke vpisujemo v tabelo, a iz
tabele težko razberemo, za kakšno odvisnost gre. Zato izmerke vnesemo v graf,
neodvisno spremenljivko obiˇcajno na vodoravno os, odvisno na navpiˇcno.
Kako potegnemo „pravo“ krivuljo skozi izmerjene toˇcke? Na sliki 1 so narisane tri možne krivulje. V šolski praksi pogosto naletimo še na cˇ etrto, ko uˇcenci
toˇcke povežejo kar z ravnimi cˇ rtami. Takšna zlomljena krivulja zagotovo ni upra.
......
.
.....
.
......
.
...... ..... .. ...............................
.... ....................
....................
...............
...................
.
.
.
.
.
.
.
.
.......... .....
........ . ....
........ ..........
.......
....... . .....
............ .. ...... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
......
. . .. ......
. ... ...........
.
...
......
. . ..........
.
...
.....
...
. . .........
.
.....
.... ....
.
. ........
......
.
.............
......
.
...........
.
.
.
.
.
.
...
........ .... .
...
......
..
.....
...... .....
........ ......
.
.
.
.
.... . .
.... ......
.... ..
.... ....
...........
........ ..
.
.
.
...... ...
.......... .
. .... ..
..... ..... ...
. .... .
...... ........ ....
. ..
.
...... ..............
. .
.
..... .... ........
. .....
.
.
.
.
. ...
. ....
. ....
.........
..
Slika 1: Nekaj možnih krivulj skozi eksperimentalne toˇcke
viˇcena, saj od fizikalne koliˇcine priˇcakujemo gladko obnašanje. Med tremi možnostmi na sliki pa se nekako ne moremo odloˇciti; oˇcitno potrebujemo dodatno
informacijo oziroma kriterij, ki bi nam pomagal pri odloˇcitvi.
Kaj je pravzaprav namen grafiˇcnega prikaza? Loˇcimo dve možnosti:
• V prvem primeru krivulja podaja fenomenološko odvisnost dveh koliˇcin;
teoretiˇcne odvisnosti ne poznamo. Iz grafa razberemo vrednost odvisne
koliˇcine pri vrednosti neodvisne koliˇcine, ki jo pri meritvi nismo zajeli (interpolacija). Z grafiˇcnim prikazom tudi zgladimo morebitne neregularnosti
zaradi merskih napak. Nekaj zgledov:
1. temperaturni raztezek vode β( T ),
2. temperaturna odvisnost upora žarnice,
3. umeritvena krivulja pri instrumentu ali senzorju,
10
V tem primeru velja, da naj bo krivulja cˇ im bolj gladka. Kriterij, za koliko
smemo pri tem „zgrešiti“ izmerjeno toˇcko v grafu, je napaka izmerka, ki
ˇ so napake izmerkov zelo majhne, smo na sliki 1 upraviustreza tej toˇcki. Ce
cˇ eni skozi toˇcke potegniti krivuljo iz cˇ rtic in pik; v nasprotnem primeru bo
najbolj prava neprekinjena krivulja. Pri resnih meritvah za vsako izmerjeno
toˇcko doloˇcimo njeno napako s ponavljanjem meritev in jo tudi vnesemo
v graf. V šoli tega ne obiˇcajno ne poˇcnemo in napako doloˇcimo bodisi iz
sistematske napake ali po obˇcutku.
• V drugem primeru predpostavimo analitiˇcno odvisnost med koliˇcinama. Z
risanjem krivulje, ki ustreza tej analitiˇcni odvisnosti (na primer premice pri
linearni odvisnosti, parabole pri kvadratni odvisnosti, . . .), želimo preveriti,
cˇ e izmerjene toˇcke res ubogajo predpostavljeno odvisnost. V primeru, da
ubogajo, lahko doloˇcimo neznane parametre v teoretiˇcni odvisnosti, tako da
skozi izmerjene toˇcke potegnemo krivuljo, ki se izmerjenim toˇckam najlepše
prilega. Primeri:
1. I = U/R odvisnost toka od napetosti je linearna, iz naklona premice
doloˇcamo prevodnost (upor).
2. Pot pri enakomerno pospešenem gibanju je: s(t) = 12 at2 + v0 t + s0 ; s
prilagajanjem parabole izmerjenim toˇckam doloˇcimo pospešek a, zaˇcetno hitrost v0 in pot s0 .
Pri preskusu veljavnosti analitiˇcne odvisnosti je odloˇcilno, s kolikšno natanˇcnostjo so obremenjeni izmerki. Podobno kot v prvem primeru tudi sedaj potrebujemo informacijo o napaki izmerjenih vrednosti v grafu. V grobem lahko reˇcemo, da je predpostavka o teoretiˇcni odvisnosti upraviˇcena,
cˇ e so odstopanja izmerjenih vrednosti od krivulje v okviru eksperimentalnih napak; cˇ e so odstopanja znatno veˇcja, pa lahko upraviˇceno sklepamo,
da predpostavka o teoretiˇcni odvisnosti ni smiselna.
2.1
Linearna odvisnost
Enaˇcba premice. Veliko fizikalnim pojavom lahko priredimo linearno odvisnost:
y = kx + n .
(3)
Poleg zvez, v katerih je linearna odvisnost eksplicitna, lahko številne zveze pretvorimo v zgornjo obliko z uvedbo novih spremenljivk. Nekaj zgledov:
• y = 12 at2 , uvedemo x = t2 , torej je k v (3) enak k = 21 a,
11
• j = j0 e−µx , zvezo logaritmiramo: ln j = ln j0 − µx, uvedemo y = ln j, in
razberemo k = −µ in n = ln j0 ,
• pV κ = konst, logaritmiramo: ln p + κ ln V = ln(konst), uvedemo x = ln V
in y = ln p in ugotovimo k = −κ, n = ln(konst).
Metoda najmanjših kvadratov. Recept za doloˇcitev parametrov premice k in n,
ki se najbolje prilega izmerjenim toˇckam, je dobro znan: premica naj steˇce tako,
da bo vsota kvadratov odstopanj najmanjša:
N
∑ [yi − (kxi + n)]
2
= minimum .
(4)
i =1
Z odvajanjem izraza (4) po parametrih k in n dobimo sistem linearnih enaˇcb drugega reda; rešitev zapišemo kot:
k=
xy − y x
x2 − x2
,
n=
y x2 − xy x
x2 − x2
,
(5)
pri cˇ emer smo vpeljali
1
x=
N
N
∑ xi ,
i =1
1
y=
N
N
∑ yi ,
x2
i =1
1
=
N
N
∑
i =1
xi2
,
1
xy =
N
N
∑ xi yi .
(6)
i =1
Grafiˇcna doloˇcitev „najboljše“ premice. Opisani raˇcunski postopek je zamuden, cˇ eprav ga najdemo že programiranega v številnih kalkulatorjih. Z nekoliko
vaje lahko dobimo skoraj enako dober rezultat grafiˇcno. Premico potegnemo
skozi izmerjene toˇcke (pri tem si pomagamo s prozornim ravnilom) tako, da
ostane nad premico približno enako število izmerkov kot pod njo. Pri tem moramo paziti, da so izmerki nad (pod) premico enakomerno porazdeljeni po celem
intervalu (glej sliko 2). Napaˇcno bi bilo, cˇ e bi se izmerki nad premico grupirali na
enem krajišˇcu intervala, tisti pod premico pa na drugem. (Recimo, cˇ e bi na sliki 2
potegnili kar vodoravno premico po sredini slike.)
Premica skozi izhodišˇce. V primerih, ko modelsko odvisnost zapišemo v obliki
y = kx, torej z n = 0, se pri risanju premice skozi izmerjene toˇcke pogosto pojavi dilema, cˇ e je potrebno premico potegniti skozi izhodišˇce. Saj pri Ohmovem
zakonu vemo, da tok pri napetosti 0 mora biti enak 0 in podobno pri Hookovem
zakonu, Newtonovem zakonu . . . V praksi se cˇ esto dogaja, da najlepša premica
skozi toˇcke ne gre skozi izhodišˇce. Razlog je seveda v tem, da niˇcle merilnikov
12
nismo dobro doloˇcili. Tudi cˇ e napravimo meritev pri niˇcelni vrednosti neodvisne spremenljivke in vrednost odvisne spremenljivke merimo od njene niˇcelne
vrednosti, smemo tako doloˇceno izhodišˇcno toˇcko obravnavati kot vsako drugo
merjeno toˇcko. Utež izhodišˇcne toˇcke je lahko veˇcja le v primeru, cˇ e vemo, da
je meritev v izhodišˇcu obremenjena z bistveno manjšo napako, kot pri ostalih
toˇckah. Le v takšnem primeru lahko upraviˇcimo zahtevo, da gre premica skozi
izhodišˇce.
Ocena napake pri doloˇcitvi naklona premice. Pri poskusih, ki jih delamo v šoli
in pri katerih preverjamo linearno odvisnost med fizikalnima koliˇcinama, obicˇ ajno ne doloˇcamo statistiˇcne napake s ponavljanjem meritev pri vsaki vrednosti
ˇ lahko prineodvisne spremenljivke, temveˇc napravimo meritev le po enkrat. Ce
vzamemo, da so napake le statistiˇcne in vrednosti izmerkov neodvisne druga od
druge, lahko ocenimo povpreˇcno napako izmerkov in napako naklona premice,
ki smo jo potegnili skozi izmerjene toˇcke.
Postopek razdelimo na dve dela; v prvem delu doloˇcimo povpreˇcno napako
izmerkov σ in v drugem napako naklona σk .
Pri doloˇcitvi σ upoštevamo lastnost, da dve tretjini izmerkov pade znotraj
intervala [y − σ, y + σ]. Napako σ lahko torej doloˇcimo grafiˇcno: okoli izmerkov
naˇcrtamo paralelogram, takšen da znotraj lika zajamemo približno dve tretjini
vseh toˇck. Pri tem morata biti dve stranici paralelograma vzporedni s premico, ki
se najlepše prilagaja izmerjenim toˇckam, in enako oddaljeni od nje. Razdalja med
stranicama, merjena v navpiˇcni smeri, je potem ravno enaka 2σ. (Glej sliko 2.)
.
.......
.....
2
.
.......
..
......
.
.......
......
......
......
.
.
.
.
.......
.
...
.....
.......
......
.
.......
.......
.......
......
.
.
......
.......
.
.
.
.
.......
.
.
.
.
.....
.....
......
.
......
......
......
.......
.......
.......
......
.
.
.
.
.......
.
.
.
.
.
.....
.....
.......
......
.
.......
.......
......
.
......
.
.......
.......
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
....
.....
.......
......
.......
.......
.......
.......
......
......
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
....
.....
.......
.
.......
.......
......
.
.......
.......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.....
.
......
......
.
....... .......
Slika 2: Grafiˇcna doloˇcitev napake izmerkov
Ko tako dobimo povpreˇcno napako izmerka σ, lahko doloˇcimo še napako na-
13
klona k. Za napako naklona k velja:
√
2σ
3
√ ,
σk =
∆x N
(7)
pri cˇ emer je ∆x = xmax − xmin širina intervala, na katerem leže vrednosti neodvisne spremenljivke.
Napako naklona lahko doloˇcimo še na dva naˇcina:
Pri prvem naˇcrtamo paralelogram tako, da objamemo vse toˇcke. Naˇcrtamo
obe diagonali in doloˇcimo njuna naklonska koeficienta kmax in kmin . Napak naklona je potem:
k−k
kmax − k
≈ √ min .
(8)
σk ≈ √
N−2
N−2
Pri drugem naˇcinu izmerjene toˇcke paroma povežemo in sicer i-to toˇcko z
ˇ imamo denimo N = 10 toˇck povežemo prvo
+ i-to, za i = 1, 2, . . . 12 N. Ce
in šesto, drugo in sedmo, . . . peto in deseto. Iskani naklon premice skozi toˇcke
je potem enak kar povpreˇcni vrednosti naklonskih koeficientov tako dobljenih
daljic, k1 , k2 , . . . k N/2 , napaka naklona pa napaki povpreˇcja:
1
2N
2
k=
N
2.2
1
2N
∑ ki ,
i =1
1
N
2
4
2
σk =
[k2i − k ] .
∑
N ( N − 2 ) i =1
(9)
Nelinearne odvisnosti
Vseh teoretiˇcnih odvisnosti, ki jih sreˇcamo v fiziki, ne moremo prevesti v linearno
zvez. Najenostavnejši zgled je odvisnost poti od cˇ asa pri enakomerno pospešenem gibanju. V tem primeru si pomagamo z raˇcunalnikom. Eden najboljših racˇ unalniških paketov za ta namen je gnuplot (glej http://www.gnuplot.info/), ki
ima eno samo „pomanjkljivost“, je namreˇc brezplaˇcen.
2.3
Zgled: Analiza enakomerno pospešenega gibanja
Pri veˇcini poskusov analiziramo enakomerno pospešeno gibanje tako, da izmerimo pot v odvisnosti od cˇ asa. Pospešek dobimo lahko na dva naˇcina: z dvakratnim numeriˇcnim odvajanjem poti po cˇ asu ali iz naklona premice v grafu v(t).
Analizo napravim pri merjenju težnega pospeška z brnaˇcem. Oznake na traku
odˇcitavamo kar se da natanˇcno, z lupo lahko odˇcitavamo tudi desetinke milimetra.
14
Tabela pospeškov. Odmike merimo v cˇ asih 0.02 s, 0.04 s, 0.06 s . . . Hitrosti racˇ unamo po enaˇcbi v = ∆s/∆t, tako da za ∆t vzamemo dvojni interval. Pospešek
raˇcunamo iz a = ∆v/∆t iz zaporednih hitrosti in cˇ asovnih razlik.
t [s]
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
s [m]
0.0048
0.0117
0.0233
0.0391
0.0590
0.0823
0.1109
0.1460
0.1806
0.2162
0.2602
0.3093
0.3615
v [m/s]
a [m/s2 ]
a − a¯ [m/s2 ]
0.462
0.685
0.892
1.080
1.297
1.592
1.742
1.755
1.990
2.327
2.532
10.75
9.875
10.125
12.812
11.125
4.062
6.187
14.312
13.562
0.437
-0.438
-0.187
2.500
0.812
-6.250
-4.125
4.000
3.250
Povpreˇcna vrednost pospeška iz tabele je a = 10,31 m/s2 . Povpreˇcna napaka
pri meritvi, izraˇcunana po obrazcu
σ12
1
=
N
N
∑ ( a i − a )2 ,
(10)
i =1
√
je σ1 = 3,2 m/s2 in napaka povpreˇcja σa = σ1 / N − 1 = 1,1 m/s2 .
Iz tabele vidimo, da 3 meritve padejo zunaj intervala, cˇ e za odstopanje vzamemo mejno vrednost 4,1 m/s2 , 6 meritev pa znotraj tega intervala. Tako dobljeno napako ocenimo s σ1 = 4,1 m/s2 , kar ni v nasprotju z rezultatom, do katerega smo prišli po raˇcunski poti. Gre seveda za napako
√ pri eni meritvi, ocenjena
napaka povpreˇcja je seveda manjša in znaša σa0 = σ1 / N − 1 = 1,4 m/s2 .
Rezultat meritve torej zapišemo:
a = (10,3 ± 1,4) m/s2 .
(11)
Pospešek iz grafa v(t). Že na prvi pogled vidimo, da je ujemanje z modelom
precej boljše, kot bi lahko sklepali le na podlagi tabele pospeškov. Raˇcun da:
a = (10,0 ± 0,8) m/s2 ,
v(0) = (0,09 ± 0,05) m/s .
15
(12)
2.5
.....
......
....... ..
....... .....
....... .... ..}
...... ..... ......
....... ........ ............
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
.............................
.
.
.
.
.
.
....... .... .......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
.............................
.
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... ..... ........
....... ..... .......
....... .... .......
....... ..... .......
....... .... ......
....... ........ ............
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
.............................
.
.
.
.
.
.
....... .... .......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
.............................
.
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... ..... ........
....... ..... .......
....... .... .......
....... ..... .......
....... .... ......
....... ........ ............
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
.............................
.
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... .... .......
....... .... .......
....... ..... .......
....... .... ......
....... ..... .......
.............................
.
.
.
.
.
.
...... .... ......
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... ........
....... ..... .......
....... .... ......
.............................
.
.
.
.
.
.
... ...... .........
.......................
......
◦
◦
v [m/s]
2.0
1.5
1.0
0.5
◦
◦
◦
◦
0.05
◦
◦
◦
σ
◦
∆v
◦
∆t
0.10
16
0.15
0.20
t [s]
0.25
3
3.1
Kinematika
Premo gibanje
Merjenje hitrosti. Merimo lego telesa x kot funkcijo cˇ asa t. Hitrost telesa je
definirana kot odvod lege po cˇ asu
v(t) =
dx (t)
.
dt
(13)
Ker merimo lege le ob doloˇcenih cˇ asih, ti , i = 1, N, lahko raˇcunamo le povpreˇcno
vrednost hitrosti v cˇ asovnem intervalu [ti+1 , ti ]:
v¯ =
∆x
x − xi
= i +1
,
∆t
t i +1 − t i
(14)
pri cˇ emer je xi izmerjena lega ob cˇ asu ti , xi+1 pa ob ti+1 . Hitrost obiˇcajno pripišemo cˇ asu na sredini intervala 12 (ti+1 + ti ). Pogosto je bolj praktiˇcno, da vzamemo
veˇcji cˇ asovni interval, [ti+1 , ti−1 ], in formulo (14) zapišemo kot
v ( ti ) =
x − x i −1
∆x
= i +1
.
∆t
t i +1 − t i −1
(15)
V tem primeru smo povpreˇcno hitrost pripisali kar cˇ asu ti , ki leži znotraj intervala
[ t i +1 , t i −1 ] .
V limiti, ko gredo cˇ asovni intervali ∆t = ti+1 − ti−1 proti niˇc, povpreˇcna hitrost sovpade s trenutno. To bi pomenilo, da bo meritev tem bolj natanˇcna, cˇ im
ˇ cˇ asovne
krajše cˇ asovne intervale izberemo. A v praksi to ni vedno najbolje. Ce
intervale skrajšujemo, se lahko postane pot, ki jo telo opravi v intervalu, primerljiva ali celo manjša od natanˇcnosti, s katero merimo odmik (recimo 1 mm). V tem
primeru bo relativna napaka pri raˇcunanju hitrosti zelo velika in meritev hitrosti
ˇ
zelo nezanesljiva. Casovne
intervale moramo torej izbrati tako, da bo pot, ki jo
telo naredi v cˇ asovnem intervalu, dovolj velika v primerjavi z napako merjenja
razdalje.
Merjenje pospeška. Pospešek je definiran kot
a(t) =
dv(t)
.
dt
(16)
Postopek za doloˇcitev pospeška je podoben postopku pri raˇcunanju hitrosti, opisanemu v prejšnjem razdelku. Velja
a¯ =
∆v
v − vi
= i +1
,
∆t
t i +1 − t i
17
(17)
ali
a ( ti ) =
∆v
v − v i −1
= i +1
.
∆t
t i +1 − t i −1
(18)
xi+1 + xi−1 − 2xi
.
(∆t)2
(19)
Postopek, pri katerem raˇcunamo hitrosti po formuli (15) in pospešek po formuli (18), je bolj praktiˇcen, saj cˇ asi, v katerih raˇcunamo hitrosti in pospeške, sovpadajo s cˇ asi, v katerih smo merili lege telesa.
V primeru, ko so cˇ asovni intervali med seboj enaki, ∆t = ti+1 − ti = konst,
lahko izpeljemo enostavno zvezo med pospeški in legami:
a ( ti ) =
Merjenje koeficienta dušenja. Jahaˇc na zraˇcni drˇci zavira magnetna sila, ki je
premo sorazmerna s hitrostjo. Zato se jahaˇc giblje pojemajoˇce s pojemkom, ki je
prav tako premo sorazmeren s hitrostjo: a = − βv. Enaˇcbo za gibanje zapišemo v
obliki
dv
dv
= a = −β v
ali
= − β dt .
(20)
dt
v
Enaˇcbo integriramo, na levi od zaˇcetne hitrosti v0 do konˇcne hitrosti ob cˇ asu t, na
desni pa od zaˇcetnega cˇ asa 0 do cˇ asa t:
Z v(t)
dv
v0
v
= −β
Z t
0
dt .
(21)
Integral na levi je ln v na desni kar t. Ko vstavimo meje, dobimo
ln v(t) − ln v0 = − β t
ali
ln
v(t)
= −β t .
v0
(22)
Enaˇcbo antilogaritmiramo in dobimo
v(t) = v0 e− βt .
(23)
Pot, ki jo telo opravi v cˇ asu t, dobimo z integriranjem hitrosti (23):
s(t) =
Z t
0
v(t) dt =
v0 1 − e− βt .
β
(24)
Koeficient dušenja β lahko doloˇcimo na dva naˇcina:
ˇ torej v tabeli izraˇcunamo vrei) Iz prve enaˇcbe (20) sledi β = − a/v. Ce
dnosti hitrosti in pospeškov, dobimo β kot povpreˇcno vrednost razmerja
− a(ti )/v(ti ).
18
ii) V prvi enaˇcbi v (22) vpeljemo novo spremenljivko y = ln v(t). Enaˇcba ima
potem obliko y = ln v0 − βt. Prepoznamo enaˇcbo premice z naklonom − β.
Narišemo torej graf, na katerem na vodoravno os cˇ ase ti , na navpiˇcno os pa
vrednosti ln v(ti ). Skozi toˇcke potegnemo premico in iz naklona odˇcitamo
β.
3.2
Eksperimentalne metode – premo gibanje
Lego v odvisnosti od cˇ asa lahko merimo na veˇc naˇcinov:
Brnaˇc. Na telo pripnemo papirni trak in ga potegnemo skozi brnaˇc. Brnaˇc
udarja v enakomernih cˇ asovnih intervalih ∆t na trak skozi indigo papir in na
ˇ
traku pušˇca sledi. Casovni
interval je pri razliˇcnih brnaˇcih razliˇcen in meri 0,02 s,
0,025 s ali 0,1 s. V tem primeru se formule, ki smo jih zapisali v prejšnjem poglavju, poenostavijo v toliko, da ni potrebno raˇcunati cˇ asovnih razlik za vsak
interval posebej; vzamemo kar ∆t v (14) in (17) ali 2∆t v (15) in (18). Ker v formulah (14) in (15) potrebujemo le razlike leg telesa, lahko direktno odˇcitavamo le
razdalje med pikami na traku, ne pa razdalje od zaˇcetka traku do izbrane pike.
0,1 s
•••• • • • •
0
1
2
∆t = 40 ms
0,2 s
• •
•
•
•
|
|
|
14,4 mm 17,6 mm
3
4
5
•
6
•
7
8
0,3 s
•
9
•
10
•
11
12
Slika 3: Primer analize traku: pike so v razmiku 20 ms, iz odˇcitane razdalje
(14,4 mm), ki ustreza dvojnemu cˇ asovnemu intervalu ∆t = 40 ms, izraˇcunano
hitrost v = 14,4 mm/40 ms = 0,36 m/s pripišemo cˇ asu 0,18 s, tisto, ki ustreza
razdalji 17,6 mm pa cˇ asu 0,22 ms.
Ultrazvoˇcni slednik. Slednik odda kratek ultrazvoˇcni signal, ki se odbije od telesa in vrne do slednika. Iz cˇ asa potovanja signala in iz znane hitrosti zvoka v
zraku naprava izraˇcuna razdaljo do telesa. Slednik je povezan z raˇcunalnikom,
ki zabeleži cˇ as, ob katerem je oddal signal, in izmerjeno razdaljo. Postopek ponavlja v enakomernih cˇ asovnih intervalih in izmerke shranjuje v raˇcunalniku v obliki
tabele. Dolžino cˇ asovnega intervala (frekvenco oddajanja signalov) lahko nastavljamo. Raˇcunalnik prikaže odvisnost lege od cˇ asa tudi grafiˇcno.
19
Svetlobna vrata. Na voziˇcku je namešˇcena plošˇcica, ki prekine curek svetlobe
v svetlobnih vratih (Slika 4). Vrata so povezana z raˇcunalnikom, ki zabeleži cˇ as
prekinitve (t1 ). Ko plošˇcica pride iz svetlobnih vrat, raˇcunalnik ponovno zabeleži
cˇ as (t2 ). Iz razlike cˇ asov in znane dolžine plošˇcice (d), raˇcunalnik lahko doloˇci
(povpreˇcno) hitrost voziˇcka v¯ = d/(t2 − t1 ). Dolžino plošˇcice moramo vpisati v
raˇcunalnik.
zgoraj enokraka ploˇsˇcica
spodaj dvokraka ploˇsˇcica
....................
.........................
. ..
...
... ...... .... .... ....................................................................................................................
...
... ........... ... ... ...
...
......
.
... .... ...
...........................................................
...
.. .. ..
......
..
..
...............................................
...
.
.... ... ......................
.
.
.
.
.. ......
.
.
.... ..
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.... ...
................................
................................
.... ......
.
.
.... ...
.
.
.. .....
...
.
.
.
.
...
.
.
.
.
..
...
.... .......
....
................................
.................................................................................................................................................................................
...
.
....
. ....
...
....
...
...
...
......... ...
..... ...
.
.
.
...
.
....
....
...
....
.
...
...
.
...
.
...
.....
.
...
.
...
...
.
... ..
..
.
...
.
...
.... ..
...
.
.................................................................
.............
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
... ...
....
....
.
..
..
....
....
...
.. ....
...
...
...
..
...
......
....
.
.
.....
...................
....
...
................
...
....
...
....
..
..
...
.
.
....
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...............................................................................................................................................................................................................................................................
...
.
....
vrata
s curkom svetlobe
•
•
voziˇcek
•
•
Slika 4: Svetlobna vrata
ˇ želimo izmeriti veˇc leg in cˇ asovnih intervalov, vzamemo namesto plošˇcice
Ce
letev, na kateri so enakomerno razporejene izmenoma prozorne in neprozorne
proge. Raˇcunalnik beleži cˇ ase, ko se curek prekine in ko se zopet pojavi. V tem
primeru cˇ asovni intervali niso konstantni, paˇc pa so konstantne poti, ki jih telo
opravi v teh intervalih, saj ustrezajo kar širinam svetlih oz. temnih prog.
Elektronska štoparica. Pospešek pri enakomerno pospešenem gibanju (prostem
padu) merimo z elektronsko štoparico. Jekleno kroglico na zaˇcetku drži elektromagnet. Ko tok skozi elektromagnet prekinemo, zaˇcne kroglica padati, hkrati pa
signal sproži zaˇcetek merjenja cˇ asa v elektronski štoparici (ki je lahko kar raˇcunalnik). Kroglica pade v cˇ ašo, kar ponovno sproži signal in ustavi merjenje cˇ asa.
Pospešek (težni) dobimo iz enaˇcbe za pot pri enakomerno pospešenem gibanju
h = 21 at2 (ob privzetku, da je bila hitrost na zaˇcetku enaka 0).
Merimo pri dveh razliˇcnih višinah, h1 = 12 at21 in h2 = 21 at22 . Enaˇcbi odštejemo
in dobimo
2( h1 − h2 )
ali
a=
h1 − h2 = 12 a(t21 − t22 )
.
(25)
t21 − t22
Prednost metode je v tem, da nam ni potrebno poznati toˇcne višine, ki jo kroglica prepotuje, temveˇc le razliko višin. Zadostuje, da izmerimo le premik višine
prožilnega mehanizma, kar lahko doloˇcimo veliko bolj natanˇcno kot samo višino.
20
3.3
Vrtenje
Pri vrtenju telesa se namesto lege telesa pojavi kót zasuka ϕ, namesto hitrosti in
pospeška pa kotna hitrost ω in kotni pospešek α. Kot merimo v radianih, ki nimajo
dimenzije, zato enote ne pišemo. Polni kot v radianih meri 2π, pretvornik med
kotom v stopinjah in kotom v radianih je ϕ(v radianih) = (π/180) ϕ(v stopinjah).
Velja
dω
dϕ
in
α=
,
(26)
ω=
dt
dt
ˇ izmerimo zaporedje kotov ϕi , i = 1, N ob cˇ asih ti , i = 1, N, izraˇcunamo kotno
Ce
hitrost kot
ϕ − ϕ i −1
∆ϕ
= i +1
ω ( ti ) =
(27)
∆t
t i +1 − t i −1
in
α ( ti ) =
∆ω
ω − ωi −1
= i +1
.
∆t
t i +1 − t i −1
(28)
Kote zasuka in pripadajoˇce cˇ ase merimo s svetlobni vrati, tako da letev nadomestimo s krožno plošˇco, na kateri se enakomerno po 15◦ menjavajo prozorni in
neprozorni krožni izseki.
3.4
Gibanje v ravnini: poševni met
Gibanje v ravnini razstavimo v gibanje v vodoravni in gibanje v navpiˇcni smeri.
ˇ zanemarimo upor zraka, na telo deluje le gravitacijska sila v navpiˇcni smeri.
Ce
V vodoravni smeri je zato gibanje premo enakomerno s konstantno hitrostjo, ki
je kar enaka komponenti zaˇcetne hitrosti v0 v tej smeri:
v x (t) = v0x = v0 cos ϑ ,
x (t) = x0 + v0 cos ϑ t ,
(29)
pri tem je ϑ dvižni kot. V navpiˇcni smeri je gibanje enakomerno pospešeno s pospeškom a = − g, cˇ e kaže os y navzgor, oz. a = g, cˇ e kaže os y navzdol. Velja
y(t) = y0 + v0 sin ϑ t + 21 at2 .
vy (t) = v0y + at = v0 sin ϑ + at ,
(30)
Izhodišˇce koordinatnega sistema postavimo v zaˇcetno toˇcko, potem velja x0 =
y0 = 0. Iz enaˇcbe za lego x v (29) izrazimo cˇ as, t = x/v0 cos ϑ, in vstavimo v
enaˇcbo z a y v (30). Dobimo enaˇcbo parabole:
y = x tan ϑ +
a
2v20 cos ϑ2
21
x2 .
(31)
ˇ leta in domet. Najprej izraˇcunajmo cˇ as tm , ki ga telo potrebuje, da doseže
Cas
najveˇcjo višino. Tam je hitrost v smeri y enaka 0, vy (tm ) = 0 in iz prve enaˇcbe
ˇ leta telesa v primeru, ko ima
(30) tako sledi tm = v0 sin ϑ/g (za a = − g). Cas
telo na koncu enako višino kot na zaˇcetku, pa je enak kar dvakratnemu cˇ asu,
potrebnemu, da doseže najveˇcjo višino, saj za pot navzdol porabi enako kot za
pot navzgor.
2v0 sin ϑ
.
(32)
t D = 2tm =
g
V tem cˇ asu prepotuje v vodoravni smeri pot
x D (ϑ ) =
2v20
v2
sin ϑ cos ϑ = 0 sin 2ϑ .
g
g
(33)
Domet je najveˇcji, ko je sin 2ϑ = 1, torej pri 2ϑ = 90◦ , ϑ = 45◦ . Z nekaj znanja
trigonometrije se lahko prepriˇcamo, da velja
x D (ϑ ) = x D (90◦ − ϑ ) ,
(34)
kar pomeni, da je na primer domet pri kotu 60◦ enak dometu pri 30◦ .
ˇ poznamo obe komponenti hitrosti v x (t) in vy (t) ob cˇ asu t, lahko izraˇcuCe
namo velikost hitrosti in njeno smer
v(t) =
q
v x ( t )2 + v y ( t )2 ,
tan ϕ =
vy (t)
,
v x (t)
(35)
pri cˇ emer je ϕ kot, ki ga vektor hitrosti tvori z vodoravnico.
Eksperimentalno merimo cˇ as leta z elektronsko štoparico, za proženje zaˇcetka
uporabljamo svetlobna vrata. Domet merimo s kovinskim trakom.
3.5
Eksperimentalni postopki
Iztekanje iz posode. Posoda, napolnjena z vodo, ima na dnu cevko s polmerom
r, skozi katero izteka vodni curek v vodoravni smeri. Vodni curek ima obliko
ˇ odˇcitamo višine (globine) y pri razliˇcnih
parabole (31) za ϑ = 0 in a = g. Ce
vrednostih vodoravne koordinate x, lahko preverimo, cˇ e je tir res parabola. V
ˇ izmerjene
graf nanašamo na vodoravno os vrednosti x2 , na navpiˇcno pa y. Ce
toˇcke v okviru priˇcakovanih napak pri merjenju ležijo na premici, lahko izjavimo,
da je tir res parabola. Naklon premice v grafu y = y( x2 ) je kar
k=
g
,
2v20
22
od koder iz znanega g = 9,8 /s2 izraˇcunamo zaˇcetno hitrost v0 .
Hitrost curka, ko zapusti ustje cevi, lahko doloˇcimo tudi iz enaˇcbe za prostorninski pretok po cevi,
ΦV = v0 S = v0 π r 2 ,
pri cˇ emer je ΦV pretoˇcena prostornina vode v cˇ asu t, ΦV = V/t, in r polmer cevi.
Prostorninski pretok izmerimo tako, da lovimo vodo v cˇ ašo, ki jo nato prelijemo
v merilno posodo (menzuro). Merimo seveda še cˇ as natakanja t. Polmer cevke
doloˇcimo s pomoˇcjo zbirke svedrov, tako da poišˇcemo sveder, ki se najbolj prilega
odprtini in s kljunastim merilom izmerimo njegov premer.
Digitalna video kamera ali fotoaparat. Z digitalnim fotoaparatom ali video kamero, ki omogoˇca veˇcje število posnetkov v sekundi (vsaj 25), posnamemo poševni met telesa (recimo košarkarske žoge). V ravnini meta postavimo dve merilni palici v vodoravnem in navpiˇcnem položaju. Fotoaparat postavimo v dovolj
veliki oddaljenosti od ravnine meta, tako da ne moti paralaksa.
Zaporedje slik prenesemo v raˇcunalnik. Slike so pravzaprav lahko spravljene
kar v raˇcunalniški pomnilniški enoti, ki jo preko USB vhoda prikljuˇcimo na raˇcunalnik. Prva slika naj bo tista, na kateri telo (žoga) že prosto leti. Slike odpiramo
s programom za grafiˇcno prikazovanje slik (recimo Slikar (MSPaint) ali GIMP), ki
prikazuje lego miškinega kazalca v pikslih.
ˇ izbeOdpremo prvo sliko in z miško odˇcitamo koordinate središˇca žoge. Ce
remo risanje poligonov ali kaj podobnega, bo znak, ki kaže lego miške, v obliki
križa, in doloˇcitev središˇca bo lažja. Koordinate so v pikslih; koordinatno izhodišˇce je v zgornjem levem kotu, tako da je navpiˇcna os usmerjena navzdol. Pretvornik med piksli in dejanskimi metri dobimo tako, da odˇcitamo dolžini obeh
ˇ fotoaparat zajame 30 slik v sekundi, si slike sledijo
metrskih palic na sliki. Ce
v razmikih 1/30 sekunde (podatek je mnogo bolj natanˇcen kot kateri koli drug
podatek pri poskusu). Podatke vnesemo v tabelo in koordinate preraˇcunamo v
metre. Koordinatno izhodišˇce prestavimo v središˇce žoge na prvem posnetku, os
y lahko usmerimo navzgor.
Iz koordinat v tabeli izraˇcunamo vodoravno in navpiˇcno komponento hitrosti.
Narišemo grafa v x (t) in vy (t) in skozi izmerjene toˇcke potegnemo premici, ki se
najlepše prilegata izmerjenim vrednostim. Iz naklona premice v grafu vy (t) doloˇcimo pospešek; z ekstrapolacijo obeh premic k cˇ asu 0 pa vektor zaˇcetne hitrosti
in dvižni kot (glej (35)).
23
4
4.1
Merjenje sil in snovnih lastnosti
Merjenje sil z raˇcunalnikom
Umeritev senzorja Senzor za merjenje sile pretvarja silo v elektriˇcno napetost.
Signal vodimo do raˇcunalnika, ki prikaže cˇ asovno odvisnost napetosti (in posredno sile). Raˇcunalnik tudi izraˇcuna cˇ asovno povpreˇcje napetosti v merjenem
cˇ asovnem intervalu.
Pretvornika med silo in napetostjo ne poznamo, zato je potrebno senzor umeriti z znanimi silami. To najlaže naredimo tako, da na senzor obešamo uteži z
znanimi masami m in narišemo graf, ki kaže odvisnost teže (Fg = mg) od napetosti U. (Ker je v tem primeru sila konstantna, je smiselno na raˇcunalniku odˇcitavati
povpreˇcno silo.) Priˇcakujemo, da bo zveza med silo in napetostjo linearna:
F = k U + F0 .
(36)
Koeficienta k in F0 doloˇcimo s prilagajanjem premice skozi izmerjene toˇcke v
grafu Fg (U ).
Popravek zaradi orientacije senzorja Neobremenjeni senzor pokaže razliˇcno
vrednost napetosti glede na to, kako je orientiran. Ko je postavljen navpiˇcno,
poleg merjene sile kaže tudi težo kaveljˇcka, na katerega obešamo uteži. Zato
naša umeritev velja le v navpiˇcnem položaju senzorja, cˇ e pa senzor uporabljamo
v drugaˇcnem položaju, moramo to upoštevati. Hitro se lahko prepriˇcamo, da ima
v tem primeru popravek obliko
F = k U + F0 + F1 (1 − sin ϕ) ,
(37)
pri cˇ emer je F1 teža prikljuˇcnega mehanizma, kot ϕ pa merimo tako, da je ϕ =
0 v vodoravnem položaju in ϕ = 90◦ v navpiˇcnem položaju (torej v položaju,
v katerem umerjamo senzor). Težo F1 doloˇcimo tako, da neobremenjen senzor
postavimo v vodoravni položaj in izmerimo napetost U0 , nato pa še v navpiˇcni
položaj, izmerjeno napetost v tem položaju oznaˇcimo z U90 :
0 = k U0 + F0 + F1 ,
0 = k U90 + F0 .
Levi strani sta v obeh primerih enaki 0, saj je senzor neobremenjen. Iz obeh enaˇcb
izrazimo F1 kot F1 = −k (U0 − U90 ) ≡ −k ∆U, pri cˇ emer smo z ∆U oznaˇcili
razliko napetosti v obeh legah, ∆U = U0 − U90 . Enaˇcbo (37) prepišimo v obliko
F = k (U − ∆U (1 − sin ϕ)) + F0 ,
(38)
od koder bomo iz znanih parametrov k, F0 in ∆U doloˇcali zvezo med silo in napetostjo ter kotom.
24
Sile na klancu Voziˇcek na klancu z naklonskim kotom ϕ z vrvico povežemo
s senzorjem za silo. Ker voziˇcek miruje, je sila vrvice – in s tem sila, ki jo kaže
senzor, – (nasprotno) enaka dinamiˇcni komponenti teže voziˇcka:
F = mv g sin ϕ .
(39)
Pri raˇcunanju sile iz napetosti moramo v tem primeru vzeti enaˇcbo (38).
Merjenje koeficienta lepenja Na mirujoˇco klado na klancu delujeta teža in sila
podlage, ki jo razstavimo na pravokotno silo podlage F⊥ = mk g cos ϕ in silo lepenja Fl , ki ima smer klanca. Dokler klada miruje, sta v ravnovesju sila lepenja
in dinamiˇcna sila teže, Fl = mk g sin ϕ. Ko kot poveˇcujemo, narašˇca sila lepenja in doseže najveˇcjo vrednost, tik preden klada zdrsne. Koeficient lepenja k l je
definiran kot razmerje med najveˇcjo silo lepenja in pravokotno komponento sile
podlage:
m g sin ϕ0
F (max)
= k
= tan ϕ0 ,
(40)
kl = l
F⊥
mk g cos ϕ0
cˇ e je ϕ0 najveˇcji kot, pri katerem klada še ne zdrsne.
Naklonski kot doloˇcimo z merjenjem višine h in dolžine klanca l, sin ϕ = h/l.
Klado povežemo s silomerom kot v prejšnjem primeru. Dokler je naklonski
kot klanca manjši od ϕ0 , je vrvica nenapeta in silomer ne kaže nobene sile. Pri
kotih veˇcjih od ϕ0 , pa je sila vrvice enaka razliki med dinamiˇcno komponento
teže in najveˇcjo možno silo lepenja Fl (max). Silomer kaže
F = mk g sin ϕ − k l mk g cos ϕ ,
od koder lahko izlušˇcimo k l pri razliˇcnih kotih.
∗ Vpeljemo x = sin ϕ in enaˇcbo (41) prepišemo v obliko
p
F = mk g x − k l 1 − x2
(41)
(42)
Izmerjene sile pri razliˇcnih kotih ϕ > ϕ0 vnesemo v graf F = F ( x ) in s prilagajanjem funkcije (42) v programu Gnuplot doloˇcimo k l in njegovo napako.
25
4.2
Ravnovesje treh sil
Telo (obroˇcek v sredini plošˇce na sliki 5) je v ravnovesju, cˇ e je vsota vseh sil enaka
ˇ oznaˇcimo kote, tako kot na sliki, velja za komponente v smereh y in x:
0. Ce
∧y
m1......
.
.....................
...
....
..
....
..
....
..
....
....
J
.
>
... ............. α
.
.
.
x
.
........
β.......
.
.
.
.
........
...
........
.....
........
.....
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m2
...
...................
...............
...........
............
.........
.........
........
........
.......
.......
.
.......
.
.
.
.
......
......
.
.
.
.....
.
....
....
.
.
.
....
....
.
....
.
..
...
.....
...
...
.. ..
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
..
....
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
.
.
...
...
..
....
....
..
...
.
.
...
.
.
.
.
..
.
.
...
..
..
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
....
...
..
....
.
...
.
.
.
...
...
...
...
....
...
....
....
....
....
....
.
.
.
.....
...
......
.....
.......
.......
........
.......
.........
........
...........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
...............
.
.
.
....................................................
m3
4.3
y:
x:
m1 g − m2 g sin α − m3 g sin β = 0
m2 g cos α − m3 g cos β = 0
Slika 5: Ravnovesje treh sil
Ravnovesje navorov
Za ravnovesje togega telesa (krožne plošˇce na sliki 6) velja, da mora biti vsota
vseh sil enaka 0 in hkrati vsota vseh navorov enaka 0. Težo in sile uteži uravnovesi sila podlage, za ravnovesje navorov pa velja
m1 gr1 sin ϕ − m2 gr2 = 0 ,
pri tem sta r1 in r2 roˇcici, merjeni od središˇca plošˇce do prijemališˇc sil, ϕ pa kot
med roˇcico in silo prve uteži.
............................................................................
..............
...........
...........
.........
........
.........
........
........
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
......
......
......
.
.
.
.
.....
.....
.
.
.
....
.
.
....
.....
.
....
.
....
...
.
.
.
...
....
...
.
.
...
..
...
....
...
...
....
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.............
.
...
.
........
.............
.
.
.
.
...
.
.
.
...
.......
.
...
.....
.......
.
.
.
....
.
....
...
.
.
....
....
...
.
....
.
.
...
...
.. ..
...
...
.
..
...
.....
...
....
..
..
....
..
.
.
...
.
....
....
....
.
...
.
..
....
...
...
.
...
.
...
...
...
..
.
.
.
.
.
...
...
.
..
....
...
..
.
.
.
..
...
..
...
..
....
..
..
....
....
...
...
....
......
......
...
.......
...
.......
.........
...
..
...............................................
...
....
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
....
..
....
....
....
...
.....
....
.....
....
......
.....
......
......
.
.
.
.......
.
.
.....
.......
.......
........
........
.........
.........
..........
............
..........
................
............
..................................................................
•....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
r2
J
r1
•..........
........ ϕ
........
........
........
........
.....
J
....
...
...
...
..
m2
Slika 6: Ravnovesje navorov
m1
26
4.4
Hookov zakon
ˇ
Deformacije teles Telesa se pod vplivom zunanjih sil lahko deformirajo. Ce
se telesa zaradi zunanjih sil deformirajo, a se po prenehanju delovanja teh sil
vrnejo v prvotno obliko, je deformacija elastiˇcna. Tako se palica, na katero deluje
v vzdolžni smeri zunanja sila, elastiˇcno razteza ali krˇci. Podaljša se, cˇ e deluje
v palici napetost F/S, kjer je S presek palice, in skrˇci, cˇ e palico stiskamo in je v
njej tlak p = F/S. Podaljšek pri nategu in skrˇcek pri stisku s je odvisen še od
prvotne dolžine palice l. Relativni raztezek ali relativni skrˇcek e = s/l je odvisen
le od napetosti oz. od tlaka p. Poskusi pokažejo, da je zveza med napetostjo oz.
tlakom p in relativnim raztezkom e linearna:
1
p.
(43)
E
Zvezo imenujemo Hookov zakon. Sorazmernostna konstanta E v (43) je snovna
konstanta, ki je znaˇcilna za elastiˇcno snov. Konstanta se imenuje prožnostni modul.
Za vsako snov obstaja meja prožnosti, to je tista napetost, do katere je deformacija
elastiˇcna. Pri veˇcjih napetostih se snov deformira trajno (plastiˇcna deformacija). Pri
nekaterih snoveh je praktiˇcno vsaka deformacija plastiˇcna.
e=
............................................................................................................................................................................................................................................ ...........
..
....
....
.. .
..
..
..
... .
... .
... .
... ...
.
...
.. .
.. . ..
.
.
.
.
...
. .
.
.
.
..
...
.... ........ ....
.......................................................... .
...........................................................
.
. .. . . ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
..
.
. .. ..
.
.
..... ....
.
.
.
.
....
.
l
~F
~F
S
s
Slika 7: Elastiˇcno raztezanje trdnih snovi
Opis meritve Na žiˇcni kavelj na okvirˇcku obesi predutež, da se žica nekoliko
zravna. Merilno uro naravnaj na niˇclo. Izmeri raztezek žice pri vsaj desetih obremenitvah in rezultate vnesi v graf F (s). Skozi toˇcke nariši premico in ugotovi,
cˇ e je odvisnost res linearna, t.j. F = ks + F0 . Iz k = ES/l izraˇcunaj prožnostni
modul. Zato potrebuješ še dolžino žice l in njen presek S. Premer izmeri z mikrometrskim merilom. Izraˇcunaj tudi napako modula.
4.5
Površinska napetost
Napravimo poskus s tanko žiˇcno zanko z radijem r, kot kaže slika 8. Da zanko
izvleˇcemo iz kapljevine, moramo premagati silo površinske napetosti F, ki je sorazmerna dolžini zanke b, vzdolž katere se vleˇce površina kapljevine:
F = γ b.
27
(44)
Ker zanka trga površino kapljevine po obeh obodih zanke, moramo upoštevati
dvojni obseg (b = 2 · 2π r). Sorazmernostni koeficient γ imenujemo kar površinska
napetost.
.
........
..........
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
........
.
.... .....
.
.
..................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
................
....
...........
...............
......
.
.........
..........
...........................................................
....
.........
.................................. ....
....
.
.......
...............
- ..-.. .... - - -........ ............................. ...............
.......
............
.
.........
. ...... ...... ................
.
.
.
....... ........
.
.
.
...... ...
........................-...........................-........................-.........................-.............-...... .
... .......... .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. .
.. .
...
... ....
. ...
- - -.................-.................-.... - ..... - - - .....-.................-.....................- - - -......... .....
... ........-...... .... ........... ..-.... .
.
.
-.......
.
.
.. ..
.
....
.. ..
- - ..... ..-... - - - ..... - - - - - ...-.. ...... - - - .........
........ ..-.. - ....- .... - - - .... - - - - - - .... .-.. - - ..-.... .
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- ......- ....... - - ..-. - - - - - ...... -..... - - .......
...... ....... - .......-..................-...... - .... - - - - .....-..................-....... - - ..............
........
..........
...
-..............-.................-............-.............-............-................-.........................
.........
..
..
................. ...-.............-............-............-.............-.... ............................
...
.............................................................................
...
...
...
...
...
....
.
.
.
.
......
......
......
......
.......
........
.........
...........
.........
..............
...........
..............
......................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....................................................
.......
....
..........
...
.......
........
....
...
...
...
...
...
..
...
.
.
...
.
...
...
...
.. .... ....
....
.
...... ...................................... ........
............
............
.
.
......
.........
.....
... ...
... ....
.
.
.... ....
.
.
.. ..
... ...
.....
.......... ..
... ......
... ................ ... .........................
..................
.
...
..
..
..
-.....
......
..
.
.
.
.
- ........
.. .- ...
...
..
... - .....-.............................- - . - - - .-... - - -
~F
•
•
~F
b
•
θ
...
......
..
•
h......
-
-
-
Slika 8: Merjenje površinske napetosti
-
-
-
......
.
-
-
-
-
-
-
..
...
........
-
-
-
-
-
-
-
-
•
-
-
-
-
-
-
-
- - - - 2r
-
...
...
........
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
-
-
Slika 9: Kapilarni dvig kapljevine.
Površinska napetost povzroˇca, da nivoja kapljevine v kapilari, vtaknjeni v kapljevino, in zunanje kapljevine nista enako visoko. Voda steklo omoˇci, živo srebro
pa ne. V kapilari, potopljeni v posodo z vodo, se voda dvigne, živo srebro v kapilari pa zniža pod nivo živega srebra v posodi. Voda oblikuje svojo površino v
obliki, podobni krogelni kapici. Skupna sila F, ki deluje na tekoˇcino v kapilari
navzgor, je F = γ 2π r cos θ, kjer je θ kot med površino kapljevine in stekleno
steno (glej sliko 9), r pa je radij kapilare. Tej sili drži ravnovesje teža vodnega
stebriˇcka: $ π r2 g h. Zato velja:
$gh =
2γ cos θ
.
r
(45)
Ker je razmerje r/ cos θ enako radiju krogle z radijem R, lahko (45) zapišemo:
$gh =
2γ
.
R
(46)
ˇ je kot θ = 180o , je premer kapilare enak dvojnemu radiju 2R. Z merjenjem
Ce
višinske razlike h lahko dobimo površinsko napetost γ, npr. vode ali kake druge
kapljevine.
Površinsko napetost izmerimo tudi tako, da stehtamo silo, ki je potrebna, da
žiˇcna zanka pretrga površino tekoˇcine.
28
4.6
Merjenje gostot
Definicija gostote Gostota je definirana je s kvocientom mase m in prostornine
V, $ = m/V. Tako definirana gostota pa velja le za homogene snovi. V splošnem
ˇ se v snovi ta vrednost
pa moramo gostoto definirati s kvocientom $ = dm/dV. Ce
spreminja, je snov heterogena, cˇ e pa se s krajem gostota ne spreminja in je torej po
vsem telesu enaka, je snov homogena.
Pri veˇcjih in geometrijsko simetriˇcnih telesih prostornino izmerimo brez težav,
maso stehtamo in gostoto izraˇcunamo. Pri manjših telesih in pri telesih z nepravilno obliko uporabljamo razliˇcne metode merjenja gostote. Vˇcasih lahko meritev
izvedemo s piknometri. Z njimi lahko doloˇcamo gostote trdnin in kapljevin. Piknometer je buˇcka z luknjico v steklenem zamašku, s katerim natanko opredelimo
prostornino kapljevine. Pri piknometrski metodi doloˇcanja gostote kapljevin tehtamo piknometer, napolnjen z vodo (mv ), piknometer, napolnjen s kapljevino,
katere gostoto želimo izmeriti (mm ) in prazen piknometer (m p ). Prostornino vode
v piknometru doloˇca enaˇcba V = (mv − m p )/$v , kjer je $v gostota vode. Podobno
velja za prostornino kapljevine, katere gostoto želimo meriti: V = (mm − m p )/$,
kjer je $ gostota merjenca. Glede na to, da sta prostornini obeh kapljevin enaki, je
gostota merjene kapljevine glede na gostoto vode $v enaka
$ = $v
mm − m p
.
mv − m p
(47)
Podobno ravnamo tudi, ko merimo gostoto trdnin. Tehtamo najprej merjenec
mm , nato piknometer z vodo mv in nato piknometer z vodo in merjencem mmv .
Masa z merjencem izpodrinjene vode je mm + mv − mmv . Prostornina te vode, ki je
hkrati prostornina merjenca, pa je Vm = (mm + mv − mmv )/$v . Gostoto merjenca
dobimo po enaˇcbi
mm
mm
$=
= $v
.
(48)
Vm
mm + mv − mmv
Pri obeh merjenjih moramo poznati gostoto vode: ta je pri normalnih pogojih je
$v = 1, 000 · 103 kg/m3 .
Opis postopka Stehtaj prazen in suh piknometer s pokrovˇckom. Vanj natoˇci
vodo, izmeri skupno maso, ponovi enako še z alkoholom. Meri kar se da natanˇcno (na vsaj 4 mesta). V piknometer naliješ vodo oz. alkohol do vrha piknometra tako, da odveˇcna kapljevina odteˇce skozi luknjico v pokrovˇcku piknometra. Tehtaš torej piknometer skupaj s pokrovˇckom. Pazi, da je buˇcka piknometra
pred merjenjem skrbno obrisana. Izraˇcunaj gostoto alkohola.
Doloˇci skupno maso piknometra (s pokrovˇckom) in kovinskih ali katerih drugih delˇckov mmp (prazen piknometer s pokrovˇckom si že stehtal), da ugotoviš
29
maso merjenca (mm = mmp − m p ). Dolij vode do vrha, piknometer zapri s pokrovˇckom, ga osuši in doloˇci skupno maso merjenca, piknometra in vode. Maso
merjenca z vodo si že doloˇcil. S temi podatki izraˇcunaj gostoto merjenca kar se
da natanˇcno.
Merjenje z vzgonom Gostoto trdnin in kapljevin lahko merimo še z metodo,
pri kateri izkoristimo vzgon teles. Stehtamo merjenec v zraku (Fg ) in ko je ta potopljen v vodi (Fg0 ). Razlika obeh tež je enaka teži izpodrinjene vode: Fgv = Fg − Fg0 .
Iz nje izraˇcunamo prostornino izpodrinjene vode, ki je hkrati prostornina merjenca: Vv = Fgv /g$v = ( Fg − Fg0 )/g$v . Gostota merjenca je
$=
Fg
Fg
Fg
=
= $v
.
gVm
gVv
Fg − Fg0
(49)
Stehtaj telo v zraku in potopljeno telo v vodi kar se da natanˇcno. Ti podatki
zadošˇcajo za izraˇcun gostote telesa.
4.7
Merjenje gostote zraka
Tudi gostoto zraka lahko izmerimo. Najprej stehtamo prazno buˇco mb in nato
buˇco, napolnjeno s stisnjenim zrakom mz , ki smo ga spravili v buˇco s tlaˇcilko.
Razlika obeh mas mz − mb je masa zraka, ki smo ga stisnili v buˇco. Ko ta stisnjen
Slika 10: Merjenje gostote zraka
zrak spustimo v posodo z vodo, zrak iztisne vodo v menzuro, ki ji lahko izmerimo prostornino. Tako dobimo prostornino zraka V, ki smo ga stlaˇcili v buˇco,
pri normalnih pogojih. Zato je gostota zraka
$=
mz − mb
.
V
30
(50)
Stehtaj buˇco z zrakom pri normalnih pogojih. Zapri ventil in buˇco napolni
z zrakom s pumpanjem. Stehtaj buˇco z dodatnim zrakom. Uporabi tehtnico z
natanˇcnostjo 1/100 g. Prostornino stisnjenega zraka dobiš z bolj zapleteno napravo. Najprej v cev natoˇciš vodo, ki jo potem, ko odpreš ventil buˇce, iztisne
zrak. Prostornina v buˇco stisnjenega zraka je pri normalnem tlaku enaka prostornini iztisnjene vode.
4.8
Viskoznost
Za kapljevine je znaˇcilna snovna konstanta viskoznost. To nekaj pove o lastnosti,
ki je povezana z notranjim trenjem v kapljevinah. Zaradi te lastnosti se nekatere
kapljevine lažje pretakajo skozi lijak kot druge. Pri opredelitvi viskoznosti moramo vpeljati strižno napetost. Ta je povezana s silami, ki ne delujejo pravokotno
na ploskev kot pri Hookovem zakonu, ampak prijemljejo in delujejo vzdolž ploˇ je med dvema vzporednima plošˇcama plast tekoˇcine s površino S in
skve S. Ce
zgornjo plošˇco vleˇcemo s silo F se pojavi v tekoˇcini strižna napetost σs = F/S
(glej sliko 11). Pri tem se gornja plošˇca giblje s konstantno hitrostjo v in z njo vred
se giblje sosednja plast kapljevine tik ob tej plošˇci. Spodnja plast tik ob spodnji
plošˇci pa skoraj miruje. V kapljevini se torej z višino hitrost poveˇcuje. Narašˇcanje
opredelimo z gradientom hitrosti v/z, kjer je z razdalja med obema plošˇcama. Poskusi kažejo, da je strižna napetost σs premo sorazmerna gradientu hitrosti v/z:
v
σs = η .
z
(51)
To je zakon o viskoznosti. Sorazmernostna konstanta v tej enaˇcbi je viskoznost η. Odvisna je od temperature. Viskoznost η je znaˇcilna snovna konstanta za kapljevino
in jo najdemo v posebnih tabelah.
.
..........
........
.
. .. . .. . .. .... .. . .. . .. . .. . .. . .. . ................................................................................................................................................................................... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .
. . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
..................................................................................................................................
...
........
.....
.....
..
.
.....
.....................................................................................................................
.
....
.
..
.....
..
....
...................................................................................................
....
.
.
.
.
.....
.
....
.
..................................................................................
..
....
....
..................................................... .. ...
.......
....
...
...
.
..
.....
.....
............................................. .
....
....
.....
...
..............................
...
.... ......
.........
........
..................................................................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
z
~v
l
x
Slika 11: Viskoznost kapljevin.
Podobno kot v tem primeru gibanja ene od dveh plošˇc povzroˇci zaviralne sile
tudi gibanje kroglice skozi kapljevino. Po precej zapletenem raˇcunu najdemo, da
je sila upora na kroglico v gosti tekoˇcini enaka
F = 6 π r η v,
31
(52)
ˇ spustimo kroglico z gostoto $ v kapljekjer je r radij kroglice in v njena hitrost. Ce
vino z gostoto $k , delujeta nanj še teža mg = $ g V in sila vzgona mk g = $k g V.
V stacionarnem stanju silo teže uravnovešata sila upora in vzgon. Velja: $ g V =
$k g V + 6 π r η v. Iz te enaˇcbe lahko izraˇcunamo viskoznost
η=
2( $ − $ k ) g r 2
,
9v
(53)
ˇ izmerimo hitrost padanja
kjer smo vstavili za prostornino kroglice 4 π r3 /3. Ce
kroglice v in poznamo obe gostoti ter radij kroglice, lahko izraˇcunamo viskoznost
η.
Koeficient viskoznosti tekoˇcin doloˇciš z merjenjem hitrosti padanja steklenih
kroglic v glicerinu. Izmeri še premer kroglic in njihovo maso in od tod izraˇcunaj
gostoto stekla. Gostota glicerina je podana in je ni treba meriti.
32
5
5.1
Merjenje gibalne koliˇcine, energije in temperature
Merjenje gibalne koliˇcine pri trkih
ˇ je rezultanta zunanjih sil enaka niˇc, je sunek sile enak niˇc in gibalna koliˇcina se
Ce
ˇ sta v sistemu dve telesi z masama m1 in m2 , se pri trku njuna skupna
ohranja. Ce
gibalna koliˇcina ohranja. Izrek o ohranitvi skupne gibalnih koliˇcin zapišemo kot
m1~v1 + m2~v2 = m1~v10 + m2~v20 ,
(54)
pri cˇ emer pomenita ~v1 in ~v2 hitrosti teles pred trkom in ~v10 in ~v20 hitrosti teles po
trku.
Postopek merjenja Z roko ali s sprožilcem suni enega od voziˇckov v drugi mirujoˇci voziˇcek, ki je postavljen med svetlobna vrata tako, da prvi voziˇcek pred
trkom že zapusti svetlobna vrata na svoji strani. (Princip delovanja svetlobnih
vrat je opisan v prvem sklopu vaj.) Pri neprožnem trku se po trku gibljeta voziˇcka
v smeri gibanja prvega voziˇcka pred trkom. Pri prožnem trku pa je hitrost prvega
voziˇcka po trku odvisna od razmerja mas voziˇckov. Svetlobna vrata izmerijo le
absolutno vrednost hitrosti, zato moraš njen predznak doloˇciti sam z opazovanjem gibanja voziˇcka.
Rezultat predstavi kot razliko med konˇcno in zaˇcetno velikostjo skupne gibalne koliˇcine, deljene z velikostjo zaˇcetne gibalne koliˇcine.
33
5.2
Ohranitev energije pri kotaljenju
V splošnem ima togo telo lahko kinetiˇcno in potencialno energijo. Kinetiˇcna energija
je sestavljena iz dveh delov, translacijske energije 12 m v2 in rotacijske energije 21 J ω 2 .
Sprememba gravitacijske potencialne energije telesa je ∆Wp = m g (z2 − z1 ), kjer
ˇ je vsota vseh zunanjih
pomeni z2 − z1 višinsko razliko težišˇca togega telesa. Ce
sil enaka niˇc, se energija ohranja. To velja tudi, cˇ e deluje na sistem le teža. Tedaj
velja izrek o ohranitvi energije
1
2
m v22 +
1
2
J ω22 + m g z2 =
1
2
m v21 +
1
2
J ω12 + m g z1 .
(55)
Indeks 2 se nanaša na konˇcni položaj telesa, indeks 1 pa na zaˇcetni položaj togega
telesa.
Na vrhu klanca telo miruje in ima le potencialno energijo Mgz T . Po klancu
navzdol se kotaleˇcemu se telesu manjša potencialna energija, poveˇcuje pa translacijska kinetiˇcna energija težišˇca 12 M v2T in rotacijska energija okrog osi skozi
ˇ je delo navora lepenja zanemarljivo majhno, lahko raˇcunamo,
težišˇce 21 J ω 2 . Ce
da se ohranja celotna energija teles. Na koncu je potencialna energija enaka 0 in
velja
(56)
M g z T = 12 M v2T + 12 Jω 2 .
................................................
..........
.......
......
.......
.
.
.
.
.
.....
....
.
....
.
.
...
....
...
..
...
..
..
...
~
v
..
T
..
..
J
...
...
.....
.
..
....
.....•......
.
.....
..... ..........
... .........
.
.
.
.
..... ....
.
.....
...
.
.
.
.
.
.
.
R
.
.
.
.
.
.
.....
..... ..
.
.....
...................
.....
.. ......
..... ...
.....
....
. v T ..
........
.....
r .................... ...................
....... .............
..... •.......................~
.
.
.
.
..... ...
...... .......
..... ...
. .. .. .......................
.........
.....
.....................................r..................................................................................................................................
......
.......
. ...................................
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
...........................................................
. ..............................................
.
.....
.....................................
....
.....
zT ....
......................................
β
...
.....
.....
......................................
.....
.
..
.
.
.... β
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..... .....
... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ................................................................
..
a)
b)
Slika 12: a) Kotaleˇci se valj na klancu in b) kroglica v žlebu, pogled od spredaj.
Pri valju je hitrost težišˇca enaka obodni hitrosti težišˇca pri vrtenju valja okoli
osi skozi dotikališˇce valja s klancem (glej sliko 12 a)): v T = ω R, cˇ e z R oznaˇcimo
polmer valja. Vztrajnostni moment valja je J = 21 MR2 in iz (56) dobimo
M g zT =
1
1
3
M v2T + M v2T = M v2T ,
2
4
4
od koder sledi
vT =
r
34
4gz T
.
3
(57)
(58)
Kroglica se dotika žleba v toˇckah, prikazanih na sliki 12 b). Os vrtenja je premica skozi ti dve toˇcki in zveza med hitrostjo težišˇca in kotno hitrostjo je v tem
primeru v T = ω r. V (56) vstavimo vztrajnostni moment krogle J = 25 M R2 in
dobimo
v2
9
1
1 2
M g z T = M v2T +
MR2 2T =
M v2T ,
(59)
2
2 5
10
r
pri cˇ emer smo upošteval 2r2 = R2 . Od to sledi
r
10gz T
.
vT =
9
(60)
Kroglica se kotali enakomerno pospešeno in velja v T = at in s = 12 at2 , cˇ e je s
dolžina klanca. Iz prve enaˇcbe izrazimo a in dobimo s = 21 v T t oziroma
vT =
2s
.
t
(61)
Za obe telesi izmerimo višino klanca v zaˇcetni legi z T in cˇ as kotaljenja t na
poti s ter primerjamo izmerjeno hitrost iz enaˇcbe (61) z izraˇcunano hitrostjo (58)
oz. (60).
35
5.3
Pronyjeva zavora
S Pronyjevo zavoro (jarmom) merimo moˇc na osi motorja. Motor prejema elektriˇcno moˇc, Pp = Pe = U I, kjer je U napetost, na katero je elektriˇcni motor prikljucˇ en, in I tok, ki teˇce skozi motor. Na gred motorja s Pronyjevim jarmom deluje
navor M, ki ga povzroˇcata sili F1 in F2 dveh vijaˇcnih vzmeti, povezanih s trakom
jarma. Vzmeti sta hkrati tudi silomera. Motor se vrti s kotno hitrostjo ω = 2π ν.
Navor je enak M = ( F2 − F1 ) r, kjer je r polmer jarma. Tako je koristna (oddana
mehaniˇcna) moˇc na gredi motorja P0 = M ω = ( F2 − F1 )2π r ν.
Izkoristek motorja η, ki ga definiramo kot
razmerje koristne (oddane) moˇci in vložene
(prejete) moˇci, je v našem primeru
η=
( F − F1 )2π r N
Po
= 2
.
Pp
UIt
(62)
Pri tem smo zamenjali frekvenco ν s kvocientom N/t, kjer je N število vrtljajev in t
ustrezni cˇ as. Ko meritev že nekaj cˇ asa teˇce in
se temperatura zaradi hlajenja ne spreminja
veˇc, je po energijskem zakonu vloženo delo
Ae in oddano delo Ameh povezano z oddano
toploto Q po enaˇcbi Ae − Ameh − Q = 0, saj
se v ravnovesnem stanju ne spreminja nobena od energij. Toplota, ki jo pri tem pri
konstantni temperaturi motor oddaja okolici, je enaka Q = Ae − Ameh .
......
........
.....
.......
......
.......
.....
..
.......
......
.......
.....
.......
.....
.......
.....
..
.......
.....
.......
.....
.......
.....
........
.
.............
..............
...........
.
....
...................
..............
.
....
.................
.
.
.
.
..............
.
.............
.......
.
...................
.............
.
.....
.................
..............
.
.
.
.
...............
.....
.
.
.
.
.
.
.
..............
.
.
.............
.
.
.
.
..
...................
..................
.
.
.
1
. .... 2
..................
................
.
....
....................
.
.
.
.
......
.............
.
•
. ....
...............
.........
.
.
..........
. ....
•........................................................
.. ............................ .....
.
.
..... ..
... ......
... ...
.. ...
... ..
.... ...
.. . ...
.
... .. .......................•
.
.
.. .. ..... ..
... ......
..... ... ...
... ......
.
.
..... .. ...
... ..........
.
.
.
.... ................. .................. ...
. .. ............ .. ...
... ....... ..................... ...... ...
... ....................................... ......
.
.
...
.
.
.
...
...
.
.................................................................................
~F
~F
r
ν
......
.........
....
.........
.....
.........
....
..........
....
..........
.....
..........
....
.........
.....
..........
....
..........
....
.........
....
..........
Slika 13: Pronyjeva zavora.
Postopek merjenja Pronyjeva zavora ima trak, ki ga vpneš na oba premakljiva
silomera. Motor prikljuˇciš na napetostni vir. Izmeriš tok in napetost pri izbranih vrtljajih. Z merjenjem števila vrtljajev in cˇ asa doloˇciš frekvenco vrtenja gredi
motorja, ki skupaj z izmerjenima silama in premerom valja omogoˇcajo izraˇcunati
koristno moˇc navora Pk . Po drugi strani z merjenjem napetosti in toka izmerimo
vloženo elektriˇcno moˇc Pe = U I. Njuno razmerje doloˇca izkoristek elektromotorja.
36
5.4
Izkoristek elektromotorja
Moˇc na osi motorja lahko doloˇcimo tudi iz dela, ko motor v cˇ asu t dvigne breme
mase m za višinsko razliko ∆z, saj velja P = m g ∆z/t. Razlika teh dveh moˇci
predstavlja toplotni tok, ki pomeni izgubo. Izkoristek motorja pa je
η=
Po
m g ∆z
=
.
Pd
UIt
(63)
Postopek merjenja Vloženo elektriˇcno delo Ae izraˇcunaj kot produkt napetosti,
ˇ ustreza potovanju bremena iz spodnje v zgornjo lego
toka in cˇ asa, Ae = U It. Cas
∆z, ki ju natanko doloˇci. Pazi, da breme ne udari v motor in po prekinitvi elektriˇcnega kroga ne zgrmi na tla; zato utež ulovi. Izberi primerno napetost, da se utež
poˇcasi in enakomerno dviguje. Koristno mehansko delo pa je enako spremembi
potencialne energije Am = mg∆z. Njuno razmerje da izkoristek našega dvigala.
37
5.5
Temperaturno raztezanje kovin
Prostornina trdnine (kapljevine), in v posebnem primeru dolžina trdnine, se lahko
spreminja zaradi spremembe temperature T. Tedaj govorimo o temperaturnem raztezanju. Pri tem moramo zagotoviti konstantne pogoje, kar pomeni, da se ne sme
spremeniti katera od drugih koliˇcin, npr. tlak. Relativni raztezek palice dl/l je
pri temperaturnem raztezanju trdnin sorazmeren temperaturni spremembi dT:
dl
= α dT,
l
(64)
kjer sorazmernostni koeficient α imenujemo temperaturni koeficient dolžinskega
raztezka in je znaˇcilna konstanta za snov. Definirana je torej z enaˇcbo
1 dl
.
l dT
α=
(65)
V omejenem temperaturnem obsegu velja
l = lo (1 + α∆T ),
(66)
kjer je l = lo pri T = To in ∆T = T − To .
Postopek merjenja Sestavi napravo za merjenje raztezkov. Eno krajišˇce kovinske cevi vpni v stojalo, skozi cev napelji vodo iz rezervoarja, ki jo segrevaš. Na
drugi konec cevi vpni merilno urico, s katero izmeriš raztezek paliˇcaste cevi. Za
izraˇcun temperaturnega koeficienta dolžinskega raztezka sta potrebna vsaj dve
meritvi, pri sobni temperaturi in pri temperaturi vrelišˇca vode.
38
5.6
Temperaturno raztezanje vode
Na podoben naˇcin lahko opišemo raztezanje ali krˇcenje telesa zaradi spremembe
temperature. V tem primeru je relativna sprememba prostornine dV/V sorazmerna
s spremembo temperature dT:
dV
= β T dT,
V
(67)
kjer je β T temperaturni koeficient prostorninskega raztezka. Pri trdnih snoveh je trikrat veˇcji od linearnega (β T = 3α). Za ne prevelike temperaturne spremembe
lahko (67) zapišemo v obliki
V = V0 (1 + β T ( T − T0 )),
(68)
kjer je V = V0 pri T = T0 .
Sestavi napravo za merjenje raztezkov kapljevine (glej sliko 14). V buˇcko do vrha nalij merjeno tekoˇcino. Buˇcko zamaši z zamaškom, skozi
katerega sta vtaknjena cevka in termometer. Poskrbi, da v buˇcki ni zraˇcnih mehurˇckov in da pri
nizki temperaturi seže kapljevina v cevki do spodnje lege, kajti s segrevanjem se gladina kapljevine dviguje. Buˇcko z merjeno kapljevino postavi v cˇ ašo z vodo in jo segrevaj do tolikšne temperature, da se kapljevina ne prelije iz cevke. Izraˇcunaj prostornino V − V0 = S (l − l0 ) in izmeri
prostornino tekoˇcine V0 . Nariši graf V ( T ) − V0 .
Izraˇcunaj še temperaturni koeficient prostorninskega raztezka kot
...
...
...
.
........
...
....
...
..
-
1 S∆l
1 ∆V
=
V0 ∆T
V0 ∆T
... ....
Pri tem so ∆T koraki, v katerih si meril temperaturo, in ∆l pripadajoˇci raztezki stolpca vode.
Grafiˇcno prikaži, kako se β T spreminja s temperaturo.
39
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
V0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(69)
V − V0
...
..
.......
...
..
...
..
...
...
....
...
..
.
.- .
- -. - - . - - - - ... - ..- - - - -.. - .. - - - - .. - ... - - - - - ... -. - - - - ..- ... - -... - - - .. ..- -.....................-... - - -...
- .. - ..-...... - - - .. .. - - - - - - ..
-........-.........-.........-.........-........-.........-
-
V
...
........
....
.
-
T
T − T0
T0 .............
-
βT =
...
-
.
......
-
Slika 14: Merjenje razteznosti kapljevin.
5.7
Umeritev termoˇclena
Poskrbimo za tesen dotik dveh razliˇcnih kovinskih žic. Ko tako spojimo dve žici
v elektriˇcni zakljuˇceni krog, nastaneta dva spoja. Na njih se pojavi kontaktna
napetost nasprotnega predznaka. V primeru, ko imata spoja razliˇcni temperaturi,
v tem krogu nastane termiˇcna gonilna napetost
UgT = U31 − U13 = a ( T2 − T1 ).
(70)
Sorazmernostna konstanta a je znaˇcilna za izbrani par kovin. Takšna kombinacija
žic je termoˇclen.
Termoˇclen je uporaben za merjenje temperaturnih razlik. Ko veˇc cˇ lenov vežemo v baterijo, pa je uporaben tudi kot vir napetosti. Termoˇclen je v bistvu
toplotni stroj, ki prejema od grelca toploto in jo pretvarja v delo elektriˇcnega vira
napetosti. Toploto prejema pri višji temperaturi T2 , oddaja pa jo pri nižji temperaturi T1 .
Postopek merjenja Izmeri napetost termoˇclena, ki ga sestaviš iz bakra in konstantana. Eno mesto potopi v ledeno mrzlo vodo, drugo vroˇco vodo. Vmesne
temperature dobiš z dolivanjem mrzle vode v posodo z vroˇco vodo. Napravi
graf U (∆T ) in izraˇcunaj koeficient a v empiriˇcni enaˇcbi.
.....
..
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- - ...-...........-.... - - - - - - -
... .......
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-..
.......
.. ..... ...
-
-
Slika 15: Umeritev termoˇclena
40
-
-
-
.....-....- - -.........- - - -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
..
-
-
-
-
-
-
-
.....
-
-
-
-
-
•- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
•- - - - - - - - -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
..
◦...........
.....◦
.....
.....
.
.
.
.....
.
.
.....
....
.
.
.
....
.
.
.
.....
.
.
.
....
....
....
.
.
baker......
....
....
.
.
.
...
.. ..
...
.
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
..... ...............
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.......
.
...
.
.
.
.
.
.
......
...
..
......
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
..
....
..
..
.
konstantan
.
...
.
.. ...
...
.
.
.
.
.
.....
..
..
...
.
.
.
.
.
.
- .. - - .-. - ...-. - - ... -.. - -... - - - ...- - ..- ... - - .. - - - .. - - .. .- - .. - - - - - .... - -..
- ... - ...- - - - -. - . ...- .-. - - - - - ...-. -...
- .. -... - - - - - ..- .. - - - - ... -..
..- . - - - - .......- - - - - - - .... .
.
-
-...
......
6
6.1
Merjenje elektriˇcnega toka, napetosti in upora
Elektroliza
Elektriˇcni tok je odvisen od nosilcev naboja in od snovi, po kateri teˇce. Nosilci
toka v kovinah so prevodniški elektroni. Pri toku v elektrolitih so nosilci pozitivni in negativni ioni, ki nastajajo, ko molekule kisline, baze ali soli v raztopini
disociirajo.
Pripravimo vodno raztopino modre galice (bakrov sulfat - CuSO4 .5H2 O), ki
disociira v pozitivne ione Cu++ in v negativne ione SO4−− . V elektrolit potopimo
dve plošˇcati in glede na njuno medsebojno razdaljo l dovolj veliki elektrodi. Ena
je iz bakra, druga iz aluminija. Na elektrodi pritisnemo zunanjo napetost tako, da
so pozitivni naboji na bakreni elektrodi in negativni naboji na aluminijevi. Izkaže
se, da se ioni v stacionarnem stanju v povpreˇcju gibljejo enakomerno: pozitivni
ioni s povpreˇcno hitrostjo v+ in negativni z v− . Ko je aluminijasta elektroda negativna, se na njej izloˇca baker (Cu++ + 2e0 → Cu). Na pozitivni bakrovi elektrodi
teˇce reakcija SO4−− + Cu → CuSO4 + 2e0 , baker se topi. Tako nastane tok skozi
elektrolit. Tok skozi raztopino je odvisen od koncentracije bakrovega sulfata.
Faradayev naboj Baker se nabira na aluminijasti elektrodi in elektroda se zato
debeli. Ko bakrov pozitivni ion negativni elektrodi odda naboj 2e0 , se izloˇci. Ko
se izloˇci kiloatom snovi (toliko, kolikor je atomska masa tega elementa) je stekel
naboj NA 2 e0 = 2 e F , kjer je e F = NA e0 = 9, 65 · 107 As. To je Faradayev naboj. Tako
izloˇci naboj e = I t maso
MIt
e
=
.
(71)
m=M
2e F
2 eF
S tehtanjem mase, merjenjem toka in cˇ asa lahko doloˇcimo Faradayev naboj.
Gibljivost ionov
Gostoto toka doloˇca enaˇcba
j≡
I
= z + e0 n + v + + z − e0 n − v − ,
S
(72)
kjer je ~v+ povpreˇcna hitrost pozitivnih nosilcev, ~v− pa povpreˇcna hitrosti negativnih nosilcev in z+ oz. z− število osnovnih nabojev. V našem primeru je
z+ = z− = 2. Tudi gostoti pozitivnih in negativnih ionov n+ in n− sta enaki
n+ = n− = n, saj je elektrolit navzven elektriˇcno nevtralen, iona Cu++ in SO4−−
pa imata nasprotno enaka naboja. Enaˇcba (72) se poenostavi
j = 2e0 n(v+ + v− ).
41
(73)
Vpeljimo gibljivost nosilcev nabojev: za pozitivne ione je to β+ = v+ /E in za
negativne β− = v− /E. Pri tem je E jakost elektriˇcnega polja v raztopini, E = U/l,
ˇ sta iona približno
U napetost na elektrodah in l razmik med elektrodama. Ce
enako velika, sta gibljivosti kar enaki, velja: β+ = β− = β. Tok v raztopini potem
zapišemo kot
U
(74)
I = jS = 2e0 n( βE + βE)S = 4e0 n β S ,
l
pri cˇ emer je S površina elektrod.
ˇ poznamo gostoto ionov, lahko izraˇcunamo gibljivost ionov, saj lahko preCe
vodnost izraˇcunamo iz toka in napetosti. Gostoto ionov n = N/V lahko dobimo
iz števila ionov in volumna raztopine. Ker je ms /Ms = N/NA , kjer je ms masa
in Ms molekularna masa bakrovega sulfata in NA Avogadrovo število, je gostota
ionov kar n = N/V = ms NA /Ms V. Razmerje med maso bakrovega sulfata
in maso vode, v katero smo vmešali bakrov sulfat, oznaˇcimo s κ. Potem velja
ms = κmv = κρv V in n = κρv NA /Ms . Upoštevamo še NA e0 = e F in dobimo
I=
4κρv e F SU
β.
Ms l
(75)
Postopek V kolikor raztopina bakrovega sulfata še ni pripravljena, jo pripraviš
tako, da v cˇ ašo naliješ izbrano koliˇcino destilirane vode V in ji primešaš znano
maso bakrovega sulfata m. Raztopino premešaš s stekleno žlico.
Kar se da natanˇcno stehtaj dobro oˇcišˇceno aluminijasto elektrodo in izmeri
plošˇcini S tistega dela elektrod, ki je potopljen v elektrolitu. Sestavi napravo kot
kaže slika 16.
Izberi tolikšno napetost, tako da bo stekel stalen tok, npr. 1, 0 A. Ker tok med elektrolizo pocˇ asi pada, ga sproti popravljaj, tako da bo ves
cˇ as konstanten – enak izbrani vrednosti na zacˇ etku. Aluminijevo elektrodo stehtaj v zaˇcetku
in po 5 ali 10 minutah in doloˇci maso izloˇcenega bakra. Pred tem jo osuši s fenom. Postopek nekajkrat ponovi.
Izmerjene mase izloˇcenega bakra in naboja e =
It vnesi v graf m(e) in iz naklona premice skozi
izmerjene toˇcke izraˇcunaj Faradayev naboj.
Iz podatkov za κ, S, U in razdalje med elektrodama l izraˇcunaj še gibljivost ionov.
42
.....................
+...........................
...
.
.. •
..........................
........................ A ................................•
...
...
..
...
....... ........
....... ........
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ug .......
...
...........
.
.
.
.
.
...
.
.
.
....
+ ..... ..... −
..
...
..................................
...........................•
................... V ..............•
...
... ....
.
.
....................
...
..
Cu
Al
. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
..
.
.....
Slika 16: Vezava pri elektrolizi.
6.2
Upor
Enaˇcbo (74) zapišemo v obliki
I = G U.
(76)
Sorazmernostna konstanta G doloˇca tok pri napetosti 1 V. To je prevodnost elektrolita. Odvisna je od snovi. Lahko jo tudi izrazimo z enaˇcbo
G=σ
S
,
l
(77)
kjer je σ specifiˇcna prevodnost. Izkaže se, da je (77) uporabna tudi za kovine. Še
raje zapišemo reciproˇcni koliˇcini, R = 1/G in $ = 1/σ. Tedaj imenujemo R upor
prevodnika in $ specifiˇcni upor prevodnika in velja
l
R=$ .
S
(78)
V tej enaˇcbi je l dolžina (pre)vodnika in S njegov presek. Specifiˇcni upor je snovna
konstanta. V obmoˇcju, kjer je konstanten in neodvisen od toka ali od temperature,
je zveza med tokom in napetostjo linearna. To je Ohmov zakon,
U = R I.
(79)
Skrbno moramo izbrati snov in delovne pogoje, da zakon velja. V veˇcini primerov
je zveza nelinearna, tedaj je I = I (U ) lahko zapletena funkcija.
Nelinearno zvezo med tokom in napetostjo najdemo v krogu z vakuumsko,
plinsko ali polprevodniško diodo. Pri slednji je ta odvisnost
I = I0 (ee0 U/kT − 1),
(80)
kjer je k Boltzmannova konstanta in T absolutna temperatura (v kelvinih).
..
.......
..........
.
..
..
..
...
.
...
...
.
.
.
...
....
...
.
.
.
..
....
....
......
.
.
.
.
.
.
.....
..........
..............
..........................................
I (U ) ..
0.5
I (U )
U
..............................
1
...
..
...
..
...
..
...
...
...
....
....
....
.....
.......
...........
.........
....
....
.......... U
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............................................
...................
...
.........
..
2
4
Slika 17: Karakteristiki I = I (U ) za polprevodniško diodo in za termistor.
43
ˇ lahko v neki vezavi presodimo, da tok, ki teˇce skozi
Še nekaj o merilnikih. Ce
porabnik, teˇce tudi skozi ampermeter, potem je izmerjeni tok tok skozi merjenec.
ˇ je na njeNapetost merimo z voltmetrom, ki kaže napetost med prikljuˇcki. Ce
govih prikljuˇckih napetosti vir, kaže delovno napetost med poloma vira, torej ne
gonilne napetosti, ki jo ima, ko skozi ne teˇce noben tok. Ko voltmeter prikljuˇcimo
vzporedno s porabnikom, pokaže napetost med prikljuˇckoma porabnika. Zato je
pomembno, da pri meritvi napetosti vedno opredelimo toˇcki, med katerima voltmeter meri napetost.
Potek meritve Izberi žico iz konstantna (bakra, železa) primerne dolžine in jo
vpni med dve stojali. Z njo, voltmetrom, ampermetrom in s spremenljivim virom
napetosti skleni elektriˇcni krog (glej sliko 18a). Ugotovi odvisnost toka od napetosti. Izberi primerne merilne obsege instrumentov. Napetost poveˇcuj, dokler se
žica ne zaˇcne raztezati.
................
...............
...
...
...
...
...
...
.............
.
.
.
.
...
.
...
..
...
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•...
•
... V ...
...
.................
...
...
..
.
.
.
.
. ............
..
.
.
.
.
...
..
.....
.
....
.... A .....
...
.............
.
...
...
................ U g
..
...
....
.
........................................................•
.. •
...........................................................
....
.
.
...............
. ...
................................................... .................................
. ..
...
...
..
...
...
...
...
.. ...... .........
.
.
.
.
•.................................. V ...........................•........
..........
...
...
...
..................
...
.
....
...
.... A .....
...
.............
....
Ug ....................+ .....
...
.............................•
.. ..............................
.... •.....
............
a)
...........
... .
.... .....
....................... ......................................... A ..............................
..
..... ....
...
...
........
...
...
...
...
...
...
...
...
.................
.
.
.
......................................
.
.....
•....
.... V .....................................•
...
.............
...
.
...
...
..
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
Ug ...... .......+
...
.
.
.........................................•
.. •
...........................................
.... ....
............
b)
Slika 18: a) Vezava žice v elektriˇcni krog. b) Dioda v prevodni in zaporni vezavi.
V krogu zamenjaj žico z žarnico (diodo, termistor) in ravnaj kot pri prejšnji
nalogi. Pazi, da pri žarnici in pri diodi ne prekoraˇciš predpisane napetosti. Dioda
ima pozitivni in negativni prikljuˇcek. Zato je pomembno, kako jo v elektriˇcni
krog vežemo (glej sliko 18b). Meri odvisnost toka od napetosti v prevodni smeri.
Napetost na diodi naj ne preseže 0, 85 V. Nariši graf odvisnosti U ( I ).
44
6.3
Zaporedna in vzporedna vezava porabnikov
Upornike ali porabnike lahko vežemo v elektriˇcnem krogu zaporedno, vzporedno ali na oba naˇcina. Pri zaporedni vezavi velja izrek o napetosti
U1n =
n −1
∑ Ui(i+1) = U12 + U23 + ... + U(n−1)n .
(81)
i =1
U1n je napetost med zunanjima prikljuˇckoma in je enaka gonilni napetosti vira
Ug . Izrek lahko pišemo bolj splošno, ko je v elektriˇcnem krogu veˇc, npr. m napetostnih virov. Tedaj velja
m
n −1
j =1
i =1
∑ Ugj = ∑ Ui(i+1) ,
(82)
kjer moramo pribiti, da je potrebno vsak cˇ len na levi strani enaˇcbe opremiti z
ustreznim predznakom (polariteto), izbranim glede na orientacijo posameznih
virov. To enaˇcbo (82) imenujemo Kirchhoffov izrek o napetostih in ga povemo takole:
v vsakem sklenjenem elektriˇcnem krogu je vsota vseh gonilnih napetosti enaka
vsoti vseh napetosti na porabnikih.
Ko upornike vežemo vzporedno, so v krogu pomembna razvejišˇca, kjer se
elektriˇcni tok cepi. Pri tem je tok, ki teˇce v razvejišˇce (Iv ), v skladu z zakonom o
ohranitvi naboja enak toku, ki iz razvejišˇca odteka (Ii ). Za razvejišˇca zato velja
Kirchhoffov izrek o tokovih
I = ∑ Iv,j = ∑ Ii,k .
(83)
j
k
Vsota pritekajoˇcih tokov Iv,j v razvejišˇce je enaka vsoti odtekajoˇcih tokov Ii,k . Skupni tok smo oznaˇcili z I.
................
...........•
...................
...............
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R
R
1
2
...
...
... ..
...
.
•.................................•.. ..... •.......•........•.. ..... •..............................•.......
.
...
..
....
.
.............•
... .......... •
..............
...
...
...
..................
... ......
.
.
.
...
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
..
...
................... V ..................
...
.... A ......
....
..
.
.
..
.
.
.
.
.
............
...........
...
...
...
................ U
..
.. ...
.. g
...
.
............................................•
.. •..............................................
....
.
................
.................
...............
...
...
...................
...
•
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
R1 ....•....... • •... ..... A ...........................
...
...............
.
...
...
...............
...
•..................
...
...
.
...
....
...
...
.
...
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2... .....
...
...
...
..
...............................
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•...
... V ...
...
.................
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...... ..... U g
........................................................... ..............................................................
...• • ..
...... .....
.......
a)
b)
Slika 19: a) Zaporedno vezani uporniki. b) Vzporedno vezani uporniki.
45
Posamezno napetost v (81) pri zaporedni vezavi upornikov lahko izrazimo po
Ohmovem zakonu: Ui(i+1) = Ri I, kjer smo upoštevali, da skozi vse upornike teˇce
isti tok. Pri tem smo z Ri oznaˇcili upor i-tega upornika v nizu zaporedno vezanih
upornikov. Skupna napetost je U1n = R I, kjer pomeni R nadomestni upor, ki
zamenja vse upore tako, da se skupni tok I ne spremeni. Velja
U1n =
n −1
n −1
i =1
i =1
∑ Ui(i+1) = ∑ Ri I = R I,
(84)
kar da izraz za nadomestni upor zaporedno vezanih upornikov
R=
∑ Rk .
(85)
k
Podobno velja za vzporedno vezane upornike, kot kaže slika 19b. Pri vzporedni vezavi upornikov lahko vsakega od tokov po Ohmovem zakonu nadomestimo z Ik = U/Rk . Podobno velja tudi za skupni tok: I = U/R, kjer pomeni R
takšen upor, ki pri isti napetosti U dopušˇca enak tok I. Zato se (83) glasi:
I=
U
∑ Ik = ∑ Rk
k
k
=
U
.
R
(86)
Nadomestni upor za vzporedno vezane upornike lahko izraˇcunamo po enaˇcbi
1
=
R
1
∑ Rk .
(87)
k
Pogosto sreˇcamo v vezju vzporedno vezane enake upornike R0 . Tedaj lahko
izraˇcunamo nadomestni upor za n tako vezanih upornikov kar po enaˇcbi
R=
R0
.
n
(88)
Potek meritve Z vezavo na sliki 19a s pretikanjem stikala izmeri najprej napetost na enem, nato še na drugem uporniku. Izmeri tudi skupen tok in skupno
napetost.
Z vezavo na sliki 19b s preklapljanjem stikala izmeri najprej tok v enem in
nato še v drugem uporniku. Izmeri tudi skupen tok in skupno napetost.
46
6.4
Kompenzacijsko merjenje upora
Posebno prikladna za merjenje upora je metoda z Wheatstonovim mostiˇckom
(glej sliko 20). Metoda sloni na primerjavi upora R x z znanim uporom R. Poišˇcemo takšno lego drsnika pri C’ na žici AB, da galvanometer ne kaže nobenega
toka. Tedaj med toˇckama C in C’ ni napetosti. Napetost U med toˇckama A in C’
in napetost na uporu R x sta po Kirchhoffovem pravilu o napetostih enaki, (skupna napetost v zakljuˇcenem krogu ACC’A je niˇc). Prav tako sta napetosti med
toˇckama C’ in B ter na uporu R iz enakega razloga enaki. Tudi tok I1 skozi R je po
Kirchhoffovem pravilu o tokovih v razvejišˇcih enak toku skozi R x . V žici pa teˇce
tok I2 . Iz teh pogojev in ob upoštevanju (78) za oba odseka žice l1 in l2 (l1 + l2 = l)
sklepamo, da je R x I1 = ($ l1 /S) I2 in R I1 = ($ l2 /S) I2 . Razmerje obeh enaˇcb da
Rx = R
l
l1
=R 1 .
l2
l − l1
(89)
Merjenje upora R x smo prevedli ob znanem uporu R na merjenje dolžin, kar
velja le, cˇ e galvanometer ne kaže toka. Zato tej metodi reˇcemo niˇcelna metoda.
R=
Uv
.
Ia
(90)
Potek merjenja Napravi vezavo po shemi s sliki 20.
C
Galvanometer ima veˇc obsegov. Najprej doloˇci niˇclo na galvanometru v
najveˇcjem obsegu, nato preklopi v najobˇcutljivejše obmoˇcje. V kolikor delaš
z obˇcutljivim galvanometrom z enim
samim obmoˇcjem, napajalno napetost
postopno veˇcaj do npr. 1 V in lego drsnika sproti prilagajaj poveˇcani napetosti. Ko meritev zakljuˇciš, izkljuˇci zunanjo napetost ali odklopi instrument
in šele nato vezje razdri.
..................
.............•
.......................
..................
...
...
...
...
...
...
.
...
...
.
Rx .......................
R
...
...
...
...
....
...
...
.
...
... G ..
...
...
....
.
.
...
..................
...
...
...
I1 .....
...
...
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
l1 .............
l2
...
...
.
.................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•.....
A •....
...
...
C’
...
...
...
...
...............
.
.
.
.
.
...
.
...
.. .
.
.....................................................
.......................................................
.
.
.
.
•
•
.
...
.
.
...... ..... U
...........
g
B
Slika 20: Wheatstonov most.
Metode z Wheatstonovim mostiˇcem so se v merilni tehniki zelo uveljavile ne
le v obmoˇcju enosmernega toka ampak tudi v izmeniˇcnih obmoˇcjih za merjenje
kapacitivnega in induktivnega upora.
47
6.5
Termistor
Upornik, pri katerem izkorišˇcamo odvisnost njegovega upora od temperature,
ˇ ga umerimo, ga lahko uporabimo za merjenje temperaimenujemo termistor. Ce
ture. Nekatere snovi imajo pozitivni temperaturni koeficient (PTC - Positive Temperature Coefficient), druge snovi pa negativnega (NTC). Termistorju PTC upor
s temperaturo raste. V regulacijski tehniki so zlasti primerni termistorji NTC, ki
pri izbrani temperaturi vklapljajo in izklapljajo elektriˇcne naprave.
ˇ želimo s termistorjem meriti
Ce
temperaturo, ga lahko vežemo
v mostiˇcek, kot kaže slika 21.
Spremembo temperature zaznavamo prek spremembe upora termistorja, ki jo lahko izmerimo z
mostiˇckom. Iz umeritvene krivulje preberemo spremenjeno temperaturo.
Upor termistorja raˇcunamo po
enaˇcbi za vezje s slike 21. Prepricˇ amo se lahko, da velja
..............•
...................
...
...
..
...
RT
.
.
.
.
.
.............
.
..... •
.
.
...
Ug
..... •
...
.................
...
...
R
...
..
................................
...................
...
...
...
R1
...
...
...
.
.................... R
...
0
...
...
...
...
...
l
...
.
0
.
R2
...
...
...
...
...
...
...
...................
...............•
.....
...
•
..
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
.
.
...
.
........................................................................
.
... G ..........................................................
.................
...................
...
...
.
Slika 21: Vezava termistorja v mostiˇc.
RT = R
R1 + R a
R2 + R b
(91)
Pri tem sta R1 in R2 upornika, dodana k drsni žici, ki ima upor R0 = 10,0 Ω
in dolžino l0 . Drsnik slednjega deli v dva dela: R a in Rb = R0 − R a ; prvemu
uporu ustreza dolžina žice l, drugemu l0 − l, tako da lahko zapišemo R a = R0 ll0
(l −l )
in Rb = R0 0l0 . Izberemo lahko naslednje upore: R1 = R2 = R0 . V tem primeru
se izraz za upor termistorja poenostavi:
RT =
l
l0
(l −l )
R0 0l0
R0 + R0
R0 +
=
l0 + l
.
2l0 − l
(92)
Upor R je izbran iz uporovne dekade tako, da pri Rl = 0 in pri zaˇcetni temperaturi galvanometer ne kaže toka.
Pred meritvijo izmeri z ohmmetrom upore vseh upornikov. Termistor postavi
v posodo z vodo. Z dolivanjem vroˇce vode poveˇcuj temperaturo. Izmerjene vrednosti upora vnesi v graf R T ( T ) in tako doloˇci umeritveno krivuljo za termistor.
Tako si sestavil uporovni termometer.
48
6.6
Temperaturna odvisnost upora
Odvisnost med tokom in napetostjo v kovinah izrazimo v makroskopskem svetu
z Ohmovim zakonom, I = U/R, v katerem so vse tri koliˇcine makroskopske,
napetost U med koncema vodnika, tok I v vodniku in njegov upor R. Z upoštevanjem pravil za vezavo upornikov lahko Ohmov zakon zapišemo v obliki
I = S U/$ l, kjer je $ je specifiˇcni upor, S presek vodnika in l njegova dolžina. Le
v izjemnih primerih velja, da je specifiˇcni upor konstanten.
Temperaturno odvisnost specifiˇcnega upora $ podaja empiriˇcna zveza
$( T ) = $0 (1 + α( T − T0 )).
(93)
Pri tem smo oznaˇcili z $0 specifiˇcni upor pri sobni temperaturi (T0 = 20o C) in z α
temperaturni koeficient upora, ki je definiran:
α=
1 d$
.
$0 dT
(94)
V velikem temperaturnem obsegu, npr. za baker, je zveza linearna, odpove pa pri
zelo nizkih in visokih temperaturah (približno: pod 150 K in nad 900K). Podobno
enaˇcbo kot je (93) lahko zapišemo tudi za upor.
49
7
7.1
Dinamika
Newtonov zakon – ultrazvok
Stalna sila, ki deluje na telo, povzroˇca, da se telo giblje enakomerno pospešeno.
Pospešek ~a ni odvisen zgolj od sile, ampak tudi od mase telesa m. Vse tri koliˇcine
povežemo v Newtonov zakon
~F = m ~a.
(95)
Dve ali veˇc teles sestavlja sistem. Vpeljemo masno središˇce z enaˇcbo ~ro =
m
∑ i~ri / ∑ mi . V Newtonovem zakonu
~F = m ~a∗
(96)
pomeni ~a∗ pospešek masnega središˇca, ~F pa je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo
na sistem.
...
....... ~
.. Fn
..
...
m
.
. .. .
.
.
.
....... . .•
•
...............
.
. .. .
.
.
.
................... ...
.. . .
..........................................................•
....
. . . . . . . . ................................................................................................. .......•
. . .... ......
...
.
. . ......
′
.......... ~
.... Fg
. . ........
•.
. . ......
•...... .. mo
.
.
...
. . .....
.
..
........ ~
.... Fg
...
.........................................................•
............
.....
...
.... .. .....
.. ..................................................................•
.. ..
.
...
.... ..............
.. ...
...
.
.......
.
...... ......... ...... ..... ..... ..... ..... . ... m
.. ....
..
.
..
.
... ...
.
.............................................................
.. ....
. .
.
.. ...
...... ...
... . .....
•
...... ..
.... ..
.........................................................................................................................................
•..... mo
...
........
... ~
Fg
Slika 22: a) Enakomerno pospešeno gibanje. b) Poskus na zraˇcni drˇci
Newtonov zakon preverimo, cˇ e ugotovimo ustrezne relacije med maso, silo in
pospeškom. Eno od teh treh koliˇcin držimo konstantno in spreminjamo drugo, da
se ob njej spreminja še tretja. Pri poskusu vleˇce vozilo z maso m stalna sila vrvice.
Vrvica je speljana prek kolesca, na kateri visi masa mo . Nanjo deluje navpiˇcno
navzdol sila teže: Fg = mo g, kjer je g težni pospešek. To je zunanja vleˇcna sila, ki
pospešuje sistem, kateremu pripadata obe telesi z masama m in mo . Newtonov
zakon za ta primer zapišemo takole:
Fg = (m + mo ) a.
(97)
Fg ni edina zunanja sila, saj na telo deluje še teža vozila, ki pa jo uravnoveša
nasprotno enaka sila podlage. Drugih sil v enaˇcbi nismo upoštevali, kar pomeni,
da silo trenja, zraˇcnega upora in podobno ne upoštevamo. Takšne pogoje lahko
do neke mere uresniˇcimo z vozilom na zraˇcni blazini. V tem primeru ni trenja,
zraˇcni upor pa je znatno manjši od vleˇcne sile.
50
Pri gibanju voziˇcka, ki ni na zraˇcni drˇci, moramo upoštevati še silo trenja. Ta
sila je sorazmerna sili na podlago. Pri vodoravni podlagi je premo sorazmerna
teži telesa Fg = m g, kjer je g težni pospešek (pospešek prostega pada). Tudi pri
kotalnem trenju je sila trenja sorazmerna teži. Velja:
Ftr = k tr Fg .
(98)
Sorazmernostna konstanta k tr je koeficient (kotalnega) trenja.
S spreminjanjem mase in vleˇcne sile ter raˇcunalniškim merjenjem pospeška
lahko preverimo premo sorazmerje med vleˇcno silo in pospeškom ter obratno
sorazmerje med maso sistema in pospeškom, kot to pove Newtonov zakon.
Mase voziˇcka in uteži doloˇci s tehtanjem.
Gibanje voziˇcka spremljamo z ultrazvoˇcnim slednikom. Raˇcunalnik pri tem
beleži odmik voziˇcka kot funkcijo cˇ asa. Pospešek doloˇcimo tako, da skozi izmerjene toˇcke prilagodimo parabolo: s(t) = A t2 + Bt + C = 21 at2 + v0 t + s0 , pri cˇ emer
je C = s0 odmik, B = v0 pa hitrost ob cˇ asu t = 0, in a = 2A iskani pospešek.
Predno sprožiš meritev, preveri, cˇ e je voziˇcek vsaj 40 cm oddaljen od ultrazvoˇcnega slednika. (To je najmanjša razdalja, ki jo slednik še lahko meri.) Sproži
meritev. Voziˇcek spusti šele, ko zaslišiš signal. Na raˇcunalniškem zaslonu se izˇ so v grafu motnje, meritev ponovi. Z miriše odmik voziˇcka kot funkcija cˇ asa. Ce
ško izberi podroˇcje, kjer je gibanje voziˇcka enakomerno pospešeno. (Parabola preide
v premico v podroˇcju, ko vleˇcna sila preneha, tj. ko se utež dodakne tal.) Lahko
izbereš tudi nekoliko ožje podroˇcje. Odˇcitaj izmerjen pospešek (2A) in njegovo
napako.
Meri z vsaj 5 razliˇcnimi vleˇcnimi silami. Nariši graf a( F ) pri konstantni masi
sistema ter graf a(m−1 ) pri izbrani vleˇcni sili. Iz grafa a( F ) doloˇci silo trenja in
koeficient kotalnega trenja.
51
7.2
Sila pri enakomernem kroženju
Pri enakomernem kroženju na telo deluje centripetalna sila, ki kaže proti središˇcu
kroženja. Velja
Fcp = macp = m ω 2 r = m 4π 2 ν2 r ,
(99)
pri cˇ emer je m masa telesa, ω krožna frekvenca, ν frekvenca in r razdalja od osi
do (težišˇca) telesa.
Z napravo na sliki 23 merimo silo in ugotavljamo zvezo med silo, maso telesa,
krožno frekvenco in radijem kroženja.
◦•
senzor •
za silo •
.............
..
...
.......
....
........... .............
..........
ω
optiˇcna
vrata
J
.........................
..
................ J
.............. ....
.
.
.
.
.
................................................................................................. ................................................................................................ ... .....
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |... .............. ...
...
. ..
...
..
..
.. .......................................................................................................................................................................................... ....
.
..
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.........................................................
J
r
motor
a)
....
.....
.....
.....
..
..
..
..
..
...
...
...
...
..
.
.
..
.
.
........................0
...
.
..........................
.
......
..
.
..
...
..
...
.
...
...
...
..
.
..
..
...
....
...
...
..
...
..
..
.
.
.
.
.
.......................................................................................................................................
...
...
....
....
..
..
.
.
..............................................................................................................
t
b)
Slika 23: a) Naprava za merjenje centripetalne sile. b) Raˇcunalniški prikaz: cˇ asovni potek
sile (polna cˇ rta) in cˇ asovni potek signala iz optiˇcnih vrat (ˇcrtkano).
Silo merimo s senzorjem, povezanim z raˇcunalnikom, tako kot je opisano pri
sklopu Merjenje sil in snovnih lastnosti pri predmetu Osnove merjenj. Senzor je
potrebno ponovno umeriti z utežmi.
Maso spreminjamo tako, da na voziˇcek dodajamo uteži.
Radij kroženja spreminjamo s pomikanjem senzorja za silo gor in dol.
Frekvenco raˇcunamo iz cˇ asa enega obrata, ν = 1/t0 , ki ga merimo z optiˇcnimi
vrati. Prekinitve žarka raˇcunalnik prikaže kot zaporedje kratkih signalov in iz
razmika med dvema sosednjima lahko doloˇcimo cˇ as t0 (glej sliko 23b).
52
7.3
Izrek o gibalni koliˇcini
Izrek o gibalni koliˇcini pove, da je sprememba gibalne koliˇcine enaka sunku sile:
m~v − m~v0 =
Z
~F (t) dt ,
(100)
pri cˇ emer je ~v konˇcna in ~v0 zaˇcetna hitrost telesa in m njegova masa.
Izrek preverimo s poskusom, pri katerem se voziˇcek odbije od stene. Merimo
zaˇcetno in konˇcno hitrost voziˇcka ter cˇ asovni potek sunka sile, s katero deluje
stena na voziˇcek. Iz znane mase voziˇcka izraˇcunamo spremembo gibalne kolicˇ ine, iz cˇ asovnega poteka sile, ki jo beleži raˇcunalnik, pa integral sile po cˇ asu.
Senzor za silo daje na izhodu napetost, ki jo pretvorimo v silo s postopkom,
opisanim pri vaji Merjenje sil z raˇcunalnikom pri Osnovah merjenj. Zvezo med
napetostjo in silo zapišemo v obliki F = k (U − U0 ), pri cˇ emer je U0 napetost, ki
jo daje neobremenjen senzor.
Potek poskusa kaže slika 24a. Voziˇcek poženemo proti senzorju. Ko potuje
skozi optiˇcna vrata, plošˇcica z dolžino d na voziˇcku prekine signal v vratih. Racˇ unalnik zabeleži zaˇcetek prekinitve (ˇcas t1 na sliki 24b) in cˇ as konca prekinitve
(t2 ). Iz razlike cˇ asov in podatka d izraˇcunamo zaˇcetno hitrost voziˇcka. Konˇcno
hitrost izraˇcunamo ob drugi prekinitvi (med cˇ asoma t5 in t6 ); pri tem moramo
upoštevati, da se sedaj voziˇcek giblje v nasprotno smer glede na prvotno.
senzor
za silo
optiˇcna
vrata
..................
.............................................................................
............
..
..
.
.
..
..
.
.
.
..
..
..
.
.
.
..
..
.
.
..
.
.
.
..
..
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
...... ......
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
..
...
.
.
.
.
.
...
..
..
.
.
.
.
..
..
..
.
..
..
.
...
..
.
...
.
.
..
...
..
..
..
..
..
...
..
..
.
.
.
.
.
.
..................................................................................
................................................................................................................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..................................
..............................
d
........................................................................
•
.......................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
.....................................
......................................
J
J
t1
a)
t2
t3
t4
t5
t6
b)
Slika 24: a) Naprava za preverjanje izreka o gibalni koliˇcini. b) Raˇcunalniški prikaz:
cˇ asovni potek sile (polna cˇ rta) in cˇ asovni potek signala v optiˇcnih vratih (ˇcrtkano).
Ob cˇ asu t3 se voziˇcek zaleti v senzor za silo, ob cˇ asu t4 se voziˇcek odlepi od
senzorja. Raˇcunalnik beleži cˇ asovni potek napetosti na senzorju in lahko izraˇcuna
cˇ asovni integral napetosti med zelenim in vijoliˇcnim kazalcem (navpiˇcno cˇ rto), ki
ju z miško postavimo k cˇ asoma t3 in t4 . Tako doloˇcen integral je veˇcji od prave
vrednosti, zaradi premaknjene niˇcle senzorja (osenˇceno podroˇcje na sliki 24b).
Pomagamo si lahko tako, da od prikazane vrednosti odštejemo produkt U0 (t4 −
53
t3 ). Enostavneje pa to naredimo tako, da pokus ponovno sprožimo, voziˇcka pa ne
poženemo, temveˇc s prstom prekinemo signal v optiˇcnih vratih. V tem primeru
ˇ oba kazalca, ki doloˇcata integracijski meji,
kaže raˇcunalnik le napetost U0 . Ce
pustimo pri cˇ asih t3 in t4 , nam sedaj raˇcunalnik prikaže integral napetosti U0 , ki
ga odštejemo od izraˇcunanega integrala pri poskusu z voziˇckom. Sunek sile je
torej enak
Z
F (t) dt = k
Z t4
t3
U (t) dt −
Z t4
t3
U0 dt
,
(101)
kjer je k umeritvena konstanta senzorja za silo.
Poskus ponovi vsaj petkrat. Za vsako ponovitev izraˇcunaj relativno odstopanje
med levo in desno stranjo v (100).
54
7.4
Balistiˇcno nihalo
Hitrost izstrelka v0 merimo z balistiˇcnim nihalom.
Pri poskusu se izstrelek (kroglica) zapiˇci v leseno klado in obtiˇci v njej. Trk
je zelo kratek, zato je vsota zunanjih sil med trkom enaka 0 in ohranja se skupna
gibalna koliˇcina izstrelka in klade:
mv0 = (m + M)v ,
(102)
cˇ e je m masa izstrelka, M masa klade in v skupna hitrost klade in izstrelka takoj
po trku.
Klada z izstrelkom se odkloni in pri tem dvigne za višinsko razliko h. V tem
trenutku je njena hitrost enaka 0. Velja izrek o ohranitvi vsote kinetiˇcne in potencialne energije; zaˇcetna kinetiˇcna energija se pretvori v potencialno:
1
2 (m +
M)v2 = (m + M) gh .
(103)
Višino h izrazimo s kotom ϕ, za katerega se je nihalo odmaknilo, in razdaljo l
od osi do težišˇca sistema. Iz slike 25 razberemo l − h = l cos ϕ in od tod h =
l − l cos ϕ = l (1 − cos ϕ). Upoštevamo trigonometrijsko zvezo za poloviˇcne kote
ˇ je kot dovolj majhen,
sin2 ( 21 ϕ) = 12 (1 − cos ϕ) in dobimo h = 2l sin2 ( 21 ϕ). Ce
lahko sinus kota nadomestimo s kotom (v radianih). Dobimo h = 12 l ϕ2 in iz (103)
sledi
p
m+M p
v = gl ϕ
ter
v0 =
gl ϕ .
(104)
m
◦..... .
...
...
.
...
..
...
..
...
..
...
...
◦..... .
...
.
ϕ ... ...
.
...
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
◦....
•.............................................................
~v0
◦
•
l−h
...
..
...l
...
..
...
...
..
...
...
.
.....
.
.
.
.
.. .
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
◦ ...................
................................................................
◦
...
..
◦....
h
.
.........
...
...
....
....
....
....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.......
.
.......
.....
...
.
.......
~v
Slika 25: Merjenje hitrosti izstrelka z balistiˇcnim nihalom
55
7.5
Newtonov zakon za vrtenje
Merjenje vztrajnostnega momenta izvedemo z napravo na sliki 26, ki ima nosilcˇ ek, vrtljiv okrog svoje osi skoraj brez trenja, za kar poskrbi kvaliteten ležaj, in
obroˇc – kolesce z radijem r, okrog katerega navijemo nikjer pritrjeno vrvico, potegnjeno prek drugega kolesca (škripca). Na vrvico obesimo utež, ki povzroˇci
stalno silo mg in stalen navor mgr, kjer je roˇcica r radij kolesca. Newtonov zakon za vrtenje togega telesa okrog stalne osi, ki ga poganja padajoˇca utež, pove,
da stalen navor povzroˇci enakomerno pospešeno vrtenje s kotnim pospeškom α:
J α = M, kjer je J vztrajnostni moment telesa. Sila, ki povzroˇci navor, je nasprotno
enaka sili vrvice na utež, na katero deluje tudi teža uteži mg. Ta sila pa se pojavi
tudi v Newtonovem zakonu za padajoˇco utež: ma = mg − F in F = m( g − a).
Zato je J α = m( g − a)r. Obodni pospešek a = rα krožeˇcega se telesa je enak
pospešku mase uteži. Velja:
J α = m( g − r α) r
..........................
.. ..............
.. ..
.. ..
.. ..
.. ..............
...
..
..
....
..
..
..
.........................
in
J=
mgr
− mr2 .
α
(105)
......................................
......
.......
....
.....
.
.
...
...
...
...
..
..
..
..
..
..
J
...
..
.
...
.
.
...
..
....
...
.....
....
.
.
.
.......
.
.............. ..................
.......
..............................................................................................................................
.......
.....................
...
....
.....
...
...
....
..
...
.
•
vrata
....
...
.
.
.
.....
.
.
.
.
........................ ....
...
..
...................... ............................................................................................................ ..................................................................................... ............ ....
.
.
.
... .. ... ...
... ..
... ..
.........
......... .... .
.........
....
... ... m
... ....
.
.......
...
~
okrogla ploˇscˇ a ..............................................................
s pasovi
r
Fg
Slika 26: Naprava za merjenje vztrajnostnega momenta.
Na kolescu je tudi prozorna okrogla plošˇca, na kateri so vrisani v obliki zvezde
izmenjajoˇci se prozorni in neprozorni pasovi v razmaku 15o , ki kroži s celotno
napravo vred. Ob robu omenjene plošˇce so svetlobna vrata, prikljuˇcena na raˇcunalnik, ki registrirajo vsako prekinitev svetlobnega snopa ob prehodu iz prozornega v neprozorni pas. Raˇcunalnik beleži cˇ asovni potek kota zavrtitve. Merjenje
56
kotnega pospeška poteka tako kot pri vaji Enakomerno pospešeno vrtenje – optiˇcna
vrata pri Osnovah merjenj: kotno hitrost raˇcunamo kot ω (ti ) = ∆ϕ/(ti+1 − ti−1 )
ˇ bele(∆ϕ = 30◦ ), kotni pospešek doloˇcimo iz naklona premice v grafu ω (t). Ce
žimo vsako drugo prekinitev, za ∆ϕ vzamemo 60◦ .
Merimo najprej brez dodatne mase in vse ustrezne koliˇcine oznaˇcimo z ’. Kotni pospešek sistema brez dodatne mase je α0 = ∆ω 0 /∆t0 . Utež m0 enakomerno
pospešuje celoten sistem z vztrajnostnim momentom J 0 : J 0 α0 = m0 ( g − α0 r )r.
Enaˇcba omogoˇca izraˇcun J 0 .
Ko dodamo maso (npr. kroglo, ki ima vztrajnostni moment J = 2MR2 /5),
valj (J = MR2 /2) ali obroˇc (J = MR2 )), pospešujemo z nekoliko veˇcjo maso
m. Vztrajnostni moment krogle ali drugega telesa izraˇcunamo po enaˇcbi J =
mgr/α − J 0 − mr2 . Primerjamo ga z izraˇcunano vrednostjo iz njegove mase in
radija.
57
7.6
Ohranitev vrtilne koliˇcine
Trk obroˇcev Eksperimentalno napravo sestavljata dva obroˇca (kolesi), ki se prosto vrtita okoli skupne osi. Spodnje kolo zavrtimo, zgornje kolo pa na zaˇcetku
ˇ je sunek navora trenja
pridržimo in nato spustimo, da se sprime s spodnjim. Ce
v ležaju zanemarljivo majhen, se pri trku ohrani vrtilna koliˇcina sistema:
J1 ω1 = ( J1 + J2 )ω12 .
(106)
Pri tem z J1 oznaˇcimo vztrajnostni moment spodnjega kolesa, z J2 zgornjega, z
ω1 kotno hitrost spodnjega kolesa in z ω12 skupno kotno hitrost obeh koles po
trku. Z raˇcunalnikom, povezanim z optiˇcnimi vrati, sledimo spreminjanju kotne
hitrosti spodnjega kolesa.
Poskus pokaže, da pri nekoliko bolj natanˇcni analizi ne smemo zanemariti
trenja v ležaju. V tem primeru ohranitev vrtilne koliˇcine velja le v primeru, cˇ e je
cˇ as trka zanemarljivo kratek.
Potek merjene kotne hitrosti
ˇ
shematsko kaže slika 27. Cas
trka ni zanemarljiv in je kotna hitrost v trenutku, ko se
obroˇca sprimeta, manjša kot bi
bila v primeru, cˇ e bi bil trk zelo
kratek. Pri preverjanju izreka
(106) zato skupno kotno hitrost ω12 ekstrapoliramo k cˇ asu
t1 , ki ustreza zaˇcetku trka, tako
kot je s cˇ rtkano daljico prikazano na sliki 27.
......
ω1 (t1 ) ......................................................◦.......
ω12 (t1 )
....
...
...
....
...
...
...
.
◦.. .. ......................................................................................................
t1
t2
ˇ
Slika 27: Casovni
potek kotne hitrosti spodnjega obroˇca.
Meritev napravi tako, da z eno roko zavrtiš spodnje kolo, z drugo pa pridržiš
zgornje kolo. Razdalja med kolesoma naj bo pri tem cˇ im manjša. Na raˇcunalniku
sprožimo zaˇcetek meritve, hitro preštejemo do tri in spustimo zgornje kolo, da
se sprime s spodnjim. Na raˇcunalniku nastavimo prikaz hitrosti in dobljeni graf
natisnemo.
Doloˇci razmerje kotnih hitrosti in ugotovi, za koliko se razlikuje od teoretiˇcnega. Kolesi imata enaka vztrajnostna momenta (J2 = J1 ), zato je teoretiˇcno razmerje kotnih hitrosti ω1 /ω12 = 2.
58
Gibanje po elipsi Posodico s kapljajoˇco obarvano tekoˇcino suni tako, da se giblje projekcija njenega gibanja na vodoravno podlago po elipsi podobni krivulji.
ˇ se telo giblje po elipsi, je sila, ki deluje nanj, centralna: usmerjena k srediCe
šˇcu. Zato je sunek navora ves cˇ as 0 in vrtilna koliˇcina se ohranja. Z razdaljo
masne toˇcke do središˇca r se spreminja tudi obodna hitrost. Iz slike 28 razberemo, da je plošˇcina trikotniku podobnega eliptiˇcnega izseka enaka S = 12 r ∆r 0 =
1
1
◦
cinsko hitrost (spremembo plošine tri2 r ∆r sin(180 − α ) = 2 r ∆r sin α. Za plošˇ
1
kotnika s cˇ asom) velja ∆S/∆t = 2 r (∆r/∆t) sin α = 12 r v sin α. Iz zveze za vrtilno
koliˇcino toˇckastega telesa ~Γ = ~r × m~v sledi zveza med velikostjo vrtilne koliˇcine
in plošˇcinsko hitrostjo: Γ = mrv sin α = 2m ∆S/∆t. Plošˇcina, ki jo opiše ~r v cˇ asu
1
ˇ pokažemo, da
Γ∆t. Ce
∆t, je torej premo sorazmerna z vrtilno koliˇcino ∆S = 2m
so plošˇcine trikotnikov, ki pripadajo enakim cˇ asovnim intervalom, enake, dokažemo, da se vrtilna koliˇcina ohranja.
Na papirju oznaˇci središˇce elipse in ga poveži z odtisi kapljic, ki padajo v enakomernih cˇ asovnih intervalih. Izmeri stranico in višino v tako nastalih trikotnikih
in izraˇcunaj plošˇcino. Ugotovi, ali so te zares enake.
.◦.
...
.....
..
...
.....
..
...
.....
..........................
..
....................
......
.
............
...
......... . ...... ...... ..... ..... ..... . ..•....
.
.
.
.
.
.....
.
. ... .....
.
.
.
.
.. ...
.
.
.
.
.... ..
.... ............•........... .... ..
•. .
.....
... ......... ..... • ... ..
.
....
.
........................ ....
.
.
...
.
.
................. ....
.
... .
...
.. ..
... .
...........
...
...... ..
.
.
.......
.
.
.
..
•.. .
..... .
..
.
... ..
.. ..
..... ..
...
.. .
..... .....
... ...............
.....
..
... ..
..•....
•. ... ...
..........• .....
... ......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
........... . .
•... .......................................................... . ..... ...
.....
....
..... ...... ..... ..... ..... .....
.......................................................................
.......................
..............
...............
...........
..........
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
......
..
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
....
.. ..
...
..
..
...
....
.
.
...
..
.
..•
...
.
.
.
.
.
..
.
.
. ... ..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
. ... ..
.
.
...
.
.
.
.
.
.
. .
.
....
....
...
.....
~.r.................. ........ ......
....
......
.....
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
′ ...
... ..
.......
....
.......
........ .................. .....∆r
.......
........
.
............................... ..... ..... ......... .....
...........
.
.
.
.
.....•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . ................................................
.....
....
....... .............α
• . ....... .•...............................................
...........
........
.......
∆r
Slika 28: Ohranitev vrtilne koliˇcine pri gibanju po elipsi.
59
7.7
Ohranitev vrtilne koliˇcine – uteži
Izrek o ohranitvi vrtilne koliˇcine velja tudi v primeru, ko se je ob nekem dogodku
spremenil položaj mas v vrteˇcem se sistemu in pri tem ni deloval zunanji navor:
J2 ω2 = J1 ω1 .
(107)
Pri tem pomeni J1 vztrajnosti moment telesa pred dogodkom, J2 pa vztrajnosti
ˇ se poveˇca vztrajnostni moment sistema zaradi
moment telesa po dogodku. Ce
prerazporeditve njegovih delov, se kotna hitrost vrteˇcega se sistema zmanjša. Poskus, ki ga bomo napravili, je podoben primeru, ko drsalec na ledu pri izvedbi
piruete, premakno roke iz priroˇcenja v odroˇcenje.
Poskus izvedemo z napravo na sliki 29. K napravi sodi tudi kovinska palica z
dolžino okrog 50 cm. Pritrjena je simetriˇcno in pravokotno na os vrtenja. Nanjo
nasadimo simetriˇcno na os dve enaki, debelemu kovancu podobni preluknjani
valjasti telesi. Obe dodatni valjasti telesi, vsako z maso m, pritrdimo med seboj z
nitjo tako, da ohranjata svoj položaj tudi med vrtenjem.
...............
............. ...... ..... .........................
.............
.. ....
... ...
... ....
... ...
.. ..
a ... ....
....................................................
.................................................................................................................................b
r
vrata
........................
.
... .................
.. ..
.. ..
.. ..
.. ...............
..
..
..
...
..
.
..
.........................
okrogla ploˇscˇ a
s pasovi
r
............................................................................................................................................................
.. ..... ...
...................................
.................
r′
..................... ........................................................................................................... ........................................................................................................
... ..
... ..
...
.........
.........
.
Slika 29: Naprava za preverjanje ohranitve vrtilne koliˇcine.
Vztrajnostni moment naprave brez valjastih teles oznaˇcimo z J 0 . Ko dodamo
valjasti telesi, se vztrajnostni moment poveˇca za 2mr2a , kjer je r a razdalja valjastega
ˇ privzamemo, da valjasti telesi lahko obravnatelesa z maso m od osi vrtenja. Ce
vamo kot toˇckasti telesi, ki sta za roˇcico r a oddaljeni od osi kroženja, je skupni
vztrajnostni moment naprave enak
Ja = J 0 + 2mr2a .
(108)
Z moˇcnim potegom vrvice, ki po odvitju odpade, pospešimo napravo tako, da
kroži z masama v položaju a s stalno kotno hitrostjo ωa in vrtilno koliˇcino
Γ a = Ja ω a .
60
(109)
ˇ nitko, ki povezuje obe valjasti telesi, prežgemo, obe telesi odletita v konˇcni
Ce
položaj b (da ne zletita iz palice, poskrbita dva vijaka na kovinski palici). Po
dogodku se vztrajnostni moment zveˇca zaradi poveˇcane roˇcice rb in je sedaj Jb =
J 0 + mrb2 . Nova vrtilna koliˇcina z masama v položaju b pa je
Γb = Jb ωb .
(110)
Izrek o ohranitvi vrtilne koliˇcine velja za sisteme, ko se je spremenil položaj dodanih mas po dogodku in pri tem ni deloval zunanji navor, zato
Ja ωa = Jb ωb
ali
ωa
J
= b.
ωb
Ja
(111)
Kotna hitrost se je zmanjšala na raˇcun poveˇcanega vztrajnostnega momenta sistema.
Raˇcunalnik omogoˇca, da zabeležimo cˇ asovno odvisnost kota. Iz grafa cˇ asovne
odvisnosti kotne hitrosti, kjer je zabeležen pojav preskoka dodanih mas iz položaja a v položaj b, odˇcitamo obe kotni hitrosti (v grafu sta to dva platoja). Ker
smo oba dodatna vztrajnostna momenta Ja in Jb izmerili ali izraˇcunali, lahko preverimo veljavnost izreka o ohranitvi vrtilne koliˇcine, tako da izraˇcunamo in primerjamo razmerji kotnih hitrosti in vztrajnostnih momentov v enaˇcbi (111).
Vztrajnostna momenta Ja in Jb vrteˇcega sistema lahko doloˇcimo s postopkom,
opisanim pri nalogi Newtonov zakon za vrtenje, in izraˇcunamo z enaˇcbo (105). (Zacˇ etni vztrajnostni moment seveda izmerimo predno prežgemo vrvico.)
Smiselno je, da izraˇcunamo še rotacijski energiji sistema pred dogodkom Wra =
Ja ωa2 /2 in po dogodku Wrb = Jb ωb2 /2. S tem pokažemo, da se energija v nasprotju
z vrtilno koliˇcino ne ohranja.
61
7.8
Precesija
Na vodoravni gredi na sliki 30a) je na desni strani velika krožna plošˇca (valj), ki
je z ležajem povezana z gredjo tako, da se lahko prosto vrti okoli gredi. Gred
s plošˇco je prosto vrtliva okoli navpiˇcne osi in okoli vodoravne osi, pravokotne
na gred. V vodoravnem položaju gred uravnovesimo z dvem utežema (na levi
strani slike). Krožno plošˇco zavrtimo s pomoˇcjo vrvice, ovite okoli valja ob plošˇci. Plošˇca ima vrtilno koliˇcino z velikostjo Γ = Jω, ki kaže v smeri osi vrtenja
(slika 30b). Pri tem je J vztrajnostni moment plošˇce in ω njena kotna hitrost.
Na desno krajišˇce v razdalji d od vodoravne osi postavimo utež z maso m. Na
sistem sedaj deluje navor z velikostjo mgd v smeri, pravokotni na roˇcico d in težo
uteži (v list na sliki a). Poleg vrtenja velike krožne plošˇce s frekvenco ω okoli
gredi, se celoten sistem sedaj vrti še s krožno frekvenco ω p okoli navpiˇcne osi,
kot kaže slika 30b. Pri tem se spreminja smer vrtilne koliˇcine, njena velikost pa
ˇ vzamemo dovolj
ostaja konstantna. V cˇ asu t se sistem zavrti za kot ϕ = ω p t. Ce
kratek cˇ as, je kot ϕ majhen in v trikotniku, ki ga tvorita vektorja ~Γ in ~Γ0 , velja
∆Γ = 2Γ sin 21 ϕ ≈ Γϕ. Po Newtonovem zakonu je sprememba vrtilne koliˇcine
enaka sunku navora:
∆Γ = Mt .
(112)
Na levi vstavimo ∆Γ = Γϕ = Jω ω p t, na desni pa Mt = mgd t in dobimo
ωp =
mgd
M
=
.
Γ
Jω
(113)
d
........................................................................................................................
..............................................
.............................................
.................
.....................................................................
............
....................................................................
................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ......................................................
.... .....
......... .
. .......................................................
....
...
.......................
.. .
....................................................................................................... .................................................
..
.
.....................
...................................
.
.
.
.
................................................. .......................................................................................................................................... N
.......................................................................................................
......................................... .......................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
... ..............................................................
............................................................... ......................................
...........................
...
...
......................
..
....
...
.....................................................................................
.......
...
.................
..................................
.
.
...
.
.
... ..
.................................................
..
.... ...
..............................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
..... ...
.....................................................................
.
.
.
.
.
.
.
........................................
..... ...
. .
.... ...
.
.... ..
... ...
.......
r
m~g
...
..........................................
............................
.
.....................................
..............
............................. ..................... .................... ......... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........................ ............................... ................
...... ...... ........................ .................
... ....
...............................................................................................................................................................................................................................................
... ......
... ..............................................................................................
... ..
.
.........................................
.
.
.
... ...
.
.
p ..................................................................................................................
... ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
.
........... .....
.
.
.
........................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...................................................................................................... .......................................................
.
.
...... ...
........
... ..................
..................
...
...........
..........................................ϕ
................ . ...............................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................•
.
.
.
.
.
.
.............................. ................................................................................ ......................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
........
.... ............................................................................................ ........................................................ ...........................................
...... ............ ....
......................................................... ...................................
......................................................... ....................................... ...............................................
′
........................................................................................... .........................
.................................... ........
.
.
.
.
.
.
.
... .
...... .. ..
...........................................
.........................................................................................................................
.....................
.
.
.
.
.....................................
............................................ .............
............
.
.
...................................................................
...............................................................................
.................................................
... ............................
.
..
...........................
~Γ
~
M
∆~Γ
ω
~
M
~Γ
a)
b)
Slika 30: a) Pogled s strani b) Pogled od zgoraj
Kotno hitrost ω meri s stroboskopom, kotno hitrost precesije ω p pa s štoparico,
62
tako da meriš cˇ as enega precesijskega obrata. (Podatki: masa uteži, ki povzroˇca
navor, m = 150 g, roˇcica d = (188 ± 1) mm.)
Vztrajnostni moment J doloˇci z merjenjem kotnega pospeška pri vrtenju z
znanim navorom.
V tem delu vaje gred uˇcvrsti s prižemo, okoli valja ob krožni plošˇci navij vrvico in napelji preko škripca na robu mize. Na prosto krajišˇce obesi utež z maso
m0 , tako da se zaˇcne plošˇca enakomerno pospešeno vrteti s kotnim pospeškom
α = M0 /J = m0 ( g − a)r/J, pri cˇ emer je r polmer valja, okoli katerega je navita
vrvica. Kotni pospešek α je povezan s pospeškom a, s katerim se spušˇca utež,
kot a = rα. Pospešek a doloˇcimo tako, da izmerimo višino h, za katero se utež
spusti v cˇ asu t, merjenim od zaˇcetka gibanja uteži: a = 2h/t2 . Iskani vztrajnostni
moment je potem enak
m 0 ( g − a )r
= m0 r2
J=
α
63
gt2
−1
2h
.
(114)
8
8.1
Elastomehanika in termodinamika
Upogib palice
Pri upogibu palice, vpete med dva nosilca v razmiku l (slika 31), se deli palice na
notranji strani loka skrˇcijo, na zunanji pa raztegnejo. Velikost skrˇcka in raztega
je odvisna od elastiˇcnega modula E, geometrijskih razsežnosti palice in sile F, ki
upogiba palico. Za odmik toˇcke na sredini med nosilcema od prvotne lege lahko
izpeljemo zvezo
F l3
u=
(115)
48EJ
pri cˇ emer je J odvisen od preˇcnega preseka palice. Za kvadraten profil velja J =
a4 /12, pri cˇ emer je a stranica kvadrata, za okrogel profil pa J = πd4 /64, d je
premer palice.
l
....
....
...................... ......................................................................................................................................................................................................................... .....................
....... .......
.. ........
.
.
.
.
.
....... .......
.
.
....... ........
...... .....
...
........ ..........
......... ........
.......
......... ..............
..........................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
........... .....................
.
.
................
.
..................... ..........
............................................................................................................................
△
u
...
...
.
........ F
..
△
Slika 31: Upogib palice
Potek Palico obremeni s predutežjo (200 g do 300 g) in merilno urico (skala je v
stotinkah milimetra) nastavi na 0. Palico obremenjuj (in nato tudi razbremenjuj)
z utežmi in odvisnost upogiba od sile vnesi v graf u( F ). Skozi izmerke potegni
premico
l3
.
(116)
u = kF ,
k=
4Ea4
in iz naklona izraˇcunaj E.
64
8.2
Zasuk palice
Pri zasuku palice (slika 32b) so deli palice obremenjeni s strižno napetostjo. Strižna deformacija je prikazana na sliki 32a. Velikost deformacije meri kot ϑ:
F
1
τ,
τ= .
(117)
G
S
Tu je τ strižna napetost in G strižni modul snovi. Strižni modul je povezan s
elastiˇcnim modulom kot
E
G=
,
(118)
2(1 + µ )
pri cˇ emer je µ Poissonovo število. Pri obremenitvi palice na nateg je Poissonovo
število doloˇceno kot razmerje relativnega skrˇcka palice ∆a/a v preˇcni smeri in
relativnega raztezka palice v vzdolžni smeri ∆l/l:
ϑ=
µ=
∆a/a
∆l/l
(119)
in lahko zavzame vrednosti med 0 in 0,5.
l
S
F
............................................................................................................................................................
........... .
.. .
..... ................................................................................ ...
.
...
..
..
..
.
.
..
.
..
..
..
.
...
.
..
..
..
..
..
..
...
..
..
...
...
...
...
.
.
.
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
.
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
..
.
.
.
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... .........
. .
. .
...............................................................................................
...
..........
...........
ϑ
............................
.....
......
....
....
.
.
....
...
...
.. ..
...
..
...
..
..
...
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..........
.
. ..
.
.
..
...... .........
......
...
...
...
...
.. ..
...
.. .
..
..
...
.
.
.
...
..
...
....
...
...
...
.
.
...
...
..
...
....
...
..
.
..
..
.
.
.
.
..
.
.. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ..
.
.
.
.
.
.
.
.......................................... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
...
.
.
.. .
.
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
. ...................
... ...
...
.
..
...
... . ... 0 ..................................................
...
..
...
................................... ..
...
..
.
.
.
.
...
...
..
.
... ..
..
....
...
...
..
... ...
....... ...........
... ....... ........... .....
.
.....
... .....
...
........
..
...
..
..
...
.
....
..
....
...
.....
....
.
.
.
.
.......
.
........................
l
r ϕ
ϑ
r
a)
b)
Slika 32: Zasuk palice
Pri zasuku je palica obremenjena z navorom M = rF, r je razdalja od osi do
prijemališˇca sile uteži. Za zasuk palice ϕ (glej sliko 32b) velja
ϕ=M
2l
2lr
=F
,
4
Gπr0
Gπr04
(120)
kjer je l dolžina palice med toˇckama, v katerih je palica vpeta, in r0 polmer palice.
65
Potek Podobno kot pri upogibu palice meri odvisnost zasuka od sile in iz grafa
ϕ( F ) doloˇci naklon premice skozi izmerjene toˇcke in od tod izraˇcunaj G.
Iz izmerjenih G in E (E si izmeril pri prejšnji nalogi) izraˇcunaj še Poissonovo
število (119) za razliˇcne snovi (jeklo, medenina, aluminij . . . ).
66
8.3
Gay-Lussacov zakon
Za izobarne spremembe idealnega plina velja Gay-Lussacova enaˇcba:
V
Vo
=
T
To
pri p = konst.
(121)
Po logaritmiranju in diferenciranju dobimo dV/V = dT/T. Iz te zveze najdemo
temperaturni razteznosti koeficient za pline:
1 V
1
1 dV
(122)
=
= .
β=
V dT p
V T
T
Enaˇcbo (121) preverjamo z napravo na sliki 33.
Merjenec je zrak z dolžino l, zaprt v cevi s
presekom S z živosrebrnim stebriˇckom z dolžino h. Cev in termometer sta vtaknjena v posodo z vodo, ki jo segrevamo. Merjenec ima
pri temperaturi T prostornino V = S l in tlak
p = p0 + ph , kjer je p0 zunanji zraˇcni tlak in
ph = $ g h. Med merjenjem se tlak ne spreminja. Enaˇcbo (121) lahko zapišemo kot
..............
T1
T0
...
........
∆l
........
...
..
........
...
.....
.
∆T
...
........
....
.
p + ̺gh
-
-
ali
-
l
l
= 0 ,
T
T0
-
-
-
-
.............-.
-... ................. ... ............-
-
-
-
-
-
-
pri cˇ emer je l0 dolžina stolpca zraka pri zaˇcetni
temperaturi T0 .
-
-
-
-
-
-
-
-
...... -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Potek Pri segrevanju zapisuj temperature v
korakih ∆T ≈ 3 – 5 K in meri dolžino stolpca l
(ne pozabi prišteti l0 ). Najprej preveri, cˇ e je razmerje l/T res konstantno, tako da narišeš graf
l ( T ) in skozi toˇcke potegneš premico.
-
-
-
(123)
-
-
-
Sl
Sl
= 0
T
T0
-
-
-
-
-
.
.........
...
...
...
...
...
...
.
l0
...
...
...
...
...
...
........
...
-
... - - - - - ..
...- - - - - -...
... - - - - - - - - - ...
....
...... - - - ........
.........-.........-.........
Slika 33: Merjenje razteznosti
plinov
V tabeli pri vsaki spremembi temperature ∆T zapiši spremembo raztezka ∆l
in izraˇcunaj temperaturni koeficient prostorninskega raztezka β pri tej temperaturi:
1 ∆V
1 ∆l
β=
=
(124)
V ∆T
l ∆T
in ga primerjaj s teoretiˇcno vrednostjo 1/T. Pri tem za l in T vzemi (srednjo)
vrednost obeh koliˇcin v raˇcunanem intervalu.
67
8.4
Izoterma in adiabata
Pri izotermni spremembi velja Boylova enaˇcba ali Boylov izrek: produkt tlaka
idealnega plina in njegove prostornine se pri nespremenjeni temperaturi ohranja:
p V = po Vo
pri T = konst.
(125)
Iz te enaˇcbe pridemo do enaˇcbe za izotermno stisljivost plina, cˇ e enaˇcbo najprej
logaritmiramo: ln p + ln V = konst, nato pa še diferenciramo: dp/p + dV/V = 0.
Od tod je izotermna stisljivost
1
1 dV
= .
(126)
χ=−
V dp T
p
Indeks T pri (dV/dp) T pomeni, da odvajamo prostornino V po tlaku p pri stalni
temperaturi.
Pri hitrih sprememba plin z okolico ne izmenja toplote. Sprememba je adiabatna in velja
p V κ = po Voκ
pri Q = 0 ,
(127)
pri cˇ emer je κ razmerje specifiˇcnih toplot, κ = c p /cV , in je enako 5/3 za enoatomne in 7/5 za dvoatomne pline.
Koeficient κ izrazimo iz (127) tako, da enaˇcbo logaritmiramo: ln p + κ ln V =
ln( po Voκ ) = konst , oziroma:
ln p = −κ ln V + konst.
(128)
ˇ narišemo graf, pri katerem na absciso nanašamo ln V, na ordinato pa ln p,
Ce
dobimo premico za naklonom −κ.
Opis postopka Eksperimentalna naprava je sestavljena iz valja, v katerem je
zrak, in bata, povezanega s senzorjem, ki meri relativno prostornino plina. Relativna prostornina je razmerje med prostornino in najveˇcjo možno prostornino, ko
je bat v zgornji legi. V valju je tudi senzor, ki meri tlak. Oba senzorja sta povezana
z raˇcunalnikom, ki vrednosti obeh parametrov kaže na zaslonu.
Z ventilom uravnaj koliˇcino zraka v valju, tako da je pri zunanjem zraˇcnem
tlaku bat približno na sredi. Ventil zapri in bat dvigni v zgornji položaj, ko je tlak
približno polovico zunanjega. Zabeleži vrednosti tlaka in relativne prostornine.
Pri izotermni spremembi zaˇcni bat poˇcasi potiskati navzdol, tako da se v vsakem koraku relativna prostornina zmanjša za 0,05. Pri vsakem koraku poˇcakaj,
da tlak doseže konstantno vrednost, in zabeleži vrednosti tlaka in (relativne) prostornine. Postopek nadaljuj, dokler tlak ne doseže najveˇcje možne vrednosti, ki jo
senzor še zmore izmeriti.
68
Doloˇci stisljivost zraka χ pri razliˇcnih tlakih. Zvezo med tlakom in (relativno)
prostornino prikaži grafiˇcno, tako da na ordinato nanašaš prostornino, na absciso pa reciproˇcni tlak. Iz grafa doloˇci razliko med dejansko in izmerjeno (relativno) prostornino (tj. odsek na ordinatni osi ∆V; cˇ e premica seka ordinato pri
negativnih vrednostih, je ∆V < 0). Tako doloˇceni popravek upoštevaj pri analizi
adiabatne spremembe.
Pri adiabatni spremembi bat zelo hitro potisni navzdol. Raˇcunalnik prikaže
odvisnost tlaka od prostornine in podatke shrani v tekstovno datoteko. Izmerke
relativne prostornine popravi s popravkom, doloˇcenim pri izotermni spremembi
V = Vizmerjen − ∆V. (Pazi na predznak ∆V.) Nariši graf ln p(ln V ) in iz naklona
doloˇci κ.
69
8.5
Toplotna prevodnost
Toplota prehaja med dvema telesoma, ki imata razliˇcni temperaturi, cˇ e se telesi
dotikata. Toplotni stik lahko naredimo s tretjim telesom, ki toploto prevaja. Kako
prevaja, pa je odvisno od vrste telesa.
Prehajanje toplote opredelimo s toplotnim tokom, ki pove, koliko toplote preide skozi prevodno telo v cˇ asovni enoti,
P=
dQ
.
dt
(129)
ˇ se toplota ne izgublja v okolico in cˇ e je vzpostavljeno stacionarno stanje,
Ce
to je stanje, ko se razmere v prevodnem telesu s cˇ asom ne spreminjajo, je toplotni
tok, ki vstopa v prevodno telo enak toplotnem toku, ki iz njega izstopa.
V stacionarnem stanju priˇcakujemo, da temperatura v prevodnem homogenem telesu
paliˇcaste oblike z dolžino l enakomerno narašˇca od mesta z nižjo temperaturo T1 do
mesta z višjo temperaturo T2 (glej sliko 34).
Tedaj doloˇca temperaturni gradient dT/dl
kar ( T2 − T1 )/l.
V palici teˇce toplotni tok
P=λ
S( T2 − T1 )
l
(130)
Tu je S presek, l pa dolžina palice; sorazmernostni koeficient λ imenujemo koeficient toplotne prevodnosti (z enoto: W/m2 K).
T2
..
......
........
...
..............
..... ..............
...........
...
..........
...
...........
...
...........
...
..........
...
..........
...
..........
...
..........
...
..
...
...
...........................................................................................................................................................................
∆T
T1
..................................
...
..
..
....
..
T2 .....
...
..
....
..
.................................
∆l
l
S
P=
dQ
dt
.................................
..
...
...
....
....
.. T1
..
..
..
....
..
.................................
Slika 34: Prevajanje toplote v palici.
Poskus poteka tako, da eno krajišˇce kovinske palice vtaknemo v vrelo vodo
s temperaturo T2 = 100 ◦ C, drugo krajišˇce pa v kalorimetrsko posodico, v kateri
je na zaˇcetku taleˇci se led s temperaturo T1 = 0 ◦ C. Z digitalnim termometrom
izmerimo temperature v luknjicah, ki so izvrtane v palici. Izmerimo tudi oddaljenosti luknjic (x) od gladine vrele vode in narišemo graf T ( x ). Preverimo, cˇ e je
temperaturni gradient konstanten, tj. cˇ e je odvisnost T ( x ) res linearna.
Za doloˇcitev koeficienta λ moramo izmeriti še toplotni tok v palici. Poˇcakamo,
da se ves led v kalorimetrski posodici stali. Temperatura vode v posodici po tem
narašˇca. Toplotni, ki prihaja v vodo po palici, izraˇcunamo kot
P=
Q
∆T 0
= mcv
∆t
∆t
70
(131)
kjer je m masa vode, ∆T 0 temperaturna sprememba vode v cˇ asu ∆t in cv specifiˇcna
toplota vode. Tako dobimo koeficient toplotne prevodnosti v odvisnosti od cˇ asa:
λ=
mcv ∆T 0 l
.
St( T2 − T¯1 )
(132)
ˇ naj bo nekaj minut, tako da je sprememba temperature ∆T 0 = Tk − Tz , vsaj
Cas
nekaj stopinj. Pri tem je Tz zaˇcetna temperatura in Tk konˇcna temperatura vode
v kalorimetrski posodici. Za izraˇcun temperaturnega gradienta vzemi razliko
temperatur vrele vode T2 = 100◦ C in povpreˇcne temperature hladne vode T¯1 =
( Tz + Tk )/2.
71
8.6
Specifiˇcna toplota železa
Postopamo tako, da segreto železo (mFe , TFe ) spustimo v mrzlo vodo (mv , Tv ) v
kalorimetru. Temperaturi se kmalu izenaˇcita na zmesno temperaturo T. Tedaj je
železo oddala toploto Q→ = mFe c¯( TFe − T ), ki sta jo sprejela voda in kalorimeter:
Q← = (mv cv + Ck )( T − Tv ). Ker je Q→ enaka Q← , velja
c¯ =
(mv cv + Ck )( T − Tv )
.
mFe ( TFe − T )
(133)
Po tej metodi lahko merimo in raˇcunamo specifiˇcno toploto trdnin in kapljevin,
ki z vodo ne reagirajo in ko ne pride do faznih sprememb.
Kalorimeter je posoda, kjer naj bi bil sistem izoliran od okolice. Pri tem poskušamo uresniˇciti zahtevo, da ni prehajanja toplote iz sistema v okolico ali obratno
ali pa je takšno prehajanje neznatno. Kalorimeter je lahko izoliran z brezzraˇcno
plastjo (termovka) ali s plastjo iz dobrega toplotnega izolatorja (npr. s stiroporom). Laboratorijska izvedba kalorimetra pa ima tudi tekoˇcinsko plast, katere
temperaturo skrbno nadzorujemo.
Postopek V kalorimeter vlij npr. okrog 200 g vode (mv ) in ji izmeri temperaturo
Tv . Z grelnikom segrevaj vodo skupaj z epruveto z železnimi opilki do vrelišˇca.
Ko oceniš, da se je temperatura opilkov TFe ustalila blizu 100 ◦ C, jo izmeri, opilke
pa hitro in previdno stresi v kalorimeter. Doloˇci zmesno temperaturo Tz . Izracˇ unaj specifiˇcno toploto železa in upoštevaj toplotno kapaciteto kalorimetra po
enaˇcbi (133)
Toplotno kapaciteto kalorimetra doloˇcimo tako, da najprej v kalorimeter zlijemo toplo vodo in poˇcakamo, da se temperatura vode v kalorimetru ustali. V
drug kalorimeter zlijemo mrzlo vodo z maso m in poˇcakamo, da se temperaturo ustali. Mrzlo vodo zlijemo v segreti kalorimeter in ponovno poˇcakamo, da
se temperatura ustali. Segreti kalorimeter preda toploto vodi: Ck ( Tk − Tz ) =
mcv ( Tz − Tv ) in od tod dobimo
Ck =
mcv ( Tz − Tv )
,
Tk − Tz
(134)
pri cˇ emer smo s Tk oznaˇcili zaˇcetno temperaturo kalorimetra, s Tv zaˇcetno temperaturo mrzle vode in s Tz konˇcno temperaturo.
72
8.7
Specifiˇcna talilna toplota ledu
Toplota, ki jo potrebuje kilogram ledu pri 0◦ , da se stali, se imenuje specifiˇcna
talilna toplota (ledu). Postopamo takole: v kalorimeter z vroˇco vodo (mv , Tv )
ˇ je za kakšno
spustimo kos ledu. Njegova temperatura Tl naj bo blizu 0◦ C. (Ce
stopinjo nižja, se pri eksperimentu ne bo bistveno poznalo.) Izmerimo zmesno
temperaturo T in na koncu tudi skupno maso vode m. Razlika mas je masa
ledu ml = m − mv . Toplota, ki sta jo oddala vroˇca voda in kalorimeter Q→ =
(mv cv + Ck )( Tv − T ), je enaka toploti, ki jo prejme led za taljenje in nastala voda,
da se segreje do zmesne temperature: Q← = ml (qt + cv ( T − To )). Pri tem je To
temperatura ledeno mrzle vode (0o C). Tako je specifiˇcna talilna toplota
qt =
(mv cv + Ck )( Tv − T ) − ml cv ( T − To )
.
ml
(135)
Tudi v tem primeru štejemo, da je toplotna kapaciteta kalorimetra znana koliˇcina.
Stehtaj približno 300 g vode in jo segrej do približno 50◦ C ter nalij v kalorimeter. Izmeri temperaturo vode. Iz posode z ledom odvzemi kose ledu, ki so se
že zaˇceli taliti. S pivnikom odstrani vodo z ledu. Kose ledu vrzi v vodo in zasleduj cˇ asovni potek temperature in doloˇci zmesno temperaturo. Stehtaj skupno
maso, da doloˇciš maso ledu. Pri izraˇcunu specifiˇcne talilne toplote ledu upoštevaj
toplotno kapaciteto kalorimetra.
Toplotno kapaciteto kalorimetra doloˇcimo tako kot pri nalogi Specifiˇcna toplota
železa.
73
8.8
Specifiˇcna izparilna toplota vode
Specifiˇcno izparilno toploto izmerimo tako, da merimo elektriˇcno delo z joulemetrom in množino izparele na vrelišˇce segrete vode. Najbolje je, da uporabimo
kar elektriˇcno tehtnico, s katero odˇcitavamo primanjkljaj mase vode, ki izpari.
Izparilno toploto vode izmerimo tako, da vreli vodi (z maso okrog 250 g) dovajamo elektriˇcno delo, ki ga izmerimo z joulemetrom (ali wattmetrom in štoparico). S tehtanjem izparele vode (razlike mas vode pred izparevanjem m1 in
na koncu poskusa m2 ) lahko izraˇcunamo specifiˇcno izparilno toploto vode: qi =
ˇ je na voljo elektronska tehtnica, ta tekoˇce odmerja maso izpaAe /(m1 − m2 ). Ce
rele vode. Izparevanje naj traja najveˇc 10 minut.
74
8.9
Joulov poskus
Joulovo vreteno Joulov poskus nas prepriˇca, da lahko neposredno z mehaniˇcnim delom spreminjamo notranjo energijo sistema. Potrebujemo Joulovo vreteno
s termometrom. Z vrtenjem vretena lahko dosežemo, da na vrvi obešena utež z
maso mu lebdi na istem mestu.
Zasukajmo vreteno N-krat. Tedaj opravimo delo A = M ϕ, kjer je kot, za
katerega se zasuˇce vreteno, enak 2π N. Roˇcica sile r je radij vretena. Delo
A = mu g r 2π N
(136)
se porabi za spremembo notranje energije sistema (vretena z maso m, ki se greje),
∆Wn = mc ∆T, del pa pa gre v okolico v obliki toplote. Izraˇcunajmo, kolikšen del
dela se je pretvoril v notranjo energijo:
η=
mc∆T
∆Wn
=
.
A
2π N mu g r
(137)
Postopek Vpni na mizo Joulovo vreteno, vanj vstavi termometer in na vrv pripni pet kilogramsko utež. Vreteno suˇci s primerno hitrostjo, da utež lebdi nad
tlemi. Izmeri temperaturo vretena na zaˇcetku in po 100 vrtljajih, stehtaj vreteno,
izmeri premer vretena, in izraˇcunaj razmerje (137). Specifiˇcna toplota medenine
je c = 377 J/kgK.
Šibre V valj vsuj znano maso m = 0,40 kg šiber, ki si jim izmeril zaˇcetno temperaturo. Izmeri dolžino papirnate cevi. Cev obrni, npr. 100 krat, stresi šibre v
papirnati kozarˇcek in ponovno izmeri temperaturo.
S prevraˇcanjem šiber v papirnati cevi opravimo delo, ko dvignemo šibre za
dolžino cevi h. Mehansko delo Am lahko izrazimo s pridobljeno potencialno
energijo šiber ∆Wp = m g ∆h N, cˇ e smo napravili N prekucev. Po N padcih
na dno se to delo pretvori v notranjo energijo ∆Wn = mc∆T. Vendar je pridelek
notranje energije manjši kot je vložek mehanskega dela. Zato je tudi v tem primeru smiselno izraˇcunati izkoristek našega poˇcetja η = ∆Wn /Am = c∆T/g∆hN.
Specifiˇcna toplota svinca je c = 130 J/kgK.
75
9
9.1
Elektrika: frontalno
Notranji upor
Notranji upor voltmetra in ampermetra Pri merjenju napetosti in toka na porabniku v vezju na sliki 35a potrebujemo voltmeter s kar najveˇcjim uporom, da
teˇce skozenj zanemarljivo majhen tok, in ampermeter s kar se da majhnim uporom, da je na njem zanemarljivo majhna napetost. To je v splošnem prevelika
idealizacija. V praksi – na primer pri merjenju upora – raje izberemo vezje, ki je
prirejeno danim okolišˇcinam in gornji zahtevi glede instrumentov bistveno omili.
Analiza vezja s slike 35a kaže, da moramo upoštevati v raˇcunu upora tok I A ,
ki ga kaže ampermeter, zmanjšan za tok skozi voltmeter IV = UV /RV . Zato velja
R=
UV
R0
U
=
=
,
I
I A − UV /RV
1 − R0 /RV
(138)
kjer je napetost na uporu U enaka napetosti, ki jo kaže voltmeter UV . Z R0 =
UV /I A smo oznaˇcili vrednost upora, ki bi ga izraˇcunali brez upoštevanja notranjega upora instrumenta. Pri tej vezavi moramo upoštevati upor voltmetra RV ,
razen v primeru, ko je RV R0 (tedaj je tudi RV R) in lahko tok skozi voltmeter zanemarimo. Tedaj je
UV
.
(139)
R = R0 =
IA
.......................................
.......................................
R
...
...
...
...
...
...
................
.
.
.
..
.
...
...
.
.
•............................................................ V ......................................................•.......
...............
..
....
..
....
..
........ ..........
...
.....
... A ....
....
.................
..
...
....
................. U g
..
...
..
....
...........................................................
.......................................................•
.. •
.
....
.................
.......................................
.......................................
R
...
..
...
...
...
....................
.
.
...
...
.
...
.... A ....
...............
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
..... ......
.
•................................................................. V .......................................................•.......
...............
....
....
....
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
U
.
.
.
..
...
g
.
............................................................ ..............................................................
...• • ..
...................
a)
b)
Slika 35: Vezava voltmetra in ampermetra pri merjenju napetosti in toka na porabniku.
Podobno analizo lahko naredimo za vezje s slike 35b. V enaˇcbi za izraˇcun
upora R je sedaj tok I že tisti tok, ki ga kaže ampermeter I A . Napetost na uporu
U pa je napetost na voltmetru UV , zmanjšana za napetost na ampermetru U A =
R A IA ,
U
U − R A IA
R=
= V
= R0 − R A
(140)
I
IA
76
in pri pogoju R A R:
R = R0 =
UV
.
IA
(141)
Potek meritve Zveži elektriˇcni krog po shemi s slike 35 in vstavi vanj najprej
R = 100 kΩ in nato R = 2 kΩ. Iz vsake dvojice meritev napetost-tok doloˇci po
Ohmovem zakonu vrednost upora in nato popravljene vrednosti, ko upoštevaš
upore obeh instrumentov. V tabelo vnesi vse izraˇcunane vrednosti in velikost
popravkov pri obeh primerih.
Notranji upor vira Napetost vira, skozi katerega ne teˇce tok, je gonilna napetost. V elektriˇcnih krogih pogosto predpostavljamo, da je napetost vira neodvisna
od tega, kolikšen tok teˇce po krogu. V resnici pa se napetostnim virom napetost
zmanjša, ko skoznje teˇce tok, kar je zlasti opazno, cˇ e teˇce skozi vir veˇcji tok. Vzrok
za to je njihov notranji upor Rn . Napetost na prikljuˇckih vira U, ki jo lahko izmerimo, je gonilna napetost, zmanjšana za napetost na notranjem uporu Rn :
U = Ug − R n I .
(142)
Odvisnost napetosti od toka ponazorimo s premico z naklonom − Rn , ki seka
ordinatno os v toˇcki Ug .
Za moˇc, ki se troši na porabniku, velja P = U I. Izrazimo I iz enaˇcbe (142) in
dobimo
1
U (U g − U ) .
(143)
P = UI =
Rn
Iz pogoja za ekstrem dP/dU = (Ug − 2U )/Rn = 0 sledi, da je moˇc na porabniku
najveˇcja, ko je U = 21 Ug , in enaka Pmax = Ug2 /4Rn . Odvisnost P(U ) v enaˇcbi (143)
ponazorimo s parabolo, ki ima teme v toˇcki U = 21 Ug in seka abscisno os v toˇckah
U = 0 in U = Ug .
Potek meritve Notranji upor in gonilno napetost izmeri tako, da pri razliˇcnih
obremenitvah vira meriš napetost in tok (shema za vezavo je na sliki 35a). Meritve vnesi v graf U ( I ) in iz naklona premice skozi toˇcke odˇcitaj notranji upor, iz
preseˇcišˇca z ordinato pa gonilno napetost.
Pri vsaki meritvi napetosti in toka izraˇcunaj še moˇc, ki se troši na uporniku,
in jo vnesi v graf P(U ). Za primerjavo nariši še teoretiˇcno odvisnost (parabolo)
(143).
77
9.2
Elektriˇcno polje
Gaussov zakon
Za vsako poljubno oblikovano ploskev velja Gaussov zakon:
I
~E · d~S = e ,
εo
(144)
pri cˇ emer je e naboj znotraj ploskve. Uporabimo ga za raˇcunanje jakosti elektriˇcnega polja neskonˇcno velike ravne ploskve, po kateri je naboj enakomerno
porazdeljen. Znana naj bo ploskovna gostota naboja σ = e/S, ki pove, koliko
naboja je na ploskovni enoti. Iz simetrije problema pri enakomerno porazdeljenem naboju sklepamo, da je polje okrog ploskve homogeno in pri prehodu plošˇce
samo menja predznak oz. smer.
Najprej izberemo Gaussovo ploskev (glej sliko 36a), ki naj bo v tem primeru
pokonˇcna prizma z osnovnima ploskvama, vzporednima z ravnino z nabojem.
H
Pri tem integral ~E · d~S razpade v tri ploskovne integrale: integrala po osnovnih
R
ploskvah in integral po plašˇcu. Integral ~E · d~S po plašˇcu prizme je niˇc, saj je normala na to ploskev pravokotna na vektor polja ~E, integrala po osnovnih ploskvah
pa sta 2 krat E S (glej sliko 36a). Iz Gaussovega zakona (144) sledi
E=
σ
e
=
.
2ε o S
2ε o
(145)
Iz enaˇcbe razberemo, da je jakost elektriˇcnega polja odvisna le od gostote naboje.
...........................................
.....
........
....
...
...
.
....
...
......
........
−
+
........................................
.~
+ .......... S
.....................................................................................................................................................
.
+ .....
......................................................................................................................................................
.•......................................
+
+
+
+
+
+
−
+
.........................................................
S ..+
− ~E
.....................................................
.........................................
•...................−
+
e ...................................................... .........................•...........................
−
+
~1 E~2
E
.......................................................
−
+
.......................................................
−
+
.......................................................
.
.
+
.
.
.
d −.............
..
...
~E
....................................................................................................................................................
~E
.........................................................•..
~S
~E
~S
.............................................................................................................................................................................................
..
•
.
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
.
...
..
.....
....
.........
.
.
.
.
.
.
.
..................................
a)
b)
Slika 36: a) Gaussova ploskev, b) polje kondenzatorja.
Na podlagi tega lahko izraˇcunamo tudi jakost elektriˇcnega polja med dvema
vzporednima neskonˇcno velikima ploskvama s konstantno ploskovno gostoto
78
naboja nasprotnih predznakov na obeh ploskvah (slika 36b). Polje med plošˇcama
sestavljata prispevka obeh plošˇc E1 + E2 = e/2ε o S + e/2ε o S ali
E=
σ
e
= .
εoS
εo
(146)
Zunaj obeh plošˇc se prispevka izniˇcita. Polja ni. Enaˇcba velja tudi, cˇ e plošˇci nista
neskonˇcno veliki, cˇ e je le majhna razdalja med plošˇcama v primerjavi z dimenzijami plošˇc in v toˇckah ne prav blizu robov. Tedaj pomeni e celoten naboj na eni
plošˇci, S pa velikost plošˇce. Takšen par plošˇc imenujemo plošˇcati kondenzator.
Zapišimo napetost med plošˇcama. Ker je polje med plošˇcama homogeno, da
integriranje jakosti elektriˇcnega polja po poti med plošˇcama v razdalji d
U=−
Z 2
1
~E · d~s = E d ,
(147)
cˇ e je za cˇ etna toˇcka na negativni, konˇcna pa na pozitivni plošˇci. S kombiniranjem
te enaˇcbe in enaˇcbe (146) najdemo odvisnost naboja e od napetosti U na kondenzatorju
εo S
U = CU.
(148)
e=
d
Sorazmernostna konstanta je kondenzatorjeva kapaciteta
C=
εo S
.
d
(149)
Potek meritve Pri merjenju naboja v odvisnosti od napetosti na kondenzatorju
poskrbi, da ne pride napetost, s katero napajamo kondenzator, direktno na vhod
merilnika. Zato z eno žico za hip pritisni na kondenzator napetost npr. 30 V, z
drugo žico sprazni kondenzator prek merilnika in odˇcitaj naboj. Na enak naˇcin
opravi še drugo meritev, pri kateri ugotovi odvisnost naboja na kondenzatorskih
plošˇcah od razdalje med njima pri izbrani napetosti (npr. 30 V).
79
ˇ kondenzator s kapaciteto C prikljuPolnjenje in praznjenje kondenzatorja Ce
cˇ imo na vir napetosti Ug prek upornika R (glej sliko 37a), teˇce najprej velik tok,
nato pa vse manjši. Z napetostjo na kondenzatorju pa je prav obratno, s cˇ asom se
ˇ
ta poveˇcuje in doseže napetost vira. Casovni
potek toka in napetosti dobimo iz
enaˇcbe, ki pove, da je skupna napetost vira Ug enaka vsoti napetosti na uporu in
kondenzatorju:
e(t)
.
(150)
Ug = UR (t) + UC (t) = R I (t) +
C
ˇ enaˇcbo odvajamo po cˇ asu in upoštevamo, da je elektriˇcni tok v cˇ asovni enoti
Ce
preteˇceni naboj, I = de/dt, dobimo dI/dt + I/R C = 0 ali
dI
dt
=−
.
I
RC
.......................•
.........................................
.........................
..
...
..
...
..
..
..
...
......
..............
........+
.
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
+
. ...
..
.
..... •
.
.
..
...
... . .... U g
.... V .....
.....
.......•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............
.
.
.
.
C .....
...
....
..
........................................................................................................................
• •
•
(151)
...
....
........ Uc (t)
.......... Ic (t)
.
...
....
.•
.
.
.
.
Uo ...
Io ..... ...........
RC ...
...
... ...........
...
....
...
.........
.....
..
..
.............
...........
.
...
.
.
.
.
.
..
.
.
..
.
...
.
.
.
.
..............
.
....
.
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.... ............
.. .......
...
....
... ............
.... .............
..
.
.
........
...
....
.... .........
....
.........
...
..
...
...........
....
..............
...
.
............
.
.
.
..
.
.
.
.
....
.... ............
....
....
... ....
.
.. ......
...
....
.....
t .................................RC
t
........................................................................................................
......................................•
...................................
Slika 37: a) Vezje pri polnjenju kondenzatorja. b) Grafa U (t) in I (t).
Po integraciji leve strani te enaˇcbe od Io do I in desne strani v cˇ asovnem intervalu od 0 do t dobimo ln( I/Io ) = −t/R C, kar lahko preuredimo v
I (t) = Io e−t/RC .
(152)
Tok v kondenzatorju pojema eksponentno (slika 37b). Hitrost pojemanja je odviˇ
sna od cˇ asovne konstante RC. Cim
veˇcji je ta produkt, tem daljši je cˇ as, v katerem
tok pade e-krat (osnova naravnih logaritmov e = 2, 71 . . ., ne zamenjaj z nabojem
e!).
Napetost na kondenzatorju s cˇ asom postopno narašˇca: iz enaˇcbe (150) in z
upoštevanjem zveze RIo = Ug namreˇc dobimo
UC (t) = Ug − UR = Ug − I (t) R = Ug (1 − e−t/RC ) .
(153)
Podobno obravnavamo tudi praznjenje kondenzatorja skozi upornik. V tem
primeru v enaˇcbi (150) ni napetosti Ug , odvod enaˇcbe je enak, kot v prejšnjem
80
primeru, to je enaˇcba (151). Rešitev te enaˇcbe je enaˇcba (152). Tudi v tem primeru
se tok s cˇ asom eksponentno zmanjšuje. Na enak naˇcin se zmanjšujeta tudi obe
napetosti, napetost na uporniku je UR (t) = − R I (t) = − R Io e−t/RC (tok teˇce v
obratni smeri kot pri polnjenju) in na kondenzatorju je UC (t) = −UR (t) ali
UC (t) = Ug e−t/RC .
(154)
O poteku praznjenja odloˇca produkt RC, to je cˇ asovna konstanta, ki smo jo uvedli
ˇ
pri polnjenju. Casovni
odvod napetosti pri t = 0 je enak
dU (0)
Uo
=−
.
(155)
dt
RC
To pomeni, da tangenta na eksponentno krivuljo v toˇcki t = 0 seka abscisno os
pri t = RC. Tako lahko iz grafa približno odˇcitamo cˇ asovno konstanto.
.
....... •
..............................•
.........................................
.................................•
..
..
....
...
•......
.
.
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .. .....
...
..................
.
.
+
.
..... •
..
...
.
.
.
.
Ug .... . ....
... V ....
..
.
...... ......
.......•
...
.......
.............
.
C
R
.
.
..
...
...
..
...
..
..
..
...................................•
......................................•
.........................................
...
...
........ Ic (t)
........ Uc (t)
....
.......
.
.
Uo ... ........
Io ..... ...........
.. .........
.. .........
..
..........
..........
..
..
..
..............
..............
...
...
.
.
.
.
.
..
.... .......
...............
.
.
...
.... ...........
.... ...........
....
..
.
.
.
.
.
..
.......
....
.... .............
........
...
..
........
........
....
....
.........
.
..
..........
.
..........
.
..
....
....
...........
............
...
..
......
...
....
....
..
..
.
..
....
....
....
...
.
..
....
....
t ...................................RC
t
..
................................RC
......................................•
....................................
......................................•
....................................
ˇ
Slika 38: a) Vezje pri praznjenju kondenzatorja. b) Casovni
grafi U (t) in I (t).
Zvezo (153) preuredimo Ug − UC (t) = Ug e−t/RC in logaritmiramo
1
t + ln Ug ,
ln Ug − UC (t) = −
RC
ter podobno enaˇcbo (154):
(156)
1
t + ln Ug .
(157)
RC
Ugotovimo, da obe enaˇcbi predstavljata premico z naklonom −1/RC. Pri natanˇcnejšem doloˇcanju cˇ asovne konstante meritve napetosti na kondenzatorju vnesemo v graf, pri katerem na absciso nanašamo
cˇ as, na ordinato pa v primeru
polnjenja kondenzatorja ln Ug − UC (t) , v primeru praznjenja pa ln UC (t).
ln UC (t) = −
Potek meritve Kondenzator in uporovno dekado prikljuˇci na napetostni vir po
shemi s slike 37a. Izberi takšno kombinacijo R C, da lahko zasleduješ
polnjenje s
štoparico in iz podatkov narišeš cˇ asovni graf ln Ug − UC (t) ter doloˇciš cˇ asovno
konstanto. Spremeni vezavo po shemi s sliki 38a in na podoben naˇcin meri praznjenje kondenzatorja.
81
9.3
Magnetno polje
Hallova sonda Hallova sonda je vodnik (polprevodnik), v katerem je elektriˇcni
tok. Ko vstavimo sondo v magnetno polje tako, da stoji Hallov vodnik pravokotno na magnetno polje (glej sliko 39a), deluje na nosilce elektriˇcnega toka (elektrone) magnetna sila, ki jih izriva na rob vodnika. Sila, ki deluje na elektron
z nabojem −eo , je ~Fm = −eo~v × ~B, kjer za hitrost vzamemo kar povpreˇcno hitrost elektronov v kovini, ki jo doloˇca elektriˇcni tok. Na robu zbrani elektroni s
predznakom minus in primanjkljaj elektronov na drugem robu s predznakom + s
svojim elektriˇcnim poljem v preˇcni smeri na smer elektriˇcnega toka prepreˇcujejo
preˇcno gibanje elektronov. To gibanje preneha, ko se vzpostavi ravnovesje med
elektriˇcno silo −eo ~E in magnetno silo −eo~v × ~B. Tako dobimo zvezo ~E = −~v × ~B.
Nasprotnoimenski naboji, zbrani na nasprotnih ploskvah ob robu vodnika v
razdalji d, spominjajo na razmere v kondenzatorju. Napetost med ploskvama
imenujemo Hallova napetost in je enaka UH = E d = v d B, ki se da izmeriti.
Hitrost elektronov lahko izrazimo s tokom I = eo ne v S, kjer je S = l d presek
vodnika, ne pa gostota elektronov. Tako je Hallova napetost
UH =
IB
= KH I B .
eo n e l
(158)
V enaˇcbi je K H = 1/eo ne l konstanta Hallove sonde, ki jo lahko doloˇcimo eksperimentalno, tako da sondo umerimo z znanim magnetnim poljem.
...
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....+
...
..........
...
..
~B..................
..
..
....
..
.....
~v ....... ..............
~ .....
. ..
............
eo •..........................F.....m
...
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....−
...................
...
..................... A ......................
...... .....
..
..
.......
.
..
...
...
....
.
....................
...... •
...
...............
...
...
. ...
......•
...............
..............
..
...
..
..
...
..
..
...
...
..
..
..................................................
−
+.....
.
−
+....... I
.
........................................... ~
−
+.......
E
.
+...... ...................................•..................................... −
.
~Fm
~Fe eo
− ............
+.........
..
..... .
−..... ...............
+ .........
. l ...
.
.
.
.
U
.
.
..
h
...... ......
......+
................................................................
..
d ..................................................................... −
....
.....
..
.....
..
.....
a)
...................
...
..................... V ......................
...... .....
..
...
......
..
.
....
...
.
..
..................................................................
..
...
...
..
...
.
...
...
...
•.
..
..
.
....
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............•
..
.
•
................
.....
.
.
... A ...
•....
...... .......
...
.......
...
... HS
...
...
...
...
...
...
...
...
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
............................... ..................................
...• •..
..................
b)
Slika 39: a) Hallov pojav, b) Hallova sonda in tuljava z režo.
Potek meritve Po sliki 39b prikljuˇci Hallovo sondo na vir stabilizirane enosmerne napetosti, da ne steˇce skozi sondo veˇcji tok od 25 mA. Dve enaki tuljavi,
82
med katerima je reža, veži zaporedno. Tok skozi njiju lahko spreminjaš. Podatki
o tuljavi so zapisani na tuljavi, z njimi in z izmerjenim tokom izraˇcunaj gostoto
magnetnega polja. Magnetno polje na sredini reže je enako
µ0 N I
,
B= q 1
2
2
l1 + R
(159)
pri cˇ emer je N1 število ovojev in l1 dolžina ene tuljave. Izmeri še polmer R navitja
na tuljavi.
Spreminjaj magnetno polje pri stalnem Hallovem toku 25 mA, nato pri najmoˇcnejšem polju v tuljavi spremeni Hallov tok in izmeri Hallovo napetost. Iz naklona premice v grafu Uh ( B) in enaˇcbe (158) izraˇcunaj konstanto Hallove sonde.
Z umerjeno sondo izmeri tudi krajevno odvisnost gostote magnetnega polja v
bližini tuljave, trajnih magnetov in feromagnetne plošˇcice.
ˇ skozi zanko spreminjamo gostoto magnetnega polja tako,
Indukcijski zakon Ce
da je odvod d~B/dt razliˇcen od niˇc, se v zanki inducira napetost. Tako zapišemo
indukcijski zakon:
dΦm
d
.
(160)
Ui = − (~S · ~B) = −
dt
dt
ˇ se magnetni pretok Φm = ~S · ~B skozi zanko spreminja, bodisi zaradi spremiCe
njanja gostote magnetnega polja, bodisi zaradi spreminjanja velikosti zanke ali
orientacije zanke glede na gostoto magnetnega polja, se v zanki inducira napetost. Pove, da je inducirana napetost tem veˇcja, cˇ im veˇcja je hitrost te spremembe.
Indukcijski zakon Ui = −dΦm /dt lahko zapi-
Merjenje B z galvanometrom
šemo tudi v integralski obliki:
Z
Ui dt = −∆Φm .
(161)
ˇ se spremeni magnetni pretok skozi zanko za ∆Φm , se v zanki inducira napeCe
R
tostni sunek Ui dt
Pri poskusu imamo na skupnem jedru dve tuljavi. V prvi tuljavi ustvarja
tok I1 magnetno polje B1 tako, da je drugi tuljavi (število navojev N2 , presek
S2 ) magnetni pretok Φm = N2 S2 B1 . Prekinimo tok v prvi tuljavi! Tedaj se v
ˇ izrazimo
drugi tuljavi inducira napetostni sunek, ki ga doloˇca enaˇcba (161).
Ce
R
napetost po Ohmovem zakonu s tokom, dobimo tokovni sunek Ii dt, ki predstavlja
R inducirani
R naboj e, ki steˇce v drugi tuljavi (ˇce je seveda tokokrog sklenjen):
Ui dt = R Ii dt = R e. Desna stran enaˇcbe (161) je sprememba magnetnega
83
pretoka, to je razlika med konˇcnim magnetnim pretokom Φk in prvotnim magneˇ to povežemo, najdemo
tnim pretokom Φz : ∆Φm = N2 S2 B1 , saj je Φk = 0. Ce
enaˇcbo za gostoto magnetnega polja
B1 =
Re
.
N2 S
(162)
Inducira naboj v drugi tuljavi merimo z galvanometrom, ki ga moramo z znanim
nabojem umeriti.
.....
....... .........
.
..
................................. A .................................
..................
..
...
..
..
..
..
.
............
.... ... .....+
.... • ...
N1
.
.... •
...................
...
...
..
...
...
...
..............................................................................
.
.................................
....... •
................................•
.....................................•
...
.
....
...
...
..
..
•.......
..
..
..
...
...
..
...
...
...
.
.
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
. .. ....
. ...........
...
..
.
.
.
.... •
.
.
..
...
..
..
..
...
.
.
.
... V ...
... G ....
. .
..... •
...
.................
................
..................
...
...
.
..
.
.
...
....
.... C
....
..
..
..
..
...
...
...
..
..
..
.
.
...................................•
.. ..................................•
.........................................
a)
...........................................
...
..
...
...
..
...
..
...
..............
...................
.
.....
... G ....
N2
....... ......
.
.
.
.
.
...............
....
....
..
..
..
...
..
..
.
........................................
b)
Slika 40: a) Umerjanje galvanometra z znanim nabojem, b) merjenje induciranega naboja.
Potek meritve Galvanometer najprej umeri z znanim nabojem, ki ga dobiš s
praznjenjem kondenzatorja s kapaciteto C, prikljuˇcenega na napetost U (slika 40b).
Naboj na kondenzatorju je odvisen od napetosti na kondenzatorju in kapacitete
kondenzatorja, e = CU. Nariši umeritveno krivuljo galvanometra, to je graf odvisnosti e( ϕ), kjer je ϕ odˇcitek na galvanometru (kar v delcih).
S tako umerjenim galvanometrom izmeri tudi naboj, ki steˇce skozi galvanometer ob prekinitvi sklenjenega železnega jedra, v katerem je remanentni magnetizem kot ostanek prej ustvarjenega magnetnega polja (glej sliko 40b). Tokovni
sunek (naboj) preberi na galvanometru kot število delcev, naboj pa ugotovi iz
umeritvene krivulje. Za upor v krogu moramo upoštevati upor tuljave in galvanometra.
Z umerjenim galvanometrom za merjenje induciranega naboja lahko izmerimo tudi gostoto magnetnega polja v prvi tuljavi, ko prekinemo v njej tok in se v
manjši tuljavi inducira napetostni sunek.
84
Transformator Dvoje tuljav, nasajenih na feromagnetno jedro (slika 41a), sestavlja transformator. Na primarno tuljavo prikljuˇcimo vir izmeniˇcne napetosti. V
sekundarni tuljavi se zaradi spremembe magnetnega polja v jedru inducira napetost, ki je tudi izmeniˇcna. Zaradi lastne indukcije se pojavi napetost tudi v
primarni tuljavi. Najprej naj bo sekundarna tuljava nesklenjena. Tedaj teˇce v
primarni tuljavi magnetilni tok Im , ki prehiteva napetost za 90o . Teˇce še dodatni
tok zaradi izgub v transformatorskem
qjedru. Oznaˇcimo ga z Ii , ki pa je v fazi z
napetostjo U1 . Zato je skupni tok Io =
2 + I 2 (glej sliko 41b).
Im
i
..........
..........
.... ....
.... ....
........................... .....................•
........................ A .........................
................... A ...............•
.
.
.
.
...... ......
... ..
...
...
...
.................
...
.......
. .
...
...
...
..
...
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
....
...
..... .....
...
... ∼ ..
.
.
...
.
.
.
.
.
...... ......
...
...
.
......
.
...
...
..
...
...
...
...
..
.. ...
.
...
.
.
.
.
........................................................................... ...................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. •
.
.
.
....
.... •
.
.
... ...
.............................
...
.
.
.
R
.... ..................................... ...
..
...........•
.. .. •
........
..............
....•
.. .. •
...
...
•..... ............... •.....
... ..
... ...
...........
.........
.... V .....
............
a)
.
...
.........
.............. ...
..........
.
..
....... .... .
.
U1 ...... ....... ...... ........ ......
..
... ... .......
...
....
.... I1 .....
.
....
..
.
.........
.
..
.
.
.
I
.
.
.
o............... .......
..... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... .... ...........
... I
... .............
.. i
.......................................I...m
.
.
.
...............
•...
...
..
Ui2 ............ U2
...
.
Ui1 .................
....
I2
b)
Slika 41: a) Transformatorski tuljavi z jedrom. b) Kazalˇcni diagram tokov in napetosti.
Izraˇcunajmo še obe inducirani napetosti. V sekundarni tuljavi se inducira napetost Ui2 = N2 Uo , pri cˇ emer je N2 število navojev te veje in Uo napetost, ki se
inducira v enem navoju. Tolikšna napetost se inducira tudi v vsakem navoju primarne tuljave, zato je inducirana napetost na primarni strani Ui1 = N1 Uo . Ta napetost je enaka in nasprotna pritisnjeni napetosti na primarni tuljavi: Ui1 = −U1 .
Razmerje obeh napetosti predstavlja transformatorsko enaˇcbo za napetosti,
U
N
Ui2
= 2 = 2,
(163)
Ui1
U1
N1
V enaˇcbi smo inducirano napetost na sekundarni tuljavi Ui2 zamenjali kar s simbolom U2 , saj je to na tej tuljavi edina napetost (predznak smo opustili).
Transformator obremenimo s tem, da na sekundarno tuljavo prikljuˇcimo upornik. V sekundarni tuljavi se pojavi tok I2 . Moˇc, ki jo dovedemo primarni tuljavi,
ˇ so izgube
mora biti vsaj tolikšna, kot je moˇc, ki se troši na sekundarni strani. Ce
0
majhne (kar pa slabo velja za majhne transformatorje), je P1 = U1 I1 = P2 = U2 I2 .
To da transformatorsko enaˇcbo za tokove:
I10
N
= 2.
I2
N1
85
(164)
Kjer je veˇc navojev, je manjši tok in veˇcja napetost in obratno. (Gl. kazalˇcni diagram tokov in napetosti na sliki 41b).
Potek meritve Sestavi transformator z merilniki po shemi na sliki 41a, v kateri
je napetostni vir izmeniˇcen. Najprej izmeri obe napetosti in tok v primarni tuljavi
Io pri neobremenjenem transformatorju. Preveri transformatorsko enaˇcbo za napetosti. Nato na sekundarno tuljavo prikljuˇci upornik (npr. za 100 Ω), izmeri obe
napetosti in oba tokova I10 in I2 . Tok I1 , ki ga izraˇcunaš iz transformatorske enaˇcbe
za tokove, se ne bo ujemal z izmerjenim tokom I10 . Zato ugotovi razliko med izmerjeno in izraˇcunano vrednostjo. Upoštevati bi morali še fazne kote med tokovi
v kazalˇcnem diagramu (Im , Io in I10 ), ker niso v fazi. Spreminjaj upor na izhodu in
ugotovi, kako se spreminja z obremenitvijo tok v primarni in sekundarni tuljavi!
86
10
10.1
Elektriˇcno in magnetno polje
Magnetna sila
Vzemimo vodnik dolžine l, po katerem teˇce tok I. Sila na raven vodnik, ki je v
celoti v homogenem magnetnem polju, je
~Fm = I ~l × ~B .
(165)
Pri tem smo dolžino vodnika, po katerem teˇce tok v izbrani smeri, zapisali kot
vektorsko koliˇcino.
...
.......
...
.
~Fm ......
.......................
....
..
~B..........................
...
..
.................... ......
.....
.
.
.
.
.
...... ..
..
.
.
.. · ........ ................... .....
.. · ..........
..
.. ....... ... α .....
........................................................................................
~l
I
Slika 42: Sila na vodnik v magnetnem polju.
Potek meritve Pri poskusu je vodnik pravokoten na smer magnetnega polja,
zato silo na vodnik zapišemo kot F = IlB, kjer je l dolžina vodnika. Vodnik
deluje z nasprotno enako silo na magnet, ki stoji na tehtnici. Ko skozi vodnik ne
teˇce tok, naravnamo tehtnico tako, da kaže 0. Ko skozi vodnik teˇce tok, odˇcitamo
spremembe mase, ki jo kaže tehtnica, in od tod doloˇcimo velikost magnetne sile.
87
10.2
Magnetni navor
Navor na zanko v magnetnem polju zapišemo kot M = ISB sin ϕ, pri cˇ emer je I
tok v zanki, S plošˇcina zanke, B gostota magnetnega polja in ϕ kot med vektorjem
ploskve zanke in gostoto magnetnega polja.
Magnetno polje ustvarjata dve tuljavi. Magnetno polje kaže v smeri (skupne)
osi tuljav. Za gostoto magnetnega polja v središˇcu tuljave velja B = kI 0 , k =
0,7 (1 ± 0,05) mT/A, pri cˇ emer je I 0 tok skozi tuljavi. Med tuljavi preko torzijske
tehtnice obesimo kovinsko zanko, kot kaže slika 43, tako da središˇce zanke na
sredini med tuljavama. Kot ϕ je v tem primeru enak kotu med osjo tuljav in
simetralo zanke, pravokotne na zanko.
Slika 43: Navor na zanko v magnetnem polju.
Potek meritve Navor merimo s torzijsko tehtnico, na kateri odˇcitamo silo, ki je
potrebna, da zanko zasuˇcemo v prvotni položaj (ko v njej ni bilo toka). Za roˇcico
pri raˇcunanju navora vzemi r = 115,0 mm ± 0,5 mm.
88
10.3
Indukcijski zakon
V cˇ asovno spremenljivem magnetnem polju se v tuljavi inducira napetost
Ui = − N
dΦm
,
dt
(166)
pri cˇ emer je Φm magnetni pretok skozi tuljavo in N število ovojev v tuljavi.
Magnetni pretok skozi poljubno oblikovano ploskev ~S definiramo kot
Φm =
Z
~B · d~S .
(167)
ˇ je ploskev ravna in po njej gostota magnetnega polja konstantna, se integral
Ce
za magnetni pretok poenostavi: Φm = ~B · ~S = B S cos α, kjer je α kot med gostoto
magnetnega polja ~B in normalo na ploskev ~S. V tuljavi z N 0 navoji je magnetni
pretok tolikokrat veˇcji, kolikor zank ima tuljava, to je N 0 B S.
Pri poskusu magnetno polje ustvarimo s veliko tuljavo. Gostota magnetnega
polja dolge ravne tuljave je
µo N 0 I
.
(168)
B=
l
Tu je N 0 število navojev velike tuljave in l njena dolžina. Tok v tuljavi se spreminja
sinusno I = I0 sin ωt. V tuljavo postavimo manjšo tuljavo s preˇcnim presekom S
N ovoji. V njej se inducira napetost
Ui = − N S
µo NN 0 S dI
µo NN 0 S
dB
=
= −ω
I0 cos ωt .
dt
l
dt
l
(169)
Za efektivne vrednosti napetosti in toka velja
U=ω
µo NN 0 S
I ≡ ω M12 I .
l
(170)
Tu je M12 medsebojna induktivnost tuljav.
Potek meritve Veliko tuljavo preko ampermetra prikljuˇci na vir izmeniˇcne napetosti. V veliko tuljavo vstavljaj male tuljave z razliˇcnimi preˇcnimi preseki in
razliˇcnim številom ovojev in z voltmetrom meri inducirano napetost na njih.
Veliko tuljavo prikljuˇci še na na funkcijski generator (sinusni signal). Spreminjaj frekvenco izmeniˇcne napetosti in meri inducirano napetost. Pri vsaki frekvenci zabeleži tudi efektivno vrednost toka v veliki tuljavi.
89
10.4
Energija elektriˇcnega polja
Pri polnjenju kondenzatorja z nabojem opravlja napetostni vir elektriˇcno delo. Ko
napetostni vir iz negativne kondenzatorske plošˇce prenese naboj de0 na pozitivno
plošˇco, je opravljeno delo dA = U de0 . Celotno delo, ko se kondenzator nabije z
nabojem e, je enako
Z e
Z e 0
e2
e
0
A=
de0 =
,
(171)
U de =
2C
0
0 C
kjer smo v integral za napetost U vstavili e0 /C. Integrirali smo od vrednosti e
= 0 do konˇcnega naboja e, ki je na kondenzatorju. Kondenzatorju se je poveˇcala
energija za A = ∆Wc . Energija Wc je elektriˇcna energija kondenzatorja. V enaˇcbi
za energijo kondenzatorja lahko naboj e izrazimo s C U,
We =
C U2
e2
=
.
2C
2
(172)
Z upoštevanjem zveze C = ε o S/l in formule za prostornino kondenzatorja V =
S l, enaˇcbo predelamo v obliko We = ε o E2 V/2. Govorimo o energiji elektriˇcnega
polja v kondenzatorju, ki je odvisna od jakosti elektriˇcnega polja.
Pri praznjenju kondenzatorja teˇce skozi upornik tok
I = I0 e−t/RC =
U0 −t/RC
e
.
R
(173)
Delo, ki ga dobi upornik izraˇcunamo tako, da integriramo moˇc na uporniku:
A=
Z ∞
0
I 2 R dt =
U02
R
Z ∞
0
e−2t/RC dt =
U02 RC
= 12 CU02 ,
R 2
(174)
kar predstavlja kar energijo kondenzatorja, nabitega na napetost U0 .
Izraˇcunajmo še delo, ki ga odda napetostni vir pri polnjenju kondenzatorja. V
tem primeru je tok enak kot pri praznjenju: I = (U0 /R) e−t/RC , pri raˇcunu moˇci,
ki jo vir oddaja, pa moramo upoštevati, da je napetost na viru ves cˇ as konstantna
in enaka U0 . Dobimo
A=
Z ∞
0
U2
U0 I dt = 0
R
Z ∞
0
e−t/RC dt =
U02
RC = CU02 .
R
(175)
Delo je dva krat veˇcje od energije kondenzatorja. To pomeni, da se polovica dela
potroši za segrevanje upornika.
90
Potek meritve Joulemeter je naprava za merjenje elektriˇcnega dela, ki ga opravi
vir na prikljuˇcenem uporniku na izhodu merilnika, ko ta potisne skozi upornik
doloˇcen naboj.
Najprej sestavi vezje po shemi na sliki 44a. Ko je stikalo v položaju A, se
kondenzator napolni na napetost vira. Napetost odˇcitamo na voltmetru (ni prikazan na sliki.) Nato stikalo preklopimo v položaj B, joulemeter meri delo, ki ga
kondenzator odda uporniku v izhodni veji; to delo je kar enako energiji kondenzatorja. Stikalo ponovno preklopimo v položaj A in ponovimo meritev pri drugi
napetosti.
Za merjenje cˇ asovnega poteka moˇci pri praznjenju uporabimo ampermeter;
ko je nastavljen na obseg 100 µA, ustreza celoten odklon 10 mW.
Za merjenje dela pri polnjenju kondenzatorja sestavi vezje po shemi na sliki 44b.
Ko preklopimo stikalo s položaja B na A, se kondenzator na izhodni veji joulemetra priˇcne polniti preko upornika. Joulmeter v tem primeru pokaže celotno delo
delo, ki ga napetostni vir porabi pri polnjenju kondenzatorja. Meritev ponovimo
še pri drugih napetostih vira. Stikalo preklopimo v položaj B in spremenimo napetost vira. Predno preklopimo stikalo v položaj A, moramo vsakiˇc še izprazniti
kondenzator.
joulemeter
joulemeter
..
................................................................................•
..
..
..
..
•.....
..
..
..
..
..
...
...
..
..
...
..
...
..
.. +
..
.
.
.
.
.
.
.
. . .......
...
...
. ..
.. .... •
..
..
...
.
...
.
.
.... •
...
...................
..
...
.... C
...
..
..
..
... U g
...
...
..
..
..
...
...
...
..
.
.
..
....
.
...
•...
..
.
.
..............................•
.
.. •................................
do 20 V A B
•..... •..................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...............
.
.
...
.
.
...
...
.....
...
... A ....
...
..................
...
....
...
.
...
.........................
..
.................................................•
..
..
..
•.....
..
..
..
...
..
....
..
.. +
...
.
.
............
...
. ..
.. .....•
...
...
....
..
.
.... •
.
.
...
.
.
.
................
..
....
....
U
..
g
....
...
...
..
..
...
B
...
...
.
..
•....
.
.....
.........................
...................•
.. •
•....................................
...
...
•.....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
R
...
...
..
...
.....................................
A
wattmeter
a)
•..... •..................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
.
.
.
.
...
.... .........
...
...
.
.
...
... A ....
...
..................
...
..
...
..
.
...
..........................
•...................................................
...
...
•.....
..
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
C
...
...
...
...
.
...
...
...
...
R
...
...
.
..
...
....................................................
wattmeter
b)
Slika 44: Merjenje dela a) pri praznjenju kondenzatorja in b) pri polnjenju kondenzatorja.
91
10.5
Energija magnetnega polja
V tuljavi, skozi katero teˇce tok I0 , nastane magnetno polje. Energija polja (tuljave)
je odvisna od toka in induktivnosti tuljave; velja
WL =
1
2
L I02 .
(176)
Energijo magnetnega polja v tuljavi bomo merili z joulmetrom v vezju, prikazanem na sliki 45a. Ko s stikalom priklopimo vir z gonilno napetostjo Ug , velja
joulemeter
...
..................................................•
..
...
•.....
...
...
...
...
....
..
....
.. +
.
....
......................
..... •
.
.....
... . ...
......•
....
................
...
.....
....
.... U g
....
....
....
.....
.
.
...
.
....
.........................
...................•
.. •
do 20 V
•..... •..................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.. ...........
.
.
..
...
.
.
...
... A ....
....... .......
...
.
.
.
.
...
...
...
..
.
...
..........................
•..........................................
...
...
•.....
..
A
...
...
...
...
.
...
...
L .......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
...
.. .. ...........
.
...
...
.
...
.... A .....
...
...............
...
...
...
.
...........................................
τ
A0
P0(t - τ + τe-t/τ)
P0(t - τ)
wattmeter
a)
b)
ˇ
Slika 45: a) Merjenje energije tuljave. b) Casovna
odvisnost dela na tuljavi.
Ug = UL + UR = LdI/dt + RI, pri cˇ emer je UL = LdI/dt padec napetosti zaradi
induktivnosti tuljave in UR = RI padec napetosti, zaradi ohmskega upora žic
tuljave. (Ta upor je mnogo veˇcji od upora ampermetra v vezju zato upor ampermetra lahko zanemarimo.) Enaˇcbo preuredimo
Ug
dI
= Ug − RI = R I −
= − R( I − I0 ) ,
(177)
L
dt
R
pri cˇ emer smo vpeljali I0 = Ug /R. V enaˇcbi (177) prenesemo tokove na levo, cˇ as
pa na desno stran
dI
R
= − dt .
(178)
( I − I0 )
L
Enaˇcbo sedaj lahko integriramo, na desni od 0 do poljubnega cˇ asa t, na levi pa od
zaˇcetnega toka 0 do toka I ob cˇ asu t. Dobimo
I − I0
R
ln
=− t
− I0
L
92
in po antilogaritmiranju
I = I0 1 − e−t/τ ,
τ=
L
.
R
(179)
Vidimo, da je I0 = Ug /R konˇcni tok skozi tuljavo.
Delo, ki ga porabi vir pri poganjanju toka skozi tuljavo, dobimo z integracijo
moˇci, ki se troši na tuljavi:
Z t
Z t
Z t
A=
Pdt =
Ug Idt = Ug I0
1 − e−t/τ dt .
(180)
0
0
0
Enaˇcbo integriramo in dobimo
A(t) = Ug I0 t − τ + τe−t/τ = P0 t − τ + τe−t/τ .
(181)
Po dovolj dolgem cˇ asu (t τ) lahko cˇ len z e−t/τ zanemarimo in (181) predstavlja
premico, ki seka cˇ asovno os v toˇcki t = τ, ordinato pa v toˇcki A0 = −Ug I0 τ (glej
sliko 45b). Velja
A0 = −Ug I0 τ = − RI02
L
= − LI02 = −2WL ,
R
(182)
pri cˇ emer je WL energija tuljave (176).
Potek meritve Iz slike 45b razberemo postopek za doloˇcitev energije tuljave. Z
joulemetrom merimo delo, ki ga prejme tuljava v odvisnosti od cˇ asa, in izmerke
vnesemo v graf A(t). Teoretiˇcno odvisnost kaže polna cˇ rta na sliki. Narišemo
tangento (ˇcrtkana premica na sliki) in poišˇcemo preseˇcišˇci premice z absciso in
ordinato. Dobimo vrednost karakteristiˇcnega cˇ asa τ in vrednost A0 , od koder
lahko takoj odˇcitamo energijo tuljave WL .
Na drug naˇcin lahko energijo doloˇcimo s pomoˇcjo programa Gnuplot s prilagajanjem funkcije (181) izmerjenim toˇckam. Pri tem sta prosta prametra P0 in τ,
in velja WL = 21 P0 τ.
Meritev ponovimo pri drugih napetostih, pri vsaki meritvi poleg energije WL
zabeležimo tudi konˇcni tok I0 . Rezultate vnesemo v graf WL ( I02 ). Priˇcakovana odvisnost je premica z naklonom 12 L. Tako dobljeno vrednost induktivnost tuljave
L primerjamo z vrednostjo, ki jo dobimo iz zveze τ = L/R. Upor žic (tuljave) R
izmerimo z digitalnim ohmmetrom.
Izmeri še cˇ asovni potek moˇci in iz grafa ln( P0 − P)(t) doloˇci cˇ asovno konstanto τ. Napetost na izviru nastavi tako, da bo odklon ampermetra, ki meri
moˇc, pri konˇcnem toku skozi tuljavo enak 1 mA. Vrednost 1 mA ustreza moˇci
100 mW.
93
10.6
Elektroni v magnetnem in elektriˇcnem polju
V katodni cevi, v kateri je vakuum, iz vroˇce katode (na sliki 46 povsem desno)
izhajajo elektroni, ki jih napetost U0 med katodo in anodo pospeši do hitrosti v0 .
Pri tem je elektriˇcno delo U0 e0 enako konˇcni kinetiˇcni energiji elektronov 12 m0 v20 ,
od koder dobimo njihovo hitrost
s
2e0 U0
v0 =
.
(183)
m0
Ko elektroni zapustijo luknjico v anodi, v vzdolžni smeri ni veˇc elektriˇcnega polja
in se njihova hitrost ohranja.
.....................................................................................................................
...
...
...
...
.........................................................
...
..............
.........
.........
...
....... .................................................................................. ..............
.
.
.
...
.
.
... .......... ................... ................... .......... ........
.
.
.
...
.
......... .......... ........
.... ....
....
...
....... ........ .......
..... ...... ......
..... ...... .....
...... ........ .....
.....
.... ......... .......
.
.
..... ..... .....
.
..
.. ..... ...
.
..
.
.... ...... .....
. ... ...
...
.
.
... .... ....
...
..... ...... ....
... .... ...
...
. . .
... ... ....
..
... .... ...
...
.. .. .
... .... ....
..
.. .. ..
...
........... ................................................................................................
2
.. .. ..
...
. .. ..
.........
.. .. ...
.
.
.
... .. .
.
...
. ... ...
1
.... ...
.
.. ... ....
....
.. .
.. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.... ..... ...
................. ...
.
.
.
.
.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.. ... ..
. ...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.. ... ..
...
....
.. .... ....
.......
.
1
... .. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.... ...................................................................................... ..
... ... ..
..
...
.... ... ... ....
... ... ..
.
2 ....
..
... ... ..
...
... ..... ..... .......................................◦ ◦...........................................
.
... ... ...
..
.
.
.. ...
... .... ..
...
.
.
U0
.
... .... ...
..
.... .... ....
... ... ...
...
.... .... ...
............. .........
..
.
.... ..... .....
.
.
...
.
.... ..... ....
.. .... ..
..
..... ...... .....
...... ....... ......
...
...... ....... ......
....... ........ ........
.
...... ........ ..........
....
......... .............................................................. ...........
......
.
.
.......
..
........ .................................................................... ..............
...
...........
...
..
......
...........
.
.
...
.
... .
......................................................................................
..
... ...
.
.
...
.
........................................
◦. I
...
....
...................................................
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
◦
.
◦◦
...................................................... .......................................................
... A ..
............
U
◦
◦
Slika 46: Uklon elektronov v magnetnem in elektriˇcnem polju.
Ko vstopijo v kondenzator z vodoravnima plošˇcama, na elektrone deluje navpiˇcna sila Fy = e0 Ey = e0 (U/l ). V navpiˇcni smeri se zato gibljejo pospešeno s
pospeškom
Fy
e U
ay =
= 0 ,
(184)
m0
m0 l
tako kot telo pri vodoravnem metu v težnostnem polju Zemlje. V vodoravni
smeri opravijo pot x = v0 t v navpiˇcni pa y = 21 ay t2 . Iz prve enaˇcbe izrazimo
94
t = x/v0 in vstavimo v drugo:
y=
ay x2
Ux2
=
.
4U0 l 2
2v20
(185)
Namesto elektriˇcnega polja vkljuˇcimo magnetno polje ~B, ki ga v katodni cevi
ustvarjata dve tuljavi, v katerih teˇce tok I. Na elektrone sedaj deluje magnetna
sila ~F = −e0~v × ~B. Smer sile je pravokotna na hitrost, torej elektron kroži. Iz
Newtonovega zakona dobimo m0 v2 /r = e0 vB, pri cˇ emer je r polmer kroženja:
r=
m0 v0
.
e0 B
(186)
Tu smo za velikost hitrosti elektrona vstavili kar hitrost (183), saj se hitrost elektrona pri kroženju v magnetnem polju ohranja.
Potek meritve Pri gibanju elektronov v preˇcnem elektriˇcnem polju izberi primerni vrednosti U0 in U, tako da lahko odˇcitaš vsaj 6 koordinat curka ( x, y). Izmerjene toˇcke vnesi v graf y( x2 ). Meritev ponovi še za nekaj izbir U0 in U.
Pri poskusu s hkratnim odklonom curka v elektriˇcnem in magnetnem polju
najprej izberi primerni U0 in U. Nato spreminjaj tok v tuljavah tako, da dobiš cˇ im
bolj raven curek.
Pri kroženju v magnetnem polju doloˇci polmer krožnice z merjenjem koordinat curka x, y tako kot pri prvem delu naloge. Enaˇcba krožnice je ( x − x0 )2 + (y −
y0 )2 = r2 , pri cˇ emer sta x0 in y0 koordinati središˇca krožnice. V našem primeru
je izhodišˇce koordinatnega sistema postavljeno v toˇcko, v kateri curek elektronov
vstopi v magnetno polje, koordinati središˇca krožnice pa sta x0 = 0 in y0 = −r.
Iz enaˇcbe za krožnico potem hitro dobiš
r=
x 2 + y2
.
2y
Polmer izraˇcunaj za nekaj parov ( x, y) in doloˇci povpreˇcno vrednost.
95
(187)
11
Vzorˇcno poroˇcilo
Sklop: Merjenje hitrosti in pospeškov
Naslov vaje: 1. enakomerno pospešeno gibanje – brnaˇc (prosti pad)
Izvajalec: N. N.
Soizvajalec: M. M.
Datum: 8. 10. 2009
Kratek opis vaje
Eno krajišˇce papirnega traku priˇcvrstim na stojalo, drugo pa napeljem skozi brnaˇc in
nanj priˇcvrstim utež. Vkljuˇcim brnaˇc. Trak prerežem, da skupaj z utežjo prosto pade. Brnaˇc udarja s frekvenco 50 Hz. Na traku pušˇca sledi v cˇ asovnih razmikih 0,02 s. Razdaljo
med sledmi skrbno izmerim (pomagam si z lupo), razdalje, merjene od zaˇcetne pike, so
zbrane v tabeli (Varianta: namesto s beležim kar ∆s).
Hitrosti znotraj intervalov izraˇcunam po formuli
vi =
s i +1 − s i −1
t i +1 − t i −1
in jo pripišem cˇ asu ti . Pospeške izraˇcunam po formuli
ai =
v i +1 − v i −1
t i +1 − t i −1
in ga pripišem cˇ asu ti .
Pospešek izraˇcunam kot srednjo vrednost pospeškov v posameznih intervalih ter kot
naklon premice v grafu v(t) in rezultata med seboj primerjam.
Meritve
t [s]
0,0200
0,0400
0,0600
0,0800
0,1000
0,1200
0,1400
0,1600
0,1800
0,2000
0,2200
0,2400
0,2600
s [m]
0,0048
0,0117
0,0233
0,0391
0,0590
0,0823
0,1109
0,1460
0,1806
0,2162
0,2602
0,3093
0,3615
96
Podpis vodje vaj:
Raˇcuni
v2 =
s3 − s1
0,0233 m − 0,0048 m
=
= 0,462 m/s ,
t3 − t1
0,06 s − 0,02 s
ob cˇ asu t2 = 0,04 s
itd.
a3 =
0,892 m/s − 0,462 m/s
v4 − v2
=
= 10,75 m/s2 ,
t4 − t2
0,10 s − 0,04 s
ob cˇ asu t3 = 0,06 s
itd.
i
t [s]
s [m]
v [m/s]
a [m/s2 ]
a − a¯
[m/s2 ]
1 0,02
0,0048
2 0,04
0,0117
0,462
3 0,06
0,0233
0,685
10,750
0,437
4 0,10
0,0590
1,080
10,125
5 0,12
0,0823
1,297
12,812
−0,187
6 0,14
0,1109
1,592
11,125
0,812
7 0,16
0,1460
1,742
4,062
8 0,18
0,1806
1,755
6,187
−6,250
9 0,20
0,2162
1,990
14,312
10 0,22
0,2602
2,327
13,562
11 0,24
0,3093
2,532
12 0,26
0,3615
1
a=
N
v
u
u
σa = t
2,500
−4,125
4,000
3,250
N
∑ ai = 10,31 m/s2
i =1
N
1
( ai − a)2 = 1,1 m/s2 .
N ( N − 1) i∑
=1
Rezultat a zokrožim na enako število decimalnih mest, kolikor jih je pri napaki, torej
a = 10,3 m/s2 .
97
2.5
....
......
....... ..
....... ....
....... ...............}
.
.
.
.
.
.. .. .
....... .... .......
....... ..... .......
....... .... .......
....... .... .......
...........................
.
.
.
.
.
.
... .. ...
....... .... .......
....... .... ......
....... ..... .......
....... .... .......
............................
.
.
.
.
.
.
.... .. ...
....... ..... .......
....... .... .......
...... .... .......
....... ..... .......
...........................
.
.
.
.
.
. . .
....... ..... .......
....... .... .......
....... .... .......
....... ..... ........
............................
.
.
.
.
.
.
... .. ...
....... .... .......
....... .... .......
...... ..... ......
....... ..... .......
............................
.
.
.
.
.
.
... .. ..
....... .... .......
...... .... .......
....... ..... .......
....... .... .......
............................
.
.
.
.
.
.
... .. ...
....... .... .......
...... .... .......
....... ..... ......
....... ..... .......
............................
.
.
.
.
.
.
... .. ...
....... .... .......
....... .... .......
...... ..... ......
....... ..... .......
............................
.
.
.
.
.
.
.... .. ....
....... ..... .......
...... .... ......
....... ..... .......
....... .... .......
............................
.
.
.
.
.
.. . ..
....... .... .......
....... .... .......
....... ..... ......
....... ..... .......
............................
.
.
.
.
.
.
... .. ....
....... ..... .......
....... .... ......
....... ..... .......
....... .... .......
....... ....................
.
.
.
.
.
....... ..... .......
....... .... .......
....... ..... ........
............................
......................
.
......
◦
◦
v [m/s]
2.0
1.5
1.0
0.5
◦
◦
◦
◦
0.05
◦
∆v
◦
◦
◦
◦
σ
∆t
0.10
0.15
0.20
t [s]
0.25
Pospešek doloˇcim kot naklon premice v grafu v(t). Odˇcitam ∆t = 0,20 s in ∆v =
2,00 m/s ter izraˇcunam
∆v
a=
= 10,0 m/s2 .
∆t
Napako naklona doloˇcim tako, da okoli 2/3 izmerjenih toˇck oˇcrtam paralelogram z (navpiˇcno) višino 2σ. Odˇcitam σ = 0,06 m/s in izraˇcunam:
√
2σ 3
√ = 0,28 m/s2 ≈ 0,3 m/s2 .
σa =
∆t N
Pri tem vstavim ∆t = 0,20 s in N = 11.
Rezultati
Pospešek, izraˇcunan iz tabele:
a = 10,3 m/s2 ± 1,1 m/s2 = 10,3 m/s2 (1 ± 0,11) .
Pospešek, izraˇcunan iz grafa v(t):
a = 10,0 m/s2 ± 0,3 m/s2 = 10,0 m/s2 (1 ± 0,03) .
Komentarji
Pospeška, izraˇcunana po razliˇcnih metodah, se v okviru napak pri merjenju, ujemata.
Prav tako se v okviru napak ujemata z vrednostjo iz literature, g = 9,8 m/s2 . Bolj
natanˇcna je grafiˇcna doloˇcitev.
98