Vklopni pojavi ter obratovanje transformatorja v prostem teku

Comments

Transcription

Vklopni pojavi ter obratovanje transformatorja v prostem teku
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Vklopni pojavi ter obratovanje
transformatorja v prostem teku
s simulacijo v programskem paketu Matlab-Simulink.
Mentor: dr. Damijan Miljavec
Aleksander Žbogar
Ljubljana, 2009
1
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Kazalo
UVOD
3
LASTNOSTI TRANSFORMATORJA
3
ZGRADBA TRANSFORMATORJA
4
DELOVANJE TRANSFORMATORJA
5
NADOMESTNI MODEL TRANSFORMATORJA, REDUCIRANJE
6
LABORATORIJSKI PREIZKUS
7
SIMULACIJA
9
MATEMATIČNI MODEL TRANSFORMATORJA
9
LINEARNI MODEL
9
REZULTATI SIMULACIJE
11
NELINEARNI MODEL
13
PRIMERJAVA Z REALNIM STROJEM,
PREIZKUŠANEM V LABORATORIJU
Viri
18
20
2
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
UVOD
V seminarski nalogi sem se osredotočil na enostaven enofazni transformator z enim
primarnim in enim sekundarnim navitjem. Kot vemo, se pri vklopu transformatorja pod različnimi
pogoji, pojavijo zanimivi pojavi, t.i. vklopni pojavi. Opazovanje teh pojavov je mogoče v
laboratoriju, pod nadzorovanimi okoliščinami, ali pa tudi preko simulacije v simulacijskem okolju.
Najprej se opiram na matematični model transformatorja z enačbami, kasneje pa sem iz
matematičnega modela zgradil še vezni model, ki služi nadaljnji simulaciji v Matlab-SIMULINK-u.
Simulacija se sestoji iz dveh delov. Prvi model ne upošteva nelinearnosti feromagnetnega jedra. Kot
vemo, le-to ob prehodu v nasičenje- prehodu iz linearnega področja histereze, spreminja lastnosti
transformatorja. Nelinearnost lahko opazujemo pri drugem modelu, ki upošteva magnetilnico
materiala iz katerega je jedro transformatorja.
1.0)
LASTNOSTI TRANSFORMATORJA
1.0.1) ZUNANJE LASTNOSTI
Transformator je, kot je znano, enostavna naprava, ki preko uporabe elektromagnetnega
polja transformira primarne električne količine na sekundarne, ki so ustrezno spremenjene.
Oblik transformatorja je zelo veliko, posamezne izvedbe se lahko delijo po
Nazivni moči
Namenu
Velikosti
Obliki
Kvaliteti
Številu faz ipd..
Kljub temu pa, da je na trgu transformatorjev velika pestrost, so v osnovi vsi transformatorji enaki torej delujejo po istih principih.
Slika 1: Močnostni trifazni transformator.
3
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Slika 2: Enofazni transformatorji za elektronske naprave.
Slika 3: Trifazni transformator s tremi stebri - vzet iz ohišja.
1.0.2) ZGRADBA TRANSFORMATORJA
Vsak transformator je sestavljen iz primarnega in sekundarnega navitja (Lahko tudi več
primarjev in sekundarjev kot recimo pri 3-f transformatorjih), tuljavnika na katerem stoji navitje, ter
jedra. Odvisno od prestavnega razmerja ima transformator enako razmerje števila ovojev. Tista stran
navitja, kjer je navojev več, je ponavadi iz tanjše žice (višja napetost vodi do manjših tokov). Kjer
pa je navojev manj, pa je ponavadi žica debelejša (obraten sklep). Jedro pa je lamelirano, zaradi
zmanjšanja izgub. Tak enostaven transformator je zelo lepo prikazan na sliki 4.
4
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Slika 4: Principalna zgradba transformatorja.
1.0.3) DELOVANJE TRANSFORMATORJA
Pri transformatorjih lahko govorimo o treh osnovnih obratovalnih stanjih. Prosti tek brez
obremenitve, kratek stik - sponke sekundarnega navitja so kratkostičene, ter obratovanje pri nazivni
obremenitvi. Prav tako pa je zanimivo tudi opazovanje vklopa in z njim povezanih pojavov, kar je
tudi glavna tema te naloge.
Sam princip delovanja temelji na magnetno med seboj sklopljenih navijih in s tem induciranja
napetosti preko časovne spremembe magnetnega pretoka. Ob vzbujanju primarnega navitja s
sinusnim potekom napetosti dobimo v linearni teoriji na sekundrnem navitju praviloma sinusen
signal enake frekvence z ustrezno spremenjeno amplitudo. Tako naj bi sinusnem vzbujanju sledil
sinusen magnetni pretok po enačbi:
m 
U1
4.44  N1  f
Ta magnetni pretok nadalje v jedru s površino A vzbudi sinusno gostoto magnetnega pretoka:
B
m
A
Ker je v linearni teoriji permeabilnost  linearna - se ne spreminja; to pomeni da je tudi H sinusne
oblike:
B
H

5
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Induktivnost L pa je tako konstantna:
L
N2   A
lsr
Na tem mestu velja opozoriti na realni stroj, ki je nelinearen. Tako lahko sklepamo, da realne
količine niso vedno točno takšne, kot so opisane zgoraj Ta bom v nadaljevanju še pokazal.
1.1)
NADOMESTNI MODEL TRANSFORMATORJA, REDUCIRANJE KOLIČIN
Uporabil bom nadomestno vezje za enofazni transformator z dvema navitjema, vsi sklepi pa
se lahko razširijo na večfazne / trifazne transformatorje.
Slika 5 : Nadomestno vezje za enofazni transformator.
Oznake predstavljajo:
U1 : Napetost na primarnem navitju
I1 : Tok skozi primarno navitje
R1 : Upornost primarnega navitja
X  1 : Stresano reaktanco primarnega navitja, zaradi stresanega magnetnega pretoka primarnega
navitja
X  2 ' : Stresano reaktanco sekundarnega navitja, zaradi stresanega magnetnega pretoka
sekundarnega navitja
'
R2 : Upornost sekundarnega navitja
U 2 ' : Napetost sekundarnega navitja
I 2 ' : Tok skozi sekundarno navitje
R0 : Navidezna upornost, na kateri se troši moč, ki pokriva izgube v železu
X 0 : Reaktanca magnetenja; zaradi magnetenja jedra
6
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Pri uporabljenem nadomestnem vezju opazimo pri vseh elementih sekundarja črtice. Le-te kažejo na
reducirane količine. Reducirane količine so uporabljene za poenostavitev računanja, predstavljajo pa
vrednosti, prirejene prestavi transformatorja.
Reducirane količine so tako:
N
Označimo prestavo k  1 ; tedaj lahko zapišemo:
N2
I
R2'  k 2  R2 ; X 2'  k 2  X 2 ; I 2 '  2 ; U 2'  k 2  U 2 .
k
1.2
) LABORATORIJSKI PREIZKUS
Za simulacijo delovanja transformatorja potrebujemo njegove karakteristične podatke,
oziroma parametre. Do njih pridemo preko različnih laboratorijskih preizkusov. Tako moramo
določiti količine opisane v 1.1 . Poleg naštetih pa naj podam tudi površino jedra, ki znaša 0.00248
m2, ter srednjo dolžino magnetne silnice0.384 m z N1  N 2  110 ovojev. Uporabljen je bil
laboratorijski transformator, ki se nahaja v laboratoriju LES.
Eden izmed preizkusov, ki nam na enostaven način pomaga določiti parametre X2 ,X2 ',R1, R1 ' je
kratkostični preizkus. Pri tem so sponke sekundarnega navitja kratko sklenjene, napetost primarnega
pa je dvignjena do take mere, da po sekundarju teče nazivni tok In.
Slika 6: Nadomestno vezje transformatorja v kratkem stiku.
Iz nadomestne sheme vidimo, da smo paralelno vejo zanemarili, kar lahko upravičeno storimo,
zaradi zanemarljivo majhnega toka I0 .
Iz enačb :
U
P
Z k  Rk  jX k  R1  jX 1  R2'  jX 2' , Z k  k , Rk  k2 , X k  Z k  Rk2 , Rk  R1  R2' in
Ik
Ik
X k  X 1  X 2' .
lahko izračunamo Rk ter Xk.
Privzamemimo, da so impendance razeljene med primarno in sekundarno stranjo razdeljene 1:1:
7
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
R1  R2' 
Rk
X
ter X 1  X 2'  k .
2
2
Velja opozoriti, da smo tu enakost impendanc privzeli - v resnici niso razdeljene tako simetrično. V
namen bolj točnega določanja upornosti bi lahko uporabili metodo z enosmernim merjenjem
upornosti ali pa U-I metodo. Za določanje impendanc paralelne veje uporabimo prostotečni
preizkus, pri katerem je primar priključen na nazivno napetost, sekundar pa ima odprte sponke. To
pomeni, da je tok sekundarja enak nič. Sedaj lahko zanemarimo sekundarjeve impendance.
Slika 7: Nadomestno vezje za preizkus transformatorja; prosti tek.
Parametra X 1 in R1 smo že določili. Če predpostavimo, da sta tako majhna, da je na njiju zanemarljiv
padec napetosti (majhni impendanci, tudi tok I1 med prostim tekom je majhen), lahko zapišemo
enačbo:
Z p  R1  jX p 
R0  jX 0
R0  jX 0
Pomerimo še napetost prostega teka U 0 , tok prostega teka ter moč prostega teka P0 .
Če se odločimo za računanje prek moči, zapišimo:
R0 
U 02
, Q0  S02  P02 
P0
U 0  I 0 2  P02 ,
X0 
U 02
Q0
Če želimo čimbolj optimalno upoštevali vpliv histereze na vrednosti teh elementov, lahko opravimo
več meritev pri različnih nivojih napetosti U 0 . Iste elemente bi lahko izračunali tudi iz impendance
prostega teka. Na tem mestu naj poudarim, da smo v nadaljevanju za model privzeli prestavo 1:1.
To ima za posledico enakost upornosti primarja in sekundarja, enakost stresanih impendanc... Model
se tako poenostavi, nastale napake pa so iz inženirskega vidika večinoma zanemarljivo majhne.
8
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
2.0) SIMULACIJA
2.1) MATEMATIČNI MODEL TRANSFORMATORJA.
Matematične modele strojev, v našem primeru transformatorja, potrebujemo za analizo
obratovalnih lastnosti in vodenje (regulacijo). Model mora biti karseda točen, saj bo le tako
posnemal realen stroj. Izhodišče za modeliranje električnih strojev so ravnovesne enačbe, ki izhajajo
iz fizikalnih zakonitosti.
Osnovna matrična enačba bo enačba U    Z  * I  . Matriki Z ter U ponavadi poznamo.
1
Iz prejšnje enačbe lahko tako izrazimo  I    Z  * U  . Velja omeniti, da moramo pri postavljanju
modelov transformatorjev upoštevati določene poenostavitve, saj lahko le na tak način sestavimo
uporaben in delujoč model. Sicer so lahko modeli tudi bolj zapleteni, to pa ne pomeni vedno
učinkovitejšega vodenja. Sploh pri zelo kompleksnih modelih, kjer se pojavi problem počasnosti
zaradi velikega števila enačb, ki jih mora simulacijski model rešiti. Podoben problem se pojavi tudi
pri regulaciji z zapletenimi modeli. Lahko pa z gotovostjo trdimo, da je naš poenostavljen model
dovolj natančen za približno sliko realnega dogajanja. Zaradi poenostavitve opustim tudi pisanje
črtic, imejmo pa vedno v mislih dejstvo da so vse veličine sekundarja opremljene z njimi - torej
reducirane!
Zapišimo torej osnovno matrično enačbo za naš transformator:
L12 p   I1 
U1   R1  L11 p
U    L p
R2  L22 p   I 2 
 2   12
V prostem teku so sponke sekundarja odprte, zato je sekundarni tok (I2) v tem režimu enak nič:
L12 p   I1 
U1   R1  L11 p
U    L p
R2  L22 p   0 
 2   12
Seveda smo upoštevali tudi prej omenjene redukcijske faktorje. Prednost vezne teorije je v tem, da
za rezliko od klasične elelkrtomagnetne teorije, v osnovnih enačbah ne nastopa inducirana napetost,
t.i. transformatorska. Tako postane nadomestno vezje popolnoma pasivno, saj v modelu ni več
d
nobenega vira inducirane napetosti. Operator p je simbolični operator za odvod: p  .
dt
2.2) LINEARNI MODEL
V linearnem modelu transformatorja ne upoštevam magnetilnice materiala iz katerega je
magnetno jedro stroja. Posledica tega je sila preprost model, katerega sestavimo iz sledečih dveh
enačb, ki se nanašajo na gornjo matrično enačbo.
U 1  R1  L11p i1  L21 pi2 ter
U1  L12 pi1  R2  L22 p i2
9
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Če slednji enačbi nekoliko preuredimo; pridemo do nekoliko bolj prijazne oblike, v kateri je izražen
tok, ki je potem primeren za opazovanje:
U 1 L11
L

pi1  21 pi2  i1 ter
R1 R1
R1
U 2 L12
L

pi1  22 pi2  i2
R2 R2
R1
V prostem teku je i2=0 in zato dobita zadnji enačbi obliko:
U 1 L11

pi1  i1
R1 R1
U2
L
 12 pi1
R2 1 R2
Enačbi predstavimo z blokovnim diagramom v SIMULINK-u:
Slika 8a : Linearni model transformatorja (na podlagi diferenciranja toka), SIMULINK.
Žal ta prstop deluje pravilno le za vklope napetosti, ko gre le ta skozi nič. V vseh ostalih trenutkih
vklopa pa takšen model ne deluje pravilno. Zato moramo namesto diferenciranja toka uporabiti
integracijo toka z začetno vrednostjo nič. Takšno vrednost pa ima tok vedno ob vklopu
transformatorja na napetostni vir. V ta namen napetostni enačbi
u1 L11

pi1  i1
R1 R1
10
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
u2 L12

pi1
R2 R2
preuredimo in sicer:

R1  u1
  i1 dt  i1

L11  R1

in
u1
L
dt  i1
12
Zadnji dve enačbi realiziramo v programskem okolju Matlab/Simulink. Spodnja blokovna shema to
prikazuje.
Slika 8b : Linearni model transformatorja (na podlagi integriranja napetosti), SIMULINK
2.2.1) REZULTATI SIMULACIJE
Najprej si oglejmo analitično rešitev diferencialne enačbe za vklopni tok i1 pri transformatorju v
prostem teku vklopljenem na harmoničen vir napetosti:
2U 1 sin t   0   R1i1  L11 pi1
Po izpeljavi dobimo naslednjo funkcijo toka i1:
11
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
i1 
R
1
t
L
2U1
L
*sin(t   0  arctan 11 ) 
*sin( 0  arctan 11 )* e L11
R1
R1
R12  ( L11 ) 2
R12  ( L11 ) 2
2U1
Kot vidimo je le-ta sestavljena iz dveh delov. Prvi je sinusen in niha s konstantno amplitudo- ta
predstavlja trajni tok prostega teka, drugi pa je enosmerni izenačevalni del, ki eksponentno upada.
L
Če pripišemo konstanti 11  T10 ime konstanta prostega teka transformatorja, lahko vidimo, da
R1
zadnja komponenta usiha s časovno konstanto T10. To v praksi pomeni, da če transformatorju na nek
način zmanjšamo induktivnost L11 -to sicer v praksi ne gre, v modelu pa si to lahko privoščimo, ali
pa zvišamo upornost R1 , se zgodi, da se časovna konstanta zmanjša. Izenačevalni tok ostane po
amplitudi podoben, se pa hitreje spusti proti vrednosti 0.
Vedeti moramo, da je uporabljani model (Slika 8b) dokaj natančen - zato neracionalno
nastavljanje simulacijsklih parametrov včasih prinese čudne rezultate simulacije. Tudi v praksi si ne
moremo dovoliti nerealnih vrednosti upornosti, induktivnosti itd..
Slika 9 : Potek vklopnega toka za vrednosti: R1=0.47 L11= 0.162H in L12=0.16 H.
Slika 10 : Potek vklopnega toka za prejšnji model s povišano upornostjo R1=2.47 . Opazno je
hitrejše usihanje primarnega toka, pri čemer ostaja amplituda nespremenjena.
12
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
2.3) NELINEARNI MODEL
Naša naloga pri sestavljanju nelinearnega modela je čim bolje prikazati, kakšne razlike se
pojavijo pri vklopnem toku, pa tudi na splošno, če upoštevamo nelinearnost materiala, s katerega je
jedro transformatorja. Naj opozorim, da nisem šel tako daleč, da bi upošteval tudi ostale
nelinearnosti- recimo celotne histereze, geometrije, popravkov zaradi reduciranja (Vemo, da v
splošnem nista primarno in sekundarno navitje navita s prestavo 1) in podobnih dejavnikov.
Upošteval pa sem najbolj pomembno nelinearnost: magnetilno krivuljo za material, iz katerega je
jedro: V našem primeru transformatorska pločevina.
Zapišimo znova enačbo za vklop transformatorja v prostem teku:
L12 p   I1 
U1   R1  L11 p
U    L p
R2  L22 p   0 
 2   12
Ker je tok i2 enak nič, velja :
u1  R1  L11
d i1
u L i  di
in iz tega: 1  11 1 1  i1
dt
R1
R1 dt
Iz te enačbe bomo v nadaljevanju postavili blokovni model.
Slika 11: Magnetilnica za transformatorsko pločevino.
13
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Za razliko od prejšnjega modela, sedaj upoštevamo izrazito nelinearno odvisnost med
količinama B in H. V pomoč pri modeliranju nam bo Simulunkov modul z imenom "LOOKUP
TABLE". Taka funkcija kot vhod sprejme nek parameter, podan v n točkah. Vmesne vrednosti so
izračunane preko interpolacije. Ravno tako podamo za izhode n vrednosti, ki so v vmesnih točkah
interpolirane. Imamo vektorja:
H=[-20000;-18000;-16000;-14000;-12000;-10000;-8000;-6000;-5000;-4000;-3000;-2000;-1800;1600;-1500;-1400;-1300;-1200;-1000;-800;-700;-600;-500;-400;-300;-200;100;0;100;200;300;400;500;600;700;800;1000;1200;1300;1400;1500;1600;1800;2000;3000;4000;5
000;6000;8000;10000;12000;14000;16000;18000;20000] A/m
in
B=[-1.85;-1.83;-1.8;-1.77;-1.75;-1.715;-1.67;-1.62;-1.58;-1.55;-1.5;-1.444;-1.42;-1.4;-1.39;-1.38;1.37;-1.36;-1.34;-1.3;-1.28;-1.25;-1.22;-1.17;-1.11;-1;0.75;0;0.75;1;1.11;1.17;1.22;1.25;1.28;1.3;1.34;1.36;1.37;1.38;1.39;1.4;1.42;1.444;1.5;1.55;1.58;1.6
2;1.67;1.715;1.75;1.77;1.8;1.83;1.85] T
Tako sestavljena in interpolirana magnetilnica izgleda takole:
Slika 12 : B-H Karakteristika, interpolacija.
2.3.1) Rezultati simulacije
Nastavljeno enačbo za vklop transformatorja v prostem teku bomo realiziral v SIMULINKu. Simulacijsko shemo lahko miselno razdelimo na dva dela; prvi del je realizacija prostotečne oz.
vklopne diferencialne enačbe, drugi del pa skrbi za nelinearno odvisnost med vektorjema B in H,
česar v prejšnjem modelu ni bilo. Naj omenim še, da smo namesto enačbe
14
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
u1 L11 i1  di1

 i1
R1
R1 dt
,
morali reševati enačbo :

R1  u1
  i1 dt  i1

L11  R1

To pa zaradi odprave algebraičnih zank, ki se pojavijo, če bi hoteli z modelom direktno reševati
prvo diferencialno enačbo.
Slika 13 : Realizacija nelinearnega modela transformatorja v prostem teku; SIMULINK.
Da bi dobili kar najbolj izrazito sliko za opazovanje tokovnih špic, skrajšane časovne
konstante usihanja izenačevalnega toka ter pojava višjeharmonskih komponent, sem v naslednjem
15
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
primeru parametre nekoliko prilagodil. Na ta način stroj preide višje v magnetno zasičenje
(zmanjšanje preseka jedra..). Slika vklopnega toka ob izrazitem nasičenju je sledeča :
Slika 14 : Vklopni tok transformatorja ob prehodu v nasičenje.
Naj poudarim, da smo v tem primeru privzeli vklop ob neugodnem trenutku- vklop pri prehodu
napetosti skozi ničlo. Amplituda tokovne špice tako dosega visoke vrednosti.
Slika polja H je neposredno povezana s tokom, po že znani enačbi, zato je podobna zgornji obliki.
Bolj zanimiva je slika polja B ob prehodu jedra v nasičenje.
Slika 15 : Magnetno polje B v jedru transformatorja.
16
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Opazimo lahko, da ob vklopu transformatorja s prej podanimi parametri, jedro preide v nasičenjeCca 1.8 T. To pomeni prisotnost tretje in ostalih harmonskih komponent med vklopom, če pa je
jedro v nasičenju še v stacionarnem stanju se tudi tam pojavijo višje-harmonske komponente. Sicer
pa naj bi se nasičenju izogibali.
Opazujmo sedaj še sliko induktivnosti L11 v odvisnosti od časa. Vidimo, da za razliko od
linearnega modela, tu induktivnost ni konstantna, ampak je močno odvisna od tega, kje smo v tistem
trenutku na B-H karakteristiki. Ob prehodu v nasičenje se tako L11 močno zmanjša.
Slika 16: Potek vrednosti induktivnosti L11 . Opazno znižanje ob prehodu v nasičenje.
3.0 ) PRIMERJAVA Z REALNIM STROJEM, PREIZKUŠANEM V LABORATORIJU.
Realni transformator, katerega nazivne podatke sem uporabil za sestavo simulacijskega
modela, sem izmeril tudi v laboratoriju. S posebno vklopno napravo lahko vklapljamo transformator
na togo mrežo pri različnih kotih prehoda napetosti skozi ničlo. Prehodne pojave opazujemo preko
tokovne sonde, ki je priključena na digitalni spominski oscilioskop.
Velja omeniti, da slika vklopnega toka ni odvisna le od vklopnega kota, temveč močno tudi
od remanentnega magnetizma v jedru. Remanentni magnetizem se izkazuje kot nenevtralna
usmerjenost weisovih magnetnih domen.
V našem primeru, kjer modeliramo brez možnosti nastavljanja predhodne magnetizacije,
bomo primerjali sliko, dobljeno s pomočjo simulacije in parametri realnega transformatorja, ter sliko
dobljeno v laboratoriju (pri razmagnetenem jedru). Videli bomo, da sta zelo podobni.
17
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
Slika 17: Potek vklopnega toka simulacijskega modela s parametri realnega
transformatorja. Amplituda toka je cca. 51 A.
Slika 18: Potek vklopnega toka in napetosti realnega transformatorja. Skala je nastavljena na 20 A
na razdelek, torej je maksimalna amplituda toka v tem primeru cca 54 A.
18
Univerza v Ljubljani
Fakulteta za elektrotehniko
::Viri::
Damijan Miljavec: Vezna teorija električnih strojev, Ljubljana 2009.
Drago Dolinar, Peter Jereb: Splošna teorija električnih strojev, FERI, Maribor, 1995.
http://www.mathworks.com
Wikipedia
19