מועד א

‫אלגברה ‪ 2‬מח ‪11020 -‬‬
‫מבחן מועד א׳‪ ,‬תשע׳׳ה‬
‫‪9.2.2015 -‬‬
‫שאלה ‪ 15) 1‬נק׳(‬
‫א‪ 7) .‬נק׳( תן דוגמה של מטריצת הטלה ‪ A‬ב‪ R3×3 -‬כך ש‪-‬‬
‫‪ .dim(ColA) = 1‬הסבר היטב איך בנית את המטריצה המבוקשת‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ 8) .‬נק׳( נתון וקטור ‪ .x =  2 ‬מצא מטריצת שיקוף ‪ B‬ב‪ R3×3 -‬כך‬
‫‪−1‬‬
‫ש־ ‪ Bx = x‬ו‪ By = −y -‬לכל ‪ y‬אורתוגונלי ל‪.x -‬‬
‫שאלה ‪ 15) 2‬נק׳( יהי ]‪ V = P2 [x‬המרחב של פולינומים ממעלה ‪ 2‬או פחות‬
‫עם מכפלה פנימית )‪ .hf, gi = f (0)g(0) + f (1)g(1) + f (2)g(2‬יהי ‪h(x) = x‬‬
‫ויהי }‪.U = sp{x2 − 2x, x − 1‬‬
‫א‪ 3) .‬נק׳( הראה ש‪ x2 −2x -‬אורתוגונלי ל‪ x−1 -‬ביחס למכפלה הפנימית‬
‫הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ 9) .‬נק׳( מצא את ההיטל האורתוגונלי )‪ p(x‬של )‪ h(x‬על ‪ U‬ביחס‬
‫למכפלה הפנימית הנתונה‪.‬‬
‫ג‪ 3) .‬נק׳( חשב את מינימום של ‪ kh(x) − f (x)k‬ביחס למכפלה הפנימית‬
‫הנתונה כאשר ‪.f (x) ∈ U‬‬
‫שאלה √‪10) 3‬נק׳(‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 2 + i 2 b‬מצא את המספרים ‪) b, c, d‬כל האפשרויות( כך שהמטריצה‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫הנתונה תהיה יוניטרית‪.‬‬
‫שאלה ‪ 15) 4‬נק׳( נתון ‪ u, v, w‬בסיס אורתונורמלי של ‪ R3‬ומטריצה ‪A‬‬
‫שמקיימת ‪.Au = v + w, Av = w + u, Aw = u + v‬‬
‫א‪ 3) .‬נק׳( מצא וקטורים ‪ x, y, z‬כך ש‪) A = xuT + yvT + zwT -‬בטא את‬
‫‪ x, y, z‬לפי ‪.(u, v, w‬‬
‫ב‪ 5) .‬נק׳( הוכח כי ‪ A‬סימטרית‪.‬‬
‫ג‪ 7) .‬נק׳( הראה ש‪ u − v, v − w -‬ו‪ u + v + w -‬הם וקטורים עצמיים של‬
‫‪ AT A‬ומצא את כל הערכים הסינגולריים של ‪.A‬‬
‫שאלה ‪ 15) 5‬נק׳( תהי ‪ A‬מטריצה ריבועית ‪.n × n‬‬
‫א‪ 7) .‬נק׳( הוכח שאם קיימים ‪ x, y ∈ Rn‬כך ש‪ Ax = y -‬ו‪,kxk > kyk -‬‬
‫אז ‪ A‬איננה אורתוגונלית‪.‬‬
‫ב‪ 8) .‬נק׳( אם ‪ ,A(Sn−1 ) = Sn−1‬כלומר‪ ,‬התמונה תחת ‪ A‬של ספרת‬
‫היחידה היא ספרת היחידה עצמה‪ ,‬הוכח ש‪ A -‬אורתוגונלית‪.‬‬
‫תזכורת‪.Sn−1 = {x ∈ Rn | kxk = 1} :‬‬
‫‪1‬‬
‫שאלה ‪ 15) 6‬נק׳(‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצת שיקוף כלפי תת‪-‬מרחב ‪.U = sp  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−2‬‬
‫א‪ 5) .‬נק׳( מצא את ‪.A‬‬
‫ב‪ 5) .‬נק׳( נרכיב תבנית ריבועית ‪ .q(x) = xT Ax‬הראה ש־ )‪ q(x‬איננה‬
‫מוגדרת‪.‬‬
‫ג‪ 5) .‬נק׳( מצא את המקסימום של )‪ q(x‬עם האילוץ ‪.||x|| = 1‬‬
‫שאלה ‪ 15) 7‬נק׳( יהי ‪ U‬תת‪-‬מרחב של ‪ Rn‬כאשר ‪ .dim U < n‬תיינה ‪P‬‬
‫מטריצת ההטלה ו‪ R -‬מטריצת השיקוף ביחס ל‪ .U -‬הוכח או הפרך את‬
‫הטענות הבאות‪:‬‬
‫א‪ 8) .‬נק׳( לכל ‪ x ∈ Rn‬מתקיים ‪.P x · x ≥ 0‬‬
‫ב‪ 7) .‬נק׳( לכל ‪ x ∈ Rn‬מתקיים ‪.Rx · x ≥ 0‬‬
‫הערה‪ :‬אין להשתמש בגיאומטריה של ‪ R2‬או ‪ R3‬ואין להניח ש‪ U -‬היפר‬
‫מישור‪.‬‬
‫‪2‬‬