faktorisering fra a til å - matematikk fra a til å

Comments

Transcription

faktorisering fra a til å - matematikk fra a til å
FAKTORISERING
FRA A TIL Å
VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE
EMNER
1 Innledning til faktorisering
2 Grunnleggende om faktorisering
3 Fremgangsmåter
3.1 Den grunnleggende teknikken
3.2 Primtallsfaktorisering
3.3 Trediagram
4 Hvordan ser vi hva et tall kan deles med?
Side
F-2
F-2
F-3
F-3
F-6
F - 10
F - 13
Matematikk FRA A TIL Å
Innledning
til
faktorisering
1
INNLEDNING TIL FAKTORISERING
Faktorisering er et viktig verktøy i matematikken. Vi bruker faktorisering til
hoderegning, og hvis du behersker faktoriseringsteknikken er det ofte et hendig
hjelpemiddel i dagliglivets mange matematiske utfordringer.
Særlig nyttig er faktorisering når det kommer til brøkregning, der du ofte har
behov for å finne fellesnevner eller for å forkorte brøker.
Disse utfordringene kan du se mer om i kapitlet om brøk.
Å kunne faktorisere vil også gi deg større trygghet når det gjelder å forstå og
behandle tall.
Grunnleggende
om
faktorisering
2
GRUNNLEGGENDE OM FAKTORISERING
Ordet faktorisering kommer av faktor, som vi finner igjen i forbindelse med
multiplikasjon. I en multiplikasjon multipliseres faktorer og svaret kaller vi
produkt.
Faktor  Faktor = Produkt
Dette er nærmere forklart i kapitlet ”multiplikasjon”.
Ved siden av å forstå at et produkt kan deles opp i faktorer, er det også viktig å
kjenne til forskjellen på primtall og sammensatte tall.
Primtall og sammensatte tall er nærmere forklart i kapitlet ”Primtall”.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-2
Matematikk FRA A TIL Å
Et tall som kan faktoriseres vil alltid være et sammensatt tall.
Ser vi på tallet 14, vil vi se at det er et produkt av to mindre tall, nemlig 2 og 7.
14 = 2  7
Og i grunnen er det dette faktorisering
dreier seg om.
Faktorisering:
Å finne hvilke faktorer et
produkt (et tall) er bygget av.
Men det er ikke alltid like enkelt å se hvilke faktorer et tall er et produkt av.
Når tallene blir større kan det være vanskelig. Ta for eksempel tallet 48. Her
trenger vi teknikker for å faktorisere.
3
FREMGANGSMÅTER
Vi skal se på 3 ulike eksempler for å vise de vanligste fremgangsmåtene som
brukes når et tall skal faktoriseres.
Fremgangsmåter
Før vi ser på disse eksemplene er det lurt å presentere grunntrekket ved denne
teknikken. Det hele går ut på å dividere tallet med primtall, inntil vi står igjen
med bare primtall som faktorer. Enkelte ganger er det greit å se hvilke primtall
vi kan dividere med, men som en hovedregel gjelder at vi begynner med det
minste primtallet – 2- og fortsetter med det neste – 3 – når 2 ikke går lenger.
3.1
DEN GRUNNLEGGENDE TEKNIKKEN
Den aller enkleste teknikken består i å sjekke gangetabellen. I dette eksemplet
fortsetter vi med tallet 48. Hvis vi finner 48 i gangetabellen, er vi ganske sikre
på at vi finner faktorene. Fra 6-gangen ser vi at
6  8 = 48
Altså er
Eksempel 1: Trinn a
48 = 6  8
Vi ser at 48 er et produkt av 6 og 8. Det betyr igjen at 48 kan faktoriseres i 6 og
8.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-3
Den
grunnleggende
teknikken
Matematikk FRA A TIL Å
Ofte kan en slik enkel faktorisering være tilstrekkelig, men ikke alltid. Noen
ganger, for eksempel i brøkregning, trenger vi å finne ut hvilke primtall et
produkt er bygget opp av. Da bruker vi en teknikk som vi kaller
primtallsfaktorisering.
Før vi ser på denne teknikken skal vi se litt nærmere på de to faktorene vi fant,
nemlig 6 og 8.
Fra kapitlet om primtall henter vi kunnskapen om at både 6 og 8 er
sammensatte tall:
Eksempel 1: Trinn b
6=2  3
8=2  4
Både 2 og 3 er primtall
2 er primtall, men 4 er et
sammensatt tall (4 = 2  2)
Så hvis vi bytter ut 4-tallet med 4 = 2  2, vil vi få
8=2  2  2
Nå har vi funnet ut hvilke primtall de to faktorene består av.
Dette betyr igjen at 48 kan faktoriseres helt ned til primtall:
Eksempel 1: Trinn c
48 = 6  8
48 = (2  3)  (2  2  2)
Parentesene skal vanligvis
ikke være der. De er tatt
med her for å vise hvor
primtallene kommer fra,
nemlig fra faktorene 6 og 8.
Tar vi bort parentesene, ser det slik ut:
Eksempel 1: Trinn d
48 = 2  3  2  2  2
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-4
Matematikk FRA A TIL Å
Det er vanlig å skrive de laveste primtallene først. På sin endelige form vil
derfor faktoriseringen av tallet 48 se slik ut:
Eksempel 1: Trinn e
48 = 2  2  2  2  3
Når vi er kommet så langt er det ofte lurt å kontrollere resultatet. Det gjør vi
ved å gange faktorene i den rekkefølgen de står. Etter hvert som vi har brukt
faktorene, stryker vi dem, for å holde oversikten:
48 =
22223
2  2=4
48 = 2  2  2  2  3
4  2=8
48 = 2  2  2  2  3
8  2 = 16
48 = 2  2  2  2  3
16  3 = 48
En annen måte å vise dette på kan være:
48
=
48
=
48
=
48
=
48
=
2


4
2

2

2

3

2

2

3

2

3

3
8
16
48
Her ser vi at vi har faktorisert riktig.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-5
Matematikk FRA A TIL Å
Primtallsfaktrisering
3.2
PRIMTALLSFAKTORISERING
Som navnet på denne teknikken antyder, går dette ut på å faktorisere et tall ned
til primtallene som tallet er bygget opp av.
Primtallsfaktorisering skal vi se på i eksempel 2:
Her tar vi utgangspunkt i et litt større tall, nemlig 432.
Vi fører opp tallet, og tegner en loddrett linje:
Eksempel 2: Trinn a
432
432 er et partall, og kan derfor deles på 2. Derfor skriver vi et totall på høyre
side av linjen:
Eksempel 2: Trinn b
432
2
Totallet betyr at vi skal dele 432 med 2. Det blir 216. Dette tallet skriver vi rett
under det opprinnelige tallet, på venstre siden av linjen.
Eksempel 2: Trinn c
432
216
2
Vi ser at 216 også er et partall, som altså også kan deles på 2. Derfor skriver vi
et nytt totall ved siden av 216, på høyre siden av linjen.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-6
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 2: Trinn d
432
216
2
2
Dette betyr altså at vi skal dele 216 på 2. Det blir 108.
Eksempel 2: Trinn e
432
216
108
2
2
108 er også et partall som kan deles på 2:
Eksempel 2: Trinn f
432
216
108
2
2
2
432
216
108
54
2
2
2
108 : 2 = 54
Eksempel 2: Trinn g
54 er også et partall….
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-7
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 2: Trinn h
432
216
108
54
2
2
2
2
432
216
108
54
27
2
2
2
2
54 : 2 = 27
Eksempel 2: Trinn i
Men 27 er ikke et partall. Det kan ikke deles på 2.
Da ser vi på det neste primtallet, nemlig 3, og spør: Kan 27 deles på 3?
Javisst: 27 : 3 = 9. Så nå skriver vi 3 på høyre siden av linjen.
Eksempel 2: Trinn j
432
216
108
54
27
2
2
2
2
3
…og siden 27 : 3 = 9, skriver vi 9 på venstre siden av linjen:
Eksempel 2: Trinn k
432
216
108
54
27
9
2
2
2
2
3
Vi fortsetter å sjekke om tallet kan deles på 3.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-8
Matematikk FRA A TIL Å
9:3=3
Altså et nytt 3-tall på høyre siden.
Eksempel 2: Trinn l
432
216
108
54
27
9
2
2
2
2
3
3
Og, siden vi får 3 når vi deler 9 på 3, skriver vi 3 på venstre siden:
Eksempel 2: Trinn m
432
216
108
54
27
9
3
2
2
2
2
3
3
Nå er vi på primtallnivå. 3 kan bare deles på seg selv eller på 1. Da skal vi dele
primtallet på seg selv, slik at vi ender opp med 1 til slutt på venstre side.
Eksempel 2: Trinn n
432
216
108
54
27
9
3
1
2
2
2
2
3
3
3
Og dermed er vi i mål. Nå har vi vist hvilke primtallsfaktorer 432 består av.
Avslutningsvis skriver vi opp det faktoriserte resultatet, som vi finner i
tallrekken på den høyre siden av linjen.
432 = 2  2  2  2  3  3  3
Vi sjekker om dette kan stemme:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F-9
Matematikk FRA A TIL Å
Trediagram
3.3
432
=
432
=
432
=
432
=
432
=
432
=
432
=
2

2
4

2

2

3

3

3

2

2

3

3

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3
8
16
48
144
432
TREDIAGRAM
Fremgangsmåten når vi bruker et trediagram er på mange måter akkurat det
samme som primtallsfaktoriseringen i eksempel 2, men utseendet blir noe
annerledes.
I eksempel 3 bruker vi et annet tall, nemlig 84.
Vi begynner med å skrive opp tallet:
84
Eksempel 3: Trinn a
Deretter deler vi tallet på det minste primtallet, nemlig 2:
84 : 2 = 42
Vi fører opp både 42 og 2 slik:
84
Eksempel 3: Trinn b
42
2
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F - 10
Matematikk FRA A TIL Å
Nå ser vi at 42 også er et partall, som kan deles på 2.
Vi får:
42 : 2 = 21
Da fører vi opp både 21 og 2:
84
Eksempel 3: Trinn c
42
21
2
2
Men 21 er ikke et partall. Da forsøker vi å dele på 3.
Og det går jo bra:
21 : 3 = 7
Så vi fører opp 7 og 3:
84
Eksempel 3: Trinn d
42
21
7
2
2
3
Nå ser vi at det begynner å vokse frem et mønster som kan minne om grener på
et tre.
7 kan vi ikke dele på 3. Heller ikke på det neste primtallet, som er 5.
7 er jo selv et primtall. Vi avslutter trestrukturen ved å føre opp både 7 og 1, på
samme måte som vi avsluttet primtallsfaktoriseringen:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F - 11
Matematikk FRA A TIL Å
84
Eksempel 3: Trinn e
42
2
21
2
7
1
3
7
Ser vi på dette mønsteret vil vi se at primtallene samler seg på grenene på
høyre side. Vi setter dem til slutt opp som et gangestykke, slik vi avsluttet
primtallsfaktoriseringen:
84 = 2  2  3  7
… og setter prøve:
84
=
84
=
84
=
84
=
2

2
4

3

7

3

7

7
12
84
Og her ser vi at faktoriseringen stemmer.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F - 12
Matematikk FRA A TIL Å
4
HVORDAN SER VI HVA ET TALL KAN
DELES MED?
Ved hjelp av noen enkle regler kan vi se om et tall kan deles på 2, 3, 4 o.s.v.
Dette er nærmere forklart i kapitlet ”Hoderegning”.
Du kan også finne en oversikt over disse reglene i kapitlet ”Regler”.
Her skal jeg derfor nøye meg med å ta med de aller enkleste og mest brukte
reglene.
Et tall kan
deles på…
2
…når:
Eksempel/forklaring
Når tallet er et partall.
Alle tall som slutter på 0,
2, 4, 6 eller 8 er partall.
321
Tverrsummen av 321 er
3+2+1=6
6 kan deles på 3 – derfor
kan 321 deles på 3.
Alle tall i 5-gangen
slutter på 0 eller 5
Her kombinerer vi
reglene for deling på 2
og deling på 3.
3
Når tverrsummen kan deles på 3
5
Når siste siffer er 0 eller 5
6
Når tallet er et partall og
tverrsummen kan deles på 3.
10
Når siste siffer er 0
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
F - 13
Hvordan
ser vi
hva et
tall kan
deles
med?