Gränsvärden - Jan Leidenhed

Dokumentet är från sajtsidan Matematik:
som ingår i min sajt:
http://www.leidenhed.se/matte.html
http://www.leidenhed.se
Gränsvärden
Justeringar av innehållet utförda 2014-05-22
Kapitlets syfte
Intervallinkapslingssatsen behöver stramas upp. Den nya versionen är en hörnsten
i kommande idépresentationer. Samma gäller för gränsvärden.
Gränsvärdesdefinitionen rättar jag till med hjälp av intervallinkapslingssatsen. Jag
utesluter vissa resultat (som jag kallar slutvärden) från att vara gränsvärden.
Jag bjuder på ett flertal intressanta exempel inom området gränsvärden.
Inledning
Gränsvärden är centrala för vår förståelse av världen. Min syn på hur viktiga
gränsvärden är får ett visst stöd av ett uttalande av Bertrand Russel, en av
nittonhundratalets stora tänkare och matematiker/logiker samt nobelpristagare i
litteratur. Han sa ungefär så här:
Trots att det verkar som en paradox, domineras all exakt vetenskap av idén om
approximationer.
Approximationer är närmevärden, det vill säga värden som ligger nöjaktigt nära
ett exakt, teoretiskt värde. Skillnaden mellan närmevärdet och det exakta värdet
bör vara så liten, att man kan bortse från den. I den numeriska analysen kan denna
skillnad vara ganska stor, den praktiska tillämpningen styr. När det gäller
gränsvärden, driver man skillnaden till att bli oändligt liten, alltså extremfallet.
Jag koncentrerar mig på det viktiga specialfallet monotont gränsvärde.
Intervall
Ett intervall är ett sammanhängande avsnitt på den reella tallinjen.
Jag skriver intervall så här: [a__b] , (a__b), (a__b], [a__b).
Hakparentes betyder, att ändvärdet ingår (annars inte). Den korta linjen mellan
ändvärdena a och b representerar intervallets innehåll exklusive a och b.
När det inte finns något innehåll mellan ändpunkterna, blir beteckningarna [a], (a),
(a] och [a). Varken linjen eller b behövs, eftersom a och b nu har samma värde.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
1 / 14
•
•
•
Intervallet [a] är slutet och innehåller ett enda tal, a, som är samma som
intervallets båda gränser.
Intervallet (a) är öppet och saknar både innehåll och ändvärden.
Intervallen (a] och [a) är halvöppna. Här ingår det slutna ändvärdet a men
inte det öppna ändvärdet a. Frågan är då: Ingår a eller ej? För det kan väl
inte göra båda delarna samtidigt?
Det slutna intervallet [a] kallar jag nollintervallet (0 värden mellan ändpunkterna).
Enligt Bourbaki: Elements of Mathematics ska de övriga varianterna definieras
som tomma, så (a), (a] och [a) benämns alla tre det tomma intervallet.
 Varje reellt intervall med olika ändpunkter innehåller oändligt många
olika talvärden. (Se föregående kapitel!)
 Nollintervallet innehåller endast ett värde, det sammanfallande ändvärdet.
 Det tomma intervallet innehåller inget värde alls.
Intervallinkapslingssatsen
Det här avsnittet är centralt och nödvändigt för förståelsen av gränsvärden och
följdeffekter av desamma, typ irrationella tal och oändliga tal/mängder.
Jag definierar längre ner gränsvärden med hjälp av intervallinkapslingssatsen.
Intervallinkapslingssatsen kan populärt beskrivas så här. Jag har en följd av slutna
intervall av reella tal. Om inget efterföljande intervall sticker utanför föregående
intervall, så har jag en intervallinkapsling. Kräver jag dessutom, att de allt kortare
intervallens längder ska sjunka ner mot 0, när antalet intervall går mot
oändligheten, formuleras intervallinkapslingssatsen på vardagsspråk vanligen:
Det finns bara ett enda tal A som tillhör (= ligger inbakat i) alla intervallen
som inkapslar varandra.
Satsen säger med andra ord, att man till slut når ett nollintervall, det enda som
innehåller bara ett tal A, nämligen intervallet [A].
Intervallinkapslingssatsen möter alla som studerar matematik på lite mer
avancerad nivå. Och alla tror uppenbarligen, att den är sann, för ingen verkar ha
protesterat mot den. Så här börjar en lärare på en av våra högre läroanstalter sitt
skriftliga bevis av satsen:
”Bevis: Att det inte kan finnas mer än ett tal som tillhör alla intervallen är
praktiskt taget självklart. …”
Hoppsan, där gick han rakt in i fällan! Det läraren uppfattar som ”praktiskt taget
självklart” är oftare fel än rätt!
Misstaget beror på, att intervallinkapslingssatsen formuleras på ett något svävande
sätt, så att den är sann ibland men osann för det mesta. Satsen är sann för alla
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
2 / 14
ändliga följder av intervall samt ändliga följder, där man (konstlat) lägger till det
sista intervallet [A] oändligt många gånger. För alla icke-konstlade oändliga
följder är satsen inte sann.
Jag skärper nu intervallinkapslingssatsen genom att kräva:
För varje delintervall skall det finnas ett ännu kortare intervall längre
bort i inkapslingsföljden.
Detta hindrar det suspekta nollintervallet från att ingå i följden. Eftersom det
saknar utbredning, finns det inte något kortare än det.
Skärpningen ger också, att det med nödvändighet finns oändligt många olika
långa, inkapslade intervall.
Mitt krav är viktigt, för det sorterar bort följder som redan efter ett ändligt antal
steg når ett slutvärde = nollintervallet.
Här är en följdeffekt av min skärpning av intervallinkapslingssatsen:
Det finns alltid oändligt många tal, som tillhör alla intervallen. Ett enda av
alla dessa tal, A, har dock den unika egenskapen att garanterat tillhöra alla
intervallen.
Exempel:
Jag väljer intervallföljden
[5__5,1], [5__5,01], [5__5,001], [5__5,0001], ...
Alla intervallen har 5 som gemensam undre gräns. Den övre gränsen ges ett
avtagande värde för de olika intervallen. Dessa värden konvergerar ständigt
och utan slut neråt mot 5. Kriterierna är uppfyllda – oändligt många
inkapslade slutna intervall vars längd går mot 0.
Varje delintervall innehåller oändligt många värden, eftersom den undre
gränsen och den övre aldrig är ett och samma värde. Det finns alltid en
restterm 0± = 0,000...01 som skiljer dem åt. Nollintervallet [5] uppnås aldrig
på grund av resttermen. Därför finns det alltid oändligt många tal kvar i
intervallen, hur länge man än kapslar in.
Den klassiska definitionen av intervallinkapslingssatsen fungerar bara, om
nollintervallet kan nås, det vill säga, att det faktiskt finns ett sista värde i
följden av inkapslade intervall. Det kan bara nås genom bortkapning av 0±,
som i sin tur ändrar en oändlig följd till att bli en ändlig följd.
Kravet att nollintervallet inte får ingå som delintervall har alltså effekten, att alla
ingående intervall innehåller oändligt många värden. Inte ett, som lärobokssatsen
påstår. Den utgår felaktigt från, att det alltid går att avsluta en oändlig kedja, bara
man gör det tillräckligt långt bort (så att ingen märker, att man fuskar).
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
3 / 14
Låt mig för ett ögonblick vända på resonemanget och låtsas, att det på klassiskt
vis bara finns ett enda gemensamt värde A. Jag kallar ett annat, näraliggande
värde för B. Oberoende av hur nära intill varandra A och B ligger, så kommer B
att underkännas som ett gemensamt tal, för någonstans längre bort i
intervallkedjan nås intervall som är så korta, att till och med B hamnar utanför.
Varje utpekat talvärde skilt från A kan inte vara ett för alla intervallen gemensamt
tal. Så långt har matematikerna rätt. Men, i det ynkliga intervall som sopade bort
B ligger fortfarande oändligt många tal. Detta gäller för alla tänkbara värden på B.
Även om vi rensar ut oändligt många värden, återstår det ändå alltid oändligt
många till.
Det speciella talvärdet A i satsen har flera unika egenskaper, varav en är, att
garanterat tillhöra alla intervallen. Talet är alltså ett bland oändligt många. Andra
unika egenskaper hos A presenteras senare i texten.
Gränsvärde
Se bilden nedan som jag använder till att visa mitt tankesätt. Eftersom jag
hänvisar till grafik, kallar jag den aktuella funktionen för kurva.
Jag har en böljande kurva som ser ut att konvergera mot den streckade linjen, vars
y-värde är A. En övre och en undre begränsning visas kraftigare ritad. Talen 1, 2,
3, … är x-värden. Vill jag ha en talföljd, väljer jag de ringmarkerade y-värdena.
För varje x-värde väljer jag ett slutet intervall i y-led som sträcker sig mellan den
undre och den övre kurvbegränsningen. Resultatet blir en följd av intervall
(bildens undre del). Om dessa intervall uppfyller villkoren för
intervallinkapslingssatsen, så är A kurvans (talföljdens) gränsvärde.
Om det hade räckt med ett ändligt antal intervall för att nåla fast den streckade
linjen (A-värdet) och sedan ingen avvikelse från den, då är A är ett slutvärde. Då
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
4 / 14
hade vi också kunnat reducera antalet intervall till 2, nämligen det första och det
sista = nollintervallet [A] (världens kortaste inkapsling!).
För kurvan gäller motsvarande. Om den vid ett givet ändligt x-värde antingen
slutar med y = A eller fortsätter med en rät linje y = A, så är A återigen ett
slutvärde.
Om A inte är ett slutvärde, är det ett gränsvärde.
Kommentar:
Det går att välja vilka övre och undre begränsningar som helst, bara de
resulterar i intervall som uppfyller villkoren för intervallinkapslingssatsen.
Eftersom kurvan hela tiden pressas ihop både uppifrån och nedifrån, borde den till
slut bli lika platt som en rät linje. Men blir den det, har vi nått ett slutvärde.
Den klassiska definitionen av gränsvärde (se definitionen i nästa avsnitt) tillåter,
att gränsvärdet också är ett slutvärde. Den fortsatta texten får försöka sprida ljus
över mitt synsätt.
Utan att här ge ett teoretiskt bevis, redovisar jag den viktiga slutsatsen:
Gränsvärdet saknar de (kurv)egenskaper som styr konvergensen.
Det kommer snart ett antal exempel på detta.
Låt oss nu se på specialfallet monotona kurvor. De är monotont växande, om de
aldrig avtar samt monotont avtagande, om de aldrig stiger.
För en monotont stigande kurva gäller, att den största undre gränsen för respektive
intervall sammanfaller med kurvan och den minsta övre gränsen är exakt lika med
gränsvärdet (eller slutvärdet), om sådant finns.
För en monotont avtagande kurva gäller, att den minsta övre gränsen för
respektive intervall sammanfaller med kurvan och den största undre gränsen är
exakt lika med gränsvärdet (eller slutvärdet), om sådant finns.
När det gäller monotona kurvor, har vi ännu en viktig poäng att skörda, nämligen
att en konvergerande, monoton kurva aldrig kan innehålla sitt gränsvärde. En
pendlande kurva kan däremot skära linjen y = gränsvärdet.
Kommentar:
Det ouppnåeliga gränsvärdet A är exakt detsamma som det uteslutna
nollintervallet [A].
I resten av kapitlet behöver jag bara monotont konvergenta kurvor / talföljder.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
5 / 14
Definition av gränsvärde
Den klassiska definitionen:
Funktionen f sägs ha gränsvärdet A, när x → +∞ , om det till varje tal ε > 0
finns ett tal ω, sådant att | f(x) - A | < ε för alla x sådana att x > ω.
Den här definitionen tillåter, att f(x) = ett konstant värde A bortom ett visst xvärde (ω). A är då ett slutvärde, inte ett gränsvärde.
Min definition utesluter | f(x) - A | = 0, som motsvarar nollintervallet. Om den
klassiska definitionen omformas som nedan, skulle den få samma effekt som min
på intervallinkapslingssatsen vilande definition:
Funktionen f sägs ha gränsvärdet A, när x → +∞ , om det till varje tal ε > 0
finns ett tal ω, sådant att 0 < | f(x) - A | < ε för alla x sådana att x > ω.
En försvunnen egenskap
Nu kommer en betydelsefull detalj – den försvunna egenskapen.
När det gäller funktioner, så har till exempel y = 1/ x (jag väljer för x > 1)
självklara egenskaper, som gränsvärdet saknar. Kurvan är ständigt avtagande och
krökt. Gränsvärdet är å andra sidan en rät, horisontell linje (y = 0, det vill säga xaxeln). Kurvan har framträdande egenskaper (avtagande, krökt), som dess
gränsvärde saknar.
För en talföljd (i stället för x ovan väljer jag n, ett naturligt tal) kan det bli så här:
Bortom ett visst värde på n (för n > 1 i vårt exempel) är 1/n alltid en kvot, som
inte kan reduceras till ett heltal. Gränsvärdet 0 är däremot ett heltal. Vi har en
viktig egenskap som biter sig fast i talföljden och gränsvärdesprocessen, men som
på ett mystiskt sätt förändras/försvinner i gränsvärdet. Egenskapen är i det här
exemplet ett bråk som aldrig kan förenklas till ett heltal, något som gränsvärdet
däremot är.
Kommentar:
1 1
I fallet lim( + ) blir resultatet 1/2, vilket tyder på, att nämnda egenskap
n →∞ 2
n
finns kvar, men så är det inte, för termen 1/2 deltar inte aktivt i
gränsförloppet. Den kan brytas ut ur limesuttrycket.
1 1
1
1
1
lim( + ) = + lim( ) . Delen lim( ) är det egentliga gränsvärdet.
n →∞ 2
n →∞ n
n
2 n →∞ n
Det är hos det egentliga gränsvärdet som egenskapsförändringen gäller.
Vid ett oändligt förlopp är ”den försvunna egenskapen” ett kännetecken på, att
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
6 / 14
gränsvärdet är hittat. Om gränsvärdet för 1/n ovan hade varit ett bråk 1/nn (alltså
vid bevarad egenskap), hade det också varit möjligt att hitta ett ännu mindre tal
genom att addera 1 till nämnaren, 1/(nn+1), och då var 1/nn uppenbarligen inte
det sökta gränsvärdet. Därför kan gränsvärdet just i detta fall inte vara av typen
bråk (med nämnaren större än täljaren).
Vilken den tappade egenskapen är, varierar från gränsvärde till gränsvärde. Ibland
är den svår att identifiera. Givetvis kan det finnas fler än en egenskap som
försvinner eller förändras.
För monotona, konvergenta, oändliga talföljder gäller:
•
•
Gränsvärdet saknar den eller de egenskaper, som varje element tillräckligt
långt in i följden har och som samtidigt utnyttjas i konvergensförloppet.
Gränsvärdet kan aldrig uppnås.
Kvastar
Jag väljer två monotont avtagande talföljder T och F samt ett fixerat värde G. F är
den talföljd som ska undersökas.
T=
1
,
n
F=
1
n2
och
G = 0.
För alla n > 1 är T större än F som i sin tur är större än G. Både T och F sjunker
monotont ner mot värdet G = 0, när n växer över alla gränser. F är instängd mellan
T och G. Eftersom T sjunker ner mot G, fungerar de som övre och undre gräns till
F, vars gränsvärde bestäms till klämvärdet 0.
Som du ser, är T = n x F. T är med andra ord n gånger större än F. När n går mot
oändligheten sjunker både T och F mot G = 0, men om vi jämför T och F med
varandra, så växer T mot att bli oändligt mycket större än F. Ur F:s synpunkt
kommer T att försvinna upp i skyn och ge F ett i sitt tycke allt större utrymme.
Det rimmar illa med att F kläms ihop mellan T och G. T kommer aldrig att nå ner
till G för att på så sätt nagla fast det slutliga gränsvärdet för F.
Låt mig nu välja ett helt knippe av talföljder:
F1 =
1
,
n
F2 =
1
,
n2
F3 =
1
,
n3
F4 =
1
,
n4
... ,
Fp =
1
och G = 0.
np
Mellan dessa råder inbördes samma relativa fenomen som ovan. F1 tenderar att bli
oändligt mycket större än F2 som tenderar att bli oändligt mycket större än F3 som
tenderar att bli oändligt mycket större än F4 som ... Allt relativt sett. Samtidigt
sjunker allihop mot 0. Hur ska alla dessa kunna stråla samman i ett slutligt,
gemensamt gränsvärde, när de gör allt för att komma bort från varandra?
Trots vad som nu sagts, räknar man allmänt med gränsvärdet (exakt!) 0 som ett
sant slutvärde för alla de godtyckligt många talföljderna ovan.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
7 / 14
Likheter mellan 0 och ∞
1
1
1
, B = 2 och C = 3 når
x
x
x
C först gränsvärdet. En bit längre bort dimper B ner på mållinjen och ännu längre
bort avslutar A sin bana. På så sätt når alla fram. Men, som sagt, i verkligheten når
ingen fram, för gränsvärdet 0 är ouppnåeligt.
Man kan intuitivt föreställa sig, att av kurvorna A =
Nu vänder jag på resonemanget och studerar D = x3, E = x2 och F = x. Där är de
flesta rörande eniga om, att det är en enorm skillnad mellan, hur brant respektive
kurva rusar upp mot oändligheten. Ändå är problemet exakt som för A, B och C.
A är x gånger större än B som är x gånger större än C. Jämför det med att D är x
gånger större än E som är x gånger större än F. De relativa skillnaderna mellan
kurvorna på väg mot noll är precis desamma som hos kurvorna på väg mot
oändligheten.
D, E och F går mot oändligheten. Men i denna oändlighet är D oändligt mycket
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
8 / 14
större än E som i sin tur är oändligt mycket större än F.
Om vi betraktar de olika kurvorna sedda från D, så inträffar det oväntade, att
också E (= D/x) och F (= D/x2) går mot gränsvärdet 0.
Perspektiv
När man tecknar och vill ge bilden ett djup, använder man perspektiv. Om vi ser
längs ett rakt järnvägsspår, tycks det gå ihop vid horisonten, så tecknaren ritar en
horisontlinje och markerar en punkt på den. Från den drar han sedan sina
perspektivlinjer.
Detta är inte korrekt! Järnvägsspårets båda skenor ligger hela tiden på samma
inbördes avstånd och kan därför aldrig gå ihop i en punkt. Sanna perspektivlinjer
böjer hela tiden perspektivmässigt svagt från varandra, så att de aldrig
sammanfaller.
Bröderna Herbert och Gångerolf befinner sig vid ett sådant där järnvägsspår.
Gångerolf bestämmer sig för att följa rälsen. Herbert står kvar och tycker, att
brodern blir allt mindre. Till slut är Gångerolf försvunnen. Herbert konstaterar nu,
att lillebror inte längre finns till, han blev en äkta nolla, och lägger beslag på hans
ägodelar samt festar upp hela klabbet.
En tid senare står Herbert där igen och sörjer sin bortgångne bror, när det
märkliga inträffar, att Gångerolf uppstår till synes ur intet. Han kommer lunkande
tillbaka och blir allt större på kuppen. När han når Herbert är det i full storlek.
Gångerolf blir inte glad, när han får veta, vad Herbert gjort med hans samlade
kapital. Han påpekar dessutom med eftertryck, att han varit lika stor hela tiden.
När Gångerolf gick mot oändligheten, sjönk samtidigt hans storlek mot noll. Så
såg Herbert det. Men oändligheten är ouppnåelig, så Gångerolf slapp bli exakt
noll hög, det vill säga försvinna, bara nästan, och kunde därför vända tillbaka.
Tänk att Herbert inte förstod detta.
Det är vår begränsade förmåga att uppfatta de riktigt små talen, som får oss att i
vissa sammanhang bortse från dem. Ändå finns de där. Hela tiden. De små talen
är inte noll, bara för att de skenbart har tonat bort för oss. Om vi använder kikare
eller mikroskop, blir det lilla genast större.
Det var en gång en pygmé från de djupa skogarna. När han för första gången
nådde savannen och där såg elefanter och giraffer långt bort, tänkte han: ”De där
konstiga små djuren får plats i min proviantpåse.”
Månghörningen och cirkeln, del 1
Låt oss titta närmare på en liksidig månghörning med n stycken hörn, med samma
vinkel i alla hörn och med alla hörnen riktade utåt från ett gemensamt centrum.
n = 3 ger en liksidig triangel, n = 4 en kvadrat, n = 5 en liksidig femhörning. När
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
9 / 14
jag låter antalet hörn växa mot oändligt många, påminner månghörningen allt mer
en cirkel. Mycket riktigt är månghörningarnas gränsvärde en sådan. En naturlig
fråga blir: Har cirkeln oändligt många hörn eller inga hörn alls?
Antag, att cirkeln har hörn. Kalla tre sådana i rad för A, B och C. Hörnet B
bestäms av de två linjerna AB och BC. Deras längd xx (0±) är oändligt kort utan
att därför vara exakt 0. Om cirkeln har hörn, så är den alltså en månghörning med
sidlängden xx. Cirkeln kan då förfinas till en månghörning med kortare sidlängd
än xx (som betyder fler sidor totalt) och är därför inte gränsvärdet. Av denna
motsägelse följer, att cirkeln saknar hörn.
Ett annat sätt att se det är: Låt en cirkel gå genom alla hörnen på en given
månghörning. Flytta i varje förfiningssteg mittpunkterna på månghörningens alla
sidor radiellt ut till cirkeln. En sträcka kan aldrig ”halveras” till att bli en punkt.
Därför har månghörningen alltid sidor med utsträckning, oberoende av antalet
hörn. Alla punkterna på en sida utom ändpunkterna (hörnen) ligger inte på den
omgivande cirkeln. För att en månghörning ska sammanfalla med en cirkel krävs,
att de är identiska, alltså att de har samtliga punkter gemensamma och det är som
sagt inte möjligt.
Månghörningen har egenskaperna hörn och (linjära) sidor och de utnyttjas bägge i
konvergensprocessen. Just därför saknar gränsvärdet cirkeln dessa egenskaper.
Ett tredje variant är att se på krökningen. Hos cirkeln är den konstant. Hos
månghörningen hoppar den mellan oändligt stor i hörnen och 0 i de raka sidorna.
Vår månghörnings medelpunkt kan beräknas. Den ligger i skärningspunkten för
sidorna mittpunktsnormaler. Om n är antalet sidor och r är avståndet mellan
π
medelpunkten och en sida i månghörningen, är dess omkrets 2 × r × (n × tan )
n
π
och dess yta är r 2 × (n × tan ) .
n
π
Eftersom lim(n × tan ) = π , så blir gränsvärdets omkrets = 2rπ och yta = r2π,
n →∞
n
vilket stämmer ”precis” med, vad vi lärde oss i skolan om cirkeln. Jag skriver
”precis” inom citat för att påminna om, att den oändligt lilla skillnaden, den ryska
nollan, trots allt finns kvar. Månghörningens omkrets kan aldrig bli exakt samma
som gränsvärdescirkelns.
Månghörningen och cirkeln, del 2
Jag utgår från två cirklar med gemensam medelpunkt. Den mindre har radien r
och den större radien R. Mellan dem lägger jag in en kurva enligt figuren nedan.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
10 / 14
Nu dubblar jag antalet kuggar och ökar samtidigt r till r2, så att avståndet R - r2
blir hälften av R - r1.
Denna dubblering och halvering fortsätts sedan i all oändlighet.
Låt mig börja med värdena R = 20 cm och r = 10 cm. Då är summan av de radiella
delarna av kuggarna 8 x (R - r) = 8 x (20 - 10) = 80 cm.
På den undre bilden är r = 15 cm, så R - r = 5 cm. Men nu har de radiella delarna
ökat i antal till det dubbla mot i förra bilden, alltså från 8 till 16 stycken, så
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
11 / 14
summan av dem är nu 16 x 5 = 80 cm, alltså samma som tidigare. Hur mycket jag
än kramar ihop kugglinjen blir den nämnda radiella summan 80 cm.
rn växer hela tiden mot R. I gränsvärdet ser den mellan cirklarna hopklämda
figuren ut som en cirkel med radien R = 20 cm och dess yta och radie
sammanfaller till synes med gränsvärdecirkelns vars omkrets är cirka 126 cm.
Men”kugg-”cirkelns är ungefär 206 cm. Det skiljer därför 80 cm mellan dem!
Kuggarna försvinner aldrig helt. Oändligt många och oändligt små kombineras i
det här fallet till ett tillskott på 80 cm (∞± x 0± = 80). ”Kugg”-egenskapen är en
egenskap som saknas hos gränsvärdet cirkel.
Klotvolymen, cirkelytan och punkten
En cirkelyta är en rund skiva med en viss radie. Om jag krymper radien allt mer i
ett oändligt antal steg ner mot 0, får jag ett gränsvärde som är en punkt, alltså
cirkelns medelpunkt.
Punkten saknar radie, så den är ingen cirkelyta. Om punkten hade haft en radie,
skulle det vara möjligt att krympa den en bit till och då hade punkten inte varit det
sökta gränsvärdet.
Säg nu att vi har en klotvolym. Om vi låter radien gå mot 0 i ett oändligt antal
steg, så är gränsvärdet återigen en punkt, den som vi kallar klotets medelpunkt.
Den tredimensionella volymen har reducerats till en nolldimensionell punkt.
Rymdradien är borta.
Genom att använda själva gränsvärdet, så avsäger vi oss i de här fallen tillgången
till ett antal dimensioner, vilket kan vara nog så allvarligt.
Motsatta vägen
Kan vi från ett gränsvärde hitta tillbaka genom gränsvärdesprocessen?
Nej! Gränsvärden är ouppnåeliga och saknar kontakt med det som genererar dem.
Därför är det omöjligt att från gränsvärdet starta en entydig tillbakapromenad. Det
finns alltid oändligt många vägar att välja mellan.
Tag exempelvis de tidigare nämnda kvastarna som alla har 0 som gränsvärde. Om
vi börjar vid gränsvärdet, så är samtliga kvastar godkända färdvägar.
Alla geometriska objekt som har degenererat till gränsvärdet punkt är ett annat
exempel på mångfalden returvägar.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
12 / 14
Läraren
Minns du högskoleläraren som började sitt bevis av intervallinkapslingssatsen så
här: ”Att det inte kan finnas mer än ett tal som tillhör alla intervallen är praktiskt
taget självklart.”
Detta gäller bara slutvärden. Alla inkapslingar som är oändligt många och som
inte kan reduceras till ändligt många intervall med bibehållet gränsvärde
innehåller hela tiden oändligt många tal, inte ett.
1 är inte samma som 0,99999999999999999999...
I början av kapitlet ”Minst och störst” tog jag i samband med den ryska nollan
upp det felaktiga påståendet, att 1 = 0,999... Nu kommenterar jag det utifrån
gränsvärdesaspekten.
Talföljden T = 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999, ... konvergerar monotont enligt
1
lim(1 − n ) mot (det ouppnåeliga) gränsvärdet 1.
n →∞
10
Om 0,999... står för ett alternativt skrivsätt till limesuttrycket, är 0,999... inte
samma som 1.
Men ...
Om 0,999... däremot betecknar ett decimaltal, där antalet decimaler redan från
början är satt till oändligt många, blir resultatet ett annat. I decimaltal med
oändligt många decimaler och cyklisk svans gäller, att vi aldrig kan ange antalet
mer precist, än att det tillhör en viss storleksordning. Samtidigt är det mycket
enkelt att få fram en given decimals värde. I talet T = 3,2747474... har vi siffran 7
på alla jämna decimalplatser, så på plats nummer 2 000 718 518 står siffran 7.
I talen 1000T = 3274,747474... och 10T = 32,747474... är decimalerna kända. De
udda innehåller siffran 7 och de jämna siffran 4. De båda talens decimaler har
exakt samma sifferföljd. Vid subtraktion försvinner därför decimalerna, tack vare
att vi kan utgå från, att deras antal garanterat är oändligt.
990T = 1000T - 10T = 3274 - 32 = 3242; T = 3242 / 990 = 1621 / 495.
Gör vi samma med T = 0,999... får vi 9T = 10T - T = 9 - 0 = 9; T = 1.
Den här decimalelimineringen fungerar inte för irrationella tal, då deras decimaler
saknar cyklisk svans och därför inte kan beräknas i godtycklig position långt bort.
Gränsvärden tar sig fram via stegning längs ett index, vanligen naturliga tal. Dessa
kan, trots att de är ändlöst många, aldrig nå upp till att bli oändligt många. Däri
ligger skillnaden ovan. Se även kapitlet ”Min oändlighet” som förklarar
skillnaden mellan ändlöshet och oändlighet närmare.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
13 / 14
Lite lekfullt om 0,999…:
Bråket n/9 ger uträknat, för 0 ≤ n < 9 kvoten 0,nnn… Exempelvis är 7/9 =
0,777… Men försök hitta ett bråk som ger kvoten 0,999…!
En lösning ges sist i kapitlet ”Avslutning”.
_______________________________________________________________________________
Gränsvärden
2014-05-22 Jan Leidenhed
14 / 14