Matematisk statistik Tentamen: 2015–01–10 kl 800–1300

Tentamen: 2015–01–10 kl 800 –1300
FMS 086 — Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp
MASB02 — Matematisk statistik för kemister,
7.5 hp
Matematisk statistik
Matematikcentrum
Lunds tekniska högskola
Lunds universitet
Korrekt och väl motiverad lösning på uppgifterna 1–5 ger 10 poäng vardera medan delfrågorna på uppgift 6 ger
4 poäng vardera. Totalt kan man få 70 poäng. Gränsen för godkänd är 35 poäng, dock finns det vissa minimikrav
på uppgifterna 1–5 (18p) respektive uppgift 6 (7p).
Institutionens papper används både som kladdpapper och inskrivningspapper. Varje lösning skall börja överst på
nytt papper. Rödpenna får ej användas.
Tillåtna hjälpmedel: Matematiska och statistiska tabeller som ej innehåller statistiska formler, formelsamling
matematisk statistik för bio- och kemitekniker, samt miniräknare.
Resultatet anslås senast måndag den 26 december i matematikhusets entréhall.
1. Kung Manuel I Komneus regerade det Bysantinska riket under perioden 1143 – 1180. Vid utgrävningar
på Cypern har man funnit mynt som är präglade under olika tidpunkter under Manuels regim. Man
studerade silverhalten i mynt från en tidig period och jämförde med mynt från en sen period (% Ag):
Tidig period:
Sen period
5.9
5.3
6.8
5.6
6.4
5.5
7.0
5.1
6.6
6.2
7.7
5.8
7.2
5.8
6.9
6.2
Ansett en lämplig modell och undersök om den genomsnittlig silverhalt i mynten minskar under Manuels
regeringstid.
(10p)
2. Avloppet från en industri mynnar ut i ett vattendrag. För att undersöka hur exempelvis halten av järn
späds ut i vattnet mäts Fe-halten vid ett antal punkter nedströms om utsläppspunkten.
Antal meter från
utsläppspunkten
Fe-halt
(mg/l)
x = 466
(x)
0
80
160
240
360
480
620
760
900
1060
(y)
50
50
59
51
47
36
41
29
29
31
y = 42.3
Sxx = 1 173 640
Sxy = −30 818
Syy = 1 018.1
(a) Skriv upp en modell för data under antagandet att Fe-halten avtar linjärt med avståndet från utsläppspunkten samt att avvikelserna från linjen kan antas vara normalfördelade med konstant varians. Skatta parametrarna i modellen och variansen hos avvikelserna.
(4p)
(b) Hur mycket minskar Fe-halten per 100 m? Gör ett konfidensintervall för minskningen.
(3p)
(c) Wilma ska i morgon mäta Fe-halten vid badbryggan som ligger 500 m nedströms utsläppspunkten.
Utgående från den linjära regressionsmodellen, vad kan hon säga om Fe-halten i provet?
(3p)
3. Avfallsvattnet från en industri genomgår rening i två, på varandra följande, steg: steg I och steg II. Resultatet i de båda stegen kan värderas som ”dåligt” eller ”bra”. De tillhörande sannolikheterna för var och en
av de fyra möjliga händelserna ges i följande tabell:
Steg I
Steg II
Bra rening
0.8
0.7
Antag att resultatet från de två stegen är oberoende.
Dålig rening
0.2
0.3
(a) Om precis ett av stegen ger en bra rening (och det andra en dålig) benämner man detta som ”acceptabel rening”. Vad är sannolikheten för denna händelse?
(2p)
(b) En ”oacceptabel rening” har man om reningen är dålig i båda stegen. Om man studerar 100 omgångar avfallsvatten, vad är sannolikheten att minst 10 omgångar har en oacceptabel rening? (4p)
(c) Man misstänker att sannolikheterna som är angivna i (a) inte stämmer utan att ”oacceptabel rening”
sker oftare än vad som är angivet. Då man kontrollerade 100 omgångar såg man att i enbart 90
omgångar var reningen bra eller acceptabel. Tyder detta på att vår misstanke är befogad?
(4p)
4. Man frågade 124 slumpmässigt utvalda ungdomar hur fort de kört en bil när de kört som fortast. Man
ritade histogram och normalfördelnings plot för data (x) och log transformerad data (y = log(x)) och
beräknde följande värden
Sxx = 73 430
y = 4.8958
30
25
25
20
20
frekvens
frekvens
x = 135.7661
15
10
15
10
5
5
0
50
100
150
200
maxhastighet (km/h)
0
4.5
250
Normal Probability Plot − x
0.997
0.99
0.98
0.95
0.90
0.75
0.50
0.25
0.10
0.05
0.02
0.01
0.003
100
150
200
maxhastighet (km/h)
(a) Ange en lämplig model för maxhastigheten.
5
log(maxhastighet)
5.5
Normal Probability Plot − log(x)
Probability
Probability
Syy = 3.6801
0.997
0.99
0.98
0.95
0.90
0.75
0.50
0.25
0.10
0.05
0.02
0.01
0.003
4.6
4.8
5
5.2
log(maxhastighet)
5.4
(2p)
(b) Gör ett approximativt konfidensintervall för den förväntade maxhastighet hos ungdomar i allmänhet?
(4p)
(c) Man är intresserad av, p, sannolikheten att en ung förare har en maxhastighet som överstiger 150
km/h. I denna undersökning var det 27 som hade en högre maxhastighet. Gör ett konfidensintervall
för p.
(4p)
5. När man tillverkar pappersgem utgår man ifrån en rulle metalltråd av längd 1.6 m. Tråden rullas upp,
kapas av, böjs till i traditionell form och samtliga gem förpackas sedan i en kartong med texten "100
gem". Om det på slutet återstår en liten trådbit som inte räcker till ett gem slängs denna bit. Längden på
metalltråden hos ett gem ska vara 15.9 mm men kan emellertid variera något. Antag att längden varierar
enligt en stokastisk variabel med standardavvikelse σ där σ = 0.5 mm.
Beräkna sannolikheten att kartongen innehåller minst 100 gem.
6.
(10p)
(a) En labbgrupp gör upprepade mätningar av kopparkoncentrationen i en träbit där Cu-halten är 100
ng/l. Deras mätningar kunde beskrivas bra av en normalfördelning N(91, 0.3). Uppskatta hur stort
det systematiska felet är i gruppens mätningar.
(4p)
(b) Vid påfyllning av mjölkförpackningar slinker det ibland med en eller annan bakterie som orsakar
skämd mjölk. Om detta händer, i medeltal, för en mjölkförpackning av 1000 hur stor är då sannolikheten att, bland 2400 slumpvis utvalda paket, ingen förpackning innehåller skämd mjölk? (4p)
(c) Ett viss ämne är biologiskt nedbrytbart och man har upptäckt att tiden det tar, räknat i dagar, för att
en enhet av ämnet ska vara helt nedbrutet kan beskrivas av en slumpvariabel som är exponentialfördelad med väntevärde 100 dagar. Vad är sannolikheten att en enhet av ämnet inte är helt nedbrutet
efter 200 dagar?
(4p)
(d) I en undersökning av sambandet mellan kokpunkt (enhet: grader Farenheit) och luftryck (enhet:
tum kvicksilver) gjorde den skotske fysikern James D. Forbes en serie mätningar mellan 1840 och
1850, totalt 17 mätningar på olika platser i Skottland och Alperna. Vid en linjär regressionsanalys
med lufttryck som förklarande variabel och kokpunkt som beroende variabel fick man följande
resultat:
Parameter
α
β
skattning
155.3
1.902
95% konfidensintervall
(153.3, 157.3)
(1.82, 1.98)
Har lufftrycket en signifikant effekt på kokpunten? Motivera ditt svar!
(4p)
(e) Vid ett 22 -faktorförsök med 3 replikat fås följande resultat
Faktorkomb.
(1)
a
b
ab
¯yij·
73.67
65.33
46.67
53.67
sij2
2.33
4.33
2.33
2.33
b = −0.33
A
b = −9.67
B
c = 3.83
AB
Ange:
i) En skattning av den gemensamma variansen.
b
ii) Medelfelet d (A).
LYCKA TILL!
(2p)
(2p)