Kapitel 1 - Jamshid Sanei

Transcription

lena Alfredsson
kajsa bråting
patrik erixon
hans heikne
Matematik
5000
kurs 3c blå lärobok
natur & kultur
Bla 3c.indb 1
2012-07-10 09.34
NATUR & KULTUR
Box 27 323, 102 54 Stockholm
Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, [email protected]
Redaktion: Tel 08-453 86 00, [email protected]
www.nok.se
Order och distribution: Förlagssystem,
Box 30 195, 104 25 Stockholm
Tel 08-657 95 00, [email protected]
www.fsbutiken.se
Projektledare: Irene Bonde
Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB
Bildredaktör: Erica Högsborn
Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom
Layout:
Måns Björkman/Typ & Design och
Mats Karlsson/Devella HB
Sättning:Måns Björkman/Typ & Design och
Mats Karlsson/Devella HB
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden,
utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk
enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten
till kopiering för privat bruk.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän
åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli
skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
© 2012 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin,
Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne, Anna Palbom
och Natur & Kultur, Stockholm
Tryckt i Lettland 2012
Första utgåvans första tryckning
ISBN 978-91-27-42628-3
Bla 3c.indb 2
2012-07-10 09.34
Välkommen till Matematik 5000
Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad
på färdigheter, förståelse, kommunikation och
problemlösning och erbjuder stora möjligheter till
en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K
an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 3c Blå lärobok, riktar sig till
elever som studerar på teknikprogrammet eller
naturvetenskapsprogrammet.
Hur är boken upplagd?
• T
eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som
ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka
matematiken.
Teorin avslutas med flera lösta exempel som
belyser det viktigaste.
Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer,
a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• A
ktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. De finns i fyra olika kategorier:
Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera.
De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje
kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade
till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande
uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt
sammanhang.
• P
å många sidor blandas uppgifter av standard-
karaktär med uppgifter som kräver matematisk
problemlösning.
• E
n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E
n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par
eller smågrupper värdera sina kunskaper om
matematiska begrepp och strategier och
i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.
• O
m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.
Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta
uppgifterna i bokens teoriavsnitt.
• T
vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast
uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra
innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Blandade övningar består av tre delar: Utan
räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter.
Till läroboken finns en lärarhandledning med
kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank.
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer
och erbjuder många olika möjligheter för eleverna
att utveckla sina matematiska förmågor.
Mer information om läromedlet och digitalt material
finns på www.nok.se/matematik5000
Lycka till med matematiken!
önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik
förord
Bla 3c.indb 3
3
2012-07-10 09.34
Innehåll
1. Algebra och funktioner 6
2. Förändringshastigheter och derivator 64
Centralt innehåll 6
Inledande aktivitet: Vilka uttryck är lika? 7
Inledande aktivitet: Hastighet och lutning 65
1.1 Algebra och polynom 8
2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata 66
Polynom och räkneregler 8
Potenser 12
Kvadratrötter och absolutbelopp 14
Ekvationer 17
Polynom i faktorform 22
Aktivitet: Upptäck – Pascals triangel 24
Ändringskvoter 66
Begreppet derivata 71
1.2 Rationella uttryck 26
Vad menas med ett rationellt uttryck? 26
Förlängning och förkortning 28
Addition och subtraktion 33
Multiplikation och division 38
1.3Funktioner 40
Inledning 40
Historik: Hur funktionsbegreppet utvecklats 42
Räta linjens ekvation 43
Andragradsfunktioner 46
Exponentialfunktioner och potensfunktioner 50
Aktivitet: Laborera – Pendeln 54
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 55
Sammanfattning 1 56
Kan du det här? 1 58
Diagnos 1 59
Blandade övningar kapitel 1 60
4
Bla 3c.indb 4
2.2 Gränsvärde och derivatans definition 77
Gränsvärde 77
Derivatans definition 80
2.3Deriveringsregler I 83
Derivatan av polynom 83
Tema: Hastighet och acceleration 90
Aktivitet: Laborera – Kvadratiska pappskivor 92
Derivatan av potensfunktioner 93
Historik – Tangenter och derivata 96
Aktivitet: Undersök – Det märkliga talet e 97
2.4Deriveringsregler II 98
Derivatan av exponentialfunktionen y = e kx 98
Naturliga logaritmer 102
Derivatan av exponentialfunktionen y = a x 105
Tillämpningar och problemlösning 107
2.5 Grafisk och numerisk derivering 111
Olika differenskvoter 111
Grafritande räknare och derivators värde 114
Sammanfattning 2 118
Diagnos 2 121
Blandade övningar kapitel 1–2 125
innehåll
2012-07-10 09.34
3. Kurvor, derivator och integraler 128
4.Trigonometri 204
Inledande aktivitet:
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 205
Inledande aktivitet: Max och min 129
3.1 Vad säger förstaderivatan om grafen? 130
Inledning 130
Extrempunkter och extremvärden 131
Växande och avtagande 133
Förstaderivatan och grafen 136
Skissa grafer 140
Historik – Matematik till och från Sverige 143
Största och minsta värde 144
4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar 206
3.2 Derivator och tillämpningar 147
Areasatsen 216
Sinussatsen 219
När ger sinussatsen två fall? 221
Cosinussatsen 226
Aktivitet: Laborera – Avståndsmätning 234
Historik – Trigonometri och geodesi 235
Polynomfunktioner 147
Potensfunktioner 154
Andraderivatan 157
Andraderivatan och grafen 158
Aktivitet: Laborera – Vem tillverkar största lådan? 161
Grafritande räknare 162
Aktivitet: Undersök – Funktioner och derivator 168
Kan alla funktioner deriveras? 170
Aktivitet: Undersök – Antiderivata 172
3.3 Från derivata till funktion 173
Primitiva funktioner 173
Primitiva funktioner med villkor 176
3.4Integraler 178
Inledning 178
Aktiviet: Undersök – Finn arean 181
Integralberäkning med primitiv funktion 182
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 206
Två speciella trianglar 209
Cirkelns ekvation 210
Godtyckliga trianglar 211
Aktivitet: Undersök - Enhetscirkeln 212
4.2Triangelsatserna 216
Diagnos 4 239
Repetitionsuppgifter 246
Svar, ledtrådar och lösningar 252
Register 286
Diagnos 3 195
innehåll
Bla 3c.indb 5
5
2012-07-10 09.34
1
ALGEBRA OCH
FUNKTIONER
Centralt innehåll
✱ hantering av algebraiska uttryck och
ekvationer.
✱ generalisering av aritmetikens lagar och
begreppet absolutbelopp.
✱ begreppen polynom och rationellt uttryck.
✱ kontinuerlig och diskret funktion.
✱ polynom-, potensoch exponentialfunktioner.
I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och
volym, skala och likformighet samt trigonometri.
Bla 3c.indb 6
2012-07-10 09.34
894789475849
89478947584
112
777
1
482398678567
7547
55
238876744
15343274
Inledande aktivitet
VILKA UTTRYCK ÄR LIKA?
Dela ett A4-papper så du får 16 papperlappar. På lapparna skriver du följande
matematiska uttryck (ett uttryck per lapp).
Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.
1
x +1
5
6
9
10
13
– (1 – x )
8
4x2 – 1
11
x+x+1
14
2
(x + 1)(x – 1)
12
–x(1 – x)
15
(2x + 1)(2x – 1)
(2x)2 – 12
2
7
x2 – x
3 – 2(1 – x2) – x2
4
(x – 1)
(2x – 1)
2
1 – 2x + x2
Bla 3c.indb 7
3
2
2
4x2 – 4x + 1
16
x –1
2
(x + 1)2
2012-07-10 09.34
1.1 Algebra och polynom
Polynom och räkneregler
Exempel I många situationer kan vi använda enkla polynom som matematiska
modeller. Bollens bana i figuren är en parabel och kan beskrivas av
sambandet
y (x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2
Högerledet är ett polynom som består av tre termer, en konstantterm
och två variabeltermer.
Kontrollera sambandet genom att sätta in de värden som visas i figuren!
polynomEtt polynom är en summa av termer av typen a ∙ x n, där x är en variabel,
exponenten n ett naturligt tal och a en konstant som ofta kallas
koefficient. Varje polynom kan skrivas
n
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x 3 + . . . + an x n =
∑a x
k
k
k=0
gradtal
Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal.
y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2 är ett exempel på ett andragradspolynom.
x2y2 + 2x 3 +5xy är ett polynom i två variabler x och y. Polynomets
gradtal är 4. Gradtalet ges av den term som har den största sammanlagda
exponenten.
Polynom av första graden skrivs ofta p(x) = ax + b.
Polynom av andra graden skrivs ofta p(x) = ax2 + bx + c.
Summan, differensen och produkten av två polynom är också ett polynom.
8
Bla 3c.indb 8
2012-07-10 09.34
Vi repeterar några regler och lagar som kan användas vid räkning med
polynom. I reglerna och lagarna nedan kan bokstäverna a, b , c och d
representera ett tal, en variabel eller ett polynom med flera termer.
Parentesreglerna
(a + b) + (c – d ) = a + b + c – d
(a + b) – (c + d ) = a + b – c – d
(a + b) – (c – d ) = a + b – c + d
Distributiva lagen
a(b + c) = ab + ac
(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd
Konjugatregeln
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Kvadreringsreglerna
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
1101
Ge exempel på ett fjärdegradspolynom med tre termer.
Den största exponenten ska vara 4.
T ex p (x) = x4 + 5x2 – 4 eller p (x) = 2x4 – x3 + 10x
1102
Förenkla x + (2x + 5)2 – 4(x + 3)(x – 3).
x + (2x + 5)2 – 4(x + 3)(x – 3) =
Utveckla med kvadreringsoch konjugatregel.
= x + (4x2 + 20x + 25) – 4(x2 – 9) =
Multiplicera in i parentes.
= x + 4x2 + 20x + 25 – 4x2 + 36 =
Förenkla.
= 21x + 61
Har du en avancerad räknare som kan göra algebraiska förenklingar
och lösa ekvationer? Använd den gärna för kontroll, men lös först
uppgiften utan räknare.
Bla 3c.indb 9
9
2012-07-10 09.34
1103
Enligt en modell växer en bakteriekultur enligt formeln
N(x) = 2 500 + 350x + 25x2
där N(x) är antalet bakterier x minuter
efter försökets början.
Beräkna och tolka N(5) – N(4).
N(4) = 2 500 + 350 ∙ 4 + 25 ∙ 42 = 4 300
efter 4 minuter finns
det 4 300 bakterier.
N(5) = 2 500 + 350 ∙ 5 + 25 ∙ 52 = 4 875
efter 5 minuter finns
det 4 875 bakterier.
N(5) – N(4) = 4 875 – 4 300 = 575 ≈ 580
Antalet bakterier ökar med cirka 580 under den femte minuten.
1104 Utveckla och förenkla
a) 4x + 2(2x – 3) c) (x + 3)(2x + 4)
b) 6a – 2(11 – 7a) d) (y – 4)(2 – y)
N( p) = 3 000 – 20p
Beräkna N(140) och tolka resultatet i ord.
1105 Utveckla med konjugatregeln
a) ( x – 4)(x + 4)
1109 Om biljettpriset till en tennismatch är p kr
uppskattar man att antalet åskådare N( p)
kan beräknas med
b) (7 – 2a)(7 + 2a)
1106 Utveckla med kvadreringsreglerna
1110 Beräkna värdet för uttrycket
2(a – 2)2 – 2a (a – 3) om a = 4
a) (a + 5)2
c) (3x + 4)2
a) före förenkling
b) (x – 9)
d) (5 – 6y)
b) efter förenkling.
2
2
1107 Diagonalerna i figuren har samma summa
som kolumnen i mitten.
Vad ska stå i A och B?
A
2a – 4
6(a – b + 1)
a) 5x2 – 4(2x – 3)(x – 5)
b) 3(a – b)2 – 2(a – b)2
B
3(b – a)
a–b
b–a
1108 Ge ett exempel på ett andragradspolynom
med
c) (x – 2)3
d) (x – 1)x + (x2 – 2x – 4)(x + 1)
1112 p( x) är ett tredjegradspolynom. Vilken grad
får det polynom som bildas då p (x)
a) adderas med x2
b) multipliceras med x2 ?
Motivera dina svar.
a) tre termer
b) två termer.
10
Bla 3c.indb 10
1.1 AlgebrA och polynom
2012-07-10 09.34
a) 2x(x + y) – 2y(x – y)
1 2
1 2
b) 2 x +  – 2 x – 
2
2
c) 2x(x + y)2 – 2y(x – y)2
a) (2a + 5)3
b) (a + b + 5)(a – b – 5)
1117 Kostnaden K kr att producera x tröjor är
K( x) = 800 + 15 x + 0,3 x 2
Vinsten vid försäljning av x tröjor är
V( x) kr.
Ställ upp och förenkla ett uttryck för vinsten
då tröjorna säljs för 90 kr/st.
1113 Konstreproduktioner AB producerar högst
30 målningar per vecka. Om firman en
vecka producerar x målningar, räknar man
med följande kostnader och intäkter:
Kostnad i kr: K( x) = 5 000 + 80x + 10x2
Intäkt i kr:
I ( x) = x(1 200 – 20x)
Om intäkterna är större än kostnaden gör
företaget en vinst.
Ställ upp och förenkla ett uttryck för
vinsten, V( x).
1114 Bollens höjd y m över golvet vid ett
straffkast i basket kan beräknas med
formeln
y(x) = 2,15 + 2,1x – 0,41x2
där x m avståndet från utkastet räknat
längs golvet.
Beräkna och tolka y (2,5) – y (2,0).
Bla 3c.indb 11
1118 Elleholms Finmekaniska tillverkar detaljer
till en fiskerulle. Firmans totala kostnad
K kr för att producera x detaljer uppskattas
till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x2.
Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden
ändras om produktionen höjs från x detaljer
till (x + 1) detaljer.
1119 I en stugby finns 60 stugor att hyra. Ägaren
har upptäckt att hon får alla stugor uthyrda
om hon tar 3 000 kr för en vecka, och för
varje hundralapp som hon ökar hyran med
förlorar hon en hyresgäst.
Ställ upp ett uttryck för hur den totala intäkten
beror av en höjning med x hundralappar och
undersök vad den maximala intäkten är.
1120 p(a + 1) = a2 + 2a + 1. Bestäm p(x).
1121 Bestäm det andragradspolynom p(x) sådant
att p(–1) = 0, p(0) = 5 och p(2) = –3.
11
2012-07-10 09.34
Potenser
Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner för potenser.
För reella exponenter x och y med samma positiva bas a gäller
y
a x
a x a y = a x + y y = a x – y (ax) = axy
a Potenslagarna
För positiva baser a och b med samma reella exponent x gäller
ax
a x
a x b x = (a b)x x =  
b
b
1
a ≠ 0
ax
Basen är positiv och exponenten är ett reellt tal.
Definitioner
1122
a 0 = 1
a–x =
Förenkla med potenslagarna
4
a)2x 3 · x
4
– –
1
3
165
(–3a–3)
b)5 c) –4
8
a
4
1
1
+  – 
 3
a)2x 3 · x 3 = 2x 3 1123
4
– 1
2
3
= 2x 3 3 = 2x 3 = 2x1 = 2x
b)
165  16 5
165 (2 · 8)5 25 · 85
=   = 25 = 32 eller
=
=
= 25 = 32
85
85
85
85
8
c)
(–3)2 · a–3 · 2 9a –6
(–3a–3)
9
=
= –4 = 9a –6 – (–4) = 9a –6 + 4 = 9a –2 = 2
–4
a–4
a
a a
2
2
a)Utveckla (3 x + 3 –x )
b)Bryt ut 2 x ur 2 x + h – 2 x, dvs skriv i faktorform.
c)Lös ekvationen 2 x–1 = 4 7
2
2
2
a)(3 x + 3 –x ) = (3 x) + 2 · 3 x · 3 –x + (3 –x ) =
= 32x + 2 · 30 + 3 –2x = 32x + 2 + 3 –2x
b)2 x + h – 2 x = 2 x · 2 h – 2 x = 2 x (2 h – 1)
7
c)2 x–1 = 4 7 ⇒ 2 x–1 = (22) ⇒ x – 1 = 2 · 7 ⇒ x = 15
12
Bla 3c.indb 12
2012-07-10 09.34
1124 Skriv som en enda potens
5
a
a)x 7 ∙ x –2d)–3
a
–4
x6
b) 8 e)
(b2)
x
b–3
c)(4 x )3f)
b
1125 Vilka av förenklingarna är felaktiga?
Förklara vad som är fel.
1
a)
förenklas till 3 –4
3·3·3·3
b)5 + 5 + 5 + 5 förenklas till 5 4
c)(3x)0 + 3x 0 förenklas till 4
d)(4a)3 förenklas till 12a3
e)2 ∙ 23 förenklas till 43
34
kan användas för att
34
34
motivera att a 0 = 1 och uttrycket 7
3
1
för att motivera a–n = n a
Förklara hur.
1130Uttrycket 1131Förenkla
a)(5 x + 5 –x )2
b)a x (a3x + 2a–x )
1132 Lös ekvationen
a)25x – 2 = 2 x
b)25x – 2 = 4 x
1
c)32x =
27
d)23x ∙ 2 –5 = 2 x
1126Förenkla
3
1133 Bryt ut och skriv i faktorform
3
a)(2 ∙ x 4 ) + 2 ∙ (x 4 )
b)
a)x 2 x a – 3x a
2a  2
b2 
1
b)a3 + h – a3
c) a2 n + a n
1
c) x 2 · x 3
m
d)
1134Förenkla
x2
m
a)
x3
1127Låt y = 2 20 och bestäm
a)hälften av y b)en fjärdedel av y.
1128Förenkla
(2ab)3
2
c)
a)
x
2ab–3
()
()
4a3b–2(3a)2
1
b)
d)
x
3a–4 b
1129Förenkla
a)3 ∙ 10 –a ∙ 3 ∙ 10 –a
b)3 ∙ 10 –a + 3 ∙ 10 –a
2
c)(3x + 3x)
2
d)(3x + 3x + 3x)
Bla 3c.indb 13
33 + 2x + 32x
23x + 4 – 16
b) 6x
32 + x – 3x
2 – 23x
1135 Bestäm talet x
a)259 + 258 = x ∙ 258
1
–3
–n
42 · 4 2
b)
= 2x
4 · 40
c)2 x + 58 · 2 x – 58 = 259
d)
97+ x
1
=
37 + x
9
1136Förenkla
a)
3a+1 · 32
3n + 1 · 9 n
c) 2n / 3
3
3
27 (x2m)3 · x –n
163n / 4 · 4n + 1
b)
d) 5n / 3
x2m + n
8
13
2012-07-10 09.34
Kvadratrötter och absolutbelopp
Vi repeterar och utvidgar några lagar och definitioner om kvadratrötter.
Med kvadratroten ur a menas det positiva tal, vars kvadrat är a.
Definition
(√a )2 = √a · √a = a a ≥ 0
Lägg märke till följande:
1 Kvadratroten ur ett tal är enligt definitionen ett positivt tal.
√25 står alltså bara för det positiva talet 5.
2 Ekvationen x2 = 25 har däremot två lösningar.
De är x1 = √25 = 5 och x2 = – √25 = –5. Vi skriver detta x = ±5
3 – √25 är inte detsamma som √–25
– √25 = –5 , medan beräkningen √–25 inte kan göras med reella tal.
1
Sambandet a 2 = √a ger tillsammans med potenslagarna
a x b x = (ab)x och ax  a  x
=
följande lagar.
bx  b 
√a · √b = √aba ≥ 0
Lagar för kvadratrötter
1137
b≥0
√
√a
a
=
a ≥ 0
√b
b
Beräkna utan räknare
a)√25 + √2 · √50
b>0
1
b)9 2 + 4 –0,5
a)√25 + √2 · √50 = 5 + √2 · 50 = 5 + √100 = 5 + 10 = 15
1
b)9 2 + 4 –0,5 = √9 +
1138
Visa att 1
=
1
√2
=
√2 2
1 · √2
√2 √2 · √2
14
Bla 3c.indb 14
1
1
1
=3+
= 3 + = 3,5
40,5
2
√4
=
√2
2
2012-07-10 09.34
Exempel 1Om x > 0 så gäller likheten √x2 = x.
T ex √52 = √25 = 5.
Om x är ett negativt tal så gäller däremot likheten √x2 = –x
T ex √(–5)2 = √25 = 5 = –(–5)
absolutbelopp
Sammanfattning
Exempel 2
Detta kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x, som
skrivs |x|.

√x 2 = |x | =  x om x ≥ 0
–x om x < 0
Absolutbeloppet av ett reellt tal kan definieras som talets avstånd till origo.
Absolutbeloppet av 5 skrivs |5|och är lika med 5.
Absolutbeloppet av –5 skrivs |–5| och är också lika med 5.
| x – y| kan tolkas som avståndet mellan punkterna x och y.
| x| = |x − 0|





x
0
y













| x − y| = | y − x|
1139
Beräkna
a) |6| + |– 4| – |–7|
b) √(–15)2
a) |6| + |– 4| – |–7| = 6 + 4 – 7 = 3
b) √(–15)2 = |–15| = 15
1140
Lös ekvationen |x – 3| = 4.
Vi söker punkter med avståndet 4 till punkten 3.
4
4


















−2 −1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ekvationens lösning är x = –1 och x = 7.
Bla 3c.indb 15
15
2012-07-10 09.34
Arbeta utan räknare.
1141Beräkna
a) √4 + √9c)
√2 · √8
b)√4 · √9d)
(√2)2 + √8 · √8
1142 Skriv som en potens med basen 10
10 a) √10c)
√10
b)
1
1
d )
10 10
√
√10
1143Beräkna
a)100 0,5c)
100 –0,5
b)√10 · √10d )
√5 · √20
1150 Det finns två tal x för vilka gäller att
|x – 5| = 15
Vilka tal är det?
a)|x – 1| = 1 b)|x| = 2
1152 För vilka x gäller olikheten |x – 7| < 2 ?
1153 Beskriv intervallet 7 ≤ x ≤ 13 med hjälp av
absolutbelopp.
1154 Skriv ett uttryck för triangelns tredje sida.
a)
1144Beräkna
a)|–5| + |–2| b)|–5| – |–2|
a
1145Beräkna
a) √(–3)2c)
√4 · 108
b)√32 + 42 d)
√9 · 10 –2
a
b)
2a
1146 Bestäm den exakta lösningen till ekvationen
a
a)x2 = 10c)
x2 + 22 = 32
x2
b) 2x2 = 10 d ) = 52
2
1147 Om du vet att √7 ≈ 2,646 vad är då
a) √700b)
√70 000?
1148 Visa att
√32
a)2 √3 = √12 b) = √2
4
1149 Förenkla så långt som möjligt
√3 · √3 · √3 a)
√3 + √3 + √3
x √x + x √x
b)
√x · √x
16
Bla 3c.indb 16
a)(√a + √b) (√a – √b)
b)(√x + h + √x ) (√x + h – √x )
c)(√a + √b)2 – (√a + b)2
1156 Bestäm exponenten x
a)
√√
√√√
a a  a x
=
b b  b
x
b) a b a =  a 
b
b a b
2012-07-10 09.34
Ekvationer
Exempel
at2
2
beskriver sambandet mellan
sträcka, begynnelsehastighet,
acceleration och tid.
Formeln s = v0 t +
◗◗ Vilken är accelerationen om hastigheten
är 15 m/s, tiden 4,0 s och sträckan 100 m?
Svaret får vi med hjälp av förstagradsekvationen
a · 42
100 = 15 · 4 +
2
◗◗ Vilken är tiden om hastigheten är 15 m/s, accelerationen 4,0 m/s2 och
sträckan 100 m?
Svaret får vi med hjälp av andragradsekvationen
4t2
100 = 15t +
2
Vi repeterar några lösningsmetoder för ekvationer.
Lösningsformeln
Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna
p 2
x=– p ±
–q
2
2
√( )
()
p
Andragradsekvationen saknar reella rötter om
2
ett negativt tal under rottecknet.
1157
2
– q < 0, dvs om vi får
Lös ekvationen 3x2 + 9x – 12 = 0 utan räknare.
Vi dividerar först med 3 och använder sedan lösningsformeln.
3x2 + 9x – 12 = 0
x2 + 3x – 4 = 0
3
3 2
±   + 4
2
2
x=–
3
9 16
±
+
2
4
4
x=–
3 5
±
2 2
x1 = 1
Bla 3c.indb 17
√
√
x=–
x2 = – 4
17
2012-07-10 09.35
1158
Lös ekvationen 6(x – 1)2 = 30
Vi kan lösa ekvationen genom att utveckla kvadraten, skriva om
ekvationen och använda lösningsformeln, men det finns en
enklare metod.
kvadratrotsmetoden
Vi dividerar först med 6 och drar sedan kvadratroten ur båda
leden.
6(x – 1)2 = 30
(x – 1)2 = 5
x = 1 ± √5
x1 = 1 + √5 eller x1 ≈ 3,236
x2 = 1 – √5 eller x2 ≈ –1,236
Om en produkt är noll, måste minst en faktor vara noll. Detta kan vi ibland
använda för att lösa ekvationer. Förutsättningen är att ekvationen kan
skrivas så att det ena ledet är noll och det andra ledet kan faktoriseras.
Metoden kallas nollproduktmetoden.
nollproduktmetoden
1159
x – 1 = ± √5
Lös ekvationen 5x(2x – 12)(3x + 15) = 0
5x(2x – 12)(3x + 15) = 0
1.5x = 0 vilket ger
2.(2x – 12) = 0 vilket ger
3.(3x + 15) = 0 vilket ger
x1 = 0 1160
x2 = 6 x=0
x=6
x=–5
x3 = – 5
Lös ekvationen x3 – 2x2 – 3x = 0
x3 – 2x2 – 3x = 0
Vi faktoriserar VL genom att bryta ut x.
x(x2 – 2x – 3) = 0
1. x = 0
2. x2 – 2x – 3 = 0 och lösningsformeln ger
x = 1 ± √1 + 3
x=1±2
x1 = 0
18
Bla 3c.indb 18
x2 = 3
x3 = – 1
2012-07-10 09.35
Lös ekvationerna.
1161 a)3x + 2 = 5x – 3
b)3x2 = 15
c) x(x + 5) = 0
d)x2 – 4x + 3 = 0
1162 a)3x(2x – 8) = 0
b)x2+ 10x= 0
c) (z – 4)2 = 64
d)x2+ 8x – 9 = 0
1163 a)3x2 – 18 = x2
b)(z – 1)(z – 2) = (z – 3)(z – 4)
c)8x2 – 8x + 2= 0
1164 a)2t2+ 40t + 34 = 0
b)3x2 + 12x = 36
1169 Den totala kostnaden K kronor för att
producera x detaljer i en mekanisk verkstad
kan beskrivas med
K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x2
a)Beräkna kostnaden för att producera
450 detaljer.
b)Hur många detaljer kan produceras för
100 000 kr?
c)(x + 3)(x – 2) = 7
1165 a)4(x + 7)2 = 36
a)x 3 – 4x = 0
b)4x2 = 2x
b)x 3 – 8x2 + 15x = 0
c)(x +3)(x – 4)(2x + 1) = 0
c) 4(3 – 3x)(8 – 2x2) = 0
1166 (Tal 1)2 – (Tal 2)2 = 14
Tal 1 är 2 större än Tal 2.
Vilket värde har a?
Vilka är talen?
1167 Lös ekvationerna och besvara frågorna från
det inledande exemplet på förra uppslaget.
a) 100 = 15 · 4 +
b)100 = 15t +
a · 42
2
4t2
, t>0
2
1168 Ge ett exempel på hur en andragrads
ekvation kan se ut om lösningarna är
a)x = 2 och x = –2
b)x = 0 och x = 8
1
1
c) x = och x =
2
3
d)icke-reella.
Bla 3c.indb 19
1171 Ekvationen x2(4x + 5a) = 0 har
lösningarna x = 0 och x = 2.
1172 En bakteriekultur tillväxer enligt formeln
N( x) = 2 500 + 350x + 25x2
där N( x) är antalet bakterier x minuter
efter försökets början.
Hur lång tid tar det innan antalet bakterier
har fördubblats?
a)x2 (x + 1) – 64(x + 1) = 0
b)(x3 – 3x2) – (2x – 6) = 0
1174 I ekvationen 4x2 – (2 – k)2 = 0 är k en
konstant.
Lös ekvationen. Svara på så enkel form som
möjligt.
19
2012-07-10 09.35
substitution
1175
Nya typer av ekvationer kan vi ibland omforma och lösa med kända
metoder. Ett sätt att omforma en ekvation är att ersätta ett uttryck med ett
annat, enklare uttryck. Vi gör en substitution.
Lös ekvationen x4 – 8x2 – 9 = 0
Vi ersätter x2 med t. Då kan x4 ersättas med t2 och vi får
andragradsekvationen t2 – 8t – 9 = 0
t = 4 ± √16 + 9
t=4±5
t1 = 9 och t2 = –1
Vi får x2 = 9 och x2 = –1
Ekvationen x2 = 9 har lösningen x = ±3
Ekvationen x2 = –1 saknar reell lösning (men de komplexa
rötterna är x = ±i )
Svar: Ekvationen x 4 – 8x2 – 9 = 0 har den reella lösningen x = ±3
1176
Lös ekvationen
a)(x2 – 2)2 – 16(x2 – 2) + 28 = 0
b)x + √ x = 12
a)Sätt x – 2 = tb)
Sätt √ x = t Då blir x = t2.
2
t2 – 16t + 28 = 0t2 + t – 12 = 0
√
√
1
1
t = 8 ± √64 – 28t = – ± + 12
2
4
1
1 48
± +
2
4
4
1 7
t = 8 ± 6t = – ± 2 2
√x är
positivt.
t1 = 14 t2 = 2t1 = 3 t2 = – 4
t = 8 ± √36t = –
√ x = 3 √ x = – 4
x2 – 2 = 14
x2 – 2 = 2
x2 = 16
x2 = 4x = 9
x = ± 4
x=±2
Saknar lösning.
Svar: a) Lösningarna är –4, –2, 2 och 4.
b) Lösningen är 9.
20
Bla 3c.indb 20
2012-07-10 09.35
rotekvation
Ekvationer där den obekanta förekommer under ett rottecken kallas
rotekvationer. Rotekvationer kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket
dock kan ge falska rötter.
1177
Lös ekvationen √ x – 3 = 5 – x
Vi kvadrerar båda leden, löser andragradsekvationen och prövar
lösningen.
√ x – 3 = 5 – x
x – 3 = (5 – x)2
x – 3 = 25 – 10x + x2
x2 – 11x + 28 = 0
x = 5,5 ± √30,25 – 28
x = 5,5 ± 1,5
x1 = 4
x2 = 7
Prövning i den ursprungliga ekvationen:
x = 4: VL = √4 – 3 = 1 HL = 5 – 4 = 1
VL = HL
x = 7: VL = √7 – 3 = 2 HL = 5 – 7 = –2 VL ≠ HLFalsk rot!
En grafisk jämförelse mellan den ursprungliga och den
kvadrerade ekvationen visar tydligt att antalet rötter är olika.
Svar: Ekvationen √ x – 3 = 5 – x har lösningen x = 4.
Lös ekvationerna.
1178a)x4 – 2x2 – 8 = 0
b)x4 – 2x2 – 3 = 0
1179 a)(x + 4) – 16(x + 4) + 63 = 0
2
b)(x2 + 5)2 – 15(x2 + 5) + 54 = 0
1180 Du har ekvationen √ x + 2 = x
1181 Bestäm med två decimalers noggrannhet
rötterna till följande ekvationer.
a)x4 – 14 x2 + 44 = 0
b)x4 – 6x2 – 1 = 0
1182 Lös ekvationen 13 √x = x + 36
a)genom kvadrering och prövning
b)genom att sätta
√x = t
a)Kvadrera båda leden och skriv resultatet
som en andragradsekvation.
Lös ekvationerna
b)Vilka rötter har ekvationen i a)?
1183a)x2(x + 1) – 64(x + 1) = 0
c)Pröva rötterna i den ursprungliga
ekvationen. Duger båda rötterna?
d)Vilken lösning har ekvationen
√x + 2 = x?
b)√3x – 2 + 2 – x = 0
1184a)x – 5√x + 4 = 0
b)(x + 1) – 27√x + 1 + 170 = 0
c)(x2 + 2x – 3)2 + 2(x2 + 2x – 3) – 3 = 0
Bla 3c.indb 21
21
2012-07-10 09.35
Polynom i faktorform
Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.
1. Utbrytning av största möjliga faktor, t ex
4x2 + 12x = 4x ∙ x + 4x ∙ 3 = 4x(x + 3)
5(x + 2) – x(x + 2) = (x + 2)(5– x)
2. ”Omvänd” användning av konjugatregeln och kvadreringsreglerna, t ex
4x2 – 25 = (2x)2 – 52 = (2x + 5)(2x – 5)
x2 – 6x + 9 = x2 – 2 ∙ 3x + 32 = (x – 3)2
Vi ska nu visa en tredje metod.
Ett nollställe till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0.
Om vi har ett polynom i faktorform, t ex p(x) = (x + 2)(5 – x), så kan
vi bestämma polynomets nollställen. Polynomet p(x) = (x + 2)(5 – x)
har nollställena –2 och 5.
nollställe
från nollställen
till faktorform
Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen.
Vill vi faktorisera polynomet p(x) = x2 + 2x – 15 så börjar vi med att lösa
ekvationen x2 + 2x – 15 = 0 med lösningsformeln. Rötterna är –5 och 3.
p(x) = x2 + 2x – 15 = (x – (–5))(x – 3) = (x + 5)(x – 3)
Om vi vill så kan vi kontrollera resultatet genom att multiplicera
parenteserna.
Ett polynom som saknar nollställen kan inte faktoriseras.
Ett andragradspolynom p (x) med nollställena a och b kan skrivas
Andragradspolynom
p (x) = k (x – a)(x – b)
i faktorform
där k är en konstant.
1185
Faktorisera 18x2 + 12x + 2
Vi bryter ut 2 och använder 1:a kvadreringsregeln ”omvänt”.
18x2 + 12x + 2 = 2(9x2 + 6x + 1) = 2(3x + 1)2
1186
Faktorisera (x + 1)2 – 4y2
Vi använder konjugatregeln ”omvänt”.
(x + 1)2 – 4y2 = (x + 1)2 – (2y)2 = (x + 1 + 2y)(x + 1 – 2y)
22
Bla 3c.indb 22
2012-07-10 09.35
1187
Faktorisera polynomet p( x) = – 4x2 + 24x – 32
Vi löser ekvationen p( x) = 0 genom att bryta ut – 4 och använda
lösningsformeln.
p( x) = – 4x2 + 24x – 32 = – 4(x2 – 6x + 8)
x2 – 6x + 8 = 0
x = 3 ± √9 – 8
x1 = 4
x2 = 2
p( x) = – 4(x – 4)(x – 2)
1188 Bryt ut så mycket som möjligt.
a)5x + 25x c)
24h + 4h
3
2
b)4h + 8h2 + 12 d)6hx + 3h2 x
1189 Faktorisera med konjugat- eller
kvadreringsregel
81x2 – 16 y2
a)x2 – 49c)
b)x2 – 6x + 9d)
16x2 + 8x + 1
1190 Ange polynomets nollställen,
dvs lös ekvationen p( x) = 0.
a)p( x) = (x + 3)(x – 10)
b)p( x) = 5x(x – 4)
1191Du vet att polynomet
f ( x) = x2 – 12x + 35
har nollställena 5 och 7.
Skriv f( x) i faktorform.
1192 Skriv i faktorform
a)p( x) = x2 – 10x + 16
b)g( x) = x – 5x + 6
2
1193 Faktorisera polynomen
a)h(x) = 4x2 – 24x + 32
b)p(z) = 6 + 3z – 3z2
c) p( x) = 2x2 – 18
Bla 3c.indb 23
1194Tobbe och Carro ska skriva polynomet
p( x) = 3x2 – 24x + 21 i faktorform.
Tobbe får p(x) = 3(x + 1)(x + 7)
Carro får p( x) = (x – 1)(x – 7)
Båda har gjort fel.
Förklara vilka fel de gjort.
1195 Skriv två olika polynom som båda har
nollställena –10 och 20.
1196 Skriv i faktorform
a)f (t) = 4t – 4t2 – 1
b)h(x) = 4x2 + 4x + 4
c) p(x) = –3x2 – 2x + 1
1197 Ett andragradspolynom p(x) har
nollställena 1 och 4 och p(0) = –2.
Är det sant att p(0) = p(6)?
Motivera ditt svar.
1198Tredjegradspolynomet
p( x) = x3 + ax2 + bx + c
har nollställena –3, 1 och 5.
Bestäm a, b och c.
1199 Finn nollställena till polynomet
p(x) = x2 – (a + b)x + ab
och försök tolka resultatet.
23
2012-07-10 09.35
✽ Upptäck
Aktivitet
Pascals triangel
Ett polynom är en summa av termer där termernas exponenter är naturliga tal.
x 2 y + 2 x 2 + x y är ett tredjegradspolynom i två variabler x och y. Gradtalet
ges av den term som har den största sammanlagda exponenten.
1Skriv (x + y)2 som ett polynom.
2Skriv (x + y)3 som ett polynom. Du kan använda
sambandet (x + y)3 = (x + y)(x + y)2 =
= (x + y)(x2 + 2 xy + y2).
3Skriv (x + y)4 som ett polynom.
24
Bla 3c.indb 24
4Studera resultatet i uppgift 1, 2 och 3.
Jämför exponenten i (x + y)n med
a)antal termer i polynomet.
Vad upptäcker du?
b)gradtalet för varje term i polynomet.
Vad upptäcker du?
2012-07-10 09.35
Tabellen nedan visar en del av Pascals triangel. Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk matematiker,
vetenskapsman och filosof som bland annat utvecklade talteorin.
Siffrorna i de färgade kvadraterna är koefficienterna till de olika variabeltermerna då vi utvecklar (a + b)n.
1
1 a+
1 a2 +
1 b
2 ab +
a2b +
a3 +
1 b2
ab2 +
b3
Den översta raden ger (a + b)0 = 1
Den andra raden ger
(a + b)1 = a + b
Den tredje raden ger
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
5a)Skriv av triangeln ovan och fyll i
koefficienterna i den fjärde raden.
7a)Jämför den andra koefficienten i varje rad
med exponenten i (a + b)n.
Vad upptäcker du?
b)Utöka triangeln med en femte rad
som visar utvecklingen av (a + b)4.
c) Förklara hur du kan finna koefficienterna
i en rad med hjälp koefficienterna i raden
ovanför.
6a)Vilket gradtal får varje term då (a + b)
utvecklas och skrivs som ett polynom?
5
b)Utgå från det mönster som du har upptäckt.
Vilka är de två första termerna i
utvecklingen av (a + b)10?
8Kan vi använda Pascals triangel för att utveckla
(a – b)2, (a – b)3, ... ?
Vad blir det för skillnad?
b)Skriv nästa rad i Pascals triangel.
c) Utveckla (a + b)5
d ) Utveckla (a + b)6
Bla 3c.indb 25
25
2012-07-10 09.35
1.2 Rationella uttryck
Vad menas med ett rationellt uttryck?
rationellt tal
rationellt uttryck
a
där b ≠ 0 kallar vi ett rationellt tal.
b
5
13
och –
Exempel på rationella tal är
7
9
En kvot av två heltal
Ett rationellt uttryck definieras som en kvot av två polynom p(x)
q(x)
x+5
x2 + 4x + 2
och
Exempel på rationella uttryck är
x
x–2
Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med noll.
1201
Kostnaden K (x) i tusental kr för ett företag att avlägsna
x % av förbränningsgasernas föroreningar kan uppskattas
vara K (x) =
50 x
100 – x
a) Beräkna och tolka K (90).
b) Ange definitionsmängden, dvs tillåtna värden på x.
50 · 90
= 450
100 – 90
Det kostar 450 000 kr att ta bort 90 % av föroreningarna.
a) K (90) =
b) 0 ≤ x < 100, K (x) är inte definierad för x = 100.
26
Bla 3c.indb 26
1.2 rAtionellA Uttryck
2012-07-10 09.35
1202
För vilka x-värden är uttrycket inte definierat?
a)
5x – 1
5x
2x
x2 – 10
d)2
b)
c)2
2 x
2 x + 4
x +1
x – 12 x + 35
a)När x = 0.
b) När 2x + 4 = 0 dvs då x = –2.
c)
x2 + 1 kan inte bli noll. Uttrycket är definierat för alla värden
på x.
d)x2 – 12x + 35 = 0
1203 Du har uttrycket G(x) =
a)Beräkna G(5).
x = 6 ± √ 36 – 35
Uttrycket är inte definierat då x = 5 och x = 7.
x+7
2x – 8
b)För vilket x-värde är nämnaren lika
med noll?
1204 Du har uttrycket G(x) =
a) Beräkna G(2).
x2 + 3x – 2
3x + 6
b)För vilket värde på x är uttrycket ej
definierat?
c) Är det sant att G(–3) < G(2)?
Motivera ditt svar.
1205 Då Lena försöker beräkna värdet av
2xy
för x = 6 och y = –3
uttrycket x + 2y
med sin räknare visas ”ERROR” i räknarens
fönster. Förklara varför.
1206 För vilka variabelvärden är uttrycken inte
definierade?
x–6
x–6
c) 2
a) 2
2 x + 10 x
2 x + 10x + 12
b)
x–6
2 x – 10
d) 3
2 x2 + 10
2 x – 50 x
Bla 3c.indb 27
1207 Skriv ett rationellt uttryck som
a)inte är definierat för x = 7
b)antar värdet 0 för x = 7
c) inte är definierat för x = ± 3
d)är definierat för alla x.
1208 För en lastbil kan bränsleförbrukningen i
liter/km beräknas med formeln
1  2 500
+ x
250  x
där x är hastigheten i km/h.
G(x) =
a)Hur mycket kostar en färd på 100
mil, om bränslet kostar 16 kr/l och
hastigheten är 100 km/h?
b)Hur långt kommer vi på samma mängd
bränsle, om hastigheten är 50 km/h?
2 x 3 + A
kan användas
3x2
3
för att beräkna ett närmevärde till √A,
om x är ett lämpligt startvärde.
Sätt A = 10.
1209 Uttrycket f (x) =
a) Beräkna f (2). Hur nära √10 är det?
3
b)Beräkna f ( f (2)). Hur nära √10 är det?
3
27
2012-07-10 09.35
Förlängning och förkortning
förlängning
Förlängning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett
rationellt uttryck multipliceras med samma tal eller uttryck.
1
5·1
5
=
= Förlängning med 5.
2
5 · 2 10
2
x·2
2x
Förlängning med x.
=
=
x + 3 x · (x + 3) x 2 + 3x
förkortning
Förkortning innebär att både täljare och nämnare i ett bråk eller ett
rationellt uttryck divideras med en gemensam delare.
6 x
6 x /2
3 x
=
= Förkortning med 2.
8
8 /2
4
För att se gemensamma delare måste vi ibland faktorisera.
5 x 3
5x · x2
x2
=
=
Förkortning med 5x.
5x – 10x
5x (x – 2) x – 2
2
enklaste form
1210
Ett bråk eller ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är skrivet
i enklaste form.
Förläng med 3.
x–4
2 x
6xc)
a) b)
2 x
5
2 x
2 x · 3 6 x
=
=
5
5·3
15
6 x
6 x · 3 18 x
b)6 x =
=
=
1
1·3
3
x – 4 3 (x – 4)
3 x – 12
c)
=
=
2 x
3 · 2 x
6 x
a)
1211
Förläng så att nämnaren blir 24x.
3
x+3
a) b)
4
6
28
Bla 3c.indb 28
a)
3 3 · 6 x
18 x
=
=
4 4 · 6 x
24 x
b)
x + 3 4 x (x + 3)
4 x2 + 12 x
=
=
6
4 x · 6
24 x
2012-07-10 09.35
1212
Skriv i enklaste form
a)
2 x
3 x5 y2
12 x – 30
b) 2 7 c)
2
15 x y
14 x
3 x + 6
a)Vi faktoriserar och förkortar med 2 och med x.
2 x
2·x
1
=
=
14 x2 2 · 7 · x · x
7x
b)Vi faktoriserar och förkortar med 3x2 och med y2 .
3 x5 y2
3 x2 · x3 · y2
x3
=
=
2 7
2
2
5
15 x y
5 · 3 x · y · y
5 y5
c)Vi faktoriserar och förkortar med 3.
1213
1214
12 x – 30
3(4 x – 10) 4 x – 10
=
=
3 x + 6
3(x + 2)
x+2
Förenkla om möjligt följande uttryck
a)
x
x2 – 3 x
2 x – 3y
b)
c)
2
x+x
2 x – 6
6 x y
a)
x
x
1
=
=
x + x2
x (1 + x) 1 + x
b)
x2 – 3 x
x (x – 3)
x
=
=
2 x – 6
2(x – 3) 2
c)
2 x – 3y
Täljaren kan inte faktoriseras.
6 x y
Ingen förenkling är möjlig.
x y
–
2 5 genom att förlänga med 10.
Förenkla dubbelbråket x
y
+
2 5 x y
x y
10 –
–
2 5 2 5 5x – 2y
=
x
y =
x
y
5x
+ 2y
10 +
+
2 5 2 5 (
(
Bla 3c.indb 29
)
)
29
2012-07-10 09.35
Vi kan bara förkorta ett uttryck om täljaren och nämnaren
innehåller gemensamma faktorer.
x + 3y
kan därför inte förkortas.
x
VARNING
Du frestas väl inte att förkorta och stryka x -termerna?
1215 Förläng med 2.
a)
3 x
x+3
c)
7
7
4
x–3
b) d)
x
x
1216 Förläng så att nämnaren blir 15x.
2
x–2
a) c)
x
5 x
b)
2
2 x + 1
d)
3 x
3
1217 Skriv i enklaste form
28
3 ab3
a) c) 3
18 a b
32
b)
10 x 3
2 x + 2
d)
15 x 2
2 x
1218 Skriv i enklaste form. Börja med att
bryta ut.
10
2 x
c)
a)
5 x + 15
5 x + x2
b)
2 x – 4
x 2 + 4 x
d)2
6 x + 8
x + 3 x
1219 Skriv i enklaste form.
30
Bla 3c.indb 30
a)
4 h + h2
h
c)
h
2 x h + h2
b)
3 h
2 h2 – 4 h
d)
3 h + x
3 h – 6
2 x + 2 y
1220 Förklara varför kan förkortas men
x+y
2 x + y
inte x+y
1221 Vad ska stå i parentesen?
(?)
35 x
=
28 x y
7y
(?)
4 x + 2
b)
=
5
10 x + 5
a)
c)
3 a x
3
=
a x 2 + a2 x
(?)
6 y 2 – 8 y
om y = 9
9 y – 12
a)före förenkling
b)efter förenkling.
1223 Förläng med 12 och förenkla
2 a 2 b
–
(4 + 1/3)
3
4
a)
b)
a b
(3 – 1/4)
+
3 4
1224 Polynomet p(x) beskrivs av formeln
p(x) = 6 x 2 – 48 x.
Vilket polynom är q(x) om det rationella
p (x)
kan förenklas till
uttrycket
q (x)
x–8
a)
2b)
3xc) ?
2 x
2012-07-10 09.35
1225
Förenkla
x2 – 9
2 x2 – 98
x 2 – 12 x + 36
a)
b)
c) 2
x–3
3 x + 21
x – 36
a)Vi faktoriserar med konjugatregeln:
x 2 – 9 (x + 3) (x – 3)
=
=x+3
x–3
(x – 3)
b)Utbrytning och faktorisering med konjugatregeln ger
2 x2 – 98
2 (x2 – 49)
2 (x + 7) (x – 7)
2 (x – 7)
=
=
=
3 x + 21
3 (x + 7)
3 (x + 7)
3
c)Faktorisering med ena kvadreringsregeln samt
konjugatregeln ger
x 2 – 12 x + 36
(x – 6)2
x–6
=
=
(x + 6) (x – 6) x + 6
x 2 – 36
1226Förenkla
a)
x2 – 25
x+4
49 – x2
c)
b)2
7–x
x+5
x – 16
1227 Förkorta så långt som möjligt.
a)
a+1
2a2 + 4a
c) 2
a 2 – 1
a – 4
a 2 + 1
a–b
b)
d)2 2
a+1
a – b 1228 Förkorta så långt som möjligt.
a)
6 + 2 x
x 2 + 2 x + 1
c)
2
9 – x x+1
5 x 2 – 5
x 2 – 8 x + 16
b)
d)
x–1
x–4
1229Förenkla
4 x 2 – 4 x
2 a 2 – 18 b 2
b) 2
a) 2
a – 6 a b + 9 b 2
8 x – 16 x + 8
1230 Beräkna utan räknare värdet för uttrycket
9 – x 2
om x = 2,999.
3–x
Bla 3c.indb 31
7 (9 – z 2)
=3+z
21 + 7z
och är osäker på om det blev rätt.
1231 Felicia förenklar: Pröva om HL = VL för z = 0
respektive z = 1.
1232 Förenkla så långt som möjligt
a)
(4 + h)2 – 4 2
h
b)
2(3 + h)2 – 2 · 3 2
h
1233 Förenkla genom att förlänga med x.
/ 4
4
a)  – x  x + + 4
x
x
b)
1–x
x –1 – 1
(x + h)2 – x 2
genom att
h
a)först använda kvadreringsregeln
1234 Förenkla uttrycket b)först använda konjugatregeln omvänt.
31
2012-07-10 09.35
Exempel
Hur kan vi förenkla uttrycken 3+x
3–x
och ?
x+3
x–3
3+x x+3
=
= 1
x+3 x+3
Uttrycken 3 + x och x + 3 är lika.
Däremot är 3 – x inte lika med x – 3.
3–x
– x + 3 – 1(x – 3)
= –1
=
=
x–3
x–3
x–3
Vi bryter ut −1
Kom ihåg:
Bryt ut –1
1235
b – a = (–1) ∙ (a – b)
Förenkla
a)
15 – 5 a
a 2 – 4
b)
a–3
6 – 3 a
a)
15 – 5 a
5(3 – a)
–5(a – 3)
=
=
= –5
a–3
a–3
a–3
b)
a 2 – 4
(a + 2)(a – 2)
(a + 2)(a – 2)
a+2
a+2
=
=
=
=–
6 – 3 a
3(2 – a)
– 3(a – 2)
– 3
3
1236 Bryt ut –1 i täljaren.
a)
2–x
3 – 2 x – x 2
b)
4
3
Förenkla
8–x
9 – a2
1237a)
c)
a–3
x–8
20 – 4 y
2 x – 14
b)
d)2
y – 25
7–x
10a – 50
(2 a – 1)2
1238a)
b)
25 – a 2
1 – 2 a
a 2 – 1
36 x 2 – 12 x + 1
1239a)
b)
2
a – a 1 – 36 x 2
32
Bla 3c.indb 32
2
x + 1 2
 b–a
1240a)
b)



1+x
a–b
4 x 2 – 4 x + 1
2 x 3 – 8x
1241a)
c) 2
2
5 x – 10 x 4x – 2 x 3
b)
(12 – 2 x)2
1 – x2
b)
x2 – 12 x + 36
(x – 1)2
1242 Bryt ut (– 2) ur parentesen och förenkla
a)
(4 – 2 x)
(4 – 2 x)3
c)
x–2
x–2
b)
(4 – 2 x)2
(4 – 2 x)6
d)
x–2
x–2
2012-07-10 09.35
Addition och subtraktion
lika nämnare
Bråk med lika (samma) nämnare kan adderas och subtraheras direkt.
4 2 4+2 6 2
+ =
= =
9 9
9
9 3
På samma sätt förenklas rationella uttryck med lika nämnare.
x
4 x
x + 4 x
5 x
+
=
=
x+2 x+2
x+2
x+2
olika nämnare
Bråk med olika nämnare kan inte adderas eller subtraheras direkt.
Först måste vi förlänga så att de får lika (samma) nämnare.
gemensam nämnareEn gemensam nämnare är ett heltal eller ett polynom som är delbart
MGN
med samtliga nämnare i två eller flera bråk eller rationella uttryck.
Den minsta (positiva) gemensamma nämnaren betecknas MGN.
5 3
+ =___
6 4
Vilken gemensam nämnare ska vi välja?
Vi ska välja ett tal som är delbart med både 6 och 4, t ex 12, 24 eller 36.
Om vi väljer MGN, som här är 12, blir beräkningarna enklast:
5 3 10
9
19
+ =
+
=
6 4 12 12 12
1243
a)Beräkna 2 –
5 7
x
1
x
+
– b)
Förenkla
– 6 8
24 36 30
a)MGN = 24 ger 2 –
5 7 2 · 24 5 · 4 7 · 3 48 20 21
7
=
=
– =
– – – – 6 8 1 · 24 6 · 4 8 · 3 24 24 24 24
Ta med faktorer
b)24 = 2 · 2 · 2 · 3 
så att produkten
36 = 2 · 2 · 3 · 3  MGN = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360 blir delbar med

24, 36 och 30.
30 = 2 · 3 · 5

x
1
x
x · 15 1 · 10 x · 12 15x
10
12x
+
– =
+
– =
+
– =
24 36 30 24 · 15
36 · 10 30 · 12 360 360 360
=
15x – 12x + 10
3x + 10
=
360
360
Bla 3c.indb 33
33
2012-07-10 09.35
1244
Förenkla 1
2
+
6 3 x
MGN: 2 ∙ 3 ∙ x = 6 x
Vi förlänger till nämnaren 6 x:
1
2
1 · x 2·2
x
4
x+4
+
=
+
=
+
=
6 3 x 6 · x
2 · 3 x 6 x 6 x
6 x
1245
a)
Lös ekvationenb)
Förenkla uttrycket
2 x + 1 2 x
2 x + 1 2 x
+
+
= 6
6
8
6
8
a)MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
Multiplicera båda leden (samtliga termer) med MGN 24:
24 (2 x + 1) 24 · 2 x
+
= 24 · 6
6
8
4(2x + 1) + 3 ∙ 2x = 144
8x + 4 + 6x = 144
14x + 4 = 144
14x = 140
x = 10
b)MGN: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24
Vi förlänger till nämnaren 24:
2 x + 1 2 x
4(2 x + 1)
3 · 2 x
8 x + 4 6 x
+
=
+
=
+
=
6
8
4·6
3·8
24
24
8 x + 4 + 6 x 14 x + 4 2 (7x + 2) 7x + 2
=
=
=
=
24
24
2 · 12
12
Sammanfattning
34
Bla 3c.indb 34
I en ekvation med rationella uttryck kan vi multiplicera båda leden
(samtliga termer) med MGN. Detta ger en enklare ekvation.
När vi förenklar ett rationellt uttryck förlänger vi (samtliga termer) till
MGN. Detta ändrar inte uttryckets värde.
2012-07-10 09.35
1246Beräkna/förenkla
1253Vid produktionen av x böcker är den
genomsnittliga kostnaden G( x) kr
9 000
x
per bok, där G(x) =
+ 40 +
x
30
Hur många böcker tillverkas, om den
genomsnittliga kostnaden är 96 kr?
5 1
x x
a) + c)+
8 8
7 3
3 17
2x
x
b) – d) +
4
8
15
6
1247Förenkla
1 3
2
1
a) + c)+
a a
x 2x
3
1
5
1
b) + d) +
4 4 x
3 a 2a
1248 Lös ekvationen. Börja med att
multiplicera alla termer med MGN.
x x
y y
a) – = 6 c) – = 5
2 5
6 8
x x
x
x
b) + = 2 d) – 2 =
3 6
3
4
1249 a)Lös ekvationen
a)Hur stor del av hela arbetet utför Nora på
1,0 h?
b)Hur stor del av hela arbetet gör de
tillsammans på 1,0 h?
c)Om My ensam klipper gräsmattan på
x h, hur stor del av arbetet gör hon då
på 1,0 h?
d)Ställ upp en ekvation där x kan
bestämmas.
3 x – 5 9 – 2 x
+
=2
4
3
b)Förenkla uttrycket
1254Nora och My klipper en stor gräsmatta.
Nora har motorgräsklippare och kan ensam
klippa gräsmattan på 4,0 h. My har en
vanlig handgräsklippare. Tillsammans kan
de klippa hela gräsmattan på 3,0 h.
e)Hur lång tid tar det för My att ensam
klippa gräsmattan?
3 x – 5 9 – 2 x
+
4
3
1250Förenkla
a)
2
y+1
3
1
b)2 +
+
3 y
y
y 4 y
a)
x–2 x–3
=
–1
3
2
3
1
b) +
=1
x 5 x
4 6
c) + = x
x 2
1252 Pi och Bo förenklar uttrycket 1 x+1
– x
2 x
Pi:
2·1
x+1 2–x+1 3–x
– =
=
2·x
2 x
2 x
2 x
Bo:
2 x · 1 2 x · (x + 1)
– = 2 – (x – 1)
x
2 x
Båda gör fel! Vilka fel gör de?
Bla 3c.indb 35
35
2012-07-10 09.35
1255
Förenkla
4–x
3
2
a)2 –
b) +
x
x–1 1–x
Obs! Parentes.
a)MGN = x ger
2–
4 – x 2 · x 4 – x 2 x – (4 – x) 2 x – 4 + x 3 x – 4
=
=
–
=
=
x
1·x
x
x
x
x
Vi måste komma ihåg att sätta ut parenteser när vi går över till
gemensamt bråkstreck och har uttryck med flera termer!
3
2 3
2
3
2
1
+
=
+
=
=
– b)
x – 1 1 – x x– 1
(–1)(x – 1) x – 1 x – 1 x – 1
1256
Lös ekvationen 2 x 2
2
+1=
x+1
x+1
Definitionsvillkor: x ≠ –1
Definitionsvillkoret innebär att x = –1
inte kan vara rot till ekvationen.
Multiplikation med MGN ger
(x + 1) · 2x2
(x + 1) · 2
+ (x + 1) · 1 =
x+1
x+1
2 x 2 + (x + 1) = 2
2 x 2 + x – 1 = 0
x2 +
1
1
x– = 0
2
2
√
x =–
1
1
1
± +
4
16 2
x =–
1 3
±
4 4
1
2
x2 = –1 x1 =
Svar: x =
36
Bla 3c.indb 36
x = –1 är en falsk rot, då den inte
uppfyller definitionsvillkoret.
1
2
2012-07-10 09.35
1257 a) Lös ekvationen
3y – 5 9 – 2y
–
=0
4
3
3y – 5 9 – 2y
b) Förenkla uttrycket
–
4
3
1262 Förenkla uttrycket
Lös ekvationerna
1258 a)
6
–5 = x
x
b)
1259 a)
x
16
+1=
x+4
x+4
b)
t+1
3
=
+5
t–2
t–2
c) 1 +
d)
y–3 y+2
–
=0
y
4
1
6
=
y y2
2
x
x
–
=
x–2 2
x–2
1260 Om man vet medicindosen för en vuxen,
kan dosen för ett barn beräknas med
x
· d där d är vuxendosen,
y=
x + 12
y är barndosen och x är barnets ålder.
a) Hur många tabletter bör en fyraåring få,
om en vuxen kan ta 6 tabletter?
b) Vuxendosen är 1 cl och en pojke
rekommenderas att ta 0,5 cl (5 ml).
Hur gammal bör pojken vara?
1.2 rAtionellA Uttryck
Bla 3c.indb 37
x
3
a)
– = 1
x–2 x
b)
1
1
– =0
x – x2 x
1+x 5–x
–
x2 – 4 x2 – 4
3
6
=2–
x+2
x
1
a
1
–
=
t–1
t–4
2
har en lösning t = 2.
1264 Ekvationen
Bestäm värdet på a och eventuella
ytterligare lösningar.
1265 Skriv följande uttryck så enkelt som möjligt.
a)
2
1
–
a–b
b–a
c)
2
1
+
x2 – 4 2 x – x 2
b)
a – 10
a
–
a–5
5–a
d)
6a + 6
4
+
a2 – 9
3–a
a3 + 1
– a2 till 1 – a.
a+1
Är förenklingen rätt?
1266 Johannes förenklar
Undersök numeriskt med din räknare eller
visa algebraiskt.
37
2012-07-10 09.35
Multiplikation och division
Vi repeterar multiplikation och division av tal i bråkform.
Multiplikation av bråk
2 5 2·5
1·5 5
· =
=
=
3 6 3·6
3·3 9
3·
8 3 8 3·8
1·8 8
= · =
=
= Förkorta om det går
innan du multiplicerar.
9 1 9 1·9
1·3 3
Division av bråk
2
Vi får förlänga med
vilket tal vi vill.
7
= Vi väljer det tal som
5
ger nämnaren 1.
9
inverterat tal
2 9
2 9
·
·
2 9 18
7 5
7 5
=
=
= · =
5 9
1
7 5 35
·
9 5
Täljare och nämnare
9
5
kallas det inverterade talet till byter plats.
5
9
Produkten av ett tal och dess inverterade tal är 1.
5
9
Att dividera med ger samma resultat som att multiplicera med 9
5
Vi förenklar rationella uttryck på samma sätt.
1267
Förenkla
2 x2
a) · x 6
b) 4 ·
2 x2
2 · x2 x
a) · =
=
x·6
x 6
3
b)4 ·
c)
Bla 3c.indb 38
/
Obs! Parentes.
x + 3 4 (x + 3)
4 x + 12
=
=
x
x
x
Obs! Parentes.
/
/
x + 1 x + 1 x + 1 x2
(x + 1) · x2
=
=x
=
·
2
x · (x + 1)
x
x x x + 1
d)
38
/
x+3
x+1 x+1
a2 – 4 a + 2
d)
c)
x
x
x 2
6 a2 12 a 2
a2 – 4 a + 2
a2 – 4 12 a 2
(a + 2)(a – 2) · 12 a2 2 (a – 2)
=
·
=
=
6 a3 · (a + 2)
6 a3 12 a 2
6 a3 a + 2
a
2012-07-10 09.35
1268 Beräkna utan räknare
2 5
7 2
a) · c)·
3 9
5 21
1
4 3
d)·
18
9 20
b)6 ·
1269 Beräkna utan räknare
/
/
/
3 4
16
a) c) 4
4 7
3
b)4 /
16
5 7
d) 3
6 3
1270Förenkla
4 a 1
5
a) · c)
3x ·
5 2a
12 x
6 x 14
1 3 x 2
b) · d) ·
7 3 x
9 x 10
1271 Skriv på ett gemensamt bråkstreck och
förenkla.
2 a 12
a + 3 10
a) · c)
·
3 b a
5 a a + 3
b)5 ·
2 x + 3
2 x – 3
d)
5 x·
2 x
2 x
1272 Vad är ”dubblan” (dubbelt så mycket) av
5
a) b)a + b
7
c)
1273Förenkla
/
2 a
x+1
· d)
?
3 b
4
/
x x
3x
9 a) c)
4 8
28
b)
/
/
4 a 2 a 2
12
d) 21
5 15
5 z
1274 Vad är tredjedelen av
5
a) b)a + b
7
c)
2 a
x+1
· d)
?
3 b
4
1275Förenkla
x y x y
x y x y
a) · c) 6 3
6 3
/
/
a b 2 c
a b 2 c
b) · d) 3 c a b
3 c a b
Bla 3c.indb 39
1276Förenkla
y
1 a
a)x y c) x
a b b
/ / / / y
a
a b) x yd)
x
b
a–b
b2
· 2 2 om a = 10 och b = 15
a –b
b
a)före förenkling
b)efter förenkling.
1278Förenkla
a)
/ / x2 – x x2 – 1
x–y
x2 – x y
2 c)
2
y
y
x + 2 y x – 4 y2
b)(a – 2) ·
a
a2 – 4
1279Förenkla
/
a+3
a) (a2 – 9)
b
/
x–1
b)(x 2 – 2 x + 1) 2
3
a
–
5a 15
1280 Förenkla dubbelbråket 1 1
–
genom att
a 3
a)först förlänga de enskilda bråken
till MGN
b)först förenkla täljaren för sig och
nämnaren för sig och sedan dividera.
Förenkla.
a b
2
4–
+
3 2
a
b)
1281a)
a b
4
–
16 – 2
3 2
a
1 1
a x
–
–
z x
x a
1282a)
b)
z–x
x–a
a x
och undersök om man
2 x + 3
kan bestämma talet a så att f ( f (x)) = x.
1283Låt f (x) =
39
2012-07-10 09.35
1.3 Funktioner
Inledning
Vi repeterar och utvidgar funktionsbegreppet.
Funktion
En regel som till varje tillåtet x -värde ger exakt ett y -värde
kallas en funktion.
Definitionsmängd
De tillåtna x -värdena kallas funktionens definitionsmängd.
Värdemängd
De y -värden vi då kan få kallas funktionens värdemängd.
Funktionsregeln kan beskrivas med ord, med en formel,
en värdetabell eller en graf.
y = f (x)
Skrivsättet y = f(x) innebär att y är en funktion av x och f är funktionens
namn.
Med f(2) menas det y-värde som funktionsregeln ger då x = 2.
kontinuerlig funktion
Funktioner kan karaktäriseras på olika sätt. De funktioner vars graf kan
”ritas utan att lyfta pennan” kallas för kontinuerliga.
Med matematikens språk kan vi säga att en funktion är kontinuerlig i en
punkt x om | f (x + h) – f (x)| kan göras godtyckligt litet genom att välja
ett tillräckligt litet h. Om detta gäller för alla x i definitionsmängden är
funktionen kontinuerlig.
Alla polynomfunktioner är kontinuerliga.
y
y
y = f (x )
y = g (x )
x
a
x
b
f är kontinuerlig för a ≤ x ≤ b
a
b
g är diskontinuerlig för a ≤ x ≤ b
En annan karaktärisering av funktioner kan göras utifrån vilken
definitionsmängd de har. De funktioner vars definitionsmängd är heltalen
(eller delmängder av heltalen) kallar vi diskreta. I matematiken betyder
ordet diskret ungefär detsamma som ”åtskild” eller ”särad”.
40
Bla 3c.indb 40
diskret funktion En diskret funktion kan aldrig vara kontinuerlig eftersom resonemangen
med ”godtyckligt litet” respektive ”tillräckligt litet” inte fungerar.
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
Exempel
En handlare säljer äpplen för 20 kr/kg.
Funktionen y = 20x beskriver priset
y kronor för äpplen som väger x kg.
Detta är en kontinuerlig funktion,
definitionsmängden är de reella talen
större än eller lika med 0.
En annan handlare säljer äpplen för 5 kr/st.
Funktionen y = 5x beskriver priset y kronor
för x st äpplen.
Detta är en diskret funktion,
definitionsmängden är de naturliga talen.
kr
kr
y
60
15
40
10
y
5
20
x
x
1
2
3
1
kg
Priset som funktion av vikten.
1301 Låt f( x) = 6x – 5 och g(x) = x2 + 3x.
Bestäm
a) f (2)
c) f (2) – g (2)
b) g (–3)
d) g (b) – f (b)
1302 Låt f( x) = 3x – 2 och bestäm
a) f (a + 1)
b) f (a + h)
1303 Låt g(x) = x2 – 3 och bestäm
a) g(a – 2)
b) g(a + 2)
1304 Priset y kr för att hyra ett par skidor
i x dagar beskrivs av funktionen
y = 200 + 100 x.
Är funktionen diskret eller kontinuerlig?
Motivera ditt svar.
1305 Bestäm definitions- och värdemängd för
a) y = 2x – 1
c) f( x) = √ x + 3
b) y = x2
d) f( x) = 2 x
1.3 fUnktioner
Bla 3c.indb 41
2
3 antal
Priset som funktion av antalet.
1306 Funktionen f definieras av formeln
1
f( x) =
x–4
a) Rita funktionens graf.
b) Ange funktionens definitionsmängd.
c) Förklara varför funktionens värdemängd
är alla reella tal y ≠ 0.
1307 Låt f( x) = x2 + 3x och förenkla
a)
f (2 + h) – f (2)
h
b)
f (x + h) – f ( x )
h
1308 En och samma funktion kan beskrivas
med olika formler i olika delar av sin
definitionsmängd.
Funktionen f är definierad på följande sätt:
 x 2 för x ≤ 1
f ( x) = 
 2 x + a för x > 1
a) Bestäm f (–2) + f (2)
b) För vilket värde på a är funktionen
kontinuerlig?
41
2012-07-10 09.35
Historik
Hur funktionsbegreppet utvecklats
Vår önskan att med hjälp av matematiska modeller beskriva och förstå omvärlden har med
tabeller, diagram, formler, ekvationer och grafer
lett fram till funktionsbegreppet.
I mitten av 1700-talet gav
Euler, en mycket produktiv
matematiker från Schweiz,
en samlad beskrivning av de
enkla funktioner som ingår i
dagens skolkurser. Euler införde
beteckningen f (x) och gav 1734
Leonhard Euler
följande definition:
(1707 – 1783)
Dirichlets definition skiljer sig
på två viktiga sätt från Eulers:
Funktionsregeln behöver inte
vara given med ett algebraiskt
uttryck, och varje värde på x
ska ge ett värde på y.
Den tyske matematikern
Georg Cantor skapade på
1870-talet mängdläran
som ett beskrivningssätt
för all matematik. Cantors
funktionsdefinition blir:
”En funktion f( x) är ett algebraiskt uttryck med
konstanter och variabler, definierat genom en
ekvation eller en graf.”
”Om X och Y är två givna mängder, och om till varje
element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y,
så har vi en funktion från X till Y.”
Eulers definition skärptes under nästa århundrade, och 1837 gav den tyske matematikern
Dirichlet oss den definition som än idag används:
Enligt denna definition behöver inte elementen
x och y vara tal.
Georg Cantor
(1845 – 1918)
X
”Om två variabler x och y har
ett sådant samband, att när vi
ger x ett värde så ordnas till detta
automatiskt genom någon regel
ett bestämt värde på y, då säger vi
att y är en funktion av x.”
Y
x
y
BC_K1_3_hist
Peter Dirichlet
(1805 – 1859)
1 En cirkel med radien 2 ges av ekvationen
y2 + x 2 = 22 .
a) Beräkna alla värden på y om
x = –2, –1, 0, 1, 2.
b) Skissa cirkeln i ett koordinatsystem.
c) Är detta en funktion enligt Eulers, Dirichlets
och Cantors definition?
42
Bla 3c.indb 42
2 Elementen i Cantors definition behöver inte
vara tal. Beskriver följande tabell en funktion?
a)
b)
x
–2
0
2
4
y
2
–2
2
14
x
blå
röd
grön
blå
y
röd
grön
blå
blå
1.3 fUnktioner
2012-07-10 09.35
Räta linjens ekvation
Vi repeterar från kurs 2c.
Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m där k anger lutningen
och m anger var linjen skär y-axeln.
Linjen y = 2x – 7 skär y-axeln i punkten (0, –7).
Bestämning av k ur en graf
y
y
∆x = 1
∆y = 3
1
∆x = 2
∆y = –3
x
1
x
1
1
k=
3
∆y
= = 1, 5
∆x 2
k=
−3
∆y
=
= −3
∆x
1
k > 0, linjen stiger k < 0, linjen faller
En horisontell linje har k = 0 och en ekvation av typen y = 3.
En vertikal linje saknar k-värde och har en ekvation av typen x = 3.
Formeln för k
k=
förändringen i y-led ∆ y
y –y
=
= 2 1
förändringen i x-led ∆ x
x2 – x1
där x2 ≠ x1.
Parallella linjer och vinkelräta linjer
Två icke-vertikala linjer med riktningskoefficienter k1 och k2 är
◗◗ parallella om och endast om k1 = k2
(har samma k-värde)
◗◗ vinkelräta om och endast om k1 ∙ k2 = –1
x
1
har k-värdet
och är parallell med linjen y = 0,25x + 3
4
4
och vinkelrät mot linjen y = 1 – 4x
Linjen y =
k-formy = kx + m
1.3 Funktioner
Bla 3c.indb 43
enpunktsform
y – y1 = k (x – x1)
allmän form
ax + by + c = 0
43
2012-07-10 09.35
1309
Linjen L går genom punkterna (–2, 1) och (4, –4).
y
M
a)Beräkna k-värdet för linjen.
( 2, 3)
L
b)Bestäm ekvationen för den linje M som går genom
punkten (–2, 3) och är parallell med linjen L.
( 2, 1)
1
1
a)(x1, y1) = (–2, 1) och (x2 , y2 ) = (4, –4)
k=
y2 – y1
x2 – x1
k=
–4–1
– 5
5
=
=–
4 – (–2)
6
6
∆x = 6
x
∆y = –5
(4, 4)
b)Parallella linjer har samma k-värde.
5
Linje M har k = – och går genom punkten (–2, 3).
6
Metod 1
Metod 2
Vi använder y = k x + m.
Vi använder y – y1 = k(x – x1).
5
y = 3, x = – 2 och k = – ger
6
5
· (– 2 ) + m
6
3 = –
y – 3 = –
5
(x – (–2))
6
3 =
5
+m
3
y – 3 = –
5 x 5
–
6
3
m =
4
3
y=–
5 x 5 9
– +
3 3
6
5 x 4
y = – +
6
3
y =–
1310
5
y1 = 3, x1 = –2 och k = – ger
6
5 x 4
+
6
3
Ge ett exempel på ekvationen för en rät linje som är vinkelrät mot linjen
6 x + 3 y – 12 = 0.
Vi omvandlar den allmänna formen 6x + 3y – 12 = 0 till k-form:
3y = – 6 x + 12
y = – 2 x + 4
k1 ∙ k2 = –1 och k1 = –2 ger k2 = 0,5.
Den vinkelräta linjens ekvation kan t ex vara y = 0,5x + 7.
44
Bla 3c.indb 44
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
1311 Bestäm lutningen k för en linje genom
(1, 3) och (–1, 2).
1312 Bestäm en ekvation för linjen genom
(3, –2) och med
a)k = 4b)
k = –3
1313 Rita grafen till
a)y = 2 x – 3b)
5 x + 3y – 9 = 0
1314I en glesbygdskommun minskade
invånarantalet linjärt under 1990-talet
enligt y = 15 000 – 225 x
där y är antalet invånare x år efter 1990.
a)Ange och tolka funktionens m -värde.
b)Ange och tolka funktionens k -värde.
1316 Skriv på allmän form ekvationen för linjen
genom punkterna (2, 8) och (5, 10).
1317Mellan temperaturskalorna Fahrenheit (°F)
och Celsius (°C) finns ett linjärt samband.
Vi vet att 20 °C motsvarar 68 °F och 100 °C
motsvarar 212 °F.
a)Ställ upp det linjära samband som visar
hur y °F kan beräknas för x °C.
b)Beräkna med ditt samband hur många °F
som motsvarar 0 °C.
1318 Ange en ekvation för den linje som går
genom punkten (2, – 5) och är parallell med
a)y = – 5x + 3 b)2y – 6x + 12 = 0
y
d)
1
x
1
1.3 Funktioner
Bla 3c.indb 45
1321 Ange en ekvation för den linje som går
genom punkten (1, –4) och är vinkelrät mot
a)y = x + 3b)
y = – 2 x + 4
1322 Vilka koordinater har punkten B, om
lutningen för linjen genom A och B är 5?
y
y = x2
1
B
A (1, 1)
x
1
1323 Ställ upp och förenkla b)
c)Ställ upp ett linjärt samband mellan
ljusets längd f (t ) mm och den tid
t timmar som ljuset har brunnit.
f (x + ∆ x) – f (x)
∆ x
om f ( x ) = a x + b. Tolka ditt resultat.
1319 Bestäm linjens ekvation.
y
a)Hur långt är ljuset då det har brunnit
i 5 timmar?
b)Hur lång tid har ljuset brunnit om det är
120 mm långt?
1315 Bestäm en ekvation för linjen genom
(–3, 1) och (2, –9).
a)
1320 Ett cylinderformat stearinljus har diametern
23 mm och längden 200 mm. Brinntiden är
8 timmar.
c)
1
x
1
1324 För en linjär funktion gäller att
f(a + 1) = a + 2.
Bestäm funktionen på formen y = k x + m.
45
2012-07-10 09.35
Andragradsfunktioner
En andragradsfunktion definieras av en ekvation av typen
y = 2 x 2 – 12x + 10 och f ( x ) = 8 x – x 2
Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas
allmän andragradsfunktion
f( x) = a x2 + b x + c
där a, b och c är konstanter och a ≠ 0.
Grafen till en andragradsfunktion y
symmetrilinje
parabel y = a x2 + b x + c kallas en parabel.
symmetrilinje Den har en symmetrilinje som delar
kurvan i två delar, som är varandras
spegelbilder.
Två punkter på kurvan med samma
y-värde ligger därför på samma
avstånd från symmetrilinjen, se figuren
här intill.
vertex
nollställen
x
vertex
Symmetrilinjen går genom parabelns
vertex (vändpunkt) som är en maximieller minimipunkt på grafen.
Då ekvationen a x2 + b x + c = 0 skrivs om till
p
x2 + p x + q = 0 är symmetrilinjens ekvation x = – 2
minimipunktOm a > 0 (t ex y = 3 x2 ) har kurvan en minimipunkt.
maximipunktOm a < 0 (t ex y = –1,5 x 2 ) har kurvan en maximipunkt.
nollställen
Där grafen skär x-axeln är y = 0
x-koordinaten i dessa skärningspunkter
kallas funktionens nollställen.
Nollställena är reella lösningar till ekvationen ax2 + bx + c = 0.
Saknas reella lösningar skär grafen aldrig x-axeln.
Där grafen skär y-axeln är x = 0. Grafen skär y-axeln i punkten (0, c).
46
Bla 3c.indb 46
En andragradsfunktion är ett exempel på en polynomfunktion.
polynomfunktionEn polynomfunktion definieras som en funktion som anges av ett
polynom. I kommande kapitel ska vi studera polynomfunktioner
av tredje och fjärde graden.
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
1325
Undersök andragradsfunktionerna y = x2 – 6 x och y = –3 x2 – 6 x – 6.
a) Var skär grafen y- axeln?
b) Har funktionen några nollställen?
c) Bestäm grafens symmetrilinje.
d) Ange koordinaterna för vertex.
e) Ange funktionens största/minsta värde.
f) Kontrollera dina resultat grafiskt.
y = x2 – 6 x
y = –3 x2 – 6 x – 6
a)
x = 0 ger y = 0.
Grafen skär y-axeln i origo.
a) x = 0 ger y = –6.
Grafen skär y-axeln i punkten (0, –6).
b)y = x2 – 6 x
x2 – 6 x = 0
x( x – 6) = 0
b) y = –3 x2 – 6 x – 6
–3 x2 – 6 x – 6 = 0
2
x + 2 x + 2 = 0
x = –1 ± √ 1 – 2
Nollställena är
x1 = 0 x2 = 6
c)Symmetrilinjen är x = 3
(mitt emellan 0 och 6)
c) Symmetrilinjen är x = –1
( x = – p/2 om x2 + p x + q = 0)
d)x = 3 ger
y = 32 – 6 ∙ 3 = –9
(3, – 9) är vertex
d) x = –1 ger
y = –3 ∙ (–1)2 – 6 ∙ (–1) – 6 = – 3
(–1, – 3) är vertex
e)
x2 – termen är positiv.
Funktionen har ett minsta värde – 9
( y-värdet i vertex).
e) x2 – termen är negativ.
Funktionen har ett största
värde – 3.
f)
f)
15
Nollställen saknas
0
1
–3
(–1, –3)
–4
10
(3, –9)
–10
1.3 Funktioner
Bla 3c.indb 47
–10
47
2012-07-10 09.35
4
x
1
1326
Figuren visar grafen till
en andragradsfunktion.
y
Nollställen
–1 och 2
4
Skriv funktionen i
2
x
a)faktorform
1
b)utvecklad form.
2
a)Nollställena –1 och 2 ger
f (x) = k (x + 1) (x – 2)
Vi avläser f (0) = 4, vilket ger
k (0 + 1) (0 – 2) = 4
k ∙ 1 ∙ ( –2 ) = 4
k = –2
f ( x ) = –2 (x + 1)(x – 2)
b) f ( x ) = – 2 ( x + 1)(x – 2) = – 2 (x 2 – 2 x + x – 2) = – 2 x 2 + 2 x + 4
1327 Funktionen y = 6 x – x 2
a)Har kurvan en maximi– eller
minimipunkt?
b)y = 2 x 2 – 4 x – 10
c) Ange kurvans symmetrilinje.
d)y = – 2 x 2 – 6 x – 6
e)I vilken punkt skär kurvan y-axeln?
f)Skissa först grafen för hand och
kontrollera sedan med grafräknare.
1328 Ange funktionens nollställen
c) y = – x 2 + 8 x + 9
1331En andragradsfunktion har ett nollställe
x = 2 och symmetrilinjen x = –1.
Bestäm det andra nollstället.
1332Beräkna var kurvan skär x-axeln och
y-axeln. Kontrollera grafiskt.
a)f ( x ) = ( x + 3 )( x – 10)
a)f ( x ) = –3 x 2 – 3x + 6
b)f ( x ) = 5 x ( x – 4)
b)f ( x ) = x 2 + 4
1329 ”Om man har ekvationen för en andragrads
funktion så finns det en enkel metod att
avgöra om grafen har en maximieller
minimipunkt. Inga beräkningar behövs och
grafen behöver ej ritas.”
Förklara denna metod.
Bla 3c.indb 48
a)y = x 2 + 4 x + 3
b)Bestäm kurvans nollställen genom att
lösa ekvationen 6x – x 2 = 0
d)Bestäm koordinaterna för kurvans
vändpunkt.
48
1330Bestäm kurvans eventuella nollställen samt
max- eller minpunkt. Kontrollera grafiskt.
c) y = 10 x – x 2
d)y = ( x – 4)( x + 1)
1333 Ge ett exempel på en andragradsfunktion
som har nollställena
a)–1 och 3
b)0 och –10
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
1334 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen y = f( x).
y
1
x
1
a) Bestäm f (0).
b) Lös olikheten f( x) > 0.
c) f( x) = – ( x – a )( x – b )
Bestäm a och b och skriv f( x) i
utvecklad form.
d) Ge ett exempel på ekvationen för en rät
linje som aldrig skär f( x).
1335 Hur ska vi välja a så att kurvan
y = x 2 – 8 x – a inte skär x-axeln?
1336 En rät linje skär f( x) = x 2 – 4 där
x = –1 och x = 3.
1341 En fotboll sparkas rakt upp i luften. En
modell för bollens höjd över marken s ( t )
meter efter t sekunder är
s ( t ) = 0,75 + 18 t – 4,9 t 2
a) Beräkna och tolka s(2,5).
b) Vilken är bollens högsta höjd?
1342 Skriv andragradsfunktionerna dels i
faktorform och dels i utvecklad form.
a)
y
Ange den räta linjens ekvation.
x
1337 Funktionen y = (x – 2) + 4 är given.
2
1
–2
a) För vilket värde på x har y sitt minsta
värde?
b) Vad är funktionens minsta värde?
1338 Skriv två olika funktioner som båda har
nollställena –10 och 20.
1339 En andragradsfunktion har en graf med
nollställena x = 1 och x = 8.
Grafen skär y-axeln där y = 4.
Skriv funktionen i faktorform.
1340 Stoppsträckan hos en bil kan beskrivas
med funktionen s( v ) = a v 2 + b v där s är
stoppsträckan i m vid hastigheten v m/s.
Bestäm konstanterna a och b om vi vet
att s(100 ) = 90 och s(120 ) = 122,4.
1.3 fUnktioner
Bla 3c.indb 49
b)
4
y
x
–2
6
–18
1343 Ange andragradsfunktionen som har
ett (av två) nollställen x = 1 och en
minimipunkt (–1, –8).
1344 En andragradsfunktion y = ax 2 + b x + c
har endast ett nollställe.
Ange ett samband mellan a, b och c.
49
2012-07-10 09.35
Exponentialfunktioner och potensfunktioner
Funktioner av typen
y = 2 x 3 och f( x) = 500 ∙ x –0,5
är exempel på potensfunktioner.
Potensfunktion
f (x ) = C ∙ x a , där C och a är konstanter, kallas en potensfunktion.
I matematiska tillämpningar där det förekommer någon form av
proportionalitet mellan två variabler kan en potensfunktion användas som
modell.
potensekvation
Ekvationen 100x 6 = 200 är ett exempel på en potensekvation.
Ekvationen kan skrivas x6 = 2
1
Den positiva roten är x = 2 6 ≈ 1,122
Funktioner av typen
y = 5 ∙ 1,5 x och f( x) = 20 000 ∙ 0,85 x
är exempel på exponentialfunktioner.
Exponentialfunktion
f ( x ) = C ∙a x , där C och a är konstanter ( a > 0, a ≠ 1), kallas en
exponentialfunktion.
I många matematiska tillämpningar har vi en procentuell förändring
som är konstant. Detta betyder att förändringsfaktorn är konstant och en
exponentialfunktion kan användas som modell.
exponentialekvation
Ekvationen 3 x = 5 är ett exempel på en exponentialekvation.
Logaritmering av båda leden ger x ∙ lg 3 = lg 5
Lösningen är x =
50
Bla 3c.indb 50
lg 5
≈ 1,465
lg 3
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
1345
Värdet på en villa ökade från 2,4 miljoner kr till 3,2 miljoner kr
under en femårsperiod.
Beräkna den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen.
Antag att den årliga förändringsfaktorn är x.
Vi får ekvationen
2,4 ∙ x 5 = 3,2
3,2
x 5 =
2,4
x = 
1
3,2 5
≈ 1,0592
2,4
Värdet ökade med i genomsnitt 5,9 % per år.
1346
Kevin arbetar med radioaktiva preparat på ett laboratorium.
En radioaktiv isotop som han arbetar med avtar exponentiellt
enligt funktionen
f( t ) = 72,5 ∙ 0,867 t
där t är antal år efter 2010 och f ( t ) är mängden i mg.
a) Tolka talen 72,5 och 0,867 i formeln.
b) Beräkna och tolka f (10).
c) När återstår 5,00 mg av den radioaktiva isotopen?
a)72,5 betyder att mängden var 72,5 mg år 2010.
Förändringsfaktorn 0,867 betyder att mängden minskar med
13,3 % per år.
b)f (10) = 72,5 ∙ 0,867 10≈ 17,4
År 2020 återstår 17,4 mg av den radioaktiva isotopen.
c) Vi löser ekvationen
72,5 ∙ 0,867 t = 5
5
t
0,867 =
72,5
5 
t · lg 0,867 = lg 
72,5
5 
lg 
72,5
t=
≈ 18,7
lg 0,867
1.3 Funktioner
Bla 3c.indb 51
Ca 18,7 år efter 2010 återstår 5,00 mg.
51
2012-07-10 09.35
1347 Beräkna f (5). Svara med tre gällande
siffror.
a)f( x) = 400 ∙ x 1,5 b)f( x) = 400 ∙ 1,5 x
1348 Lös ekvationen. Svara med tre gällande
siffror.
3x = 8
a)x3 = 8c)
5
b)2x = 24 d)2 ∙ 5x = 24
1354 A y = 2 √ x
3
x 2
C y = x 2 + x
B y =
D y = 2 x
Vilken eller vilka av funktionerna ovan är en
a) andragradsfunktion
b) potensfunktion
1349 Vinsten i ett företag är 80 miljoner kr.
Ställ upp en funktion som anger vinsten
y kr efter x år om vinsten förväntas
a)öka med 5 % varje år
c) exponentialfunktion?
1355 Figuren visar grafen till en exponential
funktion. Bestäm funktionen.
b)minska med 5 % varje år.
y
1350 En dag analyserade Mikael bakteriehalten
i ett vattenprov. Antalet bakterier
f( x) = 200 000 ∙ 1,04 x, där x är antalet
timmar efter kl. 09.00.
a)Beräkna antalet bakterier kl 12.30.
b)När är antalet bakterier 500 000?
1351 Under en 20-årsperiod har Emmas årslön
trefaldigats.
Beräkna den årliga procentuella ökningen
om vi förutsätter att den varit lika stor
varje år.
1352 Karl köpte aktier. När han tre år senare
skulle sälja aktierna hade värdet halverats.
x
1
1356 Halten av en luftförorening y gram per m3
i ett rum avtar med tiden t timmar enligt
funktionen y = 40 ∙ 0,92 t
Med hur många procent minskar halten
per dygn?
Vilken årlig procentuell minskning mot
svarade detta?
1357 För en exponentiell modell y = f ( x ) = C a x
gäller att f (0) = 2 och f (1) = 3.
Bestäm f (2).
1353 Lufttrycket y millibar avtar med höjden
x km över havet enligt funktionen
y = 1 013 ∙ 0,887 x
1358I tiokamp för herrar beräknas poängen P( t )
för löpning 1 500 m med potensfunktionen
52
Bla 3c.indb 52
1
a)Hur stort är lufttrycket vid havsnivån?
P( t ) = 0,037 68 (480 – t ) 1,85
b)Med hur många procent minskar trycket
då höjden ökar med 1 km?
där t är tiden i sekunder.
c) Beräkna lufttrycket på höjden 8 800 m.
b)Vilken poäng ger tiden 4.20,0?
d)På vilken höjd är lufttrycket
500 millibar?
c) Vilken tid ger 1 000 poäng?
a)Vilken poäng ger tiden 4.10,0?
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
1359 En dator kan sortera N namn på T µs,
där T = 1,18 ∙ N 1,18.
Hur många namn sorteras på 1 min?
1363 En patient får en injektion på 5,0 mg av
ett läkemedel. Man vet att denna mängd
avtar exponentiellt med tiden och att halva
mängden återstår efter 24 h.
1360 Från år 1995 till 2005 minskade en koloni
av måsar från 10 000 till 6 000.
Hur många måsar kan vi förvänta oss 2015,
om minskningen i procent är densamma
varje år?
1361
y
När återstår 1,5 mg?
1364 Då kärnkraftverket i Tjernobyl havererade
i april 1986 spreds stora mängder
radioaktivt material, bl a jod-131 med en
halveringstid på 8,0 dygn och cesium-137
med en halveringstid på 30,2 år.
Hur länge dröjer det innan aktiviteten
reducerats till 1 % av det ursprungliga
värdet för
Exponentialfunktion
a) jod-131
1365
100
b) cesium-137?
y
Potensfunktion
y=C·xa
x
1
Figuren visar grafen till y = f ( x ).
Beräkna f ( –2 ).
1362 Flora och fauna på isolerade öar har stort
intresse inom ekologin. För både växter
och djur har forskarna funnit att antalet
arter y på öar med olika area x km2 kan
beskrivas med potensfunktionen y = c ∙ x a
där c och a är konstanter som beror av den
aktuella organismen och ögruppen. För
fågelarter inom Bismarcksarkipelagen har
undersökningar visat att c = 18,9 och
a = 0,18.
10
x
1
Bestäm C och a.
a)
2x + 1
= –6
2x – 1
b) x lg x =
x3
100
Hur stor måste en ö vara för att man
rimligen ska finna fler än 100 fågelarter?
1.3 fUnktioner
Bla 3c.indb 53
53
2012-07-10 09.35
✽ Laborera
Aktivitet
Pendeln
Materiel: En pendel (t ex vikt upphängd i 2 m
långt snöre), stativ eller annan fästanordning,
tidtagarur och tumstock eller måttband (2 m).
1 Svängningstiden (fram och tillbaka) för en
pendel beror av pendelns längd.
Du ska variera och mäta längden på pendeln,
mäta svängningstiden och redovisa resultatet
i en tabell.
Tips:
• Mät längden till kulans/viktens tyngdpunkt.
• Låt pendeln göra ganska små svängningar.
3 Välj en pendellängd och beräkna sväng
ningstiden med hjälp av din funktion.
4 Bygg en ”klocka”!
Hur lång är den pendel som har en svängningstid på exakt en sekund?
Gör först en beräkning med hjälp av din
funktion. Kontrollera sedan experimentellt.
Stämmer det?
• Mät tiden för 10 svängningar.
2 Använd räknare/dator med ett kurv
anpassningsprogram och anpassa en
potensfunktion av typen y = C ∙ a x
till dina mätvärden.
Låt y vara svängningstiden i sekunder
och x pendelns längd i meter.
54
Bla 3c.indb 54
Kontrollera sedan experimentellt.
Stämmer det?
5 Det finns en teoretisk formel för en plan,
”matematisk” pendel.
Ta reda på denna formel och jämför med
din potensfunktion.
Kommentera likheter och skillnader.
1.3 Funktioner
2012-07-10 09.35
✽ Diskutera
Aktivitet
Sant eller falskt?
Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare.
Sant eller falskt? Motivera svaret!
14 x 2 – 4 kan skrivas som 4( x – 1)(x + 1)
2Summan av två andragradspolynom kan vara
ett fjärdegradspolynom.
3x = 3 är en lösning till ekvationen
2
1
+
=1
x+1 x–1
4Polynomet p( x ) = (2x – 5)( x + 7)
har nollställena 5 och 7.
3 x – 12
är ej definierat då
5Uttrycket 2 x – 10
x = 10.
7y = ( x – 3)( x + 2) är den enda andragrads
funktion som har nollställena 3 och – 2.
8√ 98 kan skrivas 7 √ 2
9Om f ( x ) = x – 1 och g ( x ) = x 2 så saknar
ekvationen f ( x ) = g ( x ) reella lösningar.
2
10Uttrycket 4 x – 100 är skrivet i enklaste form.
x–5
11Funktionen y = x √ x är ett exempel på en
potensfunktion.
12
3 x 3 · 3 x 3 · 3 x 3
kan förenklas till 3 x 3.
3 x 3 + 3 x 3 + 3 x 3
6Summan 2 –1 + 2 –1 är dubbelt så stor som
produkten 2 –1 · 2 –1.
1 Algebra och linjära modeller
Bla 3c.indb 55
55
2012-07-10 09.35
Sammanfattning 1
Algebra och polynom
Ekvationer
Ekvationen x 2 + p x + q = 0 har lösningarna
Polynom och räkneregler
p 2
p
x = – ±   – q
2
2
Exempel:
Ekvationer som kan skrivas så att det ena ledet är
faktoriserat och det andra ledet är noll kan lösas
med nollproduktmetoden.
2x 3 – x2 + 10 är ett tredjegradspolynom med
tre termer.
Exempel:
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna:
4x(3x – 15)(2x + 6) = 0
(a + b)(a – b) = a – b 1 x = 0
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b 2
2 (3 x – 15) = 0 vilket ger x = 5
(a – b )2 = a2 – 2 a b + b 2
3 (2 x + 6) = 0 vilket ger x = – 3
2
Potenser
a x a y = a x + y
a b = (a b)
x x
x
a 0 = 1
2
ax
= a x – y
ay
a x  a  x =
b x  b 
a –x =
(a x ) y = a x y
1
1
a x
a n = √ a
n
= √ a · √ a = a
a≥0
√ a · √ b = √ aba ≥ 0
√ a = aa ≥ 0
√ b b
√
x3 = – 3
Ekvationer där den obekanta förekommer under
ett rottecken kallas rotekvationer. Rotekvationer
kan lösas med hjälp av kvadrering, vilket dock
kan ge falska rötter som måste prövas i den
ursprungliga ekvationen.
Ett andragradspolynom p ( x ) med nollställena
a och b skrivs i faktorform
Kvadratrötter och absolutbelopp
(√ a )
x2 = 5
Ett nollställe till ett polynom p ( x ) är ett tal a
sådant att p ( a ) = 0.
(2 x )3 · 2 x –1 = 23 · x 3 · 2 · x –1 = 16 x2
2
x1 = 0
Polynom i faktorform
Exempel:
b≥0
b>0
Exempel:
√18 = √ 9 · √ 2 = 3 · √ 2
p ( x ) = k ( x – a )( x – b )
där k är en konstant.
Rationella uttryck
Vad menas med ett rationellt uttryck?
Ett rationellt uttryck definieras som en kvot
p(x)
q(x)
Absolutbeloppet av x, skrivs |x| och definieras som
talets avstånd till origo.
av två polynom
 x om x ≥ 0
|x| = 
 –x om x < 0
Ett rationellt uttryck är inte definierat då
nämnaren är lika med noll.
56
Bla 3c.indb 56
√
Ett polynom är en summa av termer där
variabeltermernas exponenter är naturliga tal.
2012-07-10 09.35
Ett rationellt uttryck som inte kan förkortas är
skrivet i enklaste form.
Exempel:
5 a 2
5 a · a
a
=
= 15 a 3 · 5 · a 3
Enklaste form
2 x + 8
2 ( x + 4)
2
=
=
x 2 – 16 ( x + 4)( x – 4) x – 4
Addition och subtraktion
Alla polynomfunktioner är kontinuerliga. Grafen
till en sådan funktion kan ritas ”utan att lyfta
pennan.”
En funktion vars definitionsmängd är heltalen
(eller en delmängd av heltalen) kan kallas en
diskret funktion.
k-formy = kx + m
enpunktsform y – y1 = k( x – x1 )
Förläng till MGN vid förenkling.
allmän form
Exempel:
1
1
3
2
3–2
1
–
=
–
=
=
2 a 3 a 6 a 6 a
6 a
6 a
Andragradsfunktioner
MGN = 6a
Multiplicera båda leden med MGN vid
ekvationslösning.
Exempel:
Lös ekvationen
3
2
–
=a
2 a 3 a
a x + b y + c = 0
En andragradsfunktion kan skrivas
y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0
Grafen
•har en maximipunkt om a < 0
•har en minimipunkt om a > 0
•skär y-axeln i (0, c)
•är symmetrisk kring symmetrilinjen
•har nollställen om ekvationen y = 0
har reella lösningar.
Potensfunktioner
6 a · 3
6 a · 2
–
= 6 a · a
2 a
3 a
9 – 4 = 6 a 2
y = C ∙ x a (C och a är konstanter)
a 2 = 5/6
x 12 = 3, x > 0
Exempel:
Potensekvationen
a = ± √ 5 / 6
har den positiva roten x = 3 1/12 ≈ 1,096
Multiplikation och division
Exponentialfunktioner
Exempel:
a+1
2 a
/
y = C ∙ a x (C och a är konstanter, a > 0, a ≠ 1)
a2 – 1
a+1
2
=
=
· 2
2
2 a
a – 1
(a + 1) · 2
1
=
=
2 a (a + 1) (a – 1) a (a – 1)
Exempel:
Funktioner
lg 3 x = lg (15/8)
Inledning
En funktion är en regel som till varje tillåtet
x-värde ger exakt ett y-värde.
Lösning av exponentialekvation.
8 · 3 x = 15
3 x = 15/8
x · lg 3 = lg (15/8)
x =
lg (15/8)
≈ 0,572
lg 3
Definitionsmängden är de tillåtna x-värdena.
Värdemängden är de erhållna y-värdena.
Bla 3c.indb 57
57
2012-07-10 09.36
Kan du det här? 1
Moment
Algebra och
polynom
Begrepp som du ska kunna
använda och beskriva
Polynom, term och gradtal
Potens, bas och exponent
•använda potenslagarna med reella
exponenter
Andragradsekvation
•använda lagarna för kvadratrötter
Lösningsformeln
•lösa andragradsekvationer med olika
metoder
Nollställe, faktorform
Rationellt uttryck
Enklaste form
MGN
Falsk rot
Funktioner
•addera, subtrahera, multiplicera
och faktorisera polynom
Kvadratrot och absolutbelopp
Nollproduktmetoden
Rationella
uttryck
Du ska ha strategier för att kunna
Funktion
Definitions- och värdemängd
Kontinuerlig funktion
Diskret funktion
•lösa ekvationer med hjälp av
faktorisering, kvadrering och
substitution.
•beräkna värdet på ett rationellt uttryck
och bestämma de variabelvärden för
vilka uttrycket inte är definierat
•förlänga och förkorta rationella uttryck
•addera, subtrahera, multiplicera och
dividera rationella uttryck
•lösa ekvationer som innehåller
rationella uttryck.
•avgöra om en formel, graf och
värdetabell beskriver en funktion
•avgöra om en funktion är kontinuerlig
•använda k-form, enpunktsform och
allmän form för räta linjen
Andragradsfunktion
•bestämma symmetrilinje, nollställen
och största/minsta värde för
andragradsfunktioner
Potensfunktion
•lösa potensoch exponentialekvationer
Potensekvation
•använda linjära-, andragrads-, potensoch exponentialfunktioner i olika
tillämpningar.
Exponentialfunktion
Exponentialekvation
58
Bla 3c.indb 58
2012-07-10 09.36
Diagnos 1
Algebra och polynom
1Utveckla och förenkla
8Lös ekvationen
a)(2a + 3b)(2a – 3b) – 2a(2a – 3b)
x x
x2
1
a) – = 24c) + 2 =
x–1
2 8
x–1
b)3(x + h)2 – 3x2
b)
2Förenkla
a)a · a + ( 2 a )
–2
–4
–3 2
b)( x – √ 3 ) (x + √ 3 )
3Beräkna utan räknare
a)4 1 + 4 0,5 b)
√ 25 + √ 2 · √ 18
4Lös ekvationen
x–1 x–2
x 2
16
–
+
= 3 d)
=4
x+4 x+4
2
3
9Förenkla
a b 6 b
2 2 – 4 a
a) · c) 2
2 a
a
a
b)
/
/
a b 6 b
a – 1
6
d)
·
2 a
3
4 a + 4
2
Funktioner
10Bestäm ekvationen för den linje som
a)3 x (2 x + 6)( x – 1) = 0
a) har k = 4 och går genom punkten (1, 8)
b)9 x – 6 x + x = 0
b)går genom punkterna (2, 6) och (3, 4)
3
2
5Skriv polynomet i faktorform
a)p(x) = x 2 – 16 x + 60
b)p(x) = –10 x 2 + 50x – 60
c) är parallell med y = 3 x + 7 och går
genom (2, 4).
11Rita andragradskurvan (parabeln)
y = 2 x 2 – 8 x – 24
Rationella uttryck
x+1
6G( x ) =
x ( x + 2)
a)Beräkna G (–3)
b)För vilket eller vilka värden på x är G (x)
inte definierat?
7Förenkla
14 x – 7
x x x
a)
c)+ –
2 x – 1
2 3 12
2 x 2 – 18
x–1 1+y
b)
d) +
x+3
1–x y+1
a)Ange symmetrilinjens ekvation.
b)Har kurvan en maximieller minimipunkt?
c) Ange extrempunktens koordinater.
d)Var skär grafen x-axeln?
e)Var skär grafen y-axeln?
12Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett
närmevärde med tre decimaler.
a)2 · x 5 = 12 b)2 · 5 x = 12
13Ge ett exempel på en potensfunktion och
på en exponentialfunktion för vilken gäller
att f( 1 ) = 3.
Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan 246.
Bla 3c.indb 59
59
2012-07-10 09.36
Blandade övningar kapitel 1
Del I
11För vilket värde på talet a har ekvationen
x 2 – 10 x + a = 0
rötterna x = 3 och x = 7 ?
Utan räknare
1Förenkla så långt som möjligt
( 3 x + 2 )2 – (2 x – 3) 2
2Bryt ut och förenkla 12Förenkla
10 – 2 x
5–x
3Uppgiften är att skriva om uttrycket 13Lös ekvationen 5 x 4 – 8 x – 3 x 4 + 6 x = 0
64 + x
4
Wilma får 16 + x
x
Joel får 16 +
4
Förklara hur de gjort och vem som har rätt.
1
1
1
4Beräkna 4 2 + 5 2 · 5 2
5För vilka x-värden är
inte definierad?
14En rät linje skär grafen till andragrads
funktionen y = 4 x – x 2 – 3 där
x = 1 och x = 4. Bestäm linjens ekvation.
15Jossan uppskattar att kostnaderna för
hennes bil varje år uppgår till
30 000 kr + 15 kr/mil.
Anta att Jossan kör x mil under ett år.
a)Ställ upp ett uttryck som ger Jossans
genomsnittliga bilkostnad per mil.
x–2
2 x 2 – 8 x
6Använd konjugatregeln och förenkla (2 a –2 )3
2 a 2 + 2 a 2
s+4
s 2 – 16
b)Jossan beräknar kostnaden till
40 kr/mil. Hur många mil kör hon då
på ett år?
7Utveckla eller förenkla
a)( x + a ) 2 – ( x – a) 2 b)x (x + 2) 2 – x 3
8Lös ekvationen exakt.
a)( x – 1) ( x + 1) = 0 c) 2 x + 4 =
2 x 5 = 6
b)5 · 10 x = 10d)
6
x
9Förklara, med vardagligt språk, vad som menas
med att en funktion är kontinuerlig.
10Förenkla
5
3–x
2
5
a)
–
b) – x+2
x+2
x–2
2–x
60
Bla 3c.indb 60
2 1 Algebra och linjära modeller
2012-07-10 09.36
16För en andragradsfunktion
f( x) = a x 2 + b x
gäller att f ( –1 ) = –2 och f (1) = 6.
Bestäm konstanterna a och b.
17Lös ekvationen x 3 – x (6 x – 5) = 0
18a = √ 3 · √ 15
I vilket av följande intervall ligger talet a ?
A 3 ≤ a < 4 D 6 ≤ a < 7
B 4 ≤ a < 5 E 7 ≤ a < 8
C 5 ≤ a < 6
Motivera ditt svar.
19a)Lös ekvationen b)Förenkla 5
1
+ –x=0
4 x x
22Beräkna uttryckets värde då x = 3 995
a) x 2 + 10x + 25
b)
2 x 3 – 50 x
2 x 2 – 10 x
23a) Lös ekvationen x+1
x
3
– =
x
x+1 2
b) Förenkla uttrycket x+1
x
– x
x+1
24Låt f (x) = 5x2 och förenkla
a)
f (2 + h ) – f (2)
h
b)
f ( x + h ) – f ( x )
h
25a)Lös ekvationen |x – 5| = 7
b)Lös ekvationen |x + 5| = 7
5
1
+ –x
4 x x
20Ge ett exempel på ett rationellt uttryck
som inte är definierat för x = 1 och
som har värdet 1 då x = –2.
21Andragradsfunktionen f har den graf som visas
i figuren.
y
c) Skriv intervallet –5 < x < 7
med hjälp av absolutbelopp.
26Beräkna 1 1
+ om x + y = 4 och x y = 1
x y
27Lös ekvationen
a)9 · 32x + 1 = 1
b)x 2/3 – 5 x 1/3 + 6 = 0
4
x
1
5
28Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen
y = a x 3 + b x 2 + c x + d
y
24
a)Vilken lösning har ekvationen f( x) = 0?
b)Ekvationen f( x) = a har endast en lösning.
Vilket tal är a ?
c) Är det sant att f(11) = 6 ∙ f(0)?
Motivera ditt svar.
Bla 3c.indb 61
x
2
3
8
Bestäm konstanterna a, b, c och d.
61
2012-07-10 09.36
Del II
Med räknare
29För det rationella uttrycket K ( x ) gäller att
x 2
5 x + 30
Beräkna K(18) – K (14).
K( x) =
30Lös ekvationen.
Avrunda svaret till tre gällande siffror.
a)
3 x + 2
=5
100
b)
3 x 2
=5 x>0
100
c)
2 x 3
=5
100
d)
3 · 2 x
=5
100
31I ett avtal från 1997, det så kallade Kyotoprotokollet, förband sig industriländerna att
minska sina koldioxidutsläpp med 5,2 % av
1990 års utsläppsmängd före 2012.
32Med en lins kan ett föremål avbildas.
Sambandet mellan föremålets avstånd a till
linsen, bildens avstånd b till linsen och linsens
brännvidd f kallas linsformeln:
1 1 1
+ =
a b f
a)Ett föremål placeras 600 mm framför en
kameralins med brännvidden 50 mm.
Beräkna bildavståndet.
b)Visa att det vänsta ledet i formeln kan
a+b
skrivas
ab
33Andragradspolynomet 6 x 2 + x – 1 kan
i faktorform skrivas ( a x + b ) ( c x + d ).
Bestäm heltalen a, b, c och d om a < c och b > d.
34Figuren visar grafen till y = x 3 – x 2 – 4x + 4
a)Lös med hjälp av grafen ekvationen
x 3 – x 2 – 4x + 4 = 0
y
5
Vilken årlig procentuell minskning motsvarar
5,2 % från och med 1991 till och med 2011?
x
1
–2
2
b)Faktorisera polynomet x 3 – x 2 – 4 x + 4.
35Svängningstiden T sekunder för små
svängningar hos en plan matematisk pendel
med längden l meter kan beräknas med
formeln
√
l
g
där g = 9,82
T = 2 π a)Beräkna svängningstiden för en pendel med
längden 1,52 m.
b)Hur lång är en pendel med svängningstiden
0,75 s?
c) Lös ut l ur formeln.
62
Bla 3c.indb 62
2012-07-10 09.36
36Jessica löser ekvationen
Utredande uppgifter
√ x = x – 2
√ x = x – 2
(√ x )2 = ( x – 2)2
•vilka matematiska kunskaper du har visat
•hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat
dina slutsatser
x = x2 – 4 x + 4
•hur väl du har redovisat ditt arbete och
genomfört dina beräkningar.
x2 – 5 x + 4 = 0
√
25 16
5
–
± 4
4
2
x=
5 3
±
2 2
x 1 = 1
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter
följande kriterier:
på följande sätt:
x=
38Du ska undersöka differensen av två bråk.
• Beräkna differenserna
x 2 = 4
För att kontrollera sin lösning ritar Jessica
graferna till y = √ x och y = x – 2 på följande
sätt:
y
2 1
– 3 2
4 3
– 5 4
9 8
–
10 9
• Beräkna ytterligare några differenser av två
bråk som följer mönstret ovan.
• Vad upptäcker du?
• Bevisa din upptäckt med algebra.
2
39Du ska undersöka polynomen
x
2
4
Jessica säger:
Jag förstår inte detta! Enligt graferna är
x = 4 en lösning till ekvationen men x = 1
verkar inte vara en lösning. Har jag löst
ekvationen fel?
Vilken lösning har ekvationen
√ x = x – 2 ?
Förklara för Jessica!
1
37Låt f ( x ) = och förenkla f ( x + h ) – f ( x )
x
h
Bla 3c.indb 63
a 3 – b 3 och (a – b ) (a 2 + a b + b2 ).
• Beräkna värdet av de två polynomen
då a = 5 och b = 5.
då a = –5 och b = –5.
då a = 7 och b = 3.
• Välj två olika negativa värden på a och b
och beräkna polynomens värde.
• Vad upptäcker du?
• Bevisa din upptäckt.
• Lös ekvationen
(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 19
63
2012-07-10 09.36
SVAR OCH LÖSNINGAR
Svaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.
1
1112 a) Grad 3
Motivering:
Termen där exponenten är 3
ändras inte.
1104a)8x – 6
b)20a – 22
c)2x 2 + 10x + 12
d)–y + 6 y – 8
2
1105a)x 2 – 16
b) 49 – 4a2
1113 V (x) = –5 000 + 1 120x – 30x 2
Ledtråd:
V (x) = I(x) – K(x)
1106a)a2 + 10a + 25
b)
x 2 – 18x + 81
c)9x 2 + 24x + 16
d)25 – 60y + 36y2
1107 A = 9a – 7b + 2
B = 7a – 5b + 2
Ledtråd:
Summan i diagonalerna skall
vara 5a – 3b + 2
1114 y(2,5) – y(2,0) = 0,127 5
Då avståndet från utkastet,
räknat längs golvet, ökar från
2,0 m till 2,5 m ökar bollens
höjd över golvet med ca 13 cm.
1115a)2x 2 + 2y2
b)4x
1108 a) T ex p(x) = x 2 – 5x + 1
c)2x 3 +2x 2y + 6xy2 – 2y3
1116a)8a +60a + 150a +125
b) T ex p(x) = 3x + x
2
1109 N(140) = 200. Om biljetterna
kostar 140 kr kommer 200
personer att se matchen.
1110 a) Uttryckets värde är 0
b) Uttryckets värde är 0.
Kommentar:
Uttrycket kan förenklas till
8 – 2a.
För alla variabelvärden är
värdet på ett uttryck före
och efter förenkling
detsamma.
3
2
b)
a2 – b2 – 10b – 25
1117V(q) =75x – 0,3x 2 – 800
Ledtråd:
Intäkten I(x) = 90x
Förenkla I(x) – K(x)
1118Kostnadsändring
(0,4x + 50,2) kr
c)
x – 6x + 12x – 8
Ledtråd:
(x – 2)3 = (x – 2)(x – 2)2 =
(x – 2)(x – 4x + 4)
1119Intäkten
(60 – x)(3 000 + 100x) kr = = (180 000 + 3 000x – 100x 2 ) kr
x = 15 ger maximal intäkt
202 500 kr.
Ledtråd:
A ntal hyresgäster (60 – x) st
som var och en betalar
(3 000 + 100x) kr.
0 ≤ x ≤ 60.
Max hittar vi t ex grafiskt.
d)
x 3 – 7x – 4
1120 p (x) = x 2
1111a)–3x 2 + 52 x – 60
b) a – 2ab + b
2
3
252
Bla 3c.indb 252
b) Grad 5
Motivering:
Exponenten i termen med
högst exponent ökar från
3 till 5.
2
2
1121 p(x) = 5 + 2x – 3x 2
Ledtråd:
p(x) = ax 2 + bx + c
Ställ upp och lös ett
ekvationssystem.
1124a)x 5d)
a8
b)
x –2e)
b –8
c)43x
f) b –4
1125 b) 5 + 5 + 5 + 5 = 4 ∙ 5
d)(4a)3 = 43 a3 = 64a3
e) 2 ∙ 23 = 24
5
1126a)10x 12c)
x6
m
4 a2 d)
x6
b)
b4
20
1127 a) 219 Lösning: 2 = 219
2
220
18
b)2 Lösning: 2 = 218
2
1128 a)4a2 b6
Ledtråd:
Uttrycket kan skrivas
8 a 3 b3
2ab−3
b)12a9b–3
Ledtråd:
Uttrycket kan skrivas
4 a3b−2 9a2
−4
3a b
x3
c)
8
d)
xn
1129 a) 9 ∙ 10 –2a
b) 6 ∙ 10 –a
c) 4 · 32x = 4 · 9x
Ledtråd:
2
(3x + 3x)2 = (2 · 3 x)
d)9 x + 1
Kommentar:
Uttrycket kan skrivas på
många olika sätt t ex 9 x + 1,
9 · 9 x, och 32x + 2.
svar och lösningar
2012-07-10 09.43
34
= 1.
34
För att potenslagarna ska gälla
måste 34 – 4 = 30 = 1.
34
1
Vi vet att 7 = 3 .
3
3
För att potenslagarna ska gälla
1
måste 34 – 7 = 3 –3 = 3 .
3
1131a)52x + 2 + 5 –2x
1130 Vi vet att
b)
a4x + 2
1132a)x = 0,5
Ledtråd:
Exponenterna lika ger
5x – 2 = x
b)
x = 2/3
c)
x = –1,5
Ledtråd:
32x = 3 –3
c)3n + 1
b)
x
d)4
1141a)5
c)4
4m – 2n
b)6
1142a)10 c)101,5
d)10 –1,5
b)10 –0,5
1143a)10
c)0,1
d)10
b)10
b) 16
23 x
Lösning:
23 x + 4 − 16 = 23 x + 4 − 24
26 x − 23 x
26 x − 23 x
d)3 ∙ 10 –1 = 0,3
d)
x 1 = 1
x 2 = –9
1146a)x = ± 10
1163a)x = ± 3
b)
x=± 5
b)
z = 2,5
3 = 4 ∙ 3 =
4 · 3 = 12
32
32
32
=
=
= 2
16
4
16
eller
b)
c)
x = 0,5
1164a)t1 = –10 – 83 ,
t2 = –10 + 83
b)
x 1 = –6, x 2 = 2
53
,
c)
x 1 = –0,5 –
4
x 2 = –0,5 +
53
4
1165a)x 1 = –4
x 2 = –10
b)
x 1 = 0
x 2 = 0,5
c)
x 1 = –3 x 2 = 4 x 3 = –0,5
16 · 2
4· 2
32
16 · 2
2 och 4,5
=
= 1166 x== 2,5
=
4
4
4
4
1167a)a = 5,0
32
16 · 2
16 · 2
4· 2
= =
=
= 2
Accelerationen är 5 m/s2.
4
4
4
4
b)
t = 4,3
1149a)1
b)2 x
Tiden är 4,3 s.
4
24 (23 x − 1)
= 23x =
= 3 x 3 x
2 (2 − 1)
2
= 16
3x
2
1150 x = 20 och x = –10
1151a)x = 0 och x = 2
b)
x = 2 och x = –2
1152 5 < x < 9
1135a)x = 3
1153|x – 10| ≤ 3
b)
x=3
Ledtråd:
Skriv om VL till bas 2.
a 3
1154a)a 2 b)
Ledtråd:
Använd Pythagoras sats och
lös ut x.
c)
x = 29,5
d)
x = –9
Ledtråd:
Skriv om båda leden till bas 3.
svar och lösningar
x2 = 4
3 x ⋅ 28
3x ⋅ 7
=
8
2
1162a)x 1 = 0
x 2 = –5
1134a)7 · 3x
2
Lösning:
=
x2 = 3
z2 = –4
1148a) 2 ∙
3
+3
3 (3 + 1)
= x 2
2 + x
− 3x
3
3 (3 − 1)
x 2 = –5
c)
z1 = 12
=
3
c)
x 1 = 0
d)
x 1 = 1
b)
x 1 = 0
b)
70 000 ≈ 264,6
2x
1161a)x = 2,5
c) 2 ∙ 104
b) 5
0,5
b)
x=± 5
1145 a) 3
c)
a n (a n + 1)
2x
( (
b)3
1147a) 700 ≈ 26,46
b)
a 3 (a h – 1)
1156a)x = 0,75
Ledtråd:
0,5
VL kan skrivas a · a
b · b 0,5
b)
x = 3/8
1144a)7
d)
x = ± 50 = ±5 2
1133a)x a(x 2 – 3)
3+ 2x
d)10
0,5
c)
x=± 5
d)
x = 2,5
Bla 3c.indb 253
1136a)3 a
1155a)a – bb)
h
c)2 ab
1168a)x 2 – 4 = 0
Ledtråd:
Utveckla (x – 2)(x + 2) = 0
b)
x 2 – 8x = 0
c)6x 2 – 5x + 1 = 0
Ledtråd:
Utveckla 6 x – 1 x – 1 = 0
2
3
d)
x2 + 4 = 0
( ) ( )
1169 a) 79 000 kr
b) 535 detaljer
Ledtråd:
Lös ekvationen K(x) = 0
där x är ett positivt tal.
253
2012-07-10 09.43
1170a)x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = –2
1188a)5x(1 + 5x 2)
b)
x 1 = 0, x 2 = 5, x 3 = 3
b)4(h + 2h2 + 3)
c)
x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = –2
c)4h(6 + h)
d)3hx(2 + h)
1171 a = –
8
5
c)Nej.
b)(x – 3)
c)(9x + 4y)(9x – 4y)
d)(4x + 1)2
1206a)x = 0 och x = –5
2
1173a)x 1 = –1, x 2 = 8, x 3 = –8
Ledtråd:
Faktorisera VL,
bryt ut (x + 1).
1190 a) x 1 = –3
x 2 = 10
b)
x 1 = 0
x2 = 4
b)x 1 = 3
x 2 =
2,
x 3 = – 2
1191 f(x) = (x – 5)(x – 7)
Ledtråd:
Faktorisera VL,
bryt ut (x – 3).
1192a)p(x) = (x – 2)(x – 8)
b)
g(x) = (x – 2)(x – 3)
1174 x 1 = 0,5k – 1
x 2 = – 0,5k + 1
1193a)h(x) = 4(x – 4)(x – 2)
1178a)x 1 = –2
x 2 = 2
b)
p(z) = –3(z + 1)(z – 2)
b)
x1 = – 3 x2 =
1179a)x 1 = 3
x2 = 5
x2 = 1
x4 = 2
b)x 1 = –1
x 3 = –2
c)
p(x) = 2(x – 3)(x + 3)
3
1194 p(x) = 3(x – 1)(x – 7)
Tobbe har fel tecken i
parenteserna.
Carro glömmer faktorn 3.
1180a)x 2 – x – 2 = 0
1195 T ex
p(x) = (x + 10)(x – 20)
q(x) = 2(x + 10)(x – 20)
b)
x 1 = 2 och x 2 = –1
c)Nej.
Motivering:
2 − 1 ≠ −1
x = –1 är en falsk rot.
1196a)f(t) = –(2t – 1)2
b)
h(x) = 4(x 2 + x + 1)
c)
p(x) = –(x + 1)(3x – 1)
d)
x=2
1197Nej.
Motivering:
p( x) = – 0,5(x – 1)(x – 4)
p(6) = – 5
1181a)x ≈ ± 3,04 x ≈ ± 2,18
b)
x ≈ ± 2,48
1182a)x 1 = 16
x 2 = 81
Båda OK vid prövning.
1198 a = –3
b)
x 1 = 16
x 2 = 81
t1 = 4 och t2 = 9
b)
x=6
Ledtråd:
x = 1 är en falsk rot.
1184a)x 1 = 1
x 2 = 16
b)
x 1 = 288
x 2 = 99
c)
x 1 = 0
x 3 = –1 +
254
x 2 = –2
5 x4 = –1 –
b = –13
c = 15
1199 Nollställen: a och b.
Tolkning:
Nollställenas summa =
= koefficienten för x men med
omvänt tecken.
Nollställenas produkt = den
konstanta termen.
(Förutsätter p (x) på formen
p(x) = x 2 + px + q.)
1183a)x 1 = –1 x 2 = 8 x 3 = –8
Ledtråd:
Faktorisera VL,
bryt ut (x + 1).
Motivering:
G(–3) = G(2) = 2/3
1205Uttrycket är inte definierat för
x = 6 och y = -3.
För dessa värden får nämnaren
värdet 0.
1189a)(x + 7)(x – 7)
1172 5,2 minuter
Bla 3c.indb 254
2
x = –2
1204a) b)
3
1203a)6
b)x = 4
b) Uttrycket är definierat för
alla värden på x.
c)
x = –2 och x = –3
d)x = 0 och x = ±5
Ledtråd:
Nämnaren kan skrivas
2x(x 2 – 25)
1207a) T ex 2 x
x −7
b) T ex x − 7
2x
c) T ex
2
x2 − 9
d)T ex
2
x2 + 9
1208a) 8 000 kr
Ledtråd:
Bränsleförbrukning:
G(100) = 0,5 liter/km
Bränslemängd: 500 liter
b) 125 mil
Ledtråd:
G(50) = 0,4 liter/km
13
≈ 2,1666...
6
Differensen är
13
– 3 10 ≈ 0,012
6
1209a)f (2) = 3277
≈ 2,154 50
1521
Differensen är
2,154 50 –
b)
f ( f (2)) = 3
10 ≈ 7 · 10 –5
2x + 6
1215a) 6x c)
14
14
8 d)
2x − 6
b)
2x
2x
3x − 6
1216a) 30 c)
15x
15x
5
10 d)
10x 2 + 5x
b)
15x
15x
svar och lösningar
2012-07-10 09.43
b2
1217a) 7 c)
6a 2
8
x+1
1228a) 2 c)
3− x
x+1
2xd)
b)
x
3
2
1218a) 2 c)
x +3
5+ x
x+4
x −2
b)
d)
x +3
3x + 4
1219 a) 4 + h
b) Uttrycket kan inte förkortas.
1
c)
2x + h
2h
d)
3
1220 2 x + 2 y = 2( x + y ) = 2 x+ y
x+ y
kan förkortas, då täljare och
nämnare har faktorn x + y gemensam.
2x + y och x + y har ingen
gemensam faktor.
1221a)140x 2
b)2
c)
x+a
1222a)6
b)6
Ledtråd:
2y
Förenklat uttryck
3
8a − 6b
1223a) 52 b)
4 a + 3b
33
1224a)3x 2 – 24x
1229a)
x
2( x − 1)
1232a) 8 + h
12342x + h
( −1)( x 2 + 2 x − 3)
b)
4
1237a) –1
c) –(3 + a)
d)– 4
y+5
b)–2
1238a) 1 – 2a
1239a)–
b)– 10
5+ a
a +1
1 − 6x
b)
a
1 + 6x
1240a)1
b)1
c)– x + 2
x
d)1 + x
1−x
b)2x – 16
b)4
1242a)–2
c) –8(x – 2)2
d)64(x – 2)5
b)4(x – 2)
10x
1246a) 6 = 3 c)
21
8 4
3x
b)– 11d)
8
10
2a
c)
a−2
1247a)
1
d)
a+b
13
3 x + 1 d)
b)
6a
4x
svar och lösningar
1250a)
3y + 5
12 + y
b)
3y
4 y2
1251a)x = 11 c)  x = 4 och x = –1
b)
x = 3,2
1252Pi: behöver parentes för att
inte få teckenfel, ska vara 2 − ( x + 1)
1− x
=
... = 2x
2x
Bo:ändrar uttrycket när han
bara multiplicerar täljaren
med 2x. Vid förlängning
måste både täljare och
nämnare multipliceras med
samma faktor för att inte
värdet ska ändras.
1253x = 180 eller x = 1 500
4
5
c)
a
2x
1248a)x = 20
c) y = 120
b)
x = 4
d)x = 24
1
1 1
+ =
3
4
x
1
4
1
b)
3
1
c)
x
e) 12 h
1257a)y = 3
b)
1258a)x 1 = 1
x 2 = –6
1254a)
1236a) ( −1)( x − 2)
3
c)12x 2
1227a) 1
a −1
b) Uttrycket kan inte förkortas.
b) 12 + 2h
2− x
1233a)
b)
x
2+ x
c) 7 + x
2(a + 3b)
b)
a − 3b
1231Nej.
Motivering:
z = 1 ger HL = 2 och VL = 4.
Den korrekta förenklingen är
3 – z.
d)x – 4
12305,999
Ledtråd:
Uttrycket kan förenklas till 3 + x
1241a)1 − 2 x 5x
1226a)x – 5
1
b)
x −4
Bla 3c.indb 255
b)5(x + 1)
b) x + 21
12
1249a)x = 3
d)
17 y − 51
12
b) Saknar lösning.
1259a)x = 6
b) Saknar lösning.
c)
y1 = 2
y2 = –3
d)
x = –2
Ledtråd:
x = 2 är falsk rot
1260a) 1,5 tabletter
b) 12 år
1261a)x = 6
b) Saknar lösning.
1262 2
x+2
1263x 1 = 4
x 2 = –1,5
1264a = –1
t2 = 7
1265a)
3
1
c)
x ( x + 2)
a−b
b)2
d)
2
a+3
255
2012-07-10 09.43
1266Ja, förenklingen är rätt.
Numerisk motivering:
De två uttrycken får samma
värde för några olika värden
på x.
T ex då x = 15 får båda
uttrycken värdet –14.
1276a)x 2c) 12
a
1 d)
b)
b
x2
3
5
b)
d)
4
14
2
5
1270a) c)
5
4
b)4
d) x
30
8
2
1271a) c)
b
a
10 x − 15
10 x + 15d)
b)
2
2x
10
4a
1272a) c)
3b
7
x +1
b)2(a + b)d)
2
1273a)2
84
c)
x
6
4
b)
d)
a
35z
1274a)
2a
5
c)
21
9b
a+b
x +1
b) d)
3
12
1275a)
x2 y2
1
c)
2
18
2
a 2 b2
b)
d)
3
6c 2
256
Bla 3c.indb 256
x
2
1282a)–
1
xz
b)–
2
4
a+ x
ax
1283Ja, a = – 3.
1301a)f(2) = 7
8
b)Definitionsmängd:
Alla reella x ≠ 4.
c) För stora värden på x
(oavsett tecken) ligger y
mycket nära 0 men det
finns inget x-värde som
ger y = 0 (exakt).
1307a) h + 7
b) 2x + h + 3
1308a)f(–2) + f(2) = 8 + a
b)
a = –1
Motivering:
Funktionsvärdena, då x = 1
och då x är ”lite, lite större än
1” ska ligga nära varandra.
1311
b)
g(–3) = 0
1
2
c)
f(2) – g(2) = –3
1312a)f(x) = 4x – 14
d)
g(b) – f(b) = b2 – 3b + 5
b)
f(x) = –3x + 7
1302a)3a + 1
6
2
xy
Algebraiskt motivering:
c) x − 2 y
1278a)
x +1
x
a 3+ 1
a 3+ 1 − a 2 (a + 1)
2
−a =
=
a
a+1
a+1
b)
a+2
a 3+ 1
a 3+ 1 − a 2 (a + 1)
− a2 =
=
a+1
a+1
1
1279a)
b) 2(x – 1)
a 3+ 1 − a 3 − a 2
1 − a2
b(a − 3)
=
=
=
a+1
a+1
3+ a
(1 − a)(1 + a)
1280a) b)
=
= 1−a
5
(1 + a)
(2 a + 3 b)
a
10
2
b)
1281a)
c)
1268a)
2(2 a + 1)
(2 a – 3 b)
27
15
21
4
1269a) c)
3
16
y
2
1277a) 3 = 0, 6 b) 3
5
5
1
1
d)
b)
3
15
1306a)
b) 3a + 3h – 2
1313a)
y
1303a)a – 4a + 1 b) a2 + 4a + 1
2
1304Funktionen är diskret.
Motivering:
Man kan förmodligen bara
hyra skidorna en hel dag eller
en halv dag.
Möjliga x-värden är då:
½, 1, 1½, 2, 2½ …
4
2
x
2
4
2
4
4
b)
y
4
1305a)Definitionsmängd:
Alla reella x
Värdemängd:
Alla reella x
b)Definitionsmängd:
Alla reella x
Värdemängd:
y≥0
2
2
2
x
2
2
4
1314a)m = 15 000. Antalet
invånare 1990.
c)Definitionsmängd:
x ≥ –3
Värdemängd: y ≥ 0
d)Definitionsmängd:
Alla reella x
Värdemängd:
y>0
1315 y = –2x – 5
b)k = –225. Befolkningen
minskar med 225 personer
per år.
svar och lösningar
2012-07-10 09.43
13163y – 2x – 20 = 0
Ledtråd:
k = 2/3 och m = 20/3
9x
+ 32 eller
5
y = 1,8x + 32
1317a)y =
b) 32 °F
1328a)x = –3 och x = 10
1337a)x = 2
b)
x = 0 och x = 4
1338T ex
f(x) = (x + 10)(x – 20)
g(x) = 2(x + 10)(x – 20)
1329Om koefficienten i x 2-termen är
positiv så har grafen en minimipunkt.
Om koefficienten är negativ så
har grafen en maximipunkt.
1318a)y = –5x + 5
b)
y = 3x – 11
1319a)y = 3 – 0,5x
b)
y=x
b) Nollställen: x = 1 ± 6
Minimipunkt: (1, –12)
b) 17 m (17,28…)
Ledtråd:
Maximipunkten ligger på
symmetrilinjen, x ≈ 1,837.
1320a) 75 mm
c)Nollställen: x = –1
och x = 9
Maximipunkt: (4, 25)
c)
f(t) = 200 – 25t
d)Nollställen saknas.
3
3
Maximipunkt: (– , – )
2
2
1331x = –4
1321a)y = –x – 3
x
b)
y = – 4,5
2
1332 a)Skär x-axeln där x = –2
och x = 1. Skär y-axeln
där y = 6.
1322B = (4, 16)
Ledtråd:
y = x 2 ger t ex B:s koordinater
(b, b2) (b > 1).
b)Skär ej x-axeln.
Skär y-axeln där y = 4.
k =
b2 − 1
=
b −1
(b − 1)(b + 1)
= (b + 1)
b −1
b + 1 = 5 ger b = 4.
c) Skär x-axeln där x = 0 och
x = 10. Skär y-axeln där
y = 0.
d)Skär x-axeln där x = 4 och
x = –1. Skär y-axeln där
y = – 4.
=
1323Förenkling:
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= ∆x
a( x + ∆x ) + b − (ax + b)
= a
=
∆x
Tolkning:
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆y
= = k,
∆
x
∆
x
dvs linjen har lutningen a.
1324T ex f (x) = x + 1
1327a)maximipunkt
b)
x = 0 och x = 6
c)
x=3
d)(3, 9)
e) (0, 0)
svar och lösningar
Bla 3c.indb 257
1340s (v) = 0,006v2 + 0,3v
1341a)s(2,5) = 15,125
Efter 2,5 sekunder är bollen
15 meter över marken.
b)3,2 h
1339y = 0,5(x – 1)(x – 8)
1330 a)Nollställen: x = –3 och
x = –1
Minimipunkt: (–2, –1)
c)
y = 2x + 2
3
d)
y = 11 – 3x
b) 4
1333a) T ex y = x 2 – 2x – 3
Ledtråd:
Utveckla y = (x + 1)(x – 3)
b) T ex y = x 2 + 10x
b)
y = 1,5(x + 2) (x – 6)
y = 1,5x 2 – 6x – 18
Ledtråd:
Nollställena –2 och 6 och
punkten (0, –18)
1343f (x) = 2(x – 1)(x + 3) =
= 2x 2 + 4x – 6
1344b2 = 4ac
Ledtråd:
Lös ekvationen ax2 + bx + c = 0
med lösningsformeln.
Då uttrycket under rottecknet
är noll har funktionen endast
ett nollställe.
1347a)f(5) = 4 470
b)
f(5) = 3 040
1334a)f(0) = –3
1342a)y = –0,5(x – 1) (x – 4)
y = –0,5x 2 + 2,5x –2
Ledtråd:
Nollställena 1 och 4 och
punkten (0, –2)
1348a)x = 2 (exakt)
b) 1 < x < 3
c)
f(x) = 4x – x – 3
b)
x = 1,64
d)g(x) = x
Motivering:
Ekvationen f(x) = g(x)
saknar reella lösningar.
c)
x = 1,89
2
1335a < –16
Motivering:
Ekvationen x 2 – 8x – a = 0
saknar reella lösningar då
a < –16.
d)
x = 1,54
1349a)y = 80 ∙ 1,05x
b)y = 80 ∙ 0,95x
1350 a) Ca 230 000
b) Efter ca 23 h (23,36…)
1336f (x) = 2x – 1
257
2012-07-10 09.43
1351 5,6 %
Ledtråd:
Lös ekvationen x 20 = 3
och tolka svaret som en
förändringsfaktor.
1366a)x = lg2/lg(5/7) ≈ –0,485 4
12a)x = 61/5 ≈ 1,431
b)
x 1 = 10 x 2 = 100
Ledtråd:
Logaritmera båda leden och
gör substitutionen lgx = a.
b)
x = lg6/lg5 ≈ 1,113
1352 20,6 %
1353 a) 1 013 millibar
Exponentialfunktion
T ex f(x) = 2 ∙ 1,5x
Diagnos 1
b) 11,3 %
c) 353 millibar (352,6...)
1a)6ab – 9b2
d)5,9 km
2a)5a–6b)
x2 – 3
15x 2 + 24x – 5
A och Bc)
D
1354a)Cb)
3 a) 6
b)11
22
1355y = 5 ∙ 0,8
4a)x 1 = –3
x 2 = 0
b)
x 1 = 0
x 2 = 1/3
x
135686 % (0,864...)
1358a) 882 poäng
b) 812 poäng
c) 3 min 53,8 s
6a)G(–3) = –2/3
5 x = 0 och x = 4
b)
x = 0 och x = –2
6
1360 3 600 måsar
Lösning 1:
10 000 · x 10 = 6 000
1
10
x = 0,6 ≈ 0,950 2...
Efter 20 år: 1
20
10 000 · ( 0,6 10 ) =
= 10 000 · 0,62 = 3 600
Lösning 2:
På 10 år minskade antalet
måsar med 40 %. Nästa
tioårsperiod minskar de
med ytterligare 40% .
0,4 ∙ 6 000 = 3 600
1361 f(–2) = 1 600
Ledtråd:
Funktionen är f(x) = 400∙ 0,5x
1362 10 000 km2.
1363Efter 42 h (41,68…)
Ledtråd:
Förändringsfaktorn är
b)2(x – 3)
1
s −4
7a)4ax
b)4x 2 + 4x
8a)x = 64
8a)x 1 = 1
b)
x=5
b)
x = lg 2
c)
x = -3
Ledtråd:
x = 1 är en falsk rot.
c)
x1 = 1
10a)y = 4x + 4
b)
y = –2x + 10
c)
y = 3x – 2
9 Funktionens graf kan ritas utan
att lyfta pennan.
10a)1
10
a)
x=2
40
b)Minimipunkt
c) (2, –32)
d)( –2, 0) och (6, 0)
e) (0, –24)
b) 7
x −2
11 a = 21
122a–8
13 x 1 = 0
x2 = 1
Ledtråd:
Förenkla ekvationen till
2x4 – 2x = 0 och bryt ut 2x.
10
10
x 2 = –3
d)
x=3
a
9a)3b2c)
1 − 2a
a −1
a2 d)
b)
2
12
11
x 2 = –1
1/5
d)
x=8
Ledtråd:
x = –4 är en falsk rot.
1
1365C = 20 och a = 1/3
258
3x
c)
4
d)0
0,5 24 ≈ 0,971 5...
b) 201 år
3 Joel har dividerat både 64 och
x med 4, vilket är rätt.
Wilma dividerade bara 64.
4 7
7 a)7
1364a) 53 dygn
x3 = 1
Blandade övningar kapitel 1
b)
p(x) = –10(x – 2)(x – 3)
13593,39 ∙ 106
b)6xh + 3h2
5a)p(x) = (x – 6)(x – 10)
1357f(2) = 4,5
Bla 3c.indb 258
13 Potensfunktion:
T ex f(x) = 3 ∙ x0,5
14 y = –x + 1
Ledtråd:
Skärningspunkterna är
(1, 0) och (4, –3)
15 a) 30 000 + 15x
x
b) Hon kör 1200 mil.
svar och lösningar
2012-07-10 09.43
16 a = 2 och b = 4
Ledtråd:
Villkoren ger ekvationssystemet
 a – b = –2

a+b=6
17 x 1 = 0
x2 = 1
x3 = 5
18 a ligger i intervallet D.
Motivering:
a = 45 vilket är lite mindre
än 7 eftersom 7 = 49 .
19a)x = ±1,5
9 − 4x 2
b)
4x
20 2x + 1
x−1
21a)x = 1 och x = 5
c) Nej, det är inte sant.
Motivering:
f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5)
f(11) = 48 och 6 ∙ f(0) = 24
22 a) 16 000 000
Ledtråd:
Uttrycket kan skrivas (x + 5)2.
b) 4 000
Ledtråd:
Förenkla uttrycket så långt
som möjligt.
x2 = 1
2x + 1
b)
x(x + 1)
24 a) 20 + 5h
Ledtråd:
f(2 + h) = 5 ∙ (x + h)2 =
= 5x 2 + 10xh + 5h2
b)10x + 5h
25a)x 1 = –2
x 2 = 12
b)
x 1 = –12
x2 = 2
c)|x – 1| < 6
svar och lösningar
Bla 3c.indb 259
1
1
+
=4
x
y
Ledtråd:
Skriv om uttrycket som ett
rationellt uttryck.
27 a) x = –1,5
Ledtråd:
Skriv båda leden som ett
uttryck med basen 3.
b)
x1 = 8
x 2 = 27
Ledtråd:
Gör en substitution.
Sätt x 1/3 = a så får du en
andragradsekvation med a
som variabel.
36 Ekvationen har endast en lösning
x = 4.
Förklaring:
Då denna ekvation kvadreras
får vi en ny ekvation som har
en annan lösning än den
ursprungliga. Rötterna till denna
nya ekvation måste prövas i den
ursprungliga ekvationen.
Prövningen visar att x = 1
är en falsk rot.
37–
1
x(x + h)
29 K(18) – K(14) = 0,74
1
38 •2 – 1 =
6
3
2
4
– 3 = 1
5
20
4
9
8
= 1
–
10 9 90
30a)x = 166 (exakt)
28 a = 0,5 b = –4,5
och d = 24
b)
a = –3,2
Ledtråd:
f(x) = 0,8(x – 1)(x – 5)
Värdet på a är detsamma som
minimipunktens y-koordinat,
vilket innebär att a = f(3).
23a)x 1 = –2/3
26
c=1
•T ex 6 – 5 = 36 – 35 = 1
6
7
42 42 42
b)
x = 12,9
Ledtråd:
500
3
c)
x = 6,30
x =
d)
x = 7,38
Ledtråd:
Skriv ekvationen 2 x = 500/3
och logaritmera båda leden.
31 Ca 0,25 %
32 a) 54 mm (54,54…)
b)Lösning:
1 1·b 1·a
+
=
1 + =
b a·b b·a
a
= b + a = a + b
ab
ab
ab
x2 = 1
x3 = 2
b)
x 3 – x 2 – 4x + 4 = = (x + 2)(x – 1)(x – 2)
35 a) 2,47 sekunder
b) 14,0 cm
2
c)
l = gT 2
4π
•Ledtråd till ett bevis:
Differenserna följer mönstret
x+1–
x
x+2 x+1
där x är ett positivt heltal.
Visa att uttrycket kan förenklas
1
till
(x + 2)( x + 1)
39 •Värdet av båda polynomen är 0.
33 a = 2, b = 1, c = 3 och d = –1
Ledtråd:
Alla talen är heltal.
a ∙ c = 6 och b ∙ d = –1.
34a)x 1 = –2
•Differensen är ett bråk med
täljaren 1 och med en nämnare
som är produkten av de två
bråkens nämnare.
•Värdet av båda polynomen är 0.
•Värdet av båda polynomen är
316.
•Om t ex a = –2 och b = –11
så är värdet av båda polynomen
1 323.
• Polynomen verkar vara två olika
sätt att skriva samma uttryck.
•Ledtråd till bevis:
Visa att utrycket med de två
parenteserna kan förenklas till
det andra uttrycket.
• x = 3
Ledtråd:
Enligt beviset kan VL skrivas
x 3 – 23 .
259
2012-07-10 09.43
KÄLLFÖRTECKNING till bilder
Siffrorna anger sida och bildens placering på sidan
Foton:
Heikne, Hans 24, 49, 54, 92, 103, 105, 107, 126, 161, 179, 185,
206, 221, 234
IBL Bildbyrå AB, Stockholm
Abad, Thomas 116
AGE fotostock 6-7
Ardea 109
Bachmann 163
Beeker, Henry 204-205
Buwon, Park 69:1
Brissaud, Eric 10
Broborn, Lennars 115
Brooker, Peter 191
Cary, Liane 236
Cavalli, Angello 112
Cheadle, Chris 71
Cumming, Ian 242
Datacraft 188
Didillon, Frédéric 35
Dinodia 17
Edwards, Lisa 171
Ewing, David 108
Eyevine/ Xinhua 89
Fine Arts Images 229
Forsberg, Jonas 132
Forsberg, Peter Erik 128-129
Fotosearch 55
Furrer 190
Gelevachuk, Bazil 45
Glowimages 41
Hasselberg, Daniel 225
Hamblin, Mark 69:2
Hermes 149
Janes, EA 73
Lilja, Theo 75
Malmö Museer 156
Mangil, Kim 70
McDonald, Dennis 26
McGouey, Robert 87
Meireis, Christophe 122
Nature PL 53
Quick, Peo 177
Rex Features 196
288
Bla 3c.indb 288
Rhösman, Björn 110
Ribeiro, Alf 62, 189
Ripoll, Eduardo 60
Scholey, Peter 37
Sience Photo Library 19, 95, 165, 235
Smith, Wendy 117
Strauss, Andreas 182
Usher, Regina 101
UPI 64-65
Varney, Jim 166
Weigel, Armin 201
Widman, Peter 82
Wijnands, Jochem 199
Zerla, Walter 11
Åke Lindaus samling 187
Illustrationer:
Hesselstrand, Johan
Matematiska illustrationer:
Karlsson, Mats
register
2012-07-10 09.44

Kapitel 1 - Jamshid Sanei

Transcription

Similar documents

Prov Ma2C kap3

Repetition #3 Ma B kapitel 7 - funktioner

Texthäfte delprov B

Texthäfte delprov A

Lycka till. - Iceclimbers.net

Övningsprov Ma1c kap1-3

1 1 ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i

Studieteknik 2014-02-12 - Utbildning, Göteborgs universitet

Algebra_Några sidor.pdf

här

PP Algebra åk 8 ht 13.pdf

Booleska ringar och Boolesk algebra