תורת המספרים ־ הרצאה 10

‫תורת המספרים ־ הרצאה ‪10‬‬
‫‪ 26‬בנובמבר ‪2014‬‬
‫שורשים פרימיטיביים‬
‫הסדר של ‪ a‬שזר ל־ ‪ n‬מודולו ‪ n‬הוא הטבעי המינימלי ‪ m‬כך ש־ )‪ ,am ≡ 1 ( mod 1‬והוא מסומן‬
‫)‪.ordn (a‬‬
‫ראינו‪.ordn (a)|k ⇐⇒ ak ≡ 1 ( mod n) :‬‬
‫מסקנה‪) ordn (a)|φ(n) ,‬ממשפט אוילר(‪.‬‬
‫טענה‬
‫)‪ordn (a‬‬
‫))‪gcd(m, ordn (a‬‬
‫= ) ‪ordn (am‬‬
‫הגדרה‬
‫‪ a‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ n‬אם הסדר של ‪ a‬הוא הסדר המקסימלי האפשרי עבור ‪:a‬‬
‫)‪ordn (a) = φ(n‬‬
‫במקרה זה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪Z∗n = ai | 0 ≤ i ≤ φ(n‬‬
‫מסקנה‬
‫כלל השורשים הפרימיטיביים הם הקבוצה‪.{ai | gcd(i, φ(n)) = 1} :‬‬
‫בפרט‪ ,‬ישנם ))‪ φ(φ(n‬שורשים פרימיטיביים שונים מודולו ‪.n‬‬
‫‪1‬‬
‫מטרה‬
‫משפט השורשים הפרימיטיביים‪ :‬ל־ ‪ n‬שורש פרימיטיבי אמ"מ ‪ n = 2, n = 4, n = pj , n = 2pj‬עבור‬
‫‪ p ≥ 3‬ראשוני‪.‬‬
‫‪ n = 2‬־ מיידי‪ a = 1 :‬פרימיטיבי מודולו ‪.2‬‬
‫‪ n = 4‬־ מיידי‪ a = 3 :‬פרימיטיבי מודולו ‪ ,32 = 9 ≡ 1 ( mod 4)) 4‬כלומר ‪ a‬יצר את קבוצת כל‬
‫ההפיכים מודולו ‪.(1, 3 :4‬‬
‫עיקר העבודה‪ :‬קיום שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p ≥ 3‬ראשוני‪.‬‬
‫משפט‬
‫לכל ‪ p ≥ 3‬ראשוני יש שורש פרימיטיבי‪.‬‬
‫נראה קיום בלבד )לא נראה כיצד למצוא שורש זה(‪.‬‬
‫שאלה פתוחה‪ :‬האם ‪ 2‬שורש פרימיטיבי מודולו אינסוף ראשוניים‪.‬‬
‫ידוע‪ :‬אחד מ־ ‪ 3, 5‬או ‪ 7‬שורש פרימיטיבי מודולו אינסוף ראשוניים‪.‬‬
‫טענת עזר שכבר ראינו בעבר‪:‬‬
‫‪φ(n) = n‬‬
‫‪X‬‬
‫)∗(‬
‫‪1≤d|n‬‬
‫לכל טבעי ‪.n‬‬
‫הוכחה‬
‫נקבע ≥ ‪ p‬ראשוני‪.‬‬
‫נגדיר לכל )‪ d|p − 1 = φ(p‬את‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ψ(d) = a ∈ Z∗p | ordp (a) = d‬‬
‫קבוצת כל האיברים ההפיכים )במקרה של ‪ p‬ראשוני אלו כל המספרים בין ‪ 1‬ל־ ‪ (p − 1‬אשר סדרם‬
‫שווה בדיוק ל־‪.d‬‬
‫בסופו של דבר נוכיח כי )‪ ψ(d) = φ(d‬לכל ‪ .d|p − 1‬בפרט‪ ,ψ(p − 1) = φ(p − 1) ≥ 1 ,‬ולכן קיים‬
‫שורש פרימיטיבי‪.‬‬
‫אבחנה ‪I‬‬
‫‪ψ(d) = p − 1‬‬
‫‪X‬‬
‫)∗∗(‬
‫‪1≤d|p−1‬‬
‫מתקיימת כיוון שלכל איבר יש סדר כלשהו‪ ,‬ואנחנו סופרים כמה איברים יש עם סדר ‪ ,1‬סדר ‪ 2‬וכו'‪.‬‬
‫בסופו של דבר‪ ,‬נספור את כל ‪ p − 1‬האיברים )כי הם בהכרח שייכים לקבוצה כלשהי‪ ,‬ובהכרח שייכים‬
‫לקבוצה אחת בלבד(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫שלב א'‬
‫אם ‪ ψ(d) 6= 0‬אז )‪ ψ(d) = φ(d‬עבורו אותו ‪.(d|p − 1) d‬‬
‫נקבע ‪ 1 ≤ d|p − 1‬כך ש־ ‪.ψ(d) 6= 0‬‬
‫יהי ‪ 1 ≤ a ≤ p − 1‬כך ש־ ‪ .ordp (a) = d‬נבחין שכל החזקות ‪ ai ,0 ≤ i ≤ d − 1‬שונות זו מזו‪.‬‬
‫אחרת‪ ,‬אם )‪ ai ≡ aj ( mod p‬ו־ ‪ 0 ≤ i ≤ j ≤ d − 1‬אז )‪ aj−1 ≡ 1 ( mod p‬ולכן ‪ d|j − i‬ולכן‬
‫‪.j = i‬‬
‫נבחין שאם ‪ 1 ≤ b ≤ p − 1‬מקיים ‪ ordp (b) = d‬אז‪ ,‬לפי ההגדרה )‪.bd − 1 ≡ 0 ( mod p‬‬
‫לפולינום ‪ xd − 1‬יש לכל היותר ‪ d‬שורשים ב־ ‪) Zp‬משפט לגראנג'(‪ ,‬כי ‪ Zp‬שדה‪.‬‬
‫כל החזקות ‪ 1 ≤ i ≤ d − 1 ,ai‬הן שורשים של ‪ xd − 1‬מודולו ‪ .p‬לכן‪ ,‬אלה כל השורשים של ‪xd − 1‬‬
‫מודולו ‪.p‬‬
‫לכן‪ ,‬לכל ‪ b‬עם ‪ ordp (b) = d‬קיים ‪ 0 ≤ i ≤ d − 1‬כך ש־ )‪.b ≡ ai ( mod p‬‬
‫לכן‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= ‪ψ(d) = ai | 0 ≤ i ≤ d − 1, ordp ai = d‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪= ai | 0 ≤ i ≤ d − 1, gcd(i, d) = 1 = φ(d‬‬
‫כאשר השוויון מתקיים בגלל הטענה על הסדר של ‪ am‬שראינו קודם‪.‬‬
‫שלב ב'‬
‫נובע משלב א' ע"י החסרת )∗∗( מ־ )∗( ש־‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪0‬‬
‫= )‪φ(d) − ψ(d‬‬
‫)‪φ(d‬‬
‫‪1≤d|p−1‬‬
‫‪1≤d|p−1‬‬
‫‪ψ(d)=0‬‬
‫אבל‪ ,‬לכל ‪ ,φ(d) ≥ 1 ,d|p − 1‬לכן השוויון ייתכן רק במקרה שבו אין ‪ d‬כזה‪ ,‬ולכן ‪ ψ(d) 6= 0‬לכל‬
‫‪ .d|p − 1‬וסיימנו‪ .‬‬
‫דוגמה‬
‫מצא שורש פרימיטיבי מודולו ‪.17‬‬
‫פתרון‬
‫ידוע לנו כי קיימי ‪ φ(φ(17)) − φ(16) = 8‬שורשים פרימיטיביים מודולו ‪.17‬‬
‫ננסה קודם את ‪ .a = 2‬הסדרים האפשריים ל־‪ a‬הם מחלקי ‪ .φ(17) = 16‬כלומר‪.2, 4, 8, 16 ,‬‬
‫)‪22 = 4 6= 1 ( mod 17‬‬
‫)‪24 = 16 = −1 6= 1 ( mod 17‬‬
‫)‪28 = 1 ( mod 17‬‬
‫‪3‬‬
‫לכן‪ .ord17 (2) = 8 ,‬לכן‪ 2 ,‬וכל חזקותיו אינם שורשים פרימיטיביים‪.{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256} :‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫}‪{2, 4, 8, 16(−1), 15(−2), 13(−4), 9(−8), 1‬‬
‫נובע שכל שאר האיברים שורשים פרימיטיביים‪ ,‬שכן מצאנו ‪ 8‬שהם לא‪ ,‬ויש סה"כ ‪ 8‬שהם כן‪.‬‬
‫משפט‬
‫לכל ‪ p ≥ 3‬ראשוני‪ ,‬ולכל ‪ ,j ≥ 1‬קיים שורש פרימיטיבי מודולו ‪.pj‬‬
‫הוכחה‬
‫נחשוב על המקרה ‪ .j = 2‬קיים כבר שורש פרימיטיבי ‪ g‬מודולו ‪ .p‬כלומר )‪ g p−1 ≡ 1 ( mod p‬ו־‬
‫)‪ g k 6≡ 1 ( mod p‬לכל ‪ .1 ≤ k < p − 1‬איבר ‪ h‬יהיה פרימיטיבי מודולו ‪ p2‬אם‬
‫‪2‬‬
‫) ‪hφ(p ) = hp(p−1) ≡ 1 ( mod p2‬‬
‫ושוויון זה לא מתקיים לחזקות נמוכות יותר‪.‬‬
‫מסתבר ש־ ‪ g‬יהיה שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p2‬אם‬
‫) ‪g p−1 6≡ 1 ( mod p2‬‬
‫למה‬
‫יהי ‪ g‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p‬אז ‪ h = g‬או ‪ h = g + p‬מקיים ש־ ) ‪.hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬‬
‫הוכחת הלמה‬
‫אם ) ‪ ,g p−1 6≡ 1 ( mod p2‬סיימנו‪ .‬לכן נניח ש־ ) ‪ ,g p−1 ≡ 1 ( mod p2‬ונסמן ‪ .h = g + p‬נשים לב‬
‫ש־ )‪ h ≡ g ( mod p‬ולכן גם ‪ h‬פרימיטיבי מודולו ‪.p‬‬
‫נחשב‬
‫= ‪( mod p2 ) hp−1 − 1 ≡ (g + p)p−1 − 1‬‬
‫‬
‫ ‪p−1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪p−1‬‬
‫≡ ‪· g p−1−k · pk − 1‬‬
‫=‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‬
‫ ‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪p−1‬‬
‫∗‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪( mod p‬‬
‫≡ ‪· g p−1−k · pk − 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫‪≡ g p−1 − 1 + (p − 1) · g p−2 p‬‬
‫‪4‬‬
‫כאשר ∗ מוצדק ע"י העובדה שלכל ‪ ,k ≥ 2‬מודולו ‪ p2‬האיברים שווים ל־‪ ,0‬ולכן מספיק להסתכל רק‬
‫על הראשונים‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נסדר מחדש ונקבל‪:‬‬
‫) ‪(p − 1) · p · g p−2 ( mod p2‬‬
‫שכן הנחנו כי ) ‪ .g p−1 ≡ 1 ( mod p2‬נרצה להראות כי ) ‪ ,(p − 1) · p · g p−2 6≡ 0 ( mod p2‬ולשם כך‬
‫נראה כי ‪ .p - (p − 1)g p−2‬אכן‪ ,‬הנ"ל מתקיים כי ‪ g‬שורש פרימיטיבי‪ ,‬ולכן בהכרח זר ל־ ‪ ,p‬וכמובן כי‬
‫‪ ,p - p − 1‬ולכן הנ"ל מתקיים‪.‬‬
‫למה‬
‫יהי ‪ h‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p‬המקיים ) ‪ ,hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬אז לכל ‪,j ≥ 2‬‬
‫(‬
‫) ‪≡ 1 ( mod pj−1‬‬
‫‪j−2‬‬
‫) ‪φ(pj−1‬‬
‫)‪= hp (p−1‬‬
‫‪h‬‬
‫) ‪6≡ 1 ( mod pj‬‬
‫הוכחה‬
‫עבור ‪ j = 2‬זה הנתון לגבי ‪) h‬מהלמה הקודמת(‪.‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על ‪.j‬‬
‫נניח שהטענה נכונה ל־ ‪ ,j‬ונוכיח ל־ ‪ .j + 1‬צ"ל‬
‫(‬
‫) ‪≡ 1 ( mod pj‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j−1‬‬
‫)‪hφ(p ) = hp (p−1‬‬
‫) ‪6≡ 1 ( mod pj+1‬‬
‫‪j‬‬
‫השוויון ) ‪ hφ(p ) ≡ 1 ( mod pj‬נובע ממשפט אוילר )ברור כי ‪ h‬זר ל־ ‪ ,pj‬היות ו־ ‪ h‬זר ל־ ‪.(p‬‬
‫מהנתון‪,‬‬
‫‪= 1 + k · pj−1‬‬
‫)‪j−2 (p−1‬‬
‫‪hp‬‬
‫כאשר ‪) p - k‬שכן אז מודולו ‪ pj‬היינו מקבלים כי ) ‪≡ 1 ( mod pj‬‬
‫)‪j−2 (p−1‬‬
‫‪ ,hp‬בסתירה לנתון(‪.‬‬
‫כעת‪,‬‬
‫≡‬
‫‪m‬‬
‫‪kpj−1‬‬
‫ ‪p‬‬
‫‪X‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫≡‬
‫‪j−1 p‬‬
‫= )‬
‫‪= (1 + kp‬‬
‫)‪pj−1 (p−1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪m=0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪kpj−1‬‬
‫ ‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪p‬‬
‫‪m‬‬
‫∗‬
‫≡ )‬
‫‪m=0‬‬
‫‪1‬‬
‫≡ ‪≡ 1 + p · k · pj−1 + p(p − 1) · k 2 · p2j−2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪j‬‬
‫‪≡ 1 + k · p + (p − 1) · k 2 · p2j−1‬‬
‫‪2‬‬
‫∗∗‬
‫‪j‬‬
‫) ‪≡ 1 + k · p 6≡ 1 ( mod pj+1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪j+1‬‬
‫‪( mod p‬‬
‫כאשר ∗ מתקיים כי עבור ‪ m ≥ 3‬מתקיים ‪ ,m(j − 1) > j + 1‬ולכן מודולו ‪ pj+1‬האיברים הללו‬
‫מתבטלים‪.‬‬
‫ו־ ∗∗ מתקיים כי ‪ p − 1‬זוגי )‪ p ≥ 3‬ראשוני( ולכן )‪ 21 (p − 1‬מספר שלם‪ ,‬וכן ‪ ,2j − 1 > j + 1‬כי‬
‫‪.j ≥ 2‬‬
‫אי השוויון האחרון מתקיים כמו מקודם‪ ,‬כיוון ש־ ‪.p - k‬‬
‫הוכחת המשפט‬
‫יהי ‪ h‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p‬המקיים ) ‪) hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬קיים‪ ,‬מהלמה הראשונה(‪.‬‬
‫נראה כי למעשה ‪ h‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ pj‬לכל ‪) j ≥ 1‬ואם נראה זו‪ ,‬אז בוודאי שגם נראה קיום(‪.‬‬
‫ידוע ש־‬
‫‬
‫)‪δ := ordpj (h)|φ pj = pj−1 (p − 1‬‬
‫לפי ההגדרה‪ ,hδ ≡ 1 ( mod pj ) ,‬אבל לפי הלמה השנייה‪:‬‬
‫‬
‫‪j−2‬‬
‫‪hp (p−1) ≡ 1‬‬
‫‪mod pj‬‬
‫בנוסף‪ ,‬כיוון ש־ ) ‪ ,hδ ≡ 1 ( mod pj‬גם‬
‫)‪hδ ≡ 1 ( mod p‬‬
‫לכן ‪) p − 1 = ordp (h)|δ‬כי ‪ h‬פרימיטיבי מודול ‪.(p‬‬
‫סה"כ‪:‬‬
‫)‪p − 1|δ|pj−1 (p − 1‬‬
‫לכן‪ δ = pr (p − 1) ,‬עבור ‪ .0 ≤ r ≤ j − 1‬אם ‪ ,r < j − 1‬אז‬
‫) ‪≡ 1 ( mod pj‬‬
‫‪pj−2−r‬‬
‫‪≡ hδ‬‬
‫)‪j−2 (p−1‬‬
‫‪hp‬‬
‫בסתירה ללמה השנייה‪ .‬לכן‪ ,r = j − 1 ,‬וסיימנו‪.‬‬
‫סיכום‬
‫אם ‪ g‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ ,p‬אז לכל ‪ h = g ,j ≥ 2‬או ‪ h = g + p‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪pj‬‬
‫כאשר ‪ h‬הוא זה מביניהם המקיים ) ‪.hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬‬
‫‪6‬‬
‫דוגמה‬
‫מודולו ‪:3j‬‬
‫נשים לב ש־ ‪ 2‬פרימיטיבי מודולו ‪ ,3‬כי ‪ 21 = 2‬ו־ )‪ 22 ≡ 1 ( mod 3‬ו־ ‪ .φ(3) = 2‬כמו כן‪,‬‬
‫) ‪ .22 = 4 6≡ 1 ( mod 32‬ולכן ‪ 2‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ 3j‬לכל ‪.j ≥ 1‬‬
‫באותו אופן ‪ 2‬פרימיטיבי מודולו ‪ 5j‬לכל ‪ .j ≥ 1‬שכן ‪ ,φ(5) = 4‬ו־ ( ‪21 = 2, 22 = 4, 24 ≡ 1‬‬
‫)‪ .mod 5‬לכן ‪ 2‬פרימיטיבי מודולו ‪ .5‬כמו כן )‪ ,24 6≡ 1 ( mod 25‬ולכן ‪ 2‬פרימיטיבי מודולו ‪ 5j‬לכל‬
‫‪.j ≥ 1‬‬
‫הוכחה )משפט השורשים הפרימיטיביים(‬
‫ניזכר בטענה שראינו‪ .‬אם ‪ r, s > 2 ,n = r · s‬זרים‪ ,‬אז אין שורש פרימיטיבי מודולו ‪) n‬שכן‬
‫‪1‬‬
‫)‪ a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod n‬לכל ‪ a‬זר ל־ ‪.(n‬‬
‫כעת‪ ,‬אם ‪ n‬מתפרק לראשוניים כך‪:‬‬
‫)‪(j ≥ 0, ei ≥ 1‬‬
‫‪n = 2j · pe11 · ... · pel l‬‬
‫אם בפירוק ‪ ,l ≥ 2‬אז הטענה מראה שאין שורש פרימיטיבי מודולו ‪.n‬‬
‫נותרו ‪n‬ים מהצורה‪ n = 2j :‬ו־ ‪ .n = 2j pe‬לגבי ‪ ,n = 2j pe‬אם ‪ ,j ≥ 2‬אז אין שורש פרימיטיבי‪,‬‬
‫מהטענה הקודמת )‪.(2j = r, pe = s‬‬
‫נותרו ‪) n = 2j‬עבור ‪ n = 2, 4‬כבר עשינו(‪ n = 2pe ,‬ו־ ‪) n = pe‬כאשר את המקרה האחרון כבר‬
‫עשינו(‪.‬‬
‫נראה שעבור ‪ n = 2pe‬יש שורש פרימיטיבי‪.‬‬
‫יהי ‪ g‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ .pe‬יהי ‪ h = g‬או ‪) h = g + pe‬האי‪-‬זוגי מביניהם ־ אחד מהם בהכרח‬
‫אי‪-‬זוגי(‪ .‬אז‬
‫)‪ordpe (h) = pe−1 (p − 1‬‬
‫כי ‪ h‬פרימיטיבי מודולו ‪.pe‬‬
‫מהו )‪?ord2pe (h‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫) ‪φ (2pe ) = φ(2)φ (pe ) = 1 · φ (pe ) = φ (pe‬‬
‫נניח בשלילה ש־ ) ‪ .ord2pe (h) < φ (pe‬אז‬
‫) ‪hord2pe (h) ≡ 1 ( mod 2pe‬‬
‫‪7‬‬
‫מכאן ש־‬
‫) ‪hord2pe (h) ≡ 1 ( mod pe‬‬
‫)שכן ראינו כי ) ‪ ,(φ (2pe ) = φ (pe‬בסתירה לכך ש־ ‪ h‬פרימיטיבי מודולו ‪.pe‬‬
‫ולכן ) ‪ ,ord2pe (h) = φ (pe ) = φ (2pe‬ולכן ‪ h‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪.2pe‬‬
‫‪8‬‬