מגן 2 807 תשעא - Emath

‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה ע"ר‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫מבחן מגן ‪ 2‬תשע"א‬
‫חלק ב' שאלון ‪035807‬‬
‫יש לכתוב את הפתרונות בעט רגיל בלבד‪ .‬בחינה שתרשם בעפרון ‪ -‬לא יהיה ניתן‬
‫לערער עליה‪ .‬שימוש בעט מחיק יגרום לאי בדיקת הבחינה‪.‬‬
‫חומר עזר מותר בשימוש ‪ :‬מחשבון )לא גרפי(‪ ,‬דפי נוסחאות מצורפים‪.‬‬
‫משך המבחן ‪ :‬שעתיים‬
‫מבנה השאלון ‪ :‬במבחן ‪ 2‬פרקים‪.‬‬
‫בפרק א' עליך לבחור שתי שאלות מתוך שאלות ‪.1-3‬‬
‫בפרק ב' עליך לבחור שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫מפתח ההערכה ‪ :‬הניקוד על כל השאלות שווה‪.‬‬
‫תשובות ללא דרך )חישוב ‪ /‬הסבר( לא תקבלנה ניקוד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫חלק א' – וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪ ,‬גיאומטריה אנליטית ומספרים מרוכבים ) ‪66‬‬
‫‪3‬‬
‫נקודות(‬
‫‪1‬‬
‫עליך לענות על שתיים מהשאלות ‪) .1-3‬לכל שאלה ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.1‬א‪ .‬נתונה הפרבולה‪ A . p > 0 , y 2 = 2 px :‬ו‪ B -‬הן נקודות הנמצאות על הפרבולה‪.‬‬
‫הוכח כי אם ‪ O ) ∢AOB = 900‬ראשית הצירים(‪ ,‬המשיקים לפרבולה בנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫נפגשים בנקודה שבה ‪. x = −2 p‬‬
‫ב‪ .‬נסמן ב‪ z0 , z1 ,..., zn −1 -‬את ‪ n‬שורשי היחידה )השונים( מסדר ‪2 ≤ n‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪k + i sin‬‬
‫כך ש‪k -‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכח‪ :‬סכום החזקות ה‪- n -‬יות של שורשי היחידה מסדר ‪ n‬שווה ל‪. n -‬‬
‫‪ zk = cos‬עבור ‪. k = 0,1, 2,..., n − 1‬‬
‫שים לב! אין קשר בין הסעיפים‪.‬‬
‫‪ ABCS .2‬היא פירמידה ישרה שכל מקצועותיה שווים זה לזה וקודקודה בנקודה ‪. S‬‬
‫הנקודה ‪ N‬נמצאת על המקצוע ‪ AC‬והנקודה ‪ M‬נמצאת על המקצוע ‪ . AB‬משולש ‪△ AMN‬‬
‫שווה צלעות‪ .‬המישור ‪ SMN‬מחלק את הפירמידה לשני גופים שווי נפח‪.‬‬
‫חשב את הזווית בין המישור ‪ SMN‬לבין מישור הבסיס ‪. ABC‬‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪[email protected] :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה ע"ר‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫‪ ABCDE .3‬היא פירמידה שבסיסה מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫נתון‪ 2 , ∢ABC = 600 :‬ס"מ = ‪ 3 , AD‬ס"מ = ‪ . AE = AB‬המקצוע ‪ AE‬מאונך לבסיס‪.‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נסמן‪ N . AB = u , AD = v , AE = w :‬היא נקודה על ‪ BE‬כך ש‪. 0 < t < 1 , BN = t BE -‬‬
‫‬
‫א‪ .‬חשב את ‪ t‬אם ידוע כי‪. DN = 13 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. ∢BED‬‬
‫‪CG 1‬‬
‫ג‪ .‬בנוסף נתון שהנקודה ‪ G‬מחלקת את ‪ CE‬ביחס של =‬
‫‪GE 3‬‬
‫נחתכים? הוכח את תשובתך‪.‬‬
‫‪ .‬האם ‪ DN‬ו‪AG -‬‬
‫‪1‬‬
‫חלק ב' – חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות‪ ,‬בעיות גדילה ודעיכה ) ‪ 33‬נקודות(‬
‫‪3‬‬
‫עליך לענות על שאלה אחת מתוך שאלות ‪.4-5‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬ידוע שכלי רכב מאבדים מערכם בדעיכה מעריכית‪ .‬במשך עשרה חודשים אופנוע סוזוקי‬
‫מאבד ‪ 20%‬מערכו‪ .‬מכונית מזדה מאבדת ‪ 10%‬מערכה במשך ‪ 9‬חודשים‪.‬‬
‫כאשר מחיר האופנוע יורד ל‪ 20% -‬מערכו ההתחלתי‪ ,‬בעל האופנוע מציע אותו למכירה‪.‬‬
‫כאשר המכונית מאבדת ‪ 60%‬מערכה ההתחלתי‪ ,‬בעל המכונית מציע אותה למכירה‪.‬‬
‫‪ .1‬מי משני כלי הרכב יוצע למכירה קודם? תוך כמה זמן מרגע זה גם האחר יוצע למכירה?‬
‫‪ .2‬נתון‪ :‬לאחר שנתיים מיום הקנייה‪ ,‬המכונית היתה מעורבת בתאונה שהורידה ‪ 5%‬נוספים‬
‫מערכה באותו זמן‪ .‬האם תשובותיך לסעיף הקודם צפויות להשתנות? הוכח ע"י חישוב‪.‬‬
‫במידת הצורך דייק בדיוק ‪ 3‬ספרות אחרי הנקודה‪.‬‬
‫‪x2 + x + a‬‬
‫ב‪ .‬השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‬
‫‪2x −1‬‬
‫= ‪ a ) y‬פרמטר(‪ ,‬הישרים ‪ x = 1‬ו‪x = 2 -‬‬
‫‪1‬‬
‫וציר ה‪ , x -‬שווה ל‪ 1 -‬יח"ר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪ a‬אם ידוע כי עבור ‪ 1 ≤ x ≤ 2‬הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪[email protected] :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה ע"ר‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום הגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ a > 0 ) f ( x) = ln( x 2 ) −‬פרמטר(‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא עבור אילו ערכי ‪ a‬גרף הפונקציה כולו נמצא מתחת לציר ה‪ x -‬או נוגע בו‪.‬‬
‫הצב את ערך ה‪ a -‬במקרה בו הפונקציה נוגעת בציר ה‪ x -‬בפונקציה וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫ד‪ .‬שרטט את גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ה‪ .‬בשרטוט נפרד שרטט את הסקיצה של )‪f '( x‬‬
‫ו‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של )‪ f ''( x‬עם הצירים )אם ישנם(‪.‬‬
‫ז‪ .‬ידוע כי )‪ f '( x‬ו‪ f ''( x) -‬נחתכות רק עבור ‪ . x > 0‬שרטט את )‪ f '( x‬ו‪ f ''( x) -‬באותה מערכת‬
‫צירים‪.‬‬
‫בהצלחה!!!‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪[email protected] :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬
‫בשיתוף‬
‫המרכז הישראלי לקידום מדעי המתמטיקה ע"ר‬
‫התכנית לנוער מוכשר במתמטיקה ע"ש ויקטור בנטטה‬
‫תשובות סופיות‬
‫‪ .1‬א‪ .‬הוכחה ב‪ .‬הוכחה‬
‫‪87.5440‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3‬א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ t‬ב‪66.906 0 .‬‬
‫ג‪ .‬לא‬
‫‪ .4‬א‪ .1‬האופנוע יימכר לפני ב‪ 3.55 -‬חודשים‪ ,‬בדיוק של ‪ 3‬ספרות לאחר הנקודה העשרונית‪ .‬בדיוק‬
‫מלא‪ 6.144 :‬חודשים‪ .‬א‪ .2‬האופנוע יימכר לפני ב‪ 2.22 -‬חודשים‪ ,‬בדיוק של ‪ 3‬ספרות לאחר‬
‫הנקודה העשרונית‪ .‬בדיוק מלא‪ 1.763 :‬חודשים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪a=−‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬תחום הגדרה‪{ x | x ≠ 0} :‬‬
‫ב‪ .‬נקודות קיצון‪( a , ln a − 1) max , (− a , ln a − 1) max :‬‬
‫ג‪0 < a ≤ e .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪ .‬אין חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ת‪.‬ד ‪ 1570‬רמת גן‪ 52115 ,‬טל‪ 1700-72-72-73 .‬פקס‪ 03-5351571 :‬דוא"ל‪[email protected] :‬‬
‫‪www.yuni.co.il‬‬