למבחן. חומר לבחינה – מבוא לתורת הגרפים

‫מבוא לתורת הגרפים – חומר לבחינה למבחן‪.‬‬
‫מבנה הבחינה‪:‬‬
‫צריך לענות על ארבע מתוך חמש שאלות‪ .‬כל שאלה מקבלת ‪ 52‬נקודות‪ .‬נא לציין בראש הבחינה אילו ‪ 4‬שאלות‬
‫לבדוק‪ .‬השאלות תתחלקנה כך לפי הסדר‬
‫‪ .1‬הוכחת משפט שלמדנו‪ .‬אחד מן המשפטים המופיעים למטה‪ .‬יתכן שאבקש להוכיח חלק מוגדר‬
‫מאחד המשפטים‪.‬‬
‫‪ .5‬שאלה מן התרגיל‪.‬‬
‫‪ .3‬עוד שלש שאלות חופשיות בסגנון התרגיל‪ .‬חלקן יהיה בסגנון "הוכח או הפרך"‪.‬‬
‫כללי ציטוט‪:‬‬
‫מותר להשתמש בכל משפט שלמדנו בכיתה ובכל שאלה שהופיע בתרגיל – אבל צריך לצטט במדויק את המשפט‬
‫עליו מסתמכים‪ .‬היוצא מן הכלל‪ :‬אלא אם כן מדובר באותו הדבר שנתבקשתם להוכיח בשאלה‪ ,‬או במשהו‬
‫ממש קרוב אליו‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ .1‬גרף‪ ,‬גרף פשוט‪ ,‬צלעות קדקודים‪,‬‬
‫‪ .5‬גרף דו צדדי‪,‬‬
‫‪ .3‬שכנים‪ ,‬דרגה של קדקוד‪,‬‬
‫‪ .4‬מטריצת השכנות‪ ,‬מטריצת החילה (המסומנת והלא מסומנת)‪ ,‬הלפלסיאן הקומבינטורי‪.‬‬
‫‪ .2‬הילוך‪ ,‬מעגל‪ ,‬מעגל פשוט‪,‬‬
‫‪ .6‬מרכיבי הקשירות של גרף‪ ,‬גרף קשיר‪,‬‬
‫‪ .7‬קליקה‪,‬‬
‫‪ .8‬קבוצה בלתי תלויה (של קדקודים)‬
‫‪ .9‬קבוצה פורשת (של קודקודים)‬
‫‪ .11‬זיווג (או התאמה)‪ ,‬זיווג מושלם‪ ,‬זיווג מכסימום (בעל מספר מכסימלי של צלעות)‪,‬‬
‫‪-k .11‬פקטור‪- k ,‬פקטוריזציה‪)k-factor, k-factorization( .‬‬
‫‪ .15‬קבוצה פורשת צלעית‬
‫‪ .13‬תת גרף‪ ,‬תת גרף מושרה‪,‬‬
‫‪ .14‬איזומורפיזם של גרפים‪,‬‬
‫‪ .12‬הילוך ומעגל אוילר‪,‬‬
‫‪ .16‬הילוך ומעגל המילטון‬
‫‪ .17‬עץ‪ ,‬יער‪.‬‬
‫‪ .18‬עץ פורש‪ ,‬יער פורש‪.‬‬
‫‪ .19‬חתך של גרף‪,‬‬
‫‪ .51‬צלע מפרידה‪,‬‬
‫‪ .51‬צביעה חוקית של קדקודים‪ ,‬המספר הכרומטי‪ ,‬גרף 𝑘‪-‬כרומטי‪ ,‬גרף 𝑘‪-‬קריטי‪.‬‬
‫‪ .55‬גרף מישורי‪ ,‬פאות של גרף מישורי‪ ,‬דרגה של פאה‪ ,‬הגרף הדואלי‪.‬‬
‫‪ 𝑐𝑟(𝐺) .53‬מספר החיתוכים הקטן ביותר בין צלעות במימוש מישורי של ‪.G‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.2‬‬
‫הגרף המלא (קליקה) 𝑛𝐾‪.‬‬
‫הגרף הדו צדדי המלא 𝑛‪𝐾𝑚,‬‬
‫גרף פיטרסן‬
‫גרפים אופטימליים עבור משפט רמזי במספרים קטנים‪.‬‬
‫גרפים קריטיים לצביעות ב ‪ 1,5,3,4‬צבעים‪.‬‬
‫סימונים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪.14‬‬
‫‪.15‬‬
‫‪.16‬‬
‫‪.17‬‬
‫) 𝐺(𝑣 = 𝑣 ‪V(𝐺 ), 𝐸(𝐺 ), 𝑒 = 𝑒(𝐺 ),‬‬
‫)‪deg(v‬‬
‫)‪ - Δ = Δ(G‬דרגה מכסימלית‪ – 𝛿 = 𝛿 (𝐺 ) ,‬דרגה מינימלית‪.‬‬
‫)𝐺(𝜏 = 𝜏 מספר העצים הפורשים בגרף‪.‬‬
‫]𝑆[‪ G‬הגרף המושרה (=הגרף הנפרש) על ידי קבוצה של קדקודים‪.‬‬
‫]𝑆 ‪𝐺 − 𝑆 = 𝐺[𝐺 −‬‬
‫𝑒 ‪ 𝐺 −‬הגרף פחות צלע (כולל בדיוק את אותם קדקודים)‬
‫𝑒 ⋅ 𝐺 צמצום צלע‪,‬‬
‫) 𝐺(‪ 𝑔𝑖𝑟𝑡ℎ‬המותן של גרף ‪.G‬‬
‫)𝐺(𝛼 = 𝛼 מספר אי התלות – הגודל המכסימלי של קבוצה בלתי תלויה‪.‬‬
‫) 𝐺(‪ 𝛽 = β‬גודל מינימלי של קבוצה פורשת‪.‬‬
‫)𝐺(‪ – 𝛼 ′ = 𝛼′‬גודל מכסימלי של זיווג‪.‬‬
‫) 𝐺( ‪ – 𝛽′ = 𝛽′‬גודל מינימלי של כיסוי צלעי (במידה וקיים כזה)‪.‬‬
‫) 𝐺(𝜒 = ‪ – χ‬המספר הכרומטי של הגרף‪.‬‬
‫מספרי רמזי ) 𝑙 ‪.𝑟(𝑘,‬‬
‫)𝐺( 𝑘‪ – π‬הפולינום הכרומטי של גרף‪.‬‬
‫)𝜙(‪ : F(G), 𝑓(𝐺 ) = |𝐹(𝐺 )|, deg‬פאות בגרף מישורי‪ ,‬מספר הפאות‪ ,‬דרגת פאה‪.‬‬
‫משפטים (משפטים המסומנים ב‪ *-‬לא יופיעו כהוכחה במבחן אבל יש להכיר את הניסוח שלהם)‪.‬‬
‫‪∑𝑥∈𝑉𝐺 deg(𝑥) = 2𝑒 .1‬‬
‫‪ .5‬בכל גרף סופי סכום הדרגות זוגי‪ .‬כמו כן בכל גרף סופי מספר הקדקודים מדרגה אי ‪-‬זוגית הוא זוגי‪.‬‬
‫‪ .3‬אם יש חלוקה של מלבן למלבנים שלמים (=בעלי אורכי צלעות שלמים) אז המלבן שלם‪.‬‬
‫‪ .4‬הלמה של שפרנר‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט קניג‪ :‬התנאים הבאים שקולים‬
‫‪ .a‬הגרף הוא דו צדדי‪.‬‬
‫‪ .b‬כל מרכיב קשירות הוא דו צדדי‬
‫‪ .c‬כל מעגל בגרף הוא באורך זוגי‬
‫‪ .d‬כל מעגל פשוט הוא באורך זוגי‪.‬‬
‫‪ .6‬משפט ‪( Turan‬ובפרט משפט מנטל – טורן למשולשים)‪ .‬כולל היכרות עם גרפי טוראן ‪ Tn,r‬הגרפים בעלי‬
‫המספר הרב ביותר של צלעות מבין הגרפים על ‪ n‬קדקדים שהם חסרי ‪-K 𝑟+1‬קליקת‪.‬‬
‫‪ .7‬פתרון בעיית שור‪ :‬קיים מספר 𝑛𝑓 כך שבכל צביעה של המספרים 𝑛𝑓 ‪ 1,2,3, … ,‬על ידי ‪ n‬צבעים ישנו פתרון‬
‫חד צבעי למשוואה 𝑧 = 𝑦 ‪.𝑥 +‬‬
‫‪ .8‬אלגוריתם ‪ Dijkstra‬למציאת המסלול הקצר ביותר בין קדקודים – כולל הוכחה‪.‬‬
‫‪ .9‬בעץ ‪𝑒(𝑇) = 𝑣(𝑇) − 1‬‬
‫‪ .11‬בכל גרף קשיר יש תת גרף המקיים את התנאים השקולים הבאים‪:‬‬
‫‪ .a‬הוא עץ פורש‬
‫‪ .b‬הוא תת גרף קשיר פורש מינימלי‬
‫‪ .c‬עץ מקכסימלי‪.‬‬
‫‪ .11‬עבור גרף ‪ G‬סופי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ .a‬הוא עץ‬
‫‪ .b‬הוא קשיר ומקיים ‪𝑒 = 𝑣 − 1‬‬
‫‪ .c‬הוא חסר מעגלים ומקיים ‪𝑒 = 𝑣 − 1‬‬
‫‪ .d‬בין כל שני קדקדים מחבר מסלול (חסר חזרות) יחיד‪.‬‬
‫‪𝜏(𝐺 ) = 𝜏(𝐺 − 𝑒) + 𝜏(𝐺 ⋅ 𝑒) .15‬‬
‫‪ .13‬נוסחאת קיילי‪𝜏(𝐾𝑛 ) = 𝑛𝑛−2 :‬‬
‫̂𝐿(‪ τ(𝐺 ) = 𝜂(𝐺 ) = −1𝑖+𝑗 det‬כאשר ) 𝐺( 𝜂 ‪-1‬פקטור (כלשהוא) של‬
‫‪ .14‬משפט הגרף מטריצה‪𝑖,𝑗 ) :‬‬
‫הלפלסיאן הקומבינטורי‪.‬‬
‫‪ .12‬משפט אוילר‪ :‬בגרף סופי קיים מעגל אוילר אם"ם כל הדרגות זוגיות‪ .‬קיים מסלול אוילר אם"ם או שכל‬
‫הדרגות זוגיות או שיש בדיוק שני קדקודים מדרגה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫‪ .16‬אלגוריתם לפתרון בעית הסוכן הנוסע ב"עלות" של לכל היותר פעמיים העלות האופטימלית‪.‬‬
‫‪ .17‬משפט ‪ : Berge‬זיווג בגרף הוא בעל גודל מכסימלי אם"ם לא קיים מסלול מתחלף (של צלעות שהן לסרוגין‬
‫שייכות ולא שייכות להתאמה) המתחיל ומסתיים בצלע שאיננה בהתאמה‪.‬‬
‫‪ .18‬משפט החתונה של ‪.Hall‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪ .19‬משפט ‪ :Konig‬אם ‪ M‬זיווג ו‪ K-‬כיסוי של גרף כך ש |‪ K = |M‬אז ‪ M‬בעל גודל מכסימלי ו‪ K-‬בעל גודל‬
‫מינימלי‪.‬‬
‫‪ )*( .51‬משפט ‪ :Tutte‬אם נסמן ב ‪ 𝑜(𝐺 )-‬את מספר מרכיבי הקשירות בעלי מספר אי ‪-‬זוגי של קדקודים‪ .‬אז‬
‫בגרף סופי ‪ G‬יש זיווג מושלם אם"ם |𝑆| < |)𝑆 ∖ 𝐺(𝑜| לכל )𝐺(𝑉 ⊂ 𝑆‪.‬‬
‫‪ .51‬כל גרף ‪-3‬רגולרי ללא קשתות מפרידות הוא בעל זיווג מושלם‪.‬‬
‫‪ .55‬קבוצה 𝐺𝑉 ⊂ 𝑆 היא בלתי תלויה אם"ם 𝑆 ∖ ‪ V‬פורשת‪.‬‬
‫‪ .53‬בגרף סופי 𝑣 = ) 𝐺( 𝛽 ‪𝛼 (𝐺 ) +‬‬
‫) (‪′‬‬
‫) (‪′‬‬
‫‪ .54‬משפט ‪ : Gallai‬אם בגרף סופי אין קדקודים מדרגה אפס אז 𝑣 = 𝐺 𝛽 ‪.𝛼 𝐺 +‬‬
‫‪ .52‬בגרף דו צדדי‪ ,‬ללא קדקודים מדרגה ‪ ,1‬מתקיים‪α′ (𝐺 ) = 𝛽(𝐺 ), 𝛼 (𝐺 ) = 𝛽′(𝐺) :‬‬
‫)‪𝑘 + ℓ − 2‬‬
‫( ≤ )‪.𝑟(𝑘, ℓ) ≤ 𝑟(𝑒, ℓ − 1) + 𝑟(𝑘 − 1, ℓ‬‬
‫‪ .56‬משפט רמזי‪:‬‬
‫‪𝑘−1‬‬
‫‪ .57‬תכונות בסיסיות של מספרי רמזי וחישוב מדויק של מספרי רמזי נמוכים )‪𝑟(1, 𝑘), 𝑟(2, 𝑘), 𝑟(3,3), 𝑟(3,4‬‬
‫𝑘‬
‫‪ .58‬משפט ‪.𝑟(𝑘, 𝑘) ≥ 22 :Erdos‬‬
‫‪𝜋𝑘 (𝐺 ) = 𝜋𝑘 (𝐺 − 𝑒) − 𝜋𝑘 (𝐺 ⋅ 𝑒) .59‬‬
‫‪ π𝑘 (𝐺 ) .31‬הוא פולינום ב‪ . k-‬הוא פולינום מתוקן (כלומר בעל מקדם עליון ‪ )1‬ממעלה )‪ ,v(G‬ללא מקדם‬
‫חופשי‪ ,‬בעל מקדמים שלמים שסימניהם מתחלפים‪.‬‬
‫‪ .31‬משפט ‪ :Erdos‬לכל זוג מספרים ‪ 𝑘, ℓ‬קיים גרף סופי ‪ G‬בעל מספר כרומטי 𝑘 > ) 𝐺(𝜒 ומותן > ) 𝐺(‪𝑔𝑖𝑟𝑡ℎ‬‬
‫‪.ℓ‬‬
‫‪ .35‬הוכחת אי שיוויון מרקוב‪ Pr(𝑋 > 𝑡) ≤ 𝐸[𝑋]/𝑡 .‬לכל משתנה מקרי חיובי ‪ X‬ולכל ‪( . t>0‬במרחבי‬
‫הסתברות סופיים)‪.‬‬
‫‪ )*( .33‬משפט ג'ורדן על עקום סגור במישור (לדעת רק ניסוח ללא הוכחה)‪.‬‬
‫‪ .34‬הגרפים ‪ 𝐾5 , 𝐾3,3‬אינם מישוריים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .32‬גרף הוא מישורי אם"ם הוא ספרי (כלומר ניתן לממימוש על 𝑆)‪.‬‬
‫‪ .36‬נוסחאת אוילר לגרפים מישוריים‪.𝑣 − 𝑒 + 𝑓 = 2 :‬‬
‫‪ .37‬מספר הפאות של גרף מישורי לא תלוי בשיכון‪.‬‬
‫‪ .38‬לכל גרף פשוט מישורי ‪ .𝑒 ≤ 3𝑣 − 6‬במידה והגרף חסר משולשים אז ‪.𝑒 ≤ 2𝑣 − 4‬‬
‫‪ .39‬לכל גרף סופי מישורי ‪ .𝛿(𝐺 ) ≤ 5‬אבל בגרף אינסופי זה כבר לא נכון‪.‬‬
‫‪ .41‬משפט ‪ : Heawood‬לכל גרף מישורי סופי קיימת צביעה חוקית בחמישה צבעים‪.‬‬
‫‪ .41‬מיון הגופים האפלטוניים‪.‬‬
‫‪ .45‬למת החיתוכים‪ :‬אם לגרף פשוט מישורי מתקיים 𝑣‪ 𝑒 > 4‬אז‬
‫‪𝑒 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪𝑣2‬‬
‫) (‬
‫≥ ) 𝐺(𝑟𝑐‪.‬‬
‫‪ .43‬קיים קבוע ‪ C‬כך שבהינתן קבוצת של ‪ m‬נקודות במישור ‪ ,P‬וקבוצת של ‪ ℓ‬ישרים במישור ‪ ,L‬מספר החילות‬
‫ביניהם חסום על ידי )𝑛 ‪. |{(𝑝, ℓ) ∈ 𝑃 × 𝐿 |𝑝 ∈ ℓ}| < 𝐶(𝑚 2⁄3 𝑛2⁄3 + 𝑚 +‬‬
‫‪ .44‬חסם ‪-Δ – Moore‬רגולרי בקוטר ‪ d‬יש לכל היותר ‪ 1 + Δ + Δ(1 − Δ) + ⋯ + Δ(1 − Δ)𝑑−1‬קדקודים‪.‬‬
‫‪ .42‬לגרף ‪-‬רגולרי עם מותן ‪ 𝑔𝑖𝑟𝑡ℎ (𝐺 ) = 2𝑑 + 1‬יש לכל הפחות ‪.1 + Δ + Δ(1 − Δ) + ⋯ + Δ(1 − Δ)𝑑−1‬‬
‫‪ .46‬משפחת הגרפים ה ‪-Δ-‬רגולריים עבורה יש שוויון בחסם ‪ Moore‬מסעיף ‪ 44‬זהה למשפחת הגרפים עבורם‬
‫יש שוויון באי שוויון מסעיף ‪ .42‬גרפים אילו נקראים גרפי ‪.Moore‬‬
‫‪ )*( .47‬גרף ‪ Moore‬מקוטר ‪ 𝑑 = 2‬חייב להיות ברגולריות }‪.Δ ∈ {1,2,3,7,57‬‬