מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 3

Comments

Transcription

מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276 ־ תרגול 3
‫מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ ‪ 104276‬־ תרגול ‪3‬‬
‫שלומי גובר‪ ,‬אביב התשע"ה‬
‫‪ 14‬באפריל ‪2015‬‬
‫מערכות אורתונורמליות‬
‫תזכורת מההרצאה‪:‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית )לא בהכרח שלם(‪.‬‬
‫• מערכת אורתונורמלית היא קבוצה ‪ {ei }i∈I ⊂ V‬המקיימת ‪.(ei , ej ) = δij‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫• עבור מערכת אורתונורמלית ‪ {ei }i∈I‬מתקיים ||‪ i∈I |(x, ei )| ≤ ||x‬לכל ‪x ∈ V‬‬
‫)אי שוויון בסל(‪ .‬בסכום זה רק מספר בן מניה של מספרים שונה מאפס‪.‬‬
‫⊥‬
‫• מערכת אורתונורמלית שלמה היא מערכת אורתונורמלית המקיימת }‪.{ei }i∈I = {0‬‬
‫מערכת זו היא מקסימלית ביחס להכלה ונקראת בסיס אורתונורמלי‪ .‬לכל מרחב מכפלה‬
‫פנימית קיים בסיס אורתונורמלי‪.‬‬
‫• כל הבסיסים האורתונורמלים של מרחב הילברט הם בעלי אותה עוצמה‪ .‬עוצמה זו‬
‫נקראת מימד הילברט )או בקיצור המימד( של המרחב‪.‬‬
‫• מערכת אורתונורמלית נקראת סגורה אם היא מקיימת ‪(x, ei ) ei‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,x ∈ V‬או לחלופין |) ‪i∈I |(x, ei‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫= ||‪ ||x‬לכל ‪) x ∈ V‬שוויון פרסבל(‪.‬‬
‫• במרחב הילברט מערכת שלמה היא אם"ם היא סגורה‪.‬‬
‫‪Marc-Antoine Parseval‬‬
‫‪Friedrich Wilhelm Bessel‬‬
‫‪1755 - 1836‬‬
‫‪1784 - 1846‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ x‬לכל‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫הוכיחו כי שני מרחבים הילברט מעל אותו שדה הם איזומורפים )כלומר קיימת העתקה‬
‫ליניארית ‪ T : H → G‬חח"ע ועל השומרת על המכפלה הפנימית( אם ורק אם הם בעלי אותו‬
‫מימד‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫יהיו ‪ G, H‬שני מרחבי הילברט מעל אותו שדה בעלי מימד שווה עם בסיסים א"נ ‪{fi }i∈I , {ei }i∈I‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫נגדיר את ההעתקה ‪ T : H → G‬ע"י ‪ T i∈I ai ei = i∈I ai fi‬זו העתקה ליניארית חח"ע‬
‫ועל )מכיוון שהמרחבים מעל אותו שדה( אשר שומרת על המכפלה הפנימית‪:‬‬
‫!‬
‫!‬
‫!‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ai ei , T‬‬
‫‪bi e i‬‬
‫=‬
‫‪ai fi ,‬‬
‫‪bi fi‬‬
‫=‬
‫= ‪ai bi‬‬
‫‪ai ei ,‬‬
‫‪bi e i‬‬
‫‪H‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪G‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪G‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫ולכן המרחבים איזומורפים‪.‬‬
‫יהיו ‪ G, H‬מרחבים איזומורפים כלומר קיימת איזומטריה ‪ .T : H → G‬יהי ‪ {ei }i∈I‬בסיס‬
‫א"נ של ‪ H‬נראה כי ‪ {T ei }i∈I‬הוא בסיס א"נ של ‪ {T ei }i∈I .G‬היא א"נ כי ‪ T‬שומרת על‬
‫⊥‬
‫⊥‬
‫המ"פ‪ ,‬והיא שלמה כי }‪ .{T ei }i∈I = T {ei }i∈I = {0‬כלומר ל־ ‪ G, H‬יש בסיס א"נ עם‬
‫אותה עוצמה ולכן הם בעלי אותו מימד‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫הוכיחו כי מרחב הילברט אינסוף מימדי הוא ספרבילי אם ורק אם הוא ממימד ‪.ℵ0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫־ כיוון ראשון ־ יהי ‪ H‬מרחב הילברט ספרבילי‪ ,‬קיימת בו קבוצה צפופה בת מניה } ‪.Z = {zn‬‬
‫נגדיר } ‪ X = {xn‬על ידי‬
‫• ‪ x1‬איבר עם אינדקס מינימלי ב־ ‪ Z‬ששונה מ־‪.0‬‬
‫• ‪ x2‬איבר עם אינדקס מינימלי ב־ ‪ Z‬שאינו נפרש על ידי } ‪.{x1‬‬
‫• ‪ x3‬איבר עם אינדקס מינימלי ב־ ‪ Z‬שאינו נפרש על ידי } ‪.{x1 , x2‬‬
‫• ‪ xn‬איבר עם אינדקס מינימלי ב־ ‪ Z‬שאינו נפרש על ידי } ‪.{x1 , x2 , . . . , xn−1‬‬
‫נפעיל את תהליך גרם־שמידט על ‪ X‬ונקבל סדרה א"נ } ‪ .{ei‬סדרה זו היא שלמה כי‬
‫‪ Span {ei } = SpanX = SpanZ = H‬ולכן איבר הניצב לכל ‪ ei‬נציב לכל איבר במרחב‬
‫ולכן הוא איבר האפס‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫־ כיוון שני ־ אם ‪ H‬מרחב הילברט ממימד ‪ ,ℵ0‬אז מתרגיל קודם הוא איזומורפי למרחב‬
‫‪ `2‬שהוא ספרבילי ־ ‪ {en }n∈N‬היא קבוצה צפופה בו‪ .‬בהינתן איזומטריה ‪,T : `2 → H‬‬
‫‪ {T en }n∈N‬צפופה ב־ ‪ H‬מכיוון ש־ ‪ T‬שומרת על המכפלה הפנימית ולכן‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪||x − en || → 0 ⇒ ||T x − T en || → 0‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ `2 (I) = x : I → C :‬עם המכפלה‬
‫‪|x‬‬
‫|‬
‫<‬
‫∞‬
‫תהי ‪ I‬קבוצה כלשהי ונגדיר‬
‫‪i‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫‪P‬‬
‫הפנימית ‪ .(x, y) = i∈I xi yi‬מהו המימד של מרחב זה? עבור אילו קבוצות ‪ I‬המרחב‬
‫ספרבילי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נגדיר ‪ ei (j) = δij‬מתקיים ‪ei (k) ej (k) = δij‬‬
‫‪k∈I‬‬
‫‪P‬‬
‫= ) ‪ (ei , ej‬ולכן זו קבוצה א"נ‪ .‬אם‬
‫‪ (x, ei ) = xi = 0‬לכל ‪ i‬אז ‪ x = 0‬ולכן המערכת שלמה‪ .‬עוצמת המערכת היא |‪ |I‬וזה‬
‫המימד של )‪ .`2 (I‬המרחב ספרבילי כאשר ‪ I‬בת מניה‪ .‬בפרט ‪.`2 ([n]) = Cn‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫תהי ‪ {ei }i∈I‬מערכת אורתונורמלית בממ"פ ‪ .V‬הראו כי אם קיימת תת קבוצה ‪ S ⊆ H‬כך‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ש־ }‪ S ⊥ = {0‬ולכל ‪ x ∈ S‬מתקיים |) ‪ ||x|| = i∈I |(x, ei‬אז המערכת שלמה )כלומר‬
‫מספיק שהמערכת תהיה "סגורה על קבוצה שלמה" כדי שתהיה שלמה(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫⊥‬
‫‪y‬‬
‫יהי ‪ ,y ∈ {ei }i∈I‬נניח בשלילה כי ‪ ,y 6= 0‬אז‬
‫||‪ ei , ||y‬היא מערכת א"נ ולכן לפי אי שוויון‬
‫בסל לכל ‪ x ∈ S‬מתקיים‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫ ‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪|(x, ei )| + x,‬‬
‫‪= ||x|| +‬‬
‫|)‪2 |(x, y‬‬
‫ ||‪||y‬‬
‫||‪||y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ ||‪||x‬‬
‫‪i∈I‬‬
‫ולכן ‪ |(x, y)| = 0‬לכל ‪ .x ∈ S‬ומכאן ‪ y ∈ S ⊥ = {0} ⇒ y = 0‬בסתירה‪.‬‬
‫‪3‬‬