docתורת החבורות הגיאומטרית (80614)
download 
Report Transcription
תורת החבורות הגיאומטרית (80614)
תורת החבורות הגיאומטרית
1
תוכן עניינים
תוכן עניינים
תוכן עניינים
1
2
I
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
מנהלות . . . . . . . .
מבוא . . . . . . . . .
הקדמה תכנית
2.1
תכנית הקורס
2.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
חבורות חופשיות . . . . . . . . . . . . . . .
הצגות ) (Presentationשל חבורות . . . . . .
אלגוריתם לזיהוי שוויון הצגות . . . .
4.1
בעיית ההחלטה של דהן )(Max Dehn
4.2
בניית חבורות חדשות . . . . . . . . . . . . .
פתרונות לתרגילים . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
תורת החבורות הקומבינטורית
3
4
5
6
5
IIחבורות כמרחבים
7
8
9
10
גרפי קיילי . . . . . . . . . . .
קוואזי־איזומטריות . . . . . . . .
קוואזי־איזומטריה של חבורות . .
אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות
גידול בחבורות . . . .
10.1
הצגות סופיות . . . . .
10.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
IV
V
למת שוורץ־מילנור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חבורות חופשיות ועצים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פעולות לא חופשיות על עצים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מרחב מטרי היפרבולי . . . . . . .
חבורות היפרבוליות — הגדרה . . .
הצגה סופית של חבורות היפרבוליות
בעיית המלה בחבורות היפרבוליות .
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
22
20
22
24
25
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
מרחב החבורות המסומנות . . . . . . . .
חבורות גבול . . . . . . . . . . . . . .
אפיונים שקולים לחבורות גבול . . . . . .
תורה אוניברסלית . . . . . . .
21.1
חבורה מובחנת חופשית במלואה
21.2
מורפיזמים לחבורה החופשית . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
חבורות גבול
19
20
21
15
16
17
18
18
19
20
חבורות היפרבוליות
14
15
16
17
18
5
6
8
8
9
12
15
IIIפעולות גיאומטריות
11
12
13
4
4
4
4
25
29
29
30
33
38
2
38
40
40
40
41
42
תוכן עניינים
תוכן עניינים
מרצה :ד"ר קלואי פרין
מסכם :עומר שכטר — omer.shechter SHTRUDEL mail.huji.ac.il
ניתן בסמסטר סתיו התשע"ה ,באוניברסיטה העברית בירושלים
אשמח מאוד לקבל תיקוני טעויות קלות כחמורות
3
2
1
מבוא
מנהלות
ציון ייקבע ע"פי עבודה להגשה בסוף או בהרצאה מול כולם או הרצאה מול המרצה.
לא יתקיימו שיעורים ב־ 22/12וגם 24/12
ספר הקורסBridson, Geometrics & combinatorial group theory, princeton companion to mathe- :
.matical proofבנוסף .Ghys and de la Harpe, On hyperbolic groups after Gromovבנוסף קיים de la
Harpe, Topics in geometric group theoryשהוא מתקדם ביחס לקורס שנלמד .וגם Bridson - Hoefliger,
Metric spaces of non-positive curvatureשהוא מאוד מאוד מקיף ,ועוסק לא רק בחומר שלנו.
שעת קבלה :בתיאום מראש )באופן עקרוני 16:00-8:00אפשרי(
הקורס מיועד גם לתואר ראשון.
מבוא
2
2.1
הקדמה תכנית
הבסיס מגיע מתכנית ארלנגן של פליקס קליין החל מ־ .1872המטרה היא לבסס את כל הגיאומטריות על בסיס
של חבורות .פליקס קליין אמר שמה שבאמת חשוב זה לבדוק מהי חבורת הסימטריות שמאחוריה כל התכונות
שאנחנו רוצים לשמור .כדי להבין מרחב צריך להבין את החבורה שפועלת עליה בצורה טבעית .זוהי תכנית
ארלנגן.
תורת החבורות הגיאומטרית זה בעצם להפוך את הרעיון הזה ,יש לנו חבורה ואנחנו רוצים להבין אותה אז
אנחנו מסתכלים עליה כחבורת סימטריות של מרחב כלשהו .זה יכול להיות גרף ,מרחב מטרי ,יריעה ,משהו עם
תכנונות גיאומטריות וכך נוכל להבין את החבורה .זה הרעיון הגדול ויש כמה דרכים לעשות זאת .אחת הדרכים
היא לראות את החבורה עצמה כמרחב מטרי .החבורה פועלת על עצמה עם מכפלה משמאל ואז אפשר לראות
אותה כפועלת על המרחב .הרעיון הזה יותר מאוחר ,הוא התחיל בסוף שנות השבעים .דמות מפתח נוספת היא
גרומוב.
2.2
תכנית הקורס
אנחנו נסקור נושאים שונים ,לא מתוך מטרה להוכיח משפט גדול בקורס .פרקי הקורס:
.1תורת החבורות הקומבינטורית — הגדרה של יחסים ויוצרים
.2גרפי קיילי — חבורה כמרחב מטרי
.3פעולות גיאומטריות — מהן התכונות הנדרשות
.4קוואזי איזומטריות — ניתן להפוך חבורה לכמה מרחבים מטרים וגרפי הקיילי לא איזומטריים ,אבל הם
כמעט
.5חבורות היפרבוליות — חבורות שניתן להגדיר בצורה גיאומטרית
.6חבורות גבול
במהלך הקורס ייתנו תרגילים )שאינם להגשה( ומטרתם לעזור להבין את החומר ולתרגל.
4
3
חבורות חופשיות
חלק I
תורת החבורות הקומבינטורית
3
חבורות חופשיות
הגדרה :1תהי Sקבוצה )ונחשוב על איבריה כעל אותיות( .נוסיף לכל אות s ∈ Sאת האות .s−1 ∈ Sמלה
ב־ Sהיא סדרה סופית של איברים של .S ∪ S −1
דוגמה S = {a, b} :2אז נניח ab−1 aמלה ,וגם )המלה הריקה( היא מלה.
הגדרה :3מלה תיקרא מלה מצומצמת אם אין סדרה מצומצמת מהצורה ss−1או .s−1 s
ניתן לצמצם מלה ע"י מחיקת כל צירוף זה.
דוגמה abb−1 a−1 ab :4מהחבורה שהוגדרה קודם .נוכל למחוק את bb−1ואז את a−1 aאו את aa−1ונקבל
בסוף .bלא משנה מה נמחוק קודם נקבל בסוף את אותה מלה מצומצמת.
טענה :5תמיד מגיעים לאותה מלה מצומצמת.
הגדרה :6בהינתן מלים w = u1 . . . unוגם w0 = v1 . . . vmכאשר ui , vi ∈ S ∪ S −1אזי השרשור שלהן הוא
0
.v1 = u−1
.ww = u1 . . . un v1 . . . vmייתכן שנקבל מלה שאינה מצומצמת אם n
)F (S
הגדרה :7החבורה החופשית על הקבוצה Sהיא חבורה שאיבריה הם מלים מצומצמות ב־ .Sהפעולה היא
שרשור איברים וצמצום ונסמנה ).F (S
טענה F (S) :8חבורה .היא מקיימת את האקסיומות .האיבר הנייטרלי הוא המלה הריקה .
הערה :9
S .1מייצרת את ) ,F (Sכחבורה.
.2שום מכפלה בסגנון s11 · s22 · · · · · snnכאשר si ∈ Sוגם } .i ∈ {±1כאשר לכל iאו si 6= si+1או
i = i+1שווה לאיבר הטריוויאלי .התכונה הזו נקראת חופשיות.
נרצה להגיד ששתי הגישות האלה מגדירות את החבורה החופשית ,נסתכל על זה בתור הגדרה לפי בסיס.
טענה :10תהא Gחבורה ובתוכה יש קבוצה S ⊆ Gשמקיימת את שתי התכונות מעלה ) Sמייצרת את Gואין
∼ .G
מכפלה כזו השווה לאיבר הטריוויאלי( אזי )= F (S
הוכחה :נבנה איזומורפיזם .ϕ : F (S) → G .בהינתן מלה מצומצמת ϕ ,תשלח אותה לכפל האותיות בתוך .G
על נובע ישירות מתכונה מספר ) ,(1שכן Sמייצרת את .Gחח"ע נובעת ישירות מתכונה מספר )) (2התכונה
הזו נקראת Sחופשית ב־ .(Gהומומורפיזם מושאר כתרגיל לקורא .במקרה כזה נאמר ש־ Gחופשית מעל S
וש־ Sהוא בסיס של .G
בדומה למרחבים וקטוריים באלגברה ליניארית ,גם פה נרצה לטעון שהבסיס לחבורה חופשית אינו יחיד .תרגיל:
לחשוב על } S ={a, bו־)} S . F = ({a, bבסיס של )} .F ({a, b,צ"ל שגם } {α = a, β = abבסיס של
)} .F ({a, bהאם a, b2בסיס? ומה עם ? a, aba−1 b−1
נשים לב שבהוכחה מלמעלה ,לא השתמשנו בחלק של ההומומורפיזם בתכונות ) .(2) ,(1למעשה נרצה
לטעון שתמיד ניתן לבנות הומומורפיזם מחבורה חופשית לחבורה כלשהי:
טענה ) :11התכונה האוניברסלית( תהי Gחופשית מעל .Sלכל חבורה Hולכל העתקה ϕ1 : S → Hיש
הרחבה להומומורפיזם יחיד ) ϕ2 : G → Hופירושו — ).(∀s∈S ϕ1 (s) = ϕ2 (s
הוכחה :נגדיר את ϕ2כמו בטענה .כל איבר g ∈ Gהוא מכפלה של איברי Sשכן היא נוצרת על ידו ,ולכן
, g = s11 · · · · · snnולכן נגדיר ) .ϕ2 (g) = ϕ1 (s11 ) · · · · · ϕ1 (snnקיבלנו הומומורפיזם ,הרחבה ויחידות
מהגדרה.
טענה :12תהי Gחבורה .S ⊆ G ,אזי Gחופשית מעל Sאם ורק אם לכל חבורה Hולכל העתקה ϕ1 : S → H
יש הרחבה להומומורפיזם יחיד .ϕ2 : G → H
5
4
הצגות ) (Presentationשל חבורות
הוכחה :בהוכחה הקודמת ראינו למעשה כיוון אחד ,כמה נוח .נניח כי לכל העתקה ϕ1כבטענה מתרחבת
להומומורפיזם יחיד ϕ2כבטענה G .מקיימת את הטענה ,ולכן ההעתקה ) S → F (Sמתרחבת להומומורפיזם
יחיד ) .i : G → F (Sבנוסף ,גם ) F (Sמקיימת את הטענה ,ולכן ההעתקה S → Gמתרחבת להומומורפיזם
.j : F (S) → Gנשים לב כי i ◦ jהיא הזהות על ) F (Sוהיות שהוא ניתן להרחבה יחידה הוא ניתן להרחבה
להומומורפיזם הזהות .ולכן מיחידות i ◦ jהיא הזהות .ולכן i, jאיזומורפיזם .לסיכום — השתמשנו שלוש
פעמים בהנחה )פעם על ,Gפעם על ) F (Sופעם על i ◦ jעם יחידות(.
ראינו שלוש גישות לחבורות חופשיות .בראשונה בנינו חבורה ואמרנו מה האיברים והפעולה .בפעם השנייה
הראינו חבורה כחופשית מעל האיברים שלה באמצעות בסיס .הגישה השלישית היא להגיד שחבורה חופשית
היא חבורה המקיימת את התכונה אוניברסלית.
כעת נרצה להסתכל על הגישה של בסיס ,על ההבדלים והדמיון בין מרחבים וקטורים ובסיסים לחבורות
חופשיות ובסיסיהן.
∼ Gאם ורק אם | ) |S| = |S 0שוויון עצמות(.
טענה :13תהא Gחופשית מעל Sו־ G0חופשית מעל .S 0אזי = G0
הוכחה :כיוון אחד )ההנחה היא שוויון עצמות ,זה נובע מהתכונה האוניברסלית( מושאר כתרגיל לקורא.
∼ ) F (Sאז | .|S| = |S 0
הכיוון השני ,נניח ששתיהן חופשיות מעל הקבוצות .מספיק להוכיח שאם ) = F (S 0
נחשוב על המקרה ש־| |S| , |S 0אינסופיים .סדרות סופיות של קבוצה מעצמה אינסופית הן בעצמה האינסופית,
ולכן | .|F (S)| = |Sמכאן קיבלנו | |S| = |F (S)| = |F (S 0 )| = |S 0כאשר האי־שוויונות החיצוניים נובעים
מהסדרות הסופיות ,והאי־שוויון הפנימי נובע מההנחה.
נניח כעת ש־| |S| , |S 0סופיים .נספור את ההומומורפיזם .F (S) → Z/2Zכל העתקה S → Z/2Z
נותנת הומומורפיזם שונה וניתן לקבל כל הומומורפיזם ככה .ולכן | .|Hom (F (S) , Z/2Z)| = 2|Sולכן
∼ ) F (Sאיזומורפיות ,אזי כל ההומומורפיזם שיש מאחת ל־ Z/2Zיש גם מהשנייה ,ולכן
היות ש־) = F (S 0
0
S
|) |Hom (F (S) , Z/2Z)| = |Hom (F (S 0 ) , Z/2Zולכן | | 2|S| = 2ולכן | .|S| = |S 0
הגדרה :14נקרא לעצמה זו הדרגה של החבורה החופשית.
הערה :15שוויון עצמות של הבסיס דומה למצב במרחבים וקטורים .לא כל שאר התכונות מתקיימות בשני
העולמות .לא לכל חבורה יש בסיס ,אלא רק לחבורות חופשיות .לחבורה החופשית מדרגה ) 2היא החבורה
החופשית על 2יוצרים( יש תת־חבורות שהן חופשיות מדרגה אינסופית ,בניגוד כמובן למצב במרחבים־וקטוריים,
בו תת־מרחב הוא תמיד מדרגה נמוכה יותר או שווה לדרגת כלל המרחב.
תרגיל :16בהינתן )} F ({a, bונסתכל על קבוצת האיברים } .S = {an ba−n
)} F ({a, bהנוצרת על ידי Sחופשית מעל .U
צ"ל שהתת־חבורה ⊆ H
עוד תכונה שונה ,היא שבהינתן S0 ⊆ Gחופשית ב־) Gקרי רק תכונה ) (2מלמעלה מתקיימת( לא תמיד אפשר
להרחיב אותה לבסיס .בניגוד למצב במרחב־וקטורי ,שם ניתן להוסיף עוד ועוד איברים עד שמתקבל בסיס.
4
הצגות ) (Presentationשל חבורות
אם נחשוב על החבורה החופשית ,החופשיות מוגדרת על ידי היוצרים ועל ידי היחסים .מה שנרצה לעשות
עכשיו זה להגדיר מבנה שכן יגדיר מבנה של חבורה ,וגם עוד יחסים — אך למצוא את המבנה המינימלי שמקיים
את שניהם.
דוגמה :17רוצים חבורה שנוצרת על ידי } {a, bכך ש־ a2 = 1וגם .b3 = 1נשים לב שליחסים האלה יש
השלכות ,לדוגמה .a2 b3 = 1באופן דומה ,ba2 b−1 = 1זאת שכן ליחסים יש השלכות.
hS|Ri hhRii
הגדרה :18תהי Sקבוצה ,ו־ Rקבוצה של מילים מצומצמות של אותיות ב־ .(R ⊆ F (S)) Sהחבורה המוגדרת
על ידי ההצגה hS|Riהיא המנה של ) F (Sעל ידי התת־חבורה הנורמלית הקטנה־ביותר של ) F (Sשמכילה
את ) Rהסגור הנורמלי של Rוהוא מסומן .(hhRii
תרגיל g :19איבר בסגור הנורמלי של Rאם ורק אם gהיא מכפלה של הצמדות של איברים מ־ .R ∪ R−1
משוואות במקום יחסים .לדוגמה a, b|a2 = b :בעוד לפי ההגדרה היינו
הצגה עם
הערה :20לפעמים כותבים
צריכים לכתוב משהו בסגנון . a, b|a2 b−1
6
4
הצגות ) (Presentationשל חבורות
id
→ Sאם
תהי Gחבורה S ⊆ G ,שמייצר את ϕ : F (S) → G .Gהומומורפיזם שמוגדר כהרחבה של G
) R ⊆ F (Sכך ש־ ker ϕ = hhRiiאז
∼G
∼ = F(S)/ker ϕ
∼ = F(S)/hhRii
= hS|Ri
ותמיד אפשר לבחור .R = ker ϕאז אומרים ש־ Gמקבלת את ההצגה .hS|Ri
יש אי בהירות כשכותבים איבר ,s ∈ Sהאם מתכוונים לאיבר ב־ Gאו ב־).F (S
אם יש שתי הצגות שונות זה יכול להיות קשה לדעת אם שתי החבורות הן איזומורפיות .נדבר על נושא זה
בהמשך.
הגדרה :21אם wמלה מצומצמת ב־ Sמהצורה w (s1 , . . . , sm ) = si11 · · · · · sillכך ש־} si ∈ {s1 , . . . , sm
ו־} i ∈ {±1ואם g1 , . . . gn ∈ Gנכתוב . wG (g1 , . . . , gn ) = gi11 · · · · · gill
למה :22בהינתן חבורה Gו־ R, S ⊆ Gכך ש:
S .1מייצרת את .G
.2לכל מלה מצומצמת w ∈ Sמתקיים wG (s1 , . . . , sm ) = 1 ⇐⇒ w ∈ hhRii
אז Gמקבלת את ההצגה .hS|Ri
הוכחה :תרגיל קל .רמז :לוקחים ϕ : F (S) → Gהומומורפיזם שקיים מהתכונה האוניברסלית של
החבורה החופשית .מ־ 1מקבלים ש־ ϕהוא על ,ומ־ 2מקבלים שהגרעין של ϕהוא בדיוק ,hhRiiשכן
) .ϕ (w (s1 , . . . , sm )) = wG (ϕ (s1 ) , . . . , ϕ (sm )) = wG (s1 , . . . , sm
טענה ) :23התכונה האוניברסלית( :תהי H ,G = hS|Riחבורות והעתקה ϕ : S → Hכך ש־ ,ϕ (s) = sאז
קיים הומומורפיזם ψ : G → Hשמרחיב את ϕאם ורק אם האיברים sמקיימים את היחסים שב־ ,Rהווה אומר,
לכל מלה w (s1 , . . . , sm ) ∈ Rהאיבר ) wH (s1 , . . . , smהוא טריוויאלי.
הוכחה :בכיוון הראשון )"אם"( אם קיים הומומורפיזם ψשמרחיב את ,ϕאזי = )) ψ (w (s1 , . . . , sm
wH (s1 , . . . , sm ) = 1ומכאן אנחנו מקבלים ) R ⊆ ker ψ C F (Sאבל לכן .hhRii ≤ ker ψמכאן ψ
ϕ
ψ
w
∼ F(S)/hhRii
מתפרק ולכן יש לנו הדיאגרמה הבאה .F(S)/hhRii → H ,F (S) → F(S)/hhRii ,F (S) → Hאבל =
.hS|Ri = Gכיוון שני )"רק אם"( — אם קיים הומומורפיזם ψאזי ) ψ (wG (s1 , . . . , sm )) = wH (s1 , . . . , sm
ניתן כתרגיל.
תרגיל :24לזהות את החבורות הבאות )אלו אמורות להיות חבורות מוכרות(:
.1
.2
.3
.4
a, b, c|a2 cb−1 = aba−1 b−1
a, b|aba−1 b−1 , a4
a, b, c|a2 , b2 , c2 , abc
r, s|r6 , srs−1 = r−1
המטרה של התרגיל היא להראות שלא תמיד קל לזהות מההצגה את החבורה .זה אכן מגדיר ,אבל לא בהכרח
נותן את הצורה המוכרת .גם לא קל לדעת אם 2הצגות נותנות את אותה החבורה .אלו שאלות שבמחקר
שעדיין לא יודעים את התשובות על כולן.
השערה ) :25בעיית ברנסייד — :(1902אנחנו קובעים m, n ∈ Nומגדירים .ha1 , . . . , am |w (a1 , . . . , am )n = 1i
השאלה היא האם החבורה הזו סופית?
עובדה :26ברנסייד עצמו הוכיח שהתשובה חיובית אם .n = 2, 3סאנוב ) (Sanovהוכיח עבור .n = 4הול
) (Hallהוכיח עבור .n = 5ובסופו של דבר נוביקוב ואדיאן ) (Novikov & Adianהוכיחו ב־ 1968שלא עבור
m ≥ 2אם n ≥ 667ואיזוגי.
תרגיל :27להוכיח את משפט ברנסייד ל־.n = 2
7
4.1
4
אלגוריתם לזיהוי שוויון הצגות
הצגות ) (Presentationשל חבורות
הגדרה G :28חבורה נוצרת־סופית אם יש לה קבוצת יוצרים סופית.
מסקנה :29לקבוצה נוצרת־סופית יש הצגה hS|Riעם Sסופי.
הגדרה G :30מוצגת־סופית אם יש לה הצגה hS|Riעם S, Rסופיות.
הערה :31חבורה נוצרת־סופית היא בת־מנייה.
תרגיל :32האם כל חבורה שהיא בת־מנייה נוצרת־סופית?
בעיה :33חבורה שהיא מוצגת־סופית היא גם נוצרת־סופית .האם קיימת חבורה שהיא נוצרת־סופית ולא
מוצגת־סופית? )נענה עליה בהמשך הקורס(.
4.1
אלגוריתם לזיהוי שוויון הצגות
הגדרה :34פונקציה )חלקית( רקורסיבית היא פונקציה f : D⊆N → Nש־"ניתן לחשוב" ,זאת אומרת ,שקיימת
מכונת־טיורינג )שלא תוגדר בקורס הזה ,אלא בלוגיקה מתמטית ) (2או בחישוביות( שלוקחת קלט ) (a1 , . . . , ak
ומחזירה כפלט ) ) f (a1 , . . . , akאם ((a1 , . . . , ak ) ∈ Dאו לא עוצרת )אם .((a1 , . . . , ak ) ∈/ D
עובדה :35ניתן להגדיר את המחלקה של הפונקציות הרקורסיביות כמחלקה הקטנה ביותר שמכילה את
הפונקציות הקבועות ,הפונקציות של הטלה לקואורדינטה ,פונקציית העוקב; וסגורה תחת הרכבת פונקציות,
הגדרה רקורסיבית ,אופטרטור החיפוש — µמחזיר פונקציה שעבורה הקלט נותן תוצאה מזערית.
טענה :36קיימת פונקציה שאינה רקורסיבית .לא נוכיח טענה זאת כאן .ניתן לקרוא עליה יותר תחת "בעיית
העצירה".
k
הגדרה :37תהי .D ⊆ Nאומרים ש־ Dרקורסיבית אם הפונקציה האופיינית שלה רקורסיבית.
אומרים ש־ Dניתנת למנייה רקורסיבית )בראשי־תיבות — נל"ר( אם כאשר תכנת מחשב מקבלת איבר
כלשהו ,היא תיתן מתישהו תשובה חיובית אם הוא איבר בקבוצה ,או שאם לא תמשיך לרוץ ללא עצירה.
עובדה :38קיימת קבוצה שניתנת למנייה רקורסיבית שאינה רקורסיבית )לא נוכיח כאן(.
הגדרה S :39קבוצה של אותיות בת־מנייה )סופית או אינסופית( ונבחר סדר על Sשנרחיב על .S ∪ S −1
נגדיר Wsלהיות קבוצה של המילים ב־ .Sהסדר המילוני על Wsנותן לנו פונקציה "סבירה" )=רקורסיבית(
f : Ws → Nשהיא על וחח"ע .אומרים ש־ D ⊆ WSרקורסיבית אם ) f (Dרקורסיבית .אותה הגדרה גם לגבי
נל"ר.
4.2
בעיית ההחלטה של דהן )(Max Dehn
בעיה ) :40בעיית המלה( :האם יש אלגוריתם שלוקח הצגה סופית hS|Riשל חבורה ,Gומלה ) w (s1 , . . . , sn
ומחליט האם ?wG (s1 , . . . , sn ) = 1G
הערה :41במונחים שהגדרנו זה שקול ללשאול -האם hhRiiרקורסיבי?
ניתן למצוא אלגוריתם שעוצר אם ורק אם ,wG (s1 , . . . , sn ) = 1שכן ראינו כי wG (s1 , . . . , sn ) = 1אם
Q
.w (s1 , . . . , sn ) = ki=1 ui (s) ri±1 (s) u−1האלגוריתם מונה את
ורק אם w ∈ hhRiiוזה אם ורק אם )i (s
המילים שהם צמצום של מכפלה כזאת לפי סדר מילוני .זאת אומרת hhRii -נל"ר.
הגדרה :42אם Rריק ,אז יש אלגוריתם מחליט.
הערה :43קל לראות שיש אלגוריתם שמצמצם מלה.
בעיה ) :44בעיית ההצמדה( :שאלה שקולה :למצוא אלגוריתם שמחליט מתי 2מלים w, w0מייצגות את אותו
האיבר.
האם יש אלגוריתם שלוקח הצדה סופית G = hS|Riו־ 2איברים האם האיברים ) wG (s1 , . . . , smו־
0
) wG (s1 , . . . , smצמודים ב־.G
תרגיל :45להראות שיש אלגוריתם שעוצר אם ורק אם האיברים צמודים.
הערה :46בעיית ההצמדה יותר קשה מבעיית המלה .פתרון לראשונה הוא גם פתרון לשנייה .לדוגמה ,נוכל
לבדוק האם מלה צמודה לאיבר היחידה ,וכך נדע אם היא שווה ל־.1
בעיה ) :47בעיית האיזומורפיזם( :האם יש אלגוריתם שלוקח 2הצגות סופיות hS1 |R1 iו־ hS2 |R2 iומחליט
האם החבורות איזומורפיות.
8
5
5
בניית חבורות חדשות
בניית חבורות חדשות
ישנן דוגמאות בסיסיות לחבורות ,כגון Zאו ,Qוגם ,Z/nZוגם אנחנו מכירים את חבורות התמורות Snכחבורה
שפועלת על קבוצות איברים .אבל מעבר לזה יש המון חבורות ,ואחת השאלות היא איך יוצרים חבורות חדשות
מחבורות חדשות.
דוגמה :48בהינתן שתי חבורות נתונות ניתן להשתמש במכפלה הקרטזית שלהן — ,A × Bבמכפלה החצי ישרה
שלהן ,בחבורת מנה ועוד.
A∗B
הגדרה A, B :49חבורות .המכפלה החופשית של Aו־ Bהיא החבורה עם איברים מהצורה
}A ∗ B = {u1 u2 . . . un |ui ∈ A\ {1A } ∪ B\ {1B } ∧ ui ∈ A ⇐⇒ ui+1 ∈ B
והפעולה היא שרשור וצמצום כמו שראינו בחבורה החופשית.
טענה ) :50ללא הוכחה( זו חבורה.
∼ Z∗Z
תרגיל :51המכפלה החופשית של השלמים עם עצמם איזומורפית לחבורה חופשית על שני איברים — =
)}F ({a, b
הערה :52
A ∪ B .1מייצר את .A ∗ B
.2מכפלה u1 . . . urכך ש־ ui ∈ A ⇐⇒ ui+1 ∈ Bהיא לא טריוויאלית אם .r ≥ 1
טענה :53תהי Gחבורה A, B ≤ Gכך ש־ 1ו־ 2מתקיימים ,אזי Gאיזומורפית ל־ .A ∗ B
הוכחה :נגדיר .ϕ : A ∗ B → Gאיבר במקור הוא סדרה סופית שמקיימת את התנאים ,ונוכל לכפול אותם
כאיברים ב־ Gולקבל איבר ב־ .Gהומומורפיזם קל לראות .על מגיעה מ־ .1חח"ע מ־.2
תרגיל .G = A ∗ B :54להראות שלכל a ∈ Aאז .G = A ∗ aBa−1
טענה ) :55התכונה האוניברסלית( H .G = A∗B :חבורה .לכל הומומורפיזמים ϕA : A → Hו־ ϕB : B → H
יש הומומורפיזם ϕ : A ∗ B → Hכך ש־ ϕ|A = ϕAו־ ϕ|B = ϕBוהוא יחיד.
A ∗C B
הגדרה :56תהיינה A, B, Cחבורות )כאשר אנחנו חושבים על Cכתת־חבורה של Aו־ ,BכלומרjA : C ,→ A (:
ו־ jB : C ,→ Bשני מורפיזמים חח"ע .המכפלה הממוזגת המסומנת A ∗C Bאו A ∗jA (c)=jB (c) Bשל Aו־ B
מעל Cהיא המנה:
π
A × B −→ A∗B/hh{cA c−1
B |c∈C}ii
למה x1 , . . . , xn ∈ A\ {1A } ∪ B\ {1B } :57כך שהסדרה מתחלפת ) .(xi ∈ A ⇐⇒ xi+1 ∈ Bאם קיים
g ∈ A ∗ Bכך ש־ g = x1 . . . xn ∈ ker πאז יש iכך ש־) xi ∈ jA (cאו ).xi ∈ jB (c
−1
.g = hcA c−1אנחנו עובדים במכפלה החופשית ולכן h ∈ A ∗ Bולכן
הוכחה :נדבר רק על המקרה של
B h
.h = α1 β1 . . . αs βsנכתוב את gונקבל:
−1
−1
g = α1 β1 . . . αs βs cA c−1
αs . . . α1−1
B βs
−1
c−1אז כתבתנו את gכסדרה מתחלפת של איברים ב־ A, Bואחד מהאיברים בסדרה שייך
אם 6= 1
B βs
ל־).jA (c
−1
c−1אז צריך להמשיך בצמצום .ואז חוזרים לשלב הקודם ,אם יש לנו כפל ששונה מ־ 1אז
β
=
אם 1
B s
סיימנו כמו קודם .אם לא ,ממשיכים לצמצם.
9
5
בניית חבורות חדשות
הערה π|A :58ו־ π|Bחח"ע .למה? כי עבור ,a ∈ Aאם a ∈ ker πאזי )) a ∈ jA (cההסבר נקטע עם סוף
השיעור ,המשך יבוא.(...
הגדרה :59צורה סטנדרטית של (A-normal form) Aעבור g ∈ A ∗C Bהיא סדרה x0 , . . . , xnכך שמתקיים:
• x0 = c0Aעבור איזשהו .c0 ∈ C
• }xi ∈ {ai |i ∈ I} ∪ {bj |j ∈ J
• π (x0 x1 . . . xn ) = g
טענה :60כל איבר ב־ g ∈ A ∗C Bמקבל צורה נורמלית
הוכחה :קיום :יהא u1 . . . unאיבר ב־ ) A ∗C Bכך שה־ uiהמתחלפים בין Aל־ Bאינם טריוויאלים( .נוכיח
באינדוקציה על nשקיימת צורה נורמלית x0 , . . . , xlעבור ) π (u1 , . . . , unעם x1 ∈ Aאם ורק אם .u1 ∈ A
ואכן
) π (u1 , . . . , un ) = π (u1 ) π (u2 . . . un ) = π (u1 ) π (x0 x1 . . . xm ) = π u1 c0A π (x1 . . . xm
אם u1 ∈ Aאזי u2 ∈ Bולכן x1 ∈ Bולכן פשוט נכתוב u1 c0A = y0 y1עבור y0 ∈ CAעם }y1 ∈ {ai |i ∈ I
ונקבל צורה נורמלית .אם u1 ∈ Bאזי x1 ∈ Aונשים לב ש־ ,π u1 c0A = π u1 c0Bולכן נמשיך באופן דומה
עם .u1 c0Bהאורך של הצורה הנורמלית של ) π (u1 . . . unהוא לכל הפחות nאם האיברים uiאינם שייכים
ל־ CAאו .CB
יחידות :נסתכל על הקבוצה WAשל כל הצורות ה־A־נורמליות .נבנה פעולה של Aעל WAעל ידי:
(ax0 , x1 , . . . , xn ) if a ∈ CA
∈ (ax , x , . . . , x ) if a
/ CA ∧ x1 ∈ B ∧ ax0 = ax0 aj
0
1
n
= ) a · (x0 , x1 , . . . , xn
∈ (ax0 x1 , . . . , xn ) if a
/ CA ∧ x1 ∈ A ∧ ax0 x1 ∈ CA
∈ (ax0 x1 , . . . , xn ) if a
∈ / CA ∧ x1 ∈ A ∧ ax0 x1
/ CA ∧ ax0 x1 = ax0 x1 aj
Pפעולה של Bעל .WAלפי התכונה האוניברסלית של מכפלות
זו פעולה )בדוק!( .באופן דומה נגדיר
cA c−1
חופשיות ,מתקבל לנו הומומורפיזם ) (WA
→ ,A ∗ Bקבוצת כל התמורות על .WAהאיברים מהצורה B
פועלים טריוויאלית על ,WAלכן זה מורפיזם של .A ∗C Bעבור ,g ∈ A ∗C Bנסתכל על ) ,(x0 , x1 , . . . , xn
הצורה הסטנדרטית של .gלכן נוכל לראות כי ) ,g · (1) = (x0 , x1 , . . . , xnלכן לא יכולה להיות צורה נורמלית
אחרת עבור gשכן ) g · (1נקבע ביחידות.
מסקנה :61ההעתקה π|B : B → A ∗C B ,π|A : A → A ∗C Bהוא שיכון .לכן ניתן להסתכל על A, B
כתת־חבורות של .A ∗C Bמעתה והלאה נשתמש ב־ abuse of notationהזה.
הוכחה :אם ,a ∈ Aנוכל לכתוב את aבתור aaiעבור .a ∈ CAכעת אם ,π (a) = 1אזי הצורה הנורמלית
של 1היא גם הצורה הנורמלית של ) .π (aאבל הצורה הנורמלית יחידה עבור 1היא ) ,(1ולכן קיבלנו כי
ai = a = 1ולכן .a = 1
מסקנה :62עבור u0 , u1 , . . . , urכך ש־ ui ∈ A\C ∪ B\C ,u1 ∈ A ∪ B ,r ≥ 1עבור i ≥ 1ו־ ui ∈ Aאם
ורק אם .ui+1 ∈ Bאזי המכפלה u0 u1 . . . urאינה בגרעין של .π
הוכחה :בהוכחת הקיום של הצורה הנורמלית ראינו שהצורה הנורמלית של ) π (u0 u1 . . . urהיא מאורך .r
מיחידות זו אינה הצורה הנורמלית של ,1ולכן .π (u0 u1 . . . ur ) 6= 1
דוגמה :63
SL2 (Z) = Z/6Z ∗Z/2Z Z/4Z .1עם −1
1
0שיוצר את החבורה הראשונה ו־1
0
1
שיוצר את החבורה השנייה.
10
0
−1
5
בניית חבורות חדשות
.2למת ון־קמפן.
בנייה נוספת קשורה היא הרחבת :HN Nבהינתן חבורה עם שתי תת־חבורות איזומורפיות ,הוספת איבר
ש־"מכריח אותן" להיות צמודות.
הגדרה A, C :64חבורות ונניח שקיימים שני שיכונים ϕ1 : A → Cו־ ϕ2 : A → Cכך ש־ ϕ1 (c) = c1
ו־ .ϕ2 (c) = c2הרחבת HNNשל Aמעל Cהיא המנה של המכפלה החופשית A ∗ htiעם התת־חבורה
,tc1 t−1 c−1היא מסומנת A∗Cאו על ידי ) A∗C1 =C2וזהו כרגיל
הנורמלית שנוצרת על ידי האיברים מהצורה 2
.(Abuse of notation
נבחר מערכת של נציגים } {ai |i ∈ Iעבור C1ב־ ,Aו־} {aj |i ∈ Jעבור C2ב־ Aכך ש־= A = ti∈I C1 ai
.tj∈J C2 aj
הערה atk a0 :65איבר ב־ .A ∗ htiאם k > 0נכתוב a0 = a0 aiעבור ,a0 = c1 ∈ C1ו־ a = aajעבור a ∈ C1
נקבל:
π atk a0 = π atk−1 π ta0 t−1 π (aj ) = π atk−1 c2 aj
ונוכל לחזור על הפעולה )נכתוב c2 = c2 alעבור .c2 ∈ C1
אם k < 0נעשה דבר דומה ונכתוב a0 = a0 αiעבור .a0 = c1 ∈ C1
נגדיר את הצורה הנורמלית עבור g ∈ A∗Cכסדרה ) (x0 , t1 , x1 , . . . , tn , xnעבור } i ∈ {±1כך ש:
x0 ∈ A .1
xl .2הוא איבר של {ai }i∈Iאם l > 0או איבר של {aj }j∈Jאם l < 0ולא טריוויאלי אם i < r
.3אין תת־סדרה מהצורה t , 1, t−
π (x0 t1 x1 . . . tn xn ) = g .4
הערה :66המספר nייקרא האורך של הצורה הנורמלית.
נוכל להוכיח כמו במקרה של מכפלה ממוזגת:
טענה :67איבר g ∈ A∗Cמקבל צורה נורמלית יחידה.
הוכחה :קיום — אם h = u0 t1 u1 . . . tm umאיבר של A ∗ htiנכתוב מחדש מימין לשמאל כדי לקבל את
הצורה הנורמלית עבור ):π (h
.1נכתוב מחדש את האיבר a ∈ Aשאינו {ai }iאו {αj }jכ־ c1 aiאו ) c2 αjתלוי במעריך של ה־ tהמוביל(.
.2נחליף tc1ב־ ,c2 tאו שנחליף את t−1 c2על ידי .c1 t−1
יחידות — אותה הוכחה כמו במכפלה ממוזגת.
מסקנה :68ההומומורפיזם π|Aהוא חח"ע.
הוכחה :אם ,a ∈ Aהצורה הנורמלית של ) π (aהיא .aלכן אם π (a) = 1נקבל .a = 1
למה ) 69הלמה של בריטון( h ∈ A ∗ hti :אזי ניתן לכתוב את hבתור h = u0 t1 u1 . . . tm umכאשר ,u ∈ A
.m ≥ 1אם ,h ∈ ker πאז במלה הזו קיים iכך ש־ i+1 = −1 ,i = 1ו־ ui ∈ C1או הפוך,i = −1 ,
i+1 = 1ו־ .ui ∈ C2
טענה :70אם f ∈ A∗cמסדר סופי ,אז f ∈ Agל־ .g ∈ A∗c
הוכחה :נכתוב את fכתמונה על ידי . f = π (u0 t0 . . . tm um ) — πעד כדי הצמדה של fניתן להניח:
11
6
פתרונות לתרגילים
• .um = 1הצמדה על ידי ) .π (um
• אם ) u0 ∈ C1זה אחרי ההצמדה!( ,אז או ש־ 1 = 1או .m = −1אם u0 ∈ C2אז 1 = −1או
ש־.m = 1
עכשיו .f k = 1נכתוב )) .f k = π ((u0 t0 . . . tm ) (u0 t0 . . . tm ) . . . (u0 t0 . . . tmעכשיו נשתמש
בבריטון מספר פעמים רצוף .לא רק שבתוך כל מלה בנפרד אין pinchלפי בריטון ,אלא גם ,tm u0 t1 6= 1
אבל זו סתירה כי זה אמור להיות שווה ל־ ,1ולכן m = 0ז"א .f ∈ π (u0 ) ∈ A
תרגיל :71להוכיח שאיבר מסדר סופי במכפלה חופשית A ∗ Bצמוד לאיבר של Aאו של .B
6
פתרונות לתרגילים
יש חבורה בת־מנייה שהיא לא נוצרת־סופית.
טענה :72כל חבורה בת־מנייה מקבלת שיכון בחבורה נוצרת־סופית.
בת־מנייה ,ותהא } {a0 , a1 , . . .מנייה שלה .נגדיר את החבורה ) A = G ∗ hsiאנחנו
הוכחה :תהא Gחבורה
מוסיפים אות( ,ונגדיר את S = a0 , sa1 s−1 , s2 a2 s−2 , . . .זו קבוצה בת־מנייה וניתן להוכיח שהיא חופשית
ב־ .Aנגדיר
∼ H1 = a0 , sa1 s−1 , s2 a2 s−2 A
= Fω
)איזומורפית לחבורה החופשית מסדר אומגה( .נגדיר כעת
∼ H2 = sa1 s−1 , s2 a2 s−2 , . . . A
= Fω
לכן שתי החבורות איזומורפיות .נקח:
A, t|ta0 t−1 = sa1 s−1 , t sa1 s−1 = s2 a2 s−2 , . . .
G, s, t|ta0 t−1 = sa1 s−1 , t sa1 s−1 = s2 a2 s−2 , . . .
=
A∗H1 =H2
=
החבורה הזו נוצרת על ידי s, t, a0לפי כללי המעבר שלנו ו־ Gתת־חבורה שלה.G ≤ A ≤ A∗H1 =H2 ,
בעיה :73האם אפשר לכל חבורה בת־מנייה למצוא שיכון בתוך חבורה מוצגת־סופית?
טענה :74הקבוצה של החבורות הנוצרות־סופית היא לא בת־מנייה.
הוכחה :נגדיר Pלהיות המספרים הראשוניים .לכל P ⊂ Pאינסופית נבנה חבורה GPשנוצרת סופית .אז
נראה שאם נקח P, Q ⊂ Pשונים ,אזי GPו־ GQלא יהיו איזומורפיות .נגדיר
ZP = ⊕ Z/pZ
p∈P
החבורה הזו לא נוצרת־סופית ,אז נשתמש באותו טריק כמו קודם ונגדיר .Ap = ZP ∗ hsiמהטענה קודם נקבל
ZP ≤ AP ≤ AP ∗H1 =H2 = GP
מכאן GPנוצרת סופית .נניח ש־ P 6= Qאזי יש p ∈ Pכך ש־ .p ∈/ Qמהבנייה של ZPיש בה תת־חבורה
מסדר ,pבעוד ב־ ZQאין ,ולכן גם ב־ GPולא ב־ .GQאם הן איזומורפיות ,אזי יש איבר f ∈ GQמסדר .p
מההוכחה אחרי הלמה של בריטון נובע שמתקיים
f ∈ AQ = ⊕ Z/qZ ∗ hsi
q∈Q
לכן אם יש איבר מסדר־סופי הוא צריך להיות באחד הצדדים של המכפלה החופשית .בצד ימין אין אף איבר
מסדר סופי ,ובצד שמאל יש רק איברים מסדר ,q ∈ Qובסתירה .לכן הן לא איזומורפיות.
12
6
פתרונות לתרגילים
טענה :75יש מספר בן־מנייה של חבורות מוצגות־סופית.
הוכחה :נכתוב
}Mn = {hS|Ri | |S| , |R| ≤ n ∧ for all r ∈ R the length of n as a word in S is ≤ n
S
ונקבל n∈N Mnקבוצת כל ההצגות הסופיות .זה איחוד בן־מנייה של קבוצות סופיות ולכן הוא בן־מנייה.
מסקנה :76יש חבורות נוצרות־סופית שאינן מוצגות־סופית.
בעיה :77הטענות שהוכחנו מעלות שאלה :האם אפשר למצוא לכל חבורה נוצרת־סופית שיכון בתוך חבורה
מוצגת־סופית?
הערה :78נספור את התת־חבורות הנוצרות־סופית של חבורה מוצגת־סופית — ,G = hS|Riנסמנם
}VGn = {hh1 , . . . , hk iG |k ≤ n ∧ ∀i hi ≤ n as a word in S
נסתכל על
[
VGn
[
=G
finite representation n∈N
hS|Ri
בת־מנייה .לכן התשובה לשאלה היא שלילית.
משפט ) 79היגמן :(1961 ,חבורה נוצרת־סופית ניתנת לשיכון בחבורה מוצגת־סופית אם ורק אם יש לה הצגה
רקורסיבית.
הגדרה hS|Ri :80הצגה רקורסיבית אם Sסופית ו־ Rניתנת למנייה רקורסיבית.
טענה :81יש חבורה נוצרת־סופית שבעיית המלה שלה לא פתירה.
הוכחה :עבור חבורה לא נוצרת־סופית
G = t, a1 , a2 , . . . |tai t−1 = ai ⇐⇒ i ∈ D
כאשר Dקבוצה לא רקורסיבית G .הרחבת HN Nשל ) H = ha1 , a2 , . . . |iהחבורה החופשית( עם
.H1 = H2 = hai |i ∈ Diכעת נוכל להשתמש בלמת בריטון ולכן היחס tai t−1 = aiקיים ב־ Gאם ורק אם
tai t−1 a−1או לא ,אזי הוא יודע להגיד
.i ∈ Dאלגוריתם שפותר את בעיית המלה ב־ Gיודע להגיד אם = 1
i
אם i ∈ Dאו לא ,וזו סתירה.
לא סיימנו כי בחרנו חבורה שאינה נוצרת־סופית .נגדיר כעת
G0 = t, a, b|t bi ab−i t−1 = bi ab−i ⇐⇒ i ∈ D
כעת G0נוצרת־סופית ובעיית המלה של גם לא פתירה.
מסקנה :82קיימת חבורה מוצגת־סופית שבעיית המלה שלה לא פתירה.
הוכחה :נשתמש במשפט היגמן .בהוכחה הקודמת אפשר לקחת את Dלא רקורסיבית אבל ניתנת למנייה
רקורסיבית .לכן לפי משפט היגמן G0תת־חבורה של חבורה מוצגת־סופית G00ואז בעיית המלה של G00לא
פתירה )תרגיל(.
תרגיל H ,H ≤ G :83נוצרת־סופית עם בעיית המלה ,לא פתירה ,אז בעיית המלה של Gגם לא פתירה.
טענה :84בעיית האיזומורפיזם לא ניתנת לפתרון כללי לחבורות מוצגות סופית.
13
6
פתרונות לתרגילים
הוכחה :נבנה קבוצה אינסופית של הצגות שאיזומורפיות רק אם תנאי לא רקורסיבי מתקיים .יהי Gמוצגת־
סופית G = ha1 , . . . , am |Ri ,שבעיית המלה שלה אינה פתירה .לכל מלה מצומצמת wב־} {a1 , . . . , am
נגדיר:
Hw = a1 , . . . , am , s, t|R, t si ai s−i t−i = si w (a1 , . . . , am ) s−i
• אם w (a1 , . . . , am ) = 1ב־ Gאזי ב־ t si ai s−i t−1 = 1 Hwולכן .ai = 1אז Hw = ha1 , . . . , am |∀1≤i≤m ai = 1i
ולכן זו החבורה החופשית מעל }.{s, t
i
• אם w (a1 , . . . , am ) 6= 1ב־ Gאזי ב־ ,G∗hsiהקבוצות si ai s−i |1 ≤ i ≤ mו־ s w (a1 , . . . , am ) s−i |1 ≤ i ≤ m
הן חופשיות )הוכחנו זאת קודם לכן( ,אז תת־החבורות
H1 = si ai s−i |1 ≤ i ≤ m
H2 = si ws−i |1 ≤ i ≤ m
איזומורפיות ו־ Hwהיא ההרחבת HN Nהמתאימה.
לכן Gתת־חבורה של ) Hwהוכחנו שקיים שיכון קנוני במקרה של .(HN Nלכן אין פתרון לבעיית המלה
של Hwונקבל ש־ Hwאינה החבורה החופשית .אם יש אלגוריתם שפותר את בעיית האיזומורפיזם על
החבורות Hwאזי הוא גם פותר את בעיית המלה של .G
14
7
גרפי קיילי
חלק II
חבורות כמרחבים
7
)lS (g
גרפי קיילי
הגדרה :85תהי Gחבורה S ,קבוצת יוצרים )נחשוב על Sכסופית ,אבל ההגדרות תקפות גם עבור Sאינסופית(.
אורך המלה של איבר g ∈ Gיחסית ל־ Sזה
}}ls (g) = min {r|g = s11 . . . srr s.t. si ∈ S ∧ i ∈ {±1
מטריקת המילים על Gיחסית ל־ Sהיא .ds (g, h) = l g−1 h
תרגיל :86
.1לבדוק מה זה מטריקה )למי שלא יודע(.
.2לבדוק ש־ dsהיא מטריקה.
הערה :87
• ל־ dsיש ערכים ב־ ,Nולכן המטריקה דיסקרטית )אבל היא אינה המטריקה הדיסקרטית(.
• המטריקה לא משתנה על ידי כפל מצד שמאל — ) .ds (h1 , h2 ) = dS (gh1 , gh2לכן הפעולה של Gעל
עצמה על ידי מכפלה משמאל היא פעולה ע"י איזומטריות ) g 7→ (fg : G → Gשמעבירה .h 7→ ghלכל
f g ,gאיזומטריה של .dS
)X (G, S
הגדרה G :88חבורה ו־ Sקבוצת יוצרים סופית שאינה מכילה את היחידה .גרף קיילי של Gהמסומן )X (G, S
של Gיחסית ל־ Sהוא הגרף שקודקודיו הם איברים של Gובין שני קודקודים יש צלע אם ורק אם המרחק
ביניהם .1
הערה :89זה גרף פשוט ,ז"א אין לולאות )צלע מקדקוד לעצמו( ואין צלעות כפולות.
דוגמה :90
שכניו.
• ) .S = {1} ,G = (Z, +הגרף הוא פשוט ציר ה־ Zומכל קודקוד יוצאות 2צלעות לשני
• ) .S = {2, 3} ,G = (Z, +יש צלע בין כל שני איברים שרחוקים 2או 3אחד מהשני.
• .S = {(1, 0) , (0, 1)} ,G = Z2זה ייראה בדיוק כסריג השלמים הרגיל.
• .S = {1G } ,G = Z/nZזה יהיה מעגל פשוט שמספר קודקודיו כמספר האיברים בחבורה.
למה :91גרף קיילי קשיר ורגולרי
הוכחה S :מייצר ,ולכן לכל g ∈ Gיש מסלול בין איבר היחידה לבינו .אפשר לכתוב את g = s11 · · · · · srr
סמוכים בה יש צלע ,מהגדרת הגרף .לכן קשיר.
איברים
וקיבלנו מסלול באורך ,rשבין כל שני
) X (G, Sרגולרי כי לכל קדקוד gיש S ∪ S −1שכנים.
• הפעולה של Gעל עצמה )במכפלה משמאל( מגדירה פעולה של Gעל הקדקודים של
הערה :92
) X (G, Sויש לה הרחבה קנונית לפעולה על כל הגרף) .קיום צלע בין h1ל־ ,h2זה אומר ש־
dS (h1 , h2 ) = 1ולכן לכל g ∈ Gנשמר dS (gh1 , gh2 ) = 1וזה אומר שיש צלע ,ולכן הגרף נשמר.
• אפשר לשים מטריקה על ) X (G, Sבזה שמזהים כל צלע לקטע ] [0, 1ב־) Rלא מוסבר איך( .אז אפשר
לראות שהפעולה שהגדרנו של Gעל ) X (G, Sהיא פעולה ע"י איזומורפיזם.
למה :93אם אין ב־ Sאיבר מסדר ,2אזי הפעולה של Gעל הגרף שלה חופשית.
הגדרה :94פעולה תיקרא חופשית אם g · x = xעבור נקודה מסויימת ,אזי .g = 1Gבלשון אחרת ,פירושו
שאין מייצבים .נשים לב :זה יותר חזק מפעולה נאמנה.
15
8
קוואזי־איזומטריות
הוכחה x ∈ X ,g ∈ G :כך ש־.g · x = x
• xקדקוד ,x ∈ G ,אזי ,gx = xוזו מכפלה ב־ Gולכן .g = 1
• xהיא צלע בין ,g · x = x .h, hsאזי } .g · {h, hs} = {h, hsמכאן ,או ש־ gh = hו־ g · hs = hsאבל
אז מקבלים שוב ש־ .g = 1אחרת ,אחרת ,מתקיים gh = hsו־ ,ghs = hועל ידי הצבה נקבל hss = h
ולכן ,s2 = 1וזה בסתירה .לכן חופשית.
דוגמה .X (Z/2Z, {1}) :95בגרף יש שני איברים ,המחוברים בצלע .האיבר 1משמר צלע ואכן הוא איבר מסדר
.2
הערה :96אם Sמקיימת ∅ = ) S ∩ S −1בפרט ,אין ב־ Sאיבר מסדר ,(2אפשר לתייג את הצלע בין hל־hs
עם sולכוון אותה כ־) .(h, hsהלכה למעשה אנחנו מוסיפים לגרף שלנו מידע על כיוון צלעות.
כעת אפשר לראות כי הפעולה של Gעל ) X (G, Sשומרת את התגים )).(g · (h, hs) = (gh, ghs
למה :97אם Gחופשית מעל ,Sאז ) X (G, Sהוא עץ
הגדרה :98גרף יכונה עץ אם הוא קשיר וחסר־מעגלים.
הוכחה :נניח שיש לנו מעגל ממש ב־) ,X (G, Sופירושו סדרת קדקודים )(g, gs1 , gs1 s2 , . . . , gs1 . . . sn = g
ונניח שזהו המעגל הקצר ביותר .מכך שמדובר במעגל מתקיים כי s1 · · · · · sn = 1המלה לא מצומצמת .לכן
.s−1מכאן מדובר שזה לא מעגל ממש ,בסתירה.
יש iכך ש־ = si+1
i
מסקנה :99חבורה חופשית פועלת חופשית על עץ.
בהמשך הקורס נראה כי זה נכון גם בכיוון השני.
טענה G :100חבורה ו־ Sקבוצת יוצרים ,כך ש־∅ = .S ∩ S −1אזי ) X (G, Sעץ אם ורק אם Gפועלת
חופשית על .S
הוכחה :נסתכל על מלה ב־ S ∪ S −1מהצורה s11 . . . srrב־) ,F (Sכאשר si ∈ Sו־} .i ∈ {±1כעת נסתכל על
המסלול 1, s11 , s11 s22 , . . . , s11 . . . srrב־)) X (G, Sזהירות ,abuse of notation :שכן כל איבר הוא גם של G
וגם של ) .(F (Sאם המכפלה היא 1ב־ ,Gאזי המסלול הזה מעגל .היות ש־) X (G, Sהוא עץ לפי ההנחה ,סימן
i+1
i−1
i−1 i i+1
si i si+1היא 1ב־ .Gאם i · i+1 = −1
,s11 . . . si−1ולכן המכפלה
si si+1 = s11 . . . si−1
שקיים iכך ש־
−1
אזי si = si+1ולכן המלה לא מצומצמת .אם i i+1 = 1נקבל כי ∅ = S ∩ S 6בניגוד להנחה.
לכן ,אם המלה מצומצמת ,אזי האיבר של Gשהוא מייצג אינו היחידה ,ולכן Sחופשי ב־ .Gהיות ש־ Sיוצר
את ,Gנקבל כי Gפועלת חופשי על .S
8
קוואזי־איזומטריות
גרפי־קיילי מכילים בעיה מובנית — הם תלויים בבחירת קבוצת היוצרים.
הגדרה :101יהיו ) (X, dXו־) (Y, dYמרחבים מטריים ,ו־ .D > 0 ,C ≥ 1העתקה f : X → Yהיא
שיכון־)(C, D־קוואזי־איזומטרי אם לכל x1, x2ב־ Xמתקיים
1
dX (x1 , x2 ) − D ≤ dY (f (x1 ) , f (x2 )) ≤ CdX (x1 , x2 ) + D
C
הערה :102
שיכון־קוואזי־איזומטרי אינו בהכרח שיכון .בנוסף ,הוא גם לא בהכרח רציף.
16
9
קוואזי־איזומטריה של חבורות
דוגמה :103דוגמאות לשיכונים קוואזי־איזומטריים — Zב־ ,Rהספירלה הלוגריתמית
))(x · cos (log x) , x sin (log x
דוגמה לשיכון שאינו קוואזי־איזומטרי — Z → Rבצורה .n 7→ n3
הגדרה :104תהא f : X → Yשיכון־)(C, D־קוואזי־איזומטרי .נניח שלכל y ∈ Yקיים x ∈ Xכך שמתקיים
dY (f (x) , y) ≤ D
אזי נאמר כי fהיא קוואזי־איזומטריה ,וש־ Xו־ Yהם קוואזי־איזומטריים.
נשים לב כי זהו יחס שקילות .הבדיקה מושארת לקורא.
טענה :105שני מרחבים מטריים X, Yהם קוואזי־איזומטריים ,אם ורק אם קיימות העתקות f : X → Y
ו־ g : Y → Xוקבועים C, D > 0כך שלכל x, x0 ∈ Xו־ y, y0 ∈ Yמתקיים:
][dY (f (x) , f (x0 )) ≤ CdX (x, x0 ) + D] ∧ [dX (g (y) , g (y 0 )) ≤ CdY (y, y 0 ) + D
][dX (x, g (f (x))) ≤ D] ∧ [dY (y, f (g (y))) ≤ D
הוכחה :מושארת כתרגיל.
9
קוואזי־איזומטריה של חבורות
טענה G :106חבורה ,ו־ S1 , S2שתי קבוצות יוצרים סופיות של .Gהעתקת הזהות היא קוואזי־איזומטריה בין
) (G, dS1ל־) .(G, dS2
הוכחה :נסמן i : G → Gלהיות העתקת היחידה .נסמן } C1 = max {lS2 (s) |s ∈ S1ו־} .C2 = max {lS1 (s) |s ∈ S2
קל לראות כי ) lS2 (g) ≤ C1 lS1 (gובאופן דומה עבור .C2לכן קיבלנו
) dS2 (i (g) , i (g 0 )) = lS2 g −1 g 0 ≤ C1 lS1 g −1 g 0 = C1 dS1 (g, g 0
ובאופן דומה ) .dS1 (i (g) , i (g0 )) ≤ C2 dS2 (g, g0הזהות היא כמובן הופכית לעצמה ,וסיימנו.
נשים לב שההנחה ש־ Siסופיות חשובה :עבור Zעם קבוצת היוצרים N+יש קוטר סופי .מעתה ,למשך כל
הקורס — אלא אם כן ייאמר אחרת — נסתכל אך ורק על קבוצת יוצרים סופית ונדבר על קוואזי־איזומטריה של
Gמבלי לציין את קבוצת היוצרים.
סופיות של Sחשובה כדי שהתכונה הבאה תתקיים:
הערה :107תהא Gחבורה עם המטרקיה dSעבור קבוצה סופית .Sהכדור מרדיוס Rב־) (G, dSסופי.
נשים לב שישנן חבורות קוואזי־איזומטריות שאינן איזומורפיות.
דוגמה G :108קוואזי־איזומטרית לחבורה הטריוויאלית אם ורק אם היא סופית f : 1 → G .היא קוואזי־
איזומטריה .בכיוון השני ,נשתמש בלמה מהפרק הקודם ונסיים.
Z × Z/2, D∞ , Zקוואזי־איזומטריות ואינן איזומורפיות.
טענה :109אם Hתת־חבורה מאינדקס סופי של חבורה נוצרת־סופית ,Gאזי Hו־ Gקוואזי־איזומטריות.
חבורה נוצרת־סופית קוואזי־איזומטרית ל־ Zהיא ,''virtually Zופירושו — היא מכילה את Zכתת־חבורה
מאינדקס סופי.
חבורה שגרף־קיילי שלה קוואזי־איזומטרי לעץ היא .virtually free
הערה :110הטענה המשלימה עבור חבורות שקוואזי־איזומטריות לחבורה אבלית חופשית נכון גם כן ,אך
הוכחתו קשה יותר.
17
10
10
אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות
אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות
מה המבנה הגיאומטרי של חבורה מספר לנו על המבנה האלגברי שלה? בפרק זה נצטט מבלי להוכיח כמה
משפטים גדולים בהקשר זה.
10.1
גידול בחבורות
הגדרה G :111חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית .Sפונקציית הגידול של Gביחס ל־ Sהיא הפונקציה
β(G,S) : N → Nהמוגדרת על ידי
}β(G,S) (n) = B(G,S) (n) = {g ∈ G|lS (g) ≤ n
דוגמה :112חבורה אבלית חופשית מסדר 2עם קבוצת יוצרים קנונית ,הכדור מרדיוס nב־ Z2הוא מסדר
) (n + 1)2 + n2הוא ריבוע עם פאות בגודל n + 1ועוד צד באורך .(n
נסתכל על G = Z2עם היוצרים }) ,S = {(1, 0) , (0, 1נקבל את שריג השלמים בתור גרף קיילי.
תרגיל :113להוכיח כי פונקציית הגידול של Zdעם קבוצת היוצרים הקנונית היא פולינום במעלה .d
β1 ≺ β2 ,הגדרה β1 , β2 :114שתי פונקציות N → Nלא יורדות .נאמר כי β1 ) β1 ≺ β2שולט ב־ (β2אם ורק אם קיימים
A, B ≥ 0 β1 ∼ β2כך שלכל n ∈ Nיתקיים:
β1 (n) ≤ Aβ2 (An + B) + B
באופן דומה ,נאמר כי β1 ) β1 ∼ β2שקולה ל־ (β2אם ורק אם כל פונקציה שולטת ברעותה.
עובדה :115אם β1 ∼ β2ו־ β1ליניארית )או פולינומיאלית ,או אקספוננטיאלית( ,אזי גם .β2
למה :116אם יש שיכון קוואזי איזומטרי של חבורה ) (G, dsלחבורה ) (H, dτאזי:
) β(G,s) ≺ β(H,τ
הוכחה(C, D) f : g → H :־שיכון קוואזי איזומטרי .מתקיים:
|β(G,s) (n) = |B
)כאשר ) ,B = BG (nהכדור בחבורה ברדיוס .(nנסתכל על הכדור הזה שהוא סביב אחד ועל התמונה שלו
ונקבל:
d (f (g) , f (1)) ≤ Cd (g, 1) + D ≤ Cn + D
)|f (B)| ≤ β(H,τ ) (Cn + D
אם ) ,f (g) = f (g0אז מקבלים )שיכון קוואזי איזומטרי אומר שהמרחק לא נעשה יותר מדיי גדול ממה שהיה,
וגם לא יותר מדיי קטן ממה שהיה(:
1
d (g, g 0 ) − D ⇒ d (g, g 0 ) ≤ CD
C
≥ )) d (f (g) , f (g 0
18
10.2
10
הצגות סופיות
אינווריאנטים לקוואזי־איזומטריות
שתי נקודות שמעתקות ע"י fלא יכולות להיות רחוקות מדיי .לכן ,עבור h ∈ Hמתקיים ≥ )βG (CD
ולכן
) f −1 (hומכאן נובע כי |) .|B| ≤ βG (CD) · |f (Bחישבנו כבר את ) f (Bולכן נקבל ביחד:
)β(G,s) (n) = |B| ≤ βG (CD) · β(H,τ ) (Cn + d
והיות ש־) βG (CDקבוע ,ולכן מהגדרה ) .β(G,s) ≺ β(H,τ
מסקנה :117מחלקת השקילות של פונקציות גידול של חבורה לא תלויה בקבוצת יוצרים .למעשה היא תלויה
רק במחלקת קוואזי איזומטריה של החבורה .בנוסף ,אם Gמאינדקס סופי ב־ ,Hאזי ) .β(G,s) ∼ β(H,τ
דוגמה :118אם Aחבורה אבלית נוצרת־סופית ,אזי לפי משפט המבנה:
A = Zd ⊕ Z/a1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/al Z
ו־ Zdמאינדקס סופי ב־ ,Aולכן כל פונקציות גידול של Aהיא פולינום ממעלה .d
תרגיל :119להוכיח שגידול של חבורה נילפוטנטית היא לכל היותר פולינומיאלית )משפט גרומוב(.
הגדרה :120חבורה Gתיקרא נילפוטנטית אם } G = G0 ≥ G1 ≥ · · · ≥ Gn = {1כך ש־ Gi+1/Giמרכזי
ב־ ) G/Giהאיברים בראשון מתחלפים עם כל האיברים בשני( .דרך אחרת להגיד זאת ,היא שלכל ,gi ∈ Gi
g ∈ Gמתקיים כי .[g, gi ] ∈ Gi+1
משפט ) 121גרומוב( G :חבורה נוצרת־סופית .הגידול של Gפולינומיאלי אם ורק אם ל־ Gיש תת־חבורה
נילפוטנטית מאינדקס סופי.
10.2
הצגות סופיות
משפט G1 , G2 :122נוצרות סופית וקוואזי איזומטריות .אם G1מוצגת־סופית ,אז גם .G2
19
11
למת שוורץ־מילנור
חלק III
פעולות גיאומטריות
ראינו שניתן להסתכל על חבורות כמרחב־מטרי ,גרף־קיילי ,שעליו היא פועלת חופשית .באופן כללי יותר ,תורת
החבורות הגיאומטרית מנסה להשיג מידע אלגבראי אודות חבורה על ידי הסתכלות על הפעולות הגיאומטריות
ˇ
Svarc-Milnor
שבהן חבורה פועלת על המרחב .הקשר בין שני אלו ניתן על ידי הלמה של שוורץ־מילנור )
,(Lemmaשטוענת שאם חבורה פועלת "מספיק יפה" על מרחב מטרי ,אזי מרחב־מטרי זה הוא קוואזי־איזומטרי
לגרף קיילי.
11
למת שוורץ־מילנור
זהו המשפט היסודי של תורת החבורות הגיאומטרית .נזדקק למעט הגדרות קודם.
הגדרה X :123מרחב מטרי .קטע גאודזי הוא שיכון איזומטרי של קטע [0, a] ⊂ Rאל ,Xופירושו — העתקה
γ : [0, a] → Xכך שלכל ] s, t ∈ [0, aמתקיים
|dX (γ (s) , γ (t)) = |s − t
קרן גיאודזית היא קטע גאודזי ,עבורו ∞ = .aישר גאודזי הוא שיכון איזומטרי של Rכולו.
הגדרה :124מרחב מטרי Xנקרא גאודזי אם לכל שתי נקודות ,x, y ∈ Xקיים קטע גאודזי γ : [0, a] → X
כך ש־ γ (0) = xו־.γ (a) = y
דוגמה R2 :125גאודזי ,אבל ] R\ [0אינו .אם Xהינו גרף שבו כל קדקוד מזוהה עם ] [0, 1והמרחק בין שתי
נקודות הוא האינפימום )מינימום למעשה( של המרחקים של מסלולים ביניהם ,אזי Xגיאודזי.
∞
הגדרה :126יהא ) (X, dמרחב מטרי .תת־קבוצה A ⊂ Xהיא קומפקטית סדרתית אם כל סדרה (an )n=1
מכילה תת־סדרה (ank )nk ∈Nשמתכנסת לנקודה .a ∈ Aבקורס זה — היות שאנו עובדים עם מרחבים מטריים
בעיקר — נכנה "מרחבים קומפקטיים סדרתית" פשוט "מרחבים קומפקטיים" .הגדרה נוספת למרחבים כאלה היא
שהם שלמים )כל סדרת קושי מתכנסת( וחסומים כליל )מכוסים על ידי מספר סופי של כדורים ברדיוס εלכל
.(ε > 0
∞
הערה :127קומפקטיות גוררת קוטר סופי .אם Aלא חסומה ,נקח נבנה סדרה (xn )n=1כך ש־> ) d (xn+1 , xn
,d (xn , x1 ) + 1ולא ייתכן שהיא מתכנסת שכן היא אינה קושי.
עובדה :128ב־ Rnתת־קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה .בגרף מטרי ,תת־גרף הוא
קומפקטי אם ורק אם הוא סופי.
הגדרה :129מרחב מטרי מכונה נאות אם הכדורים הסגורים הם קומפקטיים.
הגדרה :130תהא Gחבורה הפועלת על מרחב מטרי .Xנאמר כי הפעולה היא לא רציפה אם לכל תת־קבוצה
קומפקטית ,K ⊂ Xהקבוצה }∅ = {g ∈ G|g · K ∩ K 6סופית.
הערה :131בחלק מספרי הלימוד תכונה זו מוגדרת כך — "לכל נקודה ישנה סביבה פתוחה Uכך שהקבוצה
}∅ = {g ∈ G|g · U ∩ U 6סופית" .עבור מרחבים קומפקטיים־מקומית ,ההגדרות שקולות.
חבורה Gעל מרחב מטרי Xתיקרא קוקומפקטית אם קיימת תת־קבוצה קומפקטית
הגדרה :132פעולה של S
K ⊂ Xכך ש־ .X = g∈G g · K
• פעולה של חבורה על גרף היא קוקומפקטית אם ורק אם קיימים מספר סופי של מסלולים
דוגמה :133
מקדקודים לצלעות .לדוגמה ,הפעולה של חבורה על הגרף־קיילי של עצמי היא קוקומפקטית.
• הפעולה של Zעל ) Rלדוגמה ,על ידי לקיחת אינטרבל חסום מאורך ,(1של Z2על ) R2באותו אופן(
היא קוקומפקטית.
20
11
למת שוורץ־מילנור
• באופן כללי ,הפעולה של π1של מרחב־טופולוגי קומפקטי קומפקטי־מקומית קשיר־מסליתית על הכיסוי
האוניברסלי שלו הוא קוקומפקטי.
• הפעולה של Zעל R2אינה קוקומפקטית.
למה ) 134שוורץ־מילנור( X :מרחב מטרי גאודזי נאות G .חבורה שפועלת על Xבפעולה קוקומפקטית
דיסקרטית נאותה ,אזי Gנוצרת־סופית ,ולכל x0 ∈ Xההעתקה:
G→X
g 7→ g · x0
היא קוואזי איזמוטריה.
הוכחה :יהי x0 ∈ X
S
• קוקומפקטיות גורר ש־ Kקומפקטי כך ש־ g · K
• קיים D ≥ 0כך ש־ ) K ⊆ B x0 , D3החלוקה ב־ 3תתברר עוד מעט(.
S
• אם ) B = B (x0 , Dאזי .X = g∈G g · B
g∈G
= .Xנרצה להחליף את Kבכדור סביב .x0
• Xנאות ,ולכן Bקומפקטי.
• הפעולה דיסקרטית נאותה ,לכן הקבוצה }∅ = S = {g ∈ G|B ∩ g · B 6סופית.
• — g ∈ Gנחלק את הקטע הגאודזי בין x0ל־ g ·x0עם נקודות x0 , x1 , . . . , xk−1 , xkכך ש־≤ ) d (xi , xi+1
. D3
• כל xiנמצא בתוך gi B D3עבור .gi ∈ Gנטען כי ∅ = .gi · B D3 ∩ gi+1 · B D3 6זאת שכן:
D D D
+
+
=D
3
3
3
= .B ∩ gi−1 gi+1 B
ולכן .d x0 , gi−1 gi+1 x0 ≤ Dמכאן נקבל כי החיתוך לא ריק ,כי ∅ 6
≤ ) d (gi x0 , gi+1 x0 ) ≤ d (gi x0 , xi ) + d (xi , xi+1 ) + d (xi+1 , gi+1 x0
• לכן .gi−1 gi+1 ∈ Sנסמן .gi−1 gi+1 = si+1נוכל לכתוב אם כן .g = s1 s2 . . . sk
• Sקבוצת יוצרים ל־ Gוגם .ls (g) ≤ k ≤ D3 d (x0 , gx0 ) + 1
• מצד שני ,אם g = t1 t2 . . . tlעם .ti ∈ Sאזי )השוויון השני נובע מכך שהפעולה היא איזומטריה(
) d (x0 , gx0 ) ≤ d (xo , t1 x0 ) + d (t1 x0 , t1 t2 x0 ) + · · · + d (tl . . . tl−1 x0 , gx0
) = d (xo , t1 x0 ) + d (x0 , t2 x0 ) + · · · + d (x0 , tl x0
≤ l · max {d (x0 , sx0 ) |s ∈ S} := lC
• בפרט ). C1 d (x0 , gx0 ) ≤ ls (g
• לכן g 7→ gx0שיכון קוואזי־איזומטרי ולכל ,x ∈ Xיש g ∈ Gכך ש־ .x ∈ g · B gx0 , D3
טענה .1 :135אם Hתת־חבורה מאינדקס סופי של ,Gנוצרת־סופית ,אז Hגם נוצר סופית ו־ Hקוואזי־
איזומטרית ל־.G
21
12
חבורות חופשיות ועצים
.2אם N ,N C Gסופית ,אז Gו־ G/Nקוואזי־איזומטריות.
הוכחה:
.1נסתכל על הפעולה על הגרף קיילי של H .X = X (G, S) — Gפולעת על Xבצורה חופשית )בפעולה
המושרית מהפעולה של Gעל הגרף־קיילי של עצמה( .ראינו שפעולה חופשית על גרף מקיימת את כל
הפעולות שרצינו ,וזה אומר שהפעולה דיסקרטית נאותה )הוכחנו( .מושאר כתרגיל להוכיח שיש מספר
סופי של מסלולים של קדקודים וצלעות ב־ Xתחת הפעולה .מהתרגיל נובע שהפעולה היא קוקומפקטית.
מלמת שוורץ־מילנור נובע כי Hקוואזי־איזמוטרית ל־) X (G, Sולכן גם ל־.G
.2תרגיל.
טענה :136כל החבורות החופשיות הנוצרות־סופית הן קוואזי־איזומטריות .כל העצים מדרגה 2kהם קוואזי־
איזומטריים.
הערה :137למעשה ,ניתן להראות שכל העצים הרגולריים מדרגה kהם קוואזי־איזומטריים.
הוכחה :לכל F (a, b) ,n ∈ Nמכיל תת־חבורה מאינדקס סופי שהיא חופשית מסדר ,nלדוגמה ,נוצרת על ידי
an−1 , b, aba−1 , a2 ba−2 , . . . , an−2 ba2−n
.
2
0
1
0ו־
1
1
2היא חופשית,
דוגמה :138בהמשך נראה כי התת־חבורה של ) SL2 (Zהנוצרת על ידי
1
וניתן להראות שהיא מאינדקס סופי ב־) .SL2 (Zלכן ) SL2 (Zגם כן קוואזי־איזומטרית ל־ .F2
12
חבורות חופשיות ועצים
ראינו שגרף־קיילי של חבורה חופשית הוא עץ ,לכן חבורה חופשית פועלת חופשי על עץ .נראה שהכיוון ההפוך
נכון גם כן.
משפט G :139חופשית ⇒⇐ יש ל־ Gפעולה חופשית על עץ.
הוכחה) :למי שכבר למד גיאומטריה אלגברית( Gפועלת על הגרף Yחופשית גורר שהעתקת המנה Y → G/Y
היא העתקת כיסוי )סביבה של נקודה ב־ Yמשוכנת תחת העתקת המנה ,ולכן סביבה של נקודה בפנים של צלע,
שכן ההעתקה היא פשוטה ,וההעתקה ההופכית של סביבה קטנה מספיק היא איחוד זר של עותקים של הסביבה(.
לעץ יש π1טריוויאלי ,ולכן .π1 (G/Y) = Gאבל ה־ π1של גרף הוא חופשי — שקול הומוטופית ל־rose
על ידי הפלת התת־עץ המקסימלי.
הנה החומר שנזדקק לו לצורך ההוכחה האלמנטרית:
למה :140כל גרף Γמכיל תת־עץ מקסימלי ,Tשמכיל את כל הקדקודים.
תהא Gחבורה הפועלת על גרף Xללא חזרות )ופירושו ,אין איברים המייצבים צלע ללא קיבוע נקודתי(.
אזי המנה G/Xנותנת מבנה של גרף.
G
x
תהא p : X → G/Xהעתקת המנה .בהינתן התת־עץ המקסימלי Tשל , /Xקדקוד x ∈ Tוקדקוד ˆ ∈ X
כך ש־ ,p (ˆx) = xקיים תת־עץ מקסימלי ˆ Tשל Tכך ש־ˆ xˆ ∈ Tו־ p|Tˆ : Tˆ → Tהוא איזומורפיזם של עצים.
הוכחה) :הוכחה אלמנטרית( נסמן ב־ Xאת העץ שעליה Gפועלת חופשית .נסתכל על גרף המנה ,G/Xויהיה
Tהתת־עץ המקסימלי המוכל בו .תהא ˆ Tההרמה של .T
לכל צלע } e = {w, xשל G/Xשאינה מוכל ב־ ,Tקיימת צלע יחידה ˆ eעם נקודת קצה ˆ wב־ˆ Tכך
ˆ( .pנקודת הקצה השנייה xשל ˆ eלא יכולה להיות ב־ˆ) Tאחרת ,eˆ ∈ Tˆ ,ולכן ,(e ∈ Tאבל p (x) ∈ T
ש־e) = e
ולכן x = se · zעבור איזשהו קדקוד zשל ˆ Tואיזשהו איבר לא טריוויאלי — se ∈ Gנשים לב ש־ seהוא יחיד
מחופשיות הפעולה.
יהא Sקבוצת האיברים seלצלע eשל .G/X\Tנראה כי Gחופשית על .Sלפני כן ,כמה הערות:
22
12
חבורות חופשיות ועצים
• ˆ gTו־ˆ Tזרות בזוגות .ופירושו ,אם ∅ = ,gTˆ ∩ g0 Tˆ 6אזי .g = g0ואכן ,הקדקודים של ˆ Tכולם נמצאים
במסלולים שונים היות ש־ pהיא איזומורפיזם על ˆ :Tלכן אם ∅ = ,gTˆ ∩ g0 Tˆ 6קיים קדקוד ˆ v ∈ Tכך
ש־ gv = g0 vולכן g−1 g0 v = vוהיות שהפעולה חופשית נקבל כי .g = g0
−1
se = s−1עבור איזשהם צלעות e, fשל .G/X\Tהאיבר
• הקבוצה Sמקיימת ∅ =
.S ∩ Sאכן ,בהינתן f
seמעתיק את ˆ sf Tאל ˆ ,Tואת ˆ Tאל ˆ ,se Tולכן הוא שולח את הצלע ˆ fבין ˆ sf Tו־ˆ Tאל הצלע ˆ eבין ˆT
אל ˆ .se Tלכן ˆ fו־ˆ eהן באותו המסלול ,אבל היות שבחרנו בדיוק הרמה אחת של כל צלע של ,Tבהכרח
מתקיים ˆ ,fˆ = eולכן ˆ .se eˆ = eהיות שהפעולה היא חופשית ללא חזרות ,נקבל סתירה.
• כל הקדקודים של Xמתורגמים ל־ˆ .Tכל קדקוד wהוא במסלול של איזשהו קדקוד vשל ˆ ,Tולכן
ˆ .w = gv ∈ gTלכן מסלול בין שניהם מתורגם ל־ˆ Tאו מכיל רק צלע אחת ,או עובר דרך דבר אחר
המתורגם ל־ˆ.T
• יש צלע בין ˆ Tו־ˆ hTאם ורק אם .h ∈ Sאם wב־ˆ Tו־ˆ x ∈ hTמחוברים על ידי צלע ,eאזי יש איבר se
ב־ Sשמקיים x = se · zעבור איזשהו ˆ .z ∈ Tולכן ∅ = ,hTˆ ∩ se Tˆ 6ולכן לפי ההערה למעל.h = se ,
הכיוון ההפוך ברור.
כעת נסתכל על הגרף Yהמוגדר על ידי:
n
o
• קבוצת הקדקודים מוגדרת להיות . vg = g · Tˆ|g ∈ G
• יש צלע בין שני קדקודים vgו־ vg0אם ורק אם קיימת צלע בין התת־עצים ˆ g · Tו־ˆ.g0 · T
)זהו גרף המתקבל על ידי הקרסת כל התרגומים ל־ˆ.(T
ˆ
הגרף Yהוא עץ :הוא קשיר )כי יש מסלול ב־ Xבין כל שני תת־עצים במסלול של (Tוחסר־מעגלים )אם
היו בו ,אז היינו מוצאים גם ב־ — Xאבל Xעץ(.
נטען ש־ Yאיזומורפי ל־"גרף־קיילי" )) X (G, Sופירושו ,הוא מוגדר בדיוק כמו גרף־קיילי ,פרט לכך
שאיננו יודעים ש־ Sיוצרת את ,Gולכן טכנית איננו יכולים לקרוא לו גרף קיילי( .נסתכל על ההעתקה
) f : Y → X (G, Sהמוגדרת על ידי .f (vg ) = gנראה שזהו איזומורפיזם של גרפים:
• ההעתקה מוגדרת היטב .אם ˆ ,gTˆ = g0 Tראינו כי נובע ש־ .g = g0
0
• ההעתקה מוגדרת על צלעות .נניח שקיימת צלע בין ˆ vg = gTו־ˆ,vg = g0 Tאזיקיימת צלע בין ˆ Tובין
0
ˆ ,g−1 g0 Tולכן ,g−1 g0 = seולכן יש צלע ב־) X (G, Sבין ) g = f (vgובין .g0 = f vg
• ההעתקה על .ברור שהיא על הקדקודים .נסתכל על צלע ב־) X (G, Sבין gו־ .gseהעצים ˆ Tו־ˆse T
מחוברים על ידי הצלע ,eולכן העצים ˆ gTו־ˆ gse Tמחוברים על ידי הצלע .g · eלכן יש צלע ב־ Yבין
הקדקודים ˆ vg = gTובין ˆ ,vgse = gse Tוהצלע הזו מעתקת לצלע בין gו־ g0ב־).X (G, S
• ההעתקה חח"ע .אם ˆ gTו־ˆ g0 Tמייצגים קדקודים זרים ב־ ,Yאזי g 6= g0ולכן המפה חח"ע על קדקודים.
אבל Yהוא עץ ,ולכן אם שתי צלעות הן זרות ,יש להן נקודות קצה שונות ,ולכן fחייבת להיות חח"ע
על צלעות גם כן.
לכן ) X (G, Sקשיר — לכן Sמייצר את ,Gלכן ) X (G, Sהוא הגרף־קיילי של Gביחס לקבוצה .Sבנוסף,
) X (G, Sעץ ,ולכן לפי מה שהוכחנו ,החבורה Gפועלת חופשית על .S
מסקנה ) 141נילסן־שרייר( :תת־חבורה של חבורה חופשית היא גם כן חופשית.
הוכחה :תהא .H ≤ Gהחברוה Gפועלת חופשית על הגרף־קיילי שלה — — Xשהוא עץ .לכן Hגם פועלת
על Xוהפעולה גם כן חופשית )אם לנקודה אין מייצבים בחבורה הגדולה ,אז אין לה מייצבים בחבורה הקטנה(,
ולכן Hחופשית.
23
13
13
פעולות לא חופשיות על עצים
פעולות לא חופשיות על עצים
מכונה גם תורת Bass-Serreעל שם היימן באס וז'אן־פייר סר.
טענה :142נניח ש־ Gפועלת על עץ Tכך שיש מסלול 1של צלעות ו־ 2מסלולים של קודקודים ,אז לכל צלע
) e = (p, qשל ,Tאזי ניתן לכתוב את Gבצורה:
)G = Stab (p) ∗Stab(e) Stab (q
)מכפלה ממוזגת של המייצבים( .כאשר אנחנו כותבים ).stab (e) = stab (p) ∩ stab (q
הנתון בעצם אומר שכל צלע מחברת בין קדקוד שהוא במסלול אחד לקדקוד שהוא במסלול השני.
כדי להוכיח את המשפט נוכיח קודם למה:
למה dT (hq, gp) = 1 :143אם ורק אם יש ) u ∈ stab (pו־) v ∈ stab (qכך ש־ g = hvuאם ורק אם יש
) u0 ∈ stab (pו־) v0 ∈ stab (qכך ש־ ) h = gu0 v0ומתקיים u−1 = u0ו־ .(v−1 = v0
הוכחה) :הלמה( נניח hqמחוברת במרחק אחד ל־ ,gpאזי על ידי הפעלת h−1נקבל כי
על ידי הכפלה ב־ h−1נקבל שהצלע fבין p −e −q −f −h−1 gpלצלע בין qלבין h gpגם במסלול של
eולכן יש איבר v ∈ Gכך ש־ ,vf = eכך ש־ vq = qו־) vg−1 hp = pהערה :זה ה־ vשמחליף בין הצלעות
.(f, eמכאן נובע כי ) ,v ∈ stab (qולכן ) .vg −1 hp = u ∈ stab (pלכן ,g = hv −1 uולכן על ידי החלפת v −1
ב־) vשינוי שם( ,נקבל את הנדרש.
בכיוון השני ,נקח u, vכמו בטענה ,up = p .ועל ידי הפעלת משהו שמייצב את qנעביר את upל־,vup
קדקוד הנמצא במרחק 1מ־ qגם כן .על יד הפעלת hכלשהו נקבל כי hvupו־ hqבמרחק אחד ,ולכן gp, hq
במרחק .1
הוכחה) :הטענה(:
−1
.1נקח ,g ∈ Gנסתכל על העץ .יש לנו איבר pואיבר gpויש מסילה ביניהם )כי העץ קשיר( .לאורך
המסילה ,לפי מה שאנחנו יודעים על העץ שלנו ,יש קדקוד במסלול של qואחריו קדקוד במסלול של p
לסירוגין:
x − h1 q − g1 p − h2 q − · · · − gk p = gp
בין כל שני קדקודים כאלה במסלול המרחק הוא ,1ולכן נוכל להפעיל את הלמה .לפי הלמה מתקיים
gk = hk vuעבור ) u ∈ stab (pו־) .v ∈ stan (qלאחר מכן ,נוכל להשתמש שוב בלמה ,כדי להוכיח כי
hk = gk−1 u0 v0וכן הלאה .לאחר סוף התהליך נקבל .g = u01 v10 u02 v20 . . .
)א( נקח u0 v1 u1 . . . vk uk vk+1מכפלה כמו בלמה .כעת
p, u0 q, u0 v1 p, . . . , u0 v1 · · · · · vk+1 p
נותן מסילה ,לפי הלמה .אם המכפלה היא טריוויאלית ,המסילה היא מעגל .היות ש־ Tעץ
יש iכך שאנחנו חוזרים על עקבותינו ,ונבקל ,p = ui vi+1 pולכן ) ui vi+1 ∈ stab (pובנוסף
).vi+1 ∈ stab (q
למעשה ,אם ,G = A ∗C Bאפשר לבנות עץ עם פעולה של Gכך שיש צלע ) e = (p, qשל ,Tומתקיים
)A = stab (p) ∧ B = stab (q
זו הטענה ההפוכה למה שהוכחנו ,לא נוכיח את הכיוון הזה פה.
24
14
מרחב מטרי היפרבולי
חלק IV
חבורות היפרבוליות
14
מרחב מטרי היפרבולי
תזכורת ,הגדרנו קטע גיאוזי כשיכון איזומטרי של [0, a] ⊂ Rלתוך מרחב מטרי כלשהו ,כך שלכל ]s, t ∈ [0, a
מתקיים ] .dX (γ (s) , γ (t)) = [s − tהגדרנו שמרחב מטרי Xייקרא גיאודזי אם כל שתי נקודות ,x, y ∈ X
קיים קטע גיאודזי γ : [0, a] → Xכך ש־ γ (0) = xו־.γ (a) = y
הגדרה :144משולש גיאודזי ב־ Xהוא שלשה ) (γ0 , γ1 , γ2של קטעים גיאודזיים γi : [0, Li ] → Xכך
ש־) γ1 (L1 ) = γ2 (0) ,γ0 (L0 ) = γ1 (0ו־.γ2 (L2 ) = γ0 0
הגדרה :145תהא Aתת־קבוצה של מרחב־מטרי Xויהיה .ε ≥ 0סביבת־ εשל Aב־ Xנתונה על ידי
}Bε (A) = {x ∈ X|∃a∈A d (x, a) < ε
הגדרה :146יהא .δ ≥ 0משולש גיאודזי ) (γ0 , γ1 , γ2ייקרא δ־צר אם כל פאה שלו מוכלת בסביבת־ δשל
איחוד שתי הפאות האחרות.
המרחב Xייקרא δ־היפרבולי אם כל המשולשים הגיאודזיים הם δ־צרים.
דוגמה :147כל מרחב מטרי עם קוטר סופי Dהוא D־היפרבולי .דוגמה נוספת R2 ,עם המטריקה הרגילה אינה
היפרבולית :נסתכל על המשולש ) .(0, 0) , (0, 3δ) , (3δ, 0דוגמה מסובכת יותר — עץ מטרי )נבנה על ידי גרף
שהוא עץ ,עם זיהוי כל צלע עם הקטע ] ([0, 1הוא 0־היפרבולי .ההפך כמעט נכון :אם Xהוא מרחב גיאודזי
0־היפרבולי ,אזי Xהוא עץ אמיתי.
הגדרה :148קשת במרחב־מטרי Xהמרחבת נקודות p, qהיא תמונה של העתקה רציפה חח"ע γ : [0, a] → X
כך ש־ γ (0) = pו־ .γ (a) = qעץ אמיתי הוא מרחב־מטרי־גיאודזי שבו כל שתי נקודות מחוברת על ידי קשת
יחידה.
)dh (p, q
דוגמה ) :149דוגמה חשובה( H2 :יהיה חצי המישור העליון ,קרי — .H2 = (x, y) ∈ R2 |y > 0נרצה
להשרות על H2מטריקה שתיקרא המטריקה ההיפרבולית .ראשית נגדיר את המרחק ההיפרבולי של המסילה
γ : [a, b] → H2על ידי:
|)|γ 0 (t
dt
)γy (t
b
ˆ
= )lh (γ
a
נוכל כעת להגדיר את פונקציית המרחק שלנו ,שתהיה האינפימום על מרחקי המסילות בין שתי נקודות:
dh (p, q) = inf lh (γ) |γ is a piecwise C 1 curve joining p to q in H2
טענה ) :150ללא הוכחה(
• dHמטריקה.
• המסילה הקצרה ביותר בין שתי נקודות והיא חייבת להיות חלק מקו אנכי או קטע של ישר או חלק
מחצי־מעגל שמרכזו על הציר האופקי.
• אלו הקטעים הגיאודזיים במרחב.
25
14
מרחב מטרי היפרבולי
√
• H2מרחב δ־היפרבולי ל־ .δ = ln 1 + 2
כעת נוכיח שהיפרבוליות הוא שמורה של קוואזי־איזומטריה .רעיון ההוכחה ,בהינתן שני מרחבים X, Yקוואזי
איזומטריים על ידי fשאחד מהם הוא δ־היפרבולי .נסתכל על משולש גיאודזי ב־ ,Xנשלח אותו ל־ Yעל ידי
,fהתמונה שלו לא תהיה גיאודזית .נסתכל על הצלעות של המשולש ונראה שהם "קוואזי־גיאודזים".
הגדרה γ : I → X :151עבור I ⊆ Rו־ γשיכון )(C, D־קוואזי־איזומטרי .תמונת הקטע ייקרא קטע )(C, D־
קוואזי־גיאודזי אם ] .I = [a, bאם )∞ I = [0,נקרא לזה קרן )(C, D־קוואזי־גיאודזי .אם I = Rאזי נקרא
לו ישר )(C, D־קוואזי־גיאודזי.
דוגמה ,A0 = (t cos (nt) , t sin (nt)) :152הספירלה הלוגריתמית ב־ R2היא קטע קוואזי־גיאודזי.
תרגיל γ : I → X :153קטע/קרן/ישר־)(C, D־קוואזי־גיאודזית ,ו־ (C 0 , D0 ) f : X → Y־קוואזי־איזומטריה.
אזי f ◦ γקטע/קרן/ישר־קוואזי־גיאודזי.
משפט X :154מרחב δ־היפרבולי .C, D ≥ 0 ,יש קבוע ) R = R (C, D, δכך שכל קטע )(C, D־קוואזי־גיאודזי
,γ : [a, b] → Xכך שלכל קטע גאודזי בין ) γ (aל־) ,c : [0, l] → X ,γ (bומתקיים ))Im (γ) ⊆ BR (Im (c
ו־)) .Im (c) ⊆ BR (Im (γהתמונות קרובות אחת לשנייה.
הערה :155אנחנו רואים שזה לא מתקיים עבור הספירלה הלוגריתמית ,שם קטע ישר בין שתי נקודות ,הקטע
הספירלי העובר ביניהם רחוק מאוד מהישר ,וככל שמתרחקים המרחק גדל.
כדי להוכיח את המשפט נצטרך את הלמה הבאה .במקום לעבוד עם ישר קוואזי־גיאודזי שהוא דבר שהוא קצת
מופרע ,נעבוד עם משהו פשוט יותר.
למה X :156מרחב גיאודזי ,ו־ γ : [a, b] → Xקטע )(C, D־קוואזי־גיאודזי .אזי קיימת העתקה γ 0 : [a, b] → X
רציפה כך שמתקיים:
γ 0 (a) = γ (a) .1ו־).γ 0 (b) = γ (b
γ 0 .2קטע ) (C, D0־קוואזי־גיאודזי ו־).D0 = 2 (C + D
l γ 0 |[s,t] ≤ k1 d (γ 0 (s) , γ 0 (t)) + k2 .3לכל ] s, t ∈ [a, bעם kiתלוי רק ב־.C, D
Im (γ) ⊆ B C2 +D (Im (γ 0 )) .4ו־)).Im (γ 0 ) ⊆ BC+D (Im (γ
)l (δ
הגדרה :157במרחב מטרי ,δ : [a, b] → X ,Xהאורך של δיהיה האינפימום של כל החלוקות של המסילה
לקטעים גיאודזיים.
)
dl (δ (ai−1 ) , δ (ai )) s.t.a = a0 < a1 < · · · < ar = b ∧ r ∈ N
( r
X
l (δ) = sup
i=1
הוכחה) :של הלמה( .אפשר למצוא γ 0 : [a, b] → Xרציפה כך ש־ 1מתקיים ,ו־) γ (k) = γ 0 (kלכל
] k ∈ Z ∩ [a, bוש־ ] γ 0 |[k,k+1קטע גיאודזי .נוכיח את ,t ∈ [a, b] .4אזי יש ] k ∈ Z ∩ [a, bכך ש־ ,|k − t| < 21
ולכן
C
+D
2
≤ ))d (γ (t) , γ (k
אבל
) γ (k) = γ 0 (k) ∈ Im (γ 0
לכל ,k
d (γ (k) , γ (k + 1)) ≤ C + D
26
מרחב מטרי היפרבולי
14
לכן כל נקודה היא במרחב
C+D
2
של נקודה ) γ (kלאיזשהו kמסוים ,ולכן
))Im (γ 0 ) ⊆ B C+D (Im (γ
2
עכשיו נוכיח את .2אם ] t ∈ [a, bנכתוב ] [tכדי לסמן את הנקודה a, m, . . . m + pהקרובה ביותר ל־ .tלכן:
C +D
2
0
0
d (γ ([t]) , γ ([s])) + 2
≤
0
0
))d (γ (t) , γ (s
)(1
C |[t] − [s]| + C + 2D + D
≤
|t − s| + 2C + 3D
≤
כאשר ) (1כי )] γ 0 ([t]) = γ ([tוגם עבור .sבנוסף ,מתקיים:
))d (γ (t) , γ (s
≤
d (γ 0 ([t]) , γ 0 ([s])) + C + 2D
≤
d (γ 0 (t) , γ 0 (s)) + 2C + 3D
≤
1
|t − s| − D
C
הוכחת חלק 3בלמה מושארת כתרגיל.
נוכיח למה נוספת בדרך להוכחת המשפט
למה δ X :158־היפרבולי γ : [a, b] → X ,מסילה רציפה עם ∞ < ) .l (xלכל xעל קטע
d (x, Im (γ)) ≤ δ · |log2 (l (γ))| + 1
הוכחה :נניח | .l γ|[s,t] = α |t − sנוכיח באינדוקציה על האורך של .γיהי N ∈ Nכך ש־≤ )2N ≤ l (γ
2N +1ונוכיח את הלמה באינדוקציה על .N
• אם N = 0אזי ,l (γ) ≤ 2ולכן הסופרימום של אורכי הקטעים הוא ,2ולכן לכל נקודה על γיתקיים כי
.d (γ (a) , γ (b)) ≤ 2
• נניח שהוכחנו את הלמה לכל γכך ש־ .2N ≤ l (γ) ≤ 2N +1
) 4γ (a) , γ a+bשנראה עקום ,הרי זהו משולש
• נוכיח עבור .N + 1נסתכל על המשולש ), γ (b
2
a+b
a+b
גיאודזי( X .הוא δ־היפרבולי ,אזי יש x0על קטע גיאודזי בין )γ (aל־ ) γ 2או בין ) γ (bל־ (γ 2
עם .d (x, x0 ) ≤ δלכן ,מהאינדוקציה ,יחד עם העובדה ש־
l γ|[γ(a),γ ( a+b )] ≤ 2N +1
2
ו־
a+b
0
d x , γ a,
≤ γN + 1
2
נקבל כי
d (x, Im (γ)) ≤ δ (N + 1) + 1
כנדרש.
27
14
מרחב מטרי היפרבולי
כעת נוכל סוף כל סוף להוכיח את המשפט.
הוכחה) :של המשפט( γ : [a, b] → Xקטע )(C, D־קוואזי־גיאודזי ואפשר להניח שהוא מקיים את כל
התנאים בלמה הראשונה.
• ניקח
})Mγ = sup {d (x) , Im (γ) |x ∈ Im (c
ו־) x0 ∈ Im (cכך ש־ .d (x0 , Im (γ)) = Mγיהיו ) y, z ∈ Im (cעך ש־
d (y, x0 ) = d (x0 , z) = 2Mδ
)או ) z = γ (b) ,y = γ (aאם "אין מספיק מקום"( .יהיו ) y0 , z 0 ∈ Im (γכך ש־
d (y, y 0 ) , d (z, z 0 ) ≤ Mδ
.
• כעת נשתמש בתנאי 3בלמה .תהא βהמסילה בין yל־ zשעוברת ב־] [y, y0ב־ ] γ|[y0 ,z0ואז ב־] .[z 0 , zלפי :3
l (β) ≤ l γ|[y0 ,z0 ] + 2Mδ ≤ K1 d (y 0 z 0 ) + K2 + 2Mδ ≤ 6K1 Mδ + K2 + 2M δ
מהלמה:
|) d (x0 , Im (γ)) = Mδ ≤ δ |log2 (l (β))| + 1 ≤ δ |log2 ((6K1 + 2) Mγ + K2
אבל הביטוי בסוגריים של אגף ימין גדל לוגריתמית עם Mγו־ Mγחסום על ידי קבוע ,M0בעוד Mδ
גדל ליניארית .לכן )).Im (c) ⊆ Bm0 (Im (γ
בכיוון השני ,ייתכן שה־ M0לא יהיה טוב.
• נניח שיש ) γ (u) ∈ Im (γכך ש־
d (γ (u) , Im (c)) > M0
מתקיים
)]Im (c) ⊆ BM0 (γ [a, u]) ∪ BM0 (γ [u, b
מרציפות של cיש ) s < u < t ,w ∈ Im (cכך ש־
d (w, γ (s)) , d (w, γ (t)) ≤ M0
• עכשיו d (γ (s) , γ (t)) ≤ 2M0 ,ולכן מהחלק השלישי של הלמה — .l γ|[s,t] ≤ 2K1 M0 + K2
• מכאן נובע כי
))γ (u) ∈ BM0 +K1 M0 + K2 (Im (c
2
מהמשפט הזה נקבל כמה מסקנות.
מסקנה :159מרחב מטרי Xהוא היפרבולי אם ורק אם לכל D ≥ 0 ,C ≥ 1יש קבוע ) δ (C, Dכך שכל
משולש )(C, D־קוואזי־גיאודזי הוא )δ (C, D־רזה.
28
16
הצגה סופית של חבורות היפרבוליות
הוכחה (=⇒) :ברור ,כי δ X־היפרבולי עבור ).δ = δ (1, 0
)=⇐( יהי Rכך שכל קטע )(C, D־קוואזי־גיאודזי ב־R־סביבה של כל קטע גיאודזי בין הקצוות שלו לוקחים
δ (C, D) = 2R + δ
מסקנה :160יהי f : X → Yשיכון־)(C, D־קוואזי־איזומטריδ Y .־היפרבולי ,אז Xהוא δ 0־היפרבולי כך
ש־ δ 0תתוי רק ב־ .C, D, δ
הוכחה :נסתכל על משולש גיאודזי ב־ Xשצלעותיו γ0 , γ1 , γ2ונסתכל על איך fפועל עליו Y .הוא δ־היפרבולי,
ולכן ) f (γ0 ) , f (γ1 ) , f (γ2הוא משולש )(C, D־קוואזי־גיאודזי ב־ Yולפי המסקנה הקודמת הוא )δ (C, D־רזה.
מכאן יש ) y ∈ Im (γכך ש־).d (f (x) , f (y)) ≤ δ (C, D
d (x, y) ≤ Cd (f (x) , f (y)) + D ≤ Cδ (C, D) + D
נקבע δ 0 = Cδ (C, D) + Dונקבל ש־ Xהוא δ 0־היפרבולי.
15
חבורות היפרבוליות — הגדרה
ההגדרות הבאות הם של ריפס וגרומוב.
הגדרה :161חבורה נוצרת־סופית Gנקראת היפרבולית אם הגרף־קיילי שלה )עם המטריקה שמזהה כל צלע
ל־] ([0, 1הוא δ־היפרבולי.
הערה :162זה מוגדר היטב ,לפי המסקנות מהפרק הקדום ההגדרה אינה תלוי בבחירה של קבוצת יוצרים.
דוגמה :163
.1כל חבורה סופית היא היפרבולית.
.2חבורה חופשית היא היפרבולית.
Z2 .3לא היפרבולית )גם R2לא היפרבולי .וראינו כי R2קוואזי־איזומטרי ל־ .(Z2
SL2 (Z) .4היפרבולית ,שכן יש לה תת־חבורה מאינדקס סופי שהיא היפרבולית.
16
הצגה סופית של חבורות היפרבוליות
טענה :164חבורה היפרבולית היא מוצגת־סופית.
כדי להוכיח את הטענה ,נוכיח את הלמה הבאה שתסביר לנו איך מתנהגים קטעים גיאודזיים במרחב היפרבולי.
למה X :165מרחב δ־היפרבולי c0 : [0, τ 0 ] → X ,c : [0, τ ] → X .שני קטעים גיאודזיים .עם ).c (0) = c0 (0
לכל ] t ∈ [0, τ
))) d (c (t) , c0 (t)) ≤ 2 (δ + d (c (τ ) , c0 (τ 0
)אם ,t ≥ τ 0נקבע ) .(c0 (t) := c0 (τ 0
הוכחה :לכל ] t0 ∈ [0, τ ] ,t ∈ [0, τמאי־שוויון המשולש.|t0 − t| ≤ d (c (t) , c0 (t0 )) ,
| d (c (t) , c0 (t)) ≤ d (c (t) , c0 (t0 )) + d (c0 (t0 ) , c0 (t)) = d (c (t) , c0 (t0 )) + |t − t0
ולכן נותר להוכיח כי )) .d (c (t) , c0 (t)) ≤ 2d (c (t) , c0 (t0
29
17
בעיית המלה בחבורות היפרבוליות
• נניח קודם שיש t0כך ש־ d ((c (t)) , c0 (t0 )) ≤ δאזי ישירות .d (c (t) , d0 (t0 )) ≤ 2δ
• אם ) c (tבמרחק קטן או שוו ל־ δמנקודה על הקטע הגיאודזי ]) [c (τ ) , c0 (τ 0אז הוא במרחק קטן או שווה
ל־)) δ + d (c (τ ) , c0 (τ 0מ־) .c0 (τ 0לכן
)))) d (c (t) , c0 (t)) ≤ 2d (c (t) , c0 (τ 0 )) ≤ 2 (δ + d (c (τ ) , c0 (c0 (τ 0
הלמה הזו אומרת ששני קטעים גיאודזיים שמתחילים באותה נקודה ,לכל האורך נשארים קרובים.
כעת נשתמש בלמה כדי להוכיח את המשפט ,כל חבורה היפרבולית היא מוצגת־סופית.
היפרבולית S ,קבוצה סופית של יוצרים .עבור מלה ,w = s1 · · · · · snאפשר לכתוב את wכמכפלה של יחסים
שהם בצורה γsδ −1עם δ, γקטעים־גיאודזיים ,ו־ .s ∈ S
הוכחהG :
משפט ) 166גרומוב( :חבורה מוצגת־סופית אקראית היא היפרבולית
הסתברות שחבורה ,G = hS|Riעם |R| = m ,|S| = nויחסים באורך לכל היותר ,tאזי ההסתברות שחבורה
כזו תהיה היפרבולית )ונסמן ) P (n, m, tלהיות ההסתברות הזו(:
∞→t
∀n,m∈N P (n, m, t) −→ 1
כאשר ההתפלגות של הבחירה היא התפלגות אחיד.
17
בעיית המלה בחבורות היפרבוליות
מקרה פרטי של ההוכחה של גרומוב מקודם היא פתרון בעיית המלה במקרה של החבורות ההיפרבוליות.
משפט G :167חבורה היפרבולית ,אז יש פיתרון לבעיית המלה .Gהכוונה כאן היא פתרון לבעיית המלה
עבור קבוצת יוצרים מסוימת ,אבל ממשפט גרומוב שציטטנו למעלה זה לא מהווה בעיה גדולה.
נשתמש ברעיון של מקס דהן ,על מלים .הרעיון הוא שלעתים כדאי להאריך מלה כדי שיהיה אפשר לצמצם
אותה וכך להגיע לזהות.
.s1 6= s−1
הגדרה S :168קבוצה סופית w = s1 · · · · · sn .מלה ב־ .Sאומרים ש־ wמצומצמת ציקלית אם n
לדוגמה ,אפשר לראות שלכל מלה מצומצמת בחבורה החופשית ,יש הצמדה של המלה שהיא מצומצמת ציקלית
ויש אלגורתים שיכול לחשב מהי ההצמדה .זה מושאר כתרגיל.
הגדרה :169הצגה hS|Riהיא סימטרית אם לכל :r ∈ R
• rמצומצמת ציקלית.
• .r−1 ∈ R
• כל הצמדה של rשהיא מצומצמת ציקלית נמצאת ב־.R
ניתן לבנות אלגוריתם שלוקח הצגה סופית hS|Riומחשב הצדה סופית וסימטרית hS|R0 iשל אותה חבורה .גם
זה מושאר כתרגיל.
הגדרה hS|Ri :170הצגה סימטרית היא הצגת דהן אם לכל מלה wב־ Sשמייצגת את האיבר הטריוויאלי
ב־ ,Gיש תת־מלה vכך ש־ vיותר מחצי של יחס .זאת אומרת ,שיש יחס rותת־מלה uשל rכך ש־r = vu
ו־).lS (u) < ls (v
טענה :171אם hS|Riהצגת דהן ,אזי יש פתרון לבעיה המלה ב־.G = hS|Ri
30
17
בעיית המלה בחבורות היפרבוליות
הוכחה) :האלגוריתם של דהן( :נגדיר את האלגוריתם הבא :ראשית ,נקח רשימה Lשל כל הזוגות ) (v, uכך
ש־ v, uהם תת־מלים של איבר r = vu — r ∈ Rו־)) lS (v) > lS (uזו רשימה סופית( .בהינתן מלה wב־ ,S
נבצע את הפעולות הבאות:
.1אם wריקה ,עצור — האיבר טריוויאלי.
.2אם wלא ריקה ,חשב את הצמוד המצומצמם ציקלי שלה — ,w0הוא לכל היותר באורך wוהוא מייצג
את האיבר הטריוויאלי ב־ Gאם ורק אם wמייצג את האיבר הטריוויאלי ב־.G
.3רשום את כל התת־מלים של w0ובדוק האם לאחת מתת־המלים האלה ,vקיים uכך ש־.(v, u) ∈ L
.4אם לא ,אזי מהגדרת הצגת דהן נובע ש־ ,w0ולכן גם ,wלא מייצגת את המלה הטריוויאלית ב־ .Gלכן
עצור.
.5אם קיים uכזה ,ואם w0 = w1 vw2עבור תת־מלים w1 , w2של ,w0אזי .w0 =G w1 u−1 w2חשב
את המלה המצומצמת w00המייצגת את האיבר ,w1 u−1 w2היא קצרה ממש מ־ w0ומייצגת את האיבר
הטריוויאלי ב־ Gאם ורק אם w0מייצג את המלה הטריוויאלית ב־.G
.6חזור לשלב ,1כאשר .w := w00
היות שהאורך של מלה יורד עם כל איטרציה בלולאה ,התהליך ייעצר.
משפט :172חבורה היפרבולית היא בעלת הצגת דהן.
למעשה ,גם ההפך נכון )אך לא נוכיח זאת פה(.
בהינתן אלגוריתם דהן ,נקבל מיידית את המסקנה:
מסקנה :173חבורה היפרבולית היא בעלת בעיית מלה פתירה.
כדי להוכיח את המשפט ,נצטרך להוכיח קודם שתי למות:
למה :174יהא Xמרחב־מטרי δ־היפרבולי ,ו־ .k ≥ 8δתהא γ : [a, b] → Xקטע גיאודזי k־מקומי ,קרי — לכל
] s, t ∈ [a, bעם t − s < kמתקיים | .d (γ (s) , γ (t)) = |t − sאזי אם cהוא קטע גיאודזי המחבר את )γ (a
ו־) γ (bיתקיים
))Im (γ) ⊆ B2δ (Im (c
הוכחה :יהא ) x = γ (tהנקודה המקבלת את המרחק המירבי מ־) .Im (cנניח ראשית שנוכל לבחור נקודות y, z
מכל צד של xכך ש־ d (y, z) < kו־ γקטע גיאודזי ביניהן ,אבל .d (y, x) , d (x, z) > 4δיהיו y0 , z 0נקודות
של ) i (cהקרובות ביותר ל־ y, zבהתאמה .על ידי חתיכת המרובע y, z, z 0 , y0באלגסון על ידי שני משולשים
גיאודזיים ,נוכל לראות שקיימת נקודה wבאחד הצדדים שאינה ב־] [y, zהמקיימת .d (x, w) < 2δ
אם wהיא על y, y0נקבל סתירה :שכן מתקיים
) d (x, y 0 ) ≤ d (x, w) + d (w, y 0 ) < 2δ + d (w, y 0
בעוד מתקיים:
) = d (y, w) + d (w, y 0
) ≥ [d (y, x) − d (x, w)] + d (w, y 0
) > [4δ − 2δ] + d (w, y 0
)≥ 2δ + d (w, y
) ≥ d (x, y 0
31
) d (y, y 0
17
בעיית המלה בחבורות היפרבוליות
בסתירה לבחירת .xבאופן דומה w ,לא יכול להיות על ] .[z, z 0לכן הוא על ) [y0 , z 0 ] ⊆ Im (cוסיימנו .אם אין
y0 , z 0שכאלה ,אזי נפעיל טיעון דומה ,שמושאר כתרגיל.
הלמה הבאה היא במידה מסויימת הוכחה שמעגל בגרף־קיילי של חבורה היפרבולית תמיד כוללת "קיצור־דרך"
בין שתי נקודות שבמרחק חסום בלולאה.
למה :175תהא Gחבורה שהיא δ־היפרבולית ביחס לקבוצת יוצרים .Sיהא )n > 1 ,γ : [0, n] → X (G, S
מעגל בגרף קיילי של ,Gעם פרמטריזציה איזומטרית על כל צלע .אזי קיימים ] s, t ∈ [0, nכך ש־ ] γ|[s,tאינה
גיאודזית ובאורך לכל היותר .8δ
הערה :176בשל ההנחה שלנו על הפרמטריזציה של ,γנובעים הדברים הבאים:
• לכל ] v, u ∈ [0, nמתקיים |.l γ|[v,u] = |v − u
• לכל ] v, u ∈ [0, nמתקיים ].d (γ (v) , γ (u)) ≤ l γ|[v,u
• ] γ|[s,tאינה גיאודזית אם ורק אם ].d (γ (s) , γ (t)) ≤ l γ|[s,t
הוכחה) :של הלמה( אם ,l (γ) ≤ 8δאזי בחירת s = 0ו־ t = nתספיק ,שכן γבבירור אינה גיאודזית שכן
,d (γ (0) , γ (n)) = 0 < l (γ) = nולכן נניח ש־ .n > 8δ
מספיק להוכיח ש־ γהוא לא קטע גיאודזי k־מקומי לכל ,k > 8δשכן אם כן קיימים ] s, t ∈ [a, bעם
|t − s| ≤ 8δכךש־ ] γ|[s,tלא גיאודזית ,שכן ] γ|[s,tהיא מסלול בגרף שבו כל צלע היא באורך ,1ולכן מתקיים
.l γ|[s,t] = |t − s| ≤ 8δ
נניח לכן ש־ γהוא קטע גיאודזי k־מקומי עבור איזשהו .k > 8δלפי למה שהוכחנו ,אנחנו יודעים ש־)Im (γ
מוכל בסביבת־ 2δשל ) .γ (0כעת d (γ (0) , γ (5δ)) = 5δ ,שכן γהיא גיאודזית k־מקומית — וזה בסתירה.
כעת יש בידינו הכלים להוכיח שלכל חבורה היפרבולית קיימת הצגת דהן.
הוכחה) :של המשפט( יהי π : F (S) → Gההטלה הקנונית .נסמן ב־ R0את קבוצת המלים ב־ Sכך
ש־) r ,r ∈ ker (πהיא מצומצמת־ציקלית וקיימות תת־מלים u, vשל rכך שמתקיים:
r = uv .1
lS (v) ≤ 8δ + 1 .2
d (1, π (u)) = lS (u) .3
lS (u) < lS (v) .4
נשים לב שתנאי ) (3גורר שכל מסלול המתויג על ידי מלה uהוא קטע גיאודזי .נקח את Rלהיות קבוצת
כל האיברים המצומצמים־ציקלית הצמודים לאיבר ,R0כך ש־ hS|Riהיא הצגה סימטרית.
תהא wמלה לא טריוויאלית ב־ Sכך ש־ .π (w) = 1אנחנו רוצים להראות שניתן לכותבה כמכפלה של
איברים הצמודים לאיברי ) Rומכאן ש־ hS|Riהיא אכן הצגה של ,(Gושקיימת תת־מלה של wכך שמייצגת
יותר מחצי היחס )כדי להראות שזו אכן הצגת דהן( .נוכיח זאת באינדוקציה על — nהאורך של .w
המלה wמתייגת מעגל ) γ : [0, n] → X (G, Sבגרף קיילי של החבורה .לפי הלמה הראשונה נוכל למצוא
שלמים ] k, l ∈ [nהמקיימים |l − k| ≤ 8δ + 1כך ש־ ] γ|[k,lאינה קטע גיאודזי .נסמן ב־ vאת התיוג של המסילה
] ,γ|[k,lוב־ uאת הקטע הגיאודזי בין ) γ (lו־) .γ (kבלי הגבלת הכלליות ]) [γ (l) , γ (kו־ ] γ|[k,lללא חפיפות
)אחרת היינו בוחרים l, kקרובים יותר(.
אנחנו רואים ש־ vהיא תת־מלה של w = w1 vw2 ,wעבור איזשהם — w1 , w2תת־מלים של ,wו־ uvמתייגת
מעגל בגרף־קיילי כך ש־ .π (uv) = 1מההנחה שאין חפיפה uv ,היא מצומצמת־ציקלית .מתנאי ) (2ו־)(4
בחירת r = uvתוביל לכך ש־.r ∈ R
אם w1 , w2הן המלים הריקות ,אז סיימנו .אחרת ,מהנחת האינדוקציה ) w1u−1 w2שקצרה יותר באורכה
מ־ (wיכולה להיכתב כמכפלה של איברים צמודים לאיברי ,Rולכן גם ,w = w1 u−1 w2 w2−1 (uv) w2וסיימנו.
נשים לב שחבורות היפרבוליות הן בעלות בעיית צמידות פתירה ,וצליל סלע הוכחית שבעיית האיזומורפיזם
אף היא פתירה עבור חבורות היפרבוליות חסרות־פיתול.
32
18
18
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
האם תת־חבורה של חבורה היפרבולית היא בהכרח היפרבולית? לא .לדוגמה ,יכולה להיות איזושהי תת־חבורה
לא נוצרת־סופית )חבורה חופשית על אינסוף יוצרים כתת־חבורה של F2כמו שראינו בעבר( .יש גם דוגמאות
נוצרות־סופיות שאינן מוצגות־סופית שמשוכנות בחבורה היפרבולית )הבנייה של ריפס( ואפילו תת־חבורה
מוצגת־סופית שאינה היפרבולית של חבורה היפרבולית )בנייה קשה יותר ,של נואל בריידי( .אם ,H ≤ Gמה
נוכל לומר על היחסים בין Hו־ Gכמרחבים־מטריים?
תרגיל :177תת־חבורות ציקליות של חבורות אבליות נוצרות־סופית הן משוכנות־קוואזי־איזומטרית.
באופן כללי ,האורך של Hיכול להיות גדול יותר מהאורך של :G
1
תרגיל :178עבור
1
2
1
= ,Aעם ערך־עצמי אחד )הגדול יותר( .λ > 1נשים לב ש־ Aלא מקבעת
כל וקטור שאינו האפס על ) Z2העתקה כזו מכונה אנוסוב — .(Anosovתהא ΓAלהיות הרחבת HNNשל
Z2 = hai ⊕ hbiביחס לשני ההומומורפיזמים החח"ע — Id : Z2 → Z2ו־ .A : Z2 → Z2נוסיף איבר נוסף y
כך שלכל g ∈ Z2מתקיים tgt−1 = Agונסמן } T = {a, bו־}.S = {a, b, t
n
gk2
2
.limn→∞ kA
.1הראה שניתן לבחור g ∈ Zכך ש־λn kgk2 = 1
.2הראה ש־) lT (An g) ≥ Cλn lT (gעבור איזשהו קבוע .C
.3הראה שמצד שני.lS (tn gt−n ) ≤ lS (g) + 2n ,
לכן ,נרצה להוסיף תנאי נוסף שיבטיח שהשיכון של Hב־ Gהוא שיכון קוואזי־איזומטרי.
הגדרה :179תת־מרחב Yשל מרחב־מטרי גיאודזי Xהוא קוואזי־קמור אם קיים קובע K ≥ 0כך שלכל
y1 , y2 ∈ Yולכל ] x ∈ [y1 , y2מתקיים .d (x, Y ) ≤ K
למה :180תהא Gחבורה עם קבוצת יוצרים סופית .Sאם Hקוואזי־קמורה ב־) ,X (G, Sאזי היא נוצרת־סופית
והשיכון H → Gהוא שיכון־קוואזי־איזומטרי.
הוכחה :יהא h ∈ Hונכתוב אותו בתור מלה ב־ .h = s1 · · · · · sq — Sעבור כל 0 ≤ i ≤ qקיים מסלול באורך
לכל היותר kהמתויג uiבין איבר hiשל Hו־ .s1 · · · · · siלכן hיכולה להיכתב כמכפלה של qהאיברים
,vi = h−1שהן באורך לכל היותר wk + 1ב־ .Gלכן Hנוצרת על ידי מספר סופי של איברי Hשהן
i hi+1
באורך lSשל לכל היותר 2k + 1ב־ .Gמעבר לכך ,נשים לב שביחס לקבוצת היוצרים הזו ,האורך של h ∈ H
הוא לכל היותר .lS (H) = q
אם Gהיפרבולית ,הכיוון השני ללמה גם נכון:
טענה :181אם תת־חבורה נוצרת־סופית Hשל חבורה היפרבולית Gהיא שיכון־קוואזי־איזומטרי של ,Gאזי
Hהיא קוואזי־קמורה ב־) X (G, Sלכל בחירה של קבוצת יוצרים .S
הוכחה :נניח שקיים שיכון קוואזי איזומטרי של Hלתוך .Gהוכחנו שזה לא תלוי בבחירות קבוצת יוצרים ,ולכן
כל בחירה של קבוצות יוצרים T, Sניתנת להרחבה לשיכון־)(C, D־קוואזי־איזומטרי )f : X (H, T ) → X (G, S
)ניזכר ששיכון של חבורה לגרף־קיילי שלה הוא קוואזי־איזומטרי — ).(X (H, T ) → H → G → X (G, S
אם ,h, h0 ∈ Hיהא γקטע גיאודזי בין hו־ h0ב־) .X (H, Tאזי f ◦ γהוא קטע־)(C, D־קוואזי־גיאודזי
בין hו־ h0ב־) .X (G, Sממשפט שהוכחנו ,לכל נקודה xבקטע הגיאודזי בין hו־ h0ב־) X (G, Sנמצא במרחק
לפחות Kמ־) ,Im (F ◦ γכאשר Kתלוי אך ורק ב־) (C, Dוקבוע ההיפרבוליות של ) .X (G, Sלכן xהוא
במרחק לכל היותר K + 1נקודות ב־ .Hלכן ))) f (γ (X (H, Tהיא קוואזי־קמורה ב־) .X (G, Sלכן H
קוואזי־קמורה ב־.G
מסקנה :182תהא Hתת־חבורה של חבורה היפרבולית .Gאם Hקוואזי־קמורה בגרף קיילי של Gבהתאם
לקבוצת יוצרים אחת של ,Gהיא קוואזי קמורה ביחס לכל קבוצת יוצרים.
הוכחה :אם Hקוואזי קמורה ב־) ,X (G, Sהיא שיכון איזומטרי ב־ .Gלכן היא קוואזי קמורה בכל גרף־קיילי
של Gמהטענה הקודמת.
מהמסקנה נוכל כעת להגדיר בכלליות:
33
18
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
הגדרה :183תת־חבורה Hשל חבורה היפרבולית Gהיא קוואזי־קמורה אם היא תת־קבוצה קוואזי־קמורה של
איזשהו גרף־קיילי של .G
מהלמה האחרונה שהוכחנו יחד עם העובדה שיכון־קוואזי־איזומטרי של תת־מרחב של מרחב היפרבולי הוא
היפרבולי ,נקבל את המסקנה:
מסקנה :184תת־חבורה קוואזי־קמורה של חבורה היפרבולית היא היפרבולית.
נרצה כעת להבין את התת־חבורות האבליות של חבורות היפרבוליות בכלל ,ובפרט להראות שחבורה היפרבולית
לא יכולה להכיל תת־חבורה שאיזומורפית ל־ .Z2ברור שהיא לא יכולה להכיל שיכון־קוואזי־איזומטרי של
עותק ,שכן Z2אינה היפרבולית ,אבל מה עם עותק שאינו כזה?
לצורך זאת ,נלמד על מרכזים של חבורות היפרבוליות .ניזכר שמרכז של איבר g ∈ Gהוא תת־חבורה של
כל האיברים שמתחלפים עם ,gוהיא מסומנת בתור ) CG (gאו ).C (g
נרצה להוכיח את המשפט הבא:
משפט :185מרכז של חבורות היפרבוליות הוא קוואזי־קמור.
לצורך כך ,נוכיח את הלמה הבאה:
למה :186תהא Gחבורה δ־היפרבולית ביחס לקבוצת יוצרים .Sקיימת פונקציה M : N × N → Nכך שאם
u, v ∈ Gצמודים ,אזי קיים g ∈ Gכך ש־ gug−1 = vוגם )).lS (g) ≤ M (dS (1, u) , dS (1, v
הוכחה) :של הלמה( .נגדיר ) M (k, lלהיות העצמה של הכדור ברדיוס 4δ + 2k + 3lמסביב ל־ 1ב־)X (G, S
—
) X(G,S
)M (k, l) = B4δ+2k+3l (1
נניח ש־ gug −1 = vוש־ gהוא האיבר הקצר ביותר המצמיד את uל־ .vנסמן ב־ t 7→ gtעבור ])t ∈ [0, l (g
0
את הקטע הגיאודזי בין 1ו־ gב־) ,X (G, Sוב־ ) s 7→ gs = g(l(g)−sאת הקטע ההופכי .נסתכל על הקטע
הגיאודזי ) c : [0, T ] → X (G, Sבין 1לבין ,guואת ) c0 : [0, T ] → X (G, Sלהיות ההופכי שלו ,קרי —
0
.c0 : s 7→ cs = cT −tהקטע הגיאודזי t 7→ gtו־ t 7→ ctהם בעלי אותה נקודת התחלה ,ולכן לפי למה שהוכחנו
מתקיים לכל :t
))d (gt , ct ) ≤ 2 (δ + l (u
0
באופן דומה ,לכל ] s ∈ [0, Tהקטע הגיאודזי s 7→ csו־ s 7→ guγs = vgl(g)−sהם בעלי אותה נקודת התחלה,
ולכן
0
))d cs , guγs < 2 (δ + l (v
ולכן
))d cT −s , vgl(g)−s < 2 (δ + l (v
על ידי בחירת s = T − tנקבל
))d ct , vgl(g)−T +t < 2 (δ + l (v
ולכן קיבלנו:
)d vgl(g)−T +t , vgt = l (g) − T ≤ l (u
34
18
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
על ידי חיבור כל התוצאות האלו ,נקבל שלכל tמתקיים
)l gt−1 vgt ≤ d (gt , vgt ) ≤ 4δ + 2l (v) + 3l (u
ולכן Tקטן ממש מ־)) ,M (l (u) , l (vולכן קיימים ) 0 ≤ k ≤ l ≤ n = l (gכך ש־ .gl−1 vgl = gk−1 vgkאם
,g = s1 · · · · · snאז נקבל שמתקיים
−1 −1
−1
−1
s−1
vg = u
n · · · · · sl+1 sk · · · · · s1 vs1 · · · · · sk sl+1 · · · · · sn = g
בסתירה לכך ש־ gהיא הקצרה ביותר.
לאחר שהוכחנו את הלמה ,נוכל להוכיח את המשפט:
הוכחה) :של המשפט( נסתכל על איבר ) ,h ∈ C (gועל קטע קוואזי־גיאודזי t 7→ htב־) X (G, Sבין
1ל־ .hנרצה להראות ש־ htנשאר במרחק חסום מ־) .C (gכמו בהוכחה של המשפט הקודם ,נראה שקיים
0
h−1הוא באורך לכל היותר .Rמהמשפט הקודם קיים h ∈ Gעם
רק ב־
δו־) l (gכך ש־ t ght
קבוע Rהתלוי
0
0
0
0
−1
−1
) l h ≤ M (l (g) , Rכך ש־ .h gh = ht ghtלכן ,האיבר ht hנמצא ב־) ,C (gומתקיים
0
0
)d ht , ht h = l h ≤ M (l (g) , R
ולכן לכל ht ,tהוא במרחק לכל היותר ) M (l (g) , Rמנקודה ב־).C (g
תרגיל :187הוכח ש־ ΓA = Z2 oA Zהיא לא היפרבולית עבור אף אנסוב .A
הערה :188אם נסתכל על החבורה הציקלית הנוצרת על ידי ,gהיא מוכלת במרכז.
נוכיח ש־ hgiמאינדקס סופי ב־).C (g
טענה G :189היפרבולית H, K ≤ G ,קוואזי־קמורות )עם קבוע .(Rאזי H ∩ Kגם קוואזי־קמורה.
כדי להוכיח שתת־חבורה קוואזי־קמורה ,מספיק להסתכל על כל קטע גיאודזי בין 1לבין כל איבר h ∈ H
ולהראות שזה חסום.
הוכחה g0 ∈ [1, g] ,g ∈ H ∩ K :קטע־גיאודזי בין 1ל־ gב־) .X (G, Sיהי gD ∈ H ∩ Kהכי קרובה ל־ ,g0
אזי ) [0, D] → X (G, Sעל ידי t 7→ gtקטע גיאודזי בין g0לבין .gDכעת ,אם t > R + δאז
d (gt , [h0 , g0 ]) < δ
לכן יש ht ∈ Hכך ש־
d (gt , ht ) ≤ R + δ
זאת היות ש־ Hקוואזי־קמורה ו־ .h0 , gD ∈ Hבאופן דומה אם t > R + δאז יש kt ∈ Kכך ש־
.d (gt , kt ) ≤ R + δ
יהיו vt , utהמקיימות ht = gt utו־ .kt = gt vtאם
2
D > |B (δ + R)| + R + δ
אז יש
R+δ <s<t
כך ש־ us = utו־ .vs = vtאז
= hs ht gD ∈ H
−1
gs us u−1
s gt gD
=
gs gt−1 gD
באופן דומה gs gt−1 gD ∈ Kאבל
) < d (G0 , gD
d g0 , gs gt−1 gD
בסתירה ,שכן הנחנו ש־ gDהקרובה ביותר.
לכן H ∩ K .D ≤ |B (R + δ)|2 + R + δהיא D־קוואזי־קמורה.
35
18
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
מסקנה G :190היפרבולית g ∈ G ,מסדר אינסופי אז ) hgiהחבורה הציקלית( קוואזי־קמורה ב־.G
)Z (H
הגדרה H :191חבורה ,המרכז — ) — Z (Hשל Hהם כל האיברים המתחלפים עם כולם:
}Z (H) = {h ∈ H|∀h0 ∈H hh0 = h0 h
מדובר בתת־חבורה אבלית .אם Hנוצרת־סופית על ידי ,Tאזי
)CH (t
\
= )Z (H
t∈T
הוכחה C (g) :קוואזי־קמורה ב־) Gיש שיכון קוואזי־איזומטרי ל־ .(Gמכאן ,היא נוצרת־סופית על ידי Tוהיא
היפרבולית.
)CC(g) (t
\
= ))Z (C (g
t∈T
כל חבורה שאותה אנחנו חותכים היא קוואזי־קמורה ב־) C (gולכן )) Z (C (gגם קוואזי־קמורה .הוכחנו שחבורה
נוצרת־סופית אבלית ,וחבורה ציקלית הנוצרת בתוכה — אזי יש שיכון קוואזי־איזומטרי לתוכה .קיבלנו:
QI
QI
QI
hgi ,→ Z (C (g)) ,→ C (g) ,→ G
ולכן יש שיכון־קוואזי־איזומטרי מ־ hgiל־.G
משפט G :192היפרבולית g ∈ G ,מסדר אינסופי ,אז hgiמאינדקס סופי ב־).C (g
למה :193אם gpצמוד ל־ gqאז .p = ±q
n
n
הוכחה :נניח tgp t−1 = gqעם .p ≤ qתרגיל .tn gp t−n = gq :ההוכחה באינדוקציה .לכן מתקיים
n
| lhgi g p = |q n
n
)lG tn g p t−n ≤ 2nlG (t) + |pn | lG (g
QI
אבל hgi ,→ Gולכן |.|p| = |q
כעת נוכל להוכיח את המשפט:
הוכחה) :הוכחת המשפט( על ידי החלפת gבחזקה של עצמו ,נוכל להניח ש־ gאינו צמוד של אף איבר
באורך קטן מ־ .4δואכן ,יש מספר סופי של מחלקות צמידות ב־ Gהחותכות את הכדור ברדיוס ,4δאבל hgi
חותכת מספר אינסופי של מחלקות צמידות ב־.G
נראה שהמרחק ) d (h, hgiחסום על כל האיברים ) h ∈ C (gעל ידי )) 2δ + l (gזה נותן קבוצה סופית של
איברים h1 , . . . , hmכך שלכל ) h = g r hi ,h ∈ C (gעבור איזשהו .(i = 1, . . . , m ,r ∈ Zיהא )h ∈ C (g
ויהיה rכך ש־ grקרוב ביותר ל־ .hנשים לב ש־ 1הוא הנקודה הקרובה ביותר של hgiביחס ל־ g−r hשהוא
איבר ב־) ,C (gו־) .d (g −r h, 1) = d (h, g rלכן נוכל להניח ש־ .g r = 1כעת g ,היא הנקודה הכי קרובה ב־hgi
ל־.gh
נסתכל על הלולאה המתחילה ב־ ,1המתויגת על ידי .ghg−1 h−1היא יוצרת מלבן גיאודזי של הקדקודים
.1, g, gh, hנוכל לחתוך את המלבן באלכסון ולהפעיל את תנאי המשולש הצר לכל אחד משני המשולשים.
נניח ש־)) .d (1, h) ≥ 2 (2δ + l (gתהא hsהנקודה על הקטע הגיאודזי ] [1, hשבמרחק של יותר מ־)2δ+l (g
מ־ 1ומ־ .hאזי היא חייבת להיות δ־קרובה לנקודה wעל ] ,[1, ghובנוסף .d (w, 1) > l (g) + δכעת ,מזה נובע
כי wהיא δ־קרובה לנקודה ghtעל ] .[g, ghולסיום .d (ght , hs ) ≤ 2δ ,אם ,t > s + 2δנקבל ש־ hקרובה יותר
ל־ ,gמה שגורר
ל־ gמאשר ל־,1
בסתירה .באופן דומה עבור ,s ≤ t + 2δאחרת ghקרובה יותר ל־ 1מאפשר
−1
d 1, h−1
gh
≤
4δ
כי
נובע
ומכאן
,
d
(h
,
gh
)
≤
4δ
כי
נקבל
לכן,
.
1
ל־
מאשר
g
ל־
יותר
ש־ gקרובה
t
t
t
t
שגורר סתירה )בחרנו gשאינה צמודה לאף איבר קרוב( ,ובכך מסתיימת ההוכחה.
36
18
תת־חבורות של חבורות היפרבוליות
מסקנה :194חבורה היפרבולית Gלא מכילה תת־חבורה איזומורפית ל־ .Z2
הוכחה :אם H = Z2היא תת־חבורה של חבורה היפרבולית ,Gאזי לכל ,h ∈ Hהמרכז של hב־ Gמכיל את
,Hאבל אז hhiלא יכול להיות בעל אינדקס סופי.
הוכחנו כעת כי אם שני איברים של חבורה היפרבולית מתחלפים ,הם יוצרים .virtually cyclic groupאם הם
אינם מתחלפים ,האם הם יוצרים גם כן?
בחבורה חופשית:
הערה :195יהיו a, bשני איברים בחבורה חופשית :Fהם יוצרים תת־חבורה של Fשחייבת להיות חופשית,
ומדרגה לפחות .2אם a, bלא מתחלפים ,הדרגה היא בדיוק .2
למעשה ,ניתן אפילו להראות:
טענה :196חזקות מספיק גבוהות של איברים לא מתחלפים בחבורה היפרבולית יוצרים תת־חבורה חופשית.
37
19
מרחב החבורות המסומנות
חלק V
חבורות גבול
מחלקה נוספת של חבורות המוגדרות גיאומטרית הינם חבורות גבול .חבורות היפרבוליות הן "כמעט" חופשיות
שכן הגרף־קיילי שלהם "כמעט" עץ .בפרק זה נדון בסוג נוסף של חבורות שהן "כמעט" חופשיות ,אך במובן
אחר.
19
Gk
מרחב החבורות המסומנות
הגדרה :197חבורה מסומנת היא זוג סדור ) (G, Sכאשר Gחבורה ו־) S = (s1 , . . . , skהיא קבוצת יוצרים
סדורה של .G
0
0
שתי חבורות מסומנות )) (G, (s1 , . . . , skו־ G0 , s1 , . . . , skהן זהות אם ורק אם k = k0וההעתקה
0
ההח"ע ועל si 7→ siמתרחבת לאיזומורפיזם של חבורות.
קבוצת כל מחלקות השקילות עד כדי איזומורפיזם של חבורות מסומנות ) (G, Sכאשר Sהיא k־יה מסומנת
על ידי .Gk
הערה :198נשים לב שעבור חבורה Gעם שתי קבוצות יוצרים שונות (G, S) ,S, Tו־) (G, Tאינן שקולות
כחבורות מסומנות.
תרגיל :199הוכח ש־) (Z, 1ו־) (Z, −1איזומורפיות כחבורות מסומנות )ולכן זהות ב־ ∞ ,(Gאבל ))(Z, (2, 3
ו־)) (Z, (1, 3אינן איזומורפיות.
דוגמה :200הנה דוגמה לעוד שתי דרכים לחשוב על חבורות מסומנות:
.1חבורה מסומנת היא חבורה Gיחד עם אפימורפיזם ) π : Fk → Gאם a1 , . . . , akהוא הבסיס הסטנדרטי
של Fkאזי Sמוגדרת על ידי ) .(si = π (ai
.2בחירת נקודה ב־ Gkמותאמת בדיוק לבחירת תת־חבורה נורמלית ב־ .Fk
נרצה לטעון ששתי חבורות מסומנות הן קרובות אם היוצרים שלהם מקיימית את אותם יחסים באורך מסויים:
הגדרה :201יהיו ) (G0 , S 0 )(G, Sשתי נקודות ב־ .Gkנגדיר
o
0
0
w
)(S
=
1
⇒⇐
w
(S
)
=
1
G
G
letters with l(w)≤m
k
n
R ((G, S) , (G0 , S 0 )) = max n|∀w reduced word on
מרחב החבורות המסומנות הוא הקבוצה Gkעם המטריקה dהמוגדרת על ידי
0
0
)) d ((G, S) , (G0 , S 0 )) = 2−R((G,S),(G ,S
תרגיל :202לבדוק שזוהי מטריקה.
מהגדרת המטריקה נקבל ש־) (G, S) , (G0 , S 0הן 2−rקרובות ,אם ורק אם הן מקיימות בדיוק את אותם יחסים
באורך לכל היותר .r
מבחינה גיאומטרית R ((G, S) , (G0 , S 0 )) ≥ r ,אם ורק אם הכדורים ברדיוס 2rשל גרפי הקיילי שלהם
איזומורפיים כגרף מתויג )ופירושו ,יש איזומורפיזם של גרפים ביניהם ששולח קדקוד המתויג siלקדקוד המתויג
0
.(siההוכחה מושארת כתרגיל.
טענה :203הסדרה
Z
)nZ , (1
הוכחה, (Z, (1)) ≥ n − 1 :
מתכנסת ל־)) (Z, (1כאשר ∞ → .n
Z
)nZ , (1
Rשכן ב־
Z
)nZ , (1
אין יחסים באורך גדול יותר מ־.n
38
19
מרחב החבורות המסומנות
טענה (Gk , d) :204קומפקטי
הוכחה :נסתכל על קבוצת החזרה:
) Gk = {k C Fk } ⊂ P (Fk
זו הכלה קבוצתית .נרצה לטעון שעל ידי הוספת המטריקה שאר הדברים יסתדברו.
• טופולוגיית המכפלה על {0, 1}Fkנובע An → Aב־ Fkאם ורק אם F ⊂ Fkל־ nמספיק גדול
.An ∩ F = A ∩ Fלכן ,עבור kn → kעבור איברים kn , k ∈ Gkבטופולוגיית המכפלה אזי
,d (k, kn ) → 0אם F ⊂ Fkאז יש rכך ש־) F ⊂ Br (1ולכן ל־ nמספיק גדול .k ∩ F = kn ∩ F
ולכן אנחנו יודעים שזה שיכון של מרחבים טופולוגיים.
• נשמש במשפט טיכונוף .המשפט קובע שמכפלה של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית .אנחנו מסתכלים
על מרחב שהוא מכפלה של מרחבים עם 2איברים ,ולכן סופי ולכן קומפקטי .לכן ) .P (Fkכעת נוכיח
ש־ Gkסגור ואז יינבע שהוא קומפקטי כי הוא סגור בקומפקטי )צריך האוסדורף ,אבל זה כמובן האוסדורף(.
נסתכל על ,A ← kn / Fkאם a, b ∈ Aלכל n ∈ Nמספיק גדול ,a, b ∈ kn ,ולכן a−1 b ∈ knולכן
a−1 b ∈ Aולכן Aתת־חבורה .בנוסף ,אם g ∈ Fk ,a ∈ Aלכל n ∈ Nמספיק גדול,a ∈ kn ,
gag−1 ∈ knמנורמליות ,ולכן gag−1 ∈ Aולכן .A / Fk
טענה :205הקבוצה } A = {(G, S) |G is abelianגם פתוחה וגם סגורה.
הוכחה :עבור חבורה ,(G, S) ∈ Aלכל ) (G0 , S 0עם d ((G, S) , (G0 , S 0 )) < 2−4אבלית .זה בדיוק אומר
−1
[si , sj ] = si sj s−1
שהאיברים של S 0בדיוק אותם היחסים מאורך 4כמו ,Sולכן לכל i, j ∈ Nגם = 1
i sj
h 0 0i
ולכן si , sj = 1ולכן אבלית.
עבור (G, S) ← (Gn , Sn ) ∈ Aל־ n ∈ Nמספיק גדול d ((Gn , Sn ) , (G, S)) < 2−4 ,ולכן Gאבלית.
הערה (1, (1 . . . 1)) :206נקודה בודדת.
טענה :207תהא φפסוק אוניברסלי )לא כולל כמת כולל( מסדר ראשון )בשפה החבורות( .הקבוצה = Uφ
} {(G, S) |G |= φסגורה ב־ .Gk
−1
הערה :208שפת החבורות .L = ·, , 1פסוק אוניברסלי שקול ל:
=or6
wij (x1 , . . . , xp ) = 1
^ N
u
_
∀x1 ,...,xp
i=1 j=1
דוגמה :209דוגמה לפסוקים אוניברסליים:
.1אבליות.∀x,y xyx−1 y−1 = 1 :
.2אין n־פיתול.∀x,y x = 1 ∨ xn 6= 1 :
.3קומוטטיביות־טרנזיטיביות.∀x,y,z y 6= 1 ∧ [x, y] = 1 ∧ [y, z] = 1 → [x, z] = 1 :
הוכחה :יהיו ) (Gn , Sn ) → (G, Sכך ש־ .Gn |= φנניח ש־ Gלא מקיימת את ,φאז אפשר למצוא איברים
שמעידים על זה .יש g1 , . . . , gp ∈ Gשלא מקיימים אף אחת מההערכות .Σiכל איבר giהוא איבר בתוך G
ולכן הוא מלה ב־ .Sנכתוב
)gi = gˆi (S
ועבור n ∈ Nמספיק גדול ,נסתכל על היחס wij (gˆ1 (S) , . . . , gˆp (S)) = 1אם ורק אם = )) wij (gˆ1 (Sn ) , . . . , gˆp (Sn
1ואז שגם ב־ Snלא מתקיים אף אחת מההערכת ,Σiבסתירה.
39
21
20
Lk
אפיונים שקולים לחבורות גבול
חבורות גבול
הגדרה .Lk = Fk = {(G, S) |G is free} ⊂ Gk :210
Gלא חייבת להיות חופשית מעל ,Sאלא פשוט חופשית.
הגדרה G :211נוצרת־סופית G .תיקרא חבורת גבול אם יש k — S־יית יוצרים כך ש־ .(G, S) ∈ Lk
תרגיל G :212חבורת גבול S ,קבוצת־יוצרים סופית ,אז יש (G, S) ← (Fn , Sn ) ∈ Gkכך ש־ Fnחופשית.
תת־חבורות נוצרות־סופית של חבורות גבול הן חבורות גבול גם כן.
דוגמה :213
• חבורות חופשיות הן חבורות גבול.
• חבורות אבליות חופשיות הן חבורות גבול )כגבול של .(Z
נבחן תכונות של חבורות גבול:
טענה :214לכל חבורת גבול מתקיים:
.1חבורת גבול היא חסרת־פיתול.
.2חבורת גבול היא קומוטטיבית־טרנזיטיבית.
.3כל שני איברים בחבורת גבול שלא מתחלפים יוצרים חבורה חופשית מדרגה .2
הוכחה :לפי טענה קודמת ,כל נוסחה אוניברסלית המסופקת על ידי חבורות חופשיות מסופקת על ידי חבורות
גבול .לכן:
.1נקבע .n ∈ Nהנוסחה הבאה מסופקת על ידי חבורה חופשית — )) ,∀x ((x = 1) ∨ (xn 6= 1ולכן היא
מסופקת על ידי כל חבורת גבול.
.2כל חבורה חופשית מספקת — )) ,∀x,y,z (((y 6= 1) ∧ ([x, y] = 1) ∧ ([y, z] = 1)) → ([x, z] = 1ולכן גם
כל חבורת גבול מספקת אותה.
.3הוכחנו בעבר שזה נכון בחבורה חופשית ,ולכן לכל מלה מצומצמת לא ריקה wמשני איברים ,הנוסחה
)) ϕw := ∀x,y (([x, y] 6= 1) → (w (x, y) 6= 1מסופקת בכל חבורה חופשית ולכן בכל חבורת גבול .לכן,
אם a, bאיברים בחבורת גבול שאינם מתחלפים ,אין מלה לא טריוויאלית ב־ a, bהמייצגת את האיבר
הטריוויאלית ,ולכן a, bיוצרים חבורה חופשית מדרגה .2
דוגמה :215החבורה F2 × Zאינה חבורה גבול ,שכן היא אינה קומוטטיבית־טרנזיטיבית.
21
21.1
אפיונים שקולים לחבורות גבול
תורה אוניברסלית
טענה :216תהא Gחבורת .f gאזי Gהיא חבורת גבול לא אבלית אם ורק אם יש לה אותה תורה אוניברסלית
כמו .F2
הערה :217כל חבורה חופשית לא אבלית היא בעלת אותה תורה אוניברסלית .לכל k > 1מתקיים ש־ F2 ≤ Fk
ולכן ) Th∀ (Fk ) ⊆ Th∀ (F2וגם Fkמשוכנת ב־ F2ולכן גם ההכלה ההפוכה מתקיימת.
הוכחה :תהא Gחבורת גבול לא אבלית ,אזי היא מכילה שני איברים שלא מתחלפים ,ולכן היא מכילה עותק
של ,F2ולכן ) .Th∀ (G) ⊆ Th∀ (F2
בכיוון השני ,אם ϕנוסחה אוניברסלי המסופקת על ידי כל החבורות החופשיות ,אזי היא מסופקת על ידי G
שכן זוהי תכונה סגורה.
40
21.2
21
חבורה מובחנת חופשית במלואה
אפיונים שקולים לחבורות גבול
נניח Gהיא חבורת f gעם אותה תורה אוניברסלית כמו .F2תהא ) S = (s1 , . . . , skקבוצת יוצרים סופית
של .Gלכל Nנכתוב את הנוסחה הבאה:
w (x1 , . . . , xk ) = (6=) 1
^
ϕN := ∃x1 ,...,xk
) w∈BN (Fk
כאשר נבחר ב־"=" אם w (s1 , . . . , sk ) =G 1ו־"= "6אחרת .הנוסחה מסופקת ב־ Gולכן מסופקת ב־ ) F2אחרת,
השלילה שלה ,שהיא נוסחה אוניברסלית ,הייתה מתקיימת ב־ .(F2יהא )) S (n) = (s1 (n) , . . . , sk (nעד לכך
שהנוסחה מסופקת .קל לראות ש־)) (F2 , S (nמתכנסת ל־) ,(G, Sולכן Gחבורת גבול מהגדרה.
21.2
חבורה מובחנת חופשית במלואה
הגדרה :218חבורה Gתיקרא מובחנת חופשית ) (Residually freeאם לכל איבר לא טריוויאלי ,gקיים
הומומורפיזם f : G → Fכאשר Fהיא חבורה חופשית ,כך ש־.f (g) 6= 1
הגדרה :219חבורה Gתיקרא מובחנת חופשית במלואה ) (Fully residually freeאם לכל קבוצה סופית של
איברים לא טריוויאלים } ,{g1 , . . . , gqקיים הומומורפיזם f : G → Fכאשר Fהיא חבורה חופשית ,כך שלכל
iמתקיים .f (gi ) 6= 1
למה :220תהא Gחבורת f gמובחנת חופשית במלואה ,אזי Gהיא חבורת גבול.
הוכחה G :מובחנת חופשית במלואה ונוצרת על ידי קבוצה סופית ,Sאזי לכל n ∈ Nנגדיר את )fn : G → F (n
להיות ההומומורפיזם שאינו הורג את האיברים הלא טריוויאלים הנוצרים כמלים ב־ Sבאורך לכל היותר .n
נגדיר ) Sn = fn (Sונגדיר את Gnלהיות התת־חבורה החופשית של ) F (nהנוצרת על ידי .Snמהגדרה ,לכל
מלה wבאיברי Sמתקיים w (S) = 1ב־ Gולכן w (Sn ) = fn (w (S)) = 1ב־ ,Gnולכל מלה wבאורך לכל
היותר ,nאם w (S) 6= 1אזי .w (Sn ) 6= 1לכן ).(Gn , Sn ) → (G, S
למעשה ,הכיוון ההפוך נכון אף הוא:
טענה :221תהא Gחבורת .f gאזי Gהיא חבורת גבול אם ורק אם היא מובחנת חופשית במלואה.
הכיוון הזה קשה יותר.
הערה :222אם אנחנו יודעים שחבורת גבול Gהיא בעלת הצגה סופית ,hS|r1 (S) , . . . , rq (S)iאזי זה קל
— נבחר את mלהיות האורך המירבי של ה־ riושל האיברים שאנחנו רוצים לשמר ,ונגדיר ) (G0 , S 0חברה
חופשית מסומנת שמקיימת בדיוק את אותם יחסים מאורך mכמו ) .(G, Sההעתקה G → G0הנובעת מההעתקה
S → S 0מתרחבת להומומורפיזם ,שכן כל היחסים של Gתקפים גם ב־ ,G0וההומומורפיזם הזה לא הורג אף
איבר שרצינו לשמר.
נשתמש בלמה הבאה:
למה {wi (x1 , . . . , xn ) = 1}i∈I :223מערכת־משוואות ,אז יש I0 ⊂ Iסופית כך שלכל Fחופשית ,לכל
g1 , . . . , gn ∈ Fמתקיים
wi (g1 , . . . , gn ) = 1
^
⇒⇐ wi (g1 , . . . , gn ) = 1
i∈I
^
i∈I0
הוכחה :הוכחנו שכל חבורה חופשית היא ליניארית ,שכן .F ,→ F2 ,→ SL2 (Z) ,→ R4נוכל לחשוב על
איברים של Fכמטריצות ,ולכן בעצם ) — w (x1 , . . . , xnכמשוואה בודדת — היא בעצם מערכת של 4משוואות
פולינומיאליות באיברים של מטריצות שתסומן .Σw
n
o
n
V = (a1 , . . . , an ) ∈ R4 |∀i∈I Σwi (a1 , . . . , an ) = 1
S
ולכן Σwiמייצר אידאל ב־] R [x1 , . . . , xnשהוא נתרי ממשפט הבסיס של הילברט .יש I0 ⊂ Iסופי כך
ש־ .VI = VI0לכן Fn ∩ VI = Fn ∩ VI0היא הקבוצה של איברים שמקיימים את כל המשוואות.
הערה :224ניתן להוכיח גם בלי היריעות האלגבריות והמטריצות ,אלא ישירות ,אבל היא הוכחה מסובכת יותר,
ועובדת דרך פעולות על עצים וכו' .לא ניכנס לזה כאן.
41
22
22
מורפיזמים לחבורה החופשית
מורפיזמים לחבורה החופשית
יש לנו חבורה נוצרת־סופית Gואנחנו רוצים להסתכל על כל המורפיזמים שלה לחבורה חופשית .F
משפט G :225נוצרת־סופית ,אזי יש קבוצה סופית של מנות של Gוכל אחד מהמנות האלו תהיה חבורת גבול,
כך שכל מורפיזם לחבורה חופשית f : G → Fמתפצל דרך אחד מהמורפיזמים דרך חבורות המנה πiכאשר πi
היא ההטלה מ־ Gלחבורת המנה ה־.i
הערה :226אם Gחבורת גבול ההוכחה טריוויאלי ,ולכן ההוכחה היא כמובן לחבורות שאינן חבורות גבול.
למה אנחנו מתעניינים דווקא במורפיזמים לחבורה חופשית? נניח G = hs1 , . . . , sk |Σ (s1 , . . . , sn )iכאשר Σ
מערכת .מורפיזם f : G → Fשקול לפתרון למערכת Σב־.F
נכתוב ) Hom (G, Fכקבוצת כל המורפיזמים של Gלחבורה החופשית .Fאפשר לחשוב על הדרגה של F
כקבועה .נסתכל משרה שיכון של ) Hom (G0 , Fבתוך ).Hom (G, F
P
G0
G
f ◦P
f
F
למה :227תהא סדרה
Gl1 Gl2 Gl3 . . .
של חבורות נוצרות־סופית .אזי הסדרה המתאימה
Hom (Gl1 , F) ←- Hom (Gl2 , F) ←- Hom (Gl3 , F) ←- . . .
מתייצבת )ז"א ,ל־ iמספיק גדול ,השיכון Hom (Gli , F) ←- Hom Gli+1 , Fהוא על(.
הגדרה H :228חבורה ,המנה המובחנת חופשית של Hהיא
Hom(H,F) ker f
H → RF (H) := H/
T
∈f
• כל מורפיזם f : H → Fמפצל דרך ,πכי .ker π ⊂ ker f
הערה :229
• ) RF (Hמובחנת חופשית.
∈ .h0לכן יש f : H → F
= .hכך ש־ π (h0 ) = hאז / ker π
יהי ) .h ∈ RF (Hיהי 6 1 ,k 0 ∈ H
כך ש־ ,f (h0 ) 6= 1אבל ה־ fהזה צריך להתפצל דרך ) .f = f ◦ π — RF (Hעכשיו = ) 1 6= f (h0
).f (π (h0 )) = f (h
P
• יהי ” R Rעם R.R0מובחנות חופשית ,ו־ Pמנה ממש .אז ) Hom (R, F) ,→ Hom (R0 , Fשיכון ממש:
יהי } r ∈ ker P \ {1אזי יש מורפיזם f : R → Fעם .f (r) 6= 1לכן f 6= f ◦ Pלכל ).f ∈ Hom (R0 , F
לכן כל סדרה R1 R2 R3 . . .של מורפיזם על/לא־חח"ע בין חבורות מובחנות חופשית היא סופית.
הוכחה :נניח ש־ Gלא חבורת גבול .יש {g1 , . . . , gn } ⊆ Gכך שכל f : G → Fהורג אחד מה־ .gi
ההוכחה לא הושלמה ,שכן תם הקורס.
42
