POSEBNA PERIODIČNA DECIMALNA ŠTEVILA

Comments

Transcription

POSEBNA PERIODIČNA DECIMALNA ŠTEVILA
Mladi za napredek Maribora 2012
29. srečanje
POSEBNA PERIODIČNA DECIMALNA ŠTEVILA
Matematika
raziskovalna naloga
Februar, 2012
Kazalo
1. POVZETEK
stran 3
2. UVOD
stran 4
3. PERIODIČNA DECIMALNA ŠTEVILA
stran 5
4. MIDYEV IZREK
stran 7
5. RAZDELIMO PERIODO NA h DELOV
stran 9
6. ALI ŠTEVEC VPLIVA NA PRAVILO?
stran 9
7. ZAKLJUČEK
stran 11
8. VIRI
stran 11
2
1. Povzetek
Ulomki so števila. Lahko tudi s posebnimi lastnostmi. Poznamo desetiške in nedesetiške
ulomke. Desetiške ulomke lahko zapišemo z decimalno številko s končnim številom
decimalnih mest. Nedesetiški ulomek, npr. , lahko zapišemo s periodičnim decimalnim
številom 0, 142857. Če seštejemo 142 + 857, dobimo število 999. Je to slučajno? Poskušala
sva odgovoriti na to vprašanje.
3
2. Uvod
V osnovni šoli spoznamo različne množice števil. To so naravna števila, racionalna,
iracionalna in realna števila.
Množica naravnih števil vsebuje vsa pozitivna cela števila,
={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …}.
Naravnih števil je nešteto mnogo.
Množica racionalnih števil vsebuje vsa pozitivna in negativna števila, tudi tista, ki niso cela.
Zapisana so v ulomkih ali decimalnem zapisu,
= {-3,6; -2,2; -1,9; 0; ½; 1,8 … }.
Racionalnih števil je nešteto mnogo.
Iracionalno število je vsako število, ki ga ne moremo zapisati v obliki ulomka , kjer bi bila a
in b celi števili in b različno od 0. Med iracionalna števila spada veliko znanih števil, npr.: π,
(kvadratni koren števila 2) ...
Realna števila vsebujejo vsa
označimo s črko
racionalna in iracionalna števila. Množico realnih števil
.
Racionalna števila lahko delimo na:
a) desetiška
= 0,5
= 0,25
= 0,1
= 0,2
Desetiška racionalna števila so tista, ki jih lahko zapišemo z
ulomkom in decimalnim zapisom s končnim številom
decimalnih mest.
b) nedesetiška
= 0, 09
= 0, 076923
= 0, 024390
= 0, 027
Nedesetiška racionalna števila so tista, ki jih zapišemo s
periodo. Perioda je decimalni del, ki se ponavlja v
neskončnost.
4
3. Periodična decimalna števila
Nedesetiških decimalnih števil ne moremo razširiti na desetiško enoto (10, 100 ….).
Periodični zapis dobimo z deljenjem. Za ulomek se ponavlja števka 3, v primeru imenovalca
5 pa dobimo desetiški ulomek. Ulomek z imenovalcem 6 zapišemo
= 0,16. Število
zapišemo s periodično decimalno številko s sodim številom števk v periodi. Razpolovimo
periodo in seštejmo oba dela. Vsota je število 999. Morda je to slučaj. Zato v nadaljevanju
preverimo to lastnost za ulomke s števcem 1. Za imenovalec izberemo tako število, da je
ulomek nedesetiški. Zanimala nas bodo števila, ki imajo sodo število števk v periodi, saj le v
takih primerih lahko razpolovimo periodo. Z računanjem ugotovimo, da ima sodo periodo
tudi npr.: ulomek
= 0, 047619. Vendar ne opazimo lastnosti vsote, saj je 047 + 619 = 666.
Izračunala sva periodični zapis za imenovalce, ki so liha števila in niso praštevila, do števila
30.
= 0, 1
0+1=1
= 0, 06
0+6=6
= 0, 047619
047 + 619 = 666
= 0, 04
0+4=4
= 0, 037
liho število decimalnih mest
Ugotovimo, da nič posebnega ne velja za ulomke z lihim številom v imenovalcu, če niso
praštevila. Zato sva opazovala samo ulomke s praštevili v imenovalcu.
Zapišimo vsa praštevila med prvimi stotimi naravnimi števili:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
5
a) Zapis nedesetiških ulomkov z decimalno številko, ki imajo sodo število decimalk v periodi:
= 0, 142857
142 + 857 = 999
= 0, 09
0+9=9
= 0, 076923
076 + 923 = 999
= 0, 0588235294117647
05882352 + 94117647 = 99999999
= 0, 052631578947368421
052631578 + 947368421 = 999999999
= 0, 0434782608695652173913
04347826086 + 95652173913 = 99999999999
= 0, 0344827586206896551724137931
03448275862068 + 96551724137931 = 99999999999999
= 0, 01369863
0136 + 9863 = 9999
= 0, 012987
012 + 987 = 999
Ta lastnost velja za imenovalce 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 73 in 79.
b) Ulomki z lihim številom decimalk v periodi so:
= 0, 032258064516129
liho število decimalnih mest
= 0, 027
liho število decimalnih mest
= 0,02439
liho število decimalnih mest
= 0, 023255813953488372093
liho število decimalnih mest
= 0, 01886792452830
liho število decimalnih mest
= 0, 0126582278481
liho število decimalnih mest
c) Ulomki, za katere ne zmoreva določiti periode:
=
nisva izračunala
=
nisva izračunala
=
nisva izračunala
=
nisva izračunala
6
=
nisva izračunala
=
nisva izračunala
4. Midyev izrek
Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike , kjer je p praštevilo,
ulomek
pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo. Imenuje se po
francoskem matematiku E. Midyju. Predstavimo najprej dokaz izreka in ga prikažimo za
imenovalec 7.
Naj bo p praštevilo in a naravno število, a < p. Potem je < 1.
{Za konkretni primer je tako < 1.}
Po deljenju dobimo periodično decimalno število s periodo dolžine l {l = 6},
= 0,
…
. Enakost pomnožimo z 10 . { = 0, 142857 }
∙ 10 =
…
,
∙ 10 =
+ .
…
. { ∙ 10 = 142857, 142857 }
{ ∙ 10 = 142857 + } Število N je celo število.
Preuredimo zapis:
∙ 10 − =
∙ (10 − 1) =
{ ∙ 10 − = 142857}
.
.
{ ∙ (10 − 1) = 142857}
Zapis pomeni, da je (10 − 1) večkratnik števila p, saj je
∙ (10 − 1) celo število in ker sta
si števili a in p tuji. {999999 : 7 = 142857}
Pri tem (10n – 1) ni večkratnik števila p, če je n < l. {99999 : 7 ni celo število, 9999 : 7 ni
celo število, 999 : 7 ni celo število, 99 : 7 ni celo število in 9 : 7 ni celo število.}
=(
)
{ =(
}
)
7
(*)
V nadaljevanju naj bo l = hk.
{6 = 2  3} Kar pomeni, da sodo število decimalnih mest
razdelimo v zmnožek dveh števil.
Potem je
(**)
(10l – 1) večkratnik števila (10k – 1), k < l.
{(106 – 1) je večkratnik števila
(103 – 1), torej 999999 je večkratnik števila 999.}
Zato je (10l – 1) = m(10k – 1). {999999=1001  999}
=
(
Vemo, da (10k – 1) ni večkratnik števila p (glej *), zato mora biti m večkratnik
)
števila p (ker je (10l – 1) večkratnik števila p). {1001 : 7 = 143}
Zato je
=(
celo število. {
)
∙
=
}
Tako je celo število N deljivo z (10k – 1).
{142857 : 999 = 143} To pomeni, da je vsota
vseh števk števila N deljiva z 9.
Ugotovili smo torej, da je perioda deljiva z razliko (10k – 1).
Periodo razdelimo na hk delov, tako je v našem primeru k = 3 (periodo razdelimo na dva
enaka dela, trimestni števili).
Tako niz števil
=
razdelimo na h delov z dolžino k. Zapišemo cela števila
…
=
=
…
…
…
…
{N1 =142 in N0 = 857} Vsota števk posameznih N1 in N0 števil
ni deljiva z 9.
Za poljubno število Ni velja: 0 <
<
− 1, saj nobeno število Ni ne more biti enako 0, ker
so vsa enake dolžine. Nobeno izmed števil Ni ne more biti enako (10k – 1).
Ne glede na število tako dobljenih celih števil, je njihova vsota večkratnik števila (10k – 1).
{142 + 857 je večkratnik števila 999}.
=
Za h = 2 dobimo celi števili
Za vsoto
+
velja: 0 <
števila (10k – 1) mora biti
+
+
…
in
=
…
.
< 2(10 − 1) in ker je vsota
= (10 − 1). {142 + 857 = 999}
8
+
večkratnik
5. Razdelimo periodo na h delov
Iz samega Midyevega dokaza vidimo, da lahko periodo razdelimo na hk delov (**). Do sedaj
smo razdelili periodo na dva enako dolga dela. Potemtakem lahko periodo razdelimo tudi na
več enako dolgih delov. Poglejmo primere.
a) Pri predpostavki, da sodo število decimalk razdelimo na enako dolge nize, lahko v
primeru = 0, 142857 periodo razdelimo na tri enake dele, h = 3 in k = 2. Potem
dobimo vsoto
14 + 28 + 57 = 99.
= 0, 09 Razdelimo na enako dolge nize števil:
b)
0+9=9
= 0, 076923 Razdelimo na enako dolge nize števil:
c)
076 + 923 = 999
07 + 69 + 23 = 99
d)
= 0, 0344827586206896551724137931
na štiri načine:
Periodo z dolžino 28 lahko razdelimo
214, 47, 74, 142, saj je število 28 deljivo z 2, 4, 7, 14.
Ugotovitev: Vsako periodo s sodim številom decimalk razdelimo na nize z dolžino, ki je
delitelj dolžine periode. Vsota števil v nizih je 9, 99, 999 … .
6. Ali števec vpliva na pravilo?
V vseh opisanih primerih je bil števec ulomka število 1. Kaj pa če števec ulomka ni število 1?
a) Poskusila sva s števcema 2 in 3 pri različnih imenovalcih:
= 0, 285714
= 0, 18
= 0, 428571 428 + 571 = 999
285 + 714 = 999
= 0, 27
1+8=9
= 0, 153846 153 + 846 = 999
2+7=9
= 0, 230769 230 + 769 = 999
9
b) Poskusila sva z imenovalcem 7 in s števcem večjim kot 1:
= 0, 285714
285 + 714 = 999
= 0, 428571
428 + 571 = 999
= 0, 571428
571 + 428 = 999
= 0, 714285
714 + 285 = 999
= 0, 857142
857 + 142 = 999
Ulomki večji od 1:
= 1,142857
142 + 857 = 999
= 1,285714
285 + 714 = 999
= 1,428571
428 + 571 = 999
= 1,571428
571 + 428 = 999
= 1,714285
714 + 285 = 999
= 1,857142
857 + 142 = 999
Ugotovitev: Pri enakem števcu in različnih imenovalcih velja ugotovljena lastnost.
Pri enakem imenovalcu in različnih števcih so števke v periodi vedno enake, le v različnem
vrstnem redu.
10
7. Zaključek
V raziskovalni nalogi sva ugotovila, da ulomki skrivajo marsikaj zanimivega. Za ulomke s
praštevilom v imenovalcu s sodim številom števk v periodi lahko trdimo, da je vsota
posameznih nizov števil vedno 9, 99, 999 … . Periodo razdelimo s pomočjo deliteljev števila
števk. Verjameva, da imajo racionalna števila še kakšno zanimivost, ki bo morda cilj najinega
preiskovanja v bodočnosti.
8. Viri
http://sl.wikipedia.org/wiki/Midyjev_izrek
11