SOLON 230/07

Matematik B
Studentereksamen
1stx131-MAT/B-24052013
121601.indd 1
Fredag den 24. maj 2013
kl. 9.00 - 13.00
12/03/13 07.09
Opgavesættet er delt i to dele.
Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-12 med i alt 14 spørgsmål.
De 20 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen.
Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive
lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes
blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier:
1. TEKST
Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar
præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.
2. NOTATION OG LAYOUT
Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god
matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres
og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden.
3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og
dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk
forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.
4. FIGURER
I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der
skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.
5. KONKLUSION
Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise
konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk
notation.
Stx matematik B maj 2013 side 1 af 5
Delprøven uden hjælpemidler
Kl. 09.00 – 10.00
Opgave 1
Tabellen angiver nogle sammenhørende værdier af x og y.
x
2
6
y
5
29
Det oplyses, at y = a ⋅ x + b.
Bestem a.
Opgave 2
Om trekant ABC oplyses, at arealet er 20, og højden fra C er 5.
Bestem AB .
Opgave 3
En parabel er graf for funktionen
f ( x)  x 2  2 x  3.
Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen.
Stx matematik B maj 2013 side 2 af 5
Opgave 4
Figuren viser graferne for tre forskellige eksponentielt voksende funktioner f , g og h.
Hvilken af de tre funktioner har den største fordoblingskonstant?
Opgave 5
En funktion f er givet ved
f ( x)  2 x 4  2 x  5.
Bestem f ¢( x) .
Opgave 6
En funktion f er bestemt ved
f ( x)   x3  8.
Grafen for f afgrænser sammen med de to
koordinatakser en punktmængde M, som vist på
figuren.
Bestem arealet af M.
Besvarelsen afleveres kl. 10.00
Stx matematik B maj 2013 side 3 af 5
Delprøven med hjælpemidler
Kl. 09.00 – 13.00
Opgave 7
Nedenstående tabel viser vejdirektoratets opgørelse over antal trafikdræbte personer i det 1.
halvår for hvert af årene 2007-2012.
År
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Antal
trafikdræbte
195
190
161
110
107
82
I en model antages det, at udviklingen i antal trafikdræbte personer kan beskrives ved en
funktion af typen
y = ax + b,
hvor y betegner antal trafikdræbte personer i det 1. halvår, og x betegner tiden (målt i år
efter 2007).
a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b.
b) Benyt modellen til at bestemme antal trafikdræbte i det 1. halvår af 2013.
c) Bestem det år, hvor antal trafikdræbte i det 1. halvår ifølge modellen er nede på 50
personer.
Kilde: FDM
Opgave 8
I en model kan sammenhængen mellem det antal æg, en skildpadde lægger, og længden af
skildpaddens rygskjold beskrives ved
f ( x)  0,009425 x 2  5,857 x  899,9 , 280  x  340,
hvor f ( x) er det antal æg skildpadden lægger, og x er længden af skildpaddens rygskjold
(målt i mm).
a) Tegn grafen for f , og bestem det antal æg, en skildpadde lægger, når skildpaddens
rygskjold er 300 mm langt.
b) Bestem rygskjoldets længde for en skildpadde, der lægger 6 æg.
Kilde: Ashton, K.G., R.L. Burke, J.N. Layne. 2007. Geographic variation in body and clutch size of gopher
tortoises. Copeia 2007: 355-363.
Stx matematik B maj 2013 side 4 af 5
Opgave 9
Ifølge en opgørelse stiger det årlige antal af nye lungekræfttilfælde blandt kvinder i
Danmark med 1,3% om året efter 2010. I 2010 var der 2038 nye tilfælde af lungekræft
blandt kvinder i Danmark.
a) Indfør passende variable, og opstil en model, der beskriver udviklingen i det årlige antal
nye lungekræfttilfælde blandt kvinder i Danmark.
I en anden model kan udviklingen i det årlige antal nye lungekræfttilfælde blandt mænd i
Danmark beskrives ved
m( x)  2244  0,99 x ,
hvor m(x) er det årlige antal nye lungekræfttilfælde til tidspunktet x (målt i antal år efter
2010).
b) Hvornår er det årlige antal nye lungekræfttilfælde ifølge de to modeller ens for mænd
og kvinder?
Opgave 10
En flydebro er forbundet med land via et mellemled, så flydebroen følger høj- og lavvande.
I en model ligger mellemleddet vandret ved højvande, og forskellen i beliggenheden af
mellemleddet ved høj- og lavvande kan skitseres på følgende måde:
Mellemleddet AB og AD er 4 m langt, og A er 10 .
a) Bestem BD .
b) Bestem højdeforskellen BC mellem høj- og lavvande.
Stx matematik B maj 2013 side 5 af 5
Opgave 11
I en undersøgelse har et reklamebureau adspurgt
to grupper unge, en fra Jylland og en fra
Sjælland, om hvilken af to typer cornflakes A
eller B, der smager bedst.
A er
bedst
B er
bedst
Ved
ikke
Jyder
55
40
30
Sjællændere
75
45
20
Foto: commons.wikimedia.org
Man ønsker at undersøge nulhypotesen:
Der er ikke forskel på unge jyders og unge sjællænderes smag for de to typer cornflakes.
a) Bestem de forventede værdier i ovenstående tabel under forudsætning af, at
nulhypotesen er sand.
b) Undersøg på et 5% signifikansniveau, om nulhypotesen kan forkastes.
Opgave 12
En funktion f er givet ved
f ( x)  x3  3x 2  9 x  30 .
a) Bestem monotoniforholdene for f.
Grafen for f har en tangent t1 med røringspunkt P (0, f (0)) .
b) Bestem en ligning for t1 .
Grafen for f har en anden tangent t2 med samme hældningskoefficient som t1 .
c) Bestem førstekoordinaten til røringspunktet for t2 .
54
57
1T
RY K S A G 4