Rapport om vækst og funktioner 23Ma.pdf

Ib Michelsen, 2z
Side 1
27-05-2012
B_081
1
Besvarelse af stx_081_matB 1
2
Opgave 1 2
3
4
Reducer ( x + h) 2 − h(h + 2 x)
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
( x + h) 2 − h ( h + 2 x ) =
x 2 + h 2 + 2 xh − h 2 − h ⋅ 2 x =
x2
Værdien af ( x + h) 2 − h(h + 2 x) , når h = 2 og x = 3
2
Da udtrykket kan skrives som x , fås værdien ved indsætning som:
32 = 9
Opgave 2
Bestem forskriften for en eksponentiel funktion f
To punkter på grafen er kendte:
( x1 , y1 ) = (2, 200) og
( x2 , y2 ) = (5,800)
Da funktionstypen er eksponentiel, beregnes vækstfaktoren med formlen:
y
a = x2 − x1 2
y1
De kendte tal indsættes:
800 2
a = 5 −3
= 4=2
200
Begyndelsesværdien beregnes med formlen:
y
b = x11
a
De kendte tal indsættes:
200 200
b= 3 =
= 25
2
8
Den søgte forskrift er:
f ( x) = 25 ⋅ 2 x
27
1
Fodnoter er ikke en del af besvarelsen
Her besvares spørgsmålene i omvendt rækkefølge. Normalt er det ikke en god ide, men her spares en lille smule arbejde.
Man kan kontrollere beregningerne ved også at indsætte tallene i det oprindelige udtryk: Det skal også give 9!
2
Ib Michelsen, 2z
Side 2
27-05-2012
B_081
28
29
Opgave 3
Bestem forskriften for f’ 3
f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 4
f '( x) = ( x3 − 3 x 2 + 4) '
30
= ( x3 ) '+ (−3 x 2 ) '+ (4) '
= 3x 3−1 + (−3) ⋅ 2 x 2−1 + 0
= 3x 2 − 6 x1
31
32
33
34
35
36
= 3x 2 − 6 x
Det vil sige:
f '( x) = 3 x 2 − 6 x
Bestem nulpunkter for f’ 4
f '( x) = 0 ⇔
3x 2 − 6 x = 0 ⇔
3x( x − 2) = 0 ⇔
x = 0∨ x = 2
hvor det sidste følger af nulreglen.
Bestem monotoniforhold for f
f '(−1) = 3(−1) 2 − 6(−1) = 3 + 6 = 9
f '(1) = 3(1)2 − 6(1) = 3 − 6 = −3
37
38
39
40
41
42
f '(3) = 3(3) 2 − 6(3) = 27 − 18 = 9
Disse beregninger sammen med ovenstående (fra linje 33) indsættes i tabellen:
x
-1 0
1
2
3
f’(x) +9 0
-3 0
+9
f(x)
lok.max.
lok.min
Af fortegnsvariationen for f’ ses, at:
i ] − ∞;0] vokser f
i [0; 2] aftager f
i [2; +∞[ vokser f
43
3
Det er ikke nødvendigt at tage alle mellemregningerne med som her. Det er gjort for at du skal kunne se, hvilke regler der
er anvendt: at differentiere hvert led for sig, at bevare konstante faktorer, reglen for differentiation af en potensfunktion og
differentiation af en konstant funktion.
4
Nulpunkter findes normalt ved at bruge diskriminantmetoden, men er B eller C nul, findes der lettere metoder som her.
Ib Michelsen, 2z
Side 3
27-05-2012
B_081
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
Opgave 4
Givet de ovenstående ensvinklede trekanter med de anførte mål.
Da trekanterne er ensvinklede er de ligedannede: der findes en fælles forstørrelsesfaktor for alle par af
tilsvarende sider.
Beregning af forstørrelsesfaktoren k
Da ∠B = ∠E svarer siderne b og e til hananden og k findes som:
e
k=
b
Ved indsætning af de kendte tal fås:
24
k=
16
Beregning af |BC|
Da BC svarer til EF i den store trekant DEF, fås
| EF |
| BC |=
k
Ved indsætning fås:
18
18 ⋅16
| BC |=
=
⇔
24 /16
24
| BC |= 12
Opgave 5
Bestemmelse af 2 bestemte integraler
−2
64
∫ f ( x)dx = M
1
⇔
−5
−2
65
∫ f ( x)dx = 12
−5
66
67
68
hvor den første ligning skyldes, at begge er arealet mellem grafen for f og førsteaksen (og linjerne x = 5 og x = -2) og den anden ligning det oplyste: M1 = 12.
Tilsvarende fås (idet f(x) ≥ 0 i [-5 ; 4] )
Ib Michelsen, 2z
Side 4
B_081
4
∫
−5
f ( x)dx =
−2
∫
−5
1
4
−2
1
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ⇔
4
69
∫ f ( x)dx = M
1
+ M 2 + M3 ⇔
−5
4
∫ f ( x)dx = 12 + 7 + 12 ⇔
−5
4
70
∫ f ( x)dx = 31
71
72
hvor den første ligning følger af indskudsreglen; de øvrige af samme grunde som ovenfor.
−5
27-05-2012
Ib Michelsen, 2z
Side 5
27-05-2012
B_081
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
Opgave 6
Givet den retvinklede trekant CHD med de anførte mål.
Bestem ∠D
Da trekanten er retvinklet, gælder sætningen
 mk 
v = sin −1 

 hyp 
eller med betegnelserne på figuren:
d 
∠D = sin −1  
h
De oplyste tal indsættes:
5
∠D = sin −1   ⇔
6
∠D = 56, 4°
Beregn længden af diagonalen BD
Længden beregnes i den retvinklede trekant ABD. Da trekanten er retvinklet, gælder Pythagoras
sætning:
k12 + k2 2 = hyp 2
Benyttes tegningens betegnelser fås:
| AB |2 + | AD |2 =| BD |2
De oplyste tal indsættes:
52 + 7 2 =| BD |2 ⇔| BD |= 25 + 49 ⇔ | BD |= 74
Ib Michelsen, 2z
Side 6
27-05-2012
B_081
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
Beregn længden af diagonalen AC
Længden beregnes i trekanten ACD. Da trekanten er skævvinklet, benyttes cosinusrelationerne, der
gælder i enhver trekant:
Benyttes tegningens betegnelser fås:
| AC |2 =| AD |2 + | CD |2 −2⋅ | AD | ⋅ | CD | ⋅ cos( D)
De oplyste tal indsættes sammen med den beregnede vinkel:
| AC |2 = 7 2 + 62 − 2 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ cos(56, 4°) ⇔| AC |2 = 38,57 ⇔
| AC |= 6, 2
Opgavge 7
107
108
Samhørende værdier af alder og længde for spækhuggere er oplyst:
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
Bestemmelse af parametre i en lineær model
Parametrene bestemmes ved lineær regression med GeoGebra:
(se næste side)
Heraf ses:
a = 37,5
b = 274
Fortolkning af parametre
a er modellens hældningskoefficient. Dvs.:
spækhuggerne vokser i henhold til modellen 37,5 cm hvert år (så længe alderen er mellem 1 og 9 år)5
b er modellens begyndelsesværdi. Dvs. at hvis væksten det første år følger modellen
er fødselslængden af spækhuggeren 274 cm.6
Aldersbestemmelse
På figuren ses også i skæringspunktet S, at i henhold til modellen, er
en spækhugger på 700 cm ca. 11,4 år gammel.
5
6
Hvalen er ikke voksen, før den er 15-20 år
Spækhuggeren er en hval, der føder unger (kalve)
Ib Michelsen, 2z
Side 7
B_081
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
Opgave 8
Forskningsbevillingene skal vokse fra 20 mia. kr. til 60 mia. kr. i perioden 2005 – 2020.
Beregning af den årlige vækst i procent
Procenten beregnes med formlen:
K
r = n n −1
K0
hvor
n = 2020 – 2005 = 15
K 0 = 20
K n = 60
Ved at indsætte de kendte tal fås:
60
r = 15
− 1 = 15 3 − 1 = 1,0759 − 1 = 7, 6%
20
Bevillingerne skal vokse med 7,6 % årligt
27-05-2012
Ib Michelsen, 2z
Side 8
27-05-2012
B_081
Opgave 9
138
139
140
141
142
143
144
145
Givet graferne for funktionerne f og g.
Beregn arealet af M, som afgrænses af f og g.
Funktionsforskrifterne indtastes i GeoGebra og
skæringspunkterne A og B findes.
Arealet af M findes som det bestemte integral af
(f-g) fra x-værdien i A til x-værdien i B.
Dette findes med GeoGebra:
146
Areal ( M ) = ∫
147
Areal ( M ) = 21,3
148
149
150
151
152
153
154
Opgave 10
Oplyst: En havvindmølles energiproduktion er ligefrem proportional med vindhastigheden i 3. potens.
Sammenhængen
Lad vindens hastighed være x; så er vindens hastighed i 3. potens x3
Lad y være energiproduktionen: så er
y og x3 ligefrem proportionale, hvilket betyder:
(hvor k er en passende konstant faktor)
y = k ⋅ x3
155
Opgave 11
156
157
158
159
160
161
162
163
164
Givet funktionen f ( x) = x3 − 3 x 2 + 2 x
Beregn x-værdier i røringspunkter for tangenter med hældningen 11
Funktionsforskriften indtastes i GeoGebra. Ved indtastning af f '( x) findes den afledte funktion. Begge
grafer tegnes af programmet.
De søgte x-værdier findes ved at løse ligningen: f’(x) = 11.
Derfor tegnes linjen: y = 11 (grøn), som skæres med grafen til f’. x-værdierne i de to skæringspunkter A
og B er de søgte x-værdier.
På figuren næste side ses, at de to x-værdier er hhv. – 1 og +3
x( B)
x ( A)
( f ( x) − g ( x) )dx ⇔
Ib Michelsen, 2z
Side 9
27-05-2012
B_081
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
Opgave 12
Funktionerne w og h er givet. De viser sammenhængen mellem plantetæthed (x) målt i antal / m2 og
hhv. vægt af tørstof pr. plante målt i g og plantehøjde målt i cm.
Begge funktioner tegnes med GeoGebra:
Vægten w, når x = 4
Vægten af planten fås som w(4) = 1225
Plantens tørstof vejer 1225 gram
Vægten w, når h = 100 cm
Skæringspunktet mellem grafen for h og
linjen y=100 findes: A. Ved
plantetætheden x(A) = 169 er plantehøjden
100 cm.
Ved at finde skæringspunktet B mellem
grafen for w og x = x(A) fås y(B) = 4,639.
Det vil sige, at
en 100 cm høj plante har et tørstofindhold,
der vejer 4,6 gram
Opgave 13
I en tabel (indholdet gengivet herunder) oplyses
fordelingen af længden (målt i cm) af atlantiske
havkatte.
Tegn sumkurve
Ib Michelsen, 2z
Side 10
27-05-2012
B_081
189
190
191
192
193
194
195
196
197
Tabellens data er gengivet i regnearket i området A2:C9
De summerede frekvenser beregnes ved hjælp af frekvenserne: fx i D6: 20+31=51
Søjlerne B og D benyttes til at finde støttepunkter for sumkurven (blå)
Ve at finde sumkurvens skæringspunkter med linjerne y = 25, y = 50 og y = 75, fås kvartilsættet som xværdierne i disse punkter:
Kvartilsættet = {81,6 ; 89,7 ; 99,6}
Boksplot
198
199
De to boksplot er tegnet i GeoGebra med boksplot-kommandoen.
Ib Michelsen, 2z
Side 11
27-05-2012
B_081
200
201
202
203
204
205
206
Kommentar
På det dybe vand er der en større spredning i længderne og flere end en fjerdedel er mindre end den
mindste på det lave vand. Den længste fjerdedel af havkattene i de to områder adskiller sig ikke meget
fra hinanden, selvom der blandt disse er en lidt større spredning på det dybe vand.
På det lave vand er de 50 % mellem nedre og øvre kvartil meget ens: der er kun 18 cm forskel på
korteste og længste i modsætning til havkattene på det dybe vand, hvor de varierer mellem 46 cm og 95
cm: dvs. 49 cm.
207
Opgave 14
208
Givet funktionen f ( x) = x +
209
Bestem f ’(x)
210
211
212
213
214
Forskriften for f indtastes i GeoGebra og den afledte funktion findes. Nulpunkter for f’ findes ved
skæring mellem dennes graf og x-aksen. Der er ét (og kun ét) skæringspunkt: A = (4,0).
Da f’ der har fortegnsvariationen: - 0 +, har funktionen f der et minimum. Og der findes ikke andre
ekstrema, da f’ kun havde ét skæringspunkt med x-aksen.7
215
Opgave 15a
216
217
218
219
220
221
Find parametrene b og c for andengradspolynomiet f ( x) = −5 x 2 + bx + c , som har rødderne 3 og 7.
Beregn parametre
f ( x) = −5 x 2 + bx + c kan skrives som
f ( x) = −5( x − α )( x − β ) , hvor α og β er rødderne.
De kendte rødder indsættes:
f ( x) = −5( x − 3)( x − 7) = −5( x 2 − 7 x − 3x + 21) = −5 x 2 + 50 x − 105
b = 50
Dvs.:
c = −105
222
223
7
Minimum = f(4) = 8
16
;x > 0
x
Ib Michelsen, 2z
Side 12
27-05-2012
B_081
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
Opgave 15b
Beregn omkreds
Da omkredsen består af en hel cirkel med radius r samt 2 linjestykker med længden x, fås
Omkreds = 2π r + 2 x
Beregn areal af ABCD
Da figuren er et rektangel og den en side har længden x og den anden side (fx AB) er en diameter med
længden 2r,
fås
Areal = x ⋅ 2r = 2rx
Omkreds = 800 ⇔
2π r + 2 x = 800 ⇔
234
2π r = 800 − 2 x ⇔
r=
r=
235
800 − 2 x
⇔
2π
400 − x
π
236
Indsættes resultatet for r i areal-formlen fås:
400 − x
Areal = 2 ⋅
⋅x⇔
237
Areal =
π
800 x − 2 x 2
π