www.pib.dk

OPGAVER
1
Opgaver til
Uge 10 – Lille Dag
Opgave 1
Drilleopgave
M˚aske omhandler disse spørgsm˚al mere end blot notation...
a) Opskriv egenværdiproblemet for en n × n matrix A. Forklar hvorfor egenvektoren
v ikke kan forkortes ud af ligningen?
Opgave 2
Baglæns Maple-opgave
Her er en del af en Maple session:
> A:=< <16|-13|-2>,<18|-15|-2>,<-24|24|4> >:
> Eigenvectors(A,output=list);



 


 




−
2
1








4, 1,  −2   , 3, 1,  1   , −2, 1, 





 






1
0




−1
4
−1
2
1






 






a) Angiv egenværdier og samtlige egenvektorer for den lineære afbildning f : R3 →
R3 , der med hensyn til standardbasis e i R3 har afbildningsmatricen A.
b) Find en basis v = (v1 , v2 , v3 )for R3 best˚aende af egenvektorer for f .
c) Find afbildningsmatricen for f med hensyn til basen v fundet i foreg˚aende spørgsm˚al.
d) Angiv en regulær matrix V og en diagonalmatrix Λ, s˚aledes at Λ = V−1 · A · V.
OPGAVER
Opgave 3
2
Kompleks diagonalisering
Givet matricen


2−i
0
i
A =
0 1+i
0.
i
0 2−i
(1)
a) Find egenværdier og de tilhørende komplekse egenvektorrum for A .
b) Diagonalis´er A ved similartransformation.
Opgave 4
Kontinuerte funktioner
a) Hvilke af funktionerne 1, x, x2 , ex , e− x , cos x, sin x er egenvektorer for den lineære
afbildning ved hvilken
1. en differentiabel funktion afbildes p˚a sin differentialkvotient,
2. en to gange differentiabel funktion afbildes p˚a sin andenafledede.
b) Betragt den lineære afbildning f : C ∞ (R) → C ∞ (R) som er givet ved
f ( x (t)) = x 00 (t) .
Gør rede for at tallene −1, 0 og 1 er egenværdier for f .
Opgave 5
Diagonalisering. Håndregning
Ønskes løst elegant!
Der er givet en matrix og to vektorer ved


 


7 −2 2
2
−2
A = 1
4 2 , v1 =  1  og v2 =  0 
−1
2 4
0
1
(2)
a) Vis, at v1 og v2 er lineært uafhængige egenvektorer for A.
b) Find samtlige egenværdier og samtlige tilhørende egenvektorer for A.
c) Angiv en regulær matrix V og en diagonalmatrix Λ s˚aledes, at V−1 · A · V = Λ.
OPGAVER
Opgave 6
Givet matricerne
3
Similære matricer. Håndregning
0 1
A=
−1 0
0 −1
og B =
.
1 0
a) Gør rede for at A og B er similære.
b) Bestem en regulær matrix M der opfylder
B = M−1 A M .
Opgave 7
Givet matricen
Kubikroden af en matrix
17 −18
A=
.
9 −10
(3)
a) Bestem en diagonalmatrix Λ og en regulær matrix V, s˚a Λ = V−1 · A · V.
b) Angiv en matrix D, s˚a D3 = Λ.
c) Bestem s˚a en matrix C, s˚a C3 = A.
Opgave 8
Træningsopgave
Lad f : R3 → R3 være den lineære afbildning, der med hensyn til den sædvanlige basis
for R3 har afbildningsmatricen


2 0 −3
F = 0 5
(4)
0 .
4 0
9
a) Find samtlige egenværdier og samtlige tilhørende egenvektorer for f .
b) Undersøg, om der findes en basis for R3 , s˚aledes at afbildningsmatricen for f med
hensyn til denne basis er en diagonalmatrix.
Opgave 9
Givet matricen
Træningsopgave


1 0 0
A =  1 1 1 .
1 0 2
a) Find samtlige egenværdier og samtlige tilhørende egenvektorer for A.
b) Angiv en regulær matrix V og en diagonalmatrix Λ, s˚a Λ = V−1 · A · V.
(5)