Korkeamman asteen yhtälö

Comments

Transcription

Korkeamman asteen yhtälö
Korkeamman asteen (>2) yhtälön reaalijuuret
Tarkastellaan seuraavaksi muotoa
an x n + an −1 x n −1 + " + a1 x + a0 = 0
olevia yhtälöitä, joilla n > 2.
(1)
Korkeamman asteen yhtälöt pyritään yleensä ratkaisemaan etsimällä jokin yhtälön rationaalijuuri k,
ja jakamalla tämän jälkeen yhtälön vasen puoli tekijällä (x-k). Ellei rationaalijuuria ole, etsitään
irrationaalijuuri (-juuret) numeerisin menetelmin. Joskus korkeamman asteen yhtälön ratkaisu voi
onnistua myös ryhmittelyn avulla.
Ryhmittely
Tavoitteena on saattaa yhtälön oikea puoli tulomuotoon, jolloin juuret saadaan käyttämällä tulon
nollasääntöä. Ryhmittelymenetelmä toimii vain eräissä erikoistapauksissa, mutta toimiessaan
tuottaa ratkaisun hyvin nopeasti.
Esimerkki 18.
Ratkaise yhtälö 3x 3 + 4 x 2 − 9 x − 12 = 0 .
3x 3 + 4 x 2 − 9 x − 12 = 0
3x( x 2 − 3) + 4( x 2 − 3) = 0
3x( x 2 − 3) + 4( x 2 − 3) = 0
( x 2 − 3)(3x + 4) = 0
( x 2 − 3) = 0 ∨ (3x + 4) = 0
4
x=± 3 ∨ x=−
3
Tekijämuotoon saattaminen
Tekijämuotoon saattamisessa yhtälön (1) vasempana puolena esiintyvä polynomi saatetaan
tulomuotoon, ja käytetään ratkaisussa tulon nollasääntöä.
Jos a on yhtälön (1) jokin juuri, niin vastaava polynomi jaollinen tekijällä (x-a).
On siis löydettävä jokin yhtälön (1) juuri kokeilemalla, jota tarkastellaan seuraavaksi.
Kokonais- tai murtolukuratkaisun etsiminen kokeilemalla
Jos yhtälöllä (1) on kokonaislukuratkaisu (juuri), niin sen täytyy olla vakiotermin a0 tekijä.
Jos yhtälöllä (1) on murtolukuratkaisu, niin osoittaja on vakiotermin a0 tekijä ja nimittäjä on
korkeimman asteen kertoimen an (positiivinen) tekijä.
Esimerkki 19.
Etsi yhtälön x3 − 3x 2 + 2 = 0 jokin juuri.
Mahdollisia kokonaislukujuuria (juuriehdokkaita) ovat luvut ±1 ja ±2 , jotka
ovat vakiotermin 2 tekijät.
Koska korkeimman asteen termin x3 kerroin on 1, niin muita
rationaalijuuriehdokkaita ei ole.
Kokeillaan seuraavaksi juuriehdokkaat läpi yksitellen sijoittamalla ehdokas
muuttujan x paikalle:
vp.= 13 − 3 ⋅12 + 2 = 3 − 3 = 0 = op. ⇒ x = 1 on eräs yhtälön juuri
vp.= (−1)3 − 3 ⋅ (−1) 2 + 2 = −4 + 2 = −2 ≠ op. ⇒ x = −1 ei ole yhtälön juuri
vp.= 23 − 3 ⋅ 22 + 2 = 10 − 12 = −2 ≠ op. ⇒ x = 2 ei ole yhtälön juuri
vp.= (−2)3 − 3 ⋅ (−2) 2 + 2 = −20 + 2 = −18 ≠ op. ⇒ x = −2 ei ole yhtälön juuri
Täten yhtälön x3 − 3x 2 + 2 = 0 ainoa rationaalijuuri on x = 1 .
Esimerkki 20.
Etsi yhtälön 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 jokin juuri.
Kokonaislukujuuriehdokkaita ovat luvut ±1 ja ±5 .
vp.= 3 ⋅13 − 10 ⋅12 − 12 ⋅1 + 5 = 8 − 22 = −14 ≠ op. ⇒ x = 1 ei ole juuri
vp.= 3 ⋅ (−1)3 − 10 ⋅ (−1) 2 − 12 ⋅ (−1) + 5 = −13 + 17 = 4 ≠ op. ⇒ x = −1 ei ole juuri
vp.= 3 ⋅ 53 − 10 ⋅ 52 − 12 ⋅ 5 + 5 = 375 − 250 − 60 + 5 = 70 ≠ op. ⇒ x = 5 ei ole juuri
vp.= 3 ⋅ (−5)3 − 10 ⋅ (−5) 2 − 12 ⋅ (−5) + 5 = −375 − 250 + 60 + 5 ≠ op. ⇒ x = −5 ei
ole juuri
Täten yhtälöllä 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 ei ole lainkaan kokonaislukujuurta.
Nimittäjäehdokkaita ovat luvut 1 ja 3, joista luku 1 ei tuo uusia ehdokkaita
edellä tarkasteltujen joukkoon. Näin ollen rationaalijuuriehdokkaat ovat luvut
1
5
± ja ± .
3
3
Näistä vastaavin tarkasteluin kuin edellä huomataan, että x =
1
on yhtälön eräs
3
juuri, ja muut kolme ehdokasta eivät ole.
1
Täten yhtälön 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 ainoa rationaalijuuri on x = .
3
Tavoitteena on nyt edellä löydetyn ratioonalijuuren a avulla saattaa yhtälön (1) vasen puoli
tulomuotoon. Käytännössä tämä toteutetaan käyttämällä lausetta 1, eli jaetaan yhtälön vasemmalla
puolella esiintyvä polynomi termillä ( x − a ) .
Esimerkki 21.
Ratkaise esimerkin 17 yhtälö x3 − 3x 2 + 2 = 0 .
Kuten esimerkin 17 ratkaisussa todettiin, x = 1 on yhtälön eräs juuri.
Täten yhtälön vasen puoli on jaollinen tekijällä (x-1), joten jaetaan polynomi
jakokulmassa.
Jakolaskun tulokseksi saadaan x 2 − 2 x − 2 ja jakojäännökseksi 0.
Näin ollen x3 − 3x 2 + 2 = ( x − 1)( x 2 − 2 x − 2) , joten
x3 − 3x 2 + 2 = 0
( x − 1)( x 2 − 2 x − 2) = 0
( x − 1) = 0 ∨ ( x 2 − 2 x − 2) = 0
x =1 ∨
x = 1± 3 .
HUOM! Jakolaskussa jakojäännöksen tulee aina olla nolla, koska jako menee tasan (ts. vp. on
jaollinen tekijällä (x-a)).
Esimerkki 22.
Ratkaise esimerkin 18 yhtälö 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0 .
1

Vasen puoli on jaollinen tekijällä  x −  , ja täten myös tekijällä
3

1

3  x −  = 3x − 1 (kertomalla juuren nimittäjällä päästään eroon murtoluvuista).
3

Jaon tuloksena saadaan x 2 − 3x − 5 , joten
3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = (3x − 1)( x 2 − 3x − 5) .
Täten 3x3 − 10 x 2 − 12 x + 5 = 0
(3x − 1) = 0 ∨ ( x 2 − 3 x − 5) = 0
x=
Esimerkki 23.
1
∨
3
x=
3 ± 29
.
2
2 x3 − 6 x 2 − 8 x + 24
.
Sievennä 4
3x − 17 x 2 − 3 x3 − x − 6
Etsitään erikseen nimittäjän ja osoittajan mahdollisia rationaalijuuria.
Huomataan, että nimittäjällä on juuret 3 ja -2.
Kokeilemalla todetaan, että ne ovat myös osoittajan juuria.
Täten sekä nimittäjä että osoittaja voidaan jakaa termeillä ( x − 3) ja ( x + 2 ) .
Tuloksena saadaan:
2 x 3 − 6 x 2 − 8 x + 24
2( x − 3)( x + 2)( x − 2)
=
4
2
3
1
3x − 17 x − 3 x − x − 6

3( x − 3)( x + 2)  x 2 + 
3

( ( x − 3), ( x + 2 )
=
2x − 4
.
3x 2 + 1
Bikvadraattinen yhtälö
Joissakin erikoistapauksissa korkeamman asteen yhtälöt voidaan ratkaista palauttamalla ne toiseen
asteen yhtälöiksi, esimerkiksi merkitsemällä y = x 2 (nk. bikvadraattinen yhtälö).
Esimerkki 24.
Ratkaise x 4 − 3x 2 + 2 = 0 .
Merkitään y = x 2 , jolloin x 4 − 3x 2 + 2 = y 2 − 3 y + 2 .
y2 − 3y + 2 = 0
⇒ y =1 ∨ y = 2
Otetaan nyt huomioon, että y = x 2 , joten
x2 = 1 ∨
x2 = 2
⇒ x = ±1 ∨
Esimerkki 25.
x=± 2.
Ratkaise 2 x 6 + 9 x 3 − 5 = 0 .
Merkitään y = x 3 , jolloin 2( x 3 ) 2 + 9 x 3 − 5 = 2 y 2 + 9 y − 5 .
2 y2 + 9 y − 5 = 0
1
2
⇒ y = −5 ∨
y=
⇒ x 3 = −5 ∨
x3 =
1
2
⇒ x = −5 ≈ −1, 71 ∨
3
3
1
4
x= 3 =
≈ 0, 794
2
2