STS03: Voiman momentti tasossa

STATIIKKA: Sessio STS03: Voiman momentti tasossa
1
JOHDANTO
Voima vaikuttaa kappaleeseen kahdella eri tavalla. Ensinnäkin se pyrkii siirtämään
kappaletta vaikutussuoransa suunnassa ja toiseksi se pyrkii pyörittämään kappaletta.
Pyörityskyvyn mittana käytetään voiman momentin käsitettä.
MOMENTIN MÄÄRITELMÄ
Tarkastellaan kuvan esittämää tasotapausta.
Pisteessä A vaikuttavan voiman F momentti pisteen P
suhteen on
MP = ± F d ,
missä F on voiman suuruus (itseisarvo) ja d on
kohtisuora etäisyys pisteestä P voiman
vaikutussuoralle. Erikseen on syytä todeta, että
momentin vartena ei käytetä voiman vaikutuspisteen A etäisyyttä pisteestä P.
Momentin merkki määräytyy siten, että se on positiivinen, jos
voima pyrkii kiertämään pisteen P ympäri vastapäivään. Momentin yksikkö on Nm.
ESIMERKKI STS03E1
Kiintoavaimella, jonka varsi L = 450 mm, kiristetään
pyörän muttereita F = 200 N voimalla. Mutterit
sijaitsevat d = 125 mm kehällä. Lasketaan momentti,
jonka F aiheuttaa pyörän keskeisakselille kuvan
tilanteessa, kun äärimmäisenä vasemmalla oleva
mutteri kiristetään. Huom: Tässä tarkastellaan vain
kiristämisen osuutta, eikä esim. pyörän ja maan
välisestä kitkavoimasta tarvitse siten välittää.
Oheisesta kuvasta nähdään, että
x = d/2 x cos30o = 54,1 mm, ja
M = -F (L-x)
= -200 N x(450-54,1) mm = -79,2 Nm
Momentin laskeminen on usein yksinkertaisempaa jos laskennassa käytetään voiman
suorakulmaisia komponentteja. Ns. Varignonin teoreeman mukaan voiman momentti
pisteen suhteen on yhtä suuri kuin voiman komponenttien momenttien summa
tarkastelupisteen suhteen. Tämän ns. momenttilauseen todentamiseksi jaetaan pyörän
mutterin kiristysvoima komponentteihin.
STATIIKKA: Sessio STS03: Voiman momentti tasossa
Voiman komponentit ovat
Fx = F sin30o = 100,0 N
Fy = F cos30o = 173,2 N
ja komponenttien vaikutussuorien
etäisyydet pyörän keskiöstä ovat
dx = L cos30o - d/2 = 327,2 mm
dy = L sin30o
= 225,0 mm
ja momentiksi saadaan
M = -Fx dy - Fy dx = -79,2 Nm
HARJOITUS STS03H1
Mutteriin halutaan 12 Nm kiristymomentti.
Kuinka paljon tarvitaan voimaa F, jos
käytettävissä olevan kiintoavaimen pituus on
a) L = 400 mm, b) 200 mm
Vast a) F = 30 N
b) F = 60 N
HARJOITUS STS03H2
Laske voiman F = 200 N momentti
pisteen B suhteen. Mitta a = 100 mm ja kulma
α = 45o .
a) käyttäen määritelmää M = F d
b) jakamalla voima F pysty- ja
vaakakomponentteihin
Vast: MB= 14,1 Nm
HARJOITUS STS03H3
Kuvan tangon pituus on L = 1 m ja
massa m = 100 kg ja g = 9,81 m/s2 . Tangoa
kannatetaan kohtisuoralla voimalla F. Tasapainon
vuoksi tiedetään, että voimalla F ja painovoimalla
G tulee olla sama ”pyöritysvaikutus” eli momentti
nivelen O suhteen, mutta vastakkaiseen suuntaan.
Laske F:n suuruus, kun a) α = 90o . b) α = 45o
Vast: a) F = 491 N b) F = 347 N
Vihjeitä:
2