MEI-32010 Murtumismekaniikka

MEI-32010 Murtumismekaniikka
3. kotitehtäväsarja, painovirheitä korjattu 3.12.2015
1. Alla olevan kuvan mukaista DCB-koekappaletta kuormitetaan kuormalla
Kappaleen materiaalille
JIc = 100
P = 50
kN.
400 MPa. Määritä (a) Irvinin ja
acr . Materiaalin kimmokerroin on
leveys on 50 mm.
kN/m ja myötöraja
(b) Dugdalen mallien mukaan kriittinen särönpituus
200
GPa ja Poissonin vakio on
0, 3.
Koekappaleen
F
h = 80 mm
F
a
2. Tarkastellaan vaurioituvaa kimmoista materiaalimallia, jonka konstitutiivinen yhtälö on
yksidimensioisessa tapauksessa muotoa
σ = ωEε.
Eheysmuuttujan
ω
(1)
evoluutioyhtälöksi valitaan
ω̇ =
jossa materiaaliparametrit
td
ja
r
−t−1
d
Y
Yr
r
,
(2)
määritetään kokeista. Eheysmuuttujalla on arvo
0
täysin vaurioituneessa tilassa ja arvo 1 vaurioitumattomassa alkutilassa. Usein käytetään
D = 1 − ω , mutta eheysmuuttujan
Suure Y on dissipatiivista muuttujaa −ω̇
vaurioitumista kuvaamaan ns. vauriomuuttujaa
avulla lausuttuna lausekkeet ovat selkeämpiä.
vastaava termodynaaminen voima, jolle on lauseke
1
σ2
Y = Eε21 =
.
2
2ω 2 E
Parametri
td > 0
(3)
on vaurioprosessiin liittyvä karakteristinen aika ja dimensiottoman
eksponentin on toteutettava ehto
tuisi. Skaalausparametri
Yr
r > 1, jotta termodynamiikan toinen pääsääntö toteu-
voidaan valita vapaasti, mutta on huomattava, että tämä
valinta vaikuttaa aikaparametrin suuruuteen. Valitaan skaalausparametrille lauseke
Yr =
jossa
σr
σr2
,
2E
(4)
on jokin viitejännitys.
ε̇ = η ,
kuvaaja (ε/εr , σ/σr ) koordinaatistoon parametrin r arettä aikaparametrilla td on arvo td = 10−3 /η . Piirrä
Ratkaise jännitys-venymäyhteys kun kuormituksena on veto vakionopeudella
ε(t) = ηt. Pirrä
r = 2, 4 ja 6 ja oleta,
toisin sanoen
voilla
myös vaurimuuttujan kuvaaja, joko ajan tai muodonmuutoksen funktiona. Mitä voit
sanoa parametrin
jan
D =1−ω
r
vaikutuksesta materiaalin käyttäytymiseen. Mikä on vauriomuuttu-
arvo maksimijännityksen kohdalla?
3. Viruvan ja vaurioituvan mallin jännityksen ja muodonmuutoksen välinen yhteys on muotoa
σ = ωE(T )(ε − εth − εc ),
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015
(5)
1
jossa
ω
T riippuva kimmokerroin ja εth = α∆T
Virumismuodonmuutokselle εc valitaan Nortonin tyyppinen potens-
on eheysmuuttuja,
on lämpövenymä.
E(T )
lämpötilasta
simalli
B(T )
ε̇ =
tc
c
σ
ωσr
p(T )
,
(6)
jossa tc on virumisprosessin karakteristinen aika, verrannollinen relaksaatioaikaan, B(T )
B(T ) = exp(−Q/RT ), jossa Q on ak-
Arrhenius-tyyppinen terminen aktivaatiofunktio
tivaatioenergia,
R yleinen kaasuvakio. Viitejännitys σr on vapaasti valittavissa, valitaan
σr = σy (Tr ).
se tässä myötöjännityksen arvoksi viitelämpötilassa
Vaurionkehitykselle valitaan Kachanov-Rabotnov tyyppinen potenssimalli
B(T )
ω̇ = −
td
Y
Yr
r(T )
,
(7)
jossa td on vaurionkehitykselle ominainen karakteristinen aika. Termodynaaminen voima Y on vaurioitumisnopeuden ω̇ duaalisuure ja Yr sen viitearvo. Huomaa, että vaurionkehitykselle on yksinkertaisuuden vuoksi otaksuttu sama terminen aktivaatiofunktio. Termodynaaminen voima saadaan Helmholtzin ominaisvapaaenergian derivaattana
vauriomuuttujan suhteen, ja 1D tapauksessa sille saadaan lauseke
Y =
Valitaan viitearvoksi
Yr
σ2
2ω 2 E(T )
muoto
Yr =
.
(8)
σr2
.
2E(T )
(9)
Tällöin saadaan vaurionkehityksen evoluutioyhtälöksi
B(T )
ω̇ = −
td
Laske virumismurtoaika
trup
σ
ωσr
2r(T )
.
(10)
vakiolämpötilassa vakiojännityksen alaisena. Kaikki ma-
teriaaliparametrit voidaan yksinkertaisuuden vuoksi olettaa lämpötilasta riippumattomiksi ja lämpövenymä voidaan jättää huomioon ottamatta.
4. Virumismurtoanalyysessä paljon käytetty Monkman-Grant parametri määritellään
CMG = ε̇cmin trup ,
jossa
ε̇cmin
on pienin virumisnopeus (ajanhetkellä
(11)
t = 0
tehtävän mallilla). Kokeissa
on havaittu, että Monkman-Grant parametri on hyvin suurella jännitys- ja lämpötilaalueella likimain riippumaton jännityksestä. Minkä ehdon tämä tuottaa kyseisen mallin
materiaaliparametrien välillä?
5. Teräksinen sauva on kahden jäykän seinän välissä jännityksettömässä tilassa lämpötilassa
T0 .
Lämpötila vaihtelee sinimuotoisesti lämpotilan
T0
ja
T (t) = T0 + 21 ∆T [1 − cos(2πt/tper )],
T0 + ∆T
välillä, eli
(12)
jossa tper = 86400 s = 24 h. Sauvan materiaalin otaksutaan noudattavan kahden edellisen tehtävän mallia. Otaksutaan yksinkertaisuuden vuoksi kaikki materiaaliparametrit lämpötilasta riippumattomiksi. Määritä kuinka monta lämpösykliä murtaa sauvan
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015
2
T0 = 300
σr = σy = 400
kun
K ja
∆T = 200 K. Materiaaliparametreilla on arvot E = 190 GPa,
p = 6, r = 3 ja tc = td = 6 · 106 s = 69, 4 h. Teräksen terminen
luokkaa 100 kJ/mol ja lämpöpitenemiskerroin α on 12 · 10−6 1/K.
MPa,
aktivaatioenergia on
Mikä on tulos jos rakennetta pidetään korkeammassa lämpötilassa kauemmin? Käytä
esimerkiksi lämpötilafunktiona lauseketta
T (t) = T0 + ∆T [1 − cos8 (πt/tper )].
(13)
Mitkä ovat johtopäätelmäsi?
Ohje.
Tee ohjelma, joka integroi materiaalimallia vaikkapa eksplisiittisellä Eulerin me-
netelmällä. Jos ratkaistavana on yhtälö
σ
σ̇ = f (σ, t), niin eksplisiittinen Eulerin menetel= tn + ∆t, kun systeemin tila
ratkaisemiseksi uudella ajanhetkellä tn+1
tunnetaan ajanhetkellä tn , on muotoa
mä suureen
σn+1 − σn
= f (σn , tn ),
∆t
jossa on merkitty
σn = σ(tn )
(14)
jne. Muista, että eksplisiittinen Eulerin menetelmä on
vain ehdollisesti stabiili. Pidä sen vuoksi aika-askel
∆t
pienempänä kuin menetelmän
kriittinen aika-askel.
6. Findley moniaksiaalinen väsimiskriteeri voidaan ilmaista seuraavasti. Väsymismurto tapahtuu tasossa, jossa suure τa,n
+ kσn
saavuttaa maksimin, eli
max(τa,n + kσn ) = f,
jossa
k
ja
f
(15)
ovat materiaaliparametreja, jotka voidaan määrittää kahdesta kokeesta.
Määritä parametrit
k
normaalijännitykselle
f mikäli tiedetään materiaalin vaihtokuormituksen väsymisraja
σ−1 = σa,R=−1 ja leikkaukselle τ−1 = τa,R=−1 . Määritä lisäksi
ja
kriittisen tason kulma kummallekin kuormitustapaukselle.
7. Tarkastellaan alla olevan kuvan mukaisen polttoainesuutimen väsymistä kontaktialueella, joka on merkitty oheiseen kuvaan paksunnetulla viivalla. Rakenne on pyörähdyssymmetrinen, joten tarkastellaan tapausta sylinterikoordinaatistossa ja oletetaan kehän
suuntaiselle, aksiaaliselle ja säteen suuntaiselle normalijänitykselle (σθ , σz , σr ) suhteinen kuormitus kun mäntä koskettaa suutimen runkoa. Oletetaan seuraavat amplitudit
ja keskijännitykset
∆σθ = 880 MPa,
σθ,m = 440 MPa,
∆σz = 400 MPa,
σz,m = −200 MPa,
∆σr = 700 MPa,
σr,m = −350 MPa.
Huomaa, että jokainen jännityskomponentti on tykyttävä. Tutki Findleyn mallia hyväksikäyttäen tapahtuuko suutimen rungossa väsymismurtuma kun materiaalin väsymislujuusarvot ovat
väsymismurto
σ−1 = σa,R=−1 = 700 MPa ja σ0 = σa,R=0 = 560 MPa. Findleyn mallissa
tapahtuu jos τa,n + kσn ≥ f .
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015
3
z
r
Palautus viimeistään torstain 10.12.2015 palautusharjoituksissa (?).
Tähän kotitehtäväsarjaan liittyvä neuvontaharjoitus torstaina 26.11.2015 ja 3.12.2015 klo
14.15-16.00.
F
h = 80 mm
F
a
1
MEI-32010 Murtumismekaniikka - 3. kotiteht. 22.11.2015
4