Ratkaisut

Transcription

Ratkaisut

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
6. harjoitukset
6. harjoitukset / Ratkaisut
Aiheet:
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Moniulotteisia jakaumia
Avainsanat:
Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Ehdollinen varianssi,
Jatkuva jakauma, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Karteesinen tulo, Kertymäfunktio,
Korrelaatio, Korreloimattomuus, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Kulmakerroin, Multinomijakauma, Odotusarvo, Pistetodennäköisyysfunktio, Regressiofunktio, Regressiosuora,
Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Satunnaismuuttuja, Suora, Tiheysfunktio,
Varianssi, Yhteisjakauma, Yhteiskorrelaatiokerroin
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat
Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin
X :S →
Y :R→
Olkoon R×S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo:
R × S = {(r , s ) r ∈ R, s ∈ S }
Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
( X ,Y ) : S × R →
2
Diskreetti kaksiulotteinen jakauma
Olkoot X ja Y diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari
(X, Y)
määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (X, Y) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan
satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaksi.
Reaaliarvoinen funktio
f XY : R 2 → R
määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät:
(1)
f XY ( x, y ) ≥ 0 kaikille x ja y
(2)
∑∑ f
x
(3)
TKK
XY
( x, y ) = 1
y
Pr( X = x ja Y = y ) = f XY ( x, y )
@ Ilkka Mellin (2008)
1/39
6. harjoitukset
Jatkuva kaksiulotteinen jakauma
Olkoot X ja Y jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari
(X, Y)
määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (X, Y) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan
satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaksi.
Reaaliarvoinen funktio
f XY : R 2 → R
määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktion, jos seuraavat
ehdot pätevät:
(1)
f XY ( x, y ) ≥ 0 kaikille x ja y
+∞ +∞
(2)
∫∫
f XY ( x, y )dydx = 1
−∞ −∞
b d
(3)
Pr(a ≤ X ≤ b ja c ≤ Y ≤ d ) = ∫ ∫ f XY ( x, y )dydx
a c
Kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio
Olkoon (X, Y) satunnaismuuttujien X ja Y muodostama järjestetty pari. Satunnaismuuttujien X ja Y
yhteisjakauman kertymäfunktio FXY määritellään kaavalla
FXY ( x, y ) = Pr( X ≤ x ja Y ≤ y )
Diskreetin kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio
Olkoon fXY(x, y) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio. Jakauman
kertymäfunktio saadaan kaavalla
FXY ( x, y ) = Pr( X ≤ x ja Y ≤ y ) = ∑ ∑ f XY ( xi , yi )
xi ≤ x yi ≤ y
Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio
Olkoon fXY(x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktio. Jakauman kertymäfunktio
saadaan kaavalla
x
FXY ( x, y ) = Pr( X ≤ x ja Y ≤ y ) =
y
∫∫
f XY (u , v)dvdu
−∞ −∞
Olkoon FXY(x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio. Jos derivaatta
∂ 2 FXY ( x, y )
= f XY ( x, y )
∂x∂y
on olemassa ja on jatkuva, funktio fXY(x, y) on satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman
tiheysfunktio.
TKK
2/39
6. harjoitukset
Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat
Olkoon fXY(x, y) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio.
Satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on
f X ( x) = Pr( X = x) = ∑ f XY ( x, y )
y
Satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on
fY ( y ) = Pr(Y = y ) = ∑ f XY ( x, y )
x
Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien X ja Y todennäköisyysjakaumiin.
Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat
Olkoon fXY(x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktio.
Satunnaismuuttujan X reunajakauman tiheysfunktio on
+∞
f X ( x) =
∫
f XY ( x, y )dy
−∞
Satunnaismuuttujan Y reunajakauman tiheysfunktio on
+∞
fY ( y ) =
∫
f XY ( x, y )dx
−∞
Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien X ja Y todennäköisyysjakaumiin.
Satunnaismuuttujien riippumattomuus
Olkoon fXY(x, y) satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio,
fX(x) satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio ja fY(y) satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio.
Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain, jos
fXY(x,y) = fX(x)fY(y)
Diskreetin kaksiulotteisen jakauman yleinen odotusarvo
Olkoon fXY(x, y) diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio
ja olkoon
g:
2
→
jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(X, Y) odotusarvo on vakio
E( g ( X , Y )) = ∑∑ g ( x, y ) f XY ( x, y )
x
y
Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman yleinen odotusarvo
Olkoon fXY(x, y) jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio ja olkoon
g:
TKK
2
→
3/39
6. harjoitukset
jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(X, Y) odotusarvo on vakio
+∞ +∞
E( g ( X , Y )) =
∫ ∫ g ( x, y ) f
XY
( x, y )dydx
−∞ −∞
Diskreetin kaksiulotteisen jakauman odotusarvot
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio fXY(x, y), satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio fX(x) ja satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio fY(y).
Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) = µX yhtyy satunnaismuuttujan X reunajakauman odotusarvoon:
E( X ) = ∑∑ xf XY ( x, y ) = ∑ x ∑ f XY ( x, y ) = ∑ xf X ( x)
x
y
x
y
x
Satunnaismuuttujan Y odotusarvo E(Y) = µY yhtyy satunnaismuuttujan Y reunajakauman odotusarvoon:
E(Y ) = ∑∑ yf XY ( x, y ) = ∑ y ∑ f XY ( x, y ) = ∑ yfY ( y )
x
y
y
x
y
Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman odotusarvot
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio fXY(x, y), satunnaismuuttujan X
reunajakauman tiheysfunktio fX(x) ja satunnaismuuttujan Y reunajakauman tiheysfunktio fY(y).
Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) = µX yhtyy satunnaismuuttujan X reunajakauman odotusarvoon:
+∞ +∞
∫∫
E( X ) =
+∞
xf XY ( x, y )dydx =
−∞ −∞
∫
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
x ∫ f XY ( x, y ) dydx =
∫ xf
X
( x)dx
Satunnaismuuttujan Y odotusarvo E(Y) = µY yhtyy satunnaismuuttujan Y reunajakauman odotusarvoon:
+∞ +∞
E(Y ) =
∫∫
+∞
yf XY ( x, y )dydx =
−∞ −∞
∫
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
y ∫ f XY ( x, y )dxdy =
∫ yf
Y
( y )dy
Odotusarvon ominaisuudet
Satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvojen muodostama järjestetty pari
(µX,µY )
määrää satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen.
Satunnaismuuttujien X ja Y summan X + Y odotusarvo:
E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
Satunnaismuuttujien X ja Y erotuksen X − Y odotusarvo:
E( X − Y ) = E( X ) − E(Y )
TKK
4/39
6. harjoitukset
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin tulon XY odotusarvo on odotusarvojen tulo:
E( XY ) = E( X ) E(Y ) = µ X µY
Huomautus:
Käänteinen ei päde: Siitä, että
E( XY ) = E( X ) E(Y ) = µ X µY
ei seuraa, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia.
Kaksiulotteisen jakauman varianssit ja standardipoikkeamat
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot
E( X ) = µ X
E(Y ) = µY
Satunnaismuuttujien X ja Y varianssit yhtyvät vastaavien reunajakaumien variansseihin:
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = E[( X − µ X ) 2 ]
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = E[(Y − µY ) 2 ]
Satunnaismuuttujien X ja Y varianssien kaavat voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin:
D 2 ( X ) = E[( X − µ X ) 2 ] = E( X 2 ) − µ X2 = E( X 2 ) − [E( X )]2
D 2 (Y ) = E[(Y − µY ) 2 ] = E(Y 2 ) − µY2 = E(Y 2 ) − [E(Y )]2
Satunnaismuuttujien X ja Y standardipoikkeamat yhtyvät vastaavien reunajakaumien standardipoikkeamiin:
D( X ) = σ X = E[( X − µ X ) 2 ]
D (Y ) = σ Y = E[(Y − µY ) 2 ]
Diskreetin kaksiulotteisen jakauman varianssit
Olkoon satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio fX(x) ja satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio fY(y).
Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y varianssit ovat vakioita
D 2 ( X ) = ∑ ( x − µ X )2 f X ( x)
x
D (Y ) = ∑ ( y − µY ) 2 fY ( y )
2
y
Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman varianssit
Olkoon satunnaismuuttujan X reunajakauman tiheysfunktio fX(x) ja satunnaismuuttujan Y reunajakauman tiheysfunktio fY(y).
+∞
D 2 ( X ) = ∫ ( x − µ X ) 2 f X ( x)dx
−∞
+∞
D (Y ) = ∫ ( y − µY ) 2 fY ( y )dy
2
−∞
TKK
5/39
6. harjoitukset
Kovarianssi
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot
E( X ) = µ X
E(Y ) = µY
Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on vakio
Cov( X , Y ) = σ XY = E[( X − µ X )(Y − µY )]
Erityisesti
Cov( X , X ) = Var( X ) = σ X2
Cov(Y , Y ) = Var(Y ) = σ Y2
Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin
muotoihin:
Cov( X , Y ) = E[( X − µ X )(Y − µY )]
= E( XY ) − µ X µY
= E( XY ) − E( X ) E(Y )
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat diskreettejä, satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on vakio
Cov( X , Y ) = ∑∑ ( x − µ X )( y − µY ) f XY ( x, y )
x
y
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat jatkuvia, satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on vakio
Cov( X , Y ) = ∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
( x − µ X )( y − µY ) f XY ( x, y )dxdy
Kovarianssin ominaisuudet
Jos
Cov( X , Y ) = σ XY = 0
niin sanomme, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat korreloimattomia.
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin ne ovat korreloimattomia, mutta käänteinen
ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat korreloimattomia ei seuraa, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia.
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y varianssit
Var( X ) = σ X2
Var(Y ) = σ Y2
ja kovarianssi
Cov( X , Y ) = σ XY
Tällöin
Var( X ± Y ) = Var( X ) + Var(Y ) ± 2 Cov( X , Y ) = σ X2 + σ Y2 ± 2σ XY
Jos
TKK
6/39
6. harjoitukset
Cov( X , Y ) = σ XY = 0
niin
Var( X ± Y ) = Var( X ) + Var(Y ) = σ X2 + σ Y2
Korrelaatiokerroin
Olkoon satunnaismuuttujilla X ja Y on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi:
E( X ) = µ X
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2
E(Y ) = µY
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2
Cov( X , Y ) = E[( X − µ X )(Y − µY )] = σ XY
Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin on vakio
Cov( X , Y )
Var( X ) Var(Y )
Cor( X , Y ) = ρ XY =
=
Cov( X , Y )
D( X ) D(Y )
=
σ XY
σ XσY
Korrelaatiokertoimen ominaisuudet
Huomaa, että
Cor( X , Y ) = ρ XY = 0
täsmälleen silloin, kun
Cov( X , Y ) = σ XY = 0
Jos siis
Cor( X , Y ) = ρ XY = 0
niin satunnaismuuttujat X ja Y ovat korreloimattomia.
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin ne ovat korreloimattomia, mutta käänteinen
ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat korreloimattomia ei seuraa, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia.
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin Cor(X, Y). Tällöin
TKK
(i)
(ii)
−1 ≤ Cor( X , Y ) ≤ +1
Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin Cor( X , Y ) = 0
(iii)
Cor( X , Y ) = ±1, jos ja vain, jos
Y =α + β X,
jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β ≠ 0
7/39
6. harjoitukset
Lineaarimuunnokset ja 2-ulotteisen jakauman tunnusluvut
Olkoot satunnaismuuttujilla X ja Y seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi:
E( X ) = µ X
Var( X ) = σ X2
E(Y ) = µY
Var(Y ) = σ Y2
Cov( X , Y ) = E[( X − µ X )(Y − µY )] = σ XY
Olkoot
W = a + bX
Z = c + dY
jossa a, b, c, d ∈ R ovat reaalisia vakioita. Tällöin
E(W ) = a + b E( X ) = a + bµ X
E( Z ) = c + d E(Y ) = c + d µY
Var(W ) = b 2 Var( X ) = b 2σ X2
Var( Z ) = d 2 Var(Y ) = d 2σ Y2
Cov(W , Z ) = bd Cov( X , Y ) = bdσ XY
Cor(W , Z ) = sgn(bd ) Cor( X , Y ) = sgn(bd ) ρ XY
Ehdolliset jakaumat
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio fXY(x, y) ja
satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot fX(x) ja fY(x).
Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan Y suhteen (ehdolla Y = y) on
f X Y ( x y) =
f XY ( x, y )
, jos fY ( y ) > 0
fY ( y )
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan X suhteen (ehdolla X = x) on
fY X ( y x ) =
f XY ( x, y )
, jos f X ( x) > 0
f X ( x)
Ehdolliset jakaumat ja riippumattomuus
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma
satunnaismuuttujan Y suhteen yhtyy satunnaismuuttujan X reunajakaumaan:
f X Y ( x y ) = f X ( x) , jos fY ( y ) > 0
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan Y ehdollinen jakauma
satunnaismuuttujan X suhteen yhtyy satunnaismuuttujan Y reunajakaumaan:
fY X ( y x) = fY ( y ) , jos f X ( x) > 0
Diskreetin kaksiulotteisen jakauman ehdolliset odotusarvot
Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y diskreettejä.
Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan Y suhteen on satunnaismuuttujan
X ehdollisen jakauman odotusarvo:
TKK
8/39
6. harjoitukset
E( X Y = y ) = ∑ xf X Y ( x y )
x
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan X suhteen on satunnaismuuttujan
Y ehdollisen jakauman odotusarvo:
E(Y X = x) = ∑ yfY X ( y x)
y
Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman ehdolliset odotusarvot
Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y jatkuvia.
Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan Y suhteen on satunnaismuuttujan
X ehdollisen jakauman odotusarvo:
+∞
E( X Y = y ) =
∫ xf
XY
( x y )dx
−∞
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan X suhteen on satunnais
muuttujan Y ehdollisen jakauman odotusarvo:
+∞
E(Y X = x) =
∫ yf
YX
( y x)dy
−∞
Ehdolliset odotusarvot ja riippumattomuus
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, ehdolliset odotusarvot yhtyvät niiden reunajakaumien odotusarvoihin.
Jos siis X ja Y ovat riippumattomia, niin
E( X Y ) = E( X )
E(Y X ) = E(Y )
Iteroidun odotusarvon laki
Ehdolliset odotusarvot voidaan tulkita satunnaismuuttujiksi ehtomuuttujan suhteen.
Siten satunnaismuuttujan Y ehdollisen odotusarvon odotusarvo (satunnaismuuttujan X suhteen) on
E X  E(Y X )  = E(Y )
Siten satunnaismuuttujan X ehdollisen odotusarvon odotusarvo (satunnaismuuttujan Y suhteen) on
EY  E( X Y )  = E( X )
Regressiofunktiot
Tarkastellaan satunnaismuuttujan X ehdollista odotusarvoa
E(XY = y)
ehtomuuttujan Y arvojen y funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan X regressiofunktioksi satunnaismuuttujan Y suhteen.
Satunnaismuuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen määrittelee regressiokäyrän
TKK
9/39
6. harjoitukset
x = g y ( y ) = E( X Y = y )
Tarkastellaan satunnaismuuttujan Y ehdollista odotusarvoa
E(YX = x)
ehtomuuttujan X arvojen x funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan Y regressiofunktioksi satunnaismuuttujan X suhteen.
Satunnaismuuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen määrittelee regressiokäyrän
y = g x ( x) = E(Y X = x)
Moniulotteisia jakaumia
Multinomijakauma
Multinomijakauma on binomijakauman yleistys useamman toisensa poissulkevan tapahtuman
tilanteeseen.
Olkoon A1, A2, … , Ak otosavaruuden S ositus. Tällöin
Ai∩ Aj = ∅ , i ≠ j
S = A1∪A2∪ ⋅⋅⋅ ∪Ak
Olkoot tapahtumien A1, A2, … , Ak todennäköisyydet:
Pr(Ai) = pi , i = 1, 2, … , k
p1 + p2 + ⋅⋅⋅ + pk = 1
Määritellään satunnaismuuttujat Xi , i = 1, 2, … , k:
Xi = Tapahtuman Ai esiintymisten lukumäärä n-kertaisessa toistokokeessa
Tällöin
X i ~ Bin(n, pi ) , i = 1, 2,… , k
jossa
pi = Pr(Ai) , i = 1, 2, … , k
Lisäksi
X1 + X2 + ⋅⋅⋅ + Xk = n
Multinomijakaumalla tarkoitetaan satunnaismuuttujien
X1, X2, … , Xk
yhteisjakaumaa.
TKK
10/39
6. harjoitukset
Huomautus:
Satunnaismuuttuja Xi eivät ole riippumattomia, koska niitä sitoo toisiinsa ehto
X1 + X2 + ⋅⋅⋅ + Xk = n
jossa toistokokeiden lukumäärä n on kiinteä luku.
Satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xk noudattavat (k − 1)-ulotteista multinomijakaumaa, jos niiden
yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio on muotoa
Pr( X 1 = n1 ja X 2 = n2 ja … ja X k = nk ) =
n!
p1n1 p2n2
n1 !n2 ! nk !
pknk
jossa
p1 + p2 +
+ pk = 1
n1 + n2 +
+ nk = n
Merkintä:
(X1, X2, … , Xk) ∼ Multinom(p1, p2 , … , pk ; n)
Jos k = 2, niin multinomijakauma yhtyy binomijakaumaan:
PrMultinom ( X 1 = n1 ja X 2 = n − n1 ) = PrBin ( X 1 = n1 )
Multinomijakauman yksiulotteiset reunajakaumat ovat binomijakaumia.
Multinomitodennäköisyydet saadaan korottamalla multinomi (p1 + p2 + ⋅⋅⋅ + pk) potenssiin n:
( p1 + p2 +
+ pk ) n = ∑
n!
p1n1 p2n2
n1 !n2 ! nk !
pknk
jossa summa lasketaan yli kaikkien lukujen n1, n2 , … , nk, joille pätee ehto
n1 + n2 + ⋅⋅⋅ + nk = n
2-ulotteinen normaalijakauma
Satunnaismuuttujien X ja Y muodostama pari (X, Y) noudattaa 2-ulotteista normaalijakaumaa, jos
sen tiheysfunktio on
(1)
f ( x, y ) =
1
2
2πσ X σ Y 1 − ρ XY


1
Q ( x, y ) 
exp −
2
 2(1 − ρ XY )

jossa
2
 x − µX 
 x − µ X  y − µY
Q ( x, y ) = 
 − 2 ρ XY 

 σX 
 σ X  σ Y
  y − µY 
+

  σY 
2
ja
− ∞ < µX < + ∞
− ∞ < µY < + ∞
σX > 0
σY > 0
−1 ≤ ρ XY ≤ +1
TKK
11/39
6. harjoitukset
2-ulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion määrittelevän yhtälön (1) hakasulkulauseke [⋅]
määrää tiheysfunktion tasa-arvokäyrät. Kaikki tasa-arvokäyrät ovat ellipsejä, joiden yhtälöt
voidaan ilmaista muodossa
2
 x − µX 
 x − µ X   y − µY
Q ( x, y ) = 
 − 2 ρ XY 

 σX 
 σ X   σY
2
  y − µY 
2
+
 =c
σ
Y
 

missä c on vakio.
2-ulotteinen normaalijakauman tiheysfunktio (1) on parametroitu niin, että sen parametreina ovat
satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot, varianssit ja korrelaatio.
Satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot ovat
µ X = E( X )
µY = E(Y )
Satunnaismuuttujien X ja Y varianssit ovat
σ X2 = Var( X ) = E  ( X − µ X )2 
σ Y2 = Var(Y ) = E (Y − µY )2 
Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio on
ρ XY = Cor( X , Y ) =
σ XY
σ XσY
jossa
σ XY = Cov( X , Y ) = E [ ( X − µ X )(Y − µY ) ]
on satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi.
2-ulotteista normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujien X ja Y parin (X, Y) odotusarvovektori on
µ X 
µ= 
 µY 
ja kovarianssimatriisi on
 σ 2 σ   σ X2
ρ XY σ X σ Y 
Σ =  X XY2  = 
σ Y2 
σ XY σ Y   ρ XY σ X σ Y
2-ulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat 1-ulotteisia normaalijakaumia:
Y ∼ N( µY , σ Y2 )
X ∼ N( µ X , σ X2 )
2-ulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien X ja Y korreloimattomuudesta
seuraa niiden riippumattomuus. Muista, että aina pätee se, että riippumattomuudesta seuraa
korreloimattomuus.
TKK
12/39
6. harjoitukset
2-ulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat 1-ulotteisia normaalijakaumia:
σY
σX
σ
= ρ XY X
σY
2
(Y | X ) ∼ N( µY + βYX ( x − µ X ) , σ Y2 (1 − ρ XY
)) , βYX = ρ XY
2
( X | Y ) ∼ N( µ X + β XY ( y − µY ) , σ X2 (1 − ρ XY
)) , β XY
Ehdollinen odotusarvo
E(Y | X ) = µY + βYX ( x − µ X )
on muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen. Ehdollinen odotusarvo E(Y|X) määrää
suoran
y = µY + βYX ( x − µ X )
Suoran kulmakerroin on βYX = ρ XY
σY
ja se kulkee pisteen (µX,µY) kautta.
σX
E( X | Y ) = µ X + β XY ( y − µY )
on muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen. Ehdollinen odotusarvo E(X|Y) määrää
suoran
x = µ X + β XY ( y − µY )
Suoran kulmakerroin on β XY = ρ XY
σX
ja se kulkee pisteen (µX,µY) kautta.
σY
Huomaa, että regressiosuorien kulmakertoimet βYX ja βXY toteuttavat yhtälön
2
βYX β XY = ρ XY
2-ulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien Y ja X yhteiskorrelaatiokerroin
on
RY X =
σ YX
σ
= ρ XY = XY = RX Y
σ Yσ X
σ XσY
ja ehdolliset varianssit ovat
2
σ Y2 X = σ Y2 (1 − ρ XY
)
2
σ X2 Y = σ X2 (1 − ρ XY
)
2-ulotteisen normaalijakauman tiheysfunktiota muodon määräävien tasa-arvoellipsien
2
2
 x − µX 
 x − µ X   y − µY   y − µY 
2
Q ( x, y ) = 
 − 2ρ 

+
 =c
 σX 
 σ X   σY   σY 
pääakseleiden pituudet (oik. pituuksien suhteet) ja suunnat saadaan määräämällä
kovarianssimatriisin
TKK
13/39
6. harjoitukset
 σ 2 σ   σ X2
ρ XY σ X σ Y 
Σ =  X XY2  = 
σ Y2 
σ XY σ Y   ρ XY σ X σ Y
ominaisarvot ja ominaisvektorit.
Matriisin Σ ominaisarvot saadaan määräämällä determinanttiyhtälön
Σ − λI =
σ X2 − λ σ XY
2
= λ 2 − (σ X2 + σ Y2 )λ + σ X2 σ Y2 − σ XY
=0
2
σ XY σ Y − λ
nollakohdat muuttujan λ suhteen. Yhtälöllä on (aina) kaksi reaalista ja ei-negatiivista nollakohtaa,
jotka ovat siis matriisin Σ ominaisarvot.
Matriisin Σ ominaisarvoja λ1 ja λ2 vastaavat ominaisvektorit
q1 = (q11, q21)
q2 = (q12, q22)
saadaan yhtälöistä
Σqi = λi qi , i = 1, 2
ottamalla huomioon ehdot
q′i qi = q12i + q22i = 1 , i = 1, 2
Tasa-arvoellipsien
Q(x,y) = c2
pääakseleiden pituudet suhtautuvat toisiinsa kuten ominaisarvojen λ1 ja λ2 neliöjuuret ja pääakseleiden suunnat yhtyvät vastaavien ominaisvektoreiden suuntiin.
TKK
14/39
6. harjoitukset
Tehtävä 6.1.
Heitetään kahta virheetöntä noppaa (nopan virheettömyydellä tarkoitetaan sitä, että silmälukujen 1, 2, 3, 4, 5, 6 todennäköisyydet ovat yhtä suuria). Määritellään satunnaismuuttujat
X = tulos 1. nopan heitosta
Y = tulos 2. nopan heitosta
U = min(X,Y)
V = max(X,Y)
Määrää:
(a)
Satunnaismuuttujan U jakauma.
(b)
Satunnaismuuttujan V jakauma.
(c)
Satunnaismuuttujien U ja V yhteisjakauma.
(d)
E(U)
(e)
E(V)
(f)
Satunnaismuuttujan U ehdollinen jakauma ehdolla V = 4.
(g)
Satunnaismuuttujan V ehdollinen jakauma ehdolla U = 4.
(h)
E(U | V = 4)
(i)
E(V | U = 4)
Tehtävä 6.1. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, reunajakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja.
Tehtävä 6.1. – Ratkaisu:
Koska nopat oletettiin virheettömiksi, satunnaismuuttujien X ja Y pistetodennäköisyysfunktiot
fX(i) = Pr(X = i) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
fY(i) = Pr(Y = i) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
voidaan esittää seuraavana taulukkona:
TKK
i
1
2
3
4
5
6
fX(i)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
fY(i)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
15/39
(a)
6. harjoitukset
Muodostetaan heittotulosten minimille
U = min(X, Y)
jossa
X = 1. nopan heiton tulos
Y = 2. nopan heiton tulos
seuraava aputaulukko:
1. nopan heiton tulos X
U = min(X, Y)
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
1
2
3
3
3
3
tulos
4
1
2
3
4
4
4
Y
5
1
2
3
4
5
5
6
1
2
3
4
5
6
2.
nopan
heiton
Satunnaismuuttujan U = min(X, Y) pistetodennäköisyysfunktio
fU(i) = Pr(U = i) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
voidaan lukea tästä aputaulukosta. Pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää
seuraavana taulukkona:
i
fU(i)
1
2
11/36 9/36
3
4
5
6
7/36
5/36
3/36
1/36
Esimerkiksi silmäluku 5 voi tulla minimiksi täsmälleen kolmella eri tavalla:
TKK
1. nopan heiton tulos
X
Y
5
5
5
5
6
5
6
5
5
U = min(X, Y)
16/39
(b)
6. harjoitukset
Muodostetaan heittotulosten maksimille
V = max(X, Y)
jossa
X = 1. nopan heiton tulos
Y = 2. nopan heiton tulos
seuraava aputaulukko:
1. nopan heiton tulos X
V = max(X, Y)
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
2
3
4
5
6
3
3
3
3
4
5
6
tulos
4
4
4
4
4
5
6
Y
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
2.
nopan
heiton
Satunnaismuuttujan V = max(X, Y) pistetodennäköisyysfunktio
fV(i) = Pr(V = i) , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
voidaan lukea tästä aputaulukosta. Pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää
seuraavana taulukkona:
i
1
2
3
4
fV(i)
1/36
3/36
5/36
7/36
5
6
9/36 11/36
Esimerkiksi silmäluku 2 voi tulla maksimiksi täsmälleen kolmella eri tavalla:
TKK
X
Y
1
2
2
2
1
2
2
2
2
V = max(X, Y)
17/39
(c)
6. harjoitukset
Satunnaismuuttujien U = min(X, Y) ja V = max(X, Y) yhteisjakauman
pistetodennäköisyysfunktio
fUV(i, j) = Pr(U = i ja V = j)
voidaan esittää seuraavana taulukkona:
U = min(X, Y) = i
fUV(i,j)
1
2
3
4
5
6
Yht.
1
1/36
0
0
0
0
0
1/36
2
2/36
1/36
0
0
0
0
3/36
V=
3
2/36
2/36
1/36
0
0
0
5/36
max(X, Y)
4
2/36
2/36
2/36
1/36
0
0
7/36
=j
5
2/36
2/36
2/36
2/36
1/36
0
9/36
6
2/36
2/36
2/36
2/36
2/36
1/36
11/36
Yht.
11/36
9/36
7/36
5/36
3/36
1/36
1
Esimerkiksi:
fUV(5,3) = Pr(U = 5 ja V = 3) = 0
koska kahden luvun minimi ei voi olla maksimia suurempi.
Esimerkiksi:
fUV(3,5) = Pr(U = 3 ja V = 5) = 2/36
koska tulos
{U = 3 ja V = 5}
voi syntyä täsmälleen kahdella eri tavalla:
(d)
X
Y
3
5
U = min(X,Y)
V = max(X,Y)
5
3
5
3
3
5
Satunnaismuuttujan U odotusarvo on
6
6
i =1
i =1
E(U ) = ∑ ifU (i ) = ∑ i Pr(U = i )
= 1×
TKK
11
9
7
5
3
1 91
+ 2 × + 3× + 4 × + 5× + 6 × =
= 2.528
36
36
36
36
36
36 36
18/39
(e)
6. harjoitukset
Satunnaismuuttujan V odotusarvo on
6
6
j =1
j =1
E(V ) = ∑ jfV ( j ) = ∑ j Pr(V = j )
= 1×
(f)
1
3
5
7
9
11 161
+ 2 × + 3× + 4 × + 5× + 6 × =
= 4.472
36
36
36
36
36
36 36
Satunnaismuuttujan U ehdolliset pistetodennäköisyysfunktiot, ehdolla V saadaan
kaavasta
fU | V (i j ) =
fUV (i, j )
, i = 1, 2,… , 6 , j = 1, 2,… , 6
fV ( j )
Tuloksena saadaan ao. taulukko, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä:
U=i|V=j
fU|V(i|j)
V=j
1
2
3
4
5
6
Yht.
1
1
0
0
0
0
0
1
2
2/3
1/3
0
0
0
0
1
3
2/5
2/5
1/5
0
0
0
1
4
2/7
2/7
2/7
1/7
0
0
1
5
2/9
2/9
2/9
2/9
1/9
0
1
6
2/11
2/11
2/11
2/11
2/11
1/11
1
Taulukko saadaan jakamalla (c)-kohdan taulukon solutodennäköisyydet
fUV(i,j) = Pr(U = i ja V = j)
satunnaismuuttujan V reunajakauman todennäköisyyksillä
fV(j) = Pr(V = j)
jotka ovat (c)-kohdan taulukossa rivisummina.
Kysytty ehdollinen jakauma
fU|V (i|j = 4)
on merkitty taulukkoon lihavoituna.
TKK
19/39
(g)
6. harjoitukset
Satunnaismuuttujan V ehdolliset pistetodennäköisyysfunktiot, ehdolla U saadaan
kaavasta
fV U ( j i ) =
fUV (i, j )
, i = 1, 2,…,6 , j = 1, 2,…,6
fU (i )
Tuloksena saadaan ao. taulukko, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina:
U=i
fV|U(j|i)
V=j|
U=i
1
2
3
4
5
6
1
1
0
0
0
0
0
2
2/11
1/9
0
0
0
0
3
2/11
2/9
1/7
0
0
0
4
2/11
2/9
2/7
1/5
0
0
5
2/11
2/9
2/7
2/5
1/3
0
6
2/11
2/9
2/7
2/5
2/3
1
Yht.
1
1
1
1
1
1
Taulukko saadaan jakamalla (c)-kohdan taulukon solutodennäköisyydet
fUV(i,j) = Pr(U = i ja V = j)
satunnaismuuttujan U reunajakauman todennäköisyyksillä
fU(i) = Pr(U = i)
jotka ovat (c)-kohdan taulukossa sarakesummina.
Kysytty ehdollinen jakauma
fU|V (i|j = 4)
on merkitty taulukkoon lihavoituna.
(h)
E(U | V = 4)
saadaan (f)-kohdan taulukosta:
6
E(U | V = 4) = ∑ ifU V (i j = 4)
i =1
2
2
2
1
16
= 1× + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × 0 + 6 × 0 = = 2.286
7
7
7
7
7
TKK
20/39
(i)
6. harjoitukset
E(V | U = 4)
saadaan (g)-kohdan taulukosta:
6
E(V | U = 4) = ∑ jfV U ( j i = 4)
j =1
1
2
2 26
= 1× 0 + 2 × 0 + 3 × 0 + 4 × + 5 × + 6 × =
= 5.2
5
5
5 5
Tehtävä 6.2.
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio
Pr(X = –1¸ Y = 3) = Pr(X = 0¸ Y = –2) = Pr(X = 0¸ Y = 1) = Pr(X = 2¸ Y = –2) = 1/4
Määrää:
(a)
Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat.
(b)
Cov(X, Y)
(c)
Cor(X, Y)
(d)
Satunnaismuuttujan Y ehdolliset jakaumat.
(e)
E(Y | X)
Tehtävässä tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, reunajakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja.
(a)
Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman
fXY(x, y) = Pr(X = x ja Y = y)
pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona:
x
fXY(x, y)
y
–1
0
2
3
1/4
0
0
1
0
1/4
0
–2
0
1/4 1/4
Reunajakaumien
fX(x) = Pr(X = x) = ∑y fXY(x, y)
fY(y) = Pr(Y = y) = ∑x fXY(x, y)
pistetodennäköisyysfunktiot saadaan tästä taulukosta rivi- ja sarakesummina:
TKK
21/39
x
fXY(x, y)
y
fX(x)
(b)
6. harjoitukset
fY(y)
–1
0
2
3
1/4
0
0
1/4
1
0
1/4
0
1/4
–2
0
1/4 1/4
1/2
1/4
1/2 1/4
1
Lasketaan satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi kaavalla
Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
Lasketaan ensin satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot:
3
1
1
1 1
E( X ) = ∑ xi Pr( X = xi ) = −1× + 0 × + 2 × = = 0.25
4
2
4 4
i =1
3
1
1
1
E(Y ) = ∑ yi Pr(Y = yi ) = −2 × + 1× + 3 × = 0
2
4
4
i =1
Edelleen
3
3
E( XY ) = ∑∑ xi y j Pr( X = xi , Y = y j )
i =1 j =1
1
1
1
1
7
= (−1) × 3 × + 0 × (−2) × + 0 × 1× + 2 × (−2) × = − = −1.75
4
4
4
4
4
Siten satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on
Cov( X , Y ) = E[( X − E( X ))(Y − E(Y ))]
= E( XY ) − E( X ) E(Y )
7 1
7
= − − × 0 = − = −1.75
4 4
4
(c)
Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio on
Cor( X , Y ) =
Cov( X , Y )
D( X ) D(Y )
Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on laskettu (b)-kohdassa, mutta joudumme
laskemaan vielä satunnaismuuttujien X ja Y standardipoikkeamat.
Lasketaan ensin satunnaismuuttujille X ja Y 2. origomomentit:
3
1
1
1 5
E( X 2 ) = ∑ xi2 Pr( X = xi ) = (−1) 2 × + 02 × + 22 × = = 1.25
4
2
4 4
i =1
TKK
22/39
6. harjoitukset
3
1
1
1 18 9
E(Y 2 ) = ∑ yi2 Pr(Y = yi ) = (−2) 2 × + 12 × + 32 × = = = 4.5
2
4
4 4 2
i =1
Satunnaismuuttujien X ja Y varianssit ovat:
2
5  1  19
Var( X ) = D ( X ) = E[ X − E( X )] = E( X ) − [E( X )] = −   = = 1.1875
4  4  16
2
2
2
Var(Y ) = D 2 (Y ) = E[Y − E(Y )]2 = E(Y 2 ) − [E(Y )]2 =
2
9 2 9
− 0 = = 4.5
2
2
Siten
7
−
Cov( X , Y )
7 2
4
Cor( X , Y ) =
=
=−
= −0.7570
D( X ) D(Y )
19
9
171
×
16
2
(d)
Muodostetaan satunnaismuuttujan Y ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot,
kun ehtomuuttujana on X:
fY X ( y ) =
fYX ( y , x )
f X ( x)
x = –1:
y
–2
1
3
fY |X(y)
0
0
1
y
–2
1
3
fY |X(y)
1/2
1/2
0
y
–2
1
3
fY |X(y)
1
0
0
x = 0:
x = 2:
Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn
satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota kuvaavan
taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan X reunajakauman todennäköisyyksillä.
TKK
23/39
(e)
6. harjoitukset
Ehdolliset odotusarvot
E(Y | X = x) = ∑yfY|X(y)
saadaan kohdasta (d):
x
–1
0
2
E(Y|X = x)
3
–1/2
–2
Esimerkiksi:
3
E(Y | X = 2) = ∑ y j Pr(Y = y j | X = 2) = −2 × 1 + 1× 0 + 3 × 0 = −2
j =1
Tehtävä 6.3.
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio
f(x, y) = C(x + y) , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x
jossa C on vakio.
Määrää:
(a)
Vakio C.
(b)
Pr(X ≥ Y)
(c)
Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio.
(d)
Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat. Ovatko X ja Y riippumattomia?
(e)
Tiheysfunktio satunnaismuuttujan X ehdolliselle jakaumalle ehdolla Y.
(f)
Ehdollinen odotusarvo E(X |Y).
Tehtävässä tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, reuna-jakaumia
ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja.
(a)
Vakio C saadaan määrätyksi integroimalla satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman
tiheysfunktio sen määrittelyalueen A yli:
y
(0,1)
A
x
(1,0)
TKK
24/39
6. harjoitukset
Saamme siten seuraavan yhtälön vakion C määräämiseksi:
+∞ +∞
∫∫
−∞ −∞
1 1− x
f XY ( x, y )dydx = C ∫
∫ ( x + y)dydx
1
1− x
0 0
1 

= C ∫  xy + y 2  dx
2 0
0 
1
1 1 
= C ∫  − x 2  dx
2 2 
0
z
1
1 
1
= C  x − x3 
6 0
2
1 1 1
= C −  = C =1
2 6 3
Ratkaisuksi saadaan
C=3
Siten satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on muotoa
f(x, y) = 3(x + y) , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x
(b)
Todennäköisyys
Pr(X ≥ Y)
saadaan integroimalla yhteisjakauman tiheysfunktio alueen B yli:
y
(0,1)
(1/2,1/2)
B
x
(1,0)
Siten
1 1− x
1/ 2 x
Pr ( X ≥ Y ) = 3 ∫ ∫ ( x + y )dydx + 3 ∫
0 0
∫ ( x + y)dydx
1/ 2 0
x
1/ 2
1− x
1
1 
1 


= 3 ∫  xy + y 2  dx + 3 ∫  xy + y 2  dx
2 0
2 0
0 
1/ 2 
1/ 2
1
3 
1 1 
= 3 ∫  x 2  dx + 3 ∫  − x 2  dx
2 
2 2 
0 
1/ 2 
1/ 2
1
1 
1
3 
1
= 3  x3  + 3  x − x3  =
6 1/ 2 2
 6 0
2
TKK
25/39
(c)
6. harjoitukset
Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktioksi saadaan
y
x
FXY ( x, y ) =
∫∫
f XY (u, v)dvdu
−∞ −∞
x y
= 3∫ ∫ (u + v)dvdu
0 0
x
y
1 

= 3∫ uv + v 2  du
2 0
0 
x
1 

= 3∫  uy + y 2  du
2 
0
x
1
1

= 3  u 2 y + uy 2 
2
2
0
3
3
= x 2 y + xy 2
2
2
Kertymäfunktio on määritelty alueella
A = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x}
(d)
Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat saadaan integroimalla niiden
yhteisjakauman
tiheysfunktio vuorotellen kummankin muuttujan suhteen:
1− x
1− x
1 
3

f X ( x) = 3 ∫ ( x + y )dy = 3  xy + y 2  = (1 − x 2 )
2 0
2

0
1− y
fY ( y ) = 3 ∫
0
1− y
3
1

( x + y )dx = 3  x 2 + xy  = (1 − y 2 )
2
2
0
Satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia, koska
f X ( x ) fY ( y ) =
(e)
9
9
(1 − x 2 )(1 − y 2 ) = (1 − x 2 − y 2 + x 2 y 2 ) ≠ 3( x + y ) = f XY ( x, y )
4
4
Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on Y, on
f X Y ( x) =
f XY ( x, y ) 3( x + y ) 2( x + y )
=
=
3
fY ( y )
1− y2
2
(1 − y )
2
Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma ehdolla Y = y riippuu y:stä, jolloin
esimerkiksi myös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat y:stä. Tämä on ymmärrettävää,
koska satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia.
TKK
26/39
(f)
6. harjoitukset
Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on Y, on
+∞
∫ xf
E( X Y ) =
XY
( x)dx
−∞
1− y
=
∫x
0
2( x + y )
dx
1− y2
2
=
1− y2
1− y
∫ (x
2
+ xy )dx
0
1− y
2 1 3 1 2 
x + x y
1 − y 2  3
2
0
1 (1 − y )(2 + y )
= ⋅
3
1+ y
=
Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla Y = y eli satunnaismuuttujan X
regressiofunktio satunnaismuuttujan Y suhteen riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää,
koska satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia.
Tehtävä 6.4.
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio
f(x, y) = Cex + y , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
jossa C on vakio.
Määrää:
(a)
Vakio C.
(b)
(c)
Ovatko X ja Y riippumattomia?
Tehtävässä tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, reuna-jakaumia
ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja.
(a)
Vakio C saadaan määrätyksi integroimalla satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman
tiheysfunktio sen määrittelyalueen yli, koska aina pätee, että
+∞ +∞
∫∫
f XY ( x, y )dydx ≡ 1
−∞ −∞
TKK
27/39
6. harjoitukset
Saamme siten seuraavan yhtälön vakion C määräämiseksi:
1 1
1
1
0
0
C ∫ ∫ e x + y dydx = C ∫ e x ∫ e y dydx
0 0
1
1
= C ∫  e y  dx
0
0
1
= C (e − 1) ∫ e x dx
0
= C (e − 1)  e x 
1
0
= C (e − 1) = 1
2
Ratkaisuksi saadaan
C = 1/(e – 1)2
Siten satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio on
f ( x, y ) =
(b)
1
e x+ y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1
(e − 1) 2
Koska satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio faktoroituu muotoon
1
e x+ y
2
(e − 1)
1 x
1 y
=
e ×
e
e −1
e −1
f ( x, y ) =
niin satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien tiheysfunktiot ovat
1 x
e
e −1
1 y
fY ( y ) =
e
e −1
f X ( x) =
(c)
Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, koska
f X ( x) fY ( y ) = f XY ( x, y )
TKK
28/39
6. harjoitukset
Tehtävä 6.5.
Alla olevassa taulukossa on annettu satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat:
x
fXY(x, y)
y
–1
fY(y)
0
2
3
1/4
1
1/4
–2
1/2
fX(x)
1/4
1/2
1/4
1
Täytä taulukon solut satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyyksillä
niin,
että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia.
Tehtävässä tarkastellaan riippumattomuuden käsitettä.
Diskreetit satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää sen reunajakauman pistetodennäköisyysfunktioiden tulona:
fXY(x, y) = Pr(X = x ja Y = y) = Pr(X = x)Pr(Y = y) = fX(x)fY(y)
Siten saamme yhteisjakauman pistetodennäköisyyksiksi seuraavan taulukon luvut:
x
fXY(x, y)
y
fX(x)
–1
fY(y)
0
2
3
1/16 1/8
1/16
1/4
1
1/16 1/8
1/16
1/4
–2
1/8
1/4
1/8
1/2
1/4
1/2
1/4
1
Tehtävä 6.6.
Oletetaan, että satunnaismuuttujien X ja Y muodostama pari (X, Y) noudattaa kaksiulotteista
normaalijakaumaa seuraavin parametrein:
E( X ) = +2
E(Y ) = −10
Var( X ) = 9
Var(Y ) = 4
Cov( X , Y ) = −5
Määrää:
(a)
TKK
29/39
6. harjoitukset
(b)
Cor(X, Y)
(c)
Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on Y.
(d)
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on X.
Tehtävässä tarkastellaan 2-ulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia.
Oletuksen mukaan
E( X ) = µ X = +2
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = 9
E(Y ) = µY = −10
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = 4
Cov( X , Y ) = σ XY = −5
(a)
Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat ovat normaalisia:
X ~ N(+2, 9)
jossa
E( X ) = µ X = +2
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = 9
ja
Y ~ N(–10, 4)
jossa
E(Y ) = µY = −10
(b)
Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin on
ρ XY = Cor( X , Y ) =
(c)
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = 4
σ
Cov( X , Y )
−5
5
= XY =
= − = −0.8333
D( X ) D(Y ) σ X σ Y 3 × 2
6
Satunnaismuuttujan X ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on Y, on normaalinen:
X | Y ~ N(E(X | Y), Var(X | Y ))
Satunnaismuuttujan X ehdollisen jakauman (ehdolla Y) odotusarvo eli satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo (ehdolla Y) on
E( X | Y = y ) = µ X + ρ XY
σX
5 3
5
21
( y − µY ) = 2 − × ( y + 10) = − y −
σY
6 2
4
4
Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan Y arvojen funktiona
lineaarinen.
Satunnaismuuttujan X ehdollisen jakauman (ehdolla Y) varianssi eli satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi (ehdolla Y) on
TKK
30/39
6. harjoitukset
  5 2 
11
Var( X | Y = y ) = (1 − ρ )σ = 1 −    9 = × 9 = 2.75 < 9 = σ X2
 6 
36


2
XY
2
X
Satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi (ehdolla Y) ei riipu ehtomuuttujan
Y arvoista.
(d)
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on X, on normaalinen:
Y | X ~ N(E(Y | X), Var(Y | X ))
Satunnaismuuttujan Y ehdollisen jakauman (ehdolla X) odotusarvo eli satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo (ehdolla X) on
E(Y | X = x) = µY + ρ XY
σY
5 4
10
260
( x − µ X ) = −10 − × ( x − 2) = − x −
σX
6 9
27
27
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan X arvojen funktiona
lineaarinen.
Satunnaismuuttujan Y ehdollisen jakauman (ehdolla X) varianssi eli satunnaismuuttujan Y ehdollinen varianssi (ehdolla X) on
  5 2 
11
11
Var(Y | X = x) = (1 − ρ )σ = 1 −    4 = × 4 = = 1.222 < 9 = σ Y2
 6 
36
9


2
XY
2
Y
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen varianssi (ehdolla X) ei riipu ehtomuuttujan
X arvoista.
Tehtävä 6.7.
E( X ) = µ X = +2
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = 4
E(Y ) = µY = −10
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = 9
Cor( X , Y ) = ρ XY = −0.9
Määrää
Cov(X, Y)
Tehtävässä tarkastellaan 2-ulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia.
Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin on
ρ XY = Cor( X , Y ) =
TKK
σ
Cov( X , Y )
= XY
D( X ) D(Y ) σ X σ Y
31/39
6. harjoitukset
Siten
σ XY = Cov( X , Y ) = Cor( X , Y ) D( X ) D(Y ) = ρ XY σ X σ Y
Tässä
D( X ) = σ X = 2
D(Y ) = σ Y = 3
Cor( X , Y ) = ρ XY = −0.9
joten
Cov( X , Y ) = ρ XY σ X σ Y = −0.9 × 2 × 3 = −5.4
Tehtävä 6.8.
normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan X regressiofunktio satunnaismuuttujan Y suhteen on
1
4
E( X | Y = y ) = − y −
5
5
satunnaismuuttujan Y regressiofunktio satunnaismuuttujan X suhteen on
5
1
E(Y | X = x) = − x −
4
4
Määrää:
(a)
Satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot.
(b)
Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio.
Tehtävässä tarkastellaan 2-ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden
ominaisuuksia.
Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan X regressiofunktio
satunnaismuuttujan Y suhteen on muotoa
x = µ X + ρ XY
σX
( y − µY )
σY
ja satunnaismuuttujan Y regressiofunktio satunnaismuuttujan X suhteen on muotoa
y = µY + ρ XY
σY
(x − µX )
σX
jossa
TKK
µ X = E( X )
σ X2 = D 2 ( X ) = Var( X )
µY = E(Y )
ρ XY = Cor( X , Y )
σ Y2 = D 2 (Y ) = Var(Y )
32/39
6. harjoitukset
Koska kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat lineaarisia ehtomuuttujien
arvojen suhteen niitä kutsutaan regressiosuoriksi.
(a)
Regressiosuorien yhtälöistä näkyy, että kumpikin suora kulkee satunnaismuuttujien X ja
Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen
(µX, µY)
kautta. Siten satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot saadaan määräämällä suorien
leikkauspiste.
Siten leikkauspiste saadaan määräämällä lineaarisen yhtälöryhmän
1
4

 x = − 5 y − 5

y = − 5 x − 1

4
4
ratkaisu.
Sijoittamalla ensimmäinen yhtälö toiseen yhtälöön saadaan yhtälö
5 1
4 1 1
3
y = − − y − − = y +
4 5
5 4 4
4
josta saadaan ratkaisuksi
y=1
Sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan
1
4
x = − × 1 − = −1
5
5
Siten satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot ovat
E(X) = –1
E(Y) = +1
(b)
Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiosuorien yleisistä lausekkeista näkyy, että
suorien kulmakertoimet
ρ XY
σX
σ
ja ρ XY Y
σY
σX
toteuttavat yhtälön

σX  
σY 
2
 ρ XY
 ×  ρ XY
 = ρ XY
σY  
σX 

Siten
 1  5
1
2
=  − × −  =
ρ XY
 5  4 4
TKK
33/39
6. harjoitukset
joten satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin on
ρ XY = −
1
2
koska regressiosuorien kulmakertoimet ovat negatiivisia.
Tehtävä 6.9.
E(X) = 1
E(Y) = –1
Var(X) = D2(X) = 9
Var(Y) = D2(Y) = 4
Cor(X, Y) = 0.5
(a)
Määrää muuttujien X ja Y kovarianssi.
(b)
Määrää muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y
regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit.
(c)
Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä
muuttujien X ja Y odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset?
ominaisuuksia.
Oletuksen mukaan
E( X ) = µ X = +1
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = 9
E(Y ) = µY = −1
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = 4
Cor( X , Y ) = ρ XY = 0.5
Lasketaan ensin muuttujien X ja Y standardipoikkeamat:
D(X) = 3
D(Y) = 2
(a)
Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi:
Cov(X, Y) = Cor(X, Y)×D(X)×D(Y) = 0.5×3×2 = 3
(b)
Satunnaismuuttujan X regressiofunktio satunnaismuuttujan Y suhteen on suora, jonka
kulmakerroin on
Cor(X, Y)×D(X)/D(Y) = 0.5×3/2 = 0.75
Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköisyysmassan
painopisteen
TKK
34/39
6. harjoitukset
(E(X), E(Y)) = (+1,–1)
kautta, suoran yhtälö on muotoa
x – 1 = 0.75×(y + 1)
Satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan Y suhteen on
(1 – Cor(X, Y)2)×D2(X) = (1 – 0.52)×9 = 6.75 < D2(X)
Satunnaismuuttujan Y regressiofunktio satunnaismuuttujan X suhteen on suora, jonka
kulmakerroin on
Cor(X, Y)×D(Y)/D(X) = 0.5×2/3 = 1/3
painopisteen
(E(X), E(Y)) = (+1,–1)
y + 1 = (1/3)×(x – 1)
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan X suhteen on
(1 – Cor(X, Y)2)×D2(Y) = (1 – 0.52)×4 = 3 < D2(Y)
(c)
Koska kumpikin regressiosuorista kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman
todennäköisyysmassan painopisteen kautta, suorien leikkauspisteenä on piste
(E(X), E(Y)) = (+1,–1)
Tehtävä 6.10.
(a)
Oletetaan, että satunnaismuuttujien X ja Y muodostama pari (X, Y) noudattaa
kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein
E(X) = 0
E(Y) = 1
2
Var(X) = D (X) = 1
Var(Y) = D2(Y) = 4
Cov(X, Y) = –1
Määrää muuttujien X ja Y korrelaatio ja muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y
suhteen ja muuttujan Y regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset
varianssit.
(b)
TKK
Oletetaan, että satunnaismuuttujien X ja Y muodostama pari (X, Y) noudattaa
kaksiulotteista normaalijakaumaa.
35/39
6. harjoitukset
Olkoon satunnaismuuttujan X regressiosuora satunnaismuuttujan Y suhteen
8
14
y =− x+
3
3
ja satunnaismuuttujan Y regressiosuora satunnaismuuttujan X suhteen
3
7
y =− x+
2
2
Määrää muuttujien X ja Y odotusarvot.
ominaisuuksia.
Oletuksen mukaan
E( X ) = µ X = 0
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = 1
E(Y ) = µY = 1
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = 4
Cov( X , Y ) = ρ XY = −1
D(X) = 1
D(Y) = 2
(a)
Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio:
Cor(X, Y) = Cov(X, Y)/(D(X)×D(Y)) = –1/(1×2) = –0.5
kulmakerroin on
Cor(X, Y)×D(X)/D(Y) = –0.5×1/2 = –1/4
painopisteen
(E(X), E(Y)) = (0,1)
x = (–1/4)×(y – 1)
Vastaava ehdollinen varianssi:
(1 – Cor(X, Y)2)×D2(X) = (1 – (–0.5)2)×1 = 0.75 < D2(X)
kulmakerroin on
Cor(X, Y)×D(Y)/D(X) = –0.5×2/1 = –1
painopisteen
TKK
36/39
6. harjoitukset
(E(X), E(Y)) = (0,1)
y – 1 = –x
Vastaava ehdollinen varianssi:
(1 – Cor(X, Y)2)×D2(Y) = (1 – (–0.5)2)×4 = 3 < D2(Y)
(b)
Suorat leikkaavat pisteessä (1,2), joten
E(X) = 1
E(Y) = 2
Tehtävä 6.11.
E(X) = –10
E(Y) = 5
Var(X) = D2(X) = 16 Var(Y) = D2(Y) = 9
Cov(X, Y) = 6
(a)
Määrää muuttujien X ja Y korrelaatio.
(b)
Määrää muuttujan X regressiofunktio muuttujan Y suhteen ja muuttujan Y
regressiofunktio muuttujan X suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit.
(c)
Kerro (b)-kohdassa määräämiesi regressiosuorien kulmakertoimet keskenään ja vertaa
saatua tulosta (a)-kohdassa määräämäsi korrelaatiokertoimen neliöön. Mitä havaitset?
(d)
Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä
muuttujien X ja Y odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset?
ominaisuuksia.
Oletuksen mukaan
E( X ) = µ X = −10
Var( X ) = D 2 ( X ) = σ X2 = 16
E(Y ) = µY = 5
Var(Y ) = D 2 (Y ) = σ Y2 = 9
Cov( X , Y ) = σ XY = 6
D(X) = 4
D(Y) = 3
(a)
TKK
Muuttujien X ja Y korrelaatio:
37/39
6. harjoitukset
Cor(X, Y) = Cov(X, Y)/(D(X)×D(Y)) = 6/(4×3) = 1/2 = 0.5
(b)
kulmakerroin on
Cor(X, Y)×D(X)/D(Y) = 0.5×4/3 = 2/3 ≈ 0.667
painopisteen
(E(X), E(Y)) = (0,1)
x + 10 = (2/3)×(y – 5)
Satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan Y suhteen:
(1 – Cor(X, Y)2)×D2(X) = (1 – 0.52)×16 = 12 < D2(X)
kulmakerroin on
Cor(X, Y)×D(Y)/D(X) = 0.5×3/4 = 3/8 = 0.375
painopisteen
(E(X), E(Y)) = (0,1)
y – 5 = (3/8)×(x + 10)
Satunnaismuuttujan Y ehdollinen varianssi muuttujan X suhteen:
(1 – Cor(X, Y)2)×D2(Y) = (1 – 0.52)×9 = 27/4 = 6.75 < D2(Y)
(c)
Muuttujan X regressiosuorassa muuttujan Y suhteen kulmakerroin on
Cor( X , Y ) ×
D( X )
D(Y )
Muuttujan Y regressiosuorassa muuttujan X suhteen kulmakerroin on
Cor( X , Y ) ×
D(Y )
D( X )
Siten kulmakertoimien tuloksi saadaan
Cor( X , Y ) ×
TKK
D( X )
D(Y )
× Cor( X , Y ) ×
= [Cor( X , Y )]2
D(Y )
D( X )
38/39
6. harjoitukset
Tehtävässä
2
D( X )
D(Y ) 2 3 1  1 
× Cor( X , Y ) ×
= × = =   = [Cor( X , Y )]2
Cor( X , Y ) ×
D(Y )
D( X ) 3 8 4  2 
TKK
39/39

Ratkaisut

Transcription

Similar documents

4. viikon laskuharjoitus A - MyCourses - Aalto

Ratkaisut

Luentokalvot

pdf - Suomen gastroenterologiahoitajat ry

MAT-02500 Todennäköisyyslaskenta Tentti 5.3.2014 / Kimmo

legend - Galaxy

Todennäköisyyslaskentaa sivuaineopiskelijoille

Tips for Reading with Children

1(8) HELSINGIN SEUDUN MONIKKOPERHEET RY

cArocrJJoP Arocr.x-9 cAtocuroP cRrocr.uoP cArocr.iloP cAlocr.rjoP

Luku 1 Yhden selittäjän lineaarinen regressio

Monimuuttujamenetelmät: Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli