Osatentti 3 ratkaisu

761111-P1 PERUSMEKANIIKKA, Syksy 2015, Osatentti 3
1. a) Maata kiertää kolme satelliittia A, B ja C, jotka kaikki ovat tarkasteluhetkellä
10 000 km päässä Maan keskipisteestä. Satelliitti A kiertää Maata ympyräradalla, satelliitti B on ratansa perigeumissa (Maata lähinnä olevassa pisteessä) ja satelliitti C taas
ratansa apogeumissa (Maasta kauimpana olevassa pisteessä). Piirrä kuva tilanteesta. Millä
satelliiteista on tuolloin suurin ratanopeus, millä pienin? Perustele. (2p)
b) Satelliitti kiertää Maata ympyräradalla siten, että se on koko ajan saman ekvaattorilla sijaitsevan pisteen yläpuolella. Toisin sanoen satelliitin kiertoaika on sama kuin Maan
pyörähdysaika akselinsa ympäri, 23 h 56 min 4.1 s. Kuinka korkealla satelliitti on Maan
pinnasta? Maan massa on noin 5.97 · 1024 kg ja säde n. 6380 km. (4p)
Gravitaatiovakiolle voit käyttää arvoa G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 .
1. a) Three satellites A, B and C orbit the Earth, and at one moment all three are
10 000 km away from the center of the Earth. Satellite A orbits the Earth in a circular
orbit, satellite B is in its perigeum (the point closest to Earth) and satellite C is in its
apogeum (point farthest away from Earth). Draw a picture of the situation. Which of the
satellites has largest orbital speed at that moment, which has lowest? Why? (2p)
b) A satellite orbits the Earth in a circular orbit so that it is constantly over the same spot
on the equator. Thus the orbital period is the same as the rotation period of the Earth,
23 h 56 min 4.1 s. What is the distance to the satellite from the surface of the Earth?
The mass of the Earth is 5.97 · 1024 kg and its radius is about 6380 km. (4p)
For the gravitational constant you can use value G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 .
1
RATKAISU
1. a) Tilannetta voisi esittää vaikkapa yllä oleva kuva, jossa Maa on piirretty vahvennetulla
viivalla, satelliitin A rata yhtenäisellä viivalla, satelliitin B pisteviivalla ja satelliitin C
katkoviivalla.
Mitä taas tulee kysymyksiin nopeuksista, niin tilanne on analoginen luentojen esimerkkiin
vuorella olevasta tykistä, joka ampuu kuulia vaakasuoraan suuntaan. Alhaisella nopeudella
kuula putoaa Maahan, jossakin vaiheessa nopeutta on tarpeeksi, jotta kuula päätyy sellaiselle ellipsiradalle, jonka korkein piste yhtyy ampumakohtaan, tästä nopeutta nostamalla
päädytään ympyräradalle, seuraavaksi tulee sitten vastaan ellipsirata, jonka matalin piste
vastaa ampumaetäisyyttä. Eli suurin nopeus 10 000 km etäisyydellä Maan keskipisteestä on satelliitilla B, jonka radan alin piste on kyseessä, alhaisin taas satelliitilla C, jonka
radalla ollaan ylimmässä pisteessä. Ympyräradalla olevan satelliitin A nopeus on tältä
väliltä.
Tehtävää on mahdollista lähestyä myös matemaattisemmin energian, liikemäärämomentin,
nopeus- ja kiihtyvyysvektoreiden tai Keplerin lakien kautta, mutta tämä vastaus riittää
yhteydessä.
Pisteytys: kuva (1p), selitys (1p).
b) Kyseessä on ympyräliike, tarvittavana keskihakuvoimana toimii gravitaatio:
GmmE
r2
=
mv 2
r
,
(1)
missä mE on maapallon massa ja m satelliitin massa, r ratasäde sekä v ratanopeus. Tästä
2
saadaan ratanopeudeksi
s
v=
GmE
ja rataperiodiksi
T =
2πr
v
(2)
r
3
2πr 2
= √
.
GmE
(3)
Korottamalla tämän puolittain toiseen potenssiin ja järjestelemällä hieman, saamme
s
r=
3
T 2 GmE
4π 2
.
(4)
Nyt tiedämme halutun rataperiodin olevan sama kuin Maan pyörähdysaika (joka on hieman lyhyempi kuin vuorokausi, ero johtuu siitä, että vuorokausi määritellään Auringon
näkymisen perusteella, siihen vaikuttaa Maan pyörimisen lisäksi Maan kiertoliike Auringon ympäri):
T = (23 × 3600 + 56 × 60 + 4.1) s = 86164.1 s. Sijoittamalla tämä edelliseen
kaavaan saamme (huom: N = kgm/s2 !):
s
r=
3
(86164.1 s)2 × 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 × 5.97 · 1024 kg
4π 2
= 42 150 km. (5)
Varsinaisestihan laskussa kysyttiin sitä, miten korkealla tällainen satelliitti on Maan pinnasta, joten vähennetään tuloksesta vielä Maan ratasäde:
h = 42 150 km − 6380 km = 35 770 km.
(6)
Käyttämällä tarkempia arvoja esim. gravitaatiovakiolle saisimme taulukkokirjoista ja Wikipediasta löytyvän arvon 35 786 km.
Pisteytys: keskihakuvoimana on painovoima (1p), ratasäteen kaavan johto, rataperiodin
ja muiden suureiden sijoitus ja lasku (2p), Maan ratasäteen poisto korkeutta kysyttäessä
(1p).
3
ANSWER
1. a) The situation is demonstrated in the gure above: Earth (thick line), orbit of satellite
A (continuous line), orbit of satellite B (dotted line) and the orbit of the satellite C (dashed
line).
What comes to velocities, the situation is anologuous to example from lecture/book: a
cannon sitting on a top of a mountain shooting projectiles into horisontal direction. If the
velocity is low, the projectile will fall to Earth, if it is high enough, it will end up into an
elliptical orbit with perigeum, or the longest distance from the center of the Earth being
the starting point. If the velocity is increased, we will get an circular orbit, if the velocity
is further increased the orbit becomes again elliptical, but now the apogeum, or the largest
distance from the center of the Earth, will coincide with the starting point.
On this basis, it is evident that at the distance of 10 000 km from the center of the Earth,
satellite B has the highest velocity, and satellite C will have the lowest one. Satellite A,
which has a circular orbit has a velocity between these two.
It is possible to give a more mathematical answer by applying e.g. energy, angular momentum, velocity and acceleration vectors or Kepler's laws, but this is enough at this
point.
Points: gure (1p), explanation (1p)
b) We have circular motion, the needed central force is gravity:
GmmE
r2
=
4
mv 2
r
,
(7)
where mE is the mass of the Earth, m is mass of the satellite, r is its orbital radius and
v orbital velocity. From this we get circular velocity
s
v=
GmE
and the orbital period
2πr
T =
v
(8)
r
3
2πr 2
.
= √
GmE
(9)
By taking square of the both sides of the equation and little rearrangement we get
s
r=
3
T 2 GmE
4π 2
.
(10)
Now we know that the orbital period is the same as the rotation period of the Earth around
its axis (which is a bit shorter than one day, a day is determined by the visibility of the
Sun, which is aected both by the rotation of the Earth around its axis and the orbital
motion of the Earth around the Sun):
T = (23 × 3600 + 56 × 60 + 4.1) s = 86164.1 s. When we put this to the previous
formula we get (note: N = kgm/s2 !):
s
r=
3
(86164.1 s)2 × 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 × 5.97 · 1024 kg
4π 2
= 42 150 km.
(11)
The actual question was how high the satellite is above the surface of the Earth, so we will
have to subtract the radius of the Earth from the result:
h = 42 150 km − 6380 km = 35 770 km.
(12)
By using more precise values e.g. for the gravitational constant we would get the value
that can be found from literature, 35 786 km.
Points: gravity is the central force (1p), the formula for the orbital radius and its solution
(2p), removing the radius of the Earth when calculating the height (1p).
5