KUL-49.3100 LH2

Kul-49.3100
Dynamiikka II
Harjoitus 2
30.9.2015
(KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon ennen laskuharjoitusten alkua viimeistään klo 12.00 (30.9.2015).
1.
(KOTITEHTÄVÄ) Kuvan tela pyörii pituusakselinsa ympäri
vakiokulmanopeudella ωs ja pystyakselinsa ympäri vakiokulmanopeudella ωp . Määritä sylinterin kulmanopeus ja
kulmakiihtyvyys välikoordinaatistossa. Käytä Eulerin kulmia
ja jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen kaavoja. Esitä vastauksesi Eulerin kulmien välikoordinaatiston ξηζ-kannassa.
Huomaa, että sopiva välikoordinaatiston valinta on annettu
kuvassa. (2 p.)
Vastaus: ω = ωp eη − ωs eζ
& α = −ωp ωs eξ
2.
(KOTITEHTÄVÄ) Automaattinen aurinkopaneelin kääntölaite seuraa kello-ohjattuna auringon liikettä. Paneeli pyörii
jalustansa ympäri kulmavauhdilla φ̇ (vakio). Samanaikaisesti
kallistuskulman muutosnopeus horisonttiin nähden on θ̇ vakio. Määritä paneelin kulmanopeus ja -kiihtyvyys paneeliin
sidotussa xyz-kannassa. Älä käytä jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälöitä, vaan muodosta kulmanopeuden
lauseke ja käytä tarvittaessa yhteyttä ė = ω × e kantavektoreiden muutosnopeuksille. (2 p.)
Vastaus: ω = φ̇(sin θi+cos θj)+θ̇k & α = φ̇θ̇(cos θi−sin θj)
3.
(KOTITEHTÄVÄ) Lentokone irtautuu kiitoradasta vauhdilla v likimain vaakasuoraan ja kääntää laskutelineen
pyörät (säde R) siipien sisään vakiokulmanopeudella θ̇.
Pyörän ja kiitoradan kosketuksen lakattua pyörä jää pyörimään akselinsa ympäri. Määritä pyörän kulmavauhti ω ja
kulmakiihtyvyyden itseisarvo α. Käytä ratkaisussasi Eulerin kulmia, kulmanopeuden esitystä välikoordinaatistossa ja
yhteyttä ė = ω×e kantavektoreiden muutosnopeuksille. (2 p.)
q
Vastaus: ω = θ̇2 + (v/R)2 & α = |θ̇v/R|
4.
Johda suhteellisen liikkeen nopeuden v ja kiihtyvyyden a esitykset
v = vO + v r + ω × ρ
a = aO + ar + α × ρ + ω × (ω × ρ) + 2ω × vr
derivoimalla paikkavektorin esitystä r = rO + ρ ajan suhteen puolittain ja käyttämällä kantavektorin muutosnopeuden lauseketta ė = Ω × e ja merkintää α = ω̇.
5.
Johda inertiaalikoordinaatistossa (kantavektorit {I, J, K})
lauseke jäykän kappaleen partikkelin P nopeudelle ṙ kuvan
mukaisessa tilanteessa, jossa kappale pyörii vakiokulmanopeudella γ̇ x-akselin ympäri. Kappalekoordinaatiston (xyz)
akselit ovat yhdensuuntaisia inertiaalikoordinaatiston (XY Z)
akseleiden kanssa, kun kulma γ = 0. Lisäksi r0 on vakio ja
ρ = ρx i + ρy j + ρz k. Laske partikkelin P nopeus myös käyttäen suhteellisen liikkeen kaavoja ja vertaa saamiasi tuloksia.
Vastaus:
ṙ = −γ̇(ρy sin γ + ρz cos γ)J + γ̇(ρy cos γ − ρz sin γ)K
6.
Oheisen kuvan mukaisessa tilanteessa lautasantenni pyörii
jalustansa ympäri kulmanopeudella Ω (vakio) samaan aikaan
kun antennin kulma vaakatasoon muuttuu nopeudella β̇
(vakio). Käytä Eulerin kulmia, kulmanopeuden esitystä välikoordinaatistossa ja jäykän kappaleen suhteellisen liikkeen
kaavoja ja määritä antennin kulmanopeus ω ja kulmakiihtyvyys α. Esitä tuloksesi sekä välikoordinaatiston kannassa että
antenniin sidottun kappalekoordinaatiston (xyz) kannassa.
Kappalekoordinaatiston z-akseli pysyy koko ajan inertiaalikoordinaatiston XY -tasossa.
Vastaus: Välikoordinaatiston kannassa ω = Ωeη + β̇eζ
ja α = Ωβ̇eξ .
7.
Kuvan xyz-koordinaatisto pyörii Z-akselin ympäri vakiokulmanopeudella ωp . Hyrrä pyörii samanaikaisesti x-akselin
ympäri kulmanopeudella ωs = ω0 sin ω0 t (mitattuna xyzkoordinaatistossa), jossa ω0 on vakio. Lisäksi hyrrän kallistuskulma α vakio. Määritä hyrrän kulmanopeus sekä
kulmakiihtyvyys lausuttuina xyz-koordinaatiston kannassa
ijk. Määritä kulmakiihtyvyys derivoimalla saamaasi kulmanopeuden esitystä ja hyödyntäen yhteyttä ė = ω × e
kantavektoreiden muutosnopeuksille.
Vastaus:
ω = ωp (cos αi + sin αk) + ω0 sin(ω0 t)i
α = ω02 cos(ω0 t)i + ωp ω0 sin α sin(ω0 t)j
8.
Ohuesta homogeenisesta ympyrälevystä (säde r) ja akselista
koostuva kappale on nivelöity Z-akselin pisteeseen O kuvan
mukaisesti. Kiekko vierii pitkin XY -tasoa liukumatta ja
kiertää täyden kirroksen Z-akselin ympäri ajassa T . Määritä kiekon kulmanopeuden lauseke välikoordinaatistossa.
!
R
2π
R
Vastaus: ω = ± √
eη − eζ
T R2 + r 2
r