Harjoitus 4

HY / Avoin yliopisto
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015
Harjoitus 4
Ratkaisut palautettava viimeistään pe 28.8.2015 Exactumin sulkemisaikaan mennessä.
Tehtäväsarja I
Seuraavissa tehtävissä jatketaan kohtisuoran komplementin käsitteen opiskelua. Kertaa
tarpeen mukaan kappaleen 24.3 asioita.
1. Kuvaile, miltä näyttävät seuraavissa tapauksissa avaruuden R3 aliavaruus W ja sen
kohtisuora komplementti W ⊥ . Perustelujen ei tarvitse olla tarkkoja.
(a) W = span((0, 2, 0), (0, 0, −5))
(b) W = {0̄}
2. Tutkitaan avaruuden R3 aliavaruutta W = {(a, −a + b, a + 2b) | a, b ∈ R}.
(a) Onko vektori v̄ = (1, 1, 1) ortogonaalisessa komplementissa W ⊥ ?
(b) Onko vektori ū = (3, 2, −1) ortogonaalisessa komplementissa W ⊥ ?
3. Jatkoa tehtävään 2. Määritä W ⊥ ja etsi sille jotkin virittäjät. Vihje: lause 24.24.
4. Tarkastellaan avaruuden R3 aliavaruutta W = {x̄ ∈ R3 | x1 − 5x2 + 8x3 = 0}.
(a) Etsi virittäjät aliavaruudelle W . Miltä aliavaruus W näyttää?
(b) Keksi vektori n̄ ∈ R3 , jolle pätee W = {x̄ | n̄ · x̄ = 0}.
(c) Miten aliavaruuden W kohtisuora komplementti W ⊥ ja vektori n̄ liittyvät toisiinsa? Mikä W ⊥ on?
Tehtäväsarja II
Tehtävissä 5–7 tarkastellaan avaruuden R3 aliavaruutta W , jolla on kannat
S = ((3, −3, 6), (0, 0, 9)) ja T = ((2, −2, 1), (−1, 1, 4)).
5. Tiedetään, että [w̄]S = (5, 1) ja [ū]T = (5, 1).
(a) Määritä vektorit w̄ ja ū. Apu: määritelmät 18.16 ja 18.18.
(b) Määritä [ū]S .
6. Määritä vektorin v̄ = (3, 2, 1) kohtisuora projektio aliavaruudelle W . Kumpaa kannoista S ja T voit käyttää projektion määrittämiseen? Vihje: määritelmä 24.27.
7. Kirjoita tehtävän 6 vektori v̄ = (3, 2, 1) summana kahdesta vektorista, joista toinen
on aliavaruuden W ja toinen aliavaruuden W ⊥ alkio. Vihje: lause 24.33.
Tehtäväsarja III
Seuraavien tehtävät havainnollistavat Gramin–Schmidtin menetelmää sekä ortonormaalien
ja ortogonaalisten kantojen etuja.
Merkitään v̄1 = (1, −1, −1), v̄2 = (0, 3, 3) ja v̄3 = (3, 2, 4).
8. Jono (v̄1 , v̄2 , v̄3 ) on avaruuden R3 kanta. Muokkaa tästä kannasta ortonormaali kanta
Gramin–Schmidtin menetelmää käyttäen. Apu: lause 24.38 ja esimerkki 24.39.
9. Määritä vektorin (3, 4, −5) koordinaatit edellisessä tehtävässä määrittämäsi ortonormaalin kannan suhteen pistetulon avulla. Vihje: lause 24.18 ja esimerkki 24.17.
10. Määritä vektorin (2, −1, 4) kohtisuora projektio aliavaruudelle W = span(v̄1 , v̄2 ).
Vihje: vertaa tehtävään 6.
Tehtäväsarja IV
11. Tarkastellaan lineaarikuvausta L : R2 → R2 , joka peilaa vektorit suoran span((1, 3))
suhteen.
(a) Päättele ilman laskuja lineaarikuvauksen L ominaisarvot ja -vektorit.
(b) Määritä kuvauksen L matriisi kannan S = ((1, 3), (−3, 1)) suhteen eli [L]S,S .
(c) Määritä kuvauksen L standardimatriisi kannanvaihtomatriisien PE←S ja PS←E
avulla.
Apu: (a) vrt. h3/t4 (b)-(c) määritelmät 18.23 ja 22.12 sekä esimerkki 22.20.
Tehtävissä 12–14 tarkastellaan matriisia


1 2 −2


A = −2 5 −2 .
−6 6 −3
ja lineaarikuvausta LA : R3 → R3 , jolla LA (x̄) = Ax̄.
12. (a) Etsi lineaarikuvauksen LA ominaisarvot karakteristisen polynomin avulla. Polynomin nollakohdat voi ratkaista Wolfram|Alphalla komennolla solve.
(b) Valitse yksi lineaarikuvauksen LA ominaisarvo ja määritä sitä vastaava ominaisavaruus.
Apu: esimerkit 23.5 ja 23.7.
13. Tehtävässä 12 määritit yhden lineaarikuvauksen LA ominaisavaruuksista. Määritä
sen muut ominaisavaruudet.
14. (a) Jos mahdollista, muodosta avaruudelle R3 kanta B , jonka vektorit ovat lineaarikuvauksen LA ominaisavaruuksien kantavektoreita.
(b) Määritä lineaarikuvauksen LA matriisi kannan B suhteen.
Miten kaunis se onkaan . . . Apu: määritelmä 22.12.
Tehtäväsarja V
Seuraavat tehtävät ovat kertaustehtäviä kurssin asioista polynomien näkökulmasta. Merkintä P tarkoittaa kaikkien polynomien muodostamaa vektoriavaruutta (ks. esim. 15.5).
15. Merkitään W = {p ∈ P | p = 0 tai polynomin p aste on parillinen}. Tutki aliavaruuden määritelmän avulla, onko joukko W polynomiavaruuden P aliavaruus.
Apu: polynomin aste on määritelty esimerkissä 16.6.
16. Osoita, että polynomi x3 − 3 kuuluu polynomien 2x3 , 8x + 12 ja x virittämään
vektoriavaruuden P aliavaruuteen.
17. (a) Osoita, että jono (−2x, x2 + 4x, 3) on vapaa.
(b) Päättele, että jono B = (−2x, x2 + 4x, 3) on vektoriavaruuden P2 kanta.
(c) Mikä on polynomin x2 + x + 1 koordinaattivektori kannan B suhteen?
18. Olkoon L : P1 → R kuvaus, jolla L(a0 + a1 x) = a0 + a1 .
(a) Osoita, että L on lineaarikuvaus.
(b) Määritä Ker L ja dim(Ker L).
(c) Onko L injektio? Entä surjektio?
Tehtäväsarja VI
Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan vielä aliavaruuden määritelmän käyttöä sekä kohtisuoraan projektioon liittyviä asioita.
19. Oletetaan, että V on vektoriavaruus, jolla on aliavaruudet W ja U . Aliavaruuksien
W ja U summa on joukko W + U = {w̄ + ū | w̄ ∈ W, ū ∈ U }.
(a) Tarkastellaan avaruuden R3 aliavaruuksia W = span(ē1 ) ja U = span(ē2 ).
Määritä W + U . Miltä se näyttää?
(b) Oletetaan, että V on vektoriavaruus, jolla on aliavaruudet W ja U . Osoita, että
W + U on vektoriavaruuden V aliavaruus.
20. Oletetaan, että V on äärellisulotteinen sisätuloavaruus, jolla on ortogonaalinen kanta. Oletetaan lisäksi, että W on avaruuden V aliavaruus ja v̄ ∈ V . Osoita, että
v̄ ∈ W , jos ja vain jos projW (v̄) = v̄ .
Tehtäväsarja VII
Merkitään W = span(f1 , f2 , f3 , f4 ), missä f1 , f2 , f3 , f4 : R → R ovat funktioita, joilla
f1 (x) = 1, f2 (x) = x, f3 (x) = ex ja f4 (x) = xex kaikilla x ∈ R.
21. (a) Osoita, että virittäjäjono (f1 , f2 , f3 , f4 ) on vapaa.
(b) Määritä derivaattafunktiot D(f1 ), D(f2 ), D(f3 ) ja D(f4 ).
Esimerkiksi funktion g : R → R, g(x) = 3x2 , derivaattafunktio on g 0 : R → R,
g 0 (x) = 6x. Voidaan sanoa, että D(g) = 6f2 .
22. Tarkastellaan lineaarikuvausta D : W → W , joka derivoi funktiot: g 7→ D(g).
(a) Määritä kuvauksen D matriisi kannan B = (f1 , f2 , f3 , f4 ) suhteen eli [D]B,B .
(b) Määritä funktion h : R → R, h(x) = 4 + 3x − 2xex , koordinaatit kannan B
suhteen eli [h]B .
(c) Laske [D(h)]B ja päättele, mikä derivaattafunktio D(h) on.