Kertymäfunktio

Transcription

Kertymäfunktio

Ilkka Mellin
Todennäköisyyslaskenta
Osa 2: Satunnaismuuttujat ja
todennäköisyysjakaumat
Kertymäfunktio
TKK
(c) Ilkka Mellin (2007)
1
Kertymäfunktio
>> Kertymäfunktio: Määritelmä
Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot
Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot
TKK
2
Kertymäfunktio: Määritelmä
Kertymäfunktion määritelmä
• Olkoon ξ satunnaismuuttuja.
• Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F on reaaliarvoinen funktio
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x )
TKK
3
Kertymäfunktion määritelmä:
Kommentteja 1/2
• Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktion F määritelmässä
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x )
on
ξ = satunnaismuuttuja
x = reaaliluku, kertymäfunktion F argumentti
• Kertymäfunktion F arvo pisteessä x on todennäköisyys
sille, että satunnaismuuttuja ξ saa arvoja, jotka ovat ≤ x.
• Piste x erottaa vasemmalle puolelleen todennäköisyysmassan, jonka koko on
Pr(ξ ≤ x) = F(x)
TKK
4
Kertymäfunktion määritelmä:
Kommentteja 2/2
• Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x )
kuvaa satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysmassan
kertymistä, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa.
• Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio määrää kaikkien ko.
satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet.
• Kertymäfunktion määritelmä sopii kaikille satunnaismuuttujille olivatpa ne diskreettejä, jatkuvia tai jotakin
muuta tyyppiä.
• Kertymäfunktio on keskeinen työväline matemaattisessa
tilastotieteessä.
TKK
5
Kertymäfunktio ja tapahtumien todennäköisyydet
• Jos satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F tunnetaan,
kaikkien ko. satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien
todennäköisyydet hallitaan.
• Tämä johtuu seuraavista seikoista:
(i) Jokaista tapahtumaa vastaa jokin reaalilukujen
joukon R osajoukko, joka voidaan muodostaa muotoa
(−∞, x] olevista reaaliakselin väleistä tavanomaisten
joukko-opin operaatioiden avulla.
(ii) Jokaisen tapahtuman todennäköisyys saadaan
tyyppiä (−∞, x] olevien reaaliakselin välien todennäköisyyksistä todennäköisyyslaskennan
laskusääntöjen avulla.
TKK
6
Kertymäfunktion ominaisuudet 1/2
• Funktio F : R → [0,1] on kertymäfunktio, jos ja vain jos
se toteuttaa seuraavat ehdot:
(1) lim x →−∞ F ( x) = 0
(2) lim x →+∞ F ( x) = 1
(3) F on ei - vähenevä:
F ( x1 ) ≤ F ( x2 ), jos x1 ≤ x2
(4) F on jatkuva oikealta:
lim h → 0+ F ( x + h) = F ( x)
TKK
7
Kertymäfunktion ominaisuudet 2/2
• Jos funktio F : R → [0,1] on kertymäfunktio, niin:
(5) Pr(ξ > x ) = 1 − F ( x )
(6) Pr( a < ξ ≤ b) = F (b) − F ( a )
TKK
8
Kertymäfunktion ominaisuuksien perustelu
•
Käytämme kertymäfunktioiden ominaisuuksien perustelussa mm.
seuraavia todennäköisyyslaskennan lauseita (ks. tarkemmin lukua
Todennäköisyyden aksioomat):
Lause 1: Olkoon ( S , F , Pr) todennäköisyyskenttä ja A1 , A2 , A3 ,… ∈ F.
(i) Jos A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ , niin
Pr
(ii)
(∪ A ) = lim Pr ( A )
∞
i =1
i
n→+∞
Jos A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃
Pr
n
, niin
(∩ A ) = lim Pr ( A )
∞
i =1
i
n→+∞
n
Lause 2: Olkoon ( S , F , Pr) todennäköisyyskenttä ja A1 , A2 , A3 ,… ∈ F.
Jos A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ → ∅ , niin
lim Pr ( An ) = 0
n→+∞
TKK
9
Kertymäfunktion ominaisuus (1):
Perustelu
•
•
•
Olkoon F ( x) = Pr(ξ ≤ x) satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio.
Tällöin
(1) lim x →−∞ F ( x) = 0
Todistus:
Olkoon
x1 > x2 > x3 > ···
aleneva lukujono ja lisäksi
lim n →+ ∞ xn = − ∞
Tällöin
{ξ ≤ x1} ⊃ {ξ ≤ x2 } ⊃ {ξ ≤ x3 } ⊃ → ∅
Lauseen 2 mukaan
lim F ( xn ) = lim Pr (ξ ≤ xn ) = 0
n→+∞
TKK
n→+∞
10
Perustelu 1/2
•
•
•
Tällöin
(2) lim x →+ ∞ F ( x) = 1
Todistus:
Olkoon
x1 < x2 < x3 < ···
kasvava lukujono ja lisäksi
lim n →+ ∞ xn = + ∞
Tällöin
{ξ ≤ x1} ⊂ {ξ ≤ x2 } ⊂ {ξ ≤ x3 } ⊂
ja
{ξ > x1} ⊃ {ξ > x2 } ⊃ {ξ > x3 } ⊃
TKK
→
→∅
11
Perustelu 2/2
Lauseen 2 mukaan
lim Pr (ξ > xn ) = 0
n→+∞
joten
lim F ( xn ) = lim Pr (ξ ≤ xn )
n→+∞
n→+∞
= 1 − lim Pr (ξ > xn )
n→+∞
=1
TKK
12
Perustelu
•
•
•
TKK
Tällöin
(3) F ( x1 ) ≤ F ( x2 ), jos x1 ≤ x2
Todistus:
Olkoon
x1 ≤ x2
Tällöin
{ξ ≤ x1} ⊂ {ξ ≤ x2 }
joten
F ( x1 ) = Pr(ξ ≤ x1 ) ≤ Pr(ξ ≤ x2 ) = F ( x2 )
13
Perustelu
•
•
•
Tällöin
(4) lim h → 0+ F ( x + h) = F ( x)
Todistus:
Olkoon
h1 > h2 > h3 > ···
aleneva lukujono ja lisäksi
lim n →+ ∞ hn = 0
Tällöin
{ξ ≤ x + h1} ⊃ {ξ ≤ x + h2 } ⊃ {ξ ≤ x + h3 } ⊃ → {ξ ≤ x}
Lauseen 1 kohdan (ii) mukaan
lim F ( x + hn ) = lim Pr (ξ ≤ x + hn ) = Pr(ξ ≤ x) = F ( x)
n→+∞
TKK
n→+∞
14
Perustelu
•
•
•
TKK
Tällöin
(5) Pr(ξ > x) = 1 − F ( x)
Todistus:
Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan nojalla
Pr(ξ > x) = 1 − Pr(ξ ≤ x)
= 1 − F ( x)
15
Perustelu
•
•
•
Tällöin
(6) Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a )
Todistus:
Koska
{ξ ≤ b} = {ξ ≤ a} ∪ {a < ξ ≤ b}
ja
{ξ ≤ a} ∩ {a < ξ ≤ b} = ∅
niin toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla
F (b) = Pr(ξ ≤ b}
= Pr(ξ ≤ a ) + Pr(a < ξ ≤ b)
= F ( a ) + Pr(a < ξ ≤ b)
TKK
16
Kertymäfunktion tulkinta
• Kertymäfunktion määritelmän
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x )
ja kertymäfunktion ominaisuuden
(3) F ( x1 ) ≤ F ( x2 ), jos x1 ≤ x2
perusteella kertymäfunktiolle voidaan antaa seuraava
tulkinta:
Kertymäfunktio F kuvaa miten satunnaismuuttujan ξ
todennäköisyysmassaa kumuloituu eli kertyy lisää, kun
kertymäfunktion argumentti x kasvaa.
TKK
17
Tilastolliset taulukot ja kertymäfunktio
• Tavanomaisten tilastollisessa päättelyssä käytettyjen
jakaumien tilastolliset taulukot liittyvät jakaumien
kertymäfunktion arvoihin.
• Normaalijakauman taulukoissa on tavallisesti taulukoitu
todennäköisyyksiä (kertymäfunktion arvoja)
Pr(ξ ≤ x) = F ( x)
useille argumentin x arvoille (ks. lukua Jatkuvia jakaumia).
• χ2-, F- ja t-jakaumien taulukoissa on tavallisesti taulukoitu
argumentin x arvoja muutamille todennäköisyyksille
Pr(ξ ≥ x) = 1 − F ( x)
(ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia).
TKK
18
Kertymäfunktio
Diskrettien ja jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot
• Tarkastelemme seuraavassa kertymäfunktioita kahdessa
erikoistapauksessa:
(i) Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot
(ii) Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot
TKK
19
Kertymäfunktio
>> Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot
TKK
20
Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä
• Olkoon ξ diskreetti satunnaismuuttuja ja {x1, x2, x3, … }
sen tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko.
• Olkoon satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
• Määritellään funktio F : R → [0,1] kaavalla
F ( x) = Pr(ξ ≤ x) =
∑
f ( xi )
i xi ≤ x
• Tällöin F on diskreetin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio.
• Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on
epäjatkuva ei-vähenevä funktio.
TKK
21
Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä:
Kommentteja
• Diskreetin jakauman kertymäfunktion F määritelmän
F ( x) = Pr(ξ ≤ x) =
∑
f ( xi )
i xi ≤ x
mukaan kertymäfunktion F arvo pisteessä x eli todennäköisyys tapahtumalle ξ ≤ x saadaan laskemalla yhteen
kaikki pistetodennäköisyydet
f(xi) = Pr(ξ = xi) = pi
joita vastaavat satunnaismuuttujan ξ arvot xi ≤ x.
• Kaikkien satunnaismuuttujaan ξ liittyvien tapahtumien
todennäköisyydet voidaan määrätä sen kertymäfunktion
avulla.
TKK
22
Diskreetin jakauman kertymäfunktion ja
pistetodennäköisyysfunktion yhteys
• Olkoon ξ diskreetti satunnaismuuttuja ja {x1, x2, x3, … }
sen tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko.
• Olkoon satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
• Olkoon satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio
F ( x) = Pr(ξ ≤ x) =
∑
pi
i xi ≤ x
• Tällöin
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) = pi = F ( xi ) − F ( xi −1 )
TKK
23
Esimerkki:
Onnenpyörä 1/7
• Luvun
Satunnaismuuttujat ja
todennäköisyysjakaumat
E
10 %
D
15 %
kappaleen
A
30 %
Diskreetit satunnaismuuttujat ja
niiden todennäköisyysjakaumat
C
20 %
johdattelevassa esimerkissä
käsitellään viereen kuvatun
onnenpyörän käyttäytymistä
satunnaisilmiönä.
TKK
B
25 %
24
Esimerkki:
Onnenpyörä 2/7
• Onnenpyörän pinta on jaettu
viiteen sektoriin
A, B, C, D, E
• Sektoreiden pinta-alojen osuudet
onnenpyörän kokonaispinta-alasta
on esitetty alla:
TKK
Sektori
A
%
30
B
25
C
20
D
15
E
10
Summa
100
E
10 %
D
15 %
C
20 %
A
30 %
B
25 %
25
Esimerkki:
Onnenpyörä 3/7
• Esimerkissä määriteltiin
diskreetti satunnaismuuttuja ξ,
joka liittää tulosvaihtoehtoihin
A, B, C, D, E
reaaliluvut seuraavalla tavalla:
A → 1
B → 2
C → 3
D → 4
E → 5
TKK
E
10 %
D
15 %
C
20 %
A
30 %
B
25 %
26
Esimerkki:
Onnenpyörä 4/7
• Diskreetin satunnaismuuttujan
ξ pistetodennäköisyysfunktio f
voidaan yleisesti määritellä
kaavalla
f ( xi ) = Pr(ξ = xi ) = pi , i = 1, 2,3,…
jossa
{x1, x2, x3, … }
on satunnaismuuttujan ξ
saamien arvojen joukko.
TKK
Pistetotodennäköisyysfunktio
0.4
0.3
(1, p1)
(2, p2)
(3, p3)
0.2
(4, p4)
(5, p5)
0.1
0
1
2
3
4
5
27
Esimerkki:
Onnenpyörä 5/7
• Esimerkin tapauksessa
satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktio f voidaan
määritellä seuraavasti:
f(1) = Pr(ξ = 1) = 0.30 = Pr(A)
f(2) = Pr(ξ = 2) = 0.25 = Pr(B)
f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.20 = Pr(C)
f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.15 = Pr(D)
f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.10 = Pr(E)
TKK
Pistetotodennäköisyysfunktio
0.4
0.3
(1, p1)
(2, p2)
(3, p3)
0.2
(4, p4)
(5, p5)
0.1
0
1
2
3
4
5
28
Esimerkki:
Onnenpyörä 6/7
• Satunnaismuuttujan ξ
kertymäfunktio on
F(x) = Pr(ξ ≤ x)
• Diskreetin satunnaismuuttujan
pistetodennäköisyys- ja kertymäfunktioiden välillä on seuraava
yhteys:
Pr(ξ = xi ) = pi = F ( xi ) − F ( xi −1 )
Kertymäfunktio
1.2
1
p5
p4
0.8
p3
0.6
p2
0.4
0.2
p1
0
0
TKK
1
2
3
4
5
6
29
Esimerkki:
Onnenpyörä 7/7
•
•
Esimerkin tapauksessa
satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio F voidaan määritellä alla
olevan taulukon avulla.
Kuva oikealla esittää esimerkin
kertymäfunktion kuvaajaa.
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x
TKK
F(x) = Pr(ξ ≤ x)
0
p1 = 0.3
p1 + p2 = 0.55
p1 + p2 + p3 = 0.75
p1 + p2 + p3 + p4 = 0.9
p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1
Kertymäfunktio
1.2
1
p5
p4
0.8
p3
0.6
p2
0.4
0.2
p1
0
0
1
2
3
4
5
6
30
Diskreetin jakauman kertymäfunktio on
porrasfunktio
• Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on
epäjatkuva ei-vähenevä funktio, jolla on epäjatkuvuuskohta eli hyppäys jokaisessa pisteessä xi , johon liittyy
positiivinen todennäköisyys
Pr(ξ = xi) = pi
• Hyppäyksen suuruus pisteessä xi on pi .
• Kertymäfunktio saa vakioarvon peräkkäisten pisteiden
xi−1 ja xi välissä.
• Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on siten
porrasfunktio, jossa todennäköisyydet pi määräävät
askelmien korkeudet ja erotukset xi − xi−1 määräävät
askelmien syvyydet.
TKK
31
Välien todennäköisyydet 1/2
• Diskreetin jakauman tapauksessa välin ( a , b] ⊂ R
todennäköisyys on
Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F (a )
=
=
TKK
∑
Pr(ξ = xi )
∑
pi
i xi∈( a ,b ]
i xi∈( a ,b ]
32
• Kaavan
Pr(a < ξ ≤ b) = F (b) − F ( a ) =
∑
i xi∈( a ,b ]
pi
mukaan välin ( a , b] ⊂ R
todennäköisyys voidaan määrätä
kahdella tavalla:
(i) Jos jakauman pistetodennäköisyysfunktio tunnetaan,
välin (a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla yhteen
pistetodennäköisyydet pi , joita vastaavat xi ∈ (a, b].
(ii) Jos jakauman kertymäfunktio F tunnetaan,
välin (a, b] todennäköisyys saadaan laskemalla
kertymäfunktion F arvojen F(b) ja F(a) erotus.
TKK
33
Kertymäfunktio
>> Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot
TKK
34
Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä
• Olkoon ξ jatkuva satunnaismuuttuja.
• Olkoon satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio f(x).
• Määritellään funktio F : R → [0,1] kaavalla
x
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x ) =
∫
f (t )dt
−∞
• F on jatkuvan satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio.
• Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio F on jatkuva
ei-vähenevä funktio.
TKK
35
Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä:
Kommentteja
• Jatkuvan jakauman kertymäfunktion F määritelmän
x
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x ) =
∫
f (t )dt
−∞
mukaan kertymäfunktion F arvo pisteessä x eli todennäköisyys tapahtumalle ξ ≤ x määrätään integroimalla
tiheysfunktio f välillä (−∞, x].
• Kaikkien satunnaismuuttujaan ξ liittyvien tapahtumien
todennäköisyydet voidaan määrätä sen kertymäfunktion
avulla.
TKK
36
Jatkuvan jakauman kertymäfunktion ja
tiheysfunktion yhteys
• Olkoon ξ jatkuva satunnaismuuttuja.
• Olkoon satunnaismuuttujan ξ tiheysfunktio f(x).
• Olkoon satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio
x
F ( x ) = Pr(ξ ≤ x ) =
• Tällöin
∫
f (t )dt
−∞
d
f ( x) = F ′( x) = F ( x)
dx
TKK
37
• Jatkuvan jakauman tapauksessa välin ( a , b] ⊂ R
todennäköisyys on
Pr( a ≤ ξ ≤ b) = F (b) − F ( a )
b
= ∫ f ( x )dx
a
TKK
38
• Kaavan
b
Pr( a ≤ ξ ≤ b) = F (b) − F ( a ) = ∫ f ( x )dx
a
mukaan välin ( a , b] ⊂ R
todennäköisyys voidaan määrätä
kahdella tavalla:
(i) Jos jakauman tiheysfunktio f tunnetaan, välin [a, b]
todennäköisyys saadaan integroimalla tiheysfunktio
välillä [a, b] .
(ii) Jos jakauman kertymäfunktio F tunnetaan, välin [a, b]
todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion
arvojen F(b) ja F(a) erotus.
TKK
39
Jatkuvan jakauman tiheysfunktio ja
välien todennäköisyydet: Havainnollistus
• Olkoon f(x) jatkuvan
satunnaismuuttujan ξ
tiheysfunktio.
• Tällöin:
Pr(a ≤ ξ ≤ b)
Tiheysfunktio f(x)
b
= ∫ f ( x) dx
a
= Alueen A pinta-ala
• Kuva oikealla esittää normaalijakauman tiheysfunktiota (ks.
lukua Jatkuvia jakaumia).
TKK
A
a
b
40
Jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja
välien todennäköisyydet: Havainnollistus
• Olkoon F(x) jatkuvan
satunnaismuuttujan ξ
kertymäfunktio ja f(x) sen
tiheysfunktio.
• Tällöin:
Pr(a ≤ ξ ≤ b)
Kertymäfunktio F(x)
1.2
1
F(b)
= ∫ f ( x) dx
0.6
0.4
= F (b) − F ( a )
b
0.8
0.2
F(a)
0
a
a
b
• Kuva oikealla esittää normaalijakauman kertymäfunktiota (ks.
lukua Jatkuvia jakaumia).
TKK
41

Kertymäfunktio

Transcription

Similar documents

2. viikon laskuharjoitus B - MyCourses - Aalto

4. viikon laskuharjoitus A - MyCourses - Aalto

pdf - Suomen gastroenterologiahoitajat ry

Helkkari - Athene.fi

Ratkaisut

Avointen SM-kisojen osanottopalkitut 2015 Raision jälkeen

Document

Ratkaisut

Muoto2005

Metriset avaruudet Harjoitus 7 1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus, r

Vaativampien tehtävien ratkaisut

Luentokalvot