vastaukset

TT/TV Integraalimuunnokset
Metropolia/A. Koivumäki
Kaikki tunneilla käsitellyt tehtävät vastauksineen.
Ensin vastaukset tehtäviin, "joihin vastaamisen pitäisi onnistua tähänastisten matematiikan opintojen
pohjalta".
Aluksi.1. a)
∫ xdx =
x2
+ C , missä C on vakio.
2
(Tästä eteenpäin jokaiseen vastaukseen kuuluisi edelleen tuo +C, mutta jätetään ne nyt pois.)
x3
3
x n+1
n
c) ∫ x dx =
n +1
b)
d)
2
∫ x dx =
∫ (5 x
4
)
− 7 x 2 + 9 dx = 5
7 x3
x5
x3
− 7 + 9 x = x5 −
+ 9x
5
3
3
∫ sin( x)dx = − cos( x)
f) ∫ cos( x) dx = sin( x)
g) ∫ e dx = e
e)
x
x
e4 x
h) ∫ e dx =
4
4x
i)
∫ [3 sin(4 x) − 5 cos( x / 3)]dx = −
3 cos(4 x)
− 15 sin( x / 3)
4
Aluksi.2. a, b) Piste kompleksitasossa:
Im
b
r
ϕ
Re
a
Suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan teoreeman ja sinin ja kosinin määritelmien perusteella:
a) r =
b
a 2 + b 2 , ϕ = arctan 
a
Siis: a + jb = re jϕ = r∠ϕ = a 2 + b 2 ⋅ e arctan(b / a ) = a 2 + b 2 ∠ arctan(b / a )
b) a = r ⋅ cos(ϕ ), b = r ⋅ sin(ϕ )
Siis kompleksiluvun a + jb itseisarvo = r ja sen kulma (vaihekulma, argus) on ϕ.
Eli re jϕ = r∠ϕ = r cos(ϕ = + j ⋅ r sin(ϕ )
c) Kuva yllä.
d) e jx = cos( x) + j sin( x)
Tässä yhteydessä kannattaa ottaa esille nämä, jotka ovat edellä esitetyn Eulerin kaavan jonkinlaisia sisaria:
cos( x) =
sin( x) =
1
2
1
j2
(e
(e
jx
+ e − jx
jx
− jx
−e
)
)
e) Kaksi tapaa lähestyä asiaa.
1°° Käytetään c-kohdan kaavaa: e jnπ = cos( nπ ) + j sin(nπ ) .
Nythän sin( nπ ) = 0 kaikilla n:n arvoilla. Sen sijaan cos(0 ⋅ π ) = 1 , cos(±1 ⋅ π ) = −1 , cos(±2 ⋅ π ) = 1 ,
1 , kun n on parillinen
cos(±3 ⋅ π ) = −1 jne. Eli cos(nπ ) = 
.
− 1 , kun n on pariton
n
Voidaan kirjoittaa lyhyesti näin: cos(nπ ) = (− 1) .
Siis vastaus: e jnπ = (− 1)
n
2°° Sijoitetaan kompleksiluku e jnπ kompleksitasoon:
Im
jos n parillinen
jos n pariton
Re
-1
1
Jolloin kuvasta saman tien nähdään sama vastaus.
f) cos( x) + j sin( x) =
cos 2 ( x) + sin 2 ( x) = 1 (Trigonometrian aivan peruskauraa.)
Tai sitten c-kohdan perusteella: cos( x) + j sin( x) = e jx = 1 ⋅ e jx , joka on rautalangasta vääntäen kirjoitettu
muotoon, josta nähdään, että itseisarvo = 1.
Aluksi.3. a)
∫e
j 2π f t
e j 2π f t
dt =
j 2π f
b)
e j 5 x + e− j 5 x
dx = ∫ 2 ⋅ e jx ⋅ e j 5 x + e jx ⋅ e − j 5 x dx
∫ 4e cos(5 x)dx = ∫ 4e
2
 e j 6 x e− j 4 x  e j 6 x e− j 4 x
=
= ∫ 2 ⋅ e j 6 x + e − j 4 x dx = 2 ⋅ 
−
−
j 4 
j3
j2
 j6
jx
(
jx
(
)
)
Tässä on käytetty hyväksi tehtävässä 2d olevaa kosinin muunnoskaavaa.
1
c)
∫ Ae
−1
1
j 2π f t
dt = A
/
−1
A e j 2π f − e − j 2π f
A
e j 2π f t
A
=
⋅
=
⋅ sin(2πf )
e j 2π f − e − j 2π f =
j2
πf
πf
j 2π f
j 2π f
(
)
Tässä on lopussa käytetty hyväksi tehtävässä 2d olevaa sinin muunnoskaavaa.
***********
Tässä " Kompleksimatematiikan kertausta" -tekstin lopussa olevan tehtävä vastaus:
Esimerkki: Millainen on ajan funktio v(t ) = 2 ⋅ e j 2π ⋅t ? Tässä siis muuttujana on aika t, joka tuossa kaavassa
oletetaan olevan sekunteina.
Vastaus: Lauseke 2 ⋅ e j 2π ⋅t on kompleksiluku, jonka itseisarvo = 2 ja kulma = 2π ⋅ t . Kun aika t kasvaa, niin
tuo kulma tietysti kasvaa myös. Kun t kasvaa sekunnin, niin kulma kasvaa 2π radiaania.
Siis: Funktion v(t ) = 2 ⋅ e j 2π ⋅t saama arvo pyörii vastapäivään kompleksitasossa pitkin 2-säteisen ympyrän
(jonka keskipiste on origossa) kehää. Pyörimisnopeus = yksi kierros sekunnissa.
Tästä eteenpäin kurssin sisältöön liittyvät tehtävät.
1. Piirrä näiden sinisignaalien kuvaajat:
a) Taajuus 1 Hz, amplitudi 1, vaihekulma 0°.
v(t)
1
t/s
1
2
-1
b) Taajuus 50 Hz, amplitudi 325 V, vaihekulma 180°.
v(t)/V
325
t/ms
-10
10
20
30
-325
c) Samaan kuvaan:
Taajuus 1 kHz, amplitudi 10, vaihekulma 90°.
Taajuus 1 kHz, amplitudi 10, vaihekulma −90°.
v(t)
10
t/ms
-1
1
2
-10
Tässä katkoviivalla piirretyn vaihe = 90° ja ehyellä viivalla piirretyn −90°.
Sinisignaalin vaihekulma vaikuttaa siihen, mihin kohtaan aika-akselia aallon kuvaaja asettuu. Kun vaihe = 0,
signaalin kuvaaja = kosinifunktion kuvaaja, jolloin maksimi on origon kohdalla eli hetkellä t = 0. Kun
vaihe = ϕ, on sinisignaalin yleinen yhtälö A ⋅ cos( 2π ⋅ f ⋅ t + ϕ ) . Tämän maksimi osuu siihen ajanhetkeen t,
jolle pätee 2π ⋅ f ⋅ t + ϕ = 0 , josta voidaan ratkaista maksimin tapahtumishetkeksi
t=−
ϕ
ϕ 1
ϕ
ϕ
=−
⋅ =−
⋅ T , missä T = sinisignaalin jaksonpituus. Tuota jakolaskua
laskiessa
2π
2πf
2π f
2π
pitää osata käyttää asteita ja radiaaneja oikein. Usein vaihekulma on annettu asteina, esim. 90°, jolloin ei
tietenkään pidä laskea jakolaskua
90
90°
π / 2 radiaania
, vaan joko
= 4 tai
= 4.
2π
360°
2π radiaania
2. Mikä on tämän kolmioaallon a) perustaajuus b) viides harmoninen taajuus?
v(t)
Vastaus: Koska T0 = 40µs , on
t/µs
40
a) f 0 =
1
= 25 kHz
T0
b) Jaksollisen signaalin n:s harmoninen taajuus on
n ⋅ f 0 , joten nyt viides harmoninen
taajuus = 5⋅25 kHz = 125 kHz
3. Erään jaksollisen signaalin jaksonpituus on 100 ms. Signaalin n:nnen harmonisen taajuuskomponentin
amplitudi on
1
ja n:nnen harmonisen taajuuskomponentin vaihekulma = 90°. Kirjoita signaalin yhtälö
n
Fourier-sarjana.
Vastaus: Koska jaksonpituus on T0 = 100 ms , on perustaajuus f 0 =
signaalin Fourier-sarjan yhtälössä v(t ) =
∞
∑A
n =0
n
1
= 10 Hz . Yleisessä jaksollisen
T0
⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n ) on nyt annettu An =
1
ja ϕ n = 90° .
n
Jotta ei tarvitse miettiä nollalla jakamisen problematiikkaa, kannattaa tarkentaa määrittelyä tällaiseksi:

1
A = n
 n 

0

ϕ n = 90°
kun n ≥ 1
2
1.5
kun n = 0
1
0.5
0
Siispä signaalin yhtälö Fourier-sarjana on
∞
-0.5
1
v(t ) = ∑ ⋅ cos(2π ⋅ n ⋅10 Hz ⋅ t + 90°)
n =1 n
-1
-1.5
Myös näin voidaan kirjoittaa:
-2
∞
1
v(t ) = ∑ ⋅ cos(2π ⋅ nf o ⋅ t + 90°) , missä f0 = 10 Hz.
n =1 n
0
50
100
150
200
250
Kyseessä on sahanteräaalto, kuvaaja ohessa. Vaaka-akselilla aika millisekunteina.
4. Sakara-aallon
v(t)
A
-A
T
2T
t
yhtälö on
sin(2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t ) sin(2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t ) sin(2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t )
4A 

⋅ sin(2π ⋅ f 0 ⋅ t ) +
+
+
+ ...
π 
3
5
7

Koska sin( x ) = cos( x − 90°) , tämä voidaan kirjoittaa kosinien summana:
v(t ) =
v(t ) =
4A 
cos(2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t − 90°) cos(2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t − 90°)

⋅ cos(2π ⋅ f 0 ⋅ t − 90°) +
+
+ ...
π 
3
5

300
350
400
450
500
Tästä nähdään suoraan, mikä on sakara-aallon Fourier-sarjassa
∞
v(t ) = ∑ An ⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
n:nnen harmonisen taajuuskomponentin amplitudin An lauseke:
4A

An =  nπ
0
kun n = 1, 3, 5, 7, .... eli parittomilla n : n arvoilla
kun n = 0, 2, 4, 6, ... eli parillisilla n : n arvoilla
ja n:nnen harmonisen taajuuskomponentin vaihekulman ϕn lauseke:
ϕ n = −90°
(Tässä ei tarvitse erotella parittomia ja parillisia n:n arvoja, koska nollan vaihekulmalla ei ole merkitystä.)
Joten sakara-aallon yhtälö voidaan kirjoittaa Fourier-sarja -muodossa:
v(t ) =
∞
4A
⋅ cos(2π ⋅ nf o ⋅ t − 90°)
n =1, 3, 5 , 7 ,.... nπ
∑
5. Tässä erään jaksollisen signaali amplitudi- ja vaihespektri:
Amplitudi
Vaihe/ast.
4
180
3
135
2
90
1
45
f/kHz
1
2
3
4
f/kHz
1
2
3
4
Signaalin spektristä nähdään nämä asiat:
•
Mitä taajuuksia signaaliin sisältyy?
•
Amplitudispektri → Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden amplitudi?
•
Vaihespektri → Mikä on kunkin signaaliin sisältyvän taajuuden vaihe?
Kerää noiden kysymysten vastaukset tähän taulukkoon:
Taajuus
1
2
3
4
Amplitudi
4
3
2
1
Vaihe
0°
180°
90°
45°
Joten signaalin yhtälö voidaan kirjoittaa kosinien summana:
v(t ) = 4 ⋅ cos(2π ⋅1 kHz ⋅ t ) + 3 ⋅ cos(2π ⋅ 2 kHz ⋅ t + 180°) + 2 ⋅ cos(2π ⋅ 3 kHz ⋅ t + 90°)
+ cos(2π ⋅ 4 kHz ⋅ t + 45°)
tai sitten näin:
v(t ) = 4 ⋅ cos(2π ⋅ f 0 ⋅ t ) + 3 ⋅ cos(2π ⋅ 2 f 0 ⋅ t + 180°) + 2 ⋅ cos(2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t + 90°) + cos(2π ⋅ 4 f 0 ⋅ t + 45°) ,
missä f 0 = 1 kHz .
6. Edelläoleva amplitudispektri on esitetty amplitudien absoluuttiarvoja käyttäen. Silloin pystyakselin
lukuarvot ovat esim. voltteja. Käytännössä amplitudispektrin arvot esitetään usein desibeleinä, yleensä niin,
että suurin esiintyvä dB-arvo on 0 dB, jolloin kaikki muuta arvot ovat negatiivisia dB-arvoja. Jos
absoluuttiarvoin esitetyn amplitudispektrin suurin amplitudiarvo on Amax , niin silloin amplitudiarvon A
 A
 Amax
desibeliarvo on 20 ⋅ log10 

 dB. Alla olevassa kuvassa on ylläoleva amplitudispektri desibeleinä. Laske

taulukkoon spektriviivojen dB-arvot kahden desimaalin tarkkuudella.
Amplitudi/dB
Taajuus
1
Ampl. (abs.)
4
2
3
3
2
4
1
0
-5
-10
-15
f/kHZ
-20
1
2
3
4
Ampl./dB
4
20 ⋅ log10   dB = 0.00 dB
4
 3
20 ⋅ log10   dB = −2.50 dB
 4
2
20 ⋅ log10   dB = −6.02 dB
4
1
20 ⋅ log10   dB = −12.04 dB
 4
7. a) Piirrä sakara-aallon (jaksonpituus 2 µs) amplitudispektri desibeleinä. Ota mukaan spektriviivat −20 dB:n
tasoon asti.
Vastaus:
Ensimmäinen laskettava asia: Koska jaksonpituus T0 = 2 µs, on perustaajuus f0 = 500 kHz = 0.5 MHz.
Seuraavaksi kannattaa täyttää tällainen taulukko:
Monesko
harmoninen
1
Taajuus
/MHz
0.5
Amplitudi (sivun
8 perusteella)
3
1.5
5
2.5
7
3.5
9
4.5
11
5.5
4A
3π
4A
5π
4A
7π
4A
9π
4A
11π
Ja niin
edelleen
4A
π
äärettömään
Amplitudi/dB
0.00
−9.54
*
−13.98
**
−16.90
−19.08
−20.83
asti
Kirjoita tähän, miten laskit *:llä ja **:llä merkittyjen kohtien lukuarvot:
 4 A 3π
 4A π
*: 20 ⋅ log10 

1
 dB = 20 ⋅ log10   dB = −9.54 dB
 3

 4 A 5π
 4A π
**: 20 ⋅ log10 

1
 dB = 20 ⋅ log10   dB = −13.98 dB
5

1
n
On helppo havaita, että n:nnen harmonisen komponentin amplitudin lausekkeeksi tulee 20 ⋅ log10   dB ,
josta sitten on laskettu ylläolevan taulukon arvot.
Amplitudispektrin kuvaaja:
0
Ampl./dB
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
...
-40
-45
-50
0
1
2
3
4
f/MHz
5
6
b) Millä taajuudella tämän sakara-aallon amplitudispektrin taso alittaa −40 dB?
1
n
1
= 10 −2
n
Pitää siis löytää ensimmäinen pariton n:n arvo, jolla 20 ⋅ log10   dB on alle −40 dB. Ratkaistaan yhtälö
1
20 ⋅ log10   = −40 ⇒
n
1
log10   = −2
n
⇒
⇒
n = 100
Tätä suurempi pariton luku on 101, joten vastaus: Tämän sakara-aallon amplitudispektrin taso alittaa −40 dB
taajuudella 101⋅0.5 MHz = 50.5 MHz.
8. Kolmioaallon
v(t)
A
-A
T0
t
yhtälö on
8A 
sin( 2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t ) sin( 2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t ) sin( 2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t )

⋅ sin( 2π ⋅ f 0 ⋅ t ) −
+
−
+ ...
2 
2
2
2
π 
3
5
7

Koska sin( x) = cos( x − 90°) , tämä voidaan kirjoittaa kosinien summana:
v(t ) =
v(t ) =
8A 
cos(2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t − 90°) cos( 2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t − 90°) cos( 2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t − 90°)

+
−
+ ...
⋅ cos( 2π ⋅ f 0 ⋅ t − 90°) −
2
2
2
2 
3
5
7
π 

Amplitudi on aina positiivinen, joten miinusmerkeistä pitää päästä eroon. Se onnistuu soveltamalla
trigonometrian kaavaa − cos( x) = cos( x + 180°) . Saadaan
v(t ) =
8A 
cos( 2π ⋅ 3 f 0 ⋅ t + 90°) cos( 2π ⋅ 5 f 0 ⋅ t − 90°) cos(2π ⋅ 7 f 0 ⋅ t + 90°)

+
+
+ ...
⋅ cos( 2π ⋅ f 0 ⋅ t − 90°) +
2
2
2
2 
3
5
7
π 

Tästä nähdään, mikä on kolmioaallon Fourier-sarjassa
∞
v(t ) = ∑ An ⋅ cos( 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
n:nnen harmonisen taajuuskomponentin amplitudin An lauseke:
 8A

An = π 2 n 2
0
kun n pariton
kun n parillinen
ja n:nnen harmonisen taajuuskomponentin vaihekulman ϕn lauseke:
− 90° kun n = 1, 5, 9, 13, ....
kunn = 3, 7, 11, 15, ....
90°
ϕn = 
Kolmioaallon yhtälön kirjoittaminen Fourier-sarja -muodossa yhtenä yhtälönä vaatii hiukan temppuilua,
mutta esim. näin se onnistuu:
v(t ) =
[
∞
8A
( n +1) / 2
⋅ cos 2π ⋅ nf 0 ⋅ t + (− 1)
⋅ 90°
2 2
n =1, 3, 5 , 7 ,... π n
∑
]
Tuossa vaihekulman merkin saaminen oikein perustuu siihen, että (− 1) = 1, kun k on parillinen ja −1, kun k
on pariton.
k
9. a) Piirrä kolmioaallon (jaksonpituus 2 µs) amplitudispektri desibeleinä. Ota mukaan spektriviivat −40 dB:n
tasoon asti.
Vastaus:
Jaksonpituus on sama kuin tehtävän 7 sakara-aallolla, joten perustaajuuskin on sama:
T0 =2 µs, f0 = 0.5 MHz
Täytetään samanlainen taulukko kuin tehtävässä 7 sakara-aallolle:
Monesko
harmoninen
1
Taajuus
/MHz
0.5
Amplitudi (tehtävän 8
perusteella)
8A
π2
Ja
3
1.5
5
2.5
7
3.5
9
4.5
11
5.5
edelleen
8A
9π 2
8A
25π 2
8A
49π 2
8A
81π 2
8A
121π 2
äärettömään
Amplitudi desibeleinä
suhteessa suurimpaan
amplitudiarvoon
0.00
−19.08
*
−27.96
**
−33.80
−38.17
−41.66
asti
Kirjoita tähän, miten laskit *:llä ja **:llä merkittyjen kohtien lukuarvot:
 8 A 9π 2 
1
 dB = 20 ⋅ log10   dB = −19.08 dB
*: 20 ⋅ log10 
2 
9
 8A π 
 8 A 25π 2 
 1 
 dB = 20 ⋅ log10   dB = −27.96 dB
**: 20 ⋅ log10 
2 
 25 
 8A π 
 1
dB ,
2 
n 
On helppo havaita, että n:nnen harmonisen komponentin amplitudin lausekkeeksi tulee 20 ⋅ log10 
josta sitten on laskettu ylläolevan taulukon arvot.
Piirrä kolmioaallon spektri samaan kuvaan aiemmin piirretyn sakara-aallon spektrin kanssa:
0.00
Ampl./dB
Kolmioaalto
-5.00
Sakara-aalto
-10.00
-15.00
-20.00
-25.00
-30.00
-35.00
...
-40.00
-45.00
...
-50.00
0
1
2
3
4
5
f/MHz
6
b) Millä taajuudella tämän kolmioaallon amplitudispektrin taso alittaa −40 dB?
Vastaushan on nähtävissä spektrin kuvasta ilman sen kummempia laskutoimituksia: 5.5 MHz.
(Sakara-aallollahan vastaavaksi taajuudeksi saatiin 50.5 MHz.)
10. Piirrä allaolevaan kuvaan siniaallon seuraksi saman jaksonpituuden ja amplitudin omaava sakara-aalto ja
kolmioaalto.
Sini
Sakara
Kolmio
Kumpi muistuttaa enemmän siniaaltoa? Miten tämä asia on nähtävissä tehtävässä 9 olevia spektrejä
tutkimalla?
Vastaus: Selvästikin kolmioaalto muistuttaa ulkomuodoltaan enemmän siniä kuin sakara-aalto.
Sama on nähtävissä spektreistä: Kolmioaallolla amplitudit pienenevät huomattavasti nopeammin, kun
tarkasteltavan harmonisen komponentin kertaluku kasvaa. Asia voidaan sanoa näin: "Kolmioaallolla on
selvästi vähemmän harmonista sisältöä kuin sakara-aallolla". Ja koska signaali, jolla on mahdollisimman
vähän (eli ei laisinkaan) harmonista sisältöä, on siniaalto, voidaan sanoa myös: "Kolmioaalto on lähempänä
siniaaltoa kuin sakara-aalto".
11. Puhelinverkko päästää läpi taajuudet 300 Hz ... 3400 Hz. Miltä näyttää taajuustasossa (= spektri) ja
aikatasossa (= aaltomuoto)
a) sakara-aalto, jonka jaksonpituus on 0.5 ms
b) sakara-aalto, jonka jaksonpituus on 5 ms
kun kyseinen sakara-aalto on välitetty puhelimitse paikasta toiseen?
Vastaus:
a) Sakara-aallon jaksonpituus T0 = 0.5 ms, joten sen perustaajuus on f 0 =
1
= 2 kHz. Sakara-aalto sisältää
T0
parittomat harmoniset taajuudet, joten tämä sakara-aalto sisältää taajuudet 2 kHz, 6 kHz, 10 kHz, 14 kHz jne.
Näistä taajuuksista vain perustaajuus eli ensimmäinen harmoninen taajuus on sillä äänitaajuusalueella, joka
pääsee puhelinyhteyden läpi. Niinpä vastaanottaja kuulee puhelimensa kuulokkeesta signaalin, jolla on vain
yksi taajuus, 2 kHz. Eli vastaanotettu signaali on puhdas 2 kHz:n siniaalto. Sen spekrissä on tasan yksi
spektriviiva, joka on 2 kHz:n kohdalla.
b) Tämän sakara-aallon jaksonpituus T0 = 5 ms, joten sen perustaajuus on f 0 =
1
= 200 Hz. Siis tämä
T0
sakara-aalto sisältää nämä taajuudet: 200 Hz, 600 Hz, 1000 Hz, 1400 Hz, 1800 Hz, 2200 Hz, 2600 Hz, 3000
Hz, 3400 Hz, 3800 Hz, 4200 Hz jne. Tässä onkin useampia taajuuksia, jotka puhelinverkko päästää läpi, eli
välillä 600 Hz ... 3400 Hz olevat sakara-aallon harmoniset komponentit 3 ... 17. Tämän spektrissä on 8
spektriviivaa, jotka ovat mainittujen taajuuksien kohdalla ja joiden amplitudit suhteutuvat toisiinsa kute
murtoluvut 1/3, 1/5, 1/7, ..., 1/17.
Miltä b-kohdassa vastaanotettu signaali näyttää? Lähtevän sakara-aallon yhtälöhän on
v(t ) =
∞
1
⋅ cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t − 90°) . Vastaanotetun aaltomuodon yhtälö saadaan ottamalla tuosta
π n =1,3,5,... n
4A
∑
mukaan vain n:n arvot välillä 3 ... 17, eli vastaanotettu signaali on
x(t ) =
17
1
⋅ cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t − 90°) . [Tässä oletetaan, että puhelinyhteys ei muuta eritaajuisten
π n =3,5,7 ,... n
4A
∑
komponenttien välisiä amplitudi- ja vaihekulmasuhteita; oletus joka ei välttämättä pidä paikkaansa
käytännössä.] Vastaanotettu aaltomuoto ja lähetetty sakara-aalto näyttävät tältä:
1.2
x(t)
0.8
0.4
t/ms
0
0
-0.4
-0.8
-1.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
12. Sovella tätä matematiikan peruskaavaa
cos( x) =
(
1 jx − jx
e +e
2
)
niin, että muutat sinisignaalin
v(t ) = A cos(2πft + ϕ )
yhtälön kompleksiseen eksponenttimuotoon. Siis:
v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) =
A j (2πft +ϕ ) A − j (2πft +ϕ ) A j 2πft + jϕ A − j 2πft − jϕ
e
+ e
= e
+ e
2
2
2
2
Sievennä lauseke soveltaen tätä: e a +b = e a ⋅ eb . Siis:
v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) =
A jϕ j 2πft A − jϕ − j 2πft
e e
+ e e
2
2
13. Edellä saatiin kahden ajasta t riippuvan kompleksisen eksponenttilausekkeen summa. Piirrä alle
kompleksitasoon, miten noiden kahden kompleksisen lausekkeen arvo käyttäytyy, kun aika t kasvaa:
Vinkki: Piirrä kumpaakin lauseketta vastaava osoitin hetkellä t = 0, ja sitten mieti, mitä osoittimelle tapahtuu,
kun t alkaa kasvaa.
Vastaus: Siis
A jϕ j 2πft A − jϕ − j 2πft
e e
+ e e
.
2
2
A
A
v(t ) = e jϕ + e − jϕ , koska e0 = 1.
2
2
v (t ) =
Kun t = 0, niin
Kompleksitasoon merkittynä tämän lausekkeen kumpikin termi = A/2:n pituinen osoitin, ensimmäisen kulma
= ϕ, toisen −ϕ. Alla molemmat piirretty samaan kuvaan.
Im
A/2
ϕ
−ϕ
Re
A/2
v(t):n yhtälössä olevat osoittimet ovat siis tuossa asennossa hetkellä t = 0. Kun t kasvaa, niin ajan funktiona
ylemmän osoittimen asennon kertova kulma = 2πft + ϕ ja alemman osoittimen kulma = − 2πft − ϕ . Ajan t
kasvaessa edellinen kulma kasvaa positiiviseen suuntaan ja jälkimmäinen kasvaa negatiiviseen suuntaan.
Tällöin ylempi osoitin pyörii kompleksitasossa vastapäivään ja alempi myötäpäivään.
14. Mitä tarkoittikaan sinisignaalin v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) taajuus f ?
Sitä että f-taajuinen sinisignaali sisältää f kpl aaltomuodon jaksoja sekunnissa. Usein sanotaan, että sinissä on
"värähdyksiä" f kpl sekunnissa.
Miten tulkitset taajuuden f tarkoittavan edellisessä tehtävässä piirtämissäsi kuvissa?
Vasemmanpuoleisessa kuvasssa:
Vasemmanpuoleinen tarkoittaa tässä edellisen kuvan ylempää osoitinta, joka siis pyörii vastapäivään niin että
sen kulma ajan funktiona on = 2πft + ϕ . Tuosta lausekkeesta on helpohko todeta, että kun aika t kasvaa
määrän 1/f, niin kulma kasvaa määrän 2π. Tämä tarkoittaa sitä, että osoitin pyörii f kierrosta sekunnissa. Nyt
siis f kertoo osoittimen pyörimisnopeuden. Vastapäiväinen suunta määritellään positiiviseksi
pyörimissuunnaksi, jolloin siis ylemmän osoittimen pyörimistaajuus on positiivinen f.
Oikeanpuoleisessa kuvasssa:
Eli edellisen kuvan myötäpäivään pyörivä alempi osoitin. Samanlaisella päättelyllä voidaan todeta, että
tämänkin osoitin pyörähtää f kierrosta sekunnissa. Mutta kun pyörimissuunta on eri, eli negatiiviseksi
pyörimissuunnaksi määritelty myötäpäivä, niin tämän osoittimen pyörimistaajuus on negatiivinen −f.
Siis: Sinisignaalilla v(t ) = A cos(2πft + ϕ ) on yksi positiivinen taajuus f.
Mutta kun sinisignaali hajotetaan kompleksimatematiikalla kahteen osaan:
v (t ) =
A jϕ j 2πft A − jϕ − j 2πft
e e
+ e e
2
2
niin tämä signaali sisältää sekä f-taajuisen komponentin että −f -taajuisen komponentin.
Kosinin sisältävä lauseke kertoo sen, millainen sinisignaali täällä reaalimaailmassa on. Jälkimmäinen
eksponenttifunktiokaava on vain matemaattinen malli, jonka avulla kuitenkin voidaan reaalimaailman
tietoliikenne- ja muita signaaleja tutkia paljon kätevämmin.
Se, että kompleksimatematiikalla päädytään taajuuksiin ±f, johtaa siihen, että kun signaalien spektrejä
tutkitaan Fourier-analyysillä, on tuloksena spektri, joka sisältää myös negatiiviset taajuudet.
15. Edellä tehtävässä 12 todettiin, että
A cos(2πft + ϕ ) =
A jϕ j 2πft A − jϕ − j 2πft
e e
+ e e
2
2
Ja sitten on aiemmin todettu (kalvot, s. 6), että jos signaali v(t) on jaksollinen, niin sen aaltomuodon yhtälö
ajan funktiona voidaan lausua Fourier-sarjana:
∞
v(t ) = ∑ An cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
n =0
Siis jaksollinen signaali on nf0-taajuisten sinimuotoisten komponenttien summa.
Kun nuo kaksi edelläolevaa yhdistetään, niin voidaan päätyä jaksollisen signaalin v(t) kompleksisen Fouriersarjan yhtälöön:
v (t ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅ e j 2π ⋅nf 0 ⋅t
Siis jaksollinen signaali on taajuudella nf0 pyörivien kompleksisten vektorien (osoittimien) summa.
Aiemmin on kerrottu, että jos v(t) on sakara-aalto, niin sen Fourier-sarjassa v(t ) =
amplitudit An ja vaiheet ϕn saadaan näin:
4A

An =  nπ
0
ϕ n = −90°
kun n on pariton
kun n on parillinen
∞
∑ A cos(2π ⋅ nf
n =0
n
0
⋅ t + ϕn )
Mistä tuo tiedetään? Ne on laskettu soveltamalla Fourier-analyysin matematiikkaa. Millaista se on? Emme
nyt tutustu siihen, miten reaalisen Fourier-sarjan amplitudit ja vaiheet saadaan, vaan mennään suoraan
kompleksiseen Fourier-sarjaan. Ilman sen kummempia johtamisia, tämä pätee:
Jos signaali v(t) on jaksollinen, niin se voidaan lausua Fourier-sarjana
v (t ) =
∞
∑c
n = −∞
cn =
esiintyvä kompleksinen kerroin cn saadaan näin:
Tässä merkintä
∫
n
⋅ e j 2π ⋅nf 0 ⋅t
ja sarjassa
1
v(t )e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt
∫
T0 T0
tarkoittaa määrättyä integraalia T0:n pituisen ajanjakson yli. Integroinnin alaraja on
T0
vapaasti valittavissa, mutta yläraja on alaraja+T0. Joissakin tapauksissa cn:n saa lasketuksi helpoiten
integroimalla −T0/2:sta T0/2:een, toisissa tapauksissa integrointi 0:sta T0:aan johtaa helpommin sieventyvään
cn:n lausekkeeseen.
Tehtävä: Määritä sakara-aallon Fourier-sarjan kertoimen cn lauseke.
Vastaus:
v(t)
A
...
...
-T0
2 T0 t
T0
-A
1
v(t )e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt
∫
T0 T0
cn =
Jotta yhtälön
integraalin voi laskea, pitää tutkittavan signaalin v(t) yhtälö
ensin kirjoittaa integraalilausekkeen alle. Riittää, että signaalia tarkastellaan yhden jakson mittaisella
aikajaksolla. Sakara-aallon amplitudi on A ja sen jaksonpituus on T0, joten sen yhtälö aikavälillä −T0/2 ... T0/2
on
− A
v(t ) = 
A
kun t on välillä − T0 2 K 0
kun t on välillä 0 L T0 2
Nyt Fourier-sarjan kertoimen yhtälöksi tulee
1
cn =
T0
T0 2
∫ v(t )e
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
−T0 2
A
=−
T0
/
0
−T0 2
1
dt =
T0
0
∫ (− A) ⋅ e
−T0 2
T0 2
e − j 2π ⋅nf 0 ⋅t
A
+
− j 2π ⋅ nf 0 T0
0
=
A
(
(e
1 − e )−
j 2π ⋅ n
j 2π ⋅ n
=
(2 − e
j 2π ⋅ n
A
A
jπn
jπn
)
− e − jπn =
j2 A
 2A
=−

π ⋅n
=  jπ ⋅ n
0

/
− jπn
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
1
dt +
T0
T0 2
∫ A⋅e
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
dt
0
e − j 2π ⋅nf 0 ⋅t
− j 2π ⋅ nf 0
)
−1
A
j 2π ⋅ n
[2 − 2 cos(πn )] =
jos n on pariton
jos n on parillinen
A
[1 − cos(πn )]
jπ ⋅ n
Lopputulokseen päädyttiin toteamalla, että cos(πn ) on 1 tai −1 riippuen siitä, onko kokonaisluku n parillinen
vai pariton. T0 ja f0 katoavat matkan varrella, koska T0f0 = 1.
16. Miten edellä saadusta sakara-aallon cn:n lausekkeesta saadaan jo moneen kertaan esitetyt sakara-aallon An
ja vaiheet ϕn :n lausekkeet?
Vastaus: Sakara-aalto (ja kaikki muutkin jaksolliset aaltomuodot) siis voidaan lausua Fourier-sarjana kahdella
eri tavalla:
∞
v(t ) = ∑ An cos(2π ⋅ nf 0 ⋅ t + ϕ n )
(reaalinen F-sarja)
n =0
v (t ) =
∞
∑c
n = −∞
n
⋅ e j 2π ⋅nf 0 ⋅t
(kompleksinen F-sarja)
Kun puhutaan vaikkapa "m:nnestä harmonisesta taajuudesta" (missä m on positiivinen koonaisluku), niin
reaalisessa Fourier-sarjassa tarkoitetaan summasta poimittua termiä Am cos(2π ⋅ mf 0 ⋅ t + ϕ m ) . Sen sijaan
kompleksisessa Fourier-sarjassa tarkoitetaan sekä termiä
Tarkemmin sanottuna näiden summaa
c m ⋅ e j 2π ⋅mf 0 ⋅t
että termiä
c − m ⋅ e j 2π ⋅( − mf 0 )⋅t .
c m ⋅ e j 2π ⋅mf 0 ⋅t + c− m ⋅ e j 2π ⋅( − mf 0 )⋅t .
Edellisen tehtävän perusteella parittomilla m:n arvoilla sakara-aallolla on cm =
2A
2A
ja c−m = −
,
jπ ⋅ m
jπ ⋅ m
joten kompleksimuotoisena esitetty m:s harmoninen taajuuskomponentti on
2A
2A
⋅ e j 2π ⋅mf 0 ⋅t −
⋅ e − j 2π ⋅mf 0 ⋅t
jπ ⋅ m
jπ ⋅ m
4 A 1 j 2π ⋅mf 0 ⋅t
=
⋅
e
− e − j 2π ⋅mf 0 ⋅t
π ⋅ m j2
c m ⋅ e j 2π ⋅mf 0 ⋅t + c− m ⋅ e j 2π ⋅( − mf 0 )⋅t =
(
2A
⋅ e j 2π ⋅mf 0 ⋅t − e − j 2π ⋅mf 0 ⋅t
jπ ⋅ m
4A
=
⋅ sin (2π ⋅ mf 0 ⋅ t )
π ⋅m
=
)
(
)
Näin saatiin kompleksisen Fourier-sarjan termi reaaliseen muotoon, josta on nähtävissä se, että m:nnen
harmonisen taajuuden amplitudi =
4A
ja vaihe = −90°. Eli sama tulos joka jo aiemmin on sakara-aallolle
π ⋅m
esitetty.
Yleistys:
Jos jaksollisen signaalin kompleksisessa Fourier-sarjassa positiivista n:ää vastaa kerroin cn, on saman
signaalin reaalisessa Fourier-sarjassa
An = 2 ⋅ c n
ϕ n = arg(c n )
Tässä "arg" tarkoittaa kompleksilukua vastaavan osoittimen kulmaa. Siis esim. arg(5) = 0°, arg(5j) = 90°,
arg(5+5j) = 45°.
17. Määritä kolmioaallon (kuvassa) kompleksisen Fourier-sarjakehitelmän
v(t ) =
∞
∑c e
n = −∞
j 2πnf 0t
n
kertoimet cn . Kirjoita sitten lauseke amplitudispektrin määrittäville arvoille |cn|
ja vaihespektrin määrittäville arvoilla arg(cn).
v(t)
A
t
T0
-A
Kertoimen integraalilausekkeen laskemista varten tarvittavaksi jakson pituiseksi ajaksi kannattaa valita
T0 T0
L . Tuolla välillähän kolmioaalto koostuu kolmesta suoranpätkästä, joiden yhtälöt pitää
2
2
T
T
selvittää. Sitten lasketaan F-sarjan kertoimet antava integraali välin − 0 L 0 yli kolmessa osassa:
2
2
T
T
T
T
T
T
− 0 L 0 , − 0 L 0 ja 0 L 0 . Osoittautuu, että integrointi on sen verran suuritöinen homma, että ei
2
4
4
4
4
2
aikaväli −
sitä kannata kokonaan tehdä ainakaan liitutaululla. Tunnilla katsellaan, mihin yritys johtaa.
Ratkaisu: Fourier-sarjan kertoimet saadaan selville laskemalla integraali
cn =
1
v(t )e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt
∫
T0 T0
Jotta integraalin voi laskea, pitää tutkittavan signaalin v(t) yhtälö ensin kirjoittaa integraalilausekkeen alle.
Riittää, että signaalia tarkastellaan yhden jakson mittaisella aikajaksolla. Helpoiten integroinnin saa tehtyä,
kun valitsee integrointiaikaväliksi −T0/2 ... T0/2. Alle on piirretty kolmioaalto niin, että aika-akseli yltää −T0/2
:een asti.
v(t)
-T0 /2
A
-A
T0 /2
T0
t
Välillä −T0/2 ... T0/2 kolmioaalto koostuu kolmesta suoranpätkästä, ja hieman muistelemalla, miten suoran
yhtälö saadaan, päätyy tällaiseen v(t):n yhtälöön aikavälillä −T0/2 ... T0/2 :

4A
⋅t
− 2 A −
T
0

4A
v(t ) =  ⋅ t
 T0

4A
⋅t
2 A −
T0

kun t on välillä − T0 2 K − T0 4
kun t on välillä − T0 4 L T0 4
kun t on välillä T0 4 K T0 2
Siis Fourier-sarjan kerroin saadaan kolmen integraalin summana:
1
cn =
T0
1
+
T0
T0 2
∫ v(t )e
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
−T0 2
1
dt =
T0
−T0 4

4 A  − j 2π ⋅nf 0 ⋅t

2
A
dt
−
−
⋅ t  ⋅ e
∫

T
0

−T0 2 
4A
1 0 
4 A  − j 2π ⋅nf 0 ⋅t
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t

2
t
e
dt
A
dt
⋅
⋅
+
−
⋅ t  ⋅ e
∫
∫

T
T
T
0 T0 4 
0

−T0 4 0
T0 4
T 2
−T 4
−T 4
2 A 0 − j 2π ⋅nf 0 ⋅t
4A 0
dt − 2 ∫ t ⋅ e − j 2π ⋅nf 0 ⋅t dt
=−
⋅e
∫
T0 −T0 2
T0 −T0 2
T 4
T 2
4A 0
2 A 0 − j 2π ⋅nf 0 ⋅t
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
dt +
+ 2 ∫t ⋅e
e
dt
T0 T0∫ 4
T0 −T0 4
T 2
4A 0
− 2 ∫ t ⋅ e − j 2π ⋅nf 0 ⋅t dt
T0 T0 4
∫ te
Tässä välissä pitää etsiä jostain
at
dt -tyyppisen integraalin laskenta-apua. Löytyy esim. Wikipediasta
(http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions) :
e at
⋅ (at − 1) . Tällaisia integraaleja saadussa viiden integraalin summassa on kolme, loput kaksi
a2
e at
ovat tyyppiä ∫ e at dt =
. Voimme jatkaa, lasketaan integrointi kerrallaan.
a
at
∫ te dt =
−T0 4
−T 4
/
2 A 0 − j 2π ⋅nf0 ⋅t
2A
−
⋅e
dt = −
∫
T0 −T0
T0 −T0 2
=
(
2
)
−T0 4
−T 4
/
2
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
(− j 2π ⋅ nf 0t − 1)
(− j 2π ⋅ nf 0 )2
[
]
4A
⋅ e j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 4 ( j 2π ⋅ nf 0 ⋅ T0 / 4 − 1) − e j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 2 ( j 2π ⋅ nf 0 ⋅ T0 / 2 − 1)
2 2 2
T 4π n f 0
2
0
[
]
A
⋅ e jπ ⋅n / 2 ( jπ ⋅ n / 2 − 1) − e jπ ⋅n ( jπ ⋅ n − 1)
π n2
jAe jπ ⋅n / 2 Ae jπ ⋅n / 2 jAe jπ ⋅n Ae jπ ⋅n
=
−
−
+ 2 2
2πn
π 2n2
πn
π n
=
)
A ⋅ e jπ ⋅n / 2 − e jπ ⋅n
jA ⋅ e jπ ⋅n / 2 jA ⋅ e jπ ⋅n
=−
+
jπ n
πn
πn
4A 0
4A
− 2 ∫ t ⋅ e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt = − 2
T0 −T0 2
T0 −T0
=
(
2 A e j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 4 − e j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 2
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
=−
− j 2π ⋅ nf 0
− j 2π ⋅ nf 0
T0
2
T0 4
T 4
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
(− j 2π ⋅ nf 0t − 1)
(− j 2π ⋅ nf 0 )2
/
4A 0
4A
t ⋅ e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt = 2
2
∫
T0 −T0 4
T0 − T0 / 4
=−
[
]
4A
⋅ e − j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 4 (− j 2π ⋅ nf 0 ⋅ T0 / 4 − 1) − e j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 4 ( j 2π ⋅ nf 0 ⋅ T0 / 4 − 1)
T 4π 2 n 2 f 02
2
0
[
]
A
⋅ e − jπ ⋅n / 2 (− jπ ⋅ n / 2 − 1) − e jπ ⋅n / 2 ( jπ ⋅ n / 2 − 1)
2
π n
jAe − jπ ⋅n / 2 Ae − jπ ⋅n / 2 jAe jπ ⋅n / 2 Ae jπ ⋅n / 2
=
+
+
− 2 2
2πn
π 2n2
2πn
π n
=−
2
T0 2
T 2
2 A 0 − j 2π ⋅nf0 ⋅t
2A
dt =
⋅e
∫
T0
T0 T0 4
=−
(
)
/
T0 4
(
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
2 A e − j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 2 − e − j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 4
=
− j 2π ⋅ nf 0
− j 2π ⋅ nf 0 T0
A ⋅ e − jπ ⋅n − e − jπ ⋅n / 2
jA ⋅ e − jπ ⋅n jA ⋅ e − jπ ⋅n / 2
=
−
jπ n
πn
πn
T0 / 2
T 2
/
4A 0
4A
− 2 ∫ t ⋅ e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt = − 2
T0 T0 4
T0 T0 / 4
=
)
e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
(− j 2π ⋅ nf 0t − 1)
(− j 2π ⋅ nf 0 )2
[
]
4A
⋅ e − j 2π ⋅nf0 ⋅T0 / 2 (− j 2π ⋅ nf 0 ⋅ T0 / 2 − 1) − e − j 2π ⋅nf 0 ⋅T0 / 4 (− j 2π ⋅ nf 0 ⋅ T0 / 4 − 1)
2 2 2
T 4π n f 0
2
0
[
]
A
⋅ e − jπ ⋅n (− jπ ⋅ n − 1) − e − jπ ⋅n / 2 (− jπ ⋅ n / 2 − 1)
π n2
jAe − jπ ⋅n Ae − jπ ⋅n jAe − jπ ⋅n / 2 Ae − jπ ⋅n / 2
=−
− 2 2 +
+
πn
π n
2πn
π 2n2
=
2
Kerätään tulokset yhteen:
cn = −
+
jA ⋅ e jπ ⋅n / 2 jA ⋅ e jπ ⋅n jAe jπ ⋅n / 2 Ae jπ ⋅n / 2 jAe jπ ⋅n Ae jπ ⋅n jAe − jπ ⋅n / 2 Ae − jπ ⋅n / 2
+
+
− 2 2 −
+ 2 2 +
+
2πn
2πn
πn
πn
π n
πn
π n
π 2n2
jAe jπ ⋅n / 2 Ae jπ ⋅n / 2 jA ⋅ e − jπ ⋅n jA ⋅ e − jπ ⋅n / 2 jAe − jπ ⋅n Ae − jπ ⋅n jAe − jπ ⋅n / 2 Ae − jπ ⋅n / 2
− 2 2 +
−
−
− 2 2 +
+
2πn
π n
πn
πn
πn
π n
2πn
π 2n2
Tätä kun katselee tarkkaan, voi todeta, että peräti 10 termiä poistuu, koska termit kumoavat toisiaan pareittain
tai kolmikoittain. Allaolevaan kuvaan on merkitty, miten aina samalla värillä ympäröidyt termit antavat
summaksi nollan.
Fourier-sarjan kertoimen lausekkeeksi siis saadaan
Ae jπ ⋅n / 2 Ae jπ ⋅n Ae − jπ ⋅n / 2 Ae jπ ⋅n / 2 Ae − jπ ⋅n Ae − jπ ⋅n / 2
− 2 2 − 2 2 +
cn = − 2 2 + 2 2 +
π n
π n
π 2n2
π n
π n
π 2n2
Ae jπ ⋅n Ae − jπ ⋅n 2 Ae − jπ ⋅n / 2 2 Ae jπ ⋅n / 2
j2A
j4A
= 2 2 − 2 2 +
−
= 2 2 sin (πn ) − 2 2 sin (πn / 2 )
2 2
2 2
π n
π n
π n
π n
π n
π n
Tässä on käytetty hyväksi sinin kompleksieksponenttimuotoa: sin( x) =
Nythän sin (πn ) = 0 aina kun n on kokonaisluku ja
0

sin (πn / 2) = 1
− 1

e jx − e − jx
.
j2
kun n parillinen
kun n = 1, 5, 9, 13, ....
kun n = 3, 7, 11, 15, ...
joten lopullinen tulos on

0

 j4A
cn = − 2 2
 π n
 j4A
 π 2 n 2
kun n parillinen
kun n = 1, 5, 9, 13, ...
kun n = 3, 7, 11, 15, ...
Tämä on sama tulos kuin se, joka on ollut aiemmin esillä.
Amplitudit:
0

cn =  4 A
π 2 n 2
kun n parillinen
kun n pariton.
Vaiheet:
− 90° kun n = ± 1, ± 5, ± 9, ± 13, ...
cn = 
kun n = ± 3, ± 7, ± 11, ± 15, ...
90°
Tämähän oli varsin järjetön laskusuoritus, mutta tulipahan tehtyä.
18. Määritä oheisen pulssijonon kompleksisen Fourier-sarjakehitelmän
kertoimet cn .Pulssijonossa siis toistuu τ:n pituinen A:n korkuinen pulssi jaksonpituudella T0.
v(t)
A
t
-T0
τ
T0
Nytkin integrointiväliksi kannattaa valita −

0

T0 T0

Ratkaisu: Välillä − L
on v(t ) =  A
2
2


0

joten F-sarjan kertoimen integraali
cn =
T0 T0
L .
2
2
kun −
kun −
kun
τ
2
T0
τ
≤t ≤−
2
2
τ
2
≤t ≤
≤t ≤
τ
2
T0
2
1
v(t )e − j 2π ⋅nf0 ⋅t dt
∫
T0 T0
typistyy muotoon
1
cn =
T0
τ /2
∫τ Ae
− j 2π ⋅nf 0 ⋅t
− /2
A τ / 2 e − j 2π ⋅nf0 ⋅t
A
e − j 2π ⋅nf0 ⋅τ / 2 − e j 2π ⋅nf0 ⋅τ / 2
=
⋅
dt =
− j2
T0−τ //2 − j 2π ⋅ nf 0 π nf 0T0
A
e jπ ⋅nf0 ⋅τ − e − jπ ⋅nf0 ⋅τ
A
Aτ sin (π nf 0τ )
=
⋅
=
⋅ sin (π nf 0τ ) =
⋅
π nf 0T0
π nf 0T0
π nf 0τ
j2
T0
=
 τ 
Aτ
Aτ
⋅ sinc(nf 0τ ) =
⋅ sinc n 
T0
T0
 T0 
(Huom! Suhdetta τ /T0 kutsutaan pulssisuhteeksi.)
Tuossa on lopussa tarkoitushakuisesti järjestelty termejä ja lavennettu τ :lla, jotta saatiin kaunis lopputulos.
Tuloksessa esiintyy sinc-funktio, jonka määritelmä on
sinc( x ) =
sin (πx )
.
πx
Huom! sinc(0) = 1.
19. Piirrä tehtävässä 18 määritellyn pulssijonon amplitudispektri, kun
b) T0 = 4 ms, A = 1, τ = 2 ms
a) T0 = 4 ms, A = 1, τ = 1 ms
c) T0 = 4 ms, A = erittäin suuri (lähestyy ääretöntä), τ =
Ratkaisu:
a) f 0 =
cn =
1
= 250 Hz
T0
f 0τ =
τ
T0
1
s
A
d) T0 = 4 ms, A = 1, τ = 4 ms
= 1/ 4
Aτ
sinc(n / 4 )
⋅ sinc(nf 0τ ) =
T0
4
Arvot taulukoituna:
n
f / Hz
0
0
±1
±250
±2
±500
±3
±750
±4
±1000
±5
±1250
±6
±1500
±7
±1750
±8
±2000
±9
±2250
±10
±2500
±11
±2750
±12
±3000
±13
±3250
±14
±3500
±15
±3750
±16
±4000
±17
±4250
±18
±4500
±19
±4750
±20
±5000
cn
0.2500
0.2251
0.1592
0.0750
0
-0.0450
-0.0531
-0.0322
0
0.0250
0.0318
0.0205
0
-0.0173
-0.0227
-0.0150
0
0.0132
0.0177
0.0118
0
Normalisoitu cn
1
0.9003
0.6366
0.3001
0
-0.1801
-0.2122
-0.1286
0
0.1000
0.1273
0.0818
0
-0.0693
-0.0909
-0.0600
0
0.0530
0.0707
0.0474
0
Miten ylläolevassa taulukossa esim. tämän rivin
Normalisoitu|cn| / dB
0
-0.9121
-3.9224
-10.4545
-∞
-14.8915
-13.4648
-17.8141
-∞
-19.9969
-17.9018
-21.74
-∞
-23.191
-20.8244
-24.4339
-∞
-25.5211
-23.0072
-26.4872
-∞
0.0750
0.3001
-10.4545
±3
±750
arvot on saatu? Näin:
Nyt siis n = ± 3, joka vastaa taajuuksia ±3⋅250 Hz = ±750 Hz. Taulukon yläpuolella olevan kaavan mukaan
sinc(3 / 4) 1 sin(3π / 4) 1 0.7071
c3 =
= ⋅
= ⋅
= 0.0750
4
4
3π / 4
4 2.3562
sinc(− 3 / 4) 1 sin(−3π / 4) 1 − 0.7071
c− 3 =
= ⋅
= ⋅
= 0.0750
4
4
4 − 2.3562
− 3π / 4
Siis c3 = c−3 = 0.0750. [On helppo osoittaa, että aina sinc(−x) = sinc(x).]
Neljännen sarakkeen normalisoitu arvo saadaan vertaamalla laskettua arvoa suurimpaan löytyvään cn:n
arvoon, joka löytyy taulukon 1. riviltä ja on 0.2500. Normalisointi tapahtuu jakolaskulla
0.0750
= 0.3001.
0.2500
Viidennen sarakkeen desibeliarvo saadaan muuttamalla äsken laskettu normalisoitu arvo desibeleiksi kaavalla
20 ⋅ log10 (0.3001) = −10.4545
Matlabilla piirretty normalisoitu spektri:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
ja amplitudispektri (eli kertoimien itseisarvot):
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5000
b) f 0 =
cn =
-4000
1
= 250 Hz
T0
-3000
-2000
f 0τ =
τ
T0
-1000
= 1/ 2
Aτ
sinc(n / 2 )
⋅ sinc(nf 0τ ) =
T0
2
0
1000
2000
3000
4000
5000
Arvot taulukoituna:
n
f / Hz
0
0
±1
±250
±2
±500
±3
±750
±4
±1000
±5
±1250
±6
±1500
±7
±1750
±8
±2000
±9
±2250
±10
±2500
±11
±2750
±12
±3000
±13
±3250
±14
±3500
±15
±3750
±16
±4000
±17
±4250
±18
±4500
±19
±4750
±20
±5000
cn
Normalisoitu cn
0.5
0.3183
0
-0.1061
0
0.0637
0
-0.0455
0
0.0354
0
-0.0289
0
0.0245
0
-0.0212
0
0.0187
0
-0.0168
0
Normalisoitu|cn| / dB
0
-3.9224
-∞
-13.4648
-∞
-17.9018
-∞
-20.8244
-∞
-23.0072
-∞
-24.7503
-∞
-26.2013
-∞
-27.4442
-∞
-28.5314
-∞
-29.4975
-∞
1
0.6366
0
-0.21221
0
0.1273
0
-0.0909
0
0.0707
0
-0.0579
0
0.0490
0
-0.0424
0
0.0374
0
-0.0335
0
Matlabilla piirretty normalisoitu spektri:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
ja amplitudispektri (eli kertoimien itseisarvot):
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
Huom: Kun T0 = 4 ms ja τ = 2 ms, niin pulssijono on itse asiassa sakara-aallon muotoinen:
v(t)
A
t
-T0
T0
τ
Tässä esiintyvät jännitearvot ovat 0 ja A, joten jännitteen keskiarvo ei ole nolla, kuten sakara-aallolla, jossa
jännitteet ovat ±A. Siksi tämän pulssijonon spektri on muuten samanlainen kuin sakara-aallolla, mutta
taajuuden 0 kohdalla on myös spektripiikki johtuen signaaliin sisältyvästä tasajännitekomponentista (eli
nollataajuisesta komponentista).
Aτ
1
⋅ sinc(nf 0τ ) .
= 250 Hz ja cn =
T0
T0
1
s, niin silloinhan τ lähestyy nollaa, eli sinc-funktion
Kun A = erittäin suuri (lähestyy ääretöntä), τ =
A
c) Edelleen f 0 =
argumentin arvot ovat hyvin pieniä suurillakin n:n arvoilla. Silloin raja-arvotapauksena (kun τ on melkein
(
)
nolla), kaikki sinc nf 0τ :t kaikilla n:n arvoilla ovat ≈ sinc(0 ) = 1 . Silloin tuloksena on spektri, jossa
kaikki spektriviivat (jotka edelleen ovat f0 :n eli 250 Hz:n välein) ovat samankorkuiset:
1.5
1
0.5
0
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
Tässä c-kohdassa ajateltua (lähes) äärettömän lyhyttä ja (lähes) äärettömän korkeaa pulssia kutsutaan
impulssiksi. Teoreettisena käsitteenä impulssi on kestoltaan nolla ja amplitudiltaan ääretön oleva pulssi, jonka
pinta-ala (kesto kertaa korkeus) = 1. Nyt siis saimme pääteltyä, että impulssijonon spektri koostuu
äärettömästä määrästä samankorkuisia spektriviivoja, jotka ovat f0 :n välein.
d) Kun T0 = 4 ms ja τ = 4 ms, niin tuloksena on vakiojännite, koska seuraava pulssi aina alkaa samalla
hetkellä kun edellinen pulssi päättyy:
v(t)
A
...
...
-T0
Nyt f 0τ =
cn =
τ
T0
τ
t
T0
= 1 , joten F-sarjan kertoimen lausekkeeksi tulee
Aτ
⋅ sinc(nf 0τ ) = A sinc(n)
T0
Mutta sinc-funktion ominaisuushan on, että sinc(x) = 0 kaikilla muilla x:n kokonaislukuarvoilla paitsi x = 0,
jolloin sinc(0) = 1. Joten sinc(n) = 1 vain kun n = 0, kaikilla muilla n:n arvoilla se = 0. Niinpä nyt pulssijonon
(joka ei enää ole pulssijono, vaan vakiojännite, eli tasajännite) spektrissä on vain yksi spektriviiva taajuudella
0:
1.5
1
0.5
0
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
∞
20. Fourier-muunnosintegraali:
V ( f ) = ∫ v (t )e − j 2πft dt
−∞
v(t)
A
Tehtävä: Määritä oheisen yksittäisen suorakulmaisen jännitepulssin spektri.
t
Ratkaisu:
Pulssin yhtälö v(t) voidaan kirjoittaa näin:
−τ/2
τ/2
kun − τ / 2 < t < τ / 2
A
v(t ) = 
0
muualla
Siispä kun integroidaan −∞:stä +∞:ään, on integroitavan arvo melkein koko ajan nolla. Vain ihan origon eli
hetken t = 0 ympäristössä integroidaan jotain nollasta poikkeavaa. Jää siis laskettavaksi määrätty integraali
τ /2
∫ Ae
τ
− j 2πft
dt . Näin Fourier-muunnos syntyy:
− /2
∞
V ( f ) = ∫ v (t )e
− j 2πft
dt =
−∞
τ /2
∫ Ae
− j 2πft
τ /2
dt = A
/
−τ / 2
−τ / 2
e − j 2πft
− j 2πf
=
(
A
e − jπfτ − e jπfτ
− j 2πf
)
A
sin(πfτ )
sin(πfτ ) = Aτ
πf
πfτ
= Aτ ⋅ sinc( fτ )
=
Tässä käytettiin kaavaa sin( x) =
1
2j
(e
jx
− e − jx ) . Lopputulos siis on
t
AΠ  ↔ Aτ ⋅ sinc( fτ )
τ 
Spektrin yhtälö on lopussa saatettu tarkoituksella (laventamalla τ:lla) muotoon, josta se voidaan kirjoittaa
sinc-funktiota käyttäen. Tietoliikennetekniikassa (ja muillakin aloilla) esiintyy melko usein muotoa
sin(πx) πx oleva lauseke, joten on katsottu tarpeelliseksi ottaa käyttöön tuolle lausekkeelle oma nimitys.
Sinc-funktion määritelmä on: sinc( x) =
sin(πx)
πx
Sinc-funktiosta lisää teoriatekstin sivulta 20 lähtien (http://users.metropolia.fi/~koiva/S2015/TV14KIntegr/060_Fourier-analyysi.tietoliikenneorientoituneesti.pdf#page=20) ja mm. Wikipediassa.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function).
 t −T 
 kuvaaja, kun
 2τ 
t
τ 
21. Tehtävä: Piirrä kolmesta pulssista koostuvan signaalin v(t ) = AΠ   + BΠ 
a) A = B = 2, τ = 1 ms, T = 3 ms
b) A = 2, B = −1, τ = 2 ms, T = −4 ms
Vastaukset:
v(t)
v(t)
1
-3
-2
1
t/ms
1
-1
2
3
4
-6
5
-5
-4 -3
22. Tehtävä:
Osoita, että jos signaalin v(t) Fourier-muunnos on V(f), niin viivästetyn signaalin
v(t−T) Fourier-muunnos on
t/ms
-2
-1
-1
1
2
3
V ( f )e − j 2πfT .
Vastaus: Olkoon x(t ) = v(t − T ) . Silloin
X(f )=
∞
∫ x(t )e
− j 2πft
−∞
∞
dt = ∫ v (t − T )e − j 2πft dt
−∞
Tehdään integraalilaskennasta (toivottavasti) tuttu muuttujanvaihto eli merkitään y = t − T . Silloinhan uuden
muuttujan differentiaali dy = dt (koska vakion T differentiaali = 0). Määrätyn integroinnin rajat eivät
muuttujanvaihdossa muutu, koska kun t = ±∞ , niin kyllä myös y = t − T = ±∞ . Kun vielä todetaan, että
t = y + T , niin saadaan
X(f )=
∞
∫ v ( y )e
∞
− j 2π f ( y + T )
−∞
dy = ∫ v( y )e
− j 2π fy − j 2π fT
e
dy = e
− j 2π fT
−∞
∞
∫ v ( y )e
− j 2π fy
dy
−∞
Viimeinen integraalihan antaa v(t):n Fourier-muunnoksen V(f) (siinä vaan integrointimuuttujana on y
aiemmin olleen t:n asemasta). Siis tulos on
X ( f ) = e − j 2π fT ⋅ V ( f ) . Tämä siis on viivästetyn signaalin v(t) Fourier-muunnos.
23. Tehtävä: Kirjoita tehtävän 21 a-kohdan signaalin Fourier-muunnoksen yhtälö.
Vastaus: Muutetaan tehtävää. Ei kannata a-kohdan lukuarvoja käyttää, vaan kirjoittaa tehtävässä annetun
t
τ 
 t −T 
 Fourier-muunnoksen yhtälö.
 2τ 
yleisen kahdesta pulssista koostuvan signaalin v(t ) = AΠ   + BΠ 
Sehän on tehtävissä 20 ja 22 saatuja tuloksia soveltamalla
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ ) + B ⋅ 2τ ⋅ sinc( f ⋅ 2τ )e − j 2πfT
= Aτ ⋅ sinc( fτ ) + 2 Bτ ⋅ sinc(2 fτ )e − j 2πfT
Tulos ei tuosta sievene.
24. Tehtävä: Määritä oheisen kuvan signaalin Fouriermuunnos.
τ
Ratkaisu
Voidaan soveltaa superpositioperiaatetta, koska signaalin
voidaan ajatella olevan kahden pulssin summa. Noilla
-T
kahdella suorakulmaisella pulssilla on viiveet -T ja T, joten
ottamalla viiveet huomioon tutkittavan signaalin aikatason yhtälö voidaan kirjoittaa
 t − (−T ) 
 t −T 
v(t ) = AΠ
 + AΠ 

 τ
 τ 

v(t)
τ
A
t
T
Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta:
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πf ( −T ) + Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πfT
Ensimmäisessä termissä miinusmerkit tietysti kumoavat toisensa (siinä on edelleen -T muistuttamassa siitä,
että ensimmäisen pulssin viive on negatiivinen) jolloin kompleksiset eksponentit muodostavat kosinifunktion.
Lopputulos siis on:
(
)
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e j 2πfT + e − j 2πfT = 2 Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ cos(2πfT )
Tässä siis käytettiin tätä: cos( x ) =
1
2
(e
jx
+ e − jx
)
25. Tehtävä: Sama tehtävä kuin 24, mutta signaali on eri:
τ
v(t)
A
t
T
-T
-A
τ
Tässä voit sieventämisessä käyttää hyväksi tätä toista tuttua kaavaa: sin( x ) =
1
2j
(e
jx
− e − jx
)
Huom! Tunnilla 8.2. jaetussa tehtävien paperiversiossa tuo ylläoleva sinikaava oli väärin (leikepöytäkirous
iski), siinä oli sulkujen sisällä plus-merkki. Korjaa paperiin, jos se vielä on tallella.
Ratkaisu: Edellisen tehtävän ratkaisu editoituna tähän sopivaksi:
Voidaan soveltaa superpositioperiaatetta, koska signaalin voidaan ajatella olevan kahden pulssin summa.
Noilla kahdella suorakulmaisella pulssilla on viiveet −T ja T, joten ottamalla viiveet huomioon tutkittavan
signaalin aikatason yhtälö voidaan kirjoittaa
 t − (−T ) 
 t −T 
v(t ) = AΠ
 − AΠ 

 τ
 τ 

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta:
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πf ( −T ) − Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πfT
Ensimmäisessä termissä miinusmerkit tietysti kumoavat toisensa (siinä on edelleen -T muistuttamassa siitä,
että ensimmäisen pulssin viive on negatiivinen) jolloin kompleksiset eksponentit muodostavat sinifunktion.
Lopputulos siis on:
(
)
V ( f ) = Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e j 2πfT − e − j 2πfT = j 2 Aτ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(2πfT )
Tässä siis käytettiin tätä: sin( x) =
1
2j
(e
jx
− e − jx
)
26. Signaalinkäsittelyssä (sekä laitteisto- että ohjelmistoperusteisessa, sekä digitaalisessa että analogisessa)
derivointi ja integrointi ovat varsin hyödyllisiä signaaliin kohdistettavia toimenpiteitä. Ilman johtamista
näiden merkitys Fourier-analyysissä:
Jos v(t ) ↔ V ( f ) niin
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f )
dt
t
V( f )
∫ v(λ )dλ ↔ j 2πf
Siis: Signaalin derivointi aiheuttaa sen, että signaalin spektri tulee kerrotuksi j2πf:llä ja signaalin integrointi
aiheuttaa sen, että signaalin spektri tulee jaetuksi j2πf:llä.
t
Merkinnän
∫ v(λ )dλ selitystä: Signaalin v(t) integrointi on aloitettu joskus menneisyydessä, esim. silloin
kun on kytketty päälle se laite, jossa v(t) esiintyy. Siksi määrätyn integraalin alarajaa ei ole merkitty.
Integroinnin yläraja on nykyhetki t, joka tietenkin koko ajan kasvaa, koska niin aika tekee. Muuttuja λ on
t
apumuuttuja, jota käytetään siksi, että merkintä
∫ v(t )dt
saattaisi hämätä. Kuluva aika t on nimenomaan
integroinnin ylärajana, joten aaltomuodon v lausekkeessa on syytä käyttää jotain muuta muuttujaa. Jostain
syystä λ:aa käytetään usein tällaisessa yhteydessä.
v(t)
A
Tehtävä: Määritä oheisen kolmiopulssin Fourier-muunnos.
Tehtävän voisi tehdä soveltamalla Fourier-muunnoksen määritelmää
∞
V ( f ) = ∫ v (t )e − j 2πft dt , mutta tuloksena olisi aika työläästi
t
−τ
τ
−∞
sieventyvä lauseke. Helpommalla pääsee käyttämällä hyväksi tähän mennessä opittuja asioita.
Ratkaisun askeleet:
• Derivoi kolmiopulssi, piirrä derivaatan kuvaaja tähän:
x(t)=dv(t)/dt
A/τ
τ
−τ
t
-A/τ
•
•
Totea, että derivaatta on käytännössä sama kuin tehtävän 25 signaali. Nyt vaan tehtävässä 25 olevien
parametrien A, T ja τ tilalla on jotain muuta. (Paitsi että τ tarkoittaa kyllä nyt derivaatan kuvaajassa
samaa asiaa kuin tehtävässä 25.) Siis: Tehtävän 25 tapauksessa pitää korvata pulssien korkeus
± A → ± A / τ ja pulssien viive ± T → ±τ / 2 .
Voit siis kirjoittaa suoraan kolmiopulssin derivaatan x(t) F-muunnoksen yhtälön, koska tehtävän 25
vastaus on käytettävissä. Siis: Tehtävän 25 vastaus antaa e.m. sijoitukset tekemällä
A
τ
X ( f ) = j 2 τ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(2πf ) = j 2 A ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(πfτ )
2
τ
Sitten voit soveltaa tehtävässä 26 kerrottua derivaattalauseketta ja näin saada V(f):lle lausekkeen. Vaatii
hieman sieventämistä. Sinc-funktio tulee vastaan, sehän määritellään: sinc( x) =
sin(πx)
. Siis: Koska
πx
dv(t )
, on X ( f ) = j 2πf ⋅ V ( f ) , joten kolmiopulssin spektri on
dt
X ( f ) j 2 A ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(πfτ )
V( f ) =
=
.
j 2πf
j 2πf
Kun supistaa pois j2:t ja laventaa τ:lla (jolloin osoittajassa olevasta sinistä ja nimittäjästä saa aikaan sincfunktion), tulee lopputulokseksi V ( f ) = Aτ ⋅ sinc 2 ( fτ ) .
x(t ) =
27. Tehtävä: Signaalin v(t) spektri V(f) on ohessa. Signaalia integroidaan. Piirrä integraalisignaalin
amplitudispektri suhteellisina arvoina (mikä tarkoittaa, että spektrin maksimiarvo = 1).
V(f)
1
f /MHz
-4
-2
2
4
 f / 2B

Ratkaisu: Spektrin yhtälö on V ( f ) = − f / 2 B
0

kun B < f < 2 B
kun − 2 B < f < − B
muilla taajuuksilla
missä on merkitty B = 2 MHz.
Merkitään integroinninn jälkeisen signaalin spektriä X(f):llä. Tällöin.
kun B < f < 2 B
1 / j 4πB
V( f ) 
kun − 2 B < f < − B
X(f ) =
= − 1 / j 4πB
j 2πf 
muilla taajuuksilla
0
Silloin amplitudispektri = 1/4πB ja vaihespektri = −90° positiivisella akselilla ja 90° negatiivisella akselilla.
Integraalisignaalin amplituspektri on siis vakio taajuuskaistalla B ≤ f ≤ 2 B , joten normalisoitu
amplitudispektri on silloin = 1 tällä samalla kaistalla (ja = 0 kaistan ulkopuolella). Kuva:
|X(f)|
1
f/MHz
-4
-2
2
4
28. a) Mikä on signaalin v(t ) = A cos(2π f t ) Fourier-muunnos?
b) Mikä on signaalin v(t ) = A cos(2π f t ) derivaattasignaali x(t ) =
dv(t )
?
dt
c) Mikä on derivaattasignaalin x(t) Fourier-muunnos?
d) Onko tulos sopusoinnussa aiemmin esilläolleen derivointisäännön
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f ) kanssa?
dt
Vastaus:
Tässä mennään ehkä turhan syvälle matemaattiseen kikkailuun tämä kurssin kannalta. Laitetaan vastaus silti
näkyviin.
a) Ei kannata lähteä etsimään vastausta Fourier-muunnosintegraalia käyttäen, koska silloin joutuu
metemaattisiin vaikeuksiin. Sen sijaan muistetaan, että signaalin v(t) Fourier-muunnos = signaalin spektri,
eli vastaus kysymyksiin
• mitä taajuuksia signaaliin v(t) sisältyy?
• mikä on kunkin signaaliin v(t) sisältyvän taajuuskomponentin amplitudi?
• mikä on kunkin signaaliin v(t) sisältyvän taajuuskomponentin vaihekulma?
Muunnetaan kosini eksponenttimuotoon:
v(t ) = A cos(2π f t ) =
A j 2π f t A − j 2 π f t
e
+ e
2
2
Kompleksimatemaattisessa Fourier-analyysissä "taajuuskomponentit" ovat kompleksisia
eksponenttifunktioita. Näemme, että signaaliin v(t) sisältyvät taajuudeltaan f ja –f olevat komponentit, joiden
kummankin amplitudi on A/2 ja kummankin vaihe on 0.
b) Toivottavasti matematiikan opinnoista mieleen jääneen mukaan:
x(t ) =
dv(t )
= −2πf ⋅ A sin (2π f t )
dt
c) Samasta syystä kuin a-kohdassa muutetaan x(t):n lauseke eksponenttimuotoon:
x(t ) = −2πf ⋅ A sin (2π f t ) = −
2πf ⋅ A j 2π
e
j2
(
ft
− e − j 2π
ft
) = jπfAe
j 2π f t
− jπfAe − j 2π
ft
Näemme, että signaaliin x(t) sisältyvät taajuudeltaan f ja –f olevat komponentit, joiden kummankin amplitudi
on πfA ja joiden vaiheet ovat π/2 ja −π/2.
Nuo vaiheet tulevat siitä, että j = e jπ / 2 ja − j = e − jπ / 2 .
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f ) mukaan signaalin derivoinnin tuloksena siis spektri tulee kerrotuksi
dt
d) Kaavan
j2πf:llä. Tämä tarkoittaa sitä, että
• alkuperäisen signaalin ±f –taajuisten komponenttien amplitudi tulee kerrotuksi 2πf:llä. a- ja c-kohtia
katsomalla voidaan todeta, että näin kävi.
• alkuperäisen signaalin f-taajuisen (missä f > 0) komponentin vaihe muuttuu π/2:n verran. a- ja c -kohtia
katsomalla voidaan todeta, että näin kävi.
• alkuperäisen signaalin −f-taajuisen (missä f > 0) komponentin vaihe muuttuu −π/2:n verran, koska
taajuudella –f derivoinnista tuleva kerroin on –j2πf. a- ja c -kohtia katsomalla voidaan todeta, että näin
kävi.
Joten saatu tulos tosiaan on sopusoinnussa derivointisäännön
dv(t )
↔ j 2πf ⋅ V ( f ) kanssa
dt
29. Erillisessä tekstissä
(http://users.metropolia.fi/~koiva/S2015/TV14KIntegr/070.modulaatio.pdf) on käsitelty tärkeää
tietoliikennetekniikan signaalinkäsittelytoimenpidettä eli
modulaatiota. Tämä tehtävä liittyy siihen: Mikä on
oheisen signaalin Fourier-muunnos? Vaaka-akselilla on
aika mikrosekunteina.
[Tutka saattaa lähettää suunnilleen tällaisia signaaleja.
Tätä kutsutaan esim. tutkapulssiksi, myös termi "purske"
saattaa esiintyä tässä yhteydessä.]
Vastaus:
Modulaatiota käsittelevässä tekstissä on johdettu
1
1
v(t ) ⋅ cos(2πf c t ) ↔ V ( f − f c ) + V ( f + f c )
2
2
Tässä on kyse juuri tästä. Kuvan signaalissa on selvästikin siniä, jonka jaksonpituus on 2 µs ja jonka
amplitudi vaihtelee 40 µs pituisen kolmiopulssin mukaisesti. Siis signaalin yhtälö on
v(t ) =
Λ τt  ⋅ cos(2πf t ) ,
c
 
missä τ = 40 µs ja fc = 500 kHz. Tehtävässä 26 saatiin kolmiopulssin spektriksi Aτ ⋅ sinc 2 ( fτ ) joten oheisen
kolmiopulssimaisesti käyttäytyvän sinipurskeen Fourier-muunnos on
V ( f ) = 12 τ ⋅ sinc 2 [( f − f c )τ ] + 12 τ ⋅ sinc 2 [( f + f c )τ ]
Spektrin normalisoitu kuvaaja alla. Vaaka-akselilla taajuus satoina kHz:nä.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
5
x 10
30. Suorakulmaisen pulssin leveys (kesto) = τ ja sen amplitudi (korkeus) A = 1/τ. (Ei kannata vaivata päätään
yksiköillä, nehän tuossa menee ihan pipariksi.)
a) Miten pulssin yhtälö kirjoitetaan? (Siis käyttäen suorakulmaisen pulssin symboliksi sovittua isoa piikirjainta.)
b) Mikä on pulssin Fourier-muunnos? Piirrä F-muunnoksen kuvaaja.
c) Kun pulssi lyhenee (jolloin se samalla kasvaa korkeutta), niin miten sen F-muunnoksen yhtälö muuttuu?
d) Entä miten pulssin F-muunnoksen kuvaaja muuttuu, kun pulssi lyhenee?
e) Miltä pulssi näyttää, kun se on aivan älyttömän lyhyt, eli kesto = melkein nolla?
f) Miltä näyttää pulssin spektri, kun pulssin kesto = melkein nolla.
Kaksi viimeistä kohtaa parempaa matemaattista kieltä käyttäen: Miten pulssi ja sen spektri muuttuvat, kun
pulssin kesto lähestyy arvoa τ = 0?
Vastaus: Tätä on käsitelty teoriatekstin luvussa 2.7: (http://users.metropolia.fi/~koiva/S2015/TV14KIntegr/060_Fourier-analyysi.tietoliikenneorientoituneesti.pdf#page=31) . Sieltä löytyy sitten myös selitettynä
se, mihin tässä päädytään, eli impulssi ja sen ominaisuudet.
31. Piirrä signaalin v(t ) = 2δ (t − 1 s) − 3δ (t − 3 s) kuvaaja.
Vastaus:
y(t)
2
3
t/s
1
-3
32. Johda suorakulmaisen pulssin Fourier-muunnos derivoimalla pulssi.
Vastaus: Suorakulmainen pulssi v(t) ja sen derivaatta x(t):
v(t)
x(t)
A
A
τ/2
t
−τ/2
τ/2
t
−τ/2
-A
Derivaatan yhtälö on x(t ) = Aδ (t − (− τ / 2 )) − Aδ (t − τ / 2 ) .
Tämän Fourier-muunnos on
(
X ( f ) = Ae − j 2πf (−τ / 2 ) − Ae − j 2πfτ / 2 = A e jπfτ − e − jπfτ
)
= j 2 A ⋅ sin (πfτ )
dv(t )
Koska x(t ) =
, on X ( f ) = j 2πf ⋅ V ( f ) , joten
dt
X ( f ) j 2 A sin (πfτ )
sin (πfτ )
V( f ) =
=
= Aτ ⋅
= Aτ ⋅ sinc( fτ ) . Eli tuli se mitä pitikin tulla.
j 2πf
j 2πf
πfτ
v(t)
A
33. Johda kolmiopulssin Fourier-muunnos derivoimalla pulssi kahteen kertaan.
t
τ 
Vastaus: Kolmiopulssi v(t ) = AΛ  :
t
Kuvan kolmiopulssi koostuu kahdesta suorasta. Ensin on nouseva suora, jonka
τ
−τ
kulmakerroin on A/τ ja sitten laskeva suora, jonka kulmakerroin on −A/τ. Suoran derivaattahan on sama kuin
sen kulmakerroin, joten kolmiopulssin derivaattasignaali x(t ) =
dv(t )
on oheisen
dt
x(t)
A/τ
kaltainen:
Tästä voi jatkaa kahdella tavalla.
Tapa 1: Derivaattasignaalin yhtälö on
 t − (−τ / 2)  A  t − τ / 2 
x(t ) = Π
 − Π
 , joten derivaattasignaalin spektri on
τ 
τ
 τ  τ 
A
X( f ) =
τ
−τ
t
-A/τ
τ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πf ( −τ / 2 ) − τ ⋅ sinc( fτ ) ⋅ e − j 2πfτ / 2
τ
τ
A
A
Kun supistetaan τ:t ja 2:t ja huomioidaan miinusmerkit, yhtälö saadaan helposti muotoon
X ( f ) = j 2 A ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(πfτ ) . Nythän koska x(t ) =
dv(t )
, on X ( f ) = j 2πf ⋅ V ( f ) , joten
dt
V ( f ) j 2 A ⋅ sinc( fτ ) ⋅ sin(πfτ )
kolmiopulssin spektri on V ( f ) =
=
j 2πf
j 2πf
Kun supistaa pois j2:t ja laventaa τ:lla (jolloin osoittajassa olevasta sinistä ja nimittäjästä saa aikaan sincfunktion), tulee lopputulokseksi V ( f ) = Aτ ⋅ sinc 2 ( fτ ) , eli sama yhtälö kuin kaavakokoelmassa.
y(t)
dx(t )
Tapa 2: Derivoidaan derivaattasignaali x(t): y (t ) =
. Tulos kuvassa.
dt
Derivoitavassa x(t):ssa on kolme askelmaista muutosta, joten sen derivaatta
koostuu kolmesta impulssista. y(t):n yhtälö on
y (t ) =
A
τ
δ (t − (− τ )) −
2A
τ
δ (t ) +
A
τ
δ (t − τ )
A/τ
t
−τ
τ
Tämän Fourier-muunnos voidaan kirjoittaa suoraan:
Y( f ) =
=
A
τ
e − j 2πf (−τ ) −
2A
τ
2A
τ
+
A
τ
e − j 2πfτ =
(e
τ
A
j 2πfτ
+ e − j 2πfτ − 2
)
[cos(2πfτ ) − 1] = − 4 A ⋅ sin 2 (πfτ )
τ
Tässä käytettiin näitä: cos( x) =
2
1
2
(e
jx
-2A/τ
)
+ e − jx ja 1 − cos(2 x ) = 2 sin 2 ( x ) .
dx(t ) d v(t )
=
, on Y ( f ) = j 2πf ⋅ X ( f ) = j 2πf ⋅ j 2πf ⋅ V ( f ) = −4π 2 f 2V ( f ) , joten
2
dt
dt
Y( f )
A sin 2 (πfτ )
sin 2 (πfτ )
V( f ) =
=
=
A
⋅
= Aτ ⋅ sinc 2 ( fτ ) .
τ
2 2
2 2
2 2 2
π f τ
− 4π f
τπ f
Koska y (t ) =
34. Laske tehtävä 24 derivoinnin kautta.
Vastaus: Tehtävän 24 signaali v(t) ja sen derivaatta x(t ) =
v(t)
τ
dv(t )
:
dt
x(t)
τ
A
A
t
t
T
-T
T
-T
Derivaattasignaalin yhtälö on
-A
y (t ) = Aδ (t − (− T − τ / 2)) − Aδ (t − (− T + τ / 2)) + Aδ (t − (T − τ / 2)) − Aδ (t − (T + τ / 2))
Tämän Fourier-muunnos on
Y ( f ) = Ae − j 2πf (−T −τ / 2 ) − Ae − j 2πf (−T +τ / 2 ) + Ae − j 2πf (T −τ / 2 ) − Ae − j 2πf (T +τ / 2 )
[
]
[
]
= Ae j 2πfT e jπfτ − e jπfτ + Ae − j 2πfT e jπfτ − e jπfτ
[
][
= A e jπfτ − e jπfτ ⋅ e j 2πfT + e − j 2πfT
= A ⋅ j 2 sin(πfτ ) ⋅ 2 cos(2πfT )
]
dv(t )
, on X ( f ) = j 2πf ⋅ V ( f ) , joten
dt
X ( f ) A ⋅ j 2 sin(πfτ ) ⋅ 2 cos(2πfT ) A ⋅ sin(πfτ ) ⋅ 2 cos(2πfT )
=
V( f ) =
=
=
πf
j 2πf
j 2πf
.
sin(πfτ
= 2 Aτ ⋅
⋅ cos(2πfT ) = 2 Aτ sinc( fτ ) ⋅ cos(2πfT )
πfτ
Koska x(t ) =
Eli tuli se mitä saatiin jo tehtävässä 24.