docFys. matem. menet. IIa Harjoitus 2 Kevät 2015
download 
Report Transcription
Fys. matem. menet. IIa Harjoitus 2 Kevät 2015
Fys. matem. menet. IIa Harjoitus 2 Kevät 2015 (Palautetaan ke 28.1. klo. 16 mennessä, käsitellään ti 3.2. ja pe 6.2.) 1. Ratkaise aaltoyhtälö 1 ∂ 2u ∂ 2u − 2 =0 c2 ∂t2 ∂x (x, 0) = ψ(x), alueessa −∞ < x < ∞, t > 0, kun alkuehdot ovat u(x, 0) = 0, ∂u ∂t missä funktio ψ(x) on nollasta eroava ainoastaan välillä [−, ]. 2. Ratkaise L-pituisen kielen värähtelyjä kuvaava aaltoyhtälö utt − c2 uxx = 0, 0 < x < L, 0 < t < ∞ , reunaehdoilla u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 < t < ∞, ja alkuehdoilla u(x, 0) = 1 πc sin(2πx/L), ut (x, 0) = sin(4πx/L), 0 < x < L . 2 L 3. Ratkaise Fourier’n muunnoksen avulla kaksiulotteinen aaltoyhtälö utt − c2 uxx − c2 uyy = 0 alueessa (x, y) ∈ R2 , 0 < t < ∞, alkuehdolla x2 + y 2 u(x, y, 0) = exp(− ), ut (x, y, 0) = 0 , σ2 missä σ > 0. Jätä vastaus Fourier’n integraalin muotoon. 4. Polarisaatiofiltteri: Digitaalisissa järjestelmäkameroissa voidaan käyttää aurinkoisella säällä pyöröpolarisaatiofiltteriä kuvan värien parantamiseksi. Filtteri koostuu kahdesta kerroksesta, joista ensimmäinen päästää läpi vain yhteen suuntaan polarisoitunutta valoa. Toinen kerros muuttaa tämän lineaarisesti polaroituneen valon ympyräpolaroituneeksi, jotta kameran polarisaatioon perustuva automaattitarkennus toimisi oikein. Valon käyttäytymistä tässä kerroksessa voidaan mallintaa aaltoyhtälöllä ~ 2~u = 0 , ~utt − c2 P ∇ missä P on diagonaalinen matriisi, joka kuvaa allonnopeuden riippuvuutta polarisaatiosuunnasta. Yksinkertaistuksena mallinnamme valon käyttäytymistä matriisilla 2 r 0 0 P = 0 1 0 , 0 0 1 missä 0 < r < 1. Tarkastellaan filtterin läpi z-suunnassa etenevää tasoaaltoa ~u(z, t) = ~ei(kz−ω(k)t) , missä ~ on etenemissuuntaa vastaan kohtisuora polarisaatiovektori. Filtteriin saapuva valo on lineaarisesti polarisoitunutta, joten tasossa z = 0 pätee reunaehto ~u = ~i e−iωi t , missä polarisaatiovektori ~i = (1, 1, 0) ja ωi = cki on sisään tulevan valon kulmataajuus. Vastaavasti filtteristä poistuva valo on ympyräpolarisoitunutta, joten tasossa z = d pätee ~u(z = d) = ~o e−iωi t+iφ , missä polarisaatiovektori ~o = (eiπ/2 , 1, 0). Vakio φ on filtterissä tapahtuva vaihesiirto ja d filtterin paksuus. (a) Sijoita tasoaaltoyrite aaltoyhtälöön. Millä vaihenopeuksilla tasoaallon xja y-suuntaisesti polarisoituneet komponentit etenevät filtterin sisällä? (b) Mikä on aaltoyhtälön yleinen ratkaisu z-suunnassa eteneville tasoaalloille? * (c) Aseta annetut reunaehdot, ja ratkaise filtterin paksuus sisään tulevan valon aallonpituuden funktiona, kun r = 1/2. 5. Kitaran äänenväri: Kitarankieltä voidaan mallintaa yksiulotteisella aaltoyhtälöllä utt − v 2 uxx = 0 . Kielen pituus on L ja se on päistään kiinnitetty, joten sille pätevät reunaehdot u(0, t) = u(L, t) = 0 . Oletetaan, että kitaristi näppää kieltä ajanhetkellä t = 0. Tällöin kielen muotoa voidaan arvioida funktiolla dx/βL x < βL f (x) = , d(L − x)/(L − βL) x > βL missä d on kielen venymä ja β kuvaa näppäyskohtaa. Lisäksi kieli on hetkellä t = 0 likimain paikoillaan, joten alkuehdot ovat u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0 . Ratkaise aaltoyhtälö näillä alku- ja reunaehdoilla. (2p.) Ihminen hahmottaa äänenvärin ensimmäisten harmonisten monikertojen perusteella. Laske perustaajuuden (n=1) ja muutaman alimman monikerran (n=2,3,4...) amplitudien itseisarvot, kun kieltä näpätään läheltä keskikohtaa (β=1/2), kaikuaukon keskikohdalta (β=0,26) tai läheltä kielen päätä (β=1/10). Voit olettaa kielen venymäksi d=0,65cm ja pituudeksi L=65cm. Mitä huomaat? (1p.) (Vihje: Amplitudit kannattaa ehkä piirtää (n, A)-koordinaatistoon pylväinä, jolloin muodostuu eräänlainen spektrogrammi.)
