Metriset avaruudet Harjoitus 6 1. Olkoon D joukko ja E = raj(D,R

Metriset avaruudet
Harjoitus 6
1. Olkoon D joukko ja E = raj(D, R) rajoitettujen funktioiden f : D → R
avaruus sup-normilla kf k∞ = supx∈D |f (x)|. Osoita, että E on täydellinen,
ts. Banachin avaruus. Ohje. Käytä tietoa, että R on täydellinen.
R1
2. Olkoon E = C[−1, 1] varustettuna L1 -normilla kf k1 = −1 |f (x)| dx kun
f ∈ E. Määritellään fn ∈ E, missä n ∈ N, asettamalla


 0 kun −1 ≤ x ≤ 0,
fn (x) = nx kun 0 ≤ x ≤ 1/n


1 kun 1/n ≤ x ≤ 1.
Todista:
a) Jono (fn ) on Cauchyn jono E:ssä.
b) Jono (fn ) ei suppene, joten E ei ole täydellinen. Ohje. Oleta, että
fn → g E:ssä ja osoita, että g(x) = 0, kun x < 0, ja g(x) = 1, kun x > 0.
3. a) Osoita, että Banachin kiintopistelauseen (Lause 12.8) todistuksen merkinnöin on voimassa
d(xn , a) ≤
qn
d(x0 , x1 ).
1−q
(1)
b) Hae yhtälön x3 − 7x + 1 = 0 juuren (ratkaisun) likiarvo välillä [0, 1]
soveltamalla Banachin kiintopistelausetta funktioon f (x) = (x3 + 1)/7.
Muista osoittaa, että f toteuttaa lauseen oletukset. Määritä laskimella
ainakin 5 desimaalia. Käytä tarkkuusarvioinnissa kaavaa (1).
4. Todista että avaruuden X kahden kompaktin osajoukon yhdiste on kompakti.
5. Tutki joukoista Aj ⊂ R2 , ovatko ne (a) kompakteja, (b) täydellisiä:
A1 = {(x, y) : x2 + 3y 2 ≤ 4},
A2 =
{(x, y) : xy = 1},
A3 = {(x, y) : x2 + 3y 2 < 4}.
Tehtävä 6. kääntöpuolella!
6. Keksi kurssin tähänastisiin aiheisiin liittyvä hyvin muotoiltu järkevä, mahdollisesti yleisluontoinen, kysymys laskarinpitäjälle. Palauta kysymys kirjallisena laskuharjoituksissa. Kysymykset ja vastaukset niihin tulevat kurssin kotisivuille.
Tarkista että kysymystä ei ole kysytty jo edellisillä harjoituskierroksilla.
Aiemmat kysymykset ja vastaukset löydät kurssin kotisivulta:
www.jyu.fi/.../inverse/metriset-avaruudet-2015/kysymyksia-ja-vastauksia