2 מס` גיליון תרגילים - Technion moodle

‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫בודק תרגילים‪ :‬אלון מנגיסנוב‬
‫‪[email protected]‬‬
‫תאריך הגשה‪ 13.12.15 :‬עד ‪12:00‬‬
‫שימו לב !!! על כל יום איחור יופחתו ‪ 3‬נק' מציון‬
‫התרגיל‪.‬‬
‫ההגשה באיחור תעשה אך ורק ישירות לבודק‬
‫התרגילים‪.‬‬
‫גיליון תרגילים מס' ‪2‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתון אות אקראי ‪ yn‬בזמן בדיד‪ .‬נתונים מקדמי האוטוקורלציה של האות‬
‫‪r0  1, r1  0.1, r2  0, r3  0.5, r4  0.2, r5  0.6, r6  0.2, r7  0.2‬‬
‫וכן ‪. rk  0, k  7‬‬
‫משיקולי עלות ניתן לממש משערכים עבור ‪ y  n ‬רק מן הצורה‬
‫‪ , yn   1 yn  N1    2 yn  N 2   wn‬כאשר ‪ wn‬רעש לבן עם ממוצע אפס ו‪N1 , N 2 -‬‬
‫אינדקסים שלמים‪.‬‬
‫א‬
‫נניח כי ‪ N1 , N 2‬ידועים‪ .‬רשום את המשוואות שיש לפתור על מנת למצוא את הפרמטרים‬
‫‪. 1 ,  2 ,  w2‬‬
‫ב‬
‫חשב את ‪ , 1 ,  2 ,  w2‬עבור מודל אוטורגרסיבי "רגיל" ‪. N1  1, N 2  2 -‬‬
‫ג‬
‫הסבר אילו אינדקסים ‪ N1 , N 2‬תבחר על מנת לקבל שיערוך טוב ככל האפשר‪.‬‬
‫ד‬
‫חשב את ‪ , 1 ,  2 ,  w2‬עבור המודל האוטורגרסיבי עם האינדקסים שבחרת‪.‬‬
‫ה‬
‫השווה בין ווריאנס ‪  w2‬בשני המקרים‪ .‬הסבר את ההבדל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נתון כי האות האקראי ‪ x  n ‬הוא סכום של אות דיבור ‪ s  n ‬ורעש ‪( v  n ‬בלתי תלויים ביניהם)‪:‬‬
‫‪x n  s n  v n‬‬
‫נתון שערוך רקורסיבי של הספקטרום של ‪: x  n ‬‬
‫‪Q1x    I1x  ‬‬
‫‪Qmx     Qmx 1    1    I mx   m  2,3,..‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר ‪ I m  ‬היא הפריודוגרמה של המסגרת ה‪- m -‬ית‪.‬‬
‫נתון כי גודל המסגרת‪ , M ,‬מקיים‪. M  1 :‬‬
‫ניתן להניח כי הספקטרום של הרעש‪ , v  n  ,‬משתנה באיטיות ממסגרת למסגרת‪ .‬נסמן את‬
‫‪v‬‬
‫הספקטרום של ‪ v  n ‬בכל מסגרת ‪ m‬בתור ‪. Pm  ‬‬
‫על מנת לאפשר ניקוי של אות הדיבור מהרעש‪ ,‬נדרש לשערך את הספקטרום של אות הרעש ‪v  n ‬‬
‫בכל מסגרת‪ ,‬בהינתן דגימות של האות הרועש ‪( x  n ‬לא נדון כאן בתהליך הניקוי עצמו)‪.‬‬
‫נניח כי במסגרת ה‪ m -‬אין דיבור ולכן מתקיים ‪ . x  n   v  n ‬במקרה זה נרצה שהמשערך‬
‫‪x‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ Qm  ‬יהיה קרוב ככל האפשר לספקטרום הרעש האמיתי ‪. Pm   -‬‬
‫א‪ .‬בהנחה שמתקיים‪:‬‬
‫]) ( 𝑥‬
‫𝑚𝐼[𝑟𝑎𝑣‬
‫‪𝜃 = 𝑃𝑚𝑣 (𝜃 )2‬‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫] ‪𝑥 ( )2‬‬
‫𝑚𝐼[ 𝐸‬
‫𝜃‬
‫‪= 2𝑃𝑚𝑣 (𝜃 )2‬‬
‫‪2‬‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫ב‪ .‬בהינתן השערוך הקודם לאות הרועש ‪ , Qmx 1  ‬השגיאה הריבועית הממוצעת בין המשערך‬
‫‪ Qmx  ‬וספקטרום הרעש האמיתי ‪ Pmv  ‬מוגדרת על ידי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑥‬
‫) (𝑥‬
‫]) 𝜃(‬
‫𝑚𝑄([ 𝐸 = ‪𝐸𝜀 2‬‬
‫‪𝜃 − 𝑃𝑚𝑣 (𝜃 )) |𝑄𝑚−1‬‬
‫הראה כי השגיאה הריבועית הממוצעת ‪ E 2‬נתונה על ידי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1    Pmv  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E 2   2 Qmx 1    Pmv  ‬‬
‫רמז‪ :‬העזר בנוסחת הרקורסיה‪.‬‬
‫‪opt‬‬
‫ג‪ .‬במקום להשתמש במקדם ‪ ‬קבוע‪ ,‬נחפש פונקציה ‪  m  ‬שתמזער את השגיאה‬
‫הריבועית שהוגדרה לעיל‪ .‬הראה כי הפונקציה האופטימלית מקיימת‪:‬‬
‫𝑥‬
‫) 𝜃(‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑄𝑚−1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫𝛾‬
‫𝜃‬
‫=‬
‫𝑚‬
‫𝑣‬
‫‪2‬‬
‫)‪1 + (𝛾𝑚 (𝜃 ) − 1‬‬
‫) 𝜃( 𝑚𝑃‬
‫לביטוי ‪ m  ‬‬
‫𝑡𝑝𝑜‬
‫= ) 𝜃(‬
‫𝑚𝛼‬
‫מקובל לייחס משמעות של משערך מוחלק ליחס האות לרעש‪.‬‬
‫ד‪ .‬בסעיף זה נדון בערכו של המקדם האופטימלי‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ,  m‬כפונקציה של ‪.  m  ‬‬
‫‪opt‬‬
‫‪opt‬‬
‫‪ )1‬חשב את ‪  m  ‬עבור ‪   1‬ועבור ‪.   ‬‬
‫‪opt‬‬
‫‪ )2‬צייר סכמטית את ‪  m  ‬כפונקצייה של ‪  m  ‬על סמך הערכים‬
‫שחישבת‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫נתונות ‪ N‬דגימות של אות ‪ x  n ‬ממשי‪ ,‬שהוא דגם של רעש לבן גאוסי בעל ממוצע אפס ושונות ‪.  x2‬‬
‫מבקשים לשערך את צפיפות ההספק הספקטראלית (ספקטרום ההספק)‪ , Pxx   0  ,‬של האות בתדר‬
‫‪ .   0‬מוצעים לשם כך מספר משערכים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫משערך הפריודוגרמה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ x n‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. I N   0  ‬‬
‫‪N‬‬
‫(‪ )1‬מצאו את תוחלת ושונות המשערך‬
‫‪I N   0 ‬‬
‫(שימו לב להערות בסוף הסעיף)‪.‬‬
‫(‪ )2‬האם המשערך מוטה? עקבי? נמקו‪.‬‬
‫לתשומת לב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫בחישוב תכונות המשערך המנעו מלהשתמש בתוצאות מההרצאות שניתנו ללא הוכחה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫התוצאה שניתנה בהרצאה עבור ‪ , E  I n   ‬לגבי שונות הפריודוגרמה בגבול‪ ,‬כאשר‬
‫‪ , N  ‬אינה תופסת לגבי הערכים ‪.   0, ‬‬
‫‪‬‬
‫העזרו במידת הצורך בנוסחת הפירוק הבאה עבור מ"א גאוסי ממשי‪:‬‬
‫‪E x1 x2 x3 x4   E x1 x2  E x3 x4   E x1 x3 E x2 x4   E x1x4  E x2 x3 ‬‬
‫ולכן גם‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E x4  3 E x2‬‬
‫‪B1xx   0  M  1‬‬
‫‪,‬‬
‫משערך ‪ Bartlett‬עם פרמטר‬
‫‪.‬‬
‫(‪ )1‬רשמו את הביטוי למשערך זה בתלות בדגמי האות הנתונים‪.‬‬
‫(‪ )2‬חזרו על תת‪-‬סעיפים א‪ 1.‬ו‪-‬א‪ 2.‬עבור המשערך הנדון‪ .‬שימו לב להערות שנתנו בסעיף א'‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫משערך שנסמנו על ידי‬
‫‪I  , N   0 ‬‬
‫הנתון ע"י‪:‬‬
‫‪I  , N   0    I N   0 ‬‬
‫כאשר ‪ ‬קבוע ממשי‪.‬‬
‫(‪ )1‬מצאו את הערך של הקבוע ‪ ‬אשר מביא למינימום את השגיאה הריבועית הממוצעת‬
‫(‪:)MSE‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪MSE  E  I  , N   0    x2 ‬‬
‫(‪ )2‬חשבו את ה‪ MSE-‬המתקבל עבור ה‪  -‬האופטימלי והשוו לערכי ה‪ MSE-‬המתקבלים‬
‫עבור ‪   1‬ו‪.   0 -‬‬
‫‪4‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫תרגיל מחשב ‪ -‬הנחיות כלליות‪:‬‬
‫א‪ .‬התרגילים יבוצעו בעזרת תוכנת ‪ ,Matlab‬לרוב בעזרת סימולינק‪.‬‬
‫א‪ .‬יש להצדיק כל נוסחה וכל חישוב נומרי שנעשה‪ .‬הסבירו את שיקולכם בכל שלב ושלב‪.‬‬
‫ב‪ .‬יש לצרף הדפסה של תוכניות ה‪ ,Matlab-‬קבצי הסימולינק וגרפים של האותות בשלבי‬
‫החישוב השונים‪ .‬העזרו בפקודת ‪ subplot‬לצורך הצגת מספר גרפים באותו עמוד‪.‬‬
‫ג‪ .‬הימנעו מהצגת טבלאות מספריות ארוכות‪ .‬העזרו בגרפים לצורך הצגת נתונים מספרים‬
‫מרובים‪.‬‬
‫ד‪ .‬הסימן ‪ ‬מסמל שאלה עיונית אותה יש לפתור בעזרת נייר ועיפרון‪ .‬גרפים הנדרשים‬
‫בסעיפים אילו ניתן לשרטט בעזרת המחשב‪ .‬הסימן ‪ ‬מסמל סעיף אותו יש להריץ במחשב‪.‬‬
‫ה‪ .‬כל החישובים הנומריים ב‪ Matlab-‬מבוצעים ב‪( Double Precision-‬אורך מילה ‪ 64‬סיביות)‪.‬‬
‫הניחו כי ניתן להזניח את שגיאת הכימות בייצוג זה‪.‬‬
‫ו‪ .‬הקפידו לתכנת בצורה בהירה ומובנת‪ .‬תעדו בצורה נרחבת את הקוד אותו אתם כותבים‪.‬‬
‫המנעו מטכניקות תכנות שאינן בהירות וקריאות‪ .‬מטרת התרגיל להתנסות בבעיות על עיבוד‬
‫ספרתי ולא ללמד או לבחון בנושאי תכנות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫שאלה ‪ – 3‬שאלת מחשב‬
‫בשאלה זו נשווה בין ביצועי שערוך לא פרמטרי של ספקטרום ההספק לבין שערוך פרמטרי של‬
‫ספקטרום ההספק בעזרת מודל ‪.AR‬‬
‫מודל פרמטרי נפוץ למספר מערכות בתחום עיבוד אותות הוא מודל אוטו‪-‬רגרסיבי (‪Auto-‬‬
‫‪ .)Regressive‬תהליך ‪ AR‬מסדר ‪ p‬מתואר על ידי משוואת ההפרשים‬
‫‪p‬‬
‫‪, y  n    ai y  n  i   w  n ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כאשר ‪ w n‬הוא רעש לבן גאוסי בעל תוחלת אפס ושונות ‪.  w2‬‬
‫ניתן לתאר תהליך ‪ AR‬מסדר ‪ p‬כמעבר רעש לבן גאוסי ‪ w n‬דרך מסנן בעל פונקצית התמסורת‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1   ai z i‬‬
‫‪ , H  z  ‬כמתואר באיור ‪.1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪w  n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1   ai z i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫איור ‪ .1‬קבלת תהליך ‪ AR‬מסדר ‪ p‬כמעבר של רעש לבן במסנן‪.‬‬
‫הביטוי לספקטרום ההספק של מוצא המערכת‪ ,‬דהיינו לספקטרום ההספק של תהליך ה‪y  n  AR-‬‬
‫‪ ,‬בעל הפרמטרים ‪ , a   a1 ,..., a p ‬הינו‬
‫‪T‬‬
‫‪ w2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ jn‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1   an e‬‬
‫‪. S yy  e j  ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ ‬א‪ .‬יהי ‪ H1  z ‬תמסורת מסנן רציונאלית שקטביו‬
‫‪. z p  -0.5  0.52i, - 0.5- 0.52i, 0.55  0.52i, 0.55- 0.52i‬‬
‫למסנן אין אפסים שאינם בראשית‪ .‬בנוסף‪ ,‬ההגבר שלו הינו ‪ ,1‬דהיינו הן המונה והן המכנה‬
‫שלו הינם פולינומים מוניים (המקדם של האיבר בעל החזקה הגדולה ביותר הינו ‪.)1‬‬
‫ציירו את מפת הקטבים של המסנן‪ .‬מצאו את מקדמי המסנן ‪ . a‬ציירו‪ ,‬בסקלה לוגריתמית‬
‫(‪ ,)dB‬את ספקטרום ההספק התיאורטי ‪ S y1 y1  e j ‬של מוצא המסנן כאשר הוא מוזן ברעש‬
‫לבן גאוסי בעל ממוצע אפס ושונות יחידה‪ .‬אין צורך לכלול גרפים אלו בפתרון בשלב זה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬פונקציות ‪ MATLAB‬שעשויות להיות שימושיות לפתרון סעיף זה הינן‪:‬‬
‫‪. zpk, tf, lsim ,pzmap‬‬
‫‪6‬‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫צרו ‪ 10,000‬דגימות מהאות ‪ , y1  n‬שהוא מוצא המערכת ‪ H1  z ‬המוזנת ברעש לבן גאוסי‬
‫בעל ממוצע אפס ושונות יחידה‪.‬‬
‫‪ ‬ב‪ .‬בסעיף זה נבצע שערוך פרמטרי של ספקטרום ההספק של האות ‪. y1  n‬‬
‫(‪ )1‬בצעו שערוך של פרמטרי מודל ‪ AR‬מסדר ‪ , p  4‬כפי שהוסבר בהרצאה‪ .‬למציאת‬
‫המקדמים ‪ a‬ניתן לבצע היפוך מטריצה או להשתמש בפונקציה ‪ ,levinson‬שמשתמשת‬
‫באלגוריתם ‪ .Levinson-Durbin‬לצורך השערוך‪ ,‬בחרו מסגרת באורך ‪ N  512‬דגימות‬
‫מתוך האות ‪( y1  n‬ראו הערה)‪.‬‬
‫הציגו‪ ,‬באותה מערכת צירים‪ ,‬את מפות הקטבים של המסנן המשוערך ושל המסנן המקורי‪.‬‬
‫הציגו את מקדמי המסנן המתקבל והשוו אותם למקדמי המסנן המקורי‪ .‬הציגו‪ ,‬באותה‬
‫מערכת צירים‪ ,‬את ספקטרום ההספק המתקבל מתוך השערוך ‪ Sˆ  e j ‬ואת ספקטרום‬
‫‪y1 y1‬‬
‫ההספק התיאורטי ‪. S y1 y1  e j ‬‬
‫(‪ )2‬נבחר מדד מספרי לטיב השערוך‪ ,‬עם מאפיינים ‪ N‬ו־ ‪ , p‬של ספקטרום ההספק של האות‬
‫‪ y  n ‬להיות‬
‫‪dB‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪EN , p  y   S y1 y1  Sˆ y1 y1   10 log10 S y1 y1  e j   10 log10 Sˆ y1 y1  e j  d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫דהיינו הממוצע בתדר של ערכו המוחלט של ההפרש בין הספקטרום המשוערך לספקטרום‬
‫התיאורטי‪ ,‬כאשר שניהם בסקלה לוגריתמית (‪ .)dB‬מדד טיב זה נקרא ‪Log-Spectral‬‬
‫‪ ,Distance‬או לעיתים ‪ ,Log-Spectral Distortion‬בנורמה‪ .1-‬חשבו וציינו ערך מדד זה‬
‫עבור השערוך הנ"ל של ספקטרום ההספק של האות ‪ . y1  n‬את ערך האינטגרל יש לקרב‬
‫על ידי לקיחת סכום‪ ,‬עם ‪ 1,000‬נקודות‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬מומלץ מאד לכתוב פונקציה המבצעת את השערוך הנדרש ואת החישובים הנלווים‬
‫ומציגה‪ ,‬על פי דרישה בלבד‪ ,‬את הגרפים המדוברים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כיוון שתנאי ההתחלה עבור המסנן בסימולציה הינם כלשהם (לדוגמא‪ ,‬אפס)‪,‬‬
‫הדגימות הראשונות המתקבלות במוצא המערכת אינן סטציונריות‪ ,‬וזאת עקב תגובת המעבר‬
‫של המסנן‪ .‬על כן‪ ,‬אין לעשות שימוש בדגימות הראשונות לצורך שערוך הספקטרום‪ ,‬אלא‬
‫לאחר השהייה מתאימה‪ .‬הניחו כי משך תגובת המעבר של המסנן הינו ‪ 1,000‬דגימות לכל‬
‫היותר‪.‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ ‬ג‪ .‬ברור כי למסנן ‪ H 2  z   H1  z   bi z  i‬אותם קטבים כמו למסנן ‪ . H1  z ‬בנוסף‪ ,‬נתון כי‬
‫‪i 0‬‬
‫למסנן אפס יחיד (שאינו בראשית) ‪ z0  0.85‬וכן כי ההגבר שלו‪ ,‬כפי שמוגדר בסעיף א'‪ ,‬הינו‬
‫‪.1‬‬
‫ציירו את מפת הקטבים והאפסים של המסנן‪ .‬מצאו את מקדמי המונה ‪. b   b1 ,..., bq ‬‬
‫‪T‬‬
‫ציירו‪ ,‬בסקלה לוגריתמית (‪ ,)dB‬את ספקטרום ההספק התיאורטי ‪ S y2 y2  e j ‬של מוצא‬
‫‪7‬‬
‫הטכניון ‪ -‬מכון טכנולוגי לישראל‬
‫עיבוד ספרתי של אותות ‪046745‬‬
‫הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫המסנן כאשר הוא מוזן ברעש לבן גאוסי בעל ממוצע אפס ושונות יחידה‪ .‬אין צורך לכלול‬
‫גרפים אלו בפתרון בשלב זה‪.‬‬
‫צרו ‪ 10,000‬דגימות מהאות ‪ , y2  n‬שהוא מוצא המערכת ‪ H 2  z ‬המוזנת ברעש לבן גאוסי‬
‫בעל ממוצע אפס ושונות יחידה‪.‬‬
‫‪ ‬ד‪ .‬חזרו על סעיף ב'‪ ,‬כאשר האות ‪ y2  n‬מחליף את האות ‪ . y1  n‬הסבירו את ההבדל בתוצאות‪.‬‬
‫‪ ‬ה‪ .‬חזרו על סעיף ב'‪ ,‬כאשר האות ‪ y2  n‬מחליף את האות ‪ y1  n‬וכן סדר המודל הוא ‪p  12‬‬
‫‪ .‬הסבירו את ההבדל בתוצאות לעומת סעיפים ב' ו־ד'‪ .‬אין צורך להציג ולהתייחס לערכים‬
‫המספריים של מקדמי המסנן המתקבלים‪.‬‬
‫‪ ‬ו‪ .‬נבצע שיערוך פרמטרי המבוסס על מספר רב יותר של דגימות‪.‬‬
‫(‪ )1‬חשבו את ‪ , E4096, p  y2 ‬המדד המספרי לטיב שערוך ספקטרום ההספק של האות ‪y2  n‬‬
‫עם אורך מסגרת ‪ N  4096‬וסדרי מודל זוגיים ‪ p‬בתחום ‪ .  4, 60‬הציגו את התוצאות‬
‫בגרף‪ ,‬וציינו עליו את הנקודה בה מדד הטיב מקבל ערך מינימלי וכן את הנקודה‬
‫‪  p, E   12, E512,12  y2  ‬המתאימה לשערוך שבוצע בסעיף ה'‪.‬‬
‫(‪ )2‬חזרו על סעיף ב'‪ ,‬כאשר האות ‪ y2  n‬מחליף את האות ‪ , y1  n‬אורך המסגרת הינו‬
‫‪ N  4096‬וסדר המודל הוא זה עבורו התקבל מדד טיב מינימלי‪ .‬אין צורך להציג‬
‫והתייחס לערכים המספריים של מקדמי המסנן המתקבלים‪.‬‬
‫הסבירו את התוצאות‪ .‬כיצד אתם מצפים שישתנה סדר המודל עבורו מתקבל מדד טיב‬
‫מינימלי אם יוגדל אורך המסגרת ‪ ? N‬כיצד ישתנה מדד הטיב?‬
‫‪ ‬ז‪ .‬בסעיף זה נבצע שערוך לא פרמטרי של ספקטרום ההספק של האות ‪. y2  n‬‬
‫נסמן ‪ N‬להיות מספר הדגמים הכולל לצורך השערוך‪ ,‬ונסמן ‪ L‬להיות מספר הדגמים בכל‬
‫מסגרת שערוך‪ .‬השתמשו באלגוריתם של ‪( Welch‬הממומש בפונקציה ‪ )pwelch‬לצורך‬
‫שערוך ספקטרום ההספק‪ .‬חקרו את השפעתם של המאפיינים הבאים‪:‬‬
‫‪ .a‬סוג החלון (מלבני לעומת ‪.)Hamming‬‬
‫‪ .b‬אורך המסגרת ( ‪ L  256‬לעומת ‪.) L  64‬‬
‫‪ .c‬גודל החפיפה בין המסגרות (ללא חפיפה לעומת חפיפה של ‪.)50%‬‬
‫‪ .d‬מספר הדגימות הכולל לצורך השערוך ( ‪ N  512‬לעומת ‪.) N  4096‬‬
‫(‪ )1‬השוו את התוצאות הנ"ל לספקטרום ההספק התיאורטי ולתוצאות השערוך הפרמטרי‪.‬‬
‫הציגו‪ ,‬לכל הפחות‪ ,‬את הגרפים הדרושים כדי לתמוך בטענותיכם‪ .‬הקפידו להציג באותה‬
‫מערכת צירים הן את הספקטרום המשוערך והן את הספקטרום התיאורטי‪ .‬לצורך כך‪,‬‬
‫הקפידו שהסקאלה בציר ההספק תהה זהה‪.‬‬
‫(‪ )2‬חשבו את ערך מדד הטיב עבור השערוך הלא פרמטרי עם המאפיינים שלדעתכם מיטביים‪.‬‬
‫השווהו לערך מדד הטיב הנמוך ביותר שהתקבל עבור השערוך הפרמטרי‪.‬‬
‫‪8‬‬