VÄND !

Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Matematik och tillämpad matematik
Kurskod: TATA24
Provkod: TEN1
Tentamen i TATA24 Linjär Algebra
20AB-CD-EF kl XY.00(XY+5).00
Inga hjälpmedel. Ej räknedosa.
På uppgift 16 ska endast svar ges, och dessa kan lämnas på ett gemensamt papper.
Varje
rätt svar ger 1 poäng, fel svar 0 poäng.
Uppgift 711 ger maximalt 3 poäng per uppgift; fullständiga och välmotiverade lösningar krävs.
För betyg 3,4 respektive 5 räcker totalt 8, 12 respektive 16 poäng på skrivningen samt minst 2,3
respektive 4 uppgifter som bedömts med minst 2 poäng per uppgift.
Godkänd kontrollskrivning ht20XX ger 3 poäng på uppgift 13 (som alltså inte behöver lösas).
Markera detta genom att skriva G i rutorna för uppgifterna 1-3.
Lösningsskiss nns efter skrivningstidens slut på kursens hemsida.
Nedan ges
Rn alltid standardskalärprodukten, och standardbasen ses som ett höger ON-
system när lämpligt.
1. Ange, på parameterform, lösningsmängden till ekvationen x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 2 − 4x5 .
2. Bestäm en ekvation för planet genom punkterna (1, −1, 2), (2, −1, 0) och (0, −2, 1).
3. Låt u = (4, 5, 6) och a = (1, 2, 3). Bestäm proja u och kproja uk.


1 2 0
4. Beräkna determinanten av 2 0 2 .
0 2 −1
5. Bestäm en ON-bas till det rum som spänns upp av (1, 2, 3, 0) och (1, 1, 4, 1) i R4 .
6. Avgör om vektorn (2, 2,
till den linjära avbildning på R3 som i stan1) är en egenvektor

1 2 0

dardbasen har matris 2 0 2 , och bestäm i så fall motsvarande egenvärde.
0 2 −1
7. Lös matrisekvationen AX + X = At X + B (med avseende på X ) där


1 2 1
A = 2 1 1 ,
0 2 3


2 0
B = 0 1  .
1 1
8. Låt V vara ett vektorrum, och låt F : V → V vara en linjär avbildning.
(a) Antag att v 1 , v 2 är två (nollskilda) egenvektorer till F svarande mot olika egenvärden.
Visa att {v 1 , v 2 } är linjärt oberoende.
(1p)
(b) Antag att λ är ett reellt tal. Visa att mängden {v ∈ V : F (v) = λv} är ett delrum
(underrum) till V.
(2p)
VÄND !
9. Låt


a 2 1
A = −1 0 a
1 1 2
vara matris till den linjära avbildningen F : R3 → R3 i standardbasen.
(a) Bestäm en bas till nollrummet N (F ) till F för varje värde på a.
(2p)
(b) Avgör för vilka värden på a som dim(N (F ) ∩ V (F )) = 1, där V (F ) betecknar
värderummet till F .
(1p)
10. Låt W = [(1, 1, 1, −2), (2, 2, 1, −1), (1, 1, −1, 4)] ⊂ R4 och P = (0, 2, 2, −5) ∈ R4 .
(a) Bestäm en ON-bas till W.
(b) Ange den närmsta punkten i W till P , samt ange (det kortaste) avståndet
mellan P och W.
11. Lös systemet av dierentialekvationer:
 0
 x1 (t) = −x1 (t) + 2x2 (t) + 2x3 (t)
x0 (t) = −2x1 (t) + 3x2 (t) + 2x3 (t)
 02
x3 (t) = −2x1 (t) + 2x2 (t) + 3x3 (t)
LYCKA TILL!

 x1 (0) = 1
x2 (0) = 2

x3 (0) = 0.
(1p)
(2p)