baser

Transcription

baser
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE BASER I Rn
INLEDNING ( repetition om Rn )
Låt ๐‘น๐‘น๐’๐’ vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
๐‘น๐‘น๐’๐’ = {(๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 , โ€ฆ . , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ) ๐‘‘๐‘‘ä๐‘Ÿ๐‘Ÿ ๐‘Ž๐‘Ž1 , โ€ฆ . , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› โˆˆ ๐‘น๐‘น}
Två vektorer ๐‘ข๐‘ข
๏ฟฝโƒ— = (๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 , โ€ฆ , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ) ๐‘œ๐‘œ๐‘œ๐‘œโ„Ž ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ— = (๐‘๐‘1 , ๐‘๐‘2 , โ€ฆ , ๐‘๐‘๐‘›๐‘› ) är lika
๏ฟฝโƒ— = ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ— om och endast om
๐‘Ž๐‘Ž1 = ๐‘๐‘1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 = ๐‘๐‘2 , โ€ฆ
๐‘œ๐‘œ๐‘œ๐‘œโ„Ž ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› = ๐‘๐‘๐‘›๐‘›
๐‘ข๐‘ข
Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) ๐€๐€ enligt nedan
(๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 , โ€ฆ . , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ) + (๐‘๐‘1 , ๐‘๐‘2 , โ€ฆ . , ๐‘๐‘๐‘›๐‘› ) = (๐‘Ž๐‘Ž1 + ๐‘๐‘1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 + ๐‘๐‘2 , โ€ฆ . , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› + ๐‘๐‘๐‘›๐‘› )
๐œ†๐œ†(๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 , โ€ฆ . , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ) = (๐œ†๐œ†๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐œ†๐œ†๐œ†๐œ†2 , โ€ฆ . , ๐œ†๐œ†๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› )
Nollvektorn i rummet ๐‘น๐‘น๐’๐’ är (0,0, โ€ฆ . ,0).
๏ฟฝโƒ— = (๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 , โ€ฆ , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ) ๐‘œ๐‘œ๐‘œ๐‘œโ„Ž ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ— = (๐‘๐‘1 , ๐‘๐‘2 , โ€ฆ , ๐‘๐‘๐‘›๐‘› )
๐‘ข๐‘ข
๏ฒ
Längden av en vektor ๐‘ข๐‘ข
๏ฟฝโƒ— = (๐‘Ž๐‘Ž1 , ๐‘Ž๐‘Ž2 , โ€ฆ , ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ) betecknas || u || eller |๐‘ข๐‘ข
๏ฟฝโƒ—| och definieras med
๏ฟฝโƒ—|| = ๏ฟฝ(๐‘Ž๐‘Ž1 )2 + (๐‘Ž๐‘Ž2 )2 + โ‹ฏ + (๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› )2
||๐‘ข๐‘ข
Skalärprodukt ( dot product) definieras på följande sätt:
๏ฟฝโƒ— โˆ™ ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ— = ๐‘Ž๐‘Ž1 ๐‘๐‘1 + ๐‘Ž๐‘Ž2 ๐‘๐‘2 + โ‹ฏ ๐‘Ž๐‘Ž๐‘›๐‘› ๐‘๐‘๐‘›๐‘›
๐‘ข๐‘ข
๏ฒ
Därmed: || u || =
๏ฒ ๏ฒ
u โ‹…u
Anmärkning 1: ( Standard) Vektorprodukt definieras endast för 3-dimensionella vektorer
Anmärkning 2: Rummet Rn där skalärprodukten och normen är definierade på ovanstående sätt kallas
även ett euklidiskt rum.
Definition 1. ( Ortogonala vektorer i Rn )
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
Vi säger att två vektorer u , v är ortogonala om deras skalärprodukt är 0 dvs om u โ‹… v = 0
Definition 2. (Ortogonal mängd)
๏ฟฝโƒ—๐Ÿ๐Ÿ , โ€ฆ , ๏ฟฝ๐’—๐’—โƒ—๐’๐’ } är
Om vektorerna ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 โ€ฆ ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› är parvis ortogonala då säger vi att mängden {๐’—๐’—
ortogonal.
Uppgift1. Vi betraktar rummet R3
๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ
Bestäm om mängden { u , v , w }är ortogonal då
๏ฃฎ โˆ’ 2๏ฃน
๏ฃฎ0 ๏ฃน
๏ฃฎ1 ๏ฃน
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ ๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
a) u = 2 , v = ๏ฃฏ 1 ๏ฃบ , w = ๏ฃฏ0๏ฃบ
๏ฃฏ ๏ฃบ
๏ฃฏ๏ฃฐ 0 ๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฏ๏ฃฐ5๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฏ๏ฃฐ0๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฎ โˆ’ 2๏ฃน
๏ฃฎ0 ๏ฃน
๏ฃฎ1 ๏ฃน
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ ๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
b) u = 2 , v = ๏ฃฏ 1 ๏ฃบ , w = ๏ฃฏ1๏ฃบ
๏ฃฏ ๏ฃบ
๏ฃฏ๏ฃฐ5๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฏ๏ฃฐ0๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฐ๏ฃฏ 0 ๏ฃบ๏ฃป
Svar a) Ja
b) Nej
๏ฒ
Några viktiga egenskaper för längden ( eller normen ) av en vektor u som vi här
๏ฒ
betecknar || u || :
Sida 1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
๏ฒ
๏ฒ
|| u ||= 0 โ‡” u = 0
๏ฒ
๏ฒ
|| ฮปu ||=| ฮป | โ‹… || u ||
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
|| u + v || โ‰ค || u || + || v || ( Triangelolikheten)
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
| u โ‹… v | โ‰ค || u || โ‹… || v || ( Cauchy-Schwarz olikhet)
๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
|| u || = u โ‹… u
Definition 3. Ortonormerad (eller ortonormal) mängd)
Om vektorerna ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› är parvis ortogonala och ||๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘˜๐‘˜ || = 1 , för varje k=1,2,โ€ฆn, då
๏ฟฝโƒ—๐Ÿ๐Ÿ โ€ฆ ๐’—๐’—
๏ฟฝโƒ—๐’๐’ } är ortonormerad.
säger vi att mängden {๐’—๐’—
Alltså en ortonormerad mängd består av parvis ortogonala enhets vektorer.
Anmärkning: Från en ortogonal mängd { ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› } får vi en ortonormerad mängd
genom att dela varje vektor ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘˜๐‘˜ med dess norm ( vi " normerar" vektorerna ).
Exempel . Vektorerna ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 = (1,2,1) och ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—2 = (โˆ’2,1,0) är ortogonala med avseende på
standard skalär produkt i ๐‘…๐‘… 3 eftersom (๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 , ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—2 ) = ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 โˆ™ ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—2 = 0.
Vi får ortonormerade vektorer genom att dela varje vektor med dess norm:
1
1
๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 =
(1,2,1)
||๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 ||
โˆš6
1
1
๐‘“๐‘“โƒ—2 =
๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—2 =
(โˆ’2,1,0)
||๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—2 ||
โˆš5
๐‘“๐‘“โƒ—1 =
Uppgift2.
Nedanstående vektorer är parvis ortogonala.
๏ฃฎ โˆ’ 2๏ฃน
๏ฃฎ0 ๏ฃน
๏ฃฎ1 ๏ฃน
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ ๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
u = ๏ฃฏ 2 ๏ฃบ , v = ๏ฃฏ 1 ๏ฃบ , w = ๏ฃฏ0 ๏ฃบ
๏ฃฏ๏ฃฐ 0 ๏ฃป๏ฃบ
๏ฃฏ๏ฃฐ5๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฏ๏ฃฐ0๏ฃบ๏ฃป
๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ
Bestäm en ortonormerad mäng genom att " normera " vektorerna u , v , w .
Lösning:
๏ฃฎโˆ’ 2 / 5 ๏ฃน
๏ฃฎ1 ๏ฃน ๏ฃฎ1 / 5 ๏ฃน
๏ฃบ
๏ฒ ๏ฃฏ
๏ฃบ
๏ฒ
1 ๏ฒ
1 ๏ฃฏ ๏ฃบ ๏ฃฏ
u1 = ๏ฒ u =
2๏ฃบ = ๏ฃฏ2 / 5 ๏ฃบ , på samma sätt v1 = ๏ฃฏ 1 / 5 ๏ฃบ och
๏ฃฏ
|| u ||
5
๏ฃฏ 0 ๏ฃบ
๏ฃฏ๏ฃฐ0๏ฃบ๏ฃป ๏ฃฏ 0 ๏ฃบ
๏ฃฐ
๏ฃป
๏ฃป
๏ฃฐ
๏ฃฎ0 ๏ฃน
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
w1 = ๏ฃฏ0๏ฃบ .
๏ฃฏ๏ฃฐ1๏ฃบ๏ฃป
Uppgift 3. Vi betraktar planet x + y โˆ’ 2 z = 0 . Bestäm två vektorer som är parallella
๏ฒ
med planet som tillsammans med planets normalvektor N = (1, 1, โˆ’ 2) bildar en
a) ortogonal mängd
b) ortonormerad mängd
Sida 2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
Lösning:
Vi tar två punkter i planet t ex O(0,0,0) och A(1,1,1).
๏ฒ
๏ฒ โ†’
Vektor u = OA =(1, 1, 1)är då ortogonal mot N .
๏ฒ โ†’ ๏ฒ
För tredje vektorn kan vi ta vektorprodukten v = OA× N = (โˆ’3, 3, 0)
๏ฒ
๏ฒ
Vektorn v är parallell med planet eftersom den är vinkelrät mot N .
Sats 1. (En viktig sats om ortogonala vektorer)
Om vektorerna ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 โ€ฆ ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› är parvis ortogonala och skilda från nollvektorn då är de linjärt
oberoende.
Bevis.
Antag att
๐‘๐‘1 ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 + ๐‘๐‘2 ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—2 + โ‹ฏ + ๐‘๐‘๐‘›๐‘› ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› = ๏ฟฝ0โƒ— (โˆ—)
Vi ska visa att detta implicerar ๐‘๐‘๐‘˜๐‘˜ = 0 för varje k=1,2,โ€ฆn.
Om vi โ€multiplicerar โ€ (*) med ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘˜๐‘˜ får vi
๏ฟฝโƒ— (โˆ—โˆ—)
๐‘๐‘๐‘˜๐‘˜ (๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘˜๐‘˜ โˆ™ ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘˜๐‘˜ ) = 0
Alla andra termer försvinner eftersom ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘–๐‘– โˆ™ ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘—๐‘— = 0 , ๐‘“๐‘“ö๐‘Ÿ๐‘Ÿ ๐‘–๐‘– โ‰  ๐‘—๐‘— (ortogonala vektorer).
Från (โˆ—โˆ—), eftersom ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘˜๐‘˜ โ‰  ๏ฟฝ0โƒ— , får vi ๐‘๐‘๐‘˜๐‘˜ = 0 .
Detta betyder att ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› är linjärt oberoende V.S.B.
------------------------------------
Påföljden av föregående satsen är att n stycken ortogonala vektorer i Rn
bildar en bas i vektorrummet Rn .
n
Därmed gäller samma för n stycken ortonormerade vektorer i R :
n stycken enhetsvektorer i Rn som är parvis ortogonala bildar en bas i
vektorrummet Rn som kallas ortonormerad bas.
ORTONORMERAD BAS
Definition 4. Ortonormerad (eller ortonormal) bas
En bas (๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› ) i Rn som består av parvis ortogonala enhetsvektorer kallas för
ortonormerad bas.
KOORDINATER I EN ORTONORMERAD BAS
Uppgift 4. Låt (๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1 , โ€ฆ , ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—๐‘›๐‘› ) vara en ortonormerad bas i Rn och
๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
x = x1v1 + x2 v2 + ๏Œ + xn vn
en vektorer i Rn då gäller
Sida 3 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ
x = ( x โ‹… v1 )v1 + ( x โ‹… v2 )v2 + ๏Œ + ( x โ‹… vn )vn
Med andra ord koordinater kan beräknas som skalärprodukter:
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
x1 = ( x โ‹… v1 ), x2 = ( x โ‹… v2 ),๏Œ, xn = ( x โ‹… vn )
Bevis:
Vi startar med relationen
๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
x = x1v1 + x2 v2 + ๏Œ + xn vn
och multiplicerar båda leden med ๐‘ฃ๐‘ฃโƒ—1:
Vi får
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
x โ‹… v1 = x1 (v1 โ‹… v1 ) + x2 (v2 โ‹… v1 ) + ๏Œ + xn (vn โ‹… v1 )
För ortonormerade basvektorer gäller
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
v1 โ‹… v1 = 1 och v 2 โ‹… v1 = 0, ๏Œ , v n โ‹… v1 = 0
och därför
๏ฒ ๏ฒ
x โ‹… v1 = x1 โ‹…1
På samma sätt visar vi att
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ ๏ฒ
x2 = ( x โ‹… v2 ),๏Œ, xn = ( x โ‹… vn )
.
Exempel
๏ฃฎ0 ๏ฃน
๏ฃฎโˆ’ 3 / 5๏ฃน
๏ฃฎ4 / 5๏ฃน
๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ ๏ฃฏ
Vektorerna v1 = 0 ๏ฃบ , v 2 = ๏ฃฏ๏ฃฏ1๏ฃบ๏ฃบ , v 3 = ๏ฃฏ๏ฃฏ 0 ๏ฃบ๏ฃบ
๏ฃฏ
๏ฃบ
๏ฃฏ๏ฃฐ0๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฏ๏ฃฐ 4 / 5 ๏ฃบ๏ฃป
๏ฃฏ๏ฃฐ3 / 5 ๏ฃบ๏ฃป
bildar en ortonormerad bas i R3. Bestäm koordinater för vektorn
๏ฃฎ 2๏ฃน
๏ฒ ๏ฃฏ ๏ฃบ
๏ฒ ๏ฒ ๏ฒ
x = ๏ฃฏ1 ๏ฃบ i basen ( v1 , v2 , v3 ) .
๏ฃฏ๏ฃฐ0๏ฃบ๏ฃป
Lösning:
๏ฒ ๏ฒ
x1 = ( x โ‹… v1 ) = 8 / 5,
๏ฒ ๏ฒ
x2 = ( x โ‹… v2 ) = 1,
๏ฒ ๏ฒ
x3 = ( x โ‹… v3 ) = โˆ’6 / 5
๏ฒ
๏ฒ ๏ถ ๏ฒ
๏ถ
Uppgift 5. " Pytagoras sats" i Rn . Låt a och b vara två vektorer i Rn och c = a + b .
Bevisa att
Sida 4 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
๏ฒ 2
๏ฒ 2 ๏ถ 2
|| c || =|| a || + || b || om och endast om
๏ฒ
๏ถ
a och b är ortogonala vektorer "
Pytagoras sats" .
Uppgift 6. Bevisa att || ๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘๐‘Š๐‘Š (๐‘ฃ๐‘ฃโƒ— ) || โ‰ค ||๐‘ฃ๐‘ฃโƒ— ||
๏ฒ
๏ฒ
om och endast om a och b är ortogonala vektorer.
Tips. Använd "Pytagoras sats"
Uppgift 8. Bevisa Cauchy โ€“ Schwarz olikheten
๏ฒ
๏ถ
Om a och b vara två vektorer i Rn då gäller
๏ฒ
๏ถ ๏ฒ
๏ถ
| a โ‹… b | โ‰ค || a || โ‹… || b ||
Tips. Använd föregående uppgift.
Uppgift 9. Använd Cauchy โ€“ Schwarz olikheten för att bevisa triangelolikheten
๏ฒ ๏ฒ
๏ฒ
๏ฒ
|| u + v || โ‰ค || u || + || v ||
Anmärkning: Bevis för upp 6,7, 8 och 9 finns i kursboken.
Definition 5. Vinkeln mellan två vektorer i Rn
๏ฒ ๏ฒ
๏ถ ๏ฒ
Låt a โ‰  0 och b โ‰  0 vara två icke-nollvektorer i Rn .
Vinkeln ฮธ mellan vektorerna definieras med
๏ฒ ๏ฒ
a โ‹…b
ฮธ = arccos ๏ฒ
๏ฒ
|| a || โ‹… || b ||
๏ฒ ๏ฒ
a โ‹…b
( ekvivalent med cos(ฮธ ) = ๏ฒ
๏ฒ , där 0 โ‰ค ฮธ โ‰ค ฯ€
|| a || โ‹… || b ||
)
๏ฒ ๏ฒ
a โ‹…b
Anmärkning: Enligt Cauchy-Schwarz olikheten är | ๏ฒ
๏ฒ |โ‰ค 1 och därför finns ฮธ så
|| a || โ‹… || b ||
๏ฒ ๏ฒ
a โ‹…b
att cos(ฮธ ) = ๏ฒ
๏ฒ , med andra ord; vinkeln är definierad på ett korrekt sått.
|| a || โ‹… || b ||
Sida 5 av 5