TAOP88 Optimering

Transcription

TAOP88 Optimering

LP-dualitet: Exempel
Primal:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera vinsten,
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera vinsten, utan att använda för mycket råvaror.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
Kaj Holmberg (LiU)
vinsten, utan att använda för mycket råvaror.
+ 3x2
+ 3x2 ≤ 30
(1)
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
x2 ≥ 0
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
Kaj Holmberg (LiU)
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
Dualvariabel: yi pris på råvara i.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
LP-dual:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
LP-dual: Minimera kostnaden för råvarorna.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
LP-dual: Minimera kostnaden för råvarorna. Balansera kostnad mot intäkt.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1)
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2)
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Komplementaritetsvillkoren:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Priset är noll om råvaran inte används fullt ut.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
Primal: Maximera
max z = 4x1
då
2x1
x1
6x1
x1 ,
+ 3x2
(y1 )
+ 3x2 ≤ 30
(1)
(y2 )
≤ 6
(2)
+ 4x2 ≤ 50
(3)
(y3 )
x2 ≥ 0
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Priset är noll om råvaran inte används fullt ut.
Produkten görs ej om kostnaden blir högre än intäkten.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
1 / 32
LP-dualitet: Generellt
Primal:
max z =
då
n
X
j=1
n
X
cj xj
aij xj ≤ bi
i = 1, . . . , m
j=1
xj ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
j = 1, . . . , n
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
2 / 32
Primal:
max z =
då
n
X
j=1
n
X
cj xj
aij xj ≤ bi
i = 1, . . . , m
j=1
xj ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
max z = c T x
då
Ax ≤ b
x ≥0
j = 1, . . . , n
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
2 / 32
Primal:
max z =
då
n
X
j=1
n
X
cj xj
aij xj ≤ bi
i = 1, . . . , m
j=1
xj ≥ 0
max z = c T x
då
Ax ≤ b
x ≥0
j = 1, . . . , n
Dual:
min v =
m
X
bi yi
i=1
då
m
X
aij yi ≥ cj
j = 1, . . . , n
i=1
yi ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
i = 1, . . . , m
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
2 / 32
Primal:
max z =
då
n
X
j=1
n
X
cj xj
aij xj ≤ bi
i = 1, . . . , m
j=1
xj ≥ 0
max z = c T x
då
Ax ≤ b
x ≥0
j = 1, . . . , n
Dual:
min v =
då
m
X
i=1
m
X
bi yi
aij yi ≥ cj
j = 1, . . . , n
min v = bT y
då
AT y ≥ c
y ≥0
i=1
yi ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
i = 1, . . . , m
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
2 / 32
LP-dualitet: Relationer
Exakt vilka relationer har primal och dual?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
Om x är tillåten i primalen och y är tillåten i dualen så c T x ≤ bT y .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
(bevis)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
(bevis) (rita)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
(bevis) (rita)
Följdsats
Om x̄ är tillåten i primalen, ȳ är tillåten i dualen och c T x̄ = bT ȳ så är x̄
optimal i primalen och ȳ optimal i dualen.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
(bevis) (rita)
Följdsats
(se figur)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
(bevis) (rita)
Följdsats
(se figur)
Följdsats
Om primalen (dualen) är obegränsad, så saknar dualen (primalen) tillåten
lösning.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
Svaga dualsatsen
(bevis) (rita)
Följdsats
(se figur)
Följdsats
Om primalen (dualen) är obegränsad, så saknar dualen (primalen) tillåten
lösning.
Båda kan dock sakna lösning.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3 / 32
LP-dualitet: Komplementaritet
En dualvariabel, yi , anger hur mycket primala bivillkor i “tar emot”.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
4 / 32
Ett bivillkor som inte är aktivt tar inte emot alls.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
4 / 32
Komplementaritet (i ord):
Om primala bivillkor i inte är aktivt, måste yi = 0.
Om duala bivillkor j inte är aktivt, måste xj = 0.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
4 / 32
Komplementaritet (i ord):
Om primala bivillkor i inte är aktivt, måste yi = 0.
Om duala bivillkor j inte är aktivt, måste xj = 0.
Komplementaritetsvillkoren
Primallösningen x och duallösningen y uppfyller komplementaritetsvillkoren
om


n
X
yi 
aij xj − bi  = 0 i = 1, . . . , m
j=1
xj
m
X
!
aij yi − cj
= 0 j = 1, . . . , n
i=1
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
4 / 32
Komplementaritetsvillkoren kan skrivas som
y T (Ax − b) = 0
x T (AT y − c) = 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
5 / 32
y T (Ax − b) = 0
x T (AT y − c) = 0
Sats
Om x och y uppfyller komplementaritetsvillkoren, så är c T x = bT y .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
5 / 32
y T (Ax − b) = 0
x T (AT y − c) = 0
Sats
(peka på bevis)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
5 / 32
y T (Ax − b) = 0
x T (AT y − c) = 0
Sats
(peka på bevis)
Följdsats
Om x är tillåten i primalen, y är tillåten i dualen och x och y uppfyller
komplementaritetsvillkoren, så är x optimal i primalen och y optimal i dualen.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
5 / 32
y T (Ax − b) = 0
x T (AT y − c) = 0
Sats
(peka på bevis)
Följdsats
Åt andra hållet:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
5 / 32
y T (Ax − b) = 0
x T (AT y − c) = 0
Sats
(peka på bevis)
Följdsats
Åt andra hållet:
Starka dualsatsen
Om x och y är optimallösningar så gäller c T x = bT y .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
5 / 32
LP-dualitet: Slutsatser
Fullständiga dualsatsen
• Om primalen har en tillåten, begränsad optimallösning, x ∗ , så har även
dualen en tillåten, begränsad optimallösning, y ∗ , och c T x ∗ = bT y ∗ .
• Om primalen är obegränsad, så saknar dualen tillåten lösning.
• Om primalen saknar tillåten lösning, så saknar dualen lösning eller har
obegränsad lösning.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
6 / 32
(Symmetriskt i primal - dual.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
6 / 32
(Symmetriskt i primal - dual.)
Optimalitetsvillkor (KKT)
Primal tillåtenhet +
Dual tillåtenhet +
Komplementaritet
= Optimalitet
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
6 / 32
LP-dualitet: Formulering
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0
Kaj Holmberg (LiU)





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0
TAOP88 Optimering







27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Kaj Holmberg (LiU)
Dual
min
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Ax ≤ b
Kaj Holmberg (LiU)
⇒
Dual
min
y ≥0
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Kaj Holmberg (LiU)
⇒
⇒
Dual
min
y ≥0
y ≤0
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Ax = b
Kaj Holmberg (LiU)
⇒
⇒
⇒
Dual
min
y ≥0
y ≤0
y fri
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Ax = b
x ≥0
Kaj Holmberg (LiU)
⇒
⇒
⇒
⇒
Dual
min
y ≥0
y ≤0
y fri
AT y ≥ c
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Ax = b
x ≥0
x ≤0
Kaj Holmberg (LiU)
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Dual
min
y ≥0
y ≤0
y fri
AT y ≥ c
AT y ≤ c
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
Standard:

Primal:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Primal
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Ax = b
x ≥0
x ≤0
x fri
Kaj Holmberg (LiU)
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Dual
min
y ≥0
y ≤0
y fri
AT y ≥ c
AT y ≤ c
AT y = c
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
7 / 32
LP-dualitet: Formulering, symmetriskt
Standard:

Dual:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Primal:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
Dual
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Ax = b
x ≥0
x ≤0
x fri
Kaj Holmberg (LiU)
⇐
⇐
⇐
⇐
⇐
⇐
Primal
min
y ≥0
y ≤0
y fri
AT y ≥ c
AT y ≤ c
AT y = c
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
8 / 32
LP-dualitet: Formulering, symmetriskt
Standard:

Primal/dual:



max z = c T x
då
Ax ≤ b



x ≥0





Dual/primal:



min v = bT y
AT y ≥ c

 då



y ≥0







Variationer:
*
max
Ax ≤ b
Ax ≥ b
Ax = b
x ≥0
x ≤0
x fri
Kaj Holmberg (LiU)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
*
min
y ≥0
y ≤0
y fri
AT y ≥ c
AT y ≤ c
AT y = c
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
9 / 32
LP-dualitet: Formulering: Exempel
Primal:
max z = 2x1
+ 3x2 − 5x3
då
2x1
+ 3x2 + 2x3
≤ 10
7x1
+ x2 − x3
≥ 16
3x1
+ 4x2 + 4x3
= 43
x1 ≥ 0, x2 fri, x3 ≤ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
(1)
(2)
(3)
(y1 )
(y2 )
(y3 )
27 augusti 2015
10 / 32
Primal:
max z = 2x1
+
då
2x1
+
7x1
+
3x1
+
x1 ≥ 0,
LP-dual:
min v = 10y1
+
då
2y1
+
3y1
+
2y1
−
y1 ≥ 0,
Kaj Holmberg (LiU)
3x2 − 5x3
3x2 + 2x3
≤ 10
x2 − x3
≥ 16
4x2 + 4x3
= 43
x2 fri, x3 ≤ 0
(1)
(2)
(3)
(y1 )
(y2 )
(y3 )
16y2
+ 43y3
7y2
+ 3y3 ≥
2 (1) (x1 )
y2
+ 4y3 =
3 (2) (x2 )
y2
+ 4y3 ≤ −5 (3) (x3 )
y2 ≤ 0,
y3 fri
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
10 / 32
Primal:
max z = 2x1
+ 3x2 − 5x3
då
2x1
+ 3x2 + 2x3
≤
7x1
+ x2 − x3
≥
3x1
+ 4x2 + 4x3
=
x1 ≥ 0, x2 fri, x3 ≤ 0
LP-dual:
min v = 10y1
+ 16y2
+ 43y3
då
2y1
+ 7y2
+ 3y3
3y1
+
y2
+ 4y3
2y1
−
y2
+ 4y3
y1 ≥ 0,
y2 ≤ 0,
y3
y1 (2x1 + 3x2 + 2x3 − 10) =
y2 (7x1 + x2 − x3 − 16) =
x1 (2y1 + 7y2 + 3y3 − 2) =
x3 (2y1 − y2 + 4y3 + 5) =
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
10
16
43
(1)
(2)
(3)
(y1 )
(y2 )
(y3 )
≥
2 (1) (x1 )
=
3 (2) (x2 )
≤ −5 (3) (x3 )
fri
0
0
0
0
27 augusti 2015
10 / 32
Dualitet och baslösningar
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Kaj Holmberg (LiU)
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
då AT y ≥ c x T (AT y − c) = 0
y fri
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
max z = cBT xB + cNT xN
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
TAOP88 Optimering
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
xB > 0 ⇒
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
xB > 0 ⇒ B T y = cB ⇒
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
T
xB > 0 ⇒ B T y = cB ⇒ y = B −1 cB = (cBT B −1 )T .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
T
Dual tillåtenhet: Sätt in y i N T y ≥ cN .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
T
Dual tillåtenhet: Sätt in y i N T y ≥ cN . Uppfyllt om ĉN ≤ 0 där
ĉN = cN − (cBT B −1 N)T .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Primal:
max z = c T x
då
Ax = b
x ≥0
Dual:
Kompl.:
min v = bT y
y fri
Baslösning:
Primal:
då
BxB + NxN = b
xB , xN ≥ 0
Dual:
min v = bT y
då B T y ≥ cB
N T y ≥ cN
y fri
Kompl
xBT (B T y − cB ) = 0
xNT (N T y − cN ) = 0
T
Dual tillåtenhet: Sätt in y i N T y ≥ cN . Uppfyllt om ĉN ≤ 0 där
ĉN = cN − (cBT B −1 N)T .
T
Primal och dual lösning: xB = B −1 b, xN = 0, y = B −1 cB .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
11 / 32
Dualitet och baslösningar, forts
Slutsats
Dual tillåtenhet ⇔ primal optimalitet.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
12 / 32
Slutsats
Vi har bevisat starka dualsatsen.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
12 / 32
Slutsats
Vi har bevisat starka dualsatsen.
Starka dualsatsen, version 2
Om primalen har en tillåten, begränsad optimallösning, x ∗ = B −1 b,
så har även dualen en tillåten, begränsad optimallösning, som ges av
T
y ∗ = B −1 cB .
Både primalen och dualen har det optimala målfunktionsvärdet
z ∗ = cBT B −1 b.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
12 / 32
max z = 4x1 + 3x2
då
2x1 + 3x2
x1
6x1 + 4x2
x1 ,
x2
Kaj Holmberg (LiU)
≤ 30
≤ 6
≤ 50
≥ 0
(1)
(2)
(3)
TAOP88 Optimering
(y1 )
(y2 )
(y3 )
27 augusti 2015
13 / 32
max z = 4x1 + 3x2
då
2x1 + 3x2
x1
6x1 + 4x2
x1 ,
x2
≤ 30
≤ 6
≤ 50
≥ 0
(1)
(2)
(3)
(y1 )
(y2 )
(y3 )
LP-dual:
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
13 / 32
max z = 4x1 + 3x2
då
2x1 + 3x2
x1
6x1 + 4x2
x1 ,
x2
≤ 30
≤ 6
≤ 50
≥ 0
(1)
(2)
(3)
(y1 )
(y2 )
(y3 )
LP-dual:
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
y1 (2x1 + 3x2 − 30)
y2 ( x1
− 6)
y3 (6x1 + 4x2 − 50)
x1 (2y1 + y2 + 6y3
x2 (3y1
+ 4y3
Kaj Holmberg (LiU)
= 0
= 0
= 0
− 4) = 0
− 3) = 0
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
13 / 32
Primal optimallösning: x1 = 3, x2 = 8, z = 36.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
14 / 32
Villkor 1 aktivt.
Villkor 2 ej aktivt ⇒ y2 = 0.
Villkor 3 aktivt.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
14 / 32
Villkor 1 aktivt.
Villkor 3 aktivt.
x1 > 0 ⇒ 2y1 + y2 + 6y3 = 4.
x2 > 0 ⇒ 3y1 + 4y3 = 3.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
14 / 32
Villkor 1 aktivt.
Villkor 3 aktivt.
x1 > 0 ⇒ 2y1 + y2 + 6y3 = 4.
x2 > 0 ⇒ 3y1 + 4y3 = 3.
Dual optimallösning: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
14 / 32
LP-dualitet och simplextablån
Duallösningen återfinnes under slackvariablerna i optimaltablån.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
15 / 32
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
Kaj Holmberg (LiU)
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
b̂
36
3
3
8
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
15 / 32
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
b̂
36
3
3
8
Dual optimallösning: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
15 / 32
LP-dualitet: Kappsäcksproblem: Exempel
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1
då
2x1
x1 ,
LP-dual:
min v = 10y
då
2y
2y
2y
4y
y
Kaj Holmberg (LiU)
+ 3x2 + 5x3 + 7x4
+ 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
≥
≥
≥
≥
≥
2
3
5
7
0
(1)
(2)
(3)
(4)
(x1 )
(x2 )
(x3 )
(x4 )
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Skriv som: min v = 10y då y ≥ 1, y ≥ 3/2, y ≥ 5/2, y ≥ 7/4, y ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Optimallösning: y = 5/2, v = 25.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Endast duala bivillkor 3 aktivt.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Endast duala bivillkor 3 aktivt. ⇒ x1 = 0, x2 = 0, x4 = 0.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
y >0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
y > 0 ⇒ 2x3 = 10 ⇒ x3 = 5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
y > 0 ⇒ 2x3 = 10 ⇒ x3 = 5. Problemet löst.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Det blev en metod!
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Det blev en metod! maxj (cj /aj )
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Det blev en metod! maxj (cj /aj ) ger bästa xj .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
max z = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4
då
2x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 10 (y )
x1 ,
x2 ,
x3 ,
x4 ≥ 0
LP-dual:
min v = 10y
då
2y ≥ 2 (1) (x1 )
2y ≥ 3 (2) (x2 )
2y ≥ 5 (3) (x3 )
4y ≥ 7 (4) (x4 )
y ≥ 0
Det blev en metod! maxj (cj /aj ) ger bästa xj . Ta med den.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
16 / 32
Skuggpriser
Hur mycket förändras det optimala målfunktionsvärdet av en liten ändring
av ett högerled?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
Detta mått kallas skuggpris (eller marginalpris).
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
Starka dualsatsen: z = c T x = bT y eller z =
X
j
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
cj xj =
X
bi yi
i
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
X
j
cj xj =
X
bi yi
i
Derivatan av z med avseende på bi är yi .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
X
cj xj =
j
X
bi yi
i
Slutsats
Skuggpriserna ges av den optimala duallösningen.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
X
cj xj =
X
j
bi yi
i
Slutsats
T
I en viss baslösning har vi xB = B −1 b och y = B −1 cB .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
X
cj xj =
X
j
bi yi
i
Slutsats
T
Skuggpriserna är oförändrade så länge som samma baslösning är optimal.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
X
cj xj =
X
j
bi yi
i
Slutsats
T
Om ändringen i b ger B −1 b 6≥ 0, ändras optimal baslösning/skuggpriser.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Skuggpriser
av ett högerled?
X
cj xj =
X
j
bi yi
i
Slutsats
T
Om ändringen i b ger B −1 b 6≥ 0, ändras optimal baslösning/skuggpriser.
B −1 b ≥ 0 ger gränser på b för oförändrad optimallösning.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
17 / 32
Känslighetsanalys
Har optimallösning.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
Är optimallösningen helt oförändrad?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
Är optimala baslösningen oförändrad?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
För hur stora ändringar ändras inte (bas)lösningen?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
Om optimal baslösning inte ändras blir alla förändringar lätta att räkna ut,
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
för då ändras inte B −1 .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Indata ändras.
Vad händer?
för då ändras inte B −1 .
T
Stoppa in nya b och/eller c i xB = B −1 b, y = B −1 cB och z = cBT xB .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
18 / 32
Känslighetsanalys
Vi beaktar ändringar av:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Högerled, b.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Högerled, b. (Påverkar tillåtenhet.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Målfunktionskoefficient, c.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Målfunktionskoefficient, c. (Påverkar optimalitet.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
För ickebasvariabel, cN .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
För basvariabel, cB .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Addition av nytt bivillkor, aiT x ≤ bi .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Addition av nytt bivillkor, aiT x ≤ bi . (Påverkar tillåtenhet.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
• Addition av ny variabel, xk , med kolumn ak och
målfunktionskoefficient ck .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
(Dvs. addition av ett dualt bivillkor, akT y ≥ ck .)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
(Påverkar optimalitet,
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys
(Påverkar optimalitet, dvs. dual tillåtenhet.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
19 / 32
Känslighetsanalys mer exakt
Har optimallösning: Primal, x ∗ , och dual, y ∗ .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
Primal/dual tillåtenhet: xB∗ = B −1 b ≥ 0, xN∗ = 0, N T y ∗ ≥ cN .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
• Ändring av högerled, b:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
• Ändring av högerled, b: Kolla primal tillåtenhet: xB = B −1 b ≥ 0.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
• Ändring av målfunktionskoefficient, c:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
• Ändring av målfunktionskoefficient, c: Kolla dual tillåtenhet
(dvs. primal optimalitet).
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
* Ändring i cN :
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
* Ändring i cN : Kolla cN ≤ N T y ∗ .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
(Ändringen i ĉ blir lika stor som ändringen i c.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
* Ändring i cB :
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
* Ändring i cB : Beräkna y = B −1 cB och kolla N T y ≥ cN .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
(Hela ĉ kan ändras.)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
• Addition av nytt bivillkor, aiT x ≤ bi :
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
• Addition av nytt bivillkor, aiT x ≤ bi : Kolla primal tillåtenhet: aiT x ∗ ≤ bi .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
målfunktionskoefficient ck :
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
målfunktionskoefficient ck : Kolla dual tillåtenhet: akT y ∗ ≥ ck .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
T
målfunktionskoefficient ck : Kolla dual tillåtenhet: akT y ∗ ≥ ck .
Alternativ: Kolla primal optimalitet: ĉk = ck − akT y ∗ ≤ 0.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
20 / 32
Vårt musexempel
max z = 4x1 + 3x2
då
2x1 + 3x2
x1
6x1 + 4x2
x1 ,
x2
Kaj Holmberg (LiU)
≤ 30
≤ 6
≤ 50
≥ 0
(1)
(2)
(3)
TAOP88 Optimering
(y1 ) (knappar)
(y2 ) (optik)
(y3 ) (monteringstid)
27 augusti 2015
21 / 32
Vårt musexempel
max z = 4x1 + 3x2
då
2x1 + 3x2
x1
6x1 + 4x2
x1 ,
x2
≤ 30
≤ 6
≤ 50
≥ 0
(1)
(2)
(3)
(y1 ) (knappar)
(y2 ) (optik)
LP-dual:
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
(Optimus)
(Rullmus)
27 augusti 2015
21 / 32
Vårt musexempel
max z = 4x1 + 3x2
då
2x1 + 3x2
x1
6x1 + 4x2
x1 ,
x2
≤ 30
≤ 6
≤ 50
≥ 0
(1)
(2)
(3)
(y1 ) (knappar)
(y2 ) (optik)
LP-dual:
min v = 30y1 + 6y2 + 50y3
då
2y1 + y2 + 6y3 ≥ 4 (1) (x1 )
3y1
+ 4y3 ≥ 3 (2) (x2 )
y1 ,
y2 ,
y3 ≥ 0
Optimaltablå:
Bas z x1
z 1 0
x4 0 0
x1 0 1
x2 0 0
x2
0
0
0
1
Kaj Holmberg (LiU)
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
(Optimus)
(Rullmus)
b̂
36
3
3
8
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
21 / 32
Känslighetsanalys i simplextablån
Optimaltablå för vårt exempel:
x3 x4
x5
Bas z x1 x2
z 1 0 0 1/5 0
3/5
x4 0 0 0 2/5 1 -3/10
x1 0 1 0 -2/5 0 3/10
-1/5
x2 0 0 1 3/5 0
b̂
36
3
3
8
Optimallösning: x1 = 3, x2 = 8, z = 36.
Skuggpriser: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
22 / 32
x3 x4
x5
Bas z x1 x2
z 1 0 0 1/5 0
3/5
x4 0 0 0 2/5 1 -3/10
x1 0 1 0 -2/5 0 3/10
-1/5
x2 0 0 1 3/5 0
b̂
36
3
3
8
Skuggpriser: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
Vad skulle vi tjäna på en ökning av tillgången av knappar?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
22 / 32
x3 x4
x5
Bas z x1 x2
z 1 0 0 1/5 0
3/5
x4 0 0 0 2/5 1 -3/10
x1 0 1 0 -2/5 0 3/10
-1/5
x2 0 0 1 3/5 0
b̂
36
3
3
8
Skuggpriser: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
Det är en ökning av b1 , så vi tjänar y1 = 1/5 per enhets ökning.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
22 / 32
x3 x4
x5
Bas z x1 x2
z 1 0 0 1/5 0
3/5
x4 0 0 0 2/5 1 -3/10
x1 0 1 0 -2/5 0 3/10
-1/5
x2 0 0 1 3/5 0
b̂
36
3
3
8
Skuggpriser: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
För hur stor ökning gäller detta?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
22 / 32
x3 x4
x5
Bas z x1 x2
z 1 0 0 1/5 0
3/5
x4 0 0 0 2/5 1 -3/10
x1 0 1 0 -2/5 0 3/10
-1/5
x2 0 0 1 3/5 0
b̂
36
3
3
8
Skuggpriser: y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
För hur stor ökning gäller detta? Kolla B −1 b ≥ 0.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
22 / 32
Känslighetsananlys i simplextablån
Kan läsa av B −1 under slackvariablerna i optimaltablån.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
23 / 32
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
Kaj Holmberg (LiU)
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
b̂
36
3
3
8
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
23 / 32
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
b̂
36
3
3
8


 

2/5 1 −3/10
b1
2b1 /5 − 9
3/10   6  =  −2b1 /5 + 15  ≥ 0
B −1 b =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
50
3b1 /5 − 10
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
23 / 32
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
b̂
36
3
3
8


 

2/5 1 −3/10
b1
2b1 /5 − 9
3/10   6  =  −2b1 /5 + 15  ≥ 0
B −1 b =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
50
3b1 /5 − 10
vilket ger 22.5 ≤ b1 ≤ 37.5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
23 / 32
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
b̂
36
3
3
8


 

2/5 1 −3/10
b1
2b1 /5 − 9
3/10   6  =  −2b1 /5 + 15  ≥ 0
B −1 b =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
50
3b1 /5 − 10
vilket ger 22.5 ≤ b1 ≤ 37.5.
Så vi tjänar 1/5 kr per ytterligare knapp, för b1 upp till 37.5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
23 / 32
Exempel: Ny variabel
Ska MPigg AB göra en ny sorts mus, SuperGamer, som består av en knapp
och två optiska enheter, kräver 5 min för montering och ger intäkten 3
kr/enhet?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
Ny variabel, x6 : kolumn: a6 =  2  målfunktionskoefficient: c6 = 3.
5
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
Dual optimallösning (skuggpriser) : y1 = 1/5, y2 = 0, y3 = 3/5.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
Reducerad kostnad (dual tillåtenhet):
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
Slutsats: Låt x6 förbli noll.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
Slutsats: Låt x6 förbli noll. Gör inga SuperGamer.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
MPigg vill justera priset så att SuperGamer blir lönsam.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
Bestäm c6 så att ĉ6 > 0:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
ĉ6 = c6 − a6T y = c6 − (1/5 + 3) = c6 − 3.2 > 0
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
ĉ6 = c6 − a6T y = c6 − (1/5 + 3) = c6 − 3.2 > 0 om c6 > 3.2.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
kr/enhet?
 
1
5
ĉ6 = c6 − a6T y = 3 − (1/5 + 3) = −1/5 ≤ 0.
ĉ6 = c6 − a6T y = c6 − (1/5 + 3) = c6 − 3.2 > 0 om c6 > 3.2.
För att få lite marginal sätter man priset så att intäkten blir 3:50 kr.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
24 / 32
Ny optimallösning?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.
Inför nya kolumnen i optimaltablån:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.
Inför nya kolumnen i optimaltablån: â6 = B −1 a6 .
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.

  

2/5 1 −3/10
1
9/10
3/10   2  =  11/10 
â6 =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
5
−2/5
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.

  

2/5 1 −3/10
1
9/10
3/10   2  =  11/10 
â6 =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
5
−2/5
Inför i optimaltablån:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.

  

2/5 1 −3/10
1
9/10
3/10   2  =  11/10 
â6 =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
5
−2/5
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
Kaj Holmberg (LiU)
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
x6
-3/10
9/10
11/10
-2/5
TAOP88 Optimering
b̂
36
3
3
8
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.

  

2/5 1 −3/10
1
9/10
3/10   2  =  11/10 
â6 =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
5
−2/5
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
x6
-3/10
9/10
11/10
-2/5
b̂
36
3
3
8
Fortsätt med simplexmetoden.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.

  

2/5 1 −3/10
1
9/10
3/10   2  =  11/10 
â6 =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
5
−2/5
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
x6
-3/10
9/10
11/10
-2/5
b̂
36
3
3
8
Fortsätt med simplexmetoden. x6 inkommande.
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Ny optimallösning?
ĉ6 = c6 − a6T y = 7/2 − (1/5 + 3) = 3/10.

  

2/5 1 −3/10
1
9/10
3/10   2  =  11/10 
â6 =  −2/5 0
3/5 0 −1/5
5
−2/5
Bas
z
x4
x1
x2
z
1
0
0
0
x1
0
0
1
0
x2
0
0
0
1
x3
1/5
2/5
-2/5
3/5
x4
0
1
0
0
x5
3/5
-3/10
3/10
-1/5
x6
-3/10
9/10
11/10
-2/5
b̂
36
3
3
8
Fortsätt med simplexmetoden. x6 inkommande. Utgående?
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
25 / 32
Känslighetsananlys från koder
Indatafil: (GMPL)
var x1 >= 0;
var x2 >= 0;
maximize obj:
4*x1 + 3*x2;
subject to con1: 2*x1 + 3*x2 <= 30;
subject to con2:
x1
<= 6;
subject to con3: 6*x1 + 4*x2 <= 50;
end;
Lösning av problemet: Skriv
glpsol -m lp-ko1.mod -o lp-ko1.sol
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
26 / 32
På skärmen (rensat):
Reading model section from lp-ko1.mod...
11 lines were read
Model has been successfully generated
GLPK Simplex Optimizer, v4.44
4 rows, 2 columns, 7 non-zeros
Preprocessing...
2 rows, 2 columns, 4 non-zeros
Scaling...
A: min|aij| = 2.000e+00 max|aij| = 6.000e+00 ratio =
Problem data seem to be well scaled
Constructing initial basis...
Size of triangular part = 2
*
0: obj =
0.000000000e+00 infeas = 0.000e+00 (0)
*
3: obj =
3.600000000e+01 infeas = 0.000e+00 (0)
OPTIMAL SOLUTION FOUND
Time used:
0.0 secs
Memory used: 0.1 Mb (108000 bytes)
Writing basic solution to ‘lp-ko1.sol’...
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
3.000e+00
27 / 32
I utdatafilen lp-ko1.sol (rensat):
Problem:
Rows:
Columns:
Non-zeros:
Status:
Objective:
lp
4
2
7
OPTIMAL
obj = 36 (MAXimum)
No.
Row name
--- -----------1 obj
2 con1
3 con2
4 con3
St Activity Lower bound Upper bound Marginal
-- ----------- ----------- ------------ ----------B
36
NU
30
30
0.2
B
3
6
NU
50
50
0.6
No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal
--- ------------ -- ----------- ----------- ------------- ---------1 x1
B
3
0
2 x2
B
8
0
Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions:
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
28 / 32
Lösning av problemet med känslighetsanalys: Skriv
glpsol -m lp-ko1.mod --bounds lp-ko1.bnd
I utdatafilen lp-ko1.bnd (rensat):
GLPK 4.44 - SENSITIVITY ANALYSIS REPORT
Problem:
lpluma
Objective: obj = 36 (MAXimum)
No. Row name
St
Activity
Slack
Lower bound
Marginal
Upper bound
------ ------------ -- ------------- ------------- ------------1 obj
BS
36.00000
-36.00000
-Inf
.
+Inf
2 con1
NU
30.00000
.
.20000
-Inf
30.00000
22.50000
37.50000
3 con2
BS
3.00000
3.00000
.
-Inf
6.00000
.
8.33333
4 con3
NU
50.00000
.
.60000
-Inf
50.00000
40.00000
60.00000
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
Activity
range
------------- ---30.00000
36.00000
27 augusti 2015
29 / 32
Sida 2 i utdatafilen lp-ko1.bnd (rensat):
GLPK 4.44 - SENSITIVITY ANALYSIS REPORT
Problem:
lpluma
Objective: obj = 36 (MAXimum)
No. Column name
Obj coef
Activity
Obj coef Obj val
Marginal
range
range
break
------ ------------ -- ------------- ------------- ---------- ------------- -------1 x1
BS
3.00000
4.00000
-Inf
2.00000
30.
.
6.00000
4.50000
37.
2 x2
St
Activity
BS
8.00000
3.00000
.
3.50000
10.00000
2.66667
6.00000
33.
60.
End of report
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
30 / 32
LP-dualen till ett strukturerat problem
Tillordningsproblemet: Varje person i skall tilldelas en uppgift j.
n X
n
X
min
cij xij
i=1 j=1
då
n
X
xij = 1
i = 1, . . . n
xij = 1
j = 1, . . . n
j=1
n
X
i=1
xij ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
för alla i, j
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
31 / 32
n X
n
X
min
cij xij
i=1 j=1
då
n
X
xij = 1
i = 1, . . . n
(αi )
xij = 1
j = 1, . . . n
(βj )
j=1
n
X
i=1
xij ≥ 0
Kaj Holmberg (LiU)
för alla i, j
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
31 / 32
n X
n
X
min
cij xij
i=1 j=1
då
n
X
xij = 1
i = 1, . . . n
(αi )
xij = 1
j = 1, . . . n
(βj )
j=1
n
X
i=1
xij ≥ 0
LP-dualen:
max
n
X
i=1
då
Kaj Holmberg (LiU)
αi +
för alla i, j
n
X
βj
j=1
αi + βj ≤ cij för alla (i, j)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
31 / 32
n X
n
X
min
cij xij
i=1 j=1
då
n
X
xij = 1
i = 1, . . . n
(αi )
xij = 1
j = 1, . . . n
(βj )
j=1
n
X
i=1
xij ≥ 0
LP-dualen:
max
n
X
i=1
då
Kaj Holmberg (LiU)
αi +
för alla i, j
n
X
βj
j=1
αi + βj ≤ cij för alla (i, j) (xij )
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
31 / 32
n X
n
X
min
cij xij
i=1 j=1
då
n
X
xij = 1
i = 1, . . . n
(αi )
xij = 1
j = 1, . . . n
(βj )
j=1
n
X
i=1
xij ≥ 0
LP-dualen:
max
n
X
i=1
då
αi +
för alla i, j
n
X
βj
j=1
αi + βj ≤ cij för alla (i, j) (xij )
Komplementaritetsvillkoren: xij (αi + βj − cij ) = 0 för alla (i, j)
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
31 / 32
Vileopt
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
32 / 32
Vileopt
Kaj Holmberg (LiU)
TAOP88 Optimering
27 augusti 2015
32 / 32

TAOP88 Optimering

Transcription

Similar documents

LP-dualitet

Grafer, träd, cykler

För utskrift: Heltal

För utskrift: Introduktion, LP-exempel

Olinjär optimering med bivillkor

För utskrift: Brevbärare, heuristiker

LIU Borlänge gymnasieskola

NYBÖRJARDANS Tommy Holmberg

Föreläsning 8