termo_2015-08

Chalmers
Institutionen för Teknisk Fysik
Göran Wahnström
Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3
Tid och plats: Tisdag 25 aug 2015, kl 08.30-13.30 i ”V”-salar.
Hjälpmedel: Physics Handbook, BETA, ett A4-blad (2 sidor) med egna
anteckningar, Chalmersgodkänd räknare.
Jourhavande lärare: Göran Wahnström, tel. 772-3634, 076-1010523.
Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 10 poäng. Till detta adderas
eventuella duggapoäng. För godkänt krävs 20 poäng (4:a minst 30 poäng,
5:a minst 40 poäng).
Lösningar: Anslås på kurshemsidan.
Rättningsgranskning: Onsdag 9 sep 2015, kl 12.30-13.30 i rum O7112B,
översta våningen i Origohuset, norra flygeln.
1. En enatomig gas är innesluten i en behållare. Den kan behandlas
som en klassisk idealgas och består av N atomer. Gasen genomgår en
cyklisk process enligt figuren nedan. Samtliga ingående processer kan
behandlas som kvasistatiska (reversibla). Beteckna P1 = P0 och V1 =
V0 och antag att P2 = 2P0 och V2 = 3V0 . För varje delprocess ange
om tillfört värme är positivt, negativt eller noll! Ange på motsvarande
sätt vad som gäller för tillfört arbete! Beräkna därefter kvoten
∆UB
∆UA
där ∆UA och ∆UB är ändringen i energi för gasen i process A respektive B! Ditt svar ska vara rent numeriskt, dvs får inte innehålla
storheterna N , P0 eller V0 .
Fig. PV-diagram för den aktuella cykeln.
2. En diamant med massan m=0,2 g har från början temperaturen T =20
K. Den placeras i en stor behållare med temperaturen 300 K. Bestäm
entropiändringen för diamanten då termisk jämvikt har inställt sig, dvs
då den har fått temperaturen 300 K! Bestäm också entropiändringen
1
för omgivningen! I det givna temperaturintervallet 20 - 300 K är diamants värmekapacitet till god approximation proportionell mot temperaturen upphöjt till 3 (se figur nedan), dvs C = amT 3 , där a är en
konstant med dimension J/kg·K4 . Skillnaden mellan CP och CV kan
försummas. Beräkna numeriskt entropiändringen för diamanten och
omgivningen med hjälp av ett konstant värde på a, extraherat från
figuren nedan!
Fig. Värmekapaciteten för diamant per mol.
3. Betrakta en gas av klassiska partiklar i tre dimensioner. Den normerade hastighetsfördelningen ges då av uttrycket
f (v) =
m
2πkT
3/2
exp (−mv 2 /2kT )
där v är partikelns hastighet, v =| v | dess fart, m partikelns massa,
k Boltzmanns konstant och T temperaturen. Utgående från denna
fördelning beräkna medelvärdet av 1/v, dvs h1/vi! Svara genom att
jämföra med inversen av medelfarten hvi, dvs ange kvoten
h1/vi
= h1/vi · hvi
1/hvi
4. Betrakta ett system som är i termisk och diffusiv kontakt med en omgivning med temperaturen T och kemiska potentialen µ, dvs systemet
kan studeras med hjälp av stor kanonisk fördelning. För systemet
gäller att sannolikheten att finna det i ett tillstånd s med energin
E(s) och partikelantalet N (s) ges av uttrycket
P(s) =
1 −[E(s)−µN (s)]/kT
e
Z
2
där normeringen
Z=
X
e−[E(s)−µN (s)]/kT
s
brukar benämnas stora tillståndssumman. För vårt system gäller att
h
Z = 1 + e(µ−)/kT
i3
där är en konstant med dimension energi. Med hjälp av detta uttryck
på den stora kanoniska fördelningen, beräkna medelantalet partiklar
hN i för systemet som funktion av µ och T ! Antag sedan att µ > .
Vad blir då gränsvärdet av hN i då T → 0 respektive T → ∞!
5. I en solcell omvandlas solljuset direkt till elektrisk energi. Det aktiva
materialet är en halvledare. En halvledare karakteriseras av ett valensband som är fyllt av elektroner och ett ledningsband som väsentligen
är tomt. Mellan dessa två band finns ett gap i energi, g , där det
inte finns några tillstånd som en elektron kan ockupera. Om en foton
infaller mot halvledaren kan den excitera en elektron från valensbandet till ledningsbandet endast om dess energi = hν är större än
bandgapet, hν > g . Den exciterade elektronen kan utnyttjas för att
producera elektrisk energi. Snabba dissipativa processer gör att den
exciterade elektronen förlorar energi tills den är lokaliserad i botten
av ledningsbandet. Om man sedan kan undvika att den relaxerar tillbaks till valensbandet så kan man utnyttja energin g för att producera
elektrisk energi genom att låta elektronen passera en yttre krets.
Solcellens effektivitet beror därför av storleken på bandgapet g . Om
man väljer en halvledare med ett litet bandgap g så betyder det att
många fotoner kan utnyttjas för produktion av elektrisk energi. Å andra sidan kommer dessa fotoner var och en bidra med en förhållandevis
liten energi lika med g . Om man väljer en halvledare med ett större
bandgap så medför det att färre fotoner kan utnyttjas, men dessa fotoner kommer å andra sidan att bidra var och en med en högre energi.
Det betyder att det finns ett optimalt bandgap som ger maximal elektrisk energi.
Antag att den infallande solstrålningen kan behandlas som svartkroppsstrålning med temperaturen T (solens yttemperatur). Teckna ett
uttryck för solcellens verkningsgrad (förhållandet mellan producerad
elektrisk energi och infallande solenergi) som funktion av storleken på
bandgapet! Bestäm därefter det optimala bandgapet! Detta leder till
en ekvation som måste lösas numeriskt. För full poäng behöver du
bara härleda denna ekvation, den behöver inte lösas numeriskt. Dock
ska du förenkla tills det bara återstår en ekvation som kan lösas numeriskt. Ange slutligen solcellens maximala verkningsgrad uttryckt i
3
det optimala bandgapet! Detta uttryck ska inte innehålla någon integral. Du kan ha användning för följande integralvärde
Z ∞
Q
0
x3
π4
dx
=
ex − 1
15
Fig. Illustration av hur en solcell fungerar. (A) En infallande foton med energi
hν > g (relativt kort våglängd) kan excitera en elektron från valensbandet
till ledningsbandet. Energi större än bandgapet förloras som värme. Den
exciterade elektronen kan sedan utnyttjas för att producera elektrisk
energi. (B) Om fotonens energi är för liten hν < g (relativt lång våglängd)
transmitteras den genom halvledaren utan att exciterar någon elektron.
4
Chalmers
Institutionen ör Teknisk Fysik
Anders Lindman, 2015-08-27
Lösningar till tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik
Uppgi 1
För en enatomig (3 frihetsgrader) ideal gas så ger ekvipartionsteoremet
3
U = NkT
2
och i kombination med ideala gaslagen så gäller a
3
U = PV.
2
Då varje delprocess är kvasistatisk så gäller a (tryck-volym-) arbetet ges av
W = −PΔV.
Till sist så kan värmet Q bestämmas från 1:a huvudsatsen
ΔU = Q + W.
Vi betraktar nu varje process.
A: Då volymen är konstant är WA = 0. Värmet ges då av
QA = ΔUA =
3
3
(2P0 V0 − P0 V0 ) = P0 V0 > 0.
2
2
B: Trycket är nu konstant och därmed är
WB = −2P0 (3V0 − V0 ) = −4P0 V0 < 0.
Värmet ges av
QB = ΔUB − WB =
3
(2P0 3V0 − 2P0 V0 ) − (−4P0 V0 ) = 10P0 V0 > 0.
2
C: Återigen är volymen konstant och WC = 0. Värmet ges då av
QC = ΔUC =
9
3
(P0 3V0 − 2P0 3V0 ) = − P0 V0 < 0.
2
2
1
D: Trycket är nu konstant och
WD = −P0 (V0 − 3V0 ) = 2P0 V0 > 0.
Värmet ges av
QD = ΔUD − WD =
3
(P0 V0 − P0 3V0 ) − (2P0 V0 ) = −5P0 V0 < 0.
2
Till sist så beräknar vi kvoten ΔUB /ΔUA vilken ges av
ΔUB
6P0 V0
= 3
=4
ΔUA
2 P0 V0
2
Uppgi 2
Värmekapaciteten ges av urycket
C = amT3 .
För diamanten blir entropiörändringen
∫
ΔSd =
T2
C
dT = am
T
T1
∫
T2
T2 dT =
T1
)
am ( 3
T2 − T31
3
För omgivningen är temperaturen konstant och entropiörändringen blir således
ΔSo =
Qo
T2
där Qo är värmeörändringen i omgivningen. Då inget arbete utörts gäller
∫
Qo = −Qd = −
vilket ger
T2
T1
∫
CdT = −am
T2
T1
T3 dT = −
)
am ( 4
T2 − T41
4
[
]
)
am ( 4
am 3 T41
4
ΔSo = −
T − T1 = −
T2 −
4T2 2
4
T2
Ur den givna figuren kan man avläsa a värmekapaciteten är C = 0.2 J/K ör en mol diamant vid
temperaturen 100 K. Då en mol väger 12 gram är
a=
0.2
10−4
4
J/kg
·
K
=
J/kg · K4 .
0.012 · 106
6
I uppgien är det givet a m = 0.2 g, T1 = 20 K och T1 = 300 K. Med dessa värden blir ΔSd = 30 mJ/K
och ΔSo = −22.5 mJ/K.
3
Uppgi 3
För a beräkna medelvärdet av 1/v använder vi den givna hastighetsördelningen f(v) enligt
∫
1
⟨1/v⟩ =
f(v)dv.
v
Den här integralen kan lösas genom a övergå till säriska koordinater vilket ger
(
)
∫ 2π
∫ π
∫ ∞
1 ( m )3/2
mv2
⟨1/v⟩ =
dφ
sin θdθ
v2
exp −
dv
v 2πkT
2kT
0
0
0
)
(
( m )3/2 ∫ ∞
mv2
= 4π
v exp −
dv.
2πkT
2kT
0
√
Med variabelsubstitutionen x = v m/2kT kan integralen skrivas som
√
∫
( m )3/2 2kT ∫ ∞
( 2)
(
)
8m ∞
x exp −x dx =
x exp −x2 dx.
⟨1/v⟩ = 4π
2πkT
m 0
πkT 0
√
Integralen blir 1/2 (se Physics Handbook) och således blir ⟨1/v⟩ = 2m/πkT.
√
På samma sä med övergången till säriska koordinater samt variabelsubstitutionen x = v m/2kT
kan vi nu beräkna medelvärdet av v.
)
(
( m )3/2 ( 2kT )2 ∫ ∞
( m )3/2 ∫ ∞
(
)
mv2
3
dv = 4π
⟨v⟩ = 4π
v exp −
x3 exp −x2 dx
2πkT
2kT
2πkT
m
0
0
√
∫ ∞
(
)
32kT
=
x3 exp −x2 dx.
πm 0
√
Även här integralen blir 1/2 (se Physics Handbook) och vi får ⟨v⟩ = 8kT/πm.
Kvoten mellan ⟨1/v⟩ och 1/⟨v⟩ kan ges av
⟨1/v⟩
= ⟨1/v⟩⟨v⟩ =
1/⟨v⟩
4
√
2m
πkT
√
4
8kT
=
πm
π
Uppgi 4
Generellt så gäller ör medelantalet partiklar a
⟨N⟩ =
∑
N(s)P(s).
s
Då P(s) ges av stor kanonisk ördelning kan dea uryck utvecklas enligt
⟨N⟩ =
∑
s
]
[
1 −[E(s)−μN(s)]/kT
1∑
∂ [ −[E(s)−μN(s)]/kT ] kT ∂ ∑ −[E(s)−μN(s)]/kT
N(s) e
e
=
kT
e
=
Z
Z s
∂μ
Z ∂μ s
kT ∂Z
=
.
Z ∂μ
För det givna systemet så gäller a
(
)3
Z = 1 + e(μ−ϵ)/kT .
Med den här tillståndssumman så ges medelantalet partiklar av
⟨N⟩ =
3
.
1 + e−(μ−ϵ)/kT
Vi antar nu a μ > ϵ och därmed blir exponenten i urycket ör medelantalet partiklar alltid negativ.
Vi får då öljande gränsvärden då T → 0 och T → ∞:
3
=3
1 + e−∞
3
3
lim ⟨N⟩ =
=
−0
T→∞
1+e
2
lim ⟨N⟩ =
T→0
5
Uppgi 5
Fotoner distribueras enligt Planckördelningen
1
n̄Pl (ϵ) =
eϵ/kT
och deras energi kvantiseras enligt
ϵ=
där n =
√
−1
hcn
2L
n2x + n2y + n2z och L är en längd som kan relateras till volymen V enligt V = L3 .
För a beräkna solcellens verkningsgrad behöver vi beräkna både den producerade elektriska energin
och den infallande solenergin. Vi börjar med den senare. Den totala infallande energi kan beräknas
enligt
∑∑∑
∑ hcn
1
Utot = 2
ϵn̄Pl (ϵ) =
hcn/2LkT
L e
−1
n
n
n
n ,n ,n
x
y
z
x
y
z
där faktorn två härstammar från två möjliga polarisationstillstånd och nx , ny nz ≥ 0. Om vi går över till
integralform och säriska koordinater får vi
∫ π/2 ∫ π/2
∫ ∞
∫
1
π hc ∞ 3
1
2 hcn
Utot =
dφ
sin θdθ
n
dn =
n hcn/2LkT
dn.
hcn/2LkT
L
2
L
e
−1
e
−1
0
0
0
0
Om vi nu gör variabelsubstitutionen x = hcn/2LkT får vi
(
) ∫
8πV π 4 (kT)4
π hc 2LkT 4 ∞ 3 1
x x
dx =
Utot =
2 L
hc
e −1
(hc)3 15
0
där lösningen till integralen fanns given i uppgisformuleringen.
Den elektrisk producerade energin i solcellen kan beräknas enligt
Ucell = Ncell ϵ g
där Ncell är antalet infallande fotoner vars energi är högre än eller lika med bandgapet ϵ g och därmed
bidrar med energin ϵ g . Ncell kan beräknas enligt samma princip som Utot ovan genom summering över
alla kvanal som uppfyller n ≥ ng , där ϵ g = hcng /2L. Vi får då
Ncell = 2
∑
n̄Pl (ϵ) = 2
n≥ng
∑
n≥ng
1
ehcn/2LkT
−1
.
Går vi över till integralform med säriska koordinater så får vi
∫ ∞
∫ π/2 ∫ π/2
∫ ∞
1
1
dn = π
n2 hcn/2LkT
dn.
Ncell = 2
dφ
sin θdθ
n2 hcn/2LkT
e
−
1
e
−1
ng
0
0
ng
6
Om vi nu skriver om integralen i termer av ϵ istället ör n får vi
∫
1
8πV ∞ 2
ϵ ϵ/kT
Ncell =
dϵ
3
(hc) ϵ g
e
−1
och den elektriskt producerade energin i solcellen ges därmed av
∫ ∞
1
8πV
ϵ
ϵ 2 ϵ/kT
Ucell =
dϵ.
g
3
(hc)
e
−1
ϵg
Vi kan nu ställa upp e uryck ör solcellens verkningsgrad enligt
∫ ∞
1
Ucell
15
ϵ 2 ϵ/kT
ecell =
= 4
ϵg
dϵ.
4
Utot
π (kT)
e
−1
ϵg
opt
Vi kan nu bestämma det optimala bandgap ϵ g som maximerar verkningsgrad enligt
decell = 0.
dϵ g ϵ g =ϵ opt
g
Med urycket ör verkningsgraden får vi
[∫
(∫
)]
∞
∞
15
1
1
decell
d
2
2
= 4
ϵ ϵ/kT
ϵ ϵ/kT
dϵ + ϵ g
dϵ
dϵ g
π (kT)4 ϵ g
dϵ g
e
−1
e
−1
ϵg
[∫
]
∞
1
1
15
2
ϵ ϵ/kT
dϵ − ϵ 3g ϵ /kT
= 4
π (kT)4 ϵ g
e
−1
e g −1
och ör det optimala bandgapet gäller då a
opt
ϵ g = xg kT
där xg är den numeriska lösningen till
∫
∞
xg
x2
x3g
1
dx
=
.
ex − 1
exg − 1
Slutligen så kan vi nu bestämma den maximala verkningsgraden till
emax
cell
15
opt
= 4
ϵg
4
π (kT)
∫
∞
opt
ϵg
1
15
ϵ 2 ϵ/kT
dϵ = 4
π
e
−1
7
(
opt
ϵg
kT
)4
1
e
opt
ϵ g /kT
−1
.