Matematik 3c Kap 4 Trigonometri 2 + (y + 2)

Matematik 3c Kap 4 Trigonometri
Inledning
Konkretisering av ämnesplan (länk)
http://www.ioprog.se/public_html/Ämnesplan_Matematik/Struktur_äm
nesplan_matematik/Struktur_ämnesplan_matematik.html
Inledande aktivitet
4.1 Från rätvinkliga till godtyckliga trianglar
Trigonometri i rätvinkliga trianglar (sid 206-208)
För att definiera sin, cos och tan för vinklar mellan 0 och 90 grader utgår man
från rätvinkliga trianglar. Indata är vinkeln i ett icke-rätvinkligt hörn och utdata
är kvoter av sidlängder. Detta känns igen från Ma1c och kanske
fyiskundervisningen (vid komposantuppdelning t.ex.).
Lös uppgifter efter behov. I 4112 är det svåra att rita en bra hjälplinje.
Två speciella trianglar (sid 209)
I vissa rätvinkliga trianglar kan man bestämma sin, cos och tan exakt. Det
handlar om likbent respektive halv liksidig triangel. Man behöver inte lära sig
värdena utantill, utan de kan t.ex. hämtas från sista sidan på
standardformelbladet (dock krävs det att man kan detta utantill på t.ex. KTH!).
Däremot kan man träna sin förståelse och lite räkningar genom att ta fram
värdena.
Lös 4114, 4115, 4116, 4117.
Cirkelns ekvation (sid 210)
!
!
Poängen med detta avsnitt just här är i princip att ni ska förstå att 𝑥 + 𝑦 =1
är ekvationen för enhetscirkeln (med centrum i origo). Ekvationen fås direkt ur
Pythagoras sats. Lite intressant kan också vara att förstå hur man "flyttar" kurvor
!
!
i sidled. Att t.ex. (𝑥 − 1) + (𝑦 + 2) =1 är enhetscirkeln centrerad i (flyttad
till) punkten (1, -­‐2) bygger på samma princip som att kurvan y = (𝑥 − 1)! fås
genom förflyttning av y = 𝑥 ! ett steg åt höger.
Lös a-uppgifterna och 4125.
Godtyckliga trianglar (211-215)
Vill man räkna ut t.ex. sin135° får man problem med vår definition, några
rätvinkliga trianglar med trubbiga vinklar låter sig inte ritas. Istället gör man en
"ny" definition av sin, cos och tan med hjälp av enhetscirkeln (cirkel med radie
1). Man kan då bestämma t.ex. sinv för vilken "vinkel" som helst (t.o.m. negativ
eller mer är 180°).
Man observerar sedan att vår nya definition överensstämmer med den gamla om
man håller sig i första kvadranten.
Lös alla uppgifter.
4.2 Triangelsatserna
Areasatsen (sid 216-218)
Detta är en ganska enkel sats, som fungerar i alla trianglar. Man utgår från
areaformeln för en triangel
T = !∗!
!
och skriver om triangelns höjd (man kan välja vilken av de tre möjliga höjderna
som helst) med sinus och får
T = !∗!∗!"# !
!
med bokens beteckningar. Det är bättre att lära sig hur man tar fram areaformeln
än att lära sig den utantill. Observera att areaformeln fungerar också om vinkeln
A är trubbig. Det beror på att sin(180°−A) = sin A, vilket inses genom att kika i
enhetscirkeln.
Lös samtliga uppgifter!
Sinussatsen (sid 219-221)
Om man känner tre vinkel- eller längdmått i en triangel är den "oftast" entydigt
bestämd och man kan med trigonometri bestämma övriga mått. Undantagen från
denna regel är
1. Om man känner tre vinklar så är triangeln bestämd till form men inte storlek.
2. Om man känner två sidor och icke-mellanliggande vinkel kan det finnas två
olika trianglar med dessa mått (men måste inte).
Sinussatsen, i en triangel med bokens beteckningar, lyder
!"# !
!
= !"# !
!
= !"# !
!
Den fungerar i alla trianglar och är användbar om man känner till en vinkel och
dess motstående sida plus ytterligare ett mått. Beviset av satsen är en direkt
!
följd av areasatsen. Man skriver upp arean på tre sätt och förlänger med
.
!"#
Lös samtliga uppgifter.
När ger sinussatsen två fall? (sid 221-225)
Ekvationen
sin v = a
har "oftast" två lösningar i intervallet 0<v<180 (vilka undantag finns?).
Geometriskt och lite slarvigt formulerat svarar detta mot att vissa trianglar inte
blir entydigt bestämda, en vinkel i triangeln kan vara v eller 180−v t.ex.
I tabellen på sida 223 finns de olika möjligheterna uppradade med tillhörande
villkor på sidor och vinklar. Detta är inget att lära sig utantill, det är bättre att
vara vaksam när man löser uppgifterna och rekonstruera situationerna vid behov.
Det kan vara bra att inledningsvis, t.ex. genom en skiss eller i GeoGebra, försöka
skaffa sig en uppfattning om vilka och hur många trianglar som kan vara möjliga.
GeoGebra
Lös samtliga a-uppgifter samt udda b- och c-uppgifter.
Cosinussatsen (sid 226-230)
Detta är den sista av de trigonometriska satserna (areasatsen, sinussatsen,
cosinussatsen). Den är användbar t.ex. om man i en triangel känner två sidor och
mellanliggande vinkel och vill ta reda på återstående sida och vinklar. Kom ihåg
att en triangel är entydigt bestämd av just två sidor och mellanliggande vinkel så
det uppstår inte samma problem som med trianglarna i förra avsnittet. Varför kan
man förresten inte "fläska på" med sinussatsen om man känner två sidor och
mellanliggande vinkel?
Såhär ser cosinussatsen ut (med bokens beteckningar):
𝑐 ! = 𝑎! + 𝑏 ! -­‐ 2ab * cos C Observera att om vinkel C är rät så blir cosC=0 och så blir cosinussatsen helt
!
!
!
enkelt den gamla hederliga Pythagoras sats ( 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 ). Ett slarvigt sätt
att formulera detta är att cosinussatsen är en "tillfixad" variant av Pythagoras
sats som fungerar i alla trianglar (trubbvinkliga såväl som spetsvinkliga).
Uppgifterna 4256 och 4257 kan vara lite besvärliga, inte trigonometriskt utan för
att de utspelar sig i tre dimensioner. Pythagoras sats i tre dimensioner kommer
väl till pass. Tänk först, men om problem uppstår jämför med mina lösningar på
nämnda uppgifter.
Lös samtliga a-uppgifter (eller kolla i alla fall igenom), dessutom om man vill
4250, 4251, 4252, 4254a, 4256, 4257.
Tillämpningar och problemlösning (sid 231-233)
Inget nytt, men någon uppgift kan vara ganska svår. Förslagsvis löser man
uppgifter i något av alternativen nedan.
Lös: Alternativ 1; a-uppgifterna, 4266. Alternativ 2; 4266, 4268, 4269, 4270,
4272 (ganska svår).