1.5 Eksponentiell form

Eulertallet e
1.5 Eksponentiell form
Eulertallet
n
1
≈ 2, 7182818284
lim 1 +
n→∞
n
Caspar W. Hatlevik
Eulertallet er et irrasjonalt tall, med uendelig antall
desimaler
Vanligvis sier vi at e ≈ 2, 72
Nettundervisning HFK
September 11, 2015
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
1 / 13
Eulers formel
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
2 / 13
September 11, 2015
4 / 13
Radianer
Omregning fra grader til radianer
no
v=
·π
180o
Eulers formel
cos θ + i sin θ = eiθ
I Eulers formel må argumentet være et reelt tall. Vi må
derfor bruke absolutt vinkelmål, radianer
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
3 / 13
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
Eksempel
Eksempel 2
3π
til grader
Gjør om
2
Vi snur på formelen
Gjør om 120o til radianer
180
no
o
·
π
⇔
n
=
·v
v=
180o
π
180o 3π
o
n =
·
π
2
180 · 3
=
2
o
= 90 · 3 = 270o
120o
o
·π
120 =
180o
2
π
3
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
5 / 13
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
Eksponentiell form
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
6 / 13
Eksponentiell form
Eksponentiell form
Egenskaper
Husk at argumentet er gitt i radianer, slik at
Eulers formel sier at vi kan skrive komplekse tall med e
som grunntall og iθ som eksponent. Vi kan gjøre om tall
på polar form til eksponentiell form ved
1
1
1
π
0o = 0, 30o = π, 45o = π, 60o = π, 90o =
6
4
3
2
og
0o = 0, 90o =
r(cos θ + i sin θ) = reiθ ; θ i radianer
π
3π
, 180o = π, 270o =
, 360o = 2π
2
2
Da får vi at
π
3π
ei 2 = i, eiπ = −1, ei 2 = −i, ei2π = 1
π
3π
e−i 2 = −i, e−iπ = 1, e−i 2 = i, e−i2π = −1
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
7 / 13
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
8 / 13
Eksponentiell form
Eksponentiell form
Multiplikasjon og divisjon
π
Regn ut 3eπi · 2e 2 i
Vi husker potensreglene fra før
π
π
3eπi · 2e 2 i = 3 · 2 · eπi+ 2 i
2π
ea · eb = ea+b
ea
= ea−b
b
e
i
ai+bi
e
= e(a+b)
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
π
= 6e 2 + 2 i
= 6e
2π+π
2 i
3π
= 6e 2 i = −6i
September 11, 2015
9 / 13
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
Eksponentiell form
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
10 / 13
Eksponentiell form
Konjugasjon
πi
Regn ut
3e
π
2e 2 i
3eπi
3 eπi
= · πi
π
2 e2
2e 2 i
3 πi− π i
= e 2
2
3 2π π
= e 2 i− 2 i
2
3
3 π
= e2i = i
2
2
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
Husk at argumentet i den eksponensielle formen angir
vinkelen. Vi ser av figuren at cosinus og cosinus til den
negative vinkelen er lik. Samme gjelder for sinus
September 11, 2015
11 / 13
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
cos θ = cos(−θ), sin θ = − sin(−θ)
12 / 13
Eksponentiell form
Konjugasjon
Et komplekst tall z = reiθ har den konjugerte z = re−iθ
Caspar W. Hatlevik (Nettundervisning HFK)
1.5 Eksponentiell form
September 11, 2015
13 / 13