INF3170 / INF4171 - Naturlig deduksjon

Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
INF3170 / INF4171
Naturlig deduksjon
Andreas Nakkerud
25. august 2015
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Sunnhet
Bevissystem: Naturlig deduksjon
Vi skal se på en stuktur vi kaller utledning (eng: derivation).
En utledning D med konlusjon φ skrives
D
φ
Til å begynne med skal vi ikke definere meningsinnholdet av et
bevis, men vi skal hinte til betydninger der det helper oss å
rettfrediggjøre en definisjon.
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Modus ponens
Utledningene vi skal lage bygges opp fra regler (eng: rules).
Den første reglen vi innfører er motivert av den kjente reglen
modus ponens:
φ
φ→ψ
ψ
Intiusjonen bak denne reglen er at vi fra antakelsene φ og
φ → ψ kan konkludere ψ.
Reglen over kalles ofte →-eliminasjon (→ E ).
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
∧-introduksjon
Følgende regel er et eksempel på hvordan en utledning bygger
opp til større formler:
φ
ψ
φ∧ψ
Reglen over kalles ∧-introduksjon (∧I ).
Formlene over streken i en regel kalles premisser, formelen
under streken kalles konklusjonen.
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Sunnhet
Eksempel: En enkel utledning
φ1
φ1 → ψ1
→E
ψ1
ψ1 ∧ ψ2
ψ2
∧I
Konklusjonen i en regel kan være et premiss for en annen. På
denne måten bygger vi utledninger med flere premisser, men
kun én konklusjon.
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
∧-regler
Introduksjon:
φ
ψ
∧I
φ∧ψ
Eliminasjon:
φ∧ψ
∧E
φ
φ∧ψ
∧E
ψ
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
→-regler
Introduksjon:
[φ]
..
.
ψ
→I
φ→ψ
Eliminasjon:
φ
φ→ψ
→E
ψ
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
⊥-regler
Ex falsum sequitur quodlibet:
⊥
⊥
φ
Reductio ad absurdum:
[¬φ]
..
.
⊥
RAA
φ
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Sunnhet
Antakelser og lukking av antakelser
φ1
φ1 → ψ1
→E
ψ1
ψ1 ∧ ψ2
ψ2
∧I
Utledninger har en trestruktur der roten er konklusjonen og de
premissene som ikke også er konklusjoner er løvnodene. Disse
premissene kalles ofte antakelser (eng: hypothesis,
assumption).
Reglene RAA og → I tillater at vi lukker antakelser. Vi gjør
dette fordi antakelsene ikke lenger er premisser for
utledningens konklusjon.
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
[φ ∧ ψ]1
[φ ∧ ψ]1
∧E
∧E
ψ
φ
∧I
ψ∧φ
→ I1
φ∧ψ →ψ∧φ
I den nederste reglen eliminerer vi φ ∧ ψ som antakelse, ved å
ta delformelen inn i konklusjonen.
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Negasjon
I naturlig deduksjon lar vi ¬φ være en forkortelse for φ → ⊥.
[(φ → ⊥) → ⊥]1
[φ → ⊥]2
→E
⊥ RAA
2
φ
→ I1
((φ → ⊥) → ⊥) → φ
I anvendelsen av RAA konkluderer vi at antakelsen φ → ⊥
leder til en motsigelse, og vi konkluderer derfor φ uten
antakelsen φ → ⊥.
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Definisjon: Utledning
Mengden av utledninger er den minste mengden X slik at
φ ∈ X for alle φ ∈ PROP.
D0
D
0
D
D
Hvis
, 0 ∈ X , så er også φ
φ0 ∈ X .
φ
φ
φ ∧ φ0
D
D
D ∈ X , så er også φ ∧ ψ , φ ∧ ψ ∈ X .
Hvis
φ∧ψ
φ
ψ
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Definisjon: Utledning
φ
Hvis D ∈ X , så er også
ψ
[φ]
D
∈ X.
ψ
φ→ψ
D0
Hvis D ,
∈ X , så er også
φ
φ→ψ
D
D0
φ
φ → ψ ∈ X.
ψ
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Definisjon: Utledning
D
Hvis D ∈ X , så er også ⊥ ∈ X .
⊥
φ
[¬φ]
¬φ
Hvis D ∈ X , så er også D ∈ X .
⊥
⊥
φ
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Lukking av antakelser
Lukking av antakelser er ikke påbudt.
[φ ∧ ψ]1
φ∧ψ
∧E
∧E
ψ
φ
∧I
ψ∧φ
→ I1
φ∧ψ →ψ∧φ
Det er skjeldent meningsfullt å la antakelser stå åpne.
En utledning uten åpne antakelser kalles ofte et bevis (eng:
proof ).
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Lukking av antakelser
Det er kun tillatt å lukke antakelser i delbevisene som danner
premissene for reglen som lukker antakelsene.
[P]1
[P]1
[P]1
∧I
P ∧P
→ I1
P → (P ∧ P)
→E
P ∧P
∧E
P
Vi har nå et bevis for den atomære formelen P, noe vi trolig
ikke ønsker at skal være mulig.
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Definisjon: Relasjonen `
La Γ ⊆ PROP og φ ∈ PROP. Hvis det finnes en utledning
med konklusjon φ, der alle åpne antakelser forekommer i Γ,
sier vi at φ kan utledes fra Γ, og skriver Γ ` φ.
Dersom Γ = ∅ skriver vi ` φ, og sier at φ er et teorem.
Sunnhet
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Sunnhet
Eksempel
Vis at hvis Γ ∪ {φ} ` ψ, så har vi også at Γ ` φ → ψ.
φ
Anta at Γ ∪ {φ} ` ψ. Da finnes det en utledning D . Vi kan
ψ
[φ]
D
utvide denne utledningen til
, hvor alle åpne
ψ
φ→ψ
antakelser er i Γ.
Naturlig deduksjon
Regler
Bevis
Lemma: Sunnhet
Vi skal nå diskutere meningsinnholdet i utledningene vi har
definert. Følgende lemma sier at våre utledninger kun kan
komme til sanne konklusjoner:
Γ ` φ ⇒ Γ |= φ
(Sunnhet)
La D være en utledning med åpne antakelser i Γ, og med
konklusjon φ. Vi viser ved induksjon over D at Γ |= φ.
Sunnhet