Fiktive krefter Gravitasjon og planetenes bevegelser

Fiktive krefter
Gravitasjon og planetenes bevegelser
04.05.2015
FYS-MEK 1110
04.05.2015
1
Sentrifugalkraft
friksjon mellom passasjer og sete
 sentripetalkraft
 passasjer beveger seg i en sirkelbane
inertialsystem S

N

f

v2 
f  m er
R

G
roterende system S’

N

f

FA

G
FYS-MEK 1110
i roterende system sitter passasjer i ro
 kreves en kraft som kompenserer sentripetalkraft (=friksjon)
 sentrifugalkraft

v2 
FS   m er
R
sentrifugalkraft oppstår bare i det roterende systemet
 fiktiv kraft
 sentripetal- og sentrifugalkraft er ikke kraft-motkraft par
04.05.2015
2
Corioliskraft
inertialsystem
roterende system
B
B
A
A
C
C
person B dreier seg ut av skuddlinjen
mens ballen beveger seg mot ham
FYS-MEK 1110
04.05.2015
det oppstår en fiktiv kraft
som avleder ballen
 Corioliskraft
3
Transformasjon i et roterende koordinatsystem
   
vi antar A  0,   0
 
  


ma  ma  2m  v   m  (  r )
 

  F  FC  FS
Corioliskraft:

 
FC  2m  v 
er hastighetsavhengig
FYS-MEK 1110
04.05.2015
Sentrifugalkraft:

  
FS  m  (  r )
er posisjonsavhengig
4
Repetisjon: pendel i inertialsystem
radial retning: T  mg cos   maR  0

T

T  mg cos 
tangensial retning: FT  mg sin   maT

G
aT   g sin 
aT   R
pendelen beveger seg på en sirkelbane: vT   R
numerisk løsning:
5
4
3
2
phi [deg]
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
5
10
15
20
25
t [s]
FYS-MEK 1110
04.05.2015
5
Taylorrekke: sin 𝜑 = 𝜑 −
tangensial akselerasjon:
aT   g sin    R
𝜑3
3!
𝜑5
5!
+
−⋯
1.5

T

 R  g sin   0
sin 𝜑
1
𝜑
0.5
0
g
differensialligning
  sin   0
R
g
tilnærming for små vinkler:     0
R
ansats:
-0.5

G
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
𝜑 [rad]
for små vinkler: sin 𝜑 ≈ 𝜑
 (t )  A sin( t )  B cos( t )
 (t )  A cos( t )  B sin( t )
5
4
3
2
2
2
1
phi [deg]
(t )   A sin( t )   B cos( t )    (t )
2
0
-1
g
  2    0
R
initialbetingelser:
FYS-MEK 1110
-2
g

R
 ( 0)  B   0
04.05.2015
-3
-4
-5
0
5
10
15
20
25
t [s]
 (0)   A  0

 (t )   0 cos( t )
6
1.5
numerisk, ∆𝑡 = 0.001 s
analytisk med tilnærming sin 𝜑 = 𝜑
4
20
𝜑0 = 20°
0
0
-2
-10
-20
𝜑0 = 4°
2
phi [deg]
phi [deg]
10
0
2
4
t [s]
-4
6
0
2
4
t [s]
6
0
2
4
t [s]
6
0.01
0.4
diff. [deg]
diff. [deg]
0.005
-0.2
0
-0.005
-0.8
0
2
𝜑 = 20°= 0.3491 rad
sin⁡(20°) = 0.3420
FYS-MEK 1110
04.05.2015
4
t [s]
6
-0.01
differanse: numerisk – analytisk
𝜑 = 4°= 0.06981 rad
sin⁡(4°) = 0.06976
7
Corioliskraft på jorden
vi definerer et koordinatsystem for
et sted med geografisk bredde :
x akse: øst
y akse: nord
z akse: oppover
y



z

vinkelhastighet:

tangensial komponent mot nord
radial komponent opp (nordlige halvkule)
ned (sørlige halvkule)

   cos  ˆj   sin  kˆ

en masse beveger seg med hastighet v

 
FC  2m  v
 2m( cos  ˆj   sin  kˆ)  (v x iˆ  v y ˆj  v z kˆ)

 2m v x cos  kˆ  vz cos  iˆ  v x sin  ˆj  v y sin  iˆ
FYS-MEK 1110
04.05.2015

8
Focault pendel
FC , x  2mv y sin   vz cos  
FC , y  2mv x sin 
FC , z  2mv x cos 
for en lang pendel er vz  0
horisontal Corioliskraft:
FC , x  2mv y  sin 
FC , y  2mvx  sin 
𝑦
Corioliskraft på pendelen er
avhengig av geografisk bredden 𝜃:
𝑥
maksimal på polen
null på ekvator


y
z

FYS-MEK 1110
04.05.2015
9
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Hvor mye tid tar det før pendelen
på fysisk institutt har rotert 360?
1. mindre enn 24 timer
2. nøyaktig 24 timer
3. mer enn 24 timer
FYS-MEK 1110
04.05.2015
10
jorden bruker 23,9345 timer
for en omdreining (siderisk døgn)
pendel på Nordpolen:
jorden dreier seg under
pendelen i 23.9345 timer

   ĵ


y 𝜃
z
pendel i Oslo (𝜃 = 60):
pendel svinger i xy planet
 z   sin 
pendel på ekvator (𝜃 = 0):
ingen vertikal komponent z
ingen Corioliskraft
FC , x  2mv y  sin 
FC , y  2mvx  sin 
FYS-MEK 1110
04.05.2015
𝜃
vinkelhastighet om z aksen
er mindre, perioden lenger:
T
23.9345 h
 27.64 h
sin 60
11


Sentrifugalkraft på jorden

  
FS  m  (  r )
sentrifugalkraft:
sentrifugalakselerasjon:
på ekvator:
  

aS    (  r )
aS   2 R
på breddegrad :

R

FS
aS   2 R cos 
tyngdeakselerasjon er rettet mot jordens sentrum
den resulterende akselerasjonen er generell ikke radial
radial komponent:
g r   g0  as cos    g0   2 R(cos  ) 2
tangensial komponent:
gt  as sin    2 R cos  sin 
FYS-MEK 1110
04.05.2015
12
radial komponent:
g r   g 0   R(cos  )
2
tangensial komponent:
2
g t   2 R cos  sin 

R
siderisk døgn: T = 23.9345 h = 86164 s

2
 7.292 105 s -1
T
jordens radius:
gt  0
Oslo (59.9):
Paris (48.8):
g r  9.817 m/s 2
gt  0.0147 m/s 2
gt  0.0168 m/s 2
Ekvator:
g r  9.798 m/s 2
gt  0
tangensialakselerasjon mot ekvator
 jordens radius er større på ekvator enn på polene
FYS-MEK 1110

FS
R  6.38 106 m
g r  9.832 m/s 2
g r  9.8235 m/s 2
Nordpol:


04.05.2015
Rekv  6378.137 km
Rpol  6356.752 km
13
konsekvens av utflatning:
gravitasjonskraft fra solen på jorden gir et kraftmoment
d 
l
spinn forandrer seg i retning av kraftmomentet  
dt

 presesjonsbevegelse
periode: 25800 a
Polaris
solen
Vega
FYS-MEK 1110
04.05.2015
14
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Månens masse er 1/81 av Jordens masse.
Sammenliknet med gravitasjonskraften
som Jorden utøver på månen, så er
gravitasjonskraften månen utøver på
Jorden:
A.
B.
C.
D.
E.
Jorden
Månen
81² = 6561 ganger større
81 ganger større
like stor
1/81 så stor
(1/81)² så stor

mm 
F1 på 2  G 1 3 2 r12
r12
kraft-motkraft par


r12  r21
FYS-MEK 1110
04.05.2015
15
Newtons gravitasjonslov
mellom ethvert partikkelpar i universet gjelder:

mm
F1 på 2  G 1 2 2 uˆr
r12
  
hvor r12  r2  r1

r12
uˆr  
r12

mm 
F1 på 2  G 1 3 2 r12
r12
FYS-MEK 1110
04.05.2015
16
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En astronaut med masse 𝑚𝐴 = 75 kg veier
𝑊𝐽 = 𝑚𝐴 𝑔 = 735.75 N på jorden. Hvor mye
veier han i en romferje som befinner seg i en
orbit 200 km over jordens overflate?
A.
B.
C.
𝑊𝑅𝐹 = 0 N
𝑊𝑅𝐹 = 689.8 N
𝑊𝑅𝐹 = 735.8 N
på jorden:
WJ  G
mJ m A
2

m
g

75
kg

9.81
m/s
 735.8 N
A
RJ2
i romferjen:
WRF  G
mJ m A
 75 kg  9.2 m/s 2  689.8 N
2
(6380 km  200 km)
romferjen er i fritt fall rundt jorden
 astronaut føler seg vektløs
FYS-MEK 1110
04.05.2015
17
Ekvivalensprinsippet
gravitasjonskraft:
FG  G
Newtons andre lov:
m1m2
r2
for et legeme som befinner
seg på jordens overflate:
m
FG  mG J2  mg
RJ
Vi kan bruke gravitasjonsloven
for å definere masse:
mG 
FG
g
FYS-MEK 1110
F  ma
Vi kan bruke N2L for å definere masse:
ma 
F
a
ekvivalensprinsip:
inertialmasse
ma  mG
 𝑎=𝑔
Alle legemer faller like rask i
jordens tyngdefelt (i vakuum).
gravitasjonell masse
04.05.2015
18
Tankeeksperiment
Hvordan vet du at du befinner
deg i jordens tyngdefelt?
Hvordan vet du at du at du er vektløs?
FYS-MEK 1110
04.05.2015
19
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Kan du bruke en heliumballong for å finne ut
om du er på jorden eller i en akselerert rakett?
I raketten
A.
B.
C.
stiger ballongen opp.
synker ballongen ned.
er ballongen i ro.
FYS-MEK 1110
04.05.2015
20
https://www.youtube.com/watch?v=y8mzDvpKzfY
FYS-MEK 1110
04.05.2015
21