4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom
I
Vektorrom er en abstraksjon av Rn .
I
De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder
for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter :
n-tupler, følger, funksjoner, polynomer, matriser, ....
I
Vektorrom inneholder mange interessante ”underrom”, som
selv er vektorrom.
1 / 16
Vektorrom
Definisjon. Et (reelt) vektorrom er en mengde V , der elementene
kalles vektorer, som er utstyrt med to operasjoner:
addisjon og multiplikasjon med skalar.
Med en skalar menes her et reelt tall.
Det kreves at følgende ti egenskaper (ofte kalt aksiomer) holder for
alle u, v, w ∈ V og c, d ∈ R:
1. Addisjon av u og v betegnes med u + v og ligger i V .
(dvs. V er lukket under addisjon).
2. u + v = v + u.
3. (u + v) + w = u + (v + w).
4. Det fins en nullvektor 0 slik at u + 0 = u.
5. For hver u ∈ V fins en vektor −u ∈ V slik at u + (−u) = 0.
NB: Fortsetter neste side !
2 / 16
Vektorrom (fortsettelse av definisjon)
6. Skalart multippel av u med c betegnes med c u og ligger i V
(dvs. V er lukket under multiplikasjon med skalar).
7. c (u + v) = c u + c v.
8. (c + d) u = c u + d u.
9. c (d u) = (cd) u.
10. 1 u = u.
Merk: Det er opplagt at Rn med sine vanlige operasjoner er et
(reelt) vektorrom.
Notasjon. Egenskap 3 gir at vi ikke trenger å bruke paranteser når
det gjelder summer med flere vektorer. Vi skriver f.eks.
v1 + v2 + v3 + v4 i stedet for
(v1 + v2 ) + v3 + v4 .
3 / 16
Noen eksempler på vektorrom.
I
”Signalrommet” S som består av alle reelle følger av typen
x = {xj }∞
j=−∞ = (. . . , x−2 , x−1 , x0 , x1 , x2 , . . .)
utstyrt med operasjonene
x + y = (. . . , x−2 + y−2 , x−1 + y−1 , x0 + y0 , x1 + y1 , x2 + y2 , . . .) ,
c x = (. . . , c x−2 , c x−1 , c x0 , c x1 , c x2 , . . .)
der x, y ∈ S og c ∈ R.
I
Tilsvarende kan man betrakte følgerommet F som består av
alle reelle følger av typen
x = {xj }∞
j=1 = (x1 , x2 , x3 , . . .) ,
utstyrt med tilsvarende operasjoner.
4 / 16
Eksempler på vektorrom (fortsettelse)
I
Mengden F(D, R) som består av alle reelle funksjoner definert
på en mengde D, utstyrt med operasjonene f + g og c f
definert ved
(f + g )(t) = f (t) + g (t),
(c f )(t) = c · f (t) ,
for alle t ∈ D , der f , g ∈ F(D, R) og c ∈ R.
I
Mengden Mm×n som består av alle m × n (reelle) matriser er
et vektorrom når den betraktes med sine vanlige operasjoner
A + B og c A.
Noen skriver Rm×n eller Mm×n (R) i stedet for Mm×n .
Vi skriver ofte Mn (eller Mn (R)) i stedet for Mn×n .
5 / 16
Merk: Man kan også definere komplekse vektorrom, dvs.
vektorrom der skalarene er komplekse tall i stedet for reelle tall.
Kommer tilbake til dette i avsn. 5.5.
La V være et vektorrom. Fra egenskapene 1 − 10 kan man utlede
andre egenskaper. F.eks. gjelder:
I
Nullvektoren 0 i V er entydig bestemt.
I
Hvis u ∈ V , er −u entydig bestemt.
Videre gjelder:
I
0u = 0
I
c0=0
I
c u = 0 ⇒ c = 0 eller u = 0
I
−u = (−1) u
6 / 16
Underrom
La V være et vektorrom. Visse delmengder av V er av spesiell
interesse:
Definisjon. En delmengde H av V kalles et underrom dersom:
a) Nullvektoren 0 i V ligger i H,
b) H er lukket under addisjon (dvs. u, v ∈ H ⇒ u + v ∈ H),
c) H er lukket under multiplikasjon med skalar
(dvs. u ∈ H, c ∈ R ⇒ c u ∈ H).
Merk: H blir da selv et vektorrom når det utstyres med
operasjonene som den ”arver” fra V .
7 / 16
Noen eksempler på underrom.
I
{0} og V er alltid underrom av V .
I
En linje i R2 (eller i R3 ) som går gjennom origo er et
underrom av R2 (eller av R3 ).
I
Et plan i R3 som går gjennom origo er et underrom av R3 .
I
La P være mengden av alle reelle polynomer i en reell variabel.
Så p ∈ P hvis og bare hvis
p(t) = c0 + c1 t + c2 t 2 + · · · + cn t n
for alle t ∈ R, der c0 , c1 , . . . , cn ∈ R og n er et naturlig tall
eller 0.
Da er P et underrom av F(R, R).
I
La Dn bestå av alle n × n diagonale matriser. Da er Dn et
underrom av Mn .
8 / 16
Underrom utspent av en mengde
La V være et vektorrom.
Definisjon. La v1 , . . . , vp være vektorer i V og λ1 , . . . , λp ∈ R.
Vektoren
p
X
v=
λj vj = λ1 v1 + · · · + λp vp
j=1
kalles en lineær kombinasjon av v1 , . . . , vp .
Vi lar Span{v1 , . . . , vp } betegne mengden som består av alle
lineære kombinasjoner av v1 , . . . , vp . Dette betyr at
n
o
Span{v1 , . . . , vp } = λ1 v1 + · · · + λp vp | λ1 , . . . , λp ∈ R .
9 / 16
Teorem 1. La v1 , . . . , vp ∈ V .
Da er H := Span{v1 , . . . , vp } et underrom av V .
Vi sier at H er underrommet utspent av v1 , . . . , vp . Når
H = Span{v1 , . . . , vp } sier vi også at {v1 , . . . , vp } utspenner H.
Eksempel. La n være et naturlig tall eller 0. Definer Pn ⊂ P ved
n
o
Pn = p ∈ P | polynomet p er av grad høyst n .
Da er
Pn = Span p0 , p1 , . . . , pn
der p0 , p1 , . . . , pn ∈ P er definert ved
p0 (t) = 1 , p1 (t) = t , . . . , pn (t) = t n ,
for t ∈ R.
Så Pn er et underrom av P.
10 / 16
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
Definisjon. Nullrommet til en m × n matrise A er definert ved
Nul A = x ∈ Rn : Ax = 0 .
Dette er de vektorene som avbildes på nullvektoren 0 under den
lineære avbildningen x → A x.
Definisjon. Kolonnerommet til en m × n matrise A er delmengden
av Rm definert ved
Col A = Span{a1 , a2 , . . . , an }.
der A = a1 a2 · · · an .
Merk at Col A = {A x : x ∈ Rn } . Dette betyr at Col A er
rekkevidden (= bildet) til avbildningen x → A x.
Teorem 2 og 3. Nul A er et underom av Rn , mens Col A er et
underrom av Rm .
11 / 16
Lineære avbildninger
Definisjon. La V og W være to vektorrom. En funksjon
T : V → W kalles en lineær avbildning (eller en lineær
transformasjon) dersom den “bevarer linearitet”, dvs. at
T (u + v) = T (u) + T (v) (u, v ∈ V )
T (c u) = c T (u)
(u ∈ V , c ∈ R).
Eksempel. Standardeksemplet er når V = Rn , W = Rm , A er en
m × n matrise og TA : V → W er gitt ved
TA (x) = A x
for x ∈ Rn .
Definisjon. For en lineær avbildning T : V → W definerer vi
I Kjernen (eller nullrommet) til T er underrommet av V gitt
ved:
KerT = {v ∈ V : T (v) = 0}
I
Rekkevidden (eller bildet) til T er underrommet av W gitt
ved:
RanT = {T (v) : v ∈ V }
12 / 16
Eksempel. La V være vektorrommet som består av alle deriverbare
funksjoner fra R inn i R. For f ∈ V , sett
D(f ) = f 0 .
Da er D en lineær avbildning fra V inn i W = F(R, R). Da er
KerD = {f ∈ V : f 0 = 0} underrommet av V som består av alle
konstantfunksjonene.
Eksempel. La V være vektorrommet som består av alle to ganger
deriverbare funksjoner fra R inn i R. For f ∈ V , sett
T (f ) = f + af 0 + bf 00
der a, b er (reelle) konstanter. Da er T en lineær avbildning fra V
inn i W = F(R, R). Kjernen til T er løsningene av den homogene
lineære annenordens differensiallikningen
y + ay 0 + by 00 = 0
13 / 16
4.3 Lineært uavhengige mengder, basiser
La V være et vektorrom.
Definisjon. La v1 , v2 , . . . , vp være vektorer i V . Vektorene
v1 , v2 , . . . , vp kalles lineært uavhengige dersom vektorlikningen
(∗)
λ 1 v1 + λ 2 v2 + · · · + λ p vp = 0
der λ1 , λ2 , . . . , λp er skalarer, bare har løsningen
λ1 = λ2 = · · · = λp = 0 .
I
Dersom likningen (∗) holder når minst en av λj -ene ikke er
null, sier vi at (∗) er en lineær avhengighetsrelasjon for vj -ene.
I
Anta V = Rm og la A være matrisen med kolonner
a1 , v2 , . . . , an . Da er disse vektorene lineært uavhengige hvis
og bare hvis Nul A = {0}.
.
14 / 16
Teorem 4. Anta p ≥ 2. Da er v1 , v2 , . . . , vp lineært uavhengige
hvis og bare hvis ingen av vj -ene kan skrives som en lineær
kombinasjon av de øvrige.
Definisjon. La H være et underrom av et vektorrom V . En endelig
mengde B = {b1 , b2 , . . . , bp } av vektorer i H kalles en basis for H
dersom
I
b1 , b2 , . . . , bp er lineært uavhengige, og
I
H = Span{b1 , b2 , . . . , bp }.
Eksempel. Vektorene e1 , e2 , . . . , en som er kolonnene i identitetsmatrisen In gir en basis for Rn . Den kalles standardbasisen for Rn .
Eksempel. Polynomene 1, t, t 2 , . . . , t n er en basis for vektorrommet
Pn av polynomer av grad høyst n.
15 / 16
Definisjon. La H være et underrom av V . En endelig delmengde S
sies å utspenne H dersom Span S = H .
I
Ved å fjerne “overflødige” vektorer fra en slik mengde S vil vi
til slutt ende opp med en basis for H:
Teorem 5. Anta at S utspenner H og H 6= {0}. Hvis en av
vektorene i S er en lineær kombinasjon av de øvrige vektorene i S,
vil disse øvrige vektorene i S fremdeles utspenne H. En delmengde
av S vil derfor alltid være en basis for H.
Teorem 6.: La A = a1 | · · · | an være en matrise og la R være
den reduserte trappeformen til A (m.a.o., sett R = rref (A)).
I
Kolonnene i A som svarer til pivotkolonnene i R danne en
basis for Col A = Span{a1 , . . . , an } .
Merk! Hvis Nul A 6= {0}, kan vi finne en basis for Nul A ved å
løse systemet R x = 0 og skrive ut x som en lineær kombinasjon av
vektorene som fremkommer ved å skille ut de frie variablene; disse
vektorene er lineært uavhengige, så de danner en basis for Nul A.
16 / 16