תרגיל – נוסחאות נסיגה ופונקציות יוצרות

Comments

Transcription

תרגיל – נוסחאות נסיגה ופונקציות יוצרות
‫מבנים בדידים וקומבינטוריקה – סמסטר ב' תשע"א‬
‫עודכן בתאריך ‪ 26.0.‬בשעה ‪ .00:00‬כל העדכונים מודגשים בצהוב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ – 6‬נוסחאות נסיגה ופונקציות יוצרות‬
‫‪ .0‬פתרו את נוסחאות הנסיגה הבאות‪:‬‬
‫א‪A0 = 1, A1 = 6 .‬‬
‫ב‪A0 = 0, A1 = 3 .‬‬
‫ג‪A0 = 1, A1 = 3 .‬‬
‫‪an = 8an-1 - 15an-2‬‬
‫‪an = an-2‬‬
‫‪an = 2an-1 - an-2‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬בכמה סדרות בינאריות באורך ‪ n‬אין זוג אפסים צמודים?‬
‫ב‪ .‬בכמה סדרות מעל }‪ {0,1,..,k‬באורך ‪ n‬אין זוג אפסים צמודים? (הביעו‬
‫כביטוי של ‪.)k‬‬
‫‪ .0‬מהו מספר הסדרות באורך ‪ n‬מעל }‪ {0,1,2‬שבהן הספרה הראשונה והאחרונה איננה‬
‫אפס‪ ,‬ובנוסף אין בהם זוג איברים עוקבים זהים?‬
‫‪ .4‬מהו מספר הסדרות באורך ‪ n‬מעל }‪ {0,1,2,3,4‬שבהן ההפרש בין כל זוג איברים‬
‫עוקבים הוא ‪ 0‬בערך מוחלט (‪ 0‬או ‪?)-0‬‬
‫‪ ..‬נתון )‪ G=(V,E‬הגרף לא מכוון הבא‪:‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V7‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪V5‬‬
‫‪V6‬‬
‫חשבו את מספר המסלולים האפשרי עם ‪ n‬צלעות המתחילים ב‪.v1 -‬‬
‫‪ .6‬מצאו את הפונקציות היוצרות של הסדרות הבאות (נוסחאות פשוטות)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 9 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ n  n 0‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪  9 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪  n  n 0‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪.7‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪an = n .‬‬
‫ה‪an = n2 .‬‬
‫א‪ .‬מצאו את המקדם של ‪ x‬בביטוי ) ‪. (k 0 x‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את המקדם של ‪ x20‬בביטוי ‪. (k 0 x k ) 6‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x  2 x 3  3x 9  4 x15  x17  8 x 30‬‬
‫מצאו את המקדם של ‪ x25‬בביטוי‬
‫‪1 x‬‬
‫‪.‬‬
‫מבנים בדידים וקומבינטוריקה – סמסטר ב' תשע"א‬
‫עודכן בתאריך ‪ 26.0.‬בשעה ‪ .00:00‬כל העדכונים מודגשים בצהוב‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את המקדם של ‪ x20‬בביטוי ‪. (k 2 x k ) 5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .8‬הוכיחו ע"י שיקולים קומבינטוריים שהמקדם של ‪ x2n+1‬בפולינום ‪ (k 0 x k ) 3‬שווה‬
‫‪n‬‬
‫למקדם של ‪ x2n-2‬בפולינום ‪. (k 0 x k ) 3‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ .9‬יהי ‪ an‬מספר הפתרונות של המשוואה ‪ x1 + x2 + x3 + x4 = n‬בשלמים לא‪-‬שליליים‬
‫כאשר ‪ . x1  x2  x3  x4‬מצאו את הפונקציה היוצרת של הסדרה ‪.an‬‬
‫‪ .00‬מהו מספר הדרכים לחלק ‪ 7‬כדורים ירוקים‪ 9 ,‬אדומים ו‪ 00-‬צהובים לשתי קבוצות‬
‫שוות גודל‪ ,‬כאשר הקבוצות אינן מתוייגות?‬
‫‪ .00‬נתונים ‪ g‬כדורים ירוקים‪ r ,‬כדורים אדומים‪ ,‬ו‪ y -‬כדורים צהובים‪ .‬סה"כ ישנם ‪2n‬‬
‫כדורים‪ ,‬וידוע ש‪ .g,r,y < n -‬מה מספר האפשרויות לבחור ‪ n‬כדורים?‬
‫‪ .02‬נתון ש‪ . 1  x 3m  k 0 bk x k , 1  x  x 2   k 0 ak x k -‬הוכיחו ש‪-‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪6m‬‬
‫‪ 3m ‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪. k 0 a k b3mk   ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪ .00‬נתונים כדורים ב ‪ 4‬צבעים שונים ‪,‬כאשר יש כמות בלתי מוגבלת של כדורים מכל‬
‫צבע‪ .‬מהו מספר בחירות הכדורים ל‪ 6 -‬כדורים כאשר בכל בחירה לא נבחרים יותר מ‪-‬‬
‫‪ 2‬כדורים מאותו הצבע?‬
‫‪ .04‬חשבו את נוסחת הנסיגה הבאה‪:‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪, a0  3‬‬
‫‪. a n  a n 1  2‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪ .0.‬סטודנט זקוק ל‪ 020 -‬נקודות אקדמיות (בדיוק) בשישה סמסטרים כדי להיות זכאי‬
‫לתואר‪ .‬בכל סמסטר יכול הסטודנט ללמוד קורסים השווים סה"כ ‪ 07-20‬נקודות זכות‬
‫אקדמיות‪ .‬בכמה אופנים יכול הסטודנט לחלק את הנקודות בין ששת הסמסטרים?‬
‫‪ .06‬חשבו את הסכומים הבאים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪n  k ‬‬
‫‪‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪k 0 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪k  n  n  k ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪l  n,‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 0‬‬