Page Perso Patrick LANUSSE

Modélisation et Commande Linéaires
des Systèmes
Des principes à la commande PID
Patrick LANUSSE
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IPB 2012/2013
Cybernétique et Automatique
•Platon utilisait kubernêtikê (Κυβερνητική) pour désigner le pilotage
d’un navire (mot à l'origine de gouvernail, gouvernement, etc.).
Transformé en Cybernétique par André-Marie Ampère en 1834,
puis par Norbert Wiener 1947.
•Automatique vient du mot Automata : mécanisme automatique
permettant de réaliser des opérations susceptibles d'être exécutées
par l'homme.
•Actuellement (Nouveau Petit Robert) : « ensemble des disciplines
scientifiques et des techniques utilisées pour la conception de la
commande et du contrôle des processus »
•L'automatique a donc notamment pour objet le développement
"intelligent" de systèmes de commande automatiques, c'est-à-dire ne
nécessitant plus d'intervention humaine une fois conçues.
Al-Jaziri
Automata, 1315
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2
Automatique/Automatismes
2 types de systèmes sont définis :
• les Systèmes à Evénements Discrets (SED)
caractérisés par une évolution saccadée et
rythmée par l'apparition d'événements subis
• les systèmes à temps continus (dits systèmes
continus).
Même si la discipline mère est l’Automatique, on parle généralement :
• d‘Automatismes pour la commande des SED
• d’Automatique (ou contrôle-commande) pour celle des systèmes
continus.
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3
Système à temps continu (ou discret)
Un système est un transformateur de signal qui :
•possède un comportement dynamique.
système
sorties
•génère des sorties
entrées
•est sollicité par des entrées exogènes (extérieures au système)
Les entrées peuvent êtres imposées (objectifs, commande) ou subies (entrées de
perturbation).
Un système peut transformer
•des informations et opérer sur la base d'un algorithme logique
•des énergies quand il est physique.
Les systèmes sont causaux : l'effet ne peut précéder la cause.
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4
Exemple d'un système physique (thermique)
Ensoleillement
75°F
Température extérieure
12h
Température intérieure
24h
12h
Commande manuelle radiateurs
12h
24h
12h
habitation
Exemple d'un système logique (fonction sqrt)
y ← y0
x1/2 ← y
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│y2 – x│≤ ε
y ← y + α (x - y2)
5
Association de systèmes
S6
S3
S1
S5
S4
S2
S1 et S2 sont commandés par S3 et S4 en fonction de leurs états réciproques.
Ils contribuent à l'évolution du système S5 qui à travers S6 permet de rétroagir sur S3.
Tout processus de transformation de signaux/informations/énergies peut être modélisé
en utilisant une approche dite "système".
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6
Système naturellement en contre-réaction
Prenons le cas d’une population animale herbivore H
qui exploite une zone fourragère F (d’ensoleillement S ) et proie d’une population carnivore C.
Imaginons que par une baisse de S, F diminue avec une certaine
dynamique (inertie). De même, par manque de nourriture,
H va diminuer, puis C va diminuer.
F va alors se reconstituer (partiellement, S ayant tout de même
diminué), puis H (d’autant plus que C a diminuée) et enfin C.
Soleil
S
+
-
F
+
-
H
Fourrage
Herbivores
Carnivores
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+
C
Le fourrage régule
les herbivores et réciproquement.
7
Loi de commande
• génère un signal de commande qui permet de maîtriser l'évolution
des sorties d'un système physique (ou pas) appelé aussi procédé 1
• processus d'origine logique 2
Loi de Commande
• tient compte de la connaissance
du procédé
5
• établie à partir de spécifications
de performance 3
2
3
4
6
1
6
7
7
Procédé
• établie à partir de contraintes 4
• tient compte des objectifs (consignes ou signaux de référence) 5
et éventuellement du contexte (milieu ambiant et évolution du procédé)
6
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7
8
Du système à commander
au système de commande en 3 étapes
1 Identification (modèle de comportement – mesures, données)
ou Modélisation (modèle de connaissance – principes physiques, etc.)
du comportement dynamique du procédé
modèle(s)
2 Synthèse (ou design) d'une loi de commande en fonction
du modèle(s) et du cahier des charges
loi de commande mathématique
3 Implantation physique de la loi de commande
sous forme mécanique, hydraulique, pneumatique,
electronique analogique ou/et numérique, algorithmique dans un calculateur.
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9
Objectifs d'une loi de commande
• Stabiliser l'état du procédé s'il
est naturellement instable
• Asservir l'évolution de la (ou
des) sortie(s) du procédé
aux variations de la (ou des)
consigne(s)
• Générer des performances
conformes au cahier des
charges
• Atténuer l'influence du milieu
ambiant (perturbations)
• Assurer des performances
indépendantes de l'état réel du
procédé (variations,
incertitude)
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[θref(t),yref(t)]
Loi de f(t)
commande
[θ(t),y(t)]
10
Agir sur un système … quand on est confiant :
la commande dite "en boucle ouverte"
En fonction de son comportement et de son environnement connu, appliquer à un
système le signal de commande (l'entrée) nécessaire pour que sa sortie atteigne une
valeur désirée.
On parle aussi de
•commande en chaîne directe ☺
•commande par précompensation ☺
•commande de type feed-forward (alimenter par l'avant)
yref
u
Loi de Commande
Procédé
y
yref
u
p
y
: signal de référence
: signal de commande
: signal de perturbation
: signal de sortie
p
On considère ici que le système va réagir comme on l'imagine, c'est-à-dire obéir à un
comportement nominal.
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11
Ouverture des portes du temple d'Olympie
(Héron d'Alexandrie - env. 50 av. JC)
Automatisme très ancien dont l'objectif était de créer une ambiance surnaturelle
La chaleur du feu augmente le volume de l'air présent dans le socle du foyer
qui communique avec la boule préalablement remplie à moitié d'eau.
L'augmentation de pression pousse cette eau vers le bac qui va descendre.
Grâce aux poulies, les portes s'ouvrent.
Le contrepoids remonte.
A l'extinction du feu, l'air du socle se refroidit.
La pression diminuant, le contrepoids descend.
Les portes se referment et l'eau retourne dans la sphère.
ouverture
désirée
pression
ouverture
gestion du feu
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cailloux, humidité, etc.
12
Les premières machines à vapeurs
(de Héron au XVIIIe siècle)
De nombreuses machines à vapeur ont été imaginées :
• Héron et son éolipile (boule d'Eole)
• Reprise au début du XVIIIe par les anglais (industrie) puis les
français (systèmes d'élévation d'eau pour les jardins du roi …)
• Papin (invention de la soupape de sécurité)
• Cugnot et … (pour le transport)
• Fin XVIIIe, généralisation en Europe des centrales
de production d’énergie
énergie
mécanique
désirée
pression
alimentation du feu
énergie
utilisée
Gauthier et Anthony (10 ans)
Chamrousse (2002)
fuites,frottements,charge,etc.
On note généralement une grosse influence du milieu ambiant sur la vitesse obtenue
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13
Linéarisation d’amplificateur
(Harold S. Black – 1923, feedforward en sortie)
Résultat obtenu dans le cadre de l’amélioration des premiers systèmes de télécommunication
proposé par les laboratoires Bell. Un des principaux problèmes était la présence de phénomènes
de distorsion générés par les
amplificateurs audio.
L’idée de Black a été de construire un signal correspondant au niveau de distorsion
afin de le soustraire au signal amplifié.

A 
Vout Vin = A1 + A2 1 − 1 
 G1 
Vin
A1
G1 : gain linéaire désiré
1/G1
+
-
ε
+
Vout
Vout Vin = G1 quand A2 = G1
A2
Rq : Tous les éléments de compensation doivent être parfaitement définis
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14
(Ré)Agir sur un système :
la commande en boucle fermée
Permet de vérifier l’effet du signal de commande appliquée au procédé pour éventuellement
en modifier la valeur.
Consiste à appliquer à l'entrée d'un système une commande dont la valeur
dépend de la comparaison des valeurs désirée et mesurée de la sortie à asservir.
On parle aussi de commande par rétroaction (feedback en anglais) ou de commande par
contre-réaction.
Loi de Commande Procédé
yref
ymes
u
p
yref : signal de référence
u : signal de commande
p : signal de perturbation
ymes : signal de sortie mesurée
+ Rejet de l’effet des perturbations
+ Atténuation de l’effet d’une connaissance imparfaite du procédé
+ Stabilise la sortie d’un système instable
- Nécessité d’un organe de mesure (capteur)
Remarque : c'est par opposition que la commande en chaîne directe
est souvent appelée commande en boucle ouverte.
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15
La commande en boucle fermée :
une copie de la nature
Tout système naturel qui « fonctionne », c’est à dire qui est maintenu en équilibre
est souvent un système en boucle fermée. Le corps humain est un système contreréactionné extrêmement sophistiqué.
Il est si complexe que sa modélisation complète n’a jamais été réalisée.
état idéal
décisions
état réel
stimuli
Toutes les fonctionnalités
sont ici couplées :
système hautement mulitvariable
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état
stimulus
décision
température
chaleur
transpiration
imp. de satiété
horloge
alimentation
taux de sucre
alimentation
insuline
deg. de fatigue
mouvement
repos
équilibre
effort
mouvement
rempl. estomac
alimentation
digestion
énergie dispo.
effort
alimentation
…
…
…
16
La cybernétique
Unis par leur intérêt commun pour les mécanismes de causalité circulaire, entre 1942 et 1953
un groupe interdisciplinaire de mathématiciens, logiciens, anthropologues, psychologues et
économistes se donnent pour objectif d'édifier une science générale du fonctionnement de
l'esprit. En 1948, Norbert Wiener définit la cybernétique comme une science qui étudie
exclusivement les communications et leurs régulations dans les systèmes naturels et artificiels.
Bien que très générale, la cybernétique va alors se focaliser sur l'humain,
la copie du vivant (robotique) et la société.
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17
Régulateur de niveau d’eau
Clepsydre de Ctésibios (IIIe av. J. C.)
Dans un clepsydre (ancêtre de la montre),
comment assurer une alimentation constante ?
Solution : utiliser un réservoir secondaire pour
l'alimentation. La hauteur d'eau est maintenue
constante afin d'assurer débit de la fuite
constant (fonction de la racine carré de la
hauteur).
•trop d’eau
• pas assez d’eau
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le flotteur vient obstruer l'alimentation
le flotteur libère l'orifice d'alimentation
18
Régulateurs de niveau d’eau
- améliorations -
Fontaine à vin – Héron d'Alexandrie (Ie av. JC)
Mesure de la hauteur et action
d'ouverture/fermeture déportées
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Abreuvoir – frères Banu Musa
(Bagdad IXe ap. JC)
Création d'un actionneur plus précis
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Régulateur de niveau d’eau
pour chaudière de machine à vapeur
(Polzunov - 1765)
•Dans une chaudière de générateur de vapeur :
• trop d’eau
• pas assez d’eau
chauffe insuffisante et pas de vapeur
trop de vapeur et risque de surchauffe
Pour l'alimentation en air des fours sidérurgiques, Polzunov propose donc un système de
régulation équipé d’un flotteur.
vapeur
eau
hauteur désirée
Loi de Commande
ouverture
clapet
Procédé
∫ dt
hauteur
d’eau
vapeur
produite
Rq. : Machine à vapeur introduite en Russie par John Desaguliers, inventeur du planétarium
et fils d'un protestant rochelais exilé à la suite de la révocation de l'édit de Nantes …
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20
Régulateur à boule de Watt
(fly-ball governor : Watt&Boulton - 1780)
Après 10 ans de collaboration et de développement de machines à vapeur, James Watt (le
créateur) et Boulton (l’industriel) proposent une machine équipée d’un système générant
une vitesse de rotation régulée.
Plus l’axe tourne vite, plus les boules s’écartent
et abaissent la bague hh’.
La tringlerie permet de réduire l’ouverture de la
valve d’alimentation en vapeur.
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21
Régulateur à boule de Watt (2)
Procédé
vapeur
fuites
utilisable frottements
vapeur
ouverture
admise
valve
vitesse de
rotation
écartement
des boules
vitesse
force centrifuge
désirée
machiniste
rapport de
démultiplication
Loi de Commande
Pour de nombreuses applications, ce régulateur
sera utilisé jusqu'au milieu du XXe siècle.
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22
Servo-moteur – Asservissement de gouvernail
(Joseph Farcot - 1873)
Considéré comme l'inventeur moderne des systèmes d'asservissement (avant on
faisait essentiellement de la régulation), Farcot cherche à assister un pilote pour
manœuvrer un gouvernail (retour à Platon !), les navires étant de taille de plus en
plus importante. Travail similaire fait par J. McFarlane en Angleterre.
• Le passage de L à L' déplace le tiroir T vers la gauche, puis la
vapeur envoie le piston P vers la gauche qui fait passer G en G'.
• Si le gouvernail va trop loin (G''), la tringlerie ramène le tiroir
vers la droite et donc permet à G'' de converger vers G'.
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23
Bell Telephone Laboratories – 1927-1945
Harold Black (1927) redécouvre la
rétroaction négative et l'utilise pour un
amplificateur.
A partir de 1932 Black et ses collègues
formalisent le principe des systèmes bouclés.
En 1934, Harry Nyquist
propose l'analyse en stabilité
par une approche fréquentielle.
En 1945, Hendrik Bode
vulgarise et étend les travaux
de Nyquist.
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24
Oscillateur – Feedback positif
Alors que la plupart des lois de commande sont de type feedback négatif,
le feedback positif est utilisé pour synthétiser des oscillateurs.
+
Vin
A
G
Vout
K
K>0
Le fait de réinjecter sur l’entrée d’un amplificateur un signal en phase avec
son signal d'entrée, peut engendrer des oscillations divergentes
(notamment pour des valeurs de K élevées).
L’effet de la saturation de l’amplificateur génère alors une oscillation bien définie.
Ce système est volontairement mis en régime instable.
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25
Boucle à verrouillage de phase
(PLL : Phase-Locked Loop)
Permet notamment de générer un signal dont la phase est un
multiple de celle d’un signal de référence.
comparateur
de phase
Oscillateur
référence
oscillateur
contrôlé en tension
sortie
filtre
VCO
:N
diviseur de fréquence
L’objectif étant d’annuler l’écart de phase, la fréquence du signal
de sortie converge vers N fois celle du signal d’entrée
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26
Système de défense anti-aérien
On dispose d’un radar et d’un canon anti-aérien.
Le radar détecte la position et la vitesse de l’avion.
L'angle de tir calculé tient compte d’un angle d’avance
fonction de la vitesse de l’avion, de sa distance au canon.
point de rencontre estimé
position
vitesse
avion
angle de tir commande
désiré
tourelle
angle canon
Ce type de commande est appelé
système de poursuite (tracking en anglais)
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27
Stabilisation de satellites de communication
On souhaite qu’un satellite reste stabilisé sur une trajectoire naturelle (X, Y, Z).
• Le satellite est soumis à des perturbations telles que vents solaires, pluie de
micro-particules, …
• Ce type de procédé est instable : une modification de l’altitude du satellite
rompt l’égalité entre les forces d’attraction terrestre et centrifuge, le satellite a
alors tendance à davantage s’écarter indéfiniment de sa trajectoire désirée.
Le bilan des forces appliquées au satellite est modifiée
grâce à des mini-propulseurs.
trajectoire
désirée
action sur
les propulseurs
perturbations
position
mesurée
Ce type de commande est
appelé système de régulation
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28
Commande Automatique de Gain
(AGC Automatic Gain Control )
Permet d’augmenter le gain d’un amplificateur pour maintenir
constante la dynamique de son signal de sortie.
On peut considérer ici que Vin joue le
rôle du gain (variable) du procédé
dynamique
et G du signal de commande.
admissible
-
Vin
G
K
Vout
+
-
estimation de
le dynamique
Utilisation en observation par satellite
Suivant le type de sol observé, on ajuste le
gain de l’ampli d’observation pour toujours
utiliser la plus grande dynamique possible :
eaux calmes
gain élevée
glaces
gain faible
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29
Contrôle moteur (Diesel turbo-compressé)
Commandes TP, EGR, VNT (ou WG)
Sorties à réguler : HFM et BPS (pour
couple et puissance), Lambda (pour
pollution minimale)
m
Richesse = 14,7
[email protected]
Fuel
m Air
30
Contrôle Global Châssis : ESP-ABS-TCS
ABS - Modulation du freinage
pour éviter le blocage des
roues et maintenir la
directivité
TCS (ou ASR) -Modulation
de l'accélération pour éviter
le patinage et maintenir la
trajectoire
[email protected]
ESP - Micro freinage pour
maintien dans la trajectoire
demandée … et corriger un
véhicule mal conçu.
31
Comparaison FeedBack/FeedForward
FeedBack
FeedForward
+ stabilise un système instable
+ rejette des perturbations mal connues
+ rejette l’effet des incertitudes
- nécessite un capteur
- peut déstabiliser un système stable
- nécessite une commande temps réel
+ ne nécessite pas de capteur
+ commande calculable hors-ligne
- le système et les perturbations doivent
être parfaitement connues
- ne peut pas stabiliser un système
instable
yref
u
y
p
[email protected]
yref
u
y
p
32
Commande par FeedBack & FeedForward
feedforward
consigne
procédé
yref
+
y’ref
filtre de
consigne
-
+
u
ymes
régulateur
feedback
feedforward
perturbations
p
Structure de commande qui possède tous les avantages d’une commande feedback,
plus la possibilité d’anticiper sur la réponse à la commande et sur l’effet des
perturbations (quand elles sont mesurables).
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33
Modélisation des systèmes
Un procédé ne peut se commander correctement que s'il a fait au préalable
l'objet d'une modélisation.
Le niveau de modélisation doit être en adéquation avec le niveau des performances
désirées.
Un modèle, qui permet de relier l'évolutions de toutes les sorties à celles de toutes les
entrées, peut être obtenu :
•par modélisation mathématique (modèle de connaissance)
système d'équations différentielles
•par identification des comportements statiques et dynamiques
(modèle de comportement)
- réponses temporelles
paramètres d'un modèle prédéfini
- réponses fréquentielles
Toutes ces possibilités aboutissent souvent à la définition de fonctions de transfert.
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34
Fonction de transfert (définition)
Une fonction de transfert (ou transfert) est la caractérisation de la fonction
entrée/sortie (aux variations) d'un système par un modèle linéaire.
Chaque fonction de transfert n'est relative qu'à une entrée et une sortie ; toutes les
autres entrées doivent être considérées nulle.
e(t)
système
s(t)
Appelons h(t) la réponse impulsionelle du système.
Toute sortie s(t) du modèle qui est la conséquence d'une entrée e(t) est donnée par le
produit de convolution de e(t) par h(t) :
t
s(t ) = h(t )* e(t ) = ∫ h(τ )e(t − τ )dτ
0
L'utilisation de la transformée de Laplace permet d'écrire que :
S ( p ) = H ( p )E ( p )
Attention : Cette écriture n'est possible que si e(t) peut être indépendante du système
et si s(t) est indépendante du système suivant.
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35
Fonction de transfert (exemples)
C
R1
R3
e1
R2
s1
S ( p)
R2
H1 ( p) = 1
=
E1 ( p ) R1 + R 2
[email protected]
e2
A.O. idéal
s2
Zc
S 2 ( p)
1
=−
H 2 ( p) =
E2 ( p)
R3 Cp
36
Opération sur les transferts
•Transferts en cascade
E(p)
H1(p)
S1(p)
H2(p)
S(p)
E2(p)
H ( p) =
•Transferts en parallèle
H1(p)
S1(p)
E(p)
+
H2(p)
[email protected]
S ( p)
= H 1 ( p )H 2 ( p )
E( p)
S(p)
H ( p) =
S ( p)
= H1 ( p) + H 2 ( p)
E( p)
S2(p)
37
Opération sur les transferts (suite)
•Transferts en réaction
E(p)
E'(p)
+
S(p)
H1(p)
-
H ( p) =
H2(p)
H1 ( p)
S ( p)
=
E ( p ) 1+ H 1 ( p )H 2 ( p )
D'un point de vue entrée sortie, équivalent à
E(p)
S(p)
H1(p)H2(p)
-1
H2 (p)
+
-
Le signal E' a disparu.
[email protected]
38
Opération sur les transferts (exercice)
•Systèmes multi-boucles
E(p)
S'(p)
H1(p)
+
+
H2(p)
H3(p)
S(p)
-
S ( p ) = H 3 ( p )S ' ( p )
H 1 ( p )H 2 ( p )
S ' ( p)
=
E ( p ) 1 + H 1 ( p )H 2 ( p ) + H 2 ( p )H 3 ( p )
H ( p) =
[email protected]
H 1 ( p )H 2 ( p )H 3 ( p )
S ( p)
=
E ( p ) 1 + H 1 ( p )H 2 ( p ) + H 2 ( p )H 3 ( p )
39
Opération sur les transferts (exemple)
C
R1
A.O. idéal
R3
e1
e2
R2 s
1
H
( p) =
A.O. idéal
s2
Zc
S 2 ( p)
= H 1 ( p )H 2 ( p )
E1 ( p )
Remarque : Le produit des fonctions de transfert n'est rendu possible que par la
présence du montage suiveur qui a pour objet de découpler les 2
parties du système.
Sans ce montage suiveur (d'impédance d'entrée élevée et
d'impédance de sortie faible), les fonctions de transfert H1 et H2
n‘auraient plus de sens.
[email protected]
40
Transformation de Laplace
(Pierre-Simon de Laplace 1750-1820)
Utilisée pour simplifier la détermination de régime transitoires de
systèmes modélisés aux variations par des équations différentielles.
S'est avérée le fondement théorique de la méthodologie proposée par
Oliver Heaviside (1850-1925).
Utilisation de la variable opérationnelle p (en France, s ailleurs).
• Définition
∞ − pt
L { f (t )} = F ( p ) = ∫ e
0
f (t )dt avec p = σ + jω
• Application à la fonction échelon (de Heaviside)
1
− pt ∞
e
1 avec σ > 0
{
(
)
}
(
)
L
=
=
−
=
u
t
U
p
0
p 0
p
t=0
[email protected]
41
Transformation de Laplace (propriétés)
• Linéarité
L {af (t )} = aF ( p )
• Superposition
L { f 1 (t ) + f 2 (t )} = F1 ( p ) + F2 ( p )
•Décalage temp.
L { f (t − a )u (t − a )} = e − ap F ( p )
•Décalage opér.
L e at f (t ) = F ( p − a )
•Dérivation temp.
•Dérivation opér.
•Intégration temp.
•Intégration opér.
[email protected]
{
}
( )
d

L  f (t ) = pF ( p ) − f 0 +
 dt

d
L {tf (t )} = −
F ( p)
dp
( )
F( p ) ∫ f 0+ dt
L {∫ f (t )dt } =
+
p
p
 f (t )  ∞
L
 = ∫ F ( p )dp
 t  p
42
Transformation de Laplace (exemples)
• Impulsion de Dirac
1/ε
L {δ (t )} = δ ( p ) = lim
1
ε →0 ε
0
−
e
− pt
p
ε
0
− e − pε + 1
= lim
= 1 avec σ > 0
pε
ε →0
t=0 t=ε
• Fonction sinus
 e jω 0t − e -jω 0t
L {sin (ω 0 t )} = L 
2j

[email protected]
 1  1

ω0
1
=
−
=



ω
ω
2
j
−
j
+
j
p
p

p 2 + ω 02
0
0

43
Transformation de Laplace (application)
d
y (t )+ y (t )= u (t ) avec y (0 )= 3
dt
3
pY ( p )− 3+Y ( p )=
Y ( p )=
(
1
p
1+ 3 p
1 2
=+ +
p( p +1) p p +1
)
y (t )= 1+ 2e −t u (t )
2.5
2
1.5
1
0
[email protected]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
44
Transformation de Laplace inverse
Y ( p )=
Y ( p )=
ω n2
p 2 + 2ςω n p +ω n2
α
β
+
=
( p − p1 ) ( p − p2 )
ω n2
( p − p1 )( p − p2 )
avec α = − β =
avec pi = −ςω n ± j 1−ς 2ω n pour ς <1
Im
− jςω n
p1
2 1−ς 2
1−ς 2ω n
Re
−ςω n
y (t )=
− jςω n
2 1−ς 2
(e
p1t
y (t )=
[email protected]
ςω n
)


e −ςωnt sin  1−ς 2ω n t  u (t )


1−ς 2
− 1−ς 2ω n
p2
− e p2t u (t )
− jςω n −ςωnt  j 1−ς 2ωnt - j 1−ς 2ωnt 
e
 u (t )
y (t )=
e
−e




2 1−ς 2
0
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
Impulse Response
ς = 0,4
ω n =1 rad/s
5
10
Time (sec)
15
45
Mise en équation et fonction de transfert
Fk(t) = -k[xm(t) - x0]
F(t)
masse m
o
Fb(t) = -bxm(t)
xm
x0
x
1.
Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour établir
l'équation différentielle régissant xm(t)
2.
En considérant la variation x(t) = xm(t) – x0, donner la fonction de
transfert X(p)/F(p)
[email protected]
46
Théorèmes des valeurs initiale et finale
( )
• Valeur initiale d'un signal
s 0 + = lim pS ( p )
• Valeur finale d'un signal
lim s (t ) = lim pS ( p )
t →∞
p →∞
p →0
Remarque : ces théorèmes ne s'appliquent que si les limites existent …
1 + 3p
Y( p ) =
p( p + 1)
( )
y0
+
1+ 3 p
=3
= lim p
p( p + 1)
p →∞
1+ 3p
=1
lim y (t ) = lim p
p( p + 1)
p →0
t →∞
[email protected]
47
Réponse fréquentielle
Traduit le comportement harmonique (en régime sinusoïdal établi) d'un système.
Peut être obtenue en remplaçant la variable opérationnelle p de H(p) par jω
où ω est la pulsation
ω = 2πf = 2π/T .
(rad/s) (Hz) (s)
La réponse fréquentielle H(jω) est caractérisée par un module et un argument
H(jω) = ρ(ω)e jΦ(ω)
ou par une partie réelle et une partie imaginaire
H(jω) = Re{H(jω) } + j Im{H(jω) }
[email protected]
48
Représentations de la réponse fréquentielle
ρ(ω)dB
ρ(ω)dB
ω
1 décade
0dB
logω
Φ(ω)
0°
-90°
-180° -90°
0dB
0° Φ(ω)
Diagramme de Nichols
Im{H(jω)}
logω
j
Re{H(jω)}
-180°
-1
Diagramme de Bode
Echelle des pulsations souvent logarithmique
Module souvent en décibel (20log10ρ(ω))
Argument souvent en degré
[email protected]
ω
Diagramme de Nyquist
49
Mesure de la réponse fréquentielle
p(t)
4
T
e(t)
système
s(t)
3
∆t
e(t)
2
∆e
1
0
∆s
s(t)
-1
-2
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
En ω = 2π/T (régime sinusoïdal établi), H(jω) caractérisée par
ρ(ω) = ∆s/∆e et φ(ω) = 2π∆t/Τ
remarque : ∆t souvent négatif … mais pas toujours
[email protected]
50
Relation fréquentiel - temporel
Compte tenu des théorèmes des valeurs initiale et finale, la réponse fréquentielle
H(jω) nous informe sur l'effet du système H aux temps courts et aux temps longs.
Le "gain" de H aux temps courts est donné par lim H ( jω )
ω →∞
Le "gain" de H aux temps longs est donné par
lim H ( jω )
ω →0
Le niveau de ρ(ω) en haute fréquence indique ainsi la valeur de l'amplification
instantanée de H.
Le niveau de ρ(ω) en basse fréquence indique la valeur de l'amplification de H
en régime permanent : gain statique.
[email protected]
51
Relation fréquentiel – temporel (application)
Indiquer l'effet aux temps courts et aux temps longs des systèmes définis par :
H1 ( p ) =
25
5+ p
H 2 ( p) =
10 p
1+ 2 p
3(5 + p )
H 3 ( p) =
p(1 + 2 p )
H 4 ( p) =
[email protected]
10(5 + p )(1 + p )
(1 + 2 p )
52
Système du premier ordre (rep. indicielle)
e(t)
τ
s(t)
H
d
s(t ) + s(t ) = H 0 e(t ) aux variations
dt
réponse indicielle
1
détermination de Η0
(gain statique)
0.9
s(∞ ) − s(0 )
H0 =
e(∞ ) − e(0)
0.7
détermination de τ
(constante de temps)
∆s(t)/H0
0.8
s (τ ) = s(0) + 0.63(s (∞ ) − s (0))
63%
0.6
0.5
d
s(∞ ) − s (0 )
s(0 ) =
dt
τ
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
t/τ
5
6
7
8
9
10
s(t ) = s(∞ ) − (s(∞ ) − s(0 ))e−t τ
[email protected]
53
Système du premier ordre (rep. fréquentielle)
E(p)
H0
S( p )
H( p ) =
=
E( p ) 1 + τp
détermination de Η0
ρ(ω)/ H0(dB)
0
H(p)
S(p)
H0
H ( jω ) =
avec ω0 = 1 τ
1 + jω ω0
Diagrammes de Bode
-3dB
détermination de ω0
(pulsation de transition)
-5
-10
H 0 = ρ (0)
•à partir de l’intersection
des asymptotes
-15
-20
0
ρ (ω 0 )dB = H 0 dB − 3dB
Φ(ω)(deg)
-20
-40
Φ (ω 0 ) = −45°
-45°
-60
-80
-100 -1
10
[email protected]
10 0
ω/ω0
10
1
54
Système du second ordre (rep. indicielle)
e(t)
s(t)
H
2
d s(t ) + 2ςω d s(t ) + ω 2s(t ) = H ω 2e(t ) aux variations
n dt
n
0 n
dt 2
H0 =
s(∞ ) − s(0 )
e(∞ ) − e(0)
détermination de ζ
•à partir du taux de
décroissance des
oscillations
•à partir du premier
dépassement réduit
1.8
ζ=0.1
1.6
1.4
détermination de ωn
(fréquence propre non amortie)
1.2
∆s(t)/H0
détermination de Η0
réponse indicielle
1
•à partir de la période propre
amortie Τp des oscillations
ζ=1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
s(t ) = s(∞ ) − ( s(∞ ) − s(0 ))
[email protected]
8
10
tωn
12
14
16
18
20
2

1 e−ςω nt sin 1 − ς 2ω t + arctg 1 − ς
n

ς
2
1−ς





55
Système du second ordre (rep. indicielle)
100
1.8
D1
1.6
90
∆s(t)/H0
80
D2
1.4
D3
1.2
70
60
1
Tp
0.8
50
Tp
40
0.6
30
0.4
20
0.2
10
0
D1en % = f(ζ)
0
0
t (en s)
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
D
ς = 1 Ln i
2π
Di +1
ω p = 2π = 1 - ς 2ω n
Tp
-
D1
D1réduit =
=e
s(∞ ) − s(0 )
[email protected]
ςπ
1-ς 2
Remarque : pour ζ <0, les oscillations ont
tendance à croître (Di+1 est supérieur
à Di), le système est donc instable.
56
Système du second ordre (rep. fréquentielle)
E(p)
H( p ) =
S( p )
=
E( p )
H ( jω ) =
H0
2ς p p 2
1+
+ 2
ωn
S(p)
H(p)
ωn
H0
2
2ςω
ω
1− 2 + j
ωn
ωn
Diagrammes de Bode
H 0 = ρ (0)
détermination de ζ
•à partir du facteur
de résonance
0
détermination de ωn
(pulsation de transition)
ζ=1
-20
•à partir de la pulsation
de résonance ωr ou de
l’intersection des
asymptotes
-40
ζ=0.1
-50
-90°
ζ=1
Φ(ω n ) = −90°
-100
-150
-200 -1
10
[email protected]
ζ=0.1
-60
0
Φ(ω)(deg)
détermination de Η0
ρ(ω)/ H0(dB)
20
10
0
ω/ωn
10
1
57
Système du second ordre (rep. fréquentielle)
Q en dB = f(ζ)
30
5
Q
0
25
-5
20
-10
-15
15
-20
10
-25
-30
5
-35
-40
ωr
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ω (rad/s)
ω r = 1 - 2ς 2ω n
Q=
[email protected]
max ρ(ω )
ω
ρ( 0 )
=
Remarque : le phénomène de résonance
n’existe que pour ζ < 2 2 .
1
2ς 1 - ς 2
58
Réponse fréquentielle (application n°1)
H (p) =
1000(1 + p )
(10 + p )2
ω << 1
?
.
10
1+ j
Pulsation (rad/s)
ω

101 + j 
1
H ( jω ) = 
ω

1 + j 
10 

2
= 20dB
∠. = 0
ω
.
1
ω

1 + j 
10 

2
.
dB
= 0dB
dB
= 0dB
∠. = 0
.
dB
∠. = 0
.
dB
= 20dB
10 << ω
= 20dB
∠. = 0
∠. = 0
1
H ( jω)
[email protected]
dB
1 << ω << 10
. dB = 20 logω
→ +20dB/dec
∠. = + π 2
. dB = 0dB
∠. = 0
. dB : +20dB/dec
∠. = + π 2
.
dB
= 20dB
∠. = 0
.
dB
= 20 logω
→ +20dB/dec
∠. = + π 2
. dB = 40 − 40 logω
→ −40dB/dec
∠. = -π
. dB : −20dB/dec
∠. = − π 2
59
Réponse fréquentielle (application n°1)
H ( p) =
1000(1 + p )
(10 + p )2
Gain (dB)
40
30
20
10
Phase (deg)
0
90
45
0
-45
-90
-2
10
[email protected]
10
-1
10
0
10
1
Pulsation (rad/s)
10
2
10
3
60
Réponse fréquentielle (application n°2)
H ( p) =
100 (1 + 0.1 p )(1 + p/ 2 )( 1 − 0.005 p)
p
(1 + p/ 100)(1 + 0.001 p )2
100
90
Gain (dB)
80
70
60
50
40
30
20
90
60
Phase (deg)
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
-210
-240
-270
-300
10-2
[email protected]
10-1
100
101
102
Pulsation (rad/s)
103
104
105
61
Réponse fréquentielle (application n°3)
H1 ( p ) =
|H(jω)|dB
10
1
et H 2 ( p ) = 2
p
p
|H(jω)|dB
40dB
40dB
20dB
0dB arg{H(jω)}
20dB
0dB
logω
-20dB
-180°
-90°
0° -20dB
-40dB
-40dB
Diagramme de Nichols
arg{H(jω)}
0°
-90°
Im{H(jω)}
j
logω
-1
-180°
Diagramme de Bode
[email protected]
Re{H(jω)}
Diagramme de Nyquist
62
Stabilité des systèmes
E(p)
H(p)
S(p)
H ( p) =
N ( p)
D( p )
Condition de stabilité
Un système est stable si son régime libre (e(t) = 0) est amorti.
La condition nécessaire est suffisante de stabilité est que les racines de l'équation
caractéristique D(p) = 0 soient à partie réelle négative.
Ces racines (qui rendent H(p) infini) sont appelées pôles du système.
8
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
6
4
2
0
-2
-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4
-6
0
2
4
[email protected]
6
8
10 12 14 16 18 20
p1,2 = -0,1± j
p1,2 = 0,1± j
63
Critère algébrique de stabilité
Critère de Routh-Hurwitz
E(p)
H(p)
S(p)
H ( p) =
N ( p)
D( p )
Permet de vérifier si tous les pôles d'un système sont à partie réelle négative.
Ecrivons D(p) sous la forme D(p) = a0pn + a1pn-1 + ... + an-1p + an
•si un des coefficients ai est nul, le système est instable
•si tous les coefficients ai ne sont pas de même signe, le système est instable
•construisons le tableau a0, a2, ..., a2i, ...
a1, a3, ..., a2i+1, ...
b1, b3, ..., b2i+1, ... avec b1=(a1a2-a0a3)/a1, b3=(a1a4-a0a5)/a1, ...
c1, c3, ..., c2i+1, ... avec c1=(b1a3-a1b3)/b1, c3=(b1a5-a1b5)/b1, ...
... etc
le système comporte autant de pôles à partie réelle positive que la première colonne
comporte de changements de signe.
[email protected]
64
Stabilité des systèmes bouclés
E1(p)
+
S2(p)
H1(p)
H2(p)
H( p ) =
S1(p)
+
E2(p)
S1( p )
H1( p )
=
E1( p ) 1 + H1( p )H 2( p )
Les pôles de H(p) sont les solutions de l'équation caractéristique 1+H1(p)H2(p) = 0,
ou de H1(p)H2(p) = -1.
Les pôles de H(p) résultent donc de la comparaison du transfert H1(p)H2(p) à -1.
A travers le terme 1+ H1(p)H2(p), le transfert H1(p)H2(p) apparaît dans toutes les
fonctions de transfert relative à ce système bouclé. Il est appelé transfert en boucle
ouverte.
[email protected]
65
Transfert en boucle ouverte
Après avoir ouvert la boucle en un point et y avoir injecté un signal, le transfert en
boucle ouverte β(p) est obtenu grâce à l'observation du signal qui y revient.
E1(p) = 0
+
S2(p)
H1(p)
S1(p)
β ( p) = −
+
H2(p)
S1 ( p )
= H 1 ( p )H 2 ( p )
E2 ( p)
E2(p)
Si le système bouclé ne peut être ouvert, il suffit de comparer le signal en aval du
point d'injection au signal qui revient.
E1(p) = 0
+
S2(p)
H1(p)
β ( p) = −
H2(p)
[email protected]
S1(p)
+
E2(p)
S1 ( p )
= H 1 ( p )H 2 ( p )
E3 ( p )
E3(p)
66
Critère graphique
Critère de Nyquist (application du théorème de Cauchy)
-
β(p)
Imβ(jω)
Permet de conclure sur la stabilité du système bouclé
à partir de l’étude de son transfert en boucle ouverte.
Enoncé : Un système est stable en boucle fermée
si sa réponse fréquentielle en boucle ouverte,
parcourue de ω →−∞ à ω →+∞, effectue autour
du point -1 dans le sens trigonométrique, un
nombre de tour égal au nombre de pôles à partie
réelle strictement positive que possède la boucle
ouverte.
Signalons que β(-jω) est le symétrique de β(jω)
avec ω∈ [0,−∞[ .
[email protected]
ω
ω
ω →-∞
0 ω →+∞
-1
ω = 0+
ω = 0Reβ(jω)
ω
ω
-1 entouré 4 fois
boucle fermée
stable si boucle ouverte avec 4
pôles à partie réelle strictement
positive
67
Critère de Nyquist - Exemple
-
β(p)
Prenons β ( p ) = − K avec K et τ positifs.
1 − τp
Le pôle p 0 =
1
τ
de β(p) est à partie réelle strictement positive.
Traçons le lieu de Nyquist de β(jω) pour différentes valeurs de K.
Imβ(jω)
ω
-1
ω = 0ω = 0+
ω
ω →-∞
ω = 00 ω →+∞ Reβ(jω) ω = 0+ -1
ω
K<1
aucun tour
Imβ(jω)
ω →-∞
0 ω →+∞ Reβ(jω)
ω
K>1
1 tour
La condition de stabilité en boucle fermée est K > 1.
[email protected]
68
Critère graphique
Critère du revers
-
β(p)
Imβ(jω)
Version simplifiée du critère de Nyquist
Enoncé : Un système, dont la boucle ouverte
ne comporte pas de pôles à partie réelle
strictement positive, est stable en boucle
fermée si son lieu de Nyquist en boucle
ouverte, parcouru de ω =0 à ω →+∞,
laisse le point -1 sur sa gauche.
Remarque : un lieu de Nyquist passant
exactement sur le point –1 génère un système
oscillant. Le point -1 est appelé point critique.
[email protected]
ω →+∞
-1
0
ω = 0+
Reβ(jω)
ω
ω
Seule la boucle ouverte qui génère la
plus petit des deux lieux correspond à
un système stable en boucle fermée
69
Critère du revers
et diagramme de Nichols
(Nathaniel B. Nichols - MIT - 1947)
-
β(p)
β ( jω ) dB
Le lieux de Nichols en boucle ouverte,
parcouru de ω =0 à ω →+∞, doit
laisser le point (-180°,0dB) sur sa
droite pour que le système soit stable
en boucle fermée.
[email protected]
ω
ω
0dB argβ(jω)
-180°
0°
70
Marges de stabilité
-
β(p)
La stabilité en boucle fermée se jugeant sur la distance
entre le lieu de Nyquist en boucle ouverte et le point –1, on
est amené à mesurer des marges de stabilité :
Imβ(jω)
•marge de phase
•marge de gain
•marge de retard
•marge de module
ω →+∞
-1
Elles correspondent aux plus petites quantités
dont il serait nécessaire de modifier la boucle ouverte
pour déstabiliser le système en boucle fermée.
Grandes marges de stabilité
[email protected]
0
ω = 0+
Reβ(jω)
ω
grand degré de stabilité du système bouclé.
71
Marge de phase
La marge de phase Mφ est la valeur minimale du déphasage
caractérisant ∆ (déphaseur pur) qui déstabiliserait le système
bouclé de boucle ouverte β :
-
∆(p)
∆( jω )β ( jω ) = −1 avec arg∆( jω ) = − M Φ
Elle se mesure donc à une pulsation ωu pour
laquelle le gain de la boucle ouverte est unitaire :
β ( jωu ) = 1
et est ici définie par :
β(p)
Imβ(jω)
-1
0
Mφ
ω →+∞
ω = 0+
Reβ(jω)
ωu
M Φ = 180° + arg β ( jω u )
ω
[email protected]
72
Marge de gain
La marge de gain MG est la valeur minimale du gain
caractérisant ∆ (gain pur) qui déstabiliserait le système
bouclé de boucle ouverte β :
-
∆(p)
∆( jω )β ( jω ) = −1 avec ∆( jω ) = M G
Elle se mesure donc à une pulsation ω-180° pour
laquelle pour laquelle la phase de la boucle
ouverte est de –180° :
arg β ( jω-180° ) = −180°
β(p)
Imβ(jω)
-1
0
MG ω-180° ω →+∞
ω = 0+
Reβ(jω)
et est ici définie (en dB) par :
M G = −20 log β ( jω-180° )
[email protected]
ω
73
Marge de retard
La marge de retard Mr est la valeur minimale du retard
caractérisant ∆ (retard pur) qui déstabiliserait le système
bouclé de boucle ouverte β :
∆( jω )β ( jω ) = −1 avec ∆( jω ) = e
-
∆(p)
− jM r ω
Elle se mesure donc aux pulsations ωu pour
laquelle le gain de la boucle ouverte est unitaire :
Imβ(jω)
β ( jωu ) = 1
et est ici définie par :
180° + arg β ( jωu ) 
M r = min

ωu
ωu 
La marge de retard Mr ne correspond pas
obligatoirement à la marge de phase minimale.
[email protected]
β(p)
-1
Mφ1
ωcg1
0
ω →+∞
ω = 0+
Reβ(jω)
ωcg2
Mφ2
ω
74
Marge de module
∆(p)
La marge de module Mm est la valeur minimale du module
caractérisant ∆ qui déstabiliserait le système bouclé de boucle
ouverte β :
β(p)
-
∆( jω ) + β ( jω ) = −1 avec ∆( jω ) = M m e jθ et - π ≤ θ ≤ π
La marge de module Mm mesure la distance
minimale que sépare le lieu de Nyquist en
boucle ouverte, β(jω), du point -1 :
M m = min 1 + β ( jω )
Imβ(jω)
Mm
0
-1
ω →+∞
ω = 0+
Reβ(jω)
ω
ω
[email protected]
75
Marges de phase et de gain
et diagrammes de Bode
-
β(p)
β ( jω ) dB
ωu
0dB
ω
MG
argβ(jω)
0°
-180°
[email protected]
ω-180°
ω
Mφ
76
Marges de phase et de gain
et diagrammes de Nichols
-
β(p)
β ( jω ) dB
ω
0dB argβ(jω)
Mφ
ωu
-180°
MG
0°
ω-180°
[email protected]
77
Mesure des marges de stabilité
Application
-
β(p)
p 1 + p + 0.25 p 2
ωu=
rad/s
Mφ =
°
MG =
dB
)
Magnitude (dB)
(
1.25
50
0
-50
-100
-90
Phase (deg)
β ( p) =
Diagramme de Bode de β(jω)
-135
-180
-225
Mr =
[email protected]
s
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
78
La boucle de commande
Yref(p)
+
Ymes(p)
ε(p)
Py(p)
Pu(p)
U(p)
K(p)
Y(p)
+
P(p)
+
M(p)
+
-
Yref : signal de référence
ε : signal d’erreur
U
: signal de commande
Pu : perturbation d’entrée
Py : perturbation de sortie
Y
: sortie du procédé
Bm(p)
Bm : bruit de mesure
Ymes : signal de mesure
K(p) : transfert du régulateur
P(p) : modèle du système physique
M(p) : modèle de l'organe de mesure
Le régulateur K(p) doit permettre d’asservir avec précision et rapidité le signal de
sortie Y (en fait sa mesure Ymes) sur sa valeur de référence Yref, en rejetant l’effet
des perturbations Pu et Py.
[email protected]
79
Transferts en boucle fermée
Yref(p)
+
ε(p)
-
Py(p)
Pu(p)
U(p)
K(p)
+
Ymes(p)
+
G(p)
modèle {système + capteur}
+
G(p) : modèle du procédé asservi
Bm(p)
Ymes( p )
Y ( p)
U( p )
K ( p )G( p )
= − mes
=−
=
Yref ( p )
Bm( p )
Pu( p ) 1 + K ( p )G( p )
Ymes( p )
ε( p )
ε( p )
ε( p )
1
=−
=−
=−
=
Py( p )
Yref ( p )
Bm( p )
Py( p ) 1 + K( p )G( p )
Ymes( p )
ε( p )
G( p )
=−
=
Pu( p )
Pu( p ) 1 + K ( p )G( p )
U( p )
U( p )
U( p )
K( p )
=−
=−
=
Yref ( p )
Bm( p )
Py( p ) 1 + K( p )G( p )
[email protected]
80
Atténuation de la sensibilité aux incertitudes
Comparons de l'incertitude relative des transferts Y/Yref obtenus
avec des commandes par pré-compensation et en boucle fermée.
Y( p )
Par pré-compensation : Y ( p ) = F( p )G( p )
ref
∂{F( p )G( p )} ∂G( p )
=
puisque le transfert F( p ) est parfaitement connu (imposé par le concepteur)
F( p )G( p )
G( p )
Y ( p)
K ( p )G( p )
En boucle fermée : Ymes( p ) = T ( p ) = 1 + K ( p )G( p )
ref
Calculons la fonction de sensibilité S(p) définie par le rapport :
S( p ) =
∂T ( p )
∂G( p )
∂T ( p ) ∂G( p )
T ( p ) G( p )
K ( p )G( p )
K( p )
1 + K ( p )G( p )
T( p )
1 + G( p )K ( p )
K( p )
1
=
=
=
G( p )
∂G( p )
1 + K ( p )G( p ) (1 + K ( p )G( p ))2
K( p )
1 + K ( p )G( p )
∂
Plus le produit K(p)G(p) est grand et plus la sensibilité de Ymes(p)/Yref(p)
à l'incertitude portant sur G(p) est atténuée par une commande en boucle fermée.
[email protected]
81
Etude qualitative de la fonction sensibilité S(p)
On peut remarquer que la sensibilité S(p) est liée à la fonction de transfert T(p)
S( p ) + T ( p ) =
K ( p )G( p )
1
+
=1
1 + K ( p )G( p ) 1 + K( p )G( p )
La fonction de transfert T(p) est souvent appelée fonction sensibilité complémentaire.
Dans le cadre de l'asservissement de Ymes sur Yref, la réponse fréquentielle
T(jω) est généralement de type passe-bas.
|T(jω)|dB
0dB
logω
|S(jω)|dB
0dB
logω
La diminution de la sensibilité S à donc lieu en basse fréquence
quand T est de l'ordre de 1, c'est-à-dire quand le produit KG est grand devant 1.
[email protected]
82
Allure de la fonction de sensibilité T
100
K
50
+
β
T
0
G
ε(p)
Yref(p)
Py(p)
Pu(p)
K(p)
Ymes(p)
U(p)
+
G(p)
+
-
ωu
+
-50
Bm(p)
T( p ) =
-100
-150
• ω << ωu
• ω >> ωu
KG = β >> 1
KG = β << 1
Ymes( p )
Y ( p)
U( p )
K ( p )G( p )
= − mes
=−
=
Yref ( p )
Bm( p )
Pu( p ) 1 + K ( p )G( p )
T≈1
T≈β
Les variations du signal de référence et du bruit de mesure sont transmises en
basse fréquence, et atténuées en haute fréquence par le facteur β.
Le signal de commande s'oppose à la perturbation d'entrée en basse fréquence.
[email protected]
83
Allure de la fonction de sensibilité S
100
K
50
1/β
β
0
G
ωu
+
Py(p)
Pu(p)
ε(p)
Yref(p)
K(p)
Ymes(p)
U(p)
+
G(p)
+
-
S
+
-50
Bm(p)
-100
S( p ) =
-150
• ω << ωu
• ω >> ωu
KG = β >> 1
KG = β << 1
Ymes( p )
1
=
Py( p ) 1 + K ( p )G( p )
S ≈ 1/β
S≈1
La boucle fermée permet de réduire l'effet en basse fréquence des variations
d'une perturbation de sortie d'un facteur 1/β (gain de 1 en boucle ouverte).
[email protected]
84
Allure de la fonction de sensibilité KS
100
1/G
K
50
KS
β
0
G
ε(p)
Yref(p)
+
Py(p)
Pu(p)
K(p)
Ymes(p)
U(p)
+
G(p)
+
-
ωu
+
-50
Bm(p)
-100
KS( p ) =
-150
• ω << ωu
• ω >> ωu
• ω = ωu
U( p )
U( p )
U( p )
K( p )
=−
=−
=
Yref ( p )
Bm( p )
Py( p ) 1 + K( p )G( p )
KG = β >> 1
KS ≈ 1/G
KG = β << 1
KS ≈ K
KG = 1
1/G = K
Les variation du signal de référence, du bruit de mesure et de la perturbation
de sortie sont amplifiées en haute fréquence au niveau du signal de
commande d'un le facteur K.
[email protected]
85
Allure de la fonction de sensibilité GS
100
50
+
β
ωu
0
G
-50
ε(p)
Yref(p)
K
Py(p)
Pu(p)
K(p)
Ymes(p)
U(p)
+
G(p)
+
+
1/K
Bm(p)
GS
-100
-150
• ω << ωu
• ω >> ωu
• ω = ωu
GS( p ) =
Ymes( p )
G( p )
=
Pu( p ) 1 + K( p )G( p )
KG = β >> 1
GS ≈ 1/K
KG = β << 1
GS ≈ G
KG = 1
G = 1/K
Compte tenu d'une perturbation d'entrée, la boucle fermée permet en basse
fréquence de passer d'un gain G (commande en chaîne directe) à un gain 1/K.
[email protected]
86
Performances d'une loi de commande
Une loi de commande doit notamment permettre d'asservir la sortie mesurée
du procédé avec :
• précision (écart faible entre valeur désirée et valeur obtenue)
• rapidité (phénomènes transitoires aussi courts que possible)
• un bon degré de stabilité (phénomènes transitoires relativement bien amortis).
[email protected]
87
Précision
Quand le procédé est en régime établi (ou permanent), la précision de la loi
de commande est estimée à travers l'écart (ou erreur) absolu ε∞ entre le
signal de référence et la sortie mesurée.
Plus l'écart est faible, plus la loi de commande est précise.
40
20
ε∞
15
30
yref
10
ε∞
ymes
5
ε∞
35
ε∞ = yref − ymes
25
(en régime permanent)
15
yref
20
ymes
10
5
0
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
L'écart absolu est ici une erreur statique.
Il peut être différent suivant le niveau
des signaux exogènes
[email protected]
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Le signal de référence est ici une
rampe. L'écart absolu est appelé
erreur de traînage
88
Gain statique/erreur statique
Lors de variations de type échelon du signal de référence, la précision peut
aussi être analysée à travers le gain statique T0 défini par le rapport des
variations de la sortie mesurée sur les variations du signal de référence.
Plus le gain statique est proche de 1, plus la loi de commande est précise.
20
∆yref
15
yref
10
∆ymes
ymes
T0 =
5
∆ymes
∆yref
0
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Un gain statique de 1 ne garanti généralement pas une erreur statique nulle.
Lors d'essai indiciel, les mesures du gain statique et de l'erreur statique sont
donc nécessaires pour estimer la précision de la loi de commande.
[email protected]
89
Relation entre précision
et gain de boucle
Yref(p)
+
Py(p)
Pu(p)
ε(p)
U(p)
K(p)
+
Ymes(p)
+
G(p)
-
Bm(p)
+
G( p )
(
Yref ( p ) − Bm( p ) − Py( p )) −
P ( p)
1 + β( p )
1+ β( p) u
p
(Y ( p ) − Bm( p ) − Py( p ) − G( p )Pu( p ))
ε∞ = lim
p →0 1 + β ( p ) ref
ε( p ) =
1
Si bm (t) = pu (t) = py (t) = 0
y
ref0
• yref (t) = yref0 u(t) alors ε∞ = 1 + lim
β( p )
p →0
T0 =
∆ymes
β( p )
= lim
= lim T ( p )
∆yref p→0 1 + β ( p ) p→0
−n
n
!
p
α
• yref (t) = αtn u(t) alors ε ∞ = lim
p →0 1 + β ( p )
[email protected]
90
Rapidité
La rapidité de la loi de commande peut se mesurer dans le domaine
temporel ou dans le domaine fréquentiel.
Dans le domaine temporel, la rapidité se mesure notamment par :
• le temps de montée et de réponse lors de la réponse à la consigne
• les temps de réponses nécessaires au rejet des perturbations.
Dans le domaine fréquentiel, la rapidité se mesure notamment par :
• la bande passante vis-à-vis de la réponse à la consigne
• les bandes de rejet vis-à-vis des perturbations.
[email protected]
91
Rapidité
Domaine temporel
20
18
t5%yref
16
14
100%
105%
12
90%
95%
10
tm
8
0%
6
10%
10
15
20
25
30
35
Lors de la réponse à la consigne, le temps de montée, tm, est défini comme le
temps nécessaire pour que la sortie passe de 10% à 90% de sa variation
permanente.
Le temps de réponse à 5%, t5%yref, est défini comme le temps nécessaire pour que
la sortie demeure comprise entre 95% et 105% de sa variation permanente.
Le temps de rejet des perturbations n'est mesurable que quand le rejet est parfait.
[email protected]
92
Rapidité
Domaine fréquentiel
|S(jω)|dB
|T(jω)|dB
logω
0dB
-3dB
logω
0dB
ωc-3dB -6dB
ωc-6dB
ω'c-3dB
ω'c-6dB
-3dB
-6dB
La bande passante ou de rejet, à -6dB par exemple, est définie
comme la plage fréquentielle [0, pulsation de coupure] telle que :
T ( jω ) dB ≥ T (0 ) dB − 6dB pour ω ≤ ωc−6dB
S( jω ) dB ≤ S(∞ ) dB − 6dB pour ω ≤ ω'c−6dB
ωc-6dB est appelée pulsation de coupure à -6dB (division d'un
facteur 2)
[email protected]
93
Relation entre fréquences au gain unité en boucle
ouverte et de coupure en boucle fermée
|T(jω)|dB
0dB
T ( jω ) =
ωu
β ( jω ) • ω << ωu
1 + β ( jω ) • ω >> ωu
ωc-6dB
logω
-6dB
β >> 1
β << 1
T≈1
T≈β
C'est à partir de ωu que le transfert de boucle fermée T change de comportement.
La fréquence de coupure en boucle fermée ωc est donc du même ordre de
grandeur que la fréquence au gain unité en boucle ouverte ωu .
[email protected]
94
Relation entre fréquences au gain unité en boucle
ouverte et de coupure en boucle fermée
Système du premier ordre
Yref(p)
+
β0
1+ j ω
ω0
β0 >> 1 ⇒ ωu >> ω0
β ( jω ) =
β0ω0
=1
ωu
ωu = β0ω0
β(p)
Ymes(p)
T ( jω ) =
T ( jω ) =
β ( jω )
1 + β ( jω )
β0
β0 + 1 + j ω
ω0
=
T0
1+ j ω
ωc
T0 = β0 (β0 + 1)
avec 
ωc = ω0( β0 + 1)
β0 >> 1 ⇒ ωu ≈ ωc
[email protected]
95
Relation entre fréquences au gain unité en boucle
ouverte et de coupure en boucle fermée
Système du deuxième ordre
Yref(p)
+
β0
jω ω 2
−
1 + 2ς
ωn ωn2
β0 >> 1 ⇒ ωu >> ωn
β(p)
Ymes(p)
-
β ( jω ) =
β0ωn2
=1
2
ωu
T ( jω ) =
T ( jω ) =
jω
2
ω
−
β0 + 1 + 2ς
ωn ωn2
ωu = β0ωn
β0 >> 1 ⇒ ωu ≈ ω'n
[email protected]
β0
β ( jω )
1 + β ( jω )
=
T0
jω ω 2
1 + 2ς'
−
ω'n ω'2n
T0 = β0 ( β0 + 1)


avec ς' = ς β0 + 1

ω'n = ωn β0 + 1
96
Notion de mode dominant
Quand une de ses paires de pôles complexes s'avèrent être de module plus
faible que tous les autres pôles et zéros, il est fréquent qu'un système en
boucle fermé puisse être approximé par un système du second ordre.
Ces pôles définissent le mode dominant du système.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
50
module (dB)
1.2
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
0
-50
-100
0
-50
-100
-150
-200 -1
10
Frequency (rad/sec)
arg (deg)
1.4
10
0
10
0.01p3 + 0.12p2 + 0.3p + 1
1
0.02p5 + 0.206p4 + 0.854p3 + 1.96p2 + 1.9p + 1
1.2p2 + 1.45p + 1
1
10
2
Les pôles du système du second ordre sont proches de ces pôles dominants.
[email protected]
97
Temps de réponse minimum
Amortissement optimal
Considérons un système en boucle fermée approximé par son mode
dominant du second ordre :
T( p ) =
Ymes( p )
≈
Yref ( p )
t5%.ωn = f(ζ)
1+
T0
2ςp
ωn
+
p2
ωn2
30
25
20
15
10
5
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 1.4 1.6 1.8 2
Du point de vue du temps de réponse, l'amortissement optimal est de 0,69.
[email protected]
98
Degré de stabilité
Premier dépassement réduit
Si on considère un système en boucle fermée approximable par son mode
dominant du second ordre, l'amortissement est lié au premier dépassement
réduit. Le premier dépassement réduit est donc souvent utiliser pour
quantifier le degré de stabilité de la commande.
-
D1réduit =
D1
=e
s(∞ ) − s(0 )
100
ςπ
1-ς
D1en % = f(ζ)
90
2
80
70
60
50
Du point de vue du temps de
réponse, le premier dépassement
optimal est de 5%.
D1 = 20 à 30% est souvent toléré.
[email protected]
40
30
20
10
5%
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
99
Degré de stabilité
Facteur de résonance
Si on considère un système en boucle fermée approximable par son mode
dominant du second ordre, l'amortissement est lié au facteur de résonance.
facteur de résonance est donc souvent utiliser pour quantifier le degré de
stabilité de la commande.
Q=
max ρ(ω )
ω
ρ( 0 )
Q en dB = f(ζ)
30
=
1
2ς 1 - ς 2
25
20
15
Du point de vue du temps de
réponse, le facteur de résonance
optimal est de 0,01dB.
10
5
0
Un amortissement d'environ 0,4
correspond lui à Q = 2 à 3dB.
[email protected]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
100
Abaque de Nichols
Abaque composé de courbes d'iso-amplitude et d'iso-argument.
A partir de la réponse fréquentielle en boucle ouverte β(jω), permet de
déterminer la réponse fréquentielle en boucle fermée Τ(jω), avec :
T ( jω ) =
β ( jω )
1 + β ( jω )
5
30
Q = 3dB
0
3dB
10
ωr
0
ωc
-10
|T(jω)| (dB)
|β(jω)| (dB)
20
-5
-10
-15
-20
-20 -1/2
10
-30
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
ωr 100
ωc
10
1/2
Frequency (rad/sec)
argβ(jω) (deg)
Le facteur de résonance correspond à la plus petite courbe d'iso-amplitude
tangentée par β(jω)
[email protected]
101
Degré de stabilité
Marge de phase
La fonction de transfert en boucle fermée du second
ordre
Ymes( p )
=
Yref ( p )
1+
1
2ςp
ωn
+
2
40
p
ωn2
correspond notamment à la fonction de transfert en
boucle ouverte
β( p )
β( p ) =
avec T ( p ) =
1 + β( p )
p 
p 
2ς +


ωn 
ωn 
1
ζ = 0,69 correspond à une marge de phase Mφ = 65°.
30
20
Open-Loop Gain (dB)
T( p ) =
10
Mφ
0
-10
Mφ
-20
Un amortissement d'environ 0,4 correspond à une
marge de phase de l'ordre de 43°. Une marge de phase
comprise entre 40 et 60° et généralement acceptée.
[email protected]
-30
-180-170-160-150-140-130-120-110-100 -90
Open-Loop Phase (deg)
102
Degré de stabilité
30
30
20
20
3dB
10
|β(jω)| (dB)
|β(jω)| (dB)
Marge de gain
0
-10
10
0
-10
-20
-20
-30
-30
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
argβ(jω) (deg)
3dB
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
argβ(jω) (deg)
Une marge de phase Mφ correcte ne correspond pas toujours à un facteur de
résonance Q suffisant. La vérification de la marge de gain MG permet
généralement de vérifier le degré de stabilité.
Une marge de gain de 6 à 10 dB est généralement suffisante.
[email protected]
103
Danger des marges de phase et de gain
Des marges de phase et de gain satisfaisantes ne sont pas toujours
suffisantes : cas de procédé comportant des modes peu amortis, des zéros à
partie réelle positive, un retard, etc.
30
|β(jω)| (dB)
20
10
3dB
0
-10
-20
-30
-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80
argβ(jω) (deg)
Dans le domaine fréquentiel, l'estimation la plus sûre du degré de stabilité
d'un système bouclé stable se fera à travers son facteur de résonance.
[email protected]
104
Commande en tout-ou-rien (T.O.R)
Intuitivement, la loi de commande la plus simple consiste à appliquer le
maximum de commande quand la sortie mesurée est plus petite que la
consigne et le minimum sinon.
ε(p)
umax
u
ε
U(p)
umin
Avantages :
• temps de réponse minimums et bonne précision
si amortissement suffisant
• simplicité de mise en œuvre
Inconvénients :
• observation fréquente d'oscillations non amorties
• dépense énergétique importante
• variations brusques du signal de commande
[email protected]
105
Commande T.O.R
Application
0.75
Le procédé commandé modélisé par G( p ) =
1 + p + p2 (0.01p + 1)
subit une perturbation sur son entrée.
(
)
La commande TOR est définie par umax= 10 et umin= -10.
yref y
u pu
2.5
10
2
5
1.5
0
1
-5
0.5
-10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5
10
15
20
25
30
35
Le phénomène d'oscillation observé est appelé "pompage".
[email protected]
106
Commande proportionnelle
Une loi de commande plus évoluée consiste à générer une commande
proportionnelle à la différence entre le signal de référence et la sortie mesurée.
u
ε(p)
U(p)
ε
u=kε
Le procédé précédent est commandé avec un gain k = 2
u pu
yref y
3
3
2.5
2
2
1
1.5
0
1
-1
0.5
-2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
-3
0
5
10
15
20
25
30
35
On observe ici un suivi de consigne et un rejet de perturbation imparfaits.
[email protected]
107
Commande proportionnelle
Modification des performances
ε(p)
Yref(p)
+
ε∞ =
Pu(p)
U(p)
K(p)
Ymes(p)
+
G(p)
-
yref0 − G(0 )pu0
, yref (t ) et pu(t ) étant en régime constant
1 + kG(0 )
T0 =
∆ymes
kG(0 )
=
∆yref 1 + kG(0 )
Augmentons k pour faire tendre l'erreur statique ε∞ vers 0 et le gain statique T0
vers 1.
k = 2 k = 10 k = 50
3
60
2.5
40
2
20
1.5
0
1
-20
0.5
-40
0
[email protected]
0
5
10
15
20
25
30
35
-60
0
5
10
15
20
25
30
35
108
Commande proportionnelle
Dilemme stabilité/précision
k = 2 k = 10 k = 50
3
60
2.5
40
2
20
1.5
0
1
-20
0.5
-40
0
0
5
10
15
20
25
30
35
-60
0
5
10
15
20
25
30
35
Quand k augmente :
+ l'erreur statique ε∞ tend vers 0
+ le gain statique T0 tend vers 1
+ le temps de montée tm diminue
- le premier dépassement D1 augmente
- l'amortissement ζ diminue
- le temps de réponse t5% augmente
- le niveau de commande augmente
[email protected]
Précision
Degré de stabilité
109
Commande proportionnelle
Augmentation du gain, diminution du degré de stabilité
k = 2 k = 10 k = 50
module kG (dB)
50
0
-50
arg kG (deg)
-100
0
-50
-100
-150
-200
-250 -1
10
Quand k augmente :
Mφ
100
Mφ
-180°
Mφ
10 1
102
Frequency (rad/sec)
+ augmentation du gain statique de boucle ouverte β(0) = kG(0)
+ augmentation de la fréquence au gain unité ωu
- diminution de la marge de phase Mφ
[email protected]
110
Commande proportionnelle
Analyse des fonctions de sensibilité
T
50
S
20
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
10
0
-50
0
-10
-20
-30
-100
-1
10
0
10
0
1
10
10
2
10
GS
0
-20
Magnitude (dB)
40
20
0
-20
-1
10
-40
-1
10
2
10
KS
60
Magnitude (dB)
1
10
-40
-60
-80
0
10
1
10
2
10
-100
-1
10
0
10
1
10
2
10
k = 2 k = 10 k = 50
Quand k augmente :
• bande passante augmente mais facteur de résonance augmente
• désensibilisation augmente mais marge de module diminue
• sensibilité de l'entrée augmente
• rejection plus importante et rapide
[email protected]
111
Réglage d'une commande proportionnelle
Application
G( p ) =
k
Magnitude (dB)
Modèle du procédé à asservir
10
 1. 8 p p 2 

p 1 +
+

2
4 

ωu
Mφ
MG
Mr
(rad/s)
(°)
(dB)
(s)
εs
50
20
1
(εs vis-à-vis d'un échelon sur pu)
[email protected]
Phase (deg)
0.1
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-90
-110
-130
-150
-170
-190
-210
-230
-250
-270 -2
10
Diagramme de Bode de G(jω)
10
-1
10
0
Frequency (rad/sec)
10
1
2
10
112
Dilemme stabilité/précision
Amélioration de la précision sans dégradation du degré de stabilité
L'amélioration de la précision résulte de l'augmentation du gain de boucle ouverte
en basse fréquence.
La dégradation du degré de stabilité provient de l'augmentation du gain de boucle
au voisinage de la fréquence au gain unité.
module KG (dB)
Augmentons donc le gain en basse fréquence sans toucher aux fréquences moyennes.
50
0
-50
arg KG (deg)
-100
0
K(p)= 2 K(p)
-50
-100
-150
-200
-250 -1
10
-180°
Mφ
100
10 1
102
Frequency (rad/sec)
[email protected]
113
Dilemme stabilité/précision
Amélioration du degré de stabilité sans dégradation de la précision
L'amélioration du degré de stabilité peut être obtenu en augmentant localement la
phase de la boucle ouverte au voisinage de la fréquence au gain unité.
La précision ne sera pas dégradée si le gain en basse fréquence n'est pas modifié.
module kG (dB)
50
0
-50
arg kG (deg)
-100
0
K(p)= 50 K(p)
-50
-100
-150
-200
-250 -1
10
Mφ Mφ
100
101
-180°
102
Frequency (rad/sec)
[email protected]
114
Commande à action intégrale
L'augmentation du gain de boucle ouverte en basse fréquence peut être obtenu
1 + p ωi
avec un filtre du type :
p ωi
Son gain tend vers l'infini en basse fréquence, et tend vers 1 au delà de ωi.
Le filtre est donc transparent au voisinage de la pulsation au gain unité en boucle
ouverte ωu si ωi < ωu.
K ( p ) = 2 KI( p ) = 2
yref y
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 + p 0.1
p 0.1
u pu
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
La précision parfaite n'est ici obtenue qu'après un temps relativement long.
[email protected]
115
Commande à action intégrale
Modification des performances
Yref(p) = 0
+
Ymes( p ) =
ε(p)
Pu(p) = pu0 /p
U(p)
K(p)
+
Ymes(p)
G(p)
-
G( p )Pu( p )
P ( p)
pu0
≈ u
=
en basse fréquence
1 + KI( p )G( p ) KI( p ) K0(ωi + p )
ymes(t ) =
pu0 −ωit
e
K0
Augmentons ωi pour accélérer le rejet de la perturbation.
ωi = 0.1rad/s ωi = 0.2rad/s ωi = 0.5rad/s
2.5
2
1.5
1
0.5
0
[email protected]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
116
Commande à action intégrale
rapidité d'action/degré de stabilité
ωi = 0.1rad/s ωi = 0.2rad/s ωi = 0.5rad/s
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Quand ωi augmente (ou quand la constante de temps τi = 1/ωi diminue) :
[email protected]
+ le temps de réponse à t5% diminue
Précision plus "rapide"
- l'amortissement ζ diminue
Degré de stabilité
117
Commande à action intégrale
Diminution de la constante de temps, diminution du degré de stabilité
arg KG (deg)
module KG (dB)
K( p ) = 2
ωi = 0.1rad/s ωi = 0.2rad/s ωi = 0.5rad/s
40
20
2.5
0
2
-20
1.5
-40
0
1
-50
0.5
-100
0
-150
Mφ
-200 -2
10
10
-1
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-180°
0
10
1
Frequency (rad/sec)
Quand ωi augmente :
+ augmentation du gain de boucle ouverte en basse fréquence
- diminution de la marge de phase Mφ
[email protected]
118
Régulateur à action intégrale
ωi = ωu/10 ωi = ωu/5 ωi = ωu/2 ωi = ωu
K0
ω
module K/K0 (dB)
KI( jω ) =
1 + p ωi
p ωi
ωi2 + ω 2
ωi
KI( jωu ) / K0
arg KI( jωu )
ωu/10 ωu/5
ωu/2
ωu
1.01
1.12
1.41
1.02
40
30
20
10
0
0
arg KI( jω ) = −90° + arctan ω
ωi
arg K (deg)
KI( p ) = K0
50
-20
-40
-60
-80
-100 -2
10
10
-1
ω/ωu
10
0
10
1
-5.7° -11.3° -26.6 -45°
ωi est choisi le plus grand possible suivant la perte de phase tolérée.
[email protected]
119
Régulateur à action intégrale
Analyse des fonctions de sensibilité
T
0
-10
-20
-30
0
-10
-20
-30
-40
-2
10
-1
0
10
10
-40
-2
10
1
10
KS
-1
10
5
0
10
10
1
10
GS
0
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
S
10
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
10
-10
-20
-30
-40
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
-50
-2
10
-1
10
0
10
1
10
ωi = 0.1rad/s ωi = 0.2rad/s ωi = 0.5rad/s
Quand ωi augmente :
• facteur de résonance augmente
• désensibilisation augmente mais marge de module diminue
• rejection plus importante et rapide
[email protected]
120
Commande à action intégrale
"expliquée avec les mains"
ε(p)
Yref(p)
+
Py(p)
Pu(p)
U(p)
K(p)
+
Ymes(p)
+
G(p)
+
yref(t
)
Bm(p)
ymes(t)
t
u(t)
ε(t)
1
[email protected]
Phase 1 : commande proportionnelle
Phase 2 : passage en commande à action intégrale
Phase 3 : déblocage de ymes et stabilisation
Le régulateur force de plus en plus tant que nécessaire
ukT = u(k-1)T + αIεkT
2
3
t
Si αI est trop grand, ukT risque être trop grand et
générer des oscillations.
121
Commande à action dérivée
L'augmentation de la marge de phase peut être obtenue avec un filtre du type :
ω1 1 + p ω1
ω2 1 + p ω2
Ce filtre génère une avance de phase maximale à ω1ω2 .
Le gain ω1 ω2 inférieur à 1 dégrade légèrement la précision mais rend le filtre
transparent en gain à ω1ω2 .
KD( p ) = 50 / 1.5
K ( p ) = 50
yref y
3
10
0
2.5
1+ p 4
1+ p 9
u pu
50
2
1.5
1
0
0.5
0
0
5
10
15
-50
0
5
10
15
Le premier dépassement a été diminué mais reste important.
[email protected]
122
Commande à action dérivée
Modification des performances
1 + ap ω
Ecrivons le régulateur sous la forme KD( p ) = K0 1a 1 + p aω0
0
Augmentons a pour diminuer le premier dépassement.
a = 1.5 a = 3 a = 6
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
350
300
250
200
150
100
50
0
-50
0
5
10
15
Quand a augmente :
+ le dépassement D1 diminue
- l'erreur statique ε∞ augmente
- le gain statique T0 diminue
- le signal de commande augmente
[email protected]
Degré de stabilité
Précision
Sensibilité KS en HF
123
Commande à action dérivée
augmentation de l'avance de phase, diminution des performances
arg KG (deg)
module KG (dB)
a =1 a = 1.5 a = 3 a = 6
50
0
3
-50
2.5
-100
2
-150
0
1.5
1
-100
Mφ
0.5
-180°
-200
-300
10
-1
0
1
10
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
0
0
5
10
15
3
Quand a augmente :
+ augmentation de la marge de phase Mφ
- diminution du gain de boucle ouverte en basse fréquence
- augmentation du gain de boucle ouverte en haute fréquence
Il ne faut donc apporter que le minimum de phase nécessaire.
[email protected]
124
Régulateur à action dérivée
1 + ap ω0
1 + p aω0
ω02 + a2ω
KD( jω ) = K0 2 2
a ω0 + ω 2
2
arg KD( jω ) = arctan aω − arctan ω
ω0
aω0
lim K D ( jω ) = K 0 / a
ω →0
lim K D ( jω ) = K 0
ω =ω0
lim K D ( jω ) = K 0 a
ω →∞
φm = arg K D ( jω0 ) = 2 arctan a − 90°
arg K (deg)
KD( p ) = K0 a
module K/K0 (dB)
a = 1.5 a = 3 a = 6 a = 12
30
20
10
0
-10
-20
-30
100
80
60
φm
40
20
0 -2
10
10 -1
a=1.5
10 0
ω/ωu
a=3
10 1
a=6
10 2
a=12
arg KD( jω0 ) 22.6° 53.1° 71.1° 80.5°
Au delà de 50°, l'avance de phase φm s'accompagne de diminution (1/a) et
augmentation (a) importantes du gain en basse et haute fréquences.
[email protected]
125
Régulateur à action dérivée
Analyse des fonctions de sensibilité
T
0
-20
-40
-60
-1
10
10
0
KS
10
1
10
0
-10
-20
-30
-1
10
2
10
0
GS
0
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
60
S
10
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
20
40
20
10
1
10
2
-20
-40
-60
-80
0
-1
10
10
0
10
1
10
2
-100
-1
10
10
0
10
1
10
2
Quand a augmente :
a = 1.5 a = 3 a = 6
• facteur de résonance baisse mais gain statique diminue légèrement
• marge de module augmente mais désensibilisation baisse
• sensibilisation de l'entrée plus importante
• rejection plus faible
[email protected]
126
Commande à action dérivée
"expliquée avec les mains"
ε(p)
Yref(p)
+
Py(p)
Pu(p)
U(p)
K(p)
+
Ymes(p)
+
G(p)
+
yref(t)
Bm(p)
ymes(t)
t
Le régulateur tient compte de la dérivée de ε
u(t)
ε(t)
ukT = αPεkT + αD(εkT - ε(k-1)T)
1
2
[email protected]
Phase 1 : commande proportionnelle
Phase 2 : ajout d'une action dérivée
anticipation de u pour contrer l'inertie de G
t
Si αD est trop grand, ukT risque d'être trop sensible
au bruit de mesure.
127
Réponse au « Dilemme Stabilité/Précision » :
la commande de type PID
(Proportionnelle, Intégrale, Dérivée)
|K(jω)|dB
K0dB
ωi
ω1
ω2
logω
argK(jω)
90°
0°
logω
-90°
K (p) =
1 + p ωi
1 + p ω1
K0
p ωi
1 + p ω2
KI
[email protected]
KP
KD
Une commande de type PID permet de
conjuguer les avantages de chacune des
actions prises séparément.
A ces 3 actions, une action de filtrage
peut être ajoutée pour assurer un gain
décroissant du régulateur en haute
fréquence.
ω ∈ ]0 , ωi] :
ω ∈[ωi , ω1] :
ω ∈[ω1 , ω2] :
ω ∈[ω2 , ωf] :
ω ∈[ωf , ∞[ :
effet intégrateur
effet proportionnel
effet dérivateur
effet amplicateur
effet filtre passe-bas
Réponse au « Dilemme Stabilité/Précision » :
la commande de type PID
(Proportionnelle, Intégrale, Dérivée)
Une commande de type PID permet de conjuguer les avantages de chacune des
actions prises séparément.
A ces 3 actions, une action de filtrage peut être ajoutée pour assurer un gain
décroissant du régulateur en haute fréquence.
|K(jω)|dB
K ( p ) = K0
K0a2dB
K0dB
ωi
ω1
ω2
ωf
logω
argK(jω)
90°
0°
logω
KP
1 + p ωi 1 + p ω1
1
p ωi
1 + p ω2 1 + p ωf
KI
ω ∈ ]0 , ωi] :
ω ∈[ωi , ω1] :
ω ∈[ω1 , ω2] :
ω ∈[ω2 , ωf] :
ω ∈[ωf , ∞[ :
KD
KF
effet intégrateur
effet proportionnel
effet dérivateur
effet amplicateur
effet filtre passe-bas
-90°
[email protected]
129
Synthèse d'un régulateur PID(F)
K( p ) = K0
1 + p ωi 1 + p ω1
1
p ωi 1 + p ω2 1 + p ωf
KI
KD
KF
En fonction des besoins du cahier des charges et de la fréquence au gain
unité maximale atteignable (et notamment qui ne génère pas des niveaux de
commande trop importants), on détermine successivement ωi, ωf, ω1et ω2,
puis K0.
Détermination de ωi
ωi est aussi grande que la perte de phase que génère l'action intégrale est
tolérable. Classiquement on prend :
ωu/10 ≤ ωi ≤ ωu/2
Détermination de ωf
ωf est aussi petite que la perte de phase que génère l'action de filtrage est
tolérable. Classiquement on prend :
ωu*2 ≤ ωf ≤ ωu*10
[email protected]
130
Synthèse d'un régulateur PID(F)
K( p ) = K0
1 + p ωi 1 + p ω1
1
p ωi 1 + p ω2 1 + p ωf
KI
KD
KF
Détermination de ω1 et ω2
Ecrivons ω1 et ω2 sous la forme : ω1 = ωu/a et ω2 = ωu*a.
L'avance de phase à apporter est :
φm = arg KD(jωu) = -180° + Mφ - arg G(jωu) - arg KI(jωu) - arg KF(jωu)

Le paramètre a qui règle l'avance de phase est alors a = tg

φm + 90° 
2


Détermination de K0
K0 assure finalement que le gain de la boucle ouverte est unitaire à ωu :
K0 =
G( jωu )
1
KI( jωu ) KD( jωu ) KF( jωu )
≈1
a
≈1
Le gain haute fréquence maximun de K(jω) est environ K0 a2. Il peut être
diminué en diminuant ωu.
[email protected]
131
Commande de type PID
Application
(
)
0.75
1 + p + p2 (0.01p + 1)
0
0
-20
-50
-40
-100
-60
-150
-80
-200
-100 -1
10
10
0
10
1
10
2
-250 -1
10
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Modèle du procédé asservi G( p ) =
10
0
10
1
10
2
Objectifs :
• précision parfaite en présence de signaux de consigne et de perturbation
d'entrée de type échelon
• bruit de commande généré par bruit de mesure ±0.1 inférieur à ±2 (± 20 maxi /10)
• amortissement d'environ 0.45
• amplification nulle des très hautes fréquences
nécessité d'actions intégrale et de filtrage
amplification HF maxi du régulateur de l'ordre de 20
marge de phase de 50°
[email protected]
132
Commande de type PID
Application (synthèse du régulateur)
Sachant que l'action avance de phase augmentera le gain HF du régulateur,
autorisons un gain de régulateur d'environs 10 à ωu :
ωu de l'ordre de 3 rad/s (|G(j ωu)| ≈ -20dB)
ωF = 15 rad/s (ωu*5)
a = 3.06 (φm=53.8°)
ω1 = 0.98 rad/s (ωu/a)
ω2 = 9.18 rad/s (ωu*a)
K0 = 3.73 (1/|G(j ωu)|*a)
[email protected]
50
Phase (deg); Magnitude (dB)
ωI = 0.6 rad/s (ωu/5)
40
30
20
10
50
0
-50
-100 -2
10
10
-1
0
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Le gain haute fréquence maxi de K(jω) est
d'environ 20 (26dB).
133
Commande de type PID
Application (fonctions de sensibilité)
50
0
T
-50
-100
-150 -2
-1
0
1
2
3
10 10 10 10 10 10
30
25
20
KS
15
10
5
0
-5
-10 -2
-1
0
1
2
3
10 10 10 10 10 10
10
0
S
-10
-20
-30
-40
-50 -2
-1
0
1
2
3
10 10 10 10 10 10
0
GS
-50
-100
-150 -2
-1
0
1
2
3
10 10 10 10 10 10
• Gain de T de 1 en BF, bande passante de l'ordre de 6 rad/s et facteur de
résonance de l'ordre de 2dB
• Max de S de l'ordre de 4dB soit marge de module de l'ordre de 0.66
• Max de KS de l'ordre de 25 et gain nul en HF
• Gain de GS nul en BF
[email protected]
134
Commande de type PID
Application (implantation)
u pu
yref y
2.5
20
2
15
10
1.5
5
1
0
0.5
0
0
-5
5
10
15
20
25
30
-10
0
5
10
15
20
25
30
L'erreur statique est nulle, le bruit de commande de l'ordre de ± 2 et les
transitoires sont bien amortis.
Une variation unitaire du signal de référence génère une variation de la
commande de l'ordre de 20 (la valeur maxi de commande). Des variations
supérieures de la sortie désirée doivent être filtrées avant d'être appliquées en
signal de référence.
[email protected]
135