Superficies sorprendentes y caminos imposibles

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Superficies sorprendentes
y caminos imposibles
Mario Fioravanti
Colaboran Sara Boo y Sara González
[email protected]
ESTALMAT – 2008/09
Facultad de Ciencias
1
Hoy hablaremos de …
• La Topología
• Los puentes de Königsberg. Euler y los grafos
• Centralitas telefónicas, caballos de ajedrez, …
• Experimentos con cintas y cruces de Möbius
(las superficies sorprendentes)
• Representaciones planas
• Juguemos a tres-en-raya sobre un …
2
Un paseo por la Tierra
Si partimos de un lugar de la Tierra y avanzamos sin
desviarnos, al cabo de un tiempo volveremos al
punto de partida.
3
Si dos personas parten en direcciones perpendiculares y van dejando en su camino una marca de hilo,
una de color azul y la otra de color rojo, comprueban
que en algún momento sus caminos se han cruzado.
4
Si la Tierra no fuera una esfera,
¿podría ocurrir que las dos personas que parten
en direcciones perpendiculares vuelven al punto
de partida, pero sus caminos no se cruzan?
¿Podría ocurrir que una persona camina sin
desviarse y retorna al punto de partida, pero
cabeza abajo?
5
Topología
La topología es una rama fundamental de las
Matemáticas que estudia las propiedades de
un objeto que se conservan por deformación
o estiramiento.
La redondez de una circunferencia no es una
propiedad topológica.
=
6
“geometría cualitativa”
¿tiene agujeros? ¿tiene borde?
¿está formada por varias componentes?
no tiene
borde
tiene
borde
no tiene
borde,
tiene un
agujero
7
¿Cuántos agujeros tiene?
tiene tres agujeros
Topológicamente un cubo es equivalente a una esfera
=
=
Y una taza es
equivalente a un donut
8
Leonhard Euler (1707-1783)
Geometría, cálculo, teoría de números,
ecuaciones diferenciales, mecánica,
hidrodinámica, electromagnetismo,
astronomía ...
El matemático más prolífico de todos
los tiempos: 500 entre libros y artículos
(800 páginas por año).
Obras completas:
¿73 volúmenes?
9
Infancia y juventud
Basilea, Abril 1707
A los 13 años ingresa en la Universidad de Basilea para estudiar
Teología, Humanidades y lenguas orientales.
Juan Bernoulli
A los 19 años finaliza sus estudios universitarios y concurre a un
concurso convocado por la Real Academia de Ciencias de París…
10
Tercera etapa profesional: regreso a San Petersburgo
34
años
San Petersburgo
Segunda estancia:
1766-1783
+
76
años
59
años
20
años
Al año de llegar pierde la visión
completamente, pero sigue haciendo
cálculos mentalmente y durante los
últimos 16 años de su vida dicta los
resultados a alguno de sus 13 hijos.
11
Se cuenta que tenía una memoria prodigiosa y una enorme
capacidad de cálculo mental:
Recitaba La Eneida de memoria en latín
Enumeraba de forma inmediata los 100 primeros primos y hasta su
potencia 6.
[1]-[2]-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-8997-101-103-107-109-113-127-131-137-139-149-151-157-163-167-173-179-181-191193-197-199-211-223-227-229-233-239-241-251-257-263-269-271-277-281-283293-307-311-313-317-331-337-347-349-353-359-367-373-379-383-389-397-401409-419-421-431-433-439-443-449-457-461-463-467-479-487-491-499-503-509521-523-541
5416=25.071.688.922.457.241 (17 cifras)
12
Los puentes de Königsberg
Capital de Prusia Oriental.
En 1945 pasa a llamarse
Kaliningrado
13
El problema de los puentes es equivalente al
recorrido de un grafo.
¿Cuáles son los grafos que se pueden recorrer sin
pasar dos veces por la misma arista?
14
¿Qué es un grafo?
• Vértices o nodos
• Arcos o aristas
• Caminos
Grafo dirigido
15
16
¿Se puede recorrer este grafo, sin pasar
dos veces por la misma arista?
17
Un grafo se puede recorrer sin pasar dos veces por
la misma arista si no tiene vértices impares (número
de aristas en ese vértice) o solo tiene dos.
Si todos los vértices son pares, al completar el recorrido se vuelve al mismo vértice de partida. Si tiene
dos vértices impares, uno de ellos será el comienzo
del recorrido y el otro el final.
3
3
3
4
3
2
4
3
4
3
Otra manera de verlo
18
3
3
5
3
No se pueden recorrer los siete puentes sin pasar
dos veces por el mismo.
19
¿Cuántos arcos tiene un grafo?
Si sumamos el grado de todos los vértices …
Supongamos que el grafo tiene n vértices:
v1, v2, v3 , . . . , vn
Nº de arcos = ½ (g(v1) + g(v2) + g(v3) + . . . + g(vn)).
En cualquier grafo, la suma de los grados de todos los
vértices es un número par.
En una ciudad hay 15 centralitas telefónicas. Para mejorar
las comunicaciones, se ha pensado en conectar algunas de
ellas con cables. Se quiere conectar cada centralita con
otras cinco, ¿es posible?
20
¿Podría ocurrir que una persona camina sin
desviarse y retorna al punto de partida, pero
cabeza abajo?
August F. Möbius
(1790-1868)
Superficies de una sola
cara (o no orientables)
Astrónomo y matemático.
Alumno de Gauss.
Johann B. Listing
(1808-1882)
21
La cinta de Möbius
M. C. Escher (1898-1972)
http://www.mcescher.com/
22
Experimentos con bandas de Möbius
1. Con una tira de papel construimos un cilindro.
¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene?
2. Con una tira de papel construimos
una cinta de Möbius.
¿Cuántas caras tiene?
¿Cuántos bordes tiene?
3. Construimos un cilindro y cortamos por la línea central.
¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes?
4. Construimos una cinta de Möbius y cortamos por la línea
central.
¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes?
23
… más experimentos con bandas de Möbius
5. Usamos una tira de papel con dos líneas que la dividen en
tres partes y construimos una cinta de Möbius. Cortamos
por las líneas.
¿Qué se obtiene?
¿Hemos obtenido alguna banda de Möbius?
24
Experimentos con cruces de Möbius
1. Con una cruz (con una línea en el medio)
unimos las aspas opuestas formando dos
cilindros.
¿Qué características topológicas tiene la
nueva superficie?
Si cortamos por la línea central, ¿qué se
obtiene?
2. Con otra cruz similar, unimos dos de las
aspas formando un cilindro y las otras dos
formando una banda de Möbius. ¿Qué
características topológicas tiene la nueva
superficie?
Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?
25
… más cruces
3. Con otra cruz similar, unimos los dos pares de aspas opuestas
formando bandas de Möbius. ¿Qué características topológicas
tiene la nueva superficie?
Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?
Compara el resultado con el de otros asistentes.
4. Usamos ahora la cruz que tiene un
par de aspas divididas en tres
partes. Unimos el par de aspas con
una sola línea formando un cilindro
y el par de aspas con dos líneas
formando una banda de Möbius.
Cortamos por las líneas, empezando
por la banda de Möbius.
¿Qué se obtiene?
26
Lo imposible, posible
El folio sorprendente
Con un folio y tijeras (sin usar pegamento)
construye de una sola pieza la superficie
que se muestra en el dibujo
El cilindro con asa
Podrías ahora construir esta figura
(esta vez tienes que pegar dos bordes).
27
Hay que llevar agua, electricidad y gas a las tres
casas, sin que se crucen las tuberías.
¿Es posible?
28
Representaciones planas
El cilindro
A
A
B
B
La cinta de Möbius
A
B
B
A
29
¿Cómo se jugaría a tres-en-raya en un cilindro?
¿Y en una cinta de Möbius?
30
Keizo Ushio
John Robinson
ICM 2006 - Madrid
31
Bibliografía
Barr, Stephen, Experiments in Topology, Dover, New York, 1964.
Blanco, Miguel; Ruiz, Andrés; Corchete, Abilio, Taller de
Matemáticas, Junta de Extremadura, Consejería de Educación y
Juventud, Mérida, 1998.
Polthier, Konrad, Imaging maths - Inside the Klein bottle, Plus
Magazine 26, 2003,
http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index.html#klein
Bottle_anim
Weeks, Jeffrey, The shape of space, Marcel Dekker, New York,
1985.
Rodríguez, J., Un paseo por la topología en la red,
http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen2/introduccion.html
The MacTutor History of Mathematics Archive,
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/index.html
32

Superficies sorprendentes y caminos imposibles

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