Grupos de Lie

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Grupos de Lie

Grupos de Lie
Luiz A. B. San Martin
21 de Abril de 2014
2
Conteúdo
1 Introdução
1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Grupos topológicos
3
10
13
2 Grupos topológicos
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vizinhanças do elemento neutro . .
2.3 Grupos Metrizáveis . . . . . . . . .
2.4 Homomor…smos . . . . . . . . . . .
2.5 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Ações de grupos . . . . . . . . . . .
2.6.1 Descrição algébrica . . . . .
2.6.2 Ações contínuas . . . . . . .
2.7 Espaços quocientes . . . . . . . . .
2.7.1 Grupos quocientes . . . . .
2.7.2 Grupos compactos e conexos
2.8 Homeomor…smo G=Gx ! G x . .
2.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . .
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17
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29
32
34
36
36
38
40
43
3 Medida de Haar
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . .
3.2 Construção da medida de Haar
3.3 Unicidade . . . . . . . . . . . .
3.4 Função modular . . . . . . . . .
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . .
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4 Representações de grupos compactos
4.1 Representações . . . . . . . . . . . .
4.2 Relações de ortogonalidade de Schur
4.3 Representações regulares . . . . . . .
4.4 Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . .
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4
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
85
Grupos e álgebras de Lie
87
5 Grupos de Lie e suas álgebras de Lie
5.1 De…nição . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Álgebra de Lie de um grupo de Lie .
5.2.1 Campos invariantes . . . . . .
5.3 Aplicação exponencial . . . . . . . .
5.4 Homomor…smos . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Representações . . . . . . . .
5.4.2 Representações adjuntas . . .
5.5 Equações diferenciais ordinárias . . .
5.6 Medida de Haar . . . . . . . . . . . .
5.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . .
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91
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147
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6 Subgrupos de Lie
6.1 De…nição e exemplos . . . . . . . . . . . . .
6.2 Subálgebras e subgrupos de Lie . . . . . . .
6.3 Ideais e subgrupos normais . . . . . . . . . .
6.4 Limites de produtos de exponenciais . . . .
6.5 Subgrupos fechados . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Subgrupos conexos por caminhos . . . . . .
6.7 Estrutura de variedade em G=H, H fechado
6.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Homomor…smos e recobrimentos
7.1 Homomor…smos . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Imersões e submersões . . . . . . . .
7.1.2 Grá…cos e diferenciabilidade . . . . .
7.2 Extensões de homomor…smos . . . . . . . .
7.3 Recobrimento universal . . . . . . . . . . . .
7.4 Apêndice: espaços de recobrimento (resumo)
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Expansões em séries
8.1 Diferencial da aplicação exponencial
8.2 Série de Baker-Campbell-Hausdor¤
8.3 Estrutura diferenciável analítica . .
8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . .
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5
III Tipos de álgebras de Lie e seus grupos simplesmente
conexos
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9 Grupo a…m e produto semi-direto
9.1 Automor…smos de grupos de Lie . . . . . . .
9.2 Grupo A…m . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Produto semi-direto . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Grupos derivados e série central descendente
9.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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183
183
189
191
193
197
10 Grupos solúveis e nilpotentes
10.1 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Grupos nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
201
204
209
11 Grupos compactos
11.1 Álgebras de Lie compactas . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Grupo fundamental …nito . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Teorema de extensão . . . . . . . . . . . . .
11.3 Álgebras de Lie compactas e complexas . . . . . .
11.3.1 Truque unitário de Weyl . . . . . . . . . . .
11.3.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Subálgebras de Cartan e elementos regulares
11.4 Toros maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Centro e raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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211
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220
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223
225
230
235
242
243
12 Grupos semi simples não compactos
12.1 Decomposições de Cartan . . . . . . . . .
12.1.1 Decomposições das álgebras de Lie
12.1.2 Decomposições globais . . . . . . .
12.2 Decomposições de Iwasawa . . . . . . . . .
12.2.1 Decomposições das álgebras de Lie
12.2.2 Decomposições globais . . . . . . .
12.3 Classi…cação . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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258
260
IV
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Grupos de Transformações
13 Ações de grupos de Lie
13.1 Ações de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Teorema de Lie-Palais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261
265
265
269
272
13.3 Fibrados . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Fibrados principais . . .
13.3.2 Fibrados associados . . .
13.4 Espaços homogêneos e …brados
13.5 Exercícios . . . . . . . . . . . .
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14 Geometria invariante
14.1 Variedades complexas . . . . . . .
14.1.1 Grupos de Lie complexos .
14.2 Formas diferenciais e cohomologia
14.3 Variedades Riemannianas . . . .
14.4 Variedades simpléticas . . . . . .
14.4.1 Representação coadjunta .
14.4.2 Aplicação momento . . . .
14.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . .
V
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de De Rham
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277
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288
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293
293
297
299
310
311
315
318
327
Apêndices
329
A Campos de vetores e colchetes de Lie
331
A.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
B Integrabilidade de distribuições
B.1 Imersões e subvariedades . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Distribuições características e teorema de Frobenius
B.3 Unicidade e variedades integrais maximais . . . . .
B.4 Cartas adaptadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Variedades integrais são quase-regulares . . . . . . .
B.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Índice
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339
339
342
347
350
352
354
359
Para
????,
????
?????
?????
Prefácio
O objetivo deste livro é oferecer um texto introdutório aos grupos de Lie, apresentando
a teoria a partir de seus princípios fundamentais.
O conceito de grupo se tornou um dos conceitos básicos da matemática contemporânea e de suas aplicações. Isso se deve tanto à sua simplicidade como estrutura
algébrica quanto ao fato de que a ideia de simetria, num sentido amplo, é formalizada
via invariantes por grupos de transformações.
Os grupos de Lie formam uma classe especial de grupos, que são estudados via
os métodos do cálculo diferencial e integral. Como estrutura matemática um grupo
de Lie é a combinação da estrutura algébrica de grupo com a estrutura de variedade
diferenciável. Os grupos de Lie começaram a ser estudados por volta de 1870 como
grupos de simetrias de equações diferenciais e das diversas geometrias que haviam
surgido até então. Desde essa época a teoria dos grupos de Lie, ou o que se chama mais
geralmente de teoria de Lie, teve um grande desenvolvimento e estabeleceu rami…cações
nas mais diversas áreas da matemática e de suas aplicações.
Os métodos para estudar os grupos de Lie estão baseados na construção de suas
álgebras de Lie, o que foi feito inicialmente por Sophus Lie na década de 1870. (Aliás,
a teoria leva o seu nome em virtude dessa construção.) Uma vez tendo a álgebra de Lie
de um grupo de Lie a ideia toda consiste em transferir propriedades da álgebra de Lie
a propriedades do grupo de Lie. Esse processo de transferência é muito bem sucedido,
o que permite descrever os grupos de Lie, que são objetos tipicamente não lineares,
através da álgebra linear embutida nas álgebras de Lie.
Neste livro são desenvolvidos os resultados que estabelecem a relação entre os grupos
e álgebras de Lie. Ele foi dividido em quatro partes, mais uma quinta parte com
apêndices.
O corpo principal da teoria dos grupos de Lie e sua classi…cação a partir das álgebras
de Lie é desenvolvido nas partes 2 e 3. A parte 2 contém 4 capítulos aonde se de…ne
a álgebra de Lie de um grupo de Lie e são demonstradas as fórmulas que relacionam,
através da aplicação exponencial, o produto no grupo e o colchete de Lie na álgebra.
São considerados aí também os subgrupos de Lie de um grupo de Lie e suas relações
com as subálgebras de Lie assim como outros conceitos usuais da teoria de grupos
como homomor…smos, subgrupos normais e os espaços quocientes. Os resultados da
parte 2 desembocam num teorema de existência e unicidade de grupo de Lie com uma
álgebra de Lie dada. Sendo que a unicidade vale para um grupo de Lie que satisfaça a
propriedade topológica global de ser conexo e simplesmente conexo.
1
2
O pré-requisito necessário para a leitura da parte 2 é o cálculo diferencial em variedades diferenciáveis, incluindo aí a teoria de existência e unicidade para equações
diferenciais ordinárias (campos de vetores). Pode-se interpretar como parte da teoria
de existência e unicidade o conceito de colchete de Lie de campos de vetores, que são
discutidos no primeiro dos apêndices ao …nal do livro, devido à sua relevância para
todo o texto.
A parte 2 não exige um conhecimento de álgebras de Lie. Os poucos conceitos
usados são de…nidos quando necessários. Ao contrário da parte 3 cujo objetivo é obter
todos grupos de Lie a partir das álgebras de Lie. Nesse ponto os resultados mais
profundos de classi…cação das álgebras de Lie semi simples entram de forma decisiva.
Quanto às outras partes do livro, a parte 1 considera grupos topológicos. O único
capítulo dessa parte que é necessário para a leitura do resto do livro é primeiro que
trata de propriedades topológicas de grupos. Essas propriedades são satisfeitas pelos
grupos de Lie e são amplamente utilizadas. Os outros dois capítulos sobre grupos
topológicos (medidas de Haar e representações de grupos compactos) fazem uso de
pré-requisitos distintos do resto do livro (teoria da medida e um pouco de análise
funcional) e aparecem apenas de forma marginal nos desenvolvimentos subsequentes.
Já a parte 4 trata de ações de grupos de Lie. São estudadas as órbitas de uma ação
demonstrando que elas são subvariedades diferenciáveis. Ainda nesse capítulo são introduzidos os conceitos de …brado principal e …brado associado, cujas …bras são grupos
de Lie ou espaços onde agem grupos de Lie. Além do mais, se faz uma introdução à
uma vasta área da geometria diferencial, que estuda estruturas geométricas invariantes
em espaços homogêneos.
No inicio de cada parte se encontra um resumo mais detalhado de cada uma delas.
Esses resumos dão indicação de quais os resultados principais dos diferentes capítulos
e como eles se interconectam.
Foi incluído também um capítulo introdutório que tem o objetivo de apresentar um
panorama informal das relações entre os grupos de Lie e as álgebras de Lie, incluindo
uma discussão sobre a classi…cação dos grupos de Lie.
Como sugestão para uma primeira leitura …ca seguinte sequência de capítulos, que
apresenta os fundamentos da teoria de grupos de Lie: capítulos 2, 5, 6, 7, 8 (até a seção
8.1), 9, 10, 11 (até a seção 11.2) e 13.
Guará –Barão Geraldo, abril de 2014.
Capítulo 1
Introdução
Este capítulo introdutório tem um carácter informal. Seu objetivo é propiciar ao leitor
uma visão panorâmica da teoria desenvolvida neste livro, discutindo alguns dos resultados principais através de exemplos. Os exemplos apresentados são ao mesmo tempo
concretos e ilustrativos e por isso centrais dentro da teoria.
A de…nição formal de um grupo de Lie será feita adiante no capítulo 5. Para todos
efeitos, um grupo de Lie consiste num grupo G cujo produto
(g; h) 2 G
G 7 ! gh 2 G
é uma aplicação diferenciável. Um exemplo rico o bastante para cobrir boa parte da
teoria e ao qual deve-se recorrer sempre como guia, é o grupo linear geral Gl (n; R). Os
elementos deste grupo são as matrizes n n inversíveis com entradas reais, ou, o que
é essencialmente a mesma coisa, as transformações lineares inversíveis de um espaço
vetorial real de dimensão …nita.
A seguir serão discutidos alguns aspectos do grupo Gl (n; R). A primeira observação
2
é que este conjunto é um aberto do espaço vetorial das matrizes n n, isto é, de Rn . Ele
é formado por duas componentes conexas, determinadas pelo sinal do determinante.
Uma delas é
Gl+ (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g > 0g;
que é um subgrupo de Gl (n; R). A outra componente conexa é formada pelas matrizes
com determinante < 0 e não é um subgrupo.
A estrutura de grupo em Gl (n; R) é dada pelo produto usual de matrizes. Se
X = (xij ) e Y 2 (yij ) são matrizes n n, então Z = XY = (zij ) é dado por
zij =
n
X
xik ykj ;
k=1
que é uma aplicação polinômial de grau dois nas variáveis xij ; yij . Portanto, o produto
é uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n; R) é um grupo de Lie.
A grande força da teoria dos grupos de Lie está baseada na existência das álgebras
de Lie associadas aos grupos. As álgebras de Lie possibilitam transferir métodos da
álgebra linear ao estudo de objetos não lineares, como são os grupos de Lie. Uma
3
4
Capítulo 1. Introdução
álgebra de Lie é uma estrutura algébrica por excelência. Ela é de…nida como sendo
um espaço vetorial g munido de um produto (colchete) [ ; ] : g g ! g que satisfaz as
seguintes propriedades.
1. Bilinearidade, isto é, [ ; ] é linear em cada uma das variáveis ou ainda o colchete
é distributivo em relação às operações de espaço vetorial.
2. Anti-simetria, isto é, [X; Y ] =
[Y; X], para X; Y 2 g.
3. Identidade de Jacobi: para X; Y; Z 2 g,
[X; [Y; Z]] = [[X; Y ]; Z] + [Y; [X; Z]]:
Os elementos da álgebra de Lie de um grupo de Lie são equações diferenciais ordinárias (campos de vetores) no grupo, que satisfazem uma propriedade de simetria
proveniente da estrutura multiplicativa do grupo (campos de vetores invariantes por
translações, veja o capítulo 5). Enquanto que os elementos do grupo são obtidos através
das soluções dessas equações dadas pelos seus ‡uxos. Normalmente o espaço vetorial
subjacente à álgebra de Lie de um grupo de Lie é identi…cado com o espaço T1 G dos
vetores tangentes ao elemento neutro 1 2 G.
Em outras palavras, a álgebra de Lie é um objeto linear que aproxima o grupo:
para se obter os elementos da álgebra de Lie deve-se derivar curvas no grupo. O procedimento contrário consiste em resolver equações diferenciais. Por isso, nos primeiros
decenios do desenvolvimento da teoria era empregado o termo grupo in…nitesimal,
ao invés de álgebra de Lie.
No caso de Gl (n; R), sua álgebra de Lie é o espaço vetorial das matrizes n n,
munido do colchete dado pelo comutador de matrizes1
[A; B] = BA
AB:
Essa álgebra de Lie será denotada por gl (n; R). Para estabelecer a relação entre a
álgebra e o grupo, considere, para cada matriz A 2 gl (n; R), o campo de vetores
g 7! Ag
no espaço da matrizes. Este campo induz a equação diferencial linear
dg
= Ag:
dt
(1.1)
dx
Esta equação é nada mais nada menos que o sistema linear
= Ax, x 2 Rn , repetido
dt
n vezes, uma vez para cada coluna da matriz g. A solução fundamental do sistema
linear em Rn é dada por
X 1
etA =
(tA)n ;
n!
n 0
1
A ordem inversa que aparece neste comutador deve-se à escolha dos campos invariantes à direita
a ser feita logo mais.
5
o que garante que a solução da equação (1.1) com condição inicial g (0) = 1 (onde 1
denota a matriz identidade n n) é g (t) = etA . Esta solução está inteiramente contida
em Gl (n; R), pois as exponenciais são matrizes inversíveis. Além do mais, a curva
g : R ! Gl (n; R)
g (t) = etA
é um homomor…smo quando se considera a estrutura aditiva de grupo em R, já que
vale a fórmula e(t+s)A = etA esA . A imagem desse homomor…smo é o que se denomina
de subgrupo a 1-parâmetro do grupo de Lie.
Em suma, existe uma construção natural que associa a cada elemento da álgebra de
Lie um subgrupo do grupo de Lie. Essa construção de…ne a aplicação exponencial
do grupo de Lie. Ela é básica para o desenvolvimento da teoria, pois é a aplicação
exponencial que estabelece o vínculo entre o colchete na álgebra de Lie e o produto no
grupo, determinando (quase que) completamente a estrutura do grupo de Lie a partir
da álgebra de Lie. Esse vinculo é realizado através fórmulas que envolvem [ ; ], exp e
o produto no grupo.
Um exemplo é a fórmula de Baker-Campbell-Hausdor¤ (veja o capítulo 8).
Essa fórmula se escreve, para X e Y na álgebra de Lie, como
eX eY = ec(X;Y )
onde c (X; Y ) é uma série (similar a uma série de Taylor), que envolve apenas X e Y
e seus colchetes sucessivos. Os primeiros termos dessa série são
1
1
c (X; Y ) = X + Y + [X; Y ] + [[X; Y ]; Y ]
2
12
1
[[X; Y ]; X] +
12
(1.2)
e os demais termos envolvem colchetes com quatro ou mais elementos. A série c (X; Y )
converge se X e Y são su…cientemente pequenos, mostrando que para esses valores de
X e Y , o produto eX eY é completamente determinado pela álgebra de Lie, isto é, pelos
colchetes entre seus elementos. Isso acarreta que o produto no grupo é completamente
determinado localmente, ao redor do elemento neutro, pelo colchete na álgebra de Lie.
Esse tipo de relação entre o colchete e o produto, pode ser propagado a todo grupo
permitindo mostrar que, a menos de propriedades topológicas globais (como o grupo
ser conexo e simplesmente conexo), existe um único grupo de Lie associado a uma
álgebra de Lie dada.
Outra fórmula é a expansão de Taylor do comutador de exponenciais dado pela
curva
(t) = etB etA e tB e tA
(1.3)
no grupo linear Gl (n; R). Usando reiteradamente a derivada
d tA
e = AetA = etA A;
dt
veri…ca-se que
0
(0) = 0 e
00
(0) = 2[A; B]:
6
Como
(0) = 1 isso signi…ca que
(t) = 1 + t2 [A; B] +
cujo termo relevante é [A; B]. Isso apresenta o colchete como o objeto in…nitesimal
associado ao comutador no grupo. Derivadas deste tipo se estendem a campos de
vetores em geral. Foi essa expansão de Taylor que levou ao conceito de colchete de Lie
de campos de vetores, como é denominado hoje em dia. Esse conceito foi introduzido
por Sophus Lie, o que fez com que toda teoria levasse o seu nome.
Essas fórmulas, apesar de ilustrativas da relação entre os grupos e as álgebras de
Lie, não são as mais utilizadas como subsidio técnico da teoria. A passagem dos grupos
de Lie às álgebras de Lie e vice-versa em geral se dá através das representações adjuntas
de…nidas no capítulo 5. Essas representações fornecem fórmulas que relacionam conjugações Cg (x) = gxg 1 no grupo, suas diferenciais Ad (g), que são aplicações lineares
da álgebra de Lie e as diferenciais de Ad (g) que são dadas unicamente pelo colchete
na álgebra de Lie. Ao aplicar essas fórmulas para passar dos grupos às álgebras de
Lie deve-se derivar duas vezes (eventualmente funções diferentes). O processo inverso,
da álgebra ao grupo de Lie, envolve duas integrais, que geralmente são obtidas pelos
teoremas de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias. A derivada segunda na expansão de Taylor da conjugação em (1.3) dá uma idéia heurística de que a
passagem do grupo para a álgebra de Lie se dá por intermédio de duas derivadas.
Outros exemplos de grupos de Lie com suas respectivas álgebras de Lie são os
seguintes:
1. Se G é um grupo de Lie abeliano então sua álgebra de Lie é abeliana, isto é,
o colchete [ ; ] é identicamente nulo (e vice-versa no caso de grupos conexos,
pela fórmula de Campbell-Hausdor¤). Os grupos de Lie abelianos conexos serão
descritos no capítulo 7, seção 7.3.
2. Seja
G = O (n) = fg 2 Gl (n; R) : gg T = g T g = 1g
o grupo das matrizes ortogonais. Sua álgebra de Lie é a subálgebra de matrizes
anti-simétricas:
so (n) = fA 2 gl (n; R) : A + AT = 0g:
O colchete em so (n) é o comutador de matrizes. A razão para isso é que A
é uma matriz anti-simétrica se, e só se, etA é uma matriz ortogonal para todo
t 2 R. De forma alternativa, O (n) é uma subvariedade do espaço das matrizes
cujo espaço tangente no elemento neutro 1 se identi…ca ao subespaço das matrizes
anti-simétricas.
3. O grupo Gl (n; C) das matrizes complexas n n inversíveis é um grupo de Lie
pela mesma razão que Gl (n; R) o é. A álgebra de Lie Gl (n; C) é a álgebra de Lie
gl (n; C) das matrizes complexas n n.
7
O programa da teoria de Lie consiste em estudar os grupos de Lie através de suas
álgebras de Lie. Isso signi…ca que a ideia é descrever as propriedades dos grupos de Lie
reduzindo-os a propriedades correspondentes das álgebras de Lie. Essa descrição deve,
em última instância, abordar propriedades estruturais que permitam a classi…cação dos
grupos de Lie em termos das álgebras de Lie. Dentro desse programa dois conceitos da
teoria de grupos abstratos desempenham um papel central. São eles os subgrupos e os
homomor…mos entre grupos. Esses conceitos são devidamente tratados via álgebras de
Lie e os resultados são os melhores possíveis:
1. Subgrupos: Se G é um grupo de Lie com álgebra de Lie g então os subgrupos de G estão em bijeção com as subálgebras de Lie de g, com duas ressalvas
fortes sobre os subgrupos que entram nessa bijeção. A primeira é que deve-se
considerar apenas os subgrupos de Lie, que são subgrupos e ao mesmo tempo
subvariedades diferenciáveis, tais que as subestruturas os tornam grupos de Lie.
A segunda ressalva é que a bijeção só inclui os grupos de Lie conexos. Isso porque
a aplicação exponencial só vê a componente conexa do grupo de Lie que contém
o elemento neutro.
Nessa bijeção se associa a um subgrupo de Lie uma subálgebra de Lie tomando
derivadas (duas vezes, como mencionado acima). Já no processo inverso um
subgrupo de Lie é obtido de uma subálgebra de Lie como variedade integral de
uma distribuição. (Para a bijeção veja o capítulo 6. A teoria de distribuições é
apresentada no apêndice B.)
Em relação aos sugrupos de Lie não é possível deixar de mencionar o célebre
teorema de Cartan do subgrupo fechado, que a…rma que se um subgrupo de G é
um conjunto fechado então ele é automaticamente um subgrupo de Lie.
2. Homomor…smos: Se : G ! H é um homomor…smo diferenciável entre grupos
de Lie então sua diferencial d 1 : T1 G ! T1 H é uma aplicação linear entre os
espaços tangentes nos elementos neutros que são os espaços vetoriais subjacentes
às álgebras de Lie g e h de G e H, respectivamente. Essa aplicação linear acaba
sendo um homomor…smo entre as álgebras de Lie g e h. A construção recíproca
não funciona com toda a generalidade devido a restrições topológicas globais do
domínio G. O que acontece é que um homomor…smo : g ! h dá origem a um
homomor…smo local entre os grupos G e H, de…nido ao redor do elemento neutro
de G e a valores numa vizinhança do elemento neutro de H. A única obstrução
para que esse homomor…smo se estenda a todo G é o seu grupo fundamental, de
tal forma que se G é conexo e simplesmente conexo então : g ! h é a diferencial
de um homomor…smo : G ! H (veja o capítulo 7).
Um bom exemplo desse fenomeno é dado pelos grupos (R; +) e S 1 = fz 2 C :
jzj = 1g. Suas álgebras de Lie são isomorfas (ambas tem dimensão 1), existem
homomor…smos R ! S 1 (t 7! eait ), mas não existem homomor…smos S 1 ! R.
Ao redor dos elementos neutros esses grupos são isomorfos.
8
Esses comentários sobre homomor…smos estão em conformidade com o que foi
mencionado acima que fórmula de Baker-Campbell-Hausdor¤ determina localmente o produto no grupo de Lie a partir do colchete na álgebra de Lie.
Essa análise dos homomor…smos, principalmente o teorema de extensão aos grupos
simplesmente conexos, dá origem à descrição de todos os grupos de Lie conexos, a
partir de uma eventual classi…cação das álgebras de Lie. Essa descrição se resume em
dois itens (veja o capítulo 7).
1. Dada uma álgebra de Lie g (real de dimensão …nita) existe um único grupo de
e conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. A unicidade vem do
Lie G
teorema de extensão mensionado acima: um isomor…smo entre as álgebras de Lie
de…ne um isomor…smo entre os grupos de Lie conexos e simplesmente conexos. A
existência é provada em dois passos: i) a construção de algum grupo de Lie G com
álgebra de Lie isomorfa a g (no capítulo 7 isso é feito com o auxílio do teorema
de Ado, que garante que toda álgebra de Lie é isomorfa a uma subálgebra Lie de
matrizes). ii) A construção formal de uma estrutura de grupos de Lie no espaço
e de um grupo de Lie G.
recobrimento universal G
2. Um grupo de Lie conexo qualquer é o quociente de um grupo de Lie simplesmente
e por um subgrupo discreto
e contido no centro de G.
e
conexo G
G
Essa descrição funciona bem para grupos conexos, uma vez que são esses os grupos que podem ser acessados pelas álgebras de Lie, através de soluções de equações
diferenciais.
Um exemplo é dado pelos grupos de dimensão 1. O grupo aditivo (R; +) é simplesmente conexo e sua álgebra de Lie é a única (a menos de isomor…smo) álgebra de
Lie de dimensão 1. Portanto, qualquer grupo de Lie conexo e simplesmente conexo de
dimensão 1 é isomorfo a (R; +). Um subgrupo discreto de R é da forma !Z com ! > 0.
Daí que qualquer grupo de dimensão 1 é isomorfo a R ou a R=!Z S 1 .
Em geral a classi…cação dos grupos de Lie conexos consta de três passos: 1) a
classi…cação das álgebras de Lie reais; 2) determinar, para cada álgebra de Lie real
g (ou melhor, para sua classe de isomor…smo de álgebras de Lie), um grupo de Lie
e cuja álgebra de Lie seja g; 3) encontrar o centro Z G
e de G
e
simplesmente conexo G
e .
e os subgrupos discretos
Z G
A partir desse ponto surge a necessidade de um desenvolvimento mais aprofundado
da teoria de álgebras de Lie. Elas são divididas em duas grandes classes, as álgebras de
Lie solúveis e as semi simples. O teorema de decomposição de Levi combina esses dois
tipos de álgebras de Lie, através da construção do produto semi-direto, para fornecer
todas as álgebras de Lie de dimensão …nita (veja o capítulo 9). Essa decomposição
das álgebras de Lie se estende ao grupos de Lie simplesmente conexos, de tal forma
que tudo se reduz a determinar separadamente os grupos simplesmente conexos para
as álgebras de Lie solúveis e para as semi simples.
9
No caso solúvel prova-se que as variedades subjacentes dos grupos conexos e simplesmente conexos são difeomorfos a espaços Euclidianos Rn . Como é comum quando
se trata de álgebras solúveis a demonstração desse fato é feita por indução, partindo do
grupo (R; +) de dimensão 1 (veja o capítulo 10). Um exemplo típico de grupo solúvel
é o grupo das matrizes triangulares superiores
0
1
a1
B .. . .
. C
a1 ; : : : ; an > 0;
@ .
. .. A
0
an
cuja variedade é difeomorfa a (R+ )n Rn(n 1)=2 .
O caso semi simples apresenta uma riqueza maior de detalhes e uma geometria
mais envolvente. Ao contrário das álgebras solúveis, as álgebras de Lie semi simples
reais são classi…cadas ao ponto de ser possível distingui-las uma a uma. Um dos
primeiros grandes resultados da teoria de Lie, ainda dos …nais do século XIX, é a
classi…cação por W. Killing e E. Cartan das álgebras de Lie simples complexas (e,
portanto, das semi simples que são somas diretas de simples). Essa classi…cação é
descrita pelos diagramas de Dynkin que estão reproduzidos no capítulo 11 (na seção
11.3.2). A classi…cação fornece quatro séries de álgebras de matrizes (denominadas
de álgebras clássicas), que são sl (n; C) (matrizes complexas de traço zero), so (n; C)
(matrizes complexas anti-simétricas (separadas em dimensão par e ímpar) e sp (n; C)
(matrizes simpléticas complexas). Além das séries existem 5 álgebras de Lie especí…cas
(chamadas de excepcionais), que atendem pelos seus nomes de protótipo E6 , E7 , E8 ,
F4 e G2 .
A classi…cação das álgebras simples reais é obtida das álgebras complexas pelo
processo de complexi…cação. As álgebras reais se dividem em dois tipos, as compactas
e as não compactas.
Como indica o nome, as álgebras de Lie compactas estão ligadas aos grupos compactos (apesar de sua de…nição ser puramente algébrica). As álgebras reais simples estão em bijeção com as álgebras complexas simples através do chamado truque unitário
de Weyl, que diz que uma álgebra simples complexa é a complexi…cada de uma única
(a menos de isomor…smo) álgebra real compacta (veja o capítulo 11). As álgebras compactas clássicas são su (n) (matrizes anti-hermitianas de traço zero que complexi…ca a
sl (n; C)), so (n) (matrizes anti-simétricas, que complexi…ca a sl (n; C) e sp (n; C) (matrizes quaternionicas anti-hermitianas, que se complexi…ca a sp (n; C)). Um resultado
central sobre essas álgebras é o teorema de Weyl do grupo fundamental …nito, que
a…rma que um grupo de Lie é compacto se sua álgebra de Lie é semi simples compacta. Esse teorema permite classi…car os grupos de Lie compactos, acrescentando
aos semi simples produtos Cartesianos por toros (veja o capítulo 11). Além do grupo
O (n), mencionado acima (que não é conexo), outros exemplos de grupos compactos de
matrizes são:
1. SO (n) = fg 2 O (n) : det g = 1g, com álgebra de Lie so (n). Essas álgebras de
Lie são simples se n 6= 2 e n 6= 4. A álgebra so (2) é abeliana enquanto que so (4)
10
é semi simples e se decompõe em duas componentes simples isomorfas a so (3).
Os grupos SO (n) não são simplesmente conexos.
2. SU (n) = fg 2 Gl (n; C) : gg T = g T g = 1; det g = 1g, com álgebra de Lie su (n),
que é simples para n 2. Os grupos SU (n), n 2, são simplesmente conexos.
3. U (n) o mesmo que SU (n) sem a restrição do determinante, com álgebra de Lie
u (n) (que é de…nida como su (n), sem a restrição do traço. Essas álgebras de Lie
não são semi simples.
4. Sp (n), com álgebra de Lie sp (n). Esses grupos são simplesmente conexos. Seus
elementos são dados por matrizes quaternionicas unitárias, isto é, matrizes com
entradas em H que satisfazem gg T = id.
As álgebras simples não compactas também são classi…cadas (con…ra as tabelas
no capítulo 12). Os grupos de Lie correspondentes tem a propriedade de que suas
variedades subjacentes são difeomorfas ao produto Cartesiano de um grupo compacto
por um espaço Euclidiano RN . Um produto desses é dado ou por uma decomposição
de Cartan ou por uma decomposição de Iwasawa (veja capítulo 12). Juntando esse
fato com o teorema de decomposição de Levi e a informação sobre os grupos solúveis
simplesmente conexos chega-se à conclusão que todo grupo de Lie conexo e simplesmente conexo é difeomorfo ao produto Cartesiano de um grupo de Lie compacto por
um espaço Euclidiano.
Alguns exemplos de grupos semi simples não compactos são listados a seguir:
1. Sl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g = 1g.
2. Sl (n; C) = fg 2 Gl (n; C) : det g = 1g.
3. Sp (n; R) = fg 2 Gl (2n; R) : gJg T = 1; det g = 1g onde
J=
0
1n
n
1n
0
n
:
4. SO (p; q) = fg 2 Gl (p + q; R) : gIp;q g T = 1; det g = 1g onde
Ip;q =
1p p
0
0
1q
:
q
5. SU (p; q) = fg 2 Gl (p + q; C) : gIp;q g T = 1; det g = 1g.
1.1
Exercícios
1. Encontre os três primeiros termos da fórmula de Baker-Campbell-Hausdor¤
(1.2) para o grupo linear Gl (n; R), espandindo o produto etA etB e colocando em
evidência os termos tk , k = 0; 1; 2; 3.
1.1. Exercícios
11
2. Seja g uma álgebra de Lie que satisfaz [X; [Y; Z]] = 0 para todo X; Y; ; Z 2 g, de
tal forma que a série de Baker-Campbell-Hausdor¤ se reduz a
1
c (X; Y ) = X + Y + [X; Y ]:
2
Y = c (X; Y ) de…ne uma estrutura de grupo em g.
P
3. Seja A uma matriz n n. Se exp A = k 0 k!1 Ak mostre que A é anti-simétrica
(A + AT = 0) se, e só se, exp tA é uma matriz ortogonal para todo t 2 R.
(Sugestão: considere a curva (t) = exp tA (exp tA)T .)
Mostre que o produto X
4. Seja Sl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g = 1g o grupo das matrizes unimodulares.
Assuma que Sl (n; R) é um subgrupo de Lie e veri…que, usando exponenciais, que
sua álgebra de Lie é
sl (n; R) = fA 2 Mn
n
(R) : trA = 0g:
5. Seja SU (2) o grupo das matrizes unitárias 2
SU (2) = fg 2 M2
2
2, isto é,
(C) : g T g = gg T = id; det g = 1g:
Assuma que SU (2) é um subgrupo de Lie de matrizes inversíveis e veri…que, usando exponenciais, que sua álgebra de Lie é o espaço das matrizes anti-hermitianas
su (2) = fA 2 M2
T
2
(C) : A + A = 0; trA = 0g:
Veri…que que su (2) é uma álgebra de Lie real com dim su (2) = 3 (onde o colchete
de Lie é dado pelo comutador de matrizes). Veri…que também que su (2) é isomorfa às seguintes álgebras de Lie: 1) so (3) = fA 2 M3 3 (R) : A + AT = 0g
(com o comutador); 2) R3 munido do produto vetorial ^.
6. Seja H = fa + bi + cj + dk : a; b; c; d 2 Rg a álgebra do quatérnions. Escreva
= a+ib+jc+kd como = (a + ib)+j (c id), isto é, = z +jw com z; w 2 C.
A multiplicação à esquerda por pode ser vista como uma aplicação linear de
C2 . Calcule a matriz dessa aplicação na base f1; jg e mostre que a aplicação
: a + bi + cj + dk = z + jw 7 !
z
w
w
z
2 M2
2
(C)
é um homomor…smo injetor. Mostre também que a restrição de à esfera f 2 H :
j j = 1g é uma bijeção sobre SU (2) e conclua que SU (2) é conexo e simplesmente
conexo. Determine o centro de SU (2) e todos os grupos de Lie conexos com
álgebra de Lie su (2) so (3) (R3 ; ^).
7. Encontre os espaços tangentes dos grupos lineares (subgrupos de Gl (n; R)) apresentados no texto e veri…que que esses espaços tangentes são subálgebras de Lie
de gl (n; R) (com o colchete dado pelo comutador de matrizes).
12
Parte I
Grupos topológicos
13
15
Resumo
Essa parte consta de três capítulos sobre grupos topológicos. O único deles cuja leitura
é essencial para o resto do livro é o capítulo 2, que dá um tratamento aos conceitos
básicos da teoria de grupos do ponto de vista topológico. A função desse capítulo é
estabelecer a linguagem que é usada ao longo de toda a teoria de grupos de Lie. São
considerados aí os conceitos de subgrupos (abertos, fechados, etc.), as componentes
conexas dos grupos topológicos, os espaços quocientes (que herdam naturalmente a
topologia quociente) e os grupos topológicos quocientes. Os espaços quocientes, com
suas respectivas topologias, estão intimamente relacionados com as órbitas das ações
contínuas dos grupos topológicos, por isso é feita uma discussão sobre os homeomor…smos entre as órbitas e os espaços quocientes. Os conceitos topológicos apresentados
nesse capítulo serão posteriormente abordados dentro do universo diferenciável dos
grupos de Lie.
O capítulo 3 faz a construção das medidas de Haar em grupos topológicos localmente
compactos de Hausdor¤. Sua unicidade, a menos de escala, é demonstrada. A medida
de Haar é um objeto central na teoria de grupos topológicos, e em particular de grupos
de Lie, pois ela permite o uso de métodos do cálculo integral no estudo desses grupos. O
ambiente no qual o capítulo 3 se desenvolve é o da teoria da medida. Ele é independente
do resto do livro, mesmo porque a construção da medida de Haar para grupos de Lie se
faz de uma maneira tecnicamente mais simples através de formas volumes invariantes
(como descrito na seção 5.6). A leitura do capítulo 3 pode ser postergada sem nenhum
prejuízo, a menos da informação contida no enunciado do teorema 3.1.
O capítulo 4 traz uma introdução à bela teoria de representação de grupos compactos, que generaliza a teoria das séries de Fourier para funções periódicas e que foi
desenvolvida inicialmente por I. Schur e H. Weyl nos primórdios do século XX. Os resultados principais desse capítulo são as relações de ortogonalidade de Schur e o teorema
de Peter-Weyl, que dizem de forma clara como é o espaço L2 de um grupo compacto,
munido de sua medida de Haar. Nesse capítulo se usam alguns resultados de análise
funcional e como o capítulo sobre medidas de Haar ele não é essencial para o resto do
texto a menos de alguns resultados iniciais sobre decomposições de representações que
só serão aplicados no capítulo 11, sobre grupos de Lie compactos.
16
Capítulo 2
Grupos topológicos
Diversas propriedades dos grupos de Lie dependem apenas de sua topologia e não da
estrutura de variedade diferenciável. Nesse capítulo serão estudadas algumas dessas
propriedades, que valem para grupos topológicos mais gerais. O objetivo aqui não
é fazer um desenvolvimento exaustivo da teoria dos grupos topológicos, mas apenas
estabelecer uma linguagem e demonstrar alguns resultados úteis para os grupos de Lie.
O elemento neutro de um grupo G será denotado por 1. Para um subconjunto
A X de um espaço topológico se denota por A , A e @A o interior, fecho e fronteira
de A, respectivamente.
2.1
Introdução
Um grupo topológico é um grupo cujo conjunto subjacente está munido de uma
topologia compatível com o produto no grupo, no sentido em que
1. o produto p : G G ! G, p (g; h) = gh, é uma aplicação contínua, quando se
considera G G com a topologia produto e
2. a aplicação : G ! G, (g) = g 1 , é contínua (e, portanto, um homeomor…smo,
já que 1 = ).
Essas duas propriedades podem ser condensadas tomando a aplicação q : G
G ! G, de…nida por q (g; h) ! gh 1 . De fato, q é contínua se p e são contínuas
e, reciprocamente, se q é contínua então g ! (1; g) ! g 1 é contínua e, portanto,
p (g; h) = q (g; h 1 ) é contínua.
Cada elemento g de um grupo G de…ne, naturalmente, as seguintes aplicações:
translação à esquerda Eg : G ! G, Eg (h) = gh,
translação à direita Dg : G ! G, Dg (h) = hg e
conjugação (ou automor…smo interno) Cg : G ! G, Cg (h) = ghg 1 .
17
18
Capítulo 2. Grupos topológicos
Segue das de…nições que Eg Eg 1 = Dg Dg 1 = id. Além do mais, Cg = Eg Dg 1
portanto todas essas aplicações são bijeções de G. No caso de grupos topológicos essas
aplicações são contínuas pois Eg = p sg;1 e Dg = p sg;2 onde sg;1 (h) = (g; h) e sg;2 (h) =
(h; g) são aplicações contínuas G ! G G. A continuidade das translações e as fórmulas
(Eg ) 1 = Eg 1 , (Dg ) 1 = Dg 1 e (Cg ) 1 = Cg 1 , mostram que essas aplicações são, na
verdade, homeomor…smos de G. As fórmulas a seguir são consequências imediatas das
de…nições.
Dg
Eh = Eh Dg .
Eg
=
Dg 1 .
Dg
=
Eg 1 .
Deve-se observar que a continuidade das translações e das conjugações dependem
de uma propriedade mais fraca que a continuidade de p, já que, por exemplo Eg é
contínua se, e só se, a “aplicação parcial” h 7! gh é contínua. Em geral aplicações
de…nidas em espaços produtos podem ser contínuas em cada variável sem que seja
contínua. Esse fenômeno leva à de…nição de grupo semi-topológico, que é um grupo
em que o produto é parcialmente contínuo, isto é, todas as translações são contínuas. A
seguir são apresentados diversos exemplos de grupos topológicos. São incluidos também
alguns exemplos de grupos semi-topológicos e não são topológicos.
Exemplos:
1. Os grupos lineares (subgrupos de Gl (n; R)) mencionados na introdução são grupos topológicos com a topologia induzida do espaço das matrizes, dentre eles
Gl (n; C), O (n) Sl (n; R), Sl (n; C), Gl (n; H).
2. (Rn ; +) com a topologia usual, que inclui (R; +). O grupo multiplicativo (R ; )
também é topologico com a mesma topologia.
3. Mais geralmente, num corpo ordenado (K; +; ; ) pode-se de…nir a topologia
da ordem, que é gerada pelos intervalos abertos. Em relação a essa topologia a
operação + de…ne um grupo topológico, enquanto que o produto de…ne um grupo
topológico em K = K n f0g.
4. Qualquer grupo em que o conjunto subjacente é munido da topologia discreta
(em que todos os conjuntos são abertos).
5. O círculo S 1 tem uma estrutura de grupo natural que é dada pelo produto de
números complexos de módulo 1: S 1 = fz 2 C : jzj = 1g. Com a topologia
canônica S 1 é um grupo topológico. De forma alternativa, o produto em S 1 é
dado pelo quociente S 1 = R=Z, em que o produto é dado pela soma módulo 1
de números reais. (Adiante serão considerados quocientes de grupos topológicos,
em geral.)
2.1. Introdução
19
6. Exemplos mais gerais que o anterior são dados pelos cilindros Tk Rm = Rm+k =Zk =
Rk =Zk
Rm , com topologias canônicas. (Veja abaixo produtos e quocientes de
grupos topológicos.)
7. Seja (C n f0g; ) munido da topologia gerada pela base de abertos, que é formada
pelos intervalos abertos das retas verticais ra = fa + ix 2 C : x 2 Rg. Esse grupo
não é topológico em relação a essa topologia. De fato, a translação à esquerda Eei
é uma rotação de ângulo 2 R. A imagem do aberto r1 = f1 + ix 2 C : x 2 Rg
não é aberto se, por exemplo, =
=2.
8. Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Denote por A (X; G) o
conjunto das aplicações contínuas f : X ! G. Este conjunto tem uma estrutura
de grupo com o produto (f g) (x) = f (x) g (x), cuja inversa é (f ) (x) = f (x) 1 .
Introduza em A (X; G) a topologia compacto-aberto, que tem como base de abertos os conjuntos do tipo
AK;U = ff 2 A (X; G) : f (K)
Ug
onde K
X é compacto e U
G é aberto. Com essas estruturas A (X; G)
é um grupo topológico. De fato, o produto Cartesiano A (X; G) A (X; G) é
homeomorfo a A (X; G G) por (f; g) 7! h onde h (x) = (f (x) ; g (x)), com a
topologia compacto-aberta em A (X; G G). Seja qA (f; g) = f g 1 . Através da
identi…cação entre esses espaços, qA1 (AK;U ) é o conjunto das funções h : X !
G G tais que h (K) q 1 (U ). Isto é,
qA1 (AK;U ) = AK;q
1 (U )
onde a vizinhança do segundo membro é vista em A (X; G
grupo é topológico.
G). Portanto, o
9. Como caso particular do exemplo anterior, seja fGi gi2I uma
Q família de grupos
indexada pelo conjunto I. O produto
Cartesiano
G
=
i2I Gi é o conjunto
S
formado pelas aplicações f : I ! i2I Gi tais que f (i) 2 Gi para todo i 2 I.
O produto Cartesiano admite uma estrutura de grupo em que o produtoQé dado
componente a componente: (f g)
Q (i) = f (i) g (i). A topologia produto em i2I Gi
é gerada por abertos do tipo i2I Ai com Ai
Gi abertos, i 2 I e Ai = Gi a
menos de um número …nito de índices (topologia compacto-aberta em que I tem
a topologia discreta). Como o produto é feito componente a componente e cada
Gi é um grupo topológico, G é grupo topológico com a topologia produto.
Q
Em particular, se I é um conjunto …nito, i2I Gi = G1
Gn , seus elementos
são n-uplas g = (g1 ; : : : ; gn ), gi 2 Gi , a multiplicação é dada por
gh = (g1 h1 ; : : : ; gn hn )
com a topologia produto, gerada por subconjuntos do tipo A1
Ai Gi aberto.
An com
20
10. Este exemplo ilustra um grupo com uma topologia em que o produto é uma
aplicação contínua, mas (g) = g 1 não é contínua. Considere o grupo aditivo
(R; +) com R munido da topologia (topologia de Sorgenfrey) gerada pela base
dada pelos intervalos [a; b), a < b. O produto é uma aplicação contínua pois se
x + y 2 [a; b) então para algum " > 0, x + y + " < b, o que garante que [a; b)
contém [x; x + "=2) + [y; y + "=2) (= fz + w : z 2 [x; x + "=2) e w 2 [x; x + "=2)g).
Isso signi…ca que o aberto [x; x + "=2) [y; y + "=2) está contido em p 1 [a; b),
mostrando que p é contínua. Por outro lado, (x) = x não é contínua pois, por
exemplo, ( 2; 1] = 1 [1; 2) não é aberto.
11. Este exemplo ilustra o caso de um grupo G em que a inversa (g) = g 1 é
contínua e p é parcialmente contínua (isto é, G é semi-topológico), mas não
contínua. Tome o grupo aditivo (R2 ; +) com R2 munido da topologia gerada
pelas bolas siamesas, que são de…nidas da seguinte forma: tome duas bolas
de mesmo raio com centros numa mesma reta vertical e que se tangenciam. A
bola siamesa correspondente é a união dos interiores das bolas juntamente com
o ponto de tangência. O conjunto das bolas siamesas forma uma base para
topologia. Munido dessa topologia a inversa em R2 é contínua (por simetria em
relação à origem), assim como as translações. No entanto, o produto p = + não
é contínuo. De fato, (1; 0) + ( 1; 0) = (0; 0). Tome uma bola siamesa B com
tangência em (0; 0) e sejam B1 e B2 bolas siamesas com pontos de tangência em
(1; 0) e ( 1; 0), respectivamente. Então, B1 + B2 não está contida B, como pode
ser veri…cado geometricamente. Isso signi…ca que B1 B2 não está contido em
p 1 (B). Como B, B1 e B2 são elementos arbitrários da base para a topologia,
segue que p não é contínua em ((1; 0) ; ( 1; 0)).
2
Se A é um subconjunto de G e g 2 G a translação Eg (A) é denotada simplesmente
por gA = fgx : x 2 Ag. O fato de que as translações são homeomor…smos implica
que gA é aberto ou fechado se A é aberto ou fechado, respectivamente. A mesma
observação vale para as translações à direita Ag. De forma mais geral, seja B G e
escreva
A B = AB = fxy 2 G : x 2 A; y 2 Bg:
S
S
Por de…nição AB = x2B Ax = x2A xB. Dessa forma, se A (ou B) é aberto, então
AB é aberto por ser união de abertos. Deve-se observar, que a mesma a…rmação não
vale para conjuntos fechados. Por exemplo, em (R2 ; +) tome os conjuntos fechados
1
1
: x > 0g, B = f
x;
: x > 0g. Então a soma A + B está contida
A = f x;
x
x
no semi-plano y > 0 e, no entanto, (0; 0) está no fecho de A + B. Vale, no entanto, a
seguinte a…rmação.
Proposição 2.1 Se K
fechados.
G é compacto e F
G é fechado então KF e F K são
2.2. Vizinhanças do elemento neutro
21
Demonstração: Se x 2 KF então x é limite de uma rede k f com k 2 K, f 2 F e
2 D onde D é um conjunto dirigido. Como K é compacto existe uma subrede k j tal
que k = lim j k j 2 K, o que implica que k 1 = lim j k j1 , pela continuidade da inversa.
Usando agora a continuidade do produto, se vê que a subrede f j = k j1 k j f j converge a f = k 1 x que pertence ao conjunto fechado F pois f j 2 F . Portanto, x = kf
com k 2 K e f 2 F , isto é, x 2 KF . Do mesmo jeito se mostra que F K é fechado. 2
Juntamente com a notação AB, surgem naturalmente as notações A2 = A A,
A3 = A2 A = A A2 , etc.
Para A G é usada a notação A 1 = fx 1 2 G : x 2 Ag. Como (g) = g 1 é um
homeomor…smo, A 1 = (A) é aberto ou fechado se, e só se, A é aberto ou fechado,
respectivamente.
Uma vizinhança U da identidade é dita simétrica se U = U 1 . Não é difícil
construir vizinhanças simétricas. De fato, se V é uma vizinhança qualquer de 1 então
V 1 também é uma vizinhança e V \ V 1 é uma vizinhança simétrica.
2.2
Vizinhanças do elemento neutro
Seja U G um aberto não vazio e tome g 2 U . Então, g 1 U e U g 1 são vizinhanças
do elemento neutro de G. Reciprocamente, se V é uma vizinhança de 1 então, dado
g 2 G, gV e V g são vizinhanças de g. Essas observações têm como consequência que
toda informação sobre a topologia de G está concentrada no conjunto das vizinhanças
abertas do elemento neutro. O conjunto dessas vizinhanças é denotado por V (1) ou
simplesmente V. A proposição a seguir lista algumas propriedades de V, que serão
usadas posteriormente para descrever a topologia de G.
Proposição 2.2 Seja G um grupo topológico e denote por V o conjunto das vizinhanças abertas do elemento neutro 1. Então, valem as seguintes propriedades:
T1) O elemento neutro 1 pertence a todos os subconjuntos U 2 V.
T2) Dados dois conjuntos U; V em V, U \ V está em V.
GT1) Para todo U 2 V, existe V 2 V tal que V 2
GT2) Dado U 2 V, U
1
U
2 V.
GT3) Para todo g 2 G e U 2 V, gU g
1
2 V.
Demonstração: As propriedades (T1) e (T2) valem para as vizinhanças de um
ponto num espaço topológico qualquer. A propriedade (GT1) é equivalente ao produto ser contínuo em 1. De fato, p 1 (U )
G G é um aberto contendo (1; 1).
Portanto existe um aberto V de G, com (1; 1) 2 V
V
p 1 (U ). Isso signi…ca
que V 2 = p (V V )
U . Já a propriedade (GT2) foi comentada acima e é equivalente à continuidade em 1 da aplicação . Por …m (GT3) segue de que g1g 1 = 1 e
22
Cg (x) = gxg
1
é contínua.
2
As propriedades enunciadas nesta proposição caracterizam completamente o conjunto das vizinhanças da identidade.
De…nição 2.3 Um sistema de vizinhanças da identidade (ou elemento neutro) em
um grupo G é uma família de conjuntos V satisfazendo as propriedades da proposição
2.2.
Será mostrado abaixo que um sistema de vizinhanças da identidade de…ne de forma
única a topologia de um grupo topológico. Para isso será necessário um lema que
garante a continuidade de aplicações a partir da continuidade em um único ponto.
Resultados análogos a esse lema são utilizados constantemente na teoria.
Uma topologia T num grupo G é dita invariante à esquerda se gA é aberto de
T para todo g 2 G e A 2 T . Uma topologia é invariante à esquerda se, e só se, as
translações à esquerda são contínuas (e, portanto, homeomor…smos). Da mesma forma
se de…nem as topologias invariantes à direita.
Se T é uma topologia invariante à esquerda em G então a topologia produto em
G G é invariante à esquerda pois (g; h) (A B) = (gA) (hB) se A; B
G e
(g; h) 2 G G. Da mesma forma, a topologia produto é invariante à direita em G G
se for invariante à direita em G.
Lema 2.4 Suponha que T seja uma topologia em G invariante à esquerda e à direita.
Então, G é um grupo topológico se, e somente se,
1. p é contínua em (1; 1) e
2.
: G ! G, (g) = g 1 , é contínua em 1.
Demonstração: É claro que as condições são necessárias. Para demonstrar a su…ciência sejam E(g;h) e D(g;h) a translação à esquerda e à direita em G G, respectivamente.
Então, segue imediato das de…nições que p E(g;1) = Eg p e p D(1;g) = Dg p. Daí que
se (g; h) 2 G G então, pela associatividade do produto, p E(g;1) D(1;h) = Eg Dh p.
O segundo membro dessa igualdade é uma aplicação contínua em (1; 1) pois Eg Dh é
homeomor…smo. Portanto, p E(g;1) D(1;h) é contínua em (1; 1). Mas E(g;1) D(1;h) é
um homeomor…smo, daí que p é contínua em (g; h) = E(g;1) D(1;h) (1; 1).
Por outro lado, Dg 1
é contínua em 1, portanto, Eg é contínua em 1 e daí que
é contínua em g = Eg (1).
2
Para caracterizar a topologia de G a partir dos sistemas de vizinhanças da identidade deve-se lembrar que um sistema fundamental de vizinhanças de um ponto x
num espaço topológico X é uma família F de abertos de X tal que cada elemento de
F contém x e se A X é um aberto com x 2 A então existe B 2 F tal que B A.
2.2. Vizinhanças do elemento neutro
23
Proposição 2.5 Seja G um grupo e suponha que V é um sistema de vizinhanças da
identidade em G, como na de…nição 2.3. Então, existe uma única topologia T que torna
G um grupo topológico de tal forma que V é um sistema fundamental de vizinhanças
do elemento neutro em relação a T .
Demonstração: De…na T como sendo a família dos subconjuntos A
G tais que
para todo g 2 A, existe U 2 V com gU A, juntamente com ;. Para ver que T é uma
topologia tome A; B 2 T e x 2 A \ B. Então, existem U; V 2 V tais que xU
Ae
xV
B. Pela propriedade (T2), U \ V 2 V. Mas,
x (U \ V ) = xU \ xV
A \ B;
mostrando que A \ B 2 T . A de…nição de T mostra que uma união qualquer de
conjuntos em T é um elemento de T .
Agora as vizinhanças abertas de 1 em relação a T são os elementos de V. De fato,
a própria de…nição de T mostra que os elementos de V são vizinhanças de 1. Por
outro lado, seja U uma vizinhança de 1 em relação a T . Então, existe V 2 V tal que
1 V
U . Portanto, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relação a T .
A de…nição de T e a propriedade (GT3) garantem que T é invariante à direita e à
esquerda. De fato, uma translação à esquerda gU , u 2 V, é também uma translação à
direita da forma gU = (gU g 1 ) g. Por (GT3) se U 2 V então gU g 1 2 V. Portanto,
pelo lema anterior para garantir que G munido de T é grupo topológico, basta veri…car
que p e são contínuas em (1; 1) e 1, respectivamente. Mas essas continuidades são
equivalentes às propriedades (GT1) e (GT2), respectivamente, concluindo a demonstração de que G é grupo topológico com a topologia T .
Por …m, suponha que T 0 é outra topologia satisfazendo as mesmas condições. Então, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relação a T 0 . Realizando
translações à esquerda, vê-se que gV , com V variando em V é um sistema fundamental
de vizinhanças de g 2 G. Portanto, para todo A 2 T 0 e g 2 A, existe V 2 V tal que
gV
A. Daí que todo aberto de T 0 é aberto de T , isto é, T 0
T . Alternando o
papéis de T e T 0 , segue que T = T 0 , concluindo a demonstração.
2
Exemplo: Uma situação ilustrativa da construção feita acima é quando os elementos
de V são subgrupos de G. Nesse caso, as condições para V se reduzem a (T2) e (GT3)
pois se U e V são subgrupos então 1 2 V \ U e V 2 = V 1 = V . Um exemplo de
um sistema V desse tipo é construido no grupo Z. Dado um número primo p > 0 seja
Vp a família de subgrupos Vn = pn Z, n
1. Como Z é abeliano, a condição (GT3)
é automaticamente satisfeita. Já a condição (T2) vale pois pn Z \ pm Z = pmaxfn;mg Z.
Portanto, V de…ne uma topologia em Z tornando-o um grupo topológico. Essa é a
chamada topologia p-ádica em Z.
2
A descrição feita da topologia em termos das vizinhanças da identidade estabelece
o princípio de que toda descrição topológica em G é feita através dessas vizinhanças.
A proposição abaixo segue esse principio ao dar um critério para que a topologia seja
de Hausdor¤ em termos das vizinhanças da identidade.
24
Proposição 2.6 Seja G um grupo topológico. Então, as seguintes condições são equivalentes:
1. A topologia de G é Hausdor¤.
2. f1g é um conjunto fechado.
T
3. U 2V(1) U = f1g.
Demonstração: Numa topologia Hausdor¤ todo conjunto unitário é fechado, em
particular f1g é fechado. Suponha que f1g seja fechado. Para mostrar que a interseção
das vizinhanças se reduz ao elemento neutro deve-se mostrar que para todo x 6= 1,
existe U 2 V tal que x 2
= U . Como f1g é fechado, existe tal V 2 V tal que 1 2
= x 1V ,
isto é, x 2
= V . Por …m, assuma que a interseção do item (3) se reduz a f1g e tome
x 6= 1. Então existe U 2 V tal que x 2
= U . Por (GT1) existe V 2 V tal que V 2 U .
Então, V \ xV 1 = ;, pois z 2 V \ xV 1 deve satisfazer z = u = xv 1 , u; v 2 V , e daí
que x = uv 2 V 2 U , contradizendo a escolha de U . Consequentemente, os abertos V
e xV 1 separam 1 de x. Tome agora y 6= z arbitrários. Então, existem abertos U1 e U2
com y 1 z 2 U1 e 1 2 U2 e U1 \U2 = ;. Portanto, os abertos yU1 e yU2 separam z de y. 2
2.3
Grupos Metrizáveis
Uma distância d : G G ! R+ num grupo G é dita invariante à esquerda se d (gx; gy) =
d (x; y) para todo g; x; y 2 G. Em outras palavras, d é invariante à esquerda caso
as translações à esquerda Eg são isometrias. As distâncias invariantes à direita são
de…nidas de maneira análoga. Uma distância é bi-invariante se ela é ao mesmo tempo
invariante à esquerda e à direita.
Uma condição necessária para que um espaço topológico seja metrizável é que todo
ponto admita um sistema fundamental de vizinhanças enumerável. No caso de grupos topológicos essa condição também é su…ciente e, como antes, basta veri…cá-la no
elemento neutro.
Teorema 2.7 Seja G um grupo topológico e suponha que exista um sistema de vizinhanças da identidade que seja enumerável. Então, existem dE e dD distâncias invariantes à direita e à esquerda, respectivamente, que são compatíveis com a topologia de
G.
Este teorema não será demonstrado aqui. No caso em que G é um grupo de Lie a
condição de enumerabilidade é satisfeita pois localmente G é homeomorfo a Rn . Portanto, grupos de Lie são metrizáveis. No entanto, para grupos de Lie, em particular,
existe uma construção mais simples que a da demonstração geral do teorema 2.7, utilizando métricas Riemannianas em variedades diferenciáveis. Essa demonstração será
apresentada posteriormente.
2.4. Homomor…smos
25
Em todo caso, vale a pena ressaltar que o teorema garante a existência tanto de
uma distância invariante à direita quanto de uma invariante à esquerda. Porém, pode
não existir uma distância bi-invariante num grupo metrizável.
Exemplos: Alguns exemplos de distâncias invariantes são:
1. Seja j j uma norma qualquer em Rn e d (x; y) = jx
bi-invariante em (Rn ; +).
yj. Então d é uma distância
Observe que uma distância de…nida por uma norma no espaço de matrizes n
não é necessariamente invariante quando restrita ao grupo Gl (n; R).
n
2. Seja G um grupo compacto metrizável por uma distância d0 . De…na
d (g; h) = sup d0 (gx; gy) :
x2G
Então d é uma distância invariante à esquerda em G, compatível com sua topologia. A distância d pode ser vista também da seguinte maneira: denote por
Hom (G) o grupo dos homeomor…smos de G e seja : G ! Hom (G) a aplicação
(g) = Eg . Então d é a restrição a (G) da distância em Hom (G) que de…ne a
convergência uniforme em relação a d0 .
2
2.4
Homomor…smos
Proposição 2.8 Sejam G e H grupos topológicos e : G ! H um homomor…smo.
Então, é contínuo se, e somente se, for contínuo no elemento neutro 1 2 G.
Demonstração: Basta mostrar que a continuidade em 1 acarreta a continuidade
em todos os pontos. Como é homomor…smo,
Eg = E (g)
para todo g 2 G.
O segundo membro é contínuo em 1. Portanto,
Eg é contínuo em 1 e como Eg é
homeomor…smo, segue que é contínuo em g = Eg (1).
2
Dados os grupos G e H o produto cartesiano G H é um grupo com o produto
de…nido componente a componente: (g; x) (h; y) = (gh; xy), g; h 2 G e x; y 2 H. As
projeções 1 : G H ! G e 2 : G H ! H são homomor…smos.
O grá…co graf de uma aplicação : G ! H é o conjunto dos elementos da forma
(x; (x)) com x 2 G. Como (x; (x)) (y; (y)) = (xy; (x) (y)), a aplicação é um
homomor…smo de grupos se, e só se, o seu grá…co é um subgrupo de G H.
Quando isso ocorre, os grupos G e graf são isomorfos, já que a aplicação
l : x 2 G 7! (x; (x)) 2 graf
26
é um isomor…smo. A inversa de l é a projeção p : graf ! G, p (x; (x)) = x, que é a
restrição ao grá…co da projeção 1 na primeira coordenada.
Reciprocamente, um subgrupo
G H é o grá…co de um homomor…smo :
G ! H se, e só se, a restrição de 1 a é um isomor…smo. Nesse caso = 2 l.
No contexto topológico os grá…cos dos homomor…smos contínuos são caracterizados
através dos subgrupos fechados.
Proposição 2.9 Sejam G e H grupos topológicos tal que H é de Hausdor¤. Uma
aplicação : G ! H é um homomor…smo contínuo se, e só se, o seu grá…co
graf = f(x; (x)) 2 G
é um subgrupo fechado de G
H : x 2 Gg
H homeomorfo a G, pela projeção p (x; (x)) = x.
Demonstração: Pelos comentários acima só falta veri…car que é contínua se, e só
se, seu grá…co é fechado e homeomorfo a G. Mas, essa propriedade vale para aplicações
em geral. (Se é contínua então l (x) = (x; (x)) é um homeomor…smo cuja inversa
é p (x; (x)) = x. Além do mais, seja : G H ! H H a aplicação dada por
(x; y) = ( (x) ; y). Então graf = 1 ( H ), onde H = f(y; y) 2 H H : y 2 Hg é
a diagonal de H H. Essa diagonal é fechada se, e só se H é de Hausdor¤. Portanto,
graf é fechado. Reciprocamente, se o grá…co é fechado e homeomorfo ao domínio
então (F G) \ graf é um fechado de graf para todo fechado F
H. Segue que
1
(F ) = 1 ((F G) \ graf ) é fechado em G e, portanto, é contínua.)
2
2.5
Subgrupos
Seja G um grupo topológico e H um subgrupo de G. Como H é subconjunto de G
ele pode ser munido com a topologia induzida, cujos abertos são da forma A \ H
com A aberto em G. Então, H torna-se um grupo topológico. De fato, denote por
pH : H H ! H o produto em H, que é a restrição a H do produto p de G. Para todo
subconjunto A G vale pH1 (A \ H) = p 1 (A) \ (H H). Dessa igualdade segue que
se A G é aberto então pH1 (A \ H) é um aberto da topologia induzida em H H
pela topologia produto em G G. No entanto, essa topologia induzida coincide com
a topologia produto de H. Daí que pH é contínua. Da mesma forma se mostra que
1
é contínua em H.
H (h) = h
Um subgrupo H
G com a topologia induzida é denominado de subgrupo
topológico de G.
A seguir serão apresentados alguns resultados envolvendo propriedades topológicas
dos subgrupos de G. Em algumas demonstrações se usa o seguinte lema de caráter
geral.
Lema 2.10 Seja X um espaço topológico e : X ! X um homeomor…smo. Suponha
que A
X é um subconjunto invariante por , isto é, (A)
A. Então A e A
também são invariantes. Além do mais, se (A) A então
A
A.
2.5. Subgrupos
27
Demonstração: Tome x 2 A e U uma vizinhança de (x). Então 1 (U ) é uma
vizinhança de x. Portanto, existe y 2 A\ 1 (U ) e como A é invariante, e (y) 2 A\U ,
mostrando que A é invariante.
Seja x 2 A e tome um aberto U com x 2 U
A. Então (x) 2 (U ) A, pois
A é invariante. Como é homeomor…smo, (U ) é aberto, e, portanto (x) 2 A .
Como A é invariante, o seu complementar em X também é invariante. Daí que a
@A = A \ Ac é invariante.
Suponha que (A)
A. Como é homeomor…smo, (A) =
A . Portanto,
A
(A) = A.
2
Proposição 2.11 Seja H G um subgrupo. Então seu fecho H também é subgrupo.
Além do mais, se H é normal o mesmo ocorre com H.
Demonstração: Deve-se mostrar que xy 2 H se x; y 2 H. Para isso suponha
em primeiro lugar que x 2 H. Então, Ex (H) = H e o lema acima garante que
Ex H
H. Mas, isso signi…ca que se y 2 H então xy 2 H. Portanto, dados x 2 H
e y 2 H, xy 2 H. Esta frase se interpreta dizendo que Dy (H) H para todo y 2 H.
H, para todo y 2 H, o que signi…ca
Mas, Dy é homeomor…smo, portanto Dy H
que xy 2 H se x; y 2 H.
Por um argumento semelhante, a inversa deixa invariante H, mostrando que H é
subgrupo.
Por …m, dizer que H é normal é o mesmo que dizer que H é invariante pelas conjugações Cg , g 2 G. Pelo lema 2.10 segue que H também é invariante por Cg , isto é,
H é normal.
2
Os subgrupos fechados desempenham um papel central no estudo das ações dos
grupos topológicos (e de Lie), pois no caso de ações contínuas, os subgrupos que …xam
um ponto (subgrupos de isotropia) são fechados. A proposição 2.11 mostra a existência
de uma grande quantidade de subgrupos fechados. Por outro lado, a situação com o
interior H de um subgrupo H é ainda mais simples, já que ou o interior é vazio ou é
o próprio H, isto é, H é aberto e nesse caso fechado, como mostram as proposições a
seguir.
Proposição 2.12 Seja H
aberto.
G um subgrupo e suponha que H 6= ;. Então, H é
Demonstração: Suponha que exista x 2 H . Então para todo y 2 H, o conjunto
yx 1 (H ) é aberto, contém y e está contido em H. Isso mostra que y 2 H e, portanto,
H H , isto é, H = H .
2
Proposição 2.13 Suponha que H é um subgrupo aberto de G. Então, H é fechado.
28
Demonstração: Uma classe lateral gH de H é obtida de H por uma translação à
esquerda. Portanto, se H é aberto, o mesmo ocorre com gH. Mas o grupo G é a união
de H com as classes laterais gH, g 2
= H. Isso signi…ca que o complementar de H em
G é uma união de abertos, e daí que H é fechado.
2
Um subconjunto A de um espaço topológico X que é ao mesmo tempo aberto e
fechado é união de componentes conexas de X, isto é, se uma componente conexa
C X satisfaz C \ A 6= ; então C A. Esta observação juntamente com a proposição
2.13 mostra que os subgrupos abertos de G são uniões de componentes conexas de G.
Em particular, se o grupo é conexo ele é o único de seus subgrupos abertos.
Em todo caso, as componentes conexas de G estão relacionadas com os subgrupos
abertos. Essas componentes são descritas a seguir a partir da componente conexa
G0 que contém o elemento neutro 1 2 G. Essa componente conexa é denominada
componente da identidade (ou do elemento neutro).
Proposição 2.14 Denote por G0 a componente conexa do elemento neutro. Então
G0 é um subgrupo fechado e normal de G. Qualquer outra componente conexa é uma
classe lateral gG0 = G0 g de G0 . Reciprocamente, toda classe lateral gG0 = G0 g é uma
componente conexa de G.
Demonstração: Uma translação à esquerda Eg , g 2 G, é um homeomor…smo,
portanto Eg leva componentes conexas de G em componentes conexas. Em particular,
se g 2 G0 , então Eg (G0 ) está contido em uma componente conexa de G. Porém,
1 2 G0 e Eg (1) = g 2 G0 . Isso implica que Eg (G0 ) G0 . Tomando, então g; h 2 G0 ,
vê-se que gh 2 G0 . Analogamente, o conjunto (G0 ) está contido em uma componente
conexa de G que só pode ser G0 pois (1) = 1. Isso mostra que G0 é subgrupo. Para
ver que é normal, basta repetir o mesmo argumento com as conjugações Cg , g 2 G,
levando em conta que Cg (1) = 1. Por …m, por ser componente conexa, G0 é fechado.
Como G0 é normal, gG0 = G0 g para todo g 2 G. É claro que gG0 = Eg (G0 ) é
conexo e, portanto, gG0 está contido numa componente C conexa G. Suponha por
absurdo que gG0 6= C. Então, G0 = Eg 1 (gG0 ) 6= g 1 C, contradizendo o fato de que
G0 é componente conexa, já que g 1 C é conexo.
2
Em geral a componente da identidade não é um subgrupo aberto. Por exemplo,
em (R; +) considere o subgrupo Q
R munido da topologia induzida. Então, a
componente da identidade se reduz a f0g, que não é aberto induzido.
Uma condição para que a componente conexa da identidade G0 seja um aberto é
que o grupo seja localmente conexo, no sentido em que todo ponto tem uma vizinhança aberta conexa. Os grupos de Lie por serem localmente homeomorfos a Rn são
localmente conexos, assim a proposição a seguir assegura que as componentes conexas
desses grupos são abertas.
Proposição 2.15 Suponha que G é localmente conexo. Então, G0 é um subgrupo
aberto.
2.6. Ações de grupos
29
Demonstração: Como G é localmente conexo, existe uma vizinhança conexa U do
elemento neutro. É claro que U G0 . Portanto, G0 tem interior não vazio, e daí que
é aberto.
2
Por …m, será mostrado o seguinte resultado sobre a forma de gerar grupos conexos,
que é bastante útil no estudo dos grupos de Lie.
ProposiçãoS2.16 Suponha G conexo e tome uma vizinhança U do elemento neutro.
Então, G = n 1 U n .
Demonstração:
Seja V = U \ U 1 uma vizinhança
simétricaScontida em U . Como
S
S
S
n
n
n
V
.
A
união n 1 V n é fechada por
U
basta
mostrar
que
G
=
V
n 1
n 1
n 1
S
produtos. Além do mais, como V é simétrico, (V n ) 1 = VSn . Isso implica que Sn 1 V n
n
n
é um subgrupo de G, que tem interior não vazio pois
S V n n 1 V . Portanto, n 1 V
é um subgrupo aberto. Como G é conexo, G = n 1 V .
2
2.6
Ações de grupos
2.6.1
Descrição algébrica
Uma ação à esquerda de um grupo G num conjunto X é uma função que associa a
g 2 G uma aplicação a (g) : X ! X e que satisfaz as propriedades:
1. a (1) = idX , isto é, a (1) (x) = x, para todo x 2 X e
2. a (gh) = a (g) a (h).
Essas propriedades garantem que cada a (g) é uma bijeção, já que
a g
1
a (g) = a (1) = a (g) a g
1
= idX :
Visto de outra maneira, uma ação à esquerda é um homomor…smo a : G ! B (X),
onde B (X) é o grupo das bijeções de X, com o produto dado pela composta de duas
aplicações.
Uma ação à direita é de…nida de maneira análoga substituindo a segunda propriedade por a (gh) = a (h) a (g).
De forma alternativa, uma ação à esquerda é de…nida como sendo uma aplicação
: G X ! X satisfazendo
1.
(1; x) = x e
2.
(gh; x) =
(g; (h; x)), g; h 2 G e x 2 X.
30
A relação entre e a é a óbvia: (g; x) = a (g) (x), isto é, a (g) é a aplicação parcial
quando a primeira coordenada é …xada: g (x) = (g; x).
g de
A outra aplicação parcial associada a é obtida …xando x 2 X, isto é, x : G ! X,
(g)
= (g; x) = a (g) (x).
x
Normalmente, os símbolos a ou são suprimidos na notação para ações de grupos.
Assim uma ação à esquerda escreve-se apenas g (x), g x ou gx ao invés de a (g) (x).
Para ações à direita é mais conveniente escrever o valor de a (g) em x como (x) a (g)
aparecendo então as notações (x) g, x g ou xg. Com essas notações uma ação à
esquerda satisfaz 1x = x e g (hx) = (gh) x, já uma ação à direita satisfaz x1 = x e
(xg) h = x (gh).
Se a é uma ação à esquerda de G em X então a aplicação a0 de…nida por a0 (g) =
a (g 1 ) é uma ação à direita e vice-versa. No que segue serão tratadas apenas a ações à
esquerda. As propriedades enunciadas são automaticamente transferidas para as ações
à direita substituindo a (g) por a (g 1 ).
Dado x 2 X, sua órbita por G, denotada por G x ou Gx, é de…nida como sendo
o conjunto
G x = fgx 2 X : g 2 Gg:
Mais geralmente, se A G então Ax = fgx : g 2 Ag, isto é, Ax = x (A). Cada órbita
é uma classe de equivalência da relação de equivalência x y se existe g 2 G tal que
y = gx. Por isso, duas órbitas ou são disjuntas ou coincidem.
Um subconjunto B X é G-invariante se gB B para todo g 2 G. Um conjunto
invariante é união de órbitas de G. Se B é um conjunto invariante então a restrição da
ação a G B de…ne uma ação G B ! B de G em B. Em particular o grupo G age
em suas órbitas.
O conjunto Gx dos elementos de G que …xam x é denominado de subgrupo de
isotropia ou estabilizador de x:
Gx = fg 2 G : gx = xg:
O subgrupo de isotropia é de fato um subgrupo de G, pois (gh) x = g (hx), portanto
gh …xa x se gx = hx = x. Além do mais, g 1 x = x se gx = x, pois a (g 1 ) = a (g) 1 .
Os subgrupos de isotropia são obtidos um dos outros pela seguinte relação:
Proposição 2.17 Dados x; y 2 X, suponha que y = gx com g 2 G. Então, Gy =
gGx g 1 , onde Gx e Gy denotam os subgrupos de isotropia.
Demonstração: Por de…nição h 2 Gy se, e só se, h (gx) = gx. Aplicando g 1 a esta
igualdade segue que (g 1 hg) x = x, isto é, g 1 hg 2 Gx . Portanto, h 2 Gy se, e só se,
h 2 gGx g 1 .
2
As ações de um grupo G são distinguidas em classes de acordo com as propriedades
de suas órbitas e grupos de isotropia.
De…nição 2.18 Seja a uma ação de G em X.
31
1. A ação é dita efetiva se ker a = fg 2 G : a (g) = idX g = f1g. Isto é, se gx = x
para todo x 2 X então g = 1.
2. A ação é dita livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elemento neutro
de G, isto é, se gx = x para algum x 2 X, então g = 1.
3. A ação é dita transitiva se X é uma órbita de G, isto é, para todo par de
elementos x; y 2 X existe g 2 G tal que gx = y.
É claro, a partir das de…nições, que ações livres são efetivas, no entanto nem toda
ação efetiva é livre. Numa ação efetiva ker a = f1g portanto G é isomorfo à sua imagem
a (G) por a. Por essa razão, uma ação efetiva é também denominada de ação …el.
Deve-se observar que a restrição da ação a uma órbita é uma ação transitiva. Portanto, toda a…rmação sobre ações transitivas se aplica à restrição da ação a uma órbita.
Um caso particular de ação de grupo se dá nos espaços quocientes. Seja H
G
um subgrupo e denote por G=H o conjunto das classes laterais gH, g 2 G. Então
a aplicação (g; g1 H) 7! g (g1 H) = (gg1 ) H de…ne uma ação à esquerda natural de G
em G=H. Denotando por : G ! G=H a aplicação sobrejetora (projeção) canônica
(g) = gH essa ação …ca escrita como g (g1 ) = (gg1 ).
Evidentemente a ação de G em G=H é transitiva. Por outro lado toda ação transitiva se identi…ca (ou melhor, está em bijeção) com um espaço quociente de G.
Proposição 2.19 Suponha que a ação de G em X é transitiva e tome x 2 X. Então,
aplicação x : gGx 2 G=Gx 7! gx 2 X é uma bijeção entre G=Gx e X. A aplicação
x é equivariante no sentido em que g x (g1 H) = x ((gg1 ) H), g; g1 2 G, isto é, x
comuta com as ações de G em G=H e X, respectivamente. Além do mais, se y = gx
então y = x Dg .
Demonstração: Em primeiro lugar, a aplicação é bem de…nida pois se g1 e g2 estão
na mesma classe lateral, isto é, g1 Gx = g2 Gx então g2 1 g1 2 Gx , o que signi…ca que
g2 1 g1 x = x, isto é, g1 x = g2 x. Por de…nição a aplicação é sobrejetora se, e só se, a ação
é transitiva. Agora, suponha que g1 x = g2 x. Então g2 1 g1 x = x, isto é, g2 1 g1 2 Gx e
daí que g1 Gx = g2 Gx , mostrando a injetividade da aplicação.
Seja y = x (g1 H). Então y = g1 x, e, portanto, gy = g (g1 x) = (gg1 ) x. Daí que
g x (g1 H) = x ((gg1 ) H).
Por …m, se y = gx então y (h) = h (gx) = (hg) x = x (hg), mostrando que
=
2
y
x Dg .
A aplicação x da proposição acima está relacionada com a aplicação parcial
através do seguinte diagrama comutativo
G
x
*
?
G=H
x
X
x
32
Em virtude dessa identi…cação, um quociente G=H é também chamado de espaço
homogêneo, como são chamados normalmente os conjuntos onde os grupos agem
transitivamente. O ponto x escolhido para estabelecer a identi…cação entre X e G=Gx
é denominado de origem ou base do espaço homogêneo X. A identi…cação de X
com G=Gx depende da escolha da origem. No entanto, alterando x não muda substancialmente o espaço quociente, pois numa ação transitiva os subgrupos de isotropia são
conjugados entre si, como mostra a proposição 2.17. De fato, se H G é um subgrupo
então para todo g 2 G a aplicação
hH 7 ! g (hH) g
1
= ghg
1
gHg
1
estabelece uma bijeção entre G=H e G=gHg 1 .
Os fatos descritos acima sobre ações transitivas se aplicam de imediato às órbitas
de uma ação qualquer G X ! X. Nesse caso, a restrição da ação sobre uma órbita
G x é transitiva o que permite identi…car G x com G=Gx .
Toda a discussão acima se estende de forma análoga a ações à direita, onde os
espaços homogêneos são os quocientes H nG, formados pelas classes laterais Hg, g 2 G.
Num espaço homogêneo G=H, isto é, na presença de uma ação transitiva, as ações
livres são aquelas em que o subgrupo de isotropia H se reduz a f1g. Nesse caso, o
espaço homogêneo se identi…ca a G. Já as ações transitivas e efetivas são descritas a
seguir pelos subgrupos normais contidos no grupo de isotropia.
Proposição 2.20 Seja G uma ação transitiva em X = G=H. Então, a ação é efetiva
se, e somente se, H não contém subgrupos normais de G, além de f1g.
Demonstração: Suponha que N H é um subgrupo normal de G, isto é, gN g 1
N para todo g 2 G. É claro que H é o grupo de isotropia da origem. Mas, pela
proposição 2.17, os subgrupos de isotropia são conjugados entre si. Portanto, qualquer
h 2 N está contido em todos os subgrupos de isotropia. Mas isso signi…ca que hy = y,
para todo y 2 X, isto é, h = idX . Portanto, se a ação é efetiva, N = f1g.
Reciprocamente, o subgrupo normal ker a = fg 2 G : 8y 2 X; gy = yg está contido em H. Portanto, se H não contém subgrupos normais, além do trivial, então
ker a = f1g e a ação é efetiva.
2
Uma forma de obter uma ação de um grupo G num espaço vetorial V é via uma
representação de G em V que é um homomor…smo : G ! Gl (V ), onde Gl (V )
é o grupo das transformações lineares inversíveis de V . O espaço V é chamado de
espaço da representação e dim V sua dimensão. A representação de…ne a ação
a : G V ! V dada por a (g; v) = (g) v.
2.6.2
Ações contínuas
No contexto topológico deve-se considerar ações contínuas no seguinte sentido.
De…nição 2.21 Seja G um grupo topológico e X um espaço topológico. Uma ação de
G em X é contínua se a aplicação : G X ! X, (g; x) = gx, é contínua.
33
Se H
G é um subgrupo, a restrição a H da ação de G em X é uma ação de
H. Tomando em H a topologia induzida, a restrição de uma ação contínua também é
contínua.
No caso de uma ação contínua, os objetos introduzidos anteriormente admitem boas
propriedades topológicas.
De fato, se
é contínua então as aplicações parciais x : G ! X, x 2 X, e
1
= a (g 1 )
g : X ! X, g 2 G, são contínuas. Além do mais, como a (g) = g e a (g)
segue que para cada g 2 G, a (g) : X ! X é homeomor…smo de X.
Proposição 2.22 Suponha que a ação de G em X seja contínua e que X seja espaço
de Hausdor¤. Então, qualquer subgrupo de isotropia Gx , x 2 X, é fechado.
Demonstração: Em termos da aplicação , o subgrupo de isotropia é dado por
Gx = fg 2 G :
(g; x) = xg =
1
x
fxg:
Como X é Hausdor¤, segue que Gx é fechado.
2
Uma variação do conceito de ação do grupo G no espaço topológico X são as ações
locais em que os elementos de um aberto de G são homeomor…smos locais de X, isto
é, homeomor…smos entre abertos de X. Formalmente, o que se denomina ação local
(à esquerda) contínua é uma aplicação : V
G X ! X, satisfazendo as seguintes
condições:
1. O domínio V
G
X é um aberto tal que
(a) para todo x 2 X o aberto Vx = V \ (G
fxg) contém (1; x);
(b) dados g 2 G e x 2 X se (g 1 ; x) 2 V então (g; (g 1 ; x)) 2 V .
2.
3.
(1; x) = x, para todo x 2 X.
(g; (h; x)) = (gh; x) se (g; (h; x)), (h; x) e (gh; x) são elementos de V (isto
é, (h; x) 2 Vg , x 2 Vh e x 2 Vgh ).
Numa ação local o conjunto aberto Vg = V \ (fgg X), g 2 G, é o domínio da
aplicação parcial g : Vg ! X. Em princípio o conjunto Vg pode ser vazio. No entanto,
o conjunto dos elementos g 2 G tais que Vg 6= ; é aberto e não vazio. De fato, V1 = X
e se (g; x) 2 V então elementos do tipo (h; x) 2 V se h é próximo de g. Isto é, se
Vg 6= ; então Vh 6= ; para h próximo de g.
Se Vg 6= ; então a condição (1b) garante que Vg 1 6= ; e a aplicação parcial g :
X ! X é homeomor…smo Vg e Vg 1 . De fato, se (g; x) 2 V , isto é x 2 Vg , então pela
condição (1b), (g 1 ; (g; x)) 2 V . Daí que faz sentido escrever a condição (3) e obter
(g 1 ; (g; x)) = (1; x) = x. Isto é, g (x) 2 Vg 1 e g 1 g (x) = x. Invertendo os
papéis entre g e g 1 se vê que g : Vg ! Vg 1 é um homeomor…smo.
34
2.7
Espaços quocientes
O instrumento para analisar as órbitas de uma ação é a bijeção G=Gx
G x da
proposição 2.19. Para considerar essa bijeção do ponto de vista de continuidade é
necessário introduzir topologias nos quocientes G=H, que será discutida nessa seção.
Em geral no quociente de um espaço topológico por uma relação de equivalência se
de…ne a seguinte topologia:
De…nição 2.23 Sejam Y um espaço topológico e
uma relação de equivalência em
Y . Denote por Y = o conjunto das classes de equivalência de e por : Y ! Y =
a aplicação sobrejetora canônica, que a cada y 2 Y associa sua classe de equivalência.
A topologia quociente em Y = é aquela em que um subconjunto A Y = aberto
1
se, e só se,
(A) é aberto em Y . De forma equivalente, F
Y = é fechado se, e
1
só se,
(F ) é fechado em Y .
A topologia quociente é a mais …na (que contém a maior quantidade de abertos
possível) que torna a projeção canônica : Y ! Y = uma aplicação contínua. A continuidade, em relação à topologia quociente, de funções de…nidas em Y = é veri…cada
através da seguinte propriedade.
Proposição 2.24 Sejam Y e Z espaços topológicos em que Y é munido da relação de
equivalência . Então, uma aplicação f : Y =
! Z é contínua se, e somente se,
f
: Y ! Z é contínua:
Y
?
Y=
HH f
HH
f
H
H
j
H
-
Z
Demonstração: Se f é contínua então f
é contínua, pois é contínua. Reciprocamente, suponha que f
é contínua e seja A Z um aberto. Então (f
) 1 (A) =
1
(f 1 (A)) é aberto em Y . Pela de…nição da topologia quociente, segue que f 1 (A)
é aberto em Y = , concluindo a demonstração.
2
No caso em que G é um grupo e H G um subgrupo, o quociente G=H é o conjunto
das classes de equivalência da relação de equivalência em G em que x y se, e só se,
xH = yH. Portanto, G=H pode ser munido da topologia quociente por essa relação
de equivalência, quando G é um grupo topológico.
Proposição 2.25 Sejam G um grupo topológico, H G um subgrupo e : G ! G=H
a projeção canônica. Então, é uma aplicação aberta em relação à topologia quociente.
Se além do mais H é compacto então é uma aplicação fechada.
2.7. Espaços quocientes
35
S
1
Demonstração: Tome um aberto A G. Então,
( (A)) = AH = h2H Ah é
aberto de G. Daí que (A) é aberto na topologia quociente.
Já se H é compacto e F
G é fechado então 1 ( (F )) = F H é compacto pela
proposição 2.1, mostrando que é aplicação fechada.
2
Deve-se observar também que, em geral a projeção não é uma aplicação fechada.
Por exemplo, se G = R2 , H = f0g R e F = f(x; y) 2 R2 :
=2 < x < =2 e
y = tg (x)g então (F ) não é fechado.
A topologia quociente tem um bom comportamento em relação ao produto cartesiano de grupos. Sejam G1 e G2 grupos topológicos e H1 G1 , H2 G2 subgrupos.
O produto H1 H2 é um subgrupo de G1 G2 e o quociente (G1 G2 ) = (H1 H2 ) se
identi…ca a (G1 =H1 ) (G2 =H2 ) através da bijeção
: (g1 ; g2 ) (H1
H2 ) 7 ! (g1 H1 ; g2 H2 ) :
Essa bijeção é um homeomor…smo em relação às topologias quocientes nos espaços
homogêneos. Isso pode ser visto facilmente pela de…nição de topologia quociente e o
seguinte diagrama comutativo:
G1
(G1
id
!
G2
#
G2 ) = (H1
H2 )
G1
! (G1 =H1 )
G2
#
(G2 =H2 )
Proposição 2.26 A topologia quociente em G=H é de Hausdor¤ se, e somente se, H
é fechado.
Demonstração: A aplicação : G ! G=H é contínua e H = 1 fxg se x é a origem
de G=H. Portanto, se G=H é Hausdor¤, H é fechado.
Reciprocamente, suponha que H é fechado. Para mostrar que G=H é de Hausdor¤
deve-se mostrar que a diagonal
= f(x; x) 2 G=H
G=H : x 2 G=Hg
é fechada na topologia produto em G=H G=H, que coincide com a topologia quociente
em (G G) = (H H). Por de…nição
é fechado se, e só se, p 1 ( ) é um conjunto
fechado em G G onde p : G G ! G=H G=H é a projeção canônica. Mas,
p (g; h) 2 se e só se gH = hH, isto é, se h 1 g 2 H. Portanto,
p
1
( )=q
1
(H)
onde q é a aplicação contínua q (x; y) = x 1 y. Daí que se H é fechado então p
fechado e G=H é de Hausdor¤.
1
( )é
2
Proposição 2.27 A ação de G em G=H é contínua em relação à topologia quociente.
36
Demonstração: A aplicação
seguinte diagrama comutativo
G=H ! G=H que de…ne a ação faz parte do
:G
p
!
G G
id ##
G
G
#
! G=H
G=H
Seja A
G=H um aberto. Então, p 1 1 (A) é aberto e daí que (id
é um aberto em G G. Mas, isso signi…ca que 1 (A) é aberto em G
de…nição da topologia quociente.
2.7.1
) 1 1 (A)
G=H, pela
2
Grupos quocientes
Uma situação especial dos quocientes considerados acima acontece quando o subgrupo
H é normal em G. Nesse caso o quociente G=H tem uma estrutura de grupo, de…nida
por (gH) (hH) = (gh) H e a projeção canônica : G ! G=H é um homomor…smo.
Com a topologia quociente esse grupo passa a ser um grupo topológico. Para ver isso
basta recorrer à proposição 2.24 e escrever o diagrama
G
G=H
##
p
G
!
G=H
! G=H
G
#
onde denota o produto em G=H. Então, da mesma forma que na proposição 2.27
mostra-se que é contínua. Por outro lado, a continuidade da inversa em G=H provém
da comutatividade do diagrama
G
#
G=H
!
G
#
! G=H
juntamente com a proposição 2.24.
Em relação à topologia quociente, a projeção
contínuo e uma aplicação aberta.
2.7.2
: G ! G=H é um homomor…smo
Grupos compactos e conexos
Serão demonstrados aqui dois resultados úteis para veri…car, via espaços quocientes,
que certos grupos topológicos são compactos ou conexos.
O primeiro diz respeito à compacidade. Na sua demonstração será utilizada a
propriedade de interseção …nita, que caracteriza os espaços compactos: Tum espaço
topológico K é compacto se, e só se, para uma família F de fechados vale F 2F F 6= ;
se ela satis…zer a propriedade de interseção …nita, isto é, se toda interseção …nita
F1 \
\ Fk de elementos de F for não vazia. Nesse caso pode-se assumir, sem
2.7. Espaços quocientes
37
perda de generalidade, que F é completa, isto é, fechada por interseção …nita de seus
elementos, pois a família de todas as interseções …nitas de elementos de F também
satisfaz a propriedade da inteseção …nita.
Proposição 2.28 Seja G um grupo topológico e H
são compactos então G é compacto.
G um subgrupo. Se H e G=H
Demonstração: Seja F uma família completa de fechados em G satisfazendo a
propriedade da interseção …nita. A compacidade de H garante que as projeções (F ),
F 2 F, são fechados em G=H (veja a proposição 2.25). A família f (F )gF 2F também
satisfaz a propriedade de interseção …nita, já que
(F1 \
\ Fk )
(F1 ) \
\ (Fk ) :
Agora, a hipótese de que G=H é compacto garante a existência de g 2 G tal que
\
(F ) :
gH 2
F 2F
Isso signi…ca que todo F 2 F intercepta a classe lateral gH. Como F é uma família
completa, se concluí que
(F1 \ gH)
\ (Fs \ gH) = (F1 \
\ Fs ) \ gH 6= ;
para todo F1 ; : : : ; Fs 2 F. Isso signi…ca que a família de fechados F \ gH, F 2 F,
satisfaz a hipótese de interseção …nita. Usando novamente a compacidade de H (e,
portanto de gH) se conclui que
!
\
\
F \ gH =
(F \ gH) 6= ;:
Daí que
T
F 2F
F 2F
F 2F
F 6= ;, concluindo a demonstração.
2
É claro que se G é compacto então G=H também é compacto, uma vez que a
projeção canônica : G ! G=H é contínua e sobrejetora. Por outro lado, se H é
fechado e G compacto então H também é compacto. Portanto, a recíproca ao teorema
acima é verdadeira com a hipótese adicional de que H é fechado.
Proposição 2.29 Suponha que H e G=H são conexos. Então, G é conexo.
Demonstração: Suponha por absurdo que A; B
G são abertos não vazios, disjuntos e tais que A [ B = G. Então, (A) e (B) são abertos não vazios tais que
(A) [ (B) = G=H. Como G=H é conexo, (A) \ (B) 6= ;. Isso signi…ca que
existe uma classe lateral gH que intercepta ambos os conjuntos A e B. Então, A \ gH
e B \ gH são abertos disjuntos e não vazios. Mas,
gH = (A [ B) \ gH = (A \ gH) [ (B \ gH) ;
38
o que contradiz o fato de que H é conexo, já que gH é homeomorfo a H.
2
Quanto à reciproca da proposição anterior, é claro que G=H é conexo se G for
conexo. No entanto, pode ocorrer que tanto G quanto G=H sejam conexos, mas H não
seja conexo.
Na seção 2.9 serão apresentados alguns exemplos que ilustram aplicações das proposições
anteriores para demonstrar que certos grupos topológicos são compactos ou conexos.
2.8
Homeomor…smo G=Gx ! G x
Uma órbita G x de uma ação contínua G X ! X admite duas topologias naturais.
Uma delas é a topologia induzida de X. Por outro lado, G x está em bijeção com o
quociente G=Gx . Por intermédio dessa bijeção pode-se colocar uma topologia em G x
declarando que um subconjunto A G x é aberto se o conjunto correspondente em
G=Gx for um aberto da topologia quociente.
A discussão a seguir tem por objetivo comparar essas topologias, analisando a
propriedade de homeomor…smo da aplicação x : G=Gx ! G x, no caso de uma ação
transitiva.
Proposição 2.30 Seja G X ! X uma a ação contínua e transitiva de G em X.
Fixe x 2 X e considere a bijeção x : G=Gx ! X dada por x (gGx ) = gx. Então, x
é contínua em relação à topologia quociente em G=Gx .
Demonstração: Pela proposição 2.24 basta mostrar que x
é contínua. Agora,
(g)
=
(gH)
=
gx,
isto
é,
=
que
é
contínua
se
a
ação
é contínua. 2
x
x
x
x
A situação ideal seria poder identi…car, como espaços topológicos, o espaço X onde
se dá uma ação transitiva com o quociente G=Gx . Em geral isso não é possível, pois a
aplicação x pode não ser homeomor…smo por não ser aplicação aberta, como mostra
o exemplo a seguir.
Exemplo: Se G é um grupo a aplicação g 2 G 7! Eg de…ne uma ação à esquerda de
G em si mesmo. Essa ação é claramente transitiva e o subgrupo de isotropia Gg = f1g
para todo g 2 G. Portanto, para cada g 2 G existe um diagrama
G
g
-
G
*
?
g
G=f1g = G
onde g (h) = hg. Em particular, 1 (h) = h é a aplicação identidade. Dessa forma,
para exibir um exemplo de uma ação contínua em que x não é uma aplicação aberta
2.8. Homeomor…smo G=Gx ! G x
39
basta mostrar a existência de um grupo munido de duas topologias T1 e T2 com T2
Nesse caso
1
6=
T1 .
= id : (G; T1 ) ! (G; T2 )
é contínua, mas não aberta. Se ambas topologias tornam G um grupo topológico então
a ação à esquerda de G em G é contínua.
Um exemplo de um grupo desses é dado pela reta real (R; +). Tome T1 como sendo
a topologia usual. Quanto a T2 , considere um ‡uxo irracional no toro T2 , isto é, a
imagem em R2 =Z2 de uma reta r R2 , com inclinação irracional. Esse conjunto é um
subgrupo de T2 isomorfo a R, porém a topologia induzida sobre a imagem é uma topologia T2 em R estritamente contida na topologia a usual. Em ambas topologias R é um
grupo topológico, pois a topologia T2 é a que torna R um subgrupo topológico de T2 . 2
A seguir será apresentado um resultado de caráter geral garantindo que x é uma
aplicação aberta, dentro do contexto do teorema das categorias de Baire. Antes disso
é conveniente reduzir o problema a um único ponto.
Lema 2.31 Suponha que exista x0 2 X tal que para toda vizinhança aberta U 2 V (1),
o conjunto U x0 = x0 (U ) contém x0 em seu interior. Então, x é uma aplicação
aberta para todo x 2 X e, portanto, é um homeomor…smo.
Demonstração: Considere em primeiro lugar x0 . Neste caso, dado um aberto
V
G deve-se mostrar que V x0 é um aberto, isto é, se g 2 V então gx0 é ponto
interior de V x0 . Por hipótese, se g 2 V então U = g 1 V 2 V (1) é tal que U x0 é
uma vizinhança de x0 . Isso implica que V x0 = (gU ) x0 = g (U x0 ) é uma vizinhança
de gx0 , já que g é um homeomor…smo. Isso mostra que x0 é aplicação aberta.
Agora, se x = hx0 então x = x0 Dh . Portanto, se x0 é aplicação aberta, o mesmo
ocorre com x .
2
O resultado geral provado a seguir sobre o homeomor…smo G=Gx ! X vale quando
X é um espaço de Baire, isto é, a união enumerável de conjuntos de interior vazio ainda
tem interior vazio. Exemplos de espaços de Baire são os espaços métricos completos ou
os espaços topológicos que são de Hausdor¤ e localmente compactos. O seguinte lema
será utilizado na demonstração desse resultado.
Lema 2.32 Sejam G um grupo topológico, D G um subconjunto denso e U 2 V (1)
uma vizinhança da identidade. Então,
[
G=
gU:
g2D
Demonstração: Tome uma vizinhança simétrica W U . Então, dado x 2 G existe
g 2 D tal que g 2 xW , isto é, x 1 g 2 W . A simetria de W garante que g 1 x 2 W , o
que signi…ca que x 2 gW gU , concluíndo a demonstração.
2
40
Proposição 2.33 Seja G X ! X uma ação contínua e transitiva. Suponha que G
seja separável (isto é, admite um conjunto enumerável denso) e que X seja um espaço
de Baire. Então, as aplicações x : G=Gx ! X são homeomor…smos.
Demonstração: Tome x0 2 X, U 2 V (1) uma vizinhança aberta e W uma vizinhança simétrica tal que W 2
U . Pelo lema 2.31 é su…ciente mostrar que U x0 é
vizinhança de x0 . Seja gn uma sequência densa em G. Pelo lema anterior, os conjuntos
gn W cobrem G e, portanto, os conjuntos gn W x0 cobrem X. No entanto, X é um
espaço de Baire, o que garante que para algum n0 , gn0 W x0 tem interior não vazio, isto
é, contém gn0 g x0 em seu interior para algum g 2 W . Como gn0 g é homeomor…smo,
segue que x0 é ponto interior de g 1 gn01 (gn0 W x0 ). Mas,
g 1 gn01 (gn0 W x0 ) = g 1 W x0
concluindo a demonstração.
U x0 ;
2
Por …m deve-se observar que no caso de ações diferenciáveis de grupos de Lie será
mostrado posteriormente, com o auxílio do cálculo diferencial, que as aplicações x são
homeomor…smos (na verdade difeomor…smos).
2.9
Exemplos
A seguir são apresentados alguns exemplos de ações de grupos que fornecem homeomor…smos entre quocientes e certos espaços concretos.
1. O grupo G = Gl (n; R) age em Rn de maneira canônica: (g; x) = gx, g 2
Gl (n; R), x 2 Rn . Essa ação é contínua pois é restrição de uma aplicação
polinômial (de grau 2) Mn (R) Rn ! Rn . Existem exatamente duas órbitas, a
origem f0g e o seu complementar Rn nf0g. É evidente que a origem é uma órbita.
Para ver que o seu complementar também é uma órbita, tome e1 = (1; 0; : : : ; 0) 2
Rn n f0g e x = (x1 ; : : : ; xn ) 6= 0. Então existe uma matriz g 2 Gl (n; R) tal que
ge1 = x. De fato, é possível estender x a uma base fx; v2 ; : : : ; vn 1 g de Rn .
Denote por fe1 ; : : : ; en g a base canônica de Rn . Então, g de…nida por ge1 = x e
gei = vi , i = 2; : : : ; n é um elemento de Gl (n; R) que satisfaz o desejado.
O subgrupo de isotropia em 0 é todo Gl (n; R). Já o subgrupo de isotropia Ge1
em e1 é formado pelas matrizes (em relação à base canônica) da forma
1 b
0 C
(2.1)
com b uma matriz linha 1 (n 1) e C 2 Gl (n 1; R) e portanto é homeomorfo
a Gl (n 1; R) Rn 1 . Os grupos de isotropia em x 6= 0 são conjugados de
Ge1 . As condições da proposição 2.33 são satisfeitas aqui. Portanto, o quociente
Gl (n; R) =Ge1 é homeomorfo ao cilindro Rn n f0g.
2.9. Exemplos
41
As mesmas considerações valem para o subgrupo Gl+ (n; R) = fg 2 Gl (n; R) :
det g > 0g, com duas diferenças. Uma é que se n = 1 deve-se tomar R+ no lugar
de R. Outra diferença é que a matriz C em (2.1) deve ter determinante positivo.
Dessa forma o grupo de isotropia Ge1 é homeomorfo a Gl+ (n 1; R) Rn 1 .
Os homeomor…smos Gl+ (n; R) =Ge1
Rn n f0g e Ge1
Gl+ (n 1; R) Rn 1 ,
juntamente com a proposição 2.29 permitem mostrar que Gl+ (n; R) é conexo. De
fato, Gl+ (1; R) = R+ é conexo. Como R2 n f0g é conexo e no caso n = 2, o grupo
de isotropia Ge1
Gl+ (1; R) R é conexo, segue que Gl+ (2; R). Procedendo
por indução a proposição 2.29 garante que Gl+ (n; R) é conexo.
Como consequência, Gl (n; R) tem duas componentes conexas que são Gl+ (n; R)
e Gl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g < 0g, que é uma classe lateral de Gl+ (n; R)
em Gl (n; R).
A ação de canônica Gl (n; R) em Rn induz, por restrição, ações de seus subgrupos.
Essas ações são todas contínuas, no entanto a estrutura das órbitas varia de acordo
com o subgrupo. Alguns exemplos são apresentados nos itens a seguir.
2. Seja O (n)
Gl (n; R). As órbitas são as esferas
Sr = fx 2 Rn : jxj = rg
r
0:
(A norma j j utilizada aqui é a proveniente do produto interno canônico, lembrando que esse produto interno está implícito na de…nição de O (n).) O argumento para mostrar que as esferas são as órbitas é semelhante ao utilizado acima,
estendendo vetores não nulos a bases, tomando o cuidado agora de escolher bases
ortonormais. O subgrupo de isotropia em e1 (ou em e1 , 6= 0) é formado pelas
matrizes ortogonais que têm a forma de (2.1), isto é, pelas matrizes da forma
1 0
0 C
com C 2 O (n 1). Esse grupo é isomorfo a O (n 1). Pela proposição 2.33
o quociente O (n) =O (n 1) é homeomorfo à esfera de dimensão n 1. Pela
proposição 2.28 segue que O (n) é compacto, já que as esferas são compactas e
O (1) se reduz a dois pontos.
Os mesmos argumentos do item anterior permitem mostrar que as órbitas de
SO (n) = fg 2 O (n) : det g = 1g também são as esferas. Nesse caso o grupo de
isotropia em e1 é isomorfo a SO (n 1). Nesse caso pode-se usar a proposição
2.29 para provar por indução que SO (n) é conexo, já que SO (2) S 1 é conexo,
assim como as esferas S n .
Daí segue que O (n) tem duas componentes conexas SO (n) e a classe lateral
formada pelos elementos de O (n) com determinante 1.
3. O grupo Sl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g = 1g age transitivamente em Rn n f0g,
como pode ser veri…cado através do argumento de construção de bases. Assim,
42
Sl (n; R) tem exatamente duas órbitas em sua ação canônica em Rn . Nesse caso
os subgrupos de isotropia são homeomorfos a Sl (n 1; R) Rn 1 . Como nos
casos anteriores, uma aplicação da proposição 2.29, permite provar, por indução
que Sl (n; R) é conexo.
4. Assim como nos exemplos anteriores pode-se aplicar a proposição 2.29 para
mostrar, via a ação em Cn , que os grupos Gl (n; C) e Sl (n; C) são conexos. A
diferença para o caso real é que aqui Gl (1; C) C n f0g é conexo (ao contrário
de R n f0g), permitindo iniciar a indução.
Da mesma forma os grupos U (n) e SU (n) são compactos e conexos.
5. Novamente, seja G = Gl (n; R) e seja X = Pn 1 o espaço projetivo dos subespaços
de dimensão um de Rn . Se V 2 Pn 1 e g 2 Gl (n; R) gV = fgx : x 2 V g é um
subespaço de Rn de dimensão 1, e daí que gV 2 Pn 1 . A aplicação V 7! gV
de…ne uma ação de Gl (n; R) em Pn 1 . Esta ação é contínua em relação à seguinte
topologia quociente em Pn 1 . Dado v 2 Rn , denote por [v] o subespaço gerado
por v. Se v 6= 0, [v] 2 Pn 1 . Existe portanto uma aplicação sobrejetora : v 2
Rn n f0g 7! [v] 2 Pn 1 . Os abertos de Pn 1 são os conjuntos A Pn 1 tais que
1
(A) é aberto, isto é, a topologia em Pn 1 é a topologia quociente pela relação
de equivalência v w se v = aw, a 6= 0, em Rn n f0g. Com essa topologia a ação
de Gl (n; R) é contínua. Essa ação é transitiva e o subgrupo de isotropia em [e1 ]
é formado pelas matrizes do tipo
a b
0 C
com a 2 R, b uma matriz linha 1 (n 1) e C 2 Gl (n 1; R). A projeção é
equivariante em relação às ações de G em Rn n f0g e Pn 1 . Como no caso da ação
em Rn , essa ação induz ações de todos os grupos lineares, isto é, dos subgrupos
de Gl (n; R). Essas ações são denominadas de ações projetivas.
6. Analogamente às ações projetivas, o grupo Gl (n; R) age na Grassmanniana Grk (n),
formada pelos subespaços de Rn de dimensão k. A ação é dada por (g; V ) 7! gV
onde gV é a imagem do subespaço V pela aplicação linear g. Essa ação de
Gl (n; R) também é transitiva e é contínua em relação à seguinte topologia em
Grk (n): denote por Bk (n) o conjunto das matrizes n k de posto k, munido da
topologia induzida pela topologia do espaço vetorial de todas as matrizes n k.
Existe uma aplicação sobrejetora : Bk (n) ! Grk (n) que associa a uma matriz
p 2 Bk (n) o espaço vetorial gerado pelas colunas de p. De…nindo em Bk (n)
a relação de equivalência p
q se existe a 2 Gl (k; R) tal que p = qa. Então, Grk (n) se identi…ca ao conjunto das classes de equivalência Bk (n) =
e
: Bk (n) ! Grk (n) com a projeção canônica Bk (n) ! Bk (n) = . Isso de…ne a
topologia quociente em Grk (n) cujos abertos são os conjuntos A Grk (n) tais
que 1 (A) é aberto em Bk (n).
2.10. Exercícios
43
Seja V0 2 Grk (n) o subespaço gerado pelos primeiros k vetores da base canônica.
Então o subgrupo de isotropia em V0 é formado pelas matrizes do tipo
P Q
0 R
com P 2 Gl (k; R) e Q 2 Gl (n
k; R).
7. Seja Z um campo de vetores em uma variedade diferenciável M de classe C 1 e
suponha que Z seja completo, isto é, as soluções maximais de Z se estendem
ao intervalo ( 1; +1). O ‡uxo de Z denotado Zt , t 2 R, é de…nido a partir
das trajetórias t 7! Zt (x) é a trajetória de Z que em t = 0 passa por x. O
‡uxo satisfaz as propriedades Z0 (x) = x e Zt+s (x) = Zt (Zs (x)). Portanto,
(t; x) 7! Zt (x) de…ne uma ação de R em M . Os teoremas de dependência de
soluções em relação às condições iniciais garantem que essa ação é contínua. As
órbitas dessa ação são as trajetórias do campo. Já os subgrupos de isotropia em
x são descritos como: 1) Gx = R se x é uma singularidade do campo de vetores,
isto é, Z (x) = 0; 2) Gx = f0g se a trajetória x não é uma curva fechada e 3)
Gx = !Z se a trajetória que passa por x é periódica de período !.
2.10
Exercícios
1. Seja G X ! X uma ação contínua do grupo topológico G no espaço topológico
X. Seja A X um subconjunto G-invariante. Mostre que a restrição G A ! A
da ação a A também é contínua, com a topologia induzida em A.
2. Seja G um grupo topológico tal que f1g é fechado. Mostre que se H
subgrupo abeliano então o fecho H também é abeliano.
3. Seja H
G um subgrupo e denote por N (H) = fg 2 G : gHg
normalizador. Mostre que se H é fechado então N (H) é fechado.
1
G é
Hg o seu
4. Seja G um grupo topológico de Hausdor¤. Mostre que o centralizador fg 2 G :
8x 2 M; gx = xgg do conjunto M é um subgrupo fechado.
5. Sejam G um grupo topológico de Hausdor¤ e K1 ; K2
G subconjuntos compactos. Mostre que existem vizinhanças do elemento neutro V e W tal que
K1 V \ K2 V = ; e W K1 \ W K2 = ;. (Sugestão: K1 K2 1 e K2 1 K1 são compactos.)
6. Sejam G um grupo topológico e M um espaço métrico. Uma aplicação f : G ! M
é uniformemente contínua se para todo " > 0 existe U 2 V (1) tal que se xy 1 2 U
então d (f (x) ; f (y)) < ". Mostre que se G é compacto e f : G ! M é contínua
então f é uniformemente contínua.
44
7. Seja G um grupo topológico conexo e não compacto. Seja também V
G uma
vizinhança compacta do elemento neutro. Veri…que que para todo k
1, V k é
k+1
compacto. Use isso para provar que para todo k 1, V
contém propriamente
k
V .
8. Um subgrupo de um grupo topológico G é discreto se existe uma vizinhança
V da identidade tal que V \ = f1g. Mostre que se é discreto, com vizinhança
V , então gV \ = fgg para todo g 2 . Mostre também que se G é de Hausdor¤
então é fechado.
9. Seja G um grupo topológico localmente conexo. Mostre que se
G é um
subgrupo discreto então a projeção : G ! G= é uma aplicação de recobrimento
(veja a de…nição na seção 7.4).
10. Sejam G um grupo topológico e
G um subgrupo discreto. Mostre que se
G é conexo e é subgrupo normal então está contido no centro Z (G) de G.
(Sugestão: para x 2 considere a aplicação g 2 G 7! gxg 1 2 .)
11. Sejam G um grupo topológico e H G um subgrupo. Suponha que
subgrupo discreto. Mostre que \ H é um subgrupo discreto de H.
G é um
12. Seja G um grupo (não necessariamente topológico) agindo no espaço topológico
X tal que para todo g 2 G a aplicação induzida g : X ! X é homeomor…smo.
De…na a relação de equivalência em X por x y se x e y pertencem à mesma
G-órbita. Mostre que a projeção canônica X ! X=
é uma aplicação aberta
sobre a topologia quociente.
13. Seja X um espaço topológico e x y uma relação de equivalência em X. Mostre
que o espaço das classes de equivalência X= , munido da topologia quociente, é
de Hausdor¤ se, e só se, a relação é um subconjunto fechado de X X.
14. Seja G um grupo compacto e tome x 2 G. Mostre que o fecho fxn : n
conjunto das potências de x é um subgrupo.
1g do
15. Um subsemigrupo S de um grupo é um conjunto fechado pelo produto: se x; y 2 S
então xy 2 S (não necessariamente x 1 2 S). Mostre que um subsemigrupo
fechado de um grupo compacto é um grupo (use o exercício anterior).
16. Dada uma ação contínua G X ! X do grupo topológico G no espaço X, seja
F X um subconjunto fechado. Mostre que o semigrupo SF = fg 2 G : g (F )
F g é fechado. Conclua que o subgrupo GF = fg 2 G : g (F ) = F g também é
fechado.
17. Sejam G um grupo topológico e H1
H2
G subgrupos. De…na : G=H1 !
G=H2 por (gH1 ) = gH2 . Veri…que que esta aplicação é bem de…nida e mostre
que ela é contínua e aberta (em relação às topologias quocientes). Mostre também
que é equivariante, isto é, g (x) = (gx), x 2 G=H1 .
2.10. Exercícios
45
18. Sejam G um grupo topológico e H1
H2 subgrupos fechados. Mostre que se
G=H2 e H2 =H1 são compactos então G=H1 é compacto. Faça o mesmo substituindo “compacto”por “conexo”.
19. Sejam G um grupo topológico localmente conexo e H
G subgrupo fechado
localmente conexo. Mostre que se H não é conexo então G=H não é simplesmente
conexo. (Sugestão: considere a componente da identidade H0 de H.)
20. Sejam G um grupo topológico compacto e
Mostre que
0.
21. Mostre que se G
det g = 1 ou 1.
: G ! R um homomor…smo contínuo.
Gl (n; R) é um grupo compacto então para todo g 2 G,
22. Seja G um grupo topológico e suponha que o o grupo comutador [G; G] (isto
é, o subgrupo de G gerado pelos comutadores xyx 1 y 1 , x; y 2 G) seja denso.
Mostre que se H é um grupo abeliano e : G ! H é um homomor…smo, então
é trivial, isto é, (x) = 1 para todo x 2 G.
23. Mostre que os únicos subgrupos fechados de (R; +) são o próprio R e os subgrupos
da forma Zx, x 2 R.
24. Mostre que O (n) é compacto e que Sl (n; R) não é compacto.
25. Mostre que SO (n) é conexo por caminhos, sem usar a proposição 2.29. (Sugestão:
escreva a forma canônica de Jordan de uma matriz ortogonal).
26. Considere a ação de Sl (n; R) no espaço projetivo real Pn 1 , dada por g[v] = [gv],
onde [v] denota subespaço gerado por 0 6= v 2 Rn . Mostre que essa ação é
transitiva. Mostre que a restrição dessa ação a SO (n) também é transitiva.
27. Dê exemplo de um subgrupo G
não é transitiva.
Gl (n; R), não compacto, cuja ação em Pn
28. Substitua, nos exercícios anteriores, Pn
spaços de dimensão k de Rn .
1
1
pela Grassmanniana Grk (n) dos sube-
29. Mostre que um grupo compacto admite uma distância bi-invariante.
30. Denote por S (1) o grupo de todas as bijeções (permutações) de N. Para cada
n 2 N seja S n (1) o subgrupo de S n (1) formado pelos elementos que …xam cada
um dos inteiros de f1; : : : ; ng. Mostre que o conjunto S n (1), n 1, forma um
sistema de vizinhanças da identidade de S (1), dando origem a uma topologia
em S (1), que o torna grupo topológico. Mostre que essa topologia é totalmente
desconexa.
46
31. Uma função f : X ! R, no espaço topológico X é semicontinua superiormente
(respectivamente inferiormente) se dado " > 0 existe um aberto U 3 x0 tal que
f (U )
( 1; f (x0 ) + ") (respectivamente f (U )
(f (x0 ) "; +1)). Sejam
G um grupo topológico e : G ! (R; +) um homomor…smo. Mostre que
é contínuo se for semicontinuo superiormente (ou inferiormente) em 1. Faça o
mesmo para um homomor…smo : G ! (R ; ).
Capítulo 3
Medida de Haar
Uma medida de Haar num grupo topológico G é uma medida sobre a -álgebra dos
conjuntos borelianos de G (isto é, a -álgebra gerada pelos conjuntos abertos), que
é invariante por translações no grupo. Pode-se tomar medidas de Haar invariantes à
esquerda ou invariantes à direita. Neste capítulo será feita a construção de medidas
de Haar em grupos topológicos localmente compactos. Será demonstrada também a
unicidade da medida de Haar, a menos da multiplicação por uma constante positiva.
A leitura deste capítulo requer um conhecimento prévio de teoria da medida.
3.1
Introdução
Seja (X; F; ) um espaço de medida onde F é uma -álgebra de subconjuntos de X
( -álgebra dos conjuntos mensuráveis) e é uma medida -…nita de…nida sobre F.
Dada uma aplicação mensurável g : X ! X em relação a F (isto é, g 1 (A) 2 F se
A 2 F), de…ne-se uma nova medida g sobre F por
g
(A) =
g 1A :
A medida é invariante por g se g = , o que signi…ca que para todo conjunto mensurável A 2 F, vale (g 1 A) = (A). Em termos de integrais a medida transladada
g satisfaz a igualdade
Z
Z
f (x) (g ) (dx) = f g (x) (dx)
para toda função f : X ! R integrável em relação a . Essa igualdade serve como
de…nição de g uma vez que se f = A é a função característica
do conjunto A
R
( A (x) = 1Rse x 2 A e A (x) = 0 se x 2
= A) então g (A) =
A (x) (g ) (dx) e
(g 1 A) =
g
(x)
(dx).
A
Passando às medidas de Haar, seja G um grupo topológico e denote por F a álgebra dos Borelianos de G ( -algebra gerada pelos abertos de G). As translações de
G são aplicações mensuráveis, pois são contínuas. Uma medida de Haar invariante à
esquerda em G é uma medida sobre F (medida de Borel) tal que para toda translação
47
48
Capítulo 3. Medida de Haar
à esquerda Eg vale (Eg )
= , isto é, para um conjunto Boreliano A vale (gA) =
(A). De maneira análoga se de…nem as medidas de Haar invariantes à direita, que
satisfazem (Ag) = (A).
Deve-se observar que se é uma medida de Haar e a > 0 então a medida a , também
é uma medida de Haar, pois (Eg ) (a ) = a (Eg )
(ou (Dg ) (a ) = a (Dg )
no
caso invariante à direita).
Teorema 3.1 Seja G grupo topológico localmente compacto de Hausdor¤. Então,
G admite uma única (a menos de multiplicação por uma constante a > 0) medida de
Haar 6= 0 invariante à esquerda (respectivamente invariante à direita). Essa medida
satisfaz as seguintes propriedades:
1. Se K é compacto então
(K) < 1.
2. Se U 6= ; é aberto então
(U ) > 0.
3.
é regular, isto é, se A é um conjunto Boreliano então
(a)
(A) = inf (U ) com A
(b)
(A) = sup (K) com K
U e U aberto (regularidade exterior) e
A compacto (regularidade interior).
Esse teorema sobre as medidas de Haar será demonstrado nas seções subsequentes
deste capítulo. Na demonstração pode-se considerar apenas as medidas invariantes à
esquerda. Isso porque se é uma medida de Haar invariante à esquerda em G então
^ =
é invariante à direita se é a inversa de G. De fato, se A é um conjunto
Boreliano então
^ (Ag) = g 1 A 1 = A 1 = ^ (A) :
Vice-versa, se é invariante à direita então ^ é invariante à esquerda. Isso signi…ca
que as medidas de Haar invariantes à esquerda e à direita são obtidas umas das outras
pela aplicação inversa.
Em geral, as medidas invariantes à esquerda e à direita não coincidem. Um grupo G
é dito unimodular se as medidas de Haar invariante à esquerda e à direita coincidem,
isto é, elas são bi-invariantes. Por exemplo, os grupos abelianos são unimodulares, pois
as translações à esquerda e à direita são iguais.
Exemplos:
1. O exemplo guia para as medidas de Haar é a medida de Lebesgue em R (ou
mais geralmente em Rn ), que é invariante por translações à esquerda ou à direita
pois o grupo é abeliano. Portanto a medida de Lebesgue é uma medidda de Haar
normalizada por ([0; 1]n ) = 1.
2. Um grupo G munido da topologia discreta é localmente compacto. Uma medida
de Haar é dada por fxg = 1 para todo x 2 G. No caso em que G é …nito
pode-se normalizar a medida de Haar colocando fxg = 1=jGj, de tal forma que
(G) = 1.
3.2. Construção da medida de Haar
49
3. Os grupos de Lie são localmente compactos e de Hausdor¤. Portanto, admitem
medidas de Haar. Como será visto adiante no capítulo 5 a construção das medidas
de Haar num grupo de Lie não requer o teorema geral acima, já que nesse caso a
medida pode ser de…nida via uma forma volume invariante.
2
Antes de entrar na demonstração do teorema 3.1 vale observar que se G é um grupo
compacto Hausdor¤ então, qualquer medida de Haar em G satisfaz (G) < 1, já que
as medidas de Haar são …nitas em compactos. Por outro lado, a proposição a seguir
mostra que um grupo localmente compacto Hausdor¤ é compacto se, e só se, a medida
de Haar de G é …nita.
Proposição 3.2 Seja G um grupo topologico localmente compacto de Hausdor¤ com
medida de Haar . Então, (G) = 1 se G não é compacto
Demonstração: Seja K uma vizinhança compacta e simétrica do elemento neutro.
A união
[
H=
Kn
n 1
é um subgrupo de G que satisfaz (H) > 0, já que K
H e (K) > 0. Se H é
compacto então existem in…nitas classes laterais gH, g 2 G, pois G não é compacto.
Como (gH) = (H) > 0 e duas classes laterais distintas são disjuntas, segue que
(G) > 1.
Por outro lado se H não é compacto então para todo n 1 a inclusão K n S K n+1
é própria, pois caso contrário existiria n0 tal que K n0 +k = K n0 , k 1, e H = K n =
K n0 , contradizendo a hipótese de que H não é compacto.
Agora, se g 2 K n+1 nK n então, gK \K n 1 = ; pois se existisse z 2 gK \K n 1 então
z = gk = k1
kn 1 , com k; ki 2 K. Mas, isso implica que g = k1
kn 1 k 1 2 K n .
Por outro lado, gK
K n+2 pois g 2 K n+1 . Escolhendo então uma sequência gn 2
10n+1
10n
K
n K , n 1, se obtém gn K \ gm K = ; se n 6= m. Como (gn K) = (K) > 0,
a -aditividade garante que
!
[
X
gn K =
(K) = 1
n 1
n 1
concluíndo a demonstração de que
(G) = 1.
3.2
2
Construção da medida de Haar
Será feita aqui a construção de uma medida de Haar invariante à esquerda no grupo
localmente compacto G. Com isso se obtém também uma medida invariante à direita
aplicando a inversa no grupo.
50
Denote por K a família dos subconjuntos compactos de G e como antes seja V (1)
o conjunto das vizinhanças abertas de 1.
O método para construir uma medida de Haar segue o que se denomina procedimento de Caratheodory. Ele consiste nos seguintes passos:
1. Construir uma pré-medida em K, isto é, uma aplicação
: K ! R+ , que é
monotônica, subaditiva e aditiva em compactos disjuntos (veja a proposição 3.8,
abaixo).
2. De…nir, a partir de , uma função nos abertos de G. Essa função é monotônica,
-subaditiva e -aditiva (veja a proposição 3.12, abaixo).
3. Estender
a uma medida exterior e de…nida em todos os subconjuntos de
G. Essa medida exterior é monotônica e -subaditiva (veja a proposição 3.13,
abaixo).
4. A teoria de medida garante então que
de e (veja de…nição abaixo).
e
é -aditiva nos conjuntos mensuráveis
5. Por …m prova-se que os conjuntos Borelianos são mensuráveis. (Veja a proposição
3.16, abaixo).
Nesse esquema a única passagem que é especí…ca para grupos topológicos é o item
(1). As demais valem em espaços localmente compactos de Hausdor¤ gerais.
Para realizar a construção deve-se …xar de uma vez por todas um compacto K0 G
de interior não vazio. A existência de K0 vem da hipótese de que G é localmente
compacto. Esse compacto serve para normalizar a medida de Haar, da mesma forma
que o cubo [0; 1]n normaliza a medida de Lebesgue em Rn .
A de…nição da pré-medida em K passa pelo seguinte conceito:
Sejam ; =
6 K
G compacto e ; =
6 V
G aberto. Os conjuntos abertos xV ,
x 2 K, recobrem K e portanto existem subrecobrimentos …nitos.1 O índice de
K em relação a V , denotado por (K : V ), é o menor n tal que existe um conjunto
…nito fx1 ; : : : ; xn g K com
K
Obviamente (K : V )
x1 V [
1 pois K 6= ;.
Para um aberto dado V 2 V (1) de…na
V
Lema 3.3 A aplicação
1
V
[ xn V:
(K) =
V
: K ! R+ por
(K : V )
:
(K0 : V )
: K ! R+ , V 2 V (1), satisfaz as seguintes propriedades:
A escolha das translações xV leva a uma medida de Haar invariante à esquerda. O mesmo
argumento se aplica às translações V x, obtendo invariância à direita.
1.
V
(K1 )
2.
V
(K1 [ K2 )
V
(K1 ) +
V
(K2 ).
3.
V
(K1 [ K2 ) =
V
(K1 ) +
V
(K2 ) se K1 V
Demonstração:
de índice:
V
(K2 ) se K1
51
K2 .
1
\ K2 V
1
= ;.
Essas propriedades seguem quase que imediatamente da de…nição
1. Se fx1 ; : : : ; x(K2 :V ) g é tal que K2
x1 V [
também recobrem K1 K2 . Daí que (K1 : V )
V (K2 ).
[ x(K2 :V ) V então esses abertos
(K2 : V ) e, portanto V (K1 )
2. Sejam fx1 ; : : : ; x(K1 :V ) g e fy1 ; : : : ; y(K2 :V ) g tais que K1 x1 V [
[ x(K1 :V ) V e
K2
y1 V [
[ y(K2 :V ) V . Então, a união desses (K1 : V ) + (K2 : V ) abertos
recobrem K1 [ K2 . Daí que (K1 [ K2 : V )
(K1 : V ) + (K2 : V ) e, portanto
V (K1 [ K2 )
V (K1 ) + V (K2 ).
3. Tome F = fx1 ; : : : ; x(K1 [K2 :V ) g
K1 [ K2 tal que K1 [ K2
x1 V [
[
x(K1 [K2 :V ) V e tome x 2 F \ K1 . Então, xV \ K2 = ; pois se z 2 xV \ K2 então
z 2 K2 e z = xv com v 2 V . Isto é, x = zv 1 2 K2 V 1 \ K1 contradizendo a
hipótese. Da mesma forma, se y 2 F \ K2 então yV \ K1 = ;. Portanto,
[
[
K1
xV
e
K2
yV:
x2F \K1
y2F \K2
Daí que se n (respectivamente m) é o número de elementos em F \ K1 (respectivamente em F \ K2 ) então n
(K1 : V ) e m
(K2 : V ). Como n +
m = (K1 [ K2 : V ), segue que (K1 [ K2 : V ) (K1 : V ) + (K2 : V ). Portanto,
V (K1 [ K2 )
V (K1 ) + V (K2 ) e a igualdade segue do item anterior.
2
As propriedades enunciadas no lema acima estão relacionadas com a teoria de medida. O próximo lema, também de demonstração imediata, considera a invariância de
V.
Lema 3.4 Se g 2 G então
V
(gK) =
V
(K).2
Demonstração: Como na demonstração do lema anterior, tudo se reduz a uma
propriedade do índice. Seja fx1 ; : : : ; xn g K tal que K
x1 V [
[ xn V . Então,
gK gx1 V [ [ gxn V e fgx1 ; : : : ; gxn g gK. Tomando em particular n = (K : V ),
segue que o número minimo de transladados de V que cobrem gK é (K : V ). Isto
é, (gK : V )
(K : V ). Substituindo K por gK e g por g 1 , se obtém a desigualdade contrária e daí que (gK : V ) = (K : V ). Da de…nição de V se conclui que
2
A invariância à esquerda de V enunciada nesse lema se deve à escolha das coberturas por abertos
do tipo xV . A escolha por abertos V x acarretaria invariância à direita.
52
V
(gK) =
V
(K).
Para de…nir
dos índices.
2
independentemente de V será usada a seguinte propriedade adicional
Lema 3.5 (K : V )
(K : K0 ) (K0 : V ) onde K0 é o interior de K0 .
Demonstração: Tome fx1 ; : : : ; xn g K e fy1 ; : : : ; ym g K0 tal que K
x1 K 0 [
[ ym V , onde n = (K : K0 ) e m = (K0 : V ). Então,
[ xn K 0 e K 0 y 1 V [
n
[
K
xi K 0
i=1
n [
m
[
xi yj V:
i=1 j=1
Portanto K é recoberto por xi yj V , i = 1; : : : ; n, j = 1 : : : ; n. Daí que (K : V )
(K : K0 ) (K0 : V ).
As seguintes desigualdades seguem de imediato desse lema e da de…nição de
Corolário 3.6 0
V
V
(K)
mn =
2
V.
(K : K0 ).
As desigualdades desse corolário mostram que, para qualquer aberto V , a aplicação
: K ! R+ pode ser vista como um elemento do produto cartesiano
Y
[0; (K : K0 )]
P=
K2K
dos intervalos compactos [0; (K : K0 )]
R, que independem de V . Esse produto
também é compacto.
Olhando uma aplicação V como um elemento de P pode-se de…nir, para cada
aberto V 6= ;, o conjunto
M (V ) = f
U
2 P : U 2 V (1) ; U
V g:
Denote por C (V ) o fecho de M (V ) em P.
T
Lema 3.7
C (V ) 6= ;.
V 2V(1)
Demonstração: Como P é compacto, basta veri…car que a família de fechados
C (V )
P satisfaz a propriedade de interseção …nita. Tome V1 ; : : : ; Vk 2 V (1) e
escreva V = V1 \
\ Vk . Por de…nição V 2 M (Vi ), i = 1; : : : ; k. Daí que
V
2 C (V1 ) \
\ C (Vk )
mostrando que essa interseção é não vazia.
Agora é possivel de…nir a pré-medida desejada
2
nos compactos.
53
sobre K: Escolha qualquer elemento
De…nição da pré-medida
2
T
C (V ),
V 2V(1)
que é interpretado como uma aplicação : K ! R.
T
As proposições a seguir mostram que 2
C (V ) é, de fato, uma pré-medida
V 2V(1)
invariante sobre K. Para provar isso as propriedades enunciadas no lema 3.3 para
as aplicações V serão estendidas a por continuidade. A continuidade é usada da
seguinte forma: tome um compacto KQ2 K e denote por pK : P ! [0; (K : K0 )] a
projeção do produto cartesiano P =
[0; (K : K0 )] em sua K-componente. Essa
K2K
projeção é contínua pela de…nição da topologia produto. Além do mais, se
visto como uma aplicação : K ! R então (K) = pK ( ).
2P é
Proposição 3.8 A aplicação : K ! R+ ( 2 P) é uma pré-medida …nitamente
aditiva no sentido em que
0, (;) = 0 e satisfaz as seguintes propriedades:
1.
(K1 )
(K2 ) se K1
2.
(K1 [ K2 )
(K1 ) + (K2 ).
3.
(K1 [ K2 ) =
(K1 ) + (K2 ) se K1 \ K2 = ;.
4.
(K1 [
[ Kn )
Além do mais
(K)
K2 .
Pn
i=1
(Ki ).
(K : K0 ).
Demonstração: Em primeiro lugar,
0. De fato, tome um compacto K e
U 2 V (1). Então, por de…nição U (K)
0. Olhando U como um elemento do
produto cartesiano P, se obtém a igualdade U (K) = pK ( U ). Daí que a projeção
pK é
0 em qualquer conjunto M (V ). Por continuidade, pK
0 em C (V ). Como
2 C (V ) para todo V 2 V (1), segue que (K) = pK ( )
0. A demonstração de
que (;) = 0 é similar.
O mesmo argumento de continuidade se aplica na demonstração das propriedades
enunciadas:
1. Seja V 2 V (1). Por de…nição um elemento de M (V ) é da forma U com U V .
Pelo lema 3.3 vale a desigualdade U (K1 )
K2 , que traduzido
U (K2 ) se K1
em termos das projeções pK signi…ca pK1 ( U ) pK2 ( U ). Portanto, pK1 pK2
em M (V ). Por continuidade segue que pK1 ( )
pK2 ( ) para todo no fecho
C (V ) de M (V ). Mas pertence a C (V ) para todo V , daí que pK1 ( ) pK2 ( ),
isto é, (K1 )
(K2 ).
2. A demonstração é similar ao item (1), tomando agora as projeções pK1 [K2 , pK1 e
pK2 .
54
3. Como G é de Hausdor¤ existe V 2 V (1) tal que K1 V 1 \ K2 V 1 = ; (veja
o exercício 5 do capítulo 2)3 . A mesma propriedade vale para todo aberto U
com 1 2 U
V , isto é, K1 U 1 \ K2 U 1 = ;. Portanto, pelo lema 3.3 (3)
vale a desigualdade U (K1 [ K2 ) = U (K1 ) + U (K2 ) para todo U 2 M (V ).
Pela continuidade das projeções pK1 [K2 , pK1 e pK2 se conclui que (K1 [ K2 ) =
(K1 ) + (K2 ), já que 2 C (V ).
4. A subaditividade …nita segue por indução da propriedade (2).
Por …m a última a…rmação segue do corolário 3.6 pelo mesmo argumento de continuidade.
2
Paralelamente às propriedades da proposição acima, relacionadas à teoria de medida, vale a invariância de .
Proposição 3.9 Se g 2 G então
(gK) =
(K) para todo compacto K.
Demonstração: A demonstração segue do lema 3.4 e da continuidade das projeções
pK , K 2 K. Fixe g 2 G e K 2 K. Pelo lema 3.4, U (gK) = U (K) para todo
V . Isso signi…ca que pgK ( U ) = pK ( U ) para todo U
V.
U 2 M (V ), isto é, U
Por continuidade da projeção pK segue que pgK ( ) = pK ( ) para todo 2 C (V ).
Como 2 C (V ), segue que pgK ( ) = pK ( ), isto é, (gK) = (K), concluíndo a
demonstração.
2
O seguinte enunciado conclui a discussão sobre a pré-medida , mostrando que o
compacto K0 , escolhido inicialmente, normaliza .
Proposição 3.10
(K0 ) = 1.
Demonstração: De fato, se U 2 V (1) então U (K0 ) = 1 por de…nição, o que signi…ca que pK0 ( U ) = 1. Por continuidade, pK0 ( ) = 1 para todo 2 C (V ) e, portanto,
pK0 ( ) = 1, isto é, (K0 ) = 1.
2
Uma vez de…nida a pré-medida sobre os compactos a construção da medida de
Haar segue um procedimento que vale em geral para espaços localmente compactos.
Em primeiro lugar se de…ne uma aplicação
sobre os conjuntos abertos, de…nindo
para um aberto U ,
(U ) = supf (K) : K 2 K; K
Em seguida se de…ne uma aplicação
e
3
K2 .
(A) = inff
(U ) : A
e
U g 2 [0; +1):
em conjuntos arbitrários A
U
G por
G; U abertog 2 [0; +1):
Nessa passagem a hipótese de que G é de Hausdor¤ é essencial para separar os compactos K1 e
55
Da mesma forma que essas aplicações são invariantes à esquerda. De fato, se
g 2 G e U é aberto então K gU se, e só se g 1 K U e K é compacto se, e só se,
g 1 K é compacto. Assim,
(gU ) = supf (gK) : K 2 K; K U g
= supf (K) : K 2 K; K U g
=
(U ) :
De forma análoga e (gA) é o ín…mo de (gU ) com A U e daí que e (gA) = (A).
A medida de Haar será dada pela restrição de e aos conjuntos Borelianos. O
teorema que deve ser demonstrado é que essa restrição é de fato uma medida -aditiva,
o que será feito a seguir. Os argumentos para isso envolvem apenas teoria da medida
e não são especí…cos para grupos topológicos.
O primeiro passo é a demonstração da -subaditividade e aditividade de . Para
demonstrar isso será necessário o seguinte lema topológico.
Lema 3.11 Sejam X um espaço topológico de Hausdor¤, U; V
X abertos e K
U [ V compacto. Então, existem compactos K1 U e K2 V tal que K = K1 [ K2 .4
Demonstração: Os conjuntos L1 = K n U e L2 = K n V são compactos. Da inclusão
K U [ V segue que L1 V , L2 U e L1 \ L2 = ;. A hipótese de que X é Hausdor¤
garante a existência de abertos V1 e V2 com V1 \ V2 = ;, L1 V1 e L2 V2 .
De…na os compactos K1 = KnV1 e K2 = KnV2 . Então, K1 [K2 = Kn(V1 \ V2 ) = K
pois V1 \ V2 = ;. Além do mais, K1 = K \ V1c K \ Lc1 e como Lc1 = K c [ U , segue
que
K1 K \ (K c [ U ) = ; [ (K \ U ) U:
Da mesma forma K2
V , concluindo a demonstração.
2
Proposição 3.12
é uma pré-medida5 -aditiva no sentido em que
0 e satisfaz as seguintes propriedades:
1.
é monotônica, isto é,
2.
é -subaditiva, isto é,
(U2 ) se U1
(U1 )
S
Un
n 1
3.
é -aditiva:
S
n 1
tos.
4
5
Un
=
P
n 1
P
n 1
0,
(;) =
U2 .
(Un ).
(Un ) se os abertos são dois a dois disjun-
Neste lema aparece novamente a necessidade de se trabalhar com espaços Hausdor¤.
O pre…xo “pré” se deve a que o conjunto dos abertos não é uma -álgebra.
56
Demonstração: Segue direto da de…nição que
0 e que
(;) = 0. Já se
U1 U2 são abertos e K U1 é compacto então K U2 . Portanto, supK U1 (K)
supK U2 (K), isto é, (U1 )
(U2 ).
Antes de mostrar a -subaditividade e aditividade dos itens (2) e (3) deve-se mostrar
o caso de união e soma …nitas.
Tome abertos U e V . Se K é compacto com K
U [ V então, pelo lema acima
existem compactos K1 U e K2 V tal que K = K1 [ K2 . Por de…nição (U )
(K1 ) e (V )
(K2 ) e portanto
(U ) +
(V )
(K1 [ K2 ) =
(K1 ) + (K2 )
(K)
pela aditividade de . Daí que supK U [V (K)
(U ) + (V ), isto é,
(U ) + (V ).
Suponha além do mais que U \ V = ; e tome compactos C1 U e C2
C1 \ C2 = ; e
(C1 ) + (C2 ) = (C1 [ C2 )
(U [ V ) :
Tomando supremo se obtém
anterior fornece (U [ V ) =
Por indução, segue
(U ) +
(U ) +
n
[
Ui
i=1
n
X
(Ui )
i=1
em que vale a igualdade se os abertos Ui são dois a dois disjuntos.
Agora tome uma sequência Un de abertos e um compacto K
existe n tal que K
n
S
V . Então,
(U [ V ), que com a desigualdade
(V )
(V ).
!
(U [ V )
S
Un . Então,
n 1
Ui . Por subaditividade
i=1
n
[
(K)
Ui
i=1
S
Tomando supremo, segue que
!
n
X
(Ui )
i=1
n 1
(Ui ) :
i 1
P
Un
X
(Un ).
n 1
Se os abertos da sequência são dois a dois disjuntos então para todo inteiro m vale
!
!
m
m
[
[
X
Un
Un =
(Un ) :
n=1
i=n
n 1
E como m é arbitrário se obtém
X
[
(Un )
n 1
mostrando a -aditividade de
n 1
Un
!
.
Agora é possível mostrar que a aplicação
2
e
satisfaz propriedades semelhantes.
57
Proposição 3.13 e é uma medida exterior no sentido em que
satisfaz as seguintes propriedades:
1.
e
(A1 )
2.
e
S
e
(A2 ) se A1
P
An
e
n 1
n 1
0,
e
e
(;) = 0 e
V2 .
(An ).
Demonstração: Segue direto da de…nição que e 0 e e (;) = 0. A monotonicidade
também é quase imedita: se A2 U com U aberto então A1 U e daí que e (A1 )
(U ). Tomando o ín…mo em relação a U A2 , segue que e (A1 )
e (A2 ).
A -subaditividade é imediata se e (An ) = 1 para algum n. Suponha então que
para todo n
1, e (An ) < 1. Nesse caso, dados " > 0 e n
1 existe um aberto
Un An tal que
"
(Un ) < e (An ) + n :
2
S
S
Então,
An
Un e portanto, pela -subaditividade de
vale
n 1
n 1
e
[
An
n 1
!
<
X
n 1
=
X
[
An
n 1
!
X
(Un )
n 1
X "
e (An ) +
2n
n 1
e
(An ) + ":
n 1
Como " > 0 é arbitrário vale a -subaditividade
e
S
An
n 1
P
n 1
A seguinte proposição estabelece a relação entre as aplicações ,
Proposição 3.14 Se U
então e (K )
(K)
G é aberto então
e (K).
e
(U ) =
e
e.
2
(V ), já que
é
(V ), por de…nição de
K
Por outro lado, se L
K é compacto então L
monotonicidade de . Portanto,
e
(An ).
(U ). Já se K é compacto
Demonstração: Se V é aberto com U
V então
(U )
monotonica. Portanto e (U ) = inf V U (V ) = (U ).
Se K é compacto e V é aberto com K V então (K)
. Portanto,
(K)
inf
(V ) = e (K) :
V
e
(K ) = sup
(L)
K e daí que
(L)
(K) pela
(K) :
L K
2
58
Corolário 3.15 Se K é compacto então
e
(K) < 1.
Demonstração: De fato, seja K0 o compacto básico de interior não vazio. Então,
[
(K0 ) = 1 pela proposição 3.10. Tome fx1 ; : : : ; xn g
K tal que K
x1 K 0 [
xn K0 . Então,
n
n
X
X
(xi K0 ) n:
e (K)
e (xi K0 )
i=1
i=1
2
Conforme já foi mencionado a medida de Haar é dada pela restrição de e à álgebra dos conjuntos de Borel. Para que essa restrição seja de fato uma medida falta
veri…car que ela é -aditiva, complementando a subaditividade da proposição 3.13.
Para isso serão usados os seguintes fatos gerais de teoria da medida.
Um subconjunto A é e -mensurável se para todo subconjunto X se tem a igualdade
c
e (X) = e (X \ A) + e (X \ A ) ;
c
que é equivalente a e (X)
e (X \ A) + e (X \ A ) já que e é subaditiva. Denote
por M a família dos conjuntos e -mensuráveis. Então, valem os seguintes resultados
que não serão demonstrados aqui6 :
1. M é uma -álgebra (; 2 M, se A 2 M então Ac 2 M e M é fechado por uniões
enumeráveis).
2.
e
é -aditiva em M, isto é,
e
S
An
=
n 1
M são dois a dois disjuntos.
P
n 1
e
(An ) se os conjuntos An 2
Esses resultados garantem que a restrição de e a M é uma medida. Além do mais
essa medida é completa no sentido em que se e (A) = 0 e B
A então B 2 M e
(B)
=
0.
Isso
porque
A
é
-mensurável
se
(A)
=
0,
pois
dado
um conjunto X a
e
e
e
monotonicidade de e garante que
e
(X) =
e
(A) +
e
(X)
e
(A \ X) +
e
(X \ Ac ) :
Além do mais se B A e e (A) = 0 então e (B) = 0 novamente pelo fato de que e
é monotonica.
Em vista desses resultados para concluir a construção da medida de Haar basta
veri…car subconjuntos de Borel são e -mensuráveis, o que é feito a seguir.
Proposição 3.16 Os conjuntos Borelianos são
6
Veja, por exemplo a seção 11 de Halmos [18].
e -mensuráveis.
59
Demonstração: Basta mostrar que os abertos são mensuráveis, já que M é uma
-álgebra. Seja U um aberto e tome um subconjunto arbitrário X. Se e (X) = 1
c
então a desigualdade e (X)
e (X \ U ) + e (X \ U ) é satisfeita trivialmente.
Assuma portanto que e (X) < 1 e tome " > 0. Então, existe um aberto V
X
tal que e (X)
(V ) < e (X) + ". Tome um compacto C
V \ U tal que
(V \ U ) " < (C)
(V \ U ). Tome também um compacto D
V \ C c tal
que (V \ C c ) " < (D)
(V \ C c ). Então, V \ U c V \ C c pois C U , daí
que
c
c
"
" < (D)
e (V \ U )
e (V \ C )
pois
e
(V \ C c ) =
e
(V \ C c ). Portanto,
(X \ U ) +
e
(X \ U c )
já que C \ D = ;, pois D
aberto (V \ U ) [ (V \ C c )
(V \ U ) [ (V \ C c )
(V ) <
e
(V \ U ) + e (V \ U c ) 2"
(C) + (D) = (C [ D)
e
D
V \ C c . Mas, C [ D é um compacto contido no
V . Portanto, pela de…nção de
segue que
(C [ D)
Mas pela escolha de V ,
2"
e
(V ) :
(X) + ". Essas desigualdades mostram que
(X \ U ) +
e
(X \ U c ) <
e
(X) + 3"
e como " > 0 é arbitrário, segue a desigualdade desejada
e (X), mostrando que o aberto U é e -mensurável.
e
(X \ U ) +
e
(X \ U c )
2
Por …m as propriedades enunciadas no teorema 3.1 foram veri…cadas ao longo da
construção. São elas:
1.
(K) < 1 se K é compacto pelo corolário 3.15.
2. Se U 6= ; é aberto então (U ) > 0. De fato, seja K0 o compacto escolhido para
normalizar a medida de Haar. Então, (K0 )
(K0 ) = 1 pela proposição 3.14.
Dado um aberto U 6= ; existe fx1 ; : : : ; xn g K0 tal que K0 x1 U [
[ xn U ,
de onde se tira que
(K0 )
n
X
i=1
o que mostra que
(x1 U ) =
n
X
(U ) = n (U )
i=1
(U ) > 0.
3. Regularidade exterior: para um Boreliano A, (A) = inf (U ) com A
aberto. Essa é a própria de…nição de e = .
U eU
60
4. Regularidade interior: se U é aberto então (U ) = sup (K) com K
U
compacto. De fato, (U ) = (U ) = supK U (K). Mas pela proposição 3.14
vale a desigualdade e (K )
(K)
(K). Daí que
e (K) =
(U ) = sup
(K)
sup
K U
(K)
(U )
K U
pois (K)
(U ) se K
U . Isso mostra que os abertos são internamente
regulares. Porém, um teorema geral em teoria da medida garante que uma medida
é regular se os compactos são externamente regulares e os abertos internamente
regulares.7 Portanto, é de fato uma medida regular.
3.3
Unicidade
Sejam
1
e
2
medidas de Haar invariantes à esquerda. Então,
=
1
+
2
também é uma medida de Haar invariante à esquerda. As medidas 1 e 2 são absolutamente continuas em relação à , pois se A é um conjunto Boreliano com (A) = 0
então 1 (A) + 2 (A) = 0, o que implica que 1 (A) = 2 (A) = 0.
Portanto, pelo teorema de Radon-Nikodym existe uma função mensurável (derivada
de Radon-Nikodym) f : G ! R+ tal que
1
(A) =
Z
f (x) (dx)
A
para todo conjunto mensurável A.
Dito isso, a ideia da demonstração consiste em veri…car que f é (quase sempre)
constante, pois segue daí que 1 é um múltiplo de . O mesmo argumento se aplica a
2 o que garante que as medidas são múltiplas umas das outras.
Para provar que f é quase sempre constante seja F (x; y) = f (y 1 x). Se A; B G
são conjuntos mensuráveis então
Z
F (x; y) (
) (d (x; y)) =
A B
Z
B
=
Z
B
=
Z
Z
f y 1x
(dx)
(dy)
A
Z
f (x) (dx)
(dy)
A
f (x) (
) (d (x; y)) :
A B
7
Veja, por exemplo a seção 52 de Halmos [18] e mais especi…camente o teorema F.
3.4. Função modular
61
Como A e B são arbitrários essa igualdade implica que o conjunto N = f(x; y) :
F (x; y) 6= f (x)g satisfaz
(N ) = 0, isto é,
Z
0 =
(N ) =
(
) (d (x; y))
N
Z Z
=
(dx)
N (x; y) (dy)
G
G
Z
(Nx ) (dx)
=
G
onde Nx = (fxg G) \ N . Isso implica que para -quase todo x vale (Nx ) = 0. Mas,
(x; y) 2 Nx se, e só se, f (y 1 x) 6= f (x). Portanto, se (Nx0 ) = 0 então f (y 1 x0 ) =
f (x0 ) para todo y a menos de um conjunto de medida nula (o próprio Nx ). Daí que
f (x) é quase sempre constante, o que mostra que 1 = a1 para a1 > 0.
Por …m, os mesmos argumentos mostram que 2 = a2 , a2 > 0, concluindo que
1
1 = a 2 , a = a1 a2 .
3.4
Função modular
A função modular é uma função (na verdade um homomor…smo) em G a valores reais
que compara as medidas de Haar invariantes à esquerda com as invariantes à direita.
Para de…ni-la seja uma medida de Haar invariante à esquerda no grupo topológico
G Hausdor¤ e localmente compacto. Se g 2 G então (Dg ) ((Dg ) (A) = (Ag 1 ))
também é uma medida de Haar invariante à esquerda, pois as translações à esquerda
comutam com a translações à direita. Pela unicidade da medida de Haar existe um
real (g) > 0 tal que
(Dg )
=
(g) :
Por de…nição (g) é a função modular de G. Essa de…nição não depende da
escolha de pois se = a , a > 0, então (Dg ) (a ) = a (Dg ) ( ) = (g) .
Se o grupo G é unimodular então a medida de Haar invariante à esquerda também
é invariante à direita e assim (g) = 1 para todo g. Reciprocamente, se é constante
= 1 então é invariante à direita e o grupo é unimodular.
A função modular pode ser calculada a partir de um único conjunto Borel mensurável A tal que 0 < (A) < 1 (por exemplo, A pode ser um compacto de interior não
vazio). Isso porque por de…nição (Ag 1 ) = (g) (A) e, portanto,
(g) =
Ag
1
= (A) :
Esta igualdade mostra também que (Ag 1 ) > 0 se 0 < (A) < 1, já que (g) > 0.
Por essa forma de escrever se obtém a seguinte propriedade de homomor…smo de .
Proposição 3.17
sitivos.
é homomor…smo a valores no grupo multiplicativo dos reais po-
62
Demonstração: Se g; h 2 G e A é mensurável tal que 0 <
(gh) =
(Ah 1 g 1 )
=
(A)
(A) < 1 então
(Ah 1 g 1 ) (Ah 1 )
=
(Ah 1 )
(A)
(g)
(h) :
2
A seguir será demonstrado que
topológico.
é contínua. Para isso será usado o seguinte lema
Lema 3.18 No grupo topológico G sejam K um compacto e U um aberto tal que K
U . Então, existe um aberto V com 1 2 V tal que KV
U.
Demonstração: Se x 2 K então 1 2 x 1 U e portanto existe um aberto Vx com 1 2 Vx
tal que Vx Vx2 x 1 U . Como os abertos xVx recobrem K existe fx1 ; : : : ; xn g K
tal que K x1 Vx1 [
[ xn Vxn . O aberto V = Vx1 \
\ Vxn , que contém 1, satisfaz
KV
U . Para ver isso tome y 2 K. Então, existe i = 1; : : : ; n tal que y 2 xi Vxi .
Portanto,
xi Vx2i U
yV
xi Vxi V
pois Vx2i
xi 1 U . Como y 2 K é arbitrário isso mostra que KV
Proposição 3.19 A função modular
U.
2
é contínua e, portanto, mensurável.
Demonstração: Como
é homomor…smo basta mostrar sua continuidade no elemento neutro 1. No entanto, como
é homomor…smo é su…ciente mostrar a semicontinuidade superior em 1, isto é, mostrar que para todo > 0 existe uma vizinhança
V 2 V (1) tal que se g 2 V então (g) < 1 + . De fato, a existência da vizinhança
V garante que para todo g na vizinhança simétrica W = V \ V 1 vale (g) < 1 + .
Como g 1 2 W , vale também que (g) 1 = (g 1 ) < 1 + , isto é, (g) > 1= (1 + ).
Daí que dado " > 0, se 0 < < minf"; "= (1 ")g e g 2 W então 1 " < (g) < 1 + ",
mostrando que é contínua em 1.
Para mostrar a semi-continuidade superior tome um compacto K
G de interior não vazio. Como 0 < (K) < 1, a função modular é dada por (g) =
(Kg 1 ) = (K) e a semi-continuidade superior em 1 se traduz na a…rmação de que
para todo " > 0 existe uma vizinhança V 2 V (1) tal que se g 2 V então (Kg 1 ) <
(K) + ".
Agora pode-se aplicar a regularidade exterior de . Dado " > 0 seja U um aberto
com K
U tal que (U ) < (K) + ". Pelo lema anterior existe V 2 V (1) tal que
1
KV
U . Então, Kg 1 U para todo g 2 V e daí que
Kg
1
(U ) <
(K) + "
se g 2 V , mostrando a semi-continuidade superior e concluindo a demonstração.
2
Uma outra forma de ver a função modular
é derivada de Radon-Nikodym da
medida de Haar b invariante à direita à medida invariante à esquerda .
3.4. Função modular
63
Proposição 3.20 Seja uma medida de Haar invariante à esquerda. Então,
derivada de Radon-Nikodym de b =
em relação a .
é
Demonstração: Fixe um conjunto mensurável A tal que 0 < (A) < 1 de tal
forma que (g) = (Ag 1 ) = (A). Essa igualdade mostra, em particular que a função
g 7! (Ag 1 ) é contínua, já que
é contínua. Por essa continuidade, se K
G é
compacto então existe a integral
Z
Ax 1 (dx) :
K (x)
G
Essa integral é determinada pela seguinte sequência de igualdades
Z
Z
Z
1
Ax
(dx) =
K (x)
K (x)
Ax 1 (y) (dy) (dx)
G
ZG
ZG
=
A (yx) (dy) (dx)
K (x)
G
G
Z Z
=
K (x) A (yx) (dx) (dy)
G
G
pelo teorema de Fubini. Usando a invariância à esquerda de e trocando novamente
a ordem de integração essa última integral …ca sendo
Z
Z
Z
Z
1
(dy) (dx) =
K (yx) b (dy) (dx)
A (x)
K y x
A (x)
G
G
G
G
Z
Z
=
f (y) b (dy) (dx) ;
A (x)
G
pela invariância à direita de b. Portanto,
Z
Ax 1
K (x)
(dx) =
G
de onde se conclui que
b (K) =
Z
=
1
(A)
Z
K
K
(x)
G
(A) b (K)
Ax
1
(dx)
G
(x)
(x) (dx) :
Z
(x) (dx) :
G
Seja
0
a medida de…nida por
0
(B) =
B
Então, 0 é regular, pois é contínua e coincide com b nos compactos. Como b também é regular, deve-se ter b = 0 , concluindo a demonstração.
2
64
Por …m um comentário sobre grupos de Lie: para esses grupos a presença da estrutura diferenciável permite uma construção bem mais simples das medidas de Haar
via integração em relação a formas diferenciais. Nesse caso as funções modulares …cam
de…nidas a partir de determinantes de aplicações lineares dadas pela representação
adjunta. (Veja seção 5.6 do capitulo 5.) A construção via formas volume fornecerá
diversos exemplos concretos de medidas de Haar.
3.5
Exercícios
1. Sejam G e H grupos localmente compactos com medidas de Haar G e H , respectivamente. Mostre que G
H. Generalize
H é uma medida de Haar em G
para um produto …nito de grupos topológicos.
2. Seja G um grupo localmente compacto e de Hausdor¤ com medida de Haar
invariante à esquerda . Dado um subgrupo compacto K
G denote por :
1
G ! G=K a projeção canônica e de…na
(A) = (
(A)) para um conjunto
Boreliano A G=K (considerado com a topologia quociente). Mostre que
é uma medida bem de…nida sobre os Borelianos de G=K invariante pela ação de
G. Em particular, se K é normal então
é uma medida de Haar em G=K.
3. Sejam K um grupo compacto Hausdor¤ com medida de Haar e : K ! Gl (V )
uma representação contínua de K no espaço vetorial de dimensão …nita V . Tome
v 2 V e seja w 2 V dado por
Z
( (k) v) (dk) :
w=
K
Mostre que w é um ponto …xo de K, isto é (k) w = w para todo k 2 K.
Use essa informação para mostrar que se a representação é irredutível (isto é, os
únicos subespaços invariantes são f0g e V ) então para todo v 2 V ,
Z
( (k) v) (dk) = 0:
K
4. Sejam e duas medidas de probabilidade sobre os Borelianos de um grupo
topológico G. O produto de convolução
entre
e é de…nido por
=p (
) onde p : G G ! G é o produto em G e
é a medida produto
G é um conjunto Boreliano então
(A) =
Rem G 1G. Mostre que se A
(g
A)
(dg).
Mostre
também
que
se
é
medida
de
Haar
no
grupo
compacto
G
G então
= .
5. Seja K um grupo compacto Hausdor¤ com medida de Haar . Este exercício
indica uma demonstração de que o conjunto C (K) das funções contínuas em K é
denso no espaço de Hilbert L2 (K; ). (Esse fato não é restrito à medida de Haar
mas vale para espaços com medida regular.) Suponha por
R absurdo que C (K) 6=
2
2
L (K; ) e veri…que que existe f 2 L (K; ) tal que K f (x) g (x) (dx) = 0
para toda g 2 C (K).
3.5. Exercícios
65
(a) Sejam C K
T um compacto e An , n 2 N e uma sequência de abertos em K
tal que C = An . Use o lema de Urysohn para construir uma sequência de
n
funções contínuas fn que converge pontualmente à função característica C
de C.
R
(b) Use o item anterior (e a regularidade de ) para mostrar que C f (x) (dx) =
0 para todo compacto C.
R
(c) Use a regularidade interior de para mostrar que A f (x) (dx) = 0 para
conjunto Boreliano A.
R
(d) Mostre que f = 0 quase sempre, via as igualdades ff <0g f (x) (dx) = 0 =
R
f (x) (dx).
ff >0g
66
Capítulo 4
Representações de grupos
compactos
Neste capítulo serão provados alguns resultados sobre representações de grupos compactos. A maior parte das demonstrações envolve integração em relação à medida de
Haar, que é …nita. Por isso se assume de uma vez por todas que os grupos são de
Hausdor¤.
O resultado principal é o teorema de Peter-Weyl, que juntamente com as relações
de ortogonalidade de Schur, generaliza a construção das séries de Fourier sobre S 1 .
4.1
Representações
Um grupo compacto (Hausdor¤) K é unimodular, pois a função modular : K ! R+
é um homomor…smo contínuo. Portanto, sua imagem (K) é um subgrupo compacto
do grupo multiplicativo R+ . Como o único subgrupo compacto de R+ é f1g, se conclui
que (K) = f1g e daí que
é constante = 1. Por isso a medida de Haar
é
bi-invariante e será escolhida sempre com a normalização (K) = 1.
O uso de técnicas de integração em grupos compactos é grandemente favorecido pelo
fato de que funções contínuas são integráveis. Isso porque se f : K ! R é contínua
então f é limitada e, portanto as integrais de sua parte positiva f + (x) = maxff (x) ; 0g
e de sua parte negativa f (x) = minff (x) ; 0g são …nitas. Daí que
Z
f (x) (dx) =
Z
+
f (x) (dx)
Z
f (x) (dx)
é bem de…nida. Da mesma forma funções contínuas a valores em espaços vetoriais reais
de dimensão …nita são integráveis.
Em muitas situações a integração em relação à medida de Haar num grupo compacto
é utilizada para obter objetos invariantes pela ação do grupo. Por exemplo, seja K um
grupo compacto e : K ! Gl (V ) uma representação de K no espaço vetorial real
67
68
Capítulo 4. Representações de grupos compactos
de dimensão …nita V . Se é contínua então para todo v0 2 V a aplicação f : K ! V
de…nida por f (k) = k v0 é contínua e portanto integrável. Isso signi…ca que
Z
Z
vinv =
f (k) (dk) =
(k) v0 (dk)
K
K
é um vetor bem de…nido em V . Esse vetor é …xado por todo g 2 K. De fato,
Z
Z
(k) v0 (dk) =
(gk) v0 (dk) ;
(g) vinv = (g)
K
K
pela linearidade da integral. Portanto,
Z
(g) vinv =
(k) v0 (Eg )
(dk)
K
vinv
=
pois (Eg )
= . Essa invariância signi…ca que vinv é auto-vetor associado ao autovalor 1 de todo (g),
R g 2 K. Daí se conclui, por exemplo que se algum (g) não tem
auto-valor 1 então K (k) v0 (dk) = 0 para todo v0 2 V .
O mesmo método de integração é usado na proposição a seguir, que é fundamental
na teoria de representações de grupos compactos.
Proposição 4.1 Sejam K um grupo compacto Hausdor¤ e
: K ! Gl (V ) uma
representação contínua de K no espaço vetorial real (respectivamente complexo) V
de dimensão …nita. Então, existe um produto interno (respectivamente um produto
Hermitiano) ( ; ) em V , que é K-invariante, isto é, ( (k) u; (k) v) = (u; v) para todo
k 2 K, u; v 2 V .1
Demonstração: Seja a medida de Haar de K normalizada por (K) = 1. Tome
um produto interno qualquer B ( ; ) em V e de…na a aplicação ( ; ) : V V ! R por
Z
(u; v) =
B ( (k) u; (k) v) (dk) :
(4.1)
K
Essa integral é bem de…nida pelo fato de ser uma medida …nita e a função k 2 K 7!
B ( (k) u; (k) v) 2 R (com u e v …xados) ser contínua e, portanto, integrável. Como
B é bilinear e simétrica o mesmo vale para ( ; ). Se u = v então o integrando de (4.1)
B ( (k) u; (k) u) > 0 para todo k 2 K. Isso implica que (u; u) 0 e se u 6= 0 então
(u; u) > 0 pois B ( (k) u; (k) u) é contínua como função de k. Portanto, ( ; ) é de
fato um produto interno em V . Para ver que ele é K-invariante, tome g 2 K. Como
(kg) = (k) (g), segue que
Z
( (g) u; (g) v) =
B ( (kg) u; (kg) v) (dk)
ZK
=
B ( (k) u; (k) v) (Dg )
(dk) :
K
1
O produto interno ou o produto Hermitiano são pontos …xos no espaço das forma quadráticas ou
das formas sesquilineares.
4.1. Representações
69
Mas, como é invariante por translações à direita, a última integral se reduz ao segundo
membro de (4.1), o que mostra que ( (g) u; (g) v) = (u; v), concluíndo a demonstração
no caso real. O caso complexo é semelhante.
2
Em outras palavras a proposição acima assegura que qualquer representação de
dimensão …nita de um grupo de Lie compacto assume valores no grupo O (n) ou U (n)
das isometrias de um produto interno ou de um produto Hermitiano.
O fato de que os elementos (g) são isometrias garante que W ? é um subespaço
K-invariante se W for K-invariante, isto é, (k) W
W para todo k 2 K. De fato,
?
se u 2 W , v 2 W e k 2 K então
( (k) v; u) = v;
k
1
u =0
já que (k 1 ) u 2 W . Como u 2 W é arbitrário segue que (k) v 2 W ? . Dessa
observação se obtém a seguinte decomposição do espaço da representação.
Proposição 4.2 Sejam K um grupo compacto Hausdor¤ e
: K ! Gl (V ) uma
representação contínua de K no espaço vetorial real ou complexo V . Então, V se
decompõe numa soma direta
V = V1
Vn
onde cada subespaço Vi é invariante por K (isto é, (k) W
W se k 2 K) e irredutível (isto é, não admite subespaços invariantes além dos triviais f0g e Vi ).
Demonstração: Considere o caso real e tome um produto interno K-invariante ( ; )
em V . Se V é irredutível não há nada a demonstrar (a decomposição contém um único
termo). Caso contrário, seja f0g =
6 W
V um subespaço invariante por K. Então,
W ? também é invariante.
Se W e W ? são irredutíveis então a decomposição desejada é V = W W ? . Caso
contrário –da mesma forma que V –W (ou W ? ) se escreve como soma direta de subespaços invariantes e ortogonais entre si. Decompondo dessa forma, sucessivamente, os
subespaços invariantes se chega à decomposição de V em invariantes irredutíveis, já
que em cada passo as dimensões dos subespaços diminuem.
2
Uma ferramenta útil em teoria de representações é o chamado lema de Schur. Ele
diz respeito ao centralizador de subconjuntos de transformações lineares de um espaço
vetorial V e se aplica, em particular, a representações de grupos.
Sejam A e B transformações lineares em End (V ) que comutam entre si. Então
A (Bv) = BAv = 0 se Av = 0 e Bw = B (Av) = A (Bv) se w = Av. Isso signi…ca que
ker A e im A são invariantes por B.
Dito isso tome um subconjunto
End (V ) tal que os únicos subespaços invariantes por sejam os triviais f0g e V . Se L 2 End (V ) comuta com os elementos de
então ker L e im L são subespaços invariantes por . Como é irredutível, segue
que as possibilidades para ker L e im L são f0g e V , o que signi…ca que L = 0 ou L é
bijetora.
70
Suponha, além do mais, que L tem um auto-vetor em V , associado a um auto-valor
no corpo de escalares de V . Então, L
id também comuta com todos os elementos
de . O que implica, no caso irredutível, que L
id é 0 ou bijetora. No entanto,
L
id não pode ser bijetora, pois L tem auto-vetores. Daí que L
id = 0, isto
é, L =
id é uma transformação escalar. Esse é o resultado do lema de Schur:
Proposição 4.3 Sejam V um espaço vetorial sobre K e
End (V ) um conjunto
irredutível de transformações lineares de V . Seja L 2 End (V ) que comuta com todos
os elementos de . Suponha que L tem um auto-vetor em V associado ao auto-valor
2 K. Então, L = id. Em particular, se K é algebricamente fechado e dim V < 1,
então o centralizador de em End (V ) é o subespaço das transformações escalares.
Uma consequência imediata do lema de Schur é que qualquer representação irredutível de um grupo abeliano G (não necessariamente compacto) num espaço vetorial
complexo tem dimensão no máximo 1. Isso porque (g) = (g) id para todo g 2 G e
daí que qualquer subespaço é invariante e assim a única possibilidade de ser irredutível
é quando a dimensão é 1 (ou 0).
Para representações em espaços reais em geral os elementos do centralizador não
são escalares, como mostra o exemplo da representação canônica de S 1 em R2 dada
por
cos
sen
7!
:
(4.2)
sen
cos
A partir do lema de Schur se obtém o seguintes resultados sobre representações de
grupos compactos.
Proposição 4.4 Sejam K um grupo compacto Hausdor¤ e : K ! Gl (V ) uma representação irredutível e contínua de K no espaço vetorial real (respectivamente complexo)
V . Se ( ; )1 e ( ; )2 são produtos internos (respectivamente produtos Hermitianos) invariantes então ( ; )1 = ( ; )2 para algum > 0.
Demonstração: Em ambos os casos existe P 2 End (V ) tal que (u; v)1 = (P u; v)2 ,
sendo que P é simétrica em relação a ( ; )2 , no caso real e Hermitiana, no caso complexo.
Em qualquer dos casos os auto-valores de P são reais. As seguintes igualdades valem
para todo k 2 K e u; v 2 V , já que os dois produtos são invariantes
(P u; v)2 = (u; v)1 = ( (k) u; (k) v)1
= (P (k) u; (k) v)2 =
k
1
P (k) u; v
2
:
Portanto, P = (k 1 ) P (k), isto é, P comuta com (k), k 2 K. Pelo lema de Schur
P =
id, isto é, ( ; )1 = ( ; )2 , concluíndo a demonstração.
2
Consequentemente o conjunto dos produtos internos ou Hermitianos invariantes
num representação irredutível é parametrizado por R+ . Já numa representação arbitrária de dimensão …nita de um grupo compacto esse conjunto é parametrizado por
4.1. Representações
71
Rn+ onde n é o número de componentes irredutíveis, pois os produtos internos ou Hermitianos invariantes são obtidos por somas diretas de suas restrições invariantes nas
componentes irredutíveis.
Sejam agora 1 e 2 representações de K nos espaços V1 e V2 , respectivamente.
Tome uma transformação linear L : V1 ! V2 que comuta as representações, isto é,
L 1 (k) = 2 (k) L para todo k 2 K. Então, como no lema de Schur ker L e im L
são invariantes por K (ou melhor, pelas representações 1 e 2 , respectivamente). Daí
que se 1 é irredutível L = 0 ou L é injetora e se 2 é irredutível então L = 0 ou
L é sobrejetora. Se ambas as representações são irredutíveis então L = 0 ou L é
isomor…smo. Nesse último caso se diz que as representações são equivalentes.
O método de integração em relação à medida de Haar fornece transformações lineares que comutam representações.
Proposição 4.5 Sejam 1 e 2 representações do grupo compacto K nos espaços V1 e
V2 sobre R ou C, de dimensão …nita. Para qualquer transformação linear L0 : V1 ! V2
de…na Linv : V1 ! V2 por
Z
1
Linv =
L0 1 (x) (dx) :
(4.3)
2 x
K
Então, Linv é linear e satisfaz Linv 1 (k) = 2 (k) Linv para todo k 2 K. Além do mais
se 1 = 2 = e V1 = V2 = V então trLinv = trL0 .
Demonstração: A integral em (4.3) é bem de…nida pois o integrando é uma aplicação
contínua a valores no espaço L (V1 ; V2 ) das transformações lineares V1 ! V2 . Se k 2 K
então
Z
1
L0 1 (xk) (dx)
Linv 1 (k) =
2 x
ZK
1
=
L0 1 (xk) (dx)
2 (k) 2 (xk)
K
=
2
(k) Linv
pela invariância à direita de , mostrando que Linv comuta as representações.
Para ver a igualdade dos traços seja fe1 ; : : : ; en g uma base ortonormal de V em
relação ao produto interno (ou Hermitiano) invariante ( ; ). Então,
X
XZ
trLinv =
(Linv ei ; ei ) =
x 1 L0 (x) ei ; ei (dx)
=
Zi X
K
i
i
K
(L0 (x) ei ; (x) ei ) (dx) =
Z
(trL0 ) (dx) ;
K
pois f (x) e1 ; : : : ; (x) en g também é base ortonormal para qualquer x 2 K. A última
integral é trL0 , concluíndo a demonstração.
2
72
Essa proposição juntamente com o lema de Schur mostra que se 1 e 2 são representações irredutíveis não equivalentes então a integral de (4.3) se anula. Por outro
lado, se 1 = 2 = é irredutível e V é um espaço complexo então a integral é um
escalar Linv =
id. No caso real a integral pode não ser um escalar como mostra o
seguinte exemplo.
Exemplo: Tome a representação canônica de S 1 em R2 dada em (4.2) e a conjugação
cos
sen
sen
cos
0 1
0 0
cos
sen
sen
cos
=
sen cos
sen2
cos2
sen cos
:
Sua integral em relação à medida de Haar normalizada é
1
2
Z
0
2
cos2
sen cos
sen cos
sen2
d =
0
1=2
1=2 0
que não é matriz escalar.
4.2
(4.4)
2
Relações de ortogonalidade de Schur
Seja L2 (K; ) o espaço das funções f : K ! C mensuráveis e quadraticamente integráveis em relação à medida de Haar , que é um espaço de Hilbert com o produto
Hermitiano
Z
f (x) g (x) (dx) :
(f; g) =
K
A seguir a proposição 4.5 será utilizada para mostrar as chamadas relações de
ortogonalidade de Schur, que dão os valores do produto Hermitiano de L2 (K; ) para
certas funções de…nidas por representações de K.
Seja : K ! Gl (V ) uma representação contínua de dimensão …nita. Um coe…ciente matricial de é uma função do tipo
fu;v (k) = ( (k) u; v)
onde ( ; ) é o produto (interno ou Hermitiano) invariante por K e u; v 2 V . A função
assume valores reais ou complexos, dependendo se V é real ou complexo. A razão desse
nome é que se fe1 ; : : : ; en g é uma base ortonormal de V então as entradas da matriz
de (k) em relação a essa base são dadas por fei ;ej (k).
As relações de ortogonalidade de Schur determinam integrais do tipo
Z
(fu1 ;u2 ; fv1 ;v2 ) =
fu1 ;u2 (k) fv1 ;v2 (k) (dk)
K
onde u1 ; u2 e v1 ; v2 são elementos de espaços de representações irredutíveis do grupo
compacto K. Essas relações de ortogonalidade são enunciadas no resultado a seguir.
4.2. Relações de ortogonalidade de Schur
73
Proposição 4.6 Sejam 1 e 2 representações irredutíveis K no espaços vetoriais
complexos V1 e V2 , respectivamente.
1. Se
1
e
2
não são equivalentes então
Z
fv1 ;v2 (k) fu1 ;u2 (k) (dk) = 0
K
para todo u1 ; u2 2 V1 e v1 ; v2 2 V2 .
2. Se
1
=
2
e V1 = V2 = V então
=
Z
fv1 ;v2 (k) fu1 ;u2 (k) (dk) =
K
(v1 ; u1 ) (v2 ; u2 )
dim V
(4.5)
para u1 ; u2 ; v1 ; v2 2 V .
Demonstração: Para obter a primeira das integrais, tome L0 : V1 ! V2 como sendo
L0 (w) = (w; u2 ) v2 onde ( ; ) é o produto Hermitiano invariante em V1 . Então, para
k 2 K e w = u1 2 V1 vale
k
2
1
L0
1
(k) u1 = ( 1 (k) u1 ; u2 )
= fu1 ;u2 (k) 2 k
2
1
k 1 v2
v2 :
Tomando o produto Hermitiano com v1 2 V2 se obtém
v1 ;
2
k
1
L0
1
= fu1 ;u2 (k) v1 ;
(k) u1
= fu1 ;u2 (k) (
2
2
k
1
v2
(k) v1 ; v2 ) ;
de onde segue a fórmula
v1 ;
2
k
1
L0
1
(4.6)
(k) u1 = fv1 ;v2 (k) fu1 ;u2 (k):
Pela proposição 4.5 e o lema de Schur
Z
1
L0
2 k
1
(k) u1 (dk) = 0
K
daí que
Z
fv1 ;v2 (k) fu1 ;u2 (k) (dk) =
K
Z
v1 ;
2
k
1
L0
1
(k) u1
(dk) = 0
K
mostrando a primeira das relações de ortogonalidade de Schur.
No caso de uma única representação irredutível, o mesmo L0 fornece a mesma
expressão (4.6) para fv1 ;v2 (k) fu1 ;u2 (k). O que muda agora é que
Z
1
Linv =
L0 1 (k) u1 (dk) =
id
2 k
K
74
pelo lema de Schur. Portanto, trLinv =
trL0 = (v2 ; u2 ) daí que
Linv =
dim V . Mas, pela proposição 4.5, trLinv =
id =
(v2 ; u2 )
id:
dim V
Portanto,
Z
fv1 ;v2 (k) fu1 ;u2 (k) (dk) =
Z
v1 ;
2
k
1
L0
1
(k) u1
(dk)
K
K
= (v1 ; Linv u1 )
=
(v1 ; u1 ) (v2 ; u2 )
dim V
concluíndo a demonstração.
2
No caso de representações reais a primeira das relações de Schur (representações
distintas) continua valendo com a mesma demonstração. Isso porque a aplicação L :
V1 ! V2 , obtida pela integração da conjugação por L0 , se anula se as representações não
são equivalentes. No entanto, a segunda das relações, que usa o fato de que L =
id
pode não valer no caso real. O seguinte exemplo ilustra isso.
Exemplo: Tome a representação canônica de S 1 em R2 e L0 (w) = (w; e2 ) e1 onde
( ; ) e fe1 ; e2 g são a base canônica e o produto interno canônico de R2 . A matriz de
L0 é dada por
0 1
L0 =
0 0
e o cálculo em (4.4) mostra que
0
1=2
1=2 0
L=
não é matriz escalar. Assim como na demonstração da proposição 4.6 vale
v;
2
k
1
L0
1
(k) u = fv;e1 (k) fu;e2 (k)
para todos u; v 2 R2 . Portanto, se v = (x1 ; x2 ) e u = (y1 ; y2 ) então
Z
fv;e1 (k) fu;e2 (k) (dk) = (v; Lu)
K
=
1
(x1 y2
2
x2 y 1 ) ;
que não é identicamente nulo. No entanto, o segundo membro de (4.5) é dado, nesse
caso, por
(v; u) (e1 ; e2 )
= 0:
dim V
2
4.2. Relações de ortogonalidade de Schur
75
Agora pode-se de…nir o carácter de uma representação de dimensão …nita : G 2
Gl (V ), que é a função
de…nida em G valores no corpo de escalares de V dada por
(g) = tr ( (g)) :
Os caracteres das representações de grupos são úteis para distinguir representações
não equivalentes. Isso por que se i : G ! Gl (Vi ), i = 1; 2, são representações
equivalentes então 1 = 2 . De fato, se P : V1 ! V2 é um isomor…smo que comuta
as representações então
2
(g) = tr P
1
(g) P
1
= tr (
1
(g)) =
1
(g) :
Uma das consequências das relações de ortogonalidade de Schur é que os caracteres
das representações complexas dos grupos compactos distinguem completamente essas
representações. Para discutir essa questão tome em primeiro lugar uma representação
complexa irredutível : K ! Gl (V ) do grupo compacto K. Se ( ; ) é um produto
Hermitiano invariante e fe1 ; : : : ; en g é uma base ortonormal então
(k) =
n
X
( (k) ei ; ei ) =
i=1
isto é,
n
X
fei ;ei (k) ;
i=1
é uma soma de funções entrada de matriz. Das relações (4.5) segue que
Z
K
j
e, portanto
2
(k) j
(dk) =
n Z
X
fei ;ei (k) fej ;ej (k) (dk) =
K
i;j=1
Z
K
j
n
1 X
j (ei ; ei ) j2
dim V i=1
(k) j2 (dk) = 1:
(4.7)
Em particular,
6= 0 se dim V > 0. Por outro lado, se 1 : K ! Gl (V1 ) é uma outra
representação irredutível de K, que não é equivalente a então a primeira das relações
de Schur mostra que
Z
(k) 1 (k) (dk) = 0;
(4.8)
K
o que garante que 1 6= .
Portanto, duas representações irredutíveis complexas do grupo compacto K são
equivalentes se, e só se, seus caracteres coincidem.
O mesmo pode-se dizer de representações que não são necessariamente irredutíveis.
Para ver isso tome uma representação : K ! Gl (V ) e tome uma decomposição
V = W1
Wn
em subespaços invariantes e irredutíveis por K. Denote por
Então, por de…nição
= 1+
+ n:
i
a restrição de
a Wi .
76
As fórmulas (4.7) e (4.8) mostram que para todo i = 1; : : : ; n vale
Z
(k) i (k) (dk) = Ni
K
onde Ni é o número de componentes irredutíveis de V equivalentes a Wi (isto é, o
número de vezes que i “aparece”R em ). Da mesma forma, se 1 : K ! Gl (V1 )
é outra representação de K então K (k) i (k) (dk) é o número de vezes que i
aparece em 1 . Portanto, se 1 =
então número de vezes em que uma representação
irredutível aparece nas representações é o mesmo. Isso implica que as representações
são equivalentes.
Em resumo, se obtém o seguinte critério para que duas representações sejam equivalentes, que é amplamente utilizado na teoria de representações de grupos compactos.
Proposição 4.7 Seja K um grupo compacto Hausdor¤. Então, duas representações
complexas de dimensão …nita 1 e 2 de K são equivalentes se, e só se, seus caracteres
e 2 são iguais.
1
Exemplo: Seja K = S 1 = fz 2 C : jzj = 1g é compacto e abeliano. Por ser abeliano
o lema de Schur garante que suas representações irredutíveis tem dimensão 1 e são
dadas por homomor…smos a valores no grupo multiplicativo C = C n f0g. Se é
uma representação irredutível então o seu carácter coincide com pois o espaço da
representação tem dimensão 1.
Um homomor…smo contínuo : S 1 ! C assume valores em S 1 pois sua imagem
é um subgrupo compacto. Um homomor…smo desses é da forma (eit ) = ei (t) onde
: R ! R é uma aplicação linear tal que (Z)
Z, isto é, (t) = nt com n 2 Z.
Por isso as representações, assim como os caracteres, são da forma (z) = z n , z 2 S 1 . 2
4.3
Representações regulares
Serão consideradas aqui as representações, por translações à esquerda e à direita, de
um grupo K nos espaços funcionais C (K), das funções contínuas f : K ! C, e
L2 (K) = L2 (K; ) das funções f : K ! C mensuráveis e quadraticamente integráveis
em relação à medida de Haar . Como em todo este capítulo K é um grupo compacto
Hausdor¤.
O espaço C (K) é de Banach com a norma
kf k1 = sup jf (k) j
k2K
enquanto que L2 (K) é um espaço de Hilbert com o produto Hermitiano
Z
(f; g) =
f (x) g (x) (dx) ;
K
4.3. Representações regulares
77
cuja norma é denotada por k k2 . Como K é compacto, toda função contínua é integrável
o que implica que C (K) L2 (K). Na verdade C (K) é denso em L2 (K) (na topologia
desse último). Isso se deve a que a medida de Haar é regular e em espaços compactos
com medidas regulares o conjunto das funções contínuas é denso em L2 (veja o exercício
5 do capítulo 3).
As translações à esquerda e à direita de f : K ! C por k 2 K são de…nidas por
(Ek f ) (x) = f (kx)
e
(Dk f ) (x) = f (xk) :
Se f é contínua então Ek f e Dk f são contínuas, da mesma forma, Ek f; Dk f 2 L2 (K)
se f 2 L2 (K), o que faz com que Ek e Dk sejam transformações lineares tanto de
C (K) quanto de L2 (K). Essas transformações lineares são isometrias pois kEk f k1 =
kDk f k1 = kf k1 e kEk f k2 = kDk f k2 = kf k2 (já que a medida de Haar é bi-invariante).
Para k1 ; k2 2 K e uma função f , valem as igualdades
(Ek1 (Ek2 f )) (x) = f (k2 k1 x) = (Ek2 k1 f ) (x)
(Dk1 (Dk2 f )) (x) = f (xk1 k2 ) = (Dk1 k2 f ) (x) :
Portanto, as aplicações k 2 K ! Ek 1 e k 2 K ! Dk de…nem representações de K
em C (K) e em L2 (K). Essas são as chamadas representações regulares de K.
Essas representações satisfazem a seguinte propriedade de continuidade.
Proposição 4.8 Se V = C (K) ou V = L2 (K) então as aplicações (k; f ) 2 K
Ek f 2 V e (k; f ) 2 K V ! Dk g 2 V são contínuas.
V !
Demonstração: Considere em primeiro lugar o caso C (K). Se f 2 C (K) então
f é uniformemente contínua (veja exercício 6 do capítulo 2). Isso signi…ca que dado
" > 0 existe uma vizinhança U do elemento neutro tal que se k1 k2 1 2 U então jf (k1 )
f (k2 ) j < ". Se x 2 K e k1 k2 1 2 U então (k1 x) (k2 x) 1 = k1 k2 1 2 U e, portanto,
jf (k1 x) f (k2 x) j < ", o que mostra que kEk1 f Ek2 f k1 < ". Agora se kg f k1 < "
e k1 k2 1 2 U então
kEk1 f
Ek2 gk1
kEk1 f
" + kf
Ek2 f k1 + kEk2 f
gk1 < 2"
Ek2 gk1
o que mostra a continuidade de (k; f ) ! Ek f . Para Dk f a demonstração é semelhante.
Agora, dados f 2 L2 (K) e " > 0 escolha h 2 C (K) tal que kf hk2 < ". Pelo
caso C (K), existe uma vizinhança da identidade U K tal que kEk1 h Ek2 hk1 < "
se k1 k2 1 2 U . Portanto, se k1 k2 1 2 U então
kEk1 f
Ek2 f k2
kEk1 f
< 3"
Ek1 hk2 + kEk1 h
pois Ek1 e Ek2 são isometrias e kEk1 h
Ek2 hk2
Ek2 hk2 + kEk2 h
kEk1 h
Ek2 hk1 .
Ek2 f k2
78
Por …m, se kf
gk2 < " então
kEk1 f
Ek2 gk2
kEk1 f Ek2 f k2 + kEk2 f
3" + kf gk2 < 4":
Ek2 gk2
2
Um dos interesses da representação regular (em C (K) ou em L2 (K)) é que ela
contém, a menos de equivalência, toda representação irredutível de dimensão …nita.
Essas “inclusões”são dadas pelos coe…cientes matriciais das representações.
Seja : K ! Gl (V ) uma representação contínua de K no espaço vetorial complexo V de dimensão …nita. Denote por C (K) o subespaço gerado pelos coe…cientes
matriciais fu;v de , que é um subespaço de C (K). Esse espaço tem dimensão …nita pois
se fv1 ; : : : ; vn g é uma base de V então os coe…cientes matriciais fvi ;vj (x) = ( (x) vi ; vj )
geram C (K) . Além do mais, C (K) é invariante por translações à esquerda e à direita
pois
fu;v (kx) = ( (kx) u; v) = fu; (k 1 )v (x)
(4.9)
e
fu;v (xk) = ( (xk) u; v) = f
(k)u;v
(x) :
(4.10)
Dessas relações se obtém as seguintes equivalências de V com subespaços de C (K) .
Proposição 4.9 Suponha que a representação em V seja irredutível. Dado 0 6= v 2 V
de…na a aplicação Pv : V ! C (K) por Pv (u) = fu;v . Então, Pv é linear, injetora e comuta a representação em V com a representação por translações à direita em C (K) .
Portanto, a imagem de Pv é o espaço de uma representação irredutível equivalente a .
Demonstração: Pv é linear e por (4.10) ela comuta as representações. Para ver que
ela é injetora deve-se observar que fu;v é identicamente nula se, e só se, (x) u é ortogonal a v para todo x 2 K. Mas, o subespaço gerado por f (x) u : x 2 Kg é K-invariante.
Se fu;v = 0 esse subespaço está contido em v ? e como a representação é irredutível ele
deve se anular. Isso signi…ca que se fu;v = 0 então u = 0, o que mostra a injetividade. 2
As mesmas a…rmações valem para aplicações do tipo v 7! fu;v com u …xado, que
comutam com as translações à esquerda devido a (4.9). A diferença é que essas
aplicações são anti-lineares já que ( ; ) é um produto Hermitiano.
Ainda relacionado a representações equivalentes, a proposição a seguir mostra que
os espaços C (K) são os mesmos para representações equivalentes.
Proposição 4.10 Sejam 1 : K ! Gl (V1 ) e
lentes. Então, C (K) 1 = C (K) 2 .
2
: K ! Gl (V2 ) representações equiva-
Demonstração: Seja P : V1 ! V2 um isomor…smo tal que P 1 (k) = 2 (k) P
para todo k 2 K. Escolha um produto Hermitiano invariante ( ; )2 em V2 e de…na
4.4. Teorema de Peter-Weyl
79
(u; v)1 = (P u; P v)2 , que é um produto Hermitiano invariante em V1 . Se u; v 2 V1
então
fP u;P v (x) = (
= (
o que mostra que os espaços C (K)
(x) P u; P v)2 = (P 2 (x) u; P v)2
1 (x) u; v)1 = fu;v (x) ;
2
1
e C (K)
2
são iguais.
2
Por outro lado, se as representações irredutíveis 1 : K ! Gl (V1 ) e 2 : K ! Gl (V2 )
não são equivalentes então as relações de ortogonalidade de Schur mostram que C (K) 1
é ortogonal C (K) 2 em L2 (K). Em particular, C (K) 1 \ C (K) 2 = ;.
No caso de uma representação não irredutível em que V se decompõe em subespaços
invariantes
V = V1
Vs
P
vale a soma C (K) = si=1 C (K) i onde i é a representação em Vi . Essa soma não é
em geral direta pois se i e j são equivalentes então C (K) i = C (K) j . No entanto,
se as representações i são irredutíveis e não equivalentes entre si então
C (K) = C (K)
1
C (K) s :
Uma função f num espaço C (K) é chamada de função representativa pois pelo
item (1) os seus transladados à esquerda e à direita geram um subespaço de dimensão
…nita de C (K) no qual K se representa por translações.
O espaço das funções representativas será denotado por R (K). Esse espaço é a soma
dos subespaços C (K) com percorrendo as representações contínuas de dimensão
…nita. Essa soma pode ser tomada apenas sobre as representações que são irredutíveis.
O espaço R (K) é uma soma de espaços de representações de dimensão …nita de
K. Por outro lado a proposição 4.9 mostra que R (K) contém todas as representações
irredutíveis de dimensão …nita de K. O teorema de Peter-Weyl, que será mostrado
na próxima seção garante que R (K) é denso em L2 (K), assim de certa forma as
representações de dimensão …nita exaurem L2 (K).
Exemplo: Se K = S 1 = fz 2 C : jzj = 1g então as representações irredutíveis são de
dimensão 1. Isso implica que as funções representativas associadas associadas a essas
representações são multiplas das próprias representações (isto é, dos caracteres), que
são homomor…smos de S 1 a valores em C .
2
4.4
Teorema de Peter-Weyl
Teorema 4.11 Seja K um grupo compacto Hausdor¤. Então, o espaço R (K) das
funções representativas é denso em L2 (K).
80
O teorema de Peter-Weyl será demonstrado ao longo desta seção. Para iniciar a
demonstração suponha por absurdo que o fecho E de R (K) é diferente de L2 (K) de
tal forma que seu complementar ortogonal E ? 6= f0g. Dessa hipótese de absurdo segue
o seguinte lema.
Lema 4.12 Existe uma função contínua f 2 E ? , f 6= 0, que satisfaz as seguintes
propriedades:
1. f (kxk 1 ) = f (x) para todo x; k 2 K, isto é, f é constante nas classes de
conjugação de K.
2. f (x 1 ) = f (x).
A demonstração desse lema será feita posteriormente.
Por enquanto, a ideia para chegar a uma contradição, e portanto, ao teorema de
Peter-Weyl, consiste em construir uma representação contínua de dimensão …nita tal
que a função f do lema não é ortogonal a C (K) . Essa representação será de…nida
num subespaço V de L2 (K), que é um auto-espaço de dimensão …nita de um operador
linear T de L2 (K).
Para isso serão usados os seguintes resultados de análise funcional, mais especi…camente, de teoria de operadores em espaços de Hilbert.
1. Seja H um espaço de Hilbert complexo com produto Hermitiano ( ; ). Se T : H !
H é um operador compacto (isto é, a imagem da bola unitária é relativamente
compacta) e auto-adjunto (isto é, (T u; v) = (u; T v)) então T admite um autovalor cujo auto-espaço V tem dimensão …nita. (Como T é auto-adjunto, o
auto-valor é real, apesar de que essa informação não será utilizada abaixo.)
2. Seja N 2 C (K K) uma aplicação contínua e de…na o operador linear integral
T : L2 (K) ! L2 (K) por
Z
T (g) (x) =
N (x; y) g (y) (dy)
g 2 L2 (K; ) :
(4.11)
K
Então, T é compacto.
Agora, seja f como no lema 4.12, de…na N (x; y) = f (x 1 y) que de…ne o operador
linear T como em (4.11). Pelo item (2) acima, T é compacto. Para aplicar o item (1)
deve-se veri…car que T é auto-adjunto, o que é obtido das propriedades da função f .
De fato, dados g; h 2 L2 (K), vale
Z Z
(T g; h) =
N (x; y) g (y) h (x) (dy) (dx)
ZK K Z
=
g (y)
N (x; y) h (x) (dx) (dy) :
K
K
81
Mas, pela propriedade (2) do lema 4.12, N (y; x) = f (y 1 x) = f (x 1 y) = N (x; y).
Portanto, a integral em relação a x acima se escreve como
Z
Z
N (y; x)h (x) (dx) :
N (x; y) h (x) (dx) =
K
K
Portanto,
(T g; h) =
Z
g (y)
K
Z
N (y; x) h (x) (dx) (dy)
K
= (g; T h) ;
isto é, T é auto-adjunto.
Seja então o auto-valor de T cujo auto-espaço V é de dimensão …nita, como é
garantido pelos dois resultados enunciados acima. (Está implicito que dim V > 0.)
A representação desejada é dada pela restrição a V da translação à esquerda
(Ek g) (x) = g (kx) com g 2 L2 (K; ) e k; x 2 K.
Lema 4.13 Se g 2 V então Ek g 2 V .
Demonstração: Se g 2 V e k 2 K então
Z
N (x; y) g (ky) (dy)
(T Ek g) (x) =
ZK
=
N x; k 1 y g (y) (dy)
K
pela invariância da medida de Haar. Mas, N (x; k 1 y) = f (x 1 k 1 y) = N (kx; y). Daí
que
Z
(T Ek g) (x) =
N (kx; y) g (y) (dy)
K
= (T g) (kx) = g (kx) ;
o que signi…ca que T Ek g = Ek g„ isto é, V é invariante por translações à esquerda.
2
Pelo lema a restrição de k 7! Ek 1 de…ne uma representação de K em V . Essa
representação é contínua. De fato, pela proposição 4.8, se u; v 2 V então a função
k 7! (Ek 1 u; v) é contínua. Tomando uma base ortonormal fv1 ; : : : ; vn g de V se vê
que os entradas (Ek 1 vi ; vj ) das matrizes de Ek 1 em relação a essa base são contínuas,
portanto, a representação é contínua.
A representação em V admite portanto funções coordenadas matriciais. Elas são
dadas, para g; h 2 V , por
Z
fg;h (y) = (Ey 1 g; h) =
g y 1 x h (x) (dx) :
K
82
Os cálculos a seguir fornecem uma expressão simples para o produto Hermitiano entre
as coordenadas matriciais fg;g e a função f do lema 4.12. Se g 2 V então
Z
(f; fg;g ) =
f (y) fg;g (y) (dy)
ZK Z
=
f (y) g (y 1 x)g (x) (dx) (dy) :
K
K
Trocando a ordem de integração e usando a invariância de (dy) por y 7! y
multiplicação à esquerda por x 1 , a última integral …ca sendo
Z Z
f xy 1 g (y 1 )g (x) (dy) (dx)
(f; fg;g ) =
ZK ZK
f y 1 x g (y)g (x) (dy) (dx) ;
=
K
1
e pela
K
pois f (x 1 y) = f (x 1 yx 1 x) = f (yx 1 ). Trocando novamente a ordem de integração,
se obtém por …m
Z
Z
(f; fg;g ) =
f y 1 x g (x) (dx) g (y) (dy)
K
ZK
=
T g (y) g (y) (dy) = (T g; g)
K
=
kgk22 :
Essa igualdade leva de imediato a uma contradição à hipótese de que o fecho E de
R (K) é próprio. De fato, por construção f 2 E ? e, portanto, (f; fg;g ) = 0 se g 2 V .
Mas, isso implica que kgk2 = 0„contradizendo o fato de que V 6= f0g.
Resta demonstrar o lema 4.12. Para isso, serão demonstrados outros dois lemas.
Lema 4.14 Seja H
L2 (K) um subespaço fechado invariante Rpor translações à esquerda e à Rdireita. Dados h 2 H e g 2 L2 (K), as funções G (x) = K g (y) h (y 1 x) (dy)
e C (x) = K h (yxy 1 ) (dy) pertencem a H.
Demonstração: Tome u 2 H? . Então,
Z Z
(G; u) =
g (y) h y 1 x u (x) (dy) (dx)
ZK ZK
=
g (y) h y 1 x u (x) (dx) (dy)
ZK K
=
g (y) (Ey 1 h; u) (dy) = 0
K
?
pois Ey 1 h 2 H. Isso mostra que G 2 H? , que coincide com H, que é um subespaço
fechado. A demonstração para C é análoga.
2
83
Lema 4.15 Dados h 2 L2 (K) e U
hU =
Z
K um aberto com 1 2 U , de…na
1
h y x
(dy) =
U
Z
(y) h y 1 x
U
(dy)
K
onde 1U é a função característica de U . Então,
khU
Z
hk2
U
K
(y) kEy 1 h
hk2 (dy) :
Demonstração: Por de…nição
Z
2
jhU (x) h (x) j2 (dx)
khU hk2 =
ZK Z
1
h (x) (dy) j2 (dx)
j
=
U (y) h y x
ZK ZK
=
j
h (x)) (dy) j2 (dx) :
U (y) (Ey 1 h (x)
K
K
Para facilitar a notação escreva F (x; y) =
hk22
khU
Para y 2 K de…na
khU
y
U
(y) (Ey 1 h (x)
Z Z
=
h (x)). Então,
Z
F (x; y) (dy)
F (x; z) (dz) (dx)
K
Z
F (x; y) F (x; z) (dy) (dz) (dx)
=
K K K
Z Z
Z
=
F (x; y) F (x; z) (dx)
(dy) (dz) :
ZK
ZK
K
K
K
(x) = F (x; y), de tal forma que
hk22
=
Z Z
K
K
Z
y;
(dx)
z
(dy) (dz) :
K
Essa integral é real, portanto
khU
hk22
=
Z Z
K
K
K
K
K
K
Z Z
Z Z
=
Z
K
Z
Re
y;
z
(dx)
(dy) (dz)
K
Z
K
j
y 2
y;
z
j (dx)
k z k2 (dy) (dz)
2
y 2
(dy)
:
(dy) (dz)
84
Isto é, khU
khU
hk2
hk2
R
Z
K
=
=
(dy). Mas, pela de…nição de
y 2
K
Z
ZK
K
Z
j
(y)
U
(y) (Ey 1 h (x)
Z
2
h (x)) j
(dx)
(dy)
1=2
K
U
se conclui que
1=2
K
U
y
j (Ey 1 h (x)
(y) kEy 1 h
2
h (x)) j
(dx)
(dy)
hk (dy)
que é a desigualdade desejada.
2
Antes de iniciar a demonstração do lema 4.12, deve-se observar as igualdades (4.9)
e (4.10) mostram que o espaço R (K) é invariante por translações à esquerda e à
direita. Por continuidade (proposição 4.8) o fecho E de R (K) também é invariante
por translações. Como as translações são isometrias o espaço ortogonal E ? também é
invariante.
A mesma invariância vale para a transformação que a uma função f 2 L2 (K)
associa a função f (x 1 ). Isso porque se f 2 C (K) então a função f (x 1 ) também
está em C (K) já que
fu;v (x 1 ) = ( (x 1 ) u; v) = fv;u (x) :
Demonstração do Lema 4.12 Tome h 2 E ? , h 6= 0, arbitrário. Dada uma vizinhança
U de 1 em K de…na
Z
hU (x) =
h y 1 x (dy)
ZU
1
=
(dy)
U (y) h y x
K
onde 1U é a função característica de U . Pelo lema 4.14, hU 2 E ? pois esse subespaço
é fechado e invariante por translações.
Para cada U a função hU é contínua. De fato, se x1 ; x2 2 K então, pela desigualdade
de Cauchy-Schwarz,
jhU (x1 )
hU (x2 ) j
kDx1 h
Dx2 hk :
Portanto, a continuidade de hU segue da continuidade de x 2 K 7! Dx h (proposição
4.8). Além do mais, a vizinhança U pode ser escolhida de tal forma
R que hU é su…cientemente próximo de h e daí que hU 6= 0. Isso porque khU hk2
kEy 1 h hk2 (dy),
U
pelo lema 4.15, e a aplicação y 7! Ey 1 h é contínua.
Uma vez feita a escolha de hU 6= 0, tome x0 2 K tal que hU (x0 ) 6= 0 e de…na
h1 = Ex0 hU e h2 = h1 (1)h1 . Essas funções também pertencem a E ? . Elas são
contínuas e não nulas. Agora, de…na
Z
h3 (x) =
h2 yxy 1 (dy) ;
K
4.5. Exercícios
85
que pelo lema 4.14 está em E ? . Essa função é contínua, como pode ser veri…cado da
mesma forma que para hU . Além do mais, h3 (xyx 1 ) = h3 (y) para todo y 2 K.
Por …m, de…na f (x) = h3 (x) + h3 (x 1 ). Então, f satisfaz as condições requeridas
no lema 4.12, concluíndo sua demonstração.
2
4.5
Exercícios
1. Dado um quatérnion q 6= 1 tal que q n = 1 mostre que 1 + q +
Mostre também que se q é um quatérnion qualquer então
Z
(p q) dp = 0
+ qn
1
= 0.
S3
onde dp é a medida de Haar em S 3 .
2. Seja V o espaço de uma representação irredutível
do grupo compacto (Hausdor¤)
S
K. Mostre que se 0 6= f 2 C (K) então
f (kxg) gera C (K) .
k;g2K
3. Sejam K um grupo de Lie compacto e
: K ! Gl (V ) uma representação
dimensão …nita de K. Seja (K) v uma órbita da representação e denote por
co ( (K) v) o fecho convexo dessa órbita. Mostre que existe w 2 co ( (K) v),
que é ponto …xo de K, isto é, (k) w = w para todo k 2 K.
4. Sejam K um grupo de Lie compacto e
: K ! Gl (V ) uma representação
irredutível de K no espaço vetorial V real e de dimensão …nita. Mostre que se
existe um cone convexo próprio C
V invariante por K (isto é, (k) C
C
para todo k 2 K) então dim V = 1.
5. Encontre os caracteres das representações irredutíveis de SU (2).
86
Parte II
Grupos e álgebras de Lie
87
89
Resumo
Nessa parte do livro se estabelece o corpo básico da teoria dos grupos de Lie. No
capítulo 5 se introduz a álgebra de Lie de um grupo de Lie. Os conceitos que relacionam
as duas estruturas, de grupo de Lie e álgebra de Lie, são a aplicação exponencial
e as representações adjuntas do grupo de Lie e de sua álgebra de Lie. Ambas as
representações são por transformações lineares na álgebra de Lie. As propriedades dos
grupos de Lie são obtidas a partir de suas álgebras de Lie e vie-versa, são obtidas
por uma articulação desses três conceitos, que se materializam nas fórmulas (5.8) e
(5.9). A primeira dessas fórmulas relaciona, através da exponencial, a conjugação no
grupo com a representação adjunta do grupo, enquanto que a segunda relaciona as
representações adjuntas do grupo e da álgebra de Lie. As demonstrações do capítulo 5
usam livremente a teoria de existência e unicidade de equações diferenciais ordinárias
e os colchetes de Lie de campos de vetores, que se encontram no apêndice A. Ainda no
capítulo 5 foi incluída um a seção sobre equações diferenciais ordinárias (dependente
do tempo) em grupos de Lie e foi feita a construção da medida de Haar em grupos de
Lie, via formas volume invariantes.
O capítulo 6 trata dos subgrupos de Lie de um grupo de Lie e seus quocientes. A
de…nição de subgrupo de Lie é a óbvia: um subgrupo que é ao mesmo tempo uma
subvariedade diferenciável, tal que o produto é diferenciável. No entanto, existe uma
sutileza nessa de…nição, já que a diferenciabilidade do produto deve ser em relação à
estrutura diferenciável intrinseca da subvariedade e não do ambiente. Essa sutileza é
discutida com detalhes com o auxílio do conceito de subvariedade quase-mergulhada,
que é de…nida no apêndice B. (No …nal das contas será provado que todo subgrupo
que é ao mesmo tempo uma subvariedade separável é um sugbrupo de Lie.) A álgebra
de Lie de um subgrupo de Lie é uma subálgebra de Lie. Vice-versa, a teoria de integrabilidade de distribuições permite construir um único subgrupo de Lie conexo com
uma subálgebra de Lie dada. Esse resultado dá uma bijeção entre os subgrupos de
Lie conexos e as subálgebras de Lie. Um dos resultados centrais da teoria dos grupos
de Lie é o célebre teorema de Cartan do subgrupo fechado, que garante que se um
subgrupo é ao mesmo tempo um subconjunto fechado então ele é um subgrupo de
Lie (com uma estrutura de variedade diferenciável construída a posteriori). Um outro
resultado nessa mesma linha do teorema de Cartan é o teorema devido a Kuranishi e
Yamabe, que mostra que se um subgrupo é ao mesmo tempo um subconjunto conexo
por caminhos então ele é um subgrupo de Lie. No capítulo 6 esse teorema é demonstrado com a hipótese adicional de os caminhos são diferenciáveis. Por …m, a técnnica
desenvolvida na demonstração do teorema de Cartan permite construir uma estrutura
de variedade diferenciável num espaço quociente, o que leva, em particular, à de…nição
de grupo de Lie quociente. Os resultados desse capítulo usam de forma extensiva a
teoria de distribuições, descrita no apêndice B.
O capítulo 7 é de natureza global. O seu desenvolvimento desemboca no teorema
7.15, que estabelece uma bijeção entre as classes de isomor…smo dos grupos de Lie
conexos e simplesmente conexos com as classes de isomor…smo das álgebras de Lie. O
teorema 7.15 mostra também que os grupos de Lie conexos são quocientes de grupos
90
simplesmente conexos, com núcleo abeliano (contido no centro). Esse é o teorema que
fornece classi…cações dos grupos de Lie a partir de eventuais classi…cações de álgebras
de Lie.
A demonstração do teorema dos grupos simplesmente conexos passa por uma análise
dos homomor…smos diferenciáveis de grupos de Lie e de como eles são determinados
pelos respectivos homomor…smos in…nitesimais (suas diferenciais na origem). Um resultado central é o teorema de extensão de homomor…smos, que garante que qualquer
homomor…smo entre as álgebras de Lie é a diferencial de um homomor…smo entre os
grupos de Lie, desde que o domínio seja simplesmente conexo. Para a demonstração
desse teorema se constrói um subgrupo do produto cartesiano, que é o candidato a
ser o grá…co do homomor…smo entre os grupos. Em geral esse subgrupo não é um
grá…co de função. No entanto, a projeção na primeira coordenada é uma aplicação de
recobrimento sobre o domínio. Por isso que a hipótese de que o domínio é simplesmente conexo garante que o subgrupo do produto cartesiano é de fato o grá…co de um
homomor…smo. Independente dessa hipótese sobre o domínio, esse método constrói
homomor…smos locais entre os grupos, o que permite mostrar que grupos de Lie com
álgebras de Lie isomorfas são localmente isomorfos.
A linha de raciocinio da demonstração do teorema de extensão é usada também
na seguinte aplicação interessante do teorema do subgrupo fechado de Cartan: um
homomor…smo contínuo entre grupos de Lie é diferenciável.
O teorema de extensão de homomor…smos garante a unicidade (a menos de isomor…smo) dos grupos de Lie conexos e simplesmente conexos, com uma álgebra de
Lie dada. A demonstração da existência é feita em dois passos. Em primeiro lugar se
garante que dada uma álgebra de Lie (real de dimensão …nita) existe algum grupo de
Lie com a álgebra de Lie dada. Isso é feito aqui de uma forma indireta, através do teorema de Ado, que mostra que toda álgebra de Lie de dimensão …nita é isomorfa a uma
álgebra de Lie de matrizes. O segundo passo consiste em aplicar a teoria dos espaços de
recobrimento para construir uma estrutura de grupo de Lie no recobrimento universal
de um grupo de Lie. Ao …nal do capítulo foi incluído um resumo sobre espaços de
recobrimento.
O capítulo 8 é dedicado à demonstração de duas fórmulas de caráter local, que
são dadas por séries de potências envolvendo o colchete na álgebra de Lie. São elas a
fórmula da diferencial da exponencial e a fórmula de Baker-Campbell-Hausdor¤. A série
da diferencial da exponencial será utilizada posteriormente para decidir se a aplicação
exponencial num grupo de Lie é ou não difeomor…smo (ou ao menos difeomor…smo
local). Já a série de Baker-Campbell-Hausdor¤ permite construir uma estrutura de
variedade analítica num grupo de Lie, de tal forma que o produto e todas as aplicações
obtidas do mesmo passam a ser aplicações analíticas. A demonstração dessas fórmulas é
feita em primeiro lugar para grupos lineares, nos quais as séries são dadas por produtos
de matrizes. A demonstração num grupo qualquer se faz com o auxílio do teorema de
Ado que garante o isomor…smo local com um grupo linear.
Capítulo 5
Grupos de Lie e suas álgebras de
Lie
O objetivo deste capítulo é introduzir os conceitos de grupos de Lie e suas álgebras de
Lie. A álgebra de Lie g de um grupo de Lie G é de…nida como o espaço dos campos
invariantes (à esquerda ou à direita, conforme a escolha), com o colchete dado pelo
colchete de Lie de campos de vetores. Os ‡uxos dos campos invariantes estabelecem
a aplicação exponencial exp : g ! G, que é o principal elo de ligação entre g e G.
Essas construções utilizam exaustivamente resultados sobre campos de vetores em variedades e seus colchete de Lie. Um apanhado desses resultados pode ser encontrado
no apêndice A.Outro instrumento de ligação entre os grupos de Lie e suas álgebras de
Lie são as representações adjuntas. As fórmulas envolvendo essas representações são
desenvolvidas neste capítulo. Essas fórmulas são utilizadas ao longo de toda a teoria.
5.1
De…nição
Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estrutura de variedade
diferenciável, de tal forma que a aplicação produto
p : (g; h) 2 G
G 7 ! gh 2 G
é diferenciável.
Tanto a estrutura de variedade diferenciável de G, quanto a diferenciablidade de p,
pressupoem um grau de diferenciabilidade C k , 1 k !. Para desenvolver boa parte
da teoria é necessário tomar apenas derivadas de primeira ordem em G e no …brado
tangente T G, e assim supor que G e p são de classe C 2 . No entanto, não existe perda de
generalidade em assumir que G e p são analíticas (C ! ), pois é possível provar que se p
é de classe C 2 então p é analítica em relação à estrutura de variedade analítica contida
na estrutura C k , 2 k 1 (veja o capítulo 8).1 De qualquer maneira se assume que
1
O quinto problema de Hilbert (dos 24 formulados em 1900) pergunta quais grupos topológicos
são diferenciáveis. Como consequência desse problema foi demonstrado que um grupo topológico é
de Lie se for uma uma variedade topológica (localmente Euclidiano). Mais geralmente, um grupo
91
92
Capítulo 5. Grupos de Lie e suas álgebras de Lie
G é de classe C 1 assim como o produto p, o que permite tomar livremente derivadas
de qualquer ordem.
Quanto à topologia da variedade subjacente a G, assume-se sempre que G é paracompacta, e portanto metrizável via métricas Riemannianas. Essa hipótese será
necessária quando se considerar subvariedades e subgrupos de Lie de G. (Sobre variedades paracompactas veja o seção B.5 do apêndice B.)
Dado g 2 G, as translações à esquerda e à direita Eg : G ! G e Dg : G ! G,
são de…nidas respectivamente por Eg (h) = gh e Dg (h) = hg. Essas aplicações são
diferenciáveis pois Eg = p sg;1 e Dg = p sg;2 onde sg;1 (h) = (g; h) e sg;2 (h) = (h; g)
são aplicações diferenciáveis G ! G G. Na verdade, ambas as translações, à esquerda
e à direita, são difeomor…smos, já que Eg Eg 1 = Dg Dg 1 = id. Da mesma forma,
os automor…smos internos Cg = Eg Dg 1 , g 2 G, são difeomor…smos.
Ao contrário dos grupos topológicos a de…nição de grupo de Lie não exige a priori
que a inversa (g) = g 1 seja diferenciável ou sequer contínua. A razão para isso é que
a diferenciabilidade de p implica a de através do teorema da função implícita, como
será demonstrado na proposição abaixo.
A seguir a diferencial de uma aplicação f no ponto x será denotada por dfx .
Proposição 5.1 Num grupo de Lie G a aplicação
mor…smo. A diferencial de é dada por
d
Em particular, (d )1 =
g
=
: g 2 G 7! g
1
2 G é um difeo-
(dEg 1 )1 (dDg 1 )g :
id.
Demonstração: Dado (g; h) 2 G G, a diferencial parcial do produto p em relação
à segunda variável é
@2 p(g;h) = d (Eg )h :
Como Eg é difeomor…smo, segue que d (Eg )h é bijetora e, em particular, sobrejetora. O
teorema da função implícita, garante então que para c 2 G …xo a equação p (g; h) = c
tem uma solução diferenciável local h = c (g) escrevendo h como função de g, isto é,
p (g; c (g)) = c. Quando c = 1, 1 = , mostrando que é diferenciável. Daí segue que
é difeomor…smo, pois sua inversa 1 coincide com , isto é,
= id.
Ainda pelo teorema da função implícita, a diferencial d g é dada por
d
g
=
1
(@2 p)(g;g
1)
(@1 p)(g;g
1)
onde (@j p)(x;y) denota a diferencial de p em relação à variável j = 1; 2, no ponto (x; y).
Essas diferenciais parciais são dadas por (@2 p)(x;y) = d (Ex )y e (@1 p)(x;y) = d (Dy )x .
1
Portanto, (@1 p)(g;g 1 ) = d (Dg 1 )g e (@2 p)(g;g
segue a fórmula do enunciado.
1
1)
= d (Eg )g
1
= d (Eg 1 )1 , de onde
localmente compacto é de Lie se não admite “subgrupos pequenos” (alguma vizinhança do elemento
neutro só contém o subgrupo trivial). Veja Montgomery-Zippin [41] e Yang [64].
5.1. De…nição
93
Por …m, no caso em que g = 1, D1 (g) = g é a aplicação identidade, portanto, (dD1 )1
é a aplicação identidade do espaço tangente T1 G. Da mesma forma, (dE1 )1 = id e daí
que d 1 : T1 G ! T1 G é id.
2
A proposição acima mostra que todo grupo de Lie é um grupo topológico, conforme
de…nido no capítulo 2.
Muitas vezes é conveniente usar a seguinte notação simpli…cada para as diferenciais
das translações em um grupo de Lie G. Seja t 7! gt uma curva diferenciável em G e
tome h 2 G. Usando as seguintes notações
hgt0 = d (Eh )gt (gt0 )
gt0 h = d (Dh )gt (gt0 ) ;
os cálculos de derivadas em G podem ser feitos como se fossem em um grupo de
0
0
matrizes. Por exemplo, (gt2 ) = gt0 gt + gt gt0 ou ainda de gt gt 1 = 1 obtém-se gt gt 1 =
0
gt0 gt 1 + gt gt 1 = 0. Portanto,
gt
1 0
=
gt 1 g 0 gt 1 ;
que é a fórmula para d g da proposição acima.
Sejam G e H grupos de Lie. Então, o produto cartesiano G H admite a estrutura
de variedade produto e a estrutura de grupo produto (g1 ; h1 ) (g2 ; h2 ) = (g1 g2 ; h1 h2 ), tornando G H um grupo de Lie. De fato, a diferenciabilidade do produto é consequência
de que cada coordenada é diferenciável. De maneira mais geral, se Gi , i = 1; : : : ; k, é
um número …nito de grupos de Lie então o produto direto G1
Gk é um grupo
de Lie com as estruturas produto, de grupo e de variedade diferenciável.
Posteriormente serão feitas outras construções com grupos de Lie, tais como o
quociente de um grupo por um subgrupo e o produto semi-direto.
Exemplos:
1. Seja G um grupo qualquer munido da topologia discreta. Com esta topologia G
tem uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão 0 em que o produto
é diferenciável. O grupo pode ser in…nito de qualquer cardinalidade uma vez
a hipótese de paracompacidade não restringe a cardinalidade das componentes
conexas.
Portanto, todo grupo G pode ser visto como um grupo de Lie. Um grupo de Lie
desses é denominado de grupo de Lie discreto. (Este exemplo é puramente
formal, já que a estrutura diferenciável discreta não acrescenta informação alguma
à estrutura algébrica do grupo G.)
2. Se G é um grupo de Lie então suas componentes conexas são subvariedades abertas. Em particular a componente conexa do elemento neutro G0 é um subgrupo
normal aberto e fechado. A restrição a G0 do produto em G é diferenciável (pois
G0 é aberto), o que torna G0 um grupo de Lie.
94
3. Qualquer espaço vetorial de dimensão …nita V sobre R é um grupo de Lie
abeliano, com a operação + em V . Em particular (R; +) é um grupo de Lie.
Os grupos multiplicativos R = R n f0g e C = C n f0g também são grupos
4. Seja Gl (n; R) o grupo das transformações lineares inversíveis de Rn , ou o que é a
mesma coisa, o grupo das matrizes n n inversíveis. Esse grupo é um subconjunto
aberto do espaço vetorial Mn (R) das matrizes n n, e portanto, é uma variedade
diferenciável. O produto no grupo Gl(n; R) é proveniente do produto usual de
matrizes. Se X = (xij ) e Y 2 (yij ) são matrizes n n, então Z = XY = (zij ) é
dado por
n
X
zij =
xik ykj ;
k=1
que é um polinômio de grau dois nas variáveis xij ; yij e, portanto, é uma aplicação
diferenciável. Por esta razão Gl (n; R) é um grupo de Lie. Se V é um espaço
vetorial real de dimensão …nita, denote por Gl (V ) o grupos das transformações
lineares inversíveis de V . Tomando uma base de V de…ne-se um isomor…smo entre
Gl (V ) e Gl (n; R) por h 2 Gl (V ) 7! [h] 2 Gl (n; R) onde [h] denota a matriz de
h em relação à base …xada. Por esse isomor…smo Gl (V ) é um grupo de Lie.
5. Seja A uma álgebra associativa sobre R, isto é, A é um espaço vetorial real
munido de um produto : A A ! A, que é bilinear (distributivo) e associativo.
Suponha que dim A < 1 e que A tem um elemento neutro multiplicativo 1. Um
elemento x 2 A admite inversa (bilateral) se existe y 2 A tal que xy = yx = 1.
Nesse caso y = x 1 é único. O conjunto G (A) dos elementos inversíveis de A
G (A) = fx 2 A : 9x 1 g
é um grupo com o produto de A. Por outro lado, G (A) é um conjunto aberto
(não vazio) de A (com a topologia de espaço vetorial real). De fato, considere
a aplicação E : A ! L (A) que a x 2 A associa a translação à esquerda Ex :
A ! A, Ex (y) = x y, que é uma transformação linear de A. A aplicação E
é um homomor…smo de álgebras associativas: é linear e Exy = Ex Ey . O que
implica, em particular, que Ex 1 = (Ex ) 1 , quando x 2 G (A). Além do mais, a
existência de elemento neutro muliplicativo garante que E é injetora, pois Ex = 0
implica que 0 = Ex (1) = x 1 = x. Portanto, a função det Ex é um polinômio
não nulo em A. Como det Ex 6= 0 se, e só se, x 2 G (A), segue que G (A) é um
aberto não vazio (e além do mais denso). Portanto, G (A) é um grupo de Lie,
pois o produto, sendo uma aplicação bilinear de um espaço de dimensão …nita, é
diferenciável.
É claro que Gl (n; R) é o caso particular em que A é a álgebra associativa das
matrizes n n.
5.1. De…nição
95
6. Um caso particular do exemplo anterior é a álgebra H dos quatérnions, com
coe…cientes reais, que tem dimensão quatro e é gerada por f1; i; j; kg, onde 1 é o
elemento neutro da multiplicação e os demais produtos dos geradores são:
ij =
ji = k; jk =
kj = i; ki =
ik = j; i2 = j 2 = k 2 =
1:
Essa álgebra é associativa e todo elemento não nulo em H admite uma inversa.
De fato, o conjugado de q = a + bi + cj + dk é de…nido por q = a bi cj dk
e vale a igualdade
qq = jqj2 = a2 + b2 + c2 + d2
e daí que q (q=jqj2 ) = 1, mostrando que se q 6= 0 então sua inversa é dada por
q 1 = q=jqj2 . Portanto, H = H n f0g é um grupo de Lie, já que o produto é uma
aplicação polinomial.
A álgebra dos quatérnions se generaliza nas álgebras (associativas) de Cli¤ord,
que não serão construídas aqui2 . A mesma construção de grupos de Lie se aplica
a essas álgebras.
7. Seja G o grupo das matrizes n n triangulares superiores com entradas diagonais
iguais a 1:
80
19
>
>
< 1
=
B .. . . .. C
G= @ .
. . A :
>
>
: 0
1 ;
O conjunto G está em bijeção com o espaço vetorial Rn(n 1)=2 . Portanto, G tem
uma estrutura de variedade diferenciável. Em relação a esta estrutura, o produto
em G (produto de matrizes) é diferenciável, tornando G um grupo de Lie.
2
Adiante serão demonstrados diversos resultados que garantem que certos subgrupos
de grupos de Lie são também grupos de Lie. A partir desses resultados será fácil
produzir uma ampla gama de exemplos de grupos de Lie.
Os …brados tangente T G e cotangente T G de um grupo de Lie G são facilmente
descritos pelas translações (à esquerda ou à direita) em G. De fato, dado g 2 G a
diferencial da translação à esquerda d (Eg )1 é um isomor…smo entre T1 G e Tg G, pois
Eg é um difeomor…smo. Por isso a aplicação
(g; v) 2 G
T1 G 7 ! d (Eg )1 (v) 2 T G
é uma bijeção. Essa aplicação pode ser reescrita como @2 p (g; 1) (v) de onde se vê
que ela é diferenciável pois p é de classe C 1 . Sua inversa é dada por v 2 T G 7!
(v) ; dE (v) 1 v 2 G T1 G onde : T G ! G é a projeção canônica. Essa inversa
também é diferenciável, o que mostra que T G é difeomorfo a G T1 G.
2
Veja [49], capítulo 11.
96
Da mesma maneira,
(g; v) 2 G
T1 G 7 ! d (Dg )1 (v) 2 T G
de…ne um difeomor…smo entre G T1 G e T G, identi…cando T G com G T1 G através
de translações à direita.
Uma identi…ação semelhante ocorre com o …brado cotangente T G. Dado g 2 G
as transpostas d (Eg 1 )1 : T1 G ! Tg G e d (Dg 1 )g : T1 G ! Tg G são isomor…smos, e
de…nem os difeomor…smos
(g; ) 2 G
T1 G 7 ! d (Eg 1 )1 ( ) 2 T G e
(g; ) 2 G
T1 G 7 ! d (Dg 1 )1 ( ) 2 T G.
Em outras palavras, os …brados tangente e cotangente de grupos de Lie são triviais.
Essa trivialidade permite de…nir as chamadas formas de Maurer-Cartan, que são
1-formas diferenciais em G a valores em T1 G. Elas são de…nidas por translação à direita
ou à esquerda por
! dg (v) = d (Dg 1 )g (v)
e
! eg (v) = d (Eg 1 )g (v)
para g 2 G e v 2 Tg G.
Uma variedade diferenciável M cujo …brado tangente T M é trivial é chamada de
paralelizável. As variedades diferenciáveis subjacentes a grupos de Lie são paralelizáveis,
o que mostra que nem toda variedade admite uma estrutura de grupos de Lie. Por
exemplo a esfera S 2 não é uma variedade paralelizável, portanto não existe nenhum
produto em S 2 que é diferenciável e satisfaz os axiomas de grupo. Com o desenvolvimento da teoria serão vistas outras condições necessárias, de caráter topológico, para
que uma variedade diferenciável admita uma estrutura de grupo de Lie. Uma delas é
que o grupo fundamental 1 (G) deve ser abeliano (veja o capítulo 7).
5.2
Álgebra de Lie de um grupo de Lie
O primeiro passo no estudo dos grupos de Lie consiste na construção das álgebras de
Lie associadas. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de um
produto (colchete) [ ; ] : g g ! g que satisfaz as propriedades:
1. O colchete [ ; ] é bilinear, isto é, linear em cada uma das variáveis.
2. Anti-simetria, isto é, [X; Y ] =
[Y; X], para X; Y 2 g.
3. Identidade de Jacobi: para X; Y; Z 2 g,
[X; [Y; Z]] = [[X; Y ]; Z] + [Y; [X; Z]]:
5.2. Álgebra de Lie de um grupo de Lie
97
Um subespaço h
g de uma álgebra de Lie g é uma subálgebra de Lie se for
fechado pelo colchete. Nesse caso h é também uma álgebra de Lie.
Um exemplo de álgebra de Lie é dado pelo espaço vetorial dos campos de vetores
sobre uma variedade diferenciável (C 1 ) munido do colchete de Lie de campos de vetores.
Outro exemplo é a álgebra gl (n; R) formada pelas matrizes reais n n com o colchete
dado pelo comutador de matrizes
[A; B] = AB
BA:
A seguir será de…nida a álgebra de Lie de um grupo de Lie G como uma subálgebra
da álgebra de Lie dos campos de vetores sobre G, formada por campos invariantes em
G.
5.2.1
Campos invariantes
De…nição 5.2 Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G é dito
invariante à direita se para todo g 2 G, (Dg ) X = X. Em detalhes: d (Dg )h (X (h)) =
X (hg) para todo g; h 2 G.
O campo de vetores X é invariante à esquerda se para todo g 2 G, (Eg ) X =
X, isto é, d (Eg )h (X (h)) = X (gh).
Os campos invariantes à direita ou à esquerda são completamente determinados por
seus valores no elemento neutro 1 2 G, pois para todo g 2 G a condição de invariância
à direita, por exemplo, implica que X (g) = d (Dg )1 (X (1)). Portanto, cada elemento
do espaço tangente T1 G determina um único campo invariante à direita e um único
campo invariante à esquerda.
Dado A 2 T1 G a notação Ad indica o campo invariante à direita tal que Ad (1) = A.
Já Ae denota o campo invariante à esquerda correspondente. Explicitamente,
Ad (g) = d (Dg )1 (A)
Ae (g) = d (Eg )1 (A) :
Denote por Invd o conjunto dos campos invariantes à direita. Este conjunto é
um subespaço vetorial (sobre R) do espaço de todos os campos de vetores em G,
já que (Dg ) é uma aplicação linear sobre os campos de vetores. Analogamente, o
conjunto Inve dos campos invariantes à esquerda também é um subespaço vetorial
(em geral, diferente do subespaço dos campos invariantes à direita). As aplicações
A 2 T1 G 7! Ad 2 Invd e A 2 T1 G 7! Ae 2 Inve são isomor…smos entre os espaços
vetoriais correspondentes, cujas inversas são dadas por X 2 Invd;e 7! X (1) 2 T1 G.
Exemplos:
1. Seja G = Gl (n; R) o grupo linear geral, que é um conjunto aberto do espaço
vetorial das matrizes Mn (R). Fixando g 2 G, as translações à esquerda e à
direita Eg (h) = gh e Dg (h) = hg são restrições a Gl (n; R) de transformações
98
2
lineares de Mn (R) = Rn . O …brado tangente a G se identi…ca com G Mn (R).
Daí que um campo de vetores X em G é nada mais nada menos que uma aplicação
X : G ! Mn (R). Além do mais, por essa identi…cação, as transformações lineares
Eg e Dg satisfazem d (Eg )h = Eg e d (Dg )h = Dg para quaisquer g; h 2 G.
A partir dessas observações é possível descrever os campos invariantes em Gl (n; R).
Suponha que X : G ! Mn (R) é invariante à direita. Então, para todo g 2 G,
X (g) = d (Dg )1 (X (1)) = Dg (X (1)) = X (1) g:
Portanto, os campos invariantes à direita são da forma X (g) = Ag com A uma
matriz em T1 G. A equação diferencial de…nida por X é o sistema linear
dg
= Ag
dt
no espaço das matrizes. O ‡uxo de X é dado por Xt (g) = etA g, onde eA =
P
1 k
k 0 k! A é a exponencial de matrizes.
De forma análoga, os campos invariantes à esquerda são da forma X (g) = gA
dg
= gA. Os seus ‡uxos têm a forma
que estão associados aos sistemas lineares
dt
Xt (g) = getA .
Em Gl (n; R) existem campos invariantes à esquerda que não são invariantes à
direita e vice-versa. De fato, suponha que o campo X (g) = Ag coincide com
o campo Y (g) = gB, isto é, Ag = gB para todo g 2 G. Em particular, para
g = 1, deve-se ter A = B. Daí que Ag = gA e, portanto, A comuta com todas as
matrizes em Gl (n; R). Mas, isso ocorre se, e somente se, A = a 1, a 2 R, isto é,
A é uma matriz escalar. Portanto, o campo invariante à direita X (g) = Ag não
é invariante à esquerda se A não é uma matriz escalar.
2. O grupo G (A) dos elementos inversíveis de uma álgebra associativa A é um
grupo de Lie (veja o exemplo 5 na seção anterior). Da mesma forma que no
caso Gl (n; R) as translações à esquerda e à direita são lineares e dessa forma
os campos invariantes
P também são lineares e seus ‡uxos são determinados pela
exponencial eA = k 0 k!1 Ak , em que as potências são dadas pelo produto em A.
P
Isso porque a série etA = k 0 k!1 tk Ak é uma série de potências em t 2 R com
raio de convergência 1, cuja derivada é dada pela soma das derivadas.
3. Como caso particular do item anterior, as translações à direita no quatérnions
H = H n f0g são restrições de transformações lineares, por isso, os campos
invariantes
são da forma Xq (x) = qx com q 2 H e a exponencial é dada
Pà direita
1 k
q
por e = k 0 k! q .
4. Seja G = (Rn ; +). Fixando v 2 Rn , as translações à esquerda e à direita coincidem
e são dadas por
Ev (x) = Dv (x) = x + v:
99
Portanto, d (Ev )y = d (Dv )y = id para todo y 2 Rn . Isso signi…ca que os campos
invariantes são constantes, isto é, X (x) = v, com v 2 Rn …xado. A equação
diferencial correspondente é x_ = v cujo ‡uxo é a translação Xt (x) = x + tv.
2
A álgebra de Lie de um grupo de Lie é de…nida em qualquer um dos espaços de
campos invariantes Invd ou Inve munido com o colchete de Lie. O lema a seguir coloca
isso em termos precisos.
Lema 5.3 Sejam X e Y campos invariantes à direita num grupo de Lie G. Então,
o colchete de Lie [X; Y ] é invariante à direita. A mesma a…rmação vale para campos
invariantes à esquerda.
Demonstração: É consequência da seguinte fórmula geral: sejam M uma variedade, X, Y campos de vetores em M e um difeomor…smo de M . Então [X; Y ] =
[ X; Y ] (veja o apêndice A). Aplicando esta fórmula a = Dg (ou Eg ) e X, Y ,
campos invariantes, chega-se à invariância do colchete.
2
Dito de outra maneira, os espaços Invd e Inve são subálgebras de Lie da álgebra de
Lie de todos os campos de vetores em G. Em particular, ambos os espaços vetoriais
admitem estruturas de álgebra de Lie. A álgebra de Lie do grupo G é qualquer uma
das álgebras de Lie Invd ou Inve .
Os argumentos a seguir mostram que essas álgebras de Lie são, em essência, as
mesmas, isto é, são isomorfas, não existindo, portanto, nenhuma ambiguidade na terminologia.
O espaço tangente T1 G é isomorfo tanto a Invd quanto a Inve . Através dos isomor…smos o colchete de Lie restrito aos subespaços de campos invariantes induz colchetes
[ ; ]d e [ ; ]e em T1 G. Esses colchetes são dados, para A; B 2 T1 G, por
[A; B]d = [Ad ; B d ] (1) e
[A; B]e = [Ae ; B e ] (1).
O seguinte lema permite relacioná-los.
Lema 5.4 Sejam A 2 T1 G e (g) = g
()
Em detalhes: (d )g
1
Ad = ( A)e
Ad (g 1 ) =
Demonstração: Escreva Y = ( )
1
a inversa em G. Então,
e
( ) (Ae ) = ( A)d :
Ae (g) e (d )g
1
(Ae (g 1 )) =
Ad . Então,
(Eg ) (Y ) = (Eg ) ( )
Ad :
Ad (g).
100
Usando a regra da cadeia e a igualdade Eg
=
Dg 1 , segue que (Eg ) (Y ) =
d
d
( Dg 1 ) A . Este segundo membro é igual a ( ) A = Y , pela regra da cadeia e
pelo fato que Ad é invariante à direita. Portanto, (Eg ) (Y ) = Y e daí que Y é invariante à esquerda. Agora, Y (1) = (d )1 Ad (1) . Mas Ad (1) = A e (d )1 = id, daí
que Y (1) = A, mostrando que Y = ( A)e . A outra igualdade é provada da mesma
maneira, ou então aplicando na igualdade já demonstrada.
2
Proposição 5.5 Sejam A; B 2 T1 G. Então, [A; B]d =
[A; B]e .
Demonstração: Por de…nição [A; B]d = [Ad ; B d ] (1). Aplicando d
igualdade obtém-se
1
=
id a essa
[A; B]d = (d )1 [A; B]d = (d )1 [Ad ; B d ] (1) :
Mas, pelo lema anterior (e pela propriedade de homomor…smo de
[ Ad ; B d ] = [Ae ; B e ]. Daí que
),
[Ad ; B d ] =
[A; B]d = [Ae ; B e ] (1) = [A; B]e ;
2
Alterando um pouco o ponto de vista, esta proposição, mostra que as estruturas
de álgebra de Lie em T1 G induzidas por Invd e Inve são isomorfas, no sentido em que
existe uma aplicação linear inversível L : T1 G ! T1 G tal que L[A; B]d = [LA; LB]e . De
fato, tome L = id. Então, L[A; B]d = [A; B]d enquanto que [LA; LB]e = [A; B]e ,
portanto id é um isomor…smo. Visto ainda de outra maneira, a proposição anterior
mostra que a aplicação de…ne um isomor…smo entre Invd e Inve munidos do colchete
de Lie de campos de vetores.
De…nição 5.6 A álgebra de Lie de G, denotada por g ou L (G), é qualquer uma das
álgebras de Lie isomorfas Invd , Inve , (T1 G; [ ; ]d ) ou ainda (T1 G; [ ; ]e ).
O isomor…smo entre invd;e e T1 G se re‡ete na notação utilizada em que X 2 g
signi…ca tanto um elemento de T1 G quanto um campo de vetores invariante.
Para o desenvolvimento da teoria pode-se escolher qualquer uma dessas álgebras de
Lie para representar g. A diferença principal está, é claro, na escolha entre invariância
à direita e à esquerda. Dependendo da realização que for tomada, algumas fórmulas
são alteradas, mudando a ordem em que aparecem os elementos que a constituem.
No entanto, escolhendo de antemão o tipo de campo invariante, todas as fórmulas
são desenvolvidas de forma coerente. Um critério para a escolha entre os campos
invariantes à esquerda ou à direita surge no momento de estudar ações de grupos. Se
forem consideradas ações à esquerda (o que ocorre quando se escreve o valor de uma
função f como f (x)) então os campos que interessam são os invariantes à direita. Já
em ações à direita (quando se escreve uma função f como (x) f ), o que conta são os
campos invariantes esquerda.
Exemplos:
101
1. Conforme foi calculado nos exemplos da seção anterior, os campos invariantes
à direita em Gl (n; R) são da forma XA (g) = Ag, com A uma matriz n n,
enquanto que os invariantes à esquerda são da forma YA (g) = gA.
Em coordenadas locais o colchete de Lie de dois campos é dado por
[X; Y ] = dY (X)
dX (Y ) :
Para uma matriz A o campo XA se estende uma aplicação linear no espaço das
matrizes. Portanto, dXA = XA . Assim, aplicando essa fórmula do colchete a XA
e XB , obtém-se
[XA ; XB ] (g) = B (Ag) A (Bg) ;
isto é, [XA ; XB ] = XBA AB . Por outro lado, o colchete de Lie de campos invariantes à esquerda é dado por [YA ; YB ] = XAB BA . Dessa forma, as álgebras
de Lie Invd e Inve se identi…cam com o espaço das matrizes n n. Em Invd o
colchete é dado por [A; B] = BA AB, enquanto que em Inve o colchete é dado
por [A; B] = AB BA.
2. Se A é uma álgebra associativa, então a álgebra de Lie do grupo de Lie G (A) é
dada por comutadores em A, da mesma forma que em Gl (n; R).
3. Para o grupo dos quatérnions H sua álgebra de Lie é o próprio H com o colchete
dado pelo comutador
[p; q] = qp pq:
4. Os campos invariantes em (Rn ; +) são os campos constantes. Como o colchete
de Lie de campos constantes se anula (como segue da fórmula do colchete em
coordenadas, veja a proposição A.5), a álgebra de Lie do grupo abeliano (Rn ; +)
é abeliana, isto é, satisfaz [ ; ] 0.
5. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente então a
álgebra de Lie de G H é g h, onde o colchete é dado por
[(X1 ; Y1 ) ; (X2 ; Y2 )] = ([X1 ; X2 ]; [Y1 ; Y2 ]) :
De maneira, mais geral, a álgebra de Lie de um produto direto G1
Gk é
o produto direto g1
gk de suas álgebras de Lie, em que o colchete é dado
coordenada a coordenada.
6. Se G é um grupo de Lie discreto, dim G = 0 e, portanto, g = f0g.
2
Outros exemplos de álgebras de Lie de grupos de Lie serão apresentados no próximo
capítulo, sobre subgrupos de Lie de grupos de Lie.
102
5.3
Aplicação exponencial
A aplicação exponencial exp : g ! G é o objeto central usado para transferir ao grupo
de Lie G propriedades de sua álgebra de Lie g. A idéia básica de sua construção é que,
por de…nição, os elementos de g são equações diferenciais ordinárias em G (campos
invariantes), que possuem ‡uxos, os quais são formados por difeomor…smos locais de
G. Os elementos formadores desses ‡uxos se identi…cam naturalmente a elementos de
G, permitindo construir, a partir de X 2 g, um subgrupo de G parametrizado por
t 2 R (subgrupo a 1-parâmetro). A aplicação exponencial é construida a partir desses
subgrupos.
Para colocar esses comentários de maneira precisa, seja X um campo invariante (à
esquerda ou à direita em G). Denote por Xt o seu ‡uxo. Em princípio Xt é um ‡uxo
local, isto é, para t …xado, o domínio domXt de Xt é o subconjunto aberto de G das
condições iniciais cujas soluções se prolongam até t.
A invariância de X acarreta a seguinte simetria do ‡uxo Xt : suponha, por exemplo,
que X 2 Invd , tome g; h 2 G com h 2 domXt e considere a curva (t) = Xt (h) g. O seu
domínio é um intervalo aberto de R, contendo 0 com (0) = hg pois X0 (h) = h. Além
do mais, pela regra da cadeia 0 (t) = d (Dg )Xt (h) (X (Xt (h))), e como X é invariante
à direita segue que
0
(t) = X (Xt (h) g) = X ( (t)) :
Portanto, é solução de dg=dt = X (g) com condição inicial
Xt (hg). Isso signi…ca que
Xt (hg) = Xt (h) g
(0) = hg, isto é,
X 2 Invd :
(t) =
(5.1)
Tomando em particular h = 1, …ca Xt (g) = Xt (1) g. Isto é, a solução que passa por g
é obtida por translação à direita da solução que passa pelo elemento neutro.
De maneira análoga, se mostra que
gYt (h) = Yt (gh)
Y 2 Inve
(5.2)
e Yt (g) = gYt (1) se Y é campo invariante à esquerda.
Como as trajetórias são obtidas umas das outras por translação, elas se prolongam
ao mesmo intervalo de R, isto é, as soluções maximais dos campos invariantes têm todas
os mesmos intervalos de de…nição. Isso permite mostrar que os campos invariantes são
completos, isto é, suas trajetórias se prolongam a ( 1; +1).
Proposição 5.7 Um campo invariante (à esquerda ou à direita) é completo.
Demonstração: Tome um campo X invariante à direita, cujo ‡uxo é denotado por
Xt . Seja ( ; !) com < 0 e ! > 0 o intervalo comum das soluções maximais maximais
t 7! Xt (g), g 2 G. Suponha por absurdo que ! < 1. De…na as curvas
x (t) = Xt (1)
y (t) = Xt !=2 X!=2 (1)
t 2 ( ; !)
t 2 ( + !=2; 3!=2) :
5.3. Aplicação exponencial
103
Ambas são soluções da equação diferencial g_ = X (g). Como x (!=2) = y (!=2) =
X!=2 (1) a unicidade de soluções garante que x (t) = y (t) no intervalo ( + !=2; !),
que é a interseção dos domínios de de…nição das curvas. Portanto, as duas curvas
de…nem uma solução z (t) cujo domínio de de…nição é a união ( ; 3!=2) dos intervalos
de de…nição de x e y. Como z (0) = 1, isso contradiz o fato de que o intervalo da
solução maximal é ( ; !). Daí que ! = 1. Da mesma forma, = 1, concluíndo a
demonstração.
2
Uma outra consequência das propriedades de invariância (5.1) e (5.2) são as seguintes igualdades:
Se X 2 Invd então Xt+s (1) = Xt (Xs (1)) = Xt (1) Xs (1) = Xs (1) Xt (1).
Se Y 2 Inve então Yt+s (1) = Yt (Ys (1)) = Yt (1) Ys (1) = Ys (1) Yt (1).
Essas igualdades implicam que X t (1) = (Xt (1)) 1 e Y t (1) = (Yt (1)) 1 . Daí que
se X 2 Invd e Y 2 Inve então suas trajetórias que passam pela origem
fXt (1) : t 2 Rg
e
fYt (1) : t 2 Rg
são subgrupos de G. Na verdade esses subgrupos coincidem caso X (1) = Y (1).
Proposição 5.8 Sejam X e Y campos de vetores invariantes à direita e à esquerda,
respectivemente, que coincidem no elemento neutro, isto é, X (1) = Y (1). Então suas
trajetórias Xt (1) e Yt (1), que passam pelo elemento neutro coincidem para todo t 2 R.
Demonstração: Basta veri…car que a curva (t) = Xt (1) satisfaz a equação diferencial g_ = Y (g), o que segue do seguinte cálculo de derivada
0
d
d
Xt+s (1)js=0 = Xt (1) Xs (1)js=0
dt
dt
= dE (t) 1 (X (1)) = Y ( (t)) :
(t) =
2
Uma vez feita essa discussão dos campos invariantes pode-se de…nir a aplicação
exponencial num grupo de Lie.
De…nição 5.9 Seja X 2 T1 G. Então, exp X = X d t=1 (1) = (X e )t=1 (1). Como é
usual exp X também se escreve como eX . Isso de…ne uma aplicação exp : g ! G onde
g = T1 G é a álgebra de Lie de G.
A aplicação exponencial é bem de…nida pois os campos invariantes são completos,
daí que a solução de g_ = X (g) que passa pelo elemento neutro quando t = 0 se estende
a t = 1.
104
Se Z é um campo de vetores e a 2 R então as trajetórias de Z e aZ coincidem e
seus ‡uxos satisfazem (aZ)t = Zat . Aplicando essa observação aos campos X d e X e se
vê que suas trajetórias pelo elemento neutro são dadas por
X d t (1) = (X e )t (1) = exp tX:
Pelas propriedades enunciadas acima dessas trajetórias segue que a aplicação exponencial t 7! exp (tX), X 2 g, é um homomor…smo, isto é,
exp (t + s) X = exp (tX) exp (sX) = exp (sX) exp (tX)
e sua imagem fexp (tX) : t 2 Rg é um subgrupo de G. Esse subgrupo é denominado
de subgrupo a 1-parâmetro gerado por X 2 g.
A seguinte proposição reúne propriedades da aplicação exponencial e dos ‡uxos dos
campos invariantes, que foram discutidas acima.
Proposição 5.10 Valem as seguintes a…rmações:
1. Se X é campo invariante à direita então Xt = Eexp(tX) , isto é, Xt (g) = exp (tX) g.3
2. Se X é campo invariante à esquerda então Xt = Dexp(tX) , isto é, Xt (g) =
g exp (tX).
3. exp 0 = 1.
4. Se n 2 Z então (exp X)n = exp (nX) para todo n 2 Z. Em particular, (exp X)
exp ( X).
1
=
Exemplos:
1. Como foi visto os campos invariantes à direita em Gl (n; R) são da forma X (g) =
Ag, com A matriz n n. A equação diferencial associada a X é o sistema linear
dg
= Ag
dt
no espaço das matrizes.
Sua solução fundamental é dada pela exponencial de
P
1 k
matrizes exp A = k 0 k! A , que coincide, portanto, com a aplicação exponencial
em Gl (n; R).
2. Se A é uma álgebra associativa,
então aplicação exponencial do grupo de Lie
P
G (A) é dada por exp A = k 0 k!1 Ak ,da mesma forma que em Gl (n; R).
3
Nessa a…rmação X denota ao mesmo tempo um campo invariante e um elemento de T1 G. Essa
ambiguidade aparente vem do isomor…smo entre os espaços dos campos invariantes e o espaço tangente
T1 G.
5.3. Aplicação exponencial
105
3. Em (Rn ; +) os campos invariantes são constantes: X (x) = x + v. O ‡uxo de um
campo desses é dado pelas translações Xt (x) = x + tv. Tomando x = 0, vê-se
que
exp (tv) = tv:
Em particular, exp (v) = v e exp = id.
4. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie g e h respectivamente então
exp (X; Y ) = (exp X; exp Y ) se (X; Y ) 2 g h, a álgebra de Lie de G H. Isso se
deve a que os campos invariantes à direita no produto direto G H são da forma
(X; Y ) com X campo invariante à direita em G e Y campo invariante à direita
em H. Portanto, suas soluções podem ser encontradas coordenada a coordenada.
A mesma observação vale para um produto direto G1
Gk onde a exponencial
é dada pelo produto cartesiano das exponenciais em cada grupo.
2
Além das propriedades algébricas da aplicação exponencial, enunciadas na proposição
5.10, sua diferenciabilidade também é relevante. A aplicação exponencial foi de…nida
através da solução da equação diferencial dg=dt = X (g), com X campo invariante. O
conjunto das equações de…nidas (por exemplo) pelos campos invariantes à direita pode
ser colocada numa única equação dependente do parâmetro A 2 T1 G, escrevendo
dg
= f (A; g)
dt
(5.3)
onde f : T1 G G ! T G é dada por f (A; g) = (dDg )1 (A). No caso em que G e p são
de classe pelos menos C 2 , f é de classe 1. Portanto as soluções de (5.3) dependem
diferenciavelmente do parâmetro A. Isso signi…ca que a aplicação exponencial exp :
g ! G é diferenciável.
A diferencial de exp é amplamente utilizada no desenvolvimento da teoria. Existe
uma fórmula para essa diferencial em termos de uma série cujos termos sucessivos são
colchetes de elementos em g. Essa fórmula será demonstrada no capítulo 8. Um de seus
casos particulares é a expressão enunciada abaixo para a diferencial da exponencial na
origem 0 2 g. Para ler a expressão a ser escrita deve-se levar em conta que exp 0 = 1,
assim, (d exp)0 é uma aplicação linear g ! T1 G = g.
Proposição 5.11 (d exp)0 = id.
d
exp (0 + X)jt=0 . Mas essa dedt
tX
rivada é exatamente A pois a curva e é solução de dg=dt = X d (g). Portanto,
(d exp)0 (X) = X, concluindo a demonstração.
2
Demonstração:
Dado X 2 g, (d exp)0 (X) =
Corolário 5.12 Existem uma vizinhança U de 0 2 g e uma vizinhança V de 1 em G
tal que expjU : U ! V é um difeomor…smo.
106
Demonstração:
inversível.
Segue do teorema da função inversa e do fato que (d exp)0 = id é
2
Corolário 5.13 Seja G um grupo de Lie conexo e tome g 2 G. Então, existem
X1 ; : : : ; Xs 2 g tal que
g = exp (X1 ) exp (Xs ) :
Demonstração: Como G é conexo, a vizinhança V do corolário anterior gera G, isto
é,
[
G=
V n:
n 1
Um elemento de V n é da forma g1
gn com gi = exp Xi 2 V . Portanto, um elemento
n
de V é um produto de exponenciais, o mesmo ocorrendo com g 2 G arbitrário.
2
Pelo corolário anterior todo elemento de um grupo de Lie conexo G é um produto
de exponenciais, que em geral envolve mais de um fator, pois nem todo elemento de G é
da forma exp X, isto é, nem sempre a aplicação exponencial é sobrejetora. O exercício
13, ao …nal do capítulo, mostra a não sobrejetividade no grupo Gl (2; R).
De acordo com o corolário 5.12 a aplicação log = exp 1 : V ! U é um difeomor…smo entre um aberto de G e um aberto de um espaço vetorial. Portanto, log
pode ser considerada uma carta, ou sistema de coordenadas local, de G. Essa carta é
denominada de sistema de coordenadas de primeira espécie.
Um outro tipo de sistema de coordenadas nas vizinhanças do elemento neutro,
obtida por exponenciais, é dada pela seguinte aplicação: tome uma base fX1 ; : : : ; XN g
de g e considere a aplicação
: (t1 ; : : : ; tN ) 2 RN 7 ! et1 X1
Ela satisfaz
vale
(0) = 1 e d
d
0
0
(ei ) =
etN XN 2 G:
(5.4)
= id, pois para cada elemento ei da base canônica de Rn ,
d
@
(0) =
(0; : : : ; ti ; : : : ; 0)jti =0 = Xi :
@ti
dti
Portanto, d 0 é isomor…smo o que acarreta que em alguma vizinhança de 0 2 RN ,
é um difeomor…smo. Uma aplicação dessas é chamada de sistema de coordenadas
de segunda espécie.
5.4
Homomor…smos
Sejam G e H grupos de Lie. Um homomor…smo : G ! H diferenciável entre G e H
é chamado de homomor…smo de grupos de Lie. A mesma terminologia se aplica
a isomor…smos e automor…smos de grupos de Lie.
5.4. Homomor…smos
107
A condição de ser diferenciável faz parte da de…nição de homomor…smo de grupos de
Lie. Para veri…car se um homomor…smo : G ! H entre grupos de Lie é diferenciável
basta veri…car a diferenciabilidade em um único ponto. De fato, valem as igualdades
Dg = D
Eg = E
(g)
(g)
:
Da primeira delas se obtém = D (g)
Dg 1 . Aplicando a regra da cadeia se vê que
se é diferenciável no elemento neutro 1 então também é diferenciável em g 2 G.
Levando em conta o principio de que os grupos de Lie devem ser estudados através
das álgebras de Lie, os homomor…smos entre grupos de Lie serão descritos através de
homomor…smos entre suas álgebras de Lie.
Um homomor…smo entre as álgebras de Lie g e h é uma aplicação linear : g ! h
que satisfaz [X; Y ] = [ X; Y ] para todo X; Y 2 g. A relação entre os homomor…smos
de grupos e álgebras de Lie é fornecida pela diferencial no elemento neutro. Essa relação
será provada a seguir usando algumas fórmulas envolvendo homomor…smos de grupos
e exponenciais.
Lema 5.14 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente.
Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável e tome X 2 g. Então, para todo
g 2 G, vale
d
onde Y = d
1
X d (g) = Y d ( (g))
g
d
g
(X e (g)) = Y e ( (g))
(X).
Demonstração: Como X d é campo invariante à direita,
d
g
X d (g) = d
g
d (Dg )1 (X) = d (
Dg )1 (X) :
Mas, o último termo coincide com
d(
Dg )1 (X) = d D
(g)
1
(X) = d D
(g)
d
1
(X)
e daí que d g X d (g) = d D (g) d 1 (X) = Y d ( (g)), que é a igualdade do enunciado. A demonstração para os campos invariantes à esquerda é semelhante.
2
Dois campos de vetores X e Y são ditos -relacionados se d x (X (x)) = Y ( (x)).
Nesse caso as trajetórias de Y são as imagens por
das trajetórias de X (veja o
apêndice A). O lema anterior garante que os campos invariantes à direita (ou à esquerda) de…nidos por X 2 T1 G e Y = d 1 (X) são -relacionados. Como as trajetórias
dos campos invariantes são dadas pelas respectivas exponenciais, segue do lema acima
a seguinte fórmula fundamental para homomor…smos.
Proposição 5.15 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente. Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável e tome X 2 g. Então,
(exp (X)) = exp (d
1
(X)) :
(5.5)
108
Uma outra propriedade dos campos -relacionados é que seus colchetes de Lie também são -relacionados (veja a proposição A.2 no apêndice A). Segue então do lema
5.14 a propriedade de homomor…smos da diferencial d 1 .
Proposição 5.16 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente. Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável. Então, d 1 : g ! h é
homomor…smo, isto é,
d 1 [X; Y ] = [d 1 X; d 1 Y ]
(5.6)
com o colchete invariante à direita ou à esquerda.
Demonstração: Se Z = d 1 (X) e W = d 1 (Y ) então X d e Z d assim como Y d e W d
são -relacionados. Portanto, pela proposição A.2 do apêndice A, [X; Y ]d e [Z; W ]d são
-relacionados. Daí que
[Z; W ]d = [Z; W ]d (1) = d 1 [X; Y ]d :
O mesmo vale para os campos invariantes à esquerda.
2
O homomor…smo d 1 entre as álgebras de Lie é às vezes denominado de homomor…smo in…nitesimal associado a .
A última proposição acima a…rma que homomor…smos de grupos de Lie induzem
homomor…smos de álgebras de Lie. O procedimento inverso, isto é, a construção homomor…smos de grupos que “estendem” homomor…smos de álgebras de Lie, nem sempre
é possível. Por exemplo, se G = S 1 e H = R então dim g = dim h = 1 e, portanto, existem isomor…smos entre g e h. Mas, nenhum isomor…smo é da forma d 1 , pois o único
homomor…smo G ! H é constante, já que S 1 é compacto e f0g é o único subgrupo de
R contido num compacto (veja o exercício 20 do capítulo 2). O que está em jogo aqui
são propriedades topológicas globais do dominio G (o seu grupo fundamental). Essa
questão será amplamente discutida no capítulo 7 e é relevante para estudar classes de
isomor…smos de grupos de Lie a partir das álgebras de Lie.
Exemplo: O determinante det : Gl (n; R) ! R n f0g é um homomor…smo sobre o
grupo multiplicativo real. Esse homomor…smo é diferenciável. Para obter d (det)1 tome
uma matriz A e uma curva gt = (aij (t))ni;j=1 2 Gl (n; R) tal que g0 = 1 e a0ij (0) = A.
A derivada do produto
det (gt ) =
X
( 1) a1
(1)
(t)
an
(n)
(t)
em t = 0 vale trA. Portanto, d (det)1 (A) = trA. Como pode ser veri…cado diretamente, a aplicação A 2 gl (n; R) 7! trA 2 R é um homomor…smo de álgebras de Lie.
A fórmula (5.5) diz que det eA = etrA .
2
5.4. Homomor…smos
5.4.1
109
Representações
Um caso particular de homomor…smo entre grupos de Lie é quando o contra-domínio é
um grupo linear Gl (V ). Nesse caso, o homomor…smo é chamado representação de G
no espaço vetorial V . O espaço V é chamado de espaço da representação e dim V
sua dimensão. A seguir V é um espaço vetorial real.
Seja é uma representação de dimensão …nita (diferenciável) de G em V . A álgebra
de Lie do grupo Gl (V ) é denotada por gl (V ), ela coincide com o espaço vetorial das
transformações lineares V ! V com o colchete dado pelo comutador. A diferencial
de na identidade d 1 : g ! gl (V ) é um homomor…smo de álgebras de Lie e como
tal uma representação em V da álgebra de Lie g. Essa representação é denominada
representação in…nitesimal associada a . É comum denotar a representação in…nitesimal com a mesma notação (isto é, = d 1 ). A fórmula que relaciona as duas
representações é dada pela proposição 5.15:
(exp X) = exp (d
1
(5.7)
(X)) :
A exponencial no segundo membro é a do grupo linear e, portanto, pode ser escrita
como a soma de uma série de potências.
Exemplos:
1. Seja G = Gl (n; R). Sua representação canônica em Rn é a aplicação identidade.
A representação in…nitesimal correspondente também é a identidade, isto é, associa a um elemento de gl (n; R) a transformação linear correspondente de Rn .
Essa a…rmação segue de
d tA
e jt=0 = A:
dt
2. Novamente, seja G = Gl (n; R) e considere o produto tensorial
Tk =
Ok
Rn = Rn
Rn
e, para g 2 G, de…na a transformação linear k (g) : Tk ! Tk , de tal forma que
nos produtos tensoriais v1
vk , v1 ; : : : ; vk 2 Rn , vale
k
(g) (v1
vk ) = gv1
gvk :
A aplicação k é uma representação de Gl (n; R). Sua representação in…nitesimal
é calculada pela derivada
d tA
e v1
dt
etA vk
jt=0
=
k
X
v1
Avi
vk :
i=1
2
110
Se
por
é uma representação de G em V então a representação dual de , denotada
, é a representação de G no dual V de V de…nida por
(g) ( ) =
(g)
1
g 2 G;
2V :
Se g é a álgebra de Lie de G então a representação in…nitesimal correspondente é dada
por
(X) ( ) =
(X)
X 2 g; 2 V :
5.4.2
Representações adjuntas
Existe uma representação natural de um grupo de Lie G em sua álgebra de Lie g. Essa
representação é construida da seguinte forma: um elemento g 2 G de…ne o automor…smo interno Cg (x) = gxg 1 . É claro que Cg (1) = 1, portanto d (Cg )1 é uma aplicação
linear g ! g. Dados g; h 2 G,
Cg
Ch (x) = g hxh
1
g
1
= Cgh (x) ;
o que implica que d (Cg )1 d (Ch )1 = d (Cgh )1 . Daí que a aplicação g 7! d (Cg )1 é uma
representação de G em g, isto é, um homomor…smo de G em Gl (g).
De…nição 5.17 A representação adjunta Ad : G ! Gl (g), de G em sua álgebra
de Lie g é de…nida por
Ad (g) = d (Cg )1 = d (Eg Dg 1 )1 = d (Dg 1 Eg )1
= (dEg )g 1 (dDg 1 )1 = (dDg 1 )g (dEg )1 :
A representação Ad é diferenciável.
De acordo com a proposição 5.16, para qualquer g 2 G, Ad (g) = d (Cg )1 é um
homomor…smo de g. Na verdade um automor…smo, uma vez que Ad (g) 1 = Ad (g 1 ).
Isso signi…ca que a imagem de Ad está contida no grupo dos automor…smos Aut (g) de
g (que é um grupo de Lie como será veri…cado no próximo capítulo).
Uma fórmula bastante utilizada em relações envolvendo a representação adjunta
é obtida aplicando a proposição 5.15 a
= Cg . Dessa proposição se obtém que
Cg (exp X) = exp (dCg )1 (X) , isto é,
g exp (X) g
1
= exp (Ad (g) X) :
(5.8)
Como Ad é uma representação diferenciável, pode-se considerar sua representação
in…nitesimal, que é uma representação da álgebra de Lie g em si mesma, isto é, um
homomor…smo de álgebras de Lie g ! gl (g). Como será demonstrado abaixo, a
representação in…nitesimal é nada mais nada menos que a representação adjunta de
g, que é de…nida a seguir.
De…nição 5.18 Seja g uma álgebra de Lie. Sua representação adjunta, é a aplicação ad : g ! gl (g) de…nida por
ad (X) (Y ) = [X; Y ]:
5.4. Homomor…smos
111
A identidade de Jacobi garante que a aplicação ad é de fato um homomor…smo de
álgebras de Lie, onde o colchete em gl (g) é dado pelo comutador.
Uma aplicação linear D : g ! g é denominada derivação, se
D[X; Y ] = [DX; Y ] + [X; DY ]:
A propriedade de Jacobi para colchetes em álgebras de Lie garante que as aplicações
ad (X), X 2 g, são derivações de g. Elas são denominadas de derivações internas
de g.
Proposição 5.19 Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie g, com o colchete dado
pelos campos invariantes à esquerda. Então, d (Ad)1 (X) = ade (X) para todo X 2 g e
vale a igualdade
Ad (exp X) = exp (ade (X)) :
(5.9)
(O subíndice “e” foi colocado para enfatizar que o colchete é dado pelos campos invariantes à esquerda).
Demonstração: Seja X um campo invariante à esquerda. Então, d (Ad)1 (X) é uma
aplicação linear g ! g. Para calculá-la, seja Y outro campo invariante à esquerda. Se
t 2 R então
Ad etX (Y ) = d (EetX De tX )1 (Y )
= d (De tX )etX (d (EetX )1 (Y )) :
Como Y é invariante por translações à esquerda,
d (EetX )1 (Y ) = Y etX :
Agora, o ‡uxo Xt de X é dado por Xt = Dexp(tX) . Usando esse ‡uxo a igualdade acima
se reescreve como
Ad etX (Y ) = d (X t )Xt (1) (Y (Xt (1))) :
Derivando esta igualdade em relação a t e usando a fórmula que de…ne o colchete de
Lie de campos de vetores chega-se a
d
Ad etX (Y )
dt
jt=0
= [X; Y ] (1) :
Como X e Y são campos invariantes à esquerda, a última igualdade signi…ca que
d
Ad etX
dt
jt=0
= ade (X) ;
mostrando que ad é a representação in…nitesimal associada a Ad. A segunda fórmula
do enunciado é um caso particular de (5.7), que vale para representações em geral. 2
A igualdade [X; Y ]e = [X; Y ]d implica que ade (X) = add (X), X 2 g o que
acrescenta um sinal na fórmula da proposição anterior, para o caso dos campos invariantes à direita.
112
Proposição 5.20 Se na proposição anterior forem tomados campos invariantes à direita então d (Ad)1 (X) = add (X) para todo X 2 g e
Ad (exp X) = exp ( add (X)) :
(5.10)
As fórmulas (5.8) e (5.9) (ou (5.10)) formam a base para estabelecer relações entre
as propriedades de um grupo de Lie G e sua álgebra de Lie g. O primeiro membro
de (5.8) envolve o produto em G enquanto que o segundo membro de (5.9) depende
apenas do colchete em g. Ambos são ligados a um termo intermediário envolvendo
Ad (g), g 2 G. Numa aplicação típica de (5.8) e (5.9) uma propriedade de G acarreta
numa propriedade Ad (g), g 2 G, derivando (5.8). Uma nova derivada, agora de
(5.9), leva a uma propriedade de ad (X), X 2 g. O procedimento recíproco é feito
através de duas “integrais”. Esse processo que envolve duas derivadas está no espírito
da proposição A.6 do apêndice A, no qual o colchete de Lie é interpretado como a
derivada segunda de um comutador.
O caso dos grupos abelianos no exemplo a seguir ilustra o método de aplicar as
fórmulas (5.8) e (5.9).
Exemplo: Seja G um grupo abeliano. Então, sua álgebra de Lie é abeliana. De fato,
por (5.7)
etAd(g)X = getX g 1 = etX
para todo g 2 G, X 2 g e t 2 R. A derivada dessa igualdade, em t = 0, fornece
Ad (g) X = X para todo g 2 G, X 2 g, isto é, Ad (g) = id para todo g 2 G. Portanto,
por (5.9) se Y 2 g então id = Ad (exp tY ) = exp (tade (Y )). Derivando esse último
termo em t = 0 se obtém ade (Y ) = 0 para todo Y 2 g, o que signi…ca que a álgebra
de Lie é abeliana.
Reciprocamente, G é abeliano se for conexo e g for abeliana. Nesse caso deve-se
começar aplicando (5.9) para concluir que
Ad etY = etade (Y ) = 1
se Y 2 g. Daí que por (5.8), eY eX e Y = eX , isto é, eY eX = eX eY para todo X; Y 2 g.
Mas, G é gerado por exponenciais, já que é conexo. Portanto, dois elementos quaisquer
g = eX1
eXn e h = eY1
eYm de G comutam.
2
Como foi observado acima, cada Ad (g), g 2 G, é um automor…smo de g. Podese então considerar Ad como um homomor…smo de grupos Ad : G ! Aut (g), onde
Aut (g) denota o grupo dos automor…smos de g. A imagem de Ad é um subgrupo de
Aut (g). No próximo capítulo será provado que essa imagem é um subgrupo de Lie.
Já o núcleo ker Ad é um subgrupo fechado de G, pois o Ad é uma aplicação diferenciável e, em particular, contínua, a valores no grupo Gl (g). A proposição a seguir
descreve esse núcleo.
Proposição 5.21 Seja
Z (G0 ) = fg 2 G : 8h 2 G0 ; gh = hgg
5.4. Homomor…smos
113
o centralizador da componente conexa do elemento neutro G0 . Então, ker Ad =
Cent (G0 ).
Demonstração: É consequência da fórmula
eAd(g)X = geX g
1
e do corolário 5.13. Em primeiro lugar, se g 2 Cent (G0 ) então
eAd(g)X = eX
para todo X 2 g, pois exp X 2 G0 . Mas, exp é um difeomor…smo ao redor da origem,
isto é, existe uma vizinhança V
g de 0 tal que exp é injetora nessa vizinhança.
Portanto, Ad (g) X = X para todo X 2 V . Isso ímplica que Ad (g) = id pois para
todo Y 2 g existe r 2 R tal que rY 2 V e como Ad (g) é linear, segue que Ad (g) Y = Y .
Isso mostra que Cent (G) ker Ad.
Por outro lado, se g 2 ker Ad então, Ad (g) X = X para todo X 2 g e daí que
eX = geX g 1 :
Isto signi…ca que g comuta com todos os elementos da forma exp X, X 2 g. Portanto,
g comuta com produtos de exponenciais exp (X1 ) exp (Xs ), isto é, g comuta com os
elementos de G0 .
2
Corolário 5.22 O centro Z (G) = fg 2 G : 8h 2 G; gh = hgg está contido em
ker Ad e ambos coincidem se G é conexo.
Demonstração: De fato, Z (G)
Cent (G0 ) e vale a igualdade se G = G0 .
2
O centro de um grupo é um subgrupo abeliano. Segue então do corolário acima que
ker Ad é abeliano caso G seja conexo. Essa a…rmação não vale em geral. Por exemplo,
se G é um grupo discreto então G = ker Ad, que não precisa ser abeliano.
A proposição acima (principalmente o corolário) está em concordância com o fato
de que o núcleo ker ad da representação adjunta de g é o seu centro
z (g) = fX 2 g : 8Y 2 g; [X; Y ] = 0g:
Será mostrado posteriormente que o centro Z (G) é um subgrupo de Lie de G. Sua
álgebra de Lie é o centro z (g) de g.
Exemplos:
1. Em Gl (n; R), Ad (g) coincide com a conjugação Cg , pois Cg se estende a uma
transformação linear no espaço das matrizes, portando coincide com Ad (g) que é
sua diferencial na identidade. Em outras palavras, se A 2 gl (n; R) e g 2 Gl (n; R)
então
Ad (g) A = gAg 1 :
114
O centro de Gl (n; R) é o subgrupo das matrizes escalares a 1, 0 6= a 2 R. Apesar
de Gl (n; R) ter duas componentes conexas a expressão para Ad (g) con…rma de
imediato que Z (Gl (n; R)) = ker Ad.
2. Num grupo abeliano G a representação adjunta é trivial: Ad (g) = id para todo
g 2 G, pois Cg = id.
2
A representação dual Ad da representação adjunta Ad é denominada de representação co-adjunta.
5.5
Equações diferenciais ordinárias
Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dada curva A : (a; b) ! g de…nida no
intervalo (a; b) R pode-se de…nir em G a equação diferencial ordinária, dependente
do tempo, por translação à direita como
dg
= dDg (A (t)) ;
(5.11)
dt
Na notação compacta a equação acima pode ser escrita como g_ = A (t) g. Da mesma
forma, pode-se escrever a equação obtida por translação à esquerda
dg
= dEg (A (t)) = gA (t) :
(5.12)
dt
Os teoremas de existência e unicidade de soluções se aplicam a essas equações sob
condições bastante gerais para A. Isso porque as equações dependem diferenciavelmente
de g. Quanto à dependência em relação a t, que provém de A, deve-se assumir que
A é mensurável e localmente integrável (em relação à medida de Lebesgue restrita ao
intervalo (a; b)), no sentido em que para todo t 2 (a; b) existe " > 0 tal que A ( ) restrita
a (t "; t + ") é integrável. Essa condição é satisfeita, por exemplo, no caso em que A
é contínua ou contínua por partes.
Nessas condições a teoria de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias garante que, dada uma condição inicial (t0 ; g0 )
(a; b) G existe
> 0 e uma única solução : (t0
; t0 + ) ! G com (t0 ) = g0 . Essa solução é
uma função absolutamente contínua, que tem derivada em quase todos os pontos de
(t0
; t0 + ) e nesses pontos a equação é satisfeita. Além do mais, pela dependência
contínua em relação às condições iniciais, pode ser escolhido de tal forma que para
todo (t; g) nas vizinhanças de (t0 ; g0 ) a solução com condição inicial (t; g) está de…nida
em todo o intervalo (t0
; t0 + ).
As equações diferenciais invariantes generalizam as equações de…nidas pelos campos
invariantes à direita e à esquerda e têm propriedades semelhantes às mesmas. Por
exemplo, uma translação à direita de uma solução de (5.11) também é solução. De
fato, dados (t) com 0 (t) = A (t) (t) e g 2 G, de…na (t) = Dg ( (t)). Então,
0
(t) = dDg (
0
(t)) = dDg dD
(t)
(A (t)) = dD
(t)
(A (t)) ;
5.6. Medida de Haar
115
isto é, também é solução de (5.11). Da mesma forma, a equação (5.12) é invariante
à esquerda.
Em particular, as soluções de ambas equações são obtidas transladando (à direita
ou à esquerda, respectivamente) as soluções que passam pelo elemento neutro.
Sendo assim, para cada s 2 (a; b) denote por d (s; t) a solução da equação invariante
à direita (5.11) com condição inicial d (s; s) = 1, de…nida num intervalo aberto I
(a; b) que contém s. Então, a solução com condição inicial (s; g), g 2 G, é a translação
à direita por g: d (s; t) g. Em particular, se g = d (u; s) então, como função de t
o produto d (s; t) d (u; s) é uma solução com condição inicial (u; 1). Daí que vale a
fórmula
d
(u; t) = d (s; t) d (u; s) :
(5.13)
Para a equação invariante à esquerda (5.12) a situação é a mesma: se e (s; t) é
a solução com condição inicial (s; 1) então g e (s; t) é a solução com condição inicial
(s; g) e vale a igualdade
e
(u; t) = e (u; s) e (s; t) :
(5.14)
Note que em particular, qualquer solução com condição inicial (s; g), g 2 G, tem
o mesmo intervalo maximal de de…nição. O objetivo agora é provar que esse intervalo
maximal coincide com o domínio de de…nição (a; b) de A. Isso generaliza a proposição
5.7.
Proposição 5.23 Seja A : (a; b) ! g uma curva mensurável e localmente integrável.
Então, para todo t0 2 (a; b) e g0 2 G, existe uma única solução
: (a; b) ! G de
(5.11), de…nida em todo o intervalo (a; b), tal que (t0 ) = g0 . O mesmo resultado vale
para (5.12).
Demonstração: Tome c 2 (a; b) e suponha, para …xar as idéias que t0 < c. Deve-se
mostrar que a solução t 7! d (t0 ; t) se prolonga até c. Para isso, observe que para cada
s 2 [t0 ; c] existe s > 0 tal que a solução com condição inicial (s; 1) está de…nida no
intervalo (s
< sk tal
s ; s + s ). Por compacidade existem …nitos elementos s1 <
que t0 = s1 , c = sk e para cada i a solução d (si ; t) se prolonga até si+1 . Aplicando,
reitradamente, a fórmula (5.13) obtém-se então que
d
(t0 ; c) =
d
(sk 1 ; c)
está bem de…nida, concluíndo a demonstração.
5.6
d
(s1 ; s2 )
d
(t0 ; s1 )
2
Medida de Haar
A construção geral de medidas de Haar em grupos localmente compactos, feita no
capítulo 3, pode ser bem simpli…cada no caso de grupos de Lie. Isso porque em variedades diferenciáveis pode-se de…nir medidas através de formas volume, o que facilita a
construção de medidas invariantes em grupos de Lie.
116
Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g o dual de g. Uma
forma-volume em g é uma n-forma não nula onde n = dim g. Por exemplo, se
= 1^
^ n é uma n-forma em g. O espaço
1 ; : : : ; n é uma base de g então
n
das n-formas ^ g tem dimensão 1.
Uma forma volume em g de…ne uma forma volume invariante em G (também
denotada por ) por translação:
g
= (dEg 1 )1
2 ^n Tg G:
Essa forma é invariante à esquerda, isto é, (Eg ) = para todo g 2 G. Reciprocamente, uma forma volume invariante à esquerda é completamente determinada pelos
seu valor em 1, que é um elemento de ^n g . Da mesma forma se de…ne formas volume
invariantes à direita. (Para mais informações sobre formas diferenciais invariantes veja
o capítulo 14.)
Uma forma volume invariante em G ou é identicamente nula ou não se anula em
nenhum ponto de G. Além do mais, se 6= 0 é uma forma volume invariante então
qualquer outra forma invariante 0 = a de com a 2 R.
Falando por alto a integral de uma função f : M ! R numa variedade M , em
relação a uma forma volume , é de…nida num sistema de coordenadas : U Rn !
M como
Z
Z
f d = f (x) jw (x)j dx
(U )
onde dx = dx1 ^
^ dxn é a forma volume canônica em Rn , f = f
e a função
w : U ! R é de…nida pela igualdade
= wdx. A integral no segundoRmembro
não varia com : U ! M , o que permite de…nir intrinsecamente a integral f d da
função f em relação a . Módulo algumas questões técnicas essas integrais dão origem
a uma medida de Borel (regular)
em M . As medidas de Borel
satisfazem as
seguintes propriedades.
1. Se 1 = h
onde h : M ! R é uma função então 1 = jhj , como segue da
de…nição local em sistemas de coordenadas. Isto é, 1 é absolutamente contínua
em relação a
com derivada de Radon-Nikodym jhj.
2. Se : M ! M é um difeomor…smo e não se anula em nenhum ponto de M
então existe uma função h : M ! R tal que
= h . Portanto,
=h
:
Seja agora
a medida de Borel associada à forma volume invariante à esquerda
no grupo de Lie G. Então,
é invariante por translações à esquerda (Eg )
=
implica que Eg = . Portanto ela é uma medida de Haar (invariante à esquerda)
em G. Duas medidas de Haar não nulas construídas dessa forma são obtidas uma da
outra por reescalonamento, pois se 1 = a , a 6= 0, então, 1 = jaj . Essas medidas
cobrem todas as medidas de Haar num grupo de Lie, pelo teorema de unicidade das
medidas de Haar em grupos localmente compactos.
5.7. Exercícios
117
As medidas de Haar invariantes à direita são obtidas da mesma maneira, através
de formas volume invariantes à direita.
Conforme foi discutido no capítulo 3, as medidas invariantes à esquerda não são
necessariamente invariantes à direita, sendo que a relação entre elas é dada pela função
modular . Seja d uma forma-volume invariante à direita. Sua translação à esquerda
é (Eg ) d = (Ad (g) )d . Porém, Ad (g) = det Ad (g) , daí que Eg d = det Ad (g) d .
Em particular, a forma volume invariante à esquerda e , que é dada por eg =
(dEg )1
(onde = d1 ), satisfaz
e
Passando às medidas de Haar, sejam e e
respectivamente. Da igualdade acima segue que
e
d
= det Ad (g)
d
= jdet Ad (g)j
(5.15)
:
as medidas de…nidas por
e
e
d
,
d
Isso signi…ca que jdet Ad (g)j é a derivada de Radon-Nikodym e em relação a
Pela seção 3.4 do capítulo 3 segue que a função modular de G é
d
.
(g) = jdet Ad (g)j :
Em particular, um grupo de Lie é unimodular se jdet Ad (g)j = 1 para todo g 2 G.
5.7
Exercícios
1. Mostre que um campo de vetores invariante à direita X no grupo de Lie G
também é invariante à esquerda se, e só se, Ad (g) X = X para todo g 2 G.
Mostre também que isso ocorre se, e só se, exp tX 2 Z (G) para todo t 2 R.
2. Num grupo de Lie G considere um novo produto g h = hg. Denote por G o
grupo com esse produto. Mostre que G ainda é um grupo de Lie, isomorfo a G.
Como se relacionam os campos invariantes em G e G ?
3. Dê exemplo de um grupo de Lie cuja variedade subjacente é difeomorfa a algum
Rn , mas o produto não é abeliano.
4. Uma aplicação a…m de um espaço vetorial V real é uma aplicação da forma
g (x) = P x + v com P : V ! V linear e v 2 V . Veri…que que g é inversível se, e
só se, P é inversível. Mostre que o grupo Af (V ) das aplicações a…ns inversíveis
é um grupo de Lie se dim V < 1. Descreva os campos invariantes em Af (V ) e
a álgebra de Lie af (V ) de Af (V ).
5. Descreva as conjugações e as adjuntas no grupo a…m Af (n) = Af (Rn ) e na
álgebra de Lie correspondente af (n).
118
6. Mostre que num grupo de Lie os campos de vetores invariantes à direita comutam
com os campos invariantes à esquerda. Mostre que se G é conexo então um campo
de vetores X é invariante à direita se, e só se, [X; Y ] = 0 para todo campo de
vetores Y invariante à esquerda. (Use o fato de que todo elemento de um grupo
de Lie conexo é produto de exponenciais.)
7. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão …nita. Uma derivação de g é uma
transformação linear D : g ! g que satisfaz D[X; Y ] = [DX; Y ] + [X; DY ]
para quaisquer X; Y 2 g. Mostre que D é derivação se, e só se, exp (tD) é
automor…smo de g, para todo t 2 R. (Sugestão: considere as equações diferenciais
satisfeitas por etD [X; Y ] e [etD X; etD Y ].)
8. Mostre que os homomor…smos contínuos (R; +) ! (R; +) são aplicações analíticas.
9. Seja G um grupo de Lie. Mostre que existe uma vizinhança U da identidade que
não contém nenhum subgrupo de G, exceto o trivial f1g.
10. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dados X; Y 2 g, use as fórmulas
(5.8) e (5.9) para mostrar que [X; Y ] = 0 se, e só se, etX esY = esY etX para todo
s; t 2 R. Mostre também que nesse caso eX+Y = eX eY .
11. Encontre os homomor…smos diferenciáveis Gl (n; R) ! R. (Sugestão: encontre
os homomor…smos in…nitesimais : gl (n; R) ! R.)
12. Mostre que todo subgrupo a 1-parâmetro de O (3) é fechado. Essa a…rmação é
verdadeira em O (n), n > 3?
13. Mostre que exp : gl (2; R) ! Gl+ (2; R) não é sobrejetora. (Sugestão: use a
forma canônica de Jordan para mostrar que as partes reais dos auto-valores de
g = exp A são iguais se forem negativas.)
14. Mostre que todo elemento de Sl (2; R) pode ser escrito como um produto eX eY ,
X; Y 2 sl (2; R). (Sugestão: use o processo de ortonormalização de GramSchmidt para escrever uma matriz g = kt com k matriz ortogonal e t triangular
superior.)
15. Mostre que toda matriz complexa n n é exponencial de alguma matriz. (Sugestão: reduza o problema a um bloco de Jordan.)
16. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Mostre que se : R ! G é um
homomor…smo diferenciável então (t) = exp (tX) para algum X 2 g.
17. A forma de Cartan-Killing de uma álgebra de Lie g é a forma bilinear simétrica
h ; i de…nida por hX; Y i = tr (ad (X) ad (Y )), X; Y 2 g. Mostre que toda
derivação D de g é anti-simétrica em relação à forma de Cartan-Killing, isto é,
hDX; Y i+ hX; DY i = 0 para todo X; Y 2 g. Mostre também que um automor…smo de g é uma “isometria” da forma de Cartan-Killing, isto é, h X; Y i =
hX; Y i, para todo X; Y 2 g.
5.7. Exercícios
119
18. Seja G um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie g. Mostre que os autovalores de ad (X), X 2 g, são puramente imaginários e conclua que a forma de
Cartan-Killing de g é negativa semi-de…nida (hX; Xi 0 para todo X 2 g).
19. Seja G um grupo de Lie conexo e : G ! Gl (V ) uma representação de G no
espaço vetorial V , com dim V < 1. Seja uma forma bilinear em V . Mostre
que os elementos de (G) são isometrias de ( ( (g) u; (g) v) = (u; v)) se,
e só se, os elementos da representação in…nitesimal são transformações lineares
anti-simétricas em relação a .
20. Dado um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g, sejam z (g) = fX 2 g :
8Y 2 g; [X; Y ] = 0g o centro de g e Z (G) = fg 2 G : 8h 2 G; gh = hgg o
centro de G. Mostre que para todo X 2 z (g), exp X 2 Z (G). Reciprocamente,
X 2 z (g) se para todo t 2 R, exp (tX) 2 Z (G).
21. Seja G um grupo de Lie conexo tal que Z (G) é um subgrupo discreto. Seja
H = Ad (G) a imagem da representação adjunta. Mostre que Z (H) = f1g.
(Tome Ad (g) 2 Z (H) e mostre que getX g 1 = etX para t 2 R e X na álgebra de
Lie de G.)
22. Seja g uma álgebra de Lie tal que [X; [Y; Z]] = 0 para todo X; Y; Z 2 g. Mostre
que o produto , dado por
X
1
Y = X + Y + [X; Y ]
2
de…ne em g uma estrutura de grupo. Mostre também que esse grupo é de Lie se
g é uma álgebra de Lie de dimensão …nita sobre R, de tal forma que sua álgebra
de Lie coincide com g.
23. No exercício anterior suponha que g é de dimensão …nita, de tal forma que torna
g um grupo de Lie, com álgebra de Lie isomorfa a g. Dados X; Y 2 g, considere
a curva (t) = etX etY e tX e tY e calcule 0 (0) e 00 (0).
24. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente, e :
G ! H um homomor…smo diferenciável tal que d 1 é isomor…smo. Mostre que
ker é um subgrupo discreto. Mostre também que se G e H são conexos então
é uma aplicação de recobrimento. Conclua que se H é simplesmente conexo,
então é isomor…smo.
25. Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h com G conexo. Mostre
que se ; : G ! H são homomor…smos diferenciáveis tais que d 1 = d 1 então
= . Dê exemplos para mostrar que o resultado não vale se G não é conexo.
26. Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e H um subgrupo de Lie
com subálgebra h g. Suponha que para um elemento g 2 G vale
X
g=
Ad (g)k h:
k 0
120
Mostre que existe um inteiro k
1 tal que o produto (gH)k = gH
gH (k
vezes) tem interior não vazio em G. Use isso para concluir que todo elemento de
G é produto de elementos de gH ou de Hg 1 .
27. Seja G um grupo de Lie e g_ = A (t) g uma equação diferencial ordinaria invariante
à direita em G. Denote por gt uma solução dessa equação. Mostre que ht =
Ad (gt ) satisfaz a equação diferencial h_ = ad (A (t)) h.
28. Sejam G um grupo de Lie, M uma variedade diferenciálvel e f : M G ! R
uma função diferenciável de suporteR compacto. Mostre que se é a medida de
Haar em G então a função F (x) = G f (x; g) (dg) é diferenciável.
29. Seja G um grupo de Lie conexo.
tr (ad (X)) = 0 para todo X 2 g.
Mostre que G é unimodular se, e só se,
30. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Mostre que se a álgebra
derivada g0 = [g; g] coincide com g então G é unimodular. (A álgebra derivada
é o espaço vetorial gerado pelos colchetes [X; Y ] com X; Y 2 g.)
31. Considere o grupo de Heisenberg G formado pelas matrizes
0
1
1 x z
@ 0 1 y A:
0 0 1
Escreva a expressão da medida de Haar de G nas coordenadas (x; y; z), isto é, na
forma f (x; y; z) dxdydz.
Capítulo 6
Subgrupos de Lie
Nesse capítulo serão estudados os subgrupos de um grupo de Lie sob o ponto de vista do
cálculo diferencial. Isso signi…ca que serão considerados os subgrupos que são também
grupos de Lie, com uma estrutura de subvariedade diferenciável. A álgebra de Lie de
um subgrupo de Lie é uma subálgebra da álgebra de Lie do grupo ambiente (subespaço
do espaço tangente no elemento neutro). Um dos objetivos é establecer a bijeção entre
as subálgebras de Lie e os subgrupos de Lie, o que é feito recorrendo aos teoremas
de integrabilidade de distribuições. (Um apanhado da teoria de integrabilidade de
distribuições se encontra no apêndice B, assim como diversos conceitos e resultados
sobre subvariedades, que são utilizados neste capítulo.)
6.1
De…nição e exemplos
De…nição 6.1 Seja G um grupo de Lie e H
G um subgrupo. Então, H é um
subgrupo de Lie de G se H é uma subvariedade imersa de G tal que o produto
H H ! H é diferenciável em relação à estrutura intrínseca de H.
(Conforme de…nido no apêndice B, uma subvariedade imersa da variedade M é
um subconjunto N
M , que admite uma estrutura de variedade tal que a inclusão
i : N ,! M é uma imersão. A estrutura diferenciável em N é a estrutura intrínseca
mencionada na de…nição.)
Na de…nição de subgrupo de Lie deve-se prestar atenção à exigência de que o produto em H é diferenciável em relação à estrutura intrínseca. A questão é que se H é
um subgrupo e uma subvariedade imersa então a restrição a H H do produto em
G fornece uma aplicação diferenciável H H ! G, que assume valores em H. Isso
não garante automaticamente que a aplicação correspondente H H ! H (produto
em H) seja diferenciável ou sequer contínua em relação à estrutura intrínseca, o que é
necessário para que H seja um grupo de Lie.
Um caso bastante geral no qual o produto H H ! H é diferenciável é quando H
é uma subvariedade imersa quase-regular (ou quase-mergulhada –veja a de…nição
no apêndice B). Nesse caso a aplicação diferenciável H H ! G assume valores em
H e, portanto, é diferenciável em relação à topologia intrínseca (pela proposição B.3).
121
122
Capítulo 6. Subgrupos de Lie
Em particular, subgrupos que são subvariedades mergulhadas são automaticamente
subgrupos de Lie, pois as subvariedades mergulhadas são quase-regulares. Ou ainda,
se o subgrupo H é a imagem inversa de um valor regular de uma aplicação diferenciável
f : G ! M então H também é subgrupo de Lie, pois essas variedades de nível são
subvariedades mergulhadas (abaixo serão apresentados alguns exemplos de subgrupos
desse tipo).
Cabe ressaltar que nos teoremas a serem demonstrados a estrutura diferenciável
no subgrupo é construída como subvariedade integral maximal de uma distribuição
integrável. Essas subvariedades são quase-regulares, como segue da proposição B.24.
Em suma, para o desenvolvimento da teoria não se perderia muito em generalidade ao
assumir, na de…nição de subgrupo de Lie, que H é um subgrupo e ao mesmo tempo
uma subvariedade quase-regular.1
Uma outra forma de ver os subgrupos de Lie vem da observação de que se H G é
um subgrupo de Lie de G então a inclusão j : H ,! G é um homomor…smo, que é uma
imersão injetora. Por outro lado, se : L ! G é um homomor…smo diferenciável e
injetor do grupo de Lie L então sua imagem é um subgrupo de Lie. De fato, a igualdade
Eg = E (g)
implica, pela regra da cadeia, que se g 2 G então
d
g
= dE
(g) 1
d
1
(dEg 1 )g :
Daí que tem posto constante. O teorema do posto assegura então que se é injetora
então é imersão e, portanto, sua imagem é um subgrupo de Lie (veja a proposição
7.1 no capítulo 7). Dessa forma uma de…nição alternativa é que um subgrupo de Lie
de G é a imagem de um homomor…smo injetor : L ! G, onde L é um grupo de Lie.
(Posteriormente, será demonstrado no capítulo 7 que a imagem de um homomor…smo
diferenciável : L ! G qualquer é um subgrupo de Lie de G sem a hipótese de que
é injetora.)
Exemplos:
1. Se G é um grupo de Lie então a componente conexa do elemento neutro G0 é um
subgrupo aberto e portanto subgrupo de Lie, já que as subvariedades abertas são
mergulhadas.
2. Se G é um grupo de Lie então qualquer subgrupo a 1-parâmetro
fexp (tX) : X 2 g; t 2 Rg
é subgrupo de Lie. De fato, se a curva t 7! exp (tX) é fechada tem-se uma
imersão injetora de S 1 ! G. Caso contrário o grupo a 1-parâmetro é uma
imersão injetora R ! G. Em ambos os casos, t 7! exp (tX) é um homomor…smo
injetor e diferenciável. Portanto sua imagem é um subgrupo de Lie.
3. Se H é subgrupo de Lie de G e L é um subgrupo de Lie de H então L também
é subgrupo de Lie de G, como segue direto da de…nição. Em particular, a componente conexa do elemento neutro H0 de H, que é um subgrupo normal de H,
também é subgrupo de Lie de G.
1
Alguns autores adotam essa de…nição como, por exemplo Varadarajan [57].
6.1. De…nição e exemplos
123
4. Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável. Então, tem posto constante
e daí que ker = 1 f1g é uma subvariedade mergulhada. Portanto, ker é um
subgrupo de Lie de G.
5. O toro bidimensional T2 S 1 S 1 é um grupo de Lie. Ele é isomorfo ao quociente
R2 =Z2 . Seja : R2 ! R2 =Z2 T2 o homomor…smo de…nido pelo quociente. As
retas (r ) onde r = fx (1; ) 2 R2 : x 2 Rg são subgrupos de T2 e, ao mesmo
tempo, subvariedades quase-regulares de dimensão 1 (veja o exemplo no inicio do
apêndice B). Portanto, (r ) é subgrupo de Lie. Se é racional o subgrupo é
fechado (e compacto), já se é irracional o subgrupo é denso.
Da mesma forma, seja n : Rn ! Rn =Zn a projeção canônica sobre o toro Tn .
Se V
Rn é um subespaço vetorial então n (V ) é um subgrupo de Lie Tn . Este
exemplo se estende ainda aos cilindros Rn =Zk , 0 k n.
6. Seja O (n) o subgrupo das matrizes ortogonais n n. Para veri…car que O (n) é
um subgrupo de Lie de Gl (n; R) considere a aplicação : Gl (n; R) ! Mn n (R)
dada por (g) = g T g. É claro que O (n) = 1 f1g. Por outro lado, se A é uma
T
matriz então d g (A) = AT g + g T A = g T A + g T A. Daí que o núcleo de d g é
dado por
1
ker d g = f g T
B : B T + B = 0g;
1
que é a translação à esquerda por g T
do espaço das matrizes anti-simétricas.
Portanto, tem posto constante em todo ponto de Gl (n; R). Em particular
O (n) = 1 f1g é uma subvariedade mergulhada de Gl (n; R), o que mostra que
o grupo ortogonal é subgrupo de Lie.
A componente conexa do elemento neutro de O (n) é SO (n) = fg 2 O (n) :
det g = 1g, que também é um subgrupo de Lie.
7. Outros grupos de Lie lineares, isto é, subgrupos de Lie de Gl (n; R) são:
(a) Grupo linear especial, Sl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g = 1g = ker (det).
(b) Grupo unitário, U (n) das matrizes complexas n n tais g T g = gg T = 1.
Este grupo, assim como O (n) é uma subvariedade mergulhada, imagem
inversa de valor regular de (g) = gg T .
(c) Grupo simplético real, Sp (n; R) formado pelas matrizes reais n
g T Jg = gJg T = J onde
J=
0
idn
n
idn
0
n
Esse grupo é imagem inversa de valor regular de
n tais que
:
(g) = gJg T .
8. O exemplo a seguir é um tanto quanto …ctício (e a subvariedade que aparece não
é paracompacta), mas ilustra a necessidade de se preocupar com a diferenciabilidade em relação à estrutura intrínseca. O grupo G = C tem duas estruturas
124
de variedade de diferenciável. A canônica e outra em que os abertos da topologia intrínseca são abertos das retas verticais (veja o exemplo 7, no capítulo 2).
A segunda pode ser vista como uma subvariedade imersa da primeira. Nessa
subvariedade imersa o produto não é contínuo pois uma rotação de =2 de um
intervalo vertical não é aberto intrínseco.
2
6.2
Subálgebras e subgrupos de Lie
O princípio que norteia a construção da teoria dos grupos de Lie é o de obter informações sobre a estrutura dos grupos de Lie a partir das álgebras de Lie. Seguindo
esse princípio os subgrupos de Lie de um grupo G são estudados relacionado-os às
subálgebras da álgebra de Lie g de G.
A inclusão j : H ,! G de um subgrupo de Lie H no grupo de Lie G é um homomor…smo diferenciável. Como foi visto no capítulo anterior, a diferencial dj1 no
elemento neutro é um homomor…smo de álgebras de Lie. No entanto, dj1 é a inclusão
do espaço tangente T1 H no espaço tangente T1 G. Essa inclusão é um homomor…smo.
Portanto, T1 H é uma subálgebra de Lie de g, o que signi…ca que a álgebra de Lie de
um subgrupo de Lie se identi…ca (é isomorfa) a uma subálgebra da álgebra de Lie do
grupo. Essas observações valem tanto para a álgebra de Lie dos campos invariantes à
direita quanto à esquerda. Aliás, a igualdade [ ; ]d = [ ; ]e mostra que um subespaço
de T1 G é subálgebra de [ ; ]d se, e só se, é subálgebra de [ ; ]e .
Olhando a álgebra de Lie h de H como uma subálgebra de g, a aplicação exponencial
de H é nada mais nada menos que a restrição da aplicação exponencial de G. Isso segue
da proposição 5.15. De fato, escreva expH e expG as aplicações exponenciais de H e G,
respectivamente. Como a inclusão j é um homomor…smo diferenciável, a proposição
5.15 mostra que j (expH X) = expG (dj1 (X)). Identi…cando h com um subconjunto de
g, essa igualdade signi…ca que a exponencial em H coincide com a restrição a h da
aplicação exponencial em G.
O objetivo agora é obter os subgrupos de Lie de G a partir das subálgebras de
Lie de g. A técnica empregada para isso vem da teoria de distribuições em variedades
diferenciáveis (veja B), que permitirá estabelecer uma bijeção entre os subgrupos de
Lie conexos e as subálgebras de Lie. (Essa bijeção não funciona no caso não conexo
pois um subgrupo e sua componente conexa da identidade tem a mesma álgebra de
Lie. Por exemplo, de um subgrupo de Lie também é um subgrupo de Lie e ambos têm
a mesma álgebra de Lie. Por exemplo, O (n) e sua componente da identidade SO (n)).
A idéia da construção dos subgrupos a partir das subálgebras vem das seguintes
observações. Seja H
G um subgrupo de Lie cuja álgebra de Lie é h. Para todo
g 2 H a translação à direita Dg deixa H invariante, isto é, Dg H H e a restrição de
Dg a H é um difeomor…smo de H. Isso implica que para todo h 2 H a imagem por
d (Dg )h do espaço tangente Th H Th G é o subespaço Thg H. Em particular, o espaço
6.2. Subálgebras e subgrupos de Lie
125
tangente a H em g é d (Dg )1 h. Da mesma forma, Dg é um difeomor…smo entre H e a
classe lateral Hg e daí que o espaço tangente a Hg em g é d (Dg )1 h.
As expressões para os espaços tangentes mostram que o subgrupo conexo H, assim
como suas classe laterais Hg, são subvariedades integrais conexas da distribuição dh
em G de…nida por
d
(6.1)
h (g) = d (Dg )1 h:
Essa distribuição depende apenas de h. Os mesmos comentários valem para a distribuição eh (g) = d (Eg )1 h, invariante à esquerda de…nida por H. Nesse caso as
variedades integrais são as classes laterais gH.
A idéia então consiste em reverter esses argumentos. Dada uma subálgebra de
Lie h pode-se de…nir a distribuição dh como em (6.1) (ou por translações à esquerda
e
d
h = d (Eg )1 h). Se for mostrado que
h é integrável então o canditato a ser o subgrupo
de Lie conexo com álgebra de Lie h será a variedade integral conexa maximal de dh
(ou de eh ) que passa pelo elemento neutro 1. Essa estratégia reproduz em dimensões
maiores construção dos subgrupos a 1-parâmetro e suas classe laterais.
A integrabilidade das distribuições dh e eh segue de uma aplicação imediata do
teorema de Frobenius, que garante que uma distribuição de dimensão constante é
integrável se o colchete de Lie entre campos de vetores tangentes ainda é tangente à
distribuição (veja o teorema B.11 no apêndice B). Mais especi…camente, a versão do
teorema de Frobenius enunciada no Corolário B.15 se aplica diretamente a uma base
de campos invariantes de…nida por uma base de h.
A seguir será apresentada uma demonstração direta da integrabilidade das distribuições dh e eh , que exibe explicitamente as variedades integrais. Essa demonstração está baseada na idéia de distribuições características, que são integráveis (veja
o teorema B.9). A questão é que a distribuição dh além de ser invariante à direita é
também invariante pelas translações à esquerda EeY se Y 2 h. O mesmo vale para eh ,
invertendo os papéis das translações à direita e à esquerda. O lema a seguir permite
demonstrar essa invariância.
Lema 6.2 Sejam h uma subálgebra de Lie e X; Y 2 h. Então, Ad eY X 2 h.
Demonstração: De fato,
Ad eY X = ead(Y ) X =
X 1
ad (Y )k X:
k!
k
Como h é subálgebra, cada termo da série pertence a h. Portanto, a soma da série está
de h, que é um subespaço vetorial fechado.
2
Segue desse lema a seguinte invariância por translações.
Lema 6.3 Se Y 2 h então (dEeY )x dh (x) = dh eY x para qualquer x 2 G. O
mesmo resultado vale para translações à direita por eY , Y 2 h, da distribuição eh .
126
Demonstração: Para g; x 2 G e X 2 g vale
(dEg )x X d (x)
= (dEg )x (dDx )1 (X) = d (Dx Eg )1 (X)
= (dDgx )1 d (Dg 1 Eg )1 (x)
= (Ad (g) X)d (gx) :
Em particular se X 2 h e g = eY , Y 2 h, então pelo lema Ad eY X 2 h e
d
eY x . Como
daí que Ad eY X
eY x 2
eY x , isto é, (dEeY )x X d (x) 2
d
d
d
d
eY x e a igualdade
h (x)
h (x) = fX (x) : X 2 hg, se conclui que (dEeY )x
vale pois as dimensões coincidem.
2
Com esse lema pode-se construir variedades integrais das distribuições invariantes.
Teorema 6.4 Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h g uma subálgebra
de Lie. Então, as distribuições dh (g) = d (Dg )1 h e eh (g) = d (Eg )1 h são integráveis.
Demonstração: Considere a distribuição invariante à direita dh . Tome uma uma
base fX1 ; : : : ; Xk g de h e para g 2 G de…na a aplicação : Rk ! G por
(t1 ; : : : ; tk ) = et1 X1
etk Xk g:
Suas derivadas parciais são dadas por
d
(t1 ; : : : ; tk ) = d (Eet1 X1
dti
eti
1 Xi 1
)zi Xid (zi )
etk Xx g. Essas derivadas parciais pertencem a dh (zi ), como pode-se
onde zi = eti Xi
ver por aplicações sucessivas do lema anterior. Isso signi…ca que a imagem de d t está
contida em dh ( (t)) para todo t 2 Rk Por outro lado,
d
(0) = Xid (g) ;
dti
o que garante que a diferencial d 0 na origem é injetora. Portanto, d t é injetora numa
vizinhança U de 0 e como as dimensões coincidem, se conclui que a restrição de a U
é uma variedade integral de dh .
A distribuição invariante à esquerda eh é tratada da mesma forma multiplicando
as exponenciais à direita: get1 X1
etk Xx .
2
Como mencionado acima, esse teorema é uma consequência do teorema de Frobenius. Além dessas demonstrações, no exercício 7 do capítulo 8 se indica uma outra
construção de variedades integrais, usando a fórmula da diferencial da aplicação exponencial. Ainda sobre o teorema acima deve-se observar que a aplicação , que está
de…nida globalmente em Rk , não é em geral uma imersão em todo Rk . Um exemplo
disso é sugerido no exercício 3, ao …nal do capítulo.
Uma vez tendo a integrabilidade das distribuições dh e eh pode-se considerar suas
variedades integrais conexas maximais. De acordo o apêndice B valem as seguintes
a…rmações:
6.2. Subálgebras e subgrupos de Lie
127
1. Para cada g 2 G existem variedades integrais conexas maximais para dh e eh .
Essas variedades são denotadas por Ihd (g) e Ihe (g), respectivamente. (Veja o
teorema B.19.)
2. Se N G é uma variedade integral conexa de dh (respectivamente de eh ) com
g 2 N então N é uma subvariedade aberta de Ihd (g) (respectivamente de Ihe (g)).
(Veja o teorema B.19.)
3. As variedades integrais conexas maximais são subvariedades quase-regulares. (Veja
a proposição B.24. Aqui se usa a hipótese de que G é uma variedade paracompacta.)
As variedades integrais Ihd (g) são invariantes por translações à direita. De fato, a
invariância à direita de dh implica que Ihd (g) h = Dh Ihd (g) é uma variedade integral
conexa de dh . Como gh 2 Ihd (g) h se concluí que Ihd (g) h
Ihd (gh). Essa inclusão
Dh 1 Ihd (gh) e este último termo é
é uma igualdade pois Ihd (g) = Dh 1 Ihd (g) h
uma variedade integral conexa. Daí que as variedades integrais conexas maximais são
dadas por
Ihd (g) = Ihd (1) g. Da mesma forma, Ihe (g) = gIhe (1).
Agora é possível demonstrar o teorema de existência de um subgrupo de Lie com
subálgebra de Lie dada.
Teorema 6.5 Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lie g, seja h
g uma subd
e
álgebra. Então, as subvariedades integrais conexas maximais Ih (1) e Ih (1) são dadas
por
Ihd (1) = Ihe (1) = feY1
eYs : s 0; Yi 2 hg:
(6.2)
Esse conjunto é um subgrupo de Lie com álgebra de Lie h. Suas classes laterais são as
variedades integrais maximais Ihd (1) g = Ihd (g) e gIhe (1) = Ihe (g).
Demonstração: Tudo se reduz a demonstrar a igualdade (6.2). Para isso de…na em
Ihd (1) a relação g h se existem Y1 ; : : : ; Ys 2 h tal que
g = e Y1
eYs h;
que é obviamente uma relação de equivalência. A…rmação: as classes de equivalência
dessa relação de equivalência são conjuntos abertos de Ihd (1). De fato, tome g 2 Ihd (1) e
fX1 ; : : : ; Xk g uma base de h. Então, como na demonstração do teorema 6.4 a aplicação
(t1 ; : : : ; tk ) = et1 X1
etk Xk g
de…ne uma variedade integral N com g 2 N . Por de…nição se h 2 N então h g e como
N
Ihd (1) é aberto, segue que g pertence ao interior de sua classe de equivalência.
Isso mostra que qualquer classe de equivalência é aberta. Como o complementar de
uma classe de equivalência é a união das demais classes, se conclui que as classes
128
de equivalência são conjuntos abertos e fechados. De onde se conclui que g
h se
d
d
d
Y1
Ys
g; h 2 Ih (1) pois Ih (1) é conexo. Daí que Ih (1) = fe
e : s 0; Yi 2 hg, já que
o segundo membro é a classe de equivalência de 1.
Da mesma forma, as subvariedades integrais (t1 ; : : : ; tk ) 7! get1 X1
etk Xk , g 2
Ihe (1), mostram a igualdade do enunciado para Ihe (1).
Agora, a expressão (6.2) mostra de imediato que Ihd (1) = Ihe (1) é subgrupo. Por …m,
esse subgrupo é de Lie pois uma variedade integral conexa maximal é quase-regular. 2
Deve-se ressaltal que Ihd (1) = Ihe (1), como ocorre com os subgrupos a 1-parâmetro.
Como complemento ao teorema anterior falta veri…car a unicidade do subgrupo de
Lie conexo com subálgebra de Lie dada.
Proposição 6.6 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Então, para qualquer
subálgebra de Lie h g, existe um único subgrupo conexo H G, cuja álgebra de Lie
é h.
Demonstração: De fato, se H é um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie h
então H é gerado por exponenciais expH X, X 2 h. Como a aplicação exponencial em
H é a restrição da exponencial em G, se conclui que H é dado por (6.2), o que mostra
a unicidade de H. A existência foi garantida no teorema acima.
2
Notação: O único subgrupo conexo H com álgebra de Lie h é denotado por hexp hi.
Esta notação é consistente com a fórmula (6.2) que diz que H é gerado pelo conjunto
exp h.
Os resultados acima mostram que todo subgrupo de Lie conexo é uma variedade
integral de uma distribuição e, consequentemente, é uma subvariedade quase-regular.
Em geral, distribuições integráveis admitem cartas adaptadas (veja a seção B.4 no
apêndice B). No caso particular da distribuição dh (ou dh ), cujas variedades integrais
são as classes laterais de hexp hi, uma carta adaptada ao redor da identidade é dada
pela exponencial em G da seguinte forma:
Proposição 6.7 Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h g uma subálgebra. Suponha que e g é um subespaço vetorial que complementa h em g = e h.
Então, existem abertos 0 2 V
e, 0 2 U
h e 1 2 W
G tal que a aplicação
: V
U ! W de…nida por (X; Y ) = (exp X) (exp Y ) é um difeomor…smo e,
portanto, uma carta adaptada a h . Em outras palavras, W = (exp V ) (exp U ).
Demonstração: A aplicação : h e ! G dada por (X; Y ) = (exp X) (exp Y ) é
bem de…nida. Sua diferencial em (0; 0) é a aplicação identidade, isto é, a inclusão de
V h em g. Portanto, é um difeomor…smo local nas vizinhanças da origem, garantindo a existência das vizinhanças U e W do enunciado. Para cada Y 2 e, (fY g h)
está contido na classe lateral (exp Y ) hexp hi, que é variedade integral de h . Daí que
é carta adaptada.
2
Exemplos:
6.3. Ideais e subgrupos normais
129
1. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão …nita. A imagem de sua representação
adjunta ad : g ! gl (g) é a álgebra de Lie de transformações lineares
ad (g) = fad (X) 2 gl (g) : X 2 gg:
O único subgrupo conexo hexp (ad (g))i de Gl (g) cuja álgebra de Lie é ad (g) é
denotado por Int (g). Como exp ad (X) = Ad (exp X) os elementos de Int (g) são
automor…smos de g. Eles são denominados de automor…smos internos de g.
Se G é conexo então Int (g) é a imagem da representação adjunta de G, pois tanto
G quanto hexp (ad (g))i são gerados por exponenciais.
2. O teorema de Ado2 garante que toda álgebra de Lie de dimensão …nita g admite
uma representação …el (isto é, injetora) : g ! gl (V ) de dimensão …nita dim V =
n. Nesse caso g é isomorfa à sua imagem (g). Portanto, se g é uma álgebra de
Lie real então ela é isomorfa a uma subálgebra de Lie de gl (n; R) do grupo de Lie
Gl (n; R). Daí que o subgrupo G = hexp (g)i é um grupo de Lie com álgebra de
Lie isomorfa a g. Em suma, toda álgebra de Lie sobre R é (isomorfa) a álgebra
de Lie de algum grupo de Lie. Esse é o conteúdo do que se conhece pelo terceiro
teorema de Lie.
2
6.3
Ideais e subgrupos normais
O objetivo desta seção é particularizar para subgrupos normais as relações estabelecidas
na seção anterior entre subgrupos de Lie e subálgebras de Lie.
Sejam g uma álgebra de Lie e v um subespaço de g. O normalizador de v em g,
denotado por n (v) é de…nido por
n (v) = fX 2 g : ad (X) v
vg:
Segue da identidade de Jacobi que n (v) é uma subálgebra de g. Claramente v é uma
subálgebra se, e só se, v n (v) e v é um ideal de g se n (v) = g, isto é, se [X; v] v
para todo X 2 g.
Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e tome um subespaço v
g. O
normalizador de v em G, denotado por N (v) é de…nido por
N (v) = fg 2 G : Ad (g) v = vg:
Como Ad é um homomor…smo o normalizador N (v) é um subgrupo de G.
Proposição 6.8 Seja H um subgrupo de Lie de G e denote por h sua álgebra de Lie.
Suponha que g 2 G normaliza H, isto é, gHg 1
H. Então, g normaliza h, isto é,
Ad (g) h = h.
2
Veja o capítulo 10 de Álgebras de Lie [49].
130
Demonstração: Para X 2 h, vale a fórmula:
getX g
1
= etAd(g)X ;
para todo t 2 R. O fato de que g normaliza H implica que etAd(g)X é uma curva em H.
Ela é diferenciável em relação à estrutura intrínseca de H e sua derivada em t = 0 é
Ad (g) X. Portanto, Ad (g) X está em T1 H T1 G, isto é, em h. Isso mostra a inclusão
Ad (g) h h e, portanto, a igualdade Ad (g) h = h.
2
Corolário 6.9 Se H é um subgrupo de Lie normal de G então sua álgebra de Lie h é
um ideal da álgebra de Lie g de G.
Demonstração: Dado X 2 g, a proposição anterior garante que Ad etX h = h,
para todo t 2 R. Em particular, se Y 2 h então a curva Ad etX Y
h, o que implica
que sua derivada em t = 0 está em h. Mas,
d
Ad etX Yjt=0 = [X; Y ]e
dt
2
A recíproca a esse corolário deve a…rmar que se h é um ideal de g então hexp hi é
um subgrupo normal. Essa recíproca não vale caso G não seja conexo (veja exemplo
abaixo). A demonstração no caso conexo é apresentada a seguir.
Proposição 6.10 Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e h
ideal. Então, H = hexp hi é um subgrupo normal de G.
g um
Demonstração: Como H é produto de exponenciais de elementos de h, basta mostrar
que g eX g 1 2 H se g 2 G e X 2 h. Mas,
g eX g
1
= eAd(g)X :
Portanto basta mostrar que Ad (g) h = h para todo g 2 G. Para isso tome Y 2 g.
Então, ad (Y ) h
h pois h é ideal. Como a transformação linear ad (Y ) deixa h invariante, o mesmo ocorre com sua exponencial. Portanto, Ad eY h = ead(Y ) h = h
para todo Y 2 g. Agora usando a hipótese de que G é conexo, todo elemento g 2 G
é um produto de exponenciais e, portanto, Ad (g) h = h, concluindo a demonstração. 2
Os os subgrupos normais aparecem na teoria de grupos como núcleos de homomor…smos. No caso de um um homomor…smo diferenciável , foi mencionado no exemplo
4 da seção 6.1 que o seu núcleo é um subgrupo de Lie e portanto, um subgrupo de Lie
normal cuja álgebra de Lie é o ideal ker (d )1 .
Exemplo: Foi mostrado na proposição 6.10 que num grupo de Lie conexo G o subgrupo hexp hi é normal se h é um ideal. A hipótese de que G é conexo é essencial,
6.4. Limites de produtos de exponenciais
131
como mostra o seguinte exemplo. Seja R o subgrupo …nito de rotações em R2 gerado
2
, onde q é um inteiro > 2 (por exemplo, se = =2 então R tem
pelo ângulo =
q
quatro elementos). O conjunto G = R
R2 é um subgrupo de Lie do grupo das
transformações a…ns de R2 . A componente conexa da identidade de G é f1g R2 e a
quantidade de componentes conexas de G é igual a ordem de R . A álgebra de Lie g
de G é a álgebra abeliana bidimensional (R2 ). Qualquer subespaço de g é um ideal e
o subgrupo conexo associado se identi…ca ao subespaço. No entanto, esses subgrupos
não são normais se tiverem dimensão 1, pois as rotações em R não deixam invariante
nenhum subespaço de dimensão 1.
2
6.4
Limites de produtos de exponenciais
Nesta seção serão calculados dois limites envolvendo produtos de exponencias. Esses
limites serão utilizados posteriormente na demonstração do teorema do subgrupo fechado de Cartan.
Tome G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Ao longo desta seção serão …xadas
vizinhanças U e W de 0 2 g e 1 2 G, respectivamente, tais que exp : U ! W é um
difeomor…smo.
Tome X; Y 2 g e considere a curva (t) = etX etY , com (0) = 1. Se t é su…cientemente pequeno, (t) 2 W de…nindo, portanto, a curva (t) 2 U por exp (t) = (t).
Um cálculo imediato mostra que
0
Como d (exp)1 = id, segue que
intervalo contendo 0 2 R,
com lim
t!0
0
(0) = X + Y:
(0) =
0
(0) = X + Y . Isso garante que em algum
(t) = t (X + Y ) + o (t)
o (t)
= 0. Em outras palavras,
t
(6.3)
exp (tX) exp (tY ) = exp (t (X + Y ) + o (t)) :
Essa expressão permite mostrar o limite abaixo, conhecido com a fórmula do produto
de Lie.
Proposição 6.11 Dados X; Y 2 g vale
exp (X + Y ) = lim
n!1
Demonstração: Substituindo t =
exp
X
n
exp
Y
n
exp
X
n
exp
Y
n
n
(6.4)
:
1
em (6.3) …ca
n
= exp
1
(X + Y ) + o
n
1
n
:
132
Como lim
n!1
o (1=n)
= 0, segue que
1=n
lim exp
n!1
1
(X + Y ) + o
n
n
1
n
= exp (X + Y ) ;
2
Esta proposição será utilizada abaixo para garantir que o conjunto dos elementos de
g cuja exponencial pertence ao subgrupo fechado H é um subespaço vetorial. A seguir,
será demonstrado outro lema que vai garantir que esse conjunto é uma subálgebra.
Dados X; Y 2 g, considere a curva
(t) = etX etY e
tX
e
tY
;
que satisfaz (0) = 0. Se t é su…cientemente pequeno, (t) está na vizinhança W ,
onde exp : U ! W é difeomor…smo. Para esses valores de t,
(t) = e
(t)
com (t) 2 U g, uma curva diferenciável. Essa curva pode ser escrita em termos de
‡uxos de campos de vetores em U . De fato, denote por log : W ! U a inversa de exp e
b = log X d o campo de vetores em U induzido por X. Então, exp leva trajetórias
seja X
b em trajetórias de X. Dessa forma, de…nindo Yb da mesma forma e levando em
de X
conta que o ‡uxo do campo invariante à direita X d é dado por Xtd (g) = exp (tX) g, a
curva é dada por
bt Ybt X
b t Yb t (0) :
(t) = X
As duas primeiras derivadas em t = 0, de uma curva de dessas, de…nida por composta
de ‡uxos de campos de vetores num espaço vetorial, pode ser calculada usando as
propriedades dos ‡uxos (veja proposição A.6 no apêndice A). Por esses cálculos,
0
(0) = 0
00
e
b Yb ] (0) :
2[X;
(0) =
b Yb ] (0). Portanto, nas vizinhanças de 0 2 R, (t) =
Mas, [X; Y ]d = [X;
o (t)
o (t) com lim 2 = 0. Em termos das exponenciais esta expressão para
t!0 t
etX etY e
tX
e
tY
t2 [X; Y ]d + o (t) :
= exp
e
= lim
n!1
Demonstração: Substituindo t =
X
Y
en ene
X
n
e
Y
n
X
n
Y
n
e e e
X
n
e
Y
n
n2
:
1
em (6.5) …ca
n
= exp
1
[X; Y ]d + o
n2
1
n
se escreve
(6.5)
Proposição 6.12 Dados X; Y 2 g vale
[X;Y ]d
t2 [X; Y ]d +
:
6.5. Subgrupos fechados
Como lim
n!1
133
o (1=n)
= 0, tomando a potência n2 , segue que
2
1=n
1
[X; Y ]d + o
n2
lim exp
n!1
1
n
n2
= exp ( [X; Y ]d ) ;
6.5
2
Subgrupos fechados
O teorema do subgrupo fechado de Cartan assegura que qualquer subgrupo fechado H
de um grupo de Lie G é, de fato, um subgrupo de Lie, isto é, admite uma estrutura
de variedade diferenciável que o torna um subgrupo de Lie. Esse é um dos resultados clássicos da teoria dos grupos de Lie e é amplamente utilizado nas mais diversas
situações.
Seja H G um subgrupo fechado. A estratégia para demonstrar que H é subgrupo
de Lie consiste em de…nir, a partir de H, uma subálgebra de Lie h g e construir a
estrutura diferenciável em H a partir da estrutura em hexp hi. Dito isso, de…na
hH = fX 2 g : 8t 2 R; exp tX 2 Hg:
(6.6)
Com os limites da seção anterior é fácil veri…car que hH é uma subálgebra de Lie de g.
Proposição 6.13 Dado um grupo de Lie G com álgebra de Lie g, seja H
subgrupo fechado. Então, hH é subálgebra de Lie de g.
G um
Demonstração: O conjunto hH é não vazio pois 0 2 hH . Tome X; Y 2 hH . Os
subgrupos a 1-parâmetro gerados por X e aX coincidem se 0 6= a 2 R. Portanto,
aX 2 hH , a 2 R. A fórmula do produto de Lie (6.4) garante que X + Y 2 hH , pois
H é fechado. Da mesma maneira, a proposição 6.12 garante que hH é fechado pelo
colchete, concluíndo a demonstração.
2
O lema a seguir, além de ser a parte principal da demonstração do teorema do
subgrupo fechado, é utilizado diversas vezes em outras situações, principalmente na
construção de estruturas diferenciáveis nos espaços quocientes.
Lema 6.14 Dado um subgrupo fechado H seja hH a subálgebra de…nida em (6.6).
Escolha um subespaço e tal que g = hH e. Então, existem U hH e V
e (dominios
U V
de uma carta adaptada, como na proposição 6.7) tais que se W = e e então
H \ W = eU :
(6.7)
134
Demonstração: Por de…nição hexp hH i
H, portanto eU
H \ W = eU H \ eV
H \ W . Além do mais
pois para X 2 U e Y 2 V , eX eY 2 H se, e só se, eY = e X eX eY 2 H. Dessa forma,
deve-se encontrar V tal que H \ eV = f1g.
Supondo por absurdo que não exista tal aberto V , então existe uma sequência
Yn 2 e com Yn 6= 0 tal que yn = eYn 2 H e lim Yn = 0, isto é, lim yn = 1.
Tome vizinhanças compactas 0 2 V 00 V 0 e tais que 2V 00 = V 00 + V 00 V 0 (por
exemplo, bolas V 0 = B [0; ] e V 00 = B [0; =10], em relação a alguma norma). Se n é
su…cientemente grande então Yn 2 V 00 e, por compacidade existe um inteiro N (n) 1
tal que N (n) Yn 2
= V 00 .
Seja kn o menor inteiro positivo tal que kn Yn 2
= V 00 . Então, (kn 1) Yn 2 V 00 e daí
que
kn Yn = (kn 1) Yn + Yn 2 V 00 + V 00 V 0 :
Por compacidade, pode-se assumir que kn Yn converge a Y 2 V 0 . Como kn Yn 2
= V 00 ,
segue que Y não pertence ao interior de V 00 e daí que Y 6= 0. Tomando exponenciais,
se obtém ynkn = ekn Yn 2 H e ynkn ! y = eY 6= 1. Portanto, y 2 H, já que H é fechado.
A partir daí chega-se a uma contradição mostrando que etY 2 H para todo t 2 R.
De fato, suponha em primeiro lugar que t = p=q é racional (p; q 2 Z, q > 0). Se an é
o quociente da divisão de pkn por q então pkn = an q + bn com 0 bn < q. Dividindo
essa igualdade por q e multiplicando por Yn se obtém
tkn Yn = an Yn + (bn =q) Yn :
Tomando limites o primeiro membro converge a tY , enquanto que (bn =q) Yn ! 0, pois
bn < q e Yn ! 0. Portanto, limn!+1 an Yn = tY . Daí que
etY = lim ean Yn = lim eYn
n!1
n!1
an
2 H;
an
já que eYn
2 H e H é fechado. Isso prova que etY 2 H, se t é racional. Usando
novamente o fato de que H é fechado, a continuidade da aplicação exponencial garante
que etY 2 H para todo t 2 R. Mas isso contradiz a de…nição de hH , já que Y está no
subespaço e complementar de hH e Y 6= 0, concluindo a demonstração.
2
Agora é possível enunciar e concluir a demonstração do teorema de Cartan do
subgrupo fechado.
Teorema 6.15 Todo subgrupo fechado H de um grupo de Lie G é subgrupo de Lie.
De forma mais precisa: um subgrupo fechado H admite uma estrutura de variedade
mergulhada que o torna um subgrupo de Lie. Sua álgebra de Lie é hH (de…nida em
(6.6)).
Demonstração: Seja : V U ! W , (X; Y ) = eX eY a carta adaptada ao redor
do elemento neutro proveniente do lema 6.14 com H \ W = eU . Então, para todo
h 2 H, o conjunto W h = eV eU h é uma vizinhança de h em G. Essa vizinhança satisfaz
H \ W h = Hh
1
\ W h = (H \ W ) h = eU h:
135
Portanto, o difeomor…smo Dh
: V U ! W satisfaz Dh
(f0g U ) = H \ W h.
Como h 2 H é arbitrário, isso mostra que H é uma subvariedade mergulhada de G
(veja a proposição B.1). Em particular H é uma subvariedade quase-regular, e portanto um grupo de Lie. Aplicando novamente o lema 6.14 se vê que o espaço tangente
a H no elemento neutro é hH , portanto essa é a álgebra de Lie de H.
2
O teorema do subgrupo fechado admite a seguinte recíproca.
Proposição 6.16 Se H
G é um subgrupo de Lie mergulhado, então H é fechado.
Demonstração: Como H é uma subvariedade mergulhada existe uma carta
:U
V
Rk
Rn
k
!W
G
com (0; 0) 2 U V e 1 2 W tal que (0; 0) = 1 e H \ W = (U f0g). Nesse
caso H \ W é fechado em W pois U f0g é fechado em U V . Isso implica que
H \ W = H \ W . Mas, H também é subvariedade e essa igualdade mostra que
T1 H = T1 H e daí que H é um subgrupo aberto e portanto fechado de H. Consequentemente H é fechado em G.
2
Os resultados desta seção mostram que um subgrupo de Lie H
G é fechado se,
e só se, a subvariedade H é mergulhada. No entanto, a demonstração do teorema do
subgrupo fechado vai além. Ela mostra que H é um subgrupo de Lie mergulhado se
H for localmente fechado, no sentido em que todo h 2 H admite uma vizinhança
W tal que H \ W é fechado em W . Isso porque o lema 6.14 continua valendo com
a hipótese de que H é localmente fechado ao redor de 1. Segue dessa observação a
seguinte consequência.
Corolário 6.17 Se H é um subgrupo localmente fechado de um grupo de Lie G então
H é fechado.
Um caso em que um subgrupo
G é localmente fechado é quando ele é um
subgrupo discreto, para o qual existe uma vizinhança U do elemento neutro tal que
U \ = f1g. O subgrupo é então fechado e dim = 0. Reciprocamente, se é
um subgrupo fechado com dim = 0 então é discreto, pois nesse caso a subálgebra
h = f0g e o aberto W = eV eU do lema 6.14 se reduz a eV e satisfaz \ eV = f1g.
Esse fato é destacado na seguinte proposição, para referência futura, já os subgrupos
discretos desempenham um papel central na descrição dos grupos de Lie conexos.
discreto.
G um subgrupo fechado com dim
= 0. Então,
é
Exemplos: Alguns exemplos de subgrupos fechados de grupos de Lie são os seguintes:
136
1. Dado x 2 G seja
Z (x) = fy 2 G : yx = xyg
o centralizador de x em G. Então, Z (x) é um subgrupo fechado se G é um grupo
de Lie (ou mesmo se G é um grupo topológico de Hausdor¤). De fato, y 2 Z (x)
se, e só se, Cx (y) = xyx 1 = y, isto é, Z (x) é o conjunto dos pontos em que as
aplicações contínuas Cx e id coincidem. Como G é espaço topológico de Hausdor¤
esse conjunto é fechado.
2. Seja
Z (G) = fx 2 G : 8y 2 G; xy = yxg
o centro do grupo G. Então, Z (G) é fechado se G é um grupo T
de Lie (ou mesmo
se G é um grupo topológico de Hausdor¤). De fato, Z (G) = x2G Z (x) e cada
Z (x) é fechado pelo exemplo anterior.
3. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão …nita. Denote por Aut (g) o grupo dos
automor…smos de g, isto é, g 2 Aut (g) se g : g ! g é uma transformação linear
inversível e g[X; Y ] = [gX; gY ] para todo X; Y 2 g. É claro que Aut (g) é um
subgrupo de Gl (g). Seja gn uma sequência em Aut (g) tal que g = lim gn está em
Gl (g). Como formas bilineares entre espaços de dimensão …nita são contínuas,
as igualdades gn [X; Y ] = [gn X; gn Y ], n
1, passam ao limite, mostrando que
g 2 Aut (g). Portanto, Aut (g) é um subgrupo fechado de Gl (g) e como tal é um
grupo de Lie. A álgebra de Lie de Aut (g) é a álgebra das derivações Der (g) de
g, pois se D : g ! g é uma transformação linear então exp tD 2 Aut (g) se, e só
se, D 2 Der (g).
4. O grupo Gl (n; C) das transformações lineares complexas inversíveis é um subgrupo de Gl (2n; R). Uma transformação linear g de R2n é complexa se, e só se,
ela comuta com a transformação linear J : R2n ! R2n que corresponde à multiplicação por i em Cn . A partir daí é fácil veri…car que Gl (n; C) é um subgrupo
fechado de Gl (2n; R) e, portanto, é um grupo de Lie. Isso pode ser visto em
termos de matrizes já que a multiplicação à esquerda de uma matriz complexa
Z = A + iB por elementos de Cn de…ne uma transformação linear de R2n de
matriz
A
B
:
B A
Portanto, Gl (n; C) pode ser visto como o subgrupo de Gl (2n; R) das matrizes
dessa forma. Esse sugbrupo é fechado.
5. Uma construção semelhante à do item anterior pode ser feita com matrizes quaternionicas, com entradas em H. Escreva um quatérnion como
q = a + ib + jc + kd = (a + ib) + j (c
id) = z + jw
com z; w 2 C. Então, o produto de quatérnions …ca sendo
(z + jw) (z1 + jw1 ) = (zz1
wz1 ) + j (zw1 + wz1 )
137
pois zj = jz se z 2 C. Dessa forma, a multiplicação à esquerda em H por
q = z + jw de…ne uma aplicação linear em C2 com matriz
z
w
w
z
:
Isso se estende a matrizes quaternionicas n n. Se Q uma matriz dessas então
pode-se escrever Q = A + jB com A e B matrizes complexas n n. A multiplicação à esquerda de Q em matrizes coluna n 1 em Hn de…ne uma transformação
linear de C2n com matriz
A
B
:
(6.8)
B A
O subgrupo de Gl (2n; C) das matrizes dessa forma é um subgrupo fechado e,
portanto de Lie. Esse subgrupo é denotado por Gl (n; H).
6. Os grupos lineares apresentados na introdução são todos fechados e, portanto,
subgrupos de Lie. São eles:
O (n), SO (n), U (n), SU (n), Sp (n), Sl (n; R), Sl (n; C), Sp (n; R), SO (p; q),
SU (p; q).
A esses grupos pode-se acrescentar outros grupos lineares, também fechados:
(a) Sl (n; H), que é o grupo das matrizes quaternionicas n n, cuja forma
complexa (6.8) tem determinante 1. Esse grupo também é denotado por
SU (2n).
(b) Sp (n; C) = fg 2 Gl (2n; C) : gJg T = 1g onde
J=
0
1n
n
1n
0
n
:
(c) O (p; q), = fg 2 Gl (p + q; R) : gIp;q g T = 1g onde
Ip;q =
1p p
0
0
1q
:
q
(d) U (p; q) = fg 2 Gl (p + q; C) : gIp;q g T = 1; det g = 1g.
2
138
6.6
Subgrupos conexos por caminhos
Teorema 6.19 Seja G um grupo de Lie e H
G um subgrupo. Suponha que para
todo h 2 H existe uma curva C 1 ligando 1 a h. Então, H é um subgrupo de Lie e uma
subvariedade quase-regular.
A condição do teorema é equivalente a que H é conexo por caminhos diferenciáveis,
já que um caminho entre g e h arbitrários pode ser obtido por translação de um caminho
entre 1 e g 1 h.
A estratégia para demonstrar esse teorema é parecida com a demonstração do teorema de Cartan. Em primeiro lugar se considera o subconjunto hH g = T1 G formado
pelas derivadas x_ 0 das curvas xt 2 H, de classe C 1 , com x0 = 1.
Lema 6.20 O conjunto hH de…nido acima é uma subálgebra de Lie.
Demonstração: A curva constante xt = 1 está em H, daí que 0 2 hH . Sejam xt e
yt duas curvas C 1 contidas em H com x0 = y0 = 1 e denote por X = x_ 0 e Y = y_ 0 suas
derivadas na origem. Se r 2 R então a derivada em t = 0 de xrt é igual a rX o que
mostra que hH é fechado por multiplicação por escalar. Por outro lado, a derivada em
t = 0 da curva xt yt 2 H é igual a X + Y . Portanto, hH é um subespaço vetorial.
Para obter o colchete considere para cada t a curva s 7! Cxt (ys ) = xt ys xt 1 2 H.
Sua derivada em s = 0 é
(dCxt )1 (Y ) = Ad (xt ) (Y ) ;
portanto a curva t 7! zt = Ad (xt ) (Y ) está em hH , assim como sua derivada. Se t é
su…cientemente pequeno pode-se escrever xt = ewt de tal forma que zt = Ad (xt ) (Y ) =
ead(wt ) (Y ). Então,
z_0 = d (exp)0 (ad (w_ 0 )) (Y ) = ad (w_ 0 ) (Y ) = [X; Y ]
o que mostra que [X; Y ] 2 hH .
2
Agora para demonstrar o teorema 6.19 basta veri…car que H = hexp hH i. Em
primeiro lugar, tome h 2 H e uma curva xt 2 H ligando o elemento neutro a h. Então,
xt+s xt 1 2 H e, portanto,
x_ t xt 1 =
d
xt+s xt 1
ds
js=0
2 h:
Isso signi…ca que a curva xt é tangente à distribuição dhH (x) = (dDx )1 hH . Portanto,
xt está inteiramente contida numa variedade integral I de dhH (veja B.22). Como
x0 = 1, a variedade integral I que contém xt só pode ser hexp hi, o que mostra que
H hexp hH i.
Para a inclusão contrária mostra-se que H tem interior não vazio em hexp hH i: seja
fX1 ; : : : ; Xn g uma base de hH e tome curvas x1t , : : :, xnt em H com x_ i0 = Xi . De…na a
aplicação
: (t1 ; : : : ; tn ) 7 ! x1t1
xntn 2 H hexp hH i;
6.7. Estrutura de variedade em G=H, H fechado
139
cujo domínio é um aberto de Rn , que contém a origem. Essa aplicação tem classe C 1 e
suas derivadas parciais na origem são dadas por
@
(0) = Xi :
@ti
Pelo teorema da função inversa a imagem de tem interior não vazio em hexp hH i.
Como essa imagem está contida em H, se conclui que H é subgrupo aberto de hexp hH i
e, portanto H = hexp hH i, pois hexp hH i é conexo, concluíndo a demonstração do
teorema 6.19.
Um corolário imediato do teorema acima é que se um subgrupo H
G é ao
mesmo tempo uma subvariedade conexa então esta subvariedade é quase-regular e H
é subgrupo de Lie. Na verdade, vale o seguinte resultado mais geral.
Corolário 6.21 Seja G um grupo de Lie e H G um subgrupo. Suponha que H é uma
subvariedade com uma quantidade no máximo enumerável de componentes conexas. Suponha também que a componente conexa H0 que contém o elemento neutro é subgrupo.
Então, H é subgrupo de Lie e subvariedade quase-regular.
Demonstração: De fato, H0 é uma subvariedade conexa e portanto conexa por
caminhos. Portanto o teorema garante que H0 é subgrupo de Lie e uma subvariedade
quase-regular. Por outro lado seja g um elemento de uma componenente conexa H1 .
Então gH0 = Eg (H0 ) é um conexo que contém g, portanto gH0
H1 . Daí que
1
1
H0 = g (gH0 ) g H1 , o que mostra que H1 = gH0 . Consequentemente as componentes conexas de H são classes laterais de H0 e variedades integrais maximais de h .
Pelo corolário B.25, H é uma subvariedade quase-regular e é um grupo de Lie.
2
Nesse corolário se faz a hipótese de que H0 é subgrupo pois não se sabe de antemão
se H com a topologia intrínseca é um grupo topológico.
6.7
Estrutura de variedade em G=H, H fechado
Sejam G é um grupo Lie e H um subgrupo fechado de G. O objetivo desta seção é construir uma estrutura de variedade diferenciável em G=H, compatível com a topologia
quociente. Conforme foi visto no capítulo 2 a topologia quociente em G=H é Hausdor¤
se H é fechado. As propriedades da estrutura diferenciável são enunciadas a seguir.
Teorema 6.22 Sejam G um grupo de Lie e H
G um subgrupo fechado. Então,
existe uma estrutura diferenciável em G=H, compatível com a topologia quociente, que
satisfaz:
1. dim G=H = dim G
2. A projeção canônica
dim H.
: G ! G=H é uma submersão.
3. Uma função f : G=H ! M é diferenciável se, e só se, f
é diferenciável.
140
4. A ação natural a : G G=H ! G=H é diferenciável. (Essa ação é dada por
a (g; xH) = (gx) H, isto é, g (xH) = (gx) H.)
5. Para cada g 2 G a aplicação induzida g : G=H ! G=H, xH 7! gxH é um
difeomor…smo.
A estrutura diferenciável de…nida neste teorema é denominada, naturalmente, de
estrutura diferenciável quociente.
A construção de um atlas para a estrutura de variedade diferenciável em G=H está
baseada na boa carta adaptada garantida pelo Lema 6.14 (melhorada no lema 6.23
abaixo).
Denote por g e h as álgebras de Lie de G e H, respectivamente e seja e
g um
subespaço vetorial de g tal que g = e h. As cartas em G=H serão difeomor…smos
de…nidos em abertos de e a valores em abertos de G=H.
Pelo lema 6.14 existem V , U e W com 0 2 V
e, 0 2 U h e 1 2 W G tal que
a aplicação : V U ! W , de…nida por
(Y; X) = eY eX ;
é um difeomor…smo. O aberto W = eV eU satisfaz W \ H = eU , que é o mesmo que
eV \ H = f1g. (Aqui a ordem dos fatores eY eX foi trocada em relação ao lema 6.14
para ter (Y; X) 2 eY H.)
No que segue será conveniente supor que W está contido num aberto análogo W1 =
eV1 eU1 com 0 2 V
V1
e, 0 2 U
U1
h e W1 \ H = eU1 e satisfazendo as
condições
W2
W1 e W
1
W
W1 .
Nesse caso o sistema de coordenadas adaptado : V
U ! W é a restrição de
:
V
U
!
W
.
Essa
situação
pode
ser
obtida
diminuindo
convenientemente os
1
1
1
1
abertos V1 e U1 e restringindo 1 .
A construção do atlas em G=H será feita com o auxílio da extensão de a V H,
de…nida por : V H ! G,
(Y; h) = eY h:
Essa aplicação é diferenciável por ser a composta de aplicações diferenciáveis. Sua
diferencial, calculada em A 2 e e B d (h), B 2 h, é dada por
d
(Y;h)
A; B d (h)
d Y +tA tB
d
Y + tA; etB h jt=0 =
e
e h
dt
dt
d
=
Dh eY +tA etB jt=0
dt
= (dDh )(eY ;0) d (Y;0) ((A; B)) ;
=
jt=0
isto é,
d
(Y;h)
A; B d (h) = d (Dh
)(Y;0) (A; B) :
(6.9)
6.7. Estrutura de variedade em G=H, H fechado
141
(Y; h) = eY h é um difeomor…smo sobre eV H,
Lema 6.23 Com as notações acima
que é um conjunto aberto de G.
Demonstração: Em primeiro lugar,
é injetora. De fato, suponha que eY1 h1 =
eY2 h2 . Então, e Y2 eY1 = h2 h1 1 . O primeiro membro dessa igualdade está em W1 , já
que W 1 W W1 . Como o segundo membro está em H, segue que
e
Y2 Y1
e
2 W1 \ H = eU1 ;
isto é, eY1 = eY2 eX1 , para algum X1 2 U1 . Isso signi…ca que 1 (Y1 ; 0) = 1 (Y2 ; X1 ),
portanto X1 = 0 e Y1 = Y2 pois 1 : V1 U1 ! W1 é difeomor…smo. Daí que h1 = h2
e é injetora. Segue que é bijetora sobre eV H.
A expressão (6.9) mostra que d (Y;h) é isomor…smo, o que garante que é difeomor…smo local e portanto sua imagem eV H é um conjunto aberto. A bijetividade de
permite concluir então que é difeomor…smo.
2
Agora pode-se de…nir o atlas que de…ne a estrutura diferenciável em G=H.
De…nição 6.24 Dado g 2 G de…na
g
(Y ) =
g
: V ! G=H por
(g exp Y ) = g (exp Y ) ;
isto é, g = g
jV f1g . (No segundo membro dessa última expressão g é interpretado
como um homeomor…smo de G=H.)
O conjunto de aplicações g , g 2 G, forma um atlas de uma estrutura diferenciável
em G=H. A demonstração disso é feita nos seguintes itens:
1.
g
=g
1,
2. A imagem
como segue direto da de…nição.
g
(V ) é um aberto de G=H em relação à topologia quociente.
De fato, 1 (V ) =
eV =
eV H que é aberto, pois eV H é aberto e é
aplicação aberta. Daí que g (V ) = g ( 1 (V )) também é aberto pois g : G=H !
G=H é homeomor…smo.
3.
g
:V !
g
(V ) é bijetora.
Basta veri…car a injetividade: se g (Y1 ) = g (Y2 ) então existem h1 ; h2 2 H
tal que geY1 h1 = geY2 h2 , isto é, eY1 h1 = eY2 h2 , o que signi…ca que (Y1 ; h1 ) =
(Y2 ; h2 ) e, portanto Y1 = Y2 pela injetividade de .
4.
g
:V !
g
(V ) é homeomor…smo.
Por construção g é contínua. Para veri…car que é uma aplicação aberta se
observa que se A V então g (A) = g eA = g eA H . Se A é aberto então
eA H = (A H) é aberto, o que implica que g (A) é aberto em G=H.
142
5. Para g1 ; g2 2 G a função de transição
1
g2
onde p : V
g1
1
g2
g1
(Y ) = p
1
= p
1
é dada por
g2 1 g1 (Y; 1)
1
g2 g1 e
(6.10)
Y
H ! V é a projeção.
De fato, tome Y; Z 2 V tal que g1 (Y ) = g2 (Z). Isso signi…ca que g1 eY está na
mesma classe lateral que g2 eZ , isto é, existe h 2 H tal que
g1 (Y; 1) = g1 eY = g2 eZ h = g2 (Z; h) :
Essa igualdade se reescreve como (Z; h) = g2 1 g1 (Y; 1) = g2 1 g1 eY . Usando o
1
g2 1 g1 eY ,
fato de que é bijetora se vê que Z é a primeira coordenada de
conforme enunciado.
(Deve-se observar que o domínio de de…nição de
1
g2
g1
é o conjunto aberto
fY 2 V : g2 1 g1 eY 2 eV Hg = g1 1 g2 eV H \ eV
que não é vazio se g2 eV H \ g1 eV 6= ;, isto é, se g1 (V ) \ g2 (V ) =
6 ;. Além
1
1
Y
do mais, se Y está nesse domínio de de…nição então
g2 g1 e
está bem
de…nido, portanto a fórmula (6.10) faz sentido.)
Essas a…rmações mostram
que as aplicações g são as cartas de um atlas diferS
enciável em G=H = g2G g (V ). O item (4) garante que g é um sistema de coordenadas para um aberto ao redor de gH. Já o item (5) mostra que as funções de
transição são diferenciáveis, por serem compostas de aplicações diferenciáveis, isto é,
1
1
Eg2 1 g1 exp.
g1 = p
g2
Com isso se conclui a construção da estrutura de variedade diferenciável em G=H.
As demais propriedades enunciadas no teorema 6.22 são obtidas da seguinte forma:
1. dim G=H = dim G
dim G dim H.
dim H, pois dim G=H = dim V = dim e = dim g
dim h =
2. A projeção canônica : G ! G=H é uma submersão. De fato, dado g 2 G as
aplicações g = Eg
e g são cartas ao redor de g e gH, respectivamente. A
projeção se lê nessas cartas como
1
g
g
(X; Y ) =
1
g
geY eX
:
Mas, eX 2 H, portanto
geY eX =
geY = g (Y ). Daí que g 1
g (X; Y ) = Y é a projeção na segunda componente. Isso mostra ao mesmo
tempo que e diferenciável e é uma submersão.
3. O critério de diferenciabilidade para uma função f : G=H ! M é consequência
imediata de que : G ! G=H é uma submersão sobrejetora. Em todo caso, nas
cartas do item anterior vale
f
g
(X; Y ) = f
de onde se vê que f é diferenciável se, e só se, f
g
(Y )
é diferenciável.
6.8. Exercícios
4. A ação canônica a : G
143
G=H ! G=H entra no seguinte diagrama comutativo
G G
id ##
G G=H
p
!
G
&
#
a
! G=H
Deste diagrama e do critério de diferenciabilidade para funções de…nidas em G=H,
segue de imediato que a é diferenciável, já que
p é diferenciável.
5. Dado g 2 G a aplicação xH 7! gxH é diferenciável por ser uma aplicação parcial
da ação a. Sua inversa é dada por xH 7! g 1 xH, que também é diferenciável,
portanto ambas são difeomor…smos.
Por …m, se H é subgrupo normal e fechado então G=H é um grupo, cujo produto
p : G=H G=H ! G=H é diferenciável, pois é de…nido pelo diagrama
G
G=H
G
##
G=H
p
!
&
p
G
#
! G=H
(compare com a proposição 2.27). Nesse caso é um homomor…smo diferenciável. Sua
diferencial d 1 é um homomor…smo de álgebras de Lie sobrejetor, cujo núcleo é h, que é
um ideal de g. Portanto, a álgebra de Lie de G=H, sendo a imagem de d 1 , é isomorfa
a g= ker d 1 = g=h.
Proposição 6.25 Sejam G um grupo de Lie e H G um subgrupo normal e fechado.
Então, G=H é um grupo de Lie com a estrutura quociente. Sua álgebra de Lie é
isomorfa à álgebra quociente g=h.
6.8
Exercícios
1. Mostre que todo subgrupo de Lie conexo de (Rn ; +) é fechado.
2. Descreva os sugbrupos de Lie conexos do grupo de Heisenberg, isto é, o grupo de
Lie das matrizes da forma
0
1
1 x y
@ 0 1 z A
x; y; z 2 R:
0 0 1
Mostre que todos esses subgrupos são fechados. Algum deles é compacto?
3. Este exercício tem por objetivo fornecer um exemplo de que a aplicação de…nida
na demonstração do teorema 6.4 não é uma imersão em todo Rk . Tome g =
gl (n; R) e h a subálgebra das matrizes triangulares superiores com 0’s na diagonal.
Escolha a base de h dada por X1 = E23 + E13 , X2 = E12 e X3 = E23 onde Eij
denota a matriz com entrada não nula = 1 somente na posição ij. Mostre que a
aplicação (t1 ; t2 ; t3 ) 7! et1 X1 et2 X2 et3 X3 não é uma imersão.
144
4. Seja G Gl (n; R) um subgrupo de Lie com álgebra de Lie g gl (n; R). Mostre
que se G é compacto então os auto-valores de toda matriz X 2 g são puramente
imaginários.
5. Sejam G1 e G2 grupos de Lie e H1
G1 e H2
que H1 H2 é subgrupo de Lie de G1 G2 .
G2 subgrupos de Lie. Mostre
6. Sejam G com álgebra de Lie g e V
g um subespaço vetorial. De…na a distribuição V (g) = (dDg )1 (V ). Mostre que se V não é subálgebra de Lie então
V não é integrável.
7. Seja H G um subgrupo de Lie com dim H < dim G e no máximo uma quantidade enumerável de componentes conexas. Mostre que H tem interior vazio em
G.
8. Dado um grupo de Lie G sejam H1 ; H2
G subgrupos de Lie com H1 conexo.
Mostre que se H1 \ H2 contém um aberto intrínseco de H1 então H1 H2 .
9. Mostre que os seguintes subgrupos do grupo linear são grupos de Lie: O (n);
SO (n); Sl (n; R) = fg 2 Gl (n; R) : det g = 1g; U (n); SU (n); Sp (n; R) = fg 2
Gl (2n; R) : gJg T = Jg onde J é a matriz escrita em blocos n n como
J=
0
1
1
0
;
subgrupo das matrizes triangulares superiores (aij = 0 se i > j). Descreva suas
álgebras de Lie.
10. Sejam dados um subgrupo discreto e um subgrupo conexo H de um grupo de
Lie G. Suponha que H normaliza , isto é, para todo h 2 H, h h 1
e mostre
que h centraliza , isto é, h = d , 2 , h 2 H. Conclua que um subgrupo
normal e discreto de um grupo de Lie conexo está contido no centro.
11. Dado um grupo de Lie G, mostre que seu centro Z (G) é um subgrupo de Lie
cuja álgebra de Lie é o centro z (g) = fX 2 g : 8Y 2 g; [X; Y ] = 0g da álgebra de
Lie g de G. Conclua que Z (G) é um subgrupo discreto se, e só se, z (g) = f0g.
12. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo G tal que z (g) = f0g mas que Z (G) é
in…nito.
13. Uma álgebra de Lie g (de dimensão …nita) é simples se dim g > 1 e os únicos
ideais de g são os triviais f0g e g. Seja G um grupo de Lie cuja álgebra de Lie g
é simples. Mostre que o centro Z (G) é discreto.
14. Dados um subgrupo de Lie H de G e g 2 G, mostre que gHg 1 é subgrupo de
Lie, cuja álgebra de Lie é Ad (g) h, onde h é a álgebra de Lie de H.
6.8. Exercícios
145
15. Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e a; b
g subálgebras de Lie
tais que para todo X 2 a e todo Y 2 b, [X; Y ] = 0. De…na os subgrupos conexos
A = hexp ai e B = hexp bi. Mostre que todo a 2 A comuta com todo b 2 B.
16. Seja H G um subgrupo de Lie conexo. Mostre que H é normal em seu fecho
H. Dê exemplo de um subgrupo H não conexo que não é normal em seu fecho.
17. Seja H um subgrupo de Lie conexo e não fechado de G. Mostre que a álgebra de
Lie de H está contida propriamente na álgebra de Lie de seu fecho H.
18. Suponha que H
G é um subgrupo de Lie conexo e não fechado. Mostre que
existe uma sequência hn 2 H tal que hn ! 1 (isto é, para todo compacto K H
existe n 2 N tal que hn 2
= K) em relação à topologia intrínseca e, no entanto,
hn ! 1 na topologia de G.
19. Dado um grupo de Lie G, com álgebra de Lie g, tome vizinhanças V
geU G
das origens tais que exp : V ! U é difeomor…smo. Denote por log : U ! V a
inversa de exp. Seja H
G um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie h.
Mostre que se log (U \ H) h então H é fechado.
20. Suponha que H
G é um subgrupo de Lie conexo com álgebra de Lie h
g.
1
Denote por N (H) = fg 2 G : gHg
Hg o normalizador de H e n (h) = fX 2
g : ad (X) h hg o normalizador de h em g. Mostre que o normalizador N (H)
de H é um subgrupo fechado. Suponha também que H é conexo e mostre que
sua álgebra de Lie é n (h). Dê exemplo de um subgrupo de Lie não conexo H tal
que N (H) é fechado e, no entanto, a álgebra de Lie de N (H) não coincide com
n (h).
21. Seja G um grupo de Lie conexo e : G ! Gl (V ) uma representação de dimensão
…nita de G. Mostre que (G) é um subgrupo de Lie de Gl (V ). Qual é a álgebra
de Lie de (G)? Generalize para um homomor…smo diferenciável : G ! H.
22. Seja g uma álgebra de Lie (sobre R e dim g < 1). Denote por Aut (g) o grupo
dos automor…smos de g. Mostre que a álgebra de Lie de Aut (g) é a álgebra das
derivações de g (veja o exemplo ao …nal da seção 6.5).
23. Um grupo de matrizes G é algébrico se existem polinômios Pi , i = 1; : : : ; r no
espaço das matrizes tal que G = fg : Pi (g) = 0g. Mostre que um grupo algébrico
de matrizes sobre R ou C é grupo de Lie e descreva a álgebra de Lie em termos
dos polinômios. Dê exemplos de grupos algébricos.
24. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Tome elementos X; Y 2 g
que geram g (isto é, X e Y não estão contidos em nenhuma subálgebra própria de
g ou, o que é equivalente, os colchetes sucessivos entre X e Y geram g). Mostre
que os grupos a 1-parâmetro exp tX e exp tY geram G.
146
25. Seja G um grupo de Lie e S
G um subsemigrupo de G, isto é, se g; h 2 S
1
então gh 2 S (sendo que g pode não pertencer a S). Seja g a álgebra de Lie
de G e considere o conjunto
L (S) = fX 2 g : 8t
0; exp tX 2 Sg:
Suponha que 1 2 S e mostre que L (S) satisfaz as seguintes propriedades: (i)
L (S) é um cone convexo, isto é, dados X; Y 2 L (S) e a; b reais > 0 então
aX + bY 2 L (S); (ii) L (S) é um cone de Lie, isto é, se X 2 L (S) então
exp tad (X) (L (S)) = L (S) para todo t 2 R. (Sugestão: use as fórmulas da seção
6.4.)
26. Mostre a unicidade da estrutura quociente: duas estruturas de variedade diferenciável em G=H que satisfazem as propriedades do teorema 6.22 são difeomorfas.
27. Sejam G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g e H; N
G subgrupos
de Lie, com álgebras de Lie h e n, respectivamente. Suponha que g = h + n e que
N é subgrupo normal. Mostre que G = HN .
28. Sejam G um grupo de Lie e H
G um subgrupo fechado. Suponha que H
contenha um subgrupo fechado L, que é normal em G. Mostre que existe um
difeomor…smo : G=H ! (G=L) = (H=L) tal que para todo g 2 G e x 2 G=H,
vale (gx) = (g) (x), onde : G ! G=L é a projeção canônica.
29. Dados um grupo de Lie G e um subgrupo fechado H
G seja
: G ! G
um homomor…smo diferenciável tal que (H)
H. De…na (gH) = (g) H.
Mostre que : G=H ! G=H é uma aplicação bem de…nida e é diferenciável.
Mostre também que se é automor…smo e (H) = H então é difeomor…smo.
30. Sejam G um grupo de Lie, H um subgrupo fechado e M G uma subvariedade
tais que a aplicação : M H ! G dada por (x; y) = xy é um difeomor…smo.
Mostre que G=H é difeomorfo a M .
31. Este exercício apresenta um caso em que a decomposição do lema 6.23 é global.
Seja G = Gl (n; R) e K = O (n). Denote por e o espaço das matrizes simétricas
n n. Mostre que a aplicação : e K ! G dada por (X; k) = eX k é um
difeomor…smo. Faça o mesmo com G = Sl (n; R) e K = SO (n).
32. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dado um subgrupo H G considere o conjunto hH g formado pelas derivadas 0 (0) das curvas diferenciáveis
(t) 2 H com (0) = 1. Mostre que hH é uma subálgebra de Lie. Suponha que
H é um subgrupo normal e que hH = f0g e mostre que H Z (G).
Capítulo 7
Homomor…smos e recobrimentos
Os resultados sobre subgrupos de Lie demonstrados anteriormente permitem obter diversas informações sobre homomor…smos entre grupos de Lie. A idéia aqui é que o
grá…co de um homomor…smo : G ! H é um subgrupo do grupo produto G H isomorfo a G através da projeção 1 : G H ! G, 1 (x; y) = x, e vice-versa, se o grá…co
de uma aplicação é um subgrupo então é homomor…smo. Caso o homomor…smo
seja contínuo ou diferenciável, o seu grá…co tem propriedades topológicas ou diferenciáveis. Uma das aplicações obtidas é a demonstração de que qualquer homomor…smo
entre as álgebras de Lie se “estende” aos grupos caso o domínio seja simplesmente
conexo. Juntando essas extensões com a construção de uma estrutura de grupo de Lie
no recobrimento universal de um grupo dado se obtém uma descrição dos grupos de
Lie conexos a partir dos simplesmente conexos. As classes de isomor…smos dos grupos
conexos e simplesmente conexos estão em bijeção com as classes de isomor…smos das
álgebras de Lie de dimensão …nita.
7.1
7.1.1
Homomor…smos
Imersões e submersões
Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável. Então,
para todo g 2 G, vale
Eg = E (g)
o que acarreta
d
g
=d E
(g) 1
d
1
é de posto constante, pois
d (Eg 1 )g ;
daí que o posto é constante igual ao posto do homomor…smo in…nitesimal d 1 , já que
as translações são difeomor…smos. Portanto, é uma imersão se, e só se, d 1 é injetora.
Da mesma forma, é submersão se, e só se, d 1 é sobrejetora.
Para um homomor…smo diferenciável suas propriedades de imersão e injetividade,
assim como a submersão e a sobrejetividade estão bastante relacionadas.
Considere em primeiro lugar a injetividade. O núcleo ker de é um subgrupo de
Lie fechado. Sua álgebra de Lie é o ideal ker d 1 pois
etX = etd 1 (X) = 1, t 2 R,
se, e só se, d 1 (X) = 0. Dessa forma se é imersão, isto é, se d 1 é injetora então
pela proposição 6.18, ker é subgrupo discreto. Vice-versa se ker é discreto então
147
148
Capítulo 7. Homomor…smos e recobrimentos
ker d 1 = f0g e é uma imersão. Em particular, se é injetora, isto é, se ker = f1g
então é uma imersão. Portanto, no caso em que é injetora sua imagem é um
subgrupo de Lie de H, por uma das de…nições de subgrupo de Lie apresentadas no
inicio do capítulo 6.
Em geral, para homomor…smos não necessariamente injetores, vale o seguinte teorema de isomor…smo.
Proposição 7.1 Sejam G e H grupos de Lie e : G ! H um homomor…smo diferenciável. Então, G= ker é um grupo de Lie. Seja e (g ker ) = (g) o homomor…smo
que torna o diagrama
-
G
im
H
*
?
G= ker
e
comutativo. Então, e é uma imersão injetora em H, o que implica que im é um
subgrupo de Lie de H isomorfo a G= ker e, portanto, dim (im ) = dim G dim (ker ).
Além do mais, se G é conexo então im = hexp (imd 1 )i.
Demonstração: A construção de grupo de Lie em G= ker foi feita no capítulo 6
(veja a proposição 6.25). A diferenciabilidade de e (em relação à estrutura quociente)
é consequência do item (3) do teorema 6.22, já e
= é diferenciável. Por …m,
por de…nição e é aplicação injetora, o que implica que sua imagem é subgrupo de Lie
isomorfo a G= ker .
A última a…rmação se deve a que se G é conexo então im é subgrupo de Lie conexo
cujo espaço tangente no elemento neutro é imd 1 . Portanto, im é o único subgrupo
conexo com essa álgebra de Lie, isto é, im = hexp (imd 1 )i.
2
Agora, pode-se olhar a sobrejetividade. Se d 1 é sobrejetora então é uma submersão e, portanto, uma aplicação aberta. Daí que im é um subgrupo de interior não
vazio de H e como tal contém a componente conexa da identidade H0 . Em particular,
se H é conexo então é sobrejetora.
A reciproca vale sem outras restrições no caso em que o domínio G é conexo. Nesse
caso, im é um subgrupo conexo com álgebra de Lie imd 1 . Portanto, se im = H
então imd 1 = h, pela unicidade de um grupo de Lie conexo com uma álgebra de Lie
dada.
Já no caso não conexo podem surgir patologias devido à arbitrariedade na quantidade de componentes conexas. Por exemplo, um grupo de Lie G com dim G 1 pode
ser visto também como um grupo de Lie Gd de dimensão 0, com a topologia discreta.
A identidade id : Gd ! G é um homomor…smo sobrejetor, mas sua diferencial d 1 = 0,
não é sobrejetora. Esse tipo de coisa não ocorre para grupos com uma quantidade
enumerável de componentes conexas, como mostra a seguinte aplicação do teorema de
Baire.
7.1. Homomor…smos
149
Proposição 7.2 Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável e suponha que a
componente da identidade H0 de H está na imagem de . Suponha também que G
tem no máximo uma quantidade enumerável de componentes conexas. Então, d 1 é
sobrejetora, isto é, é uma submersão.
S
Demonstração:
Seja
G
a
componente
da
identidade
de
G.
Então,
H
0
0
g2G (gG0 ) =
S
g2G (g) (G0 ). Pelo teorema de Baire pelo menos um dos conjuntos (g) (G0 )\H0
tem interior não vazio. Como essas componentes são diefeomorfas, todas as que interceptam H0 têm interior não vazio. Em particualar, (G0 ) é um subgrupo conexo de
interior não vazio em H0 e, portanto, (G0 ) = H0 . Isso implica que d 1 é subrejetora
pois dois grupos de Lie conexos coincidem se, e só se, suas álgebras de Lie são iguais. 2
Essas informações sobre homomor…smos diferenciáveis serão aplicadas posteriormente ao caso em que G e H são conexos.
Se d 1 é um isomor…smo então é um difeomor…smo local e se G e H são conexos
então é sobrejetora e H é isomorfo a G= ker , em que ker é um subgrupo discreto.
Nesse caso, além de ser difeomor…smo local é uma aplicação de recobrimento (veja
a de…nição na seção 7.4 abaixo). Isso segue do enunciado do exercício 8 do capítulo 2.
Como esse fato será crucial descrição dos grupos de Lie conexos ele é provado aqui.
Proposição 7.3 Sejam G um grupo topológico localmente conexo e
G um subgrupo discreto. Então, a projeção canônica : G ! G= é uma aplicação de recobrimento.
Demonstração: Tome um aberto U com U \ = f1g e seja V 3 1 aberto conexo
com V 1 = V e V 2 U . Para g 2 G a projeção (gV ) é uma vizinhança conexa de
x = gH e vale
[
1
( (gV )) =
gV :
2
Os abertos gV que formam essa união são conexos e satisfazem gV 1 \ gV 2 6= ; se, e
só se, 1 = 2 . De fato, se y 2 gV 1 \ gV 2 então g 1 y = v1 1 = v2 2 com v1 ; v2 2 V .
Daí que v2 1 v1 = 2 1 1 2 U \ de onde se conclui que v1 = v2 e 1 = 2 . Portanto,
1
( (gV )) é união de componentes conexas homeomorfas a (gV ), mostrando que
é uma aplicação de recobrimento.
2
Desse fato sobre grupos topológicos segue a seguinte a…rmação sobre homomor…smos cujas diferenciais são isomor…smos.
Proposição 7.4 Sejam G e H grupos de Lie, com álgebras de Lie g e h respectivamente. Seja : G ! H um homomor…smo sobrejetor e suponha que d 1 : g ! h é um
isomor…smo. Então, é uma aplicação de recobrimento.
Demonstração: O teorema de isomor…smo combinado com a hipótese de que é
sobrejetora garante que H é isomorfo a G= ker , através do isomor…smo e de…nido
150
na proposição 7.1. Além do mais, ker é um subgrupo discreto pois (d )1 é isomor…smo. Daí que a proposição anterior garante que é uma aplicação de recobrimento. 2
Corolário 7.5 Suponha que o homomor…smo diferenciável
Então, : G ! im é uma aplicação de recobrimento.
7.1.2
: G ! H é uma imersão.
Grá…cos e diferenciabilidade
Dados os grupos G e H, uma aplicação : G ! H é um homomor…smo de grupos
se, e só se, o seu grá…co graf = f(x; (x)) : x 2 Gg é um subgrupo de G H.
Quando isso ocorre, os grupos G e graf são isomorfos, via a projeção p : graf ! G,
p (x; (x)) = x, cuja inversa é
l : x 2 G 7! (x; (x)) 2 graf :
O homomor…smo é recuperado por l pela fórmula = 2 l„onde 2 é a projeção
sobre H.
No contexto topológico um homomor…smo : G ! H é contínuo se, e só se seu
grá…co é um subgrupo fechado no caso em que H é de Hausdor¤ (veja proposição 2.9).
Um critério semelhante vale para os homomor…smos diferenciáveis.
Proposição 7.6 Sejam G e H grupos de Lie. Uma aplicação
homomor…smo diferenciável se, e só se, o seu grá…co
graf = f(x; (x)) 2 G
é um subgrupo de Lie fechado de G
: G ! H é um
H : x 2 Gg
H difeomorfo a G, pela projeção p (x; (x)) = x.
Demonstração: Se o grá…co é um subgrupo de Lie fechado difeomorfo a G via a
projeção então a igualdade = 2 l mostra que é diferenciável.
A recíproca é consequência de um resultado geral sobre aplicações entre variedades: se é diferenciável então seu grá…co é uma subvariedade mergulhada e fechada,
difeomorfa ao domínio. Por isso se é diferenciável então graf é subgrupo de Lie. 2
A interpretação da diferenciabilidade em termos do grá…co combinada com o teorema do subgrupo fechado permite mostrar que homomor…smos contínuos entre grupos
de Lie são, na verdade, diferenciáveis.
Teorema 7.7 Sejam G e H grupos de Lie e
Então, é diferenciável.
: G ! H um homomor…smo contínuo.
Demonstração: Pode-se supor sem perda de generalidade que G é conexo, já que o
homomor…smo é diferenciável se, e só se ele é diferenciável no elemento neutro. Além
do mais, se graf
G H é fechado então graf jG0
G0 H também é fechado
pois G0 é fechado em G.
7.2. Extensões de homomor…smos
151
Agora, a continuidade de implica que graf é um subgrupo fechado, e portanto
de Lie, de G H homeomorfo a G via a projeção p : graf ! G. Essa projeção é
um homomor…smo diferenciável. A sua injetividade implica que ker dp(1;1) é injetora
e portanto p é uma imersão. Já a sobrejetividade de p implica que o homomor…smo
in…nitesimal dp(1;1) é sobrejetor e, portanto, p é submersão.
Daí que p é um difeomor…smo, o que garante que = 2 p 1 é diferenciável. 2
Exemplo: O teorema acima é uma generalização ampla do fato de que os homomor…smos contínuos do grupo aditivo R são diferenciáveis. Para esse caso pode-se dar a
seguinte demonstração elementar: se : R ! R é um homomor…smo então para todo
inteiro n 2 Z, (n) = n (1) e (1) = n (1=n), isto é, (1=n) = 1=n (1). Isso implica
que é linear quando R é visto como espaço vetorial sobre Q, isto é, (p=q) = p=q (1).
Se além do mais é contínuo então ele é linear também sobre R. Em particular, é
diferenciável.
2
7.2
Extensões de homomor…smos
O teorema 7.7 explorou a propriedade de subgrupo do grá…co de um homomor…smo,
juntamente com o teorema do subgrupo fechado. O próximo passo é explorar a mesma
propriedade, levando em conta agora construção de subgrupos conexos no produto
Cartesiano G H a partir das subálgebras de Lie da álgebra de Lie g h de G H.
O que se obtém daí são “extensões” de homomor…smos : g ! h, de álgebras de Lie,
a homomor…smos de grupos de Lie : G ! H, no sentido em que d 1 = .
Em geral essas extensões não são possíveis apesar de valerem localmente. O caso
global só funciona com a hipótese de que o domínio é simplesmente conexo.
Sejam g e h álgebras de Lie. Da mesma forma que para aplicações entre grupos,
uma aplicação : g ! h é um homomor…smo se, e só se, o seu grá…co é uma subálgebra
da álgebra produto g h. Reciprocamente, um subespaço v de g h é o grá…co de um
homomor…smo : g ! h se, e só se, v é uma subálgebra isomorfa a g pela projeção
g h, restrita a v. O grá…co do homomor…smo será denotado por g ( ).
Suponha agora que g e h são as álgebras de Lie dos grupos de Lie G e H, respectivamente. Então g h é a álgebra de Lie de G H. Seja G ( ) = hexp g ( )i o único
subgrupo de Lie conexo de G H cuja álgebra de Lie é g ( ). O que seria desejável
é que G ( ) fosse o grá…co de um homomor…smo G ! H, que estende , isto é, cuja
diferencial é . No entanto, G ( ) nem sempre é o grá…co de uma aplicação entre G e
H, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo: Seja G = S 1 e H = R. Suas álgebras de Lie coincidem com R, a álgebra
abeliana unidimensional. Os homomor…smos : R ! R são da forma a (X) = aX,
a 2 R. O grá…co de a é a reta ra de equação u = av, (u; v) 2 R2 e o subgrupo
G ( a ) S 1 R é imagem de ra pela projeção canônica R R ! S 1 R. Geometricamente, os grupos G ( a ) são espirais se a 6= 0 e o círculo S 1 f0g se a = 0. Apenas
152
no caso a = 0, G ( a ) é o grá…co de uma aplicação S 1 ! R (o homomor…smo trivial
0). Se a 6= 0 então a projeção de G ( a ) sobre S 1 não é injetora e, portanto, não é
um grá…co de função.
2
Antes de olhar a existência de estensões de homomor…smos de álgebras de Lie, a
seguinte proposição assegura a unicidade dessas extensões, no caso em que o domínio
é conexo.
Proposição 7.8 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie g e h, respectivamente. Sejam também ; : G ! H homomor…smos diferenciáveis tais que d 1 = d 1 .
Suponha que G é conexo. Então, = .
Demonstração: Se X 2 g então
eX = ed
daí que
conexo.
e
1 (X)
= ed
coincidem num produto eX1
1 (X)
=
eX
eXk , Xi 2 g. Portanto,
= , pois G é
2
No caso em que G não é conexo, as extensões não são únicas. Por exemplo, se
G é um grupo discreto então (d )1 = 0 para qualquer homomor…smo. Mas, se é
homomor…smo então Ch
também é homomor…smo para todo h 2 H. Em geral (se
H não é abeliano), Ch
6= .
Apesar de G ( ) não ser em geral o grá…co de uma aplicação, localmente ele é o
grá…co de um homomor…smo local, no seguinte sentido:
De…nição 7.9 Um homomor…smo local entre os grupos de Lie G e H é uma aplicação
: U ! H com 1 2 U
G vizinhança da identidade, tal que (g1 g2 ) =
(g1 ) (g2 ) sempre que g1 ; g2 e g1 g2 estejam em U . Isso implica que se g; g 1 2 U
H é difeomor…smo então é
então (g 1 ) = (g) 1 . Se além do mais : U ! V
1
um isomor…smo local . Nesse caso
também é um homomor…smo local.
Para veri…car que se estende a um homomor…smo local, denote por p : G ( ) ! G
a restrição a G ( ) G H da projeção G H ! G. É claro que p é um homomor…smo
diferenciável G ( ) ! G. A diferencial dp1 de p no elemento neutro é a restrição a g ( )
da projeção g h ! g, de onde segue que dp1 : g ( ) ! g é um isomor…smo de álgebras
de Lie, pois g ( ) é o grá…co de um homomor…smo.
local diferenciável : U
: g ! h um homomor…smo. Então, existe um homomor…smo
G ! H tal que d 1 = .
Demonstração: Como dp1 é um isomor…smo, existem vizinhanças da identidade
V1 G ( ) e U1 G tal que a restrição pV : V1 ! U1 de p a V1 é um difeomor…smo.
Seja a inversa de pV , isto é, p (x) = x para todo x 2 U1 . Por de…nição p (x; y) = x,
se y 2 H, daí que é da forma (x) = (x; (x)) com (x) 2 H, para todo x 2 U1 .
7.2. Extensões de homomor…smos
153
Isso de…ne a aplicação : U1 ! H e como (x) percorre V1 quando x varia em U1 , o
grá…co de é V1 .
Para obter o homomor…smo local, seja V
V1 uma vizinhança de 1 tal que V 2 V1
e de…na U = p (V ). Restringindo as aplicações a V e U , é um homomor…smo local.
De fato, se g1 , g2 e g1 g2 estão em U , então (g1 ) = (g1 ; (g1 )), (g2 ) = (g2 ; (g2 )) e
(g1 g2 ) = (g1 g2 ; (g1 g2 )) pertencem a V . Mas, G ( ) é um subgrupo de G H o que
garante que
(g1 ; (g1 )) (g2 ; (g2 )) = (g1 g2 ; (g1 ) (g2 )) 2 G ( ) :
Então, (g1 g2 ; (g1 ) (g2 )) 2 V1 pois V 2 V1 . Como p é injetora e p (g1 g2 ; (g1 ) (g2 ))
coincide com p (g1 g2 ; (g1 g2 )) segue que (g1 g2 ) = (g1 ) (g2 ).
Por …m, é diferenciável pois seu grá…co é a subvariedade V de G H.
2
Corolário 7.11 Dois grupos de Lie são localmente isomorfos se, e só se, suas álgebras
de Lie são isomorfas.
Demonstração: Pela proposição um isomor…smo entre as álgebras de Lie se estende
a um isomor…smo local entre os grupos. Vice-versa, a diferencial d 1 é um isomor…smo
de álgebras de Lie se é um isomor…smo local.
2
O objetivo agora é estender o homomor…smo local a todo grupo G. Levando em
conta propriedades topológicas globais de G, deve-se buscar condições para que G ( )
seja o grá…co de uma aplicação G ! H.
A próxima proposição garante que, no caso conexo, G ( ) cumpre um dos requisitos
para ser grá…co de uma aplicação, qual seja o de que para todo g 2 G existe h 2 H tal
que (g; h) 2 G ( ).
Proposição 7.12 Com as notações acima, a imagem da projeção p : G ( ) ! G é a
componente conexa G0 do elemento neutro de G. Em particular, p é sobrejetora se G
é conexo.
Demonstração: Como dp1 é um isomor…smo, sua imagem tem interior não vazio em
G e, portanto, é um subgrupo aberto, que contém a componente conexa do elemento
neutro. Por outro lado a imagem de p é conexa pois G ( ) é conexo.
2
Agora é possível provar o teorema principal de extensões de homomor…smos. Esse
teorema é conhecido como o principio da monodromia.
Teorema 7.13 Sejam G e H com álgebras de Lie g e h, respectivamente. Suponha
que G seja conexo e simplesmente conexo. Então, para todo homomor…smo : g ! h
existe um único homomor…smo : G ! H tal que = d 1 .
Demonstração: Como anteriormente, seja g ( ) g h o grá…co de e G ( ) G H
o subgrupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie é g ( ). Por hipótese G é conexo, portanto
154
a proposição 7.12 garante que a projeção p : G ( ) ! G é um homomor…smo diferenciável sobrejetor. Sua diferencial dp1 é um isomor…smo. Dessa forma, pela proposição
7.4, p é uma aplicação de recobrimento. Porém, por hipótese G é simplesmente conexo.
Portanto, p é um homeomor…smo. Em particular p é injetora o que garante que G ( )
é o grá…co de uma aplicação : G ! H. A posteriori é um homomor…smo diferenciável, já que G ( ) é um subgrupo de Lie. Por …m, d 1 = , já que o espaço tangente
à identidade de G ( ) é o grá…co de . A unicidade segue da proposição 7.8.
2
Como consequência desse teorema se conclui que a menos de isomor…smo, existe no
máximo um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g.
Corolário 7.14 Sejam G1 e G2 grupos de Lie conexos e simplesmente conexos com
álgebras de Lie isomorfas. Então, G1 e G2 são isomorfos.
Demonstração: Sejam g1 e g2 as álgebras de Lie de G1 e G2 , respectivamente e
: g1 ! g2 um isomor…smo. Denote por : G1 ! G2 e : G2 ! G1 os homomor…smos com d 1 = e d 1 = 1 . Pela unicidade das extensões, segue que
= idG2 e
1
= idG1 , isto é,
= é um isomor…smo entre G1 e G2 .
2
7.3
Recobrimento universal
O objetivo desta seção é concluir um dos programas da teoria de grupos de Lie, que é
o de descrever os grupos de Lie conexos a partir das álgebras de Lie. Essa descrição se
resume na seguinte teorema„cuja demonstração será feita ao longo dessa seção.
Teorema 7.15 Seja g uma álgebra de Lie real com dim g < 1. Então,
1. Existe um único (a menos de isomor…smo) grupo de Lie conexo e simplesmente
e (g) com álgebra de Lie g.
conexo G
e (g) = , onde
2. Se G é grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g então G
G
e (g) é um subgrupo discreto central, isto é, está contido no centro
G
e (g) de G
e (g). Nesse caso é isomorfo ao grupo fundamental 1 (G).
Z G
Por esse teorema pode-se classi…car os grupos de Lie conexos a partir de uma
classi…cação (a menos de isomor…smo) das álgebras de Lie reais e de uma descrição dos
e (g) dos grupos simplesmente conexos G
e (g).
centros Z G
e (g) foi garantida pelo principio da monodromia (teorema 7.13) e
A unicidade de G
seu corolário 7.14.
e (g) falta mostrar sua existênNo que diz respeito ao grupo simplesmente conexo G
e (g) = será obtida facilmente por uma
cia. A parte que se refere ao quociente G = G
nova aplicação do principio da monodromia e será deixada para o …nal.
e (g) é garantida em dois passos:
A existência de G
7.3. Recobrimento universal
155
1. Se g é uma álgebra de Lie real de dimensão …nita então existe um grupo de
Lie conexo G com álgebra de Lie (isomorfa a) g. Esse resultado de existência é
conhecido como o terceiro teorema de Lie.
2. Se G é um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g então o seu recobrimento
e admite uma estrutura de grupo de Lie cuja álgebra de
simplesmente conexo G
Lie é (isomorfa a) g.
Como foi mencionado nos exemplos da seção 6.2 uma forma de mostrar a existência
de algum grupo de Lie com uma determinada álgebra de Lie g é via os grupos lineares,
em virtude do seguinte resultado sobre álgebras de Lie.
Teorema de Ado:Toda álgebra de Lie real de dimensão …nita admite uma representação …el (isto é, injetora), também de dimensão …nita.1
A imagem de uma representação …el de g é uma álgebra de Lie de matrizes isomorfa
a g e, portanto, é a álgebra de Lie de algum grupo conexo.
Agora pode-se …xar um grupo de Lie conexo G com álgebra de Lie g e aplicar
a teoria de espaços de recobrimentos para construir uma estrutura de grupo de Lie
e recobrimento universal simplesmente conexo de G. (Veja um resumo
no espaço G,
e se deve a que G é
dessa teoria no apêndice a este capítulo.) A existência do espaço G
e é uma variedade diferenciável tal que a aplicação
localmente conexo. Além do mais, G
e
de recobrimento : G ! G é um difeomor…smo local.
e ! G o recobrimento
Teorema 7.16 Seja G um grupo de Lie conexo. Denote por : G
e com
e
universal da variedade subjacente e escolha um elemento e
12G
1 = 1. Então,
e que o torna um grupo de Lie, de tal forma que e
existe um único produto em G,
1éo
e são isomorfas.
elemento neutro e é um homomor…smo. As álgebras de Lie de G e G
e é obtido através do levantamento do produto em
Demonstração: O produto em G
e G
e ! G a aplicação diferenciável dada
p : G G ! G da seguinte maneira: seja q : G
por
q (x; y) = p ( (x) ; (y)) :
e G
e é simplesmente conexo, existe uma única aplicação diferenciável pe :
Como G
e G
e ! G,
e levantamento de q, tal que pe e
G
1; e
1 =e
1:
pe
e G
e
e
G
! G
#
q& #
p
G G
! G
(Veja o item (4) na seção 7.4.)
1
Veja Álgebras de Lie [49], capítulo 10. A demonstração do teorema de Ado é bastante envolvente
do ponto de vista algébrico. No entanto a demonstração é trivial para álgebras de Lie com centro f0g,
como ocorre com as álgebras semi-simples.
156
e de…nido por pe satisfaz os axiomas de grupo. Isso se demonstra
O produto em G
explorando reiteradamente a existência e unicidade de levantamentos como segue:
e 7! pe e
e é um levantamento
1. e
1 é elemento neutro, pois a aplicação x 2 G
1; x 2 G
e 7! q e
de x 2 G
1; x 2 G. Esta aplicação é nada mais nada menos que a projeção
e ! G. Como, por de…nição, pe e
:G
1; e
1 =e
1 segue que pe e
1; x = x pois o único
levantamento que …xa um ponto é a identidade. Da mesma forma, se mostra que
pe x; e
1 = x.
e 7! (x) 1 2 G, que satisfaz e e
2. O único levantamento e da aplicação x 2 G
1
1 =e
e De fato, a aplicação x 2 G
e 7! pe (x;e (x)) 2 G
e é um
de…ne a inversa em G.
e 7! 1 2 G. Como x 2 G
e 7! e
e
levantamento da aplicação constante x 2 G
12G
também é um levantamento e ambas coincidem em e
1, segue que pe (x;e (x)) é
constante, igual a e
1, mostrando que e (x) = x 1 .
e G
e G
e!G
e determinadas
3. A associatividade segue do fato que as aplicações G
3
e ! G dada por
pelos produtos x (yz) e (xy) z são levantamentos da aplicação G
(x) (y) (z). Ambos os levantamentos coincidem em e
1; e
1; e
1 , portanto eles
coincidem.
As construções de q e pe mostram que
pe (x; y) = q (x; y) = p ( x; y)
portanto, é um homomor…smo. Reciprocamente, essas igualdades mostram que qualquer levantamento de q satisfaz a propriedade de homomor…smo. Da unicidade dos
e
levantamentos segue então a unicidade do produto em G.
e e G.
Por …m d e1 é um isomor…smo entre as álgebras de Lie de G
2
Na construção do teorema acima o ponto de partida foi um grupo de Lie conexo G
arbitrário. O fato de ser um homomor…smo sobrejetor, garante então que G é isomorfo
e ker . Com isso as seguintes observações concluem a demonstração da
ao quociente G=
primeira parte do item (2) do teorema 7.15.
1.
= ker
é um subgrupo discreto, pois
é um isomor…smo local.
2. Se
L é um subgrupo normal e discreto do grupo conexo L então
Z (L)
(veja o exercício 10 do capítulo 2). De fato, tome 2 e seja U L um aberto
tal que U \ = f g. A continuidade da aplicação l 2 L 7! l l 1 2 G implica
l l 1 2 U para l numa vizinhança V do elemento neutro. Como é normal,
segue que l l 1 = , isto é, l comuta com se l 2 V . Portanto comuta com
qualquer x 2 L, que é produto de elementos de V , isto é, 2 Z (L).
157
A única a…rmação do teorema 7.15 que falta veri…car é o isomor…smo entre o subgrupo discreto e o grupo fundamental, o que segue do que seguinte fato geral.
e um grupo conexo e simplesmente conexo e
Proposição 7.17 Sejam G
e ). Então,
subgrupo discreto e normal (isto é,
Z G
é isomorfo a
e .
G = G=
e um
G
1 (G) se
e ! G. Portanto, o grupo
Demonstração: O recobrimento universal de G é : G
fundamental 1 (G) é isomorfo ao grupo dos levantamentos contínuos de , isto é, o
e!G
e tais que
grupo das aplicações contínuas : G
= (veja o item (8) da seção
7.4).
Se g 2 então a translação à direita Dg 2 , o que permite de…nir o homomor…smo
g2
7! Dg 2 ;
que é injetor pois se Dg = id então g = 1. Para ver que ele é sobrejetor tome 2 .
Então,
(1) = (1), o que signi…ca que (1) 2 . Agora, D (1) e são dois levantamentos de com a mesma condição inicial D (1) (1) = (1). Como o levantamento é
único, se conclui que D (1) = , mostrando o isomor…smo entre e
2
1 (G).
Corolário 7.18 O grupo fundamental de um grupo de Lie conexo G é abeliano.
Demonstração:
abeliano.
e
De fato, se G = G=
então
1
(G) é central e, portanto,
2
Corolário 7.19 Dois grupos de Lie conexos são localmente isomorfos se, e só se,
seus recobrimentos universais são isomorfos.
A seguir são apresentados alguns exemplos concretos de grupos de Lie simplesmente
conexos e seus centros. Adiante será feita uma análise geral para as diferentes classes
de álgebras de Lie.
Exemplos:
1. O grupo aditivo (R; +) é o único grupo de Lie simplesmente conexo de dimensão
1 pois as álgebras de Lie unidimensionais são todas isomorfas. Seja
R um
subgrupo discreto com 6= f0g. Então,
! = inffx 2
: x > 0g
existe e é nescessariamente > 0. Como é fechado, ! 2 e daí que Z!
. A
inclusão contrária é verdadeira pois se x 2 então é possível escrever x = n! + q
com n 2 Z e 0 q < !. Nesse caso q = x n! 2 o que força q = 0, pois o
contrário contradiz a de…nição de !.
Em suma, = Z! e R=
conexos de dimensão 1.
S 1 , mostrando R e S 1 são os únicos grupos de Lie
158
2. Um grupo de Lie conexo é abeliano se, e só se, sua álgebra de Lie for abeliana.
Dessa forma, para determinar esses grupos basta exibir um grupo simplesmente
e e determinar seus subgrupos discretos (pois todos eles estão
conexo abeliano G
e
e pode-se tomar o grupo aditivo Rn . Os
contidos no centro de G).
Como G
subgrupos discretos de Rn são isomorfos a Zk , k = 1; : : : ; n. De fato, vale o
seguinte resultado: seja V um espaço vetorial real de dimensão n e H
V um
subgrupo discreto do grupo aditivo de V tal que H 6= f1g. Então, existe um
conjunto linearmente independente fv1 ; : : : ; vk g, 1 k n, tal que
H = fn1 v1 +
+ nk vk : ni 2 Zg:
A demonstração disso é feita por indução sobre n. Em primeiro lugar, para n = 1,
os subgrupos discretos da reta real R são da forma Z! com ! 2 R e, portanto,
da forma desejada (veja o exemplo anterior).
Para n 2, suponha que V é munido de um produto interno h ; i. O fato de H
ser discreto garante que o ín…mo
inffjvj 2 R : v 2 H; v 6= 0g
é atingido, isto é, existe v1 2 H tal que jv1 j é mínimo entre os comprimentos
dos elementos não nulos de H. Seja hv1 i o espaço gerado por v1 . O subgrupo
hv1 i \ H = Zv1 , já que v1 tem comprimento mínimo em H. Além do mais, a
escolha de v1 garante que a bola B (0; jv1 j =3) de centro 0 e raio jv1 j =3 intercepta
H apenas na origem.
Denote por p : V ! V =hv1 i a projeção canônica sobre o espaço quociente V =hv1 i
de dimensão n 1 e considere o subgrupo p (H). Este subgrupo é discreto em
1
V =hv1 i. Isso é mostrado veri…cando que a bola U = B 0; jv1 j satisfaz p (U ) \
3
p (H) = f0g. Considere o conjunto
p
1
(p (U )) = U + hv1 i:
Um elemento x desse conjunto é da forma x = av1 + u, a 2 R, u 2 U . Suponha
av1 + u 2 H. Se n é a parte inteira de a então (a n) v1 + u e (a (n + 1)) v1 + u
1
tal que bv1 + u 2 H. Mas, bv1 +
estão em H. Daí que existe b com jbj
2
1
1
u
B (0; jv1 j) pois jbv1 j
jv1 j e juj
jv1 j. Pela escolha de v1 , segue que
2
3
bv1 + u = 0, o que implica que u 2 hv1 i. Isso mostra que
p
1
(p (U )) \ H = hv1 i \ H:
Como esta igualdade é equivalente a p (U ) \ p (H) = f0g, o subgrupo p (H) é
discreto em V =hv1 i.
Pela hipótese de indução existem elementos linearmente independentes w2 ; : : : ; wk 2
V =hv1 i, 1 k n tal que
p (H) = Z w2 +
+ Z wk :
159
Tomando representantes em V esses elementos se escrevem como wi = [vi ], i =
2; : : : ; k. O conjunto fv1 ; v2 ; : : : ; ; vk g é linearmente independente em V . Por
construção todo elemento de x 2 H se escreve como
x = av1 + n2 v2 +
+ nk v k
com ni 2 Z. Para concluir a demonstração só falta veri…car que a 2 Z. Mas
n2 v2 +
+ nk vk 2 H e, portanto, av1 2 H e daí que a 2 Z.
Essa descrição dos subgrupos discretos mostra que, a menos de conjugação (escolha de uma base), os subgrupos discretos de Rn são da forma
Zk = f(x1 ; : : : ; xk ; 0; : : : ; ; 0) : xi 2 Zg:
Portanto, os grupos de Lie abelianos conexos são da forma Rn =Zk , n
0, k =
0; : : : ; n. No caso em que k = n, Rn =Zn é o toro Tn , enquanto que Rn =Zk
Rn k Tk . Em particular, os únicos grupos de Lie conexos abelianos que são
compactos são os toros Tn , n 0.
3. O grupo a…m Af (1) tem dimensão dois e duas componentes conexas. Sua álgebra
de Lie af (1) é a única álgebra de Lie bidimensional que não é abeliana. A componente conexa da identidade Af (1)0 é difeomorfa a R+ R, que é simplesmente
conexo. Por outro lado, o centro de Af (1) é trivial pois se (a; v) 2 Af (1) comuta
com (b; w) então aw + v = bv + w. Se isso ocorre para todo (b; w), então v = 0
(tomando w = 0) e, portanto, a = 1. Consequentemente, Af (1)0 é o único grupo
de Lie conexo não-abeliano de dimensão dois. (Existem, portanto, quatro grupos
de Lie conexos de dimensão dois: os abelianos R2 , T1 R e T2 juntamente com
o não-abeliano Af (1)0 .)
4. O grupo conexo Gl+ (2; R) tem a seguinte estrutura geométrica: seja g uma
matriz 2 2, inversível. As colunas de g formam uma base de R2 . O processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt aplicado a essa base consiste em multiplicar
g à direita por uma matriz triangular superior da forma
t=
a x
0 b
com a; b > 0, obtendo a matriz gt = u cujas colunas formam uma base ortonormal, isto é, u é uma matriz ortogonal. Como det g > 0 e det t = ab, segue que
det u > 0, isto é, u 2 SO (2). Portanto, Gl+ (2; R) = SO (2) T onde T é o grupo
das matrizes triangulares superiores com entradas positivas na diagonal. Os grupos SO (2) e T são conexos com SO (2) difeomorfo ao círculo S 1 e T difeomorfo
a R3 .
A aplicação
: SO (2) T ! Gl+ (2; R), dada por (u; t) = ut é um difeomor…smo. Ela é sobrejetora pelo processo de ortonormalização. Por outro
lado, é injetora pois SO (2) \ T = f1g (e dai que u1 t1 = u2 t2 implica que
u1 1 u2 = t1 t2 1 = 1), além do mais, d (u;t) é um isomor…smo para cada (u; t) (a
160
veri…cação disto usa o fato de que a única matriz anti-simétrica que é ao mesmo
tempo triangular superior é a matriz nula). Portanto, Gl+ (2; R) é difeomorfo ao
cilindro S 1 R3 e seu recobrimento universal é difeomorfo a R4 .
Os mesmos argumentos valem para Sl (2; R) que se decompõe em Sl (2; R) =
SO (2) T1 onde T1 é o grupo das matrizes triangulares superiores de determinante
1 e elementos positivos na diagonal. Esse grupo é difeomorfo a R2 e assim Sl (2; R)
é difeomorfo a S1 R2 e seu recobrimento simplesmente conexo é difeomorfo a
R3 . Essa construção é um caso particular da decomposição de Iwasawa que será
considerada no capítulo 12.
5. Seja
Sp (1) = fq 2 H : jqj = 1g
a esfera unitária dos quatérnions H. A álgebra de Lie de Sp (1) é o espaço tangente
ao elemento neutro que é a álgebra dos quatérnions imaginários. Essa álgebra de
Lie é isomorfa a so (3). Portanto, Sp (1) é o único grupo simplesmente conexo
com álgebra de Lie so (3).
Como a álgebra de Lie de SO (3) também é so (3), a teoria geral garante que
existe um homomor…smos sobrejetor : Sp (1) ! SO (3) cujo núcleo é um subgrupo discreto central de Sp (1). Esse homomor…smo é dado concretamente pela
representação adjunta de Sp (1) em sua álgebra de Lie. Em termos do produto
de quatérnions Ad (z) (w) = zwz 1 = zwz, z 2 Sp (1) e w = w. Para todo
z 2 Sp (3), Ad (z) é uma isometria. Portanto, a imagem de Ad é um subgrupo conexo de dimensão três de SO (3), daí que Ad (Sp (1)) = SO (3), isto é,
Ad : Sp (1) ! SO (3) é um homomor…smo sobrejetor. O núcleo de Ad é o centro
de Sp (1), que é Z (Sp (1)) = f 1g. Portanto, Sp (1) ! SO (3) é um recobrimento
duplo, e daí que o grupo fundamental de SO (3) é isomorfo a Z2 = ker Ad.
2
7.4
Apêndice: espaços de recobrimento (resumo)
A seguir estão catalogados alguns resultados sobre espaços de recobrimento, que foram
utilizados na construção do recobrimento universal de um grupo de Lie.
1. Uma aplicação entre espaços topológicos localmente conexos f : A ! B é uma
aplicação de recobrimento se para todo x 2 B, uma vizinhança V 3 x tal que
a restrição de f a cada componente conexa C de f 1 (V ) é um homeomor…smo
entre C e V .
2. Seja X um espaço topológico conexo e localmente conexo por caminhos. Ene ! X, que é simplesmente conexo, isto é,
tão, existe um recobrimento : X
e é trivial. Esse recobrimento é único (a menos de
o grupo fundamental 1 X
homeomor…smo) e é denominado de recobrimento universal de X.
7.4. Apêndice: espaços de recobrimento (resumo)
161
3. Em particular, uma variedade diferenciável conexa M pode-se considerar o seu
f ! M . Nesse caso, M
f também é uma variedade
recobrimento universal : M
f são de…nidas comdiferenciável e é um difeomor…smo local. (As cartas de M
pondo as cartas de M com a projeção , em domínios devidamente escolhidos.)
4. Aplicações contínuas podem ser levantadas ao recobrimento universal de acordo
com o seguinte enunciado: seja X um espaço topológico conexo e localmente
e ! X o seu recobrimento universal. Sejam Y
conexo por caminhos e
: X
um espaço simplesmente conexo e f : Y ! X uma aplicação contínua. Tome
e e y 2 Y tal que (z) = x e f (y) = x. Então, existe um único
x 2 X, z 2 X
e tal que fe(y) = z e
fe = f , isto é, tal que o
levantamento fe = fex;y;z : Y ! X
seguinte diagrama é comutativo:
y2Y
fe
f
*
-
e 3z
X
?
X3x
5. No item anterior se X e Y são variedades e f diferenciável então fe também é
diferenciável.
6. Um caso particular de levantamento de aplicações contínuas (ou diferenciáveis)
e e f = . Então, um levantamento ex;y;z satisfaz
é quando se toma Y = X
e (a inversa de ex;y;z é ex;z;y ).
ex;y;z = e é homeomor…smo de X
e !X
e que satisfaz
Toda aplicação : X
= é um levantamento de . Além
do mais, o conjunto dos levantamentos contínuos de forma um grupo com a
composição.
7. Se x 2 X e y 2
exaurem o grupo
1
fxg são …xados então os levantamentos ex;y;z , z 2
do item anterior. Portanto, está em bijeção com
1
1
fxg
fxg.
8. O grupo é isomorfo ao grupo fundamental 1 (X). Isomor…smos são obtidos
1
…xando x 2 X e y 2
fxg: uma curva contínua fechada : [0; 1] ! X com
e com
(0) = (1) = x se levanta de maneira única a uma curva e : [0; 1] ! X
e (0) = y. Se [ ] 2 1 (X; x) denota a classe de homotopia de então a aplicação
[ ] 7! ex;y;e (1) 2 é bem de…nida e estabelece um isomor…smo entre 1 (X; x) e
.
162
7.5
Exercícios
1. Seja : G ! H um homomor…smo contínuo e inversível entre grupos de Lie.
Mostre que é um isomor…smo, isto é, 1 é homomor…smo diferenciável. Faça
o mesmo para o caso de um isomor…smo local.
e e H
e seus recobrimentos
2. Sejam G e H grupos de Lie conexos e denote por G
e H
e é o recobrimento universal de G H.
simplesmente conexos. Mostre que G
Generalize para um produto com mais de dois fatores.
3. Use o processo de ortonormalizzção de Gram-Schmidt para generalizar a Gl+ (n; R),
Sl(n; R), Gl(n; C) e Sl(n; C) o exemplo de Gl+ (2; R) dado no texto.
4. Mostre que os grupos fundamentais de Sl (n; R) e Gl+ (n; R) coincidem com o
grupo fundamental de SO (n). O que se pode dizer sobre os grupos fundamentais
de Sl (n; C) e Gl (n; C)?
5. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão …nita tal que [X; [Y; Z]] = 0 para todo
X; Y; Z 2 g. Encontre o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo associado a
g. (Veja o exercício 22 do capítulo 5.)
6. Sejam G um grupo de Lie conexo com dim G = 2 e exp : g ! G sua aplicação
exponencial. Mostre que exp é uma aplicação de recobrimento.
7. Seja K um grupo de Lie abeliano compacto. Mostre que o conjunto dos elementos
x 2 K de ordem …nita (isto é, xk = 1, para algum k 2 N) é denso em K.
8. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (2; R) é difeomorfo a S1 R2 , tem
grupo fundamental Z e o seu recobrimento universal Sl^
(2; R) é difeomorfo a R3 .
Mostre também que o centro de Sl^
(2; R) é isomorfo a Z.
9. Descreva todos os grupos de Lie conexos cuja álgebra de Lie é sl (2; R).
b o conjunto dos
10. Seja G = Rn T m um grupo abeliano conexo e denote por G
1
homomor…smos diferenciáveis : G ! S . Mostre que existe uma bijeção entre
b e uma subvariedade diferenciável do dual (Rn+m ) difeomorfa a Rn Zm . Em G
b
G
b
de…na o produto pontualmente por ( ) (g) = (g) (g). Veri…que que
2G
1
(pois S é abeliano) e que esse produto de…ne uma estrutura de grupo de Lie em
b
G.
11. Sejam G o grupo das matrizes
0
1
1 x z
@ 0 1 y A
0 0 1
com x; y; z 2 R e
G o subgrupo das matrizes com entradas em Z. Mostre
que a variedade G= não admite uma estrutura de grupo que a transforma num
grupo de Lie.
7.5. Exercícios
163
12. Denote por Sl (2; Z) o conjunto das matrizes 2 2 com entradas inteiras e determinante 1. Veri…que que Sl (2; Z) é um subgrupo fechado de Sl (2; R). Mostre
que não existe nenhuma estrutura de grupo na variedade Sl (2; R) =Sl (2; Z), que
a torna um grupo de Lie.
13. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Suponha que existam
ideais a; b
g tais que g = a b. De…na os subgrupos conexos A = hexp ai
e B = hexp bi. Mostre que G = AB = BA, isto é, a aplicação A B ! G,
(a; b) 7! ab é sobrejetora.
Mostre também que se as aplicações exponenciais de A e B são sobrejetoras então
a exponencial em G também é sobrejetora. (Sugestões: passe ao recobrimento
universal. Compare com o exercício 15 do capítulo 6.)
e!Ge H :H
e !H
14. Dados os grupo de Lie conexos G e H denote por G : G
os recobrimentos universais. Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável.
e!H
e tal que H e =
Mostre que existe um único homomor…smo e : G
G.
Mostre também que um homomor…smo : g ! h, entre as álgebras de Lie de G
e H, se estende a um homomor…smo entre G e H se, e só se ker
ker G onde
e:G
e!H
e é tal que de1 = .
e um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e 1 ; 2 G
e subgrupos
15. Sejam G
e 1 é isomorfo a G2 = G=
e 2 se, e só se,
discretos e centrais. Mostre que G1 = G=
e tal que ( 1 ) = 2 .
existe um automor…smo 2 Aut G
Dê exemplos em que G1 não é isomorfo a G2 e, no entanto,
isto é, 1 (G1 )
1 (G2 ).
1
é isomorfo a
2,
16. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado e conexo. Mostre
que G é simplesmente conexo se H e G=H são simplesmente conexos. (Sugestão:
e , veri…que que G=H
e 0 onde H 0 = 1 (H) e : G
e!G
escreva G = G=
G=H
0
0
é a projeção canônica. Veri…que que H = H = (H \ ) e mostre que H 0 não
e 0 ! G=H
e 0
é conexo. Por …m considere o recobrimento G=H
G=H.) (Outra
0
sugestão: use a sequência exata longa de homotopia para …brações.)
17. Mostre que o grupo de Lie SU (n), n 1, é simplesmente conexo. Faça o mesmo
para o grupo Sp (n) das matrizes quaternionicas unitárias. (Sugestão: em ambos os casos pode-se escrever esferas de dimensões convenientes como espaços
homogêneos dos grupos.)
18. Mostre que SO (n), n
Z2 se n
1 (SO (n))
2, não é simplesmente conexo e que o grupo fundamental
3.
19. Este exercício tem por objetivo mostrar que o grupo fundamental de um grupo
de Lie G conexo é abeliano, diretamente usando homotopias de curvas. Denote
164
por [ ] a classe de homotopia da curva . Seja : [0; 1] ! G uma curva contínua
com (0) = (1) = 1 e de…na as curvas e; b : [0; 1] ! G por
e (t) =
que percorrem
1
(2t
t 2 0; 21
1) t 2 21 ; 1
b (t) =
(2t) t 2 0; 12
1
t 2 21 ; 1
na segunda e primeir metade de [0; 1], respectivamente.
(a) Mostre que [ ] = [e] = [b]. Sugestão: de…na as homotopias
e (t; s) =
H
1
2t s
2 s
t 2 0; 2s
t 2 2s ; 1
b (t) =
2t
2 s
1
t 2 0; 2 2 s
t 2 22 s; 1
(b) Dadas as curvas fechadas 1 ; 2 : [0; 1] ! G que iniciam e terminam em
1 2 G considere as curvas b1 (t) e2 (t) e e1 (t) b2 (t) (produto em G). Mostre
que
b1 (t) e2 (t) =
e1 (t) b2 (t) =
(2t)
t 2 0; 12
1) t 2 12 ; 1
2 (2t
1
(2t)
t 2 0; 21
1) t 2 12 ; 1
1 (2t
2
(c) Use o item anterior para veri…car que [b1 e2 ] = [ 1 ] [ 2 ] e [e1 b2 ] = [ 2 ] [ 1 ] e
conclua que [ 1 ] [ 2 ] = [ 2 ] [ 1 ].
Capítulo 8
Expansões em séries
8.1
Diferencial da aplicação exponencial
A exponencial exp : g ! G no grupo de Lie G é uma aplicação diferenciável. Sua
diferencial na origem d (exp)0 : g ! g é a identidade de g = T1 G.
Já para X 2 g a diferencial d (exp)X é uma aplicação linear entre g = T1 G e o espaço
tangente TeX G. Transladando à esquerda obtém-se a aplicação linear TX : g ! g dada
por
TX = dEe X d (exp)X :
(8.1)
Essa aplicação é dada por uma série de potências em ad (X), como será mostrado ao
longo desta seção.
Teorema 8.1 Dado X 2 g seja TX a translação à esquerda de d (exp)X , de…nida em
(8.1). Então,
X
1
(ad (X))k :
(8.2)
TX =
(k + 1)!
k 0
Nesta expressão para TX está pressuposto que a estrutura de álgebra de Lie em
g = T1 G é dada pelo colchete entre campos invariantes à direita. Caso seja usado
o colchete entre campos invariantes à esquerda, deve-se mudar o sinal de ad. Dessa
forma, denote por add (X) a adjunta obtida pelos campos invariantes e por ade a obtida
pelos campos invariantes à esquerda. Então ade (X) = add (X). Com essas notações
a fórmula para a diferencial da exponencial é dada por
TX =
X
k 0
X ( 1)k
1
k
(add (X)) =
(ade (X))k :
(k + 1)!
(k + 1)!
k 0
Essas séries podem ser escritas de forma mais concisa, levando em conta que a série de
potências
X
1
zk
(k
+
1)!
k 0
165
166
Capítulo 8. Expansões em séries
na variável z representa a função (real ou complexa) f (z) =
ez
z
f (ad (X)), isto é,
TX =
1
. Portanto, TX =
eadd (X) 1
1 e ade (X)
=
:
add (X)
ade (X)
A demonstração do teorema 8.2 será feita em duas partes. Em primeiro lugar a
fórmula para a diferencial da exponencial será deduzida para os grupos lineares, isto é,
para os subgrupos de Gl (n; R). Posteriormente, usando o teorema de Ado, que garante
o isomor…smo local entre um grupo de Lie qualquer e um grupo linear, a fórmula será
estendida aos grupos de Lie gerais.
Dados X; Y 2 g, TX (Y ) = dEexp( X) d (exp)X (Y ) é a derivada
d
e
dt
X X+tY
e
jt=0
= exp ( X)
d X+tY
e
dt
jt=0
:
P
1
No caso de um grupo linear eX é dado pela série de potências k 0 X k , o que posk!
d X+tY
sibilita calcular a derivada
explicitamente como uma série de potências
e
jt=0
dt
em ad. A seguir essa derivada será calculada através de manipulações de séries. Essas
manipulações envolvem a mudança de ordem e a associatividade de termos de séries
de potências, que são justi…cadas pela convergência em norma das séries envolvidas.
(Nesse caso é conveniente tomar a norma de operador que satisfaz kXY k kXk kY k.)
Pelo fato da série da exponencial ser normalmente convergente vale
d X+tY
e
dt
=
jt=0
X 1 d
(X + tY )kjt=0 :
k!
dt
k 1
A derivada de um produto de matrizes fornece
d X+tY
e
dt
jt=0
=
k 1
X
Xk
i+1
Y X i:
i=0
Portanto,
d X+tY
e
dt
jt=0
=
k 1
XX
1 k
X
k!
k 1 i=0
i+1
Y X i:
(8.3)
As parcelas dessa soma são reescritas através da seguinte fórmula de comutação, que é
válida em uma álgebra associativa qualquer.
Lema 8.2 Seja A uma álgebra associativa e tome x; y 2 A. Se add (x)y = yx
então para para todo n 1 vale
n
X
n n p
yx =
x (add (x)p y):
p
p=0
n
xy,
(8.4)
8.1. Diferencial da aplicação exponencial
167
A demonstração desse lema é feita por uma indução simples1 .
d X+tY
é dado por
Substituindo (8.4) em (8.3), segue que
e
jt=0
dt
k 1X
i
XX
1
k!
k 1 i=0 j=0
k 1X
i
XX
1
=
k!
k 1 i=0 j=0
i
j
Xk
i 1
i
j
Xk
j 1
X i j ad (X)j (Y )
ad (X)j (Y )
onde ad = add . A idéia agora é escrever essa soma como série de potências em
ad (X)j (Y ). Para isso seus termos são reordenados da seguinte forma
k 1X
i
XX
=
k 1X
k 1
XX
k 1
X X X
=
j 0 k j+1 i=j
k 1 j=0 i=j
k 1 i=0 j=0
;
obtendo para a diferencial a expressão
X X 1
Xk
k!
j 0 k j+1
j 1
ad (X)j (Y )
k 1
X
i
j
i=j
!
:
(8.5)
A soma colocada entre parênteses é avaliada pelos seguinte lema sobre coe…cientes
binomiais.
Lema 8.3
Pk
i
j
1
i=j
k
j+1
=
:
Demonstração: Segue por indução usando a igualdade
n
j
começando com
j
j
+
j+1
j
+
n
j+1
n+1
j+1
=
j+2
j+1
=j+2=
.
Portanto, a expressão (8.5) para a derivada se reduz a
=
X X 1
k!
j 0 k j+1
X X
j 0 k
Pondo r = k
j
1
(j + 1)! (k
j+1
Xk
j
j 1
1)!
ad (X)j (Y )
Xk
j 1
ad (X)j (Y ) :
1, chega-se …nalmente a
X
j 0
1
k
j+1
1
(j + 1)!
X1
Xr
r!
r 0
Veja Álgebras de Lie [49], proposição 2.7.
!
ad (X)j (Y ) ;
2
168
isto é,
d X+tY
e
dt
jt=0
X
Multilicando à esquerda por e
= eX
X
j 0
1
ad (X)j (Y ) :
(j + 1)!
segue que
TX =
X
j 0
1
ad (X)j (Y ) ;
(j + 1)!
lembrando que ad = add devido à fórmula de comutação (8.4). Isso conclui a demonstração do teorema 8.2 para os grupos lineares.
O caso geral segue do teorema de representação de Ado e do seguinte lema. O caso
geral segue da seguinte observação.
Lema 8.4 Seja : G ! H um homomor…smo e denote por expG e expH as exponenciais em G e H respectivamente. Escreva TXG e TYH para os transladados (8.1) em G e
H. Então,
d 1 TXG = TdH 1 (X) :
Demonstração: Como
Y = d 1 (X) então
d
é homomor…smo,
expG = expH d 1 , portanto, se
d (expG )X = d (expH )Y
expG X
d
1
(X) :
Aplicando, nessa igualdade, a translação à esquerda dEexpH (
d EexpH (
d
Y ) exp Y
H
expG X
d (expG )X = TYH
Porém,
EexpG ( X) = E (expG ( X))
= EexpH (
em (8.6), usando a regra da cadeia, chega-se a
d
1
TXG
= d
EexpG (
= TYH
d
1
Y ),
d
…ca
1
(X) :
(8.6)
. Substituindo esta igualdade
Y)
X) exp X
G
d (expG )X
(X)
que é a fórmula do enunciado.
2
Para concluir a demonstração do teorema 8.1 no caso geral, basta agora aplicar
duas vezes o lema acima usando o teorema de Ado que garante que toda álgebra de
Lie é isomorfa a uma álgebra linear. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g.
Tomando uma representação …el de g seja H = hexp (g)i. As álgebras de Lie g e
e de ambos os
h = (g) de G e H são isomorfas. Dessa forma recobrimento universal G
e
e
grupos é o mesmo e existem homomor…smos : G ! G e : G ! H tais que d 1 e
d 1 são isomor…smos. Portanto, usando a notação do lema, se obtém para X 2 g,
TXG = d
1
e
G
T(d
1)
1
(X)
=d
1
(d
1)
1
TYH
8.2. Série de Baker-Campbell-Hausdor¤
onde Y = (X) e
que
=d
1
(d 1 ) 1 . Como o teorema vale no grupo linear H segue
1
TXG =
X
k 0
=
X
k 0
pois 1 ad ( X) = ad (X), já que
teorema 8.1 no caso geral.
8.2
169
1
(ad ( X))k
(k + 1)!
1
(ad (X))k
(k + 1)!
é isomor…smo. Isso conclui a demonstração do
Série de Baker-Campbell-Hausdor¤
Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. A aplicação exp : g ! G se restringe
a um difeomor…smo exp : V ! U ao redor da origem, com 0 2 V
ge12U
G
X Y
abertos. Se X; Y 2 V são su…cientemente pequenos então o produto e e ainda é um
elemento de U , o que permite escrever
eX eY = ec(X;Y ) :
A aplicação c é a expressão do produto em G em coordenadas locais de primeira espécie.
A série de Baker-Campbell-Hausdor¤ (BCH) fornece uma expressão para
c (X; Y ) como a soma de uma série, cujos termos são colchetes sucessivos entre X
e Y . Essa série é escrita como
X
c (X; Y ) = X + Y +
ck (X; Y )
n 2
em que os termos cn (X; Y ), n 2, são homogêneos de ordem n, isto é, são somas de
colchetes com k fatores (X ou Y ). Por exemplo, os primeiros termos da fórmula (com
colchetes de campos invariantes à direita) são
c2 (X; Y ) =
c3 (X; Y ) =
1
[X; Y ]
2
1
[[X; Y ] ; Y ]
12
1
[[X; Y ] ; X] :
12
Assim como a fórmula da diferencial da exponencial a fórmula para a série BCH
é universal, no sentido em que as expressões dadas para os termos homogêneos são as
mesmas, independente do grupo de Lie (na verdade, da álgebra de Lie).
A seguir será apresentada uma demonstração da convergência da série BCH (para
X e Y pequenos), assim como uma fórmula indutiva, que fornece cn (X; Y ) a partir
dos termos de menor grau.
A série BCH é de…nida localmente (ao redor do elemento neutro) e é expressa em
termos de colchetes de Lie. Dessa forma, se g é uma álgebra de Lie …xada, a série
170
é a mesma para quaisquer grupos de Lie com álgebra de Lie g, pois os grupos são
localmente isomorfos. Em vista disso será adotada aqui, para a análise da série BCH, a
mesma estratégia utilizada para a fórmula da diferencial da exponencial. A estratégia
consiste em lançar mão do teorema de Ado e fazer os cálculos com exponenciais de
matrizes, que facilita os argumentos, principalmente o da convergência da série.
Dito isso, o primeiro membro da igualdade eX eY = ec(X;Y ) se escreve como a soma
da série
!
!
X 1
X 1
Xn
Yn
eX eY =
n!
n!
n 0
n 0
!
n
X X1
1
XjY n j
=
j! (n j)!
j=0
n 0
X
=
en (X; Y ) :
n 0
Essa última série converge normalmente para quaisquer X, Y , pois isso ocorre com a
série da exponencial. (A convergência é em relação a uma norma pré-estabelecida, por
exemplo, a norma de operador que satisfaz kXY k kXk kY k.)
Considere agora a série do logaritmo
log (1 + x) =
X ( 1)k+1
xk ;
k
k 1
que converge absolutamente se jxj < 1. Essa série inverte a exponencial no sentido em
que
log (exp x) = log (1 + (exp x 1))
X ( 1)k+1
=
(exp x)k = x
k
k 1
se j exp x
obtém
1j < 1. Portanto, substituindo a série para eX eY na série do logaritmo se
X ( 1)k+1
c (X; Y ) =
k
k 1
X ( 1)k+1
=
k
k 1
X
n 0
!k
en (X; Y )
n
XX
1
1
XjY n
j! (n j)!
n 0 j=0
j
!k
:
Essa série converge normalmente se X e Y são su…cientemente pequenos tal que
eX eY 1 < 1. Portanto, os termos da série podem ser rearranjados (permutados e
associados), obtendo novas séries ainda normalmente convergentes. Na série aparecem
monômios em X e Y da forma X i1 Y j1
X is Y js de grau n = i1 + j1 +
+ is + js
171
(provenientes da potência k da série entre parênteses). Juntando os monômios de
mesmo grau n no termo cn (X; Y ), se obtém a série convergente
c (X; Y ) =
X
cn (X; Y )
(8.7)
n 1
como na série BCH. Esses argumentos demonstram a seguinte a…rmação:
Proposição 8.5 Existe > 0 tal que se jXj; jY j < então c (X; Y ) é dado pela série
convergente (8.7) em que o termo cn (X; Y ) é um polinômio homogêneo em X; Y da
forma
X
cn (X; Y ) =
aI;J X i1 Y j1
X is Y js
com n = i1 + j1 +
+ is + js e I = (i1 ; : : : ; is ), J = (j1 ; : : : ; js ).
Falta deduzir a fórmula recursiva para cn . Dessa fórmula …cará evidente que
cn (X; Y ) é um elemento de Lie, isto é, uma soma de colchetes sucessivos entre
X e Y . A idéia para obter a fórmula recursiva é escrever a série para c (tX; tY ) com
jtj < 1, observando que cn (tX; tY ) = tn cn (X; Y ), já que cn (X; Y ) é um polinômio de
grau n em X e Y . Dessa forma,
c (tX; tY ) =
X
cn (X; Y ) tn
n 1
é uma sére de potências
P em t, absolutamente convergente se jtj < 1. Sua derivada é dada
por c (tX; tY )0 = n 0 (n + 1) cn+1 (X; Y ) tn . Se essa derivada for convenientemente
calculada, pode-se obter cn (X; Y ), comparando os termos de duas séries de potências.
O cálculo da derivada c (tX; tY )0 se faz através da igualdade etX etY = ec(tX;tY ) e
da fórmula da diferencial da exponencial. Os cálculos serão feitos para o colchete de
campos invariantes à direita, isto é, [X; Y ] = Y X XY , no caso de um grupo linear.
Nesse caso, d (exp)Z = eZ TZ onde TZ = (ad (Z)), isto é, TZ é a série de potências da
função
ez 1
(z) =
z
calculada em z = ad (Z).
Para calcular c (tX; tY )0 deve-se introduzir as seguintes funções:
1.
(z) =
(z)
1
=
z
.
ez 1
Essa função satisfaz
( z)
( z) = (z) + z, pois
z
ze z
z
=
1 e z
1 e z
z
= z
= (z) :
e
1
z =
172
2.
(z) = (z) + z2 . Essa função é par, pois ( z) = ( z) z2 = (z). (Observe
z
que (z) = ezz 1 + z2 = z2 eez +11 = z2 coth z2 .) A série de potências de envolve
apenas termos de grau par. Como (0) = (0) = 1, essa série será escrita como
X
(z) = 1 +
a2k z 2k :
(8.8)
k 1
Essa série pode ser obtida pelos seguintes cálculos formais
(z) =
z
ez
+
1
z
+
=
2 1+
z
2
z
2!
1
2
+ z3! +
z
z2
+
+
2! 3!
z
+1
=
2
+
z
z2
+
+
2! 3!
2
+
Proposição 8.6 Escreva f (t) = c (tX; tY ). Então
c (tX; tY )0 = f 0 (t) =
(ad (f (t))) (X + Y ) +
1
[f (t) ; X
2
Y ]:
(8.9)
Demonstração: É conveniente derivar separadamente cada um dos t’s de c (tX; tY ).
Para isso escreva F (u; v) = c (uX; vY ), de tal forma que euX evY = eF (u;v) e
c (tX; tY )0 =
@F
@F
(t; t) +
(t; t) :
@u
@v
A derivada em relação a v é, em primeiro lugar,
@ uX vY
e e = euX evY Y
@v
(lembrando que X e Y são matrizes). Por outro lado,
@ c(uX;vY )
e
= d (exp)c(uX;vY )
@v
@F
(u; v)
@v
@F
= ec(uX;vY ) Tc(uX;vY )
(u; v) :
@v
onde Tc(tX;tY ) é como na fórmula da diferencial da exponencial. Igualando as duas
derivadas, se obtém
euX evY Y = ec(uX;vY ) Tc(uX;vY )
@F
(u; v) :
@v
Levando em conta que Tc(tX;tY ) tem inversa se X e Y são su…cientemente pequenos
chega-se a
@F
1
(u; v) = Tc(uX;vY
) (Y ) :
@v
1
Mas ,Tc(uX;vY
) = (ad (c (uX; vY ))) pois
173
(z) (z) = 1. Daí que
@F
(u; v) =
@v
(ad (c (uX; vY ))) (Y )
=
(ad (c (uX; vY ))) (X)
1
ad (c (uX; vY )) (X)
2
A derivada em relação a u se obtém da derivada em relação a v tomando a igualdade
a igualdade e vY e uX = e c(uX;vY ) . Então,
e
vY
e
uX
X=e
c(uX;vY )
T
c(uX;vY )
@F
(u; v) ;
@u
isto é,
@F
(u; v) =
@u
=
=
( ad (c (uX; vY ))) (X)
1
( ad (c (uX; vY ))) (X) + ad (c (uX; vY )) (X)
2
1
(ad (c (uX; vY ))) (X) + ad (c (uX; vY )) (X) ;
2
pois a função é par.
Por …m, somando as duas derivadas parciais, segue que
c (tX; tY )0 =
1
(ad (c (tX; tY ))) (X + Y ) + ad (c (tX; tY )) (X
2
Y)
que é a igualdade do enunciado.
2
Agora é possível obter a fórmula de recorrência para cn (X; Y ), comparando os
coe…cientes das séries de potências na igualdade (8.9). Antes de mais nada, o primeiro
termo c1 (X; Y ) é dado por
1
c1 (X; Y ) = c (tX; tY )0t=0 = X + Y
2
pois
(0) = 1.
Teorema 8.7 A fórmula de recursão para cn = cn (X; Y ) é dada por c1 = X + Y e
(n + 1) cn+1 =
1
[cn ; X Y ]
2 X
X
+
a2k
ad (cj1 )
2 2k n
ad (cj2k ) (X + Y )
Jk;n
onde a a segunda soma se estende aos multindices Jk;n = (j1 ; : : : ; j2k ) com 2k elementos
ji 1 cuja soma é j1 +
+ j2k = n.
174
Demonstração: O primeiro membro de (8.9) é dado por
X
c (tX; tY )0 =
(n + 1) cn+1 tn :
(8.10)
n 0
No segundo membro a série do último termo é
1
ad (c (tX; tY )) (X
2
Y)=
1X
ad (cn ) (X
2n 1
Y ) tn
(8.11)
já a série do primeiro termo é dada por
(ad (c (tX; tY ))) (X + Y ) = X + Y +
X
a2k (ad (c (tX; tY )))2k (X + Y )
k 1
= X +Y +
X
a2k
X
ad (cj ) tj
j 1
k 1
!2k
(X + Y ) :
Nessa última série o coe…ciente do termo tn , n 1, é dado por
X
X
a2k
ad (cj1 ) ad (cj2k ) (X + Y ) :
(8.12)
j1 + +j2k =n
2 2k n
Por …m, igualando o n-ésimo termo de (8.10) com a soma do n-ésimo termo de
(8.11) e de (8.12) se obtém a igualdade do enunciado.
2
O teorema acima permite calcular, em principio os termos da série BCH, apesar de
que o processo indutivo se torna rapidamente complicado. Os primeiro termos da série
são os seguintes:
1. c1 (X; Y ) = X + Y .
2. 2c2 (X; Y ) = 21 [c1 ; X
Y ] = 21 [X + Y; X
c2 (X; Y ) =
(O sinal
Y]=
[X; Y ], isto é,
1
[X; Y ] :
2
vem do fato que o colchete é entre campos invariantes à direita.)
3. Para n = 3 a fórmula de recursão é
3c3 =
=
X
1
[c2 ; X
2
Y ] + a2
1
[c2 ; X
2
Y ] + a2 ad (c1 ) ad (c1 ) (X + Y ) :
ad (cj1 ) ad (cj2 ) (X + Y )
j1 +j2 =2
Como c1 = X + Y , o último termo se anula e
c3 =
1
[[X; Y ] ; Y ]
12
1
[[X; Y ] ; X] :
12
8.3. Estrutura diferenciável analítica
8.3
175
Estrutura diferenciável analítica
A convergência da série de Baker-Campbell-Hausdor¤ mostra que a aplicação produto
num grupo de Lie G é analítica quando visto num sistema de coordenadas de primeira
espécie. De fato, a de…nição de c (X; Y ) pela igualdade eX eY = ec(X;Y ) signi…ca que
c : V0 V0 ! V0 é a expressão do produto p : G G ! G em coordenadas locais
dado por uma carta exp : V0 ! U0 , de…nida ao redor do elemento neutro. Isto é,
c = log p (exp exp), ondeP
log = exp 1 : U0 ! V0 .
A série BCH c (X; Y ) = n 0 cn (X; Y ) é uma série de potências, no sentido em
que os termos cn são polinômios homogêneos de grau n nas variáveis X, Y . Conforme
foi veri…cado na seção anterior, essa série é normalmente convergente numa vizinhança
V V
V0 V0 da origem. Portanto, a aplicação produto é analítica na carta de G,
ao redor do elemento neutro, de…nida por exp : V ! U = exp (V ). Translações dessa
carta de…nem em G um atlas analítico no qual a aplicação produto é analítica, como
será de…nido a seguir.
De…nição do atlas analítico: Comece com um sistema de coordenadas exp :
V0 ! U0 tal que V0 V0 está contido no domínio de convergência da série BCH.
A partir daí escolha V
V0 com V = V e tal que se U = exp V então U 2 U0 .
Agora de…na para cada g 2 G a carta 'g : V ! gU por 'g (X) = geX . O
conjunto de cartas
A = f'g : V ! gU; g 2 Gg
é um atlas em G pois os abertos gU , g 2 G, cobrem G.
Proposição 8.8 O atlas 'g : V ! gU , g 2 G, de…nido por 'g (X) = geX é analítico.
O produto p : G G ! G é uma aplicação analítica em relação a esse atlas.
Demonstração: Dados g; h 2 G com gU \ hU 6= ;, a aplicação de mudança de
cartas é dada por 'h 1 'g : Vg ! Vh onde Vg = 'g 1 (gU \ hU ). Se x 2 gU \ hU então
x = geX = heY com X 2 Vg , Y 2 Vh e
Y = 'h 1 'g (X) :
A igualdade geX = heY implica que h 1 g = eY e X 2 U 2
tal que h 1 g = eZ . Agora,
eY = h 1 geX = eZ eX
U0 . Daí que existe Z 2 V0
e como Z; X estão no domínio de convergência de c, segue que Y = c (Z; X). Isso
signi…ca que 'h 1 'g = c (Z; ) com Z dado por h 1 g = eZ , …xado. Isso mostra que as
aplicações 'h 1 'g , g; h 2 G, são analíticas.
Para ver a analiticidade do produto sejam g; h 2 G e tome as cartas 'g 'h :
V V ! gU hU e 'gh : V ! ghU . Então,
1
p geX ; heY = geX heY = gheAd(h )X eY
176
o que mostra que p escrita nessas cartas é a aplicação
(X; Y ) 7! c Ad h
1
X; Y ;
que é a composta de uma aplicação analítica por uma aplicação linear. Portanto,
analítica.
2
8.4
Exercícios
1. Seja G um grupo compacto não abeliano. Mostre que a aplicação exponencial
em G não é difeomor…smo local.
2. Denote por s o espaço vetorial das matrizes simétricas n n. Mostre que a
restrição a s da aplicação exponencial é uma imersão injetora, cuja imagem é o
conjunto S das matrizes simétricas positivas de…nidas. (Sugestão: se X é matriz
simétrica então existe uma matriz ortogonal g tal que gXg 1 é diagonal. Use isso
juntamente com a fórmula para d (exp).)
3. Seja G o grupo das matrizes reais n n triangulares superiores, cujos elementos
diagonais são positivos. Mostre que a aplicação exponencial em G é difeomor…smo.
4. Use BCH para mostrar que se xt e yt são curvas C 1 num grupo de Lie G então
existe uma curva wt também C 1 tal que para todo t, wt2 = xt yt xt 1 yt 1 .
5. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Dados X; Y 2 g, mostre que
[X; Y ] = 0 se etn X etn Y e tn X e tn Y = 1 para uma sequência convergente tn 2 R
com tn 6= tm se n 6= m. (Sugestão: use o fato que a aplicação exponencial é
analítica.)
6. Tome os seguintes elementos da álgebra de Lie g = gl (2; R):
X=
0
0
Y =
1 0
0 2
:
Mostre que a série BCH para c (X; Y ) não converge. (Sugestão: mostre que eX eY
não é exponencial.)
7. Sejam G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e h g uma subálgebra. Dado
g 2 G de…na as aplicações d ; e : h ! G por d (X) = eX g e e (X) = geX . Use
a fórmula da diferencial da exponencial para mostrar que para todo X; Y 2 h,
d d X (Y ) 2 dh ( (X)) e (d e )X (Y ) 2 eh ( (X)), onde dh (g) = d (Dg )1 h
e eh (g) = d (Eg )1 h. Obtenha a partir daí uma demonstração alternativa da
integrabilidade das distribuições dh e eh (veja teorema 6.4).
8.4. Exercícios
177
8. Mostre que a aplicação exponencial no grupo SU (2)
aplicação aberta.
Sp (1)
S 3 não é uma
9. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Mostre que se X 2 g é su…cientemente pequeno então 1 é auto-valor de Ad eX com a mesma multiplicidade
que 0 é auto-valor de ad (X).
10. Seja G um grupo de Lie conexo e escreva o polinômio característico Pg de Ad (g)
id, g 2 G, como
Pg ( ) =
n
+ pn
1
(g)
n 1
+
+ p1 (g) + p0 (g)
onde os coe…cientes pi (g) são funções analíticas (composta de polinômios com
Ad). Use analiticidade e o exercício anterior para mostrar que existe r > 0 tal
que pi é identicamente nulo se i < r. Esse inteiro r é chamado de posto de G.
11. Seja G um grupo de Lie conexo. Um elemento regular de G é um elemento
g 2 G tal que a multiplicidade de 1 como auto-valor de Ad (g) é o posto de G.
Use analiticidade para mostrar que se G é conexo então o conjunto dos elementos
regulares é denso em G.
12. Seja G um grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Mostre que o posto de
G coincide com o posto de g. (O posto de g é o minimo das dimensões de
ker ad (X), X 2 g.)
178
Parte III
Tipos de álgebras de Lie e seus
grupos simplesmente conexos
179
181
Resumo
Nessa parte serão construídos os grupos de Lie conexos e simplesmente conexos. As
álgebras de Lie são divididas em duas grandes classes, a álgebras semi simples e as
álgebras de Lie solúveis (que incluem as nilpotentes e as abelianas). O teorema de
decomposição de Levi garante que uma álgebra de Lie de dimensão …nita pode ser
escrita como o produto semi-direto de uma álgebra semi simples por uma álgebra
solúvel, isto é, qualquer álgebra de Lie g é a soma direta de uma subálgebra semi
simples por um ideal solúvel. Os grupos de Lie conexos e simplesmente conexos serão
construídos separadamente para cada uma dessas classes de álgebras de Lie.
O conceito central na construção dos grupos simplesmente conexos é o de produto
semi-direto de grupos de Lie. Esse produto será usado tanto para os grupos associados
às álgebras de Lie solúveis, através de sucessivas decomposições, quanto para juntar
as construções para as duas grandes classes de álgebras de Lie, as solúveis e as semi
simples.
O produto semi-direto de grupos de Lie é abordado no capítulo 9. O tratamento
dado aqui do produto semi-direto envolve o grupo a…m de um grupo de Lie G, cujos elementos são transformações de G dadas por compostas de automor…smos por
translações. Dessa forma o primeiro passo é obter uma estrutura de grupo de Lie no
grupo dos automor…smos AutG. No caso em que G é conexo e simplesmente conexo
isso vem direto do isomor…smo de AutG com Autg, o grupo dos automor…smos da
álgebra de Lie g de G. Para grupos conexos em geral AutG é isomorfo a um subgrupo
e de seu recobrimento universal G.
e O grupo
fechado do grupo dos automor…smos AutG
a…m AfG adquire estrutura de grupo de Lie depois da demonstração de que a ação de
AutG em G é diferenciável. Como aplicação do produto semi-direto se mostra que
os elementos das séries de composição (série derivada e série central descendente) de
grupos de Lie simplesmente conexos são subgrupos fechados e simplesmente conexos.
No capítulo 10 se mostra que os grupos solúveis conexos e simplesmente conexos
são difeomorfos a espaços euclidianos (Rn para algum n). A demonstração disso se
faz via produtos semi-diretos sucessivos, que fornecem, para esses grupos, sistemas
de coordenadas de segunda espécie globais. No caso de grupos nilpotentes se obtém
um resultado melhor ainda, já que a aplicação exponencial é difeomor…smo (para os
grupos conexos e simplesmente conexos), e portanto é um sistema de coordenadas de
primeira espécie global. Segue desse resultado que um grupo de Lie nilpotente conexo
e simplesmente conexo tem como variedade diferenciável a sua álgebra de Lie, que é
munida do produto dado pela fórmula de Baker-Campbell-Hausdor¤.
As álgebras semi simples são divididas em duas categorias, as compactas e as não
compactas.
O capítulo 11 considera o caso compacto. O que acontece é que se um grupo de Lie G
é compacto então sua álgebra de Lie g é compacta, no sentido em que existe um produto
interno invariante pela representação adjunta (essa é uma propriedade algébrica de g).
A reciproca a isso é quase que verdadeira: uma álgebra de Lie compacta se decompõe
na soma direta de seu centro com uma álgebra semi simples compacta. Um grupo de
Lie com álgebra de Lie compacta pode não ser compacto devido à existência do centro.
182
No entanto, se G é um grupo de Lie cuja álgebra de Lie g é compacta e semi simples
então o teorema de Weyl do centro …nito (ou do grupo fundamental …nito, dependendo
de que lado se olhe) garante que G é compacto. Em particular o grupo conexo e
simplesmente conexo com álgebra de Lie g é compacto. No capítulo 11 são apresentadas
duas demonstrações desse teorema de Weyl. A primeira tem um caráter mais analítico
e usa poucos pré-requisitos de álgebras de Lie. A segunda demonstração usa livremente
as propriedades das álgebras de Lie semi simples compactas (e complexas). Ela tem a
vantagem de exibir o grupo fundamental do grupo adjunto (ou o que é a mesma coisa o
centro do grupo simplesmente conexo) como o quociente de dois reticulados (subgrupos
discretos de Rn ). Como preparação para a segunda demonstração do teorema de Weyl
são desenvolvidas algumas propriedades estruturais dos grupos compactos. A principal
delas é a existência de toros maximais e o teorema que mostra que todo elemento no
grupo é conjugado a um elemento de um toro maximal …xado. Esse fato implica (e
é equivalente a) que a aplicação exponencial num grupo de Lie compacto e conexo é
sobrejetora.
As álgebras de Lie compactas semi simples estão em bijeção com as álgebras de Lie
semi simples complexas, via o chamado truque unitário de Weyl. Essas últimas foram
classi…cadas por Cartan e Killing ao …nal do século XIX. Essa classi…cação é codi…cada
pelos diagramas de Dynkin, que foram reproduzidos no capítulo 11.
Ao …nal do capítulo 11 se dá uma indicação de como abordar alguns resultados
sobre grupos de Lie compactos via teoremas de geometria Riemanniana.
As álgebras semi simples não compactas são consideradas no capítulo 12. Para
essas álgebras de Lie e seus grupos de Lie são construídas as decomposições de Cartan
e Iwasawa. Essas decomposições mostram que a variedade diferenciável subjacente a
um grupo de Lie semi simples não compacto é difeomorfa ao produto de um espaço
euclidiano (Rn ) por um grupo de Lie compacto.
Como resumo …nal, juntando o que foi feito para os grupos solúveis e para os grupos
semi simples, se chega a que a variedade diferenciável de um grupo de Lie conexo e
simplesmente conexo é difeomorfa ao produto de um espaço euclidiano por um grupo
de Lie compacto.
Essa parte do livro lança mão de diversos resultados da teoria de álgebras de Lie. Ao
longo do texto são indicadas referências a esses resultados, provados no livro Álgebras
de Lie [49].
Capítulo 9
Grupo a…m e produto semi-direto
Neste capítulo serão estudados os grupos de automor…smos dos grupos de Lie conexos.
e é conexo e simplesmente conexo então o teorema 7.13 de extensão mostra o
Se G
e é isomorfo ao grupo de automor…smos Autg de sua
grupo de automor…smos AutG
álgebra de Lie g, que é grupo de Lie. Em geral para um grupo conexo G seu grupo de
e
automor…smos é isomorfo a um subgrupo fechado do grupo dos automor…smos AutG
e Portanto, AutG é grupo de Lie.
de seu recobrimento universal G.
A estrutura diferenciável em AutG permite obter o produto semi-direto no contexto de grupos de Lie, via o grupo a…m AfG, que também é um grupo de Lie. A
multiplicação num produto semi-direto H G é obtida a partir da multiplicação em
AfG.
9.1
Automor…smos de grupos de Lie
Os grupos de automor…smos dos grupos de Lie são estudados através dos grupos de
automor…smos de suas álgebras de Lie. Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão
…nita. Conforme foi visto no capítulo 6 o grupo Autg dos automor…smos de g é um
subgrupo fechado do grupo linear Gl (g) (veja um dos exemplos ao …nal da seção 6.5).
Portanto, Autg é um grupo de Lie. Sua álgebra de Lie é formada pelas derivações
de g. Deve-se lembrar que uma derivação de uma álgebra de Lie g é uma aplicação
linear D : g ! g que satisfaz
D[X; Y ] = [DX; Y ] + [X; DY ]
para todo X; Y 2 g. O conjunto de todas as derivações de g é denotado por Derg. Não
é difícil veri…car Derg é um álgebra de Lie (subálgebra da álgebra de Lie das transformações lineares de g). Para ver que Derg é a álgebra de Lie de Autg basta veri…car
que D é uma derivação de g se, e somente se, para todo t 2 R, etD é automor…smo de
g. Mas, se X; Y 2 g então a derivada da igualdade etD [X; Y ] = [etD X; etD Y ] em t = 0
mostra que D é derivação se etD é automor…smo. Reciprocamente, se D é derivação
então as curvas
(t) = etD [X; Y ]
e
(t) = [etD X; etD Y ]
183
184
Capítulo 9. Grupo a…m e produto semi-direto
satisfazem a equação diferencial linear 0 = D , 2 g, e têm a mesma condição inicial
(0) = [X; Y ] = (0). Portanto, = o que mostra que etD é automor…smo, para
todo t 2 R.
Dado X 2 g sua adjunta ad (X) é uma derivação de g, como segue da identidade
de Jacobi. As derivações do tipo ad (X) são as chamadas derivações internas de
g. O conjunto das derivações internas é ad (g), a imagem da representação adjunta de
g. Portanto, ad (g) uma subálgebra de Derg. Se D é uma derivação e X 2 g então a
de…nição de derivação é equivalente a
[D; ad (X)] = ad (DX) :
Essa igualdade mostra que ad (g) é, na verdade, um ideal de Derg. Em geral a inclusão
ad (g) Derg é própria, como mostra o exemplo das álgebras abelianas em que toda
aplicação linear é derivação e, no entanto, ad (g) = f0g.
Como a álgebra de Lie de Autg é Derg é claro que a subálgebra ad (g) se integra
a um subgrupo conexo de Autg. Esse subgrupo é denotado por Intg e seus elementos
são denominados de automor…smos internos de g. A razão desse nome é que Intg
está relacionado com os grupos dos automor…smos internos de um grupo de Lie G com
álgebra de Lie g (veja a proposição 9.6 abaixo). Os elementos de Intg são produtos de
exponenciais de sua álgebra de Lie ad (g), isto é, se g 2 Intg então
g = ead(X1 )
ead(Xn )
com Xi 2 g.
Passando agora aos grupos de Lie serão considerados apenas os automor…smos
contínuos e, portanto, diferenciáveis, o que subentende-se em toda discussão a seguir.
O grupo dos automor…smos de G é denotado por AutG.
Se é um automor…smo de G então pela proposição 5.16 do capítulo 5 sua diferencial
na origem d 1 é um automor…smo da álgebra de Lie g. Isso de…ne a aplicação :
AutG ! Autg por ( ) = (d )1 . A regra da cadeia garante que essa aplicação é um
homomor…smo de grupos.
Esse homomor…smo é injetor, pois pela proposição 7.8 dois homomor…smos ; :
G ! H entre grupos de Lie coincidem se suas diferenciais d 1 e d 1 são iguais e o
dominio é conexo.
(Deve-se observar que pode não ser injetora se G não é conexo. Por exemplo, se
G é um grupo discreto então é constante igual à identidade, mas em geral existem
automor…smos de G diferentes da identidade.)
A injetividade da mostra que o grupo dos automor…smos de um grupo de Lie
conexo é isomorfo a um subgrupo do grupo dos automor…smos de sua álgebra de Lie.
Por outro lado nem sempre é sobrejetora, como …cará claro logo a seguir, após a
discussão completa dos grupos de automor…smos.
No entanto, o teorema 7.13 garante que se G é conexo e simplesmente conexo então
todo automor…smo de g se estende a um automor…smo de G, o que signi…ca que é
sobrejetora. Para esses grupos se obtém então a seguinte descrição de seus grupos de
automor…smos.
9.1. Automor…smos de grupos de Lie
185
Proposição 9.1 Se G é grupo de Lie conexo e simplesmente conexo então AutG é
isomorfo a Autg. Um isomor…smo é dado por : AutG ! Autg, ( ) = d 1 .
O isomor…smo : AutG ! Autg permite transladar a AutG a estrutura diferenciável de Autg tornando-o um grupo de Lie. Essa construção puramente formal de
uma estrutura de grupo de Lie em AutG se encaixa bem com a estrutura diferenciável
de G, no sentido em que a ação natural de AutG em G dada por : AutG G ! G,
( ; x) = (x), passa a ser diferenciável.
Essa diferenciabilidade será provada a seguir. Antes disso considere a aplicação
parcial (aplicação avaliação) x : AutG ! G, x 2 G, dada por x ( ) = ( ; x) =
(x).
Por de…nição da estrutura diferenciável em AutG, x é diferenciável se, e só se, a
1
composta x
é diferenciável em Autg.
Dessa forma, dado 2 Autg seja = 1 ( ) 2 AutG sua extensão a G. Escreva
x = eX1
eXk com X1 ; : : : ; Xk 2 g. Então,
x
1
( ) =
x
= e
eX1
( )=
(X1 )
e
(Xk )
eXk
;
1
isto é, x
( ) = e (X1 )
e (Xk ) . Essa aplicação é composta de aplicações diferenciáveis (produto em G, exponencial e as restrições das aplicações lineares 2 Autg 7!
1
(Xi ) 2 g). Portanto, x
: Autg ! G é diferenciável e daí que x é diferenciável
para qualquer x 2 G.
Agora é possível provar a diferenciabilidade da ação.
Proposição 9.2 Se G é conexo e simplesmente conexo então a ação
G, ( ; x) = (x) é diferenciável.
: Aut (G) G !
Demonstração: Tome um sistema de coordenadas em G da forma exp : V
g ! U
G, 0 2 V
g e 1 2 U
G. Então, para cada g 2 G a aplicação
X 2 V 7! geX 2 gU é um sistema de coordenadas ao redor de g. A aplicação
fg : Autg V 7! AutG gU , fg ( ; X) = ; geX (onde d 1 = , isto é, = 1 ( ))
deve ser vista como uma carta em Aut (G) G (global na primeira componente).
A composta
fg : Autg V ! G é dada por
fg ( ; X) =
=
geX = (g)
(g) e
(X)
eX
:
Essa aplicação é composta de aplicações diferenciáveis (o produto em G, a avaliação
7! (X)). Portanto,
fg é diferenciável, o
g , a exponencial e a aplicação linear
que garante a diferenciabilidade da ação.
2
A diferenciabilidade (ou melhor a continuidade) da ação no caso simplesmente
conexo será usada a seguir para garantir que AutG é grupo de Lie se G é conexo.
186
e
e simplesmente conexo e
Seja agora G = G=
um grupo de Lie conexo com G
subgrupo discreto central. Nesse caso geral o grupo dos automor…smos pode ser bem
diferente de Autg. De qualquer forma como é injetora AutG se identi…ca a um
e Pela de…nição de esse subgrupo
subgrupo de Autg, isto é, a um subgrupo de AutG.
e que a 2 AutG associa o único
é a imagem do homomor…smo injetor AutG ! AutG
e que satisfaz de1 = d 1 .
automor…smo e 2 AutG
e ! G = G=
e a projeção
Para descrever a imagem desse homomor…smo seja : G
e coincidem).
canônica, que satisfaz d 1 = idg (já que as álgebras de Lie de G e G
Lema 9.3
e=
.
e ! G cujas diferenciais
são homomor…smos G
Demonstração: Tanto e quanto
no elemento neutro coincidem pois
d(
e)1 = d
1
de1 = d
1
= d(
Portanto, o lema segue da proposição 7.8.
)1 :
2
Em vista disso de…na
e = f 2 AutG
e:
Aut G
( ) = g;
(9.1)
e Esse subgrupo é fechado. De fato, suponha
que é evidentemente um subgrupo de AutG.
e
e
que n ! com n 2 Aut G e tome 2 então n ( ) ! ( ), pois a ação de AutG
e é contínua. Como n ( ) 2 , se conclui que ( ) 2 e daí que 2 Aut G.
e
em G
e é subgrupo de Lie de
(Compare com o exercício 16 do capítulo 2.) Portanto, Aut G
e
AutG.
e
Proposição 9.4 Seja G um grupo de Lie conexo. Então AutG é isomorfo a Aut G
e
e
onde G = G= . O isomor…smo é dado por ` : 2 AutG 7! e 2 AutG onde e é o único
e tal que de1 = d 1 .
automor…smo de G
Demonstração: Antes de mais nada observe que ` é de fato um homomor…smo de
grupos pois é a composta dos homomor…smos : AutG ! Autg, dado pela diferencial,
e
com a extensão Autg ! AutG.
e são isomorfos,
Pela proposição 7.8, o homomor…smo é injetor e como Autg e AutG
e
segue que ` é injetora. Isso implica que AutG é isomorfo à imagem de ` em AutG.
e coincide com a imagem de `.
Deve-se mostrar então que Aut G
Para isso tome 2 . Então, pelo lema 9.3,
e( ) =
( ) = (1) = 1, o que
signi…ca que e ( ) 2 . Como 2 é arbitrário, isso mostra que e ( )
. Aplicando
1
1
1
g
o mesmo raciocinio a e =
segue que e ( )
e daí que e ( ) = , isto é,
e
e
e 2 Aut G. Portanto, a imagem de ` está contida em Aut G.
e Então,
Por outro lado, tome
2 Aut G.
passa ao quociente, de…nindo um
0
0
homomor…smo
: G ! G tal que
=
. Este homomor…smo é dado por
0
e ! G = G=
e satisfaz
(x ) = (x) , que é bem de…nido pois ( ) = . Como : G
9.1. Automor…smos de grupos de Lie
187
d 1 = idg e 0
=
se conclui que d 1 = d 01 , isto é, = ` ( 0 ) o que mostra que
e está contido na imagem de `, concluindo a demonstração.
Aut G
2
Corolário 9.5 Se G é conexo então AutG é grupo de Lie e sua ação em G é diferenciável.
e que é um subgrupo de Lie
Demonstração: De fato, AutG é isomorfo a Aut G
e
fechado de AutG. O isomor…smo fornece então uma estrutura de grupo de Lie em
AutG. A demonstração da diferenciabilidade da ação é identica à da proposição 9.2.
Aqui deve-se tomar “cartas”do tipo
e
fg : Aut G
V ! AutG
gU
e é visto como subgrupo de Autg. Em relação a essas cartas a ação
onde Aut G
dada por
fg ( ; X) =
=
onde = d 1 . A aplicação
ciável.
geX = (g)
(g) e
é
eX
(X)
fg é diferenciável o que garante que a ação
é diferen2
e satisfaz a condição da de…nição em (9.1), isto é,
Um automor…smo
2 Aut G
( ) = se, e só se, tanto quanto 1 deixam invariante: ( )
e 1( )
.
Uma dessas inclusões não implica a outra a não ser em casos especiais, como, por
exemplo, quando é …nito. Nesse caso, se ( )
então a aplicação j : !
é injetora, pois é injetora. Uma aplicação injetora de um conjunto …nito também
sobrejetora. Para j isso signi…ca que 1 ( )
.
e
Em geral, existem automor…smos de G tal que ( )
mas não é invariante
por 1 . Quando isso ocorre, passa ao quociente de…nindo um homomor…smo de
e por (x ) = (x) . Esse homomor…smo deixa de ser injetor. De fato, se 1 ( )
G=
e e 2 com x = 1 ( ) e tal que x 2
não está contido em então existem x 2 G
= .
Nesse caso, (x) = o que implica que as classes laterais (x) e coincidem, mas
x 6= , isto é, (x ) = (1 ), mas x 6= 1 .
Exemplo: Considere o toro Tn = Rn =Zn . O grupo dos automor…smos de Rn é
Gl (n; R), portanto, de acordo com a proposição 9.4, o grupo dos automor…smos de Tn
é dado por
AutZn Rn = fg 2 Gl (n; R) : g (Zn ) = Zn g:
Uma transformação linear inversível g 2 Gl (n; R) deixa Zn invariante, isto é, satisfaz
g (Zn ) Zn se, e só, se a matriz de g, na base canônica, tem entradas inteiras. Portanto,
a condição para que g 2 AutZn Rn é que tanto g quanto g 1 sejam matrizes com
entradas inteiras. Isso força (pela regra de Cramer) que det g = 1. Reciprocamente, se
188
g 2 Gl (n; R) tem entradas inteiras e det g = 1 então sua inversa também tem entradas
inteiras. Portanto, o grupo dos automor…smos de Tn é (isomorfo a) o grupo discreto
Sl (n; Z) = fg = (xij ) 2 Gl (n; R) : det g = 1; xij 2 Zg:
2
e é simplesmente
Denote por autG a álgebra de Lie de AutG (com G conexo). Se G
e é isomorfa à álgebra das derivações Derg. Já se G = G=
e
conexo então autG
então
e
e
autG é a subálgebra dos elementos autG cujas exponenciais estão em Aut G. Isso
e
signi…ca que os elementos de autG são as derivações D 2 Derg, tais que t 2 Aut G,
tD
e
t 2 R, onde t é o automor…smo de G que estende e . Dito de outra maneira, autG
é o conjunto das derivações D 2 Derg tais que, para todo t 2 R, o automor…smo etD
se estende a G. No exemplo acima autTn = f0g pois o grupo dos automor…smos é
discreto.
Uma outra forma de ver autG é como uma subálgebra de Lie de campos de vetores
em G: a ação diferenciável de AutG em G induz uma “ação in…nitesimal” que é um
!
homomor…smo que a Z 2 autG associa o campo de vetores Z em G de…nido por
!
d
Z (x) =
(exp (tZ) x)jt=0
dt
x2G
onde exp (tZ) x denota a ação de exp tZ 2 AutG em x 2 G (veja o capítulo 13, para
!
mais detalhes). O campo Z é chamado de automor…smo in…nitesimal de G. Essa
!
!
ação in…nitesimal Z ! Z é injetora, pois se Z = 0 então exp tZ = id 2 AutG para
todo t 2 R o que implica que Z = 0. Daí que autG é isomorfa à álgebra de Lie dos
automor…smos in…nitesimais de G.
e cada derivação D 2 Derg de…ne um
No caso de um grupo simplesmente conexo G
!
e O campo de vetores !
automor…smo in…nitesimal D em G.
D é facilmente calculado em
X
e
elementos do tipo x = e 2 G. De fato, denote por t o grupo a um parâmetro de
e tal que d ( t ) = etD . Se X 2 g então t eX = exp etD X . Daí
automor…smos de G
1
que
! X
D e
= (d exp)X (DX)
X
1
dEeX (ad (X))k (DX)
=
(k
+
1)!
k 0
(9.2)
pela fórmula da diferencial da exponencial (veja o capítulo 8).
e então autG se identi…ca à álgebra dos automor…smos in…nitesimais
Já se G = G=
e que se anulam em , isto é,
de G
e : 8 2 ; Z ( ) = 0g:
autG = fZ 2 autG
Os campos de vetores no segundo membro dessa igualdade são exatamente aqueles que
e ! G.
são projetáveis por : G
9.2. Grupo A…m
189
e a álgebra e o grupo de Lie de matrizes do tipo
Exemplo: Sejam g e G
0
1
0
1
0 x z
1 u w
X=@ 0 0 y A
e
g = @ 0 1 v A;
0 0 0
0 0 1
respectivamente. Como
0
1
1 x z + xy=2
A
y
eX = @ 0 1
0 0
1
se vê que a aplicação exponencial é um difeomor…smo. Portanto, se D 2 Derg então
por (9.2)
!
1
D (g) = g DX + [X; DX]
2
onde X = log g.
2
Para concluir esta seção sobre autormor…smos será considerado o grupo IntG dos
automor…smos internos de um grupo G que é formado pelas conjugações Cx : G !
G, Cx (z) = xzx 1 , com x 2 G. Se é um automor…smo qualquer de G então vale a
1
igualdade
Cx
= C (x) , que mostra que IntG é um subgrupo normal de AutG.
A estrutura de grupo de IntG é descrita observando que a aplicação x 2 G 7! Cx 2
IntG é um homomor…smo de grupos. O núcleo dessa aplicação é o centro Z (G) e sua
imagem é Int (G) por de…nição. Dessa forma, IntG é isomorfo a G=Z (G). Esse grupo é
também isomorfo à imagem Ad (G) da representação adjunta de G, que é um subgrupo
de Autg.
No caso em que G é conexo os seus elementos são produtos de exponenciais. Então,
a fórmula
Ad eX = ead(X)
mostra que Ad (G) é formado por produtos de exponenciais do tipo ead(X) . Em outras palavras, Ad (G) é um subgrupo de Intg dos automor…smos internos de g. Por
outro lado, a mesma fórmula acima mostra que todo automor…smo interno de g se estende a um automor…smo interno de G (mesmo que G não seja simplesmente conexo).
Portanto, vale a seguinte caracterização de IntG.
Proposição 9.6 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, IntG é isomorfo a Intg. Em
particular, grupos de Lie conexos, localmente isomorfos têm grupos de automor…smos
internos isomorfos.
9.2
Grupo A…m
Seja G um grupo. Uma transformação a…m à esquerda em G é a composta de uma
translação à esquerda por um homomor…smo de G. Isto é, uma aplicação : G ! G
é a…m se for do tipo
(x) = xg (y) = Ex g (y)
190
com g : G ! G um homomor…smo e x 2 G …xado. De maneira análoga se de…ne uma
transformação a…m à direita, por (y) = g (y) x. Evidentemente esses conceitos
generalizam o conceito de transformação a…m de um espaço vetorial, considerado como
um grupo abeliano, em que os homomor…smos são as aplicações lineares e as translações
à esquerda e à direita são iguais.
As transformações a…ns serão indicadas pelas suas componentes (g; y) com um
subíndice e ou d caso seja necessário distinguir a transformação à esquerda e à direita.
O conjunto das transformações a…ns contém a aplicação identidade (dada por
(id; 1)) e é fechado por composição. De fato, um cálculo simples mostra que
1. (g; y)e (h; z)e = (g h; yg (z))e ,
2. (g; y)d (h; z)d = (g h; g (z) y)d .
Essas expressões mostram que uma transformação a…m (g; x) é bijetora se, e só
se, o homomor…smo g for um automor…smo. Nesse caso, a inversa também é uma
transformação a…m e é dada por (g; x) 1 = (g 1 ; g 1 (x 1 )) (tanto no caso do produto
à esquerda quanto à direita).
Em vista desses comentários, dado um grupo G, se de…ne o seu grupo a…m à
esquerda Af e G como sendo o produto cartesiano AutG G munido da multiplicação,
descrita no item (1) acima, dada pela composição de transformações a…ns à esquerda.
Essa multiplicação satisfaz, de fato, os axiomas de grupo, uma vez que a composta de
aplicações é associativa. De maneira análoga se de…ne o grupo a…m à direita Af d G.
Caso não seja necessário distinguir as estruturas à esquerda ou a direita, os grupos
a…ns serão denotados indistintamente por AfG.
Ambos os grupos a…ns contém de maneira natural o grupo AutG (que é isomorfo
ao subgrupo AutG f1g) e o grupo G (que é isomorfo a f1g G). Além do mais, a
conjugação
(g; 1) (1; x) (g; 1) 1 = (g; 1) (1; x) g 1 ; 1 = (1; g (x))
(que vale tanto para o grupo a…m à esquerda quanto à direita) mostra que o subgrupo
f1g G é normal em AfG.
Suponha agora que G seja um grupo de Lie conexo. Então, AutG é grupo de Lie
e sua ação em G é diferenciável. Já as expressões dos produtos à esquerda e à direita
no grupo a…m envolvem os produtos em G e AutG e a ação de AutG em G. Daí se vê
que esses produtos são aplicações diferenciáveis e, portanto o grupo a…m (à esquerda
ou à direita) é um grupo de Lie.
Proposição 9.7 Se G é conexo então AfG é grupo de Lie.
O próximo objetivo será o de determinar a álgebra de Lie afG de AfG. O espaço
vetorial subjacente é, sem duvida, dado pelo produto direto autG g das álgebras de
Lie de AutG e G, respectivamente.
O colchete, no entanto, não é um produto direto. Para calculá-lo observa-se, em
primeiro lugar que autG f0g e f0g g são subálgebras de afG pois essas são as álgebras
de Lie dos subgrupos AutG f1g e f1g G, respectivamente. Isso signi…ca que em
9.3. Produto semi-direto
191
afG = autG g valem os colchetes [(X; 0) ; (Y; 0)] = ([X; Y ]; 0) e [(0; X) ; (0; Y )] =
(0; [X; Y ]).
Resta então determinar um colchete do tipo [(X; 0) ; (0; Y )] com X 2 autG e Y 2 g,
o que é feito derivando conjugações. Tomando exponenciais nos subgrupos AutG f1g
e f1g G se obtém exp t (X; 0) = etX ; 1 e exp s (0; Y ) = 1; esY . Portanto,
Cexp t(X;0) es(0;Y ) = etX ; 1
1; esY
e
tX
; 1 = 1; etX esY
onde etX é visto como um automor…smo de G (essa conjugação vale tanto no grupo
a…m à esquerda quanto à direita). Daí que
Ad et(X;0) (0; Y ) =
d
C t(X;0) es(0;Y )
ds e
js=0
= 0; d etX
1
(Y ) :
Agora, d etX 1 é um grupo a 1-parâmetro em Autg. Existe então uma derivação
D 2 Derg tal que d etX 1 = etD . Substituindo essa exponencial na expressão acima
chega-se ao colchete desejado
[(X; 0) ; (0; Y )] = ad ((X; 0)) (0; Y ) =
d
Ad et(X;0) (0; Y )jt=0 = (0; DY ) :
dt
A derivação D que aparece nessa fórmula é um elemento de autG visto como uma
subálgebra de Derg pois provém de um grupo a 1-parâmetro de automor…smos de G.
Em suma a álgebra de Lie de AfG (tanto à esquerda quanto à direita) é dada da
seguinte forma.
Proposição 9.8 O colchete de Lie em afG = autG
[(D1 ; X1 ) ; (D2 ; X2 )] = ([D1 ; D2 ]; D1 X2
com Di 2 autG
g é dado por
D2 X1 + [X1 ; X2 ]) ;
Derg e Xi 2 g.
Esta seção é concluída com a observação, fácil de ser veri…cada, de que se H
é um subgrupo de Lie então H G é um subgrupo de Lie de AfG.
9.3
AutG
Produto semi-direto
O produto semi-direto de dois grupos é uma construção que generaliza o produto
direto e é bastante utilizada na descrição dos grupos de Lie simplesmente conexos. Os
ingredientes dessa construção são dois grupos G e H e um homomor…smo diferenciável
: G ! AutH. Cada par (g; h) 2 G H de…ne duas aplicações a…ns de H uma à
esquerda e outra à direita, dadas por x 7! h (g) (x) e x 7! (g) (x) h, x 2 H. Através
da composta dessas aplicações a…ns se obtém duas estruturas de grupo em G H, que
se denomina de produto semi-direto (à esquerda ou à direita) de G e H de…nido
pelo homomor…smos . Esses produtos são dados explicitamente por
1. (g1 ; h1 ) (g2 ; h2 ) = (g1 g2 ; h1 (g1 ) (h2 )).
192
2. (g1 ; h1 ) (g2 ; h2 ) = (g1 g2 ; (g1 ) (h2 ) h1 ).
Em ambos os casos o elemento neutro é (1; 1) e a inversa é
(g; h)
1
= g 1;
g
1
h
1
:
O produto semi-direto é denotado por G
H (ou por G e H e G d H se for
necessário distinguir o produto à esquerda ou à direita, respectivamente). Como é um
homomor…smo diferenciável, os produtos dados acima são diferenciáveis e, portanto, o
produto semi-direto de grupos de Lie é grupo de Lie.
Um caso particular do produto semi-direto é evidentemente o grupo a…m de AfH,
que é o produto semi-direto AutH id H. Outro caso particular se obtém quando é
constante igual a id. O produto semi-direto se reduz então ao produto direto G H
dos grupos G e H (isso se for considerado o produto à esquerda, pois no produto a
b onde H
b é o grupo de…nido pela multiplicação (h1 ; h2 ) 7! h2 h1 .
direita aparece G H,
Qualquer produto semi-direto G
H contém cópias de suas componentes: o subconjunto G f1g G
H é um subgrupo isomorfo a G enquanto que f1g H é um
subgrupo isomorfo a H, que é normal em G
H. Em geral, G f1g não é normal.
Aliás, um cálculo simples com conjugações mostra que G f1g é normal no produto
semi-direto se, e só se, = id, isto é, quando o produto é direto. Os subgrupos G f1g
e f1g H são denotados apenas por G e H, respectivamente. Eles são subgrupos de
Lie por serem fechados.
A álgebra de Lie de um produto semi-direto G H é dado pelo produto semi-direto
de suas álgebras de Lie, como é de…nido a seguir1 .
De…nição 9.9 Sejam g e h álgebras de Lie e : g ! Derh um homomor…smo de
álgebras de Lie. O produto semi-direto g
h é a álgebra de Lie em g h dada pelo
colchete
[(X1 ; Y1 ) ; (X2 ; Y2 )] = ([X1 ; X2 ]; (X1 ) Y2
(X2 ) Y1 + [Y1 ; Y2 ]) :
Uma álgebra de Lie l é isomorfa a um produto semi-direto g h se, e só se l = g1 h1
(soma direta de espaços vetoriais) tal que g1 é uma subálgebra isomorfa a g e h1 é um
ideal isomorfo a h.
Dado um produto semi-direto G
H sejam g e h as álgebras de Lie de G e H,
respectivamente. O homomor…smo : G ! AutH é diferenciável e sua diferencial
= d 1 no elemento neutro é um homormor…smo : g ! autH das álgebras de Lie
correspondentes. Porém, autH é uma subálgebra da álgebra das derivações Derh. Faz
sentido então escrever o produto semi-direto g
h com = d 1 .
Proposição 9.10 A álgebra de Lie G
1
Veja Álgebras de Lie [49], capítulo 1.
H ég
h onde
= d 1.
9.4. Grupos derivados e série central descendente
193
Demonstração: A demonstração é análoga ao cálculo, feito acima, do colchete na
álgebra de Lie do grupo a…m AfG: g e h são subálgebras de Lie e para determinar um
colchete do tipo [(X; 0) ; (0; Y )] deve-se derivar a conjugação
Cexp t(X;0) es(0;Y ) = 1;
Essa derivada faz aparecer o homomor…smo
direto.
etX
esY
:
e a fórmula do colchete no produto semi2
A construção do produto semi-direto é muito útil para obter os grupos de Lie simplesmente conexos associados a uma determinada álgebra de Lie. Isso porque o grupo
simplesmente conexo de um produto g
h é o produto semi-direto dos grupos core
e
respondentes. De fato, sejam G e H os grupos simplesmente conexos com álgebra de
e é isomorfo a Auth, cuja álgebra de Lie é
Lie g e h respectivamente. O grupo AutH
e é simplesmente conexo, o homomor…smo : g ! Derh se estende a um
Derh. Como G
e ! AutH,
e o que permite construir G
e
e cuja álgebra de Lie é
homomor…smo : G
H,
e
e é simplesmente conexo, pois é o produto Cartesiano de esg h. Certamente, G
H
paços simplesmente conexos. Dessa forma, o único grupo de Lie conexo e simplesmente
e
e
conexo com álgebra de Lie g
h é o produto semi-direto G
H.
O produto semi-direto de grupos de Lie tem grande relevância teórica para o desenvolvimento da teoria em virtude do resultado de álgebras de Lie conhecido por
teorema de decomposição de Levi2 . Esse teorema a…rma que toda álgebra de
Lie de dimensão …nita pode ser decomposta como um produto semi-direto de uma
subálgebra semi simples por um ideal solúvel.
Portanto, o problema de determinar os grupos de Lie conexos e simplesmente
conexos se divide em determinar esses grupos para cada uma das duas grandes classes
de álgebras de Lie, as solúveis e as semi simples.
9.4
Grupos derivados e série central descendente
Nesta seção serão estudadas propriedades das séries derivada e central descendentes
de um grupo de Lie. Para isso se utiliza reiteradamente a construção do produto
semi-direto de grupos de Lie, feita na seção anterior.
A construção do produto semi-direto fornece também informações sobre subgrupos
normais de grupos de Lie simplesmente conexos, como mostra a proposição a seguir.
Proposição 9.11 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H G um
subgrupo de Lie normal e conexo. Então, H é fechado e G=H é simplesmente conexo.
Demonstração: A álgebra de Lie h de H é um ideal da álgebra de Lie g de G. Isso
permite formar a álgebra de Lie quociente q = g=h. Seja Q o grupo de Lie conexo e
simplesmente conexo cuja álgebra de Lie é q. O homomor…smo canônico : g ! g=h
se estende a um homomor…smo : G ! Q tal que = d 1 . A álgebra de Lie do núcleo
2
194
ker coincide com ker , isto é, com h. Como H e a componente conexa da identidade
de ker têm a mesma álgebra de Lie esses grupos são iguais. Por outro lado, ker é
um subgrupo fechado e daí que H = (ker )0 também é fechado.
Na verdade ker é conexo pois a aplicação G= (ker )0 ! G= ker = Q é uma
aplicação de recobrimento, o que mostra que (ker )0 = ker , pois Q é simplesmente
conexo. Daí que H = ker e G=H = Q, o que mostra que G=H é simplesmente conexo.
2
É possível mostrar que o subgrupo normal H da proposição anterior também é
simplesmente conexo3 . A proposição a seguir mostra isso numa situação particular que
serve para os grupos derivados de G.
Proposição 9.12 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H
G
um subgrupo de Lie normal e conexo. Suponha que dim G = dim H + 1. Então, H é
simplesmente conexo.
Demonstração: Seja h
g a subálgebra de Lie de H e tome X 2 g n h, de tal
forma que g = RX h. Como h é ideal essa igualdade diz que g é isomorfa ao produto
semi-direto R
h, onde : R ! Derh é dada por (t) = ad (tX)jh . Portanto, G é
e onde H
e é simplesmente conexo com álgebra
isomorfo ao produto semi-direto R H,
e associa a álgebra de Lie de H com a
de Lie h. A diferencial do isomor…smo G R H
e O que mostra que H e H
e são isomorfos, pois esses grupos
álgebra de Lie de f0g H.
são conexos. Daí que H é simplesmente conexo.
2
Esses resultados sobre subgrupos normais serão aplicados a seguir para o grupo
derivado de um grupo de Lie.
Em geral, se G é um grupo então seu grupo derivado G0 é de…nido como sendo
o subgrupo gerado pelos comutadores [x; y] = xyx 1 y 1 , x; y 2 G. Os sucessivos gru0
pos derivados G(k) são de…nidos indutivamente por G(k) = G(k 1) , onde se coloca
G(0) = G. Esses subgrupos são normais (como segue da igualdade u [g; h] u 1 =
[ugu 1 ; uhu 1 ]) e para cada k 0, G(k) =G(k+1) é um grupo abeliano.
De maneira análoga, se de…ne indutivamente as álgebras derivadas de uma álgebra de Lie pondo g(0) = g, g0 o subespaço gerado pelos colchetes [X; Y ], X; Y 2 g e
0
g(k+1) = g(k) . Essas álgebras derivadas são ideais de g e para cada k 0 o quociente
g(k) =g(k+1) é uma álgebra de Lie abeliana4 .
Proposição 9.13 Se G é grupo de Lie conexo então G0 é subgrupo de Lie normal e
conexo.
Demonstração: De fato, G0 é subgrupo conexo por caminhos diferenciáveis. Isso
por que se g; h 2 G então existem caminhos diferenciáveis gt e ht , t 2 [0; 1], com
3
4
Veja Varadarajan [57], Teorema 3.18.2. O exercício 15 ao …nal do capítulo indica a demonstração.
Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 1 e 2.
9.4. Grupos derivados e série central descendente
195
g0 = h0 = 1, g1 = g e h1 = h. Portanto, a curva gt ht gt 1 ht 1 é um caminho diferenciável entre o elemento neutro o comutador [g; h]. Agora, se g = [g1 ; h1 ]
[gk ; hk ] é
um elemento genérico de G0 então o produto dos caminhos entre o elemento neutro e
os comutadores fornece um caminho diferenciável entre 1 e g. Isso mostra que G0 é
conexo. Por …m G0 é subgrupo de Lie pelo teorema 6.19.
2
O próximo passo é veri…car que a álgebra de Lie L (G0 ) de G0 é a álgebra derivada
g0 . Para ver isso, considere o comutador
(t) = e
p
tX
p
e
tY
e
p
tX
e
p
tY
t
0:
Então, a derivada à direita é 0 (0) = [X; Y ] (veja proposição 6.12). Isso signi…ca que
qualquer colchete entre elementos de g é a derivada de uma curva em G0 . Portanto,
g0 L (G0 ).
Proposição 9.14 Seja G grupo de Lie conexo. Então, a álgebra de Lie de G0 é
L (G0 ) = g0 e daí que G0 = hexp g0 i.
Demonstração: Falta veri…car a inclusão L (G0 ) g0 . Para isso suponha em primeiro
lugar que G é simplesmente conexo. Nesse caso a proposição 9.11 garante que hexp g0 i
é subgrupo fechado. Portanto, G=hexp g0 i é grupo de Lie abeliano já que sua álgebra
de Lie g=g0 é abeliana. Isso implica que os comutadores de G estão contidos em hexp g0 i
pois se p : G ! G=hexp g0 i é o homomor…smo canônico então p [g; h] = [p (g) ; p (h)] = 1.
Daí que G0 hexp g0 i e, portanto L (G0 ) g0 .
e , com G
e simplesmente conexo e subgrupo
Para o caso geral em que G = G=
e ! G o homomor…smo canônico. Então,
e0 = G0 , pois
discreto central, seja : G
G
e0 = g0 e como d
é sobrejetor. Pelo primeiro parágrafo L G
que L (G0 ) = g0 , concluíndo a demonstração.
1
é isomor…smo, segue
2
No caso em que G é simplesmente conexo as proposições 9.11 e 9.12 fornecem
propriedades adicionais para o grupo derivado.
Proposição 9.15 Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Então, o
grupo derivado G0 é fechado e simplesmente conexo. O quociente G=G0 é simplesmente
conexo.
Demonstração: A proposição 9.11 garante de imediato que G0 é fechado e que G=G0
é simplesmente conexo. A demonstração de que G0 é simplesmente conexo é obtida por
aplicações reiteradas da proposição 9.12. A questão é que qualquer subespaço V com
g0 V
g é um ideal de g pois os colchetes pertencem a g0 . Daí que existem ideais
g1 ; : : : ; gk , k = dim g dim g0 , com
g = g1
gk
g0
196
e dim gi = dim gi+1 + 1. Os subgrupos Gi = hexp gi i são normais. Pela proposição 9.12,
G1 é simplesmente conexo. Por indução se conclui que os subgrupos Gi assim como G0
são simplesmente conexos.
2
Os demais grupos derivados G(k) são de…nidos indutivamente a partir do anterior,
isto é, G(k) é o grupo derivado de G(k 1) . Portanto, as a…rmações feitas para o grupo
G0 valem, por indução, para G(k) , k 2.
Corolário 9.16 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, os grupos derivados G(k) são
os subgrupos de Lie conexos G(k) = hexp g(k) i. Se, além do mais, G é simplesmente
conexo então G(k) , k 0, é fechado e simplesmente conexo e os quocientes G(k) =G(i) ,
k i, são simplesmente conexos.
Demonstração:
Falta apenas observar que G(k) =G(i) é simplesmente conexo se
k < i + 1. Mas isso segue direto da proposição 9.11.
2
Corolário 9.17 Seja G um grupo de Lie conexo. Então, sua série derivada
G = G(0)
G(k)
se estabiliza, isto é, existe k0 tal que G(k) = G(k0 ) se k
k0 .
Demonstração: De fato, a série derivada
g = g(0)
g(k)
se estabiliza pois dim g(k+1) < dim g(k) se g(k+1) 6= g(k) . O mesmo ocorre então com os
grupos derivados G(k) = hexp g(k) i.
2
(Compare o corolário acima com o exercício 18 ao …nal do capítulo.)
Um tratamento semelhante pode ser dado à série central descendente
G = G1
G2
Gk
que é de…nida indutivamente por G1 = G, G2 = G0 e Gk+1 = G; Gk é o subgrupo
gerado pelos comutadores [x; y] = xyx 1 y 1 , x 2 G, y 2 Gk . Os grupos Gk são normais
e para cada k 0, Gk =Gk+1 é um grupo abeliano.
De maneira análoga, a série central descendente
g = g1
g2
gk
da álgebra de Lie g é de…nida por g1 = g, g2 = g0 e gk+1 = g; gk , que é o subespaço
gerado pelos colchetes [X; Y ], X 2 g e Y 2 gk . Cada gk é um ideal de g e os quocientes
gk =gk+1 são álgebras de Lie abelianas5 .
5
9.5. Exercícios
197
Os grupos Gk são conexos por caminhos pois são gerados por comutadores [g; h]
que estão ligados ao elemento neutro por caminhos diferenciáveis. Portanto, eles são
subgrupos de Lie. Quando G é simplesmente conexo, a proposição 9.11 garante que
cada Gk é fechado e os quocientes G=Gk são simplesmente conexos.
O objetivo agora é mostrar que a álgebra de Lie L Gk de Gk coincide com gk .
Essa igualdade já foi demonstrada para k = 2 pois G2 = G0 e g2 = g0 . Por indução
sobre k se prova que gk
L Gk de forma análoga ao que foi feito para a álgebra
derivada: tomando X 2 g, Y 2 gk 1 , o comutador
p
(t) = e
tX
p
e
tY
e
p
tX
e
p
tY
t
0
tem derivada à direita 0 (0) = [X; Y ], o que garante que [X; Y ] 2 L Gk se X 2 g
e Y 2 gk 1 . Daí que gk L Gk .
Para provar a inclusão contrária é su…ciente tomar um grupo simplesmente conexo.
e ! G = G=
e é a projeção canônica então
ek = Gk e daí que
Isso porque se : G
G
ek e de Gk coincidem.
as álgebras de Lie de G
Proposição 9.18 A álgebra de Lie L Gk
hexp gk i.
de Gk coincide com gk , isto é, Gk =
Demonstração: Falta veri…car a inclusão Gk hexp gk i, que será feita por indução
sobre k. Tome G simplesmente conexo. Então, pela proposição 9.11, hexp gk i é fechado
e G=hexp gk i é grupo de Lie com álgebra de Lie g=gk . Denote por p : G ! G=hexp gk i
o homomor…smo canônico.
Assumindo o resultado para k 1, deve-se veri…car que se g 2 G e h 2 Gk 1 então
ghg 1 h 1 2 hexp gk i , isto é, p (ghg 1 h 1 ) = 1.
Agora, p hexp gk 1 i está contido no centro de G=hexp gk i pois gk 1 =gk z g=gk .
Pela hipótese de indução Gk 1 = hexp gk 1 i e, portanto p Gk 1 está contido no centro de G=hexp gk i. Isso signi…ca que p (ghg 1 h 1 ) = 1 se h 2 Gk 1 , o que mostra que
Gk hexp gk i, concluíndo a demonstração.
2
Da mesma forma que a série derivada, a série central descendente de G se estabiliza,
pois isso ocorre ao nível da álgebra de Lie.
9.5
Exercícios
1. Seja g a álgebra de Lie de Heisenberg, isto é, a álgebra de Lie das matrizes da
forma
0
1
0 x z
@ 0 0 y A
x; y; z 2 R:
0 0 0
Encontre as álgebras Derg e ad (g) das derivações e derivações internas, respectivamente.
198
2. Seja g uma álgebra de Lie tal que Autg = Intg. Mostre que para qualquer grupo
de Lie conexo G, com álgebra de Lie g vale AutG = Autg.
3. Mostre que se G é um grupo de Lie conexo então a conjugação g 2 G 7! Cg 2
AutG é diferenciável.
4. Suponha que uma álgebra de Lie g seja um produto semi-direto, isto é, existem
e o grupo conexo e
uma subálgebra h e um ideal n tal que g = h n. Denote por G
simplesmente conexo associado a g e seja hexp ni o subgrupo conexo com álgebra
de Lie n. Mostre que hexp ni é simplesmente conexo.
5. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e h
Mostre que hexp hi é fechado.
g um ideal.
6. Seja D : Rn ! Rn uma transformação linear que não tem auto-valores imáginarios (em particular ker D = f0g). Construa o produto semi-direto h = R
Rn ,
onde : R ! gl (n; R) é dada por (t) = tD. Mostre que existe um único grupo
de Lie conexo com álgebra de Lie h.
7. Seja G um grupo de Lie e denote por EndG o semigrupo dos endomor…smos
diferenciáveis de G. Veri…que que se G é simplesmente conexo então EndG é
isomorfo ao semigrupo Endg dos endomor…smos de g. Descreva EndG no caso
e
em que G = G=D
não é simplesmente conexo.
8. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g.
Uma derivação D 2 Derg de…ne um grupo a 1-parâmetro exp tD 2 AutG e, por
consequencia, um ‡uxo t em G. Esse ‡uxo de…ne, por sua vez, o campo de
e (x) = d t em G denominado de automor…smo in…nitesimal de G.
vetores D
dt
e é obtido, a partir de D, pela seguinte fórmula
Mostre que D
e (exp X) = d (exp) (DX) :
D
X
e um automor…smo in…nitesimal de um grupo de Lie. Mostre que se X
9. Seja D
e X] também é campo
é campo invariante (à direita ou à esquerda) então [D;
invariante.
10. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo, mas não simplesmente conexo G tal que
AutG não é conexo.
11. Sejam G um grupo de Lie e
G um subgrupo discreto. Seja também 2 AutG
um automor…smo tal que ( ) = . Essa propriedade garante que passa ao
quociente e de…ne um difeomor…smo de G= . Suponha que o único ponto …xo
de em G seja o elemento neutro e mostre que os pontos …xos de em G= são
isolados.
Aplique o resultado ao caso em que G= é o toro Tn e mostre que se 1 não é
autovalor de g 2 Sl (n; Z) então o número de pontos …xos da aplicação induzida
em Tn é …nito.
9.5. Exercícios
199
12. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e …brado tangente T G G g. Seja
p : G G ! G o produto em G. Mostre que a diferencial dp : T G T G ! T G
de…ne uma estrutura de grupo de Lie em T G isomorfo ao produto semi-direto
G Ad g (com g visto como grupo abeliano).
13. Seja G um grupo de Lie conexo não abeliano com álgebra de Lie g. Suponha que
os únicos ideais de g são os triviais f0g e g e que o centro do grupo Z (G) = f1g.
Mostre as seguintes a…rmações:
(a) G é simples como grupo abstrato, isto é, os únicos subgrupos normais de G
são f1g e G. (Sugestão: em algum momento deve-se usar o exercício 32 do
capítulo 9.)
(b) Todo automor…smo de g se estende a um automor…smo de G. Conclua que
AutG é isomorfo a Autg.
14. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Mostre que se H
um subgrupo de Lie conexo então H não é denso em G.
Gé
15. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g e
H = hexp hi um subgrupo normal conexo com h um ideal. Esse exercício tem por
objetivo mostrar que H é simplesmente conexo, o que complementa a proposição
9.11.
(a) Suponha que h seja um ideal maximal, isto é, se h1 é um ideal que contém
h então h1 = h ou h1 = g. Mostre que existe uma subálgebra l tal que
g = l h. (Sugestão: g=h só tem os ideais triviais f0g ou g=h e portanto
dim g=h = 1 ou g=h é semi simples. No primeiro caso argumente como na
proposição 9.12 e no segundo caso use o teorema de decomposição de Levi.6 )
(b) Mostre que existem subálgebras l1 ; : : : ; lk tal que g = l1
lj
lk h é ideal de g para cada j = 1; : : : ; k.
lk
h e
(c) Construa G por produtos semi-diretos sucessivos e conclua que H = hexp hi
é simplesmente conexo.
16. Sejam G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H G um subgrupo
de Lie conexo. Mostre que se o fecho H de H é subgrupo normal então H = H,
isto é, H é fechado.
17. Dê exemplo de um grupo de Lie conexo G cujo grupo derivado não é fechado.
(Sugestão: tome o produto semi-direto de álgebras de Lie R
R3 com (1) :
R3 ! R3 a transformação linear que leva o primeiro eixo coordenado numa reta
de inclinação irracional no plano gerado pelos outros eixos.)
6
200
18. Dê exemplo de um grupo G cuja série derivada G = G(0)
G(k)
não
(k+1)
(k)
se estabiliza, isto é, G
6= G para todo k 0. Faça o mesmo para a série
central descendente G = G0
Gk
. (Sugestão: considere “matrizes
triangulares inferiores”num espaço de dimensão in…nita com base fe1 ; e2 ; : : :g.)
Capítulo 10
Grupos solúveis e nilpotentes
Os resultados obtidos ao …nal do capítulo anterior sobre a série derivada G(n) e a série
central descendente Gn permitem analisar os grupos de Lie solúveis (que são aqueles
em G(n) = f1g para algum n) e os grupos de Lie nilpotentes, para os quais Gn = f1g
para algum n. Como será visto neste capítulo um grupo de Lie conexo G é solúvel se, e
só se, sua álgebra de Lie é solúvel. O mesmo resultado vale para os grupos nilpotentes
conexos. Além do mais os grupos de Lie simplesmente conexos dessas classe podem
ser construídos por produtos semi-diretos sucessivos de grupos abelianos simplesmente
conexos. De onde se conclui que um grupo de Lie solúvel (em particular, nilpotente)
conexo e simplesmente conexo é difeomorfo a um espaço euclidiano Rn .
10.1
Grupos solúveis
Os sucessivos grupos derivados G(k) de um grupo G são de…nidos indutivamente por
0
G(0) = G e G(k) = G(k 1) , o subgrupo gerado pelos comutadores [x; y] = xyx 1 y 1 ,
x; y 2 G(k) . Esses subgrupos são normais e para cada k 0, G(k) =G(k+1) é um grupo
abeliano. O conjunto de grupos encaixados
G = G(0)
G(k)
é chamado de série derivada de G.
Conforme …cou estabelecido na seção 9.4 do capítulo 9 se G é grupo de Lie conexo
então cada G(k) é subgrupo de Lie conexo. Suas álgebra de Lie L G(k) são as álgebras
derivadas g(k) , que são de…nidas indutivamente por g(0) = g e g(k) = [g(k 1) ; g(k 1) ].
A série derivada de g é o conjunto de ideais
g = g(0)
g(k)
:
Um grupo G é solúvel se sua série derivada termina no grupo trivial, isto é, se
G = f1g para algum k 0 (nesse caso G(i) = f1g para i k). Da mesma forma a
álgebra de Lie g é solúvel se g(k) = f0g para algum k 0.
A igualdade L G(k) = g(k) , que é equivalente a G(k) = hexp g(k) i, mostra de
imediato que G(k) = f1g se, e só se, g(k) = f0g. Daí que vale o seguinte critério para
que um grupo de Lie conexo seja solúvel.
(k)
201
202
Capítulo 10. Grupos solúveis e nilpotentes
Proposição 10.1 Um grupo de Lie conexo G é solúvel se, e só se, sua álgebra de Lie
g é solúvel.
Um exemplo típico de álgebra de Lie solúvel é a álgebra das matrizes triangulares1 :
0
1
a1
B .. . .
. C
:
@ .
. .. A
0
an n n
Essa é a álgebra de Lie do grupo T das matrizes triangulares cujos elementos diagonais
são > 0. A variedade subjacente a T é Rn+ RN , N = n (n 1) =2, isto é, um espaço
euclidiano. Esse exemplo ilustra uma propriedade que vale para todo grupo de Lie
solúvel conexo e simplesmente conexo. Como será demonstrado a seguir esses grupos
são difeomorfos a espaços euclidianos.
A demonstração desse fato requer as seguintes informações sobre álgebras de Lie
solúveis.
Uma decomposição de Jordan-Hölder de uma álgebra de Lie é uma sequência
de subálgebras g = g0 g1
gk = f0g tal que para cada i = 1; : : : ; k, gi+1 é um
ideal de gi e os únicos ideais de gi =gi+1 são os triviais (isto é, gi =gi+1 é uma álgebra
simples ou dim gi =gi+1 = 1).
A proposição a seguir mostra que álgebras de Lie solúveis admitem decomposições
de Jordan-Hölder em que os quocientes sucessivos tem dimensão um. (Na verdade,
vale a recíproca. Uma decomposição dessas só ocorre em álgebras de Lie solúveis.)
Proposição 10.2 Seja g uma álgebra de Lie solúvel. Então, existe uma sequência de
subálgebras
g = g0 g1
gk = f0g
tal que gi+1 é um ideal em gi e dim gi = dim gi+1 + 1 para i = 0; : : : ; k
1.
Demonstração: Comece com a série derivada g = g(0) g0
g(k) = f0g em
que cada termo é um ideal de g. A inclusão entre dois termos sucessivos g(i) g(i+1)
dessa série pode ser complementada por subespaços vetoriais
g(i)
V1
Vl
g(i+1)
de tal forma que as dimensões variam de um em um. Como [g(i) ; g(i) ] g(i+1) , segue
que [Vj ; Vr ] g(i+1) . Em particular, [Vj ; Vj+1 ] g(i+1)
Vj+1 , mostrando que Vj+1 é
ideal em Vj , o que conclui a demonstração.
2
Essa proposição mostra na verdade que a série derivada
g = g(0)
g(s)
f0g
pode ser incluída numa decomposição de Jordan-Hölder. Um pequeno trabalho adicional permite mostrar que qualquer ideal de g pertence a uma decomposição dessas.
1
Compare com o “teorema de Lie” em Álgebras de Lie [49], capítulo 2.
10.1. Grupos solúveis
203
Proposição 10.3 Sejam g uma álgebra de Lie solúvel e h
uma decomposição Jordan-Hölder
g = g0
g1
g um ideal. Então, existe
gk = f0g
tal que h = gi para algum i.
Demonstração: A subálgebra h também é solúvel, pois h(i)
uma decomposição
h = h0 h1
hs = f0g
g(i) . Portanto, existe
com dim (hi =hi+1 ) = 1. Por outro lado, g=h também é solúvel (pois (g=h)(i) =
Existe, portanto uma sequência
g=h = l0
l1
lr = f0g
com dim (li =li+1 ) = 1. Seja : g ! g=h a projeção canônica. Então,
co-dimensão 1 em 1 (li ), daí que
g=
1
h=
(l0 )
g(i) 2 ).
1
h1
(lr )
é a decomposição desejada.
1
(li+1 ) tem
hs = f0g
2
Voltando aos grupos de Lie, pode-se provar agora que os grupos solúveis conexos e
simplesmente conexos são difeomorfos a espaços euclidianos.
Proposição 10.4 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo com álgebra
de Lie g. Tome uma decomposição de Jordan-Hölder
g = g0
g1
gk
gk+1 = f0g
com dim (gi =gi+1 ) = 1. Então, cada um dos subgrupos conexos hexp gi i é fechado e
difeomorfo a um espaço euclidiano (Rn para algum n). Em particular G = hexp g0 i é
um espaço euclidiano.
Demonstração: Denote por Gi o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com
álgebra de Lie gi . A demonstração consiste em reconstruir G por sucessivos produtos
semi-diretos R s Gi+1
Gi . Essa construção é feita de tal forma que, para cada i,
hexp gi i é isomorfo a Gi .
O isomor…smo R s Gi+1
Gi é dado como na proposição 9.12, já que gi =
hXi gi+1 com X 2 gi n gi+1 . Daí que procedendo por indução, em primeiro lugar
Gk R pois dim gk = 1. Então,
Gk
1
R
s
R
onde a segunda componente é o subgrupo com álgebra de Lie gk . Da mesma forma
Gk 2 é isomorfo a R s (R s R) obtendo, por …m G G0 por produtos semi-diretos
sucessivos cuja variedade é difeomorfa a Rk+1 .
2
2
204
Corolário 10.5 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo com álgebra
de Lie g. Se H G é um subgrupo normal e conexo então H é fechado e difeomorfo
a um espaço euclidiano. O quociente G=H também é espaço euclidiano.
Demonstração: De fato, se h é a álgebra de Lie de H então h é ideal e H = hexp hi.
O ideal pertence a uma decomposição de Jordan-Hölder de g pela proposição 10.3,
portanto a proposição anterior garante que H é espaço euclidiano. A proposição 9.11
do capítulo 9, garante que H é fechado e que G=H é simplesmente conexo. Portanto,
o grupo de Lie solúvel G=H também é difeomorfo a um espaço euclidiano.
2
As boas propriedades dos subgrupos normais conexos enunciadas nesse corolário
valem também para os subgrupos que não são normais, como mostra o próximo resultado.
Proposição 10.6 Seja G um grupo solúvel conexo e simplesmente conexo. Se H G
é um subgrupo conexo então H é fechado e simplesmente conexo e, portanto, difeomorfo
a um espaço euclidiano.
Demonstração: Suponha em primeiro lugar que o subgrupo conexo H é fechado. A
demonstração de que H é simplesmente conexo se faz por indução sobre a dimensão
de G. Se dim G = 1, não há nada a demonstrar, pois nesse caso G R e H = f1g ou
H = G.
Pela hipótese de indução o resultado vale para os subgrupos do grupo derivado G0 ,
já que dim G0 < dim G e pelos resultados acima G0 é simplesmente conexo. O quociente
G=G0 é isomorfo a Rn pois é abeliano e simplesmente conexo. Seja : G ! G=G0 o
homomor…smo canônico. Então, (H) = H=H \ G0 é isomorfo a um subgrupo conexo
Rn , que é um subespaço vetorial. Isto é, H=H \ G0 é simplesmente conexo, o que
garante que H \ G0 é conexo (pois H= (H \ G0 )0 ! H=H \ G0 é uma aplicação de
recobrimento). Segue da hipótese de indução que H \ G0 é simplesmente conexo.
Consequentemente H=H \ G0 e H \ G0 são simplesmente conexos, o que implica que
H é simplesmente conexo (veja exercício 16 do capítulo 7). Isso conclui a demonstração
de que se H é conexo e fechado então H é simplesmente conexo.
Por …m, se H é conexo então o seu fecho H é conexo e fechado, portanto simplesmente conexo. Mas, H é subgrupo normal de H. A proposição 9.11 do capítulo 9
garante então que H (visto como subgrupo de H) é fechado. Isto é, H = H, concluíndo
a demonstração.
2
10.2
Grupos nilpotentes
Dado um grupo G sua série central descendente
G = G1
G2
Gk
10.2. Grupos nilpotentes
205
que é de…nida indutivamente por G1 = G, G2 = G0 e Gk+1 = G; Gk é o subgrupo
gerado pelos comutadores [x; y] = xyx 1 y 1 , x 2 G, y 2 Gk . Os grupos Gk são normais
e para cada k 0, Gk =Gk+1 é um grupo abeliano.
De maneira análoga, a série central descendente
g = g1
g2
gk
da álgebra de Lie g é de…nida por g1 = g, g2 = g0 e gk+1 = g; gk , que é o subespaço
gerado pelos colchetes [X; Y ], X 2 g e Y 2 gk . Cada gk é um ideal de g e os quocientes
gk =gk+1 são álgebras de Lie abelianas3 .
Um grupo G é nilpotente se sua série central descendente termina no grupo trivial,
isto é, se Gk = f1g para algum k
0 (nesse caso Gi = f1g para i k). Da mesma
forma a álgebra de Lie g é nilpotente se gk = f0g para algum k 0.
Se G é um grupo de Lie conexo então a proposição 9.18 do capítulo 9 mostra que
a álgebra de Lie L Gk de Gk coincide com gk , o que é equivalente a Gk = hexp gk i.
Essa igualdade mostra de imediato que Gk = f1g se, e só se, gk = f0g. Daí que vale o
seguinte critério para que um grupo de Lie conexo seja nilpotente.
Proposição 10.7 Um grupo de Lie conexo G é nilpotente se, e só se, sua álgebra de
Lie g é nilpotente.
A série central descendente está contida na série derivada, no sentido em que
G
G(k) e gk+1
g(k+1) . Portanto, os grupos (assim como as álgebras de Lie)
nilpotentes são também solúveis. Dessa forma as propriedades dos grupos solúveis
conexos descritas na seção anterior valem para os grupos nilpotentes conexos. Daí que
um grupo de Lie nilpotente, conexo e simplesmente conexo, é difeomorfo a um espaço
euclidiano, assim como cada um de seus subgrupos conexos.
No caso nilpotente essa situação é aprimorada pelo fato de que aplicação exponencial
exp : g ! G é um difeomor…smo, o que não vale para grupos solúveis em geral (veja
um exemplo abaixo).
k+1
Teorema 10.8 Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo.
Então, a aplicação exponencial exp : g ! G é um difeomor…smo.
Dito de outra maneira, nos grupos de Lie nilpotentes simplesmente conexos a aplicação exponencial é um sistema de coordenadas global de primeira espécie.
Na demonstração do teorema 10.8 serão utilizadas as seguintes propriedades elementares das álgebras de Lie nilpotentes4 :
1. Se g é nilpotente então as adjuntas ad (X), X 2 g, são transformações lineares
nilpotentes5 . Isso porque ad (X) (Y ) = [X; Y ] 2 g2 , ad (X)2 (Y ) 2 g3 e assim por
diante, de tal forma que ad (X)k = 0 se gk+1 = f0g.
3
5
O teorema de Engel fornece uma recíproca a essa a…rmação. Veja Álgebras de Lie [49], capítulo
4
2.
206
2. Uma álgebra de Lie nilpotente g tem centro z (g) 6= f0g. De fato, se gk+1 é a
primeira potência de g que se anula então gk 6= f0g está contido no centro de g,
pois g; gk = gk+1 = f0g.
3. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente. Então, toda subálgebra de g é nilpotente.
Se h g é um ideal então g=h é nilpotente.
O primeiro passo na demonstração do teorema 10.8 será veri…car que exp é um difeo
local. A fórmula da diferencial de exp, demonstrada no capítulo 8 fornece
d (exp)X = dEeX
TX = dEeX
ead(X) 1
:
ad (X)
Como ad (X), X 2 g, é nilpotente, seus auto-valores são nulos. Portanto, os autoead(X) 1
et 1
valores de TX =
são todos iguais a 1 = f (0) onde f (t) =
. Isso
ad (X)
t
implica que TX e, portanto, d (exp)X é injetora. Como as dimensões do domínio e da
imagem coincidem, segue que d (exp)X é bijetora para todo X 2 g. Portanto, exp é
um difeomor…smo local.
Dessa forma, para mostrar que exp é difeomor…smo basta mostrar que é uma bijeção.
A demonstração de que a exp é bijetora é feita por indução sobre a dimensão de G.
Em primeiro lugar, se dim G = 1 e G é simplesmente conexo então tanto G quanto g
coincidem com R e exp é a identidade.
Para o passo de indução considere o centro z (g) de g. Então, z (g) 6= f0g e
dim (g=z (g)) < dim g. Seja H = hexp z (g)i (adiante será veri…cado que H = Z (G)).
Pelo corolário 10.5 H é fechado e G=H é simplesmente conexo. A álgebra de Lie de
G=H é álgebra nilpotente g=z (g).
Pela hipótese de indução as exponenciais em H e G=H são sobrejetoras.
Portanto, dado g 2 G existe X = d 1 (X) 2 g=h, X 2 g, tal que eX = (g). Então,
eX = eX =
(g) ;
onde : G ! G=H o homomor…smo canônico.Isso signi…ca que existe h 2 H tal que
g = eX h. Pela sobrejetividade da exponencial em H, existe Y 2 z (g) tal que h = eY .
Isto é,
g = eX eY = eX+Y
pois [X; Y ] = 0. Isso mostra que g está na imagem da exponencial, concluíndo a
demonstração de que exp é sobrejetora.
Para veri…car a injetividade, tome X; Y 2 g tal que eX = eY . Então,
ed
1 (X)
=
eX =
eY = ed
1 (X)
:
Novamente pela hipótese de indução, segue que d 1 (X) = d 1 (Y ), o que signi…ca que
existe Z 2 z (g) tal que X = Y + Z. No entanto, Z comuta tanto com X e Y . Daí que
eX = eY +Z = eY eZ
10.2. Grupos nilpotentes
207
e, portanto, eZ = 1, o que implica que Z = 0, pois a exponencial é injetora em H. Isto
é, X = Y mostrando a injetividade da exponencial e concluíndo a demonstração do
teorema 10.8.
O teorema 10.8 tem as seguintes consequências.
Corolário 10.9 Seja G um grupo de Lie nilpotente e conexo. Então, exp : g ! G
é uma aplicação de recobrimento. O grupo G é simplesmente conexo se, e só se, a
aplicação exponencial é injetora.
e com G
e simplesmente conexo e discreto e cenDemonstração: Escreva G = G=
e ! G é uma aplicação de recobrimento e vale
tral. O homomor…smo canônico : G
expG =
expGe , o que garante que expG é um recobrimento já que expGe é difeomor…smo.
2
Corolário 10.10 Seja G um grupo de Lie nilpotente conexo com álgebra de Lie g.
Então, os subgrupos conexos de G são da forma H = exp h, onde h g é uma subálgebra. Se G é simplesmente conexo então qualquer subgrupo conexo exp h é fechado e
simplesmente conexo.
Demonstração: De fato, se H é conexo então a exponencial em H é sobrejetora, pois
H é nilpotente. Se G é simplesmente conexo então a aplicação exponencial é injetora
e daí que H = exp h é simplesmente conexo. Além do mais como exp : g ! G é
difeomor…smo e h g é fechado, se conclui que H = exp h é fechado.
2
Exemplo: Seja n
gl (n; R) a álgebra de Lie das matrizes triangulares superiores
com zeros na diagonal. Essa álgebra de Lie é nilpotente e é a álgebra de Lie do grupo
N das matrizes triangulares superiores com 1 na diagonal. Como N é conexo, se conclui que N = hexp ni coincide com exp n. Além do mais N é simplesmente conexo
e fechado, portanto os seus subgrupos conexos são simplesmente conexos e fechados
pelos corolários 10.9 e 10.10.
2
Proposição 10.11 Seja G um grupo nilpotente conexo. Se z (g) é o centro da álgebra
de Lie g de G então, o centro de G é dado por
Z (G) = exp z (g) :
Demonstração: Como G é conexo vale a inclusão exp z (g) Z (G). Para a inclusão
e com G
e simplesmente conexo e discreto e central. Tome
contrária escreva G = G=
g 2 Z (G) e seja X 2 g tal que g = eX . Então, para todo h 2 G, heX h 1 = eX , isto
é, existe h 2 tal que eAd(h)X = eX h . Aplicando essa igualdade e h = etY , Y 2 g,
t 2 R, se obtém
tY
eAd(e )X = eX t
208
tY
onde t 7! t = eAd(e )X e X é uma curva contínua que assume valores em . Como
e
é discreto, t é constante e igual a 0 = 1. Pela injetividade da exponencial em G
tY
segue que Ad e X = X, isto é,
etad(Y ) X = X:
A derivada em relação a t mostra que ad (Y ) X = 0, isto é, X 2 z (g), concluíndo a
demonstração.
2
e
e simCorolário 10.12 Seja G = G=D
um grupo de Lie nilpotente e conexo, com G
e =D, n = dim G
e
plesmente conexo. Então, G é difeomorfo ao “cilindro” Rn Z G
e .
dim Z G
Demonstração:
e
Pelo corolário anterior Z G
= exp z (g). Tome um subespaço
e =D ! G de…nida por
Z G
V que complementa z (g) em g. A aplicação f : V
f (X; gD) =
eX g é o difeomor…smo desejado. De fato, f faz parte do seguinte
diagrama comutativo
V
exp
z (g)
id
-
exp
? ?
V
e =D
Z G
e
G
?
f
-
G
onde exp na linha de cima é dada por (X; Y ) 7! eX eY = eX+Y . O diagrama mostra
que f é difeo local pois as exponenciais envolvidas são difeomor…smos e as projeções
(denotadas por ) são aplicações de recobrimento. Do diagrama se vê também que f é
e tal que
sobrejetora. Agora, se f (X1 ; g1 D) = f (X2 ; g2 D) então existe z = eZ 2 Z G
eX1 = eX2 eZ , o que implica que X1 = X2 e, portanto, g1 D = g2 D.
2
Corolário 10.13 Se um grupo nilpotente e conexo é compacto então ele é abeliano.
Demonstração:
e
então n = dim G
Segue de imediato do corolário anterior, já que se G é compacto
e = 0.
2
dim Z G
Deve-se observar que a exponencial em grupos solúveis não é, em geral, um difeomor…smo como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo: Seja A uma matriz real n n e suponha que A tenha um auto-valor
puramente imaginário não nulo. Seja g a álgebra de Lie solúvel de matrizes da forma
tA v
0 0
10.3. Exercícios
com v uma matriz coluna n
209
1 e t 2 R. Os auto-valores de
ad
tA 0
0 0
são 0 e t onde é auto-valor de A. Existe, portanto, X 2 g tal que ad (X) tem
auto-valor não nulo em 2 iZ. Isso implíca que para qualquer grupo G com álgebra de
Lie g a aplicação exponencial exp : g ! G tem pontos singulares e, portanto, não pode
ser difeomor…smo.
2
Por …m um comentário relevante sobre a construção do grupo conexo e simplesmente
conexo G cuja álgebra de Lie g é nilpotente. O fato da exponencial exp : g ! G
ser difeomor…smo permite de…nir em g (ou melhor no espaço vetorial subjacente) um
produto c : g g ! g que torna g um grupo de Lie isomorfo a G. Esse produto é dado
pela igualdade
eX eY = ec(X;Y ) :
A fórmula de Baker-Campbell-Hausdor¤ (BCH), demonstrada no capítulo 8 fornece
uma expressão para c (X; Y ) em termos do colchete em g. No caso em que g é nilpotente
essa fórmula é um polinômio em X e Y , que está de…nido para todo par (X; Y ) e é
uma aplicação diferenciável. Isso signi…ca que g munido com o produto dado por BCH
é um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Esse é um método e…ciente para construir o
grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie nilpotente g.
Por exemplo, se g3 = f0g então a fórmula BCH é dada por
c (X; Y ) = X + Y +
1
[X; Y ] :
2
Esse é um produto que de…ne g como um grupo de Lie.
10.3
Exercícios
1. Mostre um grupo solúvel simplesmente conexo G admite um sistema de coordenadas global de segunda espécie. Isto é, existe uma base fX1 ; : : : ; Xn g da álgebra
de Lie g de G tal que a aplicação
(t1 ; : : : ; tn ) 2 Rn 7 ! et1 X1
etn Xn
é um difeomor…smo.
2. Dê exemplo de um grupo solúvel simplesmente conexo G cuja aplicação exponencial não é difeomor…smo.
3. Mostre que um grupo de Lie conexo e nilpotente é unimodular. Dê exemplos de
grupos solúveis conexos que não são unimodulares.
210
4. Dados um grupo G e H G um subgrupo normal mostre que G é solúvel se, e
só se, H e G=H são solúveis. Dê um exemplo que mostre que essa propriedade
não vale para grupos nilpotentes.
5. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g, nilpotente e não abeliana. Mostre
que G não é compacto.
6. Faça o mesmo que o exercício anterior substituindo nilpotente por solúvel não
abeliana.
P
1
7. Considere as séries formais na variável x com coe…cientes reais, exp x = k 0 xk
k!
P
( 1)k+1 k
x . Substitua na série do logaritmo x por exp x 1
e log (1 + x) = k 1
k
e veri…que a igualdade
log (exp x) = log (1 + (exp x
1)) = x:
Use essa igualdade para mostrar que se A e B matrizes reais n
então eA = eB se, e só se, A = B.
n nilpotentes
8. Denote por N o conjunto das transformações lineares nilpotentes em gl (n; R).
(a) Mostre que se X 2 N então g = exp X é unipotente, isto é, g 1 é nilpotente.
Mostre também que se exp tX é unipotente para todo t 2 R então X 2 N .
(b) Seja U 2 Gl (n; R) o conjunto dos elementos unipotentes. Mostre que
exp : N ! U é bijetora. (Use as séries de potências da exponencial e
do logaritmo.)
(c) Dê exemplo de uma matriz X não nilpotente tal que exp X é unipotente.
9. Como caso particular do exercício 7, seja A 2 gl (n; R) uma transformação linear
nilpotente e mostre que se eA = 1 então ATA = 0 onde TA é a série de potências
x
da função f (x) = e x 1 avaliada em A. Conclua que A = 0.
10. Seja g gl (n; R) uma álgebra de Lie para a qual existe uma base de Rn tal
que a matriz de todo elemento de A em relação a é triangular superior com
zeros na diagonal. Mostre que G = hexp gi é um grupo nilpotente simplesmente
conexo.
11. Seja G um grupo de Lie nilpotente simplesmente conexo com álgebra de Lie g.
e como
Dada uma derivação D 2 Der (g) construa o automor…smo in…nitesimal D
no exercício 8 do capítulo 9. Mostre que no sistema de coordenadas global, dado
e (X) = D (X) para todo X 2 g.
pela exponencial, vale D
12. Dado um produto semi-direto de álgebras de Lie p = g
são solúveis então p também é solúvel.
h, mostre que se g e h
13. Dê exemplos de álgebras Lie g e h e um produto semi-direto p = g
g e h são nilpotentes, mas p não é nilpotente.
h tal que
Capítulo 11
Grupos compactos
Neste capítulo serão estudados os grupos simplesmente conexos que são recobrimentos
universais de grupos compactos. Como será demonstrado a álgebra de Lie g de um
grupo compacto G se decompõe na soma direta g = z (g) k onde z (g) é o centro de g e
k é uma álgebra semi simples. O grupo simplesmente conexo associado a g é o produto
direto dos grupos simplesmente conexos de z (g) e de k. Esse último é compacto, como
resultado do teorema de H. Weyl, que será demonstrado aqui.
11.1
Álgebras de Lie compactas
No capítulo 3 foi demonstrado, via integração pela medida de Haar, que se : G !
Gl (V ) é uma representação real de dimensão …nita do grupo compacto Hausdor¤ G
então existe um produto interno ( ; ) em V invariante por (g), g 2 G (veja proposição
4.1).
Em particular se G é um grupo de Lie compacto então existe um produto interno
( ; ) em sua álgebra de Lie g em relação ao qual Ad (g) é isometria para todo g 2 G,
isto é,
(Ad (g) Y; Ad (g) Z) = (Y; Z)
Y; Z 2 g:
A fórmula Ad (exp tX) = exp (tad (X)), t 2 R, garante então que exp (tad (X)) é
isometria de ( ; ) para todo X 2 g. Isso implica que ad (X) é anti-simétrica em relação
a esse produto interno ou, como se diz em teoria de álgebras de Lie, o produto interno
é invariante pela representação adjunta de g.
Essas propriedades garantem que no caso de um grupo compacto ad (X), X 2 g,
e Ad (g), g 2 G, são transformações semi simples, isto é, suas complexi…cadas são
diagonalizáveis.
Em vista disso se introduz a seguinte classe de álgebras de Lie, cuja de…nição é
puramente algébrica.
De…nição 11.1 Uma álgebra de Lie real g é dita compacta se existe em g um produto interno ( ; ) invariante, isto é,
(ad (X) Y; Z) + (Y; ad (X) Z) = 0
211
X; Y; Z 2 g:
212
Capítulo 11. Grupos compactos
As álgebras de Lie dos grupos de Lie compactos são compactas. Reciprocamente,
será mostrado ao longo deste capítulo que uma álgebra de Lie compacta é a álgebra de
Lie de algum grupo compacto. A relação entre ambas as classes de álgebras e grupos
de Lie só não é completamente fechada porque existem grupos de Lie não compactos
com álgebras de Lie compactas. Por exemplo, uma álgebra abeliana é compacta, já
que qualquer produto interno é invariante. Apesar delas serem álgebras de Lie de
toros compactos elas são também álgebras de Lie de grupos não compactos, como os
simplesmente conexos difeomorfos a Rn .
Esse exemplo da álgebra abeliana é essencialmente único, pois uma álgebra de Lie
compacta g se decompõe na soma direta de seu centro z (g) com um ideal semi simples
k. Esse ideal também é uma álgebra compacta e segue do teorema de Weyl que o grupo
simplesmente conexo com álgebra de Lie k é compacto.
Antes de prosseguir deve-se observar que se h
g é uma subálgebra da álgebra
compacta g então h também é compacta. Isso porque a restrição a h do produto
interno em g é um produto interno invariante em h.
O primeiro passo da descrição de g é obter sua decomposição em soma direta de
ideais.
Em geral, seja : h ! gl (V ) uma representação de uma álgebra de Lie no espaço
vetorial real V tal que para todo X 2 g, (X) é anti-simétrica em relação a um produto
interno ( ; ). Então, se W
V é um subespaço invariante o mesmo ocorre com o seu
complementar ortogonal W ? , pois se u 2 W , v 2 W ? e X 2 h então
( (X) v; u) =
(v; (X) u) = 0
já que (X) u 2 W . Isso fornece a decomposição V = W
W ? nos subespaços
invariantes W e W ? . Decompondo os subespaços sucessivamentes chega-se a uma
decomposição
V = V1
Vn
em subespaços invariantes e irredutíveis pela representação . (Compare com demonstração da proposição 4.2 do capítulo 3.)
Essa decomposição pode ser aplicada à representação adjunta de uma álgebra de
Lie compacta. Nesse caso um subespaço invariante é um ideal da álgebra.
Para tratar a irredutibilidade deve-se usar os seguintes conceitos de álgebras de
Lie: uma álgebra de Lie g é simples se dim g > 1 e sua representação adjunta é
irredutível, isto é, se os únicos ideais de g são os triviais f0g e g. Já g semi simples se
g = g1
gn , em que cada gi é um ideal simples (isto é, gi é álgebra de Lie simples).
Esses ideais são chamados de componentes simples de g. Sabe-se que o centro z (g) de
uma álgebra de Lie semi simples é nulo, o que aliás segue diretamente das de…nições
via os seguintes argumentos:
1. Se g é simples então z (g) = f0g ou z (g) = g, já que z (g) é ideal. Mas, se z (g) = g
então g é abeliana e como dim g > 1 qualquer um de seus subespaços seria um
ideal. Portanto, z (g) = f0g.
11.1. Álgebras de Lie compactas
213
2. Se g = g1
gn então as componentes simples comutam entre si pois se a e b
são ideais com a\b = f0g então [X; Y ] = 0 se X 2 a e Y 2 b, já que [X; Y ] 2 a\b.
Agora, escreva Z 2 z (g) como Z = Z1 +
+ Zn , dado pela decomposição de g.
Tome X 2 gj . Então, [X; Z] = [X; Zj ] = 0, portanto Zj 2 z (gj ) = f0g. Isto é,
Zj = 0 para qualquer indice j e daí que Z = 0.
Outra propriedade a ser utilizada na demonstração abaixo é que se g é semi simples
então sua álgebra derivada g0 coincide com g. De fato, se g é simples então g0 é um ideal
6= f0g (pois g não é abeliana) e daí que g0 = g. No caso semi simples esse argumento
garante que cada componente simples está contida no subespaço gerado pelas imagens
das adjuntas. E daí que a álgebra semi simples, que é a soma direta das componentes
simples também satisfaz essa propriedade.
Com esses conceitos a decomposição de uma álgebra de Lie compacta é dada da
seguinte forma:
Teorema 11.2 Uma álgebra de Lie compacta g se decompõe como
g = z (g)
u
onde z (g) é o centro de g e u é um ideal semi simples. Essa decomposição é única pois
u = z (u)? = g0 .
Demonstração: Tome uma decomposição de g em subespaços invariantes e irredutíves pela representação adjunta e escreva essa decomposição como
g = i1
im
u1
un
(11.1)
de tal forma que dim ij = 1 e dim uj > 1. Cada uma dessas componentes é um ideal de
g. Elas comutam entre si pois são ideais com interseção nula. Além do mais os ideais
uj com dim uj > 1 são simples, pois um ideal a uj de uj também é ideal de g, já que
uj comuta com as demais componentes.
Escreva i = i1
im e u = u1
un . Então, u é semi simples pois é soma de
ideais simples e i é abeliano pois dim ij = 1. Como i comuta com u, segue que i z (g).
Na verdade essa inclusão é uma igualdade pois caso contrário z (g) \ u 6= f0g. Mas,
z (g) \ u z (u) = f0g, pois u é semi simples.
A unicidade é consequência do fato de que se u uma álgebra semi simples que
complementa z (g) então, u = z (g)? . Para ver isso é su…ciente veri…car que u z (g)?
devido às dimensões dos subespaços. Por sua vez é su…ciente mostrar que se X 2 u
então a imagem de ad (X) é ortogonal a z (g), pois u é gerado pelas imagens de ad (X),
X 2 u. Mas, isso segue de imediato da invariância do produto interno, já que se
Y = ad (X) (W ), W 2 u, então para todo Z 2 z (g), vale
(Z; Y ) = (Z; ad (X) (W )) =
(ad (X) (Z) ; W ) = 0;
2
214
No teorema acima o ideal semi simples u assim como suas componentes simples
são álgebras de Lie compactas. Isso porque toda subálgebra de uma álgebra compacta
também é compacta. Segue dessa observação que uma álgebra de Lie compacta g é
semi simples se, e só se, z (g) = f0g.
O produto interno invariante ( ; ) numa álgebra de Lie compacta não é único. Por
exemplo, a ( ; ), a > 0, também é invariante ou ainda, a soma direta de produtos
internos invariantes nas componentes da decomposição (11.1) também é um produto
interno invariante, de tal forma que o conjunto dos produtos internos invariantes é um
cone de dimensão igual ao número de componentes em (11.1).
Existe, no entanto uma escolha natural baseada na forma de Cartan-Killing de g,
que é de…nida por
Kg (X; Y ) = tr (ad (X) ad (Y ))
X; Y 2 g:
Proposição 11.3 Seja g álgebra de Lie compacta. Então, sua forma de Cartan-Killing
Kg ( ; ) é negativa semi-de…nida. Além do mais, para X 2 g, Kg (X; X) = 0 se, e só
se, X 2 z (g). Portanto, g é semi simples se, e só se, Kg ( ; ) é negativa de…nida1 .
Demonstração: Se X 2 g então ad (X) é anti-simétrico em relação a um produto
interno, portanto seus auto-valores são puramente imaginários. Sejam ia1 ; : : : ; ian 2 iR
os auto-valores de ad (X). Então,
Kg (X; X) = tr ad (X)2 =
a21 +
+ a2k
0;
o que mostra que Kg ( ; ) é negativa semi-de…nida. Ainda dessa expressão se conclui
também que Kg (X; X) = 0 se, e só se, os auto-valores de ad (X) são todos nulos.
Mas, por ser anti-simétrica, ad (X) é uma transformação linear semi simples e daí que
ad (X) = 0 se, e só se, seus auto-valores se anulam. Portanto, Kg (X; X) = 0 se, e só
se, X 2 z (g).
Por …m, se g é semi simples então z (g) = f0g. Portanto, Kg (X; X) = 0 implica que
X = 0, mostrando que a forma de Cartan-Killing é negativa de…nida. Reciprocamente,
se Kg ( ; ) é negativa de…nida então z (g) = f0g e g é semi simples.
2
Em geral, para uma álgebra de Lie arbitrária a forma de Cartan-Killing é invariante
pela representação adjunta. A proposição acima garante então que h ; i = Kg ( ; )
é um produto interno invariante numa álgebra g compacta e semi simples. Dentre
os produtos internos invariantes o negativo da forma de Cartan-Killing fornece uma
escolha natural pois é de…nido intrinsecamente a partir da álgebra de Lie. Para álgebras
compactas em geral pode-se tomar a forma de Cartan-Killing na componente semi
simples e estender com um produto interno arbitrário no centro.
Passando aos grupos de Lie com álgebras de Lie compactas, o primeiro passo é olhar
o grupo de automor…smos Autg de uma álgebra de Lie compacta g.
1
Um dos critérios de Cartan generaliza essa última a…rmação mostrando que uma álgebra de Lie é
semi simples se, e só se, sua forma de Cartan-Killing é não degenerada. Veja o capítulo 3 de Álgebras
de Lie [49]
11.2. Grupo fundamental …nito
215
Proposição 11.4 Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta. Então, o grupo
Autg dos automor…smos de g é compacto.
Demonstração: O grupo Autg é um subgrupo fechado de Gl (g). Além do mais,
se é um automor…smo de g então ad ( X) = ad (X) 1 o que implica que é
isometria da forma de Cartan-Killing. Como Kg ( ; ) é negativa de…nida o seu grupo
de isometrias é compacto, daí que Autg é compacto.
2
Consequentemente, a componente conexa da identidade Aut0 g de Autg é um grupo
de Lie compacto. A álgebra de Lie desses grupos é Derg, a álgebra das derivações de g.
No caso em que g é semi-simples Derg é isomorfa a g pela representação adjunta. De
fato, por um lado ad é injetora pois ker ad = z (g) = f0g. Por outro lado, um teorema
de álgebras de Lie garante que se g é semi simples (não necessariamente compacta)
então toda derivação de g é interna, isto é, se D 2 Derg então existe X 2 g tal que
D = ad (X). Isso mostra a sobrejetividade de ad, concluíndo que ad : g ! Derg é um
isomor…smo.
Portanto, Aut0 g é um grupo compacto e conexo com álgebra de Lie (isomorfa a) g.
Reciprocamente, se Aut0 g compacto então g é uma álgebra compacta por ser a álgebra
de Lie de um grupo compacto.
Na verdade se g é uma álgebra de Lie semi simples (não necessariamente compacta)
então Aut0 g é o menor grupo de Lie com álgebra de Lie g. De fato, se G é um grupo
conexo com álgebra de Lie g então Ad : G ! Aut0 g é um difeomor…smo local pois
ad : g ! Derg é isomor…smo. Isso implica que Ad é sobrejetora, pois sua imagem é um
subgrupo aberto de Aut0 g. Daí que Aut0 g G=Z (G) e portanto, Aut0 g é o quociente
de qualquer grupo de Lie G com álgebra de Lie g. Tomando em particular G = Aut0 g
se vê que Aut0 g
Aut0 g=Z (Aut0 g) de onde se conclui que Z (Aut0 g) = f1g. (Veja
também o exercício 21 do capítulo 5.) Esses fatos são incluídos na proposição a seguir,
para referência futura.
Proposição 11.5 Seja g uma álgebra de Lie semi simples então o centro de Aut0 g é
trivial e Aut0 g = G=Z (G) para todo grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g. Além
do mais Aut0 g é compacto se, e só se, g é uma álgebra compacta.
Os parágrafos anteriores mostram que se g é álgebra de Lie compacta e semi simples
então existe pelo menos um grupo compacto G com álgebra de Lie g, que é Aut0 g. Na
próxima seção será demonstrado que um grupo de Lie é compacto se sua álgebra de Lie
é compacta e semi simples. Juntando essa informação com teorema 11.2 se obtém o
resultado …nal de que o recobrimento universal de um grupo de Lie compacto e conexo
é da forma Rn G onde G é um grupo de Lie compacto simplesmente conexo cuja
álgebra de Lie é semi simples.
11.2
Grupo fundamental …nito
e o grupo de Lie conexo
Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta e denote por G
e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. O objetivo dessa seção é apresentar uma
216
e é compacto. Por esse
primeira demonstração do teorema de Weyl que garante que G
teorema todo grupo de Lie conexo com álgebra de Lie g é compacto. A a…rmação
e é compacto é equivalente a que o grupo fundamental de Aut0 g seja …nito
de que G
(daí o título da seção). Isso porque Aut0 g é um grupo compacto cuja álgebra de Lie é
Derg g, como foi visto na seção anterior.
Posteriormente será apresentada uma outra demonstração do teorema de Weyl,
que se utiliza da estrutura algébrica e geométrica das álgebras e dos grupos de Lie
compactos2 . Apesar de mais envolvente, essa outra demonstração terá a vantagem de
fornecer o grupo fundamental de Aut0 g. A demonstração apresentada aqui é existencial
e tem uma abordagem mais analítica. Ela está baseada no seguinte teorema de extensão
de homomor…smos.
Teorema 11.6 Suponha que L é um grupo de Lie conexo e
L um subgrupo discreto
e central tal que L= é compacto. Seja : ! R+ um homomor…smo a valores no
grupo multiplicativo dos reais. Então, existe um homomor…smo diferenciável : L !
R+ que estende , isto é, ( ) = ( ) se 2 .
Antes de demonstrar esse teorema de extensão ele será utilizado para provar o
teorema de Weyl.
A ideia é que se G é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie g é semi simples
então o único homomor…smo de G a valores em R+ é o trivial
1 (veja o lema
11.9 abaixo). Por outro lado, se g é uma álgebra de Lie semi simples compacta e
e então a compacidade de Aut0 g permite mostrar que o grupo abeliano
Aut0 g = G=
é …nitamente gerado. Dessa forma, se fosse in…nito existiria um homomor…smo não
trivial : ! R+ . Pelo teorema de extensão seria a restrição de um homomor…smo
e ! R+ , contradizendo o fato de que g é semi simples. Para efetivar
não trivial : G
essa demonstração são necessários os seguintes lemas demostrados em sequência.
Lema 11.7 Sejam G um grupo Lie e H
G um subgrupo fechado tal que G=H é
compacto. Então, existe um compacto de interior não vazio C tal que 1 2 C e G =
C H. Além do mais pode-se tomar C tal que C 1 = C.
Demonstração: Seja V uma vizinhança compacta de 1 2 G tal que V 1 = V .
Então, para cada x = gH 2 G=H o conjunto V x = fhx : h 2 V g é uma vizinhança de x em G=H. Os conjuntos V x cobrem G=H e como G=H é compacto, existem
x1 = g1 H; : : : ; xn = gn H tal que G=H = V x1 [ [V xn . Então, C = V [V g1 [ [V gn
é o compacto desejado. De fato, por construção 1 2 V
C e se g 2 G então
gH 2 V xi para algum i, o que implica que g 2 V gi H. Por …m tomando a união de C
com g1 1 V 1 [
[ gn 1 V 1 se obtém um novo compacto que satisfaz as propriedades
desejadas.
2
2
Uma terceira demonstração, usando geometria Riemanniana, é indicada ao …nal do capítulo. Uma
quarta demonstração, que argumenta com curvas, pode ser encontrada em Lacerda [36] e Zelobenko
[65].
217
e o grupo
Lema 11.8 Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta e denote por G
e
conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Escreva Aut0 g = G= onde é
o grupo fundamental 1 (Aut0 g). Então, é …nitamente gerado.
Demonstração: Seja C = C
e
1
o compacto simetrico do lema anterior em que 1 2 C
e=C D=
G
[
C
:
2
O conjunto C 2 é compacto e como os abertos C d cobrem C 2 existe um conjunto …nito
f 1; : : : ; ng
tal que C 2 C 1 [
[ C n . Seja 1 o subgrupo de gerado por
f 1 ; : : : ; n g.
O lema será consequência da igualdade = (C 2 \ ) 1 . De fato, C 2 \ é …nito
pois C 2 é compacto e é discreto. Com 1 é …nitamente gerado, essa igualdade mostra
o lema.
e ! G=
e 1 o homomor…smo canônico.
Para provar que = (C 2 \ ) 1 seja p : G
e 1 , pois C 6= ;. Além do mais, (C 2 )
Então, p (C 2 ) tem interior não vazio no grupo G=
2
é um subgrupo. De fato sejam g; h 2 C . Então, existem c1 ; c2 2 C e 1 ; 2 2 1 tais
que g = c1 1 e h = c2 2 . Então, gh 1 = c1 c2 1 1 2 1 e, portanto
p (g) p (h)
1
= p gh
1
= p c1 c2 1 2 p C 2
e 1,
pois C 1 = C. Consequentemente p (C 2 ) é um subgrupo aberto do grupo conexo G=
2
e 1.
dessa forma p (C ) = G=
2
Lema 11.9 Suponha que G é um grupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie g é semi
simples (compacta ou não). Então, o único homomor…smo diferenciável : G ! R+
é o trivial (g) = 1 para todo g 2 G.
Demonstração: Basta mostrar que o homomor…smo in…nitesimal d 1 : g ! R é
identicamente nulo, pois G é conexo. Como R é uma álgebra abeliana d 1 se anula
num colchete, isto é,
d 1 [X; Y ] = [d 1 X; d 1 Y ] = 0:
Mas, g é semi-simples e daí que g0 = g, onde g0 é a álgebra derivada. Isto signi…ca
que g é gerado pelos colchetes [X; Y ], X; Y 2 g. Portanto, d 1 é identicamente nulo,
2
Agora é possível enunciar formalmente e demonstrar o teorema de Weyl da …nitude do grupo fundamental.
e o
Teorema 11.10 Seja g uma álgebra de Lie semi simples compacta e denote por G
e é compacto.
grupo simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Então, G
218
Demonstração: Seja
1 (Aut0 g) o subgrupo discreto central tal que Aut0 g =
e
G= . Deve-se mostrar que é …nito, já que Aut0 g é compacto. Pelo lema 11.8, o
grupo abeliano é …nitamente gerado e portanto isomorfo a Zk Zm1
Zmn .
Suponha por absurdo que não é …nito de tal forma que k
1. Então, existe um
homomor…smo não trivial : ! R+ do tipo ( ) = ep( ) onde p é a projeção numa
e ! R+ que
das componentes de Zk . Pelo teorema 11.6 existe um homomor…smo : G
estende . Esse homomor…smo é não trivial o que é uma contradição pelo lema 11.9.
2
11.2.1
Teorema de extensão
Será demonstrado aqui o teorema 11.6 que garante que um homomor…smo de um
subgrupo discreto e central
L se estende a L se L= é compacto.
O primeiro passo é o seguinte lema que estende a uma função contínua que satisfaz
a propriedade de homomor…smo quando elementos de D estão envolvidos.
Lema 11.11 Existe uma função contínua f : L ! R+ tal que
1. f ( ) = ( ) se
2 .
2. f (x) > 0 para todo x 2 L e f (1) = 1.
3. f (x ) = f (x) ( ) para todo x 2 L.
Demonstração: Seja p : L ! L= o homomor…smo canônico e tome um compacto
C L tal que p (C) = L= , dado pelo lema 11.7. Então, existe uma função contínua
de suporte compacto g : L ! R tal que g (x) = 1 se x 2 C e g (y) 0 para todo y 2 L.
De…na a função f0 : L ! R por
X
1
f0 (x) =
g (x )
:
(11.2)
2
Essa função está bem de…nida e é contínua. De fato, denote por K o suporte de g e
tome um compacto de interior não vazio U L. Então, para x 2 U e 2 , g (x ) = 0
a menos que x 2 K, isto é, 2 x 1 K. Portanto, para x 2 U a soma em (11.2) se
estende a U = U 1 K \ . Mas esse conjunto é …nito pois é discreto e U 1 K é
compacto. Dessa forma a restrição de f0 a U é a soma …nita de funções contínuas e
portanto f0 é contínua em U . Segue que f0 é contínua, pois U é arbitrário.
Essa função é estritamente positiva pois dado x 2 L existe 2 tal que x 2 C
e g (x ) = 1, pelas escolhas de C e g. Pode-se de…nir então f (x) = f0 (x) =f (1), que
satisfaz a segunda propriedade enunciada. A terceira propriedade vem de
X
X
1
1
1
f (x 0 ) =
g (x 0 )
=
g (x 0 )
( 0)
0
2
=
X
2
g (x )
1
!
2
( 0 ) = f (x) ( 0 ) :
219
Por …m, f ( ) = f (1 ) = f (1) ( ) = ( ) se
2 .
2
A ideia agora é de…nir uma nova função h > 0 tal que h (x ) = h (x),
satisfaça
h (xy) h (x) 1 h (y) 1 = f (xy) f (x) 1 f (y) 1 :
2 , e que
Uma vez obtida essa h, o homomor…smo desejado será (x) = f (x) h (x) 1 .
Para obter h considere a função contínua F : L L ! R dada por
F (x; y) = log f (xy)
Então, para todo
2
log f (x)
log f (y) :
vale
2
F (x ; y ) = log f xy
= F (x; y) ;
log f (x )
log f (y )
pois
Z (L). Isso signi…ca que existe uma função contínua F0 : (L= ) (L= ) ! R
tal que F (x; y) = F0 (px; py) onde p : L ! L= e a projeção canônica.
Um cálculo direto, a partir da de…nição, mostra que a função F satisfaz a seguinte
identidade
F (xy; u) F (y; u) = F (x; yu) F (x; y) ;
(11.3)
que também é satisfeita por F0 . Além do mais, F (1; y) = F (x; 1) = 0 pois f (1) = 1.
Lema 11.12 Existe uma função contínua a : L= ! R tal que F0 (x; y) = a (xy)
a (x) a (y) e a (1) = 0.
Demonstração: De…na
b (x) =
Z
F0 (x; u) (du)
L=
onde é a medida de Haar de L= normalizada por (L= ) = 1. A integral existe
pois F0 é contínua e L= é compacto. Então, b (xy) b (x) b (y) é dada pela seguinte
integral
Z
(F0 (xy; u)
F0 (x; u)
F0 (y; u)) (du) ;
L=
que pela identidade (11.3) se reescreve como
Z
(F0 (x; yu) F0 (x; y)
F0 (x; u)) (du) :
L=
As integrais dos primeiro e terceiro integrandos se cancelam, pois é invariante à
esquerda. Portanto,
Z
b (xy) b (x) b (y) =
F0 (x; y) (du) = F0 (x; y) :
L=
220
Daí que a =
F (1; u) = 0.
b é a função desejada, já que a (1) =
R
L=
F0 (1; u) (du) = 0 pois
2
Voltanto à de…nição da extensão , seja h : L ! R+ de…nida por
h (x) = exp a (px)
onde a : L= ! R é dada pelo lema anterior. Então, h (x ) = h (x) se x 2 L e
Da propriedade da função a se obtém
h (xy) h (x)
1
h (y)
Mas, F (x; y) = log f (xy)
1
= exp (a (p (xy)) a (p (x)) a (p (y)))
= exp F0 (px; py) = exp F (x; y) :
log f (x)
h (xy) h (x)
2 .
1
h (y)
log f (y), daí que
1
= f (xy) f (x)
1
f (y)
isto é, f (xy) =h (xy) = (f (x) =h (x)) (f (y) =h (y)). Portanto,
homomor…smo, que estende pois se 2 então
1
;
(x) = f (x) =h (x) é um
( ) = f ( ) =h ( ) = f ( ) = ( )
pois h ( ) = ea(1) = 0. Com isso se conclui a demonstração do teorema de extensão.
11.3
Álgebras de Lie compactas e complexas
O objetivo desta seção é descrever a estrutura de uma álgebra semi simples compacta
u a partir de sua complexi…cada g = uC , que é também uma álgebra de Lie semi
simples. A questão é que os auto-valores de ad (X), X 2 u, são imaginários, portanto
os auto-espaços de ad (X) não estão contidos em u, mas em g. Os colchetes entre os
auto-espaços descrevem a estrutura de álgebra de Lie em g e portanto de u através do
truque unitário de Weyl, que estabelece uma bijeção entre as álgebras de Lie semi
simples compactas e as álgebras de Lie complexas. O nome unitário vem do exemplo
guia su (n) que é a álgebra de Lie do grupo unitário especial SU (n). Esse exemplo virá
à tona ao longo da exposição3 .
11.3.1
Truque unitário de Weyl
Para descrever as álgebras semi simples compactas basta obter aquelas que são simples.
Já as álgebras simples compactas são obtidas através da construção de Weyl, que
envolve a álgebra complexi…cada g = uC da álgebra compacta u. Da teoria das álgebras
de Lie reais, sabe-se que g é uma álgebra de Lie simples complexa. (Em principio a
3
As álgebras de Lie so (n) não são tão boas como su (n) como exemplo guia pois suas subálgebras
de Cartan não são dadas – na representação natural – como álgebras de matrizes diagonais, como
ocorre com su (n).
11.3.
221
complexi…cada de uma álgebra de Lie real simples é semi simples pelo conhecido critério
de Cartan para álgebras semi simples4 . As álgebras simples cujas complexi…cadas não
são simples são as reali…cadas das álgebras de Lie simples complexas. Essas álgebras
de Lie não são compactas. Portanto, a complexi…cada de uma álgebra de Lie simples
compacta também é simples.)
Por ser uma álgebra complexa simples g = uC é uma das álgebras de Lie da classi…cação de Cartan-Killing. Essa classi…cação é catalogada pelos diagramas de Dynkin
que são reproduzidos abaixo na subseção 11.3.2.
Já a álgebra u é uma forma real compacta de g. Um dos resultados centrais relacionados ao truque unitário de Weyl é que duas formas reais compactas da álgebra
simples complexa g são obtidas uma da outra por um automor…smo de g e, portanto,
são isomorfas. Isso signi…ca que a classi…cação das álgebras de Lie complexas simples também classi…ca as álgebras simples compactas: a cada diagrama de Dynkin
corresponde uma única classe de equivalência de álgebras de Lie compactas simples e
vice-versa toda álgebra compacta simples é obtida de um diagrama de Dynkin.
Antes de descrever a construção geral de Weyl, que estabelece a bijeção entre as álgebras simples compactas e as álgebras simples complexas, é conveniente ver o exemplo
da álgebra de Lie su (n), que modela essa construção.
Exemplo: A álgebra de Lie das matrizes anti-Hermitianas
T
su (n) = fA 2 gl (n; C) : A + A = 0g
é simples e compacta. A álgebra complexi…cada de su (n) é (isomorfa a) sl (n; C), já
que uma matriz X pode ser escrita como
X=
X
X
2
T
X +X
+
2
T
2 su (n) + isu (n) :
Os elementos diagonais de uma matriz anti-Hermitiana são puramente imaginários e
su (n) contém a álgebra de matrizes diagonais
t = fdiagfix1 ; : : : ; ixn g : xj 2 R; x1 +
+ xn = 0g:
Essa subálgebra é abeliana maximal, pois uma matriz que não é diagonal deixa de
comutar com alguma matriz diagonal.
A complexi…cada h = tC de t é a álgebra das matrizes diagonais em sl (n; C), que
também é abeliana maximal. Se H 2 h é a matriz diagonal H = diagfa1 ; : : : ; an g então
os auto-valores de ad (H) são 0 e jk (H) = aj ak , j 6= k. O auto-espaço associado
ao auto-valor aj ak contém o subespaço unidimensional gjk gerado pela matriz básica
Ejk = ( rj sk )r;s . Esses auto-espaços, comuns a ad (H), H 2 h, decompõem g =
sl (n; C) como
X
g=h
gjk :
j6=k
4
222
As subálgebras t e h são subálgebras de Cartan de su (n) e sl (n; C), respectivamente
(veja a de…nição abaixo). Na terminologia das álgebras de Lie complexas os funcionais
lineares jk , j 6= k, são denominados de raízes de h, enquanto que os espaços gjk são
os correspondentes espaços das raízes.
O subespaço hR das matrizes diagonais reais é dado a partir das raízes jk como
sendo o conjunto dos elementos H 2 h tais que jk (H) 2 R para toda raiz jk . Com
isso se obtém, a partir das raízes a subálgebra de Cartan t = ihR de su (n). A própria
álgebra su (n) é gerada por t e
fEjk
Ekj ; i (Ejk + Ekj )g
onde Ejk , j 6= k, são os geradores dos espaços das raízes gjk .
2
Dada uma álgebra de Lie complexa g o ponto de partida para a construção de
Weyl de uma forma real compacta é uma subálgebra de Cartan.
Em geral se g é uma álgebra de Lie então se diz que h g é uma subálgebra de
Cartan se h é nilpotente e coincide com o seu normalizador em g, isto é, se [X; h] h
então X 2 h. No caso em que g é uma álgebra semi simples complexa uma subálgebra
h
g é de Cartan se, e só se, ela é abeliana, as adjuntas de seus elementos ad (H),
H 2 h, são diagonalizáveis e h é maximal com essas duas propriedades5 .
Uma raiz da subálgebra de Cartan h é um funcional linear 2 h tal que o auto
espaço (espaço de raízes)
g = fX 2 g : 8H 2 h; [H; X] =
Seja
(H) Xg =
6 f0g:
2 h o conjunto de raízes. Então, pode-se provar que dimC g = 1 e
X
g :
g=h
(11.4)
2
Esta decomposição em soma direta é chamada de decomposição em espaços de
raízes de g.
A partir da decomposição (11.4) se obtém uma base de Weyl , que é formada
por uma base de h e por elementos X 2 g tais que Kg (X ; X ) = 1 e [X ; X ] =
m ; X + com m ; 2 R. A existência de bases satisfazendo essas condições é provada
na teoria de álgebras de Lie6 .
Como último ingrediente seja hR o subespaço (real) de h dos elementos H 2 h tais
que (H) 2 R para toda raiz 2 . Esse subespaço é gerado sobre R por H 2 h
de…nido por ( ) = Kg (H ; ), 2 .
Teorema 11.13 Dada uma base de Weyl, o subespaço u gerado sobre R por
ihR
5
6
A =X
X
Veja os capítulos 4 e 6 de Álgebras de Lie [49].
iS = i (X + X
)
11.3.
223
é uma forma real compacta de g. Duas formas reais compactas de g são isomorfas
por um automor…smo interno interno de g. Reciprocamente toda álgebra de Lie semi
simples compacta é a forma real compacta de uma álgebra de Lie complexa g.
Duas álgebras semi simples compactas u1 e u2 são isomorfas se, e só se, suas complexi…cadas (u1 )C e (u2 )C são isomorfas.
A estrutura da forma real compacta u é dada pela decomposição (11.4). Para cada
raiz 2 seja u o espaço vetorial real gerado por A e iS . Então dimR u = 2 e
X
u=t
u :
(11.5)
2
Os colchetes entre os geradores dessa decomposição são dados por
[iH ; A ] = (H )S .
(H )A .
[iH ; S ] =
[A ; A ] = m
[S ; S ] =
m
[A ; S ] = m
[A ; S
;
;
A
;
A
S
+m
+
+
+
;
m
+m
;
.
A
.
A
;
S
.
] = 2iH .
Exemplo: No caso da álgebra sl (n; C) a demonstração da unicidade (a menos de
conjugação) da forma real compacta pode ser feita diretamente da seguinte maneira.
Seja u
sl (n; C) uma forma real compacta. Então, u é uma álgebra simples, pois
sl (n; C) é simples. Portanto, pelo teorema de Weyl (demonstrado acima) o subgrupo
conexo de Sl (n; C) dado por U = hexp ui é compacto. Daí que existe uma métrica
Hermitiana H em Cn , que é U -invariante. Isso implica que existe g 2 Sl (n; C) tal
que gU g 1 SU (n) e, portanto, gug 1 su (n). Mas, então vale a igualdade já que
dim u = dim su (n), pois ambas as álgebras são formas reais de sl (n; C).
2
11.3.2
Diagramas de Dynkin
O teorema 11.13 fornece a classi…cação das álgebras de Lie compactas simples a partir
das álgebras complexas. Essas últimas são classi…cadas pelos diagramas de Dynkin,
listados abaixo.
224
Al ; l
1
Bl ; l
2
Cl ; l
Dl ; l
e
e
...
e
e
...
e
e
...
e
e
1
1
3
1
4
1
e
G2 e
Ae
e
Ae
F4 e
e
l 1
2
2
2
e
l 1
2
...
l
1
l
1
e
e
Al 1 l
e
e,
l
l 2
le
,
2
E6 e
e
E7 e
E8 e
1
Ae
2
3
e 6
1
1
4
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
2
3
l 1
l
e
2
3
2
3
4
e 7
4
4
5
5
e 8
5
6
6
e
7
Nesses diagramas as séries Al (l 1), Bl (l 2), Cl (l 3) e Dl (l 4) representam
as chamadas álgebras clássicas, que são listadas a seguir, juntamente com suas formas
reais compactas u.
Al A álgebra complexa de Al é sl (l + 1; C), n = l + 1, cuja forma real compacta é
u = su (n).
Bl A álgebra complexa é a álgebra das matrizes complexas anti-simétricas em dimensão ímpar so (2l + 1; C), com forma real compacta u = so (2l + 1; R). Essas
realizações valem para l
2, isto é, para so (n) com n
5. A álgebra de Lie
so (3) é isomorfa a su (2), dada em A1 .
Cl É realizado pela álgebra simplética sp (l; C) = fA 2 M2l
onde
0l l
1
J=
:
1 0l l
2l
(C) : AJ + JAT = 0g
Essa álgebra é formada por matrizes simpléticas complexas 2l
trizes do tipo
A B
B B T = C C T = 0:
C
AT
2l, que são ma-
11.3.
225
A forma real compacta é dada pelas matrizes simpléticas anti-hermitianas, isto
é, matrizes da forma
A B
:
B A
Essa forma real é denotada por sp (l) e é isomorfa à álgebra das matrizes quaterT
niônicas l l que são anti-hermitianas, isto é, Q + Q = 0. O isomor…smo é dado
por
A
B
:
Q = A + jB 7!
B A
Dl Essa série cobre as álgebras anti-simétricas em dimensão par, so (2l; C) com forma
real compacta so (2l; R), para l
4. Em dimensões menores se tem so (6)
su (4), so (4) s0 (3) so (3) não é simples e so (2) que é abeliana.
11.3.3
Subálgebras de Cartan e elementos regulares
Como no caso das álgebras semi simples complexas as subálgebras de Cartan de uma
álgebra compacta u desempenham um papel central na sua descrição. As principais
propriedades das subálgebras de Cartan de u são resumidas nos itens seguintes:
1. t
u é subálgebra de Cartan se, e só se, t é uma subálgebra abeliana maximal.
2. O centro z (u) de u está contido em toda subálgebra de Cartan, como segue da
caracterização do item anterior.
3. Dadas duas subálgebras de Cartan t1 e t2 existe existe um automor…smo interno
g 2 Aut0 u tal que t2 = g (t1 ).
4. A álgebra u é união de suas subálgebras de Cartan. Mais precisamente, se t é
uma subálgebra de Cartan …xada então
u=
[
g (t) :
g2Aut0 u
Os termos g (t) dessa união são subálgebras de Cartan.
5. Todas as subálgebras de Cartan de u têm a mesma dimensão. Essa dimensão
comum se denomina posto de u.
6. Um elemento X 2 u é um elemento regular de u se dim ker ad (X) é minima
entre as dimensões dos centralizadores dos elementos de u. Então, t u é uma
subálgebra de Cartan se, e só se, t = ker ad (X) para algum elemento regular
X 2 t. De tal forma que o posto de u coincide com a dimensão de ker ad (X)
para todo elemento regular X 2 u.
226
Essas propriedades seguem da teoria das subálgebras de Cartan para álgebras semi
simples complexas em combinação com o truque unitário de Weyl. No entanto, elas
podem ser provadas diretamente explorando a existência do produto interno invariante,
como será feito a seguir.
O primeiro passo na demonstração das propriedades acima é mostrar que as subálgebras de Cartan são abelianas maximais.
Proposição 11.14 Sejam u uma álgebra compacta e t
Então, t é abeliana maximal.
u uma subálgebra de Cartan.
Demonstração: Tome X 2 t, arbitrário. Para veri…car que t é abeliana deve-se
mostrar que t z (X) = ker ad (X). Por ser subálgebra t é invariante por ad (X). Mas,
por de…nição t é subálgebra nilpotente, portanto a restrição ad (X)jt é uma transformação linear nilpotente. Mas, ad (X) é semi simples, assim como a restrição ad (X)jt ,
já que ad (X) é anti-simétrica em relação ao produto interno invariante. Dessa forma,
ad (X)jt é tanto semi simples quanto nilpotente. Isso implica que ad (X)jt = 0, isto é,
t ker ad (X), concluíndo a demonstração.
A maximalidade vem do fato que t é seu próprio normalizador. De fato, se t0 é
álgebra abeliana com t t0 então os elementos de t0 normalizam t e daí que t = t0 . 2
Para mostrar a recíproca da proposição anterior será utilizado o seguinte lema de
álgebra linear.
Lema 11.15 Se T : V ! V é uma transformação linear anti-simétrica em relação ao
produto interno ( ; ) então ker T 2 = ker T .
Demonstração: É claro que ker T ker T 2 . Por outro lado, tome v 2 ker T 2 . Então
(T 2 v; w) = 0 para todo w 2 V . Em particular, (T 2 v; v) = 0 e como T é anti-simética,
segue que (T v; T v) = 0. Portanto, T v = 0, mostrando que v 2 ker T .
2
Proposição 11.16 Seja u uma álgebra compacta e suponha que t
álgebra abeliana maximal. Então, t é uma subálgebra de Cartan.
u seja uma sub-
Demonstração: Como por hipótese t é abeliana, basta mostrar que ela coincide com
o seu próprio normalizador. Para isso observa-se em primeiro lugar que se X 2
= t então
existe Y 2 t tal que [X; Y ] 6= 0, pois caso contrário o subespaço gerado por t e X seria
uma subálgebra abeliana que contém t propriamente, contrariando a hipótese.
Agora, suponha por absurdo que existe X 2
= t tal que [X; t] t e tome Y 2 t com
[X; Y ] 6= 0. Então, [Y; [Y; X]] = 0 pois [Y; X] 2 t, que é abeliana. Em outras palavras,
X 2 ker ad (Y )2 . Pelo lema anterior, segue que X 2 ker ad (Y ), isto é, [Y; X] = 0, o
que contradiz as escolhas de X e Y .
2
Corolário 11.17 Seja u uma álgebra compacta. Então, para todo X 2 u existe uma
subálgebra de Cartan t u tal que X 2 t. Isto é, u é a união de suas subálgebras de
Cartan.
11.3.
227
Demonstração: De fato, basta tomar uma subálgebra abeliana maximal t contendo
X. A existência de t se prova facilmente considerando o conjunto de todas as subálgebras abelianas que contém X. Esse conjunto é não vazio (pois contém o subespaço
gerado por X) e, pela proposição, dentre essas subálgebras as que tem dimensão máxima são de Cartan.
2
As próximas proposições estabelecem relações entre as subálgebras de Cartan e os
elementos regulares.
Proposição 11.18 Seja t uma subálgebra de Cartan. Então, existe X0 2 t tal que
t = z (X0 ) = ker ad (X0 ).
Demonstração: As adjuntas ad (X), X 2 t, comutam entre si e suas complexi…cadas
em g = uC são diagonalizáveis e seus auto-valores são imaginários. Portanto, essas
adjuntas são simultaneamente diagonalizáveis. Isso signi…ca que existe um conjunto R
de funcionais lineares : t ! R e subespaços g
g tais que
g = fY 2 g : 8X 2 t; ad (X) Y = i (X) Y g
P
6= 0 formamm o conjunto das raízes da
eg=
2R g . (Os funcionais lineares
subálgebra de Cartan.) O funcional linear nulo é um dos elementos de R pois 0 é autovalor das adjuntas ad (X). Como t é abeliana o subespaço g0 contém t e portanto,
t
g0 \ u. Na verdade, vale a igualdade t = g0 \ u pois os elementos de g0 \ u
normalizam t, que é uma subálgebra de Cartan.
O fato de que R é um conjunto …nito garante que existe X0 2 t tal que (X0 ) 6= 0
para todo
2 R,
6= 0. Esse X0 satisfaz o desejado pois o núcleo de ad (X0 ) é
g0 \ u = t.
2
No …nal das contas será mostrado que o elemento X0 da proposição acima é regular
em u. Antes disso deve-se veri…car que o núcleo de ad (X) para um elemento regular é
uma subálgebra de Cartan.
Proposição 11.19 Seja X 2 u um elemento regular. Então,
z (X) = ker ad (X)
é a única subálgebra de Cartan que contém X. Além do mais se uma subálgebra de
Cartan t contém um elemento regular X então t = z (X).
Demonstração: De fato, pelo corolário 11.17 existe uma subálgebra de Cartan t
tal que X 2 t. O fato de que t é abeliana implica que t
z (X). Essa inclusão
é uma igualdade pois pela proposição anterior existe um elemento X0 2 t tal que
z (X0 ) = t
z (X). Como X é regular, dim z (X)
dim z (X0 ) = dim t, portanto
t = z (X) = ker ad (X). Dessa igualdade segue que z (X) é a única subálgebra de Cartan que contém o elemento regular X, o que conclui a demonstração.
2
228
O fecho dessa discussão sobre subálgebras de Cartan e elementos regulares será obtido a partir da próxima proposição que mostra, não apenas que um elemento qualquer
X 2 u pertence a uma subálgebra de Cartan (como no corolário 11.17), mas que X
pertence a uma conjugada de uma subálgebra de Cartan pré-…xada.
Proposição 11.20 Sejam u uma álgebra compacta e t uma subálgebra de Cartan de
u. Suponha que t contenha um elemento regular H. Então, para todo X 2 u existe
g 2 Aut0 u tal que gX 2 t.
Demonstração: Considere a função
g 2 Aut0 u 7 ! (gX; H) 2 R
onde ( ; ) denota um produto interno invariante.
Essa função é diferenciável e, como Aut0 u é compacto, ela assume um mínimo em
algum g0 2 Aut0 u. Portanto, para qualquer Y 2 u, a função f : R ! R dada por
f (t) = etad(Y ) g0 X; H
assume um mínimo em t = 0.
Como exp (tad(Y )) é uma isometria de ( ; ) tem-se
f (t) = g0 X; e
tad(Y )
H :
Derivando chega-se a
f 0 (0) = (g0 X; [Y; H]) = 0;
que é o mesmo que
([H; g0 X]; Y ) = 0;
pois ad(H) é anti-simétrica. Como Y 2 u é arbitrário, isso implica que [H; g0 X] = 0,
isto é, g0 X 2 z (H) = t, concluíndo a demonstração.
2
Combinando essa proposição com as anteriores se chega à seguinte descrição das
subálgebras de Cartan de u e suas conjugações.
Teorema 11.21 Sejam u uma álgebra de Lie compacta e t
Cartan. Então, valem as seguintes propriedades:
u uma subálgebra de
1. t = z (X0 ) = ker ad (X0 ) para um elemento regular X0 2 t.
2. Se t1 é uma subálgebra de Cartan então existe g0 2 Aut0 u tal que t1 = g0 (t).
S
3. u =
g (t).
g2Aut0 u
11.3.
229
Demonstração: Escolha um elemento regular X 2 u de tal forma que, pela proposição
11.19, z (X) = ker ad (X) é uma subálgebra de Cartan que contém X. Escolha também
X0 2 t tal que t = ker ad (X0 ) como garantido pela proposição 11.18. Pela proposição
11.20 acima existe g 2 Aut0 u tal que gX0 2 z (X). Portanto z (X) ker ad (gX0 ). No
entanto a igualdade ad (gX0 ) = gad (X0 ) g 1 implica que
g (t) = g (ker ad (X0 )) = ker ad (gX0 )
e daí que z (X)
g (t). Mas, tanto z (X) quanto g (t) são subálgebras de Cartan.
Portanto, a inclusão z (X) g (t) é de fato uma igualdade. Isso signi…ca que
dim ker ad (X0 ) = dim t = dim g (t) = dim ker ad (X) :
Como X é regular segue que X0 também é regular. Se conclui então que a subálgebra
de Cartan arbitrária t contém um elemento regular X0 tal que t = z (X0 ) = ker ad (X0 ),
o que demonstra o item (1).
Para o item (2) tome t1 = ker ad (X1 ). Novamente pela proposição 11.20 existe
g 2 Aut0 u tal que gX1 2 t. Então,
g (t1 ) = g (ker ad (X1 )) = ker ad (gX1 ) = t
o que mostra a conjugação entre as subálgebras de Cartan.
Para concluir, todo elemento de u pertence a uma subálgebra de Cartan, pelo
corolário 11.17 e essas subálgebras de Cartan são da forma g (t), g 2 Aut0 u, o que
mostra o item (3).
2
Por …m se observa que a construção de Weyl fornece uma subálgebra de Cartan
natural da forma real compacta.
Proposição 11.22 Seja u a forma real compacta dada pela construção de Weyl como
no teorema 11.13. Então, o subespaço t = ihR é uma subálgebra de Cartan de u.
Demonstração: Por de…nição uma subálgebra de Cartan deve ser nilpotente e coincidir com o seu normalizador. A primeira condição é satisfeita por t, que é abeliana
P pois
h é abeliana e t h. Para a segunda condição tome X 2 u e escreva X = H +
X ,
de acordo com a decomposição (11.4). Se nessa decomposição X 6= 0 para alguma
raiz então existe H 0 2 t tal que [H 0 ; X ] 6= 0 e, é claro, [H 0 ; X ] 2 u . Isso signi…ca
que se [X; t] t então para toda raiz , X = 0, isto é, X 2 t, mostrando que t é o
próprio normalizador.
2
Exemplo: Uma subálgebra de Cartan de su (n) é a álgebra de matrizes diagonais
com auto-valores imaginários
t = fdiagfix1 ; : : : ; ixn g : xj 2 R; x1 +
+ xn = 0g:
230
Os automor…smos internos de su (n) são dados por conjugações por elementos de
SU (n). Portanto as subálgebras de Cartan de su (n) são as subálgebras conjugadas t
por elementos de SU (n). Isso signi…ca que dada uma base ortonormal de Cn o conjunto dos elementos de su (n) que são diagonais em relação a essa base é subálgebra de
Cartan e reciprocamente, toda subálgebra de Cartan é dada dessa forma a partir de
uma base ortonormal.
A a…rmação de que X 2 su (n) pertence a uma subálgebra de Cartan se traduz
no fato conhecido em álgebra linear de que as matrizes anti-hermitianas são diagonalizáveis em bases ortonormais. As mesma a…rmações valem para a álgebra redutível
u(n) = z su (n) onde z é a álgebra das matrizes escalares com auto-valores imaginários.
2
11.4
Toros maximais
Seja U um grupo de Lie compacto e conexo com álgebra de Lie u. Um toro maximal em U é um subgrupo compacto conexo e abeliano, que é maximal (em relação
à inclusão) com essas propriedades. Os toros maximais desempenham, ao nível do
grupo de Lie compacto, um papel análogo ao das subálgebras de Cartan. Como será
mostrado ao longo desta seção a analogia é completa uma vez que todo elemento de U
pertence a algum toro maximal, isto é, U é união de seus toros maximais, que são dois
a dois conjungados entre si. Além do mais, os toros maximais estão em bijeção com as
subálgebras de Cartan como mostra o seguinte resultado.
Proposição 11.23 Se T
U é um toro maximal então sua álgebra de Lie t é uma
subálgebra de Cartan. Reciprocamente, se t
u é uma subálgebra de Cartan então
exp t = hexp ti é um toro maximal.
Demonstração: Pela proposição 11.14 deve-se veri…car que t é abeliana maximal.
Para isso, seja s
t uma subálgebra abeliana. Então hexp si é um grupo abeliano
T segue que
conexo assim como o seu fecho T = hexp si, que é um toro. Como T
T = T e daí que s = t.
Por outro lado, se t u é uma subálgebra de Cartan então t é abeliana e daí que
hexp ti é conexo e abeliano assim como o seu fecho hexp ti. A álgebra de Lie s de hexp ti
é abeliana e contém t. Pela proposição 11.14, s = t o que implica que hexp ti = hexp ti,
isto é, hexp ti é um toro, que é maximal da mesma forma que álgebra de Lie t é maximal. Por …m, exp t = hexp ti pois t é abeliana.
2
Uma consequência dessa proposição é que se z (u) é o centro de u então o subgrupo
hexp z (u)i = exp z (u) está contido em todo toro maximal, já que z está contido em
toda subálgebra de Cartan. Esse grupo é de fato um toro.
Proposição 11.24 Seja z (u) o centro de u. Então, hexp z (u)i = exp z (u) é compacto
e conexo e, portanto um toro.
11.4. Toros maximais
231
Demonstração: Em primeiro lugar hexp z (u)i = exp z (u) pois z (u) é uma álgebra
de Lie abeliana. Tome o fecho Z = exp z (u), que é um subgrupo abeliano, conexo e
compacto e que além do mais está contido no centro de U . Portanto, a álgebra de Lie
z de Z está contida no centro z (u) de u. Daí que z = z (u) de onde se conclui que
exp z (u) = Z é compacto, concluíndo a demonstração.
2
Se T = exp t é um toro maximal e u 2 U então uT u 1 também é um toro maximal. A proposição 11.23 juntamente com o teorema 11.21 mostram que qualquer toro
maximal é obtido dessa forma por conjugação.
Proposição 11.25 Sejam T = exp t e T1 = exp t1 toros maximais. Então, existe
u 2 U tal que T1 = uT u 1 .
Demonstração: Pelo teorema 11.21, existe g 2 Aut0 u tal que t1 = g (t). Mas a
representação adjunta Ad : U ! Aut0 u é sobrejetora. Portanto, existe u 2 U tal que
Ad (u) = g e daí que t1 = Ad (u) t, o que garante que T1 = uT u 1 .
2
Segue daí que a imagem da exponencial exp u coincide com a união dos toros maximais de U , já que todo elemento de u pertence a uma subálgebra de Cartan. Portanto,
exp u é um subconjunto compacto de U . Isso porque se T
U é um toro maximal
então a aplicação U T ! U , (u; t) 7! utu 1 é contínua e de…nida no compacto U T .
Sua imagem, que é compacta, é a união dos toros de U , que coincide com exp u.
O objetivo agora é demonstrar que a exponencial é sobrejetora, ou o que é a mesma
coisa, que U é a união de seus toros maximais.
Para isso será su…ciente considerar o caso em que u é semi simples. Isso porque
se u = z (u) k com k semi simples então, pela proposição 11.24 acima, o grupo Z =
hexp z (u)i = exp z (u) é fechado. O quociente U=Z é compacto e semi simples uma vez
que sua álgebra de Lie u=z (u) é isomorfa a k. Uma vez demonstrada a sobrejetividade
da exponencial em U=Z se obtém a sobrejetividade em U . De fato seja : U ! U=Z
o homomor…smo canônico e tome g 2 U . Então, existe X 2 k tal que
eX = (g)
X
Y
o que signi…ca que g = e z com z = e 2 exp z (u). Como [X; Y ] = 0, segue que g =
eX eY = eX+Y , de onde se conlui a sobrejetividade da exponencial no grupo redutível
U a partir da sobrejetividade no grupo semi simples U=Z.
O seguinte lema será usado na demonstração do caso semi simples.
Lema 11.26 Dado u 2 U seja Z (u) o seu centralizador, cuja álgebra de Lie
z (u) = fX 2 u : Ad (u) X = Xg
é o auto-espaço de Ad (u) associado ao auto-valor 1. Seja e o complementar ortogonal
de z (u) em u (em relação ao produto interno invariante). Então, Ad (u) e = e e a
restrição (Ad (u) id)je é inversível.
Demonstração: A invariância de e segue do fato que Ad (u) é isometria e Ad (u) z (u) =
z (u). Como z (u) é o auto-espaço associado ao auto-valor 1 de Ad (u) então 1 não é
auto-valor de sua restrição a e.
2
232
Teorema 11.27 Seja U um grupo compacto e tome um toro maximal T = exp t
Então,
[
U=
gT g 1 ;
U.
g2U
isto é, todo elemento de U é conjugado a um elemento de T .
Demonstração: Como mencionado acima não se perde generalidade em assumir que
U é semi simples. A demonstração é por indução sobre a dimensão de U . A única
álgebra de Lie semi simples compacta com dimensão minima é su (2) com dim su (2) =
3. A aplicação exponencial é sobrejetora para todo grupo de Lie com álgebra de Lie
su (2) pois isso ocorre em SU (2), que é simplesmente conexo. Com isso, o procedimento
de indução tem inicio a partir da dimensão 3.
A hipótese de indução diz que qualquer subgrupo própio K U é a união de seus
toros maximais, mesmo que K não seja semi simples, pelos comentários acima.
Para A U e K U escreva
[
AK =
gAg 1
g2K
U
e A = AnZ (U ) onde Z (U ) é o centro de U . Então, AU = (A ) pois os elementos
de Z (U ) são …xados por conjugações.
O conjunto U é aberto, conexo e denso em U pois dim U
3 e Z (U ) é …nito.
Além do mais,
U
Como T U é compacto e U é denso é su…ciente provar que U = T U = (T )
U
T U . Isso será provado mostrando que (T ) é aberto e fechado no conjunto conexo
U x.
U
U
O conjunto (T ) é fechado em U pois (T ) = T U \ U e T U é compacto. Para
U
veri…car que ele é aberto basta mostrar que todo u 2 T pertence ao interior de (T )
U
U
U
pois então qualquer gug 1 2 (T ) está contido no interior de g (T ) g 1 = (T ) .
Tome então u 2 T e seja Z (u) o seu centralizador, que é um subgrupo compacto
próprio pois u 2
= Z (U ). A componente conexa da identidade K = Z (u)0 contém T ,
que um toro maximal de K. Em particular u 2 K.
A hipótese de indução pode ser aplicada a K para concluir que K = T K e, portanto,
K TU.
Considere agora a aplicação
: U K ! U dada por (g; k) = gkg 1 . Sua
diferencial em (1; u) é dada por
d
(1;u)
(X; Y ) = (X + Y
Ad (u) X) (u)
onde X e Y são campos invariantes à direita, X 2 u e Y 2 k a álgebra de Lie de K.
Essa diferencial é sobrejetora. De fato, tomando X = 0, os vetores d (1;u) (0; Y ) =
Y (u), Y 2 k, cobrem o espaço tangente Tu K. Por outro lado, tomando Y = 0, se obtém
d (1;u) (X; 0) = ((id Ad (u)) X) (u), que pelo lema anterior cobrem o complementar
de Tu K em Tu U , mostrando a sobrejetividade de d (1;u) .
11.4. Toros maximais
233
Portanto, existem abertos A U , B K com (1; u) 2 A B tal que u = (1; u)
está no interior de (A B). Como u 2
= Z (U ), pode-se tomar A U de tal forma
U
U
U
que (A B) (K )
(T ) . Portanto, u está no interior de (T ) , concluíndo
a demonstração do teorema.
2
O resultado do seguinte corolário foi amplamente discutido acima.
Corolário 11.28 Seja U um grupo compacto com álgebra de Lie u. Então, exp : u !
G é sobrejetora.
Corolário 11.29 O centro Z (U ) de U está contido em todo toro maximal de U .
Demonstração:
z 2 T . Como gzg
1
Dado z 2 Z (U ) existe, pelo teorema, um toro maximal T com
= z, g 2 U , se conclui que z 2 gT g 1 .
2
Exemplo: Um toro maximal de SU (n) é o subgrupo das diagonais
T = fdiagfz1 ; : : : ; zn g : jzj j = 1; z1
zn = 1g:
Por conjugação os toros maximais de SU (n) são os subgrupos de matrizes diagonais em
relação às diferentes base ortonormais de Cn . A a…rmação de que g 2 SU (n) pertence
a um toro maximal se traduz no fato conhecido em álgebra linear de que as matrizes
unitárias são diagonalizáveis em bases ortonormais. O centro de SU (n) é formado pelas
matrizes escalares z id tais que z n = 1 e, portanto, é isomorfo a Zn .
No grupo redutível U (n) os toros maximais são subgrupos de matrizes diagonais
sem a restrição do determinante 1.
2
Para concluir essa seção será demonstrado que os toros maximais são maximais
também como grupos abelianos.
Teorema 11.30 Sejam u uma álgebra de Lie semi simples compacta, t uma subálgebra
de Cartan de u e g 2 Autu tal que g (H) = H para todo H 2 t. Então, existe Hg 2 t
tal que g = ead(Hg ) .
Demonstração: Seja h = tC a subálgebra de Cartan da complexi…cada g = uC de u.
O automor…smo g se estende a um automor…smo de g, também denotado por g, que
…xa todos os elementos de h.
Seja o conjunto das raízes de h, de tal forma que
X
g=h
g :
2
Se H 2 h então g (H) = H e, portanto gad (H) g 1 = ad (gH) = ad (H), de onde se
conclui que g (g ) = g . Portanto, para cada 2 existe z 2 C tal que g (X ) =
234
z X , onde X é um gerador de g (que é um subespaço de dimensão um). Os autovalores z satisfazem jz j = 1 pois g 2 Autu, que é um grupo compacto.
Escreva z = ei com
2 R. Então, + =
+ (mod 2 ) para todo par de
raízes e tais que + 2 . De fato, g[X ; X ] = ei + [X ; X ] pois [X ; X ] 2
g + . Mas,
g[X ; X ] = [gX ; gX ] = [ei X ; ei X ] = ei(
+
) [X ; X ];
o que mostra que ei + = ei( + ) , isto é, + = + (mod 2 ).
Seja agora = f 1 ; : : : ; l g
um sistema simples de raízes. Então, uma raiz
2 se escreve como
= n1
com nj 2 Z. Da igualdade
+
=
= n1
1
1
+
+ nl
l
+
(mod 2 ) segue que
+
+ nl
l
(mod 2 ) :
(11.6)
Por …m, de…na Hg 2 t tal que j (Hg ) = i j , para as raízes simples j 2 . A
existência de Hg vem do fato que é uma base e as raízes assumem valores imaginários
em t. Para uma raiz = n1 1 +
+ nl l vale
(Hg ) = i (n1
1
+
+ nl
l
)=i
(mod 2 ) :
Portanto, se X 2 g então
ead(Hg ) X = e
(Hg )
X = ei X = g (X )
o que mostra que g = ead(Hg ) , concluíndo a demonstração.
2
Segue desse teorema que os toros maximais são também maximais como grupos
abelianos não necessariamente conexos.
Corolário 11.31 Sejam U um grupo compacto, T
subgrupo abeliano tal que T S. Então, T = S.
U um toro maximal e S
U um
Demonstração: Escreva u = z (u) k com k semi simples, de tal forma que a álgebra
de Lie de T é z (u) t com t uma subálgebra de Cartan de k. Se k 2 S então Ad (k) é
um automor…smo de u que se restringe a um automor…smo de k tal que Ad (k) X = X
para todo X 2 t. Pelo teorema Ad (k) = ead(H) para algum H 2 t. Portanto, k = eH z
para algum z 2 Z (U ). Como ambos eH e z pertencem a T , se conclui que k 2 T , isto
é, S T .
2
11.5. Centro e raízes
11.5
235
Centro e raízes
Nesta seção u é uma álgebra de Lie semi simples compacta. Sejam U é um grupo de Lie
compacto com álgebra de Lie u e T = exp t é um toro maximal de U . Como ocorre com
grupos abelianos em geral, a aplicação exponencial exp : t ! T é um homomor…smo
cujo núcleo RU é um reticulado do grupo aditivo de t, isto é, um subgrupo discreto
isomorfo a Zdim t .
Conforme U varia entre os grupos localmente isomorfos com álgebra de Lie u, a
subálgebra de Cartan t permanece inalterada, mudando no entanto o reticulado RU .
Uma análise desse reticulado a partir das propriedades algébricas de u e t (basicamente
as raízes da subálgebra de Cartan complexi…cada h = tC ) leva a uma descrição do centro
Z (U ) de U , uma vez que o centro está contido no toro maximal T . Essa descrição
eventualmente fornece uma outra demonstração do teorema de Weyl da compacidade
do grupo simplesmente conexo com álgebra de Lie u.
Se assume aqui, sem perda de generalidade, que u é a forma real compacta da
álgebra semi simples complexa g, obtida pela construção de Weyl, resumida no teorema
11.13. As notações são as mesmas da seção 11.3. Em particular t = ihR onde h é uma
subálgebra de Cartan de g. As raízes de h são denotadas por .
No caso do grupo adjunto Aut0 u o reticulado RAut0 u é descrito facilmente pelas
raízes em .
Proposição 11.32 Seja U = Aut0 u o grupo adjunto. Então, para H 2 hR , exp iH = 1
se, e só se, (H) 2 2 Z para toda raiz 2 , isto é, o reticulado em t dado pelo núcleo
de exp : t ! U é
R0 = fiH 2 ihR : 8 2 ; (H) 2 2 Zg:
(11.7)
Demonstração: Os auto-valores de ad (iH), H 2 hR são 0 e i (H) com 2 .
Portanto, os auto-valores de ead(iH) são 1 e ei (H) , 2 . Daí que ead(iH) = 1 se, e só
se, (H) 2 2 Z para toda raiz 2 .
2
O reticulado R0 para o grupo adjunto dado em (11.7) é o maior de todos os reticulados em t de…nido a partir dos grupos compactos U com álgebra de Lie u. De fato,
vale a
Proposição 11.33 Para o grupo U compacto com álgebra de Lie u seja
RU = fiH 2 ihR : expU iH = 1g
o reticulado correspondente. Então, RU
R0 e o centro Z (U ) é isomorfo a R0 =RU .
iH
O isomor…smo associa iH 2 R0 a e 2 Z (U ).
Demonstração: Se iH 2 RU então Ad eiH = ead(iH) = 1 e portanto iH 2 R0 , isto
é, RU R0 . Dados iH1 ; iH2 2 R0 , eiH1 = eiH2 se, e só se, iH1 iH2 2 RU , portanto a
aplicação iH ! eiH passa ao quociente e de…ne um homomor…smo injetor em R0 =RU
que assume valores em Z (U ), já que Ad eiH = 1 se iH 2 R0 . Esse homomor…smo é
236
sobrejetor. De fato, se z 2 Z (U ) então existe iH 2 t tal que z = eiH pois o centro está
contido em todo toro maximal. Como Ad (z) = 1, segue que iH 2 R0 .
2
Em outras palavras, R0 é um limitante superior (em relação à inclusão) para os
reticulados RU t de…nidos pelos grupos localmente isomorfos com álgebra de Lie u.
É possível obter também um limitante inferior para os reticulados RU , baseado
na geometria do conjunto das raízes e, em última instância, no fato de que SU (2)
é simplesmente conexo. Para isso deve-se introduzir os seguintes conceitos e fatos
relacionados às raízes de uma álgebra semi simples complexa.
Seja Kg ( ; ) a forma de Cartan-Killing de g = uC . Sua restrição à subálgebra de
Cartan h é não degenerada e é um produto interno em hR , denotado por h ; i. Esse
subespaço real é gerado por H , 2 , onde H é de…nido por ( ) = Kg (H ; ). Para
2 de…na a “co-raiz”
2
H
H_ =
hH ; H i
e denote por g ( ) o subespaço gerado por H , g e g (lembrando que se 2 então
2 ). O subespaço g ( ) é uma subálgebra complexa de g isomorfa a sl (2; C). Para
obter um isomor…smo se escolhe X 2 g e Y 2 g tais que Kg (X ; Y ) = 1. Então,
fX ; H _ ; Y g é base de g ( ) e o isomor…smo é dado por
X
!
0 1
0 0
H_
!H=
1
0
0
1
Y
!
0 0
1 0
:
(A escolha de H _ vem do fato de que esse é o único multiplo de H tal que (H _ ) = 2,
já que 2 são os auto-valores de ad (H) em sl (2; C).)7
O subgrupo aditivo gerado por 2 iH _ ,
2 , é um reticulado. De fato, pela
fórmula de Killing para todo par de raízes ; 2 , o número de Killing (H _ ) 2 Z.
Portanto 2 iH _ 2 R0 para toda raiz 2 . Por outro lado, o conjunto das raízes
gera o dual h de h, daí que 2 iH _ , 2 , gera t = ihR e daí que 2 iH _ , 2 , gera
um reticulado de t. Esse reticulado é denotado por Rmin . Ele está contido em RU para
todo U compacto, como será veri…cado a seguir.
Proposição 11.34 Seja U grupo de Lie compacto com álgebra de Lie u. Então, para
toda raiz 2
vale expU iH _ = 1. Portanto, o reticulado Rmin gerado por 2 iH _ ,
2 , está contido em RU .
Demonstração: O isomor…smo entre g ( ) e sl (2; C) se restringe a um homomor…smo
: su (2) ! u cuja imagem é gerada por iH _ , X
Y e i (X + Y ) e satisfaz
iH _ = (iH) =
i
0
0
i
:
Pelo fato de que SU (2) é simplesmente conexo se estende a um homomor…smo
SU (2) ! U . Então,
_
e2 iH = e2 iH = 1;
7
:
237
o que mostra que 2 iH _ 2 RU para toda raiz
2
.
2
Em suma para qualquer grupo compacto U com álgebra de Lie u o reticulado RU
está limitado inferiormente e superiormente por
Rmin
RU
R0 :
(11.8)
Como Z (U ) = R0 =RU , sua ordem está limitada pela ordem de R0 =Rmin , que é …nita,
como mostra o seguinte fato sobre reticulados em Rn .
Lema 11.35 Sejam R1 R2 reticulados de Rn . Então o índice de R1 em R2 é …nito.
Mais precisamente, suponha que R1 é gerado sobre Z pela base fv1 ; : : : ; vn g e R2 é
gerado pela base fw1 ; : : : ; wn g. Seja g a transformação linear tal que gwj = vj . Então,
jR2 =R1 j = det g.
Demonstração: Se R
Rn é um reticulado gerado pela base ff1 ; : : : ; fn g então
o quociente Rn =R é um toro. A medida de Lebesgue em Rn induz uma medida de
Haar não normalizada nesse toro cujo volume é o volume do paralelepipedo gerado por
ff1 ; : : : ; fn g.
A projeção canônica Rn =R2 ! Rn =R1 é um recobrimento de m = jR2 =R1 j folhas.
Portanto, o volume de Rn =R2 , em relação à medida de Lebesgue é m vezes o volume
de Rn =R1 .
Agora, se g é como no enunciado então o volume do paralepipedo gerado por
fv1 ; : : : ; vn g é igual a det g vezes o volume do paralepipedo gerado por fw1 ; : : : ; wn g.
Portanto o volume de Rn =R1 é igual det g vezes o volume de Rn =R2 , o que mostra que
jR2 =R1 j = det g.
2
As informações coletadas até o momento sobre os reticulados RU já permite dar
uma outra demonstração do teorema de Weyl.
Teorema 11.36 Se u é semi simples compacta então o grupo fundamental de Aut0 u
é …nito.
e = com U
e simplesmente conexo. Pelo lema 11.8
Demonstração: Escreva Aut0 u = U
o grupo fundamental é …nitamente gerado e portanto é isomorfo a Zk Zm1
Zmn .
Suponha por absurdo que não é …nito, isto é, k 1. Então, para todo inteiro N > 0
existe um subgrupo L
tal que =L é …nito e tem ordem j =Lj > N . Tomando
e =L é isomorfo a =L, que
N > jR0 =Rmin j se chega a um absurdo. De fato, o centro de U
e =L é compacto. Pelas inclusões (11.8) deve-se ter j =Lj jR0 =Rmin j,
é …nito e daí que U
contradizendo a escolha de L.
2
e permite escrever as inclusões (11.8)
A compacidade do recobrimento universal U
Rmin
RUe
R0
238
e ) tem ordem
o que garante que o grupo fundamental de Aut0 u (isto é, o centro de U
no máximo R0 =Rmin . Na verdade será mostrado a seguir que RUe = Rmin de onde se
conclui que o grupo fundamental de Aut0 u é isomorfo a R0 =Rmin e, portanto pode ser
determinado algebricamente.
A demonstração da igualdade RUe = Rmin é feita via representações de g = uC . O
que acontece é que dado iH 2 R0 n Rmin existe uma representação …el de dimensão
…nita : g ! gl (V ) tal que ei (H) 6= 1. Portanto, iH 2
= RU se U = hexp (u)i, que é
um grupo com álgebra de Lie (isomorfa a) u. Se conclui então que iH 2
= RUe , já que
para todo grupo U com álgebra de Lie u vale RUe
RU , como segue da de…nição do
reticulado RU .
Os resultados e notações sobre representações necessarios para mostrar a a…rmação
acima são listados a seguir8 .
1. A restrição h ; i a h da forma de Cartan-Killing Kg ( ; ) de g de…ne a forma não
degenerada em h por
h ; i=
onde
2. Se
(H ) = hH ; H i
(H ) =
( ) = hH ; i.
é o conjunto das raízes de h então um sistema simples de raízes
=f
1; : : : ;
é uma base de h tal que para toda
inteiros todos de mesmo sinal.
3. Dada uma raiz
2
2
lg
,
= n1
1
+
+ nl
l
com ni
0
de…ne-se co-raiz
_
=
2
:
h ; i
(Sabe-se que h ; i > 0.) O conjunto _ = f _ : 2 g é um sistema de raízes
tal que _ = f _ : 2 g é um sistema simples de raízes para _ .
4. A matriz de Cartan de
, ou melhor de
C( )=
Da mesma forma se de…ne C (
C ( )T .
_
8
2h i ; j i
h i; ii
:
i;j
) e um cálculo simples mostra que C (
5. O conjunto dos pesos fundamentais
de…nido pelas relações
h! j ;
, é de…nida por
_
i i
= f! 1 ; : : : ; ! l g é a base dual de
=
2h! j ; i i
=
h i; ii
Veja os capítulos 6, 9 e 11 de Álgebras de Lie [49].
ij :
_
_
) =
, que é
(11.9)
239
Com essas notações o reticulado Rmin é gerado (sobre Z) por H , 2 _ . De
fato, por de…nição Rmin é gerado por H _ = H _ , 2 , isto é, Rmin é gerado por H ,
2 _ . Mas, os elementos de _ são combinações lineares com coe…cientes inteiros de
_
. Daí que _ é um conjunto gerador de Rmin . Daí se tira a seguinte caracterização
de Rmin .
o conjunto dos pesos fundamentais. Então,
Rmin = fiH 2 ihR : 8! 2 ; ! (H) 2 2 Zg:
em (11.9) sua base dual em h é H ,
Demonstração: Pela de…nição de
Portanto, H 2 h se escreve
H = ! 1 (H) H
_
1
+
+ ! l (H) H
2
_
.
_
l
de onde se vê que H está no reticulado Rmin gerado por fH _1 ; : : : ; H _l g se, e só se
! i (H) 2 Z, i = 1; : : : ; l.
2
O resultado sobre representações de álgebras semi simples que será usado aqui está
enunciado a seguir 9 .
Proposição 11.38 Seja ! = n1 ! 1 +
+ nl ! l uma combinação linear de
com
coe…cientes inteiros 0. Então, existe uma representação irredutível (…el) de dimensão
…nita : g ! gl (V ) tal que para todo H 2 h, ! (H) é auto-valor de (H).
e e portanto o grupo fundamental de
Agora é possivel descrever o reticulado para U
Aut0 u.
e o seu grupo simTeorema 11.39 Seja u álgebra de Lie semi simples compacta e U
plesmente conexo. Então,
RUe = Rmin = 2 iZ _
= fiH 2 ihR : 8! 2 ; ! (H) 2 2 Zg:
Portanto, o grupo fundamental
1
(Aut0 u)
R0 =Rmin .
Demonstração: Para todo grupo U com álgebra de Lie U se tem
Rmin
RUe
RU
R0 :
Deve-se mostrar que dado iH 2 R0 n Rmin existe um grupo U tal que iH 2
= RU . Pela
proposição 11.37 se iH 2 R0 n Rmin então existe um peso fundamental ! 2 tal que
! (H) não é um múltiplo inteiro de 2 . Seja : g ! gl (V ) a representação dada pela
proposição 11.38 tal que ! (H) é auto-valor de (H). O grupo U = hexp (u)i tem
álgebra de Lie (u) isomorfa a u e contém ei (H) . O fato de que ! (H) é auto-valor de
9
Veja o teorema de representação com peso máximo no capítulo 11 de Álgebras de Lie [49].
240
(H) implica que ei!(H) 6= 1 é auto-valor de ei
que iH 2
= RU o que conclui a demonstração.
(H)
, que é portanto diferente de 1. Daí
2
A ordem R0 n Rmin pode ser calculada a partir do lema 11.35, uma vez que se
obtenha um conjunto gerador de R0 .
Proposição 11.40 Denote por _ o conjunto dos pesos fundamentais para os sistema
de raízes _ . Então, o reticulado
R0 = fiH : 8 2
é gerado por 2 iH com
2
_
;
(H) 2 2 Zg
.
Demonstração: Seja B = fH1 ; : : : ; Hl g a base dual de = f
H 2 h se escreve
H = 1 (H) H1 +
+ l (H) Hl
1; : : : ;
lg
. Todo
de onde se vê que R0 é gerado por 2 iB. Deve-se veri…car então que B = fH : 2
_
g. Para isso se observa que ( _ )_ = e portanto, ( _ )_ =
e ( _ )_ = . Da
de…nição dos pesos fundamentais segue então que _ = f 1 ; : : : ; l g é dado pelas relações h j ; k i = jk , isto é, Hj = H j , concluíndo a demonstração.
2
Como consequência dessa proposição e do lema 11.35, o índice de Rmin em R0 é o
determinante da transformação linear g que leva os geradores 2 iH , 2 _ , de R0 nos
geradores 2 iH , 2 _ de Rmin . A matriz dessa transformação linear é precisamente
a matriz de Cartan C ( _ ) = C ( )T .
De fato, escrevendo _ = f 1 ; : : : ; l g e _ = f 1 ; : : : ; l g cada j é obtido pelas
relações
2h i ; j i
= ij
i = 1; : : : ; l:
h i; ii
Tomando coordenadas em relação a
denadas de j o sistema linear
C(
_
se obtém para a matriz coluna
_
)
j
j
das coor-
= cj
onde cj é a matriz coluna com entrada 1 na posição j e 0 nas demais. Portanto, as
coordendas de f 1 ; : : : ; l g em relação a _ são as colunas da matriz C ( _ ) 1 . Segue
daí que se g é a transformação linear de…nida por g j = j então sua matriz na base
_
é C ( _ ) = C ( )T . Em suma chega-se à ordem do grupo fundamental de Aut0 u.
Proposição 11.41 Se u é uma álgebra semi simples compacta seja C ( ) a matriz
de Cartan de sua complexi…cada. Então, a ordem do grupo fundamental 1 (Aut0 u) é
det C ( ).
241
O determinante det C ( ) é conhecido como índice de conectividade da álgebra
semi simples. Ele é calculado diretamente a partir de seu diagrama de Dynkin e pelo
que foi visto coincide com a ordem do grupo fundamental de Aut0 u. A tabela abaixo
apresenta esse índice para os diagramas da classi…cação, que correspondem às álgebras
simples. Essa tabela é facilmente obtida a partir das matrizes de Cartan associadas
aos diagrama de Dynkin10
Al Bl Cl Dl E6 E7 E8 G2 F4
det C ( ) l + 1 2 2 4 3 2 1 1 1
Desta tabela saem as seguintes observações:
1. O índice de conectividade de Al , que corresponde a su (n), n = l + 1, é n que
re‡ete o fato de que SU (n) é simplesmente conexo e seu centro Z (SU (n)) tem
ordem n, pois Z (SU (n))
Zn . Aliás, as duas informações, det C ( ) = n e
Z (SU (n))
Zn , que são obtidas algebricamente, mostram de forma indireta
que SU (n) é simplesmente conexo.
2. A classe Bl , l 2, corresponde às álgebras so (n) com n = 2l + 1. Para n ímpar,
n
5, o grupo SO (n) tem centro trivial. Portanto, o índice de conectividade
de Bl , l 2, mostra que SO (n), n = 2l + 1, é o grupo adjunto de so (n). Já o
recobrimento universal é um recobrimento duplo de SO (n). Esse recobrimento é
denotado por Spin (n).
3. As álgebras de Lie compactas associadas a Cl , l
3, são dadas por sp (l), que
é dada pelas matrizes anti-Hermitianas quaternionicas. Um grupo de Lie com
álgebra de Lie sp (l) é o grupo Sp (l) das matrizes quaternionicas unitárias. Esse
grupo é simplesmente conexo (veja o exercício 17 do capítulo 7). O centro de
Sp (l) é Z2 (dado por f 1g o que con…rma que o índice de conectividade de Cl é
2, como apresentado na tabel.
4. A classe Dl , l
4, corresponde às álgebras so (n) com n = 2l. Para n par,
n 8, o grupo SO (n) tem centro f 1g. Portanto, o índice de conectividade de
Dl , l 4, mostra que 1 (SO (n)), n = 2l, tem ordem 2, isto é, 1 (SO (n)) = Z2
(compare com o exercício 18 do capítulo 7). Como no caso ímpar o recobrimento
universal de SO (n) é um recobrimento duplo, que é denotado por Spin (n).
Já o grupo fundamental do grupo adjunto Aut0 (so (2l)) tem ordem 4. Ele é Z4
se l é ímpar e Z2 Z2 se l é par (o exercício 11 ao …nal do capítulo indica uma
demonstração desse fato).
5. Os índices de conectividade das álgebras excepcionais mostram que nos casos E8 ,
G2 e F4 o grupo adjunto é o único grupo de Lie compacto com as respectivas
álgebras de Lie. Nos outros casos existem o grupo adjunto e o recobrimento
universal, que é um recobrimento triplo para E6 e um recobrimento duplo para
E7 .
10
Veja Álgebras de Lie [49], capítulos 6, 7 e 11.
242
11.6
Geometria Riemanniana
O objetivo desta seção é indicar, sem detalhes, demonstrações da sobrejetividade da
exponencial e do teorema de Weyl a partir de teoremas gerais de geometria Riemanniana. Os conceitos e notações usuais em geometria Riemanniana serão usados sem
maiores explicações11 .
Seja U um grupo de Lie compacto com álgebra de Lie u. Um produto interno ( ; )
em u invariante invariante por Ad (u), u 2 U , de…ne uma métrica Riemanniana em U
(também denotada por ( ; )) por translações à esquerda (v; w)u = (dEu 1 (v) ; dEu 1 (w)),
v; w 2 Tu U . Por de…nição essa métrica é invariante à esquerda (as translações à esquerda são isometrias). Como o produto interno ( ; ) é invariante por Ad (u), u 2 U ,
se conclui que a métrica Riemanniana é também invariante por translações à direita,
isto é, ela é bi-invariante12 .
A conexão de Levi-Civita r de ( ; ) também é bi-invariante, isto é, Eu rX Y =
rEu X Eu Y e Du rX Y = rDu X Du Y para u 2 U e X; Y campos de vetores. A
conexão é calculada pela fórmula
2 (rX Y; Z) = X (Y; Z) + Y (X; Z) Z (X; Y )
([X; Z] ; Y ) ([Y; Z] ; X) + ([X; Y ] ; Z)
onde X; Y e Z são campos de vetores. Tomando campos invariantes (à esquerda ou
à direita) os três primeiros termos se anulam pois (X; Y ) é constante se X e Y são
campos invariantes. Pela invariância do produto interno, no elemento neutro os três
últimos termos se reduzem a
([X; Z] ; Y )
([Y; Z] ; X) + ([X; Y ] ; Z) = ([X; Y ] ; Z) :
Daí que se X e Y são campos invariantes então
rX Y =
1
[X; Y ] :
2
(11.10)
A curvatura por sua vez é dada por
R (X; Y ) Z = rX rY Z rY rX Z r[X;Y ] Z
1
1
1
=
[X; [Y; Z]]
[Y; [X; Z]]
[[X; Y ] ; Z]
4
4
2
se X; Y e Z são campos invariantes. Aplicando a identidade de Jacobi se obtém
R (X; Y ) Z =
1
[[X; Y ] ; Z] :
4
(11.11)
As geodésicas de ( ; ) são obtidas facilmente a partir da fórmula (11.10). De fato,
se X é campo invariante então rX X = 0. Portanto, as trajetórias de X são geodésicas.
11
12
Veja por exemplo Carmo [6].
Veja o capítulo 14 para mais detalhes sobre a construção da métrica bi-invariante.
11.7. Exercícios
243
Isto signi…ca que para todo X 2 g as curvas etX u e uetX são geodésicas que partem
de u 2 U . (Observe que uetX = etAd(u)X u dessa forma os conjuntos de curvas etX u e
uetY , com X e Y percorrendo u, coincidem.) Em particular, as geodésicas que partem
do elemento neutro 1 são os grupos a 1-parâmetro etX . Isso signi…ca que a aplicação
exponencial, baseada em 1 2 U , de…nida pela métrica Riemanniana, coincide com a
aplicação exponencial de U .
Dessa igualdade entre as aplicações exponenciais se obtém a sobrejetividade da
exponencial exp : u ! U . Isso porque a métrica Riemanniana ( ; ) é geodésicamente
completa no sentido em que suas geodésicas estão de…nidas para todo t 2 R, como
aliás ocorre em qualquer variedade Riemanniana compacta. Porém, o teorema de
Hopf-Rinow13 garante que numa variedade Riemanniana geodésicamente completa dois
pontos quaisquer são ligados por uma geodésica.
O teorema de Weyl do grupo fundamental …nito (para grupos compactos semi
simples) segue do teorema de Bonnet-Myers14 . Esse teorema garante que se a curvatura
de Ricci
Ric (v) = tr (w 7! R (w; v) v)
de uma variedade Riemanniana M satisfaz Ric (v) > c > 0 para todo vetor tangente v
com kvk = 1 então o recobrimento universal de M é compacto. Para um grupo semi
simples compacto essa condição é satisfeita por uma métrica bi-invariante. De fato,
pela fórmula da curvatura (11.11) segue que a curvatura de Ricci é dada para X 2 u
com kXk = 1 por
1X
([[Yi ; X] ; X] ; Yi )
4 i=1
n
Ric (X) =
1X
ad (X)2 Yi ; Yi
4 i=1
n
=
onde Yi é uma base ortonormal de u. Isto é, Ric (X) = 14 tr ad (X)2 . Como a forma
de Cartan-Killing de u é negativa de…nida, tr ad (X)2 < 0 se X 6= 0 o que mostra
que Ric (X) > 0 e assume um mínimo c > 0 quando kXk = 1.
Portanto, se u é semi simples então U admite uma métrica Riemanniana que satisfaz
as condições do teorema de Bonnet-Myers, o que mostra que seu recobrimento universal
é compacto.
11.7
Exercícios
1. Mostre que a álgebra de Lie su (n) é semi simples a partir o fato de que SU (n) é
compacto e simplesmente conexo.
2. Use a descrição das álgebras de Lie compactas para mostrar que as esferas S 2 e
S 4 não admitem estrutura de grupos de Lie.
13
14
Veja teorema VII.2.8 em Carmo [6].
Veja teorema IX.3.1 em Carmo [6].
244
3. Seja S 3 a esfera tri-dimensional e suponha que a aplicação diferenciável p : S 3
S 3 ! S 3 satisfaça os axiomas de grupo. Mostre que p é o produto em SU (2), ou
o que é a mesma coisa o produto na esfera unitária dos quatérnions.
4. Seja K um grupo de Lie compacto. Mostre que o conjunto dos elementos x 2 K
de ordem …nita é denso em K.
5. Seja u uma álgebra de Lie compacta e U um grupo de Lie conexo com álgebra
de Lie u. Mostre que U é o produto direto de um grupo compacto conexo por
um grupo abeliano simplesmente conexo. (Escreva exp t como um cilindro, onde
t é uma subálgebra de Cartan.)
6. Seja um automor…smo de uma álgebra semi simples g. Mostre que : Aut0 (g) !
Aut0 (g) dada por (g) = g 1 é um automor…smo do grupo adjunto Aut0 (g)
que estende .
7. Sejam U um grupo compacto com álgebra de Lie u e
U um subgrupo discreto
(e portanto …nito). Tome uma forma volume bi-invariante em U cuja medida
de Haar
é normalizada por
(U ) = 1. Essa forma volume de…ne uma nforma em u invariante pela adjunta, que por sua vez de…ne uma forma volume
a medida de Haar em U= de…nida por
invariante em U= . Denote por
. Mostre que
(U= ) = 1=j j. Use isso para justi…car os argumentos da
demonstração do lema 11.35.
8. Seja U um grupo compacto com álgebra de Lie u. Tome uma subálgebra de
Cartan t u e descreva o conjunto dos elementos X 2 t que são singularidades
da aplicação exponencial.
9. Sejam G um grupo de Lie solúvel e H
que H é um toro.
G um grupo compacto e conexo. Mostre
10. Sejam R1
R2
Rn reticulados de Rn gerados pelas bases v = fv1 ; : : : ; vn g
e w = fw1 ; : : : ; wn g, respectivamente. Seja g a transformação linear tal que
gwj = vj e denote por M = [g] w a matriz de g na base w . Mostre que as
entradas de M são números inteiros e que se k 2 N é tal que a matriz kM 1
tem entradas inteiras então para todo x 2 R2 , kx 2 R1 . Mostre também que se
alguma entrada de kM 1 não é inteira então existe x 2 R2 tal que kx 2
= R1 .
11. Use o exercício anterior para mostrar que o grupo fundamental de Aut (so (2l)),
l 4, é Z4 se l é ímpar e Z2 Z2 se l é par.
Capítulo 12
Grupos semi simples não compactos
Este capítulo considera grupos de Lie semi simples não compactos. Serão construídas
duas decomposições, de Cartan e de Iwasawa. Ambas as decomposições mostram que
a variedade diferenciável de um grupo de Lie conexo semi simples não compacto G
é o produto de um espaço euclidiano por um grupo de Lie conexo K cuja álgebra
de Lie é compacta. Por essas decomposições a questão de descrever o recobrimento
e de G se reduz a determinar o recobrimento universal de K, o que foi feito
universal G
anteriormente.
Essa redução dos grupos semi simples à sua “parte compacta” se estende a um
grupo qualquer via o teorema de decomposição de Levi para álgebras de Lie. Por esse
teorema um grupo simplesmente conexo é o produto semi-direto de um grupo semi
simples por um grupo solúvel. Esse último é um espaço euclidiano conforme …cou
estabelecido no capítulo 10.
12.1
Decomposições de Cartan
Seja g uma álgebra de Lie semi simples real. Sua complexi…cada gC também é semi
simples. Isso segue do critério de Cartan que a…rma que uma álgebra de Lie l é
semi simples se, e só se, sua forma de Cartan-Killing Kl (X; Y ) = tr (ad (X) ad (Y ))
é não degenerada1 . As formas de Cartan-Killing Kg e KgC são simultaneamente não
degeneradas pois Kg é a restrição a g de KgC . Portanto, g é semi simples se, e só se, gC
é semi simples.
12.1.1
Decomposições das álgebras de Lie
Uma decomposição de Cartan de g é uma soma direta
g=k
s
com k = g \ u e s = g \ iu onde u é uma forma real compacta de gC . A existência de
decomposições de Cartan é garantida via conjugações de gC . Seja a conjugação de
1
Veja capítulo 3 de Álgebras de Lie [49].
245
246
Capítulo 12. Grupos semi simples não compactos
gC em relação a g (isto é, (X + iY ) = X iY se X; Y 2 g). Então, pode-se provar2
que existe uma forma real compacta u de gC cuja conjugação comuta com . Essa
comutatividade implica que (g) = g e (u) = u, já que g é o conjunto dos pontos
…xos de e u de . Portanto, qualquer X 2 g pode ser escrito como
X=
X
X+ X X
+
2
2
de onde se obtém a soma direta g = (g \ u) (g \ iu).
Não existe uma única decomposição de Cartan, pois diferentes formas reais compactas podem fornecer somas diretas g = (g \ u) (g \ iu). No entanto, não se perde
generalidade em …xar uma delas uma vez que duas decomposições de Cartan são obtidas uma da outra por um automor…smo interno de g. Dessa forma os resultados obtidos
com diferentes decomposições são equivalentes.
A seguir são enumeradas algumas propriedades das decomposições de Cartan.
1. Em g = k
s, os colchetes são dados por
[k; k]
k
[k; s]
s
[s; s]
k
em particular k é subálgebra de Lie. Essas relações seguem diretamente de k =
g \ u e s = g \ iu, uma vez que u é álgebra de Lie, [u; iu] iu e [iu; iu] u.
2. A restrição = jg é um automor…smo involutivo de g, isto é, 2 = id, denominado de involução de Cartan. Seu auto-espaço, associado ao auto-valor 1, é k
enquanto que s é o auto-espaço associado ao auto-valor 1.
3. A forma de Cartan-Killing Kg (X; Y ) de g é negativa de…nida em k e positiva
de…nida em s. Isso porque u é uma álgebra semi simples compacta portanto sua
forma de Cartan-Killing Ku ( ; ) é negativa de…nida. As restrições de KgC ( ; ) a
u e a g dão as respectivas formas de Cartan-Killing Ku ( ; ) e Kg ( ; ). Daí que
em g \ u, Kg ( ; ) coincide com Ku ( ; ) e é negativa de…nida. Da mesma maneira
Kg ( ; ) é positiva de…nida em g \ iu.
4. Se g = k1 s1 = k2 s2 são duas decomposições de Cartan então existe g 2 Aut0 g
tal que gk1 = k2 e gs1 = s2 .
5. Se X 2 k e Y 2 s então Kg (X; Y ) = 0, pois Kg (X; Y ) = Kg ( X; Y ) =
Kg (X; Y ), já que é automor…smo. Portanto, Kg (X; Y ) = Kg (X; Y ) =
Kg (X; Y ), isto é, Kg (X; Y ) = 0.
6. A forma bilinear B (X; Y ) = Kg (X; Y ) é um produto interno, pois Kg é negativa de…nida em k e positiva de…nida em s e esses dois subespaços são ortogonais
por Kg .
2
Veja teorema 12.18 de Álgebras de Lie [49].
12.1. Decomposições de Cartan
247
7. Se X 2 k e Z; W 2 g então
B ([X; Z] ; W ) =
=
Kg ([X; Z] ; W ) = Kg (Z; [X; W ])
B (Z; [X; W ]) ;
isto é, ad (X) é anti-simétrica em relação a B .
8. Se Y 2 s e Z; W 2 g então
B ([Y; Z] ; W ) =
Kg ([Y; Z] ; W ) =
= B (Z; [Y; W ]) ;
Kg (Z; [Y; W ])
isto é, ad (Y ) é simétrica em relação a B .
9. k é uma álgebra de Lie compacta pois é uma subálgebra da álgebra compacta u.
Ela é uma subálgebra compacta maximal, isto é, não está contida propriamente
e nenhuma subálgebra compacta. De fato, se k l e k 6= l então para Z 2 l n k
existem X 2 k e 0 6= Y 2 s tal que Z = X + Y . Então, Y 2 l e Kg (Y; Y ) > 0
e daí que l não é álgebra compacta. (Na verdade, com o desenvolvimento mais
aprofundado da teoria é possível mostrar que k não está propriamente contida em
nenhuma subálgebra própria, compacta ou não.)
10. Se g é o reali…cado de uma álgebra complexa semi simples então as decomposições
de Cartan de g são dadas por g = u iu onde u é uma forma real compacta de g.
11. O isomor…smo ad : g ! Derg, juntamente com a involução de Cartan
um automor…smo de Derg via o diagrama comutativo
g
#
Derg
!
de…nem
g
#
! Derg
isto é, (ad (X)) = ad ( X). Como é automor…smo, vale a fórmula ad ( X) =
1
ad (X)
, daí que é a conjugação por em Derg. Essa conjugação é dada
por (ad (X)) = ad (X)T onde a transposta é tomada em relação ao produto
interno B . De fato,
B ([X; Y ] ; Z) =
Kg ([X; Y ] ; Z) = Kg (Y; [X; Z])
já que ad (X) é anti-simétrica em relação à forma de Cartan-Killing Kg . Daí que
B ([X; Y ] ; Z) = Kg (Y; [ X; Z]) =
isto é, ad ( X) =
ad (X)T .
B (Y; [ X; Z]) ;
248
Exemplo: Sejam g = sl (n; R), gC = sl (n; C) e u = su (n). Então, k = g \ u = so (n)
enquanto que s = g \ iu é o espaço das matrizes simétricas de traço zero. Nesse caso
T
(Z) = Z e (X) = X T . O produto interno B (X; Y ) = tr (ad (X) ad ( Y )).
Pode-se provar que B é um múltiplo do produto interno tr XY T . Essa decomposição
de Cartan pressupõe um produto interno em Rn (em relação ao qual são tomadas as
transpostas das matrizes). Outros produtos internos de…nem outras decomposições de
Cartan.
2
A decomposição de Cartan para sl (n; R) dada por matrizes simétricas e antisimétricas é o que ocorre tipicamente para álgebras de Lie semi simples lineares para as
quais é possível descrever uma decomposição de Cartan de tal forma que k é formada
por matrizes anti-simétricas e s por matrizes simétricas. Um outro exemplo disso é
dado pela álgebra simplética.
Exemplo: Seja sp (n; R) = fA 2 gl (2n; R) : AJ + JAT = 0g a álgebra das matrizes
simpléticas reais onde J é dada em blocos n n por
0
1
J=
1
0
:
Os elementos de sp (n; R) são matrizes reais da forma
A
C
B
AT
BT = C
B
C T = 0:
Uma decomposição de Cartan é dada por
k=f
A B
B A
g
A + AT = B
BT = 0
que é formada por matrizes anti-simétricas, e
s=f
A
B
B
A
g
A
AT = B
BT = 0
que é o conjunto das matrizes simétricas em sp (n; R). Esses subespaços fornecem uma
decomposição de Cartan de sp (n; R).
2
12.1.2
Decomposições globais
O objetivo agora é demonstrar a decomposição de Cartan ao nível dos grupos de Lie.
Essa decomposição diz que se G é um grupo de Lie semi simples não compacto então
G = KS = SK onde K = exp k, S = exp s e g = k s é uma decomposição de Cartan
da álgebra de Lie g de G. Essas decomposições dão difeomor…smos de G com K S
o que signi…ca que g 2 G se escreve de maneira única como g = sk ou g = sk, s =
s 2 S, k 2 K.
249
A decomposição de Cartan será mostrada em primeiro lugar para o grupo adjunto
Aut0 g dos automor…smos internos de g, que é um grupo de Lie com álgebra de Lie
g. Fixe uma decomposição de Cartan g = k s e seja a involução de Cartan
correspondente, que dá origem ao produto interno B = Kg (X; Y ).
Seja 0 (g) = g 1 a conjugação por . Se g é automor…smo de g então g 1
também é automor…smo e, portanto, 0 de…ne um automor…smo do grupo adjunto
Aut0 g. A igualdade ad (X) 1 = ad ( X) mostra que 0 é uma extensão de , visto
T
como automor…smo de Derg
g. Essa extensão é dada por 0 (g) = (g 1 ) onde a
transposta é tomada em relação ao produto interno B . Isso segue por um cálculo
semelhante ao feito acima para ad (X). De fato, se g 2 Aut0 g e X; Y 2 g então
Kg (gX; Y ) =
B (gX; Y ) =
Kg X; g
1
Y
já que g é isometria da forma de Cartan-Killing Kg . Daí que
B (gX; Y ) =
Kg X;
1
g
1
Y =B
X;
1
g
1
Y ;
T
isto é, 1 g 1 = g T e portanto 0 (g) = g 1 = (g 1 ) . É claro que 20 = 1. Como
consequência se vê que se g é um automor…smo de g então g T também é.
Seja agora
Kad = fg 2 Aut0 g : 0 (g) = gg:
Então, Kad é um subgrupo fechado, cuja álgebra de Lie é ad (k), pois ad (k) é o espaço
dos pontos …xos de . Além do mais, um automor…smo g está em Kad se, e só se,
T
(g 1 ) = g, o que signi…ca que Kad = SO (g; B ) \ Aut0 g onde SO (g; B ) é o grupo
das isometria de B . Portanto, Kad é compacto. (Posteriormente se verá que Kad é
conexo, o que vai garantir que Kad = hexp ad (k)i = exp ad (k).)
O grupo Kad globaliza a parte anti-simétrica da decomposição de Cartan. Para
considerar a parte simétrica suponha que g 2 Aut0 g é simétrica e positiva de…nida
em relação a B . Então, g é diagonalizável com auto-valores reais positivos e existe
A 2 gl (g) simétrica (em relação a B ) tal que g = eA .
Lema 12.1 A transformação A tal que g = eA é uma derivação de g e etA 2 Aut0 g
para todo t 2 R. Essa derivação é interna, isto é, A = ad (X) com X 2 s.
Demonstração: Sejam 1 ; : : : ; n os auto-valores de g e fX1 ; : : : ; Xn g uma base de
g que diagonaliza g, de tal forma que gXj = i Xj , j = 1; : : : ; n. Então AXj = ai Xj
onde aj = log j . Sejam cljk as constantes de estrutura de fX1 ; : : : ; Xn g, isto é,
[Xj ; Xk ] =
n
X
cljk Xl :
(12.1)
l=1
Aplicando g a esta igualdade e usando o fato de que g é um automor…smo, se obtém
j
k [Xj ; Xk ] =
n
X
l=1
l
l cjk Xl
:
250
Substituindo o colchete do primeiro membro pela combinação linear (12.1), chega-se a
cljk
j k
= cljk
l
para todo j; k; l. Essa igualdade implica, cancelando e posteriormente multiplicando
pelas constantes de estrutura, que
cljk etaj etak = cljk etal ;
o que mostra de imediato que etA é automor…smo para todo t 2 R e portanto A é
derivação.
A derivação A é interna pois g é semi simples. As propriedades (7) e (8) da decomposição de Cartan enunciadas acima mostram que X 2 s uma vez que ad (X) é
simétrica em relação a B .
2
Seja agora S = exp s, isto é, S é a imagem da aplicação diferenciável exp : s !
Aut0 g. Essa aplicação é uma imersão pois se X 2 s então d (exp)X = dEeX TX com
TX =
ead(X) 1 X 1
=
ad (X)k ;
ad (X)
k!
k 0
que é um isomor…smo já que os auto-valores de ad (X) são reais (veja o capítulo 8).
Portanto, a restrição de d (exp)X a s é injetora. Além do mais, exp : s ! Aut0 g é
injetora já que se X 2 s então eX é simétrica positiva de…nida em relação a B . Dessa
forma X é obtida de eX tomando os logaritmos dos auto-valores, como na demonstração
do lema acima.
Em suma, S = exp s é uma subvariedade imersa de Aut0 g difeomorfa a s. O espaço
tangente TeX S a S em eX , X 2 s, é dado por dEeX TX (s). O lema a seguir, que será
usado na demonstração da decomposição de Cartan, mostra que TX (s) é transversal a
k.
Lema 12.2 Se X 2 s então k \ TX (s) = f0g.
P
Demonstração: Se Y 2 s então TX (Y ) = j 0 j!1 ad (X)j (Y ). Nessa série os termos
em que j é par pertencem a s enquanto que os de grau ímpar estão em k, como segue
das relações [k; s] s e [s; s] k. Deve-se mostrar então que a soma PX (Y ) dos termos
de grau par é não nula a menos que TX (Y ) = 0.
x
Como TX é a série de potências da função f (x) = e x 1 avaliada em ad(X), a soma
PX dos termos pares é dada pela série de potências da função f (x) + f ( x) = senh(x)
.
x
Essa função é estritamente positiva o que garante que 0 não é um auto-valor de
PX = senh(ad(X))
, isto é, PX é injetora. Portanto, se PX (Y ) = 0 então TX (Y ) = Y = 0,
ad(X)
2
A partir desses lemas pode-se demonstrar a decomposição de Cartan para o grupo
adjunto Aut0 g.
251
Teorema 12.3 A aplicação : s Kad ! Aut0 g de…nida por (X; k) = exp (ad (X)) k
é um difeomor…smo e Aut0 g = SKad onde S = exp s. Além do mais Kad é conexo.
Demonstração: Em primeiro lugar é sobrejetora pois se g 2 Aut0 g então g T =
(g 1 ) ep
gg T pertencem a Aut0 g. Como gg T é positiva de…nida o lema 12.1 garante
que s = gg T 2 exp ad (s). Tome k = s 1 g que pertence a Aut0 g. Então,
kk T = s 1 gg T s
1
= s 1 s2 s
1
=1
isto é, k 2 Kad = SO (g; B ) \ Aut0 g. Como g = ks, isso mostra que é sobrejetora.
A injetividade vem do fato de que p
se g = sk, s 2 S, k 2 Kad então gg T =
T T
2
skk s = s 2 Aut0 g e, portanto, s = gg T e a S-componente é única. Daí que a
Kad -componente também é única.
Para concluir a demonstração falta mostrar que a diferencial de é um isomor…smo
em todo ponto. Tome (X; k) 2 s K, Y 2 s e A 2 k, visto como campo invariante à
direita em K. Então,
d
(X;k)
(Y; A (k)) = eX (TX (Y ) + A) k
= (dEeX )1 (dDk )1 (TX (Y ) + A) :
Essa diferencial se anula se, e só se, TX (Y ) + A = 0, isto é, TX (Y ) = A. Pelo lema
12.2 isso só ocorre se TX (Y ) = 0, o que por sua vez implica que Y = 0, já que TX é
isomor…smo pois X 2 s. Portanto, A = Y = 0, o que mostra que d (X;k) é isomor…smo.
Como é bijetora e um difeomor…smo local, é de fato um difeomor…smo.
Por …m, a partir do difeomor…smo S
Kad
SKad = Aut0 g se conclui que
Aut0 g=Kad é difeomorfo a S, que é simplesmente conexo. Portanto, Kad é conexo.
2
A decomposição de Cartan de um grupo arbitrário se obtém facilmente a partir da
decomposição do grupo Aut0 g, através da representação adjunta.
Teorema 12.4 Sejam G um grupo de Lie semi simples conexo e g = k s uma
decomposição de Cartan de sua álgebra de Lie. Escreva K = hexp ki e S = exp s.
Então,
1. G = SK = KS e todo g 2 G se escreve de maneira única como g = sk ou
g = ks, k 2 K e s 2 S.
2. S é uma subvariedade mergulhada de G difeomorfa a s pelo mergulho exp : s ! S.
3. As aplicações K S ! G dadas por (k; s) 7! ks e (k; s) 7! sk são difeomor…smos.
4. O centro Z (G) de G está contido em K.
5. K = exp k e K é compacto se, e só se, Z (G) é …nito.
252
Demonstração:
A representação adjunta Ad : G ! Aut0 g é o recobrimento
b = Ad 1 (Kad ) é um subgrupo
canônico, cujo núcleo é Z (G). A imagem inversa K
fechado cuja álgebra de Lie é k e que contém Z (G).
b isto é, a aplicação
b ! G,
A decomposição de Cartan vale para K,
: s K
(X; k) = exp (ad (X)) k é um difeomor…smo. Para veri…car essa a…rmação distinga
as aplicações exponencias de G e Aut0 g por exp e expad , respectivamente.
Dado g 2 G, Ad (g) = sk com s = expad Y 2 expad s e k 2 Kad pela decomposição
de Cartan em Aut0 g. Agora, Ad exp = expad . Daí que Ad (g) = Ad (exp Y ) k, isto é,
Ad (exp Y ) 1 g = k 2 Kad . Portanto, (exp Y ) 1 g 2 K e daí que g = (exp Y ) k1 com
k1 2 K. Isto é, a aplicação é sobrejetora.
A injetividade é provada de forma similar. Se g = (exp X1 ) k1 = (exp X2 ) k2 ,
então (expad X1 ) Ad (k1 ) = (expad X2 ) Ad (k2 ) o que implica que expad X1 = expad X2
e Ad (k1 ) = Ad (k2 ). Portanto, X1 = X2 (pela unicidade da decomposição no grupo
adjunto), o que implica que exp X1 = exp X2 o que implica que k1 = k2 .
A demonstração de que é difeomor…smo local é exatamente a mesma do teorema
b e a propriedade de TX do lema 12.2 depende
12.3, uma vez que k é álgebra de Lie K
só da álgebra de Lie.
Aplicando a inversa de G se obtém a decomposição G = KS e o difeomor…smo
(X; k) 7! k exp (ad (X)).
b é difeomorfo a S, que é simplesmente
Da mesma forma que no teorema 12.3, G=K
b é conexo e, portanto, K
b = K = hexp ki = exp k.
conexo. Consequentemente, K
b (G) = K=Z (G). Como Kad é compacto, segue
Agora, por construção, Kad = K=Z
que K é compacto se, e só se, Z (G) é …nito, como na a…rmação (5), concluíndo a
demonstração do teorema.
2
Os difeomor…smos G
K S
K exp s mostram de imediato que G é simplesmente conexo se, e só se, K é simplesmente conexo. Segue então do item (5) do
teorema 12.4, juntamente com o teorema de Weyl para grupos compactos, que para
qualquer G, Z (G) é …nito se k for semi simples, isto é, z (k) = f0g. Por outro lado,
se z (k) 6= f0g e K é simplesmente conexo então K não é compacto. Daí que Z (G) é
in…nito se z (k) 6= f0g e G é simplesmente conexo.
Uma outra consequência da decomposição global de Cartan é que a variedade diferenciável de G é difeomorfa ao produto Cartesiano de um grupo compacto conexo por
um espaço euclidiano. Isso porque mesmo que K não seja compacto sua variedade
diferenciável é o produto de um grupo compacto conexo por um grupo abeliano simplesmente conexo (veja o exercício 5 do capítulo 11).
12.2
Decomposições de Iwasawa
A decomposição de Iwasawa de um grupo de Lie semi simples não compacto G fornece
um outro difeomor…smo entre G e um produto K E onde K é um grupo de Lie
com álgebra de Lie compacta e E é um espaço euclidiano. A diferença em relação às
12.2. Decomposições de Iwasawa
253
decomposições de Cartan é que numa decomposição Iwasawa o espaço euclidiano é um
subgrupo solúvel simplesmente conexo.
12.2.1
Decomposições das álgebras de Lie
As álgebras semi simples reais admitem decomposições em espaços de raízes análogas
às álgebras complexas. A diferença é que a decomposição não se faz a partir de uma
subálgebra de Cartan h, pois as adjuntas dos elementos de h nem sempre tem autovalores reais.
O que substitui as subálgebras de Cartan são as subálgebras abelianas maximais
a
s, dentro da componente simétrica de uma decomposição de Cartan g = k s
…xada. Isso porque se H 2 a então ad (H) é diagonalizável pois é uma transformação
linear simétrica em relação ao produto intrno B . Como a é abeliana, as adjuntas
ad (H), H 2 a, são simultaneamente diagonalizaveis. Dessa forma se 2 a então o
subespaço
g = fX 2 g : 8H 2 a; ad(H)X = (H)Xg
é um auto-espaço comum a ad (H), H 2 a, se g 6= f0g. Nesse caso
raiz de a quando 6= 0 e g se decompõe como
X
g
g = g0
é chamado de
(12.2)
com percorrendo o conjunto das raízes. O subespaço g0 é de fato uma subálgebra
pois é o centralizador de a. Essa decomposição pode ser escrita de uma forma um
pouco mais precisa, tomando a decomposição de Cartan dos elementos de g0 , como se
observa no lema a seguir.
Lema 12.5 Seja g0 como em (12.2) e de…na m = g0 \ k. Então, g0 = m a e a álgebra
de Lie g se decompõe
X
g=m a
g :
(12.3)
Demonstração:
Tome X + Y 2 g0 com X 2 k e Y 2 s. Se H 2 a então
0 = [H; X + Y ] = [H; X] + [H; Y ] sendo que [H; X] 2 s e [H; Y ] 2 k. Portanto,
[H; X] = [H; Y ] = 0, isto é, X 2 m = g0 \ k e Y 2 s centraliza a. Como a é abeliano
maximal segue que Y 2 a, o que conclui a demonstração do lema.
2
As decomposições (12.2) e (12.3) pressupõem a escolha de uma subálgebra abeliana
maximal a. Essa escolha apesar arbitrária não perde generalidade pois duas subálgebras
abelianas a1 ; a2
s são obtidas uma da outra por um elemento de Kad . Esse fato
é demonstrado da mesma maneira que a conjugação das subálgebras de Cartan nas
álgebras compactas (veja proposição 11.20). Essa demonstração requer o conceito de
elemento regular em a.
254
Um elemento H 2 a é regular real se (H) 6= 0 para toda raiz . O conjunto
dos elementos regulares é aberto e denso em a já que a quantidade de raízes é …nita.
Se H 2 a é regular real então a dimensão de ker ad (H) é mínima entre os núcleos dos
elementos de a e o seu centralizador z (H) coincide com g0 = m a. Portanto, se X 2 s
é tal que [H; X] = 0 para algum elemento regular real então X 2 a.
Agora, a relação [k; s] s mostra que o subgrupo Kad deixa invariante o subespaço
s. Isso implica que se a
s é abeliano maximal e k 2 Kad então k (a)
s também
é subálgebra abeliana maximal. A proposição a seguir mostra que todas subálgebras
abelianas maximais são obtidas dessa forma por conjugações por elementos de Kad .
Proposição 12.6 Seja a
s uma subálgebra abeliana maximal. Então, para todo
X 2 s existe k 2 Kad tal que gX 2 a.
Demonstração: A demonstração é identica à da proposição 11.20. Seja H 2 a um
elemento regular real e de…na a função f : Kad ! R por f (k) = Kg (kX; H) onde Kg
é a forma de Cartan-Killing de g, que é um produto interno em s. Por compacidade
essa função assume um mínimo. Se f (k0 ) é mínimo então como na proposição 11.20,
k0 X comuta com H. Mas, H é regular real e daí que k0 X 2 a.
2
Corolário 12.7 Se a; a1
ka1 = a.
s são abelianas maximais então existe k 2 Kad tal que
Demonstração: Tome um elemento regular real X 2 a1 e seja k 2 Kad tal que
gX 2 a. Se Y 2 a então [k 1 Y; X] = [Y; kX] = 0 e, portanto k 1 Y 2 a1 , o que mostra
que k 1 a
a1 . De maneira simétrica existe u 2 K tal que ua1
a. Segue daí que
dim ai = dim a e portanto k 1 a = a1 , concluíndo a demonstração.
2
A dimensão comum das álgebras abelianas maximais a s é denominada de posto
real de g. Em geral o posto real difere do posto da álgebra de Lie, que é a dimensão
das subálgebras de Cartan. Uma álgebra abeliana maximal a está contida em uma
subálgebra de Cartan, mas essa inclusão pode ser própria.
Para de…nir uma decomposição de Iwasawa de g se escolhe uma decomposição de
Cartan g = k s, uma álgebra abeliana maximal a
s e um elemento regular real
H 2 a. A partir da decomposição de g nos espaços de raízes de a, de…ne-se
X
n = n+
=
g
H
(H)>0
que é a soma dos auto-espaços de ad (H) associados aos auto-valores > 0. Então, com
essas escolhas a decomposição de Iwasawa é dada por
g=k
a
n:
(12.4)
Teorema 12.8 A decomposição de Iwasawa em (12.4) é de fato uma soma direta cujo
resultado é g.
255
Demonstração: Antes de mais nada k \ a = f0g pois a
s e a \ n+
H = f0g, já
+
que a ker ad (H) e nH é a soma dos auto-espaços associados aos auto-valores > 0 de
ad (H). Para veri…car a interseção k \ n+
H = f0g seja
X
nH =
g
(H)<0
a soma dos auto-espaços de ad (H) associados aos auto-valores < 0. Se é a involução
de Cartan então n+
nH = n+
H = nH e
H pois se ad (H) X = [H; X] = X então
[H; X] = X e como H = H se conclui que
[H; X] = (
) X;
isto é, leva auto-espaços de ad (H) em auto-espaços, mudando o sinal do auto-valor.
+
Dito isso, seja X 2 k \ n+
H . Então, X = X pois X 2 k, e daí que X = X 2 nH \ nH =
+
f0g o que mostra que k \ nH = f0g.
Portanto, a soma k a n+
H no segundo membro de (12.4) é de fato direta. Falta
veri…car que o seu resultado é g.
Como H 2 a é regular real o núcleo de ad (H) é g0 = m a e daí que g = nH m
a n+
m k a n+
m.
H . Deve-se veri…car então que nH
H . Tome X = Y + Z 2 nH
Então, (X) = (Y ) + Z, pois (Z) = Z e
X = X+ X
X
= Y + Y +Z
Y:
Esse último termo está em k
demonstração.
+
n+
H pois Y + Y + Z 2 k e Y 2 nH , o que conclui a
2
A componente k de uma decomposição de Iwasawa g = k a n é uma subálgebra
compacta enquanto que a é abeliana. A proposição a seguir trata da componente n e
da soma a n.
Proposição 12.9 A componente n = n+
H da decomposição de Iwasawa é uma subálgebra nilpotente e a n é uma álgebra solúvel.
Demonstração: Sejam X e Y auto-vetores de ad (H) com auto-valores
pectivamente. Então,
e , res-
[H; [X; Y ]] = [[H; X] ; Y ] + [X; [H; Y ]]
= ( + ) [X; Y ] :
Portanto ou [X; Y ] = 0 ou [X; Y ] é um auto-vetor associado ao auto-valor + . Dito
isso, seja g = V1
VN os auto-espaços de ad (H) associados aos auto-valores
respectivos 1 ; : : : ; N ordenados por 1 >
> N (um auto-espaço Vi é g0 ou uma
soma de espaços de raízes).
256
Tome uma base B = fX1 ; : : : ; XN g de g que é união de bases dos subespaços Vi ,
ordenadas da mesma forma. Seja X um auto-vetor de ad (H) associado ao auto-valor
> 0. Então, a matriz de ad (X) na base B é triangular superior com zeros na diagonal, já que [X; Xi ] é nulo ou um auto-vetor associado ao auto-valor + i . Tomando
combinações lineares se vê que as adjuntas ad (Y ), Y 2 n, são simultaneamente triangularizaveis na base B. Portanto, ad (n) é nilpotente, já que está contida numa álgebra
de Lie nilpotente. Como ad é injetora, se conclui que n é nilpotente.
Já a soma a n é uma subálgebra pois a normaliza n, isto é, [a; n] n. Essa álgebra
é solúvel, já que n é nilpotente e (a n) =n a é abeliana.
2
Por …m convém enfatizar que a decomposição de Iwasawa g = k
produto semi-direto pois nenhuma das componentes é ideal de g.
a
n não é um
Exemplo:
Para a álgebra sl (n; R) uma decomposição de Iwasawa é dada por
k = so (n), a a álgebra das matrizes diagonais de traço zero e n a álgebra de Lie das
matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal. Essa decomposição é obtida a
partir da escolha de um elemento regular H = diagfa1 ; : : : ; an g tal que a1 >
> an . 2
12.2.2
Decomposições globais
A decomposição de Iwasawa global de um grupo de Lie G, semi simples conexo e não
compacto, permite escrever G como o produto de três subgrupos fechados, G = KAN
onde g = k a n é uma decomposição de Iwasawa da álgebra de Lie g de G, K = exp k,
A = exp a e N = exp n.
O subgrupo K é o mesmo da decomposição de Cartan e é fechado (inclusive compacto se Z (G) é …nito). O subgrupo abeliano A = exp a é fechado, pois S = exp s
é fechado em G, a é fechado em s e exp : s ! S é um difeomor…smo. Isso garante
também exp : a ! A é um difeomor…smo. Os demais subgrupos, associados às álgebras
n e a n, são considerados no lema a seguir para o grupo adjunto Aut0 g.
Lema 12.10 Sejam Nad = hexp ad (n)i e Aad = exp ad (a). Então, Nad e Aad Nad são
fechados e simplesmente conexos. A álgebra de Lie de Aad Nad é ad (a n). Valem as
interseções Kad \ Aad Nad = f1g e Aad \ Nad = f1g.
Demonstração: Na demonstração da proposição 12.9 foi construida uma base B de g
tal que se X 2 n então a matriz de ad (X) é triangular superior com zeros na diagonal.
Portanto, N é um subgrupo conexo do subgrupo nilpotente, fechado e simplesmente
b formado pelas transformações lineares de g cujas matrizes na base B são
conexo N
triangulares superiores com 1 na diagonal. Daí que pelos corolários 10.9 e 10.10, Nad é
fechado e simplesmente conexo (veja também o exemplo depois do corolário 10.10).
O produto Aad Nad é um subgrupo pois Aad normaliza Nad , já que [a; n] n. Esse
subgrupo é fechado pois em relação à base B de g mencionada acima os elementos de
Aad são diagonais enquanto que os de Nad são triangulares superiores. Dessa forma,
se ak nk 2 Aad Nad é uma sequência convergente então a parte diagonal ak converge e
257
lim ak 2 Aad , que é fechado. Daí que nk converge e lim nk 2 Nad , portanto lim ak nk 2
Aad Nad , e esse grupo é fechado.
Falta veri…car que o grupo Aad Nad é simplesmente conexo. Para isso de…na o
produto semi-direto Aad
Nad onde : Aad ! AutNad é de…nido por (a) (n) =
1
ana . Então, a aplicação : Aad Nad ! Aad Nad , (a; n) = an, é um homomor…smo
diferenciável. Essa aplicação é sobrejetora, por de…nição, e é injetora pois se an = a1 n1
então a1 1 a = n1 n 1 2 Aad \ Nad . A interseção Aad \ Nad = f1g pois os elementos
de Aad são diagonais em relação à base B enquanto que os elementos de Nad são
triangulares superiores com 1 na diagonal. Daí que é um isomor…smo. Como Aad
Nad é simplesmente conexo se conclui que Aad Nad é simplesmente conexo. Segue desse
isomor…smo que a álgebra de Lie de Aad Nad é ad (a n).
Por …m se g 2 Kad \ Aad Nad então é uma isometria do produto interno B e ao
mesmo tempo seus auto-valores são reais > 0. Isso só é possível se g = 1, daí que
Kad \ Aad Nad = f1g.
2
O fato de que Aad Nad é um subgrupo fechado garante o espaço quociente Aut0 g=Aad Nad
é uma variedade diferenciável. Isso tem uma consequência interessante do ponto de
vista da decomposição de Iwasawa pois permite mostrar a sobrejetividade da decomposição, usando a compacidade de Kad juntamente com o fato de que a n complementa
k em g.
Lema 12.11 A ação do grupo Kad em Aut0 g=Aad Nad é transitiva, isto é, para todo
g 2 Aut0 g existe k 2 Kad tal que gAad Nad = kAad Nad . Isso signi…ca que Aut0 g =
Kad Aad Nad .
Demonstração: Denote por : Aut0 g ! Aut0 g=Aad Nad a projeção canônica e seja
x0 = 1 Aad Nad a origem de Aut0 g=Aad Nad . A órbita
Kad x0 = fkAad Nad : k 2 Kad g =
(Kad )
é compacta pois Kad é compacto.
A órbita Kad x0 é uma subvariedade de Aut0 g=Aad Nad cujo espaço tangente em x0
é d 1 (k) (veja teorema 13.8). Como k complementa a n em g a dimensão de Kad x0
coincide com a dimensão de Aut0 g=Aad Nad . Portanto, Kad x0 é aberto e fechado do
conexo Aut0 g=Aad Nad e daí que Kad x0 = Aut0 g=Aad Nad .
O fato de que toda classe lateral de Aad Nad contém um elemento de Kad signi…ca
que Aut0 g = Kad Aad Nad .
2
Agora é possível enunciar e demonstrar o teorema que fornece a decomposição de
Iwasawa global.
Teorema 12.12 Sejam G um grupo semi simples conexo e g = k a n uma decomposição de Iwasawa da álgebra de Lie g de G. Então, G = KAN onde K = exp k,
A = exp a e N = exp n. A aplicação : K A N ! KAN , (k; a; n) = kan é
um difeomor…smo. Os grupos A, N e AN são simplesmente conexos e difeomorfos a
espaços euclidianos.
258
Demonstração: A representação adjunta leva as componentes de G nas componentes
de Aut0 g,
Ad (K) = Kad Ad (A) = Aad Ad (N ) = Nad :
A restrição de Ad a cada um desses grupos é um recobrimento módulo Z (G). Os
grupos Aad e Nad são simplesmente conexos e daí que Ad : A ! Aad e Ad : N ! Nad
são isomor…smos, o que mostra que A em N são simplesmente conexos.
A aplicação é sobrejetora pois se g 2 G então Ad (g) = Ad (k) Ad (a) Ad (n),
k 2 K, a 2 A e n 2 N , pois pelo lema anterior a decomposição de Iwasawa em Aut0 g
é sobrejetora. Portanto, g = kanz com z 2 Z (G), isto é, g = (kz) an 2 KAN pois
Z (G) K.
Para a injetividade suponha que kan = k1 a1 n1 . Então,
Ad k1 1 k = Ad a1 n1 (an)
1
2 Kad \ Aad Nad = f1g
daí que Ad (an) = Ad (a1 n1 ). Isso ímplica que Ad a1 1 a = Ad n1 1 n 2 Aad \
Nad = f1g, isto é, Ad (a) = Ad (a1 ) e Ad (n) = Ad (n1 ). Mas, Ad é injetora em A
e N , portanto a = a1 e n = n1 o que leva a k = k1 , mostrando a injetividade da
decomposição.
Falta veri…car que é difeomor…smo local. Para isso tome campos invariante X 2 k,
Y 2 a e Z 2 n com X invariante à esquerda, Y bi-invariante e Z invariante à direita.
Então,
d (k;a;n) (X; Y; Z) = k (X + Y + Ad (a) Z) an:
Essa diferencial se anula se, e só se, X + Y + Ad (a) Z = 0 e como Ad (a) Z 2 n,
segue que X = Y = Z = 0, isto é, a diferencial em qualquer ponto é injetora. Como
dim (K A N ) = dim G, se conclui que é difeomor…smo local, concluindo a demonstração do teorema.
2
Exemplo: No caso do grupo linear Sl (n; R) a decomposição de Iwasawa tem uma
interpretação em termos do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. De fato,
tomando a decomposição de Iwasawa sl (n; R) = so (n) a n com a a álgebra das matrizes diagonais n a das matrizes triangulares superiores, se obtém a decomposição de
Iwasawa Sl (n; R) = SO (n) AN onde A é o grupo das matrizes diagonais com entradas
positivas de determinante 1 e N é o grupo das matrizes triangulares superiores com 1’s
na diagonal. Dada uma matriz g 2 Sl (n; R) sua decomposição g = kan 2 SO (n) AN
é obtida aplicando o processo de ortonormalização às colunas de g. Esse processo consiste em multiplicar à direita de g uma matriz triangular superior (an) 1 obtendo uma
matriz ortogonal k.
2
12.3
Classi…cação
Seja g uma álgebra de Lie semi simples real. Sua complexi…cada gC também é semi
simples. Se gC é simples então g é simples, pois se i g é um ideal então iC gC é ideal
12.3. Classi…cação
259
de gC . No entanto, se g é simples pode ser que gC não seja simples, o que distingue as
álgebras de Lie reais nas classes em que gC é simples ou não. Se gC não é simples então
g é o reali…cado de uma álgebra complexa. Nesse caso gC é a soma de duas cópias de
álgebras isomorfas a g vista como álgebra complexa3 . A classi…cação desses reali…cados
é dada pela própria classi…cação das álgebras complexas via os diagramas de Dynkin,
apresentados no capítulo 11.
Já a classi…cação das álgebras simples reais cujas complexi…cadas são simples é bastante envolvente. Ela pode ser feita via os diagramas de Satake4 ou pelos diagramas
de Vogan5 . As tabelas a seguir apresentam essa classi…cação. Na primeira estão incluidas as chamadas álgebras clássicas que são álgebras de matrizes. A coluna k indica
quais são suas subálgebras compactas maximais (que aparecem nas decomposições de
Cartan). Na segunda tabela aparecem as álgebras excepcionais. Elas são nomeadas de
acordo com suas complexi…cadas (por exemplo E6 14 é forma real da álgebra complexa
E6 ). O número no superíndice é a diferença dim s dim k.
gC
sl (n; C)
so (2n; C)
g
sl (n; R)
sl (n; H)
su (2n)
su (p; q)
p+q =n
so (p; q)
p + q = 2n + 1
so (p; q)
p + q = 2n
so (2n; C)
so (2n)
sl (2n; C)
sl (n; C)
so (2n + 1; C)
sp (n; C)
k
so (n; R)
posto
n 1
sp (n)
su (p)
su (q)
R
2n
1
n
1
posto real
n 1
n
1
minfp; qg
so (p)
so (q)
n
minfp; qg
so (p)
so (q)
n
minfp; qg
u (n)
n
n=2 ou
(n 1)=2
n
sp (n; R)
u (n)
n
sp (p; q)
sp (n; C)
sp (p) sp (q) R
n
minfp; qg
p+q =n
Tabela das álgebras simples não compactas clássicas
3
5
Veja capítulo VI de Knapp [33].
4
260
g
G22
F44
F4 20
E66
E62
E6 14
E6 26
E77
E7 5
E7 25
E88
E8 24
Tabela das
12.4
k
su (2) su (2)
su (2) sp (3)
so (9)
sp (4)
su (2) su (6)
so (10) R
F4
su (8)
su (2) so (12)
E6 R
so (16)
su (2) E7
álgebras simples
posto real dimensão
2
14
4
52
1
52
6
78
4
78
2
78
2
78
7
133
4
133
3
133
8
248
4
248
não compactas excepcionais
Exercícios
1. Seja G um grupo de Lie conexo, semi simples e não compacto com decomposição
de Cartan G = KS e de Iwasawa G = KAN . Demonstre as seguintes a…rmações:
(a) A aplicação exponencial de AN é sobrejetora.
(b) G=AN é uma variedade diferenciável difeomorfa a K.
(c) A ação de AN em G=K é transitiva.
2. Seja G Gl (n; R) um grupo linear conexo, semi simples e não compacto. Mostre
que o seu centro Z (G) é …nito.
3. Mostre que se g é uma álgebra de Lie complexa então o grupo fundamental do
grupo adjunto Aut0 g é …nito.
4. Encontre as álgebras simples reais g para as quais o seu grupo simplesmente
e tem centro in…nito.
conexo G
5. Seja G um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo. Mostre que a variedade
diferenciável subjacente a G é difeomorfa ao produto de um grupo compacto e
conexo por um espaço Euclidiano.
Parte IV
Grupos de Transformações
261
263
Resumo
Nessa parte são consideradas as ações diferenciáveis de grupos de Lie em variedades
diferenciáveis e algumas de suas aplicações no estudo da geometria diferencial em espaços homogêneos.
Os elementos básicos das ações diferenciáveis G M ! M de um grupo de Lie G
são desenvolvidos no capítulo 13. O primeiro passo consiste em colocar em evidência
a álgebra de Lie g de G o que é feito de…nindo para cada X 2 g um campo de vetores
e cujo ‡uxo é dado pela ação de etX . A aplicação X 7! X
e é um homomor…smo
X,
^
e Ye ] = [X;
de álgebras de Lie, isto é, [X;
Y ], quando se considera campos invariantes à
direita em G, para ações à esquerda, ou para campos invariantes à esquerda para ações
e é denominado de ação in…nitesimal da álgebra de
à direita. O homomor…smo X 7! X
Lie g, associada à ação do grupo G.
A ação in…nitesimal determina uma distribuição
em M de…nida por (x) =
e (x) : X 2 gg. Essa distribuição é integrável e suas variedades integrais conexas
fX
maximais são as órbitas da ação de G se o grupo é conexo. Se o grupo não for conexo
suas órbitas são uniões de variedades integrais. Esse fato tem como consequência que as
órbitas da ação de G são variedades quase-regulares e são convenientemente agrupadas
via as cartas adaptadas da distribuição.
Uma questão natural é se uma ação in…nitesimal de uma álgebra de Lie g provêm
de uma ação global de algum grupo de Lie. A resposta a…rmativa a essa questão é dada
pelo teorema de Lie-Palais, que garante a existência da ação do grupo simplesmente
conexo com álgebra de Lie g desde que os campos de vetores da ação in…nitesimal
sejam completos (o que ocorre sempre que a variedade M seja compacta).
Ainda no capítulo 13 foi aberta uma seção para introduzir os conceitos de …brados
principais (cujas …bras são grupos de Lie) e seus …brados associados (cujas …bras são
espaços onde agem grupos de Lie). Esses conceitos são relacionados, posteriormente,
com …brações naturais entre espaços quocientes, tais como a …bração G ! G=H, que
é um …brado principal com …bra H.
O capítulo 14, que complementa essa parte, tem o intuito de fazer uma (breve) introdução a uma vasta área de geometria diferencial que estuda estruturas geométricas
invariantes em espaços homogêneos. Foram escolhidos quatro aspectos dessa geometria
invariante: as estruturas pseudo-complexas, as formas diferenciais, as métricas Riemannianas e as formas simpléticas. O principio básico é que a análise de qualquer estrutura
geométrica invariante se reduz a um estudo algébrico do que ocorre num único ponto.
Sobre as estruturas pseudo-complexas se apresenta uma discussão sobre sua integrabilidade, baseada no tensor de Nijenhuis. Alguns exemplos são apresentados. Um
deles é o dos grupos complexos„ aonde se chega à conclusão que um grupo de Lie é
complexo se, e só se, sua álgebra de Lie é complexa. No que diz respeito às formas
diferenciais é demonstrado um teorema, devido a Chevalley e Eilenberg, de que a cohomologia de De Rham de um espaço homogêneo de um grupo compacto coincide com
a cohomologia das formas diferenciais invariantes. Isso reduz o cálculo da cohomologia
a questões algébricas envolvendo a álgebra de Lie do grupo.
264
Sobre as métricas Riemannianas o texto é mais parcimonioso, uma vez que a literatura sobre o assunto é ampla e de fácil acesso6 . Em geometria simplética se faz
a construção da forma simplética de Kirillov-Kostant-Souriaux nas órbitas coadjuntas
de uma álgebra de Lie e se considera as aplicações momento de ações Hamiltonianas.
Sobre essas últimas a ênfase é colocada na equivariância em relação à ação coadjunta.
Essa equivariância é analisada com base na cohomologia de representações de grupos.
6
Veja o livro clássico de Helgason [20].
Capítulo 13
Ações de grupos de Lie
Neste capítulo são estudadas as ações diferenciáveis de grupos de Lie com o objetivo de
descrever as órbitas dessas ações. O modelo para as órbitas são os espaços quocientes
G=H. No caso em que H é fechado G=H admite estrutura de variedade diferenciável,
que foi construída no capítulo 6. Dessa forma, um dos objetivos é veri…car que uma
órbita G x é uma subvariedade imersa difeomorfa ao espaço quociente G=Gx , onde
Gx é o subgrupo de isotropia em x, que é fechado. Nessa direção um ponto de vista
conveniente é olhar as órbitas como variedades integrais maximais de uma distribuição
singular (veja apêndice B), o que fornece a informação adicional de que elas são subvariedades imersas quase-regulares.
13.1
Ações de grupos
Os diversos conceitos e resultados desenvolvidos no estudo das ações de grupos topológicos continuam valendo para grupos de Lie. Em particular, uma ação do grupo de Lie
G é uma aplicação : G M ! M , (g; x) = gx, tal que a aplicação parcial g 7! g ,
(g; x) é um homomor…smo de G no grupo das transformações inversíveis de
g (x) =
M . A ação é diferenciável se for uma aplicação diferenciável.
Nesse caso as aplicações parciais g : M ! M e x : G ! M , g (x) = x (g) =
1
(g; x) são diferenciáveis para todo g 2 G e x 2 M . Da igualdade g
= g 1 , segue
que asaplicações g são difeomor…smos, isto é, o homomor…smo g 7! g assume valores
no grupo DifM , dos difeomor…smos de M . Como anteriormente o difeomor…smo g é
denotado apenas por g.
No caso de uma ação diferenciável o subgrupo de isotropia Gx = fg 2 G : gx = xg
é fechado e, portanto, um subgrupo de Lie de G. Existe uma bijeção natural entre
a órbita G x e o espaço homogêneo G=Gx . Adiante será mostrado que G x é uma
subvariedade de M e que a bijeção com G=Gx é, de fato, um difeomor…smo, quando
em G=Gx é considerado com a estrutura quociente.
265
266
Capítulo 13. Ações de grupos de Lie
A álgebra de Lie gx do grupo de isotropia Gx é denominada de álgebra de
isotropia em x. Ela é formada pelos elementos X 2 g tais que etX 2 Gx para todo
t 2 R, isto é,
gx = fX 2 g : 8t 2 R; etX x = xg:
Para g 2 G e x 2 M , vale a igualdade Ggx = gGx g 1 , o que ímplica que ggx =
Ad (g) (gx ).
Como ocorre normalmente na teoria dos grupos de Lie, uma técnica fundamental
no estudo das ações de grupos surge com a introdução do objeto in…nitesimal correspondente.
De…nição 13.1 Sejam g uma álgebra de Lie e M uma variedade C 1 . Denote por
(T M ) a álgebra de Lie dos campos de vetores em M munido do colchete de Lie.
Uma ação in…nitesimal de g em M é um homomor…smo de g ! (T M ).
Uma ação diferenciável de G em M induz uma ação in…nitesimal de g da seguinte
maneira: dados X 2 g e x 2 M , a curva em M de…nida por t 7! exp (tX) x é
diferenciável. Sua derivada na origem
e (x) = d etX x
X
dt
jt=0
=
d
dt
x
etX
jt=0
= (d
x )1
(X) :
e (x) 2 Tx M de…ne um campo de
é um vetor tangente a x 2 M . Portanto x 2 M 7! X
vetores em M .
et de X
e é exatamente etX (ou melhor etX ). De fato, para todo x 2 X a
O ‡uxo X
e pois
curva t 7! etX x é uma trajetória de X
d (t+s)X
d tX
e (exp (tX)) :
e x =
e
x js=0 = X
dt
ds
e são completos já que seus ‡uxos etX são
Por consequência os campos de vetores X
de…nidos globalmente, para todo t 2 R. Além do mais, o campo invariante à direita
e são x -relacionados, para todo x 2 M , pois x EetX =
X 2 g e o campo associado X
e
etX
x , isto é, x faz o intercâmbio entre os ‡uxos de X e de X.
e 2 (T M ) é uma ação
Do último comentário segue que a aplicação X 2 g 7! X
in…nitesimal (quando X é visto como campo invariante à direita). De fato, como os
campos X; Y 2 g são x -relacionados, os seus colchetes também são x -relacionados,
portanto
^
e Ye ] (x) = (d x ) [X; Y ] = [X;
[X;
Y ] (x) :
1
e 2 (T M ) é um homomor…smo se g é a
Proposição 13.2 A aplicação X 2 g 7! X
álgebra de Lie dos campos de vetores invariantes à direita em G.
Nesta proposição aparece o colchete de Lie entre campos invariantes à direita em G
pelo fato de que está implicito até aqui que a ação de G em M é uma ação à esquerda.
e de…ne um homomor…smo
Caso se considere ações à direita, a mesma aplicação X 7! X
da álgebra de Lie dos campos invariantes à esquerda.
e pelos elementos de G é dada pela seguinte fórmula, de
A translação dos campos X
uso bastante frequente.
267
^
e = (Ad
Proposição 13.3 Dados g 2 G e X 2 g, vale g X
(g) X), isto é,
(dg)g
1x
^
e (gx) = (Ad
X
(g) X) (x) :
e são
Demonstração: Basta veri…car que as translações por g das trajetórias de X
^
et = etX , a translação da trajetória de X
e que
trajetórias de Ad
(g) X. Como o ‡uxo é X
1
passa por g x é
getX g 1 x = etAd(g)X x
^
e o segundo membro é a trajetória de Ad
(g) X iniciada em x.
2
Em notação simpli…cada (como descrita na seção 5.1) a fórmula da proposição acima
pode ser escrita como
^1 (gx)
e (x) = gXg
gX
isto é, ela é obtida por divisão e multiplicação por g.
Como caso particular de ação in…nitesimal, considere a ação de G em G=H, onde
H é um subgrupo fechado. Nesse caso, se x0 = 1 H é a origem de G=H então x0 é a
e
projeção canônica : G ! G=H. Daí que vale a seguinte descrição de X.
Proposição 13.4 Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado e denote por
: G ! G=H a projeção canônica. Tome X um campo invariante à direita em G.
e é a projeção de X, isto é, X e X
e são -relacionados, isto é, X = X.
e
Então, X
e X 2 g, a álgebra de isotropia é dada por
Em termos dos campos X,
e (x) = 0g;
gx = fX 2 g : X
pois X 2 gx se, e só se, etX x = x para todo t 2 R, isto é, se x é uma singularidade de
e
X.
Exemplos:
1. Considere a ação canônica de Gl (n; R) em Rn , (g; x) 7! gx. Se A 2 gl (n; R) é
uma matriz então
e (x) = d etA x
= Ax;
A
jt=0
dt
e é nada mais nada menos que o campo de vetores
isto é, o campo de vetores A
n
linear em R de…nido pela matriz A. A propriedade de homomor…smo aqui
eeB
e é o campo linear
signi…ca que o colchete de Lie dos campos de vetores A
de…nido pela matriz BA AB.
2. O exemplo anterior se generaliza para representação de grupos: se : G !
Gl (n; R) é uma representação (diferenciável) de G, então a aplicação G Rn !
268
Rn , de…nida por (g; x) 7! (g) x de…ne uma ação de G em Rn . A ação in…nitesimal correspondente é dada por
e (x) = d
X
1
(X) x
se X 2 g, a álgebra de Lie de G. Essa ação corresponde à representação in…nitesimal de g.
3. Um grupo de Lie G age em si mesmo por translações à esquerda. Como o ‡uxo
de um campo invariante à direita é dado por translações à esquerda, segue que
e é o campo invariante à direita correspondente a X 2 g.
X
4. Seja : G ! H um homomor…smo diferenciável. Então G age à esquerda em H
e éo
por (g; h) 2 G H 7! (g) h. Da mesma forma que no exemplo anterior, X
campo invariante à direita em H determinado por d 1 (X).
5. O grupo linear G = Gl (n; R) age na esfera de raio 1, S n 1
Rn (em relação
ao produto interno canônicao), através da bijeção da esfera com o conjunto das
semi-retas em Rn a partir da origem.
Se r é uma semi-reta iniciada na origem e g 2 Gl (n; R) então gr é uma semi-reta,
o que de…ne a ação (g; r) 7! gr no conjunto das semi-retas e, portanto, em S n 1 .
Para x 2 S n 1 e g 2 Gl (n; R) a ação é denotada por g x. Por de…nição g x é
a interseção com S n 1 do raio gerado por gx, isto é,
g x=
gx
jgxj
onde jgxj denota a norma euclidiana. Essa ação é diferenciável. A ação in…nitesimal correspondente é dada por
e (x) = d etA x
A
dt
jt=0
=
d
dt
etA x
jetA xj
:
jt=0
O cálculo desta derivada fornece
e (x) = Ax
A
que é o vetor tangente à S n
semi-reta gerada por x.
1
hAx; xix;
em x obtido pela projeção de Ax ao longo da
6. Uma pequena alteração no exemplo anterior fornece uma ação de Gl (n; R) no
espaço projetivo Pn 1 formado pelos subespaços de dimensão um de Rn . De fato,
basta substituir as semi-retas pelas retas correspondentes. Ao identi…car o espaço
tangente a Pn 1 em [x] com o espaço tangente a S n 1 em x 2 S n 1 , a expressão
e coincide com a que foi apresentada acima.
de A
2
13.1.1
269
Órbitas
Uma das aplicações da ação in…nitesimal em M induzida pela ação de um grupo de Lie
G está no estudo das órbitas de G. A razão é que as órbitas podem ser obtidas como
as variedades integrais maximais da distribuição de…nida pela ação in…nitesimal.
e a ação
Seja : G M ! M uma ação diferenciável e : g ! (T M ), (X) = X,
in…nitesimal correspondente. Para x 2 M de…na o subespaço g (x) Tx M por
g
e (x) 2 Tx M : X 2 gg:
(x) = fX
A aplicação x 7! g (x) é uma distribuição em M . Pela própria de…nição, g é uma
e X 2 g. Em
distribuição diferenciável, pois ela é gerada pelos campos de vetores X,
geral, a dimensão de g não constante. Por exemplo, para a ação canônica de Gl (n; R)
em Rn , g se reduz a 0 na origem, enquanto que g (x) é todo o espaço tangente se
x 6= 0. Em geral, dim g (x) = dim g dim gx pois gx é o núcleo da aplicação linear
e (x) 2 Tx M .
X2g!X
Proposição 13.5 A distribuição g é invariante pela ação de G, isto é, g
ou melhor
dgx g (x) = g (gx)
g
=
g,
para todo g 2 G.
e é dada pela fórmula
Demonstração: A translação por g 2 G de um campo X
^
e = Ad
gX
(g) X. Isso implica que para todo g 2 G e x 2 X, vale
^
e (x) = Ad
dgx X
(g) X (gx) :
e X 2 g, isso implica que dgx g (x)
Como a distribuição g é gerada pelos campos X,
1
g (gx). A inclusão contrária se obtém da mesma forma transladando por g , ao invés
de g.
2
Essa proposição mostra que a distribuição g é característica (veja a de…nição B.8).
Portanto, pelo teorema B.9 essa distribuição é integrável.
Proposição 13.6 A distribuição
g
é integrável.
As variedades integrais dessa distribuição fornecem as órbitas da ação de G. Para
ver isso seja Ig (x) a variedade integral maximal de g , que passa por x. Pelo fato da
distribuição ser G-invariante (pela proposição 13.5), conclui-se que para cada g 2 G o
conjunto gIg (x) é uma variedade integral da distribuição. É claro que gx 2 gIg (x) o
que implica que gIg (x) Ig (gx). Esta inclusão não é própria, pois se fosse g 1 (Ig (gx))
seria uma variedade integral de g , que conteria Ig (x). Vale portanto a igualdade
gIg (x) = Ig (gx)
g 2 G; x 2 M:
(13.1)
Em particular, o lema a seguir mostra que se G é conexo então seus elementos preservam
as variedades integrais maximais.
270
Lema 13.7 Com as notações anteriores, suponha que G seja conexo. Então, gIg (x) =
Ig (gx) = Ig (x) para todo g 2 G e x 2 M . Isto é, as variedades integrais maximais de
g são G-invariantes.
Demonstração: Dado g 2 G escreva g = eXk
: [0; k] ! M por
(t) = e(t
i+1)Xi Xi
e
eX1 x
1
eX1 e de…na a curva contínua
t 2 [i
1; i]:
ei , que são tangentes a
Essa curva é uma concatenação de trajetórias dos campos X
g . Portanto a curva está contida numa única variedade integral maximal de
g. O
seu ponto inicial é x e o ponto …nal é gx. Daí que Ig (gx) = Ig (x), mostrando o lema. 2
A partir da invariança do lema se obtém, no caso conexo, uma ação G Ig (x) !
Ig (x) sobre cada variedade integral maximal. Essas ações são diferenciáveis, pois as
variedades integrais são quase-regulares. Além do mais, a órbita G x está contida
em Ig (x). Na verdade, o seguinte resultado mostra que G x = Ig (x), obtendo uma
caracterização das órbitas de G em termos da ação in…nitesimal.
Teorema 13.8 Suponha que G seja conexo. Então, para todo x 2 M a órbita G x
coincide com a variedade integral maximal Ig (x) de g que passa por x.
Demonstração: A idéia é provar que as G-órbitas são conjuntos abertos nas variedades integrais. Seja fX1 ; : : : ; Xk g uma base de g e tome y 2 Ig (x). De…na a
aplicação
(t1 ; : : : ; tk ) = et1 X1
etk Xk y:
A imagem dessa aplicação está contida na órbita G y. Além do mais, sua diferencial
ei (y), que por sua vez geram o espaço
na origem é gerada pelas derivadas parciais X
tangente g (y) a Ig (x). Portanto, pelo teorema da aplicação aberta y está no interior (em relação à topologia intrínseca de Ig (x)) da imagem de . Isso implica que
y 2 (G y) e daí que as órbitas G y são abertas em Ig (x). Porém, o complementar
de uma órbita é uma união de órbitas. Assim, G x é aberto, fechado e não vazio no
conjunto conexo Ig (x), mostrando que G x = Ig (x).
2
Em geral as órbitas dos grupos não conexos são uniões de variedades integrais
maximais de g . De fato, a órbita G0 x da componente da identidade é Ig (x). Então,
G x=
[
g2G
gG0 x =
[
g2G
gIg (x) =
[
Ig (gx) :
g2G
O próximo objetivo é fazer a identi…cação de uma órbita G x com o espaço homogêneo G=Gx . Conforme foi visto no capítulo 2 a aplicação x : G=Gx ! G x de…nida
pelo diagrama
271
G
x
-
X
*
?
x
G=H
isto é, x (gGx ) = gx é bijetora. Essa aplicação é contínua e diferenciável em relação
à estrutura quociente, uma vez que x
= x onde x (g) = gx é a aplicação parcial
da ação : G M ! M . Como a órbita G x é uma subvariedade quase-regular, x é
diferenciável a valores em G x. Do teorema 6.22, segue que x também é diferenciável.
Proposição 13.9 A aplicação
x
: G=Gx ! G x é um difeomor…smo.
Demonstração: Como x é diferenciável e bijetora, basta veri…car que ela é um
difeomor…smo local, o que é equivalente a que sua diferencial seja bijetora em todo
ponto. Como x
= x a imagem da diferencial da em gGx 2 G=Gx coincide com
e (gx). Isto é, a imagem
a imagem da diferencial (d x )g , que é formada pelos vetores X
de d ( x )gGx é g (gx), isto é, a diferencial é sobrejetora e portanto injetora já que as
dimensões de G=Gx e G x coincidem com dim G dim Gx .
2
Um caso particular coberto por esta proposição é o da ação transitiva, quando existe
uma única órbita, que é a própria variedade M . Nesse caso x : G=Gx ! M é um
difeomor…smo. Nesse caso os espaços tangentes Tz M , z 2 M , coincidem com g (z),
e (z) para algum
o que signi…ca que todo vetor tangente v 2 Tz M é da forma v = X
X 2 g.
Por …m, vale o seguinte resultado sobre ações transitivas da componente conexa da
identidade.
Proposição 13.10 Suponha que a ação de G em M é transitiva e seja C uma componente conexa de M . Então, a restrição da ação de G à sua componente conexa da
identidade G0 é uma ação transitiva de G0 em C.
Demonstração: Antes de mais nada, a restrição a G0 de fato de…ne ações nas
componentes conexas de M , pois se g 2 G0 , então g (C) está contido numa componente
conexa de M , por continuidade da ação. Como g (C) e 1 (C) estão necessariamente na
mesma componente conexa, segue que g (C) C.
Dado x 2 C a órbita G0 x é uma subvariedade
de C. Como a ação
S
S de G é transitiva, C
Gx, o que implica que C
g2G G0 (gx) (já que C
g2G fgxg). No
entanto,
S para todo g 2 G, G0 (gx) = (gG0 ) x, já que G0 é subgrupo normal. Portanto,
C
g2G g (G0 x). Essa união é no máximo enumerável, uma vez que isso ocorre com a
quantidade de componentes conexas de G. Pelo teorema de Baire, segue que pelo menos
um dos conjuntos g (G0 x) é aberto. Mas, eles esses conjuntos são difeomorfos entre
si. Portanto, G0 x é aberto em C o que pela proposição anterior mostra que G0 x = C. 2
272
13.2
Teorema de Lie-Palais
Uma pergunta natural é se as ações in…nitesimais de álgebras de Lie são provenientes
de ações de grupos de Lie, no sentido em que se g é uma álgebra de Lie real de dimensão
…nita e : g ! (T M ) uma ação in…nitesimal de g então existe um grupo de Lie G
cuja álgebra de Lie é g e uma ação : G M ! M tal que é a ação in…nitesimal
correspondente a . Uma condição necessária para que isso aconteça é que os campos
e obtidos
de vetores (X), X 2 g, sejam completos, uma vez que os campos de vetores X
de uma ação de grupo são completos.
A seguir será demonstrado o teorema de Lie-Palais1 que mostra que a completude
dos campos de vetores (X), X 2 g, é uma condição su…ciente para que a ação
in…nitesimal seja integrada a uma ação de um grupo de Lie G. Em particular, numa
variedade compacta M toda ação in…nitesimal é proveniente de uma ação global.
Para construir uma ação : G M ! M que globaliza a ideia mais imediata
vem da observação de que se X
t denota o ‡uxo do campo de vetores (X) então deve
valer a igualdade
X
etX ; x
t (x) =
para todo t 2 R e x 2 M . Com isso a ação deve ser de…nida, para g = eX1
por
Xn
1
eX1
eXn ; x = X
1
1 (x) :
eXn 2 G
A di…culdade nessa de…nição direta de está em provar que ela é bem de…nida no
sentido em que o segundo membro não depende de como g 2 G é escrito por um produto
de exponenciais. Devido a essa di…culdade se adota uma abordagem parecida com a da
construção de um homomor…smo entre grupos de Lie que estende um homomor…smo de
álgebras de Lie (veja o capítulo 7) em que as aplicações x : G ! M , x (g) = (g; x),
são construídas através de seus grá…cos em G M . Esses grá…cos, por sua vez, são
dados por variedades integrais de uma distribuição integrável.
Dito isso, seja G o grupo conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Dada
a ação in…nitesimal : g ! (T M ) de…na em G M distribuição
(g; x) = f X d (g) ; (X) (x) 2 T(g;x) G
M : X 2 gg:
Essa distribuição satisfaz as seguintes propriedades:
1. dim
(g; x) = dim G para todo (g; x) 2 G M , pois a aplicação linear X 2
g 7! X d (g) ; (X) (x) 2
(g; x) é um isomor…smo.
2.
1
é diferenciável, já que se fX1 ; : : : ; Xn g é uma base de g então os campos
de vetores X1d ; (X1 ) ; : : : ; Xnd ; (Xn ) formam uma parametrização global de
.
Veja R. Palais, A global formulation of the Lie theory of transitive groups, Memoirs of AMS, 22
(1957).
13.2. Teorema de Lie-Palais
3.
273
é integrável, como segue do teorema de Frobenius ou mais precisamente de
seu corolário B.15. De fato, se X; Y 2 g então
[ X d ; (X) ; Y d ; (Y ) ] = [X; Y ]d ; [X; Y ]
pois é homomor…smo. Daí que a parametrização global do item anterior é
fechada pelo colchete como na hipótese do corolário B.15. De forma alternativa,
se fX1 ; : : : ; Xn g é base de g e it denota o ‡uxo (Xi ) então é possível veri…car
a aplicação
1
(t1 ; : : : ; tn ) 7! et1 X1
etn Xn g; 1t1
t1 (x)
é uma variedade integral de
por (g; x) se (t1 ; : : : ; tn ) é su…cientemente pequeno
(compare com a demonstração do teorema 13.8).
Seja I (g; x) a variedade integral conexa maximal de
que contém (g; x). Quando
os campos de vetores (X) são completos as variedades integrais tem boas propriedades
em relação à projeção p : G M ! G, como mostram os lemas a seguir.
Lema 13.11 A restrição a uma variedade integral I (g; x) da projeção p : G M ! G
é um difeomor…smo local. Se os campos (X), X 2 g, são completos então a projeção
é sobrejetora.
Demonstração: A diferencial de p restrita a
(g; x) leva o vetor tangente X d (g) ; (X) (x)
d
em X (g). Essa aplicação é sobrejetora e portanto um isomor…smo entre
(g; x) e
Tg G. Daí que p é um difeomor…smo local. A sobrejetividade vem do fato de que as
trajetórias dos campos X d ; (X) estão inteiramente contidas nas variedades integrais
de
. Uma trajetória dessas é da forma etX g; t (x) onde t é o ‡uxo de (X).
Como (X) é completo segue que p (I (g; x)) contém etX g para todo X 2 g. Tomando
concatenações sucessivas de trajetórias de campos (Y; (Y )), se conclui que p (I (g; x))
contém produtos arbitrários do tipo eX1
eXn g e, portanto, p (I (g; x)) = G.
2
O fato de que p : I (g; x) ! G é um difeomor…smo local garante que se (h; y) 2
I (g; x) então existem abertos conexos Ay
I (g; x) e By
G com (h; y) 2 Ay e
h 2 By tal que p : Ay ! By é difeomor…smo. Em geral os conjuntos By dependem
de y. No entanto, com a hipótese de que os campos (X) são completos é possível
encontrar conjuntos Ay e By tais que By é constante como função de y e com isso
mostrar a propriedade de recobrimento.
Lema 13.12 Suponha que os campos (X), X 2 g, são completos. Então, para toda
variedade integral conexa maximal I (g; x) de
(g; x) a projeção p : I (g; x) ! G é
uma aplicação de recobrimento.
Demonstração: Tome abertos conexos V
g e U 2 G contendo as origens tal que
exp : V ! U é difeomor…smo. Assuma que V = V . Para X 2 g denote por X
t o
X
‡uxo do campo (X). A hipótese de que (X) é completo garante que 1 (y) é bem
de…nido para todo y 2 M .
274
Sejam agora h 2 G e y 2 M tal que (h; y) 2 I (g; x) e de…na o conjunto
Ay = f eX h;
X
1
(y) : X 2 V g:
Esse conjunto está contido em I (g; x) pois os campos X d ; (X) são tangentes a
. Claramente Ay é a imagem da aplicação diferenciável fy;h : V ! I (g; x) dada
fy;h = Dh exp de onde se
por fy;h (X) = eX h; X
1 (y) . Essa aplicação satisfaz p
vê, pela regra da cadeia, que fy;h é um difeomor…smo local. Portanto, cada Ay é um
aberto conexo de I (g; x). Suas projeções p (Ay ) são iguais a B = U h. Cada restrição
Y
py : Ay ! U h é injetora pois se eX h = eY h então X = Y e daí que X
1 (y).
1 (y) =
Portanto, py é difeomor…smo, uma vez que p é difeomor…smo local e py é também
sobrejetora. Os conjuntos Ay serão usados para mostrar que p : I (g; x) ! G é
aplicação de recobrimento. Esses conjuntos satisfazem as seguintes propriedades:
1. Ay é conexo pois é difeomorfo a U h.
2. Ay1 \ Ay2 = ; se y1 6= y2 , pois se
eX h;
X
1
(y1 ) = eY h;
Y
1
(y2 ) 2 Ay1 \ Ay2
X
então eX h = eY h e, portanto X = Y . Daí que X
1 (y1 ) = 1 (y2 ), isto é, y1 = y2 .
S
3. p 1 (U h) =
Ay . De fato, Ay
p 1 (U h) para todo y 2 p 1 fhg por
y2p
1 fhg
construção dos conjuntos Ay . Por outro lado, os elementos de p 1 (U h) são da
forma eX h; z com X 2 V e z 2 M , desde que eX h; z 2 I (g; x). Tome
eX h; z 2 p 1 (U h), X 2 V . Então, a trajetória do campo (X; (X)) iniciada
em eX h; z permanece em I (g; x). Para t 2 [ 1; 0] a primeira coordenada dessa
trajetória é e(1+t) h e portanto essa trajetória não sai de p 1 (U h). Como para
t = 1 a trajetória assume o valor e X eX h; X1 (z) = h; X1 (z) , segue que
S
eX h; z 2 Ay com y = X1 (z) 2 p 1 fhg. Daí que p 1 (U h)
Ay .
y2p
1 fhg
Essas propriedades mostram que p é uma aplicação de recobrimento, concluíndo a
demonstração do lema.
2
No caso em que o grupo G é simplesmente conexo, as aplicações de recobrimento
p : I (g; x) ! G são bijetoras. Mas p é difeomor…smo local, daí que cada projeção
p : I (g; x) G M ! G é um difeomor…smo. Portanto, I (g; x) é o grá…co de uma
aplicação diferenciável G ! M .
Denote por x : G ! M a aplicação diferenciável cujo grá…co é a variedade integral
I (1; x). A proposição a seguir fornece uma expressão para x em termos de exponenciais em G e dos ‡uxos X
(X). Essa expressão permite
t dos campos de vetores
mostrar que (g; x) = x (g) é a ação global desejada do grupo simplesmente conexo
G, que integra a ação in…nitesimal .
13.2. Teorema de Lie-Palais
275
Proposição 13.13 Dados x 2 M e X1 ; : : : ; Xn 2 g vale
x
eX1
eXn =
X1
1
Xn
1
(13.2)
(x) :
Demonstração: As trajetórias do campo de vetores X d ; (X) permanecem nas
variedades integrais conexas maximais. A trajetória desse campo iniciada em (g; y) é
dada por etX ; X
t (y) . Concatenando trajetórias a partir de (1; x), se vê que
eX1
X1
1
eXn ;
Xn
1
(x)
pertence à variedade integral I (1; x). Daí que, pela de…nição de x , a segunda coordenada é o valor de x na primeira coordenada, o que prova a igualdade (13.2).
2
Agora é possível enunciar e concluir a demonstração do teorema de Lie-Palais que
integra uma ação in…nitesimal de uma álgebra de Lie a uma ação global de grupo de
Lie.
Teorema 13.14 Sejam g uma álgebra de Lie real com dim g < 1 e G o grupo de
Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie g. Seja : g ! (T M ) é
uma ação in…nitesimal de g e suponha que os campos de vetores (X) são completos.
Então existe uma ação diferenciável : G M ! M tal que é a ação in…nitesimal
correspondente.
Demonstração: De…na (g; x) = x (g) onde o grá…co de
integral I (1; x). Isso de…ne uma ação de G em M , pois
1. se x 2 M então
projeta em 1.
x
: G ! M é a variedade
(1; x) = x já que (1; x) é o único elemento de I (1; x) que se
2. Para g; h 2 G vale (g; (h; x)) = (gh; x). De fato, se g = eX1
h = eY1
eYn então pela fórmula (13.2) se obtém
(g; (h; x)) =
=
=
g;
Y1
1
X1
1
Xn
1
Ym
1 (x)
Y1
1
Ym
1
eXn e
(x)
(gh; x) :
A diferenciabilidade da ação segue do teorema de dependência diferenciável e
da fórmula (13.2), tomando sistemas de coordenadas de segunda espécie ao redor dos
elementos g 2 G.
2
A ação de G de…ne um homomor…smo : G ! Dif (M ) a valores no grupo Dif (M )
dos difeomor…smos de M . A fórmula (13.2) mostra que
eX1
eXn =
X1
1
Xn
1
276
daí que a imagem de
é o subgrupo Dif ( ) de Dif (M ) gerado pelos ‡uxos
campos de vetores (X), X 2 g, isto é,
Dif ( ) = f
X1
t1
Xn
tn
X
dos
: Xi 2 g; ti 2 Rg:
Portanto, Dif ( ) é isomorfo a G= ker que tem estrutura de grupo de Lie, já que ker é
X
subgrupo fechado de G. A álgebra de Lie de ker é ker pois
etX = tX
1 = t = id
se, e só se, (X) = 0. Dessa forma a álgebra de Lie de Dif ( ) é isomorfa g= ker , que
por sua vez é isomorfa à imagem de , que é a álgebra de Lie de campos de vetores
f (X) : X 2 gg.
Essas observações se aplicam em particular a uma álgebra de Lie de dimensão …nita
de campos de vetores em que a ação in…nitesimal é dada pela inclusão.
Corolário 13.15 Seja g uma álgebra de Lie de dimensão …nita de campos de vetores
da variedade M tal que todo campo X 2 g é completo. Denote por Dif (g) o grupo de
difeomor…smos de M gerado pelos ‡uxos X dos elementos de g, isto é,
Dif (g) = f
X1
t1
Xn
tn
: Xi 2 g; ti 2 Rg:
Então, Dif (g) tem uma estrutura de grupo de Lie cuja álgebra de Lie é isomorfa a g.
Por …m, o exemplo a seguir ilustra o caso de uma ação in…nitesimal que pode
ser integrada a uma ação local, mas não global, pois os campos de vetores não são
completos.
Exemplo: A imagem da aplicação
x2R7 !
x
1
2 R2
0
. O conjunto das retas que passam pela origem
1
e cruzam r é aberto e denso na reta projetiva P1 . Dessa forma, a aplicação acima de…ne
um mergulho de R num conjunto aberto e denso de P1 . A restrição da ação canônica
de Gl (2; R) a esse conjunto aberto denso de…ne uma ação local de Gl (2; R) em R por
transformações lineares fracionárias. De fato, seja g p, g 2 Gl (2; R) e p 2 P1 a ação
x
a b
na reta projetiva. Se p é o subespaço gerado por
eg=
então g p é
1
c d
o subespaço gerado por
ax + b
:
cx + d
é a reta horizontal r que passa por
Se cx + d 6= 0 esse vetor gera o mesmo subespaço que
(ax + b) = (cx + d)
1
:
13.3. Fibrados
277
Usando a notação
g x=
ax + b
;
cx + d
a aplicação (g; x) = g x de…ne uma ação local de Gl (2; R) em R. É claro que não
está de…nida em todo Gl (2; R) R, porém para os valores em que está de…nida vale
g (h x) = (gh) x. Em todo caso está de…nida nas vizinhanças de (1; x) para todo
x 2 R o que permite de…nir os campos de vetores
e (x) = d etA x
A
dt
jt=0
= d(
x )1
(A)
onde x é a aplicação parcial x (g) = (g; x). Como é a restriçào de uma ação
e de…ne uma ação in…nitesimal de gl (2; R) em R. Para calcular A
e escreva
global, A 7! A
etA =
A=
at b t
ct d t
:
Então,
e (x) = d
A
dt
at x + b t
ct x + d t
:
jt=0
Como a0 = d0 = 1 e c0 = d0 = 0, segue que
e (x) =
A
+(
)x
x2 :
Esses campos de vetores estão associados às equações diferenciais de Ricatti e, em
e de…ne uma ação in…nitesimal de
geral, eles não são completos. A aplicação (A) = A
gl (2; R) que não se integra a uma ação global.
2
13.3
Fibrados
Nessa seção serão discutidos os conceitos de …brado principal e seus …brados associados.
Esses conceitos surgem de forma natural ao se considerar aplicações entre diferentes
espaços homogêneos.
13.3.1
Fibrados principais
Um …brado principal P (M; G), (muitas vezes denotado simplesmente por P ! M )
se constitui do espaço total P da base M , ambos espaços topológicos e do grupo
estrutural G. Esses espaços estão relacionados da seguinte forma:
1. O grupo G age livremente à direita em P pela ação D : (p; g) 7! pa, p 2 P ,
g 2 G. (Isto é, se pg = p para algum p então g = 1.)
278
2. O espaço das órbitas dessa ação é M . Isso signi…ca que existe uma aplicação
sobrejetora
:P !M
tal que as órbitas de G são os conjuntos
1
fxg, x 2 M .
3. P é localmente trivial no sentido em que para todo x 2 M existe uma vizinhança
U de x e uma aplicação bijetora, denominada de trivialização local,
:
1
(U ) ! U
G;
que é da forma
(p) = ( (p) ; (p))
onde
:
1
(U ) ! G é uma aplicação que satisfaz
(pg) =
para todo p 2
1
(p) g
(13.3)
(U ) e g 2 G.
O …brado P ! M é dito …brado topológico se as aplicações envolvidas na de…nição
são contínuas (e homeomor…smos quando bijetoras). O …brado principal é de classe C k ,
k 1, se os espaços envolvidos são variedades diferenciáveis de classe C k (em particular
G deve ser grupo de Lie) e as aplicações envolvidas são diferenciáveis de classe C k (e
difeomor…smos no caso das bijeções). Nesse caso a projeção : P ! M torna-se uma
submersão, pois através da trivialização local
ela se identi…ca com a projeção na
primeira coordenada U G ! U .
1
As …bras do …brado principal são denotadas por Px =
fxg, x 2 M , ou Pp =
1
f (p)g, p 2 P .
Exemplos:
1. O produto M G é um …brado principal com grupo estrutural G, cuja ação à
direita é Dh (x; g) = (x; g) h = (x; gh). Em particular, um grupo G pode ser
visto como …brado principal em que a base se reduz a um ponto M = fxg. Esse
produto é chamado de …brado trivial.
2. Seja M uma variedade diferenciável e T M seu …brado tangente. O …brado …brado das bases ou …brado dos referenciais de M é o conjunto BM de todas
as bases de T M . Isto é, um elemento p de BM é uma base
ff1 ; : : : ; fn g
(13.4)
de algum espaço tangente Tx M , x 2 M . De forma equivalente, p 2 BM pode ser
visto como uma aplicação linear inversível (referencial) p : Rn ! Tx M , x 2 M .
Dada a aplicação p, o conjunto
fp (e1 ) ; : : : ; p (en )g;
13.3. Fibrados
279
onde fe1 ; : : : en g é a base canônica de Rn , é uma base de Tx M . Vice-versa, a base
(13.4) determina a aplicação p : Rn ! Tx M dada por
p (x1 ; : : : ; xn ) = x1 f1 +
+ xn f n :
A projeção BM ! M associa a p : Rn ! Tx M o ponto x 2 M , de tal forma que
a …bra BMx é o conjunto dos referenciais de Tx M .
O grupo Gl (n; R) age à direita em BM por
(p; g) ! pg = p g;
com p 2 BM e g 2 Gl (n; R). Essa ação é livre pois os elementos de BM são
transformações lineares inversíveis ( p g = p se e só se g = 1) e transitiva
nas …bras pois dada a transformação linear p : Rn ! Tx M as demais são da
forma q = p g para algum g 2 Gl (n; R). Essa construção de…ne BM como
um …brado principal de grupo estrutural Gl (n; R) e base M . A condição de
trivialização local se obtém tomando cartas de M . Através das cartas se obtém
para todo x 2 M uma vizinhança U e campos de vetores X1 ; : : : ; Xn de…nidos
em U (campos coordenados) que são linearmente independentes em todo ponto
de U . Esses campos de…nem seções de BM , que o trivializam localmente. (Veja
a discussão abaixo, que relaciona trivializações locais com seções).
3. Denote por Bk (n) o conjunto formado pelas transformações lineares injetoras
p : Rk ! Rn :
(os elementos de Bk (n) se identi…cam aos conjuntos de k elementos linearmente
independentes de Rn ou ainda às das matrizes n k de posto k.)
O grupo GL (k; R) age em Bk (n) por multiplicação à direita de matrizes. Essa
ação é livre pois os elementos de Bk (n) são transformações lineares injetoras.
O quociente por essa ação à direita é a Grassmanniana Grk (n) dos subespaços
de dimensão k de Rn . De fato, as imagens das aplicações lineares em Bk (n) são
subespaços de dimensão k de Rn . Isso de…ne uma aplicação
p 2 Bk (n) 7 ! imp 2 Grk (n) ;
cujas …bras coincidem com as órbitas de Gl (k; R). Isso porque se p e q = pa
são dois elementos numa mesma órbita então as imagens de p e q coincidem.
Por outro lado, se as imagens de p e q coincidem então é possível escrever p 1 q
onde p 1 denota a inversa de p como aplicação de Rk sobre sua imagem. Então
p 1 q 2 Gl (k; R) e como q = p (p 1 q), isso mostra que dois elementos com mesma
imagem estão numa mesma órbita de Gl (k; R).
Essa construção de…ne o …brado principal Bk (n) (Grk (n) ; Gl (k; R)) com grupo
estrutural Gl (k; R).
280
O fato de que esse …brado é localmente trivial pode ser visto diretamente, construindo seções locais, ou indiretamente olhando esse …brado como um …brado
associado do …brado Gl (n; R) (Grk (n) ; P ) obtido da ação transitiva de Gl (n; R)
em Grk (n). (Veja a seção 13.4 abaixo.)
No caso em que k = 1, a Grassmanniana é o espaço projetivo Pn 1 . Nesse caso
Bk (n) é nada mais nada menos que Rn n f0g e a projeção Rn n f0g ! Pn 1
associa v 2 Rn n f0g a reta gerada por v.
4. Como variação do exemplo anterior considere, ao invés de todas as bases de
um subespaço de dimensão k, somente as bases ortonormais (em relação a um
produto interno …xado em Rn ). Isso fornece a variedade de Stiefel Stk (n) que
é constituída pelos conjuntos linearmente independentes de Rn , com k elementos,
que são ortonormais. De forma equivalente, p 2 Stk (n) pode ser visto como uma
transformação linear
p : Rk ! Rn
que é uma isometria entre os produtos internos canônicos de Rk e de Rn . Ou
ainda, pode-se pensar p 2 Stk (n) como uma matriz n k. A condição de ser
isometria se traduz aqui pela condição
pT p = 1
onde pT signi…ca a transposta da matriz e 1 é a matriz identidade k
projeção
Stk (n) ! Grk (n)
k. A
dada pela imagem de um elemento de…ne um …brado principal com grupo estrutural O (k).
No caso em que k = 1, Stk (n) é a esfera S n
Sn
1
1
! Pn
e a projeção
1
é dada por identi…cação de antípodas na esfera.
f seu recobrimento universal. A aplicação canônica
5. Seja M uma variedade e M
f ! M de…ne um …brado principal cujo grupo estrutural é o
de recobrimento M
grupo fundamental de M .
2
Um mor…smo entre dois …brados principais P (M; G) e Q (N; H) é uma aplicação
: P ! Q tal que existe um homomor…smo
: G ! H satisfazendo (pa) =
(p) (a), p 2 Q e a 2 G. Essa condição para garante que a imagem de uma …bra de
P está contida numa …bra de Q. Portanto, induz uma aplicação f : M ! N , entre
as bases dos …brados, que é dada por f (x) = ( (p)) para qualquer p 2 Px , onde
: Q ! N é a projeção de Q. Os …brados P e Q são isomorfos se é isomor…smo
13.3. Fibrados
281
1
e bijetora. Nesse caso
: Q ! P juntamente com 1 de…nem um mor…smo
entre Q (N; H) e P (M; G). No caso particular em que G = H e = id, o mor…smo é
denominado de endomor…smo (automor…smo no caso inversível). Se e são injetoras
então a imagem de é um sub…brado principal de Q. Já se M = N , G
H e
: G ,! H é a inclusão então P é chamado de uma G-redução de Q.
A condição de trivialidade local na de…nição de um …brado principal P ! M é para
que P seja um feixe bem organizado de grupos (ou grupos de Lie no caso diferenciável).
Essa condição também está ligada à idéia básica da de…nição de variedade diferenciável. Esta é feita tomando as cartas e o ponto principal é o tipo de condição que
deve satisfazer as funções de mudança de coordenadas (de cartas, isto é, 1 2 1 onde
1 e
2 são cartas da variedade). Por exemplo o grau de diferenciabilidade de uma
variedade é determinado pelo grau de diferenciabilidade dessas funções de mundanças
de coordenadas.
De forma análoga, um …brado principal também pode ser de…nido como uma variedade em que as funções de mudança de coordenadas pertencem a uma determinada
classe de transformações. Essa a…rmação está mais ou menos implicita na discussão a
seguir.
1
Seja :
(U ) ! U G uma trivialização local como previsto na de…nição e
1
:
(U ) ! G a segunda coordenada de . O conjunto
1
f(x; 1) : x 2 M g
é uma subvariedade em 1 (U ) e como a primeira coordenada de é a projeção sobre
M , essa subvariedade cruza cada …bra 1 fxg, x 2 U , em um único ponto. Chame esse
ponto de (x). Então : U ! P é uma seção local de P , isto é, satisfaz ( (x)) = x.
Por de…nição de , tem-se que ( (x)) = 1 e devido a (13.3) é dada a partir de
por
( (x) a) = ( (x)) a = a
com a 2 G e, portanto, (x) a percorrendo toda a …bra sobre x. Como é completamente determinada por , ela é também determinada por . De forma explicíta,
( (x) a) = (x; ( (x) a)) = (x; a) ;
(13.5)
o que mostra que a existência da seção local garante a existência da trivialização.
Sejam 1 : 1 (U1 ) ! U1 G e 2 : 1 (U2 ) ! U2 G duas trivializações locais
tais que U1 \ U2 6= ;. Use as notações 1 e 2 para as segundas coordenadas e 1 e 2
para as seções correspondentes.
Como 1 (x) e 2 (x) pertencem à mesma …bra, para cada x 2 U1 \ U2 existe
(x) 2 G tal que
2 (x) = 1 (x) (x) :
Isso de…ne uma função
De fato, por (13.5),
: U1 \ U2 ! G, que fornece a mudança de coordenadas
1
2
(x; a) =
2
(x) a
1
1
2
.
282
e portanto
1
1
2
(x; a) =
1
(
2
(x) a) =
1
(
1
(x) (x) a) = (x; (x) a) ;
isto é, a mudança de coordenadas é nada mais nada menos que multiplicação à esquerda
por (x). Por essa razão a função é chamada de função de transição entre as
trivializações 1 e 2 (nessa ordem).
A função de transição fornece a mudança de coordenadas entre duas trivializações,
mas não as trivializações propriamente ditas. Apesar disso, é possível reconstruir o
…brado se forem dadas funções de transição compatíveis da seguinte forma:
Seja 3 uma terceira trivialização com domínio U3 que intercepta U1 \ U2 . Denote
por ij a função de transição entre i e j (nessa ordem). Então,
1
2
2
3
3
1
1
(x; a) = (x;
12
(x) a)
1
(x; a) = (x;
23
(x) a)
1
(x; a) = (x;
31
(x) a)
Compondo as duas primeiras se obtém a terceira. A composta é
1
1
2
1
2
3
=
1
1
2
(x;
23
(x) a) = (x;
12 23
(x) a) ;
que comparada com a terceira fornece
31
(x) =
12
(x)
23
(x) :
(13.6)
Essa igualdade é denominada de propriedade de cociclo, que é satisfeita pelas aplicações
ij que de…nem as funções de transição de um …brado dado. Reciprocamente, vale o
seguinte teorema, que não será demonstrado aqui.2
Teorema 13.16 Sejam M uma variedade e G um grupo de Lie. Suponha que existam
aplicações : U ! G com U aberto de M de tal forma que seus domínios cubram M e
tal que para cada três dessas aplicações cujos domínios se interceptam a condição (13.6)
seja satisfeita. Então, existe um único (a menos de isomor…smo) …brado principal
P com grupo estrutural G e com trivializações com funções de transição dadas pelas
aplicações a valores em G.
13.3.2
Fibrados associados
Os ingredientes que entram na de…nição de um …brado associado são um …brado principal : P ! M e uma ação à esquerda do grupo estrutural G num espaço F .
O grupo G age à direita no produto P
F por g (p; v) = (pg; g 1 v), g 2 G e
(p; v) 2 P F . Essa ação determina uma relação de equivalência em P F em que
2
Veja, por exemplo, a proposição I.5.2 em Kobayashi-Nomizu [34], no contexto diferenciável ou o
teorema 5.3.2 em Husemoller [29] para …brados topológicos.
13.3. Fibrados
283
(p; v)
(q; w) se, e só se, existe g 2 G tal que q = pg e w = g 1 v. A classe de
equivalência do par (p; v) 2 P F é denotada por p v ou por [p; v].
O conjunto E das classes de equivalência de é denominado de …brado associado
a P com …bra tipo F e base M . Esse …brado associado é denotado por E = P G F .
As seguintes observações justi…cam a terminologia empregada.
1. Se (p; v)
E : P
E=P
(q; w) então p e q estão na mesma …bra de P . Portanto, a aplicação
(p) é bem de…nida, o que torna
G F ! M de…nida por E (p v) =
F
um
…brado
sobre
M
.
G
As …bras de E ! M são denotadas por Ex =
1
= p v 2 E.
E f E ( )g,
1
fxg, x 2 M , ou E =
2. Dado p 2 P os pares (p; v) e (p; w) são equivalentes se, e só se, v = w. De fato,
(p; v)
(p; w) se existe a 2 G tal que p = pa e w = a 1 v. Como a ação de G
em P é livre, segue que a = 1 e, portanto, w = v. Em outras palavras, …xando
p 2 P cada classe de equivalência p v 2 P G F é determinado por um único
v 2 F.
3. Cada p 2 P determina uma bijeção
v 2 F 7 ! p v 2 Ex
x=
(p) :
(13.7)
De fato, pelo item anterior essa aplicação é injetora. Por outro lado, um elemento
de Ex tem a forma q w com q 2 Pp . Então, q = pa, a 2 G, o que implica que
q w = pa w = paa 1 aw = p aw tem a forma p v, mostrando que a aplicação
(13.7) é sobrejetora.
Normalmente se usa a mesma letra p para indicar essa bijeção, o que justi…ca a
notação p v para a classe de (p; v).
A bijeção do último item acima signi…ca que os elementos de P parametrizam
as …bras do …brado associado E ! M , isto é, cada p 2 P parametriza a …bra Ex ,
x = (p) pela …bra tipo F . Dois elementos p e q na mesma …bra fornecem diferentes
parametrizações, que são obtidas uma da outra a partir da ação de G em F . De fato,
se q = pa, a 2 G, então q v = pa v = p av. Portanto, a bijeção de…nida por q se
obtém daquela de…nida por p compondo com a ação de a 2 G.
Os …brados associados admitem trivializações locais herdadas das trivializações do
…brado principal. De fato, seja : U ! P uma seção local de P . Então, a aplicação
: U F ! E 1 (U ) de…nida por (x; v) 7! (x) v é uma bijeção, que trivializa o
…brado associado sobre U . Se 1 é outra seção local então na interseção dos domínios
das seções vale 1 (x) = (x) a (x) com a (x) 2 G. Portanto, 1 (x) v = (x) av e se
é a trivialização correspondente a 1 então 1 e
estão relacionadas por
1
1
1
(x; v) = (x; av) :
(13.8)
Essa aplicação leva …bra em …bra e a aplicação entre as …bras é proveniente da ação
de G.
284
No contexto dos …brados diferenciáveis não é difícil construir uma estrutura de
variedade diferenciável num …brado associado, a partir dessas trivializações locais:
Proposição 13.17 Seja : P ! M um …brado principal diferenciável e suponha que
ação de G em F seja diferenciável. Então, P G F é uma variedade diferenciável tal
que a projeção E : P G F ! M é uma submersão. Além do mais as …bras Ex
são subvariedades fechadas e mergulhadas e as parametrizações v 2 F 7! p v 2 Ex ,
x = (p), são difeomor…smos.
Demonstração: De fato, tomando seções locais : U ! P as trivializações descritas
acima mudam de acordo com as aplicações diferenciáveis (x; v) 7! (x; a (x) v). Essas
trivializações fornecem, portanto, um atlas diferenciável para P G F .
A projeção E é uma submersão, pois na identi…cação local do …brado com U F
ela se identi…ca à projeção na primeira coordenada. Isso mostra que as …bras são subvariedades fechadas e mergulhadas. Por …m, tomando cartas locais de E como produtos
do tipo U F se vê que as parametrizações por elementos de P são difeomor…smos. 2
Exemplos: .
1. Dada uma variedade diferenciável M , com dim M = n, o …brado das bases BM foi
construído acima, como referênciais do …brado tangente T M . O grupo estrutural
de BM é Gl (n; R). Reciprocamente, T M se obtém de BM identi…cando-o como
o …brado associado BM Gl(n;R) Rn , construído a partir da ação linear canônica
de Gl (n; R) em Rn . De fato, existe uma bijeção, quase que tautológica, entre T M
e BM Gl(n;R) Rn , que é de…nida, associando à classe de (p; v) 2 BM Rn o vetor
tangente p (v) 2 Tx M , x = (p) (onde p : Rn ! Tx M , vem da de…nição de BM ).
Essa aplicação é bem de…nida pelo fato de que o …brado associado foi construído a
partir da ação canônica de Gl (n; R) em Rn . De fato, se (p; v) e (q; w) = (pa; a 1 v)
pertencem à mesma classe de equivalência então q (w) = pa (a 1 v) = pv.
2. A construção acima de T M se generaliza aos …brados vetoriais. Seja P (M; G)
um …brado principal e : G ! Gl (V ) uma representação de G no espaço vetorial
V . Então, G atua à esquerda em V . O …brado associado obtido a partir dessa
ação é denotado por E = P
V . Este é um …brado vetorial por satisfazer
as propriedades: i) é composto de uma aplicação : E ! M ; ii) cada …bra tem
estrutura de espaços vetorial (obtida através das bijeções v 7! p v, p 2 P ); iii)
1
existem trivializações locais U V !
(U ), que se transformam umas nas
outras por aplicações que levam …bras em …bras e são lineares nas …bras, como
segue da fórmula (13.8).
Se dim V < 1 e P é um …brado diferenciável então P
V é uma variedade
diferenciável. No entanto, a construção feita acima continua valendo para representações bem mais gerais que as representações de dimensão …nita.
Qualquer …brado vetorial (isto é, E ! M , satisfazendo as três condições acima)
pode ser construído como um …brado associado. Isso é feito de…nindo o …brado
13.3. Fibrados
285
das bases BE de E ! M , da mesma forma que foi feito acima para BM , pelos
isomor…smos lineares p : Rk ! Ex , k = dim Ex . Então, E ! M se obtém como
…brado associado de BE.
3. Se M é uma variedade diferenciável então os …brados tensoriais de M são obtidos
como …brados associados de BM . Por exemplo, o …brado co-tangente T M é o
…brado associado BM
(Rn ) obtido através da representação canônica dual
: se g 2 Gl (n; R) e 2 (Rn ) é um funcional linear então (g) ( ) =
g 1.
2
Dois casos particulares de …brados associados merecem atenção especial. Esses
casos serão apresentados nas proposições a seguir.
Proposição 13.18 Sejam P (M; G) um …brado principal e G=H um espaço homogêneo
de G. O subgrupo H age à direita em P . Denote por P=H o conjunto das órbitas
dessa ação. Então, P=H se identi…ca ao …brado associado P G G=H, obtido pela ação
canônica de G em G=H.
Demonstração: Denote por x0 = 1H a origem de G=H. Um elemento de P=H é
uma órbita à direita pH, p 2 P . De…na a aplicação que a pH 2 p=H associa a classe
p x0 2 P G G=H. Sobre esta aplicação valem as seguintes a…rmações:
1. está bem de…nida pois se q = ph 2 pH então q x0 = ph x0 = p hx0 = p x0 .
2. É injetora pois se q x0 = p x0 então q = pg e x0 = g 1 x0 . A última igualdade
signi…ca que g 1 2 H e, portanto, g 2 H. Da primeira igualdade segue que
qH = pH.
3. É sobrejetora pois dado q x 2 P G G=H então existe g 2 G tal que g 1 x = x0 .
Isso implica que p x0 = q x se p = qg 1 , mostrando que q x está na imagem
da aplicação.
Em suma, pH 7! p x0 é uma bijeção, identi…cando P=H com P
G
G=H.
2
A identi…cação dada na proposição anterior se escreve em coordenadas locais de
1
forma bastante simples: se U G
(U ) é uma trivialização local de P então
obtém-se uma ação à direita de H em U G, que por de…nição (veja (13.3)) é dada
1
por (z; g) h 7! (z; gh), z 2 U , g 2 G e h 2 H. O conjunto das órbitas em
(U )
1
se identi…ca então a U G=H. Por outro lado, os elementos de E (U ) podem ser
escritos como (z; 1) x com z 2 U e x 2 G=H (pois (z; 1) 2 U G se identi…ca a um
1
elemento de
(U )). No …brado trivial U G a bijeção entre P=H e P G G=H é
dada por
(z; gH) 2 (U G) =H 7 ! (z; 1) gH 2 (U G) G G=H:
Através dessa descrição local da identi…cação P=H
P G G=H, segue de imediato
que ela é um difeomor…smo no caso de …brados diferenciáveis.
286
Proposição 13.19 Suponha que P (M; G) seja um …brado principal e : G ! H
seja um homomor…smo de grupos (de Lie). O grupo G age à esquerda em H por
(g; h) 7! (g) h. Denote por P
H o …brado associado obtido dessa ação. Então,
P
H é um …brado principal com grupo estrutural H.
Demonstração: De…na a ação à direita de H em P
H por (p h) h1 = p (hh1 ).
Essa ação é livre pois se p (hh1 ) = p h então existe g 2 G tal que p = pg e
hh1 = (g) 1 h. A primeira igualdade implica que g = 1. Substituindo isso na segunda igualdade, segue que hh1 = h, isto é, h1 = 1. Além do mais, a ação é transitiva
nas …bras pois p : h 2 H 7! p h é uma bijeção entre H e a …bra. Para concluir que
essa ação à direita de…ne P
H ! M só falta veri…car as condições de trivialização
local. Mas, isso segue das trivializações dos …brados associados em geral.
2
Um caso particular da proposição acima é quando G = H e = id. Nesse caso
P id G é isomorfo a P pela aplicação que leva a classe p g 2 P id G no elemento
pg 2 P . Isto é, P pode ser visto como um …brado associado dele mesmo.
Uma seção de um …brado associado
: E = P G F ! M é uma aplicação
: M ! E tal que
= id. Essas seções podem ser de…nidas por aplicações
equivariantes de…nidas no espaço total P e a valores em F . De fato, dada a seção
de…na f : P ! F por
f (p) = p 1 ( ( (p)))
onde p 1 : E (p) ! F é a inversa da bijeção de…nida por p 2 P entre a …bra tipo F e
a …bra E (p) de E sobre (p). Essa aplicação é equivariante, isto é, satisfaz
f (pa) = a
1
f (p)
pois (pa) 1 = a 1 p 1 .
Reciprocamente, seja f : P ! F equivariante e de…na a aplicação fe : P ! P
por fe(p) = p f (p). Se a 2 G então
(13.9)
G
F
fe(pa) = pa f (pa) = pa a 1 f (p) ;
pois f é equivariante. Daí que fe(pa) = fe(p), isto é, fe é constante nas …bras de P .
Isso permite de…nir a aplicação f : M ! P G F por
f
(x) = p f (p)
para qualquer p 2 Px , que é uma seção pois p f (p) está na …bra sobre x.
Em resumo, existe uma bijeção entre as seções do …brado associado P G F ! M
com as aplicações equivariantes P ! F . A bijeção é dada por 7! f cuja inversa é
f 7! f , já que pelas de…nições f = e f f = f .
A função f é chamada de função equivariante associada à seção .
Numa trivialização local a bijeção 7! f é descrita da seguinte forma: seja :
U ! P uma seção local sobre U
M . Então, (x; g) 2 U G 7! (x) g 2 P é uma
13.3. Fibrados
287
trivialização local de P sobre U e o …brado associado P
local
(x; v) 2 U F 7! (x) v 2 P
G
G
F admite a trivialização
F
Se : M ! P G F é uma seção então sua restrição a U é dada, via a identi…cação
do …brado com U F , por (x) = (x; (x)), com : U ! F . Isto é, a trivialização
local associa (x) = (x; (x)) com (x) (x) 2 P G F e daí que f ( (x)) = (x).
Como f é equivariante, segue que a expressão local de f é dada por
f (x; g) = f ( (x) g) = g 1 f ( (x)) = g
1
(x) :
(13.10)
Dessa expressão segue de imediato que em …brados diferenciáveis f é diferenciável
se, e só se, é diferenciável. Portanto, a bijeção 7! f preserva a diferenciabilidade.
Proposição 13.20 Sejam P ! M e P G F ! M …brados diferenciáveis. Então,
uma seção
: M ! P G F é diferenciável se, e só se, sua função equivariante
f : P ! F é diferenciável.
Em geral, um …brado associado pode não admitir seções. Por exemplo, um …brado
principal P ! M , visto como …brado associado dele mesmo só admite seções se for
globalmente trivial. A proposição a seguir relaciona a existência de seções em P G G=H
com H-reduções de P .
Proposição 13.21 Seja P um …brado principal com grupo estrutural G. Seja H G
um subgrupo e tome uma seção de P G G=H. Então, f 1 fog é invariante à direita
por H, onde o = 1H é a origem de G=H. Se além do mais P e são diferenciáveis e
H é fechado então f 1 fog é uma H-redução diferenciável de P .
Demonstração: Se h 2 H então f (ph) = h 1 f (p), pois f é equivariante. Daí que
se p 2 f 1 fog então f (ph) = h 1 (o) = o, mostrando que f 1 fog é invariante por H.
Para ver o caso diferenciável, tome uma trivialização local (x; g) 2 U G 7! (x) g 2 P
dada uma seção : U M ! P . Por (13.10) f é dada em U G por
f (x; g) = g
1
(x)
se (x) = (x; (x)). Daí que f 1 fog = f(x; g) : (x) = g (o)g. Fixe x0 2 U e tome uma
seção diferenciável : V
G=H ! G tal que V
G=H é aberto e (x0 ) 2 V (para a
existência dessa seção veja a proposição 13.22 abaixo). Essa seção satisfaz p
= id
onde p : G ! G=H é a projeção canônica. Isso signi…ca que (y) (o) = y para todo
y 2 V . Portanto, ( (x)) (o) = (x) o que implica que o par (x; ( (x))) 2 f 1 fog.
Isso signi…ca que
é uma seção local diferenciável de…nida no aberto 1 (V ) que
contém x0 . Como x0 é arbitrário isso mostra que f 1 fog é de fato um …brado diferenciável.
2
288
13.4
Espaços homogêneos e …brados
Seja G um grupo. Se H G é um subgrupo então H age à direita em G. Essa ação
é livre, as órbitas são as classes laterais gH e o espaço das órbitas é G=H. No caso
em que G é grupo de Lie e H é um subgrupo fechado então a partir da construção
feita anteriormente da estrutura de variedade diferenciável em G=H, prova-se que a
projeção canônica : G ! G=H de…ne um …brado principal diferenciável.
Proposição 13.22 Sejam G um grupo de Lie e H G um subgrupo fechado. Então,
G ! G=H é um …brado principal com grupo estrutural H.
Demonstração: Falta apenas veri…car a condição de trivialidade local. Para isso
serão usadas as notações envolvidas no teorema 6.22. Foram construídas cartas locais
em G=H como a restrição de aos conjuntos da forma geV . Se Vg denota a imagem
de uma carta dessas então os elementos de Vg são da forma lH com l = geY , Y 2 V .
Então, a aplicação lH 7! geY é uma seção diferenciável de G ! G=H, concluíndo a
demonstração.
2
Sejam G um grupo e H1
H2 subgrupos de G. Então, existe uma aplicação
sobrejetora natural G=H1 ! G=H2 , que associa à classe lateral gH1 a classe lateral
gH2 , que contém gH1 . Essa aplicação é de fato a projeção de um …brado associado,
como mostra a seguinte construção.
Proposição 13.23 Sejam G um grupo de Lie e H1
H2 subgrupos fechados de G.
Então G=H1 é um …brado sobre G=H2 com a projeção canônica G=H1 ! G=H2 , dada
por gH1 7! gH2 . Se H1 é normal em H2 então G=H1 ! G=H2 é um …brado principal
com grupo estrutural H2 =H1 .
Demonstração: Pela proposição 13.18 o …brado associado G H2 H2 =H1 se identi…ca
ao quociente da ação à direita de H1 em G, isto é, se identi…ca a G=H1 . Ainda pela
proposição 13.18 a projeção : G=H1 ! G=H2 leva a classe lateral à direita gH1 em
G=H1 na projeção de g em G=H2 , isto é, (gH1 ) = gH2 . Por …m, se H1 é normal em
H2 então a ação de H2 em H2 =H1 provém do homomor…smo canônico H2 ! H2 =H1 .
Portanto, a última a…rmação segue da proposição 13.19.
2
13.5
Exercícios
^
e = (Ad
1. Use a fórmula g X
(g) X) para mostrar, diretamente a partir da de…nição
e é um homomor…smo de álgebras de
de colchete de Lie, que a aplicação X 7! X
^
e Ye ].
Lie, isto é, [X;
Y ] = [X;
2. Sejam G um grupo de Lie conexo e H um subgrupo fechado. Seja também K um
subgrupo compacto e suponha que dim K dim (K \ H) = dim G=H. Mostre
que K age transitivamente em G=H.
13.5. Exercícios
289
3. Dados um grupo de Lie G e dois subgrupos H; L G com H fechado, mostre que
L tem uma órbita aberta em G=H e, se só se, existe g 2 G tal que g = h+Ad (g) l,
onde g, h e l são as álgebras de Lie de G, H e L, respectivamente.
4. Sejam G um grupo de Lie conexo e H; K
G dois subgrupos tais que H é
fechado e K é compacto. Denote por g, h e k as álgebras de Lie de G, H e
K respectivamente. Mostre que se g = h + k então G = HK. Faça o mesmo
assumindo que g = h + Ad (g) k, para algum g 2 G.
5. Com as notações do exercício anterior, suponha que H \ K = f1g e que g =
h Ad (g) k para todo g 2 G. Mostre que a aplicação (h; k) 2 H K !
7 hk 2 G
é um difeomor…smo.
6. Use o exercício anterior para mostrar que Sl (n; R) = T SO (n) = SO (n) T onde
T é o subgrupo das matrizes triangulares superiores cujas entradas diagonais são
> 0. Interprete a decomposição Sl (n; R) = SO (n) T , aplicando o processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt às colunas de uma matriz.
7. Sejam G um grupo de Lie e H G um subgrupo fechado. Mostre que se G=H
é simplesmente conexo então H é conexo.
8. Seja G um grupo semi simples não compacto e conexo com decomposição de
Iwasawa G = KAN . Mostre que a ação de K emm G=AN é transitiva.
9. Prove que a distribuição g , de…nida por uma ação de G, é integrável mostrando
que a aplicação x : G=Hx ! M , de…nida por x (gHx ) = gx é uma imersão, que
de…ne uma variedade integral de g , que passa por x.
10. Um “‡ag”de subespaços de Rn é uma família de subespaços f = (V1
Vk )
de Rn . Dada uma sequência …nita de inteiros r = fr1 ; : : : ; rk g com 0 < r1
rk n, denote por Fn (r) o conjunto de todos os ‡ags f = (V1
Vk )
com dim Vi = ri .
Mostre que Gl (n; R) age transitivamente em Fn (r), estabelecendo uma bijeção
entre Fn (r) com o espaço homogêneo Gl (n; R) =Q, onde Q é algum grupo de
isotropia. Determine Q e mostre que Q é fechado. Conclua que Fn (r) é uma
variedade diferenciável.
Mostre que os subgrupos Sl (n; R) e SO (n) agem transitivamente em Fn (r) e
escreva Fn (r) como espaços homogêneos Sl (n; R) =P e SO (n) =M . Conclua que
Fn (r) é compacto. (Sugestão: para SO (n) use o exercício 2.)
11. Faça o mesmo que o exercício anterior para o caso dos ‡ags complexos, isto é,
formados por subespaços de Cn . Substitua Gl (n; R) por Gl (n; C), Sl (n; R) por
Sl (n; C) e SO (n) por SU (n).
12. Use ações transitivas de gupos para construir topologias e estruturas diferenciáveis nos seguintes conjuntos:
290
(a) Conjunto das bases de Rn .
(b) Conjunto das bases ordenadas de Rn .
(c) Conjunto das bases ortonormais de Rn (em relação a um produto interno
…xado).
(d) Conjunto dos produtos internos de Rn .
(e) Conjunto das estruturas complexas em R2n (isto é, aplicações lineares J :
R2n ! R2n tais que J 2 = id).
(f) Conjunto das formas simpléticas em R2n (isto é, formas bilineares antisimétricas e não degeneradas).
(g) Conjunto das formas quadráticas em Rn de assinatura dada.
(h) Conjunto dos elementos conjugados a um elemento x de um grupo de Lie G
(isto é, fgxg 1 : g 2 Gg).
13. Seja uma base ordenada de Cn . A subálgebra de Borel de sl (n; C) de…nida por
é a subálgebra b cujos elementos são as transformações lineares, que escritas na
base são triangulares superiores. Denote por B = fb : é baseg o conjunto das
subálgebras de Borel. Mostre que Sl (n; C) age transitivamente em B e veri…que
que, como espaço homogêneo, B coincide com FnC (r) onde r = (1; 2; : : : ; n 1).
14. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Duas subálgebras h1 ; h2 g são
ditas G-conjugadas se existe g 2 G tal que Ad (g) h1 = h2 . Construa uma estrutura diferenciável no conjunto das subálgebras G-conjugadas a uma subálgebra
de Lie h g dada.
15. Dados um grupo de Lie G e H
G um subgrupo fechado, suponha que G=H
seja compacto. Denote por h a álgebra de Lie de H e mostre que o conjunto das
subálgebras G-conjugadas a h (veja o exercício anterior) é compacto.
16. Seja G M ! M uma ação diferenciável. Dado x0 2 M seja Gx0 o grupo de
isotropia. A representação de isotropia de Gx0 é o homomor…smo g 2 Gx0 7!
dgx0 2 Gl (Tx0 M ). Suponha G seja compacto e M conexa. Suponha também
que a órbita G x0 tenha dimensão > 0 e que a representação de isotropia seja
irredutível. Mostre que M é compacta.
17. Seja G M ! M uma ação diferenciável do grupo de Lie na variedade M . Denote
por g a álgebra de Lie de G e tome uma curva contínua A : (a; b) R ! g. Essa
]
curva de…ne a equação diferencial, dependente do tempo, x_ = A
(t) (x) em M .
Mostre que as soluções dessa equação diferencial são dadas por (t; s) (x) onde
(t; s) 2 G é a solução de g_ = A (t) g, g 2 G, com condição inicial (s; s) = 1.
Mostre também que essas soluções se estemdem ao intervalo (a; b).
18. Sejam G um grupo de Lie, G M ! M uma ação diferenciável de G e F
um subconjunto fechado. De…na
gF = fX 2 g : 8t 2 R; exp (tX) F
Fg
M
13.5. Exercícios
291
(isto é, exp (tX) x 2 F se x 2 F ). Mostre que gF é uma subálgebra de Lie.
(Sugestão: use os limites da seção 6.4.)
19. Descreva as órbitas das representações adjunta e co-adjunta do grupo de Heisenberg, isto é, o grupo das matrizes 3 3 da forma
0
1
1 x z
@ 0 1 y A:
0 0 1
20. Descreva as órbitas da representação adjunta do grupo Sl (2; R).
21. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e denote por g o dual de g.
Considere a representação co-adjunta de G em g . Tome 2 g e veri…que que
a álgebra de isotropia da órbita G
de é dada por
g = fX 2 g :
ad (X) = 0g:
Fixando
2 g de…na a forma bilinear anti-simétrica ! (X; Y ) = [X; Y ],
X; Y 2 g. Mostre que se e
g é um subespaço complementar a g , isto é,
g = e g , então a restrição de ! a e é não degenerada (isto é, se ! (X; Y ) = 0
para todo Y 2 e então X = 0). Conclua que as órbitas da representação coadjunta têm dimensão par.
22. Sejam G um grupo de Lie e : G ! G um automor…smo de G. Mostre que o
conjunto dos pontos …xos H = fx 2 G : (x) = xg é um subgrupo de Lie de G.
Suponha, por outro lado, que é involutiva, isto é, 2 = id e considere a aplicação
xH 2 G=H 7! x (x 1 ) 2 G. Mostre que essa aplicação é uma imersão injetora.
23. Seja G M ! M uma ação analítica do grupo de Lie G (analítico) na variedade
analítica conexa M . Denote por k o máximo das dimensões das órbitas de G.
Mostre que o conjunto dos pontos x 2 M tais que dim (G x) = k é um conjunto
aberto e denso de M .
24. Mostre que se G M ! M é uma ação diferenciável do grupo de Lie G na
variedade diferenciável M então a função x 7! dim (G x) é semi-contínua inferiormente, isto é, para todo b 2 R o conjunto fx 2 M : dim (G x) > bg é
aberto.
25. Dada uma ação diferenciável G M ! M do grupo de Lie G na variedade
diferenciável M , seja G x uma órbita de G. Veri…que que o fecho G x é um
conjunto G-invariante e, portanto, uma união de G-órbitas. Mostre que, para
todo y 2 G x, sua órbita G y satisfaz dim (G y) dim (G x). Dê exemplos
de ações em que dim (G y) = dim (G x) para algum y 2 G x. Dê também
exemplos de ações em que dim (G y) < dim (G x) para todo y 2 G x.
292
26. Seja G M ! M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedade
diferenciável M . De…na em M a relação de equivalência dada pelas G-órbitas:
x y se, e só se, y = gx para algum g 2 G. Assuma que a ação de G é livre e
construa no espaço das órbitas M= uma estrutura de variedade diferenciável,
cuja topologia é a topologia quociente e tal que a projeção canônica M ! M=
é uma submersão.
e e
27. Dada uma ação diferenciável : G M ! M com G e M conexos sejam G
f
M os recobrimentos universais. Use o teorema 13.14 para construir uma ação
e:G
e M
f!M
f tal que a aplicação de recobrimento : M
f ! M é equivariante.
e
Mostre que as órbitas de são recobrimentos das órbitas de . Faça o mesmo
c de M . Mostre que se a ação em M e transitiva
para um recobrimento qualquer M
o mesmo ocorre em qualquer recobrimento.
28. Sejam G um grupo de Lie semi simples compacto e H
Mostre que o grupo fundamental 1 (G=H) é …nito.
G um subgrupo fechado.
29. Dados um grupo de Lie G e
G um subgrupo discreto e normal considere
o grupo quociente G= e a projeção canônica : G ! G= . Mostre que se
G= é um sugrupo discreto de G= então 1 ( 1 ) é um sugrupo discreto
1
de G.
30. Dados um grupo de Lie G e um subgrupo fechado
G suponha que : ! H
seja um homomor…smo diferenciável no grupo de Lie H. A partir do …brado
principal G ! G= , construa, como na proposição 13.19, o …brado principal
G H sobre G= . Mostre que se se estende a um homomor…smo diferenciável
G ! H então G
H é um …brado trivial.
Capítulo 14
Geometria invariante
Neste capítulo serão discutidas diversas estruturas geométricas invariantes em espaços
homogêneos. As estruturas consideradas serão dadas por tensores (estrutura complexa,
formas diferenciais, métrica Riemanniana e forma simplética). O principio básico é que
num espaço homogêneo M = G=H (H fechado) as estruturas invariantes são dadas por
seus valores na origem x0 = 1 H. O que acontece é que se h 2 H então h (x0 ) = x0 , o
que implica que sua diferencial dhx0 é uma aplicação linear do espaço tangente Tx0 M
nele mesmo. Essa diferencial de…ne, portanto, uma aplicação : H ! Gl (Tx0 M ),
que é um homomor…smo de grupos, pela regra da cadeia. Isso signi…ca que é uma
representação de H no espaço tangente Tx0 M , que é denominada representação de
isotropia de G=H.
Uma estrutura geométrica invariante em G=H dada por um tensor de…ne em Tx0 M
um tensor invariante pela representação de isotropia e vice-versa, um tensor em Tx0 M
invariante pela representação de isotropia de…ne, via translações, um tensor em G=H
invariante pela ação de G. Ao invés de enunciar um resultado geral sobre isso, esse
procedimento será visto caso a caso nos exemplos que serão considerados neste capítulo.
14.1
Variedades complexas
Uma variedade complexa M é de…nida por um atlas cujas cartas assumem valores
em Cn e as transformações de coordenadas são aplicações holomorfas entre abertos de
Cn (uma aplicação f : U
Cn ! Cn é holomorfa se ela é diferenciável sobre C ou,
de forma equivalente, se f , vista como uma aplicação de R2n , é diferenciável e sua
diferencial dfx em cada ponto
p é uma transformação linear complexa, isto é, comuta
1).
com a multiplicação por i =
As variedades complexas são, em particular, variedades reais, interpretando Cn
como R2n . Se M é uma variedade complexa então cada espaço tangente Tx M é (tem
a estrutura de) um espaço vetorial complexo.
As variedades complexas podem ser vistas como variedades reais munidas de uma
estrutura adicional dada por uma estrutura pseudo-complexa, que amplia o conceito
de variedade complexa.
293
294
Capítulo 14. Geometria invariante
Antes de de…nir as estruturas pseudo-complexas em M , seja V um espaço vetorial
real. Uma transformação linear J : V ! V é uma estrutura complexa em V se
J 2 = id. Se V admite uma estrutura complexa então dim V é par pois os autovalores de J são i e eles aparecem aos pares.
De…nição 14.1 Seja M uma variedade diferenciável. Uma estrutura pseudo-complexa
(ou quase-complexa) numa variedade diferenciável M é um tensor J tal que para cada
x 2 M o valor Jx em x é uma aplicação linear Jx : Tx M ! Tx M que satisfaz Jx2 = id.
A estrutura J é diferenciável se para todo campo de vetores diferenciável X o campo
de vetores JX também é diferenciável.
Deve-se observar que se M admite uma estrutura pseudo-complexa então dim M é
par pois seus espaços tangentes têm dimensão par.
Se M é uma variedade complexa então os espaços tangentes Tx M são espaços vetoriais sobre C. Nesse caso a multiplicação por i em cada Tx M de…ne uma estrutura
pseudo-complexa em M . Variedades complexas são, portanto, pseudo-complexas. Já
a caracterização das variedades pseudo-complexas que são complexas é dada pelo teorema de Newlander-Nirenberg. Esse teorema utiliza o tensor de Nijenhuis da
estrutura J, que é de…nido por
NJ (X; Y ) = J[X; Y ]
[JX; Y ]
[X; JY ]
J[JX; JY ]:
(14.1)
onde X e Y são campos de vetores em M .
Teorema 14.2 Seja M uma variedade pesudo-complexa com estrutura J. Então, M
é uma variedade complexa se, e só se, NJ = 0. Nesse caso a multiplicação por i em
Tx M coincide com J.
Uma estrutura pseudo-complexa J é dita integrável se o seu tensor de Nijenhuis
é identicamente nulo. O teorema de Newlander-Nirenberg diz que as estruturas integráveis são exatamente as provenientes das estruturas complexas.
No contexto de variedades pseudo-complexas uma aplicação holomorfa entre as
variedades M e N munidas de estruturas pseudo-complexas J M e J N é uma aplicação
diferenciável f : M ! N tal que dfx JxM = JfN(x) dfx para todo x 2 M . Isto é, as
diferenciais dfx são aplicações lineares complexa.
Seja agora M = G=H um espaço homogêneo onde G é um grupo de Lie e H é um
subgrupo fechado. Uma estrutura pseudo-complexa J em G=H é invariante pela ação
de G se seus elementos são aplicações holomorfas em relação a J, isto é, se para todo
g 2 G e todo x 2 G=H vale
dgx Jx = Jg(x) dgx :
Uma estrutura invariante J é completamente determinada pelo seu valor na origem
x0 = 1 H, pois se x 2 G=H é dado por x = gx0 então Jx = dgx0 Jx0 (dgx0 ) 1 .
Além do mais a estrutura complexa Jx0 no espaço vetorial Tx0 M é invariante pela
representação de isotropia, no sentido em que Jx0 = dhx0 Jx0 (dhx0 ) 1 se h 2 H.
14.1. Variedades complexas
295
Reciprocamente, seja J0 uma estrutura complexa no espaço vetorial Tx0 M , isto é,
J0 : Tx0 M ! Tx0 M satisfaz J02 = id. Suponha que J0 seja invariante pela representação de isotropia, o que signi…ca que J0 = dhx0 J0 (dhx0 ) 1 se h 2 H. Então, a
expressão
Jx = dgx0 J0 (dgx0 ) 1
x = gx0 2 G=H
(14.2)
de…ne uma estrutura pseudo-complexa em G=H invariante por G. Isso porque a expressão para Jx em (14.2) não depende do elemento g 2 G tal que x = gx0 pois J0
é invariante pela representação de isotropia. Uma estrutura pseudo-complexa de…nida
por esse procedimento é C 1 .
Exemplo: Se H é compacto então g = h m onde h é a álgebra de Lie de H e m é
um subespaço invariante por Ad (H) (por exemplo, m é o subespaço ortogonal a h em
e (x0 ) 2 Tx0 G=H é
relação a um produto interno invariante). A aplicação X 2 m 7! X
^
e = Ad
um isomor…smo A fórmula g X
(g) X, g 2 G e X 2 g, implica que a representação
de isotropia é equivalente à representação adjunta de H em m.
Portanto, o conjunto das estruturas pseudo-complexas em G=H está em bijeção
com o conjunto das estruturas complexas J0 : m ! m tais que Ad (h) J0 = J0 Ad (h)
para todo h 2 H.
As possíveis estruturas complexas que comutam com Ad (H) são vistas através das
decomposições de m em subespaços invariantes e irredutíveis. Suponha que J0 seja um
estrutura complexa em m que comuta com Ad (h), h 2 H. Se W m é um subespaço
Ad (H)-invariante então J0 W também é invariante. De fato, se h 2 H então
Ad (h) J0 W = J0 Ad (h) W = J0 W:
Além do mais se W é irredutível então J0 W também é irredutível pois se U J0 W é
invariante então J0 U
J02 W = W é invariante. A comutatividade de J0 com Ad (h),
h 2 H, mostra que as representações de H em U e J0 U são equivalentes, sendo que a
própria J0 é uma equivalência entre essas representações.
Uma situação em que essas observações se aplicam é quando
m = m1
ms
é uma decomposição de m em invariantes irredutíveis cujas representações de H não
são equivalentes. Nesse caso uma estrutura complexa invariante J0 deve satisfazer
J0 mi = mi para todo i = 1; : : : ; s, isto é, existem estruturas complexas invariantes
em m se, e só se, cada mi admite uma estrutura complexa invariante. Abaixo serão
apresentados exemplos concretos de espaços homogêneos em que ocorre essa situação.
As observações deste exemplo valem também para o caso em que H é semi simples pois, como no caso compacto, suas representações se decompõem em subespaços
invariantes e irredutíveis.
2
Se J é uma estrutura pseudo-complexa invariante em G=H então a igualdade
g [X; Y ] = [g X; g Y ] mostra que g NJ (X; Y ) = NJ (g X; g Y ) se g 2 G. Segue daí
296
que o tensor de Nijenhuis NJ se anula se, e só se, ele se anula na origem x0 de G=H.
Vale portanto o seguinte critério para que uma estrutura pseudo-complexa invariante
seja complexa.
Proposição 14.3 Uma estrutura pseudo-complexa no espaço homogêneo G=H é complexa se, e só se, o tensor de Nijenhuis NJ se anula na origem x0 = 1 H de G=H.
Em suma tanto a construção das estruturas pseudo-complexas invariantes quanto
o critério para decidir se elas são complexas ou não, se reduzem a uma análise do que
acontece na origem do espaço homogêneo. Essa análise depende apenas da representação de isotropia e, em muitos exemplos, é feita via cálculos puramente algébricos.
Antes de apresentar alguns exemplos, convém fazer o seguinte comentário sobre
o segundo membro de (14.1), que de…ne o tensor de Nijenuis. Ele envolve colchetes
de Lie de campos de vetores, que em principio dependem dos valores dos campos nas
vizinhanças de um ponto. No entanto, essa dependência é cancelada entre os quatro
colchetes de tal forma que NJ (X; Y ) depende apenas dos valores de X e Y num ponto
dado, isto é, NJ é de fato um tensor (veja o exercício 2, ao …nal do capítulo).
Existe, portanto, uma certa liberdade na escolha dos campos de vetores no cálculo
do tensor de Nijenhuis. Num espaço homogêneo G=H uma escolha natural são os
e X 2 g, já que esses campos geram o espaço tangente em cada
campos de vetores X,
ponto.
Exemplo: Seja G = SU (n) e H = T
SU (n) o toro maximal formado pelas
matrizes diagonais de SU (n). O quociente SU (n) =T se identi…ca à variedade de ‡ags
(W1
Wn ) de subespaços de Cn com dim Wj = j (veja o exercício 11 do capítulo
13).
A álgebra de Lie t de T é dada pelas matrizes diagonais de traço 0 com entradas
puramente imaginárias. A representação adjunta de T decompõe su (n) em subespaços
invariantes como
X
su (n) = h
Vjk
j<k
onde Vjk é o subespaço das
P matrizes em su (n) com entradas apenas nas posições j; k
e k; j. O subespaço V = j<k Vjk se identi…ca ao espaço tangente na origem de G=H.
Um subespaço Vjk tem dimensão 2 e é gerado por
Ajk = Ejk
Ekj
Sjk = i (Ejk + Ekj )
onde Ejk são as matrizes básicas. As representações adjuntas jk de T e de t em Vjk
são irredutíveis. Em relação à base fAjk ; Sjk g, a representação de t é dada pela matriz
jk
(X) =
0
jk (X)
jk
(X)
0
se X = diagfia1 ; : : : ; ian g, onde jk (X) = aj ak . Dessa expressão segue que se
(j; k) 6= (r; s) então a representação em Vj;k não é equivalente à representação em Vrs .
14.1. Variedades complexas
297
Daí que, conforme foi discutido no exemplo acima, as estruturas complexas em V ,
invariantes por T , são somas de estruturas complexas invariantes em cada Vjk .
Por outro lado, um cálculo simples com matrizes 2 2 mostra que em cada Vjk
existem apenas duas estruturas complexas invariantes, que são dadas por Jjk , onde
em relação à base fAjk ; Sjk g,
0
1
Jjk =
:
1 0
Consequentemente, as estruturas complexas Ad (T )-invariantes em V são somas diretas
de transformações lineares da forma
X
J=
1:
jk Jjk
jk =
j<k
A sua quantidade é …nita e igual a 2N onde N = n(n2 1) é o número de subespaços Vjk .
O tensor de Nijenhuis na origem é uma aplicação bilinear anti-simétrica em V a
valores em V . Para calculá-lo é melhor trabalhar no espaço VC gerado por Ejk , j 6= k,
que é o complexi…cado de V . Tanto J quanto NJ se complexi…cam a VC de tal forma
que se j < k então
Jjk Ejk = iEjk
Jjk Ekj = iEkj :
Portanto, se j 6= k então J é dada por JEjk = i"jk Ejk , isto é, J é determinada pelos
sinais "jk = 1, j 6= k, com a restrição que "kj = "jk . O tensor de Nijenhuis satisfaz
NJ (Ejk ; Ers ) = 0 se [Ejk ; Ers ] = 0, isto é, se fj; kg \ fr; sg = ;. Por outro lado,
NJ (Ejk ; Eks ) = i ("js (1 + "jk "ks )
"jk
"ks ) Ejs ;
que não se anula se, e só se, "jk = "ks 6= "js .
Por exemplo, se J é dado por "jk = +1 se j < k, então J é uma estrutura complexa
integrável. Da mesma forma, se w é uma permutação de f1; : : : ; ng então a estrutura
complexa dada por "jk = +1 se w (j) < w (k) é integrável. É possível veri…car que
essas são as únicas integráveis.
2
A descrição das estruturas complexas em SU (n) =T , apresentada no exemplo anterior, se estende às chamadas variedades ‡ag generalizadas complexas, que são dadas
pelo quociente de um grupo compacto por seu toro maximal. Da mesma forma existem
…nitas estruturas integráveis, que estão em bijeção com as câmaras de Weyl na álgebra
de Lie t do toro1 .
14.1.1
Grupos de Lie complexos
Um grupo de Lie complexo pode ser de…nido nos mesmos moldes em que foram de…nidos
os grupos de Lie: um grupo cujo conjunto subjacente é uma variedade complexa e de tal
forma que o produto é uma aplicação diferenciável e holomorfa em relação à estrutura
complexa da variedade.
1
Veja [50].
298
No entanto, olhando sob a perspectiva de que uma variedade complexa é uma
variedade real com uma estrutura adicional de…ne-se um grupo de Lie complexo como
sendo um grupo de Lie real munido de uma estrutura pseudo-complexa integrável tal
que o produto é uma aplicação holomorfa.
Essa abordagem aos grupos complexos se encaixa nas discussões acima sobre estruturas pseudo-complexas e complexas invariantes em espaços homogêneos.
Para ver isso tome, em primeiro lugar, um grupo de Lie complexo G e seja J a
estrutura complexa dada pela multiplicação por i em cada espaço tangente. Como
o produto p é uma aplicação holomorfa as translações à esquerda Eg e à direita Dg ,
g 2 G, são também aplicações holomorfas. Isso signi…ca que para quaisquer g; h 2 G
valem Jgh d (Eg )h = d (Eg )h Jh e Jhg d (Dg )h = d (Dg )h Jh . Em outras palavras,
J é uma estrutura complexa bi-invariante, isto é, invariante à esquerda e à direita.
Deve-se considerar então estruturas pseudo-complexas em G que são bi-invariantes.
A bi-invariância se re‡ete na ação de G G em G por (g; h) x = gxh 1 . Essa ação é
transitiva e o grupo de isotropia na identidade 1 2 G é a diagonal
G
= f(g; g) 2 G
G : g 2 Gg
de tal forma que G se identi…ca a G G= G . A representação de isotropia : G !
Gl (g) é dada pela adjunta (g; g) = Ad (g) = (dCg )1 .
Portanto, uma estrutura pseudo-complexa J bi-invariante em G é dada por uma
estrutura complexa J1 : g ! g que comuta com as adjuntas:
J1 Ad (g) = Ad (g) J1 :
(14.3)
Em g 2 G a estrutura pseudo-complexa é dada por
Jg = d (Eg )1 J1 d (Eg )1 1 = d (Dg )1 J1 d (Dg )1 1 :
(14.4)
O próximo passo é olhar a integrabilidade dessas estruturas pseudo-complexas,
isto é, o anulamento do tensor de Nijenhuis. Aqui a situação se trivializa pois a
bi-invariância implica automaticamente na integrabilidade da estrutura.
De fato, a comutatividade J1 Ad (g) = Ad (g) J1 , g 2 G, aplicada a g = etX ,
X 2 g, implica (derivando em relação a t) que
J1 ad (X) = ad (X) J1
(14.5)
para todo X 2 g. O signi…cado disso é que g é uma álgebra de Lie sobre o corpo dos
complexos, no sentido em que se J1 for interpretado como multiplicação por i então a
igualdade (14.5) diz que i[X; Y ] = [X; iY ]. Como, além do mais,
i[X; Y ] =
i[Y; X] =
[Y; iX] = [iX; Y ]
segue que g tem uma estrutura de espaço vetorial complexo de tal forma que o colchete
[ ; ] é bilinear sobre C.
14.2. Formas diferenciais e cohomologia de De Rham
299
Mantendo a interpretação de que J1 é a multiplicação por i em g, o tensor de
Nijenhuis na identidade …ca sendo
NJ (X; Y ) = J1 [X; Y ] [J1 X; Y ] [X; J1 Y ] J1 [J1 X; J1 Y ]
= i[X; Y ] [iX; Y ] [X; iY ] i[iX; iY ]
com X; Y 2 g. O último termo dessa igualdade se anula, isto é, (NJ )1 = 0 na origem.
Pela invariância (por exemplo, à esquerda de J) se conclui que NJ é identicamente
nulo.
Esses comentários mostram a seguinte caracterização dos grupos complexos.
Teorema 14.4 Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e suponha que exista
uma aplicação J1 : g ! g com J12 = id tal que J1 Ad (g) = Ad (g) J1 para todo
g 2 G. Então, existe uma estrutura complexa em G que o torna um grupo de Lie
complexo. Nesse caso g é uma álgebra de Lie complexa.
Além do mais, se g é uma álgebra de Lie complexa e G é conexo então G é um
grupo complexo.
Demonstração: Só falta veri…car a última a…rmação. Mas, se g é uma álgebra de
Lie complexa então existe J1 : g ! g com J12 = id tal que J1 ad (X) = ad (X) J1 .
Pelos procedimentos usuais segue que J1 Ad eX = Ad eX
J1 se X 2 g. Daí que
se G é conexo se conclui que J1 Ad (g) = Ad (g) J1 e, portanto, G é grupo complexo. 2
Exemplos clássicos de grupos de Lie complexos são dados pelos grupos de matrizes
Gl (n; C), Sl (n; C), Sp (n; C) e SO (n; C), cujas álgebras de Lie são complexas.
14.2
Formas diferenciais e cohomologia de De Rham
Dada uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedade M , uma k-forma diferencial em M é invariante por G se para todo g 2 G vale g = onde g é o
“pull-back”de…nido por g (X1 ; : : : ; Xk ) = (g X1 ; : : : ; g Xk ).
No caso em que M = G=H é um espaço homogêneo, uma forma diferencial invariante é completamente determinada por seu valor x0 na origem x0 = 1 H de G=H.
A k-forma alternada x0 é invariante pela representação de isotropia no sentido em que
se h 2 H e v1; : : : ; vk 2 Tx0 G=H então (dhx0 ) x0 = x0 , isto é,
x0 (dhx0 v1 ; : : : ; dhx0 vk )
=
x0 (v1 ; : : : ; vk ):
Num ponto arbitrário x 2 G=H a k-forma x é dada, por x = (g 1 )
isto é,
1
w1 ; : : : ; (dgx0 ) 1 wk ):
x (w1 ; : : : ; wk ) = x0 ((dgx0 )
x0
se x = gx0 ,
Essa expressão independe de g 2 G tal que x = gx0 pois x0 é invariante pela representação de isotropia.
O espaço das k-formas diferenciais em G=H é denotado por ^k (G=H) enquanto
que o subconjunto das formas invariantes é denotado por ^kinv (G=H). Esse conjunto é
300
um subespaço vetorial de ^k (G=H) pois 7! g é linear. Além do mais, ^kinv (G=H)
é uma subálgebra como o produto exterior, já que g ( ^ ) = g ^ g .
Uma das questões a se discutir sobre uma k-forma diferencial é sua diferencial
exterior d , cuja de…nição numa variedade diferenciável M é dada por
P
i+1
ci ; : : : ; Xk+1 )
Xi (X1 ; : : : ; X
i ( 1)
P
ci ; : : : ; X
cj ; : : : ; Xk+1 );
+ i<j ( 1)i+j ([Xi ; Xj ]; X1 ; : : : ; X
(14.6)
onde X1 ; : : : ; Xk+1 são campos de vetores em M .
No caso de uma forma diferencial invariante
num espaço homogêneo G=H, a
expressão (14.6) pode ser simpli…cada, uma vez que os termos na primeira soma são
incorporados na segunda soma.
(d )(X1 ; : : : ; Xk+1 ) =
Lema 14.5 Sejam
Então,
uma k-forma diferencial invariante em G=H e X; X1 ; : : : Xk 2 g.
e (X
e1 ; : : : ; X
ek ) = ([X;
e X
e1 ]; X
e2 ; : : : ; X
ek ) +
X
Demonstração: Se x 2 G=H então por de…nição
e1 ; X
e2 ; : : : ; [X;
e X
ek ])
+ (X
d
e1 ; : : : ; X
ek ) etX x
(X
jt=0
dt
d
e tX x ; : : : ; X
ek etX x )jt=0 :
tX (X1 e
=
dt e x
e (X
e1 ; : : : ; X
ek ) (x) =
X
Mas, como
é invariante,
etX x
= e
tX
x
o que signi…ca que
e
ek etX x )
etX x ; : : : ; X
tX
e1 etX x ; : : : ; de
X
x ( de
etX x
etX x (X1
=
tX
etX x
Tomando derivadas em relação a t e levando em conta que
d
de
dt
tX
etX x
se obtém a fórmula do enunciado.
ei etX x
X
jt=0
ek etX x ):
X
e X
ei ] (x)
= [X;
2
Proposição 14.6 Seja uma k-forma diferencial invariante em G=H.Tome X1 ; : : : ; Xk+1 2
ei , i = 1; : : : ; k, os campos induzidos em G=H. Então,
g e sejam X
e1 ; : : : ; X
ek+1 ) =
(d )(X
X
ei ; X
ej ]; X
e1 ; : : : ; X
ci ; : : : ; X
cj ; : : : ; X
ek+1 ):
( 1)i+j ([X
i<j
(14.7)
301
Demonstração: O lema anterior e a fórmula (14.6) da diferencial exterior mostram
e1 ; : : : ; X
ek+1 ) é uma soma de termos do tipo
que d (X
ci ; : : : ; X
cj ; : : : ; Xk+1 )
([Xi ; Xj ]; X1 ; : : : ; X
i < j:
Falta veri…car que o coe…ciente do termo correspondente a i; j, i < j, é ( 1)i+j . Esse
termo aparece uma vez na segunda soma de (14.6) com o coe…ciente ( 1)i+j . Pelo
lema anterior ele aparece duas vezes na primeira soma de (14.6), nos termos em que se
ei e X
ej . A derivada em relação a X
ei colabora com
toma as derivadas nas direções de X
o termo
e1 ; : : : ; [X
ei ; X
ej ]; : : : ; X
ek ) = ( 1)i+j ([X
ei ; X
ej ]; X
e1 ; : : : ; X
bj ; : : : ; X
ek )
( 1)i+1 (X
pois o colchete no primeiro membro aparece na posição j e é uma forma alternada.
ej colabora com o mesmo termo, mas com coe…ciente
Já a derivada na direção de X
i+j
( 1) . Portanto, a soma dos três termos fornece o coe…ciente ( 1)i+j , o que conclui a demonstração.
2
A fórmula (14.7) da diferencial exterior está escrita em termos dos campos de vetores
e
X, X 2 g, apesar da diferencial exterior depender apenas dos valores desses campos
num ponto dado. Na origem x0 do espaço homogêneo isso pode ser explicitado da
seguinte forma. Tome um subespaço m g tal que g = h m onde h é a álgebra de Lie
e (x0 ) 2 Tx0 G=H.
de H. Então, Tx0 G=H se identi…ca a m pelo isomor…smo X 2 m 7! X
Denote por prm a projeção sobre m em relação à decomposição g = h m. Se X; Y 2 m
e Ye ] (x0 ) = Ze (x0 ) onde Z = prm [X; Y ]. Usando essa notação a expressão em
então [X;
(14.7) se traduz como
X
e1 ; : : : ; X
ek+1 ) =
ci ; : : : ; X
cj ; : : : ; Xk+1 )
(d )x0 (X
( 1)i+j x0 ([Xi ; Xj ]m ; X1 ; : : : ; X
i<j
(14.8)
se X1 ; : : : ; Xk+1 2 m. O segundo membro de (14.8) depende apenas das propriedades
algébricas da álgebra de Lie g e de…ne uma aplicação linear d : ^k m ! ^k+1 m.
Antes de prosseguir deve-se observar que se é uma forma diferencial invariante
então d também é invariante pois g d = dg = d . Isso acarreta, por exemplo, que
se d se anula num ponto então d é identicamente nula.
A diferencial exterior de formas diferenciais satisfaz d2 = 0 o que dá origem à
cohomologia de De Rham das variedades diferenciáveis. Uma forma diferencial é
fechada se d = 0 e é exata se = d para alguma forma . Como d2 = 0, toda forma
k
exata é fechada. A k-ésima cohomologia de De Rham HdR
(M ) de uma variedade M é
de…nida como sendo o espaço das k-formas fechadas módulas as exatas, isto é,
k
HdR
(M ) = ker dk =imdk
1
onde dk é a restrição da diferencial exterior às k-formas. Duas formas diferenciais
fechadas e são cohomologas se existe tal que
= d , nesse caso se escreve
. A classe de cohomologia de é denotada por [ ].
302
Uma cohomologia semelhante pode ser de…nida para formas invariantes. De fato,
se
é uma forma diferencial invariante pela ação do grupo G então d também é
invariante. Portanto, se G M ! M é uma ação diferenciável, pode-se de…nir a
k
(M; G) como sendo o quociente acima em que dk é
cohomologia invariante Hinv
interpretado como a diferencial exterior restrita às formas invariantes. No caso de um
k
(G=H). Para
espaço homogêneo M = G=H essa cohomologia será denotada por Hinv
duas formas invariantes e fechadas e se escreve
se
= d com
inv
também invariante. A classe de cohomologia invariante de é denotada por [ ]inv .
Sejam e formas invariantes fechadas em G=H. É evidente a partir das de…nições
que se
então
. Isso signi…ca que se [ ]inv = [ ]inv então [ ] = [ ], o que
inv
fornece aplicações bem de…nidas
k
k
Hinv
(G=H) ! HdR
(G=H)
[ ]inv 7! [ ] :
(14.9)
k
Em geral essa aplicação não injetora nem sobrejetora, isto é, as cohomologias Hinv
(G=H)
k
e HdR (G=H) podem ser diferentes. Um exemplo típico é o caso do grupo abeliano Rn .
Exemplo: Tome o espaço homogêneo Rn = Rn =f0g obtido por translações no grupo
abeliano Rn . Se (x1 ; : : : ; xn ) é um sistema de coordenadas em Rn então as k-formas
diferenciais se escrevem como
X
=
aI (x) dxi1 ^
^ dxik
n
com 1
i1 <
< ik
n onde I = (i1 ; : : : ; ik ) e aP
I : R ! R é diferenciável. A
diferencial exterior em coordenadas é dada por d =
daI ^ dxi1 ^
^ dxik . Como
as 1-formas dxi são invariantes por translações, segue que é invariante se, e só se, as
funções aI são constantes. Daí que se é invariante então d = 0 e, portanto, duas fork
mas invariantes distintas não são cohomologas. Isso signi…ca que Hinv
(Rn ) = ^kinv (Rn ),
k
n
que é não nulo. Por outro lado, sabe-se que se k 1 então HdR (R ) se anula2 . Pork
k
tanto, Hinv
(Rn ) 6= HdR
(Rn ).
2
No entanto, será mostrado a seguir que se G é compacto então a aplicação (14.9) é
k
k
um isomor…smo de tal forma que Hinv
(G=H) = HdR
(G=H).
Suponha, a partir de agora, que G é compacto. A razão pela qual o isomor…smo vale
nesse caso vem da possibilidade de integrar formas diferenciais, em relação à medida
de Haar em G, e obter formas diferenciais invariantes por G.
Essa integração é feita da seguinte maneira. Seja uma k-forma diferencial em
G=H. Se g 2 G então g é uma nova forma diferencial em G=H, cujo valor (g )x em
x 2 G=H é um elemento do espaço cotangente Tx G=H. A aplicação g 2 G 7! (g )x 2
Tx G=H assume valores num espaço vetorial. Faz sentido então tomar a sua integral
Z
(I )x =
(g )x (dg)
G
2
Esse fato é conhecido como lema de Poincaré, veja Bott-Tu [4], capítulo 1.
303
onde é a medida de Haar de G. A integral existe pois o integrando é uma função
contínua de g e G é compacto. (Se v1 ; : : : ; vk 2 Tx G=H então (g )x (v1 ; : : : ; vk ) =
e a ação G G=H !
gx (dgx (v1 ) ; : : : ; dgx (vk )), que depende continuamente de g pois
G são diferenciáveis.)
Se x 2 G=H é …xado então (I )x é uma forma alternada em Tx G=H, isto é, é um
elemento de ^k Tx G=H, Portanto, x 7! (I )x de…ne uma seção de ^k T G=H. Essa
seção é diferenciável pois se X1 ; : : : ; Xk são campos de vetores diferenciáveis em G=H
então
Z
I (X1 ; : : : ; Xk ) (x) =
gx dgx (X1 (x)) ; : : : ; dgx (Xk (x)) (dg) :
G
O integrando é uma função diferenciável nas variáveis x e g, portanto a integral é
diferenciável como função de x (veja o exercício 28 do capítulo 5).
Em suma, I é uma k-forma diferencial.
Lema 14.7 I
é G-invariante.
Demonstração: Se g; h 2 G e v 2 Tx G=H então
Z
(h (I ))x (v) = (I )hx (dhx (v)) =
(g
G
)hx (dhx (v)) (dg) :
O último integrando é o mesmo que
ghx
(dghx dhx (v)) =
Daí que
(h (I ))x (v) =
o que mostra a invariância de I .
Z
G
ghx
(g
(d (gh)x (v)) = ((gh)
)x (v) :
)x (v) (dg) = (I )x (v) ;
2
Portanto,
7! I de…ne uma aplicação no espaço das formas diferenciais cuja
imagem é o subespaço das forma invariantes, pois I =
se
é invariante. Da
de…nição se vê de imediato I é linear. A propriedade de I que permite o seu uso em
cohomologia é a comutatividade com a diferencial exterior.
Lema 14.8 I
d = d I.
Demonstração: Pelo fato de que g d = dg para todo g 2 G, vale a igualdade
Z
Z
(Id )x =
(g d )x (dg) =
(dg )x (dg) :
(14.10)
G
G
O segundo membro é calculado pela fórmula (14.6) que de…ne o produto exterior. Sejam
X1 ; : : : ; Xk+1 campos de vetores em G=H. Então, o integrando (dg )x é dado por
ci ; : : : ; Xk+1 ).
duas somas. Os termos da primeira soma são da forma Xi g (X1 ; : : : ; X
A integral de um termo desses satisfaz
Z
Z
ci ; : : : ; Xk+1 ) (dg) = Xi
ci ; : : : ; Xk+1 ) (dg)
Xi g (X1 ; : : : ; X
g (X1 ; : : : ; X
G
G
304
R
pois se f (x; g) é diferenciável então G f (x; g) (dg) é diferenciável e
Z
Z
f (x; g) (dg) =
Xf (x; g) (dg)
X
G
G
para um campo de vetores X. Já a segunda soma envolve termos do tipo g ([Xi ; Xj ]; X1 ; : : : ; Xk+1 ),
cujas integrais satisfazem
Z
Z
g ([Xi ; Xj ]; X1 ; : : : ; Xk+1 ) (dg) =
g
(dg) ([Xi ; Xj ]; X1 ; : : : ; Xk+1 ):
G
G
Tomando as somas desses termos se vê que o último membro de (14.10) é a diferencial
exterior d (I ).
2
k
A partir desse lema pode-se mostrar a injetividade do homomor…smo natural Hinv
(G=H) !
k
HdR (G=H).
Proposição 14.9 Se G é compacto então o homomor…smo
k
k
[ ]inv 2 Hinv
(G=H) 7! [ ] 2 HdR
(G=H)
é injetor.
Demonstração: Sejam e formas diferenciais invariantes fechadas e suponha que
[ ] = [ ]. Então, existe tal que
= d . Aplicando I a essa igualdade se obtém,
pelo lema anterior,
=I(
) = I (d ) = d (I )
portanto [ ]inv = [ ]inv já que I é uma forma diferencial invariante.
2
Para mostrar a sobrejetividade do homomor…smo deve-se encontrar para cada forma
diferencial fechada uma forma invariante fechada tal que [ ] = [ ]. A candidata é a
forma invariante = I , que é fechada se é fechada, pois d = d (I ) = I (d ) = 0.
A sobrejetividade será então veri…cada assim que se provar que qualquer forma fechada
é cohomologa a I . Isso será provado com a hipótese adicional de que G é conexo.
Para isso serão usados alguns conceitos e fatos sobre homologia singular de classe
1
C . Essa homologia é de…nida sobre o espaço vetorial real
M
C=
Ck
k 0
onde Ck é o espaço vetorial gerado sobre R (que é o caso aqui) pelos ciclos de classe
C 1 de dimensão k em M = G=H. Sendo que um ciclo de dimensão k é uma aplicação
contínua : k ! M onde k é o simplexo de dimensão k de…nido por
k
= f(x1 ; : : : ; xk ) 2 Rk : xi
0; x1 +
+ xk
1g:
305
O ciclo é de classe C 1 se ele é a restrição de uma aplicação de classe C 1 , : U ! M
onde U Rk+1 é um aberto que contém k+1 .3
Em C se de…ne operadores fronteira @k : Ck ! Ck 1 que satisfazem @k @k+1 = 0.
Essa composta implica que im@k+1
ker @k e com isso a homologia singular de M é
de…nida por
Hk (M ) = ker @k =im@k+1 :
Dois ciclos 1 e 2 de dimensão k são homólogos se existe 2 Ck+1 tal que 1
2 =
@k+1 , isto é, se 1
2 C é denotada por [ ].
2 2 im@k+1 . A classe de homologia de
Os operadores fronteira @k não serão explicitados aqui. Deve-se observar, no entanto, que eles são de…nidos de maneira apropriada de tal forma que vale o teorema
de Stokes, que se resume na fórmula
Z
Z
:
(14.11)
d =
@k+1
Nessa fórmula é uma k-forma diferencial e : k+1 ! M é um (k + 1)-ciclo de classe
C 1.
Antes de prosseguir deve-se observar que os ciclos diferenciáveis, e a correspondente
homologia, são necessários aqui para dar sentido à integral de uma forma diferencial
em relação a um ciclo e consequentemente ter acesso ao teorema de Stokes. Para um
ciclo : U ! M de classe C 1 , com k+1
U , existe o “pull-back”
, que é uma
k
forma volume em U
R . A integral da forma diferencial sobre é de…nida como
sendo
Z
Z
=
f ; (x) dx
k
onde dx é a medida de Lebesgue em Rk e, por f
expressão
= f ; (x) dx1 ^
;
:
k
! R é a função de…nida pela
^ dxk ;
(14.12)
onde dx1 ^
^ dxk é a forma volume de Rk dada pelo sistema de coordenadas
(x1 ; : : : ; xk ).
O teorema de Stokes mostra que se é uma k-forma diferencial fechada então
Z
=0
@k+1
para todo ciclo de dimensão k + 1. Portanto, se
dimensão k então
Z
Z
=
:
1
3
1
e
2
são ciclos homólogos de
2
A restrição a ciclos de classe C 1 é necessária para aplicar o teorema de Stokes. No artigo clássico
de Eilenberg [15] se mostra que numa variedade diferenciável de classe C r a homologia singular de
ciclos de classe C r coincide com a homologia singular de ciclos continuos, como é comumente de…nida
essa homologia de espaços topológicos.
306
Por essa igualdade, a integral em relação a
linear T : Hk (M ) ! R dada por
T [ ]=
passa ao quociente e de…ne uma aplicação
Z
:
O funcional linear T depende, na verdade, só da classe de cohomologia de . Isso
porque se e são k-formas fechadas com
= d e é um ciclo de dimensão k
então
Z
Z
Z
(
)= d =
@k
e essa última integral se anula se @k = 0. A reciproca dessa a…rmação é um dos
resultados principais da cohomologia de De Rham, que não será demonstrado aqui.
Proposição 14.10 Sejam e
e só se, e são cohomologos.
k-formas diferenciais fechadas. Então, T = T se,
k
Antes de concluir a demonstração da sobrejetividade do homomor…smo Hinv
(G=H) !
k
HdR (G=H) deve-se provar dois lemas.
O primeiro deles está relacionado à ação de G na homologia singular Hk (G=H).
Se g 2 G e : k ! G=H é um ciclo de classe C 1 então g = g
também
L é um
ciclo. Via a composta com ciclos g induz uma aplicação linear em C =
k 0 Ck ,
também denotada por g. Da teoria de homologia singular sabe-se que g comuta com
os operadores @k e portanto induz aplicações nos espaços de homologia Hk (G=H),
usualmente denotada por g [ ] = [g ], 2 C.
Lema 14.11 Se G é conexo as aplicações g = id para todo g 2 G.
Demonstração: Se g 2 G então existe uma curva gt , t 2 [0; 1] tal que g0 = 1
e g1 = g. Essa curva de…ne uma homotopia entre a aplicação g : G=H ! G=H e
a aplicação identidade. Mas, aplicações homotópicas induzem a mesma aplicação na
homologia singular. Daí que g = id.
2
Lema 14.12 Se
é uma forma diferencial e um ciclo então
Z
f ;I (x) =
f ;g (x) (dg)
G
Z
fg ; (x) (dg)
=
G
onde f
;
foi de…nido em (14.12).
Demonstração: Se fe1 ; : : : ; ek g é a base canônica de Rk então
f
;I
(x) =
(I )x (e1 ; : : : ; ek ) = I
(x)
(d
x e1 ; : : : ; d x ek ) :
307
Mas por de…nição de I , o último termo é dado por
Z
Z
(g ) (x) (d x e1 ; : : : ; d x ek ) (dg) =
(g ) (x) (e1 ; : : : ; ek ) (dg)
G
G
Z
=
f ;g (x) (dg)
G
o que mostra a primeira das igualdades do enunciado. A segunda igualdade segue de
que f ;g (x) = fg ; pois (g ) = (g ) .
2
Agora é possível provar que uma forma diferencial
= I , em relação à medida de Haar em G.
é cohomologa a sua média
Proposição 14.13 Suponha G compacto e conexo. Dada a forma diferencial
como anteriormente,
Z
I =
(g
de…na,
) (dg) :
G
Então,
eI
são cohomologas.
Demonstração: Pela proposição 14.10 deve-se mostrar que TI = T . Se [ ] uma
classe de homologia então por de…nição
Z
Z
TI [ ] = I =
f ;I (x) dx
Mas, pelo lema 14.12, f
;I
(x) =
R
TI [ ] =
k
G
Z
fg
k
;
(x) (dg), daí que
Z
fg
;
(x) (dg) dx:
G
Trocando a ordem de integração, o que é autorizado pelo teorema de Fubini, se obtém
Z Z
TI [ ] =
fg ; (x) dx
(dg)
G
k
Z Z
=
(dg)
G
g
Z
=
T [g ] (dg) :
G
Mas, T [g ] = T [ ], como foi assegurado no lema 14.11. Portanto,
Z
TI [ ] =
T [ ] (dg) = I [ ]
G
o que conclui a demonstração.
2
Como mencionado anteriormente, o fato de que I
implica que o homomork
k
…smo natural Hinv
(G=H) ! HdR
(G=H) é sobrejetor, já que é a imagem da forma
invariante I . Com issa se conclui a demonstração do seguinte teorema sobre a cohomologia de De Rham de espaços homogêneos de grupos compactos.
308
Teorema 14.14 Se G é compacto e conexo então o homomor…smo
k
k
[ ]inv 2 Hinv
(G=H) 7! [ ] 2 HdR
(G=H)
é um isomor…smo.
Pela fórmula (14.8) da diferencial exterior das formas invariantes se vê que d :
^k m ! ^k+1 m depende apenas de propriedades algébricas da álgebra de Lie, assim
k
(G=H). Em particular, esses espaços são de
como os espaços de cohomologia Hinv
dimensão …nita.
O teorema a seguir resume os resultados desta seção, que reduzem a cohomologia
de De Rham de G=H a uma cohomologia algébrica.
Teorema 14.15 Sejam G um grupo compacto e H
G um subgrupo fechado com
álgebras de Lie g e h, respectivamente. Tome um subespaço Ad (H)-invariante m g
tal que g = h m e denote por ^kinv m as k-formas invariantes por Ad (H). De…na
dk : ^kinv m ! ^k+1
inv m por
X
ci ; : : : ; X
cj ; : : : ; Xk+1 )
dk (X1 ; : : : ; Xk+1 ) =
( 1)i+j ([Xi ; Xj ]m ; X1 ; : : : ; X
i<j
X1 ; : : : ; Xk+1 2 m, onde [Xi ; Xj ]m é a projeção sobre m do colchete [Xi ; Xj ]. Então,
k
(G=H) é isomorfo a
HdR
k
Hinv
(G=H) = ker dk = Im dk 1 :
Exemplo: Um grupo de Lie G compacto e conexo pode ser visto como espaço
homogêneo ou como G = G=f1g, com a ação dada por translações à esquerda ou
G = G G= G com a ação dada por (g; h) x = gxh 1 , onde G é a diagonal. O teorema
14.14 se aplica a ambos os casos, fornecendo isomor…smos da cohomologia de De Rham
de G, com a cohomologia das formas invariantes à esquerda (para G = G=f1g) e a das
forma bi-invariantes (para G = G G= ). Segue daí que as cohomologias invariante
à esquerda e bi-invariante coincidem.
A cohomologia invariante à esquerda é de…nida sobre as formas alternadas na álgebra de Lie g de G, com a diferencial exterior dada por (14.7). Em termos de cohomologia
de representações de álgebras de Lie4 , essa é a cohomologia da representação trivial de
g. Já a cohomologia bi-invariante é de…nida no subespaço das formas alternadas em
g que são …xadas pela representação adjunta, que em geral é menor que o espaço de
todas as formas alternadas.
2
Exemplo: Para S n = SO (n + 1) =SO (n), n
2, a representação de isotropia é
equivalente à representação canônica de SO (n) em Rn . Essa representação admite as
4
Veja [49], capítulo 5.
309
formas volume invariantes adx1 ^
^ dxn , a 2 R, pois det g = 1 se g 2 SO (n). Essas
são as únicas formas invariantes não nulas. Para ver isso tome a base f"1 ; : : : ; "n g de
(Rn ) dual da base canônica. Então, uma base do espaço ^m (Rn ) das m-formas em
Rn é dada por
"I = "i 1 ^
^ "i m
com I = f1
de…nida por
i1 <
< im
ng um multi-índice. A representação de SO (n) é
g "I = g "i 1 ^
onde g "i = "i g
1
^ g "i m
g 2 SO (n)
é a representação dual. A representação in…nitesimal é
X
d
X "i j
X "I = etX "I =
dt
j=1
m
X 2 so (n)
onde X "i = "i X. Um elemento 2 ^m (Rn ) é invariante por SO (n) se, e só se,
X
= 0 para todo X 2 so (n).
Tome a matriz Ajk = Ekj Ejk 2 so (n) com j < k. Então, Ajk "j = "k , Ajk "k = "j
e Ajk se anula nos demais elementos da base. Portanto, Ajk "I = 0 se j; k 2
= I ou
se j; k 2 I. Além do mais, dado um multi-índice I tal que j 2 I e k 2
= I seja I(jk) o
multi-índice obtido de I substituindo j por k, que é colocado na posição correta para
manter a ordem crescente dos índices. Então,
Ajk "I = ( 1)r "I(jk)
e
Ajk "I =
( 1)r "I(jk)
onde r é a quantidade de índices i 2 I tais que j < i < k.
P
= 0, X 2 so (n) e tome um multi-índice I. Se
Seja agora = I aI "I tal que X
m < n então existem j 2 I e k 2
= I, de tal forma que
Ajk
= ( 1)r aI "I(jk)
aI(jk) "I +
onde
é uma combinação linear dos outros elementos da base. Como Ajk
= 0 se
conclui que aI = 0, mostrando que = 0.
Pelo teorema 14.14 se conclui que Hn (S n ) = R e Hm (S n ) = f0g se 1 m < n.
Os mesmos argumentos se aplicam ao espaço projetivo
RP n = SO (n) =f 1g
O (n) :
A representação de isotropia em Rn é dada por (det g; g) = (det g) g. Da mesma
maneira se 1 m < n então não existem m-formas invariantes e Hm (RP n ) = f0g se
m < n. Se m = n e det g = 1 então det ( g) = ( 1)n det g = ( 1)n+1 e as formas
volume são invariantes se, e só se, n é ímpar. Portanto Hn (RP n ) = R se n é ímpar e
todas as cohomologias de De Rham se anulam se n é par.
2
310
14.3
Variedades Riemannianas
Uma métrica Riemanniana m ( ; ) na variedade M é invariante pela ação do grupo G
se os elementos do grupo são isometrias da métrica, isto é, se para todo g 2 G e x 2 M
vale
mgx (dgx u; dgx v) = m (u; v)
u; v 2 Tx M:
Nesse caso a conexão de Levi-Civita r e a curvatura R ( ; ) de m são invariantes por
g.
No caso em que M = G=H é um espaço homogêneo uma métrica invariante é
completamente determinada pelo seu valor mx0 na origem, que é um produto interno
em Tx0 G=H invariante pela representação de isotropia.
Uma condição necessária para a existência do produto interno mx0 é que a imagem
(H) de H pela representação de isotropia seja um subgrupo do grupo ortogonal e,
portanto, (H) tem fecho compacto. Essa condição também é su…ciente já que nesse
caso o fecho de (H) admite um produto interno invariante, o mesmo ocorrendo com
(H). Em particular, se H é compacto então G=H admite métricas Riemannianas
invariantes.
Quando existe produto interno invariante pela representação de isotropia o conjunto
dos mesmos (e, portanto das métricas invariantes em G=H) é descrito por um cone.
De fato, como fecho de (H) é compacto existe uma decomposição
Tx0 G=H = V1
Vs
em subespaços invariantes e irredutíveis por (H) (e, portanto, por (H)), de tal forma
que os produtos internos invariantes são somas de produtos internos nas componentes
Vi , que são parametrizados por Rs+ .
Exemplo: Se G é compacto (assim como H) então qualquer espaço homogêneo
G=H admite métricas Riemannianas invariantes. A quantidade delas depende da
decomposição da representação de isotropia. Por exemplo, no caso da esfera S n =
SO (n + 1) =SO (n), a representação de isotropia é irredutível e, portanto, existe essencialmente uma única métrica invariante (que é a métrica induzida pela imersão
S n ,! Rn+1 ). Por outro lado no exemplo das variedades de “‡ags”SU (n) =T visto na
seção 14.1, existem n(n2 1) componentes irredutíveis de dimensão 2. Portanto o conjunto das métricas invariantes é parametrizado pelo cone Rs+ , s = n(n2 1) .
2
Exemplo: Qualquer grupo de Lie G admite métricas Riemannianas invariantes à
esquerda ou à direita, pois o grupo de isotropia da ação por translações se reduz a f1g.
Dessa forma qualquer produto interno em T1 G dá origem a uma métrica Riemanniana
invariante à esquerda e a (eventualmente outra) métrica Riemanniana invariante à
direita.
Já se G admite uma métrica bi-invariante então sua álgebra de Lie g é compacta pois
a representação de isotropia em 1 para G = G G=G é a representação adjunta. Um
14.4. Variedades simpléticas
311
produto interno h ; i em g invariante pela representação adjunta de G é também invariante pela representação adjunta de g. A existência desse produto interno signi…ca que
g é compacta. Reciprocamente, se g é uma álgebra de Lie compacta e G é conexo então
o produto interno invariante em g induz uma métrica Riemanniana invariante em G. 2
Exemplo: Uma classe de exemplos de espaços homogêneos não compactos com
métricas Riemannianas invariantes são os espaços simétricos não compactos. Seja g
uma álgebra de Lie semi simples não compacta com decomposição de Cartan g = k s.
Seja G o grupo adjunto de g. Como foi demonstrado no capítulo 12 o subgrupo
K = hexp ki e compacto e a exponencial exp : s ! S = exp (s) é um difeomor…smo. O
espaço homogêneo G=K é difeomorfo a S e, portanto a s e admite métricas invariantes
pois K é compacto. O espaço tangente a G=K na origem se identi…a a s. Uma métrica
natural em G=K é dada pela restrição da forma de Cartan-Killing a s, que é um produto
interno como foi provado no capítulo 12. Se g é simples então a representação adjunta
em s é irredutível e a métrica invariante é essencialmente única, dada pela forma de
Cartan-Killing.
Um caso particular é quando g = sl (n; R). Nesse caso S é a subvariedade das
matrizes positivas de…nidas (com determinate 1) e s o espaço das matrizes simétricas de traço 0. A forma de Cartan-Killing em s é um múltiplo do produto interno
hX; Y i = tr (XY ).
2
14.4
Variedades simpléticas
Uma forma simplética ! num espaço vetorial V (dim V < 1) é uma forma bilinear
anti-simétrica que é não degenerada, isto é, para qualquer x 2 V existe y 2 V tal
que ! (x; y) 6= 0. A seguir são listadas algumas propriedades algébricas de um espaço
vetorial com uma forma simplética.
1. A propriedade de que ! é não degenerada é equivalente ao fato de que a aplicação
linear : V ! V , (x) ( ) = ! (x; ), é isomor…smo.
2. Dado W
V seja
W ? = fy 2 Rn : 8x 2 W; ! (x; y) = 0g
o seu ortogonal em relação a !. Então, W ? = 1 (W ) onde W é o anulador
de W . Como dim W + dim W = dim V , segue que dim W + dim W ? = dim V .
3. Um subespaço W V é isotrópico se a restrição de ! a W W é identicamente
nula, isto é, W é isotrópico se, e só se, W W ? . Existem subespaços isotrópicos
não triviais, pois ! (x; x) = 0 para qualquer x e, portanto, o subespaço gerado
por x 2 V é isotrópico. Além do mais, fórmula da dimensão dim W + dim W ? =
dim V implica que dim W dim V =2 se W é subespaço isotrópico.
312
4. Se W
V é um subespaço isotrópico tal que dim W < dim V =2 então W está
contido propriamente em W ? . Daí que se x 2 W ? n W então U = W hxi é um
subespaço isotrópico com dim U = dim W + 1.
5. Segue do item anterior, por indução, que existe W
V subespaço isotrópico
com dim W = dim V =2 e, portanto, dim V é par. (Um subespaço isotrópico com
dimensão máxima dim V =2 é chamado de subespaço Lagrangeano.)
6. Pode-se escrever ! na seguinte forma canônica: se dim V = 2n então existe uma
base B = fe1 ; : : : ; en ; f1 : : : ; fn g tal que
! (ei ; fj ) =
ij
! (ei ; ej ) = 0
! (fi ; fj ) = 0:
A matriz de ! em relação a essa base é dada por
[!]B = J =
0
1n
n
1n
0
n
:
Por essa matriz segue que se fdx1 ; : : : ; dxn ; dy1 ; : : : ; dyn g é a base dual de B então
! = dx1 ^ dy1 +
+ dxn ^ dyn :
(14.13)
Uma forma simplética numa variedade diferenciável M é uma 2-forma diferencial
! fechada (d! = 0) e não degenerada, isto é, para todo x 2 M e v 2 Tx M existe
w 2 Tx M tal que ! x (v; w) 6= 0. Para cada x 2 M a forma bilinear ! x é uma forma
simplética no espaço vetorial Tx M . Portanto, a existência de uma forma simplética
em M acarreta que dim M é par. Uma variedade M munida de uma forma simplética
é chamada de variedade simplética. Um dos resultados clássicos sobre variedades
simpléticas é o teorema de Darboux5 . Esse teorema garante que localmente ! é
equivalente à forma simplética canônica (14.13) num espaço vetorial, no sentido em
que para todo x 2 M existe um sistema de coordenadas (x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; yn ) ao
redor de x tal que a expressão da forma simplética ! nesse sistema de coordenadas é
(14.13).
Numa variedade simplética (M; !) as aplicações x (v) = ! x (v; ) de…nem um isomor…smo entre os …brados tangente T M e cotangente T M . Esse isomor…smo permite
de…nir um dos conceitos básicos da geometria simplética, que são os campos Hamiltonianos.
Seja f : M ! R uma função diferenciável (C k , k 1) com diferencial dfx , x 2 M .
Então x 1 dfx é um vetor tangente em x o que permite de…nir um campo de vetores Xf
em M , que é dado explicitamente por
dfx ( ) = ! (Xf (x) ; ) :
O campo Xf é um campo Hamiltoniano em M . A função f é chamada de função
Hamiltoniana (ou função energia) do campo Xf . Deve-se observar que não se tem
5
Veja Abraham-Marsden [1]
313
unicidade das funções Hamiltonianas pois se f é uma função Hamiltoniana do campo
Hamiltoniano X e c 2 R é uma constante então f + c também é uma função Hamiltoniana de X.
A seguir são listadas algumas propriedades dos campos Hamiltonianos, que serão
utilizadas posteriormente no estudo de ações de grupos.
1. Seja X um campo Hamiltoniano com ‡uxo t . Então, a derivada de Lie LX ! =
d
( t !)t=0 se anula, o que implica que t ! = !. De fato, fórmula de Cartan
dt
para a derivada de Lie é dada por
LX ! = diX ! + iX d!
onde iX denota o produto interior, isto é, iX ! é a 1-forma iX ! ( ) = ! (X; ).
Nessa fórmula o último termo se anula pois d! = 0. Já d (iX !) = d (df ) = 0 se f
é função Hamiltoniana de X.
2. Reciprocamente, suponha que X é um campo de vetores em (M; !) tal que LX ! =
0. Então, pela fórmula de Cartan, se conclui que a 1-forma diferencial iX ! é
fechada. Se ela for exata então iX ! = df e X é campo Hamiltoniano. Isso ocorre,
1
por exemplo, se a cohomologia de De Rham HdR
(M ) = f0g. De qualquer forma,
n
M é localmente difeomorfa a R e, portanto a forma iX ! é localmente exata se
ela for fechada. Daí que, existem abertos de M tal que as restrições de X a esses
abertos são campos Hamiltonianos. Por essa razão um campo de vetores X tal
que LX ! = 0 é denominado de campo localmente Hamiltoniano.
3. Sejam X e Y os campos Hamiltonianos das funções fX e fY , respectivamente.
Então seu colchete de Lie [X; Y ] é o campo Hamiltoniano da função ! (X; Y ).
A função ! (X; Y ) é chamada de colchete de Poisson das funções fX e fY e
denotada por ffX ; fY g. Esse colchete é anti-simétrico e satisfaz a identidade de
Jacobi.
Seja agora G M ! M uma ação diferenciável do grupo de Lie G na variedade
simplética (M; !). Essa é uma ação simplética se os elementos de G preservam !,
isto é, g ! = ! para todo g 2 G. Nesse caso a ação in…nitesimal da álgebra de Lie
g de G é dada por campos localmente Hamiltonianos. Isso porque se X 2 g então o
e é a exponencial etX . Daí que LX ! = 0 pois etX ! = !.
‡uxo do campo induzido X
e X 2 g, são localmente Hamiltonianos e G
Reciprocamente, se campos de vetores X,
é conexo então a ação de G é simplética. Uma ação Hamiltoniana é uma ação
e X 2 g, são (globalmente) Hamiltonianos.
simplética em que os campos de vetores X,
Nem toda ação simplética é Hamiltoniana (veja o exemplo abaixo). No entanto,
vale observar que se G e M são conexos e a ação de G em (M; !) é simplética então
essa ação se levanta a uma ação Hamiltoniana nos recobrimentos universais. De fato,
e!Ge :M
f ! M os recobrimentos universais. Então, pelo teorema de
sejam p : G
e em M
f de tal forma que
Lie-Palais, a ação de G em M se levanta a uma ação de G
e (veja o exercício 27 do capítulo 13). A ação de G
e
g = p (g)
para todo g 2 G
314
f e, portanto, essa ação é Hamiltoniana pois a
preserva a forma simplética ! em M
f
cohomologia de De Rham de M se anula (veja a proposição 14.10).
Seja agora M = G=H um espaço homogêneo. Uma 2-forma invariante ! é completamente determinada pelo seu valor ! 0 na origem x0 de G=H, que é uma forma
bilinear anti-simétrica em Tx0 G=H, invariante pela representação de isotropia, isto é,
(dhx0 ) ! 0 = ! 0 para todo h 2 H. A 2-forma ! é então dada em Tx G=H por
! x = dgx 1
!0
onde g 2 G é qualquer elemento gx0 = x. Como dgx 1 é isomor…smo, se conclui que se
! 0 é não degenerada então cada ! x também é não degenerada. Já a diferencial exterior
de uma forma invariante num espaço homogêneo foi calculada na proposição 14.6. No
caso de uma 2-forma ela se reduz a
e1 ; X
e2 ; X
e3 ) =
(d!)(X
e1 ; X
e2 ]; X
e3 ) + !([X
e1 ; X
e3 ]; X
e2 )
!([X
que coincide com a soma cíclica
e2 ; X
e3 ]; X
e1 );
!([X
(14.14)
e1 ; X
e2 ]; X
e3 ) + !([X
e2 ; X
e3 ]; X
e1 ) + !([X
e3 ; X
e2 ]; X
e1 ) :
!([X
Para olhar essa diferencial exterior do ponto de vista da fórmula algébrica (14.8) seja m
um subespaço complementar à álgebra de Lie h de H, denote por prm a projeção sobre
m em relação à decomposição g = h m e para X; Y 2 m escreva [X; Y ]m = prm [X; Y ].
Então, d! = 0 se, e só se,
! 0 ([X1 ; X2 ]m ; X3 ) + ! 0 ([X2 ; X3 ]m ; X1 ) + ! 0 ([X3 ; X2 ]m ; X1 ) = 0
(14.15)
para toda terna (X1 ; X2 ; X3 ) de elementos de m.
Uma vez feita a escolha do complementar m, uma forma simplética em G=H (se
existe) é dada por uma forma bilinear anti-simétrica e não degenerada ! 0 em m que
satisfaz (14.15).
Se ! é uma forma simplética invariante em G=H então a ação de G em G=H é
simplética. Essa ação nem sempre é Hamiltoniana, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo: Seja G o toro T 2 = R2 =Z2 que age em si mesmo por translações. A
forma simplética canônica ! = dx ^ dy em R2 (= álgebra de Lie de T 2 ) de…ne uma
forma simplética invariante em T 2 e portanto uma ação simplética. Essa ação não é
Hamiltoniana. De fato, os campos invariantes são os campos induzidos em T 2 pelos
@
@
+ b @y
, a; b 2 R, de R2 . Esses campos de vetores não são Hamilcampos constantes a @x
tonianos. Para ver isso tome, por exemplo, o campo de vetores X induzido por @=@x.
A 1-forma = iX ! = ! (@=@x; ) restrita ao aberto de T 2 representado pelo quadrado
(0; 1)2 R2 é dada por dy. Essa 1-forma não é exata, pois se = df então a função f
deve satisfazer f (x; y) = y + c em (0; 1)2 para alguma constante c. Mas, uma função
do tipo y + c não se estende a uma função contínua em T 2 , o que mostra que a ação
não é Hamiltoniana.
2
14.4.1
315
Representação coadjunta
Uma classe fundamental de exemplos de espaços homogêneos com ação Hamiltoniana
é dada pelas órbitas da representação co-adjunta Ad de G no dual g da álgebra de
Lie de g. Essa representação é de…nida por Ad (g) =
Ad (g 1 ), g 2 G e 2 g .
Sua representação in…nitesimal ad : g ! gl (g ) é dada por ad (X) =
ad (X).
A representação Ad fornece uma ação de G em g para a qual os campos de vetores
e X 2 g, são dados por X
e = ad (X).
induzidos X,
Para 2 g seja G
= Ad (G) sua órbita pela representação coadjunta. Essa
órbita se identi…ca ao espaço homogêneo G=Z onde Z é o subgrupo fechado
Z = fg 2 G :
1
Ad g
A álgebra de Lie z de Z é dada por z = fX 2 g :
z = fX 2 g : 8Y 2 g;
O espaço tangente a G
em
= g:
ad (X) = 0g, isto é,
[X; Y ] = 0g:
é dado por
T (G
) = fad (X)
: X 2 gg:
A forma simplética de Kirillov-Kostant-Souriaux
órbita coadjunta G
é de…nida pela expressão
e ( ) ; Ye ( ) =
X
[X; Y ]
(abreviada KKS) na
X; Y 2 g:
(14.16)
Existem duas maneiras equivalentes de interpretar essa expressão como uma forma
simplética na órbita coadjunta G . A primeira é olhar
como uma forma bilinear
anti-simétrica em T (G ), invariante pela representação de isotropia, e com isso
de…nir uma 2-forma invariante em G . A segunda é de…nir para cada 2 G
a
forma
como em (14.16) e considerar 7!
como uma 2-forma em G . Será
provado abaixo que as duas interpretações fornecem a mesma 2-forma.
Olhando
como uma forma bilinear em T (G ) os seguintes itens mostram que
de…ne uma forma simplética invariante em G
= G=Z .
1.
e( ) = X
e1 ( )
está bem de…nida. De fato, tome X; X1 ; Y; Y1 2 g tal que X
e Ye ( ) = Ye1 ( ). Essas igualdades signi…cam que
ad (X) =
ad (X1 ) e
ad (Y ) =
ad (Y1 ). Portanto,
e1 ( ) ; Ye1 ( )
X
=
=
=
2.
é claramente anti-simétrica.
ad (X1 ) (Y1 ) =
ad (Y1 ) (X) =
e ( ) ; Ye ( ) :
X
ad (X) (Y1 )
ad (Y ) (X)
316
3.
4.
é não degenerada. De fato, tome 0 6= v 2 T (G ) e escolha X 2 g tal que
e ( ). Então,
v=X
ad (X) 6= 0, isto é, existe Y 2 g tal que [X; Y ] 6= 0. Isso
signi…ca que
v; Ye ( ) 6= 0, mostrando que
não é degenerada.
é invariante pela representação de isotropia. Se X 2 g e h 2 Z então a
^
e ( ) = Ad
representação de isotropia é dh X
(h) X ( ). Portanto,
dh
e ( ) ; dh
X
Ye ( )
=
[Ad (h) X; Ad (h) Y ]
=
Mas,
Ad (h) = , daí que esse último termo é
mostrando a invariância.
Ad (h) [X; Y ] :
[X; Y ] =
e ( ) ; Ye ( ) ,
X
5. A 2-forma em G = G=Z de…nida por
é fechada. Isso segue da identidade
de Jacobi: se X; Y; Z 2 g então pela proposição 14.6 (veja também (14.14)),
e ( ) ; Ye ( ) ; Ze ( )) =
(d ) (X
=
e Ye ]; Z)
e
e X)
e
e Ye ]; X)
e
([X;
([Ye ; Z];
([Z;
([X; Y ]; Z] + [Y; Z]; X] + [Z; Y ]; X]) = 0:
Com esses itens …ca concluída a construção da forma simplética de Kirillov-KostantSouriaux numa órbita coadjunta Ad (G) . Num elemento = Ad (g) da órbita
a forma transladada de
é dada por
e ( ) ; Ye ( )
X
=
=
=
=
e ( ) ; dg 1 Ye ( )
dg 1 X
Ad^
(g 1 ) X ( ) ; Ad^
(g 1 ) Y ( )
Ad g 1 X; Ad g
Ad g 1 [X; Y ] :
1
Y
Isto é,
e ( ) ; Ye ( ) =
X
[X; Y ]
tem a mesma expressão que a usada para de…nir
.
Como consequência da construção de Kirillov-Kostant-Souriaux se conclui que uma
órbita de uma representação coadjunta tem dimensão par.
Uma das propriedades essenciais da forma e Kirillov-Kostant-Souriaux é a ação
e X 2 g,
de G nas órbitas coadjuntas são Hamiltonianas, isto é, os campos induzidos X,
são Hamiltonianos em relação a , como será mostrado a seguir.
Proposição 14.16 Seja O
g uma órbita coadjunta. Se X 2 g então o campo
e = ad (X) é Hamiltoniano com função Hamiltoniana fX : O ! R dada por
X
fX ( ) =
(X)
2 O:
317
Demonstração: Como fX é a restrição de uma aplicação linear, sua diferencial
(dfX ) , 2 O, coincide com fX , isto é, se Ye ( ) = ad (Y ) ( ), Y 2 g, é um vetor
tangente então (dfX ) Ye ( ) = (ad Y ( )) (X). Daí que
(dfX )
Ye ( )
=
ad (Y ) (X)
=
[X; Y ]
e ( ) ; Ye ( )
X
=
e é o campo Hamiltoniano de…nido por fX .
o que mostra que X
2
A seguir serão apresentados alguns exemplos de órbitas coadjuntas e suas forma
simpléticas.
Exemplo: Se a álgebra de Lie g de G é semi simples então sua forma de Cartan-Killing
K ( ; ) é não degenerada e de…ne um isomor…smo K : g ! g por K (X) ( ) = K (X; ).
Esse isomor…smo permuta as representações adjunta e coadjunta, isto é, KAd (g) =
Ad (g) K para todo g 2 G, pois K é invariante por Ad. Portanto, K aplica difeomor…camente as órbitas adjuntas nas órbitas coadjuntas, o que permite transportar
a formas simpléticas de Kirillov-Kostant-Souriaux em formas simpléticas K
nas
órbitas adjuntas. A ação de G nas órbitas adjuntas também é Hamiltoniana pois os
e = ad (X) satisfazem Kad (X) = ad (X) K, de onde se vê que X
e
campos induzidos X
é o campo Hamiltoniano da “função altura” fX ( ) = K (X; ). Em suma no caso semi
simples a representação adjunta se comporta como a representação coadjunta. Esses
comentários se estendem a álgebras de Lie que admitem uma forma bilinear invariante
não degenerada, como as álgebras redutíveis.
2
Exemplo: Como exemplo concreto de um grupo semi simples sejam G = Sl (2; R) e
g = sl (2; R). Como Ad (g) X = gXg 1 , o polinômio det X é constante em cada órbita.
Existem três tipos de órbitas: i) as das matrizes nilpotentes contidas no cone duplo
fX : det X = 0g, que contém três órbitas, a origem e os dois lados do cone; ii) as das
matrizes com auto-valores imaginários em que cada órbita é uma folha do hiperbolóide
de duas folhas de…nido por det X = c > 0; iii) os hiperbolóides de uma folha de…nidos
por det X = c < 0.
Nas coordendas (x; y; z) em relação à base fA; H; Sg dada por
A=
0
1
1
0
H=
1
0
0
1
H=
0 1
1 0
o polinômio det X = x2 y 2 z 2 . Assim o cone duplo tem equação x2 = y 2 + z 2
enquanto que os hiperbolóides tem equação x2 = y 2 + z 2 = c > 0 (duas folhas no
interior do cone) e x2 = y 2 + z 2 = c < 0 (uma folha exterior ao cone).
2
318
Exemplo: Seja g a álgebra de Heisenberg que tem a base fX; Y; Zg que satisfaz
[X; Y ] = Z e os demais colchetes se anulam. Denote por f ; ; g a base dual de
fX; Y; Zg. Então, as órbitas coadjuntas dos elementos x + y + z com z = 0 são de
dimensão 0 enquanto que as demais órbitas são de dimensão 2.
Já a órbita adjunta de, por exemplo X, tem dimensão 1, já que o centralizador de
X é subálgebra gerada por fX; Zg. Essa órbita adjunta não admite forma simplética.
2
14.4.2
Aplicação momento
Um instrumento útil no estudo de uma ação Hamiltoniana é sua aplicação momento,
que permite comparar a ação com a representação coadjunta.
Sejam (M; !) uma variedade simplética, G um grupo de Lie com álgebra de Lie g
e G M ! M uma ação de G em M . Se supõe aqui que essa ação é Hamiltoniana.
Para simpli…car a exposição se supõe também que M é conexa.
De…nição 14.17 Uma aplicação momento de uma ação Hamiltoniana é uma aplicação : M ! g tal que para todo X 2 g, a função fX (x) = (x) (X) é uma função
e isto é, dfX = e !.
Hamiltoniana para X,
X
Exemplo: Seja M = Ad (G) uma órbita coadjunta munida a forma simplética
e = ad (X), X 2 g, é Hamiltoniano para a função
de KKS. Um campo de vetores X
fX ( ) = (X), 2 Ad (G) . Portanto, a ação de G na órbita é Hamiltoniana e uma
aplicação momento é = id.
2
Para uma ação Hamiltoniana qualquer existem aplicações momento, pois fX1 ; : : : ; XN g
é uma base de g e f 1 ; : : : ; N g sua base dual de g então
(x) = fX1 (x)
1
+
+ fXN (x)
N
é uma aplicação momento se fX1 ,: : :, fXN são funções Hamiltonianas para os campos
e1 ; : : : ; X
eN .
induzidos X
Não se tem unicidade, já que se
é uma aplicação momento e
2 g é uma
constante então = + também é aplicação momento. Vice-versa, se e são
aplicações momento então
é constante, pois M é conexa. Isto é, no caso conexo
o conjunto das aplicações momento é um espaço a…m, cujo espaço vetorial associado é
g.
A seguir a questão principal que será discutida é a de decidir se as aplicações
momento (ou algumas delas) são equivariantes em relação à ação de G em M e a
representação coadjunta, isto é, se vale a igualdade
(gx) = Ad (g) (x)
319
para todo g 2 G e x 2 M . Em geral pode não existir uma aplicação momento
que seja equivariante em relação a Ad . As que admitem são chamadas de ações
Hamiltonianas equivariantes.
Antes de entrar na análise da existência de aplicações momento Ad -equivariantes
será demonstrada a seguinte propriedade de homomor…smo dessas aplicações.
Proposição 14.18 Suponha que é uma aplicação momento Ad -equivariante. Então, dados x 2 M e X; Y 2 g, vale
e Ye = ffX ; fY g (x)
(x) [X; Y ] = ! x X;
onde f ; g é o colchete de Poisson e fX (x) = (x) (X). Essa igualdade signi…ca que
a aplicação b : X 7! fX é um homomor…smo entre g e o espaço das funções munido
com o colchete de Poisson.
Demonstração: Por equivariância
d
e (x)
X
x
d
d
etX t=0 = Ad etX (x)t=0
dt
dt
= ad (X) (x) =
(x) ad (X) :
=
Por outro lado, dado Y 2 g a função fY (x) = (x) (Y ) é Hamiltoniana para Ye .
Derivando o segundo membro dessa igualdade em relação a x, por linearidade, vale
d
x
e (x) (Y ) = (dfY ) X
e (x) =
X
x
Comparando esses dois cálculos de d
e Ye .
! x X;
x
e Ye :
! x X;
e (x) com a segunda, segue que
X
(x) [X; Y ] =
2
Conforme mencionado acima uma aplicação momento não é, em geral Ad -equivariante.
O que vale sempre é que dada uma aplicação momento existe uma representação a…m
de G em g , cuja representação linear subjacente é Ad , tal que é equivariante para
essa representação a…m.
Uma representação a…m de um grupo G num espaço vetorial V é um homomor…smo A : G ! Af (V ), a valores no grupo a…m de V . Como Af (V ) = Gl (V ) V , a
representação A se escreve como A (g) = ( (g) ; v (g)), g 2 G, com : G ! Gl (V ) e
v : G ! V . A propriedade de homomor…smo de A se se traduz em
( (gh) ; v (gh)) =
(gh) = ( (g) ; v (g)) ( (h) ; v (h))
= ( (g) (h) ; (g) v (h) + v (g)) :
Portanto,
é uma representação linear de G e v deve satisfazer a igualdade
v (gh) = (g) v (h) + v (g) :
(14.17)
Vice-versa, se : G ! Gl (V ) é uma representação linear e v : G ! V satisfaz (14.17)
então A (g) = ( (g) ; v (g)) é uma representação a…m.
Para de…nir a representação a…m, que torna uma aplicação momento equivariante,
são necessários alguns resultados preliminares.
320
Lema 14.19 Dada uma ação simplética de G em (M; !), suponha que fX é função
e Então, fX g é função Hamiltoniana para
Hamiltoniana para o campo de vetores X.
Ad^
(g 1 ) X.
Demonstração: Se v 2 Tx M então d (fX
d (fX
g)x (v) = d (fX )gx dgx (v) e daí que
e (gx) ; dgx (v) = (g !) Ad^
g)x (v) = ! X
(g 1 ) X (x) ; v :
x
Como g ! = !, segue que d (fX
g)x (v) = ! x v; Ad^
(g 1 ) X (x) , isto é, fX
(g 1 ) X.
função hamiltoniana para Ad^
g é
2
Proposição 14.20 Seja uma aplicação momento para a ação Hamiltoniana de G
em M . Então, dado g 2 G a expressão
(gx)
Ad (g) (x)
é constante como função de x 2 M .
Demonstração:
e Portanto,
X.
Se X 2 g então a função fX (x) =
Ad (g) (x) (X) =
(x) Ad g
(x) (X) é Hamiltoniana para
1
X
é Hamiltoniana para Ad^
(g 1 ) X.
Por outro lado, pelo lema acima fX g também é Hamiltoniana Ad^
(g 1 ) X. Portanto, as funções de x 2 M , fX g (x) = (gx) (X) e Ad (g) (x) (X) diferem por
uma constante (pela hipótese de que M é conexa). Isto é, ( (gx) Ad (g) (x)) (X)
é constante como função de x 2 M para todo X 2 g, o que garante que (gx)
Ad (g) (x) 2 g não depende de x 2 M .
2
Para g 2 G a constante
c (g) =
(gx)
Ad (g) (x)
(14.18)
garantida pela proposição de…ne uma aplicação c : G ! g . A seguir será provado que
essa aplicação satisfaz a propriedade (14.17) da parte vetorial de uma representação
a…m, cuja representação linear é Ad .
Proposição 14.21 Dada uma ação Hamiltoniana seja uma aplicação momento e
de…na c : G ! g como em (14.18) (para qualquer x 2 M ). Então,
c (gh) = Ad (g) c (h) + c (g) :
321
Demonstração: Pela de…nição de c , vale
c (gh) =
=
(ghx) Ad (gh) (x)
(g (hx)) Ad (g) (hx) + Ad (g) (hx)
O primeiro e o segundo termos dão
e o quarto se juntam em
Ad (g) (hx)
(g (hx))
Ad (gh) (x) :
Ad (g) (hx) = c (g). Já o terceiro
Ad (gh) (x) = Ad (g) ( (hx)
= Ad (g) c (h) :
Ad (h) (x))
Segue que c (gh) = c (g) + Ad (g) c (h) o que prova a proposição.
Como c satisfaz (14.17) para
2
= Ad , ela de…ne a seguinte representação a…m.
Corolário 14.22 Dada a aplicação momento : M ! g de…na A : G ! Af (g )
por
A (g) = (Ad (g) ; c (g)) :
Então, A é uma representação a…m.
Uma outra consequência, que segue quase que imediatamente da de…nição de c , é
a seguinte equivariância de .
Corolário 14.23 Com as notações anteriores, a aplicação momento
equivariante em relação a A , isto é,
(gx) = A (g) (x)
: M ! g é
x 2 M; g 2 G:
Demonstração: A de…nição da representação a…m diz que A (g) (x) = Ad (g) (x)+
c (g) que coincide com (gx) pois c (g) = (gx) Ad (g) (x).
2
Por esse corolário se vê que a aplicação momento é equivariante em relação a Ad
se, e só se, c = 0. Esta observação é o ponto de partida para investigar a existência
de aplicação momento Ad -equivariante.
De fato, seja = + com
2 g uma outra aplicação momento. Então, a
de…nição de c mostra que
c (g) = c (g) +
Ad (g) :
(14.19)
Dessa igualdade se obtém de imediato o seguinte critério para a existência de uma
aplicação momento Ad -equivariante.
Proposição 14.24 Tome uma aplicação momento
para a ação Hamiltoniana de
G em M . Então, a condição necessária e su…ciente para que exista uma aplicação
momento equivariante em relação a Ad é que exista 2 g tal que
c (g) = Ad (g)
:
(14.20)
322
Essa condição admite duas interpretações complementares entre si, uma em termos
de equivalência de representações a…ns e outra via cohomologia de representações de
grupos, que serão descritas a seguir.
Representações a…ns equivalentes: Duas representações a…ns A1 ; A2 : G !
Af (V ) são equivalentes se existe T 2 Af (V ) tal que
A1 (g) = T A2 (g) T
1
para todo g 2 G. Se A1 (g) = ( 1 (g) ; v1 (g)), A2 (g) = (
(P; w) então a equivalência se traduz em 1 (g) = P 2 (g) P
v1 (g) =
Suponha 1 = 2 =
T = (id; w). Então,
P
2
(g) P
1
2
1
(g) ; v2 (g)) e T =
e
w + P v2 (g) + w:
e que a transformação T que realiza a equivalência seja
v1 (g) =
(g) w + v2 (g) + w;
isto é,
v1 (g)
v2 (g) = w
(g) w:
Dito isso, sejam A = (Ad ; c ) e A = (Ad ; c ) as representações a…ns de…nidas
pelas aplicações momento e = + . Conforme foi veri…cado acima, c (g)
c (g) =
Ad (g) , o que signi…ca que as representações a…ns A e A são
equivalentes por T = (id; ).
Já a igualdade (14.20) é satisfeita se, e só se, A é equivalente à representação
linear (Ad ; 0). Nesse caso existe uma aplicação momento Ad -equivariante.
Cohomologia de representações grupos: Seja G um grupo e
: G !
Gl (V ) uma representação de G no espaço vetorial V . De…na os espaços F 0 =
1, F q = F q (G; V ) é o conjunto das aplicações
F 0 (G; V ) = V e para q
q
c : G ! V . As aplicações lineares q : F q ! F q+1 , q
0, são de…nidas
por 0 v (g) = v
(g) v e
q c (g1 ; : : : ; gq+1 )
=
(g1 ) c (g2 ; : : : ; gq+1 ) +
q 1
X
( 1)i c (g1 ; : : : ; gi gi+1 ; : : : ; gq+1 )
i=1
+ ( 1)
se q
1 satisfaz
de…nida por
q+1
q
q+1
c (g1 ; : : : ; gq )
= 0. A q-ésima cohomologia da representação é
Hq ( ) =
Os elementos de ker
q
ker
im q
q
:
1
são chamados de cociclos e os de im
Quando q = 1,
1 c (g; h)
= (g) c (h)
c (gh) + c (g) :
q
de cofronteiras.
323
Portanto, c : G ! V é um 1-cociclo se, e só se,
c (gh) = (g) c (h) + c (g) :
A propriedade de c dada na proposição 14.21 diz que c é um 1-cociclo para a
representação Ad . Já a relação entre c e c de (14.19) diz que
c (g)
c (g) =
Ad (g)
=
0
para a representação Ad .
Portanto, o critério da proposição 14.24 se traduz na a…rmação de que existe uma
aplicação momento Ad -equivariante se, e só se, o 1-cociclo c é cohomologo a 0.
Em particular, essa existência é assegurada se Hq (Ad ) = f0g.
Essas duas interpretações da condição da proposição 14.24 fornece os seguintes
critérios para saber se existe uma aplicação momento Ad -equivariante.
: M ! g uma aplicação momento da ação Hamiltoniana G M ! M . Então, a existência de uma aplicação momento , que é Ad equivariante, é equivalente a cada uma das a…rmações a seguir.
1. A representação a…m A = (Ad ; c ) é equivalente à representação linear (Ad ; 0).
2. O cociclo c é cohomologo a 0.
Em relação à unicidade das aplicações momento Ad -equivariantes, a igualdade
Ad (g) se = + , diz que e são equivariantes se, e só
c (g) = c (g) +
se, Ad (g) = . Portanto, se o conjunto das aplicações momento Ad -equivariantes
é não vazio esse conjunto é um espaço a…m, cujo espaço vetorial associado é
f 2 g : 8g 2 G; Ad (g)
= g:
Os critérios estabelecidos na proposição acima para a existência de aplicações momento Ad -equivariantes serão aplicados a seguir para ações Hamiltonianas de certos
grupos. Em primeiro lugar, para um grupo compacto G o critério cohomologico se
aplica devido ao seguinte fato sobre a 1-cohomologia de uma representação arbitrária
de G.
Lema 14.26 Sejam G um grupo topológico compacto Hausdor¤ e : G ! Gl (V ) uma
representação contínua de dimensão …nita. Suponha que c : G ! V é um 1-cociclo
contínuo para . Então, c é uma cofronteira.
Demonstração: Integrando ambos os membros da propriedade de cociclo c (gh) =
(g) c (h) + c (g) se obtém
Z
Z
c (gh) (dh) =
(g) c (h) (dh) + c (g)
324
onde é a medida de Haar em G normalizada por (G) = 1. No primeiro membro
pode-se retirar g pois é invariante à esquerda. Já (g) sai fora da integral do segundo
membro por linearidade. Portanto,
Z
Z
c (h) (dh) = (g)
c (h) (dh) + c (g) :
(14.21)
Escrevendo w =
R
c (h) (dh) 2 V , isso mostra que
c (g) = w
isto é, c é uma cofronteira.
(g) w = ( 0 w) (g) ;
2
Esse lema signi…ca que a 1-cohomologia para cociclos contínuos de um grupo compacto, para qualquer representação linear é trivial.
Proposição 14.27 Seja G um grupo compacto. Então, uma ação Hamiltoniana de
G admite uma aplicação momento : M ! g que é Ad -equivariante. Se G é semi
simples então essa aplicação momento é única.
Demonstração: A existência segue do lema anterior e do critério cohomologico estabelecido acima. A unicidade no caso semi simples vem do fato que se
2 g é
tal que Ad (g) = para todo g 2 G então = 0. De fato, tome X 2 g tal que
( ) = K (X; ) onde K é a forma de Cartan-Killing. Então, Ad (g) X = X para todo
g 2 G, o que implica que X 2 z (g) = f0g.
2
Esse resultado vale também para os grupos semi simples, mesmo os não compactos.
Proposição 14.28 Seja G um grupo conexo semi simples. Então, uma ação Hamiltoniana de G admite uma única aplicação momento Ad -equivariante.
Demonstração: Dada uma aplicação momento seja A = (Ad ; c ) sua representação a…m e denote por B : g ! af (g ) a representação in…nitesimal, que é dada
por B = ad ; (dc )1 . Mas, a 1-cohomologia de uma álgebra de Lie semi simples é
trivial6 . Daí que B é equivalente à representação linear (ad ; 0). Isso implica que A
é equivalente a (Ad ; 0) e, portanto, existe uma aplicação momento equivariante. 2
Até o momento foram consideradas ações Hamiltonianas não necessariamente transitivas. O caso transitivo apresenta propriedades próximas das órbitas coadjuntas.
Seja M = G=H um espaço homogêneo com forma simplética invariante ! tal
que a ação de G é Hamiltoniana. Suponha que seja uma aplicação momento Ad equivariante. Se x0 é a origem de G=H e x = gx0 então (x) = (gx0 ) = Ad (g) (x0 ),
o que mostra que a imagem de é a órbita coadjunta Ad (G) (x0 ). Essa órbita pode
ser munida da forma simplética de Kirillov-Kostant-Souriaux.
6
Veja o capítulo 5 de álgebras de Lie [49].
325
Proposição 14.29 Se a ação de G em G=H é Hamiltoniana em relação à forma
simplética invariante ! e é uma aplicação momento Ad -equivariante então
= !.
Demonstração: Para x 2 G=H e X 2 g vale
etX x = Ad
essa igualdade em relação a t em t = 0, se obtém
d
x
Portanto,
(x)
d
pela de…nição de
que mostra que
x
e ;d
X
x
Ye
etX
(x). Derivando
e (x) = ad (X) (x) :
X
=
=
(x)
(ad (X) (x) ; ad (X) (x))
(x) [X; Y ];
e Ye o
. Pela proposição 14.18 o último termo coincide com ! x X;
= !.
2
Tomando ainda uma ação Hamiltoniana em G=H com aplicação momento
Ad -equivariante sejam x0 a origem de G=H e
Z
(x0 )
= fg 2 G : Ad (g) (x0 ) =
que é
(x0 )g
o grupo de isotropia em (x0 ) de tal forma que Ad (G) (x0 ) = G=Z (x0 ) . Como é
equivariante, H Z (x0 ) pois se gx0 = x0 então Ad (g) (x0 ) = (gx0 ) = (x0 ). Em
termos dos espaços homogêneos Ad (G) (x0 ) = G=Z (x0 ) e M = G=H a aplicação
momento passa a ser a projeção canônica, G=H ! G=Z (x0 ) que à classe lateral gH
associa a classe lateral gZ (x0 ) . Isso implica que é uma submersão. Em particular,
dim G=Z (x0 ) dim M .
Na verdade, as dimensões são iguais. Isso porque, pela proposição anterior
= !.
k k^
k^
k^
Daí que para qualquer produto exterior
= ^
^ vale
= ( 1) ! .
k^
Em particular, se dim M = 2k então ! 6= 0 e não é possível ter dim G=Z (x0 ) < 2k,
k^
pois essa desigualdade implica k^ = 0, isto é, 0 =
= ( 1)k ! k^ .
O fato de que dim G=Z (x0 ) = dim G=H e H
Z (x0 ) implica que as álgebras de
Lie de H e Z (x0 ) coincidem e, portanto são iguais a
z
(x0 )
= fX 2 g : ad (X) (x0 ) = 0g:
Além do mais, a projeção canônica G=H ! G=Z (x0 ) é uma aplicação de recobrimento.
Portanto, é uma aplicação de recobrimento e M é um recobrimento da órbita coadjunta Ad (G) (x0 ). Em suma, as ações Hamiltonianas Ad -equivariantes em espaços
homogêneos não diferem muito das órbitas coadjuntas.
Para concluir essa seção serão considerados dois exemplos clássicos em geometria
simplética.
Exemplo: (Grupos abelianos) Se G é um grupo abeliano conexo então G =
Tm Rn . A álgebra de Lie é Rm+n assim como o seu dual. As representações adjunta
e coadjunta são triviais Ad (g) = Ad (g) = id, g 2 G.
326
Uma aplicação c : G ! g = Rm+n satisfaz a propriedade de cociclo se, e só se,
c (gh) = c (g) + c (h). Escrevendo g 2 G como g = (x; y) 2 Tm Rn , pode-se de…nir
c1 (x) = c (x; 0) e c2 (y) = c (0; y), de tal forma que c (x; y) = c1 (x) + c2 (y). Então c1
é um cociclo no toro Tm que é compacto e abeliano. Portanto, c1 = 0 (veja (14.21)).
Daí que qualquer cociclo c se escreve como
c (x; y) = c2 (y)
onde c2 é uma aplicação linear c2 : Rn ! Rn+m .
A única cofronteira é 0 pois 0 w = w Ad (g) w = w w = 0. Portanto, a
1-cohomologia de G é o espaço das aplicações lineares Rn ! Rn+m .
Seja agora uma ação Hamiltoniana G M ! M . Todas as aplicações momento
para essa ação dão o mesmo cociclo, pois dois cociclos são cohomólogos se, e só se, eles
coincidem. Em particular, se uma aplicação momento é Ad -equivariante então todas
são equivariantes. Nesse caso, (gx) = Ad (g) (x) = (x), isto é, é constante nas
órbitas de G.
O caso Ad -equivariante é aquele em que as funções Hamiltonianas comutam em
relação ao colchete de Poisson. De fato, como na proposição 14.18, seja b (X) ( ) =
( ) (X). Quando é Ad -equivariante então fb (X) ; b (Y )g = b[X; Y ] = 0. Isso
signi…ca que existe uma escolha de função hamiltoniana b (X), X 2 g, tal que essas
funções comutam na álgebra do colchete de Poisson. (Em geral, fb (X) ; b (Y )g é
^
e Ye ] = [X;
função hamiltoniana para [X;
Y ] = 0 e isso permite concluir fb (X) ; b (Y )g
é constante, mas não necessariamente nula.)
As órbitas de G em M são ao mesmo tempo subvariedades imersas e espaços
homogêneos G=H. Como G é abeliano, G=H também é grupo abeliano e , como G, é
o produto de um toro por um espaço euclidiano. Quando a ação é Ad -equivariante os
espaços tangentes às órbitas
e (x) 2 Tx M : X 2 gg
Tx (Gx) = fX
e (x) ; Ye (x) = fb (X) ; b (Y )g (x) =
são subespaços isotrópicos, já que Isso porque ! X
0.
O que se denomina classicamente de sistema completamente integrável é um campo
Hamiltoniano X numa variedade M de dimensão 2n, com função integrável f , tal que
existem funções g1 , . . . , gn 1 tais fgi ; f g = fgi ; gj g = 0. Os campos Hamiltonianos
associados a essas funções geram uma álgebra de Lie abeliana de dimensão n. Se os
campos são completos então, pelo teorema de Lie-Palais, os seus ‡uxos de…nem uma
ação Hamiltoniana de Rn em M , que é Ad -equivariante.
2
Exemplo: (Fibrados cotangentes)7 O …brado cotangente : T M ! M admite
um forma simplética canônica ! = d onde é a forma de Liouville de…nida por
7
Veja Abraham-Marsden [1]
14.5. Exercícios
327
(v) = ( v) para 2 T M e v 2 T T M . Um difeomor…smo
um difeomor…smo # de T M por
#
( )= d
1
x
=
d
de M se levanta a
1
x
onde x = ( ). Da mesma forma um campo de vetores X em M se levanta a um
campo de vetores X # em T M cujo ‡uxo é #
t onde t é o ‡uxo de X.
#
O campo levantado X é Hamiltoniano para a função fX : T M 7! R dada por
fX ( ) = (X (x)) se x = ( ).
Uma ação do grupo de Lie G em M se levanta a uma ação em T M por g
=
1
1
(dgx )
=
dgx se x = ( ) e g 2 G, cuja ação in…nitesimal associa X 2 g ao
e # , levantamento de X.
e
campo de vetores X
e (x)
Uma aplicação momento da ação de G em T M é dada por ( ) (X) =
X
se 2 T M , X 2 g e x = ( ). Essa aplicação momento é Ad -equivariante, pois se
x = ( ) então
(g
) (X) =
e (gx) =
dgx 1 X
^
Ad
(g) X (x)
=
( ) (Ad (g) X)
= Ad (g) ( ( )) (X) :
2
14.5
Exercícios
1. Mostre que G=H é orientável se, e só se, a representação de isotropia satisfaz
det dhx0 > 0 para todo h 2 H.
2. Dada uma variedade M com estrutura complexa J sejam X; X1 ; Y e Y1 campos
de vetores tais que X (x) = X1 (x) e Y (x) = Y1 (x). Mostre que NJ (X; Y ) =
NJ (X1 ; Y1 ) onde NJ é o tensor de Nijenhuis, como de…nido em (14.1).
3. Seja g uma álgebra de Lie com colchete [ ; ]. Dada uma uma estrutura complexa
J : g ! g de…na um novo colchete [ ; ]J por
[X; Y ]J =
1
([X; Y ]
2
[JX; JY ]) :
Veri…que que [ ; ]J é anti-simétrico e mostre que [ ; ]J satisfaz a identidade de
Jacobi se, e só se, o tensor de Newlander-Nirenberg NJ correspondente a J se
anula (isto é, J de…ne uma estrutura complexa invariante – unilateral – nos
grupos de Lie com álgebra de Lie g).
4. Com as notações do exercício anterior dê exemplo de uma álgebra de Lie g não
abeliana e um estrutura complexa J tal que [ ; ]J 0.
328
5. Mostre que a expressão (14.1) que de…ne o tensor de Nijenhuis tem, de fato, um
comportamento tensorial, isto é, é linear (sobre R) em X e Y .
6. Seja G um grupo conexo cuja álgebra de Lie g é semi simples. Mostre que G não
admite 1-formas diferenciais bi-invariantes.
7. Mostre que se uma k-forma diferencial em G=H e
de classe C 1 então, para g 2 G vale
Z
Z
= g :
:
k
! G=H é um k-ciclo
g
8. Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie g. Denote por ! a forma de MaurerCartan obtida por translações à direita. Mostre que ! é invariante à direita. Tome
k
uma base X
1 ; : : : ; Xn de g e sejam cij suas constantes de estrutura, de…nidas por
P
[Xi ; Xj ] = k ckij Xk . Escreva
! ( ) = ! 1 ( ) X1 +
+ ! n ( ) Xn
em que cada ! i ( ) é uma 1-forma a valores reais. Mostre que d! k =
!j .
P
k i
k cij ! ^
Parte V
Apêndices
329
Apêndice A
Campos de vetores e colchetes de
Lie
Um campo de vetores numa variedade diferenciável M é uma aplicação X : M !
T M que satisfaz X (x) 2 Tx M para x 2 M .
O campo X induz a equação diferencial ordinária em M dada por
dx
= X (x) :
dt
(A.1)
Se X é diferenciável então para todo x0 2 M existe uma única solução maximal com
condição inicial x (0) = x0 . Essa solução é denotada por t 7! Xt (x0 ). O seu domínio
de de…nição é um intervalo ( ; !) R que contém 0.
Fixando t 2 R, a aplicação Xt : x 7! Xt (x) é um difeomor…smo local de M no
sentido em que o domínio domXt de Xt é um aberto de M e Xt : domXt ! Xt (domXt )
é um difeomor…smo. O domínio domXt é o conjunto dos elementos de M , cuja solução
maximal se estende até t, isto é, o seu intervalo de de…nição ( ; !) contém t. O campo
é dito completo se domXt = M para todo t 2 R. De forma equivalente, X é completo
se todas as soluções maximais estão de…nidas em R = ( 1; +1).
O conjunto de difeomor…smos locais Xt , t 2 R, é denominado de ‡uxo do campo de
vetores. A menos de restrição de domínios, o ‡uxo satisfaz a propriedade de homomor…smo: Xt+s = Xt Xs , isto é, se Xs (x) e Xt (Xs (x)) estão de…nidos então Xt+s (x) está
de…nido e vale a igualdade Xt+s (x) = Xt (Xs (x)). Isto se deve à unicidade das soluções
de (A.1), com condições iniciais dadas. É claro que domXt+s = Xs (domXs ) \ domXt .
Em particular, os elementos do ‡uxo comutam entre si: Xt Xs = Xs Xt e X t =
(Xt ) 1 .
Em suma, Xt satisfaz as seguintes propriedades que o caracterizam:
1. X0 = id.
2.
d
Xt (x) = X (Xt (x)).
dt
3. Xt+s = Xt Xs = Xs Xt .
331
332
Apêndice A. Campos de vetores e colchetes de Lie
O campo X é obtido do seu ‡uxo pela segunda das igualdades acima. Muitas vezes
X é denominado de gerador in…nitesimal de seu ‡uxo.
Seja : M ! N uma aplicação diferenciável. Os campos de vetores X em M e Y em
N são ditos -relacionados se d aplica X em Y , isto é, se d x (X (x)) = Y ( (x))
para qualquer x 2 M . Nesse caso a imagem por de uma trajetória de X é uma
trajetória de Y . Em termos dos ‡uxos isso signi…ca que
Xt = Yt
:
Dado um campo X em M nem sempre existe um campo em N que é -relacionado
com X. Por exemplo, se não é injetora e (x) = (y) com d x (X (x)) 6= d y (X (y))
então não pode existir um campo -relacionado com X.
No entanto, se : M ! N é um difeomor…smo e X é um campo em M então existe
um único campo em N , denotado por X, que é -relacionado com X. Esse campo é
de…nido por
1
( X) (y) = d 1 (y) X
(y) :
De…nição A.1 Sejam X e Y dois campos de vetores. O colchete de Lie entre eles
é de…nido por
d
d (X t )Xt (x) (Y (Xt (x)))
:
(A.2)
[X; Y ] (x) =
dt
jt=0
O colchete de Lie preserva campos -relacionados.
Proposição A.2 Sejam : M ! N uma aplicação diferenciável e X1 , X2 campos em
M . Suponha que os campos Y1 e Y2 sejam -relacionados com X1 e X2 , respectivamente. Então, que os campos [X1 ; X2 ] e [Y1 ; Y2 ] também são -relacionados.
Demonstração: Segue direto da de…nição de colchete de Lie juntamente com a regra
da cadeia e a igualdade
Xt = Yt
se X e Y são -relacionados.
2
Em particular, se
é um difeomor…smo então
[X; Y ] = [ X;
Y ]:
(A.3)
As propriedades do colchete de Lie são obtidas a partir de sua expressão em coordenadas locais a ser deduzida abaixo.
Seja U um aberto de Rn . Um campo de vetores X em U se identi…ca a uma
aplicação C k , X : U Rn ! Rn . O teorema da dependencia diferenciável das soluções
de uma equação diferencial ordinária garante que o ‡uxo Xt de um campo X de classe
C k é de classe C k . Em particular, existe a diferencial d (Xt )x se x está no domínio de
Xt . Essa diferencial satisfaz uma equação diferencial linear, chamada normalmente de
equação adjunta, que será deduzida a seguir.
Lema A.3
d
(d (Xt )x )jt=0 = d (X)x .
dt
333
Demonstração: Dado v 2 Rn , considere a aplicação
(t; s) = Xt (x + sv)
cujo domínio é uma vizinhança da origem em R2 . A diferencial d (Xt ) é dada pela
derivada parcial
@
(t; 0) = d (Xt )x (v) :
ds
Portanto,
d
@2
@2
(d (Xt )x )jt=0 =
(0; 0) =
(0; 0) :
dt
@t@s
@s@t
@
Mas,
(0; s) = X (x + sv). Derivando esta igualdade em relação a s, chega-se à
dt
fórmula do lema.
2
A fórmula para derivada de t 7! d (Xt )x num t arbitrário é obtida facilmente a
partir da derivada em t = 0. De fato,
d
d
d
(d (Xt )x ) =
(d (Xt+s )x )js=0 =
d (Xs )Xt (x) d (Xt )x
dt
ds
ds
:
js=0
Portanto, o lema acima implica na seguinte igualdade.
Proposição A.4
d
(d (Xt )x ) = d (X)Xt (x) d (Xt )x .
dt
Esta fórmula signi…ca que a curva t 7! d (Xt )x satisfaz a equação diferencial
dg
= d (X)Xt (x) g
dt
no espaço das transformações lineares de Rn . Esta equação diferencial é linear e seus
coe…cientes não são constantes, a menos que Xt (x) = x para todo t, isto é, x é um
singularidade do campo X.
Proposição A.5 Seja X : U Rn ! Rn um campo de vetores diferenciável de…nido
no aberto U Rn . Então, para todo x 2 U vale
[X; Y ] (x) = dYx (X (x))
dXx (Y (x)) :
(A.4)
Demonstração: A expressão (X t )Xt (x) (Y (Xt (x))) que aparece na de…nição do
colchete de Lie é vista em coordenadas locais como um produto de uma matriz n n
por uma matriz n 1. Sua derivada em t = 0 é obtida pela fórmula da derivada de
um produto que é dada por dois termos
d
d (X t )Xt (x)
dt
(Y (x)) +
jt=0
d
(Y (Xt (x)))jt=0 :
dt
(A.5)
334
O segunda derivada é dYx (X (x)). Para obter a primeira derivada deve-se derivar o
produto matrizes (em t = 0) d (X t )Xt (x) d (Xt )x = id, que fornece
d
d (X t )Xt (x)
dt
+
jt=0
d
(d (Xt )x )jt=0 = 0:
dt
Portanto, pelo lema A.3,
d
d (X t )Xt (x)
dt
=
jt=0
=
d
(d (Xt )x )jt=0
dt
dXx :
Portanto, o primeiro termo de (A.5) …ca sendo dXx (Y (x)). Juntando isso com o
segundo membro dYx (X (x)), se conclui que [X; Y ] (x) = dYx (X (x)) dXx (Y (x)),
como enunciado.
2
Da expressão em coordenadas locais segue que se os campos de vetores X e Y são
de classe C k então [X; Y ] é um campo de vetores de classe C k 1 . A partir da fórmula
em coordenadas locais se obtém também as seguintes propriedades do colchete de Lie:
1. Bilinearidade sobre R: Se X; Y e Z são campos de vetores e a 2 R então
[aX + Y; Z] = a[X; Z] + [Y; Z]:
2. Anti-simetria: [X; Y ] =
[Y; X].
3. Identidade de Jacobi: [X; [Y; Z]] = [[X; Y ]; Z] + [Y; [X; Z]].
Em particular, o espaço vetorial dos campos de vetores de classe C 1 forma uma
álgebra de Lie, quando munido do colchete de Lie de campos de vetores. A fórmula
(.A.3) mostra que a aplicação X 7! X é um homomor…smo da álgebra de Lie dos
campos de vetores.
Usando ainda a expressão do colchete de Lie em coordenadas locais segue que se
X; Y são campos de vetores em M e f : M ! R é uma função diferenciável então
[X; Y ]f = X (Y f ) Y (Xf ), onde Xf signi…ca a derivada direcional de f na direção
de X, isto é, Xf (x) = dfx (X (x)).
Deve-se observar que o colchete de Lie [X; Y ] (x) depende dos valores de X e Y nas
vizinhanças de x e não apenas dos valores em x (veja as fórmulas a seguir). De fato,
ao multiplicar os campos por funções f : M ! R o colchete não …ca multiplicado por
f , mas satisfaz a seguinte igualdade
[X; f Y ] = f [X; Y ] + (Xf ) Y:
Isso signi…ca que o colchete de Lie não tem um comportamento tensorial.
A proposição a seguir fornece uma interpretação analítica do colchete de Lie, como
primeiro termo na expansão de Taylor do comutador dos ‡uxos dos campos de vetores.
335
Proposição A.6 Sejam X; Y : U ! Rn campos de vetores diferenciáveis de…nidos no
aberto U Rn . Fixe x 2 U e considere a curva
(t) = Xt Yt X
t
de…nida em um intervalo aberto de 0 2 R. Então,
Y
0
t
(x)
(0) = 0 e
00
(0) = 2[Y; X] (x).
Demonstração: O cálculo da derivada primeira de depende apenas da de…nição
de Xt : de…na as curvas 1 (t) = Yt X t Y t (x) e 2 (t) = X t Y t (x). Então,
0
(t) = X ( (t)) + d (Xt ) 1 (t) (Y ( 1 (t)))
d (Xt ) 1 (t) d (Yt ) 2 (t) (X ( 2 (t)))
d (Xt Yt X t )Y t (x) (Y (Y t (x))) :
Avaliando em t = 0, segue que 0 (0) = 0. O cálculo da derivada segunda envolve a
proposição anterior. Derivando cada um dos termos de 0 (t) e avaliando em t = 0,
obtém-se:
1. dXx (
0
(0)) = 0.
d
(d (Xt )x ) (Y (x))jt=0 + 0 + d (Y )x ( 01 (0)).
dt
d
d
3.
(d (Xt )x ) (X (x))jt=0
(d (Yt )x ) (X (x))jt=0
dt
dt
d
d
(d (Xt )x ) (Y (x))jt=0
(d (Yt )x ) (Y (x))jt=0
4.
dt
dt
d
+ (d (Xt )x ) (Y (x))jt=0 + d (Y )x ((Y (x)).
dt
Da mesma forma são calculadas as derivadas:
2.
0
1
(0) = Y (x)
X (x)
Y (x) =
X (x)
0
2
d (X)x (
(0) =
0
2
(0))
X (x)
Y (x) :
Usando esses valores e o lema acima, o segundo termo …ca
d (X)x (Y (x))
d (Y )x (X (x)) :
Já o terceiro termo é dado por
d (X)x (X (x))
d (Y )x (X (x)) + d (X)x (X (x)) + d (X)x (Y (x)) :
Enquanto que quarto termo é
d (X)x (Y (x))
d (Y )x (Y (x)) + d (X)x (Y (x)) + d (Y )x (Y (x)) :
Somando esses três termos chega-se, por …m, ao resultado desejado
00
(0) = 2 (d (X)x (Y (x))
d (Y )x (X (x))) = 2[Y; X] (x) :
2
Por …m, vale o seguinte critério para a comutatividade dos ‡uxos dos campos de
vetores em termos dos colchetes de Lie.
336
Proposição A.7 Sejam X e Y campos de vetores em M . Então, as seguintes a…rmações são equivalentes:
1. X e Y comutam, isto é, [X; Y ] = 0.
2. (Xt ) Y = Y para todo t.
3. (Yt ) X = X para todo t.
4. Xt Ys = Ys Xt para todo s; t.
Demonstração: Suponha que [X; Y ] = 0, tome x 2 M e considere a curva (t) =
d (X t )Xt (x) (Y (Xt (x))) 2 Tx M . Deve-se mostrar que é constante igual a (0) =
Y (x), pois isso implica que Y (Xt (x)) = d (Xt )x (Y (x)) que é o mesmo que (Xt ) Y =
Y , pois x é arbitrário. Evidentemente 0 (0) = [X; Y ] (x) = 0 pela de…nição do colchete
d
de Lie. Para os outros valores de t, vale 0 (t) =
(t + s)js=0 e
ds
d
d
(t + s)js=0 = d (X t )Xt (x)
d (X s )X s (Xt (x)) Y (Xs (Xt (x)))
ds
ds
= d (X t )Xt (x) [X; Y ] (Xt (x))
= 0:
Portanto, 0 (t) = 0, mostrando que (Xt ) Y = Y . A mesma demonstração garante que
(Yt ) X = X, já que o colchete de Lie é anti-simétrico.
Assuma que (Xt ) Y = Y . Então, as imagens por Xt das trajetórias de Y também
são trajetórias de Y , isto é, Xt Ys = Ys Xt . Por …m, se os ‡uxos de X e Y comutam então o comutador de Xt e Yt é constante. A proposição A.6 garante então que
[X; Y ] = 0.
2
A.1
Exercícios
1. Um campo de vetores X num aberto de Rn pode ser escrito em coordenadas como
X=
X
ai
i
@
@xi
onde @x@ i são os campos constantes
na direção
P
P das coordenadas. Usando essa
notação, mostre que se X = i ai @x@ i e Y = i bi @x@ i então
[X; Y ] =
X
i;j
a
i @b
j
@xi
b
i @a
j
@xi
@
:
@xj
A.1. Exercícios
337
2. Dado um campo de vetores X na variedade M , suponha que x 2 M seja uma
singularidade de x, isto é, X (x) = 0. Mostre que se Y1 e Y2 são campos de vetores
então [X; Y1 ] (x) = [X; Y2 ] (x) se Y1 (x) = Y2 (x). Conclua que é possível de…nir,
sem ambiguidade, a aplicação linear dX : Tx M ! Tx M por dx (v) = [X; Y ] (x),
onde Y é um campo de vetores tal que Y (x) = v.
Veri…que que se M é um aberto de Rn então dX se identi…ca a
campo visto como uma aplicação X : M ! Rn .
dXx , com o
3. Um campo de vetores linear em Rn é de…nido por XA (x) = Ax onde A é uma
matriz n n. Mostre que [XA ; XB ] = XBA AB . Use isso para mostrar que se as
matrizes A e B comutam então
!
!
X 1
X
X
1
1
(A + B)k =
Ak
Bk :
k!
k!
k!
k 0
k 0
k 0
4. Na variedade unidimensional S 1 , parametrizada pelo ângulo , considere os campos de vetores X ( ) = cos dd e Y ( ) = sen dd . Mostre que a subálgebra de Lie
de campos de vetores gerada por X e Y tem dimensão 3 e é isomorfa a sl (2; R).
338
Apêndice B
Integrabilidade de distribuições
B.1
Imersões e subvariedades
Sejam V e M variedades diferenciáveis. Uma imersão f : V ! M é uma aplicação
diferenciável tal que para todo x 2 V , dfx é injetora. Quando f é uma imersão
injetora o conjunto L = f (V ) é chamado de subvariedade imersa de M . Nesse caso
a aplicação V ! f (V ) é bijetora, o que permite transferir a estrutura diferenciável de V
a f (V ), denominada de estrutura diferenciável intrínseca. A topologia subjacente
a essa estrutura diferenciável é chamada de topologia intrínseca da subvariedade.
Outra topologia natural na subvariedade imersa f (V ) M é a topologia induzida,
como subconjunto de M . Como a imersão f é uma aplicação contínua, todo aberto
da topologia induzida é um aberto intrínseco. Porém, em geral, as duas topologias
são diferentes (veja exemplos abaixo). Quando as topologias coincidem a subvariedade
imersa é chamada de subvariedade regular ou subvariedade mergulhada. Nesse
caso a imersão é chamada de mergulho ou imersão regular.
A seguinte proposição apresenta uma caracterização bem conhecida das subvariedades mergulhadas.
Proposição B.1 Um subconjunto N
M é uma subvariedade mergulhada se, e só
se, a seguinte condição é satisfeita: para todo x 2 N existem i) uma vizinhança W
de x em M ; ii) vizinhanças da origem V
Rk e U
Rp e iii) um difeomor…smo
: V U ! W tal que (V f0g) = W \ N .
No estudo da integrabilidade de distribuições é necessário considerar uma classe
de imersões mais ampla que os mergulhos. Essa classe é formada pelas subvariedades
imersas quase-regulares, que são de…nidas a seguir.
De…nição B.2 Uma subvariedade imersa L = f (V ) é dita quase-regular (ou quasemergulhada) se a seguinte condição for satisfeita:
Seja N um espaço topológico localmente conexo e : N ! M uma aplicação
contínua. Suponha que assume valores em L. Então, : N ! L é contínua
em relação à topologia intrínseca.
339
340
Apêndice B. Integrabilidade de distribuições
Se uma aplicação contínua : N ! M assume valores em L então : N ! L é
contínua em relação à topologia induzida. Em particular, se essa topologia coincide
com a topologia intrínseca então a condição de quase-regularidade é satisfeita. Em
outras palavras, toda subvariedade mergulhada é quase-regular.
Os seguintes exemplos ajudam a esclarecer o conceito de subvariedade quase-regular.
Exemplos:
1. A imersão
: (0; +1) ! R2 dada por
(t) =
(cos (t
=2) ; sen (t
(t 2 ; 1) se t 2
=2)) se 0 < t
2
'$
&%
-
V
é injetora, de classe C 1 , e não é quase-regular. De fato, seja : ( ; ) ! R2 com
> 0 su…cientemente pequeno de…nida por (t) = (cos (t
=2) ; sen (t
=2)).
Então é contínua a valores em R2 , mas não é contínua na topologia intrínseca.
De fato, se V é o aberto (da topologia intrínseca) indicado na …gura então 1 (V )
é um intervalo do tipo ( ; 0] que não aberto em ( ; ).
2. Considere o toro bi-dimensional T2 = R2 =Z2 , com a projeção canônica : R2 !
T2 . Se r é uma reta parametrizada em R2 sua projeção (r) é uma subvariedade
imersa de T2 . Em particular, as retas passando pela origem r = ft (1; ) : t 2 Rg
de…nem imersões (r ) ,! T2 . Se é racional então (r ) é uma curva fechada
em T2 e a imersão correspondente é um mergulho. Já se é irracional (r )
é denso em T2 . Nesse caso a imersão não é um mergulho, pois, por exemplo,
um intervalo do tipo ft (1; ) : t 2 ( "; ")g é um aberto intrínseco mas não na
topologia induzida.
No entanto, as imersões (r ), são quase-regulares. Para ver isso tome : N !
T2 contínua com (N )
(r ) e N localmente conexo. A continuidade de na
topologia intrínseca é uma questão local. Tomando restrições de a vizinhanças
de N pode-se assumir que (N ) está contido num retângulo aberto do tipo
R =
=
f(t
s; t + s) : t 2 I1 ; s 2 I2 g
(I1 (1; ) + I2 ( ; 1))
com I1 e I2 intervalos abertos de R. Se I1 e I2 são su…cientemente pequenos a
aplicação
(t; s) 2 I1 I2 7! (t (1; ) + s ( ; 1)) 2 T2
B.1. Imersões e subvariedades
341
é um homeomor…smo. Portanto, a projeção p2 sobre a reta gerada por ( ; 1)
está bem de…nida em R. Esta projeção é uma aplicação contínua. Daí que p2
é uma aplicação contínua a valores no intervalo I2 ( ; 1). Porém, a intersecção
de (r ) com o retângulo R tem no máximo uma quantidade enumerável de
componentes conexas. Cada componente conexa é da forma
( (r ) \ I2 (
; 1)) + (I1 (1; )) :
Isso signi…ca que p2
assume valores num conjunto enumerável. Como essa
aplicação é contínua, ela deve ser constante. Portanto, (N ) \ R está contido
num intervalo do tipo I1 (1; ) + ( s0 ; s0 ). Sendo assim, seja A R um aberto
intrínseco. Então, 1 (A) = 1 (B) onde B é um aberto de T2 , garantindo que
é contínua em relação à topologia intrínseca.
2
A propriedade de continuidade que aparece na de…nição de subvariedade quaseregular se estende à diferenciabilidade em relação à estrutura diferenciável intrínseca
da subvariedade, como mostra o resultado a seguir.
Proposição B.3 Seja L uma subvariedade quase-regular e N uma variedade diferenciável conexa. Se uma aplicação diferenciável : N ! M assume valores em L então
ela é diferenciável em relação à estrutura diferenciável intrínseca de L.
Demonstração: Tome y 2 N e escreva x = (y) 2 L. Pela forma local das imersões
existe uma vizinhança intrínseca U de x 2 L de tal forma que a inclusão de U em M é
equivalente à inclusão canônica de uma vizinhança V da origem em Rk na vizinhança
V W da origem em Rk Rl .
Como L é quase-regular 1 (U ) é um aberto de N que contém y. Então, a restrição
de a 1 (U ) é equivalente a uma aplicação z 7! (f (z) ; g (z)) 2 V W , que assume
valores em V
f0g, isto é, tal que g (z) = 0. Então, z 7! f (z) 2 V é equivalente
à restrição de a 1 (U ) com V difeomorfo a U , em relação à topologia intrínseca.
Como f é diferenciável, segue que é diferenciável.
2
Corolário B.4 Na situação do lema acima, se : N ! M é imersão então : N ! L
também é imersão. Em particular, se dim N = dim L então é um difeomor…smo local.
Demonstração: Uma vez que : N ! L é diferenciável, a imagem de sua diferencial
está contida no espaço tangente a L e portanto : N ! L é imersão.
2
Corolário B.5 Se L é subvariedade quase-regular com dim L = k então o conjunto
pressuposto por L admite uma única estrutura de subvariedade imersa de dimensão k.
Demonstração: Aplique o corolário acima à identidade id de L.
2
342
B.2
Distribuições características e teorema de Frobenius
Seja M uma variedade diferenciável. Uma distribuição
em M é uma aplicação
que a cada x 2 M associa um subespaço (x)
Tx M , do espaço tangente a x. A
distribuição é regular, ou não singular, se dim (x) é constante como função de x
e singular caso contrário. A dimensão constante de (x) no caso de uma distribuição
regular é chamada de dimensão da distribuição.
Uma subvariedade integral de é uma imersão : N ! M tal que1
8x 2 N;
(Tx N ) =
( (x)) :
De…nição B.6 Uma distribuição em M é dita integrável em x 2 M se existe uma
variedade integral de
contendo x. A distribuição é integrável se for integrável em
todo x 2 M .
Um campo de vetores local em M é um campo de vetores de…nido num subconjunto
aberto U
M , isto é, uma aplicação X : U ! T M tal que X (x) 2 Tx M , para todo
x 2 U.
Um campo local X em M é tangente a
se X (x) 2 (x) para x no domínio de
X.
De…nição B.7 Uma distribuição
em M é diferenciável em x 2 M se existem
1
campos de vetores diferenciáveis X ; : : : ; X k de…nidos em uma vizinhança de x que são
1. tangentes a
.
2. fX 1 (x) ; : : : ; X k (x)g gera
(x).
Uma distribuição é diferenciável se o for em todo x 2 M . O conjunto de campos
X ; : : : ; X k é chamado de parametrização de , centrada em x.
1
Em geral uma parametrização X 1 ; : : : ; X k , centrada em x, pode não gerar a distribuição nos pontos y 6= x. No entanto, se a distribuição é regular isso acontece numa
vizinhança de x pois se fX 1 (x) ; : : : ; X m (x)g são linearmente independentes então
fX 1 (y) ; : : : ; X m (y)g também são linearmente independentes numa vizinhança de x.
(Isso pode ser veri…cado localmente tomando campos num aberto de Rn , n = dim M .
A matriz n k cujas colunas são as coordenadas dos campos X 1 ; : : : ; X k tem posto m
em x. Pela continuidade do determinante essa matriz tem posto m numa vizinhança
de x. Veja o lema B.13 abaixo.)
Um conceito central no estudo da integrabilidade é o de distribuição característica,
de…nida a seguir.
1
Estão sendo consideradas aqui apenas variedades integrais com a mesma dimensão que a distribuição. De forma mais geral, uma variedade integral é tal que seus espaços tangentes estão contidos
na distribuição.
B.2. Distribuições características e teorema de Frobenius
De…nição B.8 Seja M uma variedade e
343
uma distribuição em M .
1. Um campo de vetores X de…nido num aberto U
M preserva a distribuição
se
Xt ( (x))
(Xt (x))
(B.1)
para todo x 2 U e t 2 R tal que Xt (x) está de…nido. Nesse caso se diz que a
distribuição é invariante por X. (O subíndice signi…ca diferencial.)
2. Um campo de vetores X : U ! T M é característico da distribuição
se X
preserva e é tangente a , isto é, X (y) 2 (y) para todo y no domínio de X.
3. Uma distribuição é característica em x 2 M se ela admite uma parametrização
por campos característicos, centrada em x. Isto é, existem campos característicos
X 1 ; : : : ; X k de…nidos numa vizinhança de x tal que
(x) = gerfX 1 (x) ; : : : ; X k (x)g:
A distribuição é característica se o for em todos os pontos de M .
Convém observar que a inclusão em (B.1) é, na verdade, uma igualdade pois
X t ( (Xt (x)))
(x).
Uma vez estabelecidos esses conceitos é possível enunciar e demonstrar o seguinte
critério de integrabilidade de distribuições.
Teorema B.9 Para uma distribuição
1.
é característica.
2.
é diferenciável e integrável.
são equivalentes:
Demonstração: Suponha
característica. Então
é diferenciável por de…nição.
Falta portanto mostrar que
é integrável, isto é, que todo x 2 M está contido em
uma variedade integral.
Fixe x 2 M . Como
é característica em x, existem campos característicos
1
k
X ; : : : ; X , de…nidos numa vizinhança de x e linearmente independentes em x tal
que
(x) = gerfX 1 (x) ; : : : ; X k (x)g:
Para alguma vizinhança U da origem em Rk , a expressão
( ) = (t1 ; : : : ; tk ) = Xt11
Xtkk (x)
com = (t1 ; : : : ; tk ) 2 U faz sentido e de…ne uma aplicação diferenciável : U ! M .
A construção da variedade integral será feita mostrando que é uma imersão quando
restrita a alguma vizinhança V
U . Para isso deve-se calcular a imagem da diferencial
@
( ) na direção das
d de em . Essa imagem é gerada pelas derivadas parciais
@ti
344
diferentes coordenadas ti . Usando o fato de que a derivada em relação a t de Xt (x) é
X (Xt (x)), a derivada parcial …ca sendo
@
( ) = Xt11
@ti
onde zi = Xtii
Xtii
1
1
X i (zi )
Xtkk (x). Avaliando essa expressão em
(B.2)
= 0, se obtém
@
(0) = X i (x) :
@ti
Como a imagem de d 0 é gerada por essas derivadas parciais, isso mostra que essa imagem coincide com (x) e daí que tem posto máximo na origem. Consequentemente,
a restrição de a alguma vizinhança V da origem é uma imersão.
Essa restrição é uma subvariedade integral de . Para ver isso observe em primeiro
lugar que
Xt11
Xtkk ( ) =
pois cada X i é um campo característico e portanto preserva . Isso juntamente com
a expressão das derivadas parciais de em (B.2) e o fato de que X i (zi ) 2 (zi ) (pois
@
( ) 2 ( ( )) e daí que a
X i é tangente), permite concluir que se 2 U então
@ti
im (d )
( ( )). Essa inclusão é na verdade uma igualdade se 2 V pois x e
( ) são respectivamente o ponto inicial e …nal de uma curva que é a concatenação de
trajetórias de campos característicos de . Como a dimensão de não varia ao longo
das trajetórias dos campos característicos, dim ( ( )) = dim (x) e esta coincide
com dim (im (d )) pois é uma imersão em V . Com isso …ca concluída a demonstração
de que é integrável.
A recíproca é consequência do lema B.17 abaixo que garante que uma distribuição
integrável é invariante por seus campos tangentes. Dessa forma se é diferenciável e
integrável então os campos de suas parametrizações são automaticamente característicos, o mesmo ocorrendo com a distribuição.
2
O teorema de Frobenius fornece uma condição su…ciente para que uma distribuição
regular diferenciável seja integrável. Essa condição é expressa em termos de involutividade de acordo com a seguinte de…nição.
De…nição B.10 Uma distribuição
for satisfeita:
é chamada involutiva se a seguinte condição
Sejam X : U ! T M e Y : V ! T M campos locais com U \ V 6= ; e tais que
X e Y sejam tangentes a . Então, [X; Y ] : U \ V ! T M é um campo local
tangente a .
Com esses conceitos é possível enunciar o teorema de Frobenius.
Teorema B.11 Seja
uma distribuição diferenciável e regular. Suponha que
involutiva. Então,
é integrável.
é
B.2. Distribuições características e teorema de Frobenius
345
A demonstração do teorema de Frobenius consiste em mostrar que uma distribuição
regular e involutiva é característica. Para isso são usados os seguintes resultados.
Lema B.12 Sejam U Rn um aberto e A uma aplicação diferenciável de…nida em U
e a valores no espaço das matrizes m k com k m. Suponha que o posto de A (y)
seja k para todo y 2 U e sejam a : U ! Rk e b : U ! Rm aplicações tais que b é
diferenciável e
A (y) a (y) = b (y)
para todo y 2 U . Então, a também é diferenciável.
Demonstração: Tome y0 2 U . O fato de que o posto de A (y0 ) é k permite que fazer
uma permutação nas linhas de A de tal forma que
A=
B (y)
C (y)
com B (y) matriz k k e det B (y0 ) 6= 0. Escrevendo A dessa forma, a continuidade de
det B (y) garante B (y) é inversível para y em alguma vizinhança U1 de y0 . A inversa
B (y) 1 é diferenciável pois ela é da forma (1= det B (y)) Q (B (y)) com Q um polinômio
nas entradas de B (y). Por outro lado, para todo y 2 U1 ,
a (y) =
B (y)
1
0
B (y)
C (y)
a (y) =
B (y)
1
0
b (y)
e portanto a é diferenciável em U1 . Como y0 é arbitrário, isso mostra a diferenciabilidade de a.
2
Lema B.13 Sejam Z e Y 1 ; : : : ; Y k campos diferenciáveis no aberto U
Z (y) =
k
X
Rn tais que
aj (y) Y j (y) :
j=1
Suponha que Y 1 (y0 ) ; : : : ; Y k (y0 ) é linearmente independente em y0 2 U . Então os
coe…cientes aj são diferenciáveis em alguma vizinhança de y0 .
Demonstração: Seja A (y), y 2 U , a matriz n k cuja j-ésima coluna é formada
pelas coordenadas de Y j . Visto como transformação linear de Rk em Rn , A (y) é dada
por
A (y) (u1 ; : : : ; uk ) = u1 Y 1 (y) +
+ uk Y k (y)
portanto se b (y) é a matriz coluna das coordenadas de Z e a a matriz coluna cujas
entradas são os coe…cientes aj então A (y) a (y) = b (y). Como os campos Y j são linearmente independentes em y0 , A (y0 ) é de posto k o mesmo ocorrendo com A (y) numa
vizinhança de y0 pela continuidade do determinante. O lema anterior mostra então que
a é diferenciável nessa vizinhança de y0 .
2
346
Teorema B.14 Sejam uma distribuição característica e U um aberto de M . Suponha que existam campos de vetores X e Y 1 ; : : : ; Y k , de…nidos em U tais que
1. X e Y j , j = 1; : : : ; k, são tangentes a
2. fY 1 (x) ; : : : ; Y k (x)g gera
e
(x) para todo x 2 U .
Tome x 2 U e seja J um intervalo tal que se t 2 J então Xt (x) 2 U . Então,
(Xt (x)) = Xt
(x)
(B.3)
para todo t 2 J.
Demonstração: A inclusão em (B.3) é equivalente a
X
t
(Xt (x)) =
(x) :
Para veri…car essa inclusão, de…na as funções vi a valores em Tx M por
vi (t) = (X t )
Y i (Xt (x)) ;
i = 1; : : : ; k:
É su…ciente mostrar que vi (t) 2 (x), t 2 J. Para isso, no entanto, é su…ciente
mostrar que para todo funcional linear : Tx M ! R tal que (x) ker vale
(vi (t)) = 0 t 2 J:
De fato, isso mostra que vi está na interseção dos núcleos dos funcionais lineares que
se anulam em (x). Essa intersecção é exatamente (x). Tomando um funcional
que se anula em (x), de…na
wi (t) =
(vi (t))
w = (w1 ; : : : ; wk ) :
Pela de…nição de colchete de dois campos de vetores (veja a demonstração da proposição
A.7),
vi0 (t) = X t [X; Y i ] (Xt (x)) :
Porém, pelo lema B.13 e pelo fato que a distribuição é involutiva, pode-se escrever
j
[X; Y ] (y) =
k
X
bij (y) Y j (y)
j=1
com bij funções diferenciáveis em U . Escrevendo aij (t) = bij (Xt (x)), obtém-se
!
k
P
vi0 (t) = X t
aij (t) Y j (Xt (x))
j=1
=
k
P
j=1
aij (t) vj (t) :
B.3. Unicidade e variedades integrais maximais
Como
é linear wi0 (t) =
347
(vi0 (t)). Portanto w satisfaz a equação diferencial
wi0
(t) =
k
X
aij (t) wj (t) :
j=1
Esta é uma equação diferencial linear em que os coe…cientes são contínuos e, portanto,
admite uma única solução condição inicial w (0) dada. Essa solução é de…nida em todo
intervalo J. Porém, wi (0) = 0 pois vi (0) = Y i (x) 2 (x). Daí que wi (t) = 0 para
todo t 2 J o que conclui a demonstração.
2
Com esses lemas preparatórios a demonstração do teorema de Frobenius se obtém
facilmente.
Demonstração do Teorema de Frobenius: Dado x 2 M , tome campos Y 1 ; : : : ; Y k
de…nidos numa vizinhança U de x tal que fY 1 (y) ; : : : ; Y k (y)g é uma base de (y)
para todo y 2 U . Pelo lema B.13 e pelo teorema B.14 os campos Y 1 ; : : : ; Y k são característicos para . Isso mostra que uma distribuição regular e involutiva é característica
e, portanto, integrável.
2
Em geral, para aplicar o teorema de Frobenius não é necessário veri…car a condição
de involutividade para todos os campos tangentes à distribuição. De fato, a seguinte
consequência do lema B.13 mostra que para veri…car a involutividade de uma distribuição basta calcular colchetes em bases de .
Corolário B.15 Seja uma distribuição regular em M e suponha que para todo x 2
M existam campos de vetores X1 ; : : : ; Xk tangentes a , de…nidos numa vizinhança de
x tais que fX1 (x) ; : : : ; Xk (x)g gera (x) e os colchetes [Xi ; Xj ] são tangentes a .
Então,
é integrável.
Demonstração: De fato, se os campos geram
em x então eles geram
numa
vizinhança de x, o que garante que é diferenciável. Além do mais,
P pelo lema B.13
P se
Y e Z são campos tangentes a então nas vizinhanças de x, Y = ai Xi e Z =
bi X i
com os coe…cientes diferenciáveis. Portanto,
X
X
ai bj [Xi ; Xj ] +
(Xi bj Xi aj ) Xj
[Y; Z] =
i;j
o que mostra que
B.3
i;j
é involutiva.
2
Unicidade e variedades integrais maximais
Os teoremas de integrabilidade demonstrados acima, em particular o teorema de Frobenius, são teoremas de existência e têm caráter local. Resultados de caráter global, assim
348
como a unicidade de variedades integrais são obtidos, com bastante generalidade, por
uma aplicação do lema de Zorn, que permite estender variedades integrais.
Nesse sentido um papel central é desempenhado pelo conceito de variedade integral maximal, que é uma subvariedade integral conexa L de , que não está contida
propriamente em nenhuma subvariedade integral conexa. Abaixo será demonstrada
a existência de variedades integrais maximais para distribuições características. Para
isso serão utilizados alguns lemas.
Lema B.16 Seja N ,! M uma imersão e suponha que o campo X de M seja tangente
a N , isto é, X (x) 2 Tx N para todo x 2 N .
Então para todo x 2 N existem uma vizinhança V
N de x e > 0 tal que se
y 2 V então Xt (y) 2 N para jtj < . Além do mais Xt : V ! N , jtj < , é um
difeomor…smo sobre um aberto de N .
Demonstração: Devido à forma local das imersões, pode-se supor sem perda de
generalidade que M é um produto V W Rk Rl com V e W vizinhanças da origem
e que N = V f0g. Nessa situação, tome uma vizinhança da origem V1 W1 V W
e > 0 su…cientemente pequeno de tal forma que Xt (V1 W1 ) V W .
O fato de X ser tangente a N permite de…nir, por restrição, um campo X de
V f0g. Uma trajetória de X satisfaz
0
(t) = X ( (t)) = X ( (t))
e portanto é também uma trajetória de X. O teorema de unicidade das soluções
das equações diferenciais garante então que as trajetórias de X iniciadas em V f0g
permanecem em V f0g.
Dessa forma, se jtj < , Xt (V1 f0g) V f0g, o que mostra o lema.
2
Lema B.17 Suponha que seja uma distribuição integrável e seja X um campo tangente a . Então, X preserva .
Demonstração: Seja U o domínio de X e tome y 2 U e L uma variedade integral
de passando por y. Pelo lema anterior existem > 0 e V
L \ U (dependendo de y
e L) tal que Xs é um difeomor…smo de V sobre um aberto de L para jsj < . Portanto
Xs aplica espaços tangentes a L sobre seus espaços tangentes, isto é,
Xs
(z) =
(Xs (z))
para z 2 V . Em particular, essa igualdade vale para z = y e jsj < .
Seja agora x 2 domXt . Suponha t > 0 e de…na
m = supfs 2 [0; t] : 8 2 [0; s]; X ( (x))
(X (x))g:
Aplicando a primeira parte da demonstração a y = Xm (x), se veri…ca que m = t,
mostrando o lema.
2
B.3. Unicidade e variedades integrais maximais
349
Lema B.18 Sejam
uma distribuição característica e N1 e N2 variedades integrais
de . Então, N1 \ N2 é uma subvariedade aberta tanto de N1 quanto de N2 .
Demonstração: Assuma N1 \N2 6= ; e tome x 2 N1 \N2 . Sejam X 1 ; : : : ; X k campos
característicos de de…nidos numa vizinhança de x com
(x) = gerfX 1 (x) ; : : : ; X k (x)g:
De…na
(t1 ; : : : ; tk ) = Xt11
Xtkk (x) :
Como na demonstração do teorema B.9,
: U ! M é uma imersão para algum
k
aberto U contendo a origem de R . Pelo lema B.16, se U é su…cientemente pequeno,
(U )
N1 \ N2 e as aplicações : U ! N1 e : U ! N2 são imersões. Como
as dimensões de U , N1 e N2 são iguais, pode-se supor, diminuindo U se necessário,
que essas imersões são mergulhos. Portanto (U ) é subvariedade aberta tanto de N1
quanto de N2 e daí que N1 \ N2 é um aberto nas duas variedades integrais.
2
Teorema B.19 Seja
uma distribuição característica. Então, cada x 2 M está
contido em uma única variedade integral maximal I (x) de . Além do mais se N M
é uma variedade integral conexa de
com x 2 N então N é uma subvariedade aberta
de I (x).
Demonstração: Denote por F o conjunto das variedades integrais de
. Seja
Fx = fN 2 F : x 2 N g:
Então Fx 6= ; pois é integrável. Além do mais a ordem parcial em F se restringe
a Fx .
Seja H uma cadeia de Fx , isto é, um subconjunto totalmente ordenado de Fx .
Deve-se mostrar que H admite um majorante em Fx para poder aplicar o princípio da
maximalidade de Hausdor¤. De…na
[
~=
N
N:
n2H
~ 2 Fx e majora H. De fato, de…na uma estrutura de variedade em N
~ da
Então N
~
seguinte forma: tome y 2 N . Então algum N 2 H contém y. Como N é subvariedade,
~ . Fazendo isso para todo y 2 N
~ , …ca
suas cartas ao redor de y de…nem cartas de N
~ . Duas cartas de…nidas dessa
de…nido um conjunto de cartas cujos domínios cobrem N
maneira se relacionam diferenciavelmente pois se y 2 N1 \ N2 então N1
N2 ou
~ de
N2 N1 e uma delas é variedade aberta da outra. Assim, de…ne-se um atlas em N
~ para todo N 2 H. Com esta estrutura N
~
tal forma que N é subvariedade aberta de N
~
é uma subvariedade integral de que contém x e portanto N 2 Fx .
Como todo subconjunto ordenado de Fx admite um majorante, o princípio da
maximalidade garante que Fx admite elementos maximais. Um elemento maximal de
Fx é uma variedade integral maximal que passa por x.
350
Para veri…car a unicidade, suponha que x 2 N1 \ N2 com N1 e N2 maximais.
Pelo teorema de unicidade local (teorema B.18), N1 \ N2 é aberta em N1 e em N2 e,
portanto, N1 [ N2 admite estrutura de subvariedade integral conexa contendo N1 e N2
como subvariedades abertas. Como N1 e N2 são maximais, se conclui que N1 = N2 .
A última a…rmação segue do fato de que qualquer variedade integral conexa está
contida numa variedade integral conexa maximal, como um subconjunto aberto, pelo
lema anterior.
2
A unicidade das variedades integrais maximais garante que duas dessas variedades
ou são disjuntas ou coincidem (essa propriedade não vale para variedades integrais
quaisquer, só para as maximais). Dessa forma as variedades integrais maximais são as
classes de equivalência da relação de equivalência x
y se x e y pertencem à uma
mesma variedade integral maximal de .
B.4
Cartas adaptadas
As cartas adaptadas (também conhecidas por vizinhanças tubulares) mostram que as
variedades integrais de uma distribuição integrável estão bem posicionadas umas em
relação às outras.
De…nição B.20 Seja
uma ditribuição integrável em M . Uma carta adaptada
(ou sistema de coordenadas adaptado) a , centrada em x, é um difeomor…smo :
U V ! W , onde U
Rk e V
Rn k são abertos contendo a origem e W é um
aberto contendo x, que satisfaz as seguintes condições:
1.
(0; 0) = x.
2. dim
(x) = k.
3. Para todo z 2 V o conjunto
maximal de .
4. A aplicação
.
0
:U !
(U
(U
fyg),
fzg) está contido numa variedade integral
0
(x) =
(0; y) é uma variedade integral de
A vizinhança W é chamada de domínio do sistema de coordenadas adaptado (ou
carta adaptada).
Uma carta adaptada também é denominada de vizinhança tubular (da variedade
integral que passa por x).
A proposição a seguir mostra que as distribuições características admitem cartas
adaptadas, centradas em quaisquer pontos de M .
Proposição B.21 Seja
uma distribuição característica. Então, para todo x 2 M
existe uma carta adaptada : U V ! M , com U Rk e V
Rn k vizinhanças da
origem e tal que (0; 0) = x.
B.4. Cartas adaptadas
351
Demonstração: Fixe x 2 M e considere a imersão
Xtkk (x)
: (t1 ; : : : ; tk ) 7 ! Xt11
de…nida em alguma vizinhança V da origem de Rk e com X 1 ; : : : ; X k campos característicos que geram (x). A imagem cobre uma vizinhança da variedade integral
que passa por x. Para construir a carta adaptada suponha que n = dim M . Então
existe uma imersão
:W !M
com W uma vizinhança da origem em Rn
x, isto é,
im (d 0 ) \ im (d 0 ) = f0g
Seja
:V
k
tal que
e
(0) = x e
im (d 0 )
é transversal a
em
im (d 0 ) = Tx M:
W ! M de…nida por
Xtkk ( (w))
(v; w) = Xt11
se v = (t1 ; : : : ; tk ) 2 V . Então alguma restrição de é uma carta adaptada. De fato,
é claro que (0; 0) = x. Por outro lado, o valor de d (0;0) em (v; w) 2 Rk Rn k é
d
(0;0)
(v; w) = d
0
(v) + d
0
(w)
o que mostra que d (0;0) é um isomor…smo. Portanto, existem vizinhanças V1
V e
W1 W tal que a restrição de a V1 W1 é um difeomor…smo.
Agora, os pontos (v; w), (0; w) e (w) estão numa mesma variedade integral pois
(v; w) é obtido de (w) por aplicações sucessivas de trajetórias de campos tangentes
a , que pelo lema B.16 não saem das variedades integrais. Fixando w, o lema B.16
garante que a aplicação
(t1 ; : : : ; tk ) 7 ! Xt11
Xtkk ( (w))
é diferenciável na estrutura intrínseca de I ( (0; w)) e como essa aplicação coincide
com se w = 0, a restrição de é uma carta adaptada.
2
A existência de cartas adaptadas possibilita a demonstração de diversas propriedades
das variedades integrais de uma distribuição integrável. Uma delas é que as variedades integrais conexas são subvariedades quase-regulares, como será provado na seção
seguinte.
Outra propriedade útil está relacionada aos campos tangentes à distribuição:
Proposição B.22 Seja xt uma curva de classe C 1 tangente à distribuição integrável
. Então, xt está inteiramente contida numa variedade integral maximal de . Em
particular, se um campo de vetores X é tangente a
então suas trajetórias estão
contidas em variedades integrais maximais.
352
Demonstração: Denote por I (x) a variedade integral maximal que passa por x0 e
suponha que xt está de…nida no intervalo ( ; !). Seja
m = supft 2 ( ; !) : 8s 2 [0; t]; Xs (x) 2 I (x)g:
Então, m = !. De fato, supondo por absurdo que m < !, tome uma carta adaptada
1
: V W ! M centrada em xm e considere a curva yt =
xt em V W . Como
xt é tangente à distribuição, yt é tangente a V f0g. Portanto se zt denota a projeção
de yt na segunda coordenada, segue que zt tem derivada nula e, portanto, é constante.
Isso implica que yt está contida em V
f0g, contradizendo a hipótese de que m é o
supremo.
2
Deve ser enfatizado que a propriedade das trajetórias da proposição acima só vale
em relação às variedades integrais maximais e não para variedades integrais quaisquer.
B.5
Variedades integrais são quase-regulares
A existência de cartas adaptadas a distribuições integráveis permite mostrar que as
variedades integrais maximais de distribuições integráveis são subvariedades quaseregulares.
Antes de mostrar isso serão feitas as seguintes observações sobre a topologia de uma
variedade e de suas subvariedades. Para uma variedade diferenciável M as seguintes
condições são equivalentes:
1. M é paracompacta, isto é, todo recobrimento de M por abertos admite um
re…namento localmente …nito.
2. Cada componente conexa de M é uma união enumerável de subconjuntos compactos.
3. As componentes conexas de M são completamente separáveis, isto é, admitem
sistemas fundamentais de vizinhanças enumeráveis (satisfazem o segundo axioma
de enumerabilidade).
4. M é metrizável.
Quanto às subvariedades, vale o seguinte resultado.
Proposição B.23 Seja L M é subvariedade imersa conexa e suponha que M é paracompacta. Então, L, com a topologia intrínseca, também é paracompacta e, portanto,
admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável.
Demonstração: Como a variedade M é paracompacta ela admite uma métrica
Riemanniana. Essa métrica induz uma métrica Riemanniana em N , já que N é subvariedade imersa. Como as variedades Riemannianas conexas são metrizáveis, segue
que N é metrizável. Consequentemente N é paracompacta, devido a um teorema de
B.5. Variedades integrais são quase-regulares
Stone que garante que os espaços métricos são paracompactos.
353
2
O fato de que uma subvariedade imersa conexa ser completamente separável é
central na demonstração a seguir de que as variedades integrais maximais são quaseregulares.
Proposição B.24 Seja uma distribuição diferenciável e integrável em M e assuma
que M é paracompacta. Então, suas variedades integrais maximais são quase-regulares.
Demonstração: Tomando uma variedade integral maximal I M deve-se veri…car
que uma aplicação contínua
: N ! M com N localmente conexo e (N )
I
é contínua em relação à topologia intrínseca. Em outras palavras, deve-se veri…car
1
que dado x 2 N ,
(V ) é uma vizinhança de x para toda vizinhança intrínseca
V de (x). Para isso basta tomar V dentro do domínio W de uma carta adaptada
centrada em (x), pois se 1 (V \ W ) é uma vizinhança de x, o mesmo ocorre com
1
1
(V )
(V \ W ). Pode-se assumir, também sem perda de generalidade, que N
é conexo, pois se U é uma vizinhança conexa de x tal que 1 (V ) \ U é vizinhança de
x então 1 (V ) é vizinhança de x.
Sejam, portanto, : N ! W uma aplicação contínua, com N conexo e W o domínio
de uma carta adaptada : U V ! W centrada em (x) tal que (N ) I \ W .
Denote por p : W ! (f0g V ) a projeção em W equivalente à projeção U V !
V . Essa aplicação é contínua assim como p . Porém, a imagem de p
é no máximo
enumerável. De fato, essa imagem coincide com I \ (f0g V ), pois assume valores
em I, e esse conjunto é no máximo enumerável, já que caso contrário I conteria uma
quantidade não enumerável de abertos dois a dois disjuntos, contradizendo a proposição
anterior.
Portanto p
já que N é conexo. Segue que (N ) está contido na componente
conexa de I \ W que contém (x). Mas, essa componente conexa é precisamente
(U f0g) e a topologia intrínseca deste conjunto coincide com a topologia induzida
de (U V ). Isso implica que é contínua em relação à topologia intrínseca de I,
2
(Compare a demonstração acima com o exemplo (2) da seção B.1.)
O argumento central da demonstração da proposição anterior está enumerabilidade
da intersecção I \ (f0g V ), que provém da completa separabilidade da variedade
integral I. A mesma demonstação vale, portanto, na seguinte situação mais geral.
Corolário B.25 Suponha que N seja uma união enumerável de variedades integrais
maximais de . Então, N é quase-regular.
A demonstração da proposição acima mostra que a variedade integral conexa maximal I intercepta a imagem da carta adaptada : U V ! W num conjunto do tipo
(E V ) onde E U é um conjunto no máximo enumerável. Se U 6= f0g então esse
conjunto tem interior vazio em M pois E V tem interior vazio em U V . Como
ao redor de todo ponto de I existe uma carta adaptada, se conclui que I tem interior
vazio em M . Obtém-se a seguinte consequência da demonstração da proposição B.24.
354
Corolário B.26 Seja I uma variedade integral conexa maximal de uma distribuição
diferenciável e integrável na variedade paracompacta M . Então, I tem interior vazio
em M se dim I < dim M .
B.6
Exercícios
1. Considere a seguinte propriedade de separação para um subconjunto D
R:
para todo x; y 2 D existe z 2 R n D entre x e y. Veri…que que subconjuntos
enumeráveis satisfazem essa propriedade. Mostre que se D satisfaz a propriedade
e f : N ! R é uma função contínua com N conexo e f (N )
D então f é
constante. Mostre que se uma função contínua f : N ! Rn é tal que N é conexo
e f (N ) é no máximo enumerável, então f é constante.
2. Mostre que as trajetórias de um campo de vetores numa variedade diferenciável
são subvariedades quase-regulares (com dimensão 0 ou 1). (Use o teorema do
‡uxo tubular para equações diferenciais.)
3. Seja
uma distribuição característica na variedade M . Suponha que F seja
uma família de campos de vetores tais que para todo x 2 M o subespaço F (x) =
fX (x) : X 2 Fg coincide com (x). Mostre que dados x; y numa mesma
variedade integral de existem campos X 1 ; : : : ; X k 2 F e t1 ; : : : ; tk 2 R tal que
y = Xt11
Xtkk (x). (Não é necessário supor que os campos estejam de…nidos
em toda a variedade M , mas apenas em abertos de M . A hipótese sobre F (x)
assegura que a união dos domínios dos campos em F coincide com M .)
4. Seja (T M ) a álgebra de Lie dos campos de vetores (C 1 ) na variedade M (munido do colchete de Lie). Seja g uma subálgebra de Lie de dimensão …nita de
(T M ). De…na a distribuição g (x) = fX (x) : X 2 gg. Mostre que g é
integrável.
A g-órbita de x 2 M é de…nida como sendo o conjunto
Og (x) = fXt11
Xtkk (x) 2 M : k
1; X i 2 gg
(para os valores de ti onde os ‡uxos e compostas estão de…nidos). Mostre que
para todo x 2 M , Og (x) é uma variedade integral maximal de g .
5. Seja L uma subvariedade integral maximal de uma distribuição diferenciável e
integrável. Mostre que se L é localmente fechada então ela é fechada.
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algebras”, J. Math. Soc. of Japan, II, 4, 1959, pp. 374-434.
[56] Terras, A. Harmonic analysis on symmetric spaces and applications I, II. I,
Springer-Verlag, 1985. II, Springer-Verlag, 1987.
[57] Varadarajan, V. S. Lie groups, Lie algebras and their representations. PrenticeHall Inc., 1974.
[58]
. Harmonic analysis on real reductive groups. Lecture Notes in Mathematics 576. Springer-Verlag, 1977.
[59]
. An introduction to harmonic analysis on semisimple Lie groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 16. Cambridge University Press, 1989.
[60] Wallach, N. R. Real reductive groups. Academic Press, 1988.
[61] Warner, G. Harmonic analysis on semi-simple Lie groups. Springer-Verlag,
1972.
[62] Weyl, H. The classical groups. Princeton University Press, 1946.
[63] Wussing, H. The genesis of the abstract group concept: a contribution to the
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[64] Yang, C. T. “Hilbert’s ……th problem and related problems on transformation
groups”, Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings
Symposia in Pure Math., vol. 28, American Mathematical Society, Providence
R.I., 1976, pp. 142-146.
[65] Zelobenko, D.P., Compact Lie groups and their representations. Translations
of Mathematical Monographs vol. 40. AMS (1973).
Índice
ação
à direita, 29
à esquerda, 29
contínua, 32
diferenciável, 265
efetiva, 31
…el, 31
Hamiltoniana, 313
Hamiltoniana equivariante, 319
in…nitesimal, 266
livre, 31
local, 33
projetiva, 42
simplética, 313
transitiva, 31
Álgebra associativa, 94
álgebra de Lie, 4, 96
compacta, 211
de isotropia, 266
de um grupo de Lie, 100
derivada, 194, 201
nilpotente, 205
semi simples, 212
simples, 144, 212
solúvel, 201
aplicação
de recobrimento, 160
equivariante, 31
exponencial, 5, 103
holomorfa, 294
momento, 318
automor…smo
álgebra de Lie, 183
in…nitesimal, 188, 198
interno, 129
de álgebra de Lie, 184
de grupo de Lie, 189
base
de espaço homogêneo, 32
de Weyl, 222
bolas siameses, 20
Campbell-Hausdor¤
fórmula de, 5
campo de vetores, 331
característico, 343
completo, 331
lHamiltoniano, 312
localmente Hamiltoniano, 313
campo invariante
à direita, 97
à esquerda, 97
campos de vetores
-relacionados, 107, 332
caráter
de representação, 75
carta
adaptada, 350
Cartan
decomposição de, 245
involução de, 246
matriz de, 238
subálgebra de, 222
centralizador, 113
centro
cohomologia
de representação de grupos, 322
de Rham, 301
invariante, 302
colchete de Lie, 332
359
360
colchete de Poisson, 313
componente conexa
da identidade, 28
cone de Lie, 146
conjugação, 17
constantes de estrutura, 328
convolução, 64
decomposição
de Jordan-Hölder, 202
em espaços de raízes, 222
decomposição de Cartan, 245
decomposicao de Iwasawa, 254, 256
derivação, 111, 118, 183
interna, 111, 184
diagramas de Dynkin, 223
distribuição
característica, 343
diferenciável, 342
integrável, 342
invariante, 343
involutiva, 344
não singular, 342
regular, 342
singular, 342
elemento de Lie, 171
elemento regular
em grupo de Lie, 177
equação diferencial
de Ricatti, 277
espaço
homogêneo, 32, 293
simétrico, 311
estabilizador, 30
estrutura diferenciável
intrinseca, 339
quociente, 140
estrutura pseudo-complexa, 294
integrável, 294
invariante, 294
estrutura quase-complexa, 294
estrutura quociente
unicidade, 146
Índice
exponencial, 103
diferencial da, 165
…bra tipo, 283
…brado
associado, 283
das bases, 278
dos referenciais, 278
principal, 277
trivial, 278
vetorial, 284
‡uxo, 331
forma
de Cartan-Killing, 118
de Maurer-Cartan, 96, 328
forma real
compacta, 223
forma simplética, 312
de Kirillov-Kostant-Souriaux, 315
fórmula
de Campbell-Hausdor¤, 5
do produto de Lie, 131
função coe…ciente matricial, 72, 78
função de transição, 282
função equivariante
de seção de …brado, 286
função modular
em grupos de Lie, 117
em grupos localmente compactos, 61
função representativa, 79
gerador in…nitesimal, 332
grupo
a 1-parâmetro, 5
abeliano conexo, 158
a…m, 117
a…m à direita, 190
a…m à esquerda, 190
de automor…smos, 136, 183
derivado, 194
estrutural, 277
in…nitesimal, 4
linear, 3, 97
nilpotente, 205
quociente, 143
Índice
semi-topológico, 18
solúvel, 201
topológico, 17
unimodular, 48, 61
grupo de Lie, 91
discreto, 93
grupo derivado, 201
grupos clássicos, 137
O (n), 41
Sl (n; C), 10
Sl (n; R), 10, 42
SO (n), 9, 41, 160
SO (p; q), 10
Sp (n), 10, 160
Sp (n; R), 10
SU (n), 10, 221, 229, 233
SU (p; q), 10
U (n), 10
Haar
medida de, 47, 115
Hilbert
quinto problema de, 91
homomor…smo
de grupos de Lie, 106
in…nitesimal, 108
local, 152
ideal
imersão, 339
regular, 339
índice de conectividade, 241
involução de Cartan, 246
isomor…smo
local, 152, 157
isotropia, 30
Iwasawa
decomposição de, 254, 256
lema
de Schur, 69
localmente fechado, 135
matriz de Cartan, 238
361
medida
de Haar, 47, 115
exterior, 50
regular, 48
mergulho, 339
mor…smos
de …brados principais, 280
Nijenhuis
tensor de, 294
normalizador, 129
órbita, 30
origem
de espaço homogêneo, 32
paralelizável, 96
posto
posto real, 254
principio da monodromia, 153
produto
de convolução, 64
Hermitiano invariante, 68
interno invariante, 68, 211
semi-direto, 191
quatérnion, 95, 136, 160
quatérnions, 98, 101
recobrimento
aplicação, 160
redução de …brado principal, 281
regular real, 254
representação
…el, 155
representação, 32, 67, 109
adjunta
álgebra de Lie, 110
grupo de Lie, 110
a…m, 319
co-adjunta, 114
de isotropia, 290, 293
dimensão de, 32, 109
362
espaço de, 32, 109
in…nitesimal, 109
irredutível, 69
representação dual, 110
representações
equivalentes, 71
representações regulares
de grupo compacto, 77
Schur
lema de, 69
relações de ortogonalidade, 72
seção de …brado, 286
seção local, 281
semigrupo, 146
série central descendente, 196, 204, 205
série de Baker-Campbell-Hausdor¤, 169
série derivada, 196, 201
sistema de coordenadas
primeira espécie, 106
segunda espécie, 106
sistemas de vizinhanças
da identidade, 22
fundamental, 22
Sorgenfrey
topologia, 20
Stokes
teorema de, 305
subálgebra compacta maximal, 247
subálgebra de Lie, 97
sub…brado principal, 281
subgrupo
aberto, 27
central, 154
de isotropia, 30
de Lie, 7, 121
discreto, 44, 135, 154
discreto de Rn , 158
fechado, 27, 134
topológico, 26
1-parâmetro, 104
subvariedade
imersa, 339
mergulhada, 339
Índice
regular, 339
subvariedade
quase-mergulhada, 121, 339
quase-regular, 121, 339, 352
teorema
de Ado, 129, 155
de Darboux, 312
de decomposição de Levi, 193
de Engel, 205
de Frobenius, 125, 344
de isomor…smo
para grupos de Lie, 148
de Lie
terceiro, 129, 155
de Lie-Palais, 272
de Newlander-Nirenberg, 294
de Peter-Weyl, 79
de Stokes, 305
de Weyl
grupo fundamental …nito, 217, 237
do subgrupo fechado, 133
terceiro teorema de Lie, 129, 155
topologia
de Hausdor¤, 24
de Sorgenfrey, 20
intrínseca, 339
invariante, 22
quociente, 34
toro maximal, 230
transformação a…m
à direita, 190
à esquerda, 189
translação
à direita, 17, 92
à esquerda, 17, 92
truque unitário de Weyl, 220
variedade
analítica, 175
complexa, 293
de Stiefel, 280
integral, 342
maximal, 348
paracompacta, 92, 352
Índice
simplética, 312
vizinhança
simétrica, 21
tubular, 350
Weyl
base de, 222
construção de, 222
teorema de
grupo fundamental …nito, 217, 237
truque unitário de, 220
363

Grupos de Lie

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