Revista Română de Statistică Supliment

Transcription

Institutul Naţional de Statistică
National Institute of Statistics
INSTITUTUL NAŢIONAL DE STATISTICĂ
Revista Română de Statistică
B-dul Libertăţii, nr. 16, sector 5,
Bucureşti
Telefon/fax: 0213171110
e-mail: [email protected]
www.revistadestatistică.ro/supliment
ISSN 2359 – 8972
Revista Română
de Statistică
Supliment
Romanian Statistical Review
Supplement
2/2016
www.revistadestatistică.ro/supliment
COLEGIUL ŞTIINŢIFIC
EMILIAN DOBRESCU - Academia Română
AUREL IANCU - Academia Română
Revista Română de Statistică,
indexată în bazele de date internaţionale
MARIUS IOSIFESCU - Academia Română
LUCIAN ALBU - Academia Română
GHEORGHE ZAMAN – Prof. univ. dr., membru corespondent al Academiei Române
TUDOREL ANDREI - Prof. univ. dr., Preşedinte al Institutului Naţional de Statistică
BEATRIX GERED – Vicepreşedinte al Institutului Naţional de Statistică
Index Copernicus International
ELENA MIHAELA IAGĂR – Vicepreşedinte al Institutului Naţional de Statistică
DAN GHERGUŢ - Vicepreşedinte al Institutului Naţional de Statistică
RĂZVAN GEORGE PROFIROIU - Secretar general al Institutului Naţional de Statistică
KONRAD PASENDORFER – PhD, Director General al Statistics Austria
MARIANA MIHAILOVA KOTZEVA - EUROSTAT
CONSTANTIN MITRUŢ – Prof. univ. dr., Preşedinte al Societăţii Române de Statistică
Directory of Open Access
Journals
CONSTANTIN ANGHELACHE – Prof. univ. dr., Vicepreşedinte al Societăţii Române de Statistică
PAVEL NĂSTASE – Prof. univ. dr., Rector al Academiei de Studii Economice, Bucureşti
VERGIL VOINEAGU – Prof. univ. dr., Academia de Studii Economice, Bucureşti
TIBERIU POSTELNICU – Prof. univ. dr., Institutul “Gheorghe Mihoc-Caius Iacob”
EBSCO Information Services
BOGDAN OANCEA – Prof. univ. dr., Universitatea „Nicolae Titulescu”
GHEORGHE SĂVOIU - Conf. univ. dr., Universitatea Piteşti
IRINA-VIRGINIA DRAGULANESCU - Prof. univ. dr., University Messina, Italia
HANS J. LENZ - PhD Professor, Freie Universität Berlin
DANIELA ELENA ŞTEFĂNESCU - Conf. univ. dr., Institutul Naţional de Statistică
ELISABETA JABA – Prof. univ. dr., Universitatea “Alexandru Ioan Cuza” University
EUGENIA HARJA - Prof. univ. dr., Direcţia de Statistică Bacău
ŞTEFAN-ALEXANDRU IONESCU - Universitatea Româno-Americană
Research Papers in Economics
REVISTA ROMÂNĂ DE STATISTICĂ SUPLIMENT
SUMAR / CONTENTS 2/2016
„CONSTANTA MICULESCU” O DOVADĂ ELOCVENTĂ A UNEI
CUNOAŞTERI STATISTICE EXPERIMENTALE PROFUNDE, ÎN
ROMÂNIA FINALULUI DE SECOL AL XIX - LEA
THE “MICULESCU CONSTANT”, AN ELOQUENT PROOF OF DEEP
EXPERIMENTAL STATISTICAL KNOWLEDGE IN LATE 19TH
CENTURY ROMANIA
Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD.
Universitatea din Piteşti
3
13
UNELE ELEMENTE PRIVIND NORMALITATEA ESTIMATORILOR
BAZAŢI PE ECUAŢIE UNICĂ
23
SOME ELEMENTS ABOUT NORMALITY OF SINGLE-EQUATION
ESTIMATORS
28
Prof. univ. dr. Constantin ANGHELACHE
Academia de Studii Economice, Bucureşti, Universitatea „Artifex” din Bucureşti
Conf. univ. dr. Mădălina Gabriela ANGHEL
Universitatea „Artifex” din Bucureşti
Drd. Gyorgy BODO
Drd. Cristina SACALĂ
Academia de Studii Economice, Bucureşti
DEFICITUL STATELOR MEMBRE ALE UNIUNII EUROPENE DIN ZONA
EURO
33
THE DEFICIT OF THE EU MEMBER STATES IN THE EURO AREA
44
Drd. Adrian Amarița
Ministerul Dezvoltării Regionale și Administrației Publice
SCURTĂ ISTORIE A ALGEBREI ŞI A IMPACTULUI EI STATISTIC
MAXIMIZAT ÎN STATISTICA ALGEBRICĂ
54
A BRIEF HISTORICAL SURVEY OF ALGEBRA AND ITS MAXIMIZED
STATISTICAL IMPACT ON ALGEBRAIC STATISTICS
65
Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD,
Professor MD. Sandra MATEI,
Şcoala Gimnaziala Nr. 198, Bucureşti
www.revistadestatistica.ro/supliment
Revista Română de Statistică - Supliment nr. 2 / 2016
UNELE ASPECTE PRIVIND EXTENSIA TESTELOR EDGEWORTH LA
RESTRICŢIILE NON-LINIARE
78
SOME ASPECTS REGARDING THE EXTENSION OF EDGEWORTH
TEST TO NONLINEAR RESTRICTIONS
83
Prof. univ. dr. Alexandru MANOLE
Drd. Georgiana NIŢU
STUDIU COMPARATIV ÎN ESTIMAREA PREŢULUI VOLKSWAGEN:
ARIMA VERSUS ANN
87
COMPARATIVE STUDY IN ESTIMATING VOLKSWAGEN’S PRICE:
ARIMA VERSUS ANN
98
Florin Dan PIELEANU
Academia de Studii Economice București
2
Romanian Statistical Review - Supplement nr. 2 / 2016
„Constanta Miculescu” o dovadă elocventă
a unei cunoaşteri statistice experimentale
profunde, în România finalului de secol
al XIX - lea
Abstract
Această lucrare este de fapt un omagiu adus statisticii experimentale
naționale, precum și personalităților acesteia, dintre care profesorul Constantin
Miculescu constituie un reprezentant cu totul aparte, care a devenit în final și fondator
al școlii naționale de fizică experimentală, deținând în paralele contribuţii ştiintifice
internaționale remarcabile privind echivalenţele dintre fenomenele mecanice şi termice.
Din această abordare statistică foarte riguroasă a experimentelor s-a născut și celebra
constantă ce îi poartă numele. După aproape 125 de ani, acest articol supune unei
analize statistice descriptive amănunțite toate cele 31 de valori experimentale, care suțin
argumetația tezei de doctorat a fizicianului la Paris, valori care au oferit determinarea
cu cea mai mare precizie a echivalentului mecanic al caloriei. Articolul constituie un
pretext pentru a dezvălui în paralel cu certitudinile lui Constantin Miculescu legate
de aproximarea sa estimată la nivelul celei de a treia zecimale și fundamentarea unei
școli de statistică experimentală axată pe rigoare și profunzime a cunoașterii statistice.
În esență gândirea sa statistică experimentală este astfel reamintită și redovedită ca
fiind una aproape fără de cusur și benficiind de o putere de anticipație a importanței
sale științifice cu cel puțin o generație sau două înaintea altor abordări similare în
cercetarea românească.
Key words: constantă, echivalent mecanic al caloriei, abatere experimentală, mediană, statistici descriptive, statistică experimentală.
INTRODUCERE
Fizician român de prestigiu internațional, dar și fondator al școlii naționale de
fizică experimentală în cercetarea românească, profesorul Constantin Miculescu (18631937) a rămas consemnat în istoria științei pentru rezultatele sale notabile în termodinamică
şi optică. Principala sa contribuție în domeniul fizicii, așa cum apare menționată în toate
enciclopediile contemporane (Wikipedia, 2015), poate fi regăsită chiar în lucrarea sa
de doctorat, susţinută în 1891, unde a prezentat determinarea prin experiment cea mai
riguroasă și cu cel mai înalt grad de precizie a echivalentului mecanic al caloriei.
După ce a absolvit prestigiosul liceu Matei Basarab din București, unde și-a
luat bacalaureatul în 1882, având drept mentori pe Constantin I. Șonțu și Emanoil
Bacaloglu, remarcabili profesori de științe fizico - chimice, pe ultimul dintre aceștia
reîntâlnindu-l și în cadrul studiilor universitare, dar și cursurile Facultății de Științe
3
din cadrul Universității din București în cadrul secției de fizică - matematică finalizate
în 1886, tânărul Constantin Miculescu, a obținut o bursa la Paris unde a devenit mai
întâi, în 1888, licențiat în Științe și apoi doctor în fizică la Universitatea Sorbona. Teza
sa de doctorat, publicată sub titlul Sur la determination de l’équivalent mécanique de
la calorie (Marinescu, 1982) a fost coordonată științific de către profesorul Gabriel
Lippmann (1845-1921), viitorul laureat al Premiului Nobel pentru fizică din anul
1908. Cuantificarea cât mai precisă a echivalentului mecanic al caloriei a constituit o
preocupare esențială a fizicienilor după 1840, iar valorile determinate anterior, chiar de
mari fizicieni ca J.M. Joule (1819-1889), E.M Lenz (1804-1865) și J.A. D’Arsouval
(1851-1940), prezentau însă abateri experimentale destul de mari, mergând și până la
20% față de valoarea reală, fiind dificil de acceptat și ulterior de utilizat în practică.
Valoarea echivalentului mecanic al caloriei descoperită de Constantin Miculescu a fost
înscrisă în tabelele internaționale de constante și a devenit o constantă fundamentală a
termodinamicii, după 1892 (Becquerel, 1897).
În 1939, profesorul Darmois de la Sorbona menționa cu satisfacția apartenenței
la aceeași instituție educațională franceză a fizicianului român, din punctul de vedere
strict al doctoratului, că metoda lui Miculescu a fost și a rămas singura metodă
cunoscută care a permis realizarea a două condiții teoretice esențiale: a) sistemul
experimental să producă un lucru mecanic; b) să fie împiedicate pierderile de căldură
spre exterior (Darmois, 1947).
Constantin Miculescu a construit un dispozitiv special format dintrun calorimetru cu apă în care erau rotiți cu un motor electric 4 cilindri concentrici, vasul
calorimetric propriu-zis fiind înzestrat cu trei palete longitudinale și alte trei circulare
pentru ca apa să nu capete nici mișcări circulare, nici longitudinale. Diferențele
de temperatură ale apei, rezultate din transformarea lucrului mecanic efectuat de
motorul în căldură, au fost măsurate prin intermediul unor termocuple, etalonate
în prealabil. Forța electromotoare produsă de termocuple era măsurată prin metoda
compensației. După un număr de 31 de experimente considerate clasice în lucrările de
termodinamică și realizate exclusiv cu acest dispozitiv, Miculescu, a calculat propria
valoare, care avea să devină un reper esențial în viitor, ca fiind de 4,184 J/cal. Această
valoare este foarte apropiată de aceea utilizată în prezent, respective de 4,1855 J/
cal. În anul 1950, Comitetul Internațional de Măsuri și Greutăți a adoptat valoarea
găsită de Miculescu, ușor corectată, eroarea relativă de măsurare a acestei constante
determinate de Miculescu fiind de numai 0,000358 sau 0,0358 %.
ARGUMENTAȚIE PROEXISTENȚIALĂ A VALOROASEI ȘCOLI DE
GÂNDIRE STATISTICĂ EXPERIMENTALĂ ÎN ROMÂNIA
Sistemele interacționează în mod general, nefiind niciodată complet izolate
și nici parametrii lor nu pot fi menținuți ficși ca atare. Variația totală a energiei unui
sistem, în valoarea medie (ΔEm) se descompune în lucru mecanic (W) și căldura
absorbită (Q):
Δ Em = W + Q
(1)
4
Caloria este unitatea de căldură introdusă în fizica și chimia secolului al XVIIIlea și menținută încă în demersul investigațional al chimiei contemporane. Variația
energiei unui sistem care interacționează a fost așadar tema experimentală majoră a tezei
lui Constantin Miculescu, iar variabilitatea excesivă a rezultatelor altor experimente a
generat interesul pentru identificarea constantei, cu sprijinul unei argumentații statistice
necesare. Rezultatele experimentale medii și distribuția celor 31 de valori calculate de
tânărul doctorand Constantin Miculescu sunt redate în figura 1 cu ajutorul E-Views
software (Săvoiu, 2015):
Rezultatele / valorile experimentale ale celor 31 de experimente
Figura 1
Experimental
results/values
426.51
426.71
426.60
426.74
427.12
426.76
426.56
426.79
426.52
426.69
427.00
427.02
426.71
426.40
426.80
426.31
Experimental
results/values
426.21
426.33
427.09
426.56
426.88
426.71
426.31
426.22
426.82
426.90
426.41
426.93
426.72
426.63
426.81
426.21
În urma analizei valorilor tendinței centrale a rezultatelor
experimentale se constată că acestea dețin o valoare modală identică practic
cu aceea mediană (Me = Mo = 426.71) iar abaterea între medie și modul
identic cu mediana (Medie – Me = 0.04) este aceea care constituie esența
abaterii finale a constantei Miculescu. De altfel ar fi fost practic imposibil ca
distribuția valorilor experimentale să fie una absolut simetrică, cauza fiind de
natură fizică și strict legată de imposibilitatea existenței unui sistem perfect
izolat ca mediu experimental. Datele rezultate exprimate ca abateri absolute
(experimental deviations) surprind prin fenomenul de similitudine profundă
a distribuțiilor, relevată atât de alura histogramelor specifice, cât și de curba
Kernel a distribuțiilor rezultate, fie că este vorba de abaterea față de medie
(x – Medie), fie că este analizată abaterea față de valoarea modală (Mode)
sau dominantă (ni = 3) devenită prin calitatea științifică a experimentului fizic
identică în mod practic cu mediana (x – Me = x – Mo) (Săvoiu, 2007; 2012).
5
Valori (x) și abateri experimentale în raport cu media (x - Mean) și
mediană (x- Median), precum și frecvența de apariție a acestor abateri
la final (ni)
Table no. 1
No.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
x - Mean | x - Mean |
ni (x-Median) | x-Median|
ni
x
- 0.16
0.16
1
-0.20
0.20
1
426.51
0.04
0.04
3
0.00
0.00
3
426.71
- 0.07
0.07
2
-0.11
0.11
2
426.60
0.07
0.07
0.03
0.03
1
426.74
0.45
0.45
2
0.41
0.41
1
427.12
0.09
0.09
1
0.05
0.05
1
426.76
- 0.11
0.11
2
-0.15
0.15
2
426.56
0.12
0.12
1
0.08
0.08
2
426.79
- 0.15
0.15
2
-0.19
0.19
1
426.52
0.02
0.02
1
-0.02
0.02
1
426.69
0.33
0.33
1
0.29
0.29
1
427.00
0.35
0.35
1
0.31
0.31
2
427.02
0.04
0.04
0.00
0.00
426.71
- 0.27
0.27
1
-0.31
0.31
426.40
0.13
0.13
1
0.09
0.09
1
426.80
- 0.36
0.36
2
-0.40
0.40
2
426.31
- 0.46
0.46
1
-0.50
0.50
1
426.21
- 0.34
0.34
1
-0.38
0.38
2
426.33
0.42
0.42
1
0.38
0.38
427.09
- 0.11
0.11
-0.15
0.15
426.56
0.21
0.21
1
0.17
0.17
1
426.88
0.04
0.04
0.00
0.00
426.71
- 0.36
0.36
-0.40
0.40
426.31
- 0.45
0.45
-0.49
0.49
1
426.22
0.15
0.15
0.11
0.11
426.82
0.23
0.23
1
0.01
0.01
2
426.90
- 0.26
0.26
2
-0.30
0.30
1
426.41
0.26
0.26
0.22
0.22
1
426.93
0.05
0.05
1
0.01
0.01
426.72
- 0.04
0.04
-0.08
0.08
426.63
0.14
0.14
1
0.10
0.10
1
426.81
31
31
Total
0
6.28
-1.42
5.94
Sursa: Valorile experimentale x au fost preluate din lucrarea Marinescu, M., Fătulescu,
Ș., (1967), Constantin Miculescu, Ed. Științifică București iar restul calculelor din tabel au fost
realizate de către autor.
Pentru a asigura vizibilitatea maximă a distribuției valorilor experimentale
confruntate cu abaterile se recurge inițial la o analiză statistică descriptivă susținută
de histograme care, apelând la cele trei paliere aproximate cu pachetul de programe
E-Views de o manieră rezonabilă transmit o asemănare certă conform frecvențelor
maxime și prin alura poligonală:
6
a) Valori reale sau experimentale (x)
Statistica descriptivă și histograma valorilor reale sau experimentale (x)
Figura 2
b) Abateri ale valorilor reale sau experimentale de la medie (x - Mean)
Statistica descriptivă și histograma abaterilor valorilor reale sau
experimentale de la medie (x - Mean)
Figura 3
7
c) Abateri ale valorilor reale sau experimentale de la mediană (x - Me)
Statistica descriptivă și histograma abaterilor valorilor reale sau
experimentale de la mediană (x - Me)
Figura 4
Se poate constata cu ajutorul aceluiași pachet de programe E-Views cu destul
de mare ușurință o similitudine vizuală și între toate cele trei distribuții de tip Kernel
descrise statistic anterior:
Distribuțiile de tip Kernel ale valorilor experimentale (SER x), ale
abaterilor valorilor experimentale de la medie (SER x-Mean) și ale
abaterilor valorilor experimentale de la mediană (SER x-Me)
Figura 5
8
Dincolo de asemănarea lor generală, care se apropie de similitudine completă,
cele trei distribuții Kernel se remarcă prin alura specifică a distribuției normale sau
de tipul clopotului gaussian cu un contur ușor oscilant în cadrul valorilor mai mici,
care alternează vizibil ca frecvențe, semnal anticipat de statistica descriptivă printr-o
ușoară asimetrie negativă (skewness cuprins între -0.161 și – 0.123).
Această analiză statistică descriptivă și grafică a fost cu siguranță realizată de
către tânărul doctorand care a anticipat nu numai precizia experimentelor sale, dar mai
ales abaterea finală conform declarației sale din finalul tezei publicate (Marinescu,
1892):
“Am obținut în acest fel pentru echivalentul mecanic al caloriei numărul
de J = 426.70 în care consider exactă cifra unităților, iar cifra zecimilor 0.7 fiind
probabilă.”
Această afirmație este dovada unei cunoașteri profunde a statisticii
experimentale de către tânărul fizician doctorand Constantin Miculescu, acum mai bine
de 125 de ani în plină perioadă experimentală și de redactare a tezei sale. Argumentația
ce urmează probează soliditatea cunoștiințelor de statistică experimentală ale
Statistica experimentală valorifică determinările finale cu ajutorul unui
concept denumit indicele rezultatului unui experiment, pentru a defini probabilitatea
specifică acestei modalități concrete de manifestare a cercetării științifice. Astfel,
dacă se evaluează distinct și se notează cu r indicele unui anumit rezultat al unui
experiment pornind de la premisa că există printre N sisteme din ansamblul statistic
(conceptualizat ca mulțime compusă dintr-un număr de sisteme similare prin prisma
rezultatelor atunci se determină probabilitatea de apariție a rezultatului r ca fracțiune
prin relația următoare (Reif, 1983):
Pr = Nr : N (unde N → ∞)
(2)
În măsura în care N devine tot mai mare reluarea experimentului per ansamblu
statistic este de așteptat să conducă laacelași raport Pr, cu o reproductibilitate din ce
ăn ce mai mare (Reif, 1983).
Valorificând abaterea calculată în raport de media valorilor experimentale de
426.67 se demonstrează justețea afirmației lui Constantin Miculescu, un remarcabil
cunoscător al statisticii experimentale și o probitate științifică deosebită care l-au
transformat în fapt acționând împreună în fondatorul școlii de fizică experimentală
de la noi. Datele de mai jos subliniază că media abaterilor este de 0.000003 sau în
procente de 0.0003% iar abaterea negativă maximă este de -0.1078% iar cea pozitivă
maximă de 0.1055%.
9
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
Jarque-Bera
Probability
Sum
Sum Sq. Dev.
Observations
-0.000300
0.009400
0.105500
-0.107800
0.059131
-0.162946
2.197848
0.968302
0.616220
-0.009300
0.104895
31
Software used: E-Views
Valorile ± 1.98 σ sunt limitele între care se regăsesc în plan teoretic circa
95 % dintre rezultatele descrise conform distribuției normale a probablităților
de realizare experimentală concretizate în ±0.117079 %. Abaterile pozitive
și negative maxime de la media experimentelor generează un interval mai
mic inclus practic în cel descris de limitele anterioare. Intervalul real al
abaterilor maxime al valorilor indicilor rezultatelor experimentului [-0.1078
%; 0.1055%] este complet inclus în limitele intervalului theoretic descris
prin [- 0.117079%; 0.117079%]. La o abatere medie de 0.0003% respectiv
cu un indice r = 0,9997 rezultatul experimentului valida valoarea 426.70 atât
la nivelul unităților cât și la acela al zecimilor. Dar cum rigoarea fizicianului
experimantalist se împletea perfect cu cunoașterea statisticii experimentale a
cercetătorului în persoana doctorandului onestitatea științifică nu putea decât să
îl oblige pe Constantin Miculescu să decidă doar în raport cu abaterea maximă
experimentală. În concluzie, la o abatere maximă de 0.1078% respectiv cu
un indice r al experimentului dat și o probabilitate Pr = 0,998822 rezultatul
experimentului validează valoarea 426.70 numai pentru cifra unităților, iar
cifra zecimilor devine cu certitudine una probabilă, adică definită pentru
un anumit prag de semnificație sau altfel spus este expusă definitiv gândirii
statistice probabilistice prin incertitudinea valorii sale.
Experimentul științific deține gradul de onestitate maxim și prin faptul
că tânărul doctorand nu a apelat la valoarea mediană. Mediana este cunoscută
în primul rând prin impactul de excepție al abaterii sale de la valorile absolute
individuale, abatere care însumată configurează permanent un minim:
10
Apelul la valoarea mediană ar fi certificat și prima zecimală în mod fals și deși
seria rezultatelor este caracterizată de egalitatea medianei și modalei sau dominantei,
tânărul doctorand a preferat onest să lucreze și să analizeze constanta rezultată pornind
de la valoarea experimentală medie și nicidecum mediană.
CONCLUZII
După susţinerea tezei, Constantin Miculescu a fost numit profesor
suplinitor la Facultatea de Științe a Universității București (1891), chiar la catedra
rămasă vacantă după decesul mentorului lui Emanoil Bacaloglu, apoi profesor
titular de fizică moleculară, acustică și optică (1894), post pe care l-a ocupat până la
moartea sa în anul 1937. A predat datorită calității sale de fizician cu vaste și profunde
cunoștiințe de statistică experimentală şi ca profesor de fizică moleculară la Facultatea
de Medicină din București (1895-1916).
În anul 1910, printr-o metodă acustică, Miculescu a determinat coeficientul
de elasticitate al corpurilor. Între anii 1923-1928, prof. dr. Constantin Miculescu a fost
decan al Facultății de Științe din București. Recunoașterea meritelor sale de fizician
și statistician experimentalist de talie internațională este dovedită prin alegerea sa în
anul 1904 ca membru al Consiliului de conducere a Societății franceze de fizică și apoi în
anul 1909 ca membru al Comitetului internațional însărcinat cu culegerea și publicarea
constantelor din domeniul chimiei, fizicii și tehnologiei, iar în final și ca membru de
onoare al Academiei de Științe din România începând cu 21 decembrie 1935.
Statistica experimentală la sfârșit de secol XIX era cu certitudine dezvoltată
la un nivel internațional, iar personalitatea lui Constantin Miculescu certifică acest
fapt așa cum am încercat să demonstrez în acest articol și urma să devină o știință
de o mare utilitate în universul experimentelor cercetării fizice în școala academică
românească ...
BIBLIOGRAFIE
1. Marinescu, C., (1892). Sur la determination de l’équivalent mécanique de la
calorie [Echivalentul mecanic al caloriei], Journal de Physique, Paris.
2. Becquerel, H., (1897). Cours de Physique, Gauthier – Villars, Paris.
3. Darmois, (1947). Thermodynamique et Radiatione, Ed. Enseignement, Paris.
4. Marinescu, M., Fătulescu, Ș., (1967), Constantin Miculescu, Editura Științifică
București.
5. Reif, F., (1983). Fizică statistică, vol V, Cursul de fizică, Berkley 1965, Editura
didactică și pedagogică, București.
6. Săvoiu, G. (2007), Statistica un mod științific de gândire, Editura Universitară,
Bucuresti.
7. Săvoiu, G. (2012), Statistică generală cu aplicații în contabilitate, Editura Universitară,
Bucuresti.
8. Săvoiu, G. (2015), Statistical Thinking, Bucharest, University Publishing House.
9. Yulle, G., Kendall, M., (1968), An Introduction to the Theory of Statistics. 14th ed.,
rev. & enl. London, Charles Griffin.
10. *** Constantin Miculescu, (2015). https://ro.wikipedia.org./wiki/Constantin_
Miculescu
11
Anexa nr. 1
12
No
x
x - Mean
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
426.51
426.71
426.60
426.74
427.12
426.76
426.56
426.79
426.52
426.69
427.00
427.02
426.71
426.40
426.80
426.31
426.21
426.33
427.09
426.56
426.88
426.71
426.31
426.22
426.82
426.90
426.41
426.93
426.72
426.63
426.81
- 0.16
0.04
- 0.07
0.07
0.45
0.09
- 0.11
0.12
- 0.15
0.02
0.33
0.35
0.04
- 0.27
0.13
- 0.36
- 0.46
- 0.34
0.42
- 0.11
0.21
0.04
- 0.36
- 0.45
0.15
0.23
- 0.26
0.26
0.05
- 0.04
0.14
-0.000375
0.000094
-0.000174
0.000174
0.001055
0.000221
-0.000268
0.000281
-0.000353
0.000057
0.000783
0.000820
0.000094
-0.000733
0.000305
-0.000844
-0.001078
-0.000797
0.000984
-0.000268
0.000492
0.000094
-0.000845
-0.001055
0.000353
0.000539
-0.000609
0.000609
0.000117
-0.000094
0.000328
-0.0375
0.0094
-0.01740.0174
0.1055
0.0221
-0.0268
0.0281
-0.0353
0.0057
0.0783
0.0820
0.0094
-0.0733
0.0305
-0.0844
-0.1078
-0.0797
0.0984
-0.0268
0.0492
0.0094
-0.0845
-0.1055
0.0353
0.0539
-0.0609
0.0609
0.0117
-0.0094
0.0328
THE “MICULESCU CONSTANT”,
AN ELOQUENT PROOF OF DEEP
EXPERIMENTAL STATISTICAL
KNOWLEDGE IN LATE 19TH CENTURY
ROMANIA
University of Pitești
Abstract
This paper is actually a tribute to national experimental statistics as well
as its personalities, among whom the late Professor Constantin Miculescu is a
special representative, who eventually became the founder of the national school of
experimental physics, and also had outstanding international scientific contributions
to the equivalences between mechanical and thermal phenomena. It was from this
very rigorous statistical approach to the experiments that the famous constant that
bears his name was born. Nearly 125 years afterwards, this article examines, through
detailed descriptive statistical analysis, all the 31 experimental values that support
the arguments in the physicist’s doctoral thesis, defended in Paris, which provided the
best precision determination of the mechanical equivalent of the calorie. The present
paper represents a pretext to reveal, alongside Constantin Miculescu’s certainties
related to his approximation, estimated to the third decimal, the founding of a school of
experimental statistics focused on rigor and depth of statistical knowledge. Essentially,
his statistical experimental thought is thus remembered and proved anew as an almost
flawless one, which has a strength of anticipation of its scientific importance at least
one or two generations ahead of other similar approaches in Romanian research.
Keywords: constant, mechanical equivalent of the calorie, experimental deviation, median, descriptive statistics, experimental statistics.
INTRODUCTION
Professor Constantin Miculescu (1863-1937) was a Romanian physicist of
international fame, who came to be the founder of the national school of experimental
physics in Romanian, and has remained recorded in the history of science for his
notable achievements in thermodynamics and optics. His main contribution to
physics, as is mentioned in all encyclopedias contemporary (e.g. Wikipedia, 2015),
can be found in his very doctoral dissertation, which he defended in 1891, where he
presented the most rigorous determination by experiment, at the highest degree of
precision, of the mechanical equivalent of the calorie.
After graduating from the prestigious high school Matei Basarab in Bucharest,
where he obtained his baccalaureate degree in 1882, with Constantin I. Şonţu and
Emanoil Bacaloglu, as mentors, both remarkable teachers of physics and chemistry (he
would meet the latter during his academic studies), and the Faculty of Science of the
13
University of Bucharest, taking courses in the department of physics and mathematics,
which he completed in 1886, the young Constantin Miculescu won a scholarship to Paris,
where he first got his Bachelor of Science degree, in 1888, and then became a Doctor in
physics at the Sorbonne. His doctoral thesis, published under the title Sur la détermination
de l’équivalent mécanique de la calorie (Marinescu, 1982), was coordinated by Professor
Gabriel Lippmann (1845-1921), the future Nobel laureate for physics in 1908. Quantifying
the mechanical equivalent of the calorie as accurately as possible was a key concern of
physicists after 1840, and previously determined values, even by such great physicists
as J. M. Joule (1819-1889), E. M. Lenz (1804-1865) and J. A. D’Arsouval (1851-1940),
continued to show some experimental deviations, which seemed rather large, as much
as 20% of the real value, which made them difficult to accept, and subsequently use in
practice. The value of the mechanical equivalent of the calorie, discovered by Constantin
Miculescu, was included in the international tables of constants and became a fundamental
constant of thermodynamics after 1892 (Becquerel 1897).
In 1939, Professor Darmois of the Sorbonne noted, with the understandable
satisfaction due to the fact that the Romanian physicist belonged to the same French
educational institution, in the strict terms of his doctorate, that Miculescu’s method was,
and remained the only known method that allowed two essential theoretical conditions:
a) the experimental system produced mechanical work; b) heat loss to the outside was
prevented (Darmois, 1947).
Constantin Miculescu built a special device made up of a calorimeter filled
with water, in which four concentric cylinders were rotated by an electric motor, and the
calorimetric vessel itself was provided with three longitudinal blades and another three
circular ones, so that water moved neither circularly, nor longitudinally. The differences
in water temperature, resulting from the conversion of the mechanical work performed
by the engine into heat, were measured by means of a set of thermocouples, which had
been calibrated in advance. The electromotive force produced by the thermocouples was
measured by the compensation method. After a total of 31 experiments, considered classic
in the studies of thermodynamics and made exclusively with this device, Miculescu
calculated his own value, which would become an essential reference in the future, as of
4.184 J/cal. This value is very close to that used currently, i.e. 4.1855 J/cal. In 1950, the
International Committee of Weights and Measures adopted the value found by Miculescu,
slightly corrected, the relative error of measurement of this constant, as determined by
Miculescu, being only 0.000358, or 0.0358%.
PRO-EXISTENTIAL ARGUMENT FOR THE VALUABLE SCHOOL
OF EXPERIMENTAL STATISTICAL THOUGHT IN ROMANIA
Systems interact in general, and they are never completely isolated, nor can
their parameters be kept fixed as such. The total energy variation of a system, in mean
value (ΔEm), decomposes into mechanical work (W) and the heat absorbed (Q):
Δ Em = W + Q
(1)
A calorie is the unit of heat introduced into the physics and chemistry of the
eighteenth century, and it is still used in the investigational approach of contemporary
14
chemistry. The energy variation of a system that interacts was therefore the major
experimental thesis topic of Constantin Miculescu, and the excessive variability in the
results of other experiments generated interest in the identification of the constant, with
the support of the necessary statistical argument. The average experimental results and
the distribution of the 31 values calculated by the young PhD candidate Constantin
Miculescu are shown in Figure 1, using E-Views software (Săvoiu, 2015):
Results / experimental values of the 31 experiments
Figure 1
Experimental
results/values
426.51
426.71
426.60
426.74
427.12
426.76
426.56
426.79
426.52
426.69
427.00
427.02
426.71
426.40
426.80
426.31
Experimental
results/values
426.21
426.33
427.09
426.56
426.88
426.71
426.31
426.22
426.82
426.90
426.41
426.93
426.72
426.63
426.81
426.21
Following the analysis of the values of the central tendency of the experimental
results, they were found to have a modal value practically identical to the median one
(Me = Mo = 426.71), and the deviation between the average and the module identical
to the median (Average – Me = 0.04) is what constitutes the essence of final deviation
of Miculescu’s constant. In fact, it would have been practically impossible for the
distribution of experimental values to be absolutely symmetrical, the cause being of a
physical nature and strictly related to the impossibility of a system perfectly isolated as
an experimental environment. The resulting data, expressed as absolute experimental
deviations, are surprising on account of the phenomenon of profound similarity of the
distributions, revealed both the allure of the specific histograms, and the curve Kernel of
the resulting distributions, whether it be the deviation from the mean (x – Avg), or the
analysis of the the deviation from the modal value (Mode) or dominant (ni = 3), which
became, through the scientific quality of the physical experiment, practically identical
to the median (x – Me = x – Mo) (Săvoiu, 2007; 2012).
15
Values (x) and experimental deviations in relation to the mean value
(x - Mean) and the median (x - Median), and the frequency of the
emergence of these deviations in the end final (ni)
Table no. 1
No.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
x
x - Mean
| x - Mean |
ni
(x-Median)
| x-Median|
ni
426.51
- 0.16
0.16
1
-0.20
0.20
1
426.71
0.04
0.04
3
0.00
0.00
3
426.60
- 0.07
0.07
2
-0.11
0.11
2
426.74
0.07
0.07
0.03
0.03
1
427.12
0.45
0.45
2
0.41
0.41
1
426.76
0.09
0.09
1
0.05
0.05
1
426.56
- 0.11
0.11
2
-0.15
0.15
2
426.79
0.12
0.12
1
0.08
0.08
2
426.52
- 0.15
0.15
2
-0.19
0.19
1
426.69
0.02
0.02
1
-0.02
0.02
1
427.00
0.33
0.33
1
0.29
0.29
1
427.02
0.35
0.35
1
0.31
0.31
2
426.71
0.04
0.04
0.00
0.00
426.40
- 0.27
0.27
1
-0.31
0.31
426.80
0.13
0.13
1
0.09
0.09
1
426.31
- 0.36
0.36
2
-0.40
0.40
2
426.21
- 0.46
0.46
1
-0.50
0.50
1
426.33
- 0.34
0.34
1
-0.38
0.38
2
427.09
0.42
0.42
1
0.38
0.38
426.56
- 0.11
0.11
-0.15
0.15
426.88
0.21
0.21
1
0.17
0.17
1
426.71
0.04
0.04
0.00
0.00
426.31
- 0.36
0.36
-0.40
0.40
426.22
- 0.45
0.45
-0.49
0.49
1
426.82
0.15
0.15
0.11
0.11
426.90
0.23
0.23
1
0.01
0.01
2
426.41
- 0.26
0.26
2
-0.30
0.30
1
426.93
0.26
0.26
0.22
0.22
1
426.72
0.05
0.05
1
0.01
0.01
426.63
- 0.04
0.04
-0.08
0.08
426.81
0.14
0.14
1
0.10
0.10
1
31
31
Total
0
6.28
-1.42
5.94
Source: The experimental values x were taken from a Marinescu, M., Fătulescu, Ș. (1967), Constantin
Miculescu, Scientific Publishers, Bucharest, and the rest of the table calculations were done by the author.
To ensure maximum visibility for the distribution of experimental values
confronted with the deviations, a descriptive statistical analysis is initially made use
of, supported by histograms that, using the three levels approximated the the software
package E-Views in a reasonable manner, convey a definite resemblance according to
the maximum frequencies and by their polygonal allure:
16
a) Real or experimental values (x)
Descriptive statistics and histogram of real or experimental values (x)
Figure 2
b) Deviations of the real or experimental values from the mean (x –
Mean)
Descriptive statistics and histogram of the deviations of real or
experimental values from the mean (x – Mean)
Figure 3
17
c) Deviations of the real or experimental values from the median (x – Me)
The descriptive statistics and the histogram of the deviations of the real
or experimental values from the median (x – Me)
Figure 4
Using the same software package Eviews, one can quite easily notice a visual
similarity between all three Kernel type distributions statistically described above:
The Kernel type distributions of the experimental values (SER x) of the
deviations of the experimental values from the mean (SER x-Mean) and
of the deviations of experimental values from the median (SER x-Me)
Figure 5
18
Beyond their general likeness, which approaches complete similarity, the three
Kernel distributions are distinguished by the specific allure of their normal distribution,
or the Gaussian bell type, whose contour is slightly oscillating within the lower values,
which visibly alternate in point of frequency, a signal anticipated by the descriptive
statistics by a slight negative asymmetry (skewness between -0.161 and - 0.123).
This descriptive and graphical statistical analysis was certainly made by the
young doctoral student, who anticipated not only the accuracy of his experiments, but
also – and especially – the final deviation, as suggested by the sentence at end of his
published thesis (Marinescu, 1892):
“We thus obtained, as a mechanical equivalent of the calorie, the number J
= 426.70, where we consider the number of units as accurate, while the decimal 0.7
is probable.”
This is evidence of a deep knowledge of experimental statistics by the young
PhD candidate physicist Constantin Miculescu PhD, over 125 years ago, in the midst
of the experimental and drafting period of his thesis. The following set of arguments
proves the solidity of his knowledge of experimental statistics.
Experimental statistics exploits final determinations using a concept called
index of the result of an experiment to define the specific probability of this concrete
manifestation of scientific research. Thus, if one assesses separately, noting it by r, the
index of a particular outcome of an experiment on the assumption that it exists among
N systems in the statistical ensemble (conceptualized as a set composed of a number
of similar systems based on those results, then the probability of r occurring as a result
is determined as part through the following relationship (Reif, 1983):
Pr = Nr : N (where N → ∞)
(2)
As N becomes ever larger, resuming the experiment per the statistical overall set
is expected to lead to the same Pr ratio, in an ever increasing reproducibility (Reif, 1983).
Making use of the deviation calculated according to the mean of the
experimental values, which is 426.67, one demonstrates the correctness of Constantin
Miculescu’s claim: so, he was a remarkable expert in experimental statistics and
had a notable scientific integrity, which, together, made him become the founder of
the school of experimental physics in this country. The data below point out that
the average deviation is 0.000003, or 0.0003% as a percentage, and the maximum
negative deviation is -0.1078%, and the maximum positive deviation is 0.1055%.
19
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
Jarque-Bera
Probability
Sum
Sum Sq. Dev.
Observations
-0.000300
0.009400
0.105500
-0.107800
0.059131
-0.162946
2.197848
0.968302
0.616220
-0.009300
0.104895
31
Software used: E-Views
The values ± 1.98 σ are the limits within which about 95% of the results are
found theoretically, described according to the normal distribution of the probabilities
of experimental achievement embodied ± 0.117079%.
The maximum positive and negative deviations from the mean of the
experiments generate a smaller interval, virtually included within the one described
by the limits above. The actual interval of the maximum deviations of the values
of the indices of the results of the experiment [-0.1078 %; 0.1055%] is completely
included within the range described theoretically by [- 0.117079%; 0.117079%].
For an average deviation of 0.0003%, that is with an index r = 0.9997, the result
of the experiment validated the value 426.70 for both integers and decimals. Yet,
as the rigorous accuracy of the experimental physicist perfectly combined with the
knowledge of experimental statistics of the researcher, embodied by the doctoral
candidate, scientific honesty could only oblige Constantin Miculescu to decide in
relation to the experimental maximum deviation.
In conclusion, at a maximum deviation of 0.1078%, i.e. a given index r of the
experiment and a probability Pr = 0.998822, the result of the experiment validates the
value 426.70 only for the digit of the integers, and the figure ef the decimals is certainly a
probable one, that is defined for a given threshold of signification, or otherwise permanently
exposed to probabilistic statistical thinking through the uncertainty of its value.
Also, the scientific experiment has the maximum degree of honesty
through the fact that the young doctoral student did not appeal to the median. The
median is known primarily through the exceptional impact of its deviation from the
individual absolute values, a deviation which, if summed up, permanently configures
a minimum:
Having recourse to the median would have certified the first decimal, too, in
20
a false manner, and although the series of the results is characterized by the equality
of the median and the modal or dominant, the young PhD candidate honestly preferred
to work and analyze the resulting constant based on the average experimental value
rather than the median one.
CONCLUSIONS
After successfully defending his PhD thesis, Constantin Miculescu was
appointed substitute lecturer at the Faculty of Science of the University in Bucharest
(1891), at the very chair left vacant after the demise of his mentor Emanoil Bacaloglu,
then tenured professor of molecular physics, acoustics and optics (1894), a position
that he held until his death in 1937. He taught physics, thanks to his qualities as a
physicist also endowed with vast and profound knowledge of statistical experimental,
and did it, as well, as a molecular physics professor at the Faculty of Medicine in
Bucharest (1895-1916).
In 1910, Miculescu managed, through an acoustic method, to determine
the modulus of elasticity of bodies. Between 1923 and 1928, professor Constantin
Miculescu was Dean of the Faculty of Sciences in Bucharest. The recognition of his
merits as a physicist and experimentalist statistician of international stature was proven
by his 1904 election as a member of the Board of the French Society of Physics, and
then, in 1909, as a member of the International Committee appointed to collect and
publish the constants in chemistry, physics and technology, and finally as an honorary
member of the Academy of Sciences of Romania since 21 December 1935.
Experimental statistics at the turn of the 19th century was certainly developed
at an international level, and the personality of Constantin Miculescu certifies this, as
we tried to demonstrate in this paper, and would become a science of great utility in
the world of experimental physics research in the academic school in Romania…
REFERENCES
1. Marinescu, C., (1892). Sur la determination de l’équivalent mécanique de la
calorie [Echivalentul mecanic al caloriei], Journal de Physique, Paris.
2. Becquerel, H., (1897). Cours de Physique, Gauthier – Villars, Paris.
3. Darmois, (1947). Thermodynamique et Radiatione, Ed. Enseignement, Paris.
4. Marinescu, M., Fătulescu, Ș., (1967), Constantin Miculescu, Editura Științifică
București.
5. Reif, F., (1983). Fizică statistică, vol V, Cursul de fizică, Berkley 1965, Editura
didactică și pedagogică, București.
6. Săvoiu, G. (2007), Statistica un mod științific de gândire, Editura Universitară,
Bucuresti.
7. Săvoiu, G. (2012), Statistică generală cu aplicații în contabilitate, Editura Universitară,
Bucuresti.
8. Săvoiu, G. (2015), Statistical Thinking, Bucharest, University Publishing House.
9. Yulle, G., Kendall, M., (1968), An Introduction to the Theory of Statistics. 14th ed.,
rev. & enl. London, Charles Griffin.
10. *** Constantin Miculescu, (2015). https://ro.wikipedia.org./wiki/Constantin_
Miculescu
21
Appendix no. 1
22
No
x
x - Mean
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
426.51
426.71
426.60
426.74
427.12
426.76
426.56
426.79
426.52
426.69
427.00
427.02
426.71
426.40
426.80
426.31
426.21
426.33
427.09
426.56
426.88
426.71
426.31
426.22
426.82
426.90
426.41
426.93
426.72
426.63
426.81
- 0.16
0.04
- 0.07
0.07
0.45
0.09
- 0.11
0.12
- 0.15
0.02
0.33
0.35
0.04
- 0.27
0.13
- 0.36
- 0.46
- 0.34
0.42
- 0.11
0.21
0.04
- 0.36
- 0.45
0.15
0.23
- 0.26
0.26
0.05
- 0.04
0.14
-0.000375
0.000094
-0.000174
0.000174
0.001055
0.000221
-0.000268
0.000281
-0.000353
0.000057
0.000783
0.000820
0.000094
-0.000733
0.000305
-0.000844
-0.001078
-0.000797
0.000984
-0.000268
0.000492
0.000094
-0.000845
-0.001055
0.000353
0.000539
-0.000609
0.000609
0.000117
-0.000094
0.000328
-0.0375
0.0094
-0.0174
0.0174
0.1055
0.0221
-0.0268
0.0281
-0.0353
0.0057
0.0783
0.0820
0.0094
-0.0733
0.0305
-0.0844
-0.1078
-0.0797
0.0984
-0.0268
0.0492
0.0094
-0.0845
-0.1055
0.0353
0.0539
-0.0609
0.0609
0.0117
-0.0094
0.0328
Unele elemente privind normalitatea
estimatorilor bazaţi pe ecuaţie unică
Drd. Gyorgy BODO
Drd. Cristina SACALĂ
Abstract
În acest articol, autorii se concentrează asupra normalităţii asimptotice a
estimatorului LIML, a LIML proiectat de Fuller şi pe ajustarea 2-stage a celor mai
mici pătrate (B2SLS). Sunt prezentate şi discutate ipotezele corespunzătoare, apoi
sunt definite teoremele pentru estimatori.
Cuvinte cheie: ecuatie, instrument, normalitate, estimator, cele mai mici
pătrate
Introducere
Anghelache şi Prodan (2013) se preocupă de utilizarea regresiei simple în
studii la nivel macroeconomic, în timp ce Anghel şi Anghelache (2015) au în vedere
aplicarea modelelor neliniare. Anghelache şi Popovici (2015) studiază testele de
semnificaţie bazate pe variabile instrumentale. Pagliacci, Anghelache şi Mitruţ descriu
utilitatea modelelor statistico-econometrice, ca instrumente de analiză economică.
In acest articol se incearca extinderea rezultatelor prezentate de Stock si Yogo
(2003a) prin extinderea rezultatelor de normalitate asimptotica pentru estimatorul
LIML(limited information maximum likelihood), modificarea LIML a lui Fuller
(FLIML) si pentru ajustarea tendineti (bias-adjusted) a estimatorilor celor mai mici
patrate in doua etape (B2SLS) la cazul in care slabiciunea instrumentului este astfel
incat rata de crestere a parametrului de concentrare rn este mai inceata decat cea a
numarului de instrumente Kn, dar in asa fel incat
Astfel, vom obtine rezultate cu normalitate asimptotica, in situatii cu
instrumente mai slabe decat au fost considerate in alte lucrari.
Notatii folosite :
> 0 – precizia pozitiva cand se aplica matricei
- denota limita superioara a secventei
- matricea care se proiecteaza ortogonal in spatiu gama
de X si
23
Model si presupuneri
Se considera modelul cu doua ecuatii simultane (SEM):
(1)
,
(2)
unde,
si
sunt vectorii
ai observatiilor celor doua variabile
endogene ale sistemului.
este o matrice
a observatiilor variabilelor exogene J, incluse in
ecuatia (1)
este o matrice
a observatiilor asupra varialiabilelor instumentale
, sau a variabilelor exogene excluse din ecuatia (1)
si
sunt
vectori ai perturbantei aleatoare.
Fie
, unde
sunt component I a vectorilor aleatori
, respectiv .
Se fac urmatoarele ipoteze.
Ipoteza 1
pentru unele secvente de numere pozitive secventiale
, nedescrescatoare in n, si pentru unele secvente non aleatoare,
parametrul
vectorilor
.
Ipoteza 2
Fie
o multime triunghiulara pe
variabile aleatoare de prim rang, unde
cu
aratand
randul i din matricile
, respectiv
. Presupunem ca
si
astfel incat
satisface conditia
b) Fie
,
exista constantele
si
astfel incat
a)
, pentru o constanta
ce
si presupunem ca
, cu
aproape sigur
(3)
aproape sigur
(4)
si
unde
24
c) Exista sirul de numere pozitive reale {m2n}, nedescrescatoare in n, si
, astfel incat
si
(5)
(6)
Ipoteza 3
si sunt independente pentru orice i si n.
Ipoteza 4
(a)
si
(a)
cu
(c)
Ipoteza 5
Se defineste raportul
astfel incat
,
astfel
incat
.
Presupunem ca
, dar
(i) Ipotezele 1 si 2 sunt la fel ca cele facute de Chao si Swanson (2002).
(ii) Ipoteza 4 (c) impune o simetrie a distributiei perturbatiilor modelului cu
ecuatii simultane date de ecuatiile (1) si (2).
(iii) Ipoteza 5 isi concentreaza atentia asupra cazului in care parametrul de
concentrare creste la o rata mai lenta decat numarul de instrumente
,
dar la o rata mai rapida decat
.
(iv) Ipotezele impun un compromis al conditiilor relative la Donald si Newey
(2001) si Stock si Yogo (2003). Ipotezele noastre asupra variabilelor
exogene sunt mai slabe decat cele facute de Donald si Newey (2001) si
Stock si Yogo (2003). Pe de alta parte, facem ipoteze mai stricte asupra
momentelor de distributii de eroare.
Ipoteza 4(b) presupune ca distributiile de eoare sa aiba opt moment finite, pe
cand cele definite de Donald si Newey (2001) si Stock si Yogo (2003) au doar patru.
De asemenea, ipoteza 2(a) presupune o conditie mai putin stricta asupra ratei
de crestere a numarului de instrumente fata de cea impusa de Donald si Newey (2001)
si Stock si Yogo (2003).
Normalitatea asimptotica a esitmatorilor ecuatiei singulare
Ne concentram atentia asupra a trei estimatori:
1. Estimator LIML (Limited information maximum likelihood)
(7)
unde
este radacina cea mai mica a ecuatiei determinante
25
(8)
2. Estimatorul LIML modificat Fuller (FLIML)
(9)
unde
=
, pentru o constanta pozitiva
3. Estimatorul B2SLS (Bias – corrected two-stage least-squares)
(10)
Toti acesti 3 estimatori sunt cazuri speciale a estimatorului de clasa k definit
prin:
(11)
Urmatoarele teoreme prezinta principalele rezultatele asimptotice ale acestei
lucrari:
Teorema 1 (LIML) Fie
sub ipotezele 1-5 avem
definit ca in ecuatia (7). Atunci
(
, unde
Teorema 2 (FLIML) Fie
ipotezele 1-5 avem
definit ca in ecuatia (9). Atunci sub
(
,
Teorema 3 (B2SLS) Fie
ipotezele 1-5 avem
Teorema
definit ca in ecuatia (10). Atunci sub
(
4
,
Presupunem
ca
ipotezele
1
–5
pentru o constanta pozitiva
se
si
indeplinesc
si
Atunci
exista un numar intreg pozitiv N astfel incat pentru orice
26
Concluzii
Am derivat limitele distributiilor estimatorilor LIML, FLIML si B2SLS
printr-o configurare a unor instrumente slabe in care convergenta parametrului se
, dar
presupune ca va creste cu o rata mai slaba decat a numarului de instrumente
la o rata mai rapida decat
.
Asadar, am obtinut rezultate asimptotice normale a acestor estimatori in
situatii cu instrumente mai slabe decat in lucrarile precedente care au folosit cadrul cu
innstrumente slabe.
In contextual nostru, ambele rate cea de convergenta si cea de varianta sunt
diferite de cazurile cu instrumente puternice, cazuri in care instrumentele cresc cu
aceeasi rata sau mai mare decat
.
Am gasit, de asemenea, ca estimatorul BSLS nu este asimptotic echivalent
cu LIML si FLIML sub scenariul instrumentelor slabe.
Bibliografie
1. Anghelache C., Prodan L. (2013) – „The Use of Simple Regression in Macroeconomic
Analysis”, Knowledge Horizons – Economics, Volume (Year): 5 (2013), Issue
(Month): 4 (December), pp. 168-172
2. Anghelache C., Popovici M. (2015) – „Theoretical Elements Regarding the Tests
of Significance Based on Instrumental Variables”, Romanian Statistical Review
Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 82-90
3. Anghelache C., Anghel M.G. (2015) – „Main aspects regarding some non-linear
models used in economic analyses”, Romanian Statistical Review Supplement,
Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 7-10
4. Donald S.G., Newey W.K. (2001) – „Choosing the number of instruments”,
Econometrica, Vol. 69, No. 5 (Sep., 2001), pp. 1161-1191
5. Pagliacci M., Anghelache C., Mitruţ C. (2014) – „Economic Analysis through
the Use of Statistical - Econometric Models”, Romanian Statistical Review
Supplement, Volume (Year): 62 (2014), Issue (Month): 4 (April), pp. 32-43
6. Stock J.H., Yogo M. (2003) – „Asymptotic Distributions of Instrumental Variables
Statistics with Many weak Instruments”, working paper, Harvard University
27
SOME ELEMENTS ABOUT NORMALITY
OF SINGLE-EQUATION ESTIMATORS
Prof. Constantin ANGHELACHE PhD.
Bucharest University of Economic Studies, „Artifex” University of Bucharest
Assoc. Prof. Mădălina Gabriela ANGHEL PhD.
„Artifex” University of Bucharest
Gyorgy BODO PhD. Student
Cristina SACALĂ PhD. Student
Bucharest University of Economic Studies
Abstract
In this paper, the authors focus on the asymptotic normality of the LIML
estimator, the LIML designed by Fuller and on the trend adjustment of 2-stage least
squares (B2SLS). The corresponding hypotheses are presented and discussed, then the
theorems for the estimators are defined.
Key words: equation, instrument, normality, estimator, least squares
Introduction
Anghelache and Prodan (2013) focus on the use of simple regression in studies
at macroeconomic level,while Anghel and Anghelache (2015) review the application
of non-linear models. Anghelache and Popovici (2015) study the significance tests,
based on instrumental variables. Pagliacci, Anghelache and Mitruţ describe the utility
of statistic-econometric models, as instruments of economic analysis.
In this paper we attempt to extend the results presented by Stock and Yogo
(2003) by extending the results of asymptotic normality for LIML estimator (limited
information maximum likelihood), FULLER’s LIML modification (FLIML) and for
the bias–adjusted of the smallest squares estimators in two phases (B2SLS) for the
case in which the instrument weakness is in such a way that the increase rate of the
concentration parameter rn is slower than the one of the number of instruments Kn, but
in such a way that
for
Thus, we will obtain results with asymptotic normality, in situations with
weaker instruments than they were considered in other research.
Notations used:
Tr ( ) – matrix trace
>0 – positive precission when matrix is applied
n→
n–denotes
the superior limit of the sequence {an}
Px = X (X’X)’ X’–the matrix that is orthogonal projected in gama(X) and
Mx= 1-Px
28
Model and assumptions
It is given the model with two simultaneous equations (SEM):
where, y1n and y2n arethe vectors n x 1 of the two endogene variables
observations of the system.
Xn is an x J matrix of J exogene variables observations, included in (1)
equation
Zn is an x kn matrix of observations upon Kn’ instrumental variables or of
exogene variables excluded from (2) equation.
un and vn are n x 1vectors of random perturbation.
vn.
Be ƞi = (ui, vi)’, where ui and vi are I component of random vectors un’ and
The following hypotheses are made.
Hypothesis 1
= n=
for some sequences of sequential positive numbers{bn}, undecreasing numbers in n, and for some non random sequences kn x 1 the vectors’
parameter{cn}.
Hypothesis 2
Be { i,n : i = 1,…,n; n≥1} a triangular set on RKn+J first range random
variables, where i,n= (Z’ i,n , X’ i,n)’ with Z’ i,n , X’ i,n showing i row from Zn and Xn
matrix. Supposing that
a) Kn→
condition 0≤á<1
b) Be m1n
ëand
and n→
so that
→á, for an á constant which satisfies the
,n
→ and we suppose that exist the following constants
ë, with 0< ë≤ ë< , so that
almost certain
(3)
and
almost certain
where
n=
(4)
(Zn, Xn)
29
and 0<
c)
c≤
c<
There is a range of positive real numbers {m2n}, undecreasingin n,
, so that
(5)
(6)
Hypothesis 3
Hypothesis 4
(a)
are independent for any i and n.
, where
(b) there is a constant
and
, when
(c)
Hypothesis 5
We have the
definition
such that
for
, but
.
Suppose
that
.
(i) Hypothesis 1 and 2 are similar to those of Chao and Swanson (2002).
(ii) Hypothesis 4 (c) requires a symmetry of model disturbance distribution
regarding simultaneous equations given by equations (1) and (2).
(iii) Hypothesis 5 focuses on concentration parameter increasing at a slower
rate than the number of instruments Kn, prevailing a more rapid rate
than
.
(iv) Hypotheses require a compromise with regard to the conditions relative to
Donald and Newey (2001) and Stock and Yogo (2003a). Our hypothesis
regarding exogenous variables are weaker than those of Donald and
Newey and Stock and Yogo. On the other hand, we build more strict
hypotheses with regard to the moments of error distributions.
Hypothesis 4(b) considers that the error distributions have eight finite
moments, while the definite moments of Donald and Newey and Stock and Yogo have
only four.
Also, hypothesis 2(a) considers a less strict condition on the increasing rate
of the number of instruments confronted with the one imposed by Donald and Newey
and Stock and Yogo.
The asymptotic normality of the singular equation estimators
We focus on three estimators:
1. Estimator LIML (Limited information maximum likelyhood)
(7)
where
30
is the smallest root of the determinant equation.
(8)
Estimator LIML modified Fuller FLIML
(9)
where
for a positive constant a.
Estimator B2SLS (Bias – corrected two stage least-squares)
(10)
All these three estimators are special cases of an estimator of k class defined
by:
(11)
The following theorems present the main asymptotic results of this paper:
Theorem 1 (LIML)
Let
be defined as in equation 7. Under hypotheses 1 –5, we have
Theorem 2 (FLIML) Let
hypotheses 1 – 5, we have
be defined as in equation 9. Under
Theorem 3 (B2SLS) Let
hypotheses 1 –5, we have
be defined as in equation 10. Under
Theorem 4 Suppose that hypotheses 1 - 5 are performed and
where
for a positive constant ô and E2(0, è). Then, there is a positive whole
number N such that n N.
31
Conclusions
We derived the limits of the distributions of estimators LIML and B2SLS by
configurating some weak instruments for which convergence parameter is supposed
to increase at a weaker rate than the number of Kn instruments, but at a more rapid rate
than
As a conclusion, we obtained normal asymptotic results of these estimators
with regard to weaker instruments than in the other papers that used a weaker
instruments framework.
Regarding our paper, both rates, the convergent and the variance one, they are
different from the cases with strong instruments, which are cases when the instruments
increase at the same or bigger rate than Kn.
Also, we found that estimator B2SLS is not asymptotic equivalent with
LIML and FLIML under weaker instruments use.
References
1. Anghelache C., Prodan L. (2013) – „The Use of Simple Regression in Macroeconomic
Analysis”, Knowledge Horizons – Economics, Volume (Year): 5 (2013), Issue
(Month): 4 (December), pp. 168-172
2. Anghelache C., Popovici M. (2015) – „Theoretical Elements Regarding the Tests
of Significance Based on Instrumental Variables”, Romanian Statistical Review
Supplement, Volume (Year): 63 (2015), Issue (Month): 9 (September), pp. 82-90
1. Donald S.G., Newey W.K. (2001) – „Choosing the number of instruments”,
Econometrica, Vol. 69, No. 5 (Sep., 2001), pp. 1161-1191
4. Pagliacci M., Anghelache C., Mitruţ C. (2014) – „Economic Analysis through
the Use of Statistical - Econometric Models”, Romanian Statistical Review
Supplement, Volume (Year): 62 (2014), Issue (Month): 4 (April), pp. 32-43
5. Stock J.H., Yogo M. (2003) – „Asymptotic Distributions of Instrumental Variables
Statistics with Many weak Instruments”, working paper, Harvard University
32
Deficitul statelor membre ale
Uniunii Europene din zona euro
Drd. Adrian AMARIȚA
Ministerul Dezvoltării Regionale și Administrației Publice
Abstract
Tratatul privind stabilitatea, coordonarea şi guvernanţa a fost semnat în data
de 02.03.2012 la Bruxelles de către 25 de şefi de state membre ale Uniunii Europene,
excepţiile constituindu-le Marea Britanie şi Cehia.
Principalul obiectiv al Tratatului îl constituie consolidarea fiscală. Conform
dispozițiile acestuia, limita deficitului bugetar structural este de 0,5%. În cazul în care
nivelul datoriei publice este mult sub 60% şi nu există riscuri privind sustenabilitatea
pe termen lung a finanţelor publice, deficitul structural poate ajunge la 1% din
Produsul Intern Brut. Deficitul admis este de maxim 3% din valoarea P.I.B.
Din analiza efectuată pentru perioada 2010 – 2013 asupra impactului
Tratatului privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în ceea ce privește statele
membre ale Uniunii Europene din zona euro, rezultă că deficitul se situează în limitele
admise de prevederile legale doar în trei state: Luxemburg, Germania și Estonia.
Cuvinte cheie: Uniunea Europeană, deficit, zona euro
Tratatul privind stabilitatea, coordonarea şi guvernanţa în cadrul Uniunii
Economice şi Monetare a fost semnat în data de 02.03.2012 la Bruxelles de către 25 de
şefi de state membre ale Uniunii Europene, excepţiile constituindu-le Marea Britanie şi
Cehia1.
Tratatul are ca obiectiv consolidarea fiscală în următoarea perioadă. Conform
prevederilor tratatului, limita deficitului bugetar structural este de 0,5%. În cazul în care
nivelul datoriei publice este mult sub 60% şi nu sunt riscuri privind sustenabilitatea pe
termen lung a finanţelor publice, deficitul structural poate ajunge la 1% din Produsul
Intern Brut. Deficitul admis este de maxim 3% din valoarea P.I.B.
Tratatul fiscal introduce reguli care să asigure eficientizarea disciplinei bugetare
în rândul statelor membre ale Uniunii Europene. Regulile tratatului au fost acceptate de
către cele 18 state membre ale zonei euro. Regulile au fost acceptate şi de celelalte state
membre ale U.E., cu excepţia Marii Britanii şi Cehiei.
Abaterile înregistrate de la obiectivul tratatului atrag declanşarea mecanismului
de corecţie, conform căruia statul membru are obligaţia aplicării măsurilor în scopul
încadrării în limitele stabilite. Sancţiunile financiare trebuie să fie de maxim 0,1% din
P.I.B.
Tratatul prevede că nu numai statele membre semnatare pot fi beneficiare ale
fondurilor din Mecanismul European de Stabilitate. Dispoziţiile tratatului au fost denumite
în literatura de specialitate “reguli de aur” privind echilibrul bugetar. Principalele reguli
1. Alina Neagu, HotNews.ro, 02 martie 2012
33
constau în impunerea unui deficit de maxim 3% din Produsul Intern Brut şi a unei datorii
publice de maxim 60%, cu mecanisme automate de conformare şi sancţionare.
Guvernanţa financiară şi bugetară a preocupat în mod constant marii economişti
ai lumii. Criza datoriilor suverane a dezvăluit deficienţele Uniunii Economice şi Monetare,
cu precădere absenţa unui dispozitiv de management al crizelor1. Articolul pune accent
pe eşecul mecanismelor de supraveghere. Un tratat stabileşte Mecanismul Economic de
Stabilitate (M.E.S.) care are drept obiectiv asigurarea continuităţii Fondului European
de Stabilitate Financiară. Cel de-al doilea este Tratatul privind stabilitatea, coordonarea,
şi guvernanţa (T.S.C.G.), cu obietivul principal de consolidare a politicilor bugetare ale
statelor din zona euro. Ambele tratate au ca bază solidaritatea financiară impusă de către
Mecanismul European de Stabilitate Financiară între statele membre ale zonei euro, cu
accent pe disciplina bugetară la care sunt expuse statele acestei zone.
Adoptarea T.S.C.G. de către Consiliul European a atras critici numeroase.
Parlamentul European aprecia la data de 18 ianuarie 2012 că dispoziţiile de supraveghere
bugetară au fost prezentate pe larg în textele adoptate anterior. Astfel, Jaques Delors, fost
preşedinte al Comisiei Europene, a calificat tratatul drept ”uzină cu gaz”. C.E.S., care în
trecut a aprobat toate tratatele europene, a declarat opoziţia faţă de acest tratat.
Având în vedere că tratatul nu este european, ci interguvernamental, parlamentele
naţionale sunt suverane să se pronunţe legal asupra deciziilor guvernelor.
Totuşi, criticile de natură juridică nu descalifică T.S.C.G.-ul ca text politic, dar
apare compromisul dintre un embrion de solidaritate financiară între state şi un control
mai strict al datoriilor şi deficitelor publice.
Criticile aduse T.S.C.G. se referă, în principal, la regulile stabilite prin acesta,
cu referire atât la conţinutul, cât şi la impactul lor. Pragurile prevăzute nu au justificare
economică a priori şi nu garantează satisfacerea pieţelor financiare. Autorii precizează că
regulile din tratat nu pot fi puse în aplicare în toate situaţiile, ceea ce s-a şi demonstrat
de la începutul anilor 2000, în momentul încetinirii creşterii. Într-o perioadă de recesiune
economică, reducerea deficitelor şi a datoriilor se realizează mai greu şi poate fi riscantă
dacă se au în vedere efectele negative ale reducerii cererii publice, în special în momentul
în care aceasta se produce în toate statele în acelaşi timp. Autorii subliniază că norma unui
echilibru al finanţelor publice pe termen mediu nu are justificare economică. Conform art.
3.1 din T.S.C.G., “situaţia bugetară a administraţiei publice este în echilibru sau în excedent”.
Interpretarea textului conduce la concluzia că statul nu are niciun rol în stimularea cererii
sau în finanţarea investiţiilor. Se face menţiunea că noţiunea de deficit structural, prin care
Comisia apreciază deficitul excesiv este, de fapt, contestabilă.
Noile reguli conduc la pierderea autonomiei bugetare şi limitează deficitul şi
datoria, deoarece, prin impunerea ţărilor “prea împovărate” a unei întoarceri rapide la
echilibru, se creează un “mecanism mecanic”. Pentru un stat aflat în situaţie de recesiune
sau încetinire a economiei, reducerea deficitului şi a datoriei amplifică efectele recesive. În
consecinţă, atingerea obiectivelor bugetare devine mai greu de realizat şi, totodată, cresc
temerile în ceea ce priveşte sustenabilitatea finanţelor publice. Creşterea ratelor dobânzilor
are drept efect creşterea cheltuielilor cu dobânzile, iar aceasta contribuie la mărirea
1. Annie Jolivet şi Catherine Sauviant: Guvernanţa financiară şi bugetară europeană, Cronica
internaţională a IRES – Probleme economice
34
deficitului şi a datoriei. Creşterea datoriei are drept consecinţă degradarea ratei îndatorării
publice. Regulile tratatului nu garantează scăderea deficitelor publice, deoarece scăderea
simultană în mai multe state a cheltuielilor publice poate genera agravarea deficitelor
iniţiale.
Trebuie subliniată şi poziţia fermă şi fără precedent a Confederaţiei europene
împotriva T.S.C.G. Conform acesteia, noul tratat va obliga statele membre să aibă politici
fiscale pro-ciclice prejudiciabile care dau o prioritate absolută regulilor economice rigide
într-o epocă în care majoritatea economiilor sunt slabe şi în care rata şomajului atinge
niveluri intolerabil de ridicate. Aceasta va duce la o presiune asupra scăderii salariilor şi
a condiţiilor de muncă, la un control mai strict şi la sancţiuni.
T.S.C.G. întăreşte şi aplică norme rigide de supraveghere a datoriei şi a deficitelor
publice, ceea ce diminuează substanţial autonomia politicilor bugetare naţionale, cu
precădere posibilităţile guvernelor de a alege reformele structurale. Controlul exclusiv
numeric şi mecanic nu poate fi apreciat drept un progres în coordonarea politicilor
economice ale Uniunii Europene, deoarece exclude creşterea economică, utilizarea forţei
de muncă şi coeziunea socială.
Acest proces interguvernamental în ritm impus s-a realizat prin creşterea puterii
Comisiei Europene în domeniul bugetar şi economic, fără modificarea bugetului U.E. şi
atribuţiilor B.C.E. Progresul a avut loc în contextul agravării crizei datoriilor suverane şi
al unei recesiuni severe pentru multe state.
Bogdan Drăgoi, Ministrul Finanțelor Publice la data semnării Tratatului privind
stabilitatea, coordonarea și guvernanța în Uniunea Economică și Monetară, a declarat
: “Semnarea Tratatului pentru stabilitate, coordonare și guvernanță în cadrul Uniunii
Economice și Monetare certifică angajamentele României de a consolida sustenabilitatea
finanțelor publice și de a aplica politici economice prudente și sănătoase, România
fiind una dintre puținele țări UE care au adoptat deja de câțiva ani măsuri menționate în
Pact”1.
Se menționează că în România s-a înregistrat o creștere economică semnificativă
în perioada anterioară crizei, dar această oportunitate nu s-a reflectat în sustenabilitatea
finanțelor publice, situație care nu se va mai repeta având în vedere că deficitul structural
va fi limitat la 0,5% din PIB.
Primele măsuri întreprinse de România s-au concretizat în sensul reducerii
deficitului structural de la 7% din Produsul Intern Brut în anul 2009 la 4,4% în anul
2011.
Ministrul Finanțelor Publice a precizat că măsurile luate de țara noastră au
sporit credibilitatea acesteia la nivel european și internațional. Aplicarea Tratatului
va contribui la stimularea implementării de politici economice avansate și va stimula
procesul de reducere a decalajelor de dezvoltare comparativ cu celelalte state membre
prin intermediul schimbului de experiență cu statele performante. Măsurile care derivă
din prevederile Tratatului vor asigura creșterea gradului de transparență în implementarea
politicilor de către statele membre ale Uniunii Europene. Aceste măsuri constituie, în
1.Bogdan Drăgoi: Tratatul privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în UEM vizează
întărirea disciplinei fiscale în www.curierulfiscal.ro
35
același timp, un prilej de sancționare rapidă a disfuncționalităților de la o politică fiscală
armonioasă.
Principalul obiectiv al Tratatului pentru Stabilitate, Coordonare și Guvernanță îl
reprezintă întărirea disciplinei fiscale. În acest sens, principalele elemente sunt:
“ - politica bugetară trebuie să fie echilibrată sau în excedent. Această regulă
se consideră a fi respectată dacă soldul structural anual respectă obiectivul bugetar pe
termen mediu și nu depășește 0,5% din PIB;
- deficitul structural poate avea o valoare mai mare decât cea specificată mai
sus, până la maxim 1% din PIB, dacă nivelul datoriei publice este semnificativ sub 60%
din PIB și riscurile pentru sustenabilitatea finanțelor publice pe termen lung sunt reduse;
- regula bugetară se introduce prin dispoziții naționale cu forță juridică
obligatorie și caracter permanent, de preferință Constituționale sau respectiv prin alt
nivel care să garanteze respectarea în integralitate în cadrul procesului bugetar național.
Regulile menționate trebuie să fie în vigoare în legislația națională în termen de 1 an de
la intrarea în vigoare a Tratatului;
- statele care fac obiectul unei proceduri de deficit excesiv instituie programe
de parteneriat bugetar și economic cu caracter obligatoriu monitorizate de către Comisia
Europeană și Consiliul UE;
- părțile la Tratat asigură discutarea ex-ante a reformelor structurale majore pe
care intenționează să le adopte și, dacă este cazul, să se coordoneze în acest sens.”
Referitor la acest tratat, economistul Mircea Coșea a declarat că cel mai
important pentru țara noastră este să prevadă consecințele, adică sacrificiile foarte mari
și abandonarea prognozelor economice, astfel încât România să ajungă la o convergență
reală cu Uniunea Europeană, având în vedere decalajele care ne separă de cele mai
dezvoltate state ale acestei zone1.
Pentru atenuarea decalajelor este necesară, în viziunea analistului, o creștere
economică dublă comparativ cu aceea a Uniunii Europene, ceea ce are drept consecință
un deficit mai mare : “Deficitul la care ne obligă tratatul de guvernanță fiscală nu ne
oferă prea multe orizonturi, ci doar posibilitatea de a plăti datoria externă, nicidecum o
creștere economică”. Analistul economic apreciază că statul nostru nu se poate angaja la
împrumuturi mai mari sau la investiții pentru a nu depăși deficitul stabilit prin prevederile
tratatului. Economistul consideră că singura soluție este capitalizarea internă a capitalului,
dar care este greu aplicabilă țării noastre. În opinia sa, nu sunt decât două variante: fondurile
europene și creșterea investițiilor străine. Tratatul trebuia renegociat, iar pentru statele mai
slab dezvoltate din Uniunea Europeană era necesar să se acorde anumite facilități: decalarea
termenelor, recalcularea prognozelor și accesul pe piața muncii din Uniunea Europeană.
Mircea Coșea afirmă: ”Un asemenea tratat poate fi pus în aplicare fără niciun fel de sacrificii
de țări precum Germania, însă pentru state precum România este extrem de greu”. Marele
avantaj al României este acela că implementează o disciplină bugetară eficientă. Analistul
economic Ilie Șerbănescu apreciază că problema esențială pentru România ce derivă din
prevederile tratatului o reprezintă costurile, iar consecința este o recesiune prelungită pentru
majoritatea statelor europene. Analistul consideră că: „Ne este rău că va trebui să trecem la
1.Tratatul fiscal înseamnă prelungirea recesiunii pentru România - Analiști în www.business.24.ro
36
disciplina financiară, însă România nu va fi capabilă să facă acest lucru, iar dacă va reuși
o va face cu prețul unei scăderi economice, un lucru foarte ușor de atins, pentru că oricum
suntem pe muchie de cuțit”. Șerbănescu apreciază că aplicarea tratatului este nedreaptă,
deoarece statele dezvoltate au folosit deficitul pentru creștere economică o perioadă lungă,
iar în prezent sunt sancționate statele mai puțin dezvoltate.
În ceea ce privește aderarea la prevederile tratatului, aceasta s-a făcut de către
toate statele membre, cu excepția Marii Britanii și Cehiei. În Marea Britanie, membrii
conservatori au acuzat faptul că tratatul înăsprește legile fiscale ale zonei euro și “dăunează
intereselor naționale ale Marii Britanii”.
Prim – ministrul ceh Petr Necas a prezentat cele trei obiecții majore ale Cehiei
în ceea ce privește semnarea tratatului: accesul limitat la summit – urile zonei euro al
statelor care nu utilizează moneda euro, eșecul în rezolvarea crizei datoriilor europene și
procesul foarte complicat și nesigur de ratificare.
Situația deficitului statelor din zona euro în perioada 2010 – 2013 se prezintă
astfel:1
Austria
Belgia
Cipru
Estonia
Finlanda
Franța
Germania
Grecia
Irlanda
Italia
Letonia
Lituania
Luxemburg
Malta
Olanda
Portugalia
Slovacia
Slovenia
Spania
1
2010
-4.5
-4
-4.8
0.2
-2.6
-6.8
-4.1
-11.1
-32.4
-4.2
-8.2
-6.9
-0.6
-3.3
-5
-11.2
-7.5
-5.7
-9.4
2011
-2.6
-3.9
-5.8
1
-1
-5.1
-0.9
-10.1
-12.6
-3.5
-3.4
-9
0.3
-2.6
-4.3
-7.4
-4.1
-6.2
-9.4
2012
-2.3
-4.1
-5.8
-0.3
-2.1
-4.9
0.1
-8.6
-8
-3
-0.8
-3.2
0.1
-3.7
-4
-5.5
-4.2
-3.7
-10.3
2013
-1.5
-2.9
-4.9
-0.5
-2.4
-4.1
0.1
-12.2
-5.7
-2.8
-0.9
-2.6
0.6
-2.7
-2.3
-4.9
-2.6
-14.6
-6.8
http://ec.europa.eu/eurostat
37
38
39
Din datele prezentate în perioada de referință 2010 – 2013 la nivel de state
din zona euro, situația se prezintă astfel:
- Austria a înregistrat o tendință de scădere constantă de la - 4,5% în anul
2010 până la – 1,5% în anul 2013;
- Belgia prezintă o ușoară scădere a deficitului de la – 4% înregistrat în anul
2010 până la – 2,9% în anul 2013;
- Cipru a înregistrat o creștere a deficitului în anii 2011 și 2012 (- 5,8%)
comparativ cu anul 2010 (- 4,8%), apoi o scădere a acestuia în anul 2013
(- 4,9%), dar evoluția acestuia raportată la dispozițiile Tratatului poate fi
apreciată ca negativă;
- Estonia a avut valori pozitive în anii 2010 (+ 0,2%) și 2011 (+ 1%) și valori
negative în anii 2012 (- 0,3%) și 2013 (- 0,5%), dar valorile deficitului
realizat de acest stat se încadrează în limitele impuse de prevederile
Tratatului pentru Stabilitate, Coordonare și Guvernanță;
- Finlanda a realizat o scădere a deficitului de la – 2,6% în anul 2010 la – 1%
în anul 2011, dar ulterior acesta a crescut la -2,1% în 2011 și -2,4% în anul
2013;
- Deficitul Franței a scăzut în mod constant de la – 6,8% în anul 2010 până la
– 4,1% în anul 2013, dar acest stat de referință nu se încadrează în plafonul
impus de prevederile Tratatului;
- Germania a înregistrat un progres semnificativ în ceea ce privește deficitul
de la – 4,1% în anul 2010 la + 0,1 în anul 2013;
- Grecia a avut un deficit mare în toată perioada supusă analizei, iar dacă
în anii 2011 (- 10,1%) și 2012 (- 8,6%) se poate vorbi despre o ușoară
40
redresare compatativ cu anul 2010 (- 11,1%), în ultimul an al perioadei de
referință acesta a atins – 12,2%;
- Irlanda a avut cel mai mare deficit dintre toate statele din zona euro în anul
2010 (- 32,4%), dar ulterior situația s-a îmbunătățit: - 12,6% în anul 2011, 8% în anul 2012 și – 5,7 % în 2013, statul fiind în continuare într-o situație
critică;
- Italia a înregistrat progrese în ceea ce privește deficitul de la – 4,2% în anul
2010, la – 3,5% în anul 2011, - 3% în 2012 și – 2,8% în 2013;
- Letonia a avut un progres semnificativ de la – 8,2% în anul 2010 la – 3,4%
în 2011, - 0,8% în 2012 și – 0,9% în anul 2013;
- Lituania a avut, de asemenea, o scădere spectaculoasă a deficitului de la –
6,9% în anul 2010, la – 2,6% în anul 2013;
- Luxemburg a înregistrat, cu excepția anului 2010 (- 0,6%), valori pozitive:
+ 0,3% în 2011, + 0,1% în 2012 și + 0,6% în anul 2013;
- Malta a înregistrat un ușor progres de la – 3,3% în anul 2010 până la –
2,7% în anul 2013, dar pentru încadrarea în limita impusă de prevederile
Tratatului trebuie să eficientizeze activitatea economică;
- Olanda a îmbunătățit în mod constant deficitul, valorile acestuia scăzând
de la – 5% în anul 2010 la – 2,3% în 2013;
- Portugalia a depus eforturi mari pentru diminuarea deficitului, eforturi
concretizate în scăderea acestuia de la – 11,2% realizat în anul 2010 la –
7,4% în 2011, - 5,5% în 2012 și – 4,9% în anul 2013, dar acest stat trebuie
să continue strategia economică utilizată pentru a avea un deficit care să
permită încadrarea acestei țări în baremul impus de prevederile Tratatului;
- Slovacia a realizat progrese în mod constant în această direcție, deficitul
scăzând de la – 7,5% în anul 2010 la – 2,6% în anul 2013;
- Evoluția Sloveniei a fost fluctuantă, deficitul crescând de la – 5,7% în 2010
la – 6,2% în anul 2011, apoi a înregistrat o scădere la – 3,7% în 2012 și o
creștere foarte mare a acestuia în anul 2013 de – 14,6%;
- Spania a înregistrat o scădere a deficitului de la – 9,4% în anul 2010 la –
6,8% în anul 2013, dar acest stat trebuie să ia în continuare măsuri pentru
redresarea economiei naționale și, implicit, reducerea deficitului, astfel
încât să nu fie supus sancțiunilor prevăzute de Tratatul pentru Stabilitate,
Coordonare și Guvernanță.
Având în vedere deficitul statelor din zona euro în anul 2013, acestea pot fi
clasificate în patru grupe:
41
a) state care se încadrează în limita impusă de prevederile Tratatului
(- 0,5%):
- Luxemburg + 0,6%; - Germania + 0,1%; - Estonia – 0,5%
b) state cu deficit până la – 2%:
- Letonia – 0,9%; - Austria – 1,5%
42
c) state cu deficit între – 2% și – 5%:
- Olanda – 2,3%; - Finlanda – 2,4%; - Lituania – 2,6%; - Slovacia – 2,6%;
- Malta – 2,7%; - Italia – 2,8%;- Belgia – 2,9%; - Franța – 4,1%; - Cipru – 4,9%, Portugalia – 4,9%
d) state cu deficit mai mare de – 5%:
- Irlanda – 5,7%; - Spania – 6,8%; - Grecia – 12,2%;- Slovenia – 14,6%
BIBLIOGRAFIE
1. Drăgoi Bogdan - “Tratatul privind stabilitatea, coordonarea și guvernanța în UEM
vizează întărirea disciplinei fiscale” în www.curierulfiscal.ro
2. Jolivet Annie și Sauviant - “Guvernanța financiară și bugetară europeană, Cronica
internațională a IRES – Probleme economice”
3. Neagu Alina - “Tratatul privind guvernanța fiscală în UE” în www.hotnews.ro, 2
martie 2012
4. “Tratatul fiscal înseamnă prelungirea recesiunii pentru România – Analiști” în
www.business.24.ro
5. http://ec.europa.eu/eurostat
43
THE DEFICIT OF THE EU MEMBER STATES
IN THE EURO AREA
PhD. Candidate Adrian AMARIȚA
Ministry of Regional Development and Public Administration
Abstract
The Treaty on Stability, Coordination and Governance was signed on
02.03.2012 in Brussels by the 25 heads of the European Union Member States,
exceptions being the UK and the Czech Republic.
The main objective of the Treaty is fiscal consolidation. Under its provisions,
the limit of the structural budget deficit is 0,5%. If the debt level is below 60% and
there are no risks regarding the long term sustainability of the public finances, the
structural deficit could reach 1% of GDP. The deficit is allowed a maximum of 3% of
GDP.
From the analysis for the period 2010 – 2013 on the impact of the Treaty
on Stability, Coordination and Governance in the European Union member states of
the euro area, that deficit is within the limits allowed by the law in only three states:
Luxembourg, Germany and Estonia.
Key Words: Euro, Treaty on Stability, Coordination and Governance,
member states, European Union, structural deficit, Gross Domestic Product, penalty
payment, derogation.
JEL Classification: E 23, E 42, E 52, F 15, F 33, F 45, H 62
The Treaty on Stability, Coordination and Governance in the Economic and
Monetary Union was signed on 02.03.2012 in Brussels by the 25 heads of European
Union member states, exceptions for this are the UK and the Czech Republic, and
entered into force on 01.01.2013.
The Treaty aims to strengthen member states’ tax in the next period. Under
the treaty, the limit structural budget deficit is 0,5%. If the public debt is below 60%
and there are risks to the long- term sustainability of public finances, the structural
deficit could reach 1% of GDP. The deficit is allowed a maximum of 3% of GDP.
The Fiscal Treaty introduces rules to ensure efficient budgetary discipline in
the member states of the European Union. The treaty rules were accepted by the 18
euro area member states
The rules were accepted by other EU member states, except Great Britain
and the Czech Republic.
Deviations since the objective of the Treaty trigger the correction mechanism
whereby member state shall aplly the measures in order to comply with the limits set.
Penalties must be within 0,1% of GDP.
The treaty provides that not only signatory member states can be recipients
of funds from the European Stability Mechanism. The provisions of the treaty were
called in the literature „golden rules” on the budget balance. The main rules consist
44
of imposing a maximum deficit of 3% of GDP and a public debt exceeding 60% with
automatic mechanisms and sanctions compliance.
Great economists of the world have been constatly concerned about
the budgetary and financial governance. The sovereign debt crisis has revealed
the weaknesses of EMU, notably the absence of a crisis management device. The
article focuses on supervisory failures. A treaty establishes the Economic Stability
Mechanism (ESM) which aims to ensure the continuity of the European Financial
Stability Fund. The second is the Treaty on Stability, Coordination and Governance
(TSCG) which has as main objective the building and the continuity of budgetary
policies in the euro area. Both treaties are based on financial solidarity imposed by the
European Financial Stability Mechanism between euro area member s tates, focusing
on budgetary discipline facing the countries of this region. The adoption of the
T.S.C.G. by the European Council has drawn many critics. The European Parliament
appreciated on January 18, 2012 that the provisions of the budgetary surveillance
were detailed in previously adopted texts. Thus, Jacques Delors, former European
Commission president, described the treaty as a „gas factory”. The C.ES., which in
the past has approved all the European treaties, showed opposition to the treaty.
Since the treaty is not European, but intergovernmental, national parliaments
are sovereign to decide on the legal decisions of the governments.
However, legal criticism of the TSCG does not disqualify it as political text,
but the compromise appears between an embryo of financial solidarity among the
states and a stricter control of debt and deficits.
Criticism towards the T.S.C.G. refers, primarily, to the rules set out
therein, with respect to both the content and their impact. The thresholds are not a
priori economic justification and does not guarantee financial markets satisfying.
It states that the treaty rules can not be implemented in all situations, which was
actually demonstrated in the early 2000s, at the moment of the slowdown. At a time
of economic downturn, reducing deficits and debt is becoming more difficult and
can be risky if we take into account the negative effects of reduced public demand,
especially when it occurs in all states simultaneously. The authors point out that the
rule of balancing public finances in the medium term has no economic justification.
According to art.3.1 of the TSCG, ”the government budgetary position is in balance
or in surplus.” The interpretation of the text leads to the conclusion that the state has
no role in boosting demand in financing investment. It shall be noted that the concept
of structural deficit, through which the Commission considers the excessive deficit is
, actually, questionable.
The new rules lead to loss of autonomy and limited budget deficit and debt,
because, by imposing ”too burdensome” countries a rapid return to balance, creates
a ”mechanical device”. For a country in a situation of recession or slowdown of the
economy, reducing the deficit and debt amplifies the effects of recession. Therefore,
the budgetary target becomes more difficult and also increases fears regarding the
sustainability of public finances. Higher interest rates results in higher interest costs,
and it contributes to increasing deficit and debt. The growth rate debt results in the
degradation of the public debt. Treaty rules do not guarantee lowering public deficits,
45
because in several states simultaneous lowering public spending could generate initial
worsening deficits.
It should be underlined unprecedented and firm position against the European
Confederation T.S.C.G. under this new Treaty requires member states to pro-cyclical
fiscal policies that give priority to harmful rigid economic rules in an era when most
economies are weak and the unemployment rate reaches intolerable high levels. This
will result in a downward pressure on wages and working conditions and also to a
stricter control and sanctions.
The T.S.C.G. strenghtens surveillance and applies rigid rules of debt and
public deficits, which substantially reduces the autonomy of national budgetary
policies, particularly the possibilities of governments to choose structural reforms.
Digital and mechanical control can only be described as a breakthrough in the EU
economic policy coordination, because it excludes growth, labor utilization and social
cohesion.
This intergovernmental process on an imposed pace was achieved by
increasing the power of the European Commission in the budgetary and economic,
area without changing the EU budget and the powers of the B.C.E. The progress took
place in the context of the worsening of the sovereign debt crisis and a severe recession
for many states.
Bogdan Drăgoi, the Finance Minister at the time of signing the Treaty on
Stability, Coordination and Governance in the Economic and Monetary Union, said:
“The signing of the Treaty for Stability, Coordination and Governance in the Economic
and Monetary Union certifies Romania’s commitments to strengthen sustainability of
the public finances to apply prudent and sound economic policies, Romania being one
of the few EU countries that have already adopted the measures referred to in the Pact
for a few years.”
It notes that Romania has registered significant economic growth before the
crisis, but this opportunity was not reflected in the sustainability of the public finances,
a situation that will not recur given that the structural deficit will be limited to 0,5% of
GDP.
The first measures taken by Romania have resulted in the reducing of the
structural deficit from 7% of GDP in 2009 to 4,4% in 2011.
The Finance Minister said that measures taken by our country increased
its credibility at international and European level. The application of the Treaty will
help stimulate the implementation of advanced economic policies and stimulate the
process of reducing the development gap compared with other member states through
the exchange of experience with performing states. The measures arising from the
provisions of the Treaty will ensure increased transparency in policy implementation
by member states of the European Union. These measures are, at the same time, an
opportunity to quickly sanction failures to a harmonious fiscal policy.
The main objective of the Treaty for Stability, Coordination and
Governance is to strengthen fiscal discipline. In this respect, the main elements are:
“ – Budgetary policy should be balanced or in surplus. This rule shall be
46
deemed to be respected if the annual structural balance in the medium term budgetary
objective respects and does not exceed 0,5% of GDP;
- Structural deficit may have a higher value than specified above, to a
maximum of 1% of GDP if the debt level is significantly below 60% of GDP and risks
to long-term sustainability of public finances are low;
- Fiscal rule is introduced through national provisions legally binding and
permanent character, preferably constitutional, or otherwise that level that ensures
compliance in full in the national budget process. The rules set should be in force in
national legislation within one year of the entry into force of the Treaty;
- The countries subject to the excessive deficit procedure establish budgetary
and economic partnership programs with binding monitored by the European
Commission and the EU Council;
- Parties to the treaty ensure ex-ante discussion of major structural reforms
which they intend to adopt and, if necessary, to coordinate in this regard.”
Regarding this treaty, the economist Mircea Coșea said that the most important
for our country is to foresee the consequences, which means very large sacrifices and
abondoning economic forecasts, so that Romania will reach a real convergence with
the European Union, given the gaps that separate us from the most developed contries
of the area.
In order to alleviate disparities it is necessary, according to the analyst,
a double economic growth as compared with that of the European Union, which
results in a higher deficit: “The deficit in the fiscal governance treaty obliges us not
give too many horizons, but only the capability to pay foreign debt, not economic
growth.” The economic analyst believes that our state can not commit to larger loans
or investment in order not to overcome the deficit established by the Treaty. The
economist believes that the only solution is internal capital capitalization, but that is
hardly applicable to our country. In his view, there are only two alternatives: European
funds and increased foreign investment. The treaty should have beent renegotiated
and for the less developed countries of the European Union it had been necessary
to grant certain facilities: shifting deadlines, recalculate forecasts and labor market
access in the European Union. Mircea Coșea states: “A treaty can also be implemented
without any sacrifices by countries like Germany, but for countries like Romania
it is extremely difficult.” The big advantage is that Romania implements effective
budgetary discipline.
Economic analyst Ilie Șerbănescu says that the key issue for Romania
deriving from the Treaty provisions is the costs, and the consequence is a prolonged
recession for most European countries. The analyst states: “We are sorry that we have
to go to financial discipline, but Romania will not be able to do this, and if it succeeds,
it will be at the cost of economic downturn, which is very easy to achieve, because
anyway we are on the edge.” Șerbănescu considers that the application of the treaty is
unfair because developed countries have used deficit for growth for a long period and
now the less developed states are penalized.
Regarding accession to the Treaty, this was done by all member states, except
Great Britain and the Czech Republic. In Great Britain, the Conservative members
47
accused that the treaty tightens tax laws of the euro area and “damages national
interests of Great Britain.”
Prime Minister Petr Necas introduced three major objections of the Czech
Republic regarding the Treaty: the limited access to the summits of euro area
countries not using the euro, the failure in solving the European debt crisis and the
very complicated and uncertain ratification.
The situation in the euro area deficit in the period 2010-2013 is presented as
follows:
Austria
Belgium
Cyprus
Estonia
Finland
France
Germany
Greece
Ireland
Italy
Latvia
Lithuania
Luxembourg
Malta
Netherlands
Portugal
Slovakia
Slovenia
Spain
48
2010
-4.5
-4
-4.8
0.2
-2.6
-6.8
-4.1
-11.1
-32.4
-4.2
-8.2
-6.9
-0.6
-3.3
-5
-11.2
-7.5
-5.7
-9.4
2011
-2.6
-3.9
-5.8
1
-1
-5.1
-0.9
-10.1
-12.6
-3.5
-3.4
-9
0.3
-2.6
-4.3
-7.4
-4.1
-6.2
-9.4
2012
-2.3
-4.1
-5.8
-0.3
-2.1
-4.9
0.1
-8.6
-8
-3
-0.8
-3.2
0.1
-3.7
-4
-5.5
-4.2
-3.7
-10.3
2013
-1.5
-2.9
-4.9
-0.5
-2.4
-4.1
0.1
-12.2
-5.7
-2.8
-0.9
-2.6
0.6
-2.7
-2.3
-4.9
-2.6
-14.6
-6.8
49
50
From the data presented in the reference period 2010 – 2013 of euro area
countries, the situation is as follows:
- Austria has a steady downward trend from – 4,5% in 2010 to – 1,5% in
2013;
- Belgium shows a slight decrease in the deficit from – 4% in 2010 to -2,9% in 2013;
- Cyprus recorded an increase in the deficit in 2011 and 2012 (-5,8%)
compared with 2010 (-4,8%), and its decrease in 2013 (-4,9%), but its
evolution reported in the Treaty can be regarded as negative;
- Estonia was positive in 2010 (+0,2%) and 2011 (+1%) and negative in
2012 (-0,3%) and 2013 (-0,5%), but the values achieved deficit. This state
is within the limits imposed by the provisions of the Treaty for Stability,
Coordination and Governance;
- Finland has achieved a decrease in the deficit from -2,6% in 2010 to -1%
in 2011, but later it increased to -2,1% in 2012 and -2,4% in 2013;
- France’s deficit steadily decreased from -6,8% in 2010 to -4,1% in 2013,
but the reference state is not within the ceiling imposed by the Treaty;
- Germany has made significant progress in terms of deficit -4,1% in 2010
to +0,1 in 2013;
- Greece has a large deficit throughout the period under review, and if in 2011
(-10,1%) and 2012 (-8,6%) we can talk about a slight recovery comparative with
2010 (-11,1%) in the last year of the reference period it has achieved -12,2%;
- Ireland had the highest deficit of all euro area countries in 2010 (-32,4%),
but then the situation improved: - 12,6% in 2011 – 8% in 2012 -5,7% in
2013, the state is still in a critical situation;
- Italy has made progress in terms of deficit -4,2% in 2010 to -3,5% in 2011
-3% in 2012 and -2,8% in 2013;
- Latvia has made significant progress from – 8,2% in 2010 to -3,4% in 2011
-0,8% in 2012 and – 0,9% in 2013;
- Lithuania has also had a dramatic decrease in the deficit -6,9% in 2010 to
-2,6% in 2013;
- Luxembourg registered ,with the exception of 2010 (-0,6%), positive
values: +0,3% in 2011, +0,1% in 2012 and +0,6% in 2013;
- Malta has seen a slight improvement from -3,3% in 2010 to -2,7% in 2013,
but to hire limit imposed by the provisions of the Treaty must streamline the
economic activity;
51
- Holland’s deficit improved steadily, falling from its values -5% in 2010 to
-2,3% in 2013;
- Portugal has made great efforts to reduce the deficit, embodied in lowering
its efforts to -11,2% achieved in 2010 to -7,4% in 2011, -5,5% in 2012 and
-4,9% in year 2013, but the country needs to continue economic strategy
used before in order to have a deficit which allows this country the
classification in the scale required by the Treaty;
- Slovakia has progressed steadily in that direction, the deficit decreased
from -7,5% in 2010 to -2,6% in 2013;
- Evolution of Slovenia was fluctuating, the deficit increased from -5,7% in
2010 to -6,2% in 2011, then decreased to -3,7% in 2012 and then a large
increase of its deficit followed in 2013 – 14,6%;
- Spain’s deficit decreased from -9,4% in 2010 to -6,8% in 2013, but the
state must take further measures to improve the national economy and thus
reduce the deficit, in order not to be subject to the penalties provided for by
the Treaty for Stability, Coordination and Governance.
Given the euro area deficit in 2013, the states may be classified into four
groups:
a) states which fall within the limit imposed by the provisions of the Treaty
(- 0,5%):
- Luxembourg + 0,6%; - Germany + 0,1%; - Estonia – 0,5%
b) states with deficit up to – 2%:
- Latvia – 0,9%; - Austria – 1,5%
52
c) states with deficit between – 2% și – 5%:
- Netherlands – 2,3%; - Finland – 2,4%;
- Lithuania – 2,6%;- Slovakia –
2,6%; - Malta – 2,7%;
- Italy – 2,8%; - Belgium – 2,9%; - France – 4,1%; - Cyprus
– 4,9%; - Portugal–4,9%
d) states with deficit more than – 5%:
- Ireland – 5,7%; - Spain – 6,8%; - Greece – 12,2%; - Slovenia – 14,6%
REFERENCES
1. Drăgoi Bogdan - Treaty on Stability, Coordination and Governance in the Economic
and Monetary Union aims at strengthening fiscal discipline in www.curierulfiscal.
ro
2. Jolivet Annie/Catherine Sauviant - European budgetary and financial governance,
international Chronicle IRES – Economic Issues
3. Neagu Alina - Treaty on European Union fiscal governance in HotNews.ro, March
2, Tax Treaty for Romania means prolonging the recession – Analysts in www.
business.24.ro
4. http://ec.europa.eu/eurostat
53
Scurtă istorie a algebrei şi a impactului ei
statistic maximizat în statistica algebrică
Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD,
Professor MD. Sandra MATEI,
Şcoala Gimnaziala Nr. 198, Bucureşti
Abstract
Această lucrare este redactată de un statistician și un matematician, ambii
pasionați de algebra clasică și evoluția ei istorică. Dincolo de enumerarea unor
momente importante și de evidențierea unor școli legate de gândirea specifică a
algebrei, ținta articolului rămâne impactul unor evoluții comune posibile și mai ales
reale concretizând conviețuirea algebrei cu statistica în conținutul unei noi soluții
interdisciplinare plasate interstitial și denumite firesc algebraic statistics.
Key words: algebră, statistica, istoria gândirii algebrice, algebraic statistics.
INTRODUCERE
Algebra
contemporană
este
un
concept
științific,
plasat
între disciplină independentă și știință componentă a spațiului larg al
matematicii. Algebra este definită atât independent ca teorie a operațiilor
privind numerele reale (pozitive ori negative) sau complexe, rezolvare a ecuațiilor,
axată pe substituirea valorilor numerice cu litere și identificare a formulei generale
de calcul numeric particular, cât și dependent sau structural ca ramură a matematicii,
algebra ocupându-se în acest caz cu studiul operațiilor aritmetice independent de
valorile lor numerice sau cu generalizările operațiilor aritmetice (DEX, 2012).
Algebra constituie o componentă structurală indispensabilă a matematicii
moderne derivată din aritmetică, ca generalizare sau extensie a acesteia din urmă și
deține ca domeniu de studiu predilect regulile operațiilor și relațiilor matematice, a
conceptelor derivate din acestea, de la polinoame, la ecuații, de la structuri algebrice,
la numere cu proprietăți speciale. În demersul ei milenar, algebra a apelat permanent
la numere contextualizând inițial matematica absolut elementară. Toate calculele și
conceptele matematicii absolut elementare au fost și sunt încă guvernate de unicul act
al numărătorii cu unu, capabile să genereze primele numere naturale. Valorificarea
semnelor algebrice este un proces dificil și lent deși cu siguranță că cifrele au apărut
cu mult înaintea sa alfabetului, sistemele hexagesimal (babilonian) și sistemul
zecimal (chinez) constituind primii pași esențiali ai algebrei cu o vechime de peste
patru sau cinci milenii. Acum mai bine de 1200 de ani, arabii vor realiza unificarea
cifrelor cunoscute astăzi, iar celebra cifră zero (0) va călători pe drumul mătăsii secole
de-a rândul devenind zephir la greci pentru a intra definitiv în calcule matematice în
Europa abia acum un mileniu. Semnul egalității (=) a apărut acum 500 de ani alături
54
de semnul plus (+), spre deosebire de numerele negative, care apar în jurul anului
600, dar se utilizează clar și pe scară largă după o mie de ani aproape, toate împreună
pregătind o geometrie analitică pe la 1650. Abia în secolul al XII-lea oamenii au
înțeles că nașterea numerelor prin numărare sau adăugarea lui 1 a însemnat crearea
lucrurilor (Thierry de Chartres), iar după alte patru sau cinci secole fenomenul a fost
de nestăvilit odată cu saltul realizat de la simpla numărare 0 → (0 + 1) → [(0 + 1)
+ 1] → ... la identitatea exponențială vitală xy × xz = x (y + z) care a produs explozia
exponențială și logaritmică a revoluției științifice din secolul al XVII-lea (Berlinski,
2013). Algebra este o operă colectivă, întinsă pe milenii, este opera negustorilor și
a oamenilor simpli, opera bancherilor și contabililor, opera matematicienilor și a
nematicienilor (statisticieni sau logicieni) deopotrivă.
Exagerarea izvorului aritmetic și impactului numerologic, conceptualizează
algebra ca știință a numerelor întregului univers (Rees, 2008) are ca implicație majoră
faptul că atât cosmosul, cât și microcosmosul pot fi redefinite cu ajutorul unei sinteze
algebrice, alcătuite tot din numere cu specificarea că este vorba de numai șase numere
semnificative:
a) două dintre ele N și ε cu referire la forțele fundamentale ale fizicii și
chimiei universului (N = 1036 sau intensitatea forțelor electrice care mențin atomii
împreună și ε = 0.007 care arată cât de puternic sunt legate între ele nucleele atomilor
și cum s-au format atomii pe Terra);
b) alte două Ω și λ stabilind dimensiunea și structura universului vital și
precizând continuitatea existenței acestuia (Ω sau un număr în proces de diminuare care
descrie raportul dintre densitatea reală și densitatea critică,considerat inițial aproape
egal cu unitatea și care are o valoare actuală de numai 0.04 și în acest fel evaluează
cantitatea de materie din galaxii, gaz rarefiat, inclusiv materie “întunecată” și λ sau
valoarea antigravitației consemnată într-un număr foarte mic care tinde spre zero);
c) ultimele două Q și D caracterizând proprietățile spațiului însuși (Q =
1/100000 sau raportul a două energii fundamentale care la limită pot conduce fie la un
univers inert și fără structură, fie la un univers violent, în care nu ar putea supraviețui
nimic și D = 3 sau numărul de dimensiuni spațiale ale lumii noastre).
Capacitatea de a sintetiza prin numere universul exterior și talentul de
a gândi prin numere și a substitui realități prin numere sunt cele care au delimitat
primele contribuții majore ale algebrei în istoria științei moderne. Împreună
cu geometria, analiza matematică combinatorica și teoria numerelor, algebra a
constituit una dintre ramurile principale ale matematicii pure. Algebra rămâne unul din
multiplele areale ale matematicii moderne împreună cu topologia, logica matematică,
analiza numerică (valorificând computerele) și mathematica discretă.
PRECURSORI ȘI REPERE GEOGRAFICE, TEMPORALE SAU
PRINCIPIALE ALE ALGEBREI MODERNE
Universul spațio – temporal al algebrei a descins din preocupările
civilizațiilor și ale oamenilor obișnuiți poziția acestei științe nefiind contra mundum
milenii de-a rândul. Probleme simple și-au găsit soluții aparent la fel de simple în
55
mulțimea numerelor naturale sau întregi pozitive de o manieră amiabilă (Berlinski,
2013), în timp ce primele numere negative și fracțiile au plasat matematicianul în
conflict deschis cu lumea fizică. Așa a început algebra să conviețuiască cu realitatea,
identificând operațiuni cu final necompensat și inacceptabil în practica unor cămătari
rămași cu împrumuturi parțial achitate sau rotunjind brutarului soluțiile de secționare
a pâinii în n părți. Principalele areale spațio – tempoarale care au dezvoltat algebra
și au adus-o la nivel de știință componentă a matematicii moderne sunt sintetizate în
caseta nr. 1.
Precursori și repere geografico - temporale ale algebrei moderne
Caseta nr. 1
Algebra clasică are o vechime de peste patru milenii, cu două milenii înainte de
Hristos, babilonienii fiind aceia care au utilizat formule algebrice pentru a rezolva problemele,
în timp ce grecii și chinezii foloseau numai metode geometrice în aceleași scopuri. Aceiași
babilonieni nu pot fi numiți inventatori ai algebrei deși au fost precursori importanți,
deoarece nu au avut timpul necesar pentru a rafina procedurile lor și nici capacitatea de
a le generaliza și transmite moștenire, cu toate că puteau rezolva ecuatii cu un număr de
patru variabile un număr de patru variabile necunoscute. În aceeași perioada, egiptenii și
caldeenii erau capabili să rezolve ecuaţiile de gradul întâi şi al doilea prin indicarea verbală
a operaţiilor atestate cu documente care s-au păstrat încă (Berlin papyrus din 1300 î. Hr.).
În paralel și vechii greci erau familiarizați cu aplicarea unor identităţi, exprimate sub formă
geometrică dovedindu-se capabili să soluționeze grafic unele ecuaţii de gradul al treilea şi
chiar al patrulea prin intersecţii de conice. În persoana lui Diofant sau Diophantus, autorul
primei lucrări matematice asumate Aritmetica, care a trăit in vechea Alexandria în jurul
anului 200 d. Hr., se poate identifica primul precursor al algebrei moderne (supranumit
părintele algebrei). Deși nu a formulat o metodă de rezolvare unică pentru ecuații algebrice,
Diophantus a utilizat pentru prima dată litere speciale pentru operaţii şi numere, fiind și
iniţiatorul notaţiile simbolice (algebrice), precum și părintele ecuaţiilor nedeterminate
(ecuaţii diofantice). În persoana Hypatiei tot cultura și știința greacă oferă prima femeie
matematician a antichităţii care a scris un comentariu asupra operei lui Diophantus și chiar a
extins-o devenind mama algebrei moderne. Contribuțiile indiene in algebră sunt remarcabile,
Tratatul lui Brahmagupta (598 - 660) constituind o aplicarea practică a matematicii în care
autorul său a dezvoltat mai multe formule algebrice majore, inclusiv ecuația liniară, ecuația
de gradul al doilea și ecuații nedeterminate generând pentru prima oară și introducând în
universul rezultatelor reale numerele negative. Cu referire strictă la delimitarea conceptuală,
Brahmagupta este confirmat ca predecesorul major al definirii algebrei ca știință de
către Muhammad Al-Khwarizimi (780 - 850) sau Al-Horezmi (latinizat Algoritmi).
Precursor esențial al gândirii algebrice în matematica arabă, acesta reușește în două dintre
memorabilele sale lucrări pentru istoria algebrei, prima apărută în 825 și intitulată Cartea
adunării și scăderii după metodele indiene (Kitab al-jam’wal tafriq bi hisab al-Hindi) ca și
în cea de- a doua din 830Tratat asupra calculului prin completare și compensare (Al-Kitāb
al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala) să devină părintele algoritmului algebric, prin
soluțiile de calcul generalizat oferite (de la numele lui ușor deformat prin pronunțare se pare
că a apărut și algoritmul ca un concept matematic), cât și primul matematician care a folosit
algebra ca termen distinctiv. Algebra reunește la Al-Horezmi procesul al-jabr de eliminare
a unităților negative, rădăcini și pătrate din ecuația prin artificii de adăugare a unor valori
identice de fiecare parte a egalității nodale (de exemplu ecuația x2 = 40x − 4x2 este redusă
la 5x2 = 40x), valorificând în același timp și al-muqabala prin transferul / aducerea unor
56
cantități de același tip de aceeași parte a ecuației (de exemplu x2 + 14 = x + 5 este redusă la
x2 + 9 = x). Dixit Algoritmi ca apreciere a calculului riguros și metodic al lui Al-Horezmi
a constituit un reper temporal major, latinizând și eternizând algebric numele autorului în
algoritm, ca artă de a opera cu cifre aparent arabe, dar de fapt hinduse la origini, răspândind
sistemul numeral hindus-arab în întregul Orientul Mijlociu și Europa, care acoperea practic
un sistem unificat de rezolvare a problemelor generalizate (opus abordării particularizate a
lui Diophantus). Metodele și chiar soluțiile algebrice ale lui Al-Khwarizimi vor fi folosite cu
succes și în algebra modernă, din ele fiind deduse cu claritate contribuțiile matematicienilor
moderni, cum ar fi Gottfriend Leibniz sau George Boole, fondatorii algebrei booleene. Nu
trebuie omisă din această succintă istorie a apariției algebrei contribuția sistemului sistemul
numeric zecimal chinezesc, aşa-numitul rod numerals, în care erau folosite simboluri
distincte pentru numere între 1 şi 10 şi alte simboluri pentru puteri ale lui 10, folosit deja
cu câteva secole î.Hr. şi cu mult înainte de dezvoltarea sistemului numeric indian. Acest
prolific sistem zecimal permitea reprezentarea numerelor mari şi calculele puteau fi făcute
prin intermediul numărătorii chinezeşti (suan pan). Dintr-o imaginară frescă a Școlii algerice
preclasice nu pot lipsi Diophantus, Hypathia, Brahmagupta, Al-Khwarizimi, cu toți sub sigla
suan pan. (Stokes-Brown, 2011). Algebra preclasică și chiar clasică reunește în cele din
urmă o compilație de reguli, alături de demonstrații, cu scopul de a identifica soluții ale unor
ecuatii liniare și pătratice, inițial prin argumente geometrice intuitive, iar la final cu sprijinul
notației abstracte asociate cu subiectul practic.
Algebra modernă readuce personalități ale matematicii arabe în discuție la începutul
mileniului al doilea. Astfel Al-Karaji a oferit în tratatul său Al-Fakhri prima demonstrație
care folosește principiul inducției matematice pentru a demonstra teorema binomială, Ibn alHaytham a dezvoltat teoria numerelor accentuând importanța numerelor perfecte și inițiind
conexiuni între algebră și geometrie, Omar Khayyam a devenit unul din fondatorii reali ai
geometriei algebrice, anticipând memorabila contribuție și uimitorul efort al lui Decartes,
Nasir al–Din Tusi a dezvoltat conceptul de funcție algebrică, iar efortului lor multisecular
li se alătură Mahavira Bhaskara II, matematician indian, Al-Karaji, matematician persan și
Zhu Shijie, matematician chinez, toți aceștia deținând contribuții importante la rezolvarea de
ecuații cubice, cuartice, cuintice prin metode numerice. Renaşterea a amplificat exponențial
dezvoltarea matematicii, a valorificat cifrele arabe și a generalizat notaţia simbolică
algebrică. Scipione del Ferro și Niccolò Fontana Tartaglia au descoperit soluțiile pentru
ecuațiile cubice, iar Gerolamo Cardano în cartea sa, Ars Magna, apărută in 1543, a publicat
soluțiile pentru ecuațiile de gradul al patrulea, descoperite de studentul său Lodovico Ferrari.
Algebra modernă standardizează treptat orizontul cantitativ exterior. François Viète (15401603) apelând la formule literale descrie în formule devenite celebre relaţiile dintre rădăcini
şi coeficienţi, John Neper (1550-1617) inventează conceptul de logaritm, John Wallis (16161703) pe acela de limită a unui șir de numere raționale, Isaac Newton (1642-1727) extinde
formula binomului pentru exponenţi raţionali și oferă o metodă de calcul prin aproximaţie
a rădăcinilor iraţionale, von Leibniz (1646-1716) enunță criteriul de convergenţă al seriilor
numerice alternante, Michel Rolle (1652- 719) oferă soluția de separare a rădăcinilor
ecuaţiilor algebrice, James Stirling (1696-1770) conceptualizează factorialul (n!), Gabriel
Cramer (1704-1752) determinanţii, Leonhard Euler (1707-1783) extinde și introduce
determinantul ortogonal, Étienne Bézout (1730-1783) elimină necunoscuta între două ecuaţii,
Eduard Waring (1734-1798) identifică interpolarea prin polinoame, Alexandre-Théophile
Vandermonde (1735-1796) stabilește proprietățile determinanţilor, Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813) sintetizează teoria ecuaţiilor algebrice, Pierre-Simon Laplace (1749-1827)
creează regula dezvoltării determinanților după minori de diferite ordine, Carl Friedrich
57
Gauss (1777-1855) formulează teorema fundamentală a algebrei și oferă reprezentarea
numerelor complexe în plan, William Rowan Hamilton (1805-1865) dezvoltă algebra
necomutativă și teoria abstractă a operaţiilor, De Morgan (1806-1871) generează logica
formală a operaţiilor, Kummer (1810-1893) creează numerele ideale, iar Clifford (18451879) numerele duale, Cauchy (1789 - 1857) și van der Waerden (1903 - 1996) descriu
regulile de calcul matricial etc. (MathWiki, Algebra, 2015). Anul 1830 este unul definitoriu
pentru maturizarea deplină a algebrei, personalitatea lui Évariste Galois (1811-1832) și teoria
acestuia marcând delimitarea clară a condițiilor necesare și suficiente pentru ca o ecuație să
fie rezolvată apelând la radicali (Năstăsescu, Niță, 1979). Algebra modernă după Galois
pare a fi deplin conturată, comunicarea, ierarhiile și reperele geografico-temporale sunt la
o primă analiză relativ încheiate (conflicte de genul întâietate Kowa Seki Leibniz asupra
paternalității asupra determinanților pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare își pierd
rațiunea în patrimoniul mondial algebric)
Sources: MathWiki, Algebra, (2015) available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/Algebră,
Stokes-Brown, 2011 și (Năstăsescu, Niță, 1979).
Reperele principiale ale algebrei moderne sunt datorate aproape integral
lui René Descartes (1596-1650) care a abstractizat și generalizat calculul algebric
la semnificaţia lui modernă, oferind algebrei și iubitorilor acesteia satisfacția
limitării numărului rădăcinilor pozitive ale unei ecuaţii. În 1637, Rene Descartes
a introdus notația algebrică modernă odată cu apariția lucrării La Géométrie, care
inventa geometria analitică. Principiile algebrei au fost surprinse în maniera cea mai
elegantă de către Descartes, în celebra sa lucrare Discours de la methode, încă din 1637.
Cele patru axiome principiale aparent pur personale, așa cum au fost ele redactate de
către Decartes par a satisface și logica și geometria, dar, mai ales, algebra de îndată ce
le plasăm în orientarea contra mundum a matematicianului profund care:
1. Va accepta ca adevărat doar ceea ce nu poate fi pus la îndoială sau
demonstrația validată algebric este prioritară în raport cu demonstrabilitatea
potențială contradictorie.
2. Va împărți fiecare problemă în tot atâtea părți câte vor fi necesare pentru
a o rezolva în mod corect sau descompunerea algebrică sa face conform
necesității dictate de corectitudinea soluțiilor agregate finale.
3. Își va prezenta ideile de la cele mai simple la cele mai complicate sau
demersul de souționare algebrică este unul ascendent de la simplu la
complex, de la singular la general, de la caz particular la regulă (formulă,
teoremă, teorie).
4. Va enumera toate conceptele, astfel încât nimic pertinent să nu fie omis sau
completitudinea ipotezelor conceptuale asigură generalitatea demersului
demonstrației algebrice (Decartes, 1637).
Moralitatea abordată ca respectare a legilor (teoriei algebrei) și cultivarea
rațiunii și raționalității aplicării (algebrei), împreună cu cugetarea ca demers existențial
nu numai filosofic dar și algebric (cogito, ergo sum) sunt derivatele conceptuale majore
ale principialității carteziene.
Istoria algebrei în România este mult mai recentă, mai didactică și mai ales expusă
58
unei vremelnicii nefaste și teritorialități represive și chiar neprincipiale. Prima atestare
a utilizării algebrei, ca noțiune în sine, apare la 1729, în volumul Satire al lui Antioh
Cantemir, fiul domnitorului Dimitrie Cantemir: Antioh Cantemir ar fi tradus în rusă o
carte referitoare la Newton și ar fi scris chiar o algebră, tot în rusă, rămasă în manuscris
(Marcelle, 1938):
Satira I (extras)
“Noi n-avem vro nevoie de-a lui Euclid știință,
Ca să-mpărțim pământul în firte și bucăți,
Și știm făr-de algebră câți bani sunt într-un leu.
Silvan iubește numai știința aceea care
Venitul înmulțește și scade cheltuiala;
De nu se-ngroașă punga nu vede vrun folos,
Ci numai nebunie pentru societăți...”
Source: http://ro.wikisource.org/wiki/Antioh_Cantemir:_Satira_I
O mare parte a opiniilor apărute la noi susțin că primul manual de algebră
ar fi aparținut lui Gheorghe Asachi care a scris, redactat şi publicat personal mai
multe lucrări cu caracter didactic în registrul matematic (Babără, 2005): Elemente
de matematică, partea I, Aritmetică (1836), partea a II-a, Algebra (1837), partea a
III-a, Geometrie elementară (1838), Elemente de matematică (1843), Elemente de
aritmetică (1848).
În 1870 apare în România, în traducere, Cursu elementaru de algebra al lui
Franz Mocnik, iar în 1900, B. Ionescu publică Tratatul de algebra elementara pentru scolele secundare dupa noua programa, iar Al. Manicatide Manualul de algebra
elementara, ca manual alternativ. Atât ca fond, cât și ca tematică manualul lui Al.
Manicatide nu diferă semnificativ de acela al lui Franz Mocnik fiind reeditat până în
1941, când apare versiunea lui N. Abramescu, pentru a face loc în 1950, altui manual
de algebră, tradus din rusă și nesemnat, în care drept unică mare noutate, apare analiza
combinatorie. Simptomele paradigmei algebrice in metodica predarii matematicii in
stil sovietic pierd legătura cu esența algebrei clasice și moderne prin: anistoricizarea
(extragerea algebrei din contextul ei istoric), izolarea disciplinara, abstractizarea si
formalizarea excesivă, mecanicizarea procesului de rezolvare a problemelor de algebră conform criteriului mai mult si mai repede se identifică practic cu mai bun în
algebră (Diaconu, 2006).
Marii matematicieni și academicieni români s-au implicat semnificativ în
sprijinul predării matematicilor în învăţământul gimnazial şi mediu, deși o mare
parte dintre aceștia prin specializarea iminentă nu au publicat cărți destinate elevilor sau manauale didactice Astfel, un exemplu aparte îl constituie Traian Lalescu
(1882-1929) care a publicat valoroase lucrări cu caracter didactic, printre care, în anul
1924, Calculul algebric sau Grigore Moisil (1906-1973) prin lucrarea Introducere in
algebră din 1954 etc. Gheorghe Țițeica (1873-1939) un alt matematician exemplar a
59
înființat împreună cu Dimitrie Pompeiu (1873-1954) revista Mathematica și a participat alături de Ion Ionescu, Andrei Ioachimescu si Vasile Cristescu la fondarea și
dezvoltarea prestigioasei reviste românești Gazeta matematică din 1895.
Primul manual de analiză și implicit algebră modernă ceva mai realist, ca
apariție postbelică, este semnalat abia în anul 1968, ascunzând suficientă algebră sub
titlul Elemente de analiza matematică si mecanică și având ca autor pe academicianul
Caius Iacob (1912-1992), redenumit Elemente de analiza matematica, pentru anul
IV de liceu din 1974, manual școlar axat și pe algebră care asigura pentru prima oară
o sincronizare relativă cu demersul pedagogic al matematicii europene, confirmând
totodată și o sciziune între matematica si stiintele fizice în România. Abordarea structurală și de impact a algebrei lui Gheorghe Asachi se regăsește însă și după un secol
și jumătate, în 1989, algebra fiind predată cu aritmetica împreună în același manual în
clasa a VI de gimnaziu.
Algebra contemporană a devenit tot mai extinsă și reunește:
i) algebra elementară/clasică, unde expunerea proprietăților numerelor reale
apelează la simboluri identificând diferit constante și variabile, accentuând
studiul expresiilor matematice și ecuațiilor;
ii) algebra abstractă/modernă, în care se studiază structuri algebrice (grupuri, inele, corpuri);
iii) algebra liniară dedicată spațiilor vectoriale și matricilor;
iv) algebra universală care analizează proprietăți comune tuturor structurilor
algebrice);
v) teoria algebrică a numerelor, care studiază proprietățile numerelor și aplică rezultate din teoria numerelor;
vi) geometria algebrică sau aplicații ale algebrei în geometrie.
vii) algebra combinatorică, reunind metodele algebrei abstracte aplicate în
chestiuni legate de analiza combinatorie etc.;
vii) algebra logicii sau algebra lingvistică în care cele trei operații de bază
ale acesteia sunt și, sau, non inventată practic de George Boole (18151864) etc.
Noile tehnologii, calculatoarele și pachetele de programe de calcul specializate au amplificat implicarea în cercetare și în algebra modernă și mai ales au simplificat metode și au redus etape. Ca urmare firească, noi domenii ale matematicii și
algebrei s-au dezvoltat permanent, câteva exemple relativ la îndemână fiind teoria
calculabilității a lui Alan Turing, teoria complexităţii, teoria informației inițiată de
Claude Shannon, teoria de procesare a semnalului, data mining şi optimizare etc.
Viteza incredibil de mare de prelucrare a datelor şi performanțele ieșite din predicții
temporale ale calculatoarelor au permis o nouă abordare a unor probleme de algebră
restricționate de volumul lor imens de date, în trecut incapabile de a oferi prompt
soluții, dar devenite astăzi firești ca realizare în timp real a calculelor generând noi
domenii algebrice de studiu, cum ar fi analiza numerică și calculul simbolic...
60
CONVIEȚUIREA ȘI ASOCIEREA CONTEMPORANĂ DINTRE
ALGEBRĂ ȘI STATISTICĂ
Pornind de la însușirea de informații pe principiul reducerii informațiilor utile
ca pondere în explozia informațională contemporană, dar și de la nevoia de cunoaștere
inter- și transdisciplinară, autorii articolului au identificat cel puțin zece argumente
ale unei noi conviețuiri a statisticii cu algebra, mult mai complexe și mai adaptate la
cerințele realității moderne (economice, sociale, educaționale, culturale etc.):
I. Variabila specifică simultan algebrică și statistică (discretă, continuă etc.)
inclusiv variantele și variația caracteristică;
II. Grupuri și grupări similare;
III. Coincidența unora dintre condițiile lui Yule și Kendall pentru indicatorii
medii și selectarea lor simultană algebrică și statistică în analize
descriptive și algebrice (algoritm de calcul rapid si ușor, existența unei
formule de calcul algebric și condiția să se preteze la calcule algebrice,
definire algebrică tot mai clară și precisă):
IV. Universul în expansiune al graficelor carteziene si diagramelor algebrice
și statistice;
V. Dispersia și regula de adunare a dispersiilor ca punct de plecare în analize
dispersionale și de determinație pur algebrice;
VI. Rapiditatea și simplitatea transferului variabilelor clasice în variabile
binare și apelul la media și dispesia variabilelei binare (booleană)
VII. Regresia, corelația și asocierea variabilelor (simultan algebrică și
statistică)
VIII. Extrapolarea în seria cronologică și tipologia progresiilor algebrice
clasice
IX. Sondajele nealeatoare (ex: pe cote, stratificate etc.) și aleatoare comparativ
cu algoritmi algebrici de calcul
X. Metode de ierarhizare și mulțimi algebrice de numere asociate etc.
Câteva tendințe recente din curriculumul universitatilor din SUA identifică o
tendință de accelerare a preferinței pentru algebră și statistică în același timp. Curentul
în sine poartă denumirea de “Algebra for all” & “Statistics for all” (Zalsman Usiskin,
2015) și aduc tot mai aproape între ele și în centrul curriculumului statistica și algebra
conform opțiunii studenților și presiunilor realității cauzate de creșterea volumului de
date necesare pentru a lua decizii, a înțelege, a diagnostica, a preda, a testa, a valida, a
evalua, a concura, a crea, a inova, a construi, a substitui, etc. Relațiile dintre statistică,
matematică (subliniind algebra) și a altor subiecte în cadrul curriculumului academic
pot fi redate sintetic într-un grafic asambalat sau agregat al principalelor domenii de
învățământ universitar (figura 1)
61
Asocierea și centrarea pe statistică și calcul algebric solicitată de
studenții din universitățile americane
Fig. 1
Sources: (Zalsman Usiskin, 1995; 2015
Tot mai mulţi dintre studenţii din SUA au preferat şi promovat examenul
de statistică şi calcul algebric într-o gamă tot mai extinsă de universități în ansamblul
invățământului academic american, ceea ce impune prezenta statisticii in K12 –
curriculum (cauza majoră dedusă fiind fenomenul big data). Datele statistice (Zalsman
Usiskin, 2015) arată că între 1999 și 2013 numărul studenților care au solicitat statistica și
calculul algebric în curriculumul personal, exprimat în mii persoane a crescut în SUA, de
la 25 la 170 (statistics) respectiv de la 30 la 104 (algebra or algebric calculus). Premisele
identificate rămân pentru ambele domenii disciplinare aceleași: a) aplicabilitate modernă
în aproape toate domeniile de activitate umană dominate de fenomenul big data; b) ideile
fundamentale ale statisticii, inclusiv variabilitatea, dezordinea, legile probabilității, etc.,
sunt accesibile aproape tuturor studenților și absolvenților; c) nevoia ca fiecare absolvent
de liceu, student și absolvent de facultate să poată utiliza raționamente statistice solide
axate pe calcule algebrice riguroase pentru a face față în mod inteligent cerințelor
asigurării unei vieți sănătoase, satisfăcute și productive. De aici apare o coexistență
implicită a statisticii cu algebra, definită prin reciprocitate sau concret prin inter-, transși crossdisciplinaritate și abordare practică prin aplicare multidisciplinară. Consecințele
sunt logice și imediate, fiind deja puse în practică.
Cercetarea în statistică are un impact asupra algebrei si analizei la fel de mare
ca inovațiile datorate teoriei probabilităților, în timp ce algebra si analiza conduc la
îmbunătățirea metodelor statistice (Pons, 2012). Multidisciplinaritatea unificatoare a
algebrei și statisticii conduc la apariția unei noi științe: algebraic statistics. Aceasta
62
există și constă din utilizarea algebrei în a statistici avansate. Algebra a fost și rămâne
utilă pentru design-ul experimental, estimarea parametrilor și testarea ipotezelor. În
mod tradițional, statistica algebrică a fost asociată cu designul experimentelor și analiza multivariată (mai ales a seriilor de timp sau cronologice). În ultimii ani, termenul
“statistică algebrică” a fost uneori limitat, alteori extins, fiind folosit și pentru a defini
utilizarea geometriei algebrice si algebrei comutative în statistică. De altfel existau și
unele tradiții în valorificarea statisticilor algebrice destul de vechi sau aproape seculare. În trecut, statisticienii au folosit algebra pentru statistici avansate în cercetare. Sir
RA Fisher care a folosit grupuri abeliene pentru design experimental și Karl Pearson a
folosit algebra polinomială pentru a studia modelele gaussiene...
Două mari direcții definesc stimulii sau motivatiile majore în statistica algebrică, apărută și dezvoltată în ultimele două decenii. Prima directie a fost descrisă în
lucrarea semnată de Pistone și Wynn (1996) folosind idei pentru baze de date specifice
problematicii designului experimental. Această lucrare a fost doar impulsul din care s-a
născut o întreagă linie de cercetare care a condus în cele din urmă la publicarea unei
cărți privind statistica algebrică semnată de Pistone, Riccomagno, și Wynn (2001), care
abordează ansamblul problemelor din designul experimental. Cealaltă direcție a fost data
de lucrarea lui Diaconis și Sturmfels (1998) privind metodele algebrice de distribuții de
familii exponențiale discrete. Această lucrare a influențat activitatea statistică și a dus la
volumul editat de Pachter și Sturmfels (2005), care s-a axat pe legăturile dintre statistica
algebrică și biologia computatională... Ca urmare statistica algebrică a conturat o știință
distinctă sau mai curând o nouă disciplină în ultimii 15-20 de ani.
Descoperirile recente in statistici algebrice i-au extins domeniul dincolo de statisticile “tradiționale algebrice” care s-au axat pe design experimental, în cinci direcții:
Cele cinci domenii “tradiționale” ale statisticii algebrice
Tabel 1
1. Studiul de modele gaussiene a devenit o parte importantă a statisticilor algebrice.
2. Aspectele sale de calcul (computationale) se bazează pe geometria algebrica numerică și
avansează întrebări statistice cruciale pentru valabilitatea inferenței statistice.
3. În teoria statisticii algebrice de învățare se permite să se studieze statisticile asimptotice
pentru modelele cu variabile ascunse.
4. Stabilirea de modele statistice identificabile devine o parte integrantă a statisticilor algebrice.
5. Există un puternic accent pus pe aplicații ale acestor metode în filogenetică, masini de
învățare, rețele de reacție biochimică, științe sociale, economie și inferență ecologică.
Sursa: The Journal of Algebraic Statistics, prima publicație a noii stiinte deja apărute în ultimii
cinci ani, available at: http://library.iit.edu/jalgstat/
Cele două discipline clasice cu una dintre cele mai lungi istorii din istoria
stiințelor moderne se reunesc in mod aparent neasteptat pentru a forma una dintre cele
mai noi discipline multidisciplinare din taxonomia recentă a secolului XXI.
63
IN LOC DE CONCLUZII SAU PARAFRAZA COMPORTAMENTAL
DEFINITORIE A STATISTICII ALGEBRICE
O lungă perioadă de timp algebra a fost cunoscută numai de oamenii pasionați,
dedicați științei (savanți) și astfel a devenit proverbial atunci când se vorbea despre
un lucru dificil și necunoscut de cineva, sa se foloseasca expresia: asta este algebră
pentru el. Analog statistica a fost nuanțată ca iminent și necesar morală, respectiv a
fost identificată cu o metodă sau un ansamblu de metode care arată ce trebuie văzut și
ascund ceea ce trebuie ascuns din punct de vedere moral, social economic, politic etc.
Devine acum clar că statistica algebrică a devenit deja o nouă moralitate a oamenilor
de știință în fața fenomenului exploziei informaționale denumit simplu big data.
BIBLIOGRAFIE
1. Babără, O., (2005). Gheorghe Asachi, editor de manuale şcolare, Revista Limba
Română, nr 11, anul XV.
2. Berlinski, D., (2013). One, Two, Three.Absolutely Elementary Mathematics, Ed.
Humanitas, București.
3. Descartes, R., (1637). Discours de la methode, Paris.
4. Diaconu, B., (2006). De ce nu ne place matematica, Revista 22, Nr. 856 / 1-7 august, 2006. available at: http://www.romaniaculturala.ro/articol.php?cod=8646.
5. Fienberg, E. (2007), Expanding the Statistical Toolkit with Algebraic Statistics,
Statistica Sinica 17, pp. 1261-1272.
6. Fienberg, S. E. and Rinaldo, A. (2007). Three centuries of categorical data analysis:
log-linear models and maximum likelihood estimation. J. Statist. Plann. Inference
137, 3430-3445.
7. Fienberg, S. E. and Slavkovic, A. B. (2005). Preserving the confidentiality of categorical databases when releasing information for association rules. Data Min.
Knowl. Discov. 11, 155-180.
8. Franklin, C. (2000). Are our teachers prepared to provide instruction in statistics at the K-12 levels? National Council of Teachers of Mathematics Education
Dialogues, 10. [Online: http://www.nctm.org/resources/content.aspx?id=1776 ]
9. Gibilisco, P., Riccomagno, E., Rogantin, M.P., Wynn, H.P. (2009). Algebraic and
Geometric Methods in Statistics, Cambridge University Press, Cambridge.
10. Marcelle, E., (1938). Le prince Cantemir à Paris (1738-1744), Annales de l’Univ.
de Lyon. Sér. 3. Lettres, Paris: Editura Belles Lettres
11. Năstăsescu, C., Niță, C., (1979). Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, Editura
Tehnică, București.
12. Pachter, L. and Sturmfels, B., eds. (2005). Algebraic Statistics for Computational
Biology. Cambridge University Press, New York.
13. Pistone, G. and Wynn, H. P. (1996). Generalised confounding with Gröbner bases. Biometrika, 83, 653-666.
14. Pistone, G., Riccomagno, E. and Wynn, H. P. (2001). Algebraic Statistics:
Computational Commutative Algebra in Statistics, Chapman and Hall, New York.
15. Pons, O.M.-T., (2012). Interactions of statistics and probability with algebra and
analysis, Asia Pacific Mathematics Newsletter, Vol. 2, No 3, pp. 11-14.
16. Rees, M., (2008). Just six numbers. The deep forces that shape the universe,
Orion Publishing Group, trad. Ed. Humanitas, Bucuresti.
64
17. Săvoiu G, Jaško O, Dulanović Ž, Čudanov M& Craciuneanu V, (2008), The
Value of General Methods, Quantitative Techniques and Management Models in
Professionalizing Management. Management – Journal for Management Theory
and Practice, Vol. 13, No. 49-50, pp. 5-11
18. Săvoiu, G. and Dinu, V., (2012). Solutions for the Statistical Analysis of the
Economic Phenomena Described as Opposed, Partially of Entirely Compensated
Fluxes: A Case Study on the Exports and Imports of Romania and the Baltic States.
Transformations in Business & Economics, Vol. 11, No. 1 (25), pp. 54-71.
19. Stokes-Brown, C., (2011). Istoria lumii de la Big Bang până in prezent (Google
eBook), MintRight Inc, Sep 30, 2011
20. Zalsman Usiskin, (2015). The Relationships Between Statistics and Other Subjects
in the K–12 Curriculum, available at http://chance.amstat.org/category/articles/
21. Zalsman Usiskin, (1995). Why is algebra important to learn? American Educator,
vol. 19(1), 30–37.
22. *** MathWiki, Algebra, (2015). available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/
Algebră
23. *** The History of Mathematics, available al http://www.sfu.ca/~rpyke/presentations.html
24. *** Journal of Algebraic Statistics, available at http://library.iit.edu/jalgstat/
25. *** DEX, (2012). available at: https://dexonline.ro/definitie/algebr%C4%83
26. *** Enciclopedia Britannica, (2014). available at: http://www.britannica.com/
biography/al-Khwarizmi
65
A BRIEF HISTORICAL SURVEY OF
ALGEBRA AND ITS MAXIMIZED
STATISTICAL IMPACT ON ALGEBRAIC
STATISTICS
Professor habil. Gheorghe SĂVOIU, PhD
University of Pitești
Professor Sandra MATEI, MA
Secondary School no. 198, Bucharest
Abstract
This paper is written by a statistician and a mathematician, both enthusiasts
of classical algebra and its historical evolution. Beyond the listing of some important
moments, and the highlighting of a number of schools relating to the thought specific
to algebra, the aim of the paper remains the impact of possible, and especially actual,
joint development, exemplifying the coexistence of algebra and statistics, in the
content of a new interdisciplinary solution, located interstitially, and naturally and
called algebraic statistics.
Key words: algebra, statistics, history of algebraic thought, algebraic statistics.
INTRODUCTION
Contemporary algebra is a scientific concept placed between the status of
an independent discipline and that of a component science within the broader range
of mathematics. Algebra is defined both independently, as a theory of operations
concerning real (both positive and negative) or complex numbers, solving equations,
focused on substituting numerical values by letters and identifying the general formula
of particular numerical calculus, and dependently or structurally, as a branch of
mathematics, in which case algebra deals with the study of arithmetic operations
independent of their numerical values, or with the generalizations of arithmetic
operations (DEX, 2012).
Algebra is an essential, indispensable structural component of modern
mathematics derived from arithmetic, as a generalization or extension of the latter,
and its choice field of study is comprised of the rules of mathematical operations
and relations, the concepts derived from them, from polynomials to equations, from
algebraic structures to numbers with special properties. In its millennial approach,
algebra permanently had recourse to numbers, initially contextualizing absolutely
elementary mathematics. All calculations and concepts of absolutely elementary
mathematics were, and still are, governed by the sole act of counting with one, capable
of generating the first positive integers. Exploiting algebraic signs is a difficult and
slow process, although figures certainly appeared long before the alphabet, as the
hexagesimal (Babylonian) systems and the decimal (Chinese) systems were the first
66
essential steps of algebra, over four or five millennia old. More than 1,200 years ago,
the Arabs managed to achieve the unification of figures as we known them today, and
the famous figure zero or nought (0) would travel along the Silk Road for centuries on
end, becoming zephir with the Greeks and definitively entering mathematical calculus
in Europe as late as one millennium ago. The sign of equality (=) appeared 500 years
ago, along with the plus sign (+), whereas negative numbers appear around the year
600, used clearly and widely nearly one thousand years afterwards; all of them paved
the way for an analytical geometry around 1650. It was not until the twelfth century that
people understood that the birth of numbers by counting, or adding 1, actually meant
creating things (Thierry de Chartres), and after four or five centuries the phenomenon
was unstoppable, with the huge leap taken from simple counting 0 → (0 + 1) → [(0
+ 1) + 1] → … to the vital exponential identity xy × xz = x (y + z) that produced the
exponential and logarithmic explosion of the scientific revolution in the seventeenth
century (Berlinski, 2013). Algebra is a collective work, spanning over millennia, as
the work of traders and common people, the work of bankers and accountants, of both
mathematicians and non-mathematicians (statisticians or logicians).
Exaggerating the arithmetic source and the numerologic impact,conceptualizes
algebra as a science of the numbers in the entire universe (Rees, 2008), the major
implication is that both the cosmos and the microcosm can be defined using a
algebraic synthesis, made up of numbers as well, with the sole specification that only
six significant numbers are concerned:
a) two of them, N and ε, referring to the fundamental forces of physics
and chemistry of the universe (N = 1036, i.e. the intensity of the electrical forces
that keep the atoms together, and ε = 0.007, which shows how strong the nuclei are
interconnected, and how atoms formed on the Earth);
b) another two, Ω and λ, determine the size and structure of the vital
universe, indicating the continuity of its existence (Ω, or a decreasing number, which
describes the process of the ratio of the actual density and the critical density, initially
considered almost equal to the unity, and having a current value of only 0.04, which
thus estimates the amount of matter in galaxies, rarefied gas, including “dark” matter,
and λ or the value of antigravity, recorded in a small number approaching zero);
c) the last two, Q and D, characterizing the properties of space itself (Q =
1/100000, or the ratio of two fundamental energies that can liminally lead to either an
inert, structureless universe, or a violent universe, in which nothing could survive, and
D = 3, or the number of spatial dimensions of our world).
The ability to synthesize outer world through numbers, and the talent to
think through numbers and substitute realities for numbers, are the main elements
that defined the first major contributions of algebra to the history of modern science.
Together with geometry, mathematical analysis, combinatorics and number theory,
algebra was one of the main branches of pure mathematics. Algebra remains one of
the multiple areas of modern mathematics together with topology, mathematical logic,
numerical analysis (using computers) and discrete mathematics.
67
FORERUNNERS OF MODERN ALGEBRA, AND ITS
GEOGRAPHIC, TIME OR PRINCIPLE LANDMARKS
The universe of space-time in algebra was generated by the needs and
concerns of civilizations and ordinary people; the position of this science was by no
means contra mundum for millennia on end. Simple problems found equally (and
seemingly) simple solutions within the set of natural numbers or positive integers, in
an amiable manner (Berlinski, 2013), while the first negative numbers and fractions
placed mathematicians in open conflict with the physical world. It was in this way
that algebra began to live with reality, identifying operations with an uncompensated
end, unacceptable in the practice of some money lenders left with loans partially paid,
or rounded the baker’s solutions for slicinga loaf of bread in n parts. The main spacetime areas that developed algebra and brought it to the level of a science that is part
and parcel of modern mathematics are summarized in Box. 1
Forerunners, and geographic-temporal landmarks of modern algebra
Box 1
Classical algebra has existed for over four millennia, being born two millennia BC; the
Babylonians were the first to use algebraic formulas to solve problems, while the Greeks and
the Chinese used for the same purposes only geometric methods. However, the Babylonians
cannot be called the inventors of algebra, though they were certainly important precursors,
because they did not have sufficient time to refine their procedures, or the ability to generalize them and transmit the legacy, although four could solve no less than four unknown
variables. In the same period, Egyptians and Chaldeans were able to solve equations of first
and second degree through verbal operations, which are attested by documents that were
preserved (Berlin papyrus from 1300 BC.). In parallel, ancient Greeks were familiar with the
application of identities, expressed in a geometric forms, proving able to graphically solve
some equations of the third, and even the fourth degrees, through conical intersections. It is
Diophantus, author of Arithmetic, the first mathematical book that was assumed, a character
who lived in ancient Alexandria around 200 AD, than can be identified as first precursor of
modern algebra (he was rightly called the father of algebra). Although he did not formulate a
sole method of solving algebraic equations, Diophantus used for the first time special letters
for operations and numbers, being the initiator of symbolic (algebraic) notation, as well as
the father of indeterminate equations (or Diophantine equations). In the person of Hypatia,
the same Greek culture and science introduces the first woman mathematician of antiquity:
she wrote a commentary on Diophantus’s work, and even extended it, thus becoming the
mother of modern algebra. The contributions of the Indians to algebra are remarkable: the
Treatise authored by Brahmagupta (598-660) was a practical application of mathematics, in
which its author developed several major algebraic formulas, including the linear equation,
the equation of the second degree and undetermined equations, for the first time generating
negative numbers, introducing them into the world of real results. Strictly referring to the
conceptual delimitation, Brahmagupta was confirmedly as the major predecessor of defining
algebra as a science, which was done by Muhammad Al-Khwarizimi (780-850), or Al-Horezmi (whose name was Latinized as Algorithmi). An essential precursor of algebraic thinking in Arabic mathematics, he managed, in two of his books that remaind memorable in the
68
history of algebra, the first published in 825 and entitled The Book of Addition and Subtraction by the Indian Methods (Kitab al-jam’wal tafriq bi hisab al-Hindi), and the second one,
published in 830, Treatise of the Calculation by Completing and Compensation (Al-Kitāb
al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala), to become the father of algebraic algorithms,
through the solutions of generalized computing provided (as his name, slightly deformed in
pronouncing, apparently led to the emergence of the algorithm as a mathematical concept),
as well as the first mathematician who used algebra as a distinctive term. Algebra combines,
through Al-Horezmi, the al-Jabr process of eliminating the negative units, roots and squares
from the equation, by means of artificial addition of identical values on each side of the nodal
equality (e.g. equation x2 = 40x − 4x2 is reduced to 5x2 = 40x), at the same time also using the
al-muqabala through the transfer / bringing quantities of the same type on the same side of
the equation (e.g. x2 + 14 = x + 5 is reduced to x2 + 9 = x). Dixit Algoritmi, as an assessment
of Al-Horezmi’s rigorous and methodical calculation, was a major time landmark, Latinizing and algebraically preserving for eternity the author’s name in the algorithm, as an art to
operate with apparently Arab figures, which in fact has Hindu origins, spreading the HinduArabic numeral system throughout the Middle East and Europe; it thus virtually covered a
unified system of solving generalized problems (unlike Diophantus’s customized approach).
Al-Khwarizimi’s algebraic methods, nay even algebraic solutions, would be successfully
used in modern algebra, as well; it is from them that the contributions of modern mathematicians were clearly deduced, e.g. Gottfried Leibniz’s and George Boole’s, founders of
Boolean algebra. One should not leave out, from this brief historical survey of the emergence
of algebra, the contribution of the Chinese decimal numerical system, the so-called rod numerals, which used distinct symbols for numbers between 1 and 10, and other symbols for
powers of 10, which was already used a few centuries BC, and long before the development of the Indian numerical system. This prolific decimal system allowed representing
large numbers, and calculations could be made through the Chinese counting system (suan
pan). Therefore, from an imaginary fresco of the School of preclassical algebra Diophantus,
Hypathia, Brahmagupta, and Al-Khwarizimi cannot be absent, all under the logo of suan
pan. (Stokes-Brown, 2011). Preclassical algebra, and even classical algebra, finally brought
together a compilation of rules, along with demonstrations, in order to identify solutions to
some linear and quadratic equations, initially via intuitive geometric arguments, and finally
with the help of abstract notation associated with the practical subject.
Modern algebra brought into debate again a number of personalities of Arab mathematics at
the beginning of the second millennium. Thus, Al-Karaji provided, in his treatise Al-Fakhri,
the first demonstration that used the principle of mathematical induction to prove the binomial theorem, Ibn al-Haytham developed number theory, emphasizing the importance of
perfect numbers and initiating connections between algebra and geometry, Omar Khayyam
became one of the actual founders of algebraic geometry, anticipating Descartes’s memorable contribution and amazing effort, Nasir al-Din Tusi developed the concept of algebraic
function, and to their centuries-old efforts were added those of Mahavira Bhaskara II, Indian
mathematician, Al-Karaji, Persian mathematician, and Zhu Shijie, Chinese mathematician,
all having important contributions to solving cubic, quartic, quintic equations by means of
numerical methods. The Renaissance exponentially amplified the development of mathematics, used Arabic numerals and generalized symbolic algebraic notation. Scipione del Ferro
and Niccolò Fontana Tartaglia found the solutions to cubic equations, Gerolamo Cardano,
in his book Ars Magna, published in 1543, made public the solutions to the equations of the
fourth degree, discovered by his student Lodovico Ferrari. Modern algebra gradually stan-
69
dardized the outer quantitative horizon. François Viète (1540-1603) made use of literal formulas to describe, in what became famous formulas, the relations between roots and coefficients, John Neper (1550-1617) invented the concept of logarithm, John Wallis (1616-1703)
invented the concept of a string of rational numbers, Isaac Newton (1642-1727) extended
the binomial formula for rational exponents and provided a method for calculating the approximate values of irrational roots, G. von Leibniz (1646-1716) set out the convergence
criterion of numerical alternating series, Michel Rolle (1652-1719) provided the solution for
the separation of the roots of algebraic equations, James Stirling (1696-1770) conceptualized
the factorial (n!), Gabriel Cramer (1704-1752) invented the determinants, Leonhard Euler
(1707-1783) expanded them and introduced the orthogonal determinant, Étienne Bézout
(1730-1783) eliminated the unknown between two equations, Edward Waring (1734-1798)
identified the polynomial interpolation, Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) established the properties of determinants, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) summarized
the theory of algebraic equations, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) created the rule of
developing determinants in keeping with minors of various orders, Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) formulated the fundamental theorem of algebra and provided the representation
of complex numbers in the plane, William Rowan Hamilton (1805-1865) developed noncommutative algebra and the abstract theory of operations, De Morgan (1806-1871) generated the formal logic of operations, Kummer (1810-1893) created the ideal numbers, and
Clifford (1845-1879) the dual numbers, Cauchy (1789-1857) and van der Waerden (19031996) described the rules of matrix calculation, etc. (MathWiki, Algebra, 2015). The year
1830 is the landmark of the complete maturation of algebra: Évariste Galois’s personality
(1811-1832) and his theory marked the clear delineation of necessary and sufficient conditions for an equation to be solved by resorting to radical (Năstăsescu, Niță, 1979). Modern
algebra after Galois seems seemed to be fully delineated, as communication, hierarchies and
geographical and time landmarks were, at first sight, relatively well concluded (conflicts
of precedence like the Kowa Seki – Leibniz on the paternity of the determinants in solving
systems of linear equations lose their reason in the algebraic world heritage)…
Sources: MathWiki, Algebra, (2015) available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/Algebră
(Stokes-Brown, 2011) and (Năstăsescu, Niță, 1979).
The main landmarks of modern algebra are almost entirely due to René
Descartes (1596-1650), who abstracted and generalized algebraic calculation into its
modern significance, offering algebra and its devotees the satisfaction of limiting the
number of positive roots for an equation. In 1637 René Descartes introduced modern
algebraic notation in his published paper titled La Géométrie, which represented the
advent of analytic geometry.
The principles of algebra were captured in the most elegant manner by
Descartes in his famous Discours de la méthode, as early as 1637. The four principle
axioms, which are apparently purely personal, as they were drafted by Descartes,
seem to meet the requirements of both logic and geometry, but especially of algebra,
once we place them in the profound mathematician’s contra mundum orientation,
which:
1. will accept as true only that which cannot be questioned, i.e. algebraic
proof or demonstration, validated algebraically, is prioritized over the
potentially contradictory demonstrability.
70
2. will divide every issue in as many parts as will be needed to resolve it
correctly, i.e. algebraic decomposition is done according to necessity
dictated by the accuracy of the final aggregate solutions.
3. will present its ideas from the simplest to the most complicated ones, i.e.
the algebraic solving approach follows an ascending order, from simple to
complex, from the singular to the general, from the particular case to the
rule (formula, theorem, theory).
4. will list all the concepts, so that nothing pertinent is omitted, i.e. the
completeness of conceptual assumptions ensures the generality of the
approach of algebraic demonstration (Descartes, 1637).
Morality, addressed as compliance to laws (algebra theory) and cultivation of
reason and rationality in application of algebra, along with thought and meditation as
an existential approach, not only philosophical, but also algebraic (cogito, ergo sum)
are the major conceptual derivatives of Cartesian principle-based orientation.
The history of algebra in Romania is much more recent, more didactic, and
especially subject to adverse temporality and impermanence, as well as repressive,
nay even unprincipled territoriality. The first evidence of the use of algebra, and the
concept itself, occurred in the 1729 volume Satire authored by Antioh Cantemir, the
son of Prince Dimitrie Cantemir: Antioh Cantemir allegedly translated a book on
Newton into Russian, and even wrote an algebra book, again in Russian, which was
left in manuscript form (Marcelle, 1938):
Satire I (excerpt)
“We don’t have any need for Euclid’s science,
To divide the land into portions and lots,
And can go without algebra to know how many farthings go in a leu.
Sylvan loves only that knowledge which
Multiplies the income, as th’expense decreases;
If the money purse doesn’t get any bigger, then there is no use in all that,
But only foolishness to society…”
Most of the opinions published in this country claim that the first algebra
textbook would have been authored by Gheorghe Asachi, who wrote, edited and published several didactic books in the mathematical register (Babără, 2005): Elements
of Mathematics, Part I, Arithmetic (1836), Part II, Algebra (1837), Part III, Basic
Geometry (1838), Elements of Mathematics (1843), Elements of Arithmetic (1848).
In 1870 the translation of Cursu elementaru de algebră (A Coursebook in
Elementary Algebra) appears in Romania, authored by Franz Mocnik, and in 1900
B. Ionescu published Tratatul de algebră elementară pentru școalele secundare după
noua programă (An elementary Algebra Treatise for Secondary Schools in keeping
with the New Curriculum), and Al. Manicatide published his Manualul de algebră
elementară (A Handbook of Elementary Algebra), as an alternative manual. In both
its substance and its topics, Al. Manicatide’s textbook did not significantly differ from
that of Franz Mocnik, and it kept being reprinted until 1941, when N. Abramescu’s
71
version appeared, to be replaced, in 1950, by another algebra textbook, translated
from Russian and unsigned, where the single major point of novelty was the introduction of combinatorial analysis. The symptoms of the paradigm of algebra in the
methodology of teaching mathematics in the Soviet style were mainly that algebra lost
its connection with the essence of classical and modern algebra by: its a-historical
character (removing algebra from its historical context), discipline-wise confinement,
excessive abstraction and formalization, mechanization of the process of solving algebra problems, according to the criterion More and faster, virtually identified with
better in algebra (Diaconu, 2006). The great Romanian mathematicians and academics were significantly involved in supporting teaching mathematics in secondary
and high-school education, though many of them, due to their inherent specialization,
only published books for students or textbooks.
Thus, a particular example is that of Traian Lalescu (1882-1929), who published valuable didactic books, among which, in 1924, Calculul algebric (Algebraic
Calculation), or Grigore Moisil (1906-1973), in his 1954 book Introducere în algebră
(Introduction to Algebra), etc. Gheorghe Ţiţeica (1873-1939), another exemplary mathematician, founded, together with Dimitrie Pompeiu (1873-1954), the Mathematica
journal, and participated, with Ion Ionescu, Andrei Ioachimescu and Vasile Cristescu,
to the founding (in 1895) and development of the prestigious Romanian journal
Gazeta matematică (Mathematical Gazette). The first more realistic textbook in analysis, and therefore in modern algebra, in the postwar period, was published as late
as 1968, disclosing enough algebra under the title Elemente de analiză matematică
si mecanică (Elements of Mathematical Analysis and Mechanics), by academician
Caius Iacob (1912-1992), renamed Elemente de analiză matematică – pentru anul IV
de liceu (Elements of Mathematical Analysis, for the Fourth Year of High School) in
1974, a book that alaso focused on algebra and, for the first time, provided a relative
synchronisation with the pedagogical approach of European mathematics, and confirmed a split between mathematics and physical sciences in Romania. The structural,
impactive approach attempted by Gheorghe Asachi’s algebra can still be detected,
however, after a century and a half, in 1989, when they taught algebra together with
arithmetic in the same manual for the sixth grade of the middle school.
Contemporary algebra has become increasingly extensive, and brings together:
i) elementary / classic algebra, where the presentation of the properties of
real numbers resorts to symbols, identifying differently constants and variables, while emphasizing the study of mathematical expressions and equations;
ii) abstract / modern algebra, which studies algebraic structures (groups,
rings, bodies);
iii) linear algebra, devoted to vector spaces and matrixes;
iv) universal algebra, analyzing properties that are common to all algebraic
structures);
v) algebraic number theory, which studies the properties of numbers and
applies results from number theory;
72
vi) algebraic geometry or applications of algebra in geometry.
vii) combinatorial algebra, bringing together the methods of abstract algebra, applied to matters of combinatorial analysis, etc.;
viii) algebra of logic, or linguistic algebra, where the three basic operations
are and, or and non, which was practically invented by George Boole
(1815-1864), etc.
The new technologies, computers and specialized computer software packages
have amplified, in modern algebra, too, its involvement in research, and especially simplified its methods and reduced its stages. As a natural consequence, new areas of mathematics and algebra were constantly developed; some relatively handy examples are the theory
of calculability of Alan Turing, the complexity theory, the information theory, initiated
by Claude Shannon, the theory of signal processing, data mining and optimization, etc.
The incredibly high speed of data processing and the performance resulting from time
predictions by computers have enabled a new approach to problems of algebra otherwise
restricted by their huge amount of data, which used to be impossible to solve promptly,
and yet are today but natural in point of real-time calculation, and thus new algebraic areas
of study were generated, such as numerical analysis and symbolic computation…
CONTEMPORARY COEXISTENCE AND ASSOCIATION OF
ALGEBRA AND STATISTICS
Based on the process of acquiring information on the principle of reducing
information that are useful with regard to theri share, in the context of today’s information explosion, and also on the need for inter- and transdisciplinary knowledge, the
authors have identified at least ten arguments for a new cohabitation or coexistence of
statistics and algebra, more complex and adapted to the needs of modern reality (be
they economic, or social, educational, cultural, etc.):
I. The specific variable, simultaneously algebraic and statistical (discrete,
continuous, etc.), including variables and characteristic variation;
II. Similar sets, groups and associations;
III. Coincidence of some of the conditions posed by Yule and Kendall for
average indicators and their simultaneously algebraic and statistical
selection in descriptive and algebraic analyses (algorithm of quick and
easy calculation, existence of a formula of algebraic calculus and the
condition for it to lend itself to algebraic calculations, and an increasingly
clear and accurate algebraic definition);
IV. The expanding universe of Cartesian graphs and algebraic and statistical
charts;
V. Dispersion and the rule of adding dispersions as a starting point in
dispersion or variance and in purely algebraic analyses of determination;
VI. The quick and easy transfer of classical variables into binary variables,
and resorting to the mean value and the (Boolean) dispersion of binary
variables;
VII. Regression, correlation and association of variables (which is
73
simultaneous algebraic and statistical);
VIII. Extrapolation in the time series and the typology of classical algebraic
progressions;
IX. Non-random surveys (e.g. quotas, layered, etc.) and random surveys,
compared to algebraic calculation algorithms;
X. Ranking methods and algebraic sets of associated numbers, etc.
Some recent trends in the curriculum of US universities identify an accelerating
trend of preference for algebra and statistics at the same time. The tendency itself is called
“Algebra for all” & “Statistics for all” (Zalsman Usiskin, 2015) and get closer, between
them and to the center of the curriculum, statistics and algebra, in accordance with the
choice of the students and the pressures of reality caused by the increased volume of
data required to make decisions, to understand, diagnose, teach, test, validate, evaluate,
compete, create, innovate, build, substitute, etc. The relationships between statistics,
mathematics (underlying algebra) and a lot of other subjects in the academic curriculum
can be synthetically described, or at least suggested, through a graph, assembled or
aggregated, of the main fields of academic education (Figure 1)
Association and and focus on statistics and algebraic calculus, as
demanded by students in American universities
Fig. 1
Sources: (Zalsman Usiskin, 1995; 2015
A growing number of US students chose and passed the examination of statistics
74
and algebraic calculus in a growing range of universities all over the academic education
in the US, which requires the presence of the discipline of statistics in K12 – curriculum
(the major cause that can be deduced is the Big Data phenomenon). The statistics (Zalsman
Usiskin, 2015) show that between 1999 and 2013 the number of students who have
applied for statistics and algebraic calculation in their personal curriculum, expressed in
thousands, rose, in the US, from 25 to 170 (statistics), and from 30 to 104 (algebra or
algebraic calculus). The premisses that could be identified for both subject areas remain the
same: a) modern application in almost all fields of human activity dominated by the Big
Data phenomenon; b) the fundamental ideas of statistics, including variability, disorder,
the laws of probability, etc., are available to almost all students and graduates; c) the need
for every high-school student, undergraduate and college graduate to be able to use sound
statistical reasoning focused on rigorous algebraic calculations in order to intelligently cope
with the requirements to ensure a healthy, satisfied and productive life. Hence the implicite
coexistence of statistics and algebra, defined by reciprocity or, in a concrete manner, by inter-,
trans- and cross-disciplinarity, and practically, through the multidisciplinary approach. The
consequences are logical and immediate, and they have already been put into practice.
Research in statistics has an impact on algebra and mathematical analysis, which is as notable as the innovations due to the probability theory, while algebra and analysis conduce to improved statistical methods (Pons, 2012). The unifying multidisciplinarity of algebra and statistics lead to the emergence of a new science: algebraic statistics. It
already exists, and consists in using algebra for advanced statistics. Algebra has been, and
remains useful for experimental design, parameter estimation and hypothesis testing.
Traditionally, algebraic statistics was associated with experimental design
and multivariate analysis (especially that of time series or chronological series). In
recent years, the sense of the term algebraic statistics was sometimes limited, and
at other times expanded, being also used to define the use of algebraic geometry and
commutative algebra in statistics. Moreover, there had been some traditions in using
algebraic statistics, going back a fairly logn way in time, some nearly century-old.
In the past, statisticians used algebra to amke advanced statistics in research, e.g. Sir
R.A. Fisher, who used Abelian groups for experimental design, and Karl Pearson, who
used polynomial algebra to study Gaussian models…
Two main directions define the major stimuli or motivations in algebraic
statistics, which emerged and developed in the last two decades. The first one was
described in a book by Pistone and Wynn (1996), using ideas for databases specific
to the range of issues of experimental design. This book was only the impulse that
generated a whole line of research, which eventually led to the publication of a book
on algebraic statistics authored by Pistone, Riccomagno and Wynn (2001), addressing
all the issues of experimental design. The other direction was traced by the book of
Diaconis and Sturmfels (1998) on algebraic methods of distribution of discrete exponential families. This work influenced statistical work and led to the volume edited by
Pachter and Sturmfels (2005), which focused on the relationships between algebraic
statistics and computational biology… Consequently, algebraic statistics outlined a
distinct science, or rather a new discipline in the last 15-20 years.
75
Recent advances in algebraic statistics have extended its field beyond the
field of the ‘traditional Algebraic Statistics’, which focused on experimental design,
in five areas:
The five ‘traditional’ areas of the Algebraic Statistics
Table no. 1
1. The study of Gaussian models has become an important part of algebraic statistics.
2. Its aspects of computing (i.e. computational aspects) are based on numerical algebraic geometry and put forth statistical questions crucial to the validity of statistical inference.
3. In the theory of learning algebraic statistics it is permitted to study asymptotic statistics for
models with hidden variables.
4. Establishing identifiable statistical models becomes an integral part of algebraic statistics.
5. There is a strong emphasis on applications of these methods to phylogenetics, learning and
teaching machines, biochemical reaction networks, social sciences, economics and ecological
inference.
Source: The Journal of Algebraic Statistics, the first publication of the new science, already
appeared in the last five years, available at: http://library.iit.edu/jalgstat/
The two classical disciplines having seen one of the longest histories in the history of modern science come together, in an apparently unexpected manner, to form one
of the newest multidisciplinary disciplines in the recent taxonomy of the 21st century.
INSTEAD OF CONCLUSIONS, OR A PARAPHRASE FOR
DEFINING THE BEHAVIOUR OF ALGEBRAIC STATISTICS
Algebra was long known only by devotees, or people dedicated to science (i.e.
scholars), and thus it became a by-word: when talking about something difficult and
unknown to anyone, one would use the idiom this is algebra to him. Analogously, the
scientific discipline of statistics was nuanced as imminently and necessarily moral, i.e. it
was identified with a method or a combination of methods that show what must be seen
and what should be concealed from a moral, social, economic, political, etc. point of
view. It now becomes clear that algebraic statistics has already become a new morality of
scientists faced to the phenomenon of information explosion, called simply big data.
REFERENCES
1. Babără, O., (2005). Gheorghe Asachi, editor de manuale şcolare, Revista Limba
Română, nr. 11, anul XV.
2. Berlinski, D., (2013). One, Two, Three.Absolutely Elementary Mathematics, Ed.
Humanitas, București.
3. Descartes, R., (1637). Discours de la methode, Paris.
4. Diaconu, B., (2006). De ce nu ne place matematica, Revista 22, Nr. 856 / 1-7 august, 2006. available at: http://www.romaniaculturala.ro/articol.php?cod=8646.
5. Fienberg, E. (2007), Expanding the Statistical Toolkit with Algebraic Statistics,
Statistica Sinica 17, pp. 1261-1272.
76
6. Fienberg, S. E. and Rinaldo, A. (2007). Three centuries of categorical data analysis:
log-linear models and maximum likelihood estimation. J. Statist. Plann. Inference
137, 3430-3445.
7. Fienberg, S. E. and Slavkovic, A. B. (2005). Preserving the confidentiality of categorical databases when releasing information for association rules. Data Min.
Knowl. Discov. 11, 155-180.
8. Franklin, C. (2000). Are our teachers prepared to provide instruction in statistics at the K-12 levels? National Council of Teachers of Mathematics Education
Dialogues, 10. [Online: http://www.nctm.org/resources/content.aspx?id=1776 ]
9. Gibilisco, P., Riccomagno, E., Rogantin, M.P., Wynn, H.P. (2009). Algebraic and
Geometric Methods in Statistics, Cambridge University Press, Cambridge.
10. Marcelle, E., (1938). Le prince Cantemir à Paris (1738-1744), Annales de l’Univ.
de Lyon. Sér. 3. Lettres, Paris: Editura Belles Lettres
11. Năstăsescu, C., Niță, C., (1979). Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, Editura
Tehnică, București.
12. Pachter, L. and Sturmfels, B., eds. (2005). Algebraic Statistics for Computational
Biology. Cambridge University Press, New York.
13. Pistone, G. and Wynn, H. P. (1996). Generalised confounding with Gröbner bases. Biometrika, 83, 653-666.
14. Pistone, G., Riccomagno, E. and Wynn, H. P. (2001). Algebraic Statistics:
Computational Commutative Algebra in Statistics, Chapman and Hall, New York.
15. Pons, O.M.-T., (2012). Interactions of statistics and probability with algebra and
analysis, Asia Pacific Mathematics Newsletter, Vol. 2, No 3, pp. 11-14.
16. Rees, M., (2008). Just six numbers. The deep forces that shape the universe,
Orion Publishing Group, trad. Ed. Humanitas, Bucuresti.
17. Săvoiu G, Jaško O, Dulanović Ž, Čudanov M& Craciuneanu V, (2008), The
Value of General Methods, Quantitative Techniques and Management Models in
Professionalizing Management. Management – Journal for Management Theory
and Practice, Vol. 13, No. 49-50, pp. 5-11
18. Săvoiu, G. and Dinu, V., (2012). Solutions for the Statistical Analysis of the
Economic Phenomena Described as Opposed, Partially of Entirely Compensated
Fluxes: A Case Study on the Exports and Imports of Romania and the Baltic States.
Transformations in Business & Economics, Vol. 11, No. 1 (25), pp. 54-71.
19. Stokes-Brown, C., (2011). Istoria lumii de la Big Bang până in prezent (Google
eBook), MintRight Inc, Sep 30, 2011
20. Zalsman Usiskin, (2015). The Relationships Between Statistics and Other Subjects
in the K–12 Curriculum, available at http://chance.amstat.org/category/articles/
21. Zalsman Usiskin, (1995). Why is algebra important to learn? American Educator,
vol. 19(1), 30–37.
22. *** MathWiki, Algebra, (2015). available at: http://ro.math.wikia.com/wiki/
Algebră
23. *** The History of Mathematics, available al http://www.sfu.ca/~rpyke/presentations.html
24. *** Journal of Algebraic Statistics, available at http://library.iit.edu/jalgstat/
25. *** DEX, (2012). available at: https://dexonline.ro/definitie/algebr%C4%83
26. *** Enciclopedia Britannica, (2014). available at: http://www.britannica.com/
biography/al-Khwarizmi
77
Unele aspecte privind extensia testelor
Edgeworth la restricţiile non-liniare
Prof. univ. dr. Alexandru MANOLE
Drd. Georgiana NIŢU
Abstract
Acest articol prezintă unele elemente referitoare la aplicarea testelor
Edgeworth asupra restricţiilor non-lineare. Autorii se concentrează asupra regresiei
lineare cu ipoteze non-liniare, alegerea variantei şi a matricei de ponderi. Se are
în vedere faptul că popularitatea testelor Wald este contrabalansată de lipsa de
invarianţă la modelarea ipotezelor.
Cuvinte cheie : teste Edgeworth, linear, ipoteză, restricţie, model
Introducere
Testul Wald este un test popular, mai ales datorita faptului ca este usor de
calculat. Insa, s-a demonstrat ca testul Walt nu reprezinta cea mai buna alegere in
cazul testarii ipotezelor neliniare, cel mai frecvent motiv mentionat find acela ca
statistica Walt nu este invarianta la formularea algebrica a ipotezei.
Anghelache et. al. (2013), Anghelache şi Anghel (2015) se preocupă de
aplicarea regresiei în analize economice. Diferite aspecte referitoare la testele Wald
au fost studiate şi de Kejriwal et. al. (2013), Qihui şi Yu (2013).
Park si Philips (1988) au demonstrat ca, coeficientii de expansiune Edgeworth
a statisticii Wald depind de formulare. Pe de alta parte, Newey si West (1987) au
propus metoda generalizata de momente (GMM) a distantei pentru ipoteze nonliniare.
Astfel, in contextul regresiei liniare, statistica lor este functia GMM evaluata la
estimari restranse. Iar cand ipoteza este o restricitie liniara asupra parametrilor, atunci
testul lor corespunde statisticii Wald. Cand ipoteza este nonlineara cele doua statistici
difera.
Statistica de distanta GMM este invarianta la formularea algebrica a ipotezei
si este robusta la hereroscedasticitate, contrar ratei de probabilitate.
Nu se cunosc foarte multe despre comportamentul statisticii GMM iar acest
capitol incearca sa aduca mai multe informatii prin extinderea statisticii GMM in
cazul considerat de Park si Philips (1988), prin utilizarea matricii explicite la extinderi
Edgeworth initiate de Park si Philips (1988), impingand abordarea lor mai departe,
utilizand formulele de matrice explicite pentru toate expresiile noastre, ceea ce va
permite realizarea de comparatii intre statistici.
78
Rezultatul gasit este acela ca extinderea Edgeworth pentru statistica GMM
este o simplificare stricta a statisticii Wald.
Regresia liniara cu ipoteza nonliniara
Modelul este o regresie liniara de forma:
Fie
valoarea reala a lui
H1
Obiectivul este testarea ipotezei nonliniare, prin testarea ipotezei H0 fata de
unde
Fie
(1)
estimatorul lui
calculat prin metoda celor mai mici patrate (OLS)
si
(2)
estimatorul covariantei matricei , unde
– estimator al
.
Testul statistic pentru H0 este testul Wald, insa principala slabiciune a acestui
test o reprezinta faptul ca nu este invariant la formularea ipotezei g.
Alt test aplicat este functia criteriu GMM pentru modelul de regresie:
Estimatorul nerestrictiv GMM minimizeaza
,
, adica
â
si este identic cu estimatorul OLS.
Estimatorul GMM minimizeaza
Testul
statistic
de
distanta
in functie de conditia (1).
Newey-West
este
reprezentat
de
(4)
Acest test are mai multe avantaje fata de testul Wald, printre care si faptul ca
este invariant la formularea ipotezei (1).
79
Alegerea variantei si a matricei de ponderi
Statisticile depind de alegerea lui
. Statistica Wald este calculata din
estimarile nerestrictive ale lui
O alegere pentru
este estimatorul Eicker-White
(5)
=
.
O alegere alternativa este estimatroul OLS
(6)
care este valida sub presupunerea conditiei de heteroscedasticitate.
.
O alta alternativa ar fi calcularea matricii de greutati sub ipoteza nula, ceea
ce presupunea GMM reiterat.
Extinderi Edgeworth
Obiectivul acestei sectiuni este acela de a utiliza argumentul extinderii pentru
a demonstra ca statistica GMM are o aproximare Edgeworth la distributia chi-patrat
superioara statisticii Wald.
Pornind de la Park si Philips (1988), derivam extinderea presupunand ca
si
, asadar
.
Presupunem ca
este de trei ori continuu diferentiabila
,
,
,
Fie
,
si
Definim matricele de proiectie
Acestea sunt definite daca
, conditie standard pentru testarea
ipotezei.
Fie
functia de distributie cumulativa (CDF-cumulative distribution
function) a lui W, si fie
80
functia lui DM si F functia CDF a distributiei
.
Teorema 1 Extinderea asimptotica a lui W cand
este data de
(7)
unde
si
Teorema 2 Extinderea asimptotica a lui DM cand
este data de
,
(8)
unde
este definit in Teorema 1.
Expresia (7) ofera un set de expresii mai compact pentru coeficientii , ,
care permite o comparatie directa cu expesia statisticii GMM. Expresia (8) pentru
DM pare sa fie noua.
Implicatii ale teoremelor 1.1 si 1.2.
- Extinderea statisticii GMM este o simplificare stricta a statisticii Wald.
extinderea statisticii GMM este mai putin distorsionata fata de
chi-patrat, decat este fara de statistica Wald.
- Expresia (8) arata ca este necesara doar o ajustare pentru a atinge aproximarea
la distributia chi-patrat.
- Invarianta
a formularii (1) este in general adevarata.
Concluzie
Am extins abordarea matricei explicite la extinderile Edgeworth dezvoltate
de Park si Philips (1988), am extins expansiunea Edgeworth pentru statistica Wald
si am dezvoltat o noua extindere pentru statistica GMM. Limitarea rezultatelor o
reprezinta faptul ca au fost calculate pentru stabilirea restrictive a regresiei normale
cu eroare stiuta a variantei.
Raportul simularii a aratat o performanta aproape perfecta a statisticii
.
Bibliografie
2. Anghelache G.V., Anghelache C., Baltac A.G., Prodan L. (2013) - „Non-linear
Regression used in Economic Analysis”, Romanian Statistical Review, Supplement
no. 1/2013, pp. 7-18
3. Kejriwal, M. et. al. (2013) – „Wald Tests For Detecting Multiple Structural Changes
In Persistence”, Econometric Theory, Volume (Year): 29 (2013), Issue (Month): 02
(April), pp. 289-323
81
4. Newey W.K., West K.D. (1987) – „Hypothesis Testing with Efficient Method of
Moments Estimation”,International Economic Review, Volume (Year): 28 (1987),
Issue (Month): 3 (October), pp. 777-87
5. Newey W.K., McFadden D. (1986) – „Large sample estimation and hypothesis
testing”, in R. F. Engle & D. McFadden (ed.), 1986. “Handbook of Econometrics,”
Handbook of Econometrics, Elsevier, edition 1, volume 4, number 4, September.
6. Phillips P. C. B., Park Joon Y. (1988) – “On the Formulation of Wald Tests of
Nonlinear Restrictions”, Econometrica, Vol. 56, No. 5 (Sep., 1988), pp. 10651083
7. Qihui C., Yu R. (2013) – “Improvement in finite-sample properties of GMM-based
Wald tests”, Computational Statistics, Volume (Year): 28 (2013), Issue (Month): 2
(April), pp. 735-749
82
SOME ASPECTS REGARDING THE
EXTENSION OF EDGEWORTH TEST TO
NONLINEAR RESTRICTIONS
Prof. Constantin ANGHELACHE PhD.
Bucharest University of Economic Studies, „Artifex” University of Bucharest
Prof. Alexandru MANOLE PhD.
Assoc. Prof. Mădălina Gabriela ANGHEL PhD.
Georgiana NIŢU PhD. Student
Bucharest University of Economic Studies
Abstract
This paper presents the most important elements of the Edgeworth tests
applied to non-linear restrictions. Following a brief introduction, the authors develop
on the linear regression with non-linear hypothesis, the variant choice and weight
matrix. The authors take into consideration the fact that the popularity of the Wald test
is counterbalanced by is lack of invariance to hypothesis modeling.
Key words: Edgeworth test, linear, hypothesis, restriction, model
Introduction
Wald test is a popular one, especially due to the fact that is easy to calculate.
But, it was proven that Wald test does not represent the best choice in case of nonlinear hypotheses, the most frequent mentioned motive being that Walt statistics is not
invariant to the algebraic formulation of hypothesis.
Anghelache et. al. (2013), Anghelache and Anghel (2015) develop on the
application of regression in economic analyses. Various aspects of Wald tests were
studied by Kejriwal et. al. (2013), Qihui and Yu (2013). Park and Philips (1988)
have demonstrated that Edgeworth expansion coefficients of Walt statistics depend
on formulation. On the other way, Newey and West (1987) have suggested the
generalized method of moments (GMM) for the distance of non-linear hypotheses.
Thus, in the context of linear regression, their statistics is GMM function evaluated to
restrained hypotheses. And when the hypothesis is a linear restriction over parameters,
then their test corresponds to Walt statistics. When the hypothesis is non-linear, the
two statistics are different. Statistics of distance generalized method of moments is
invariant to the algebraic formulation of hypothesis and is robust to heteroskedasticity,
contrary to probability rate. There is little known about the GMM statistics behavior
and this chapter tries to bring more information by GMM statistics extension in the
case considered by Park and Philips (1988), by using explicit matrix to Edgeworth
extensions initiated by Park and Philips (1988), pushing forward their approach, using
explicit matrix formula for all our expressions, which allows comparisons between
statistics.
83
The result is that the extension of Edgeworth for GMM statistics is strictly
simplifying Wald statistics.
Linear regression with non-linear hypothesis
The model is a linear regression of the following form:
yi= x’iβ + ei
E (xi ei )= (), i =1,…,n, where xiand β are each Kx1. Be β0the real value of β
The objective is testing the non-linear hypothesis, by testing hypothesis
H0versus H1:
H0:g(β)=0
H1:g(β)≠0,
where g:Rk→R
(1)
Be the estimator of β calculated using the method of the smallest squares
(OLS)
= (X’ X)-1(X’ Y)
and
Vn= (X’ X)-1Ωn (X’ Y)-1
(2)
which is the estimator of covariant
matrix, where Ωn– estimator of E
(xix’iei2).
The statistic test for H0 is Wald test, but the main weakness of this test is that
is not invariant to g hypothesis formulation.
Other applied test is GMM criteria function for the regression model:
J (β) = (Y-Xβ)’ XΩn-1X’ (Y- Xβ)
The non-restrictive estimator GMM minimizes J (β), β Rk, that is
=argmin J (β) = (X’X)-1(X’Y)
β Rk
and is identical to estimator OLS. J( = 0
GMM estimator minimizes J (β) regarding condition(1).
= argmin J (β)
g(β)=0
Newey-West statistics of distance test is represented by DM = J ( ) - J ( ) (4)
This test has more advantages than Wald test, among which, the fact that is
invariant to hypothesis formulation (1).
The variant choice and weight matrix
Statistics depend on Ωnchoice. Wald statistics is calculated from unrestricted
estimations of
A choice for Ωn is Eicker-White estimator:
(5)
=
84
.
An alternative choice is OLS estimator
(6)
which is valid under the assumption of heteroscedasticity condition.
.
Another option would be the calculation of matrix of weights under null
hypothesis, which implies a reiterated GMM.
Edgeworth expansions
The objective of this presentation is to use the argument of expansion in
order to demonstrate that GMM statistics has Edgeworth approximation for
of
Wald superior statistics.
Starting from Park and Philips (1998), we derive the expansion assuming
that
and
, therefore Ωn=nIn
So Ωn=nIn
We assume that g(β) is three times continuum differentiable
,
,
,
Let us assume that
,
And
We define the projection matrixes by the relation:
These are defined if G’G>0, standard condition for testing the hypothesis.
Let us consider FW, the cumulative distribution function of W, and FDM the
function of DM and F the CDF function of χ2 distribution.
The asymptotic expansion of W when n →∞ is given by
(7)
Where
85
and
(8)
The asymptotic expansion of DM when n →∞ is given by
Where 1 is defined in Theorem 1.
Relation (7) offers a set of a more compact relations, for coefficients 1, 2,
which
allow a direct comparison with GMM statistics expression. Relation (8) for
3
DM has a new significance:
- The expansion of GMM statistics is a strict simplification of Wald
statistics. O(n-1) the expansion of GMM statistics is less modified than χ2
in comparison to Wald statistics
- Relation (8) shows that just an adjustment is necessary to reach the
approximation O2(n-1) at χ2 distribution
- The invariant
1 of formulation (1) is generally true.
Conclusion
I extended the approach of explicit matrix to Edgeworth extensions developed
by Park and Philips (1998), I extended the Edgeworth expansion for Wald statistics and
I developed a new expansion for GMM statistics. The results limitation is represented
by the fact that they were calculated for the restrictive solution of normal regression
with a known error of the variant. The simulation report showed an almost perfect
performance of DMnull statistics.
References
2. Anghelache G.V., Anghelache C., Baltac A.G., Prodan L. (2013) - „Non-linear
Regression used in Economic Analysis”, Romanian Statistical Review, Supplement
no. 1/2013, pp. 7-18
3. Kejriwal, M. et. al. (2013) – „Wald Tests For Detecting Multiple Structural Changes
In Persistence”, Econometric Theory, Volume (Year): 29 (2013), Issue (Month): 02
(April), pp. 289-323
4. Newey W.K., West K.D. (1987) – „Hypothesis Testing with Efficient Method of
Moments Estimation”,International Economic Review, Volume (Year): 28 (1987),
Issue (Month): 3 (October), pp. 777-87
5. Newey W.K., McFadden D. (1986) – „Large sample estimation and hypothesis
testing”, in R. F. Engle & D. McFadden (ed.), 1986. “Handbook of Econometrics,”
Handbook of Econometrics, Elsevier, edition 1, volume 4, number 4, September.
6. Phillips P. C. B., Park Joon Y. (1988) – “On the Formulation of Wald Tests of
Nonlinear Restrictions”, Econometrica, Vol. 56, No. 5 (Sep., 1988), pp. 1065-1083
7. Qihui C., Yu R. (2013) – “Improvement in finite-sample properties of GMM-based
Wald tests”, Computational Statistics, Volume (Year): 28 (2013), Issue (Month): 2
(April), pp. 735-749
86
Studiu comparativ în estimarea preţului
Volkswagen: ARIMA versus ANN
Florin Dan PIELEANU
Academia de Studii Economice București
Abstract
Tehnicile multiple utilizate în încercarea de predicție a prețurilor viitoare ale
titlurilor financiare se împart în general în două categorii: tehnici statistice și tehnici
de “soft computing”. În prima categorie, sunt incluse modelele ARIMA (autoregressive
integrated moving average) și GARCH (generalized autoregressive conditional
heteroskedasticity), iar cel dintâi va fi folosit în articolul de față. Cele mai importante
modele din categoria secundă sunt rețelele neurale artificiale - ANN, iar un astfel de
model va fi comparat cu ARIMA, pentru a vedea care dintre cele două performează mai
bine în dorința de a estima cursul viitor al companiei Volkswagen. Este notoriu faptul
că această companie a fost implicată recent într-un scandal care i-a afectat valoarea
acțiunilor. Datele utilizate sunt cursuri zilnice pe un interval de 4,5 ani, iar obiectivul
principal al articolului este încercarea de previzionare a cursului companiei pentru
următorul semestru (al doilea al anului 2015). Ulterior se poate observa care dintre
modele a fost mai exact, prin comparația cu prețurile reale. Concluzia va confirma sau
infirma superioritatea unuia dintre modele asupra celuilalt.
Cuvinte-cheie: ARIMA, ANN, estimare, comparativ, technică
Introducere
Tehnicile principale utilizate în încercările de predicţie a cursurilor titlurilor
financiare de pe diverse şi multiple pieţe se împart în mod general în două categorii: tehnici
statistice şi tehnici de “soft computing”. Cele din urmă sunt metode care folosesc soluţii
inexacte pentru a încerca să rezolve probleme pentru care nu există un algoritm cunoscut.
Ele tolerează aproximările, incertitudinea şi adevărurile parţiale. Câteva exemple de astfel
de tehnici sunt: reţelele neurale (neural networks), fuzzy logic, support vector machines şi
altele. Soluţiile oferite de acestea sunt impredictibile şi se pretează foarte bine în cazurile
în care nu există suficiente informaţii despre problema de rezolvat.
Tehnicile statistice includ procese de tip ARIMA (autoregressive
integrated moving average) sau GARCH (generalized autoregressive conditional
heteroskedasticity). ARIMA (cunoscut deasemenea sub numele de modelul BoxJenkins) este destul de utilizat în diverse tentative de previzionare, fiind considerata
una dintre cele mai eficiente tehnici în acest sens. Ea se bazează pe valorile din trecut
ale seriei, şi pe valorile ei reziduale, şi nu presupune vreo relaţie de bază, precum
alte modele. ARIMA se dovedeşte un model robust, cu rezultate satisfăcătoare, în
principal pe termen scurt şi mediu.
Reţelele neurale artificiale (ANN – artificial neural networks) reprezintă
o tehnică de “soft computing” considerată deasemenea foarte eficientă pentru
87
previzionarea valorilor unei variabile, fie că aceasta ţine de probleme sociale, de
inginerie, de finanţe, de economie sau de schimb valutar. Câteva atribute, precum
independenţa faţă de multe ipoteze, capacitatea mare de adaptare şi gradul bun de
generalizare, fac din ANN o metodă atractivă pentru practicieni sau cercetători. În
acelaşi timp, ANN se dovedeşte capabil de a furniza soluţii pentru probleme nonliniare (precum cele din lumea reală), în opoziţie cu modelele tradiţionale (printre care
şi ARIMA), care presupun că seriile sunt generate din procese liniare.
Acest articol studiază şi compară performanţele celor două tehnici eficiente
diferite – ARIMA şi ANN – într-un caz particular de predicţie a valorii acţiunilor unei
companii (în speţă Volkswagen), pentru a infirma sau confirma opiniile contradictorii
care susţin superioritatea unuia dintre cele două modele asupra celuilalt.
Recent, grupul auto german a fost acuzat că a utilizat un soft care i-a
permis să manipuleze testele de emisii, pentru a raporta cifre mai mici decât cele
reale. Ca urmare a acestui scandal, preţul acţiunilor Volkswagen a cunoscut o scădere
semnificativă în perioada august-septembrie 2015, după ce înregistrase la începutul
aceluiaşi an o creştere faţă de anii precedenţi.
Restul articolului est organizat după cum urmează: secţiunea 2 prezintă
câteva articole înrudite, în timp ce secţiunea 3 pune în evidenţă metodologia utilizată
în analiza de faţă. Secţiunea 4 cumulează şi discută rezultatele obţinute, în timp ce
secţiunea 5 prezintă concluziile desprinse.
Studii înrudite
Studiile care au urmărit acelaşi demers au găsit în general rezultate favorabile
ambelor metode, iar în continuare vor fi enumerate doar câteva dintre acestea:
• Studiul [13] a comparat performanţele ARIMA şi ANN pe piaţa de capital
din Korea, iar cel dintâi a fost mai precis, mai ales pe termen mediu
• Studiul [14] a luat în considerare piaţa din India, unde ARIMA a fost din
nou mai exact decât ANN
• Studiul [15] a găsit ambele modele ca fiind adecvate pentru predicţia
consumului de apă, cu ARIMA dovedindu-se mai peformant în situaţia
seriilor liniare, iar ANN în cea a seriilor neliniare
• Studiul [17] a analizat bursa din Malaezia, unde ANN a obţinut rezultate
mai bune decât ARIMA
• Studiul [20] a comparat performanţa celor două modele pe piaţa din
Indonezia, unde deasemenea ANN a fost modelul mai precis în predicţie
• În încercarea de a prevedea concentraţiile maxime de ozon, studiul [19] a
oferit întâietate modelului ANN
Alte studii de aceeaşi esenţă sunt cele enumerate, [21-29]. Fiindcă rezultatele
sunt împărţite şi diferite, studiul de faţă încearcă să clarifice situaţia, şi să tragă o
concluzie valabilă evident numai în condiţiile prezentate.
88
Metodologie
Date folosite
S-au folosit soft-urile EViews şi Matlab pentru cele două modele: primul
pentru ARIMA, iar cel de-al doilea pentru ANN. Datele utilizate sunt înregistrări ale
cursului zilnic pentru firma Volkswagen, cu valori de deschidere, de închidere, minimă,
maximă, plus volumul tranzacţiilor, pe o perioadă de 4,5 ani, de la 21.12.2010 la
30.06.2015, cu un număr total de 1177 de observaţii. Valoarea de deschidere reprezintă
cursul la începutul zilei, cea de închidere este dată de cursul înregistrat la închiderea
pieţei, iar cele minimă şi maximă sunt date de cel mai mic, respectiv cel mai mare
curs în timpul zilei. Pentru previziune a fost ales preţul de închidere, fiincă reflectă
mai bine activităţile din data respectivă. Obiectivul principal este cel de a previziona
cursul zilnic al acţiunilor Volkswagen pe o perioadă de 6 luni (al doilea semestru
al anului 2015) pe baza datelor disponibile în decursul a 4,5 ani, şi de a vedea care
dintre cele două modele a performat mai bine în acest sens, evident prin comparaţie
cu cursurile reale înregistrate în intervalul 1.07.2015 – 21.12.2015.
Modelul ARIMA pentru acţiunile Volkswagen
Pentru a observa dacă seria este sau nu staţionară, utilizăm graficul ei,
corelograma, şi testul Dickey-Fuller. Cele 3 prezintă următoarea situaţie:
89
, care demonstrează non-staţionaritatea seriei. Pentru a asigura staţionaritatea
seriei, se utilizează prima diferenţă, care duce la următoarea situaţie:
Se poate vedea că seria a devenit staţionară. Pasul următor va fi reprezentat
de determinarea ordinelor p şi q. Criteriile pentru acest obiectiv sunt reprezentate de:
indicatori Akaike, Schwarz şi S.E (standard error) de valoare relativ mică, indicator
R2 ajustat de valoare relativ mare.
90
Tabelul următor pune în evidenţă rezultatele obţinute pentru diverşi parametri
p şi q, în ceea ce priveşte criteriile stabilite mai sus:
ARIMA
Akaike
Schwarz
(1,0,0)*
5,495
5,500
(1,0,1)
5,494
5,503
(0,0,1)*
5,496
5,501
(2,0,0)*
5,492
5,501
(0,0,2)*
5,498
5,506
(1,1,0)*
5,497
5,505
(0,1,1)*
5,498
5,506
(2,0,1)*
5,494
5,507
(0,1,2)*
5,499
5,512
(2,1,0)*
5,493
5,507
(1,0,2)
5,495
5,508
* au unul sau mai mulţi parametri statistic nesemnificativi
R2 ajustat
-0,0002
0,0016
-0,0002
-0,0008
-0,0006
-0,0007
-0,0007
-0,017
-0,011
-0,0012
0,0019
S.E
3,775
3,771
3,777
3,767
3,778
3,776
3,778
3,769
3,778
3,768
3,770
Alegerea se va face astfel dintre modelele ARIMA(1,0,1) şi ARIMA(1,0,2),
după criteriile menţionate anterior. Pentru ambele, corelograma şi Q-statistics nu arată
niciun şablon rămas în cadrul funcţiilor de autocorelaţie, ceea ce înseamnă că variabilele
reziduale corespunzătoare lor reprezintă „zgomot alb”, iar compararea valorilor teoretice
cu cele empirice ale autocorelaţiei şi autocorelaţiei parţiale este adecvată:
91
, în cazul modelului (1,0,1) şi:
, în cazul modelului (1,0,2).
Adiţional, se poate observa că modelul secund prezintă o valoare mai ridicată
pentru R2 ajustat, dar primul model prezintă indicatori Akaike şi Schwarz mai mici, cu
S.E fiind aproape egale. Astfel, va fi utilizat modelul ARIMA(1,0,1), cu forma:
Ŷt = ϕ1Yt-1 - θ1et-1+ξt
Modelul ANN pentru acţiunile Volkswagen
Acesta are următoarea formă:
Yt = w0 + Σwj*g(woj + Σwij*yt-1) + εt şi j=1….q, iar i=1….p
unde: p = numărul de noduri de input; q = numărul de noduri ascunse; wj şi
wij = ponderi de conexiune
Pentru model au fost utilizate 6 variabile de input: preţul de deschidere, cel
minim, cel maxim, cel de închidere, cel ajustat de închidere şi volumul tranzacţiilor,
toate valabile pentru ziua respectivă. Crearea în sine a modelului predictiv în Matlab
presupune respectarea următorilor paşi:
92
- tipul modelului: unul care anticipează valori viitoare ale unei variabile, pe
baza unor valori din trecut ale acesteia:
- topologia modelului: implică selectarea numărului de variabile input,
numărul de neuroni ascunşi şi numărul de neuroni output
- selectarea tipului de training al reţelei (în acest caz procedeul LM),
selectarea procentelor de training, validare şi testare, selectarea funcţiei de
performanţă ( MSE - mean squared error)
Rezultate şi discuţii
Rezultatele modelului ARIMA
Modelul ARIMA(1,0,1) oferă rezultate pentru previziunea cursului
Volkswagen pe o perioadă de 6 luni, ce sunt prezentate mai jos:
Data
18.12.2015
17.12.2015
16.12.2015
15.12.2015
14.12.2015
11.12.2015
10.12.2015
09.12.2015
08.12.2015
07.12.2015
04.12.2015
03.12.2015
02.12.2015
01.12.2015
30.11.2015
27.11.2015
26.11.2015
25.11.2015
24.11.2015
23.11.2015
20.11.2015
19.11.2015
18.11.2015
17.11.2015
16.11.2015
13.11.2015
12.11.2015
11.11.2015
10.11.2015
09.11.2015
06.11.2015
05.11.2015
04.11.2015
03.11.2015
02.11.2015
30.10.2015
29.10.2015
28.10.2015
27.10.2015
26.10.2015
23.10.2015
22.10.2015
21.10.2015
20.10.2015
19.10.2015
16.10.2015
15.10.2015
14.10.2015
13.10.2015
Curs estimat Curs real
(Ce)
(Cr)
218,03
140,2
213,28
139,15
213,03
134,9
209,03
134,3
209,03
131,7
211,53
137,6
211,53
139,6
212,53
140,4
212,53
132,5
212,53
136,05
221,53
137,3
221,53
136,75
218,78
137,85
218,78
139,65
215,53
141,3
215,53
134,25
215,53
134,55
213,53
130,45
213,53
127,15
224,03
124,65
226,78
123,9
225,53
125,3
228,53
120
237,53
117
242,53
116,8
242,54
118,45
244,3
117,2
247,5
118,15
239,3
119,75
236,05
120,1
233,55
121,9
233,55
120,1
233,55
117,15
233,8
124,1
233,8
126,75
230,75
126,1
229,05
125,4
229,05
124,05
231,54
121,8
228,55
125
221,55
121,85
221,55
123,9
223,55
119,95
226,05
116,25
226,05
118,6
233,6
121,2
235,55
123,8
235,25
128,6
232,3
130,6
Diferenţă
Data
-0,55513552
-0,53273445
-0,57916975
-0,55644080
-0,58716780
-0,53728197
-0,5152578
-0,51374643
-0,604000
-0,5621462
-0,61347414
-0,61996343
-0,58708741
-0,56663086
-0,52533616
-0,60543761
-0,60185804
-0,63687236
-0,67935509
-0,79727236
-0,83034705
-0,79992019
-0,90441666
-1,0301709
-1,07645547
-1,04761502
-1,0844709
-1,09479475
-0,99832985
-0,96544546
-0,91591468
-0,94462947
-0,99359795
-0,88396454
-0,84457593
-0,82989690
-0,82655502
-0,8464328
-0,90098522
-0,8284000
-0,81821912
-0,78813559
-0,86369320
-0,94451612
-0,90598650
-0,92739273
-0,90266559
-0,82931570
-0,77871362
24.09.2015
23.09.2015
22.09.2015
21.09.2015
18.09.2015
17.09.2015
16.09.2015
15.09.2015
14.09.2015
11.09.2015
10.09.2015
09.09.2015
08.09.2015
07.09.2015
04.09.2015
03.09.2015
02.09.2015
01.09.2015
31.08.2015
28.08.2015
27.08.2015
26.08.2015
25.08.2015
24.08.2015
21.08.2015
20.08.2015
19.08.2015
18.08.2015
17.08.2015
14.08.2015
13.08.2015
12.08.2015
11.08.2015
10.08.2015
07.08.2015
06.08.2015
05.08.2015
04.08.2015
03.08.2015
31.07.2015
30.07.2015
29.07.2015
28.07.2015
27.07.2015
24.07.2015
23.07.2015
22.07.2015
21.07.2015
20.07.2015
(Ce)
(Cr)
242,3
118,9
236,99
118,9
236,99
111,2
240,6
133,7
247,8
161,35
249,65
167,4
248,95
167,5
250,55
166,85
254,87
165,5
254,15
166,25
259,75
166,9
256,7
169,6
247,44
165,4
248,3
161,15
255,55
159,95
254,8
164,4
258,6
159,95
255,1
164,4
260,8
159,5
259,65
161,95
258,55
166,7
262,3
170,5
262,8
171,15
258,8
165,95
257,5
167,8
251,55
158,55
247,95
165
245,25
168,05
239,55
171
231,8
175,2
224,55
178,05
220,3
180
209,55
180,45
217,55
177,75
212,29
186,2
219,59
194,15
225,3
191,55
225,3
190
217,81
192,4
217,55
186
206,8
185,75
202,68
184,05
199,66
185,55
202,15
185,9
209,55
190,6
207,8
185,45
207,8
189,55
213,82
198,5
213,24
196,1
Diferenţă
-1,03784693
-0,99318755
-1,13120503
-0,79955123
-0,53579175
-0,49133811
-0,48626865
-0,50164818
-0,540000
-0,52872180
-0,55632115
-0,51356132
-0,49600967
-0,54080049
-0,59768677
-0,54987834
-0,61675523
-0,55170316
-0,63510971
-0,60327261
-0,55098980
-0,53841642
-0,53549518
-0,55950587
-0,53456495
-0,58656575
-0,50272727
-0,45938708
-0,40087719
-0,32305936
-0,26116259
-0,22388888
-0,16126350
-0,22390998
-0,14011815
-0,13103270
-0,17619420
-0,18578947
-0,13206860
-0,16962365
-0,11332436
-0,10122249
-0,07604419
-0,08741258
-0,09942287
-0,12051766
-0,09628066
-0,07717884
-0,08740438
93
12.10.2015
09.10.2015
08.10.2015
07.10.2015
06.10.2015
05.10.2015
02.10.2015
01.10.2015
30.09.2015
29.09.2015
28.09.2015
25.09.2015
233,56
232,55
232,55
237,91
234,3
234,8
237,34
229,8
231,3
235,8
235,8
242,3
132,45
125,9
116,2
114,9
106,9
102,8
101,15
105,05
104,95
103,3
107,1
115,55
-0,76338240
-0,84710087
-1,00129087
-1,07058311
-1,19176800
-1,28404669
-1,34641621
-1,18752974
-1,20390662
-1,28267183
-1,20168067
-1,09692773
17.07.2015
16.07.2015
15.07.2015
14.07.2015
13.07.2015
10.07.2015
09.07.2015
08.07.2015
07.07.2015
06.07.2015
03.07.2015
02.07.2015
215,15
215,15
212,2
200,75
200,75
200,75
197,03
192,95
197,3
203,3
209,05
210,3
198,9
201
202,7
203,15
199,15
201,5
205,75
203,4
203,45
197,5
202,95
208,25
-0,08169934
-0,07039801
-0,04686729
0,01181393
-0,00803414
0,00372208
0,04238153
0,05137659
0,03022855
-0,02936708
-0,03005666
-0,00984393
Graficul comun al celor două serii, cea a cursului estimat şi a celui real,
evidenţiază următoarea situaţie:
Se poate vedea că modelul ARIMA a previzionat o creştere a cursului
acţiunilor Volkswagen, în realitate acesta cunoscând o scădere destul de accentuată.
Desigur că responsabil pentru scădere este scandalul în care a fost implicată compania,
eveniment ce nu putea fi anticipat, evident, de modelul în cauză. ARIMA a anticipat o
creştere continuă a cursului, pe baza datelor istorice care indicau o astfel de evoluţie
faţă de ultimii ani.
Rezultatele modelului ANN
După diverse încercări, utilizând diferite arhitecturi ale reţelei bazate pe
algoritmul ANN, am ales structura care a oferit cea mai bună acurateţe de previziune,
pe baza datelor de testare. Dedesubt sunt prezentate rezultatele obţinute, care sunt
previziuni zilnice pentru al doilea semestru al anului 2015:
94
Data
18.12.2015
17.12.2015
16.12.2015
15.12.2015
14.12.2015
11.12.2015
10.12.2015
09.12.2015
08.12.2015
07.12.2015
04.12.2015
03.12.2015
02.12.2015
01.12.2015
30.11.2015
27.11.2015
26.11.2015
25.11.2015
24.11.2015
23.11.2015
20.11.2015
19.11.2015
18.11.2015
17.11.2015
16.11.2015
13.11.2015
12.11.2015
11.11.2015
10.11.2015
09.11.2015
06.11.2015
05.11.2015
04.11.2015
03.11.2015
02.11.2015
30.10.2015
29.10.2015
28.10.2015
27.10.2015
26.10.2015
23.10.2015
22.10.2015
21.10.2015
20.10.2015
19.10.2015
16.10.2015
15.10.2015
14.10.2015
13.10.2015
12.10.2015
09.10.2015
08.10.2015
07.10.2015
06.10.2015
05.10.2015
02.10.2015
01.10.2015
30.09.2015
29.09.2015
28.09.2015
25.09.2015
(Ce)
(Cr)
133,02
140,2
132,96
139,15
126,46
134,9
126,75
134,3
123,88
131,7
133,68
137,6
124,98
139,6
123,42
140,4
129,31
132,5
124,24
136,05
129,88
137,3
123,34
136,75
130,66
137,85
128,7
139,65
130,37
141,3
134,39
134,25
128
134,55
137,01
130,45
129,62
127,15
125,7
124,65
124,19
123,9
124,54
125,3
127,49
120
128,57
117
125,43
116,8
125,45
118,45
134,31
117,2
133,11
118,15
122,65
119,75
124,58
120,1
127,92
121,9
127,18
120,1
129,95
117,15
135,25
124,1
125,14
126,75
135,24
126,1
130,82
125,4
131,05
124,05
132,54
121,8
126,62
125
135,89
121,85
126,43
123,9
135,45
119,95
121,29
116,25
125,72
118,6
123,99
121,2
130,25
123,8
126,62
128,6
130,04
130,6
129,4
132,45
125,54
125,9
127,4
116,2
132,71
114,9
131,23
106,9
121,93
102,8
126,68
101,15
123,64
105,05
128,3
104,95
126,24
103,3
123,18
107,1
124,41
115,55
Diferenţă
Data
0,051212553
0,044484369
0,062564863
0,056217424
0,059377373
0,028488372
0,104727794
0,120940171
0,024075472
0,086806321
0,054042243
0,098062157
0,052158143
0,078410311
0,077353149
-0,00104283
0,04868078
-0,05028746
-0,01942587
-0,00842358
-0,00234059
0,006065443
-0,06241666
-0,09888888
-0,07388698
-0,05909666
-0,14598976
-0,12661870
-0,02421711
-0,03730224
-0,04938474
-0,05895087
-0,10926163
-0,08984689
0,01270217
-0,07248215
-0,04322169
-0,05642885
-0,08817734
-0,0129600
-0,11522363
-0,02041969
-0,12922050
-0,04335483
-0,06003372
-0,02301980
-0,05210016
0,015396579
0,004287902
0,023027558
0,002859412
-0,09638554
-0,15500435
-0,22759588
-0,1860894
-0,25239743
-0,17696335
-0,22248689
-0,22207163
-0,15014005
-0,07667676
24.09.2015
23.09.2015
22.09.2015
21.09.2015
18.09.2015
17.09.2015
16.09.2015
15.09.2015
14.09.2015
11.09.2015
10.09.2015
09.09.2015
08.09.2015
07.09.2015
04.09.2015
03.09.2015
02.09.2015
01.09.2015
31.08.2015
28.08.2015
27.08.2015
26.08.2015
25.08.2015
24.08.2015
21.08.2015
20.08.2015
19.08.2015
18.08.2015
17.08.2015
14.08.2015
13.08.2015
12.08.2015
11.08.2015
10.08.2015
07.08.2015
06.08.2015
05.08.2015
04.08.2015
03.08.2015
31.07.2015
13.08.2015
12.08.2015
11.08.2015
10.08.2015
07.08.2015
06.08.2015
05.08.2015
04.08.2015
03.08.2015
31.07.2015
16.07.2015
15.07.2015
14.07.2015
13.07.2015
10.07.2015
09.07.2015
08.07.2015
07.07.2015
06.07.2015
03.07.2015
02.07.2015
Diferenţă
(Ce)
(Cr)
131,4
118,9
-0,10513036
125,68
118,9
-0,05702270
123,65
111,2
-0,11196043
126,01
133,7
0,05751682
128,95
161,35
0,20080570
127,18
167,4
0,24026284
126,17
167,5
0,24674626
128,23
166,85
0,23146538
128,79
165,5
0,22181268
125,68
166,25
0,24403007
131,43
166,9
0,21252246
134,05
169,6
0,20961084
130,27
165,4
0,21239419
125,31
161,15
0,22240148
125,67
159,95
0,21431697
126,69
164,4
0,22937956
124,54
159,95
0,22138168
125,75
164,4
0,23509732
126,8
159,5
0,20501567
127,24
161,95
0,21432540
124,87
166,7
0,25092981
124,7
170,5
0,26862170
126,88
171,15
0,25866199
136,15
165,95
0,17957216
120,59
167,8
0,28134684
124,76
158,55
0,21311889
128,67
165
0,22018181
128,16
168,05
0,23736983
127,49
171
0,25444444
134,52
175,2
0,23219178
129,29
178,05
0,27385565
132,06
180
0,2663333
134,58
180,45
0,25419783
132,63
177,75
0,25383966
132,17
186,2
0,29017185
133,32
194,15
0,31331444
131,75
191,55
0,31219002
133,19
190
0,299000
136,61
192,4
0,28996881
133,7
186
0,28118279
129,29
178,05
0,27385565
132,06
180
0,26633333
134,58
180,45
0,25419783
132,63
177,75
0,25383966
132,17
186,2
0,29017185
133,32
194,15
0,31331444
131,75
191,55
0,31219002
133,19
190
0,2990000
136,61
192,4
0,28996881
133,7
186
0,28118279
130,72
201
0,34965174
133,14
202,7
0,34316724
137,07
203,15
0,32527688
132,13
199,15
0,33653025
127,08
201,5
0,36933002
128,42
205,75
0,37584447
128,78
203,4
0,36686332
138,49
203,45
0,31929220
132,33
197,5
0,32997468
134,54
202,95
0,33707809
125,17
208,25
0,39894357
Iar graficul comun al celor două serii arată astfel:
95
Modelul ANN propune un curs destul de stabil pentru perioada avută în
vedere, care se apropie mult de cel real în a doua jumătate a intervalului de timp.
În prima jumătate, ANN nu prezice corect evoluţia cursului, dar apoi se apropie
foarte mult de valorile înregistrate de companie în urma scandalului în care a fost
implicată.
Concluzii
Studiul de faţă cuprinde rezultatele empirice ale performanţelor modelelor
ARIMA şi ANN în estimarea evoluţiei cursului acţiunilor firmei Volkswagen.
Comparaţia a fost făcută pentru a pune în evidenţă care dintre cele două metode este
mai precisă în contextul prezentat. Concluziile arată că modelul secund (ANN) pare
mai potrivit în condiţiile de faţă, deoarece a realizat o predicţie mai bună, apropiinduse de cursul real în jumătate din perioada de timp studiată, în timp ce ARIMA a propus
estimări ce s-au dovedit departe de valorile reale pe întreg intervalul analizat. Faptul
este însă datorat în mare parte unui factor exogen, imposibil de previzionat, anume
scăderea importantă a cursului Volkswagen, din cauza disputei în care a fost implicată
compania. Rezultatele nu pot fi considerate ca şi repere absolute, fiind valabile doar în
condiţiile aplicabile contextului curent. Viitoare cercetări pot clarifica şi mai în detaliu
problemele supuse studiului.
Bibliografie
1. H. Al-Qaheri, A. E. Hassanien, A. Abraham - “Discovering stock price prediction
rules using rough sets”, Neural Network World, vol. 18, no. 3, pag. 181–198, 2008
2. G.Ardali, M. Khashei, M. Bijari – „Improvement of auto-regressive integrated
moving average models using fuzzy logic and artificial neural networks (ANNs)”,
Neurocomputing, vol. 72, no. 4–6, pag. 956–967, 2009
3. S. Atsalakis and K. P. Valavanis - “Forecasting stock market short-term trends
using a neuro-fuzzy based methodology”, Expert Systems with Applications, vol.
36, no. 7, pag. 10696–10707, 2009
96
4. M. Bijari, M. Khashei - “An artificial neural network (p, d, q) model for timeseries
forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 1, pag. 479–489, 2010
5. O. Choya, P. Tsanga, P. Kwoka - “Design and implementation of NN5 for
Hong stock price forecasting”, Journal of Engineering Applications of Artificial
Intelligence, vol. 20, no. 4, pag. 453–461, 2007
6. G. Finnie, B. Vanstone - “An empirical methodology for developing stockmarket
trading systems using artificial neural networks”, Expert Systems with Applications,
vol. 36, no. 3, pag. 6668–6680, 2009
7. A. Ghanbari, E. Hadavandi, H. Shavandi - “Integration of genetic fuzzy systems
and artificial neural networks for stock price forecasting”, Knowledge-Based
Systems, vol. 23, no. 8, pag. 800–808, 2010
8. K. Hilovska, J. Sterba - “The implementation of hybrid ARIMA neural network
prediction model for aggregate water consumption prediction”, Aplimat—Journal
of Applied Mathematics, vol. 3, no. 3, pag. 123–131, 2010
9. K. Huarng, H. Yu - “A neural network-based fuzzy time series model to improve
forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 4, pag. 3366–3372,
2010
10. E. Khan - “Neural fuzzy based intelligent systems and applications”, Fusion of
Neural Networks, Fuzzy Systems, and Genetic Algorithms Industrial Application,
pag. 107–139, CRC Press, New York, USA, 2000
11. C. Lee, Y. Sehwan, J. Jongdae - “Neural network model versus SARIMA model
in forecasting Korean stock price index (KOSPI)”, Issues in Information System,
vol. 8, no. 2, pag. 372–378, 2007
12. N. Merh, V. P. Saxena, R. Pardasani - “A comparison between hybrid approaches
of ANN and ARIMA for Indian stock trend forecasting”, Journal of Business
13. K.Mitra - “Optimal combination of trading rules using neural networks”,
International Business Research, vol. 2, no. 1, pag. 86–99, 2009
14. M. Mostafa – „Forecasting stock exchange movements using neural networks:
empirical evidence from Kuwait”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no.
9, pag. 6302–6309, 2010
15. A. Napitupulu, B. Wijaya, S. Kom - “Stock price prediction: Comparison of Arima
and artificial neural network methods—an Indonesia stock’s case”, Proceedings
of the 2nd International Conference on Advances in Computing, Control and
Telecommunication Technologies, pag. 176–179, December 2010
16. L. Poh, T.Yao, C. Tan - “Neural networks for technical analysis: a study on
KLCI,” International Journal of Theoretical and Applied Finance, vol. 2, no. 2,
pag. 221–241, 1999
17. V. Prybutok, J. Yi, D. Mitchell - “Comparison of neural network models with
ARIMA and regression models for prediction of Houston’s daily maximum ozone
concentrations”, European Journal of Operational Research, vol. 122, no. 1, pp.
31–40, 2000
18. H. Roh - “Forecasting the volatility of stock price index”, Expert Systems with
Applications, vol. 33, no. 4, pag. 916–922, 2007
19. G. Zhang, B. Patuwo, Y. Hu - “Forecasting with artificial neural networks: the
state of the art”, International Journal of Forecasting, vol. 14, no. 1, pag. 35–62,
1998
97
COMPARATIVE STUDY IN ESTIMATING
VOLKSWAGEN’S PRICE:
ARIMA VERSUS ANN
Florin Dan PIELEANU
Academy of Economic Studies Bucharest
Abstract
The multiple techniques used for trying to predict the future prices of securities
usually fall in two categories: statistical techniques and soft computing techniques.
In the first category one can find ARIMA (autoregressive integrated moving average)
or GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) models, and
the former will be used in the present article. From the second category, the most
important models are the artificial neural networks – ANN, and such a model will
be compaired to ARIMA in order to see which one performs better in the goal of
estimating Volkswagen’s future prices. It is widely known that this company was
recently involved in a scandal which affected the company’s shares.
Data used is comprised of daily prices for a period of 4,5 years, and the
article’s main objective is to try and foresee the price for the next 6 months (the second
semester of 2015). After this step, it can be observed which of the two models was more
accurate, through comparison with the actual prices. The conclusion will confirm or
will refute the superiority of a model over the other, in the mentioned context.
Keywords: ARIMA, ANN, estimation, comparative, technique
Introduction
The main techniques used in trying to predict the future prices of different
securities from various markets fall usually in two categories: statistical techniques
and soft computing techniques. The latter use inexact solutions to try to solve problems
without a known algorithm. They tolerate approximations, uncertainty and partial truth.
Some examples include: artificial neural networks, fuzzy logic, support vector machines
and others. The solutions provided by them are unpredictable and are performing well
when there is not enough information about the problem to be solved.
Statistical techniques include ARIMA (autoregressive integrated
moving average) models and GARCH (generalized autoregressive conditional
heteroskedasticity) models. ARIMA (also known as Box-Jenkins model) is highly
used in this direction, being considered as pretty effective for such purposes. The
model relies on past values of the series and on its residual values, and it does not
require previous relations like other models. So, ARIMA proves to be a sturdy model,
with good results, mainly on short and medium terms.
The artificial neural networks – ANN - are soft computing techniques, which
are also considered as really efficient for predicting the values of variables, regardless
of the domain: social, finance, exchange rate, engineering or other issues [2, 4, 10,
19]. Some of their attributes, like the independence from certain assumptions, good
98
adjusting capacity and a fair generalization potential, make the ANN an attractive
method for researchers and practitioners. In the same time, ANN can offer solutions for
nonlinear problems (like the real ones), opposed to traditional models (like ARIMA),
who are implying that the time series are generated from linear processes.
The present article analyzes and compares the performances of ARIMA and
ANN, in the particular case of future price estimation for the shares of Volkswagen
company, in order to confirm or refute the reviews which assert the superiority of one
model over the other.
Recently, the german auto producer was accused of using a soft that permitted
the manipulation of emission tests, in order to report smaller figures. As a consequence,
the price of Volkswagen’s shares plummeted from August 2015, after it was rising at
the beginning of the year.
The rest of the article is organized as follows: section 2 lists some related
work, section 3 highlights the used methodology, section 4 summarizes and discusses
the results, while section 5 draws the conclusions.
Related Work
The studies who purchased the same goal found proofs favoring both models,
and below are listed only a few:
- [11] compared ARIMA and ANN on Korean market, and the first was more
accurate, especially on medium term
- [12] considered the Indian market, and ARIMA was again more precise
than ANN
- [8] found both models as adequate for predicting water consumption, with
ARIMA performing better for linear data, and ANN for nonlinear data
- [16] analyzed market in Malaysia, and ANN was better than ARIMA
- [15] made a comparison on the market in Indonesia, where ANN predicted
more exactly
- Trying to forecast the maximum ozone concentrations, [17] proved the
priority of ANN
More studies in the same direction are [1, 3, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 18]. Due to
split results, this article wants to clarify the matter and to find a result obviously valid
only in the presented context.
METHODOLOGY
Used data
EViews software and Matlab Neural Network were used for ARIMA and
ANN models, respectively. The data used in this research are historical daily stock
prices for Volkswagen, consisting of open price, lowest price, highest price, close price
and volume traded, on a 4,5 years period, starting from 21.12.2010 until 30.06.2015,
with 1177 total observations. The open price is the opening price of the shares at the
99
start of the training day, the lowest price represents the minimum price during the
trading day, the highest price represents the maximum price of the day, and the closing
price shows the shares’ price when the market closes. For this article, the closing
price is chosen to represent the predicted value, because it reflects all the activities
of the day. The main goal of the study is to forecast the future price of Volkswagen’s
shares on a 6 months horizon (the second semester of year 2015), based on available
data, and to observe which one of the ARIMA and ANN models behaved better, by
comparison with the real values for the 1.07.2015 – 21.12.2015 period.
ARIMA model in Volkswagen’s case
In order to see if the time series is stationary or not, its graphic, correlogram
and Dickey-Fuller test are studied. The following situation occurs:
Graph of Volkswagen’s price time series
Figure 1
Correlogram of Volkswagen’s price time series
Figure 2
100
DF test for Volkswagen’s price time series
Figure 3
,
which proves that the series isn’t stationary. For making it so, the first
difference will be approached. After it, the changes show:
Graph of Volkswagen’s price time series (first difference)
Figure 4
Correlogram of Volkswagen’s price time series (first difference)
Figure 5
l
f V lk
’
i
i
i
(fi
101
DF test for Volkswagen’s price time series (first difference)
Figure 6
And the stationarity of the series can now be observed. Next step is to
determine the ARIMA’s orders p and q. The criteria for this are: relatively small
Akaike, Schwarz and S.E (standard error) values, relatively high adjusted R2 value.
The following table highlights the obtained results for various p and q
parameters, criteria-wise:
Different ARIMA models and their values for chose criteria
Table 1
ARIMA
Akaike
Schwarz
(1,0,0)*
5,495
5,500
(1,0,1)
5,494
5,503
(0,0,1)*
5,496
5,501
(2,0,0)*
5,492
5,501
(0,0,2)*
5,498
5,506
(1,1,0)*
5,497
5,505
(0,1,1)*
5,498
5,506
(2,0,1)*
5,494
5,507
(0,1,2)*
5,499
5,512
(2,1,0)*
5,493
5,507
(1,0,2)
5,495
5,508
* one or more parameters are not statistically significant
Adjusted R2
-0,0002
0,0016
-0,0002
-0,0008
-0,0006
-0,0007
-0,0007
-0,017
-0,011
-0,0012
0,0019
S.E
3,775
3,771
3,777
3,767
3,778
3,776
3,778
3,769
3,778
3,768
3,770
So the choice will be made between the ARIMA(1,0,1) and ARIMA(1,0,2)
models, on the basis of above-mentioned criteria. For both, the Q-statistics show no
pattern left in the autocorrelation (ACF) and partial autocorrelation (PACF) functions
of the residuals, which implies that the residuals represent only white noise. Also the
comparison of theoretical and empirical autocorrelation and partial autocorrelation
values shows adequacy:
102
Q-statistics
Figure 7
Actual vs. theoretical ACF and PACF
Figure 8
, for ARIMA(1,0,1) and:
Q-statistics
Figure 9
103
Actual vs. theoretical ACF and PACF
Figure 10
,for ARIMA(1,0,2).
Additional, it can be seen that the second model has a higher adjusted R2
value, and the first one has smaller Akaike and Schwarz values, with S.E being almost
equal. As a result, the ARIMA(1,0,1) model will be chosen, being expressed, in the
forecast form, as:
Ŷt = ϕ1Yt-1 - θ1et-1+ξt
ANN model in Volkswagen’s case
It has the below-presented form:
Yt = w0 + Σwj*g(woj + Σwij*yt-1) + εt with j=1….q, and i=1….p
, where: p = the number of input nodes; q = the number of hidden nodes; wj
and wij = connection weights
Six input variables were supplied into the model: opening price, lowest price,
highest price, closing price, adjusted closing price and trading volume. The creation of
the ANN predictive model with Matlab requires the following steps:
- selecting model type: one that can forecast the future values of a variable,
based on past values of it
- creating the network topology: the number of input variables, hidden
neurons and output neurons must be selected
- selecting training method for the network (in this case the LM method),
selecting training, validation and testing percentages, selecting performance
function (in this case the MSE - mean squared error function)
104
Results and Discussions
ARIMA model’s results
The ARIMA(1,0,1) model offers results for estimating Volkswagen’s shares
prices on a 6-month period, results that are presented below:
Date
18.12.2015
17.12.2015
16.12.2015
15.12.2015
14.12.2015
11.12.2015
10.12.2015
09.12.2015
08.12.2015
07.12.2015
04.12.2015
03.12.2015
02.12.2015
01.12.2015
30.11.2015
27.11.2015
26.11.2015
25.11.2015
24.11.2015
23.11.2015
20.11.2015
19.11.2015
18.11.2015
17.11.2015
16.11.2015
13.11.2015
12.11.2015
11.11.2015
10.11.2015
09.11.2015
06.11.2015
05.11.2015
04.11.2015
03.11.2015
02.11.2015
30.10.2015
29.10.2015
28.10.2015
27.10.2015
26.10.2015
23.10.2015
22.10.2015
21.10.2015
20.10.2015
19.10.2015
16.10.2015
15.10.2015
14.10.2015
13.10.2015
12.10.2015
09.10.2015
08.10.2015
07.10.2015
06.10.2015
05.10.2015
02.10.2015
01.10.2015
30.09.2015
29.09.2015
28.09.2015
25.09.2015
Estimated
price (Ep)
218,03
213,28
213,03
209,03
209,03
211,53
211,53
212,53
212,53
212,53
221,53
221,53
218,78
218,78
215,53
215,53
215,53
213,53
213,53
224,03
226,78
225,53
228,53
237,53
242,53
242,54
244,3
247,5
239,3
236,05
233,55
233,55
233,55
233,8
233,8
230,75
229,05
229,05
231,54
228,55
221,55
221,55
223,55
226,05
226,05
233,6
235,55
235,25
232,3
233,56
232,55
232,55
237,91
234,3
234,8
237,34
229,8
231,3
235,8
235,8
242,3
Real price
(Rp)
140,2
139,15
134,9
134,3
131,7
137,6
139,6
140,4
132,5
136,05
137,3
136,75
137,85
139,65
141,3
134,25
134,55
130,45
127,15
124,65
123,9
125,3
120
117
116,8
118,45
117,2
118,15
119,75
120,1
121,9
120,1
117,15
124,1
126,75
126,1
125,4
124,05
121,8
125
121,85
123,9
119,95
116,25
118,6
121,2
123,8
128,6
130,6
132,45
125,9
116,2
114,9
106,9
102,8
101,15
105,05
104,95
103,3
107,1
115,55
Difference
Date
-0,55513552
-0,53273445
-0,57916975
-0,55644080
-0,58716780
-0,53728197
-0,5152578
-0,51374643
-0,604000
-0,5621462
-0,61347414
-0,61996343
-0,58708741
-0,56663086
-0,52533616
-0,60543761
-0,60185804
-0,63687236
-0,67935509
-0,79727236
-0,83034705
-0,79992019
-0,90441666
-1,0301709
-1,07645547
-1,04761502
-1,0844709
-1,09479475
-0,99832985
-0,96544546
-0,91591468
-0,94462947
-0,99359795
-0,88396454
-0,84457593
-0,82989690
-0,82655502
-0,8464328
-0,90098522
-0,8284000
-0,81821912
-0,78813559
-0,86369320
-0,94451612
-0,90598650
-0,92739273
-0,90266559
-0,82931570
-0,77871362
-0,76338240
-0,84710087
-1,00129087
-1,07058311
-1,19176800
-1,28404669
-1,34641621
-1,18752974
-1,20390662
-1,28267183
-1,20168067
-1,09692773
24.09.2015
23.09.2015
22.09.2015
21.09.2015
18.09.2015
17.09.2015
16.09.2015
15.09.2015
14.09.2015
11.09.2015
10.09.2015
09.09.2015
08.09.2015
07.09.2015
04.09.2015
03.09.2015
02.09.2015
01.09.2015
31.08.2015
28.08.2015
27.08.2015
26.08.2015
25.08.2015
24.08.2015
21.08.2015
20.08.2015
19.08.2015
18.08.2015
17.08.2015
14.08.2015
13.08.2015
12.08.2015
11.08.2015
10.08.2015
07.08.2015
06.08.2015
05.08.2015
04.08.2015
03.08.2015
31.07.2015
30.07.2015
29.07.2015
28.07.2015
27.07.2015
24.07.2015
23.07.2015
22.07.2015
21.07.2015
20.07.2015
17.07.2015
16.07.2015
15.07.2015
14.07.2015
13.07.2015
10.07.2015
09.07.2015
08.07.2015
07.07.2015
06.07.2015
03.07.2015
02.07.2015
Estimated
price (Ep)
242,3
236,99
236,99
240,6
247,8
249,65
248,95
250,55
254,87
254,15
259,75
256,7
247,44
248,3
255,55
254,8
258,6
255,1
260,8
259,65
258,55
262,3
262,8
258,8
257,5
251,55
247,95
245,25
239,55
231,8
224,55
220,3
209,55
217,55
212,29
219,59
225,3
225,3
217,81
217,55
206,8
202,68
199,66
202,15
209,55
207,8
207,8
213,82
213,24
215,15
215,15
212,2
200,75
200,75
200,75
197,03
192,95
197,3
203,3
209,05
210,3
Real price
(Rp)
118,9
118,9
111,2
133,7
161,35
167,4
167,5
166,85
165,5
166,25
166,9
169,6
165,4
161,15
159,95
164,4
159,95
164,4
159,5
161,95
166,7
170,5
171,15
165,95
167,8
158,55
165
168,05
171
175,2
178,05
180
180,45
177,75
186,2
194,15
191,55
190
192,4
186
185,75
184,05
185,55
185,9
190,6
185,45
189,55
198,5
196,1
198,9
201
202,7
203,15
199,15
201,5
205,75
203,4
203,45
197,5
202,95
208,25
Difference
-1,03784693
-0,99318755
-1,13120503
-0,79955123
-0,53579175
-0,49133811
-0,48626865
-0,50164818
-0,540000
-0,52872180
-0,55632115
-0,51356132
-0,49600967
-0,54080049
-0,59768677
-0,54987834
-0,61675523
-0,55170316
-0,63510971
-0,60327261
-0,55098980
-0,53841642
-0,53549518
-0,55950587
-0,53456495
-0,58656575
-0,50272727
-0,45938708
-0,40087719
-0,32305936
-0,26116259
-0,22388888
-0,16126350
-0,22390998
-0,14011815
-0,13103270
-0,17619420
-0,18578947
-0,13206860
-0,16962365
-0,11332436
-0,10122249
-0,07604419
-0,08741258
-0,09942287
-0,12051766
-0,09628066
-0,07717884
-0,08740438
-0,08169934
-0,07039801
-0,04686729
0,01181393
-0,00803414
0,00372208
0,04238153
0,05137659
0,03022855
-0,02936708
-0,03005666
-0,00984393
105
The common graphic for both series, the predicted and the real price, looks
like this:
Actual vs. predicted price - ARIMA
Figure 11
ARIMA forecasted a rise in the shares’ price, compared to the real price,
which actually plummeted. Surely that the scandal in which the company was
involved was responsible for the drop, but this event could not be anticipated by our
model. ARIMA just estimated a continuous increase, based on historical data, which
indicated such an evolution over the last years.
ANN model’s results
After several trials, using different network architectures based on the ANN
algorithm, the chosen structure was the one that gave the best accuracy in prediction
and the smallest MSE, based on testing data. Below are the ANN results, as predicted
daily prices for the second semester of year 2015:
106
Date
18.12.2015
17.12.2015
16.12.2015
15.12.2015
14.12.2015
11.12.2015
10.12.2015
09.12.2015
08.12.2015
07.12.2015
04.12.2015
03.12.2015
02.12.2015
01.12.2015
30.11.2015
27.11.2015
26.11.2015
25.11.2015
24.11.2015
23.11.2015
20.11.2015
19.11.2015
18.11.2015
17.11.2015
16.11.2015
13.11.2015
12.11.2015
11.11.2015
10.11.2015
09.11.2015
06.11.2015
05.11.2015
04.11.2015
03.11.2015
02.11.2015
30.10.2015
29.10.2015
28.10.2015
27.10.2015
26.10.2015
23.10.2015
22.10.2015
21.10.2015
20.10.2015
19.10.2015
16.10.2015
15.10.2015
14.10.2015
13.10.2015
12.10.2015
09.10.2015
08.10.2015
07.10.2015
06.10.2015
05.10.2015
02.10.2015
01.10.2015
30.09.2015
29.09.2015
28.09.2015
25.09.2015
Estimated
price (Ep)
133,02
132,96
126,46
126,75
123,88
133,68
124,98
123,42
129,31
124,24
129,88
123,34
130,66
128,7
130,37
134,39
128
137,01
129,62
125,7
124,19
124,54
127,49
128,57
125,43
125,45
134,31
133,11
122,65
124,58
127,92
127,18
129,95
135,25
125,14
135,24
130,82
131,05
132,54
126,62
135,89
126,43
135,45
121,29
125,72
123,99
130,25
126,62
130,04
129,4
125,54
127,4
132,71
131,23
121,93
126,68
123,64
128,3
126,24
123,18
124,41
Real price
(Rp)
140,2
139,15
134,9
134,3
131,7
137,6
139,6
140,4
132,5
136,05
137,3
136,75
137,85
139,65
141,3
134,25
134,55
130,45
127,15
124,65
123,9
125,3
120
117
116,8
118,45
117,2
118,15
119,75
120,1
121,9
120,1
117,15
124,1
126,75
126,1
125,4
124,05
121,8
125
121,85
123,9
119,95
116,25
118,6
121,2
123,8
128,6
130,6
132,45
125,9
116,2
114,9
106,9
102,8
101,15
105,05
104,95
103,3
107,1
115,55
Difference
Date
0,051212553
0,044484369
0,062564863
0,056217424
0,059377373
0,028488372
0,104727794
0,120940171
0,024075472
0,086806321
0,054042243
0,098062157
0,052158143
0,078410311
0,077353149
-0,00104283
0,04868078
-0,05028746
-0,01942587
-0,00842358
-0,00234059
0,006065443
-0,06241666
-0,09888888
-0,07388698
-0,05909666
-0,14598976
-0,12661870
-0,02421711
-0,03730224
-0,04938474
-0,05895087
-0,10926163
-0,08984689
0,01270217
-0,07248215
-0,04322169
-0,05642885
-0,08817734
-0,0129600
-0,11522363
-0,02041969
-0,12922050
-0,04335483
-0,06003372
-0,02301980
-0,05210016
0,015396579
0,004287902
0,023027558
0,002859412
-0,09638554
-0,15500435
-0,22759588
-0,1860894
-0,25239743
-0,17696335
-0,22248689
-0,22207163
-0,15014005
-0,07667676
24.09.2015
23.09.2015
22.09.2015
21.09.2015
18.09.2015
17.09.2015
16.09.2015
15.09.2015
14.09.2015
11.09.2015
10.09.2015
09.09.2015
08.09.2015
07.09.2015
04.09.2015
03.09.2015
02.09.2015
01.09.2015
31.08.2015
28.08.2015
27.08.2015
26.08.2015
25.08.2015
24.08.2015
21.08.2015
20.08.2015
19.08.2015
18.08.2015
17.08.2015
14.08.2015
13.08.2015
12.08.2015
11.08.2015
10.08.2015
07.08.2015
06.08.2015
05.08.2015
04.08.2015
03.08.2015
31.07.2015
13.08.2015
12.08.2015
11.08.2015
10.08.2015
07.08.2015
06.08.2015
05.08.2015
04.08.2015
03.08.2015
31.07.2015
16.07.2015
15.07.2015
14.07.2015
13.07.2015
10.07.2015
09.07.2015
08.07.2015
07.07.2015
06.07.2015
03.07.2015
02.07.2015
Estimated
price (Ep)
131,4
125,68
123,65
126,01
128,95
127,18
126,17
128,23
128,79
125,68
131,43
134,05
130,27
125,31
125,67
126,69
124,54
125,75
126,8
127,24
124,87
124,7
126,88
136,15
120,59
124,76
128,67
128,16
127,49
134,52
129,29
132,06
134,58
132,63
132,17
133,32
131,75
133,19
136,61
133,7
129,29
132,06
134,58
132,63
132,17
133,32
131,75
133,19
136,61
133,7
130,72
133,14
137,07
132,13
127,08
128,42
128,78
138,49
132,33
134,54
125,17
Real price
(Rp)
118,9
118,9
111,2
133,7
161,35
167,4
167,5
166,85
165,5
166,25
166,9
169,6
165,4
161,15
159,95
164,4
159,95
164,4
159,5
161,95
166,7
170,5
171,15
165,95
167,8
158,55
165
168,05
171
175,2
178,05
180
180,45
177,75
186,2
194,15
191,55
190
192,4
186
178,05
180
180,45
177,75
186,2
194,15
191,55
190
192,4
186
201
202,7
203,15
199,15
201,5
205,75
203,4
203,45
197,5
202,95
208,25
Difference
-0,10513036
-0,05702270
-0,11196043
0,05751682
0,20080570
0,24026284
0,24674626
0,23146538
0,22181268
0,24403007
0,21252246
0,20961084
0,21239419
0,22240148
0,21431697
0,22937956
0,22138168
0,23509732
0,20501567
0,21432540
0,25092981
0,26862170
0,25866199
0,17957216
0,28134684
0,21311889
0,22018181
0,23736983
0,25444444
0,23219178
0,27385565
0,2663333
0,25419783
0,25383966
0,29017185
0,31331444
0,31219002
0,299000
0,28996881
0,28118279
0,27385565
0,26633333
0,25419783
0,25383966
0,29017185
0,31331444
0,31219002
0,2990000
0,28996881
0,28118279
0,34965174
0,34316724
0,32527688
0,33653025
0,36933002
0,37584447
0,36686332
0,31929220
0,32997468
0,33707809
0,39894357
107
The commom plot for predicted and real price series looks like below:
Actual vs. predicted price - ANN
Figure 12
ANN proposes a fairly stable price for the studied period, and this tends
much towards the real one in the second half of the interval. For the first half, ANN
is not accurate in forecasting, but then performs quite good, by closing in to the real
values triggered by the Volkswagen scandal.
Conclusions
The present study comprehends the empirical results of compairing ARIMA
and ANN models for estimating the future price of Volkswagen’ shares. This headto-head was employed in order to highlight which one is more accurate in the chosen
context. The conclusions show that ANN looks more appropriate for this goal, since it
performed better, being quite close to the real values in half of the studied time period,
while ARIMA proposed estimations that are far from them in the whole interval. But
this fact happens because of the dispute that involved Volkswagen. So the results can’t
be considered as absolute benchmarks, being valid only in the presented conditions.
Future research can surely clarify the problem in more depth.
REFERENCES
1. H. Al-Qaheri, A. E. Hassanien, A. Abraham - “Discovering stock price prediction
rules using rough sets”, Neural Network World, vol. 18, no. 3, pag. 181–198, 2008
2. G.Ardali, M. Khashei, M. Bijari – „Improvement of auto-regressive integrated
moving average models using fuzzy logic and artificial neural networks (ANNs)”,
Neurocomputing, vol. 72, no. 4–6, pag. 956–967, 2009
3. S. Atsalakis and K. P. Valavanis - “Forecasting stock market short-term trends
using a neuro-fuzzy based methodology”, Expert Systems with Applications, vol.
36, no. 7, pag. 10696–10707, 2009
4. M. Bijari, M. Khashei - “An artificial neural network (p, d, q) model for timeseries
108
forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 1, pag. 479–489, 2010
5. O. Choya, P. Tsanga, P. Kwoka - “Design and implementation of NN5 for
Hong stock price forecasting”, Journal of Engineering Applications of Artificial
6. G. Finnie, B. Vanstone - “An empirical methodology for developing stockmarket
trading systems using artificial neural networks”, Expert Systems with Applications,
vol. 36, no. 3, pag. 6668–6680, 2009
7. A. Ghanbari, E. Hadavandi, H. Shavandi - “Integration of genetic fuzzy systems
and artificial neural networks for stock price forecasting”, Knowledge-Based
Systems, vol. 23, no. 8, pag. 800–808, 2010
8. K. Hilovska, J. Sterba - “The implementation of hybrid ARIMA neural network
prediction model for aggregate water consumption prediction”, Aplimat—Journal
of Applied Mathematics, vol. 3, no. 3, pag. 123–131, 2010
9. K. Huarng, H. Yu - “A neural network-based fuzzy time series model to improve
forecasting”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no. 4, pag. 3366–3372,
2010
10. E. Khan - “Neural fuzzy based intelligent systems and applications”, Fusion of
Neural Networks, Fuzzy Systems, and Genetic Algorithms Industrial Application,
pag. 107–139, CRC Press, New York, USA, 2000
11. C. Lee, Y. Sehwan, J. Jongdae - “Neural network model versus SARIMA model
in forecasting Korean stock price index (KOSPI)”, Issues in Information System,
vol. 8, no. 2, pag. 372–378, 2007
12. N. Merh, V. P. Saxena, R. Pardasani - “A comparison between hybrid approaches
of ANN and ARIMA for Indian stock trend forecasting”, Journal of Business
13. K.Mitra - “Optimal combination of trading rules using neural networks”,
International Business Research, vol. 2, no. 1, pag. 86–99, 2009
14. M. Mostafa – „Forecasting stock exchange movements using neural networks:
empirical evidence from Kuwait”, Expert Systems with Applications, vol. 37, no.
9, pag. 6302–6309, 2010
15. A. Napitupulu, B. Wijaya, S. Kom - “Stock price prediction: Comparison of Arima
and artificial neural network methods—an Indonesia stock’s case”, Proceedings
of the 2nd International Conference on Advances in Computing, Control and
Telecommunication Technologies, pag. 176–179, December 2010
16. L. Poh, T.Yao, C. Tan - “Neural networks for technical analysis: a study on
KLCI,” International Journal of Theoretical and Applied Finance, vol. 2, no. 2,
pag. 221–241, 1999
17. V. Prybutok, J. Yi, D. Mitchell - “Comparison of neural network models with
ARIMA and regression models for prediction of Houston’s daily maximum ozone
concentrations”, European Journal of Operational Research, vol. 122, no. 1, pp.
31–40, 2000
18. H. Roh - “Forecasting the volatility of stock price index”, Expert Systems with
Applications, vol. 33, no. 4, pag. 916–922, 2007
19. G. Zhang, B. Patuwo, Y. Hu - “Forecasting with artificial neural networks: the
state of the art”, International Journal of Forecasting, vol. 14, no. 1, pag. 35–62,
1998
109
Condiţii pentru prezentarea materialelor spre publicare
Lucrările ştiinţifice sau tehnice, originale, se pot prezenta redacţiei spre
publicare fie sub formă de articole, fie sub formă de scurte comunicări în limba română
şi în limba engleză (traducere integrală).
Precizările privind condiţiile tehnice pentru predarea materialelor se află pe
site-ul www.revistadestatistica.ro, secţiunea „Procesul de recenzare”.
Conditions for the articles designated for the Romanian Statistical Review
The original scientific or technical works can be sent to be published either
under article form or short communications in Romanian and English (complete
translation).
The technical conditions for the articles to be presented can be found at
www.revistadestatistica.ro in the “Peer review” section.
ISSN 1018-046X
Reproducerea conţinutului articolelor fără acordul Institutului
Naţional de Statistică este interzisă, iar utilizarea conţinutului acestei
publicaţii, cu titlul explicativ sau justificativ, în diferite lucrări este autorizată
numai cu precizarea clară a sursei.
Se precizează că punctele de vedere, datele şi informaţiile cuprinse în
articolele publicate aparţin autorilor şi nu angajează răspunderea Institutului
Naţional de Statistică
110

Revista Română de Statistică Supliment

Transcription

Similar documents

SNS_Versiune 30 noiembrie 2013