Equaç˜oes de Navier-Stokes e turbulência Ricardo - DMA

Equações de Navier-Stokes e turbulência
Ricardo M. S. Rosa
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
(IM-UFRJ)
24 a 27 de fevereiro de 2003
Programa de Verão do LNCC
1
Tı́tulo alternativo:
Métodos matemáticos em dinâmica dos fluidos
Tópicos:
• Teoria estatı́stica convencional de turbulência
• Sistemas dinâmicos
• Teoria matemática das equações de Navier-Stokes
• Formulação matemática da teoria convencional de
turbulência
2
1. Conceitos básicos da teoria convencional de
turbulência
– Ordem e médias estatı́sticas
– Turbulência homogênea e isotrópica
– Espectro de energia
– Cascata de energia
– A teoria homogêna isotrópica local de Kolmogorov
– estruturas coerentes e intermitência
– Graus de liberdade
– Lei de dissipação de energia
– Número de Reynolds, lei de Moore e DNS
– Cascata de enstrofia e espectro de Kraichnan em 2D
3
2. Algumas aplicações de sistemas dinâmicos
– imprevisibilidade determinı́stica
– ligações homoclı́nicas e intermitência
– turbulência fraca × plenamente desenvolvida
– bifurcações e transição para turbulência
– dinâmica de lóbulos e transporte lagrangiano
– ENS como sistema dinâmico em dimensão infinita
– atratores, dimensão e graus de liberdade
– variedades inerciais/lentas e o problema da
inicialização em previsões
4
3. Teoria matemática das equações de Navier-Stokes
– O prêmio de US$ 1, 00 × 106 da Fundação Clay
– Formulação matemática das ENS segundo Leray
– Existência global de solução fraca
– Unicidade local de solução forte
– Singularidades no tempo
– Dimensão de Hausdorff das singularidades temporais
– Singularidades no tempo e no espaço
– Dimensão de Hausdorff das singularidades
espaço-temporais
– Regularidade eventual e regularidade assintótica
5
4. Formulação matemática da teoria convencional de
turbulência
– Soluções estatı́sticas e equação de Liouville-Foias
– As equações de Reynolds para soluções estatı́sticas
– Equações de fluxo de energia
– Cascata de energia
– Estimativas de quantidades fı́sicas
– Cascata de enstrofia em duas dimensões
– Condições para turbulência forçada
– Turbulência homogênea em decaimento
– Leis de potência
6
Escoamentos turbulentos: várias escalas presentes, se
movendo de maneira imprevisı́vel, mas bem comportadas
em um sentido estatı́stico.
7
Reynolds (1895):
Decomposição do escoamento em
escoamento médio + flutuações
1.2
1.2
0.8
0.8
0.4
0.4
0
0
−0.4
−0.4
−0.8
−0.8
−1.2
−1.2
0
0.1 0.2
0.3 0.4 0.5
0.6 0.7
0.8 0.9 1.0
0
Escoamento médio previsı́vel?
8
0.1 0.2
0.3 0.4 0.5
0.6 0.7
0.8 0.9 1.0
Tipos de média:
1
Média temporal: U(x) ≈
T
Z
T
u(t, x) dt
0
N
1 X (n)
u (t, x)
Média experimental: U(x) ≈
N n=1
Hipótese ergódica:
Os valores médios independem do tipo de média
considerada
Reynolds:
Operação formal de média, satisfazendo propriedades de
linearidade.
9
Quantidades médias - notação
N
1 X
ϕ(u(n) )
ϕ(u) ou hϕ(u)i =
N n=1
onde u = u(t, x) e ϕ = ϕ(u).
Exemplos:
u1 (t, x),
hu1 (t, x)i,
ρ0
h|u(t, x)|2 i
2
Linearidade:
∂u3
∂u3
=
,
∂x2
∂x2
h
Z
u(t, y) dyi =
Ω
Z
hu(t, y)i dy,
Ω
hu1 (x)u2 (y)i 6= hu1 (x)i hu2 (y)i
10
Pausa para a notação
• Região Ω ⊂ R3 ocupada pelo fluido
• Variáveis espacial x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Ω e temporal t ≥ 0
• Campo de velocidades u = u(t, x) = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3
• Pressão p = p(t, x) ∈ R e força de volume f = (f1 , f2 , f3 )
• Equações de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento
incompressı́vel e homogêneo, viscosidade cinemática ν :

3
3
X
X
forma  ∂ui
∂ui
∂p
∂ui
+
+
= ν∆ui + fi ,
=0
uj
∂x
∂x
∂x
j
i
i
escalar  ∂t
j=1
i=1
forma
vetorial
∂u
+ (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f ,
∂t
∇·u=0
11
• Escoamento médio
N
1 X (n)
U (x, t) = hu(t, x)i =
u (t, x)
N n=1
• Energia cinética média por unidade de massa:
N
1
1 X 1 (n)
2
e(t, x) = h|u(t, x)| i =
|u (t, x)|2
2
N n=1 2
• Razão de dissipação viscosa de energia por unidade
de tempo e unidade de massa:
N
3
ν X X
2
(t, x) = νh|∇ ⊗ u(t, x)| i =
N n=1 i,j=1
12
(n)
∂ui
∂xj
!2
Equação de energia
• Equações de Navier-Stokes:
∂u
− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ,
∂t
∇ · u = 0,
• Multiplicando as ENS por u e integrando no domı́nio:
Z
(ENS) · u dx = 0
Ω
• Usando as condição de incompressibilidade:
Z
Z
1 d
2
|u| + ν
|∇ ⊗ u|2 + (termos no bordo) = 0
2 dt Ω
Ω
Fora os termos de produção de energia.
13
Equações de Reynolds para o escoamento médio
• Equações de Navier-Stokes:
∂u
− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = 0,
∂t
∇ · u = 0.
• Substituindo u = U + u0 e tomando a média:
∂U
− ν∆U + (U · ∇)U + ∇P = −∇ · (u0 ⊗ u0 ),
∂t
∇ · U = 0.
• ρ0 (u0 ⊗ u0 ) = ρ0 (u0i u0j )3i,j=1 = tensor de Reynolds.
14
Escoamentos turbulentos médios
Em canais:
camadas
Várias camadas com diferentes perfis de velocidade média
(simplificação do tensor de Reynolds via simetrias, análise
dimensional, argumentos fenomenológicos, ...)
Analogamente para outras geometrias (canos, etc.)
15
Correlações e métodos estatı́sticos - Taylor (1921,35)
Correlações (2-pontos): hui (x)uj (x + `)i
PSfrag replacements
u(x)
u(x + `)
• u(n) (x + `) e u(n) (x) apontam freqüentemente na mesma
direção e mesmo sentido ⇒ hui (x)ui (x + `)i > 0 e as
velocidades estão correlacionadas.
• u(n) (x + `) e u(n) (x) apontam em direções
arbitrariamente diferentes ⇒ hui (x)ui (x + `)i = 0 e as
velocidades não estão correlacionadas.
16
Turbulência homogênea - Taylor (1935)
Em certos escoamentos, correlações são homogêneas:
hui (x)uj (x + `)i = função apenas de `, independe de x
17
Comprimento de Taylor (1921,1935)
Correlação lateral de segunda ordem normalizada:
g(`) =
hu1 (x)u1 (x + `e2 )i
,
hu1 (x)2 i
` ∈ R.
• g(0) = 1
• Homogeneidade implica em g(−`) = g(`), logo
g 0 (0) = g 000 (0) = . . . = 0.
2
4
`
+O
• g(`) = 1 − ``T
`0
T
• `T = comprimento de Taylor
1h
∂u1 (x)
∂x2
2
i
1 − g(`)
1
1 00
• 2 = lim
= g (0) =
`→0
`T
`2
2
2 hu1 (x)2 i
18
rag replacements
Comprimento de Taylor - verificação experimental
hu1 (x)u1 (x + `e2 )i
g(`) =
=1−
hu1 (x)2 i
`
`T
2
+O
`
`0T
4 !
`T = “comprimento médio dos menores turbilhões
responsáveis pela dissipação de energia pela viscosidade”
19
Turbulência homogênea isotrópica - Taylor (1935)
Em certos escoamentos turbulentos, em particular quando o
escoamento médio é desprezı́vel, as correlações são
homogêneas e isotrópicas no espaço, isto é independentes
de translações e rotações do conjunto de pontos.


 função apenas do módulo ` = |`|,
hui (x)uj (x + `)i =
`

 independe de x e da direção
|`|
u2 (x + `e2 )
u1 (x − `e1 )
`
u2 (x)
u1 (x)
`
20
Conseqüências da isotropia
Kármán e Howarth (1937) mostraram que em escoamentos
homogêneos isotrópicos, correlações de segunda ordem
podem ser escritas em termos de apenas uma correlação
hui (x)uj (x + `)i
hu(x)2 i
3
=
i,j=1
f (`) − g(`)
` ⊗ ` + g(`)δi,j ,
`2
onde
f (`) =
hu1 (x)u1 (x + `e1 )i
,
hu(x)2 i
g(`) =
hu1 (x)u1 (x + `e2 )i
hu(x)2 i
e, da condição de incompressibilidade,
`
f (`) + f 0 (`) = g(`).
2
Verificado experimentalmente por Taylor (1937).
21
Espectro de energia e correlações - Taylor (1938)
• Traço do tensor de correlações
Tr R(`) = R11 (`) + R22 (`) + R33 (`),
Rij = hui (x)uj (x + `)i
• Transformada de Fourier Q(κ) de Tr R(`)
Z
1
Tr R(`) =
Q(κ)ei`·κ dκ
3/2
(2π)
R3
• Espectro de energia (segundo Batchelor (1953))
Z
1
1
Q(κ) dΣ(κ)
S(κ) =
2 (2π)3/2 |κ|=κ
Z ∞
1
1
=⇒ e = h|u(x)|2 i = Tr R(0) =
S(κ) dκ
2
2
0
22
Cascata de energia - Richardson (1922)
rag replacements
injeção de energia
transferência/cascata
de energia
dissipação de energia
23
Teoria de Kolmogorov
• Produção de energia nas grandes escalas ` ∼ `0
• No intervalo de equilı́brio, ` `0 , o escoamento tem
um comportamento universal, independente das
caracterı́sticas de produção de energia e dependentes
apenas de ν e .
• A viscosidade se torna importante apenas a partir de
escalas muito menores, da ordem do comprimento de
Kolmogorov, ` = (ν 3 /)1/4 .
• No intervalo inercial, `0 ` ` , a viscosidade é
desprezı́vel em relação às forças de inercia (cinéticas),
com o espectro de energia S(κ) ∼ 2/3 κ−5/3 .
24
Teoria de turbulência homogênea isotrópica local Kolmogorov (1941)
• Correlações de diferenças de velocidades são
homogêneas e isotrópicas no espaço e em equilı́brio
estatı́stico (homogêneas) no tempo.
• (Homogeneidade) = ν2 h|∇ ⊗ u(t, x)|2 i independe de t, x.
• 1.a hipótese de similaridade: correlações dependem
apenas de e ν (nas escalas suficientemente menores
que as de produção de energia, `0 )
• 2.a hipótese de similaridade: Há um subintervalo de
escalas no qual as correlações dependem apenas de 25
Comprimento de Kolmogorov (1941)
É o comprimento ` para o qual os efeitos de viscosidade e
inércia são comparáveis e significativos.
Pela transformação `0 = `/λ, t0 = t/τ , temos
τ3
= 2 .
λ
τ
ν = 2 ν,
λ
0
0
Logo,
0
ν =1=
0
1/4
` = λ =
.
ν3
⇐⇒
26
A lei de potência 2/3 de Kolmogorov (1941)
Pela segunda hipótese de similaridade, as correlações para
` ` `0 só dependem de .
2
`
i = g(`, ).
S2 (`) = h (u(x + `) − u(x)) ·
|`|
Pela similaridade, S20 (`0 ) = g(`0 , 0 ), logo
` τ3
τ2
S
(`)
=
g(
, ).
2
λ2
λ λ2
Tomando
τ3
= 1,
λ2
`
= 1,
λ
=⇒
S2 (`) = g(1, 1)
`2
λ2
=
g(1,
1)
= const. (`)2/3 .
τ2
(`2/3 /1/3 )2
27
O espectro −5/3 de Kolmogorov
L3
• S(κ) = espectro de energia ⇒ dimensão =
T
L2
• = razão de dissipação de energia no tempo = 3
T
• Hipótese de similaridade ⇒ S(κ) depende de e κ (no
intervalo inercial)
−1
• Intervalo inercial: κ0 κ κ , κ0 = `−1
0 , κ = `
• Análise dimensional ⇒
S(κ) = const. 2/3 κ−5/3 ,
28
κ0 κ κ Espectro de energia - mecanismo de Oboukhof (1941)
• Energia cinética média para os turbilhões de
comprimento ` = 1/κ:
eκ = S(κ)κ
• Tempo caracterı́stico para esses turbilhões:
τκ = (S(κ)κ3 )1/2
• No intervalo inercial, energia cinética é transferida para
as escalas menores, à razão temporal da ordem da
eκ
razão de dissipação de energia:
∼
τκ
• Logo,
S(κ)κ
∼
(S(κ)κ3 )1/2
=⇒
S(κ) ∼ 2/3 κ−5/3
29
Teoria de Kolmogorov
• Produção de energia nas grandes escalas ` ∼ `0
• No intervalo de equilı́brio, ` `0 , o escoamento tem
um comportamento universal, independente das
caracterı́sticas de produção de energia e dependentes
apenas de ν e .
• A viscosidade se torna importante apenas a partir de
escalas muito menores, da ordem do comprimento de
Kolmogorov, ` = (ν 3 /)1/4 .
• No intervalo inercial, `0 ` ` , a viscosidade é
desprezı́vel em relação às forças de inercia (cinéticas),
com o espectro de energia S(κ) ∼ 2/3 κ−5/3 .
30
rag replacements
Diagrama da teoria de Kolmogorov
Os espectros de energia e de dissipação de energia
S(κ)κ/e
κ0
νκ2 S(κ)κ/
intervalo
inercial
intervalo
de dissipação
κ
intervalo de equilı́brio
31
Espectro de energia
32
κ
Estruturas coerentes e intermitência
• Universalidade questionada devido a variações
intermitentes na dissipação de energia • Estruturas coerentes: filamentos de vórtices com baixa
dissipação de energia, diâmetro da ordem do
comprimento de Kolmogorov e comprimento variando
entre comprimento de Taylor e escala integral.
33
34
Graus de liberdade - Landau e Lifchitz (1971)
• Teoria de Kolmogorov: escalas ` ` são dominadas
pela dissipação e irrelevantes para o movimento
• Basta representarmos as escalas de ordem até `
• Basta uma malha de espaçamento ∼ `0 /`
• Graus de liberdade: (`0 /` )3
`0
PSfrag replacements
`
35
Número de Reynolds
• Escala de comprimento: L
• Escala de velocidade: U
U2
• Dimensão fı́sica do termo inercial: (u · ∇)u ∼
L
• Dimensão fı́sica do termo viscoso: ν∆u ∼
• Razão entre os dois termos:
Re =
inercial
LU
=
viscoso
ν
• Re >> 1 ⇒ termo inercial domina
• Re << 1 ⇒ viscosidade domina
36
νU
L2
Lei de dissipação de energia
• Comprimento das grandes escalas: `0
• Velocidade das grandes escalas: U0
• Energia cinética das grandes escalas: e0 = U02 /2
• Tempo de circulação das grandes escalas: τ0 = `0 /U0
• Razão de dissipação de energia por unidade de tempo
(escoamentos em equilı́brio estatı́stico):
e0
∼
τ0
⇒
U03
∼
(lei de dissipação de energia)
`0
• Mais precisamente, lei considerada para escala integral
Z ∞
1
0
hu1 (x)u1 (x + `e1)i d`
`0 = 2
hu1 i 0
e velocidade turbulenta U00 = hu1 (x)2 i1/2
37
Graus de liberdade em termos do número de Reynolds
• Número de Reynolds das grandes escalas: Re = `0 U0 /ν
• Comprimento de Kolmogorov: ` = (ν 3 /)1/4
• Lei de dissipação de energia: ∼ U03 /`0
• Logo, `0 /` ∼ Re3/4
• Graus de liberdade:
N∼
`0
`
38
3
∼ Re9/4
Exemplos de números de Reynolds de escoamentos
• Túnel de vento `0 ∼ 2m, U0 ∼ 5m/s, ν ∼ 10−5 m2 /s
⇒ Re ∼ 106 ,
N ∼ 1013 ,
` ∼ 0.1mm
• Escoamentos geofı́sicos `0 ∼ 10000km, U0 ∼ 100km/h,
⇒ Re ∼ 1012 ,
N ∼ 1027 ,
` ∼ 1cm
Obs: estimativas aproximadas, pois não estamos
considerando a escala integral e a intensidade turbulenta.
39
Número de Reynolds e CFD
• Para a representação espacial apropriada do
escoamento: N ∼ Re9/4 graus de liberdade.
• Para escoamentos periódicos 3D (via fft): N ln N
operações de ponto flutuante (flop) por iteração.
• Como a escala de tempo dos menores turbilhões é
τ = (`2 /)1/3 = (ν/)2 , precisamos (usando ∼ U0 /`0 ), de
τ0 /τ = (`0 U0 /ν)1/2 = Re1/2 iterações para integração em
um ciclo de circulação das grandes escalas, logo
N 11/9 ln N ∼ Re11/4 ln Re flop para cada ciclo.
• Com os supercomputadores teraflop (1012 flop/s),
podemos chegar a aproximadamente Re ∼ 104 .
• Para escoamentos com simetria: Re ∼ 105 , 106 .
40
• Lei de Moore: performance ×1.58 por ano.
• Mudanças na arquitetura: performance ×1.82 por ano.
41
Previsão para DNS: Re= 1013 em 2100?
• Para simulação DNS homogênea: P ∼ Re3 flop/s.
• Como a “performance” P ∼ Re4/11 se multiplica por 1.82
por ano, temos Re se multiplica por (1.82)4/11 ≈ 1.243.
14
10
13
10
12
10
11
10
10
10
9
10
8
10
7
10
6
10
5
10
4
10 2000
2010
2020
2030
2040
2050
42
2060
2070
2080
2090
2100
rag replacementsTurbulência em duas dimensões
Z
1
|ω(x)|2 dx
• Conservação de enstrofia:
2 Ω
• Cascata de enstrofia para as escalas menores
• Cascata inversa de energia para as escalas maiores
S(κ)κ/e
νκ2 S(κ)κ/
produção
cascata
cascata
de enstrofia de enstrofia
inversa
de energia
νκ4 S(κ)κ/η
dissipação
de enstrofia
κ
43
O espectro de Kraichnan (1967)
• Injeção de enstrofia nas escalas κ ∼ κf
• Razão de dissipação de enstrofia η
• Comprimento de Kraichnan κη = (η/ν 3 )1/6
• Dissipação de enstrofia nas escalas κ & κη
• Cascata de enstrofia em κf κ κη
• Espectro de Kraichnan S(κ) ∼ η 2/3 κ−3 em κf κ κη
• Cascata inversa de energia em κ0 κ κf
• Espectro de Kolmogorov S(κ) ∼ 2/3 κ−5/3 em
κ0 κ κ f
44
Equações de Navier-Stokes e turbulência
Ricardo M. S. Rosa
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
(IM-UFRJ)
24 a 27 de fevereiro de 2003
Programa de Verão do LNCC
1
Tı́tulo alternativo:
Métodos matemáticos em dinâmica dos fluidos
Tópicos:
• Teoria estatı́stica convencional de turbulência
• Sistemas dinâmicos
• Teoria matemática das equações de Navier-Stokes
• Formulação matemática da teoria convencional de
turbulência
2
Algumas aplicações de sistemas dinâmicos:
• imprevisibilidade determinı́stica
• ligações homoclı́nicas e intermitência
• turbulência fraca × plenamente desenvolvida
• bifurcações e transição para turbulência
• dinâmica de lóbulos e transporte lagrangiano
• NSE como sistema dinâmico em dimensão infinita
• atratores, dimensão e graus de liberdade
• variedades inerciais/lentas e o problema da inicialização
em previsões
3
Sistema de Lorenz (1963)
Sistema obtido a partir de equações de convecção térmica,
de um fluido aquecido por baixo, truncando bruscamente as
equações em apenas três modos de Fourier (um para a
velocidade e dois para a temperatura), representando
perturbações das células de convecção de Bénard (dois
modos de Fourier)
 0
x = −σx − σy



y 0 = rx − y − xz


 z 0 = xy − bz
Parâmetros clássicos: σ = 10, r = 28, b = 8/3
4
rag replacements
Atrator de Lorenz (1963)
E a série temporal de x(t)
Z
21
44.8
17
13
9
5
25.2
1
−3
−7
5.6
22
−11
−15
−1
Y
−24
−0.5
X
−18.0
−19
17.1
0
4
8
12
16
20
24
28
32
5
Imprevisibilidade I
x(0) = −3, y(0) = −6,
z(0) = 12
21
17
13
9
5
1
−3
−7
−11
−15
−19
19
0
4
8
12
x(0) = −3.01,
16
20
24
y(0) = −6,
28
32
36
40
36
40
z(0) = 12
15
11
7
3
−1
−5
−9
−13
−17
0
4
8
12
16
20
24
6
28
32
36
40
rag replacements
Imprevisibilidade II
x(0) = −3, y(0) = −6,
z(0) = 12
21
17
13
9
5
1
−3
−7
−11
−15
−19
18
0
4
8
12
16
x(0) = −3 + 10−12 ,
20
24
28
y(0) = −6,
32
36
40
z(0) = 12
14
10
6
2
−2
−6
−10
−14
−18
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
7
Sistemas dinâmicos
• Poincaré já havia observado, no inı́cio do século XX, a
imprevisibilidade e a riqueza da dinâmica de sistemas
determinı́sticos, estudando o problema da estabilidade
do sistema solar (e extrapolando para a meteorologia);
• Sistemas autônomos de duas equações diferenciais
ordinárias são bem comportados;
• Sistemas autônomos de mais de duas equações podem
exibir comportamento caótico;
• Sistemas não-autônomos de duas equações e
mapeamentos (sistemas dinâmicos discretos) de uma
ou mais dimensões também podem exibir
comportamento caótico.
8
Crescimento exponencial
Um dos mecanismos responsáveis pela imprevisibilidade
(quando associado a não-linearidade, etc.)
Se x2 (t) − x1 (t) = eλt (x2 (0) − x1 (0)) e λ = 3, então em t = 10,
erro é amplificado por e30 ≈ 1013 .
x
x2 (t)
PSfrag replacements
x1 (t)
x2 (0)
x1 (0)
t
9
Quebra de ligação homoclı́nica
10
Ligações heteroclı́nicas
11
Ciclos homocı́nicos e intermitência
x
12
Transporte de temperatura na Corrente do Golfo
13
Transporte Lagrangiano - escoamento de Rossby
• Campo de velocidades do escoamento u(t, x)
• Transporte Lagrangiano:
dx(t)
= u(t, x(t))
dt
• Escoamento de Rossby:
14
Transporte Lagrangiano - perturbação do Rossby
• Quebra da ligações heterocı́nicas
• Aproximação de variedades invariantes
15
Método de Melnikov e dinâmica de lóbulos
16
Turbulência fraca × plenamente desenvolvida
• Teoria estatı́stica convencial trata de turbulência
plenamente desenvolvida
• Teoria geométrica de sistemas dinâmicos tem sido útil
em turbulência fraca
• Aplicação da teoria de bifurcações em transição para
turbulência
• DNS (Simulação numérica direta): auxı́lio fundamental
nos métodos de sistemas dinâmicos
17
Transição para turbulência
18
O problema de Couette-Taylor
Couette: ωi = 0, ωe 6= 0
Mallock, Taylor: ωi 6= 0, ωe = 0
ωe
ωi
re
ri
PSfrag replacements
19
Couette-Taylor - bifurcações, ωe = 0, ωi > 0
escoamento de Couette
escoamento de Taylor
ponto fixo
ponto fixo
escoamento "wavy vortex"
ondas moduladas
órbita quasi−periódica (toro T^2)
órbita quasi−periódica (toro T^n)
20
Bifurcações Couette-Taylor - 2 parâmetros Reynolds
Rei =
ri (re − ri )ωi
,
ν
Ree =
re (re − ri )ωe
.
ν
21
Bifurcações e transição para turbulência
• Bifurcações para outros pontos fixos, órbitas periódicas,
toros T 2 , T 3 , T 4 , . . ., do tipo Ruelle-Takens-Sell de T 2
para um atrator estranho, etc.;
• Bifurcações: em um certo sentido, extensão não-linear
do método de linearização - procuramos reduzir a
equação para x0 = λx, com λ 6= 0, mas se λ = 0,
precisamos dos termos de ordem mais alta;
• Bifurcações locais e globais
22
Bifurcações unidimensionais - “pitchfork”
• x0 = λx − x3 ,
λ∈R
√
• pontos fixos: x̄ = 0 (se λ ≤ 0), x̄ = 0, ± λ (se λ > 0)
• λ ≤ 0 ⇒ todas soluções x(t) → 0
t−→∞
√
• λ > 0 ⇒ x(t) → ± λ
t−→∞
• λ = 0 ⇒ derivada de F (x) = λx − x3 se anula em x = 0
x
x2 = λ
PSfrag replacements
λ
23
Bifurcações unidimensionais - sela-nó e transcrı́tica
• x0 = λ − x 2
x
x2 = λ
PSfrag replacements
λ
PSfrag replacements
• x0 = λx − λx2
x
x
x=λ
x2 = λ
λ
24
Bifurcação de Hopf
• Em coordenadas cartesianas
• Em coordenadas polares
(
(
x0 = λx − y − x3 − xy 2
y 0 = x + λy − x2 y − y 3
r 0 = λr − r 3
θ0 = 1
y
PSfrag replacements
x
λ
25
Mapas de Poincaré e bifurcações dinâmicas
Bifurcações a partir de órbitas periódicas, homoclı́nicas,
etc., podem ser estudadas construindo-se mapeamentos
dentro do espaço de fase de sistemas contı́nuos
26
Duplicação de perı́odo
Através de bifurcação tipo “flip” (“multiplicação por −1”)
no mapeamento de Poincaré
27
Bifurcação de Hopf de órbita periódica para toro
Através de bifurcação de Hopf no mapa de Poincaré
28
Redução de dimensão
• Variedade central
• Em x0 = F (x), multiplicidade algébrica n do autovalor
zero de DF (x̄) ⇒ redução para sistema de dimensão n
• Redução de Liapunov-Schmidt para x0 = F (x, λ)
• Formas normais, teoria de singularidades, etc.
29
Equação funcional para ENS
• Equações de Navier-Stokes:
∂u
− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ,
∂t
∇ · u = 0.
• Tomando divergente da ENS obtemos equação para
pressão (assumindo ∇ · f = 0), como função de u
−∆p = ∂xi uj ∂xj ui
(condições de Neumann no bordo)
• No espaço das funções de divergente nulo, equação
apenas para o campo de velocidades u:
du
= F(u),
dt
F(u) = f − νAu − B(u, u)
30
ENS como sistema dinâmico de dimensão infinita
• ENS funcional em espaços de divergente nulo
du
= F(u),
dt
F(u) = f − νAu − B(u, u)
• Existência e unicidade de solução global (ENS 2D):
∀u0 ,
∃u(t), ∀t ≥ 0,
u(0) = u0
• Sistema dinâmico: S(t)u0 = u(t), t ≥ 0
PSfrag replacements
S(t)u0 = u(t)
u0
• Vários conceitos se aplicam em 3D, apesar de faltar
existência/unicidade global (no tempo)
31
PSfrag Atrator
replacements
global
órbita
Exemplo 1
A
• Conjunto compacto A
• Invariante: S(t)A = A, ∀t ∈ R
• Atrai todas as órbitas, uniformemente para condições
PSfrag replacements
iniciais limitadas
A
órbita
Exemplo 1A
órbita
Exemplo 2
32
Existência de atrator global
• Existência de um conjunto absorvente limitado B
(n)
{u0 }n limitado ⇒ ∃T, S(t)u0 ∈ B, ∀t ≥ T
• Compacidade assintótica para conjuntos limitados de
condições iniciais
(n )
∃ subseqüência convergente S(tnj )u0 j , ∀tn → ∞
PSfrag replacements
n
o
(nj )
• A = ω(B) = v = limt→∞ S(tnj )u0 , {u0 (nj )} ⊂ B
(1)
(2)
u0
u0
(4)
u0
B
(3)
u0
(3)
ω(u0 )
33
Dimensão do atrator global
• Sendo compacto, A pode ser aproximado por
subespaços afins de dimensão finita
• Na maioria dos casos, A tem dimensão fractal finita
• Nesses casos, A pode ser imerso em variedades
euclidianas de dimensão finita
• Possibilidade de se obter sistemas finitos de EDOs com
o mesmo comportamento assintótico
diminuição de volumes para dimensão fractal finita
34
Dimensão do atrator das ENS
• dimf A . graus de liberdade Landau-Lifchitz
2 1/3
`0
`0
• ENS 2D periódico: dimf A .
1 + ln
`η̄
`η̄
2
`0
• ENS 2D com aderência na fronteira: dimf A .
`¯0
• ENS 3D, para conjuntos invariantes regulares V :
3
`0
dimf A .
`¯
• onde η̄ e ¯0 similares a
1
¯ = ν lim sup sup
T →∞ u0 ∈V T
Z
0
T
Z
Ω
|∇ ⊗ u(t, x)|2 dxdt
35
Variedade inercial
• Variedade Lipschitz de dimensão finita
• Positivamente invariante, i.e. S(t)M ⊂ M, ∀t ≥ 0
• Atrai todas as órbitas exponencialmente e
uniformemente para condições iniciais limitadas
u0
u = u(t)
M
rag replacements
A
36
Completude assintótica de variedades inerciais
• Em geral, para toda solução u = u(t), existe solução
v = v(t) ∈ M com o mesmo comportamento assintótico
lim |u(t) − v(t)| = 0
e
t→∞
ω(u) = ω(v)
• Atração exponencial ⇒ M captura boa parte do
comportamento transiente
u
PSfrag replacements
v
M
37
Existência de variedades inerciais
• Requer forte dissipação (contração uniforme de
volumes)
• Existência demonstrada para várias equações em uma
dimensão espacial e em casos especiais em 2D
• Em aberto para NSE 2D e 3D
• Transformada de Kwak ainda incompleta
• Relação com variedades lentas em meteorologia
dados atmosféricos
variedade inercial
inicializações
38
Aproximação de variedades inerciais
• Métodos numéricos mais precisos baseados em
aproximações de variedades inerciais
• Eficiência depende da regularidade das soluções e do
objetivo do estudo
• Apropriado para estudos da dinâmica (e.g. captura de
ligações heteroclı́nicas)
variedade inercial aproximada
variedade inercial
aproximação de Galerkin
39
Controle de dimensão finita
• Variedade inercial ⇒ dinâmica de dimensão finita
• Possibilidade de controle de dimensão finita, para
aumentar ou diminuir comportamento caótico
• Resultados teóricos positivos
• Controle distribuido × controle no bordo
• Viabilidade dos métodos?
• Utilização de aproximações de variedades invariantes
40
Atrator exponencial
• Intermediário entre atrator global e variedade inercial
• Aproxima exponencialmente as órbitas mas não é
variedade euclidiana
• Existência para várias equações, inclusive ENS 2D
• Parametrização por mapeamentos Hölder-contı́nuos
• Resultados parciais sobre existência de sistemas de
dimensão finita com dinâmica equivalente
atrator exponencial
parametrização do atrator exponencial
41
Atratores locais e teoria ergódica
42
Equações de Navier-Stokes e turbulência
Ricardo M. S. Rosa
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
(IM-UFRJ)
24 a 27 de fevereiro de 2003
Programa de Verão do LNCC
1
Tı́tulo alternativo:
Métodos matemáticos em dinâmica dos fluidos
Tópicos:
• Teoria estatı́stica convencional de turbulência
• Sistemas dinâmicos
• Teoria matemática das equações de Navier-Stokes
• Formulação matemática da teoria convencional de
turbulência
2
Teoria matemática das equações de Navier-Stokes
• O prêmio de US$ 1, 00 × 106 da Fundação Clay
• Formulação matemática das ENS segundo Leray
• Existência global de solução fraca
• Unicidade local de solução forte
• Singularidades no tempo
• Dimensão de Hausdorff das singularidades temporais
• Singularidades no tempo e no espaço
• Dimensão de Hausdorff das singularidades
espaço-temporais
• Regularidade eventual e regularidade assintótica
3
Equações de Navier-Stokes
• Região Ω ⊂ R3 ocupada pelo fluido
• Variáveis espacial x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Ω e temporal t ≥ 0
• Campo de velocidades u = u(t, x) = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3
• Pressão p = p(t, x) ∈ R e força de volume f = (f1 , f2 , f3 )
• Equações de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento
incompressı́vel e homogêneo, viscosidade cinemática ν :

3
3
 ∂u
X
X
∂ui
∂p
∂ui
forma
i
uj
+
= ν∆ui + fi ,
=0
+
∂x
∂x
∂x
escalar  ∂t
j
i
i
i=1
j=1
∂u
forma
+ (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f , ∇ · u = 0
vetorial ∂t
4
Prêmio: US$ 1, 00 × 106 da Clay Foundation
Problema A: (Solução global) Dado u0 suave, com
∇ · u0 = 0 e |∂xki u0 (x)| ≤ ckm (1 + |x|)−m , k, m ∈ N, x ∈ R3 , achar
soluções suaves u = u(t, x), p = p(t, x) das ENS em Ω = R3 ,
R
com u, p ∈ C ∞ ([0, ∞) × R3 ), Ω |u(t, x)|2 dx ≤ C, ∀t ≥ 0, e
u(0, x) = u0 (x).
Problema B: (explosão em tempo finito) Mostrar
existência de u0 e f suaves, com ∇ · u0 = 0 e
|∂xki u0 (x)| ≤ ckm (1 + |x|)−m , |∂tr ∂xki u0 (x)| ≤ crkm (1 + t + |x|)−m ,
r, k, m ∈ N, t ≥ 0, x ∈ R3 , tais que que não existam soluções
das ENS em R3 como acima.
Problemas A’, B’: versões com condições periódicas de
contorno.
5
Resultados conhecidos
• Existência global (no tempo) de soluções fracas (não
necessariamente regulares)
• Existência por tempo finito de soluções suaves
• Um pouco de regularidade (e.g. H 1 (Ω)) implica em
soluções suaves
• Existência global de soluções regulares em duas
dimensões
• Soluções fracas não são necessariamente únicas (para
cada condição inicial dada)
• Um pouco de regularidade implica em unicidade
6
Uma formulação matemática das ENS
• Primeiro passo: eliminar a pressão considerando
espaços de divergente nulo
• Condição natural para o campo de velocidades:
Z
|u(x)|2 dx < ∞ ⇔ energia cinética finita
Ω
• Espaço de partida:
Z
2
2
3
2 def
|u(x)| dx < ∞
L (Ω) = u : Ω → R , |u| =
Ω
• Subespaço de divergente nulo:
H = u ∈ L2 (Ω); ∇ · u = 0 + (condições de contorno)
7
• H é um subespaço vetorial fechado de L2
PSfrag replacements
H⊥
• Decomposição ortogonal L2 = H ⊕ H ⊥
H
• Projeção ortogonal PLH : L2 → H e QLH = I − PLH
• Decomposição das ENS (assumindo PLH f = f ):

∂u


 PLH ∂t + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p − f = 0

∂u

 QLH
+ (u · ∇)u − ν∆u + ∇p − f = 0
∂t

 ∂u + P (u · ∇)u − νP ∆u = f (eq. evolução para
LH
LH
=⇒ ∂t

QLH (u · ∇)u − νQLH ∆u + ∇p = 0 (eq. p = p(u))
8
u)
Espaço de enstrofia finita
• Para o tratamento do termo inercial:
V = u ∈ H1 (Ω); ∇ · u = 0 + (condições de contorno) ,
Z
def
H1 (Ω) = u ∈ L2 (Ω), kuk2 =
|∇ ⊗ u|2 dx < ∞ ,
Ω
3
onde ∇ ⊗ u = (∂xi uj )i,j=1 .
• Com condições de contorno de aderência (u|∂Ω = 0) ou
periódicas:
Z
Z
1
def 1
2
enstrofia =
|ω| dx =
|∇ ⊗ u|2 dx,
2 Ω
2 Ω
onde ω = ∇ × u = curl u.
9
Formulação funcional das ENS
•
∂u
+ PLH (u · ∇)u − νPLH ∆u = f
∂t
• Operador de Stokes Au = −νPLH ∆u
• Termo inercial B(u, u) = PLH (u · ∇)u
• Espaço dual V ⊂ H ⊂ V 0 :
Z
def
(u, v) =
u(x) · v(x) dx
−→
Ω
• A : V → V 0,
B :V ×V →V0
=⇒
du
+ νAu + B(u, u) = f
dt
10
hu, viV 0 ,V .
Formulação variacional (fraca) das ENS
• Multiplicar ENS por função teste v de divergente nulo e
suporte compacto em Ω e integrar em Ω:
Z ∂u
+ (u · ∇)u − ν∆u + ∇p · v dx = 0;
∂t
Ω
• Integrando por partes e usando que ∇ · v = 0,
Z
Z
Z
d
u·v dx+ [((u·∇)u)·v)] dx+ν
∇⊕u : ∇⊕v dx = 0;
dt Ω
Ω
Ω
• Ou, para funcionais apropriados, e incluindo f ,
d
(u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f , v),
dt
∀v ∈ V.
11
Existência de solução fraca
• Via aproximação de Galerkin, obter aproximações u(n)
em espações de Galerkin Vn de dimensão finita,
d (n)
(u , v) + b(u(n) , u(n) , v) + a(u(n) , v) = (f , v),
dt
∀v ∈ Vn .
• Obter estimativas de energia, tomando v = u(n) :
1 d (n) 2
|u | + νku(n) k2 = (f , v)
2 dt
• Usando Cauchy-Schwarz e Young no último termo,
1
d (n) 2
|f |2 ,
|u | + νku(n) k2 ≤
dt
νλ1
onde λ1 > 0 primeiro autovalor do operador de Stokes
12
Estimativas globais
• Assumindo f independente de t,
1
|u(n) (t)|2 ≤ |u0 |2 e−νλ1 t + 2 2 |f |2 (1 − e−νλ1 t )
ν λ1
• Para a enstrofia,
ν
T
Z
T
ku(n) (t)k2 dt ≤
0
1
1
|u0 |2 +
|f |2
T
νλ1
• Para a derivada temporal de u(n) ,
1
T
Z
T
0
4/3
k∂t u(n) (t)kV 0 dt ≤ C
• Por um teorema de compacidade (Aubin), temos
convergência (forte) em H , suficiente para a passagem
ao limite
13
Solução fraca de Leray-Hopf
Após a passagem ao limite, obtemos solução fraca
satisfazendo
• u ∈ L∞ (0, ∞; H) ∩ L2loc (0, ∞; V );
4/3
• ∂t u ∈ Lloc (0, ∞; V 0 );
• u ∈ C([0, ∞); Hw ), onde Hw : topologia fraca;
• u(t) → u0 , quando t → 0;
• u é solução das ENS no sentido das distribuições
• u satisfaz a desigualdade de energia no sentido das
distribuições em t > 0:
1 d
|u(t)|2 + νku(t)k2 ≤ (f , u(t))
2 dt
14
Regularidade
• Para a regularidade, estimar enstrofia
• Solução fraca satisfaz
d
(u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f , v),
dt
∀v ∈ V.
• Tomando v = Au(n) ,
d (n)
(u , Au(n) ) + b(u(n) , u(n) , Au(n) ) + a(u(n) , Au(n) )
dt
= (f , Au(n) ),
=⇒
1
1 d (n) 2 ν
ku k + |Au(n) |2 + b(u(n) , u(n) , Au(n) ) = |f |2
2 dt
2
2
15
• Para estimar o termo b(u(n) , u(n) , Au(n) ), fazemos
|b(u(n) , u(n) , Au(n) )| ≤ |u(n) |L6 ku(n) kL3 |Au(n) |
(n)
(n) 1/2
(n) 1/2
≤ ku k ku k |Au |
|Au(n) |1/2
≤ ku(n) k3/2 |Au(n) |3/2 ≤ Cku(n) k6 +
• Assim,
ν
|Au(n) |2 .
4
d
ν
ku(n) k2 + |Au(n) |2 ≤ Cku(n) k6 + |f |2 .
dt
2
• Utilizando λ1 kuk2 ≤ |Au|2 , chegamos a
λ1 ν (n) 2
d
ku(n) k2 +
ku k ≤ Cku(n) k6 + |f |2 ,
dt
2
que é da forma r 0 + r ≤ r 3 + k , para r = ku(n) k2 .
16
• A solução de r 0 + r = r 3 + k explode em tempo finito, se
r > r ∗ , e é limitada, se 0 ≤ r ≤ r ∗ , onde r ∗ é a maior raiz
de r 3 − r + k .
PSfrag replacements
r
r∗
r3 − r − k
r∗
r
t
• Conclusão:
– existência de soluções regulares locais;
– existência de soluções regulares globais para forças
externas e dados iniciais pequenos.
17
Singularidades no tempo
• As estimativas anteriores indicam a possibilidade de
explosão em tempo finito de soluções regulares;
• Possibilidade de perda de regularidade das soluções
fracas em certos instantes de tempo (singularidades
temporais - a enstrofia/vorticidade deixa de ser
limitada):
r
PSfrag replacements
u(t)
singularidades
t
• Segundo Leray, essas singularidades estariam
associadas a escoamentos turbulentos.
18
Estimativa da “quantidade” de singularidades
temporais
• Considere solução fraca u = u(t), t ≥ 0, e o conjunto de
singularidades temporais S = {t ≥ 0; ku(t)k = ∞};
RT
• Como 0 ku(t)k2 dt < ∞, temos S de medida nula;
• Mas quão grande ou pequeno é S ? S é denso na reta,
como os números racionais? S é discreto?
• S não é denso: pela existência local de soluções
regulares, o conjunto de instantes regulares (ku(t)k < ∞)
é união de intervalos semi-abertos e de medida cheia
• Como podemos medir o “tamanho” de S ?
19
Dimensão de Hausdorff
• Quantificar o tamanho de S pela dimensão de Hausdorff
• Medida de dimensão D de Hausdorff de S
µD (S) = lim µD, (S) = sup µD, (S),
&0
onde µD, =
inf
+
∪j (t−
j ,tj )⊃S,
>0
−
|t+
j −tj |≤
X
− D
(t+
j − tj ) ;
j
• Dimensão de Hausdorff dimH (S) = inf{D; µD (S) = 0};
• dimH pode ser definida em várias dimensões e coincide
PSfrag replacements
com a dimensão euclidiana de subvariedades euclidianas
cobertura: 7→ /2
n.o de “bolas”: n 7→ 2d n
d = dimensão euclidiana
µD,/2j = 2j(d−D) µD,
20
Dimensão de Hausdorff das singularidades temporais
Leray (1934), Scheffer (1976)
• Da inequação r 0 + r ≤ r 3 + k para enstrofia r = 21 kuk2
considere r 0 = r 3 , cuja solução positiva é
r(t) = (r0−2 − 2(t − t0 ))−1/2 , 0 ≤ t − t0 < 1/2r02 , r0 = r(t0 );
• Em cada intervalo (t− , t+ ) de regularidade,
1
1
⇒
≤ 2ku(t)k2 ;
t+ − t ≥
4
+
1/2
2ku(t)k
(t − t)
Z t+
+
− 1/2
ku(t)k2 dt;
• Integrando no tempo: (t − t )
≤
t−
•
X
(t+
j
−
1/2
t−
j )
intervalos
regulares
≤
Z
T
ku(t)k2 dt < ∞;
0
• No conjunto complementar (singular) ... dimH (S) ≤ 1/2.
21
Singularidades espaço-temporais - Scheffer (1976),
Caffareli, Khon, Nirenberg (1982), ...
• Análise mais precisa no conjunto E de singularidades
espaço-temporais (de “suitable weak solutions”):
{(t∗ , x∗ ), u(t, x) ilimitado em vizinhanças de (t∗ , x∗ )};
R
• ∃ > 0, lim supR→0 R−1 QR (t,x) |∇⊗u|2 < ⇒ (t, x) regular;
• P1 (E) = 0, onde PD é uma versão parabólica da medida
de Hausdorff (com cilindros parabólicos Q = I2 × B ao
invés de bolas);
• @ singularidade tipo folha de vórtice em nenhum
instante de tempo (singularidade de dimensão dois);
• @ singularidade tipo vórtice pontual existindo em um
intervalo de tempo (tb. dimensão dois devido a I2 ).
22
• Vários condições para a regularidade ou explosão foram
obtidas e têm sido refinadas;
• Condições geométricas sobre o alinhamento de vórtices
são particularmente interessantes:
(∂t + u · ∇ − ν∆)|ω| + ν|ω||∇ ⊗ ξ|2 = α|ω|,
Z
3
α(x) =
P.V. D(y/|y|, ξ(x + y), ξ(x))|ω(x + y)| dy/|y|3
4π
ξ = ω/|ω|, D(s1 , s2 , s3 ) = (s1 · s3 ) det(s1 , s2 , s3 ), ∀|si | = 1;
• ϕ = ângulo entre ξ(x + y) e ξ(x), então |D| ≤ | sin ϕ| e
ângulo local pequeno reduz α, associado ao
PSfrag replacements
crescimento de singularidades;
ξ(x)
ξ(x + y)
ϕ
23
Um resultado condicional de regularidade
| sin ϕ(y)| ≤ c|y|1/2 em {(t, x); |ω(t, x)| ≥ M, 0 < t < T } ⇒
@ explosão em t = T (Beirão da Veiga-Berselli (2002)).
24
Regularidade eventual de Leray
• Considere o caso sem força externa, f = 0;
Z T
• Nesse caso 2ν
ku(t)k2 dt ≤ |u0 |2 , ∀T > 0;
0
• Então, lim inf t→∞ ku(t)k = 0, i.e. a solução assume
valores arbitrariamente pequenos de enstrofia;
• Pelo resultado de regularidade global para dados iniciais
com enstrofia suficientemente pequena, segue que a
solução u é regular a partir de algum tempo t ≥ TL
suficientemente grande.
PSfrag replacements
r
u(t)
TL
t
25
Regularidade assintótica?
• Para f 6= 0, não há, necessariamente, regularidade
eventual;
• Um possı́vel resultado intermediário de regularidade é o
conjunto ω -limite fraco ter enstrofia limitada;
• Outro, mais fraco, seria o suporte de medidas
invariantes (“soluções estatı́sticas” em 3D) ter
enstrofia limitada;
• Este último resultado tem relação com o esperado
decaimento exponencial do espectro, na teoria
estatı́stica de turbulência, associado ao espectro de
funções analı́ticas.
26
Atrator global fraco
• As estimativas a priori obtidas na teoria de existência
das ENS são suficientes para mostrar a existência de
um atrator global na topologia fraca:
Aw = {u0 ∈ H; ∃ solução global, sup |u(t)| < ∞, u(0) = u0 };
t∈R
• Pelas estimativas Aw é limitado em H e atrai todas as
soluções na topologia fraca, uniformemte para
condições iniciais limitadas.
• Se Aw ⊂ V (regularidade assintótica), então todas as
soluções são atraı́das na topologia forte.
27
Equações de Navier-Stokes e turbulência
Ricardo M. S. Rosa
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro
(IM-UFRJ)
24 a 27 de fevereiro de 2003
Programa de Verão do LNCC
1
Tı́tulo alternativo:
Métodos matemáticos em dinâmica dos fluidos
Tópicos:
• Teoria estatı́stica convencional de turbulência
• Sistemas dinâmicos
• Teoria matemática das equações de Navier-Stokes
• Formulação matemática da teoria convencional de
turbulência
2
Formulação matemática da teoria convencional de
turbulência
• Soluções estatı́sticas e equação de Liouville-Foias
• Equações de Reynolds para soluções estatı́sticas
• Equações de fluxo de energia
• Cascata de energia e condições para sua ∃ forçada
• Estimativas de quantidades fı́sicas
• Cascata de enstrofia em duas dimensões
• Condições para “turbulência” 2D forçada
• Turbulência homogênea em decaimento
• Leis de potência
3
Formalização do conceito de médias amostrais
• As médias amostrais são definidas a partir de N
escoamentos u(n) (t, x), n = 1, . . . , N :
N
1 X
ϕ(u(n) )
hϕ(u)i =
N n=1
• Em termos probabilı́sticos: N escoamentos
considerados, cada um com peso 1/N .
PSfrag replacements
u
u(2)
u(médio)
u(1)
t
4
• Mais geralmente: podemos ter escoamentos com pesos
P
diferentes θn , com
n θn = 1,
hϕ(u)i =
N
X
ϕ(u(n) )θn
n=1
• Ou uma infinidade de escoamentos u(ω) , com densidade
de probabilidade dρ(ω),
Z
hϕ(u)i = ϕ(u(ω) ) dρ(ω)
u(ω) dρ(ω)
PSfrag replacements
u (médio)
ω
5
• Podemos usar probabilidades ρ = ρ(ω) em um espaço de
probabilidades (P, Σ, ρ) e considerar variáveis aleatórias
u = u(ω) para representar os possı́veis escoamentos.
• Ou podemos usar medidas de probabilidade µ em algum
espaço “natural” para escoamentos, e.g. H da teoria
de Leray (campos de velocidades de energia finita,
divergente zero e com as condições de contorno):
Z
hϕ(u)i =
ϕ(v) dµ(v).
H
Nesse caso, v é uma variável de integração, como s em
2
hu i =
Z
π/2
s2 sin(s) ds = π + 2.
0
• P = H, Σ = borelianos de H , µ = medida de Borel em H
6
Medidas relevantes
• As medidas µ podem depender do tempo (µ = µt , e.g.
turbulência em decaimento), ou não (turbulência
estatisticamente estacionária)
• As informações estatı́sticas do escoamento estão
contidas em µ. Os momentos generalizados, são as
expressões
Z
hϕ(u)i =
ϕ(v) dµ(v)
H
de onde podemos tirar os momentos clássicos, para
funções polinomiais apropriadas, e.g. ϕ(u) = (u − hui)k .
• Quais são as medidas relevantes para um escoamento?
• Equação para µ ou µt ?
7
• Se pensarmos na média amostral de N escoamentos
com peso, os momentos generalizados ϕ : H → R
satisfazem
N
N
X
d
d
d X
(n)
θn ϕ(u(n) (t))
hϕ(u(t))i =
θn ϕ(u (t)) =
dt
dt
dt
n=1
n=1
=
N
X
θn ϕ0 (u(n) (t)) ◦
N
X
θn ϕ0 (u(n) (t))) ◦ F(u(n) (t))
n=1
=
n=1
=
N
X
n=1
θn F(u
8
(n)
d (n)
u (t)
dt
0
(t)), ϕ (u
(n)
(t))
V 0 ,V
• Em termos de medida de probabilidade em H , podemos
escrever
N
X
µt =
θn δu(n) (t) ,
n=1
onde δu = medida de Dirac em u. Dessa forma,
hϕ(u(t))i =
N
X
θn ϕ(u
n=1
(n)
(t)) =
Z
ϕ(v) dµt (v)
H
• Assim, podemos reescrever a equação anterior:
N
X
d
(n)
0
(n)
hϕ(u(t))i =
θn F(u (t)), ϕ (u (t))
dt
n=1
Z
Z
d
⇐⇒
ϕ(v) dµt (v) =
(F(v), ϕ0 (v)) dµt (v)
dt H
H
9
• A formulação obtida elimina a dependência explı́cita na
solução das ENS, introduzindo uma variável de
integração v e a incógnita µt :
Z
Z
d
ϕ(v) dµt (v) =
(F(v), ϕ0 (v)) dµt (v)
dt H
H
• Essa equação para µt é em termos dos momentos
generalizados (a regra para medidas) e é linear(!) em µt
• É uma equação do tipo Liouville da mecânica
estatı́stica e pode ser chamada de equação de
Liouville-Foias ou equação de Navier-Stokes estatı́stica
• O termo F(u) = f − νAu − B(u, u) “mora” no espaço
dual V 0 , logo só os momentos com ϕ0 (v) em V podem
ser considerados
10
Soluções estatı́sticas das ENS
Famı́lia {µt }t≥0 de medidas de probabilidade de Borel:
R
• [0, ∞) 3 t 7→ H ϕ(v) dµt (v) contı́nuo, ∀ϕ ∈ C(Hw ) limitado
R
• t 7→ H |v|2 dµt (v) em L∞ (0, ∞) e contı́nuo em t = 0
R
• t 7→ H kvk2 dµt (v) em L1loc (0, ∞)
• Inequação de energia no sentido das distribuições em
(0, ∞):
Z
Z
Z
1 d
2
2
|v| dµt (v) + ν
kvk dµt (v) ≤
(f , v) dµt (v);
2 dt H
H
H
• Satisfaz as ENS estatı́sticas no sentido das distribuições
em (0, ∞), para todo momento generalizado apropriado
ϕ (suficientemente regulares em um certo sentido).
11
Existência de soluções estatı́sticas
Dada uma medida de Borel de probabilidade µ0 em H , com
R
energia cinética média finita H |v|2 dµ0 (v) < ∞
(µ0 representando a distribuição de probabilidades do
campo inicial de velocidades)
• Existência via método de Galerkin, passando ao limite
(n)
as medidas definidas por µt (t)(E) = µ0 (S (n) (−t)E), para
qualquer boreliano E ⊂ H , onde {S (n) (t)}t≥0 é o
operador solução associado à aproximação de Galerkin
• Ou ...
12
• Existência pelo Teorema de Krein-Milman: aproximar
µ0 por combinação convexa de pontos extremos, que
são deltas de Dirac δu(n) , n = 1, . . . , N , considerar
0
(N )
µt
definidas como as combinações
aproximações
convexas das deltas de Dirac δu(n) (t) , nas soluções
PSfrag replacementsfracas correspondes das ENS, e passar ao limite quando
N →∞
H
suporte da
medida µ0
H
soluções fracas
suporte da
medida µt
t
13
• As soluções estatı́sticas acima são importantes para o
tratamento de turbulência em decaimento ou sem ser
em equilı́brio estatı́stico no tempo (estatisticamente
estacionária)
• Soluções estatı́sticas homogêneas e isotrópicas podem
ser definidas em Ω = R3
• Soluções auto-semelhantes podem ser definidas e que
satisfazem as leis de estrutura de Kolmogorov
14
Solução estatı́stica estacionária
Medida de probabilidade de Borel µ em H , satisfazendo
R
• Energia cinética média finita: H |v|2 dµ(v) < ∞
R
• Enstrofia média finita: H kvk2 dµ(v) < ∞
• Inequação de energia
Z
{e1 ≤ 12 |v|2 <e2 }
νkvk2 − (f , v)
dµ(v) ≤ 0,
para todos os nı́veis de energia 0 ≤ e1 ≤ e2 ≤ ∞
• Equação de NS estatı́stica estacionária:
Z
(F(v), ϕ0 (v)) dµ(v) = 0,
H
para momentos generalizados apropriados (regulares)
15
Limite generalizado
• Para o tratamento das médias temporais e para evitar a
hipótese ergódica, utilizamos o limite generalizado, que
estende, via Teorema de Hahn-Banach, o conceito de
limite para qualquer função limitada (é um funcional
linear no espaço linear das funções limitadas)
• Limite generalizado não satisfaz propriedade do limite
de produto ser o produto dos limites e não é único
• Para funções periódicas, é a média dos valores
assumidos, ponderada pelo número de vezes assumido
PSfrag replacements
1, 2, 1, 2, 1, 2, · · · → 1.5
1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3, · · · → 2.2
16
Existência de soluções estatı́sticas estacionárias e
médias temporais
• Dada uma solução fraca u = u(t), t ≥ 0, e um momento
generalizado ϕ (contı́nuo de Hw em R) as médias
temporais são limitadas uniformemente em T > 0
• O limite generalizado das médias temporais define uma
medida de probabilidade que é uma solução estatı́stica
estacionária das ENS:
Z
Z
1 T
ϕ(u(t)) dt =
ϕ(v) dµu (v)
Lim
T →∞ T 0
H
• Essa solução estatı́stica estacionária depende, em
princı́pio, da solução fraca u = u(t), pois não estamos
assumindo nenhuma hipótese ergódica
17
Turbulência em equilı́brio estatı́stico
• As médias amostrais associadas a escoamentos
turbulentos em equilı́brio estatı́stico (equilı́brio no
tempo, i.e. estatisticamente estacionária) são, agora,
interpretadas como médias em relação a soluções
estatı́sticas estacionárias
• As soluções estatı́sticas estacionárias das ENS colocam
as médias amostrais em um contexto rigoroso
• A partir desse conceito, são consideradas rigorosamente
as equações médias de Reynolds, as equações de
energia média, as cascatas de energia, o espectro de
energia, etc.
18
O escomento médio e outras quantidades médias
• Até agora, as médias que fazem sentido são as de
momentos escalares ϕ : Hw → R, contı́nuos e limitados
• Pela regularidade de µ (suporte limitado em H e de
enstrofia finita), as médias podem ser estendidas para
2
|ϕ(u)| ≤ C(|u|)(1 + ν −2 κ−1
0 kuk ),
∀u ∈ V,
• Por dualidade, podemos definir as médias do campo de
velocidades, hui, do termo bilinear, hB(u, u)i, etc. etc.
Z
(hui, w) =
(v, w) dµ(v),
H
Z
(hB(u, u)i, w) =
(B(v, v), w) dµ(v)
H
19
As equações médias de Reynolds
• As soluções estatı́sticas estacionárias satisfazem
Z
(F(v), ϕ0 (v)) dµ(v)
(∀ϕ apropriado)
H
• Tomando ϕ(u) = ψ((u, Pm , w)), onde w ∈ V e ψ é C 1 e
de suporte compacto, fazendo, primeiro, ψ 0 → 1 e,
depois, m → ∞, onde Pm = projeção de Galerkin,
Z
(F(v), w) dµ(v) = 0
H
que é a versão fraca das equações médias de Reynolds:
νAhui + hB(u, u)i = f
com hui ∈ V , hB(u, u)i ∈ D(A−3/8 )
20
(em V 0 )
• A versão clássica pode, então, ser recuperada:
−ν∆hui + (hui · ∇)hui + ∇P = f − ∇ · hu0 ⊗ u0 i,
∇ · hui = 0.
onde u0 = u − hui (passa para a variável de integração)
• A equação de Hopf (para a função caracterı́stica de µ –
sua transformada de Fourier) também pode ser feita
rigorosa
21
Decomposição espectral do escoamento
• Consideramos um escoamento em um domı́nio limitado
suave Ω ⊂ Rd , d = 2, 3, para simplificar
• Consideramos condições de aderência com fronteira
fixa e/ou condições periódicas, e.g. um canal periódico
• Decomposição espectral em autofunções do operador
de Stokes, Awj = λj wj , 0 < λ1 ≤ . . .
u=
∞
X
j=0
22
ûj wj
Decomposição em número de onda
• Para cada autovalor λ, que tem dimensão 1/L2 , onde
L = comprimento, associamos número de onda κ = λ1/2
• Para um número de onda κ, a componente uκ com esse
número de onda é
X
ûj wj
uκ =
λj =κ2
• E o componente uκ0 ,κ00 com os números de onda (κ0 , κ00 ]:
u
κ0 ,κ00
=
X
uκ
κ0 <κ≤κ00
23
Números caracterı́sticos
• Comprimento macroscópico `0 > 0 dado (tipicamente
−1/2
da ordem de λ1
, com número de onda κ0 = 1/`0
• ρ0 = densidade de massa (uniforme) do fluido
• unidade de massa ρ0 `30 = ρ0 /κ30
• Energia cinética média por unidade de massa
e=
κ30
h|u|2 i
2
• Razão média de dissipação de energia por unidade de
tempo, por unidade de massa
= νκ30 hkuk2 i
24
• Velocidade média caracterı́stica U = 2e1/2
• Número de Reynolds
1/2
κ h|u|2 i1/2
`0 U
= 0
Re =
ν
ν
• Número de onda de Kolmogorov κ = (/ν 3 )1/4
• Número de onda de Taylor
κτ =
hkuk2 i
h|u|2 i
1/2
1/2
=
2νe
Não é exatamento o número de Taylor original,
κT = 1/`T , mas assumindo homogeneidade e isotropia,
√
κτ = 15κT
25
Equações de fluxo de energia
• Analogamente ao feito para a equação de Reynolds,
Z
(f , uκ0 ,κ00 ) − νkuκ0 ,κ00 k2 − b(u, u, uκ0 ,κ00 ) dµ(u) = 0
H
onde b(u, u, v) = (B(u, u), v) =
Z
Ω
(u · ∇)u · v dx
• Logo (para todo 0 ≤ κ0 < κ00 < ∞)
νhkuκ0 ,κ00 k2 i + hb(u, u, uκ0 ,κ00 )i = h(f , uκ0 ,κ00 )i
• Para interpretação fı́sica correta, multiplicamos por κ30
νκ30 hkuκ0 ,κ00 k2 i + κ30 hb(u, u, uκ0 ,κ00 )i = κ30 h(f , uκ0 ,κ00 )i
equação de fluxo de energia nos modos (κ0 , κ00 ], κ00 < ∞
26
• Pela condição de ortogonalidade (ou conservação de
energia pelo termo inercial) b(u, v, v) = 0, obtemos
−κ30 hb(u, u, uκ0 ,κ00 )i = heκ0 (u)i − heκ00 (u)i,
onde
heκ (u)i = −κ30 b(u0,κ , u0,κ , uκ,∞ ) + κ30 b(uκ,∞ , uκ,∞ , u0,κ )
é o fluxo médio por unidade de tempo de energia
cinética por unidade de massa transferida para os
modos altos uκ,∞ pelos efeitos de inércia
• E a equação de fluxo de energia se escreve
νκ30 hkuκ0 ,κ00 k2 i = κ30 h(fκ0 ,κ00 , uκ0 ,κ00 )i + heκ0 (u)i − heκ00 (u)i.
27
• No caso κ0 = 0 and κ00 = κ,
νκ30 hku0,κ k2 i = κ30 h(f0,κ , u0,κ )i − heκ (u)i
• A inequação de energia total é
νκ30 hkuk2 i ≤ κ30 h(f , u)i
• Subtraindo,
νκ30 hkuκ,∞ k2 i ≤ κ30 h(fκ,∞ , uκ,∞ )i + heκ (u)i.
que estende para o caso κ00 = ∞, mas com desigualdade
(possı́vel “vazamento” de energia cinética para κ00 = ∞
devido a potencial falta de regularidade da solução
estatı́stica, similar a potencial perda de regularidade das
soluções fracas)
28
Fluxo de energia restrito
• Observe que os seguintes limites existem (MCT e
LDCT)
lim hku0,κ k2 i = hkuk2 i,
lim h(f0,κ , u0,κ )i = h(f , u)i.
κ→∞
κ→∞
• Defina
def
he(u)i∞ = lim heκ (u)i
κ→∞
= lim κ30 h(f0,κ , u0,κ )i − νκ30 hku0,κ k2 i
=
κ→∞
κ30 h(f , u)i
− νκ30 hkuk2 i ≥ 0.
• Fluxo de energia restrito:
e∗κ (u) = eκ (u) − he(u)i∞ ,
29
Equação de fluxo de energia “com modos altos”
• Da equação do fluxo de energia para κ00 < ∞,
νκ30 hkuκ0 ,κ00 k2 i = κ30 h(fκ0 ,κ00 , uκ0 ,κ00 )i + heκ0 (u)i − heκ00 (u)i
• Tomamos κ0 = κ e fazemos κ00 → ∞:
PSfrag replacements
νκ30 hkuκ,∞ k2 i = κ30 h(f , uκ,∞ )i + he∗κ (u)i.
heκ0 (u)i
−heκ00 (u)i
κ00
κ0
30
Cascata de energia
frag replacements
• Como
lim κ30 h(f , uκ,∞ )i = 0,
κ→∞
νκ30 hkuκ,∞ k2 i % νκ30 hkuk2 i = ,
(κ&0)
podemos definir números de onda κ e κ como o
menor e, respectivamente, o maior, tais que
3
κ0 h(f , uκ,∞ )i , ∀κ ≥ κ ,
κ
injeção de energia
abaixo de κ
e
νκ30 hkuκ ,∞ k2 i ≈ ,
κ
κ
dissipação de energia
acima de κ
• Mas em geral nada garante que κ < κ
31
• Podemos quantificar as relações anteriores com a ajuda
de um parâmetro adimensional δ pequeno,
representando a ordem de precisão nas relações
• Assim, κ é o maior número de onda tal que
νκ30 hkuκ ,∞ k2 i ≥ (1 − δ),
• E κ é o menor número de onda tal que
3
κ0 h(f , uκ,∞ )i ≤ δ,
32
∀κ ≥ κ
• Uma base para a teoria de Kolmogorov é a separação
entre as escalas de injeção e de dissipação de energia
• Se κ < κ , então para κ ≤ κ ≤ κ , segue de
νκ30 hkuκ,∞ k2 i = κ30 h(f , uκ,∞ )i + he∗κ (u)i,

 ≥ (1 − 2δ),
2
3
3
∗
que heκ (u)i = νκ0 hkuκ,∞ k i − κ0 h(f , uκ,∞ )i
 ≤ (1 + δ).
he∗κ (u)i
≤ 2δ. ou seja, no intervalo [κ , κ ],
vale a cascata de energia:
• Logo, −δ ≤ 1 −
he∗κ (u)i ≈ .
• Quanto maior [κ , κ ], mais significativa a cascata
33
Condições suficientes para existência da cascata
• Para qualquer número de onda κ > 0,
νκ30 hku0,κ k2 i
≤
νκ30 κ2 h|u0,κ |2 i
≤
νκ30 κ2 h|u|2 i
≤
κ
κτ
2
.
Se κ2 κ2τ , então νκ30 hku0,κ k2 i , logo, κ ≥ δ 1/2 κτ .
• Se κ2τ κ2 , então κ ≥ κ , com um pequeno intervalo
de cascata
1/2 1/2
• Se κτ κ , então δ ≥ κ /κτ , e κ ≥ κ κτ , e uma
cascata existe com κ2 κ2 .
2/3
2/3
2/3
2/3
1/3 2/3
• Se κτ κ , então δ ≥ κ /κτ , logo κ ≥ κ κτ , e
uma ampla cascata de energia existe, com κ κ .
34
Confirmação parcial de estimativas heurı́sticas
• Para f em V , considere o número de onda caracterı́stico
κf = (|A1/2 f |/|A−1/2 f |)1/2
• Para κf ≤ Cκ0 , e para Reynolds suficientemente grande,
1/3
1/2
,
≤ cκ0 U 3 , κ ≤ cκ0 Re3/4 , κτ ≤ cκ0 κ2/3
, κτ ≤ cκ0 Re
confirmando parcialmente (e com quantidades definidas
de maneira precisa) as estimativas heurı́sticas da teoria
de Kolmogorov:
1/3
1/2
∼ κ0 U 3 , κ /κ0 ∼ Re3/4 , κτ ∼ κ0 κ2/3
.
, κτ /κ0 ∼ Re
35
• Em 3D, transferência inversa de energia das escalas de
injeção para as escalas maiores também pode ser
provada
• Em 2D, condições similares para a existência de cascata
direta de enstrofia e de cascata inversa de energia
• Em 2D, o número de onda que faz o papel do de
Taylor é
1/2 h|Au|2 i
ν 1/2
κσ =
=
hkuk2 i
• Em 2D, há estimativas mais precisas para a existência
da cascata de enstrofia e do espectro de Kraichnan
36
• Em 2D, pode-se mostrar que a transferência de energia
para os modos mais altos é muito mais “fraca” que a
de enstrofia, justificando a existência da cascata de
enstrofia ao invés da de energia
• Em 2D, vale
r+ = κ20
κ2σ
X
r+ κ2+ − r− κ2−
=
,
r+ − r−
h(fκ , uκ )i+ ,
r− = κ20
κ>0
κ2+
=
P
2
κ0
κ>0 κ
2
h(fκ , uκ )i+
r+
X
h(fκ , uκ )i− ,
κ>0
,
κ2−
=
P
2
κ0
κ>0 κ
• Se r− = 0, é possı́vel mostrar que κ2σ . κ2η ,
comprometendo a cascata de enstrofia
37
2
h(fκ , uκ )i−
r−
,