Dissertação - Pontificia Universidade Catolica de Minas Gerais

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E
GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO
José Geraldo de Araújo Pereira
Belo Horizonte
2010
ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de
Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2010
Abordagem das funções exponencial e logarítmica numa perspectiva
conceitual e gráfica no ensino médio
Dissertação apresentada ao Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais, como
requisito parcial para a obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
___________________________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares: Orientador (PUC-MINAS)
___________________________________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda (PUC-MINAS)
___________________________________________________________________
Prof. Dr. Luiz Carlos Picorelli de Araújo (CEFET-MG)
Belo Horizonte, 15 de Junho de 2010
AGRADECIMENTOS
Para a realização deste trabalho, tive apoio de muitas pessoas e, por isso,
agradeço a Deus por tê-las colocado em meu caminho, tornando possível esta
pesquisa.
Agradeço a minha esposa Vanda e aos meus filhos Henrique e Gabriel, “in
memorian”, pelo apoio, carinho e paciência durante a realização do mestrado.
Ao meu orientador, Prof. Dr. João Bosco Laudares, pelos atendimentos e
pelas observações realizadas em todo este trabalho.
Aos professores Doutores Dimas Felipe de Miranda e Luiz Carlos Picorelli de
Araújo, que aceitaram fazer parte da banca examinadora desta pesquisa.
Ao corpo docente do mestrado pelos valorosos ensinamentos.
À professora Alcione Gonçalves pela colaboração na revisão do texto.
Aos amigos, José Carlos Oliveira e Gisele Teixeira Dias, pela motivação dada
a esta caminhada, mostrando-me que eu era capaz.
A todos os colegas do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas
Gerais – CEFET / MG pelo apoio e pelo incentivo recebido.
A todas as pessoas que, de alguma forma, contribuíram para a realização
desta pesquisa.
RESUMO
Esta dissertação tem como finalidade estudar uma abordagem metodológica
das Funções Exponencial e Logarítmica numa perspectiva conceitual e gráfica no
ensino médio. Foram elaboradas atividades referenciadas em Polya(1995), quanto à
resolução de problemas, Friendlander (1995), quanto à interpretação geométrica e,
gráfica, e, em Miranda e Laudares (2007), quanto à focalização na compreensão
conceitual. Foram elaboradas atividades dentro de uma sequência didática que
contemplou problemas das Ciências Biológicas e da Matemática Financeira, com a
abordagem do conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para
interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráfico, privilegiando a variação de
parâmetros das funções, bem como a relação de simetria das duas funções, levando
o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado o Software Winplot, no
tratamento das translações horizontais e verticais das Funções Exponenciais e
Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadas em turmas
do ensino médio-técnico, cujos resultados sinalizaram uma melhor compreensão
conceitual com a interpretação dos problemas e do comportamento das funções na
análise gráfica.
Palavras-chave: Educação Matemática. Funções Exponencial e Logarítmica em
abordagem conceitual. Interpretação gráfica das Funções Exponencial e
Logarítmica.
ABSTRACT
This thesis aims to study a methodological approach of Exponential Functions and
Logarithmic perspective and conceptual graphics in high school. Were prepared
activities referenced in Polya(1995) regarding the resolution of problems,
Frienlander(1995) regarding the interpretation and geometric, graphic, and Laudares
and Miranda(2007), as the focus on conceptual understanding. Activities were
developed within a sequence that included didactic problems of Life Sciences and
Financial Mathematics, with the approach of the concept of exponential and
logarithmic functions. For graphic interpretation was used track chart, focusing on the
variation of parameters of functions and the symmetry relation of the two functions,
leading the student to understand the inversion of the same. Winplot Software was
used in the treatment of horizontal and vertical translations of exponential and
logarithmic functions. To validate the activities, they were applied to classes of high
school coach, whose results showed a better conceptual understanding of the
problems with interpretation and behavior of functions in the graphical analysis.
Key-words: Mathematics Education. Exponential and Logarithmic Functions in
conceptual approach. graphical Interpretation of the Exponential and Logarithmic
Functions.
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 1ª Atividade........................................................................................33
GRÁFICO 2 Funções:
GRÁFICO 3 Função Exponencial:
GRÁFICO 4 Função Exponencial e Logarítmica:
GRÁFICO 5 Função Logarítmica:
GRÁFICO 6 Funções:
GRÁFICO 7 Função Exponencial:
GRÁFICO 8 Funções do tipo:
................................................... 41
................................... 41
.. 42
......................................44
..........................................48
..............................48
..................50
GRÁFICO 9 Função do tipo:
..............................................60
.......................................60
......................60
....................61
.............................................62
......................................62
.........................................63
......................................63
GRÁFICO 17 Atividade: 3, 3.1. ................................................................................78
GRÁFICO 18 Função do tipo
..............................................94
.......................................95
..........................96
........................97
............................................. 98
.......................................99
....................100
...................100
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 1ª Atividade............................................................................................ 30
QUADRO 5 Síntese das Funções Exponencial e Logarítmica .................................. 50
QUADRO 8 Atividade 1.b,c,d. ................................................................................... 66
QUADRO 9 Atividade 1.f ........................................................................................... 68
QUADRO 10 atividade 1.f ......................................................................................... 69
QUADRO 11 Atividade 1.m ....................................................................................... 70
QUADRO 12 Atividade 1:g, h, i ................................................................................. 70
QUADRO 13 Atividade 1:j .............................................................................. ...........70
QUADRO 14 Atividade 1:a,...,h. ................................................................................ 73
QUADRO 15 Atividade 2.n ........................................................................................ 74
QUADRO 16 Atividade 2:k ........................................................................................ 75
QUADRO 17 Atividade 2:u,v. .................................................................................... 77
QUADRO 18 Atividade 3, 3.1. ................................................................................... 79
QUADRO 19 Atividade 3.4. ....................................................................................... 79
QUADRO 22 Atividade 3.1.4: e, f, g. e 3.1.6:e, f, g. .................................................. 82
QUADRO 23 Atividade 3.4.j. ..................................................................................... 83
QUADRO 24 Atividade 4. .......................................................................................... 84
QUADRO 26 Atividade 4.1.2 ..................................................................................... 85
QUADRO 27 Analise final da atividade 3. ................................................................. 86
QUADRO 28 Analise final da atividade 4. ................................................................. 87
QUADRO 29 Atividade:5.1. ....................................................................................... 88
QUADRO 30 Atividade:5.2. ....................................................................................... 89
QUADRO 31 Identificação das funções da atividade 5. ............................................ 89
QUADRO 34 Analise das Funções. .......................................................................... 92
LISTA DE TABELA
TABELA 1 1ª Atividade............................................................................................. 31
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CEFET/MG- Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
ed. edição
MG- Minas Gerais
PCN’s- Parâmetros Curriculares Nacionais
PUC MG - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
v. Volume
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 14
1.1 Questão Principal .............................................................................................. 16
1.2 Questões Complementares .............................................................................. 16
2 ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA EM LIVROS
DIDÁTICOS E NOS PCN’S....................................................................................... 21
2.1 Livros Didáticos ................................................................................................ 21
2.1.1 Matemática para o 2º Grau - Nelson Gentil et al. (1992) .................................. 21
2.1.2 Matemática: Uma nova Abordagem - Giovanni e Bonjorno (1992) .................. 22
2.1.3 Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações - Manoel Paiva (2002) ....... 23
2.1.4 Matemática , Ensino Médio - Smole e Diniz (2003) .......................................... 23
2.1.5 Matemática: Para a Escola de Hoje - Facchini (2006)..................................... 24
2.1.6 Matemática - Dante (2008) ............................................................................... 24
2.2 Análise dos PCN’s no Ensino Médio .............................................................. 25
3 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SEQUÊNCIA DIDÁTICA ......... 28
3.1 Apresentação da elaboração das atividades didáticas.................................. 28
3.2 Primeira Atividade didática .............................................................................. 29
3.2.1 Apresentação da Atividade............................................................................... 30
3.2.1.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 31
3.3 Segunda Atividade didática .............................................................................. 34
3.4 Terceira Atividade didática ............................................................................... 37
3.5 Quarta Atividade didática ................................................................................. 44
3.6 Quinta Atividade ............................................................................................... 51
3.7 Sexta Atividade didática ................................................................................... 57
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À
SUA VALIDAÇÃO .................................................................................................... 65
4.1 Aplicação ........................................................................................................... 65
4.1.1 Análise das Atividades ..................................................................................... 65
4.2 Primeira Atividade ............................................................................................. 65
4.2.1 Conteúdo .......................................................................................................... 65
4.2.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 66
4.3 Segunda Atividade ............................................................................................ 71
4.3.1 Conteúdo .......................................................................................................... 71
4.4 Terceira Atividade ............................................................................................ 77
4.4.1 Conteúdo .......................................................................................................... 77
4.5 Quarta Atividade ............................................................................................... 83
4.5.1 Conteúdo .......................................................................................................... 83
4.6 Quinta Atividade ................................................................................................ 88
4.6.1 Conteúdo .......................................................................................................... 88
4.7 Sexta Atividade .................................................................................................. 92
4.7.1 Conteúdo .......................................................................................................... 92
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 101
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 103
APÊNDICE .............................................................................................................. 106
APÊNDICE A (ATIVIDADES REFORMULADAS) CADERNO DE ATIVIDADES
INVESTIGATIVAS .................................................................................................. 107
14
1 INTRODUÇÃO
Minha atividade no magistério teve início no ano de 1979, quando cursava a
2ª série do IIº grau, no Curso de Eletrotécnica, na Escola Novaerense, em Nova
Era/MG, onde lecionava, no período da tarde, aulas de reforço de Matemática para o
antigo Iº grau, hoje Ensino Fundamental.
Ao término do Curso Técnico, ingressei na Universidade Federal de Viçosa,
no Curso de Bacharelado em Matemática, deixando a Área Técnica, e dedicandome à Área da Educação.
A partir do 3º período, era monitor de cálculo e exercia a função de bolsista no
Departamento de Física. Com o passar dos anos, iniciei na docência.
Ao final da minha graduação, retornei à minha cidade Natal, ministrando aulas
no Ensino Fundamental e Médio, tanto em instituições de ensino público quanto em
escolas particulares, não deixando de fazer os aperfeiçoamentos e as atualizações
ofertados nas Instituições de Ensino Federal.
Em 1984, ingressei por concurso público no Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais (CEFET/MG), onde pude observar e vivenciar o
enfoque dado ao conteúdo de todas as séries do ensino médio, em destaque à 1ª
série, diante do estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas.
Nesse período, percebi que o estudo de Logaritmo era abordado de forma
abstrata, utilizando-se muito a álgebra, para manipulação das propriedades,
decorrentes da definição, e a solução de equações através de tábuas Logarítmicas,
envolvendo o cálculo de mantissa e característica para números superiores aos da
tábua.
São constantes as dificuldades apresentadas pelos alunos quanto à
abordagem metodológica do estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas,
quanto ao tratamento conceitual através de situações-problemas e comportamento
gráfico, com as identificações de características tais como: crescimento /
decrescimento,
simetrias,
interseções,
condições
iniciais
e
de
contorno,
procedimentos assintóticos das curvas e taxa de variação, entre outras.
A partir dessa análise, iniciei o estudo das Funções Exponencial e
Logarítmica e encontrei algumas barreiras, tais como: Como ensinar essas funções
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de forma significativa? Quais os pontos básicos no estudo das funções? Foi a partir
dessas indagações que resolvi propor a elaboração e a construção desta pesquisa
“sob uma perspectiva conceitual e gráfica”.
Daí a preocupação em focar o estudo das Funções Exponenciais e
Logarítmicas, utilizando uma sequência didática que possa mostrar o entendimento
da conceituação dessas funções, recorrendo-se, em algumas atividades, a
Softwares Matemáticos para o trabalho com gráfico.
As atividades elaboradas foram aplicadas aos alunos da 1ª série do Ensino
Médio do CEFET/MG, na "Abordagem das funções exponencial e logarítmica numa
perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio".
A proposta desta pesquisa é interpretar matematicamente situações da vida
real, de fenômenos nas várias ciências e situações-problemas fora do contexto da
matemática. As atividades envolveram funções, dentro de uma atitude reflexiva e
crítica, com o auxílio também da construção e da interpretação gráfica.
O objetivo geral desta pesquisa é estudar o comportamento gráfico e o
conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas, quanto às características que as
diferenciam das demais funções, seja pela representação gráfica seja em situações
da vida real, nas ciências e na tecnologia, privilegiando o seu tratamento conceitual.
Para isso, foram elaborados os seguintes objetivos específicos:
- Analisar e discutir os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio,
quanto às diversas formas de aplicação, do tratamento conceitual e da
representação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas.
- Verificar, em livros didáticos de Ensino Médio, como é abordada a
metodologia da aplicação das Funções Exponencial e Logarítmica em problemas de
ciências e em situações da vida real.
- Elaborar atividades numa sequência didática que privilegia o entendimento
conceitual das Funções Exponenciais e Logarítmicas.
- Buscar entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas através da
interpretação e da análise gráfica, com auxílio em algumas atividades de Softwares
Matemáticos.
A seguir apresentamos as seguintes questões de pesquisa:
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1.1 Questão Principal
Como uma sequência didática pode facilitar o entendimento do conceito e a
interpretação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas?
1.2 Questões Complementares
Como os livros didáticos abordam os conceitos das Funções Exponencial e
Logarítmica?
Que Softwares Matemáticos podem favorecer a aprendizagem das funções,
quanto ao seu comportamento gráfico?
A dissertação é composta dos cinco capítulos seguintes:
No Capítulo 1, apresentamos a introdução.
No Capítulo 2, apresentamos uma análise de alguns livros didáticos, usados
no ensino médio, destacando o enfoque dado a esta pesquisa, e os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN’s) quanto ao conceito de Função e, em particular, as
Funções Inversa, Exponencial e Logarítmica.
No Capítulo 3, apresentamos as atividades que foram elaboradas nesta
pesquisa, seus objetivos e as soluções esperadas, dentro do contexto de uma
sequência didática.
No Capítulo 4, apresentamos a análise dos resultados da aplicação das
atividades, quanto à sua validação, quando foram essas aplicadas para alunos do
curso médio-técnico do CEFET/MG
No Capítulo 5, considerações finais.
Os logaritmos surgiram, no começo do século XVII (BOYER, 1968), como um
instrumento auxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas,
quocientes em diferenças, etc. Sua utilidade, desde aquela época até bem
recentemente, foi incontestável.
Nesse meio tempo, além do seu emprego generalizado para tornar possíveis
operações aritméticas complicadas, as funções logarítmicas, juntamente com suas
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inversas, as exponenciais, revelaram-se possuidoras de notáveis propriedades, que
as qualificavam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais
a grandeza estudada aumenta (ou diminui) com taxa de variação proporcional à
quantidade daquela grandeza existente no momento dado.
Por isso é que, mesmo com o advento e uso universal das calculadoras, e a
consequente perda de interesse nos logaritmos como instrumento de cálculo
aritmético, a importância científica dos mesmos não diminui nos dias de hoje.
Segundo Corrêa (1989),
as aulas que antecedem o estudo de logaritmos têm o objetivo de preparar
o terreno para esse estudo, isto é, constituem pré-requisitos importantes
para a construção gradativa do conceito e propriedade que envolvem os
logaritmos. (CORRÊA, 1989, p.22)
Exemplos de problemas, de origem variada, onde surgem logaritmos e
exponenciais de forma espontânea, devem ser apresentados aos estudantes a fim
de habituá-los com o manuseio de questões relativas ao crescimento exponencial e
logaritmo. E, finalmente, a própria conceituação e a interpretação gráfica das
Funções Exponencial e Logarítmica devem ser introduzidas de forma bem objetiva.
Na visão de Miranda e Laudares (2007), uma das metas principais do ensino
de matemática é a focalização na compreensão conceitual. Devemos dar ênfase às
estratégias de estudo, as quais se fazem com abordagens variadas, sejam elas
descritivas, explicativas e de análise, com diversidade de metodologias do tipo
algébrica, numérica ou geométrica, seja também no tratamento do conceito
matemático, atrelado às situações problemáticas das ciências e da realidade,
fugindo da abstração restrita.
Podemos dizer que o primeiro passo, de qualquer investigação é identificar
claramente o problema a resolver e, para resolver um problema, é necessário certo
conjunto de conhecimentos previamente adquiridos.
Num problema matemático perfeitamente formulado, todos os dados e todas
as cláusulas da condicionante são essenciais e têm de ser levados em conta. Nos
problemas práticos, temos uma grande multiplicidade de dados e de condicionantes;
que são tomados em consideração, tantos quanto pudermos, embora sejamos
forçados a desprezar alguns.
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Sendo a resolução de problemas uma habilitação prática, somente
conseguimos a solução deles se observarmos e imitarmos o que fazem outras
pessoas. Dessa forma, só aprendemos a solucionar problemas, resolvendo-os.
Polya (1995) enumera as quatro fases de resolução de problemas, como a
seguir:
Primeiro, compreender o problema, percebendo claramente o que é
necessário. Segundo, analisar como os diversos itens estão inter-relacionados,
como a incógnita está ligada aos dados, para termos a ideia da resolução, para
estabelecermos um plano. Terceiro, executar o plano. Quarto, fazer um retrospecto
da resolução completa, revelando-a e discutindo-a.
Assim, na elaboração conceitual, Polya (1995) defende a necessidade do
raciocínio heurístico, o qual se faz com suporte em todo o capital acumulado de
saberes e da sua mobilização, formulando hipóteses e conjecturas. É aquele,
segundo o mesmo autor, que não se considera final e rigoroso, mas apenas
provisório e plausível.
à medida que avança o nosso exame do problema, prevemos com clareza
cada vez maior o que deve ser feito para a sua resolução e como isso deve
ser feito. Ao resolver um problema matemático, podemos prever, se
tivermos sorte, que um certo teorema conhecido poderá ser utilizado, que
um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta à
definição de um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil,
que a volta à definição de um certo termo técnico poderá ser necessária.
Não prevemos essas coisas com certeza, apenas com um certo grau de
plausibilidade. (POLYA, 1995, p.130)
A iniciação da metodologia de resolução de problemas exige um acúmulo de
conhecimentos, denominada por Pozo (1998) de conhecimentos prévios.
entendemos que conhecimentos prévios são todos aqueles conhecimentos
(corretos ou incorretos) que cada sujeito possui e adquiriu ao longo de sua
vida na interação com o mundo que o cerca e com a escola. Esse conjunto
de conhecimentos serve para que ele conheça o mundo e os fenômenos
que observa ao mesmo tempo em que ajudam a prever e controlar os fatos
e acontecimentos futuros. (POZO, 1998, p.87)
É natural aparecer matemática no estudo de fenômenos físicos, assim
Laudares (2004) acrescenta que nós montamos o fenômeno físico, vamos
quantificando e chegamos ao modelo matemático que pode ser uma fórmula, um
gráfico. Construído o modelo matemático, nós fazemos a fórmula literalmente para
19
termos uma equação geral, a ser usada em um programa de computador.
Hoje, com a utilização dos computadores, as tábuas de logaritmos, como
instrumento de cálculo, não têm mais valor, mas ainda o estudo de logaritmos é, e
continuará sendo, de grande importância.
A construção e a análise de esboços gráficos das Funções Exponencial e
Logarítmica é uma das grandes oportunidades de fortalecer, na aprendizagem do
aluno, a ligação entre Álgebra e Geometria e suas aplicações em Trigonometria.
Traçar gráficos de funções é uma atividade fundamental no ensino médio e no
aprendizado de matemática, desse modo a interpretação geométrica em
, como
propõe Friendlander (1995), torna a compreensão mais fácil na obtenção da função
inversa e na resolução de equações, inequações exponenciais e logarítmicas. Nesse
caso, a resolução gráfica é menos tediosa e mais rápida do que a solução algébrica,
utilizando de maneira significativa a habilidade com simetria, reflexão e translação.
As representações gráficas são usadas nas ciências, de modo que, com o
auxílio de representações geométricas apropriadas, podemos expressar a relação
existente entre duas funções em linguagem gráfica, onde uma função pode ser
perfeitamente simétrica em relação a um plano vertical, de tal maneira que as duas
partes sejam completamente “intercambiáveis”. Assim, Polya (1995) procura tratar
simetricamente o que é simétrico e não destruir arbitrariamente qualquer simetria
natural.
O estudo das Funções Exponencial e Logarítmica torna-se mais envolvente
na medida em que buscamos uma abordagem conceitual e gráfica dentro de várias
aplicações no campo da ciência. A estratégia para a implementação dessa nova
abordagem está no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discussão é,
pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais
rico do que significa investigar e, por outro lado, desenvolvam a capacidade de
comunicar matematicamente e de refletir sobre seu trabalho, aumentando seu poder
de argumentação. Podemos afirmar que, sem a discussão final, se corre o risco de
perder o sentido da investigação. (PONTE, 2003).
Assim, o professor deve ser consciente de que aprender vai além da
memorização, isto é, também reestruturar concepções já existentes. (FERREIRA,
2006).
20
Outras pesquisas do estudo do ensino e da aprendizagem das Funções
Exponenciais e Logarítmicas foram realizadas, como:
Análise do processo de argumentação e prova em relação ao tópico
logaritmos, numa coleção de livros didáticos e numa sequência de ensino, de
Fernando Tavares da Silva (2007).
Uma sequência de ensino para o estudo dos logaritmos, usando a Engenharia
Didática, de Ronize Lampert Ferreira (2006), e Uma Sequência de Ensino, usando o
Programa Winplot: em busca de uma aprendizagem autônoma do aluno, de Caren
Saccol Berlez (2007).
Ao final das atividades, faremos uma socialização das ideias dos alunos,
contribuindo de modo significativo para o aprendizado da matéria e desenvolvendo o
gosto por essa.
21
2 ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA EM LIVROS
DIDÁTICOS E NOS PCN’s
2.1 Livros Didáticos
Alguns livros adotados em escola de Ensino Médio foram analisados, sendo
que dois desses foram usados nos últimos 7(sete) anos no CEFET/MG, quais sejam:
Giovanni e Bonjorno (1992) e Dante (2008).
Os critérios usados na análise dos livros foram: linguagem usada pelos
autores, o conceito de Função, Função Inversa, Exponencial e Logarítmica, através
de uma situação-problema motivadora e a interpretação gráfica.
2.1.1 Matemática para o 2º Grau - Nelson Gentil et al. (1992)
Gentil et al. (1992) não apresentam situações-problemas para iniciar o
conceito de função. A definição de Função baseia-se através das representações no
diagrama de Venn, comparando os conjuntos e estabelecendo relações entre eles,
determinando o domínio, o contradomínio e a imagem. É apresentada uma grande
quantidade de exercícios, envolvendo cálculo algébrico.
As situações-motivadoras aparecem somente na Função do Iº e IIº graus com
aplicações na Física e na Economia, relacionando as variáveis dependentes e
independentes, obtendo, assim, uma relação matemática entre elas.
O conceito da Função Inversa é apresentado de forma simples nos exercícios
propostos, os autores exploram mais a regra prática para determinação de
, que
é a inversa da função , ao invés da construção gráfica.
As Funções Exponencial e Logarítmica são deficitárias quanto aos traçados
gráficos. Observa-se que os autores trabalham com equações exponenciais que
necessitam do logaritmo como ferramenta para a sua resolução e, além disso,
exploram os logaritmos decimais, trabalhando com exercícios de estimativas através
22
da interpolação linear.
O livro apresenta uma linguagem matemática, sem textos informativos, o que
é justificado na fundamentação teórica dada aos logaritmos, observando que os
autores exploram bastante a parte algébrica, ao invés de aplicações práticas e
resoluções de problemas, usando a interpretação gráfica.
2.1.2 Matemática: Uma nova Abordagem - Giovanni e Bonjorno (1992)
Os autores apresentam a ideia de função, relacionando duas grandezas
através de exemplos práticos. A definição de Função Matemática baseia-se de
acordo com a linguagem da teoria dos conjuntos, diferenciando os elementos:
domínio, contradomínio e imagem, explorando, através de representações gráficas,
a situação que, para certos valores de , não possui imagem real.
A tipologia das funções é apresentada com certo rigor matemático, revelando
que Bonjorno e Giovanni se prendem muito à parte conceitual e algébrica, o que é
mostrado na Função Inversa, onde a determinação da inversa é obtida, usando-se a
regra de inversão, e não a inversão dos pares ordenados na representação gráfica
da inversa.
Estes autores não se utilizam de uma situação-problema para introduzir a
definição de logaritmo, fazem referência a uma tabela com números naturais
relacionando-os com o expoente de dez, desse modo as propriedades operatórias
dos logaritmos são bastante exploradas, baseando na definição de logaritmo.
Nas Funções Exponenciais e Logarítmicas, os exemplos práticos, usados na
introdução, são deixados de lado, enfatizando a parte operacional, utilizando a
calculadora científica e as tábuas de logaritmos para o cálculo das características e
mantissas. Desse modo, a construção gráfica e as translações gráficas não são
abordadas.
23
2.1.3 Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações - Manoel Paiva (2002)
Paiva (2002) introduz o conceito de Função, usando muitos exercícios com
dificuldades crescentes, identificando, no sistema de coordenadas cartesianas, os
elementos: domínio, contradomínio e imagem.
Existem poucas aplicações envolvendo situações reais que possibilitem aos
alunos uma interação com o conteúdo. Desse modo, a visão conceitual é vista de
forma algébrica, deixando de fazer uma análise gráfica dos exercícios.
A Função Inversa é analisada depois dos conteúdos de Funções Exponencial
e Logarítmica, fato esse que compromete a relação de inversão entre as funções,
mas se prende na análise gráfica para as funções de Iº e IIº graus, dando uma
conotação histórica à Função Inversa.
Na parte gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas, existem poucos
gráficos, devido à falta de aplicações, enfatizando mais os exercícios algébricos.
Desse modo, as translações, envolvendo as mudanças dos parâmetros da base, são
deixadas de lado. É um livro bastante teórico, onde as funções são bem definidas,
mas a parte gráfica deixa a desejar.
2.1.4 Matemática, Ensino Médio - Smole e Diniz (2003)
As autoras apresentam exemplos práticos, no que diz respeito ao conceito de
função. Assim, a definição de função é dada de maneira objetiva, focalizando
exemplos da vida real, associando as variáveis em estudo de maneira aplicativa
através de um contexto gráfico.
A Função Inversa é obtida através do método usual, sem uso de aplicação. O
livro consegue abordar os dois lados de um conteúdo, o conceitual, através de
exemplos práticos, e as representações gráficas, fato observado na Função
Exponencial, onde exercícios de análise gráfica, envolvendo duas funções
simultaneamente, são apresentados, buscando sua resolução através do método
gráfico.
24
Ao definir a Função Logarítmica, as autoras não exploram a função inversa,
introduzindo a definição de logaritmo e trabalhando com as propriedades
operatórias, seguidas de exemplos e de exercícios de aplicação imediata das
propriedades.
A parte gráfica, relacionando as Funções Exponenciais e Logarítmicas, não é
contemplada, distanciando a relação existente entre as funções, o que é notado pela
ausência de gráficos, envolvendo as translações.
2.1.5 Matemática: Para a Escola de Hoje - Facchini (2006)
Facchini (2006) aborda o conceito de função através de exemplo prático e
busca, na História da Matemática, a origem da palavra função, relacionando as
variáveis em estudo com os valores de dependência e independência.
O autor explora nos exercícios muito a parte algébrica, e mostra poucas
situações-problemas.
Na Função Inversa, a maneira de abordar os pares ordenados é bem
explicitada, mostrando a relação que a reta da bissetriz tem em relação às funções,
destacando a inversão dos pares ordenados.
As definições de exponencial e logaritmo são bastante exploradas antes de se
trabalhar com as propriedades. Os exemplos usados nas funções exponenciais e
logarítmicas mostram o interesse do autor em trabalhar a parte algébrica com a
gráfica, explorando, nos gráficos, os pontos de interseção em relação aos eixos e a
simetria entre as funções.
2.1.6 Matemática - Dante (2008)
Dante (2008) inicia o conteúdo de função através de situações-problemas
motivadoras, usando exemplos de fácil entendimento, fixando-os através de
representações gráficas.
25
As análises e as interpretações gráficas foram, em alguns capítulos, a
referência do autor, fato este não consolidado no estudo da Função Inversa.
A ideia de translação foi usada somente na função quadrática, analisando a
variação dos coeficientes: a, b e c, através das representações gráficas, deixando de
se estender para as Funções Exponenciais e Logarítmicas.
Quanto ao estudo dos logaritmos, existe um rigor desde as definições que são
abordadas numa linguagem matemática até o entendimento das propriedades.
Desse modo, na aplicação dos logaritmos na resolução de equações exponenciais e
de problemas, utiliza-se uma tecnologia moderna (calculadora) em substituição às
tábuas logarítmicas.
Ao final de cada Capítulo, o autor faz menção à leitura histórica, desde a
origem até sua aplicação, aprofundando no estudo das funções, relacionando-as
com outras funções.
Em suma, nos livros didáticos analisados, percebemos uma exposição da
abordagem conceitual e gráfica das funções exponencial e logarítmica sem qualquer
preocupação em estabelecer as possíveis conexões entre o conceito e a parte
gráfica das funções. Em alguns livros encontramos, situações práticas da vida real.
Em alguns livros, percebemos que existem situações-problemas que se
propõem à determinação da solução do problema, através de equações,
inequações, cálculos de características, mantissas, uso de calculadoras e algumas
representações gráficas. Entretanto, procuramos uma metodologia nos livros
didáticos envolvendo a parte conceitual e gráfica das funções e suas translações.
2.2 Análise dos PCN’s no Ensino Médio
A articulação das várias áreas do conhecimento e das disciplinas da área das
ciências, partilhando linguagens, procedimentos e contextos, converge para o
trabalho educativo da escola como um todo, ao promover competências dos alunos.
Para cumprir esses pressupostos, é recomendável, por um lado, promover
atividades didáticas, em grupo ou individualmente com os alunos, em que suas
preferências e interesses possam se manifestar, contribuindo significativamente para
26
a motivação, ou seja, para o desejo de aprender.
Por outro lado, isso requer que os conteúdos formativos das muitas
disciplinas tenham uma unidade, em termos de contextos comuns e das
competências desenvolvidas. Que o jovem possa identificar não no discurso, mas na
prática, procedimentos comuns dentro ou fora da sala de aula, utilizando softwares
matemáticos que possam fazer essa ligação entre a parte teórica e prática.
Ao estudar o conceito de função, deparamos com situações como o fato de
que o aluno precisa adquirir o hábito da linguagem algébrica como a linguagem das
ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situaçõesproblemas, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias
conexões dentro e fora da própria matemática.
Tradicionalmente, o ensino de funções estabelece, como pré-requisito, o
estudo dos números reais e de conjuntos e suas operações, para depois definir
relações e, a partir daí, identificar as funções como particulares relações. Todo esse
percurso é, então, abandonado assim que a definição de função é estabelecida, uma
vez que, para a análise dos diferentes tipos de funções, ou seja, da sua tipologia,
todo o estudo relativo a conjuntos e relações passa ser desnecessário.
Assim, o ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para
descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o estudo
a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente.
Os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final de cada
tópico abordado, mas devem ser colocados de forma motivadora dentro dos
conteúdos de modo que o aluno possa assimilar a ideia e os conceitos de função. A
riqueza de situações, envolvendo funções, permite que o ensino se estruture
permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas
do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre
grandezas.
Dentre os vários tipos de funções, enfatizo a Função Inversa, que não é
mencionada nos PCN’s. É através dela que se consegue estabelecer um parâmetro
de ligação entre as Funções Exponenciais e Logarítmicas, levando em consideração
aspectos relevantes ao que se refere ao crescimento/decrescimento e à inversão de
pares ordenados, elementos que são os geradores para a construção gráfica dessas
27
funções.
De acordo com os PCN’s, as Funções Exponenciais e Logarítmicas são
usadas para descrever a variação de duas grandezas em que o crescimento da
variável independente é muito rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento
como matemática financeira, crescimento de populações e outras. Fato esse que
mostra a relação de dependência das funções.
A parte operacional da resolução de equações Exponenciais e Logarítmicas e
o estudo das propriedades de características e mantissas podem ter sua ênfase
diminuída e, até mesmo, podem ser suprimidas, pois os avanços tecnológicos, com
o uso de softwares matemáticos, levam os estudantes a resolver e calcular
expressões exponenciais e logarítmicas através desses recursos.
Desse modo, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no
conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na
interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções.
28
3 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Esta pesquisa de cunho qualitativo, composta por atividades referenciadas
em Boyer (1968), Côrrea (1989), Miranda e Laudares (2007), Ferreira (2006),
Friendlander e Haddas (1995), Laudares (2004), Polya (1995), Ponte (2003) e Pozo
(1998), direciona os alunos a resolverem problemas e interpretar graficamente as
Funções Exponenciais e Logarítmicas.
A pesquisa também é sustentada nos moldes de uma sequência didática e de
uma sequência de conteúdos, em que Zabala (1998) define uma sequência didática:
como um conjunto de atividades, estruturadas e articuladas para a realização de
certos objetivos educacionais, que tem um princípio e um fim conhecidos tanto pelos
professores como pelos alunos.
Através dessas concepções, buscaram-se problemas que privilegiam
situações reais, incentivando a pesquisa e atividades relacionadas ao surgimento
dos logaritmos, contribuindo para a construção e para a compreensão do conceito
de logaritmo e sua representação gráfica por parte dos alunos.
A sequência didática proposta refere-se a um conjunto de atividades
planejadas e encadeadas, com o intuito de facilitar não só a compreensão do
conceito das Funções Exponencial e Logarítmica, como também a construção
gráfica, permitindo aos alunos a oportunidade de investigar e explorar as situaçõesproblemas
de
forma
autônoma,
assumindo
a
responsabilidade
pela
sua
aprendizagem, proporcionando de forma significativa a aprendizagem dos
conteúdos.
3.1 Apresentação da elaboração das atividades didáticas
O interesse pelo conteúdo, por parte dos alunos, aumenta a partir do
momento em que esses compreendem as ligações do conteúdo a ser estudado num
contexto relacionado às suas vivências. Diante desse pensamento, colocaram-se
como elemento norteador as seguintes atividades de pesquisa, com as respectivas
29
descrições.
Foram propostas seis atividades, com níveis de dificuldades crescentes,
através de uma sequência didática e de conteúdo, visando a um trabalho
investigativo para as Funções Exponenciais e Logarítmicas.
A primeira e a segunda atividades exploraram o conceito das funções
exponenciais e logarítmicas, dando ênfase à Ciência Biológica e à Matemática
Financeira. Nessa atividade, mostramos a relação entre as variáveis dependentes e
independentes e o comportamento das curvas.
Na terceira e quarta atividades foram abordadas a definição e a interpretação
dos coeficientes das funções, analisando as condições dos parâmetros.
Na quinta atividade, é explorada a interpretação da função inversa, através de
recursos gráficos para sua obtenção.
A sexta atividade utiliza um software matemático (Winplot) para esboço de
gráficos e deslocamento de curvas (translações). Essa atividade será desenvolvida
no laboratório de informática do Campus I.
3.2 Primeira Atividade didática
Nessa atividade, foram explorado o conceito da Função Exponencial, dando
ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de
uma planta, em que os alunos deveriam:
- Identificar e representar graficamente as variáveis em estudo;
- Relacionar e classificar a curva em estudo com as funções já estudadas;
- Analisar e descrever a relação entre variáveis definidas;
- Formalizar a lei que descreve o fenômeno.
A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes
habilidades:
- Reconhecer e interpretar informações relativas a problemas, construindo
conjecturas;
- Aprender a fazer tratamento de dados com a montagem de tabelas e
plotagem gráfica;
30
- Usar a intuição na problematizarão, durante a exploração do problema, e
validar as conjecturas levantadas na avaliação dos resultados.
3.2.1 Apresentação da Atividade
Nessa atividade, mostraremos como o conceito da Função Exponencial e
Logarítmica, dando ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo
o crescimento de uma planta, podem ser aplicados pelos alunos.
O Quadro 1 a seguir apresenta a primeira atividade.
Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida,
supondo que sua altura inicial é de 1 cm, então:
a) Qual o valor para o instante inicial?
b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês e sucessivamente, no final do 2º, até o 10º
mês?
c) Identifique a variável dependente e independente em estudo e dê nome para elas?
d) Construa uma tabela que represente essa situação.
e) Plote, no sistema de eixos, os dados da tabela construída, indicando a variável
dependente na vertical e a independente na horizontal.
f) Una os pontos.
g) Interpretando o gráfico, dê um valor aproximado para:
a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias.
h) A curva obtida no item ”f” corresponde a uma função
a) do Iº grau (cujo gráfico é uma reta).
b) do IIº grau (uma parábola).
c)uma curva desconhecida.
i) As grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique?
j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique?
k) Repita “o gráfico construído no item ”f” e trace uma reta crescente que tangencia a curva a
partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito do crescimento da reta e da curva?
l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)?
m) Formalize, usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajuste ao
gráfico. A relação encontrada é denominada “Função Exponencial” (cujo gráfico é uma
exponencial).
Quadro 1: 1ª Atividade
Fonte: Dados da Pesquisa
31
3.2.1.1 Descrição da Atividade
O problema em Ciências Biológicas, apresentado na primeira atividade,
objetiva obter uma relação, a partir de uma análise gráfica, que relaciona duas
variáveis em estudo: a variável dependente altura
, com unidade de medida em
cm, e a variável independe tempo , em meses.
Na resolução dessa atividade, esperamos que os alunos façam a construção
de uma tabela de valores, envolvendo as variáveis como ponto de partida.
O primeiro questionamento foi a identificação da variável dependente e da
independente. Como os alunos já tinham cursado o ensino fundamental,
esperávamos que todas as duplas conseguissem construir a tabela da altura
relação ao tempo , isto é,
em
, e traçar o gráfico correspondente, conforme a
Tabela 1 seguinte:
TABELA 1
1ª Atividade
(meses)
0
1
2
...
10
(altura)
1
2
4
...
1024
Fonte: Dados da pesquisa
A partir da Tabela 1 preenchida, os estudantes iriam plotar os pontos no
sistema de eixos, indicando os valores de
vertical, formando os pares ordenados
meses) na horizontal e de
(cm) na
, obtendo uma curva desconhecida, para
os mesmos, conforme esboço do Gráfico 1 a seguir:
32
Gráfico 1: 1ª Atividade
Os pares ordenados obtidos na tabela anterior configuram pontos na região do
primeiro quadrante, mostrando a existência de uma relação entre as grandezas
envolvidas, ou seja, à medida que o tempo aumenta, existe uma correspondência
com a altura, que cresce na forma de uma potência de dois. Dessa maneira, as duas
grandezas não são grandezas proporcionais. Segundo Dante (2008)
duas grandezas são proporcionais (ou diretamente proporcionais) se para
cada valor de de uma delas corresponde um valor de bem definido na
outra
satisfazendo:
a) Quanto maior for , maior será , ou seja:
Se
e
, então
implica
.
b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de , então, então o valor
correspondente de será dobrado, triplicado, etc., ou seja: Se
, então
para todo
A correspondência
que satisfaz essas duas condições chama-se
proporcionalidade. (DANTE, 2008, p.67)
Entretanto, no problema estudado, não há proporcionalidade entre as
grandezas envolvidas.
Diante da análise gráfica dos pares ordenados, gerados pelos valores inteiros
do tempo e da altura, unindo os pontos e obtendo uma curva contínua, outros pontos
pertencentes à curva podem ser avaliados e determinados, usando uma
33
representação fracionária que estima, no eixo vertical, os valores correspondentes
para a altura , sendo dado um valor de (me.: meses. d.: dias) como:
Através dessas representações, pretendíamos buscar as habilidades dos
estudantes, na determinação dos valores aproximados da altura, no eixo vertical,
supondo que os alunos tinham um conhecimento prévio, adquirido no ensino
fundamental, das operações de potenciação e radiciação. O uso da calculadora
científica facilitou a determinação dos valores aproximados da altura.
A tabela formada pelo tempo e pela altura mostra uma relação de
dependência entre as grandezas, ou seja, à medida que os valores do tempo
aumentam, através de uma variação linear na razão de um para um, a altura
também aumenta, mediante um acréscimo multiplicativo, não linear, na razão de
duas unidades, isto é:
.
Após o traçado do gráfico, pediu-se para analisar as grandezas definidas
quanto ao seu comportamento, se crescentes ou decrescentes, se proporcionais.
A modelagem de uma situação de fenômenos físicos, interpretados na sua
variação, e o modelo podem ser expressos por uma equação ou um gráfico. Assim,
com descrição da situação física, procura-se a descrição matemática na tentativa de
relacionar as variáveis, usando tabelas, gráficos ou fórmulas de modo a resolver a
situação-problema e trazer o entendimento da lei definidora.
Espera-se que o aluno obtenha, através desta atividade, a relação
matemática da forma
variável , representa o tempo, e,
, chamada de função exponencial, onde a
, a altura em metros, obtida a partir da
construção gráfica de uma situação-problema.
34
3.3 Segunda Atividade didática
Essa atividade envolve os conceitos das Funções Exponencial e Logarítmica,
dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto, na
Matemática Financeira, onde os estudantes deveriam:
- Identificar e representar graficamente as variáveis e os parâmetros em
estudo;
- Relacionar e classificar a curva em estudo com as funções já estudadas;
- Formalizar a lei que descreve o fenômeno.
habilidades:
- Reconhecer e interpretar informações relativas ao problema;
- Montar e representar graficamente as tabelas;
- Desenvolver e prever resultados;
- Identificar situações de crescimento e decrescimento, máximo ou mínimo.
Nessa atividade, mostraremos como os conceitos das Funções Exponencial e
Logarítmica, dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro
composto na Matemática Financeira, podem ser aplicados pelos alunos.
35
O Quadro 2 a seguir apresenta a segunda atividade.
Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00 durante 10 anos, a
uma taxa de 12% ao ano e podendo sacar a qualquer momento, isto é, o capital mais
juros: denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição
Financeira, o valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de
formação:
, onde as variáveis correspondem ao montante, o capital
empregado, a taxa unitária e o tempo da aplicação. Analisando os dados da situação
financeira, responda:
a) Verifique se na lei de formação há 04(quatro) grandezas, duas variáveis e dois
parâmetros.
b) Identifique a variável independente?
c) Identifique a variável dependente?
d) Qual é o valor do capital inicial?
e) Qual o capital aproximado a receber (capital acumulado) no final do 1º, 2º, 3º, 4º,
5º, 10º ano?
f) E ao fim de t anos?
g) No item “f”, ao escrever a fórmula, encontra-se uma relação envolvendo quantas
grandezas? Quais letras as representam?
h) Que condição devemos impor a ?
As outras grandezas são constantes?
Justifique?
i) Construa uma tabela, que represente a situação de item “e”.
j) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável
independente na horizontal e dependente na vertical, e una os pontos.
k) A curva obtida no item “j” corresponde a que tipo de uma função?
l) Construa uma nova tabela, invertendo os pares ordenados do item “i”.
m) Plote no sistema de eixos os pares obtidos, com as novas coordenadas, e una os
pontos, traçando o gráfico.
n) Repita os dois gráficos obtidos, num mesmo sistema de eixos.
o) Trace a bissetriz do Iº quadrante.
p) Tome 05(cinco) pontos dessa bissetriz, e trace retas perpendiculares à bissetriz,
até interceptar as curvas.
q) O que você pode conclui em relação às duas curvas?
r) Formalize usando as variáveis nomeadas uma lei de formação que melhor se
ajusta ao gráfico. A relação encontrada é a “função Exponencial”, e o gráfico cujas
coordenadas foram mudadas de posição define uma nova função, a “função
Logarítmica”, denominada curva logarítmica.
36
s) Como se comportam os valores das funções?
Crescem ou decrescem?
t) Qual curva cresce mais rapidamente com o tempo aumentando?
u) Se a sua dívida cresce exponencialmente e os seus rendimentos com o
Logaritmo. O que você pode concluir?
v) Se a sua dívida cresce como o logaritmo e os seus rendimentos como a
Exponencial. O que você pode concluir?
Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao
fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e
passando, portanto, a ganhar juro. O investidor, no fim do segundo ano, receberá,
portanto, "juro do juro", além do juro do capital, gerando o montante.
Inicialmente, a expressão do montante
, admite quatro
grandezas, representadas pelas letras: C (Capital), i (Taxa unitária), t (Período de
tempo) e M (Montante). Essas grandezas desempenham um papel importante
dentro do contexto financeiro, pois a relação obtida mostra a correspondência entre
a variável independente, , e a variável dependente,
, considerando as outras
grandezas como parâmetros.
Nesse problema,
e
são dados por valores fixos na aplicação financeira,
logo o capital “ ” (R$10 000,00) reproduzirá os respectivos montantes no fim de
cada ano. Esses valores podem ser obtidos de maneira simples, como: multiplicando
o montante de cada ano pelo fator de 1,12 ou usando uma calculadora científica,
gerando os valores:
Através da representação gráfica dos pontos, as grandezas tempo e montante
proporcionam uma lei de formação tipo exponencial da primeira atividade, ou seja,
. A curva formada pelos pares ordenados
exponencial.
é uma curva
37
Os pares ordenados, obtidos na relação
, representam
uma função crescente, devido ao aumento nos valores do tempo e do montante.
Dessa forma, todos os pontos da curva pertencem ao Iº quadrante, com
coordenadas positivas. Desse modo, ao invertemos os pares ordenados, esses
continuaram a pertencer à região do Iº quadrante. De acordo com Lima (2006):
dois pontos P, Q no plano dizem-se simétricos em relação a uma reta r
nesse plano quando r é a reta mediatriz do segmento PQ. Logo duas figuras
dizem-se simétricas em relação à reta quando cada ponto de uma delas é o
simétrico da outra em relação a essa reta. (LIMA, 2006, p.188)
A curva obtida com a inversão dos pares ordenados é uma função
decrescente. Desse modo, a nova função gera uma curva desconhecida proveniente
da dívida, assim os gráficos apresentados representam de forma simétrica a relação
entre as curvas exponenciais e logarítmicas, geradas pelo rendimento (lucro) e a
dívida (prejuízo).
Portanto, o lento crescimento dos logaritmos fica evidenciado na curva obtida
dos pares ordenados inversos que contrasta com o rápido rendimento da curva
exponencial.
A construção de um novo modelo, através da situação-problema, possibilita
aos alunos a retomada do conceito de Função Exponencial, bem como a construção
de um novo modelo matemático referente à situação-problema e a análise gráfica da
solução, definindo uma nova função denominada Logarítmica.
3.4 Terceira Atividade didática
Nessa atividade, serão exploradas a definição e a interpretação dos
coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (
, onde os
alunos deveriam:
- Efetuar e representar cálculos numéricos;
- Determinar pares ordenados e representar graficamente as tabelas;
- Relacionar e classificar a curva em estudo com as Funções Exponenciais e
Logarítmicas, na base maior que um;
38
- Formalizar a lei que descreve a situação em estudo.
habilidades:
- Reconhecer e interpretar as funções;
- Desenvolver a capacidade de analisar, interpretar, prever e generalizar
resultados.
Nessa atividade, mostraremos a definição e a interpretação dos coeficientes
das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (
.
O quadro 3 a seguir apresenta a terceira atividade.
1) Dada a função
X
, complete a tabela seguinte:
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
Inverta os pares ordenados e complete a nova tabela.
X
Y
“A tabela formada define uma nova função, “ é igual ao logaritmo de
é,
1.1. Considere a função
a=2
a=3
a=4
na base 2”, isto
, complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base.
X
Y
Y
Y
-2
-1
0
1
2
1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos.
1.3. Interpretando o gráfico, responda.
a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos.
b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares
ordenados.
39
c) As funções são crescentes ou decrescentes?
d) Tome alguns valores para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e
una estes segmentos.
e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas?
f) Examine o comportamento do gráfico para
e
.
g) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo
que a função seja crescente.
1.4. Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função
tabela da função
.
a=2
, obtendo a
X
Y
a=3
X
Y
a=4
X
Y
1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às
questões a seguir, interpretando o gráfico.
ordenados.
d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e
f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode
concluir para ? A função possui um máximo?
g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode
concluir para ? A função possui um mínimo?
h) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo
Inicialmente foi definida a função Exponencial de base 2 (dois), isto é,
,
de modo a se obter uma tabela de valores, envolvendo as variáveis representativas
e . De acordo com Caraça (2003):
uma igualdade como
, em que figura igualado a uma expressão
analítica em , contém uma lei matemática ligando as duas variáveis; essa
lei matemática define a correspondência, que existe entre
e
e faz,
40
portanto, que
seja função de . (CARAÇA, 2003, p.123)
A partir da função exponencial definida acima, pretendemos construir uma
tabela que relacionasse os valores da variável independente, , com os respectivos
valores da variável dependente, , formando os respectivos pares ordenados
Desse modo, os pontos de coordenadas
relativamente à reta
e
seriam simétricos
, mostrando que os gráficos das funções
são simétricos e obtidos um do outro por reflexão na reta
Gráfico 2: Funções:
Através da função
.
e
.
.
, de base igual a dois, outras tabelas podem ser
elaboradas a partir da mudança dos valores positivos da base, gerando a relação
, de base
não inteiros de
. Os valores de
inteiros facilitam os cálculos. Para valores
, o estudante poderá usar a calculadora.
A variação nos valores da base, considerando
, na função
, tem
como princípio mostrar que à medida que a base aumenta, as curvas ficam cada vez
mais assintóticas em relação ao eixo das abscissas.
41
















Gráfico 3: Função Exponencial:
Tomando pontos fixos de cada figura, os estudantes podem observar, através
dos gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base aumentam à
medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos
inclinação do gráfico da função
. Isso quer dizer que a
deve crescer com .
A partir dessa análise, Lima (2006) define a Função Exponencial da seguinte
maneira:
seja um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1(um).
A função exponencial de base ,
, indicada pela notação
, deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades, para
quaisquer
:
, quando
(LIMA, 2006, p.178)
e
, quando
.
Desse modo, para todo número real positivo , diferente de 1 (um), a função
exponencial
é sempre positiva, ou seja, a função não possui um valor
máximo, mas tende a um comportamento assintótico próximo de 0 (zero) no domínio
dado, logo a sua inversa é definida como
, conforme a figura seguinte.
42
y
x









Gráfico 4 : Função Exponencial e Logarítmica:
Segundo Lima (2006):
para todo número real positivo
, a função exponencial
;
, é uma correspondência biunívoca entre
e
, crescente se
, decrescente se
, ... , a inversa da Função Exponencial de
base é a função
, que associa a cada número real positivo o
número real
, chamado o logaritmo de
na base . (LIMA, 2006,
p.190).
A dificuldade em determinar os logaritmos de números reais positivos, usando
a relação
, leva-nos a transformar a expressão
potência do tipo
numa função
, cujos cálculos envolvem somente a potenciação. A
formação dos novos pares ordenados, obtidos pela inversão dos mesmos, originará
uma nova curva, cuja função dada é
na base
, ou seja, y é igual ao logaritmo de ,
, mostrando a facilidade dos estudantes em trabalhar com a função
logarítmica, a partir dessa transformação. Pode-se associar a Função Exponencial à
sua inversa, ou seja, a Função Logarítmica.
Ao refletirmos o gráfico da função crescente,
em torno da reta
definida de
, definida de
,
, encontra-se uma função crescente do tipo
,
.
Esperamos que os estudantes observassem que os gráficos da curva,
, com a base
, variando entre 2, 3 e 4, são curvas logarítmicas, contidas
43
no primeiro e quarto quadrante, interceptando o eixo
assume valores positivos para
relação,
, com
no ponto
e valores negativos para
, e que
. Além disso, a
, é uma função crescente cujo gráfico deve
apresentar inclinação decrescente, na medida em que a base aumenta.
Desse modo, tomando pontos fixos de cada figura, pode-se observar, através
dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base
aumentam à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos . Isso quer
dizer que a inclinação do gráfico da função
deve decrescer com
















Gráfico 5: Função Logarítmica
No final da 3ª atividade foi solicitada, aos estudantes a análise dos valores
dos
parâmetros
Exponencial
que
.
não
definem
uma
Função
44
1) Se
, temos
X
. Complete a tabela e responda:
-2
-1
0
1
2
Y
O gráfico da função acima corresponde a uma reta (constante), a uma
parábola, ou a uma exponencial?
2) Se
, temos
X
-2
-1
0
1
2
Y
Existem pontos em que a função não está definida?
3) Se
, temos
X
-2
-1
0
1
2
Y
Existem pontos discretos?
3.5 Quarta Atividade didática
Nessa atividade foram exploradas a definição e a interpretação dos
, onde
45
os alunos deveriam:
- Efetuar e representar cálculos numéricos;
- Determinar pares ordenados e representar graficamente as tabelas;
- Relacionar e classificar a curva em estudo com as Funções Exponenciais e
Logarítmicas, na base maior que um;
- Formalizar a lei que descreve a situação em estudo.
habilidades:
- Reconhecer e interpretar as funções;
- Desenvolver a capacidade de analisar, interpretar, prever e generalizar
resultados.
Nessa atividade, mostraremos a definição e a interpretação dos coeficientes
das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (
O Quadro 4 a seguir apresenta a quarta atividade.
.
46
1) Dada a função
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
X
Y
A tabela formada define uma nova função, “ é igual ao logaritmo de na base 1/2”, isto é,
.
X
Y
Y
Y
a = 1/2
a = 1/3
a = 1/4
-2
-1
0
1
2
ordenados.
d) Tome alguns valores fixos para , e a partir deles trace segmentos paralelos ao eixo e una
estes segmentos.
f) Examine o comportamento do gráfico para
e
.
g) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo
que a função seja decrescente.
tabela da função
.
a = 1/2
, obtendo a
X
Y
a = 1/3
X
Y
a =1/4
X
Y
1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões
a seguir, interpretando o gráfico.
ordenados.
d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e
47
f)
g)
h)
Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode concluir
para ? A função possui um máximo?
Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode
Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo
que a função seja decrescente.
Inicialmente, foi definida a Função Exponencial de base 1/2 (meio), isto é,
, de modo a se obter uma tabela de valores envolvendo as variáveis
representativas
e
.
A partir da Função Exponencial definida, acima, pretendemos construir uma
tabela que relacionasse os valores da variável independente
com os respectivos
valores da variável dependente , formando os respectivos pares ordenados
Desse modo, os pontos de coordenadas
relativamente à reta
e
seriam simétricos
, mostrando que os gráficos das funções
são simétricos e obtidos um do outro por reflexão na reta
e
.
48
Gráfico 6 : Funções:
Através da função
, de base igual a meio, outras tabelas podem ser
elaboradas a partir da mudança dos valores positivos da base, gerando a relação
, de base
. Desse modo, a conveniência de usarmos valores
inteiros, na variável independente , dispensará o uso da calculadora, mostrando as
habilidades dos estudantes em expressar os resultados das potências, seja na forma
de números inteiros seja na forma de números fracionários.
A variação nos valores da base, considerando
, na função
,
tem como princípio mostrar que, à medida que a base diminui, as curvas ficam cada
vez mais assintóticas em relação ao eixo das abscissas.












Gráfico 7: Função Exponencial




49
Tomando pontos fixos de cada figura, podemos observar, através dos
traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base
diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos
dizer que a inclinação do gráfico da função
. Isso quer
deve decrescer com .
Desse modo, para todo número real positivo , diferente de 1 (um), a Função
Exponencial
é sempre positiva, ou seja, a função não possui um valor
máximo, mas admite um valor mínimo próximo de 0 (zero) no domínio dado,
conforme gráfico anterior, logo a sua inversa é definida como
,
conforme o gráfico seguinte.
A dificuldade em determinar os logaritmos de números reais positivos, usando
a relação,
, leva-nos a transformar a expressão,
função potência do tipo
, numa
, cujos cálculos envolvem somente a potenciação.
A formação dos novos pares ordenados, obtidos pela inversão dos mesmos,
originará uma nova curva, cuja função dada é
logaritmo de
na base
ou seja,
é igual ao
(meio), mostrando a facilidade dos estudantes em
trabalhar com a Função Logarítmica. A partir dessa transformação, podemos
associar a Função Exponencial à sua inversa, ou seja, a Função Logarítmica.
Ao refletirmos o gráfico da função
, em torno da reta
encontra-se uma função decrescente do tipo
, definida como
Espera-se que os estudantes observem que os gráficos da curva
com a base
, variando entre:
a relação,
, com
,
, são curvas logarítmicas, contidas no
primeiro e no quarto quadrante, interceptando o eixo
assumindo valores negativos para
,
no ponto
e valores positivos para
, e que
. Além disso,
, é uma função decrescente, cujo gráfico deve
apresentar inclinação crescente, à medida que a base aumenta.
Desse modo, tomando pontos fixos de cada figura, podemos observar,
através dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma
base diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos . Isso
quer dizer que a inclinação do gráfico da função
com .
deve crescer
50
















Gráfico 8 : Funções do tipo:
No final da 4ª atividade, foi solicitado um quadro-síntese das Funções
Exponencial e Logarítmica com a variação dos parâmetros definidoras da Função
Exponencial.
Função Exponencial:
Base
Domínio
Imagem
Crescente ou Decrescente
Função Logarítmica:
Base
Domínio
Imagem
Quadro 5: Síntese das Funções Exponencial e Logarítmica
Crescente ou Decrescente
51
3.6 Quinta Atividade
Nessa atividade foram explorados a interpretação gráfica e o comportamento
das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas, onde os alunos
deveriam:
- Identificar as Funções Exponenciais e Logarítmicas nas bases:
e
;
- Relacionar e classificar as curvas em estudos;
- Formalizar a lei que descreve o comportamento das funções.
habilidades:
- Diferenciar as funções nas respectivas bases;
- Construir e traçar retas a partir, de segmentos formados, tomando-se dois
pontos nas curvas dadas;
- Analisar e prever resultados.
Nessa atividade, mostraremos a interpretação gráfica e o comportamento das
Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas.
O quadro 6 a seguir apresenta a quinta atividade.
1) Dados os gráficos das funções:
.
,
,
,
,
e
52
y
A
B
D
C
E
F
x









Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções:
( ),
,
,
,
,
.
2) Dado os gráficos das funções:
,
,
,
,
e
.
y
M
N
P
x







R
S
T


53
,
,
e
.
3)
Analisando os gráficos das seguintes funções
e
, responda:
y
x

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
4)







Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas.
Inverta os pares ordenados do item “a”, e verificando se eles pertencem a outra
curva.
Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus
respectivos inversos.
Marque, usando uma régua, os pontos médios desses segmentos.
Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta).
A reta passa pela origem?
Determine a equação que melhor representa a curva (reta).
A reta obtida pertence a qual bissetor?
: chamado de bissetor ímpar ou
:
chamado de bissetor par.
Existe simetria entre as curvas?
Determine o domínio e o contra-domínio das funções representadas no gráfico.
Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é
exigência de obtenção da inversa. Isso acontece?
Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio,
contradomínio, lei de formação).
Analisando os gráficos das seguintes funções
e
,
responda:

54
y



x











a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas.
b) Inverta os pares ordenados do item “a”, verificando se eles pertencem a outra curva.
c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus
respectivos inversos.
d) Marque, usando uma régua os pontos médios desses segmentos.
e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta).
f) A reta passa pela origem?
g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta).
h) A reta obtida pertence a qual bissetor?
:
chamado de bissetor par.
i) Existe simetria entre as curvas?
j) Determine o domínio e o contra-domínio das funções representadas no gráfico.
k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é
exigência de obtenção da inversa. Isso acontece?
m) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio,
contradomínio, lei de formação).
Associe as Funções Exponenciais e suas respectivas inversas (Funções Logarítmicas)
as respectivas bases 2, 3 , 4, 1/2, 1/3 e 1/4 às letras no gráfico seguinte.

55
y
A
B
C
D
E
F
M
N
P
x









R
S
T
Essa atividade tem o intuito de aperfeiçoar os conhecimentos das funções
analisadas nas atividades anteriores, relacionando as Funções Exponencial e
Logarítmica de mesma base como inversas uma da outra, de modo que o estudante
percebesse a simetria entre as curvas em relação à reta
, como eixo de
simetria.
A partir do esboço dos gráficos das Funções Exponencial e Logarítmica de
base,
os estudantes deveriam relacionar os gráficos às suas
respectivas funções, num mesmo sistema de eixos.
Inicialmente, foram tomados dois pontos de coordenadas
pertencentes
a uma das curvas, de modo a verificar se as inversões dos seus pares ordenados
estariam associadas aos pontos da outra curva, ou seja, os valores de
invertidos. Daí o porquê de inverter
por
e
por .
e
ficam
56
Unindo os pontos de
aos seus inversos, vários segmentos de reta
paralelos podem ser determinados. Desse modo, ao tomarmos os pontos médios
desses segmentos, deseja-se obter dos estudantes uma reta que passa pela origem,
cuja equação seja
, onde os pontos
e
sejam simétricos, pois
possuem a mesma distância em relação à bissetriz do primeiro quadrante e que os
gráficos de
e
Considerando
sejam simétricos em relação a essa bissetriz.
que
o
ponto
pertence
, assim
à
Função
Exponencial
é ponto da Função Logarítmica
.
Desse
modo,
as
funções
que
possuem gráficos simétricos, em relação à reta
, são funções inversas uma da
outra. Assim, a função
, será a inversa da função
representada por
e vice-versa.
Conforme Paiva (2002), "uma função
sua relação inversa
de
em
é invertível se, e somente se,
também é função. As funções
são
chamadas de funções inversas entre si". (PAIVA, 2002, p.209)
Assim, para definirmos a inversa de uma função
imagem de
seja imagem de um único
(1995), "uma função com domínio
Diz-se que
em
da
de seu domínio. De acordo com Ávila
e imagem
é invertível se cada elemento
é preciso que cada
, isto é,
.
provém de um único elemento
." (ÁVILA, 1995, p.81)
Através dos gráficos analisados, esperamos que os alunos constatem que o
domínio da Função Exponencial é o conjunto dos números reais e a imagem é o
conjunto dos números reais positivos e, para a Função Logarítmica, tem-se que o
domínio é o conjunto dos números reais positivos e a imagem é o conjunto dos
números reais; o domínio da função exponencial é o conjunto imagem da Função
logarítmica e vice- versa.
Por fim, duas funções que possuem gráficos simétricos em relação à reta
são
funções
inversas
uma
da
outra.
Desse
modo,
as
relações
e
descrevem as situações estudadas, estabelecendo uma relação entre o gráfico da
Função Exponencial e de sua inversa, a Função Logarítmica, bem como a relação
entre as definições dessas duas funções.
57
3.7 Sexta Atividade didática
Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e
verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software
Matemático Winplot, onde os alunos deveriam:
- Construir gráficos das funções Exponencial e Logarítmica, utilizando o
Winplot, com a variação paramétrica;
- Determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções;
- Construir as translações horizontais e verticais dos seus gráficos.
habilidades:
- Trabalhar com recursos de informática;
- Manusear o Winplot, gerando a variação das funções.
Nessa atividade, mostraremos como foi explorada a construção gráfica
(translações: horizontais e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica,
utilizando um Software Matemático Winplot.
58
O Quadro 7 a seguir apresenta a sexta atividade.
Considere a Função Exponencial, definida por
. Com o
auxílio do Winplot, analise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir.
1) Seja a função:
. Considere
a) Plote, num mesmo sistema de eixos, os gráficos para o valor de “ ’ e “ ”.
b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem.
c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados.
d) Quando x diminui, o que acontece com as curvas?
e) Quando x aumenta, o que acontece com as curvas?
f)
Existe um valor de , para o qual o gráfico das funções se aproximam?
g) O que você pode afirmar para a expressão
h) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical em relação a
?
Nos próximos enunciados, foi solicitada a mesma interpretação, referente às questões. Já
nos itens “g” e “h” são definidas de acordo com o tipo de função, variando os parâmetros nas
translações:
1) Verticais:




2) Horizontais:




No apêndice é mostrado a atividade completa.
59
O Winplot, basicamente, é um programa feito para plotar gráficos de funções
de uma ou duas variáveis. Ele é um programa pode ser obtido da internet,
gratuitamente, sem a preocupação com pagamento de direitos autorais, com outras
vantagens: é de fácil uso, ocupa pouca memória do computador e o seu manuseio é
de fácil entendimento.
Inicialmente, apresentamos aos alunos uma versão do Winplot, de modo que
pudessem instalar em seus computadores. A partir dessa experiência com o
programa, foi destinada uma aula teórica para explicar alguns comandos e, a seguir,
utilizou-se o Laboratório de Informática do Campus I do CEFET/MG, para que os
alunos, trabalhando em duplas, desenvolvessem as atividades.
Nas
atividades
anteriores,
foram
desenvolvidas
as
habilidades
dos
estudantes, no que se refere aos conceitos, às definições, às condições de
parâmetros, à inversão e à construção gráfica das Funções Exponencial e
Logarítmica do tipo:
e
, para
. A partir desse instante,
um esboço simples das curvas foi traçado sem dificuldades.
Com o auxílio do Winplot, esperávamos que os alunos realizassem uma
análise gráfica do comportamento da extensão da Função Exponencial, através dos
esboços dos diversos gráficos e de sua movimentação. Esse fato seria determinante
para a aprendizagem da Função Logarítmica, de modo a contribuir para a
aprendizagem de outras funções, identificando, o domínio, a imagem, o
comportamento das curvas, em relação aos eixos coordenados, e as translações de
modo que as duplas pudessem trabalhar com escalas diferentes nos eixos
cartesianos, possibilitando uma melhor visualização das curvas. Bezerra e Jota
(1994) afirmam que:
a partir do gráfico de uma função
é possível construir diretamente
os gráficos das funções do tipo
e
, dessa maneira
o gráfico de uma função da forma
pode ser construído a partir
do gráfico de
deslocando esse último na direção vertical. Tal
deslocamento é chamado translação do gráfico de
. (BEZERRA;
JOTA, 1994, p.73)
60
Através da extensão
, pretendemos
que os alunos abstraiam dos gráficos a ideia de domínio e de imagem, mostrando
que o domínio independe do valor de
, e a imagem, definida no conjunto dos
números reais positivos, seria constante, ou seja,
Ao adicionarmos uma constante
.
ao expoente da função
, as curvas
são assintóticas em relação ao eixo das abscissas, no sentido da direita para a
esquerda, quando
diminuia, para
, e vice-versa quando
, e aumentava, para
, e, à medida que
a imagem das curvas tendem a
(0) zero, de modo que os deslocamentos das curvas em relação ao eixo das
abscissas seriam provenientes da variação da constante, deslocando as curvas para
baixo e vice-versa, mostrando que existe interseção das curvas em relação ao eixo
das ordenadas.
Analisando as condições da base, esperamos que os estudantes verificassem
que, para
, os gráficos se deslocavam da esquerda para a direita e vice-
versa, para
, mostrando que as curvas são também assintóticas em relação ao
eixo das abscissas, gerando uma translação horizontal da extensão em relação à
função
y
=
.
2^(x+k);
-5.000000
<=
x
<=
5.000000












Gráfico 9: Função do tipo:




61
y
=
(1/2)^(x+k);
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
















De maneira semelhante à extensão
apresenta o domínio contido no intervalo
idênticas em relação à curva
, pois elas se mantêm constantes,
devido ao acréscimo da constante
abscissas no ponto
e imagens
a variável
e as curvas interceptam o eixo das
.
As curvas admitem um comportamento assintótico em relação às retas de
equações
, no sentido da direita para a esquerda, para as bases
e
, existindo uma translação horizontal da extensão em relação à curva do tipo
.
y
=
log(2,x+k);
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
















62
y
=
log(1/2,x+k);
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
















Ao
analisarmos
a
extensão
,
esperamos que os alunos percebessem que o domínio independe do valor de
ou seja,
. E a adição de uma constante
conjunto imagem, no intervalo de
para cima se
a função
deverá alterar o
, de modo que as curvas desloquem
e para baixo se
, mostrando o comportamento assintótico
das curvas em relação à reta de equação
direita, quando
,
, no sentido da esquerda para a
e, vice-versa, quando
.
As curvas obtidas mostram que existe um ponto de interseção em relação ao
eixo das ordenadas da forma
, gerando uma translação vertical da
extensão em relação à curva do tipo
.
y
=
k+2^x;
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
















63
y
=
k+(1/2)^x;
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
















Analisando a extensão
,
deseja-se que os estudantes percebam que o domínio independe do valor de
ou seja,
, e a adição de uma constante
a função
,
altera o
conjunto imagem, na respectiva base.
Ao variarmos o parâmetro
, as curvas deslocam-se da direita para a
esquerda, gerando um comportamento assintótico em relação ao eixo das
ordenadas.
y
=
k+log(2,x);
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
















64
As curvas obtidas mostram que existe um ponto de interseção, em relação ao
eixo das abscissas, tornando-se assintóticas em relação ao eixo das ordenadas,
gerando uma translação vertical da extensão em relação à curva do tipo
.
y
=
k+log(1/2,x);
-5.000000
<=
x
<=
5.000000
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conforme
vertical
função
, o gráfico de
admite uma translação
unidades, “para cima” ou “para baixo”, quando comparado ao gráfico da
. Para o gráfico de
relação ao gráfico de
, temos uma translação horizontal em
, para a esquerda ou para a direita.
65
4 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À
SUA VALIDAÇÃO
4.1 Aplicação
As atividades foram aplicadas em turmas de Ensino Médio-Técnico
Profissional do CEFET/MG, com duração de 1 hora e 30 minutos cada, tanto para os
turnos diurno e noturno, com um contingente de 36 alunos. A sua execução foi
realizada em duplas, visando maior interação entre eles, proporcionando, assim,
uma vasta discussão das perguntas a serem respondidas por eles, sem a
interferência do professor.
4.1.1 Análise das Atividades
A análise da pesquisa ocorrerá de forma qualitativa, através de uma
interpretação, a posteriori, de uma sessão de atividades, cujo conjunto de resultados
que se pode tirar de sua exploração pode ajudar na melhoria dos conhecimentos
didáticos que se têm sobre as condições da transmissão do saber.
4.2 Primeira Atividade
4.2.1 Conteúdo
Exploração do conceito da Função Exponencial, dando ênfase à interpretação
e à resolução de um problema de crescimento vegetativo nas ciências biológicas.
66
4.2.1.1 Categorias de Análise
a) Desenvolvimento de cálculos (tabelas)
As tabelas construídas mostraram uma compreensão bastante significativa,
tanto no aspecto de identificação das variáveis, quanto no desenvolvimento
envolvendo cálculos de medidas.
Os cálculos apresentados mostraram as diferentes técnicas de raciocínios,
utilizadas pelas duplas de estudantes.
Sem o uso da calculadora, a partir dos resultados obtidos, percebe-se que 5%
dos alunos ainda utilizam a ideia de linearidade, ou dobro, e 95% associaram à ideia
de potência.
Quadro 8: Atividade 1.b,c,d
67
b) Interpretação dos conceitos
Os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade,
mostrando uma conduta uniforme no desenvolvimento das unidades de medidas e
na utilização de variáveis dependentes e independentes propícias ao fenômeno
estudado.
A construção da lei de formação, através da descoberta guiada, mostrou um
domínio preponderante das duplas, diante da análise dos resultados obtidos nas
tabelas e dos traçados gráficos, destacando que os alunos absorveram a ideia do
conceito da Função Exponencial.
c) Traçados dos gráficos
Os gráficos obtidos mostraram pontos relevantes, tanto no seu esboço,
quanto na sua construção.
Alguns alunos não possuem em mente o que é esboçar um gráfico, num
espaço de papel, e não sabem dimensioná-lo. Para eles, só existe uma escala de 1
em 1 cm ou de meio em meio.
A partir dessa observação, alguns gráficos mostraram que grande parte dos
alunos entende a linearidade entre os pontos marcados num sistema de
coordenadas cartesianas.
68
Quadro 9: Atividade 1.f
d) Análise dos gráficos
A interpretação gráfica mostrou pontos relevantes, mostrando as dificuldades
encontradas pelas duplas ao fazerem a leitura do gráfico.
Na análise dos gráficos traçados, os alunos não conseguiram expressar
corretamente os valores aproximados da altura da planta no problema de
crescimento vegetativo, o que demonstrou que a construção gráfica é um ponto
decisivo para a interpretação de valores exatos e aproximados.
Devido aos fatores de construção, a leitura de alguns gráficos ficou
comprometida para alguns. Outros estudantes conseguiram mostrar como um
gráfico pode determinar os valores aproximados, pois numa tabela geralmente são
usados números inteiros, relacionando as imagens num intervalo.
69
Quadro 10: atividade 1.f
A partir da visualização gráfica, podem ser determinados valores
aproximados sem o uso da calculadora, o que ocorreu em algumas atividades.
A interpretação gráfica traz o entendimento do fenômeno, proporcionando
ao aluno sua captação e transposição das ideias da linguagem gráfica para a
linguagem escrita.
e) Formalização da Função Exponencial
Diante da ideia de linearidade, algumas duplas expressaram a lei de formação
como uma função do Iº grau, utilizando a ideia de dobro, outras duplas conseguiram
generalizar a expressão correta, como exponencial.
70
Quadro 11: Atividade 1.m
A construção da lei de formação, através de descoberta guiada, mostrou um
domínio preponderante das duplas, através dos resultados obtidos nas tabelas e dos
traçados gráficos, destacando que os alunos absorveram a ideia do conceito da
Função Exponencial.
f) Descrição da linguagem
A linguagem usada nas respostas revelou o entendimento das grandezas
envolvidas, mostrando de forma objetiva a compreensão com o problema em
estudo.
Quadro 12: Atividade 1:g, h, i
71
g) Interpretação do problema
O problema apresentado mostrou como é possível associar conceitos da vida
real, transformando-os em modelos matemáticos, o que mostra o relato de uma
dupla, “A reta gera um crescimento na forma de uma progressão aritmética, e a
curva desconhecida gera um crescimento exponencial na forma de uma progressão
geométrica”. (Fala de aluno do Iº ano)
Quadro 13: Atividade 1:j
4.3 Segunda Atividade
4.3.1 Conteúdo
Exploração do conceito das Funções Exponencial e Logarítmica, dando
ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto na
Matemática Financeira.
72
a) Interpretação dos parâmetros e das variáveis
Nessa atividade, foi solicitado mais um item para estudo quanto à variação
dos parâmetros.
A
interpretação
do problema proporcionou
uma discussão
bastante
significativa, destacando as possíveis diferenças entre parâmetro e variável.
Através da identificação das variáveis dependente e independente, e dos
parâmetros em estudo, o problema pôde ser equacionado algebricamente.
A análise do parâmetro i (taxa) mostrou que as duplas tinham pouca
habilidade em trabalhar com a taxa unitária, de modo a obter a expressão final para
o cálculo do M (montante), considerando-se M como variável dependente e t como
variável independente.
Na expressão final do montante
, as duplas souberam
identificar as variáveis dependente (M) e independente ( , e os parâmetros
em estudo, mostrando que o problema foi entendido, o que resultou no sucesso na
aplicação na atividade no uso da sequência didática.
a) Desenvolvimento de cálculos (tabelas).
Os cálculos mostraram as dificuldades dos alunos em trabalhar com
percentagem. Através dessa análise, a utilização da calculadora gerou uma
simplificação nas operações que poderiam ser resolvidas de maneira simples,
minimizando o esforço mental.
A partir da compreensão do problema, tanto no aspecto de identificação das
variáveis quanto nos cálculos, os alunos tiveram mais habilidades em demonstrar os
seus entendimentos, tanto na parte conceitual quanto na gráfica.
As tabelas construídas mostraram algumas dificuldades encontradas pelos
alunos, tanto no aspecto de formalizar a expressão do montante
,
quanto no desenvolvimento dos cálculos, considerando os valores não exatos, na
medida em que os anos se passavam.
73
A construção das tabelas mostrou a compreensão do uso das variáveis, tanto na
forma direta quanto na inversão dos pares ordenados, onde os alunos souberam
interpretar
os
conceitos
inerentes
à
atividade,
mostrando
habilidade
no
desenvolvimento.
Quadro 14: Atividade 1:a,...,h.
b) interpretação dos conceitos
Os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade,
mostrando uma facilidade no desenvolvimento das unidades de medidas e na
utilização de variáveis dependentes e independentes propícias ao fenômeno
estudado.
A construção da lei de formação apresentou um domínio preponderante,
mostrando, através dos cálculos, que não ofereceu dificuldade para os alunos. O
que nos leva a concluir que eles dominaram o conceito de Função Exponencial.
c) Traçados dos gráficos
74
Os alunos esboçaram os gráficos dentro das formalidades, melhorando a sua
estética, tanto na utilização de escalas, quanto no traçado das curvas, em relação à
atividade.
A inversão dos valores, nos pares ordenados, formados pelo tempo (t) e o
montante (M), dificultou um pouco a representação gráfica, motivo esse que revelou
algumas dificuldades para as duplas na aplicação de escalas para dimensionamento
de eixos no plano cartesiano.
Trata-se de uma proposição para o entendimento de logaritmo, mas, para os
estudantes, não foi mencionado o conceito de logaritmo. Essa inversão foi
trabalhada na atividade.
Superada essa etapa, observou-se que a construção do gráfico trouxe um
entendimento contínuo na parte de interpretação e no crescimento e decrescimento
da função montante, em reação ao tempo.
Os gráficos obtidos mostraram pontos relevantes, tanto no seu esboço,
quanto na sua construção, o que levou os alunos a não mais entender somente a
linearidade gráfica.
Quadro 15: Atividade 2.n
75
O traçado da bissetriz fez compreender a simetria que existe entre as curvas
obtidas e as relações estabelecidas entre a Função Exponencial e a Função
Logarítmica.
d) Análise dos gráficos
O esboço de alguns gráficos ainda mostrou a ideia de linearidade,
identificando a discrepância dos valores do montante que estavam na faixa de
R$10 000,00 e R$40 000,00, e o tempo, entre zero e 10 (dez) anos, revelando que
os valores das variáveis estabeleciam uma relação bem desproporcional.
As outras duplas utilizaram o recurso do dimensionamento gráfico para traçar
a curva exponencial e a sua inversa, a curva logaritímica, revelando a aprendizagem
ocorrida na atividade 01, criando escalas de valores aproximados para o montante
dentro de intervalos pré-estabelecidos, ou seja, a cada R$5 000,00, corresponderia
a 1 cm, e o tempo de 01(um) em 01(um) cm.
Quadro 16: Atividade 2:k
76
e) Formalização da Função Exponencial
Através da expressão final do montante,
, com a variável ,
variando de acordo com o tempo (anos), ou seja, quanto maior o tempo, maior será
o montante.
A análise revelou de forma objetiva os valores simétricos para valores do
montante e do tempo na aplicação de certo capital, mostrando a relação entre as
duas curvas.
f) Descrição da linguagem
A linguagem utilizada pelas duplas foi clara e precisa, mostrando o
entendimento e o emprego das notações usadas na distinção entre variáveis e
parâmetros, o que deixou claro nas respostas dadas às perguntas realizadas.
g) Interpretação do problema
O problema apresentado mostrou como é possível associar conceitos e
situações da vida real, com a matematização de fenômenos.
As perguntas apresentadas nas atividades foram de grande relevância para a
compreensão do conceito e da representação gráfica.
Alguns alunos se destacaram, mostrando, em seus relatos, a concepção e o
entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas, diante do problema
apresentado de capitalização que é um problema prático da vida real.
77
Quadro 17: Atividade 2:u,v.
4.4 Terceira Atividade
4.4.1 Conteúdo
Nessa atividade, foram exploradas a definição e a interpretação dos
coeficientes das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com base (a): a > 1.
a) Cálculo da tabela
As tabelas foram preenchidas de acordo com as funções. Na Função
Exponencial, o desenvolvimento das potências mostrou a compreensão e o
entendimento
dos
cálculos,
envolvendo
expoentes
negativos,
reproduzindo
resultados fracionários, e quando foram utilizadas as bases que variaram de dois a
78
quatro.
Gráfico 18: Atividade 3, 3.1.
A construção das tabelas de base 2, 3 e 4 proporcionou a inversão dos pares
ordenados de forma correta da Função Exponencial para a Logarítmica, cuja lei de
formação resultou na Função Logarítmica
base da exponencial, isto é, 2, 3 e 4.
, onde
variou com a mesma
79
Quadro 19: Atividade 3.4.
Alguns alunos associaram, além da inversão dos pares ordenados, a
definição de logaritmos, como
, reforçando ainda mais a compreensão e o
desenvolvimento das tabelas preenchidas.
b) Traçado e interpretação dos gráficos.
O esboço gráfico mostrou a ideia de representação de uma curva, onde
alguns valores fracionários foram desprezados devido ao conhecimento prévio das
curvas nas atividades anteriores, justificando a visualização gráfica das curvas
exponenciais e logarítmicas.
80
Analisando os gráficos para
o campo de definição do domínio e o
contra-domínio ficou bem evidenciado: para a função exponencial
para
, e a função logarítmica,
de
para
, é de
.
Diante das análises feitas pelos gráficos, constatou-se que houve uma
compreensão do significado da interseção com os eixos e a ideia de crescimento e
81
decrescimento das funções, e também da proporcionalidade ocorrida nos valores
numéricos das tabelas.
c) Análise de cada parâmetro.
As variações das inclinações das curvas, obtidas através da variação dos
valores da base, foram bem explicadas, revelando que os alunos souberam associar
as ideias de crescimento e decrescimento, com as mudanças dos parâmetros da
base.
d) Comportamento das funções: máximo, mínimo.
Através das imagens das funções:
e,
as mesmas têm um
comportamento de crescimento ou decrescimento, dependendo dos valores de
,
isto é, uma tendência para o valor zero ou infinito; análise essa que prepara os
estudantes para as noções de limites e interpretações de curvas assintóticas.
82
Quadro 22: Atividade 3.1.4: e, f, g. e 3.1.6: e, f, g.
A
determinação desses valores
está associada
ao
domínio
e
ao
contradomínio, onde as imagens das curvas definidas, dentro dos intervalos,
caracterizam uma tangência em relação aos eixos, isto é, um intervalo aberto se for
usada a notação de intervalo.
e) Generalização
O crescimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas está relacionado ao
valor da base, ou seja, para base maior que um, as funções são crescentes.
Algumas duplas não se prenderam a essa informação, buscando outra maneira de
expressar a generalização das funções:
de proporcionalidades.
,e
, destacando situações
83
Quadro 23: Atividade 3.4.j.
4.5 Quarta Atividade
4.5.1 Conteúdo
Nessa atividade foram exploradas a definição e a interpretação dos
coeficientes das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com base (a): 0 < a < 1.
a) Cálculo da tabela
As tabelas foram preenchidas de forma correta, revelando o conhecimento e
84
as habilidades dos alunos em trabalhar com expoente fracionário, tanto na forma
exponencial quanto na logarítmica.
Quadro 24: Atividade 4.
Com o decorrer das atividades, os alunos assimilaram cada vez mais a ideia
de pares ordenados e a obtenção da inversão de seus valores, caracterizando a
inversão das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Por esse motivo, a construção
da tabela da Função Logarítmica ficou mais evidenciada, mostrando organização e
compreensão dos cálculos desenvolvidos.
85
b) Traçado e interpretação dos gráficos.
A tabela construída gerou valores inteiros e fracionários que dificultavam sua
representação. Diante dessa situação, algumas duplas se espelharam no traçado
da curva da exponencial e da logarítmica, desprezando alguns valores não
inteiros. Outras usaram uma escala de crescimento de acordo com o crescimento
do denominador.
Na representação gráfica de alguns pontos, houve dificuldade em unir os
pontos que tinham, como coordenadas, valores fracionários e os pontos pareciam
não definir uma curva contínua. Esse motivo levou algumas duplas a cometerem
erros no traçado final, uma vez que as curvas não apresentaram um bom traçado.
Quadro 26. Atividade 4.1.2
Analisando os gráficos para
o campo de definição do domínio e do
contra- domínio ficou bem evidenciado: para a Função Exponencial
e
·, e a Função Logarítmica
, de
e
, foi de
. Desse
modo o domínio de uma função corresponde à imagem da outra função, justificando
a ideia de função inversa, onde o domínio de uma função é a imagem da sua
inversa.
86
c) Análise do parâmetro .
O parâmetro , analisado na Função Exponencial,
, mereceu destaque
em três situações.
1) Se
, temos a função constante, essa situação abordada
não apresentou problemas, pois os alunos souberam calcular e analisar essa
função, que reproduziu um valor constante. Algumas duplas já conheciam essa
função desde o ensino fundamental.
2) Se
, nesse caso, houve alguns erros, alguns alunos
persistiam no cálculo que zero, elevado a um número negativo, reproduzia o mesmo
resultado que zero elevado a um número positivo.
3) Se
, temos
, onde os resultados das potências foram os
valores inteiros de -1 e 1 valores discretos, cuja representação são pontos isolados.
Quadro 27. Analise final da atividade 3.
De maneira análoga, à função logarítmica
, além de ser a inversa da
Função Exponencial, tinha algumas restrições, que chamamos de condições de
87
existências, como:
,e
ou
A compreensão das análises gráficas contribuiu para o entendimento das
condições que as bases das Funções Exponenciais e Logarítmicas podem assumir,
desse modo se
em
, as funções
, as funções
,e
,e
, com
, com
são crescentes e,
são decrescentes.
d) comportamento das funções: máximo, mínimo.
O esboço gráfico revelou que as funções não admitiam um valor mínimo ou
máximo, devido ao fato de elas possuírem uma relação assintótica em relação a um
dos eixos.
e) Generalização
Ao finalizar a quarta atividade, os alunos expressaram de forma correta a
condição para a base, tanto para Funções Exponenciais quanto para as
Logarítmicas. A percepção que as duplas tiveram, a respeito do parâmetro
,
mostrou o quanto os estudantes entenderam a relação que existia entre as bases e
o crescimento / decrescimento das funções, conforme o quadro seguinte.
Decrescente
Decrescente
Crescente
Crescente
Quadro 28. Analise final da atividade 4.
88
4.6 Quinta Atividade
4.6.1 Conteúdo
Nessa atividade, foram explorados a interpretação gráfica e o comportamento
das Funções Exponenciais e Logarítmicas como funções inversas.
a) Interpretação das funções
Foram analisadas duas situações: na primeira, as duplas relacionaram as
curvas às suas leis de formação, mostrando a compreensão dos alunos para as
funções exponenciais e logarítmicas, nas bases:
Quadro 29: Atividade: 5.1.
e depois para
.
89
Na segunda, os alunos identificaram os gráficos traçados num único sistema
cartesiano às suas respectivas funções, mostrando as diferenças existentes nas
Funções Exponenciais e Logarítmicas em relação às bases dadas.
Quadro 30: Atividade: 5.2.
Quadro 31: Identificação das funções da atividade 5.
90
b) Construção do eixo de simetria, utilizando o gráfico das funções inversas
Para obter a função inversa, os estudantes buscam recursos na álgebra, o
que proporciona um processo árduo, em alguns casos, através de uma sequência
didática como: isola-se a variável dependente, trocam-se as variáveis de posição, ou
seja, quem é
vira , e vice-versa, finalmente escreve-se “ ” em função de “ ”.
Diante dessa situação, como traçar o gráfico de uma inversa sem usar o
procedimento algébrico?
Por esse motivo, foi sugerida uma sequência didática, utilizando a geometria,
de modo a justificar o método da inversão de uma função, passando por caminhos
que despertassem o entendimento algébrico da função inversa.
Inicialmente, as duplas associaram os pares ordenados das funções:
na base:
e
, na base:
,
, aos pares inversos, formados
pela troca das coordenadas cartesianas, pertencentes às curvas das funções:
,e
.
A partir dessa analise, os pontos dos pares ordenados obtidos, determinaram
vários segmentos de reta paralelos, onde a união de todos os pontos médios
determinava uma reta contendo a origem, gerando o eixo de simetria.
91
A sequência de passos, estabelecidos na atividade, cada vez mais
despertava grande interesse das duplas, o que era justificado nas respostas e
comprovado nos traçados gráficos, usando a geometria plana.
No item “i”, proposto na análise gráfica, a afirmativa que existe simetria entre
as curvas foi objetiva, revelando que, num plano, a simetria de duas figuras em
relação a uma reta pode ser entendida intuitivamente da seguinte forma: dobrando o
plano, em relação à reta, pertencente ao bissetor ímpar, tais figuras coincidem uma
sobre a outra.
A formalização das ideias mostrou o quanto eles estavam atentos às
perguntas, pois, pelas respostas, notamos que houve interação da análise das
figuras com as questões levantadas.
Através desses procedimentos, os alunos compreenderam e souberam
relacionar as funções quanto à sua inversa, revelando a importância do método
gráfico para obtenção e para compreensão da função inversa.
92
Quadro 34: Analise das Funções.
c) Generalização
Os estudantes verificaram que os pontos de coordenadas
curva da função,
, de base
pertencem à
, assim os pontos de coordenadas
pertencem a curva da função inversa,
, em relação à reta
,
justificando a simetria das curvas em relação à reta.
De maneira análoga à função,
função inversa
são simétricas em relação à reta
, de base
, gerou a
. Através das análises feitas, as funções:
, justificando que o domínio de uma função é
o contra-domínio da sua inversa.
4.7 Sexta Atividade
4.7.1 Conteúdo
Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e
verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um software
matemático (Winplot).
93
1) Interpretação dos termos: “ ” e “ ”, para a Translação Vertical, utilizando as
bases:
a) Função Exponencial
A partir da Função Exponencial
qualquer que seja
, tem-se
, cuja base é sempre positiva, isto é,
logo o conjunto imagem de
é
. Os
alunos em duplas analisaram uma extensão da Função Exponencial do tipo:
e
.
Ao analisar a situação
variação do parâmetro
, e,
transladava a curva de
ou para baixo em relação à curva do tipo:
, as duplas constataram que a
.
unidades, deslocando para cima
94
Os estudantes detectaram que, quando
aproximavam do valor de
, e para
diminuia, as curvas se
, tendendo a mais infinito, as curvas se
tornavam cada vez mais paralelas entre si, e o conjunto imagem definido de
.
Através da recursividade, do Winplot, as duplas constataram que as
translações, geradas na função exponencial do tipo
ordenado
, logo a Função Exponencial
uma translação vertical, em relação a função
, determinavam o par
,e
·, acrescida de
admitia
unidades para
cima ou para baixo.
De modo semelhante, a função exponencial
,e
apresentava uma translação vertical e, no instante que o valor de
aumentava, as
curvas se aproximavam do valor de , tornando-se paralelas entre si.
Através da leitura gráfica, as duplas perceberam que a imagem estava
definida no intervalo de
e o par ordenado
das curvas com o eixo das ordenadas (eixo y).
era o ponto de interseção
95
b) Função Logarítmica
Como
é inversível, as curvas traçadas no Winplot mostraram uma
semelhança com a Função Exponencial analisada anteriormente. Por esse motivo, a
função logarítmica
e
assumia valores positivos
para o seu domínio, fato esse comprovado graficamente pelos estudantes.
Nas considerações feitas pelas duplas, as curvas interceptavam o eixo
horizontal, determinando os pontos de interseções, assim a variação do valor da
constante , proporcionava uma aproximação das curvas em relação ao eixo vertical
e, na medida em que os valores de
(
aumentavam, as curvas tendiam a um valor
infinito, dependendo do comportamento da base, ou seja, se
imagem tendia para (+
e, se
, para (-
, o valor da
96
Outra observação apontada foi que a translação vertical não modificava o
domínio da função.
Portanto, as Funções Exponenciais
de bases
e
e Logarítmicas
,
, admitem uma translação vertical em relação às funções
, devido à adição de uma constante
nas funções.
2) Interpretação dos termos: “ ” e “ ”, para a Translação Horizontal, utilizando as
bases:
.
a) Função Exponencial
A função exponencial
tem-se
do tipo:
, com
, isto é, qualquer que seja
,
, diante dessa observação, os alunos analisaram a seguinte extensão
.
Inicialmente, as curvas interceptavam o eixo vertical, em pontos distintos, e o
deslocamento das curvas, para a cima ou para baixo, estava associado ao aumento
ou à diminuição do parâmetro , em relação à curva do tipo
.
97
As analises feitas no gráfico revelaram que:
a.1) Na base
, se o valor de
diminuía, as curvas se aproximavam da
reta horizontal, ou seja, os valores da imagem tendiam a zero e, à medida em que
aumentava, as curvaturas (os estudantes desconheciam o termo curvatura,
declarando sobre a abertura, ou a inclinação das curvas) das curvas aumentavam
na medida em que o parâmetro
diminuía, de modo que os valores das imagens
das curvas tendiam ao infinito.
a.2) Na base
se o valor de
aumenta, as curvas se aproximam da
reta horizontal, ou seja, as curvas tendiam ao valor 0 (zero), à medida em que
diminuía, as curvaturas das curvas aumentavam à medida em que o parâmetro
aumentava, e os valores das imagens das curvas tendem ao infinito.
98
b) Função Logarítmica
Como as considerações feitas para a Função Exponencial se assemelham à
Função Logarítmica do tipo:
e
, os intervalos
correspondem ao domínio e o ponto de interseção.
Outra colocação feita pelos estudantes mostrou que, quando os valores de
aumentavam, as curvas se afunilavam cada vez mais a um valor fixo positivo e,
quando
diminuía, as curvas tornavam-se assintóticas.
Os alunos desconheciam esta terminologia matemática, expressando que as
curvas tendiam a ficar paralelas às retas verticais de equação
.
99
Também foi analisada a condição:
domínio,e
o valor do
, o ponto de interseção com o eixo horizontal, logo as curvas
ficavam assintóticas em relação a reta
diminuía.
, sendo: ]
na medida que os valores de
100
Na função logarítmica:
, de bases
uma translação horizontal em relação à função:
constante
, existe
, devido à adição de uma
a variável , com o domínio definido no intervalo
Portanto,
as
Funções
Exponenciais
de bases
relação às funções
.
e
Logarítmicas,
admitem uma translação horizontal em
e
, devido à adição de uma constante
ao
expoente da função exponencial e à variável, na função logarítmica, de modo que a
imagem é positiva nas funções do tipo
.
101
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objeto de estudo desta dissertação se fez em duas dimensões: (1)
conceituação da Função Exponencial e Logarítmica, (2) representação gráfica
dessas mesmas funções para explorar o seu comportamento.
Para o trabalho do conceito da Função Exponencial e Logarítmica, na busca
de significados e do entendimento pelo estudante por meio da análise de situações
em contexto, tomamos a metodologia de resolução de problemas
Para a representação e interpretação gráfica, fizemos a variação dos
parâmetros definidores das funções em estudo, especialmente, das bases
exponencial e logarítmica, para a análise do comportamento das funções quanto ao
crescimento e ao decrescimento, as simetrias, ao domínio e imagem.
Para o estudo dos gráficos das funções relativamente à translação horizontal
e vertical, foi utilizado o software winplot, que permite a movimentação das curvas e
a melhor análise das suas propriedades.
Enfatizamos a relação das duas funções quanto à sua inversão, isto é, a
Função Exponencial inversa da Logarítmica, e a Logarítmica inversa da
Exponencial.
A metodologia usada na elaboração e desenvolvimento das atividades, nas
quais se tem variadas perguntas, levou o estudante a questionamentos para
orientação de seu estudo de forma atuante e participativa, como agente de sua
aprendizagem.
A Informática Computacional agregou valor a situações de aprendizagem, se
o recurso do software é explorado na possibilidade de se fazer uma atividade
dinâmica do processo ensino/aprendizagem, buscando maior interação do estudante
na aula, seja com conteúdo, seja com o próprio colega na discussão e análise de
resultados. Essa foi a abordagem dada nesta dissertação.
Ao aplicar as atividades, foi possível avaliar um bom desempenho dos
estudantes quanto a compreensão dos conceitos e do comportamento exponencial e
logarítmico, que difere das funções lineares ou polinomiais, por exemplo, com suas
características peculiares, para representar fenômenos com modelos típicos da
representação de uma Função Exponencial ou Logarítmica, como crescimento
102
populacional ou variação de juros, ambas situações exploradas nas atividades
desenvolvidas.
No
Apêndice,
tem-se
um
“Caderno
de
Atividades”
com
algumas
reformulações em relação aquelas que foram aplicadas, mas a essência
metodológica e de conteúdo foram mantidas bem como os objetivos propostos para
a compreensão conceitual e de comportamento das funções estudadas.
103
REFERÊNCIAS
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1995. Cap.: 1; 4; 5.
BERLEZE, Caren Saccol. Uma sequência de ensino usando o programa
Winplot: em busca de uma aprendizagem autônoma do aluno. 2007. Dissertação
(Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática) - Centro
Universitário Franciscano, Santa Maria, 2007
BEZERRA, Manoel Jairo; PUTNOKI, José Carlos. Novo Bezerra Matemática: 2º
grau, volume único. São Paulo: Scipione, 1994. 583p.
BOYER, Carl. B. História da Matemática. 4. ed. São Paulo: E. Blucher. 1968.
BRASIL, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio.
Disponível em: < http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>.
Acesso em: 20 abr. 2009.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 5. ed. Lisboa:
Editora Gradiva, 2003.
CORRÊA, Roseli de Alvarenga. Logaritmos - Aspectos Históricos e Didáticos. Iº
ENCONTRO PAULISTA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. . Anais... Campinas: PUC
- CAMPINAS, 1989, p.85-86.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único: livro do professor. São Paulo:
Ática, 2008. 1v.
FACCHINI, Walter. Matemática Para a Escola de Hoje. Livro Único, Unidade 1,
São Paulo: Editora FTD, 2006.
FERREIRA, Ronize Lamper t. Uma sequência de ensino para o estudo de
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104
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106
APÊNDICE
107
APÊNDICE A (ATIVIDADES REFORMULADAS) - CADERNO DE ATIVIDADES
INVESTIGATIVAS
ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
NUMA PESPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO
Mestrando: José Geraldo de Araújo Pereira
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
2010
109
1ª ATIVIDADE
Nessa atividade, será explorado o conceito da Função Exponencial, dando
ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de
uma planta.
O Quadro a seguir apresenta a primeira atividade.
Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, supondo que
sua altura inicial é de 1 cm, então:
a)
Qual o valor da altura para o instante inicial?
b)
Qual é a altura da planta ao final do 1º mês e, sucessivamente, no final do 2º até o 10º mês?
c)
Identifique a variável dependente e independente em estudo e dê nome para elas?
d)
Construa uma tabela que represente essa situação.
e)
Plote, no sistema de eixos, os dados da tabela construída, indicando a variável dependente
na vertical e a independente na horizontal.
f)
Una os pontos.
g)
Interpretando o gráfico, dê um valor aproximado para:
a) 2,5 meses.
h)
b) 4 meses e 10 dias.
c) 5 meses e 20 dias.
A curva obtida no item ”f” corresponde a uma função
a) do Iº grau (cujo gráfico é uma reta).
b) do IIº grau (uma parábola).
c) uma curva desconhecida.
i)
As grandezas envolvidas são proporcionais?
Justifique?
j)
O gráfico é uma função crescente ou decrescente?
k)
Repita “o gráfico construído no item ”f” e trace uma reta crescente que tangencia a curva a
Justifique?
partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito do crescimento da reta e da curva?
l)
Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)?
m) Formalize, usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajuste ao
gráfico. A relação encontrada é denominada “Função Exponencial”. (cujo gráfico é uma curva
exponencial).
110
2ª ATIVIDADE
Nessa atividade, será explorado como as Funções Exponencial e Logarítmica
são aplicadas em problemas de Economia e de Finanças, nomeadamente no cálculo
dos "juros compostos".
O Quadro a seguir apresenta a segunda atividade.
Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00 durante 10 anos, a uma
taxa de 12% ao ano e podendo sacar a qualquer momento, isto é, o capital mais juros:
denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição Financeira, o
valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de formação:
, onde as variáveis correspondem ao montante, o capital empregado, a taxa
unitária e o tempo da aplicação. Analisando os dados da situação financeira, responda:
a)
Verifique se a lei de formação tem 04(quatro) grandezas representadas por quatro
letras, duas variáveis e dois parâmetros.
b)
Identifique a variável independente?
c)
Identifique a variável dependente?
d)
Qual é o valor do capital inicial?
e)
Qual o capital aproximado a receber (capital acumulado) no final do 1º, 2º, 3º, 4º,
5º, 10º ano?
f)
E ao fim de t anos?
g)
No item “f”, ao escrever a fórmula, encontra-se uma relação envolvendo quantas
grandezas?
Quais letras as representam?
As outras grandezas são constantes?
h)
Que condição devemos impor a ?
Justifique?
i)
Construa uma tabela, que represente a situação de item “e”.
j)
Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável
independente na horizontal e dependente na vertical, unindo os pontos.
k)
A curva obtida no item ”j” corresponde a que tipo de uma função?
l)
Construa uma nova tabela, invertendo os pares ordenados do item ”i”.
m) Plote no sistema de eixos os pares obtidos, com as novas coordenadas, una os
Pontos e trace o gráfico.
n)
Repita os dois gráficos obtidos, num mesmo sistema de eixos.
o)
Trace a bissetriz do Iº quadrante.
p)
Tome 05(cinco) pontos dessa bissetriz, e trace retas perpendiculares à bissetriz, até
111
interceptar as curvas.
q)
O que você pode conclui em relação às duas curvas?
r)
Formalize usando as variáveis nomeadas uma lei de formação que melhor se ajusta
ao gráfico. A relação encontrada é a “função Exponencial”, e o gráfico cujas
coordenadas foram mudadas de posição define uma nova função, a “função
Logarítmica”, denominada curva logarítmica.
s)
As curvas obtidas são proporcionais? Justifique?
t)
O gráfico da função exponencial é crescente ou decrescente, e o da logarítmica?
Justifique?
u)
Como se comportam as duas curvas quanto ao crescimento ou ao decrescimento?
v)
Qual curva cresce mais rapidamente com o tempo aumentando?
w)
Se a sua dívida cresce exponencialmente e os seus rendimentos com o Logaritmo.
O que você pode concluir?
x)
Se a sua dívida cresce como o logaritmo e os seus rendimentos como a
Exponencial. O que você pode concluir?
112
3ª ATIVIDADE
.
O quadro a seguir apresenta a terceira atividade.
1) Dada a função
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
X
Y
“A tabela formada define uma nova função, “y é igual ao logaritmo de x na base 2”, isto é,
X
Y
Y
Y
a=2
a=3
a=4
-2
-1
0
1
2
a)
Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos.
b)
Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares
ordenados.
c)
As funções são crescentes ou decrescentes?
d)
Tome alguns valores fixos para
e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo
e
e)
O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas?
f)
Examine o comportamento do gráfico para
g)
Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de
e
.
modo que a função seja crescente.
tabela da função
a=2
.
X
Y
, obtendo a
113
a=3
X
Y
a=4
X
Y
questões a seguir, interpretando o gráfico.
a)
b)
ordenados.
c)
d)
Tome alguns valores fixos para , e a partir deles trace segmentos paralelos ao eixo
e
e)
f)
Observando os valores de
para
crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode
concluir
para ? A função possui um máximo?
g)
para
decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode
h)
Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo
114
4ª ATIVIDADE
.
O quadro a seguir apresenta a quarta atividade.
1) Dada a função
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
X
Y
“A tabela formada define uma nova função, “y é igual ao logaritmo de x na base 1/2”, isto é
1.1) Considere a função
X
a = 1/2
Y
a = 1/3
Y
a = 1/4
Y
.
-2
-1
0
1
2
a)
b)
Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados.
c)
d)
e
e)
f)
g)
Examine o comportamento do gráfico para
e
.
Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de
modo que a função seja decrescente.
tabela da função
a = 1/2
a = 1/3
a = 1/4
X
Y
X
Y
X
.
, obtendo a
115
Y
questões
a seguir, interpretando o gráfico.
a)
b)
ordenados.
c)
d)
e)
f)
para
crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode
concluir para ? A função possui um máximo?
g)
para
decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode
h) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de
modo que a função seja decrescente.
e
116
5ª ATIVIDADE
Nessa atividade, serão explorados a interpretação gráfica e o comportamento
das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas.
O quadro a seguir apresenta a quinta atividade.
1) Dados os gráficos das funções:
,
,
,
,
.
y
A
B
D
C
E
F
x








( ),
,
,
,
,
.
2) Dado os gráficos das funções:
,
,
,
,
e
.

117
y
M
N
P
x









R
S
T
,
,
e
3) Analisando os gráficos das seguintes funções
e
.
, responda:
y
x









118
n)
o)
Inverta os pares ordenados do item “a”, e verificando se eles pertencem a outra curva.
p)
Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos
inversos.
q)
Marque, usando uma régua, os pontos médios desses segmentos.
r)
s)
t)
u)
: chamado
de bissetor par.
v)
w)
Determine o domínio e o contra - domínio das funções representadas no gráfico.
x)
Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência
de obtenção da inversa. Isso acontece?
y)
Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio,
lei de formação).
4) Analisando os gráficos das seguintes funções
e
, responda:
y



x








a)




119
b)
c)
Inverta os pares ordenados do item “a”, verificando se eles pertencem a outra curva.
Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos
inversos.
d)
Marque, usando uma régua os pontos médios desses segmentos.
e)
f)
g)
h)
: chamado
de bissetor par.
i)
j)
Determine o domínio e o contra - domínio das funções representadas no gráfico.
k)
Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência
de obtenção da inversa. Isso acontece?
l)
Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio,
lei de formação).
Associe as Funções Exponenciais e suas respectivas inversas (Funções Logarítmicas) as
respectivas bases 2, 3, 4, 1/2, 1/3 e 1/4 às letras no gráfico seguinte.
y
A
B
C
D
E
F
M
N
P
x







R
S
T


120
6ª ATIVIDADE
Nessa atividade, será explorada a construção gráfica (translações: horizontais
e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software
Matemático Winplot.
O quadro a seguir apresenta a sexta atividade.
A) Considere a Função Exponencial, definida por
. Com o auxílio
do Winplot, análise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir.
1) Seja a função:
. Considere
a) Trace os gráficos das funções
, utilizando um mesmo sistema
de eixos.
b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem.
c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados.
d) Quando
diminui, o que acontece com as curvas?
e) Quando
aumenta, o que acontece com as curvas?
f)
Existe um valor de
para o qual o gráfico das funções se aproxima?
g) O que você pode afirmar para a expressão
?
h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a
2)
Seja a função:
a)
Trace os gráficos das funções
?
. Considere
, utilizando um
mesmo sistema de eixos.
b)
Usando a notação de intervalo, determine a imagem.
c)
Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados.
d)
Quando
e)
Quando
f)
Existe um valor de
g)
O que você pode afirmar para a expressão
h)
Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a
3)
Seja a função
a)
Trace os gráficos das funções:
para o qual o gráfico das funções se aproxima?
?
.. Considere
, utilizando um mesmo
sistema de eixos.
b)
c)
d)
Quando
?
121
e)
Quando
f)
Existe um valor de , para o qual o gráfico das funções se aproxima?
g)
h)
4)
Seja a função:
a)
?
?
. Considere
, utilizando um
b)
c)
d)
Quando
e)
Quando
f)
g)
h)
?
B) Considere a função logarítmica, definida por
?
. Com o
auxílio do Winplot, analise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir.
1)
Seja a função
a)
. Considere:
,
e
, utilizando um
b)
Determine o domínio, usando a notação de intervalo.
c)
d)
Quando
e)
Quando
f)
g)
h)
Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical, em relação a
2)
Seja a função
a)
?
?
.Considere:
,
e
um mesmo sistema de eixos.
b)
c)
d)
Quando
e)
Quando
, utilizando
122
f)
g)
h)
3)
Seja a função
a)
?
?
. Considere:
,
e
, utilizando um
b)
c)
d)
Quando
e)
Quando
f)
g)
h)
4)
Seja função
a)
?
?
. Considere:
,
e
,
utilizando um mesmo sistema de eixos.
b)
c)
d)
Quando
e)
Quando
f)
g)
h)
?
?

Dissertação - Pontificia Universidade Catolica de Minas Gerais

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