école de technologie supérieure université du québec

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ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
UNIVERSITÉ DU QUÉBEC
THÈSE PAR ARTICLES PRÉSENTÉE À
L’ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
COMME EXIGENCE PARTIELLE
À L’OBTENTION D’UN
DOCTORAT EN GÉNIE
Ph. D.
PAR
Raouf FAREH
STRATÉGIE DE COMMANDE DISTRIBUÉE POUR LES MANIPULATEURS RIGIDES
ET FLEXIBLES ASSURANT LA STABILITÉ DES ERREURS DE SUIVI DE
TRAJECTOIRES
MONTRÉAL, LE 3 MAI 2013
©Tous droits réservés, Raouf Fareh, 2013
©Tous droits réservés
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PRÉSENTATION DU JURY
CETTE THÈSE A ÉTÉ ÉVALUÉE
PAR UN JURY COMPOSÉ DE :
M. Maarouf Saad, directeur de thèse
Département de génie électrique à l’École de technologie supérieure
M. Mohamad Saad, codirecteur de thèse
École de génie à l’université du Québec en Abitibi-Témiscamingue
M. Pascal Bigras, président du jury
Département de génie de la production automatisée à l’École de technologie supérieure
M. Ilian Bonev, membre du jury
Département de génie de la production automatisée à l’École de technologie supérieure
M. Wael Suleiman, examinateur externe indépendant
Département de génie électrique et de génie informatique à l’Université de Sherbrooke.
IL A FAIT L’OBJET D’UNE SOUTENANCE DEVANT JURY ET PUBLIC
LE 1ER MAI 2013
À L’ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
REMERCIEMENTS
Mes premiers remerciements vont d’abord à mon directeur de thèse, le professeur Maarouf
Saad, qui m’a accompagné et dirigé tout au long ce travail. Je lui suis reconnaissant pour sa
disponibilité, ses généreux secours au cours de certains de mes moments difficiles, son
enthousiasme et sa confiance.
Mes remerciements vont conjointement à mon co-directeur de thèse, le professeur Mohamad
Saad de l’école de génie à Université du Québec en Abitibi-Témiscamingue, pour sa
disponibilité, son suivi quotidien de mes travaux et ses précieux conseils. Je le remercie
infiniment.
Je suis honoré par la présence de tous les membres de jury qui m’ont prodigué d’utiles
conseils qui m’ont aidé à bien structurer mon étude durant le cursus de ma thèse : il s’agit de
Monsieur Pascal Bigras et Monsieur Ilian Bonev, professeurs à l’École de technologie
supérieure. Je remercie également Monsieur Wael Suleiman, professeur à Université de
Sherbrooke, d’avoir accepté de participer à ce jury de thèse.
De plus, mes remerciements seraient incomplets, si je ne fais pas mention de ma femme, mes
enfants, mes parents, mes beaux-parents et ma famille.
Enfin, mes remerciements à tous mes amis et mes collègues qui m’ont aidé, de près ou de
loin, directement ou indirectement, à l’élaboration de ce travail.
STRATÉGIE DE COMMANDE DISTRIBUÉE POUR LES MANIPULATEURS
RIGIDES ET FLEXIBLES ASSURANT LA STABILITÉ DES ERREURS DE SUIVI
DE TRAJECTOIRES
Raouf FAREH
RÉSUMÉ
Cette thèse de doctorat propose et valide expérimentalement une nouvelle stratégie
commande distribuée pour les manipulateurs rigides et flexibles assurant le suivi
trajectoires dans l’espace articulaire et cartésien. Cette stratégie est développée, dans
premier temps, pour les manipulateurs rigides. Ensuite, elle est modifiée pour prendre
compte la flexibilité des bras au niveau des manipulateurs flexibles.
de
de
un
en
Dans le cas des manipulateurs rigides, cette stratégie est utilisée pour assurer un bon suivi de
trajectoires dans l’espace de travail. Dans le cas où les paramètres du système sont
parfaitement connus, une stratégie de commande distribuée est utilisée. Cette stratégie de
commande décompose, dans un premier temps, la dynamique du manipulateur en plusieurs
sous-systèmes non linéaires interconnectés. Chaque sous-système représente une articulation.
Ensuite, la commande distribuée consiste à contrôler le manipulateur en commençant par la
dernière articulation (sous-système) toute en supposant que le reste des articulations est
stable. La même procédure est utilisée au rebours jusqu’à la première articulation. Dans le
cas où les paramètres du système ne sont pas connus, une commande adaptative est
développée. Dans ce contexte, la commande distribuée et adaptative peut être interprétée
comme étant une commande hiérarchique. En effet, les paramètres inconnus, existant dans
l’équation de mouvement du dernier sous-système, sont tout d’abord estimés et la loi de
commande est ainsi déduite en fonction de ces paramètres. Puis, passant à l’avant-dernier
sous-système, la loi de commande est développée en fonction de leurs propres paramètres
estimés, existant dans l’équation de mouvement de l’avant-dernière articulation, et les
paramètres estimés du sous-système de niveau supérieur. La même stratégie est utilisée à
contresens jusqu’au premier sous-système. L’approche de Lyapunov est utilisée pour prouver
la stabilité globale des erreurs de suivi. Les deux lois de commande sont validées
expérimentalement sur un manipulateur rigide à 7 ddl et elles montrent un bon suivi dans
l’espace articulaire et cartésien.
Dans le cas des manipulateurs flexibles, cette stratégie est modifiée et étendue pour assurer
un bon suivi de trajectoires dans l’espace articulaire et, en même temps, minimiser les
vibrations au niveau des bras flexibles. Donc, en plus de l’objectif de suivi de trajectoire
utilisée dans le cas des manipulateurs flexibles, la stratégie de commande doit assurer la
déformation bornée et minimiser les vibrations des bras flexibles. Au contraire des
manipulateurs rigide, les manipulateurs flexibles sont des systèmes sous-actionnés, c’est-àdire ils possèdent plus de degrés de liberté que d’entrées de commande. Dans ce cas, chaque
sous-système est composé d’une articulation et le bras flexible associé. Dans le cas où les
paramètres du manipulateur sont parfaitement connus, une commande distribuée est
développée pour assurer la stabilité des erreurs de suivi dans l’espace articulaire et réduire les
vibrations des bras flexibles. Cette stratégie consiste à commander et stabiliser la dernière
VIII
articulation ainsi que le dernier bras flexible en supposant que le reste des sous-systèmes sont
stables. Puis, passons aux contrôle et stabilité de l’avant-dernier sous–système de la même
façon. Cette démarche est suivie, au rebours, jusqu'au premier sous-système. Sa version
adaptative, dite « hiérarchique », est également développée. La stabilité globale est prouvée
en utilisant l’approche de Lyapunov. La validation expérimentale des deux lois de commande
sur un manipulateur flexible à 2 ddl montre un bon suivi de trajectoires dans l’espace
articulaire et des vibrations minimales au niveau des bras flexibles.
Dans le cas de suivi de trajectoires dans l’espace de travail des manipulateurs flexibles, la
cinématique inverse, utilisée pour les manipulateurs rigides, n’est plus suffisante pour
transformer les trajectoires désirées de l’espace de travail vers l’espace articulaire. En plus
d’une relation cinématique, il existe une relation dynamique entre l’espace de travail et
articulaire. Pour résoudre ce problème, un espace intermédiaire, nommé « virtuel » et la
méthode quasi-statique sont utilisés. En effet, la cinématique inverse est utilisée pour
transformer la trajectoire désirée de l’espace de travail vers l’espace virtuel tandis que
l'approche quasi-statique est utilisée pour le passage de l'espace virtuel à l'espace articulaire.
Lors du contrôle direct de l’extrémité, les manipulateurs flexibles deviennent des systèmes à
non minimum de phase et la dynamique interne n'est plus bornée. Pour surmonter ce
problème, la technique de la redéfinition de sortie est utilisée pour sélectionner une sortie la
plus proche possible de l'extrémité assurant une dynamique interne bornée. Cette sortie est
composée de la position angulaire plus une valeur pondérée de la déformation de l’extrémité
du bras flexible. Une étude de stabilité de la dynamique interne (ou dynamique des zéros) en
utilisant la passivité est utilisée pour déterminer la valeur critique du paramètre caractérisant
cette sortie paramétrisée. Deux lois de commande sont développées pour un robot à deux
bras flexibles. La première loi de commande basée sur l’approche de linéarisation par retour
d’état assure juste la stabilité locale des erreurs de suivi. La deuxième loi de commande
constitue une généralisation pour assurer la stabilité globale de la dynamique des erreurs de
suivi. Ces deux algorithmes sont testés sur un robot à deux bras flexibles et montrent un bon
suivi de trajectoires dans l’espace de travail.
Mots-clés: manipulateurs rigides, manipulateurs flexibles, commande distribuée, commande
adaptative, stabilité, erreur de suivi, espace articulaire, espace de travail.
DISTRIBUTED CONTROL STRATEGY FOR RIGID AND FLEXIBLE LINK
MANIPULATORS ENSURING THE STABILITY OF TRACKING ERRORS
Raouf FAREH
ABSTRACT
This thesis studies and proposes a distributed nonlinear control strategy for rigid and flexible
manipulators ensuring the stability of the tracking errors in the joint space and workspace.
First, this strategy is applied to rigid manipulators. Then, it is modified and extended to take
into account the links’ flexibility of flexible link manipulators.
For the rigid manipulators, the control strategy is used to ensure a good tracking in the
workspace. When the system parameters are perfectly known, a distributed control strategy is
developed. First, this control strategy decomposes the dynamical model into a set of
nonlinear interconnected subsystems. Each subsystem has one joint. Then, this distributed
control strategy consists of controlling the last joint while assuming that the remaining joints
are stable. Then, going backward to the next to the last joint, the same strategy is applied and
so on until the first joint. When, the system parameters are unknown, an adaptive version is
developed. In this case, the distributed and adaptive control can be interpreted as an
hierarchical control. Indeed, the unknown parameters existing in the equation of motion of
last subsystem are first estimated and the control is developed using this estimated
parameters. Then, going backward to the before last joint, the control law is developed using
its own estimated parameters and the ones already estimated in the upper level subsystem.
The adaptive control strategy consists to control one subsystem in each step starting from the
last subsystem. The same procedure is used, backward to the first subsystem. Global stability
of the error dynamics is proved using Lyaponov approach. The proposed approaches are
implemented in real time on a 7 DOF ANAT robot. Experimental results show the
effectiveness of the approach and good tracking performance in the workspace.
For the flexible manipulators, the above control strategies are modified and extended to solve
the tracking control problem and minimizing vibrations of the flexible links. In this case, the
control problem is twofold: in addition to motion objectives as in a rigid manipulator, it must
also stabilize the vibrations that are naturally excited. The number of controlled variables for
a flexible-link manipulator is strictly less than the number of mechanical degrees of freedom,
i.e. it represents an under actuated system. For flexible link manipulators, each subsystem has
a pair of one joint and one link. In the joint space, a distributed control strategy, based on the
one proposed for the rigid manipulators, is developed when the flexible link manipulators
parameters are known. An adaptive version or hierarchical control strategy is also deduced to
track the desired trajectories and reducing vibrations of the links. These algorithms were
tested on a two-flexible-link manipulator and gave effective results, a good tracking
performance, and capability to eliminate the links’ vibrations.
For the workspace tracking of flexible link manipulators, the inverse kinematics, used for
rigid manipulators, is not sufficient to transform the desired trajectories from the workspace
to the joint space. There exist two relationships between the workspace and joint: a
X
kinematics and dynamics relations. To overcome this problem, an intermediate space, called
virtual space, and quasi-static approach are used. Indeed, the inverse kinematics is used to
transform the desired trajectories from workspace to the virtual space and the quasi-static
approach is used between the virtual space and the joint space. The flexible links
manipulators are non-minimum phase system when controlling the position of the endeffector. To solve the non-minimum phase problem, an output redefinition technique is used.
This output consists of the motor’s angle augmented with a weighted value of the links
extremity. The distributed control strategy consists in controlling the last link by assuming
that the first link is stable and follows its desired trajectories. The control law is developed to
stabilize the errors dynamics and to guarantee bounded internal dynamics such that the new
output is as close as possible to the tip. The weighted parameter defining the non-collocated
output is then selected. The same procedure is applied to control and stabilize the first link.
The asymptotical stability is proved using Lyapunov theory. The control strategies are
applied to a two-flexible-link manipulator in horizontal plane and simulations results showed
a good tracking of the desired trajectory in the workspace.
Key Words: rigid manipulators, Flexible manipulators, distributed control, adaptive control,
stability, tracking errors, joint space, workspace.
TABLE DES MATIÈRES
Page
INTRODUCTION .....................................................................................................................1
CHAPITRE 1
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES...........................................................9
1.1
Problématique et objectif de recherche ..........................................................................9
1.2
Revue de littérature ......................................................................................................13
1.2.1
Commande des manipulateurs rigides ...................................................... 13
1.2.1.1 Dynamique vue comme un système MIMO .............................. 13
1.2.1.2 Dynamique vue comme des systèmes SISO interconnectés ...... 15
1.2.2
Commande des manipulateurs flexibles ................................................... 16
1.2.2.1 Commande dans l’espace articulaire ......................................... 16
1.2.2.2 Commande dans l’espace cartésien ........................................... 19
1.3
Méthodologie ...............................................................................................................22
1.4
Originalités des travaux ...............................................................................................26
CHAPITRE 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
ARTICLE 1: WORKSPACE DISTRIBUTED REAL-TIME
CONTROL OF RIGID MANIPULATORS ..............................................29
Introduction ..................................................................................................................30
Modeling of the ANAT Robot .....................................................................................32
Distributed Control Strategy ........................................................................................35
2.3.1
Control law................................................................................................ 35
2.3.2
Global Stability Analysis .......................................................................... 40
Experimental Results ...................................................................................................42
Conclusion ...................................................................................................................48
Appendix ......................................................................................................................49
Proof of proposition 1: .............................................................................................. 49
CHAPITRE 3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
ARTICLE 2: HIERARCHICAL ADAPTIVE CONTROL IN THE
WORKSPACE OF RIGID MANIPULATORS ........................................55
Introduction ..................................................................................................................56
Modeling ......................................................................................................................58
Hierarchical Control Strategy ......................................................................................62
Adaptive Hierarchical Control .....................................................................................67
Experimental Results ...................................................................................................72
Conclusion ...................................................................................................................80
Appendix ......................................................................................................................81
CHAPITRE 4
4.1
4.2
4.3
ARTICLE 3: DISTRIBUTED CONTROL STRATEGY FOR
FLEXIBLE LINK MANIPULATORS ......................................................85
Introduction ..................................................................................................................86
Modeling and problem formulation .............................................................................88
Distributed control strategy..........................................................................................92
4.3.1
Control law development .......................................................................... 92
XII
4.4
4.5
4.6
4.3.2
Stability analysis ....................................................................................... 96
Application to two-flexible-link manipulator ............................................................. 99
4.4.1
System description .................................................................................... 99
4.4.2
Distributed control law ........................................................................... 101
4.4.3
Experimental results................................................................................ 104
Conclusion ................................................................................................................ 111
Appendix ................................................................................................................... 111
CHAPITRE 5
ARTICLE 4: ADAPTIVE CONTROL FOR FLEXIBLE LINK
MANIPULATORS USING DISTRIBUTED CONTROL
STRATEGY ............................................................................................ 115
Abstract: ................................................................................................................................ 115
5.1
Introduction ............................................................................................................... 116
5.2
Modeling and problem formulation .......................................................................... 118
5.3
Adaptive distributed control strategy ........................................................................ 122
5.4
Stability analysis ....................................................................................................... 128
5.5
Experimental results.................................................................................................. 129
5.6
Conclusion ................................................................................................................ 137
5.7
Appendix ................................................................................................................... 138
CHAPITRE 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
ARTICLE 5: WORKSPACE TRAJECTORY TRACKING CONTROL
FOR TWO-FLEXIBLE-LINK MANIPULATOR THROUGH
OUTPUT REDEFINITION .................................................................... 143
Introduction ............................................................................................................... 144
Modeling ................................................................................................................... 146
Trajectory transformation ......................................................................................... 149
Control Strategy ........................................................................................................ 151
6.4.1
Hierarchical control strategy for n flexible links .................................... 151
6.4.2
Application to two flexible links manipulator ........................................ 153
6.4.2.1 Control and stability of the second link ................................... 155
6.4.2.2 Control and stability of the first link ........................................ 158
Simulation results...................................................................................................... 160
CHAPITRE 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
ARTICLE 6: WORKSPACE TRAKING CONTROL OF TWOFLEXIBLE-LINK MANIPULATOR USING DISTRIBUTED
CONTROL STRATEGY ........................................................................ 175
Introduction ............................................................................................................... 176
Modeling ................................................................................................................... 179
7.2.1
System description .................................................................................. 179
7.2.2
Proprieties and problem formulation ...................................................... 180
Distributed control strategy....................................................................................... 182
7.3.1
Inverse dynamics .................................................................................... 182
Control strategy ......................................................................................................... 184
Stability analysis ....................................................................................................... 192
7.5.1
Stability of rigid part ............................................................................... 192
7.5.2
Stability of the flexible part .................................................................... 195
XIII
7.6
7.7
7.8
Simulation results.......................................................................................................197
Conclusion .................................................................................................................204
Appendix ....................................................................................................................205
CONCLUSIONS ET RECOMMANDATION ......................................................................211
LISTE DE RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES.............................................................217
LISTE DES TABLEAUX
Page
Table 2.1 Denavit-Hartenberg parameters of ANAT robot .................................................... 33
Table 3.1 Denavit-Hartenberg parameters of ANAT robot .................................................... 72
Table 4.1 System physical parameters .................................................................................. 105
Table 5.1 System parameters ................................................................................................ 131
LISTE DES FIGURES
Page
Figure 2.1 ANAT robot and axes. ........................................................................................... 33
Figure 2.2 The i-th control law. .............................................................................................. 39
Figure 2.3 Distributed control strategy. .................................................................................. 40
Figure 2.4 Real-time setup. ..................................................................................................... 43
Figure 2.5 Joint space tracking. (a) joint 2, (b) joint 3, (c) joint 4 and (d) joint 5. ................. 44
Figure 2.6 Joint space tracking errors. (a) joint 2, (b) joint 3, (c) joint 4 and (d) joint 5. ....... 45
Figure 2.7 Workspace tracking. (a) x-tracking, (b) y-tracking, (c) x-tracking error and
(d) y- tracking error. ......................................................................................... 45
Figure 2.8 Workspace tracking. .............................................................................................. 46
Figure 2.9 Workspace tracking with another initial point. ..................................................... 46
Figure 2.10 Tracking errors for the computed torque. (a) joint 2, (b) joint 3
(c) joint 4, (d) joint 5, (e) x-position and (f) y-position. ................................... 47
Figure 3.1 ANAT robot........................................................................................................... 59
Figure 3.2 Control chart. ......................................................................................................... 61
Figure 3.3 i-th control law. ..................................................................................................... 65
Figure 3.4 Hierarchical adaptive control strategy. .................................................................. 68
Figure 3.5 Real-time setup. ..................................................................................................... 74
Figure 3.6 Hierarchical control: (a) Joint space tracking, (b) Tracking errors. ...................... 75
Figure 3.7 Hierarchical control: (a) Workspace tracking and (b) Workspace tracking error. 76
Figure 3.8 Hierarchical control: Workspace tracking. ............................................................ 76
Figure 3.9 Hierarchical adaptive control: (a) Joint space tracking, (b)Tracking errors. ......... 77
Figure 3.10 Hierarchical adaptive control: (a) x and y position tracking,
(b) tracking errors of x and y, (c) xyz workspace tracking................................ 78
Figure 3.11 Tracking errors in joint space for the computed torque method. ........................ 79
Figure 4.1 Flexible-link manipulator. ..................................................................................... 89
Figure 4.2 The i-th control law. .............................................................................................. 96
Figure 4.3 Two-flexible-link manipulator. ............................................................................. 99
Figure 4.4 Quanser two link flexible robot. .......................................................................... 104
XVIII
Figure 4.5 Real-Time setup................................................................................................... 106
Figure 4.6 Desired trajectories: (a)-(b) position, (c)-(d) velocity,
(e)-(f) acceleration of rigid part. ...................................................................... 107
Figure 4.7 Distributed control: (a)-(b) joint tracking trajectories,
(c)-(d) joint tracking errors. ............................................................................ 108
Figure 4.8 Distributed control: errors of flexible parts. ......................................................... 108
Figure 4.9 Distributed control: input torque. ......................................................................... 109
Figure 4.10 PD control: (a)-(b) joint tracking trajectories, (c)-(d) joint tracking errors. ..... 109
Figure 4.11 PD control : errors of flexible parts. .................................................................. 110
Figure 4.12 PD control: input torques. .................................................................................. 110
Figure 5.1 Flexible-link manipulator. ................................................................................... 119
Figure 5.2 The i-th control law. ............................................................................................ 126
Figure 5.3 Distributed adaptive control strategy................................................................... 127
Figure 5.4 Two-flexible-link manipulator. ........................................................................... 130
Figure 5.5 Quanser two-link flexible robot........................................................................... 131
Figure 5.6. Real time setup. .................................................................................................. 132
Figure 5.7. Desired trajectories: (a)-(b) position, (c)-(d) velocity,
(e)-(f) acceleration of rigid part. ..................................................................... 133
Figure 5.8 Adaptive control: (a)-(b) joints’ tracking trajectories,
(c)-(d) joints’ tracking errors. ......................................................................... 134
Figure 5.9. Adaptive control: errors of flexible part.............................................................. 134
Figure 5.10 Adaptive control: control input. ......................................................................... 135
Figure 5.11 Distributed control: (a)-(b) joints’ tracking trajectories,
(c)-(d) joints’ tracking errors. ........................................................................ 135
Figure 5.12 Distributed control: errors of the flexible parts. ................................................. 136
Figure 5.13 Distributed control: control input. ...................................................................... 136
Figure 6.2 Transformation of the desired trajectories. .......................................................... 150
Figure 6.3 Virtual space. ....................................................................................................... 150
Figure 6.4 Control strategy. .................................................................................................. 153
XIX
Figure 6.5 Workspace desired trajectory: (a) Yd vs Xd and (b) xd(t), yd(t). ......................... 161
Figure 6.6 (a) Nyquist diagram, and (b) eigenvalues evolution. .......................................... 162
Figure 6.7 Eigenvalues vs.
. ............................................................................................. 162
Figure 6.8 Tracking of X-Y trajectory. ................................................................................. 163
Figure 6.9 (a)-(b) Position of virtual joints, (c)-(d) velocity of virtual joints, (e)-(f)
acceleration of virtual joints. ........................................................................... 163
Figure 6.10 (a)-(b) Flexible coordinates; (c)-(d) Rigid coordinates. ................................... 164
Figure 6.11 (a)-(b) Errors of joints 1 and 2; (c)-(d) errors of flexible coordinates 1, 2;
(e)-(f) tracking errors of workspace trajectories x(t) and y(t)......................... 164
Figure 7.2 Virtual space. ....................................................................................................... 183
Figure 7.3 Distributed control strategy. ................................................................................ 191
Figure 7.4 X-Y desired workspace trajectory. ...................................................................... 198
Figure 7.5 Desired workspace trajectory: (a)-(b) position trajectory, .................................. 199
Figure 7.6 Desired virtual space trajectories: (a)-(b) position trajectories, (c)-(d) velocity
trajectories and (e)-(f) acceleration trajectories. .............................................. 199
Figure 7.7 Desired joint space trajectories: (a)-(b) positiontrajectories of rigid coordinates,
(c)-(d) velocity trajectories of rigidcoordinates, (e)-(f) acceleration trajectories
of rigid coordinatesand (g)-(h) position trajectories of flexible coordinates. .. 200
Figure 7.8 Stability of second link. (a) Nyquist diagram, and (b) eigenvalues evolution. ... 200
Figure 7.9 Stability of first link: Eigenvalues vs
............................................................ 201
Figure 7.10 Tracking trajectories of non-collocated outputs. ............................................... 201
Figure 7.11. Tracking errors in joint space. (a)-(b) tracking errors of non-collocated
outputs and (c)-(d) tracking errors of the flexible coordinates. ...................... 202
Figure 7.12. Tracking in the workspace. (a) x-position tracking and
(b) y-position tracking. ................................................................................... 202
Figure 7.13. Workspace tracking errors. (a) x-position tracking errors and (b) y-position
tracking errors. ................................................................................................. 203
Figure 7.14. X-Y workspace tracking. .................................................................................. 203
LISTE DES ABRÉVIATIONS, SIGLES ET ACRONYMES
SISO :
Seule-entrée, seule sortie.
ddl :
Degré de liberté.
MIMO : Multi-entrées multi-sorties
PD :
Proportionnel-dérivée.
PID :
Proportionnel-dérivée-intégral.
ANAT:
Articulated nimble adaptable trunk.
DOF:
Degrees of freedom.
LOG:
Linear-Quadratic-Gaussian
LQR:
Linear Quadratic Regulator (LQR)
LISTE DES SYMBOLES ET UNITÉS DE MESURE
Coordonnée généralisée.
Coordonnée généralisée de la partie rigide.
Coordonnée généralisée de la partie flexible.
Vecteur des couples.
M
Matrice de masse.
C
Matrice de Coriolis
G
Vecteur de gravité.
Matrice de jacobien.
s
Surface de glissement.
Surface de glissement de la partie rigide.
Surface de glissement de la partie flexible.
x
Vecteur d’état.
Vecteur d’état de la partie rigide.
Vecteur d’état de la partie flexible.
( , )
∅ ( )
Déformation di ième bras flexible.
jème fonction forme du ième bras.
Déformation de l’extrémité de ième bras flexible.
Fonction de Lyapunov.
Dérivée pa rapport au temps t.
Désigne l’erreur de suivi
Désigne l’estimation.
Désigne le désirée d’une valeur.
INTRODUCTION
La principale raison de la création des robots manipulateurs, au début des années soixante,
est de libérer et décharger l’être humain de certaines tâches complexes, dangereuses,
répétitives et/ou infaisables parfois. De plus, l’utilisation des robots manipulateurs offre
d’autres avantages tels que la diminution des coûts de production, l’amélioration de la qualité
et de la productivité, etc. Les progrès continus dans les domaines de l’électronique et de
l’informatique ont poussé le domaine de la robotique à des évolutions assez importantes.
Suite à cette progression, plusieurs domaines d’applications, telles que l’industrie
automobile, les applications spatiales, forestières, etc., ont profité de cette progression
continue pour améliorer leurs productivités. En milieu industriel, l’utilisation des
manipulateurs est très répandue. En effet, ils réalisent des tâches répétitives à hautes vitesses
dans un temps très limité. En plus, ils sont pratiquement autonomes et peuvent fonctionner
sans l’aide de l’opérateur quand ils sont programmés et mis en place.
Généralement, les manipulateurs destinés à des applications industrielles sont extrêmement
rigides, massifs. Avec l’évolution de la technologie, les applications industrielles deviennent
de plus en plus complexes et exigent une mobilité et des vitesses de déplacement
relativement grandes. Dans ce cas, la rigidité n’est plus un avantage et les robots utilisés dans
ce genre d’applications doivent avoir un poids minimal et une grande flexibilité.
Généralement, la diminution du poids d’un manipulateur réduit la puissance nécessaire de ses
actionneurs ce qui amène à une économie d’énergie. Pour améliorer les performances des
robots, les membrures doivent être plus légères et par conséquent, elles deviennent plus
flexibles, la vitesse augmente, la consommation d’énergie diminue et le coût de production
devient minimal.
La plupart des tâches sont définies dans l’espace de travail tel que la peinture, le soudage,
l’assemblage, etc. ce qui rend la commande des manipulateurs dans l’espace cartésien très
importante. Dans le cas des manipulateurs rigides, une étude de la cinématique, inverse et
directe, est largement suffisantes pour assurer le passage de l’espace de travail vers l’espace
2
articulaire et vice versa. La connaissance de l’angle du moteur est suffisante pour déterminer
directement la position de l’extrémité. Ce qui n’est pas le cas pour les manipulateurs flexibles
dont la flexibilité des bras n’est plus un phénomène négligeable. Lors du contrôle direct de
l’extrémité, le système devient à non-minimum de phase. Deux relations, une cinématique et
une dynamique, sont utilisées pour basculer entre l’espace de travail et l’espace articulaire
pour ce type de robots. Par la suite, les méthodes de commande utilisées pour les
manipulateurs rigides ne peuvent pas être directement appliquées pour les manipulateurs
flexibles.
Plusieurs travaux de recherches ont mis l’accent sur les méthodes de commande assurant le
suivi de trajectoires dans l’espace articulaire et de travail. Dans ce cas, la dynamique des
manipulateurs est vue sous forme de deux configurations: 1) un seul système MIMO où une
seule commande est produite pour contrôler toutes les articulations du robot, 2) un ensemble
de sous-systèmes interconnectés qui sont contrôlés chacun par une commande indépendante.
Le but de la présente thèse est de proposer et valider expérimentalement une stratégie de
commande distribuée pour les manipulateurs rigides et flexibles assurant la stabilité des
erreurs de suivi. Cette stratégie sera développée, dans un premier temps, pour les
manipulateurs rigides pour assurer le suivi de trajectoires dans l’espace de travail. Puis, elle
sera modifiée pour prendre en compte la flexibilité des bras au niveau des manipulateurs
flexibles.
L’organisation de la présente thèse est donnée comme suit. Chapitre 1 présente la
problématique de recherche, les objectifs, la revue de littérature, la méthodologie suivie pour
atteindre les objectifs ainsi que l’originalité du travail. Par la suite, les chapitres 2, 3, 4, 5, 6
et 7 présenteront les résultats des travaux sous forme d’articles, soient soumis pour
publication (chapitres 3, 4, 5 et 6 ) ou acceptés et publiés (chapitres 2 et 7). Le Chapitre 2
présentera l’étude théorique et expérimentale de la stratégie de commande distribuée
appliquée à un robot rigide à 7 ddl. Une version adaptative de la stratégie de commande
présentée dans le Chapitre 2 sera présentée et appliquée au même robot rigide à 7 ddl dans le
3
Chapitre 3. Le Chapitre 4 présente une commande distribuée appliquée aux manipulateurs
flexibles pour assurer la stabilité des erreurs de suivi dans l’espace articulaire tout en
minimisant les vibrations au niveau des bras flexibles. Cette stratégie de commande a été
appliquée à un manipulateur à deux bras flexibles. La version adaptative de cette stratégie a
été présentée dans le chapitre 5 et appliquée au même système à deux ddl. Dans l’espace de
travail, la stratégie de commande distribuée est présentée dans les chapitres 6 et 7 avec des
lois de commande différentes pour assurer la stabilité locale et globale des erreurs de suivi.
Dans la suite de cette partie, nous présentons un résumé de chaque article :
L’article du chapitre 2 présente une nouvelle stratégie de commande distribuée pour les
manipulateurs rigides afin de suivre une trajectoire désirée dans l’espace de travail. Trois
étapes sont utilisées pour assurer le suivi. La première étape consiste à utiliser la cinématique
inverse pour transformer la trajectoire désirée de l’espace de travail vers l’espace articulaire.
Puis, une loi de commande distribuée est développée, dans la deuxième étape, pour contrôler
les articulations du manipulateur. Enfin, la trajectoire obtenue dans l’espace articulaire est
transformée vers l’espace de travail via la cinématique directe. Pour faciliter le
développement de la loi de commande, la dynamique du manipulateur est mise sous forme
d’un ensemble de sous-systèmes interconnectés. Chaque sous-système représente une
articulation. La stratégie de commande distribuée consiste à commander un sous-système à
chaque étape en commençant par le dernier. En effet, le dernier sous-système est commandé
tout en supposant que le reste des sous-systèmes sont stables et suivent leurs trajectoires
désirées. Puis, passons à l’avant-dernier sous-système, l’articulation associée est commandée
en utilisant la même démarche, c’est-à-dire, le reste des articulations sont supposées stables.
La même procédure est utilisée à rebours jusqu’au premier sous-système. Cette stratégie de
commande distribuée assure la stabilité globale de la dynamique des erreurs de suivi. Cette
stabilité globale est prouvée par l’approche de Lyapunov. L’implémentation en temps-réel de
cette approche sur un robot modulaire (Hyper Redundant Articulate Nimble Adaptable Trunk
(ANAT) montre un bon suivi de trajectoire dans l’espace de travail. Les résultats
4
expérimentaux ont été comparés avec ceux obtenues par la méthode du couple pré-calculé
pour montrer l’efficacité et l’apport de cette stratégie de commande distribuée.
L’article présent dans le chapitre 3 propose deux stratégies de commande pour assurer le
suivi de trajectoire désirée dans l’espace de travail des manipulateurs rigides. En plus de la
stratégie de commande distribuée, présentée dans le chapitre 2, la version adaptative ou dite «
hiérarchique » est proposée dans cet article. Dans ce cas, les paramètres du système sont
supposés inconnus et la loi de commande contient un processus d’adaptation pour estimer ces
paramètres. La cinématique inverse est utilisée pour transformer la trajectoire désirée de
l’espace de travail vers l’espace articulaire et la cinématique directe est utilisée dans le sens
inverse. La dynamique du manipulateur est mise sous forme d’un ensemble de sous-systèmes
interconnectés dont chacun représente une articulation. Cette stratégie de commande exploite
la forme hiérarchique des manipulateurs. La commande hiérarchique est appliquée aux
manipulateurs rigides en commençant par le dernier sous-système (articulation) jusqu’au
premier. Chaque articulation est commandée en supposant que le reste des articulations est
stable. L’équation de mouvement du dernier sous-système contient uniquement les
paramètres inconnus du dernier sous-système. La loi de commande de ce dernier soussystème est ainsi déduite en fonction de ces paramètres estimés. Puis, passons à l’avantdernier sous-système, l’équation de mouvement contient les paramètres de ce sous-système et
celles du dernier sous-système. La loi de commande est ainsi développée en utilisant les
paramètres estimés de ce sous-système et celles déjà estimées dans l’étape précédente. La
même stratégie est suivie au rebours jusqu’au premier sous-système. En effet, la loi de
commande du premier sous-système est développée en fonction des paramètres estimés de ce
sous-système est de tous les paramètres estimés correspondant aux sous-systèmes de niveau
supérieur. La stabilité globale est assurée en utilisant la théorie de Lyapunov.
L’implémentation en temps réel sur un robot rigide à 7 ddl (ANAT) est présentée dans cet
article pour montrer l’efficacité de ces lois de commande.
L’article du chapitre 4 présente une stratégie de commande distribuée pour les manipulateurs
flexibles pour assurer le suivi de trajectoire dans l’espace articulaire et minimiser les
vibrations au niveau des bras flexibles. La première étape consiste à réorganiser la
5
dynamique du manipulateur pour prendre la forme d’un ensemble de sous-systèmes
interconnectés afin de l’exploiter pour le développement de la loi de commande. Chaque
sous-système contient une articulation et le bras flexible associé. La stratégie de commande
distribuée consiste à contrôler un seul sous-système à chaque étape tout en commençant du
dernier jusqu’au premier sous-système. Chaque sous-système est contrôlé pour que
l’articulation suive une trajectoire désirée et, en même temps, les vibrations du bras flexible
associé soient minimales. En commençant par le dernier sous-système, une loi de commande
est développée en supposant que le reste des sous-systèmes sont stables. Puis, passons à
l’avant-dernier sous-système pour développer une loi de commande assurant un suivi de
trajectoire de l’articulation et minimisant les vibrations du bras. La même procédure est
suivie au rebours jusqu’au premier sous-système. La loi de commande de chaque soussystème est développée en utilisant la surface de glissement. Cette stratégie de commande
distribuée assure la stabilité globale de la dynamique des erreurs de suivi. L’implémentation
en temps réel de cette stratégie sur le robot à deux bras flexibles est présentée pour montrer
l’efficacité et la simplicité de cette approche. Une comparaison avec la commande PD
montre les avantages de cette approche lors de l’implémentation en temps réel.
Pour le chapitre 5, l’article présente une stratégie de commande adaptative distribuée pour les
manipulateurs flexibles assurant la stabilité de la dynamique des erreurs de suivi dans
l’espace articulaire en minimisant les vibrations des bras flexibles. Pour une bonne
exploitation dans le développement de cette stratégie de commande, la dynamique du
manipulateur est réorganisée pour prendre la forme d’un ensemble de sous-systèmes
interconnectés dont chacun représente une articulation et le bras flexible associé. À chaque
étape un seul contrôleur est fourni pour chaque sous-système. Par exemple, pour le ième soussystème, la loi de commande est déduite en utilisant ses propres paramètres estimés et ceux
déjà estimés pour chaque sous-système de niveau supérieur. La stabilité globale de la
dynamique des erreurs de suivi est assurée par cette stratégie de commande en utilisant
l’approche de Lyapunov. Cette stratégie de commande adaptative est appliquée et validée
expérimentalement sur un robot à deux bras flexibles. Les résultats expérimentaux montrent
que cette stratégie de commande assure un bon suivi de trajectoire dans l’espace articulaire et
6
réduit les vibrations au niveau des bras flexibles. La comparaison avec la version nonadaptative montre bien l’apport et la performance de cette stratégie.
Dans le chapitre 6, l’article propose une commande distribuée pour assurer un suivi de
trajectoire dans l’espace de travail pour un manipulateur à deux bras flexibles. Lors de la
commande directe de l’extrémité, les manipulateurs flexibles deviennent des systèmes à nonminimum de phase et la dynamique interne n’est plus bornée. La technique de redéfinition de
la sortie est utilisée pour sélectionner une sortie la plus proche possible de l’extrémité. En
plus de la relation cinématique utilisée pour les manipulateurs rigides, il existe une relation
dynamique entre l’espace de travail et articulaire. La cinématique inverse et l’approche quasi
statique sont utilisées pour transformer la trajectoire désirée de l’espace de travail vers
l’espace articulaire. La stratégie de commande consiste à commander et stabiliser le dernier
sous-système, constitué de la deuxième articulation et bras flexible associé, en supposant que
le premier sous-système est stable. Cette démarche est suivie, au rebours, pour le premier
couple articulation-bras. À chaque étape, l’approche de linéarisation par retour d’état est
utilisée pour développer la loi commande. La sortie la plus proche de l’extrémité est
sélectionnée de telle sorte que la dynamique interne devienne bornée. La valeur critique du
paramètre caractérisant cette sortie paramétrisée est déterminée suite à une étude de stabilité
de la dynamique interne (ou dynamique des zéros) en utilisant la passivité. Cette loi de
commande assure la stabilité locale du système. Cette commande a été appliquée à un robot à
deux bras flexibles et les résultats de simulation montrent un bon suivi de trajectoire dans
l’espace de travail sous forme triangulaire.
L’article présent dans le chapitre 7 propose une stratégie de commande distribuée assurant la
stabilité globale de la dynamique des erreurs de suivi d’un manipulateur à deux bras
flexibles. La cinématique inverse n’est pas suffisante pour transformer la trajectoire désirée
de l’espace de travail vers l’espace articulaire. Le problème de l’inversion de la dynamique
est résolu en utilisant un espace intermédiaire nommée espace virtuel. Ce dernier est créé de
telle sorte qu’il soit lié avec l’espace de travail par une simple relation cinématique (comme
dans le cas des manipulateurs rigides) et lié avec l’espace articulaire par une relation
dynamique qui peut être résolue par l’approche quasi-statique. Le problème de non-minimum
7
de phase pour les manipulateurs flexibles est résolu en utilisant la technique de redéfinition
de sortie. La commande distribuée consiste à commencer par le contrôle et la stabilisation du
deuxième sous-système, représenté par le deuxième couple articulation-bras, en supposant
que le premier est stable. La dynamique des erreurs de suivi de la partie rigide est prouvée en
utilisant la théorie de Lyapunov. Pour la partie flexible, la stabilité de la dynamique des
erreurs de suivi et la sélection de la valeur critique du paramètre caractérisant cette sortie
paramétrisée sont étudiées en utilisant la passivité. Les résultats de simulation de cette
stratégie de commande sur un robot à deux bras flexibles montrent un bon suivi de
trajectoires dans l’espace de travail sous forme d’un losange.
CHAPITRE 1
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES
1.1
Problématique et objectif de recherche
Les manipulateurs rigides sont des systèmes non linéaires et vu l’importance de leur contrôle,
plusieurs méthodes de commande ont été développées pour différents objectifs de commande
à savoir, régulation, suivi dans l’espace articulaire ou le suivi dans l’espace de travail. Jusqu'à
présent, le problème de suivi de trajectoire dans l’espace de travail est beaucoup moins
couvert que celui dans l’espace d’articulations. Il existe moins de solutions (par rapport au
suivi dans l’espace articulaire) pour le problème de suivi de trajectoire dans l’espace
opérationnel bien que le suivi de trajectoire dans ce dernier est très important puisque la
plupart des tâches sont définies dans cet espace, telles que la peinture, la soudure,
l’assemblage, l’ébavurage, etc. Dans le cas des manipulateurs rigides, une relation
cinématique est suffisante pour passer de l’espace de travail vers l’espace articulaire. En
effet, pour transformer les trajectoires désirées de l’espace de travail vers l’espace articulaire,
la cinématique inverse est utilisée. Par contre, la cinématique directe est utilisée pour
transformer les trajectoires de l’espace articulaire vers l’espace de travail.
Dans le cas des manipulateurs flexibles, la situation est plus complexe puisqu’ils sont des
systèmes fortement non linéaires à cause de la présence des équations de couplage
dynamique entre les variables rigides et flexibles. Contrairement à un robot rigide, un robot
flexible est un système sous actionné : il existe plus de sorties à contrôler (variables rigides et
flexibles) que d’entrées de commande (couples articulaires). Dans le cas des robots rigides, la
mission est de concevoir une loi de commande pour suivre une trajectoire désirée. Tandis que
pour les robots flexibles, une condition supplémentaire doit être rajoutée, c’est que les
vibrations des bras flexibles doivent être minimales. Dans ce cas, la cinématique inverse
n’est plus suffisante pour transformer les trajectoires désirées de l’espace de travail vers
l’espace articulaire des robots flexibles. En effet, ces deux espaces sont liés par une relation
10
cinématique et dynamique. Pour surmonter ce problème, l’espace virtuel et l’approche quasistatique sont utilisés. De plus, un robot flexible est un système à non minimum de phase
lorsque la sortie à contrôler représente l’extrémité du robot. Cette caractéristique augmente la
complexité du contrôle direct de l’extrémité d’un robot flexible. Pour résoudre ce problème,
la technique de redéfinition de sortie est utilisée. Cette nouvelle sortie est constituée de la
position angulaire plus une valeur pondérée de la déformation de l’extrémité.
Plusieurs méthodes de commande basées sur une seule commande pour toutes les
articulations ont été couvertes dans la littérature. Dans ce cas, la dynamique des
manipulateurs est vue comme étant un seul système MIMO. Malheureusement,
l’implémentation en temps réel de ce type des contrôleurs dans l’industrie n’est pas facile à
cause de la complexité de la structure de commande et le coût élevé de calcul. Pour
surmonter ce problème, la dynamique du manipulateur peut être vue comme un ensemble de
sous-systèmes interconnectés dont chacun représente une articulation (dans le cas des
manipulateurs rigides) ou une articulation et un bras flexible dans le cas des manipulateurs
flexibles. Cette structure offre un certain nombre d’avantages à savoir : la simplicité des lois
de commande et de leur implémentation en temps réel, la minimisation du taux d’information
traité par les unités de commande, la réduction de l’effort de calcul, la tolérance aux pannes,
etc. Avec cette configuration, chaque sous-système est commandé indépendamment des
autres.
Dans le cas où le système est vu comme étant un ensemble de sous-systèmes interconnectés,
le niveau de performance des lois de commande est mis en question en fonction du choix des
sous-systèmes. Par exemple, si les interactions entre les sous-systèmes choisis ne sont pas
prises en considération les blocs de sous-systèmes voisins peuvent être déstabilisés. Souvent
l’étude de la stabilité globale représente un grand défi pour les méthodes utilisant l’idée de
colocalisation. En effet, les sous-systèmes sont généralement commandés localement et la
vérification de la stabilité globale n’est pas évidente. Vu que les systèmes complexes
demandent un niveau de performance extrêmement élevé, on comprend assez facilement
l'intérêt que présente la stabilité globale pour ces systèmes. Pour les manipulateurs rigides ou
11
flexibles, une stratégie de commande distribuée peut offrir une solution en contrôlant le
manipulateur à partir de son dernier sous-système (une articulation pour les robots rigides et
une articulation et un bras pour les robots flexibles) jusqu’au premier. En effet, le dernier
sous-système est généralement la moins couplée des autres sous-systèmes, donc il est le plus
facile à le contrôler et à stabiliser. Puis, en utilisant la même stratégie, nous passons au
contrôle et la stabilisation de l’avant-dernier sous-système, qui sera le moins couplé du reste
et le plus facile à commander. Ainsi de suite, les autres articulations seront contrôlées de la
même façon au rebours jusqu’à la première.
Dans la plupart des manipulateurs industriels, la commande utilisée est basée sur le fait que
le système robotique est considéré comme étant un système linéaire. Une commande de type
PID à des gains constants est utilisée pour chaque articulation. La commande linéaire est
satisfaisante juste autour des points de fonctionnement bien déterminés, mais en dehors de
ces plages, le contrôleur n’est plus valable et peut déstabiliser le système. Étant donné que les
manipulateurs sont des systèmes non-linéaires (fortement non linéaire dans le cas des
manipulateurs flexibles), cette méthode de commande linéaire est limitée à des vitesses
faibles. Dans ce cas, une technique de commande non-linéaire est indispensable pour une
meilleure représentation du comportement non-linéaire des manipulateurs rigides ou
flexibles.
Pour remédier aux problèmes présentés précédemment, cette thèse vise le développement
d’une nouvelle stratégie de commande distribuée non linéaire pour les manipulateurs rigides
et flexibles assurant la stabilité des erreurs de suivi. Cette stratégie de commande exploite la
forme des manipulateurs rigides et flexibles. Premièrement, elle consiste à organiser la
dynamique du manipulateur pour prendre la forme d’un ensemble de sous-systèmes
interconnectés. Pour les manipulateurs rigides, chaque articulation représente un soussystème et dans le cas des manipulateurs flexibles, chaque sous-système est composé d’une
articulation et du bras flexible correspondant. Deuxièmement, en commençant par le dernier
sous-système, la loi de commande est développée en supposant que le reste des sous-
12
systèmes sont stables. Puis, la même stratégie est utilisée au rebours jusqu’au premier soussystème.
Suite à cette stratégie globale, on propose la stratégie détaillée suivante:
1. Recenser les travaux en relation avec la commande des manipulateurs rigides et flexibles
par une revue de littérature ;
2. Développer une nouvelle stratégie de commande distribuée non linéaire des manipulateurs
rigides assurant la stabilité globale de l’erreur de suivi de trajectoire dans l’espace
opérationnel et la valider expérimentalement sur un robot rigide à 7 ddl (Chapitre 2) ;
3. Assurer la robustesse de la loi de commande développée dans (2) en développant sa
version adaptative pour assurer la stabilité globale des erreurs de suivi dans l’espace de
travail des robots rigides. Valider expérimentalement cette version adaptative sur le robot
rigide à 7 ddl (Chapitre 3) ;
4. Modifier la stratégie de commande distribuée développée dans (2) pour prendre en compte
la flexibilité présente dans les manipulateurs flexibles. L’objectif est d’assurer la stabilité
des erreurs de suivi dans l’espace articulaire et minimiser les vibrations au niveau des bras
flexibles. Valider expérimentalement cette stratégie sur un robot à deux bras flexibles
(Chapitre 4) ;
5. Développer la version adaptative de la commande développée dans (4) pour assurer la
robustesse de la loi de commande et la valider expérimentalement sur un robot à deux bras
flexibles (Chapitre 5) ;
6. Développer une stratégie de commande distribuée pour les manipulateurs flexibles pour
assurer le suivi de trajectoire dans l’espace de travail. Pour le problème de l’inversion
dynamique, l’espace virtuel et l’approche quasi-statique sont utilisés. La technique de
redéfinition de sortie est utilisée pour le problème de déphasage non-minimal. L’approche
13
de linéarisation par retour d’état est utilisée pour développer la loi de commande qui
assure la stabilité locale des erreurs de suivi dans l’espace de travail. (Chapitre 6) ;
7. Généraliser la loi de commande développée dans (7) pour les robots flexibles pour assurer
la stabilité globale des erreurs de suivi dans l’espace de travail des robots flexibles
(Chapitre 7).
1.2
Revue de littérature
1.2.1
Commande des manipulateurs rigides
Dans ce travail, le robot est considéré comme étant un système automatique qui a comme
variable d’entrée les couples appliqués aux articulations et comme sortie les positions
articulaires et leurs dérivées, c’est-à-dire que la partie mécanique n’est pas prise en compte.
Deux configurations possibles sur lesquelles les méthodes de commande sont basées : 1) la
dynamique du robot est considérée comme étant un seul système multi-variables (MIMO), 2)
la dynamique est considérée comme étant un ensemble des sous-systèmes mono-variable
(SISO) interconnectés. Dans la suite de cette section, nous détaillerons les différentes
techniques utilisées dans la littérature pour ces deux configurations.
1.2.1.1
Dynamique vue comme un système MIMO
Plusieurs méthodes de commande utilisées dans la littérature considèrent le système à
commander comme étant un seul système multi-variables. La méthode de commande par
linéarisation par retour d’état (Feedback Linearization), au sens entrée-état ou bien au sens
entrée-sortie (Slotine et Li, 1991), représente l’une des approches les plus répandues et les
plus connues. Dans le domaine de la robotique, la méthode de découplage non linéaire
(Khalil et Dombre, 1999; Slotine et Li, 1991) (Computed Torque Method), basée sur la
méthode de linéarisation par retour d’état, a connu beaucoup de succès. Son principe est de
découpler l’équation dynamique du robot pour calculer les couples appliqués aux
14
articulations. En effet, les non linéarités de la dynamique sont compensées par la loi de
commande et un système linéaire découplé est obtenu. Dans le cas où les paramètres du
système ne sont pas parfaitement connus, la méthode de linéarisation par retour d’état n’est
pas directement appliquée. L’ajout d’un processus adaptatif est ainsi nécessaire pour corriger
les déficiences de la méthode de découplage non linéaire et stabiliser le système d’une façon
robuste. On parle dans ce cas de la commande adaptative (Hung, 2008; Middleton, 1988;
Ortega, 1989; Zhenhua et Xiongxiong, 2011). En effet, les paramètres du système utilisés
pour la conception de la loi de commande sont estimés et ajustés en ligne. Le calcul
complexe nécessaire pour développer la commande constitue l’inconvénient principal de
cette approche.
On trouve aussi la commande à structure variable ou commande par mode de glissement
appliquée aux systèmes robotiques (Harashima, Hashimoto et Kondo, 1985; Hashimoto et
al., 1986; Slotine et Li, 1991). Cette approche se base sur une surface de glissement qui
représente la réponse temporelle d’un système linéaire du premier ordre. L’objectif est de
commander les variables du système pour qu’elles atteignent le régime glissant et le système
suive une dynamique bien définie. Cette approche a connu beaucoup de succès dès son
apparition, surtout au niveau de sa robustesse vis-à-vis des perturbations et des incertitudes
du modèle, mais son inconvénient majeur est le problème de commutation. En effet, la
dynamique négligée du système peut être excitée par des signaux à haute fréquence et la
discontinuité de la commande peut conduire à un effet néfaste sur les actionneurs. Pour
remédier ce problème, une fonction de saturation a été considérée dans la commande pour
remplacer la fonction de commutation (Slotine et Li, 1991). Une autre méthode qui permet
d’augmenter l’ordre du système (Second-Order Sliding Mode Control) a été établi par
(Bartolini, Ferrara et Usani, 1998) puis par (Parra-Vega et Hirzinger, 2001) pour résoudre le
problème de commutation en utilisant une commande virtuelle. Dernièrement (Fallaha et al.,
2011) a introduit des termes exponentiels dans les composantes discontinues pour réduire les
commutations hautes fréquences. Cette approche a été testée expérimentalement avec succès
sur un robot manipulateur et a été comparée à d’autres approches de mode glissant pour
montrer son apport.
15
La commande par « Backstepping » a été récemment utilisée pour les manipulateurs rigides
(Chen et Lin, 2004; Irani et Talebi, 2011; Yang et al., 2004). Le principe de cette méthode de
commande est d’utiliser des fonctions de Lyapunov, dépendantes des erreurs de poursuite,
d’une façon progressive pour assurer la convergence du système vers le comportement
désiré. Cette méthode est très répandue dans le cas des systèmes à structure triangulaire
quand le calcul des lois de commande est très compliqué en augmentant l’ordre du système.
Quand le robot est considéré comme étant un système qui dissipe l’énergie (passif), la
commande utilisée est dite passive (Sciavicco et Siciliano, 2000). Dans ce cas, un bloc non
linéaire passif est utilisé dans la boucle de retour pour minimiser l’énergie du système en
utilisant le formalisme de Hamilton. La commande passive est plus robuste que celle de
découplage non linéaire quand on n’a pas besoin d’annuler les non linéarités existantes dans
le modèle dynamique.
1.2.1.2
Dynamique vue comme des systèmes SISO interconnectés
Malgré que les méthodes de commande citées dans la section précédente ont été bien
appliquées théoriquement, elles sont moins répandues dans le domaine industriel et leur
implémentation en temps réel n’est pas toujours facile. La plupart des contrôleurs industriels
utilisent l’idée de colocalisation. En effet, chaque système complexe est décomposé en un
ensemble de sous-systèmes interconnectés et chacun d’eux est muni de son propre capteur et
actionneur et en plus il est commandé séparément et indépendamment. Plusieurs avantages
sont offerts par ce type de configuration à savoir, la simplicité de la synthèse et de la mise en
œuvre en temps réel des lois de commande, la réduction de l’effort de calcul et la réduction
de l’ordre de complexité (chaque sous-système est d’ordre moins élevé que le système au
complet). Plusieurs techniques ont été utilisées dans le cas où le système est vu comme étant
un ensemble de sous-systèmes interconnectés. Une méthode de commande basée sur le
contrôle des joints indépendant (Hsia, Lasky et Guo, 1991; Seraji, 1988; Spong et
Vidyasagar, 1989) est très utilisée pour les robots industriels. Son principe est de contrôler
chaque joint comme étant un système SISO. Un contrôleur de type PID classique est utilisé
16
pour chaque joint (Spong et Vidyasagar, 1989). Chaque sous-système est traité comme étant
un système linéaire et les effets de couplage sont traités comme des perturbations. Cette
méthode contient des limites dans le cas du suivi à vitesse élevée.
La commande décentralisée est aussi utilisée pour le contrôle des systèmes robotiques quand
la dynamique est vue comme étant des sous-systèmes interconnectés (Colbaugh et Glass,
1996; Colbaugh, Seraji et Glass, 1994; Indrawanto, Swevers et Van Brussel, 1998; Katic et
Vukobratovic, 1994). Deux lois de commande décentralisées adaptatives ont été appliquées
aux robots manipulateurs (Colbaugh et Glass, 1996): la première est utilisée pour le problème
de suivi et le deuxième est utilisé pour le problème de régulation de la position. La
convergence semi-globale des erreurs est uniquement assurée quand la commande adaptative
est utilisée en absence des perturbations externes.
La commande distribuée est également utilisée pour ce type de configuration (Fareh, Saad et
Saad, 2012b; 2012 ; Fareh, Saad et Saad, 2012c; Fareh et al., 2011). Cette stratégie de
commande a été développée pour un robot rigide à 7 ddl. Elle consiste à contrôler une seule
articulation à chaque étape en commençant de la dernière articulation jusqu’à la première.
Une commande adaptative indirecte dite hiérarchique a été déduite dans (Fareh, Saad et Saad,
2012 ). La loi de commande de la ième articulation est développée en fonction de ses propres
paramètres estimés et des paramètres estimés et de toutes les articulations de niveau supérieur
(de nème jusqu’à (i-1)
ème
). Juste la stabilité locale a été prouvée en utilisant l’approche de
Lyapuov. Donc, il est intéressant de développer des lois de commande assurant la stabilité
globale.
1.2.2
Commande des manipulateurs flexibles
1.2.2.1
Commande dans l’espace articulaire
Régulation
17
L’objectif est de développer une loi de commande capable d’amener le système à un point
désiré. Dans le cas des manipulateurs flexibles, plusieurs algorithmes de commande ont été
proposés dans la littérature afin de résoudre le problème de régulation dans l’espace
articulaire. La commande proportionnelle dérivée (PD) est très utilisée pour résoudre ce type
de problème. Dans (Canudas de Wit, Siciliano et Bastin, 1996; De Luca et Siciliano, 1993),
les auteurs ont utilisé la commande PD avec compensation de l’effet de gravité pour un robot
à plusieurs bras flexibles. En utilisant la théorie de Lyapunov, ils ont prouvé que cette
commande assure la stabilise globale de la position articulaire. La théorie de passivité a été
utilisée dans (Lanari, 1992; Wang, 1992) pour stabiliser la position articulaire d’un système à
un bras flexible par un régulateur PD. La passivité entre la vitesse articulaire et le couple de
commande a été démontrée pour un robot à un bras flexible.
Une contrainte supplémentaire peut être prise en compte dans le problème de régulation tel
que le temps de mouvement articulaire qui sera un paramètre fixe. Cette méthode a été
utilisée pour un modèle masse-ressort dans (Meckl, 1994). Le signal de commande a été
décomposé en deux fonctions : sinusoïdale et linéaire afin de minimiser l’énergie de
commande pendant le début à la fin du mouvement désiré. Dans (Chan, 1995), les auteurs ont
proposé une méthode basée sur la planification des consignes rigides. Dans le cas d’un robot à
deux bras dont le dernier est flexible, la position articulaire finale est atteinte sans avoir des
oscillations en utilisant une méthode basée sur la planification de mouvements articulaires
dans (De Luca et Di Giovanni, 2001).
Il faut noter que la régulation (dans l’espace articulaire) est très limitée, car elle n’assure
même pas un suivi de trajectoire au niveau articulaire et par conséquent ne peut pas assurer un
suivi dans l’espace cartésien.
Suivi de trajectoire dans l’espace articulaire
Pour ce problème, l’objectif est de suivre des trajectoires articulaires temporelles tout en
annulant ou minimisant les vibrations au niveau bu bras flexible à la fin du mouvement désiré.
18
Plusieurs approches ont été proposées pour résoudre ce problème tel que la linéarisation
entrée-sortie, les perturbations singulières et la commande adaptative.
La linéarisation entrée-sortie a connu un grand succès dans le cas des robots rigides. Cette
approche consiste à linéariser la dynamique du système par une rétroaction de la partie non
linéaire. Plusieurs travaux ont utilisé cette approche pour les manipulateurs flexibles (Aoustin,
1994; Siciliano et Book, 1988; Truckenbrodt, 1982). Dans (Siciliano et Book, 1988) , une
linéarisation au sens entrée-sortie a été appliquée pour un système à bras flexible tournant
dans le plan horizontal. Le suivi de trajectoires désirées dans l’espace articulaire est assuré,
mais un sous-système non observable est apparu. Cette dynamique non observable est stable
et elle est associée à la déformation. Malheureusement, cette méthode ne peut pas être
appliquée pour assurer le suivi de trajectoires dans l’espace de travail à cause du déphasage
non minimal.
La technique des perturbations singulières a été aussi appliquée pour la commande des
manipulateurs flexibles (Salehi et Vossoughi, 2008; Siciliano et Book, 1988; Subudhi, 2005).
Cette technique consiste à séparer les variables évoluant dans des échelles de temps différents.
En effet, la dynamique non linéaire des manipulateurs flexibles est divisée en deux parties :
une partie lente qui correspond aux coordonnées généralisées rigides et une partie rapide
correspondant aux coordonnées généralisées flexibles. En profitant de la différence entre les
deux constantes de temps de la partie lente et rapide, un couple pré calculé pour contrôler la
partie rigide et une commande linéaire pour la partie flexible ont été appliqués à un système à
un bras flexible (Siciliano et Book, 1988). L’avantage de cette technique a été prouvé après
une comparaison avec une commande linéaire. Pour que le premier mode reste dominant, ce
dernier doit être inclus dans le sous-système lent. Cette conclusion est vraie si la première
fréquence naturelle est proche de zéro. Cette méthode peut être appliquée à un système à
plusieurs bras flexibles.
La commande adaptative a été également utilisée pour résoudre le problème de suivi de
trajectoire dans l’espace d’articulations (Abiko et Yoshida, 2005; Fareh, Saad et Saad, 2009;
Lih-Chang et Sy-Lin, 1996). Dans (Fareh, Saad et Saad, 2009), les auteurs ont appliqué une
19
commande adaptative robuste pour un robot à un bras flexible tournant dans le plan horizontal
pour suivre une trajectoire désirée dans l’espace d’articulations. Ils ont défini une surface de
glissement s composée des erreurs de suivi de vitesse plus une valeur pondérée de la
dynamique des erreurs de suivi de position. Un couple pré-calculé a été appliqué dans un
premier temps puis une version adaptative a été développée et appliquée. Un bon suivi de
trajectoire a été obtenu. La stabilité de la dynamique des erreurs de suivi a été prouvée en
utilisant la théorie de Lyapunov. La passivité est utilisée dans (Cheong, Chung et Youm,
2000) pour proposer une commande qui assure le suivi de trajectoire dans l’espace articulaire.
Un compromis entre l’annulation des vibrations et la précision du suivi articulaire a été
présent dans les résultats trouvés.
1.2.2.2
Commande dans l’espace cartésien
La propriété de déphasage non-minimal, qui caractérise les modèles des manipulateurs
flexibles lorsque les sorties sont définies dans l’espace de travail, rend le problème de la
commande plus complexe par rapport aux problèmes annoncés précédemment. Pour trouver
une solution à ce problème, le premier obstacle à résoudre est l’inversion de la dynamique des
manipulateurs flexibles. Une fois la dynamique est inversée, la conception d’une commande
permettant d’assurer la stabilité des erreurs de suivi est possible.
L’espace de travail et articulaire sont liés par deux relations : une relation cinématique et une
relation dynamique. La cinématique inverse, utilisée pour les manipulateurs rigides, n’est plus
suffisante pour transformer les trajectoires désirées de l’espace de travail vers l’espace
articulaire. Pour résoudre ce problème, l’idée de définition d’un espace intermédiaire entre
l’espace de travail et celui des articulations a été utilisée dans la littérature (Christoforou,
2000; Saad, 2004; Talebi, Khorasani et Patel, 1999; Wang, 1991; Yang, Krishnan et Ang Jr,
1999). Cet espace est lié avec l’espace de travail par une relation cinématique comme le cas
des manipulateurs rigides. La transformation de trajectoires désirées de cet espace
intermédiaire à l’espace articulaire nécessite une résolution d’une équation différentielle non
linéaire. Dans ce contexte, la méthode quasi-statique (Pfeiffer et Gebler, 1988) est utilisée
20
pour assurer la transformation des trajectoires désirées vers l’espace articulaire. Cette
approche néglige la vitesse et l’accélération des coordonnées généralisées flexibles. Une
méthode itérative, basée sur l’intégration causal-anticausale, a été également développée dans
(Bigras, 2003) pour résoudre le problème de l’inversion de la dynamique. Le théorème de
contraction a été utilisé pour démontrer les conditions de convergence.
Contrairement aux manipulateurs rigides, les actionneurs et les capteurs utilisés pour mesurer
la déformation, dans les manipulateurs flexibles, ne sont pas localisés aux mêmes endroits.
Par conséquent, les techniques d’inversion de la dynamique utilisées pour les robots rigides ne
sont plus applicables à cause de l’instabilité de la dynamique des zéros. Pour contourner ce
problème, plusieurs solutions ont été proposées dans la littérature telle que la technique basée
sur la redéfinition de la sortie non localisée. Le principe de cette technique est la redéfinition
des sorties à commander de façon à ce que la nouvelle dynamique soit à minimum de phase.
Un système est dit à minimum de phase si, dans le cas des systèmes linéaires, tous les zéros
de la fonction de transfert sont dans le demi-plan gauche et dans le cas des systèmes non
linéaires, la dynamique des zéros est stable. Dans (Saad, Saydy et Akhrif, 2000b), l’auteur a
utilisé la méthode de redéfinition de la sortie pour contrôler l’extrémité d’un système à un
bras flexible tournant dans le plan vertical. Il a utilisé la passivité pour sélectionner la sortie la
plus proche de l’extrémité du bras pour laquelle la dynamique interne soit bornée. La sortie
trouvée est paramétrisée par un paramètre réel. Après l’inversion de la dynamique, il a utilisé
un contrôleur strictement passif pour assurer un suivi de trajectoire dans l’espace de travail.
Cette méthode a été bien appliquée à un système à un seul bras flexible, mais il est intéressant
de voir sa performance pour des manipulateurs à plusieurs bras flexibles. La technique de
redéfinition de sorties est également utilisée pour définir une sortie non colocalisée pour un
système à un bras flexible dans (Wang, 1991). Le système devient passif avec la nouvelle
sortie si l’inertie concentrée du moteur est assez importante. Cette nouvelle sortie est définie
comme étant la différence entre la position articulaire multipliée par la longueur du bras et la
déformation à l’extrémité.
21
Une fois le problème de l’inversion dynamique est résolu, les stratégies de commande
peuvent être utilisées pour assurer un bon suivi de trajectoires dans l’espace de travail. Pour
une classe des manipulateurs dont le dernier bras est flexible, une stratégie de commande qui
assure la stabilité des erreurs de suivi de trajectoire dans l’espace virtuel a été proposée dans
(Bigras, 2003). Cette stratégie de commande est composée d’une loi de commande
linéarisante par rapport aux articulations ainsi que deux retours d’état linéaire. Les gains des
contrôleurs, qui assurent la stabilité exponentielle des erreurs de suivi, sont calculés en
utilisant le théorème de passivité, l’étude de la stabilité des systèmes hiérarchiques et
l’inégalité matricielle linéaire des systèmes (Bigras, 1997). Plusieurs hypothèses ont été
supposées dans ce travail. Cette méthode n’est pas applicable directement à un système à
plusieurs bras flexibles et elle n’a pas été validée expérimentalement.
La commande adaptative, appliquée pour les robots rigides (Slotine et Weiping, 1987), a été
modifiée dans (Fareh, Saad et Saad, 2009; Kelkar et Joshi, 2004; Lih-Chang et Sy-Lin, 1996)
pour prendre en considération la flexibilité au niveau des manipulateurs flexibles. Une sortie
non localisée la plus proche de l’extrémité a été sélectionnée dans (Saad, Saydy et Akhrif,
2000a; Saad, Saydy et Akhril, 2000; Saad, Saydy et Akhrif, 2000b) pour assurer un bon suivi
dans l’espace de travail et une dynamique interne stable. Les auteurs ont étudié la robustesse
de la loi de commande face aux variations de la charge et de l’inertie du moteur pour un
système à un bras flexible. Dans (Wang et Vidyasagar, 1991), les auteurs ont utilisé un
observateur non linéaire pour estimer les variables d’état de la déformation. Pour réduire les
vibrations résiduelles, une commande optimale, basée sur un filtre de Kalman, a été utilisée
dans (Kwon, 2006). La robustesse par rapport à la variation des paramètres est assurée dans ce
cas.
Dans (Moallem, Patel et Khorasani, 2001a), les auteurs ont utilisé la méthode des
perturbations singulières pour développer une commande basée sur la dynamique inverse tout
en assurant le suivi de l’extrémité d’un robot à un bras flexible. Une faible erreur de suivi est
obtenue et la performance robuste est assurée. Dans (Wang et al., 1996), les auteurs ont
développé, dans un premier temps, la dynamique d’un manipulateur à deux bras flexibles. Des
22
nouvelles sorties sont définies pour remplacer les coordonnées généralisées rigides dans le
modèle dynamique. Ces sorties représentent les angles formés par les extrémités des deux
bras. Par la suite, ils ont utilisé une linéarisation entrée-sortie pour linéariser partiellement le
modèle dynamique. Une commande non linéaire par retour d’état a été développée pour
stabiliser la dynamique interne du nouveau système. Cette loi de commande peut être
appliquée à un système à plusieurs bras flexibles.
Une stratégie de commande distribuée a été développée dans (Fareh, Saad et Saad, 2013b)
pour un manipulateur à deux bras flexibles. Cette stratégie consiste à mettre le modèle
dynamique sous forme de deux sous-systèmes interconnectés. Le premier sous-système
contient le deuxième bras flexible ainsi que l’articulation associée. Le deuxième sous-système
contient la première paire articulation-bras flexible. La loi de commande du deuxième soussystème est tout d’abord développée en supposant que le premier sous-système est stable.
Puis, en utilisant la même procédure, la loi de commande du premier sous-système est
déduite. Juste la stabilité locale a été prouvée en utilisant l’approche de Lyapunov.
1.3
Méthodologie
La stratégie de commande distribuée que nous proposons concerne les manipulateurs rigides
et flexibles. La phase de modélisation est nécessaire pour déterminer le modèle mathématique
des manipulateurs et, par la suite, déduire certaines propriétés qui seront utiles pour la
conception des lois de commande.
Pour développer une nouvelle stratégie de commande pour les manipulateurs rigides et
flexibles, il est intéressant de commencer le développement et l’application à des
manipulateurs rigides, qui représentent la majorité des manipulateurs utilisés dans l’industrie.
De plus, la commande de ce type de manipulateurs est beaucoup moins compliqué par rapport
des manipulateurs flexibles. En effet, les manipulateurs rigides sont totalement actionnés et à
minimum de phase lors du contrôle de l’extrémité. Pour la validation, deux approches sont
testées sur un robot à 7 ddl assurant la poursuite dans l’espace de travail: une commande
23
distribuée et sa version adaptative. Puis, en augmentant le niveau de complexité, cette
stratégie de commande est développée et appliquée aux systèmes sous-actionnés
(manipulateurs flexibles) pour suivre les trajectoires désirées dans l’espace articulaire et
minimiser les vibrations au niveau des bras flexibles. Deux versions de commande sont
développées et implémentées en temps réel sur un robot à deux bras flexibles: une commande
distribuée et sa version adaptative. Après avoir appliqué l’idée principale sur les
manipulateurs rigides et les manipulateurs flexibles dans l’espace articulaire, nous passons à
l’application aux manipulateurs flexibles dans l’espace de travail qui présente la tâche la plus
compliquée. Deux approches sont développées dans ce cas, la première assurant la stabilité
locale et la deuxième est plus générale qui assure la stabilité globale. D’une façon plus
détaillée, les étapes suivies sont présentées ci-dessous :
La première étape consiste à développer une stratégie de commande distribuée pour les
manipulateurs rigides assurant la stabilité des erreurs de suivi dans l’espace de travail.
Premièrement, la dynamique du manipulateur est mise sous forme d’un ensemble des soussystèmes interconnectés. Chaque articulation représente un sous-système. Cette stratégie de
commande utilise, dans un premier temps, la cinématique inverse pour transformer les
trajectoires désirées de l’espace de travail vers l’espace articulaire. Ensuite, une commande
distribuée est développée pour assurer le suivi de trajectoires dans l’espace articulaire. Cette
stratégie de commande consiste à commander et stabiliser le dernier sous-système tout en
supposant que le reste des articulations est stable. Puis, nous passons à la commande et la
stabilisation de l’avant-dernier sous-système jusqu’à la première articulation en utilisant la
même stratégie. La transformation de trajectoire de l’espace articulaire à l’espace de travail
est assurée par la cinématique directe. L’étude expérimentale et l’implémentation en temps
réel sur un robot rigide à 7 ddl sont nécessaires pour valider cette nouvelle approche.
Dans la deuxième étape, les paramètres du manipulateur rigide sont supposés inconnus et la
loi de commande distribuée développée pour les robots rigides dans la première étape doit
contenir un processus d’adaptation pour estimer ces paramètres. Une commande adaptative
est ainsi proposée. En effet, en commençant par le dernier sous-système (articulation) tout en
24
supposant que le reste des articulations est stable, on estime les paramètres du système
existant dans l’équation du mouvement du dernier sous-système et la loi de commande est
ainsi développée en fonction de ces paramètres estimés. En reculant vers l’arrière (avant
dernière articulation), on suppose que le reste des articulations est stable et on estime les
paramètres du système existant dans l’équation du mouvement de cette articulation. La loi de
commande est déduite en fonction des anciens paramètres estimés pour l’articulation
précédente et les nouveaux paramètres estimés pour la présente articulation. La même
procédure est utilisée, au rebours, pour estimer les paramètres et développer les lois de
commande adaptative. La validation expérimentale sur un manipulateur rigide à 7 ddl est
présente pour montrer l’apport et la performance de cet algorithme.
En augmentant le degré de difficulté, la troisième étape consiste à modifier et étendre la
stratégie de commande distribuée pour l’appliquer aux systèmes sous-actionnés à savoir les
manipulateurs flexibles. De plus pour le suivi de trajectoires, cette stratégie de commande doit
minimiser les vibrations des bras flexibles. Pour atteindre cet objectif, le modèle dynamique
des manipulateurs flexibles est réorganisé, dans un premier temps, pour prendre la forme
d’un ensemble de sous-systèmes interconnectés. Chaque sous-système contient une
articulation et son bras flexible associé. Puis, la loi de commande de chaque sous-système est
développée en supposant que le reste de sous-systèmes est stable. Cette stratégie est appliquée
à partir du dernier sous-système jusqu’au premier. La stabilité globale de tout le système est
assurée par l’approche de Lyapunov. L’implémentation en temps-réel sur un robot à deux bras
flexibles est présente pour montrer le niveau de performance de cette loi de commande.
La quatrième étape consiste à modifier la stratégie de commande distribuée développée pour
les manipulateurs flexibles pour être applicable dans le cas où les paramètres sont inconnus.
L’objectif est de développer la version adaptative de la commande distribuée assurant le suivi
de trajectoires dans l’espace articulaire et minimisant les vibrations. Pour le ième sous-système,
constitué de la ième articulation et le bras flexible associé, la loi de commande est développée
en fonction de ses propres paramètres estimés ainsi que tous les paramètres déjà estimés pour
25
les sous-systèmes de niveau supérieur. La stabilité globale est assurée par l’approche de
Lyapunov. La validation expérimentale est présente pour un robot à deux bras flexibles.
Jusqu’à présent, une stratégie de commande distribuée pour les manipulateurs rigides assurant
la poursuite dans l’espace de travail a été développée. Puis, elle a été modifiée pour
l’appliquer sur les manipulateurs flexibles assurant la poursuite dans l’espace articulaire et la
minimisation des vibrations des bras flexibles. Il sera intéressant de pousser le niveau de
difficulté et essayer cette stratégie de commande aux systèmes à déphasage non minimal tel
que le suivi de trajectoires dans l’espace de travail pour les manipulateurs flexibles. Pour
l’inversion de la dynamique, un espace intermédiaire nommé espace virtuel, entre l’espace de
travail et l’espace articulaire, est utilisé pour transformer la trajectoire désirée de l’espace
cartésien vers l’espace articulaire. L’approche quasi-statique est utilisée pour le passage de
l’espace virtuel à l’espace articulaire. Pour surmonter le problème de déphasage non-minimal,
la technique de redéfinition de la sortie est utilisée pour sélectionner une sortie la plus proche
possible de l’extrémité assurant une dynamique interne bornée. Une étude de stabilité de la
dynamique interne (ou dynamique des zéros) en se basant sur la passivité est utilisée pour
déterminer la valeur critique du paramètre caractérisant cette sortie paramétrisée. Une loi de
commande basée sur l’approche de linéarisation par retour d’état est proposée pour assurer la
stabilité locale des erreurs de suivi.
La sixième étape consiste à étudier la stabilité globale des erreurs de suivi dans l’espace de
travail d’un manipulateur à deux bras flexibles en utilisant la loi de commande des robots
rigides modifiée. La transformation des trajectoires désirées de l’espace de travail vers
l’espace articulaire est assurée par l’espace virtuel et l’approche quasi-statique. La technique
de redéfinition de la sortie est utilisée pour résoudre le problème de non-minimum de phase.
La loi de commande assurant la stabilité globale est développée en généralisant celle
développée dans la deuxième étape.
26
1.4
Originalités des travaux
Cette recherche porte sur le développement des lois de commande non linéaire permettant
d’assurer la stabilité de la dynamique des erreurs de suivi pour des manipulateurs rigides et
flexibles.
Suite à la revue de littérature, malgré que plusieurs travaux portent sur la commande des
manipulateurs, peu d’entre eux portent un regard précis sur le suivi de trajectoire dans
l’espace de travail tout en assurant la stabilité globale de la dynamique de l’erreur. De plus,
parmi les méthodes de commande assurant le suivi dans l’espace de travail, très peu d’entre
elles profitent de la structure spécifique des manipulateurs pour la conception des lois de
commande distribuées. Souvent, les méthodes de commande utilisées pour les manipulateurs
offrent une seule loi de commande pour toutes les articulations et la dynamique des
manipulateurs est vue comme étant un seul système MIMO ce qui complique
l’implémentation en temps-réel.
Par contre, dans le cas des applications industrielles, les contrôleurs se basent sur l’idée de
colocalisation et chaque articulation est commandée par son propre contrôleur et la
dynamique est regardée comme un ensemble de sous-systèmes interconnectés. Pour le suivi
de trajectoires dans l’espace de travail, la commande des manipulateurs flexibles est différente
à celles des manipulateurs rigides, car, dans ce cas, le système devient à non minimum de
phase et sous actionné.
À la meilleure de la connaissance de l’auteur, cette recherche a donné lieu aux contributions
suivantes :
1. Conception d’une nouvelle stratégie de commande distribuée pour les manipulateurs
rigides assurant la stabilité globale des erreurs de suivi dans l’espace de travail. Une
validation expérimentale de cette stratégie, sur un robot rigide à 7 DDL, est présentée dans
le chapitre 2 pour montrer la performance de cette stratégie;
27
2. Modification de la loi de commande proposée dans le premier point pour assurer la
robustesse de la loi de commande distribuée en développant la version adaptative assurant
la stabilité globale de la dynamique des erreurs de suivi. Pour montrer l’éfficacité de cette
approche, l’implémentation en temps-réel est présentée dans le chapitre 3;
3. Conception d’une stratégie de commande distribuée pour les manipulateurs à bras flexibles
pour assurer le suivi de trajectoire dans l’espace articulaire et minimiser les vibrations des
bras flexibles. La validation expérimentale sur un robot à deux bras flexibles est présente
dans le chapitre 4;
4. Développement de la version adaptative de la loi de commande proposée dans (3) pour
assurer la dynamique des erreurs de suivi dans l’espace articulaire et minimiser les
vibrations des bras flexibles. L’implémentation de cet algorithme sur un robot à deux bras
flexibles est présente dans le chapitre 5;
5. Conception d’une commande distribuée pour un manipulateur à deux bras flexibles
assurant le suivi de trajectoire dans l’espace de travail. l’espace virtuel et l’approche quasistatique sont utilisés pour le problème de l’inversion de la dynamique. Pour le problème de
déphasage non-minimal, la technique de redéfinition de sortie est utilisée. Un contrôleur
strictement passif, assurant la stabilité locale, est également utilisé dans le chapitre 6;
6. Généralisation de la stratégie de commande proposée dans (1) pour assurer la stabilité
globale de la dynamique des erreurs de suivi d’un robot à deux bras flexibles. Les résultats
de simulation sur un robot à deux bras flexibles montrant un bon suivi dans l’espace de
travail sont présentés dans le chapitre 7.
CHAPITRE 2
ARTICLE 1: WORKSPACE DISTRIBUTED REAL-TIME
CONTROL OF RIGID MANIPULATORS
Fareh Raouf1 Saad Mohamad2 and Saad Maarouf1
1
Electrical Engineering Department, Université du Québec, École de technologie supérieure,
1100, rue Notre-Dame ouest, Montréal (Québec), H3C 1K3, Canada
2
School of Engineering, Université du Québec en Abitibi-Témiscamingue, 445, boul. de
l'Université, Rouyn-Noranda (Québec), J9X 5E4
Article publié à la revue « Journal of Vibration and Control » en Novembre 2012.
Abstract
This paper proposes a novel distributed nonlinear controller for a hyper redundant articulated
nimble adaptable trunk (ANAT) robot to track a desired trajectory in the robot’s workspace.
The distributed control strategy consists in controlling the last joint by assuming that the
remaining joints are stable and follow their desired trajectories. Then, going backward to the
(n-1)-th joint, the same strategy is applied, and so on until the first joint. The proposed
control law guarantees the global asymptotical stability of the tracking errors. This global
stability is proved using Lyapunov theory. The proposed approach is implemented in real
time on a 7 DOF ANAT robot. Experimental results and the comparison with the computed
torque approach show the effectiveness of the approach and good tracking performance in
the workspace.
Key Words: Distributed control, ANAT robot, workspace tracking, stability analysis.
30
2.1
Introduction
In the past few decades, many authors have considered the tracking control problem in the
workspace of manipulators because the tasks, defined in the workspace (painting, assembly
...), are usually performed by the end effectors. Robot manipulators, with their nonlinear
dynamics, present a challenging control problem and have been the focus of attention of the
control community in the literature. Indeed, multi-link manipulators can be regarded as: 1)
one MIMO system and a single controller designed to control all joints of the manipulator or
2) interconnected subsystems (joints) with constraints on information flow between these
subsystems.
In the case of a one MIMO system, many control strategies were proposed for robot
manipulators to solve the tracking control problem in the joint space or in the workspace. The
computed torque method (Dawson, Grabbe et Lewis, 1991; Krstic, 2004; Li, Tso et Poo,
1998; Yim et Singh, 1993) is widely used and very successful in controlling robot
manipulators. The nonlinearity of the dynamical systems is cancelled using the systems’
mathematical model. However, due to the requirement of precise knowledge of the system
structure and parameters, the computational task is very extensive. Sliding mode control
(Asada et Slotine, 1986; Man et al., 2011; Mu, 2011) is also widely used for controlling robot
manipulators. This approach is based on switching surface in order to drive the system state
variables of tracking error to the origin. When the system state intersects with the sliding
surface, it becomes more sensitive to variations of parameters. Exact knowledge of the
system parameters is not required for this method; it only requires the upper bound of
uncertainty. This method is applied in (Asada et Slotine, 1986) and oscillations of the control
activity (chattering problem) appeared. To reduce the chattering level of the control input, a
sliding surface with a new reaching law that contains an exponential term is used in (Fallaha
et al., 2011). For n degrees-of-freedom robot manipulators, the backstepping approach and
passivity theory were used in (Lotfazar et Eghtesad, 2007b) to solve a tracking problem in
the presence of disturbance friction and parameter uncertainty.
31
In the previous nonlinear control schemes, the robot manipulators are controlled by a single
controller as
one MIMO system. Unfortunately, the real-time implementation of these
controllers in industrial control systems is not easy (Fu, Gonzalez et Lee, 1987) due to the
complexity of the control structures. To overcome this problem, the dynamics of robot
manipulators can be viewed as interconnected subsystems (joints) and most industrial control
systems can be solved using independent controllers for each joint. There exist many
advantages of this control strategy, such as simplicity of implementation, fault tolerance,
reduction of computational effort, etc.
Many control schemes were used in this context. A distributed control was used in (Fareh,
Saad et Saad, 2012b; 2012 ; 2012
; Fareh et al., 2011) to solve the tracking control
problem.This distributed control strategy consists in controlling the n joints of the
manipulator starting from the last joint, then going backward until the first joint. At each
step, the corresponding joint is controlled assuming that the remaining joints are stable and
follow their desired trajectories. In (Fareh, Saad et Saad, 2012 ; Fareh et al., 2011), the
system parameters are assumed to be perfectly known and the control law is based on
feedback linearization and sliding mode approaches, respectively. A good tracking of
workspace trajectory was obtained for a 5 DOF ANAT robot. An adaptive version was
presented in (Fareh, Saad et Saad, 2012 ) to track a desired trajectory in the joint space for a
3 DOF ANAT robot. In these studies, local stability is guaranteed. However, the global
stability is not proved. Decentralized control was also used in (Hsu et Fu, 2003; Jian-Qi et
Wend, 1999; Osman et Roberts, 1994; Sadati et Elhamifar, 2005; Vukobratovic et Karan,
1996). In (Osman et Roberts, 1994) the authors applied a decentralized control to solve
robots’ tracking control problem. They only considered a particular class of manipulators
where joints’ inputs don’t have a control coupling. An Independent Joint Control where each
joint is controlled by a PID controller is proposed in (Spong et Vidyasagar, 1989). Each
subsystem is treated as a linear system and the nonlinear coupling effects are considered as
disturbances to be rejected by the controller. This approach has a low performance for
tracking purposes at high velocities.
32
In this work, we propose a novel nonlinear distributed controller to solve the tracking control
problem in the workspace for a 7-DOF ANAT robot. The tracking in the workspace is first
transformed into the joint space using inverse kinematics. The inverse kinematics problem is
then solved using the pseudo-inverse of the Jacobian. The distributed control strategy
consists of controlling the last joint while assuming that the remaining joints are stable and
follow their desired trajectories. Then, going backward to the (n-1)-th joint, the same strategy
is applied, i.e. the (n-1)-th joint is controlled while assuming the remaining joints follow their
desired trajectories, and so on until the first joint. The global asymptotical stability is proved
using Lyapunov theory. The distributed strategy is tested on the ANAT robot.
The paper is organized as follows. Section 2.2 presents the model of the ANAT robot and
describes its features. Section 2.3 proposes the distributed control strategy and presents
global stability analysis. Experimental results are presented in Section 2.4. Finally, a
conclusion is given in Section 2.5.
2.2
Modeling of the ANAT Robot
The system considered in this work is shown in Figure 2.1. It is a hyper redundant articulated
nimble adaptable trunk (ANAT) robot. It has seven degrees of freedom: the first joint is
prismatic, followed by three redundant rotary joints (joints 2, 3, and 4), and an end
effector that consists of three rotary joints (joints 5, 6, and 7).
33
Figure 2.1 ANAT robot and axes.
The Denavit-Hartenberg parameters of the ANAT robot are given in Table 2.1.
Table 2.1 Denavit-Hartenberg parameters of ANAT robot
Tiré de (Le Boudec, Saad et Nerguizian, 2006)
Joints
0
1
0
2
0
3
0
L
0
4
0
L
0
5
0
L
6
⁄2
7
0
0
0
− ⁄2
0
−
For a redundant robot, assuming a collision-free space, the velocities in the workspace and
the joint space are linked by the generalized inverse Jacobian matrix as follows:
=
(
)
(2.1)
34
where
is the joint space velocity vector and  is the Cartesian
is the Jacobian matrix,
velocity vector. The position in the joint space q is given from
using an integrator.
The position of the tool relative to the base reference is calculated using the
homogeneous transformation matrices (Le Boudec, Saad et Nerguizian, 2006) and is given
by:
+
=
+
−
= sin( ) ,
where
= cos( ) ,
+ [
+
+ ]+
+ [
+
+ ]
+ +
= sin
+
,
= cos
(2.2)
+
and
are given in
Table 1.
Using Lagrange equations, the manipulator’s equation of motion is given by:
( ) + ( , ) + ( )=
where
ℛ
×
(2.3)
∈ ℛ denotes the vector of the generalized positions in the joint space,
( )∈
is a symmetric positive definite inertia and mass matrix, ( , ) is the Coriolis and
centrifugal forces vector,
torque vector, and finally
( ) ∈ ℛ is a vector of gravity terms,
and
∈ ℛ is the joint input
are the joints’ velocity and acceleration vectors
respectively.
The model has the following properties that will be used in the stability analysis of the
developed control law:
P1. Since the inertia and mass matrix
( ) is a symmetric positive definite matrix then we
can deduce that the diagonal elements are positive:
( ) > 0; for = 1 …
P2.
(2.4)
( ) − 2 ( , ) is a skew symmetric matrix. Then, this propriety is preserved for the
diagonal elements of
( ) and ( , ) and we can write,
35
( )−2
( , ) = 0; for = 1 …
(2.5)
The objective of this work is to track a desired trajectory defined in the workspace of the
ANAT robot. Three steps are considered to achieve this objective. The inverse kinematics of
the redundant robot is used, in the first step, to transform the desired trajectory from the
workspace to the joint space. In the second step, a distributed control law, is developed to
ensure tracking of the desired trajectory in the joint space obtained in the first step. In the
third step, the direct kinematics is used to transform trajectories from the joint space to the
workspace.
2.3
Distributed Control Strategy
The strategy of the distributed control consists in controlling the last joint by assuming that
the remaining joints are stable and follow their desired trajectories. Then, going backward to
the (n-1)-th joint, we assume that the remaining joints (1,…, n-2, n) follow their desired
values. By following the same strategy, the control laws of the remaining joints are
developed. At each step, the control law is developed. The control law of the n joints and the
stability analysis are developed in this section.
2.3.1
Control law
The dynamical model of the ANAT robot (2.3) can be written as follows:
( )
⋮
( )
where
( )=[
…
⋮ +
( , )
⋮
( , )
], and
⋮ +
( , )=[
( )
⋮
=
( )
…
⋮
(2.6)
].
When controlling the i-th joint, we assume that the remaining joints follow their desired
trajectories. New generalized coordinates are then defined where the i-th coordinate is
controlled and the remaining coordinates follow their desired trajectories such that:
36
=
;
=
=
;
;
=
=
;
for =
=
for
(2.7)
≠
To control the last joint, the remaining joints (1,…, n-1) are assumed to be stable and follow
their desired trajectories. The equation of movement of the n-th joint becomes:
(
)
+
,
)=[
(
)…
,
…
+
(
)
…
(2.8)
)=
where:
(
,
=
(
,
(
)]
…
(2.9)
,
and the position, the velocity, and the acceleration are given by:
=[
…
(
)
]
(2.10)
=[
…
(
)
]
(2.11)
=[
…
(
)
]
(2.12)
Note that the first (n-1) coordinates are the desired ones, and the n-th coordinate is the
controlled one.
The control law for the n-th joint is proposed as follows:
=
where
+
and
+
(
)
are positive gains,
is its time derivative,
=
∗
+
∗
−
=
,
+
+
,
= [0 … 0
(
(2.13)
)−
=[
] , and
element of the proposed control law is defined using the Taylor series as:
…
(
=
)
] ,
. The last
37
=
where
∗
=
+
+
+
(2.14)
∗
+
,
( )
=
+
( )
(2.15)
( )
=
( , )
=
,
, and
( ),
( )
( , )
+
( )
=
+
+
+
( )
( ,
)
(2.16)
(2.17)
are the high order terms given in Appendix of the Taylor series for
( ), and
( ), respectively (Bartle et Sherbert, 2000) (See Appendix for more
detail).
Then, we apply the same strategy by going backward from the (n-1)-th joint until the first
joint. Taking for example the i-th joint, the equation of movement is given by the following
expression:
( )
where:
+
,
+
( )=
(2.18)
38
( )…
( )=[
,
=
,
( )
…
( )]
…
,
…
(2.19)
,
and the new generalized coordinate is given by:
=[
…
(
)
(
)
…
]
(2.20)
=[
…
(
)
(
)
…
]
(2.21)
=[
…
(
)
…
]
(2.22)
(
)
Note also that the i-th element is the controlled coordinate and the remaining ones are the
desired coordinates. Then, we propose the following control law:
=
where
∗
=
,
+
=
and
=[
+
( )
+
∗
+
,
+
(2.23)
( )−
are positive gains,
…
(
)
∗
(
)
…
of the n joints and the desired velocity of the i-th joint,
=
+
+
]
∗
×
=
has the desired accelerations
+
,
∗
+
(2.24)
and
( )
=
=
( , )
+
+
( , )
( )
+
(2.25)
( ,
)
(2.26)
39
( )
=
,
, and
+
( )
(2.27)
are the high order terms of the Taylor series.
The i-th control law is shown in Figure 2.2, where
,
=[
=
( )
…
(
∗
+
)
= [0 … 0
Then,
=
+
,
0
(
0…
+
)
…
0]
.
Figure 2.2 The i-th control law.
( )
]
(2.28)
(2.29)
40
The distributed control strategy can be presented in Figure 2.3
n-th control
law
(
)
(n-1)-th
−1
−1
Control law
i-th
Control law
1
first
1
Control law
1
Figure 2.3 Distributed control strategy.
2.3.2
Global Stability Analysis
In this section, the global stability of the feedback system is presented. In a compact form,
the n control laws (2.23) can be written as follows:
=
+
+
( )
∗
+
,
+ ( )−
(2.30)
41
=[
where
]
…
=
( ))
(
( )=[
(
)…
∗
;
(
×
)]
;
×
=[
∗
matrix of
…
∗]
×
(
)
,
=
∗
;
∗
…
×
×
=
;
(
,
∗
( )
×
;
( ,
))
+
+
×
are given in (2.23).
;
+
=
(2.31)
+
is the diagonal matrix of
. Then
∗
and
;
=
∗
∗
=
=
;
×
( )=
×
.
,
;
is the non-diagonal
and
are given in (25-27).
Substituting the control law (2.30) in the dynamical system (2.3), the error dynamics of the
system can be written as follows:
+
( )
+
∗
−
( )
+
,
− ( , )
+
( )− ( )
(2.32)
−
=0
Proposition 1
The error dynamics (2.32) is equivalent to the following equation:
( ) + ( , ) +
+
( ) +
=0
(2.33)
Proof: see Appendix.
Proposition 2
The dynamical system (2.3) with the feedback control (2.30) is globally asymptotically
stable.
To prove the asymptotical stability, the following Lyapunov function is proposed:
42
=
1
2
( ) +
1
2
(2.34)
Taking the time derivative of ( ), we get
( )=
=
( ) +
( ) +
− ( , ) −
( ) +
−
+
( ) +
Using property P2 given in Section 2.2, we can write:
−
( , ) +
( ) =
( )−2 ( , )
=0
Then, we can conclude that:
( )=−
Because
, and
+
( )
( ) are positive definite diagonal matrices, then
(2.35)
( ) is negative.
Using Barbalat lemma (Spong et Vidyasagar, 1989) the error dynamics is globally
asymptotically stable.
2.4
Experimental Results
In this section, the controllers presented in the previous sections are tested on the ANAT
robot (Figure 1). Simulink with Real-Time Workshop (RTW) of Mathworks® is used for the
implementation of the proposed controllers. The national Instruments PCI 6024E digital card
is chosen for the real-time target. The ATMEGA 16 microcontrollers are used to translate the
information to serial peripheral interface.
Using Matlab/Simulink, the trajectory in the workspace is first defined. The inverse
kinematics is used to transform the desired trajectory from the workspace to the joint space.
Then, using the desired trajectory of the joints and their real values from the
43
microcontrollers, the control algorithm executes and sends the torques to the
microcontrollers. The microcontrollers translate the control signal into a pulse width
modulation (PWM) signal. The latter is applied to the H-bridge drive of the actuators of the
ANAT robot. The current of each actuator is measured by a current sensor located in the Hbridge drive. The microcontrollers process the digital information of the actuators’ encoders
and send the angles’ positions to Simulink. The real-time setup is given in Figure 2.4.
ANAT
robot
SIMULINK
Power
Workspace
c
u
r
r
e
n
t
Inverse
Joint
Control
e
n
c
o
d
e
r
P
W
M
µ
Torques
µ
algorithm
Angles
µ
Microcontrollers
Figure 2.4 Real-time setup.
The ANAT robot is used to test the control strategy performance. Joints 2, 3, 4, and 5 are
used but first, the sixth and seventh joints are locked. The controllers’ gains are chosen as:
= 25,
= 20, = 10, = 10; = 1.85,
= 2,
= 10,
= 10.
44
In the section 3, the theoretical development of the control law that ensures the global
stability is given in the general case i.e. for any higher order. In the real-time implementation,
a finite order of Taylor series is fixed. In this section, and for simplicity, the Taylor series is
=
limited to the first order. Then,
=
= 0.
The experimental results are shown in Figure 2.5-2.10.
1
0
jo in t 3 (ra d )
jo in t 2 (ra d )
0.5
-0.5
-1
0
10
20
40
50
60
jo in t 5 (ra d )
0
0
10
20
30 40
time (s)
(c)
0
20
50
60
70
40
60
40
time (s)
(d)
60
(b)
0.5
0.5
-0.5
0
-0.5
70
(a)
1
jo in t 4 (ra d )
30
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
20
Figure 2.5 Joint space tracking. (a) joint 2, (b) joint 3, (c) joint 4 and (d) joint 5.
45
0.02
error joint 3 (rad)
error joint 2 (rad)
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
0
10
20
30
50
60
-0.04
70
0
error joint 5 (rad)
0
20
30
40
50
60
70
30
40
time (s)
(d)
50
60
70
0
-0.01
-0.02
10
20
0.01
0.02
0
10
(b)
0.04
-0.02
-0.02
(a)
0.06
error joint 4 (rad)
40
0
30
40
time (s)
(c)
50
60
70
0
10
20
Figure 2.6 Joint space tracking errors. (a) joint 2, (b) joint 3, (c) joint 4 and (d) joint 5.
0.4
0.65
xd
x
0.6
0.55
0
20
4
40
x 10
y -error (m )
0
-2
0
0.2
yd
0.1
y
0
10
20
10
20
30 40
time (s)
(c)
50
60
70
30
40
50
60
30
40
time (s)
(d)
50
60
70
(b)
0.03
2
-4
0.3
0
60
(a)
-3
x -error (m )
y -pos ition (m )
x -pos ition (m )
0.7
0.02
0.01
0
-0.01
0
10
20
Figure 2.7 Workspace tracking. (a) x-tracking, (b) y-tracking, (c) x-tracking error and
(d) y- tracking error.
70
46
z (m)
1
0
-1
0.4
0.3
0.2
0.1
y (m)
0
0.6
x (m)
0.58
0.68
0.66
0.64
0.62
Figure 2.8 Workspace tracking.
When the initial tracking error is different to zero, the workspace tracking and the tracking
error in the workspace are given in Figure 2.9.
1
z
0
-1
0.3
0.2
0.1
0
y
-5
error x(t)
10
x 10
-0.1
0.55
0.65
0.6
0.7
0.75
x
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
60
70
40
50
60
70
(a)
0.06
error y(t)
0.04
0.02
0
-0.02
0
10
20
30
(b)
time (s)
Figure 2.9 Workspace tracking with another initial point.
47
To show the effectiveness of the previous control strategy, the computed torque approach
(Slotine et Li, 1991) is used for the ANAT robot. Figure 2.10 shows the experimental results
0.03
0.15
0.02
0.1
error joint 3 (rad)
error joint (rad)
for the computed torque approach using the same desired trajectory.
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
0
20
40
time (s)
0.05
0
-0.05
-0.1
60
0
20
40
time (s)
(a)
60
(b)
0.05
0.04
error joint 5 (rad)
error joint 4 (rad)
0.03
0
0.02
0.01
0
-0.01
-0.05
0
10
20
30
40
time (s)
50
60
-0.02
70
0
20
(c)
40
time (s)
60
(d)
0.03
0.04
0.02
0.03
0.01
y-error
x-error
0.02
0.01
0
0
-0.01
-0.01
-0.02
-0.02
-0.03
-0.03
0
10
20
30
40
time (s)
(e)
50
60
70
-0.04
0
10
20
30
40
time (s)
50
60
(f)
Figure 2.10 Tracking errors for the computed torque. (a) joint 2, (b) joint 3
(c) joint 4, (d) joint 5, (e) x-position and (f) y-position.
70
48
For the distributed control strategy, the tracking trajectories of the second, third, fourth and
fifth joints are shown in Figure 2.5. Good tracking is obtained in the joint space. This good
tracking is confirmed in Figure 2.6, which shows the tracking errors in the joint space.
However, the objective of this work is the tracking in the workspace. Using the direct
kinematics, good tracking of x(t) and y(t) trajectories in the workspace is shown in Figure
2.7. The tracking errors presented in Figure 2.7 show a small error in the workspace, less
than 2mm for x(t) and 10 mm for y(t). Finally, Figure 2.8 shows good tracking in x-y-z
workspace. Using the computed torque approach and the same desired trajectory, Figure 2.10
shows the tracking errors in the joint space. A good tracking in workspace is also obtained in
Figure 2.9 by changing the initial point. According to the experimental results for the four
joints affected by the workspace trajectory, the resulting tracking error of the computed
torque method is greater than that found in the distributed approach. This illustrates the
effectiveness of the proposed approach.
2.5
Conclusion
In this paper, a novel nonlinear distributed control strategy is proposed for rigid manipulators
to track a desired trajectory in the workspace. The distributed control strategy consists in
starting by controlling the last joint while assuming that the remaining joints are stable. Then,
we follow the same strategy backward until the first joint. Lyapunov theory is used for global
stability analysis of the feedback system. The controller is tested on a 7-DOF hyper
redundant articulated nimble adaptable trunk (ANAT) robot to track a desired trajectory in
the workspace. The experimental results were compared with the well-known computed
torque method and showed good tracking in the workspace, which demonstrates the
effectiveness of the proposed distributed control strategy.
Funding
This research was supported by the Natural Sciences and Engineering Research Council
(NSERC) of Canada under the Discovery Grants Program.
49
2.6
Appendix
Proof of proposition 1:
In this section, we study the error dynamics given by (2.33). In the first step, we investigate
( )
the following elements of the error dynamics:
( , )
∗
( )
−
,
,
−
( )− ( ) .
and
For the first element, we can write:
( )
∗
( )
⋮
( )
where
( )
∗
and
∗
−
−
( )
0
( ) =
( )
⋮
( )
⋯
⋱
⋯
0⋯
⋮
⋱
0
⋯0
0
∗
⋮
0
( )
(
⋮ =
)
⋮
∗
(2.36)
∗
( )
−
⋮
) ∗−
(
−
( )
are given in (2.6) and (2.23). Taking for example the i-th term, we get:
( ) =
( )
∗
( )
−
( )
+
−
( )
(2.37)
Using Taylor series, we can write:
( )=
where
( )+
( ) ( −
( ) is the gradient of
matrix. Then, we can write:
)+
1
( −
2!
)
evaluated at
( )( −
=
and
)+⋯
( ) is a Hessian
50
( )=
( )+
( )
[
⋯
]
…
⋮
(
(
=
( )−
=
( )−
where
=∑
( )
( )
=
follows:
+
−
( )−
( )−
=
( )−
where
=∑
Taylor series for
⋮
)
)
( ) and
)
(
)
+
( )
is the remaining terms
given as
( )
( )+∑
( )
(
( )
Using the same strategy of Taylor series for
( )=
−
⋮
−
−
⋮
−
we can write:
+
.
( )
+
.
and
are the high order terms of the
( ). Then,
( )=
( )+
(2.38)
( )=
( )+
51
Inserting (2.38) into (2.37), we get:
∗
( )
( )
−
∗
( )
( )
−
=
=
where
( )
+
+
( )
=
∗
+
∗
−
+
∗
+
;
∗
−
( )
=
( )
−
( )
+
( )
+
(2.39)
+
is given in (2.23). Using (2.39), (2.36) is rewriting as:
( )
∗
( )
( ) =
−
( )
⋮
( )
∗
+
⋮
+
+
⋮
⋮
∗
+
( )
⋮
In a compact form:
( )
∗
−
( ) =
( ) +
( ) +
∗
+
(2.40)
52
where
and
are the diagonal matrices of
the non-diagonal matrices of
+
=
and
and
;
and
+
, respectively. Then
are
=
and
.
Using the same strategy, the second term is:
,
,
− ( , ) =
( , )
⋮
( , )
=
=[
⋯
( , )
−
( , )
⋮
,
where
−
( , )
⋮
( , )
⋯
⋱
⋯
⋮
⋮ +
⋯
⋱
⋯
⋮
⋮
].
(2.41)
− ( , ) = ( , ) +
,
By following the same strategy, the third term is given as follows:
(2.42)
( )− ( )=
Then, the error dynamics (2.32) can be written as:
+
( ) +
+
+
( , ) +
( ) +
+
−
∗
+
=0
(2.43)
Using (2.31), the error dynamics becomes:
+
+
( ) +
( ) + ( , ) =0
(2.44)
53
Using
=
+
,
+
=
, and
+
=
+
, the error
dynamics becomes:
( ) + ( , ) +
+
( ) +
=0
(2.45)
CHAPITRE 3
ARTICLE 2: HIERARCHICAL ADAPTIVE CONTROL IN THE
WORKSPACE OF RIGID MANIPULATORS
1
2
Article soumis à la revue « IEEE Transactions on Control Systems Technology » en Octobre
2012.
Abstract
This paper presents two hierarchical nonlinear controller strategies for rigid manipulators to
track a desired trajectory in the robot’s workspace. For serial link manipulators, the
hierarchical control strategy consists in controlling the last joint by assuming that the
remaining joints are stable and follow their desired trajectories. Then we follow the same
strategy backward from the (n-1)th joint until the first joint. First, the model parameters are
perfectly known and a hierarchical control strategy is developed. Second, an adaptive version
of the hierarchical nonlinear controller is proposed. The asymptotical stability is proved
using Lyapunov theory. These algorithms are experimented on a 7 DOF hyper redundant
articulated nimble adaptable trunk ANAT robot and compared with the computed torque
approach. Good tracking in the workspace is obtained and effectiveness of the results is
shown.
Key Words : ANAT robot, hierarchical control, adaptive control, workspace tracking,
stability.
56
3.1
Introduction
Robot manipulators are characterized by a set of nonlinear-coupled equations. Their
nonlinear dynamics present a challenging control problem. In the workspace, the control
problem is very important because the tasks are usually performed in the Cartesian space
such as: painting, assembly, etc. Two configurations characterize manipulators’ dynamics. In
the first, the dynamics of manipulators are considered as a MIMO system. In this case, a
single controller is used for all joints. In the second configuration, the dynamical system is
regarded as a set of interconnected subsystems (joints) with constraints on information flow
between these subsystems.
For the MIMO case, many control strategies were successfully applied. The computed torque
method which cancels the nonlinearity of the dynamical system by using the mathematical
model was applied in (Fei et Wu, 2005; Isidori, 1995; Krstic, 2004; Yim et Singh, 1993). The
sliding mode method, which utilizes discontinuous feedback control law to drive the state of
the system into switching surface and keep this state on the manifold surface, was used in
(Khalil, 2002; Slotine et Coetsee, 1986; Utkin, 1993). The backstepping approach can be
used when the control design of manipulators is built systematically. In this approach the
cancellation of “useful nonlinearities” is avoided. For rigid-link robot manipulators, an
application of the integrator backstepping method is used in (Lotfazar et Eghtesad, 2007a) to
track a joint space’s desired trajectory.
Usually, the load and the friction torque of manipulators vary during the execution of a
particular task or are unknown in advance, which causes the dynamical equations of
manipulators to contain uncertain parameters. In this case, adaptive control (Arnautovic et
Koivo, 1990; Colbaugh et Glass, 1995; Galicki, 2006; Tatlicioglu et al., 2009; Xu, Wu et
Liang, 2000) is used to take into account the effect of these uncertainties in the controller
design.
57
The previous nonlinear methods use a single controller for all manipulator’s joints.
Unfortunately, due to the complexity of the control structures, the real-time implementation
of these controllers in industrial control systems is very difficult (Fu, Gonzalez et Lee, 1987).
Most industrial control are solved this problem by using an independent controller for each
joint where the dynamics of robot manipulators is viewed as interconnected subsystems
(joints). This control strategy has many advantages, such as simplicity of implementation,
fault tolerance, reduction of computational effort, etc.
Decentralized adaptive control was used in (Colbaugh et Glass, 1996; Colbaugh, Seraji et
Glass, 1994; Indrawanto, Swevers et Van Brussel, 1998; Katic et Vukobratovic, 1994) to
solve the manipulators’ control problem. In (Colbaugh et Glass, 1996), the authors propose
two decentralized adaptive controls for an electricaly-driven manipulator: one for tracking
problems and one for position regulation. However, the adaptive control used for position
regulation ensures only the semiglobal convergence of the error in the absence of any
external disturbances.
An Independent Joint Control was used in (Hsia, Lasky et Guo, 1991; Seraji, 1988; Spong et
Vidyasagar, 1989) for robot manipulators control. A PID controller is used for each joint in
(Spong et Vidyasagar, 1989) for the tracking control problem. In this approch, each
subsystem (joint) is treated as a linear system and the nonlinear coupling effects are
considered as disturbances. This approach has low performance for tracking purposes at high
velocities.
A hierarchical and distributed control were also used in (Fareh, Saad et Saad, 2012a; 2012b;
2012 ; 2012 ; Fareh et al., 2011) to solve the tracking control problem. The hierarchical
control strategy takes advantage of the configuration of n serial-link manipulators. It consists
in controlling the manipulator starting from the last joint, then going backward until the first
joint. At each step, the corresponding joint is controlled by assuming that the remaining
joints are stable and follow their desired trajectories. In (Fareh, Saad et Saad, 2012b; 2012 ;
Fareh et al., 2011), the system parameters are supposed perfectly known and the control law
58
is based on feedback linearization and sliding mode approaches. Good tracking of the
workspace trajectory was obtained for a 5 DOF ANAT robot. An adaptive version is
presented in (Fareh, Saad et Saad, 2012 ) to track a desired trajectory in the joint space of a 3
DOF ANAT robot. In these studies, only local stability is guaranteed. The global stability is
proved in (Fareh, Saad et Saad, 2012a) for a workspace tracking trajectory of 5-DOF ANAT
robot.
In this work, we extend the previous works and we propose two nonlinear control strategies
based on a hierarchical form for workspace tracking control of (ANAT) rigid maniulators. In
the first case, the system parameters are perfectly known and a hierarchical control strategy is
used to track a desired trajectory in the workspace. In the second case, the system parameters
are assumed to be unknown and a hierarchical adaptive version is developed. In both cases,
the global asymptotical stability is proved using the well-known Lyapunov theory. The
controllers are tested on the ANAT robot.
The paper is organized as follows: section 3.2 presents the model of the ANAT robot and
presents its features and properties. Section 3.3 proposes the hierarchical control strategy.
Section 3.4 presents the adaptive version of the previous controller. Experimental results are
presented in section 3.5. Finally, a conclusion is given in section 3.6.
3.2
Modeling
The system considered in this work is a hyper redundant articulated nimble adaptable trunk
(ANAT) robot shown in Figure 3.1. This robot has seven degrees of freedom: one prismatic
(joint 1), followed by three redundant rotary joints (joints 2, 3, and 4) and finally three rotary
joints (joints 5, 6, and 7) that describe the end effector.
59
Figure 3.1 ANAT robot.
Using Lagrange equations, the dynamical model is given by:
(3.1)
( ) + ( , ) + ( )=
where
( )∈ℛ
×
is an inertia and mass matrix, ( , ) is the Coriolis vector,
ℛ is a vector of gravity terms,
∈ ℛ is the joint input torque vector.
vector of the generalized positions in the joint space,
and
( )∈
∈ ℛ denotes the
are the joints’ velocity and
acceleration vectors, respectively.
The model has the following properties that will be used for the control law:
P1. The inertia and mass matrix
( ) is symmetric positive definite.
P2. From P1, we can deduce that the diagonal elements are positive (Bhatia, 2007):
(3.2)
( ) > 0; for = 1 …
P3: The inertia-mass matrix
( ) and the Coriolis matrix
( , ) satisfy the following
skew-symmetric property:
( , )−2 ( , )
=0 ∀
∈ℛ
P4. Property P3 is preserved for the diagonal elements of
write:
(3.3)
( ) and ( , ). Then, we can
60
( )−2
(3.4)
( , ) = 0; for = 1 …
When controlling the i-th joint, we assume that the remaining joints follow their desired
trajectories. Then, we can introduce the following assumption:
A1. For the i-th joint, the new generalized coordinates
and their time derivatives are
defined such that the i-th coordinate is the controlled one and the remaining coordinates
follow their desired trajectories such that:
=[
…
(
)
=[
…
(
)
=[
…
(
)
(
)
…
]
(
)
…
]
(
)
…
]
(3.5)
The objective of this work is to track a desired trajectory defined in the workspace of rigid
manipulators using hierarchical control. To achieve this objective, three steps are considered.
1) The first step consists in transforming the desired trajectory from the workspace to the
joint space using pseudo-inverse kinematics. 2) In the second step, the control law is
developed to ensure tracking of the desired trajectory in the joint space. 3) The third step
consists in transforming trajectories from the joint space to the workspace using direct
kinematics. These steps are presented in Figure 3.2.
61
Desired trajectory in
workspace
Inverse
kinematics
Joint space trajectories
(
,
,
)
Hierarchical
control law
ANAT
Robot
Direct kinematics
Workspace error ≤
Figure 3.2 Control chart.
62
3.3
Hierarchical Control Strategy
The control strategy uses a hierarchical structure starting with the last joint and proceeding
backward to the first joint. To control the last joint, we assume that the remaining joints are
stable and follow their desired trajectories. Then, going backward to the before last joint, we
assume that the remaining joints (1,…, n-2, n) are stable. The control laws of the remaining
joints are developed using the same strategy.
To clarify the hierarchical control strategy, the control law of the last joint and of an i-th joint
is developed in this section.The dynamical model (3.1) is equivalent to:
( )
⋮
( )
where
…
( )=[
( , )
⋮
( , )
⋮ +
], and
( )
⋮
=
( )
⋮ +
…
( , )=[
(3.6)
⋮
].
To control the last joint, the remaining joints (1,…, n-1) are assumed to be stable and follow
their desired trajectories. Then, the new generalized coordinate is given as follows:
=[
…
(
(3.7)
]
)
Note that the first (n-1) coordinates are the desired ones, and the n-th coordinate is the
controlled one. The velocity
time derivative of
is the time derivative of
and the acceleration
is the
.
The equation of movement of the n-th joint becomes:
(
)
+
)=[
(
,
+
(
)
…
(3.8)
)=
where
(
)…
(
(
)]
(3.9)
63
,
=
,
…
,
…
,
The following control law is proposed for the n-th joint:
=
+
and
where
∗
∗
where
=
+
−
= [0
=
+
.
+
… 0
=[
+
( )
,
…
=[
] , and
=
…
)
(
(
+
(
(3.10)
)−
] ,
)
is its time
.
∗
(3.11)
]
is defined using the Taylor series as:
=
=∑
∗
)
are positive gains,
=
derivative,
(
+
+
+
( );
( )
=∑
(3.12)
∗
+
(3.13)
+
( )
(3.14)
( , )
=
+
( , )
+
( ,
)
(3.15)
=
where
( ),
detail).
,
, and
( ), and
( )
+
( )
are the high order terms of the Taylor series for
( ), respectively (Bartle et Sherbert, 2000) (See Appendix for more
64
The same strategy is applied by going backward from the (n-1)-th joint until the first joint.
Taking for example the i-th joint, the equation of motion is:
( )
+
,
(3.16)
( )=
+
where
( )=[
,
=
( )…
,
( )
…
,
(3.17)
( )]
…
…
,
and the new generalized coordinate is given by:
…
=[
(
)
(
…
)
(3.18)
]
The control law for the i-th joint is given as follows:
=
where
+
and
∗
=
+
=
,
+
( )
+
,
are positive gains,
∗
…
∗
=[
=
(
+
( , )
+
)
+
=
+
(
+
( )
=
=
∗
+
( , )
, and:
…
)
(3.19)
( )−
]
(3.20)
×
∗
+
(3.21)
( )
+
(3.22)
( ,
)
(3.23)
65
( )
=
Note that
∗
+
(3.24)
( )
has the desired accelerations of the n joints and the desired velocity of the i-th
,
joint. The i-th control law is presented in Figure 3.3, where
,
[0
+
… 0 0 …
( )−
…
=[
,
0] . Then,
=
+
(
)
0
(
)
…
=
] ,
( )
and
∗
+
=
.
-
+
+
+
,
,
,
Selection of ,
+
Figure 3.3 i-th control law.
In a compact form, the n control laws (3.19) can be written as follows:
=
+
+
( )
∗
+
+ ( )−
,
where
=[
…
]
×
;
∗
=
∗
…
∗
×
;
,
∗
are given in (3.18) and (3.20).
(3.25)
66
=
×
( )=
(
( )=[
( )…
(
=
;
( ))
,
;
×
( )]
×
)
∗
;
=[
∗
(
…
+
( )
=
;
=
∗
=
×
∗]
( ,
×
+
;
×
))
∗
×
;
is given in (3.19).
(3.26)
+
The error dynamics of the system is given by substituting the control law (3.25) in the
dynamical system (3.1) as follows:
+
( )
+
∗
−
( )
+
− ( , )
,
+
( )− ( )
(3.27)
= 0
−
Proposition 3.1
The error dynamics (3.27) is equivalent to the following equation:
( ) + ( , ) +
( ) +
+
=0
(3.28)
The previous error dynamics (3.27) is global asymptotical stable. Then, to prove the global
asymptotical stability, we propose the following Lyapunov function:
=
1
2
( ) +
Taking the time derivative of ( ), we get:
( )=
( ) +
( ) +
1
2
(3.29)
67
=
− ( , ) −
−
( ) −
+
( ) +
Then, using the properties given in Section 3.2, we can conclude that:
( )=−
Since
, and
+
( )
(3.30)
( ) are positive definite diagonal matrices. Using Barbalat lemma, the
error dynamics is globally asymptotically stable.
3.4
Adaptive Hierarchical Control
In this section, an adaptive version of the previous control strategy is developed to cope with
the parameter’s uncertainty. As in the previous section, the control strategy consists in
starting with the last joint and going backward until the first joint. Using the uncertain
parameters of the n-th equation of motion, the control law that ensures the asymptotical
stability of the corresponding error dynamics is then developed. First, the uncertain
parameters existing in the equation of motion of the last joint are estimated and secondly, the
control law is developed by using these estimated parameters. After that, we go backward to
the (n-1)-th joint and apply the same strategy. Note that the parameters of the (n-1)-th joint
depend on both the n-th and the (n-1)-th joints. Therefore, these uncertain parameters are
decomposed into two parts: the first part has the uncertain parameters which were estimated
in the previous step, and the second part has the new parameters that depend only on the (n1)-th joint. The control law is then derived using the previous estimated parameters (n-th
joint) and the new ones ((n-1)-th joint). The control of the remaining joints is developed
using the same hierarchical strategy. This strategy is presented in Figure 3.4.
68
n-th control
n-th
joint
(
law
)
(n-1)-th
n-1-th
,
joint
(
control
,
))
law
i-th
i-th joint
,
control
,…,
(
,
,…,
))
law
First
control
First
,
joint
,…,
(
,…,
)
law
,…,
Figure 3.4 Hierarchical adaptive control strategy.
For the n-th joint, the equation of motion is given by (3.8). There exists a vector
∈ℛ
with components depending on the manipulator’s parameters (masses, moments of inertia,
etc.), such as:
∅
where ∅ (1 ×
,
,
∗
=
(
)
∗
+
,
+
(
)
) is a regression matrix which contains all known functions.
The adaptive control law is proposed as follows:
(3.31)
69
=
where
,
+
+∅ (
are positive gains,
=
,
∗
,
)
=
, and
−
.
(3.32)
is given in (3.12).
The adaptive law is given by:
=
∅
,
,
∗
(3.33)
.
The error of the parameters vector is given by:
=
−
(3.34)
Using (3.31) and (3.34), we can write:
∅
=∅
(
+
)
∗
+
,
+
(
)
(3.35)
The same strategy is applied backward from the (n-1)-th joint until the first joint. For the i-th
joint, for which the equation of motion is given by (3.17), there exists a vector of uncertain
parameters
∈ ℛ and a regression matrix ∅
∅
,
,
∗
=
( )
∗
,
+
∗
,
∈ ℛ such as:
,
+
( )
(3.36)
The i-th control law is given by:
where
=[
The adaptive law is:
=
+
] ;
=[
+∅ ( ,
,
] , etc...
∗
)
−
(3.37)
70
=
∅
,
∗
,
(3.38)
To prove the global asymptotical stability, we use the n control laws (3.37) and the equation
of motion (3.1). The n control laws can be written as follows:
=
+
+∅
∗
, ,
(3.39)
−
where
=[
]
…
=
×
(∅ )
0
∅=
0
×
(∅ )
×
⋱
×∑
0
…
∗
(
)
×
×
;
;
,
∗
( )
=
∗
and
are given in (3.18-3.20).
×
×∑
×
⋱
(∅ )
×∑
∗
=
=
;
0
×
0
∗
;
×
×∑
0
=
(∅ , ∅ , … , ∅ );
=
×∑
(∅ )
⋮
;
=∑
⋮
×
×
×
To study the global asymptotical stability we insert (3.39) in (3.1). Then, the error dynamics
is given as follows:
+
−
( ) − ( , ) − ( )+∅
, ,
∗
−
=0
(3.40)
where
= ∅
=
( )
×
, ,
is a positive definite matrix.
The parameters error vector is given by:
∗
.
(3.41)
71
=
−
(3.42)
Then, we can write:
∗
( )
∅ =∅ +
+
,
(3.43)
+ ( )
Using (3.43), the error dynamics can be written as follows:
∗
K q + K q + M(Q)
−
− M(q)q + C Q, Q Q − C(q, q)q + (G(Q) − G(q))
(3.44)
+∅ =0
Using Proposition 3.1, the error dynamics can be simplified as follows:
( ) + ( , ) +
( ) +
+
+∅ =0
(3.45)
Proposition 3.2
Using the control law (3.39), the error dynamics (3.45) is globally asymptotically stable.
To prove the above proposition, we propose the following Lyapunov function:
=
1
2
( ) +
1
2
+
1
2
(3.46)
Taking the time derivative of ( ), we get
( ) +
( )=
− ( , ) −
=
=−
( ) +
+
−
( ) +
( )
+
−∅
−
+
∅
Using (3.41), the time derivative of ( ) is:
( )=−
Then,
+
( )
+ ( ∅
)
−
∅
+
( ) +
+
72
( )=−
(3.47)
( )
+
( ) are positive definite diagonal matrices. Then using Barbalat lemma, the
, and
error dynamics is globally asymptotically stable.
3.5
Experimental Results
In this section, the control strategies presented in the previous sections are tested on the
ANAT robot (Figure 3.1). The Denavit-Hartenberg parameters of the ANAT robot are given
in Table 3.1.
Table 3.1 Denavit-Hartenberg parameters of ANAT robot
Tiré de (Le Boudec, Saad et Nerguizian, 2006)
Joint
1
0
0
0
2
0
3
0
L
0
4
0
L
0
5
0
L
0
6
⁄2
7
− ⁄2
0
0
−
For a redundant robot, the velocities in the workspace and the joint space are linked by
generalized inverse Jacobean:
=
where
is the Jacobean matrix,
(
)
is the joint space velocity vector and
(3.48)
is the workspace
velocity vector. The position q is obtained by a simple integrator.
The relation between the position of the tool and the base reference is given in (Le Boudec,
Saad et Nerguizian, 2006) as follows:
73
+
=
+
−
where
= sin( ) ,
= cos( ) ,
+ [
+
+ ]+
+ [
+
+ ]
+ +
= sin
+
, and
= cos
(3.49)
+
.
For real-time implementation of the proposed controllers, Simulink with Real-Time
Workshop (RTW) of Mathworks® is used. The real-time setup is given in Figure 3.5. The
National Instruments PCI 6024E digital card and ATMEGA 16 microcontrollers are chosen
for the real-time target and the translation of information to serial peripheral interface (SPI).
In the first step, the workspace desired trajectory is transformed to joint space using inverse
kinematics. Then, the hierarchical control algorithm is derived from the joint space’s desired
trajectory and their real values given by the microcontrollers. The torque input provided by
the control algorithm is sent to the microcontrollers which translates the control signal into a
pulse width modulation (PWM) signal. The latter is applied to the H-bridge drive of the
actuators of the ANAT robot. A current sensor located in the H-bridge drive measures the
current of each actuator. After receipt of the digital information of the actuators’ encoders,
the microcontrollers send the angles’ positions to Simulink.
74
SIMULINK
Workspace
Inverse
Control
Joint space
Angles’
Torques
Microcontrollers
µ
µ
Current
µ
PWM
Power
ANA
T
Encoder
Figure 3.5 Real-time setup.
For this implementation, the first, sixth and seventh joints are locked and joints 2, 3, 4, and 5
are used. The controller’s gains are chosen using a trial and error method as follows:
For the non-adaptive hierarchical control strategy, the selected gains are:
20, = 10, = 10; = 1.85,
= 2,
= 10,
hierarchical control strategy, the selected gains are:
12; = 2.5,
= 2.5,
= 12,
= 12.
=
= 25,
=
= 10. For the adaptive
= 30,
= 25, = 12, =
(10), i=2 … 5.
For an i-th joint, the previous theoretical development of the control law is given in the
general case. For simplicity of real-time implementation, a finite order of Taylor series is
fixed. In this section, and, the the Taylor series is limited to the first order. Then,
=
= 0.
For the adaptive hierarchical control; the uncertain parameters are chosen as follows:
For last joint:
=
=[
] ;
is developed using
.
=
75
is developed using
] ;
=[
and .
is developed by using
and .
For the second joint:
,
] ;
=[
] ; =[
For the third joint:
,
] ;
=[
For the fourth joint:
,
] ; =[
] ;
=[
is developed by using
and .
The experimental results for the non-adaptive hierarchical control are shown in Figures 3.63.8.
0.02
error joint 2 (rad)
joint 2 (rad)
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
60
0
0
10
20
30
40
50
60
70
0.5
0
20
30
40
50
60
70
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
0
10
20
30
0
-0.02
-0.04
0
0
10
20
30
40
50
60
0.04
0.02
0
-0.02
70
50
60
70
0.01
error joint 5 (rad)
0.5
joint 5 (rad)
10
0.06
error joint 4 (rad)
joint 4 (rad)
1
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.02
error joint 3 (rad)
joint 3 (rad)
1
-0.5
0
-0.01
-0.02
70
0.5
-0.5
0.01
0
10
20
30
40
(a)
time (s)
50
60
70
0
-0.01
-0.02
40
(b)
time (s)
50
60
Figure 3.6 Hierarchical control: (a) Joint space tracking, (b) Tracking errors.
70
76
0.4
0.65
xd
x
0.6
0.55
0
20
40
4
x 10
yd
0.1
y
0
10
20
30
40
50
60
y -error (m )
-2
10
20
30 40
time (s)
(c)
50
60
70
30
40
time (s)
(d)
50
60
0.02
0.01
0
-0.01
0
10
20
Figure 3.7 Hierarchical control: (a) Workspace tracking and
(b) Workspace tracking error.
z (m)
1
0
-1
0.4
0.3
0.2
0.1
y (m)
0
0.58
70
(b)
0.03
0
0
0.2
0
60
2
-4
0.3
(a)
-3
x -error (m )
y -pos ition (m )
x -pos ition (m )
0.7
0.6
x (m)
0.62
0.64
0.66
0.68
Figure 3.8 Hierarchical control: Workspace tracking.
For the adaptive hierarchical control, the experimental results are given in Figures 9-10.
70
77
-3
15
error joint 2 (rad)
joint 2 (rad)
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
error joint 3 (rad)
joint 3(rad)
0.5
0
0
20
40
60
error joint 4 (rad)
joint 4(rad)
1
0.5
0
-0.5
0
20
40
60
-1
-2
0
20
40
(a)
time (s)
60
error joint 5 (rad)
joint 5(rad)
1
0
10
5
0
-5
60
1
-0.5
x 10
0
-3
x 10
20
0 -310
x 10
20
30
40
50
60
70
0 -310
x 10
20
30
40
50
60
70
0
20
30
40
50
60
70
4
40
60
2
0
-2
5
0
-5
5
0
-5
10
(b)
time (s)
Figure 3.9 Hierarchical adaptive control: (a) Joint space tracking, (b)Tracking errors.
78
-3
1
x-position error(m)
x-position(m)
0.7
0.65
0.6
0.55
0
20
40
0.5
0
-0.5
-1
60
0.4
y-position error(m)
y-position(m)
10
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
(a)
time (s)
x 10
60
0 -3
x 10
20
40
60
0
20
40
(b)
time (s)
60
5
0
-5
z (m)
1
0
0.4
-1
0.2
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0
y(m)
x (m)
(c)
Figure 3.10 Hierarchical adaptive control: (a) x and y position tracking,
(b) tracking errors of x and y, (c) xyz workspace tracking.
The computed torque approach (Slotine et Li, 1991) is used for the ANAT robot for
comparison with the previous controllers. Using the same desired trajectory, the experimental
results for the computed torque approach are shown in Figure 3.11.
79
0.3
error joint 3 (rad)
error joint 2 (rad)
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
0
20
40
0
0
20
40
60
0.04
error joint 5 (rad)
error joint 4 (rad)
0.1
-0.1
60
0.05
0
-0.05
0.2
0
20
40
time (s)
60
0.02
0
-0.02
0
20
40
time (s)
60
Figure 3.11 Tracking errors in joint space for the computed torque method.
For the hierarchical control strategy, Figure 3.6-(a) presents the tracking trajectories of the
second, third, fourth and fifth joints. Good tracking is obtained in the joint space and is
confirmed in Figure 3.6-(b), which shows the tracking errors in the joint space. However, the
objective of this work is the tracking in the workspace. Using direct kinematics, good
tracking of x(t) and y(t) trajectories in the workspace is shown in Figure 3.7. The tracking
errors presented in Figures 3.6-3.7 show a small error in the joint space and workspace.
Finally, Figure 3.8 shows good tracking in x-y-z workspace.
For the hierarchical adaptive control, using the inverse kinematics, the workspace desired
trajectory is transformed to the joint space. The tracking trajectory and the tracking error in
the joint space are shown in Figure 3.9. Using direct kinematics, the tracking trajectory and
the error of the tracking are shown in Figure 3.10. Good tracking is obtained in the joint space
(less than 0.02 rad) and the workspace (less than 5mm for x(t) and 10 mm for y(t)).
80
For the same desired trajectory, the computed torque approach is used and the tracking error
in the joint space is shown in Figure 3.11. According to the experimental results the resulting
tracking errors of the hierarchical approach (non-adaptive and adaptive controller) are
smaller than those found in the computed torque method. This illustrates the effectiveness of
the proposed approaches.
3.6
Conclusion
In this paper, a novel hierarchical adaptive control strategy is proposed for rigid manipulators
to track a desired trajectory in the workspace. Two nonlinear control strategies are presented.
In the first, the system parameters are perfectly known and a hierarchical control is derived.
The hierarchical control strategy consists in starting by controlling the last joint while
assuming that the remaining joints are stable. Then, we follow the same strategy backward
until the first joint. The second control strategy presents the adaptive version of the
hierarchical control strategy. Lyapunov theory is used for global stability analysis of the
feedback system. These controllers are tested and compared with the computed torque
approach on a 7-DOF hyper redundant articulated nimble adaptable trunk (ANAT) robot to
track a desired trajectory in the workspace. The effectiveness of the proposed hierarchical
control strategy is shown by the experimental results, which demonstrate good tracking in the
workspace.
81
3.7
Appendix
Proof of proposition 3.1:
To prove proposition 3.1, we need to investigate the following elements of the error
( )
dynamics (3.27):
∗
−
( )
− ( , )
,
,
and
( )− ( ) .
The first element can be written as follows:
( )
∗
−
(
( ) =
)
−
⋮
) ∗−
(
where
∗
and
∗
( )
(3.50)
( )
are given in (3.17) and (3.20).
The i-th term of (3.50) can be written as:
( )
∗
−
( ) =
( )
∗
( )
−
( )
+
−
( )
( )=
where
( )=
( )+
( ) ( −
( )+
)+
1
( −
2!
evaluated at
( )
[
⋯
…
]
⋮
(
(
=
( )−
( )
+
⋮
)
)
( )
)
( )( −
=
. Then, we can write:
−
⋮
−
−
⋮
−
(
)
(
)
+
)+⋯
( )
(3.51)
82
=
( )−
where
=∑
( )
−
( ) and
( )=
is the remaining terms. Then,
( )+
(3.52)
Inserting (3.52) into (3.51), we get:
∗
( )
( )
−
( )
∗
( )
−
=
=
where
( )
+
+
∗
+
( )
∗
=
−
+
∗
+
;
∗
−
( )
=
( )
−
( )
+
( )
+
(3.53)
+
is given under (3.19).
Using (3.53), (3.50) is rewritten as:
( )
∗
0
( )
⋮
( )
−
( )
0
⋮
0
( ) =
( )⋯
0
⋯
(
(
)(
)
0 ⋯
( )
⋯ 0
( )
⋮
) ( )
0
0
⋮
0
( )
⋮ +
∗
⋮ +
⋮
∗
+
⋮
83
In a compact form:
( )
∗
( ) =
−
where
( ) +
and
are the diagonal matrices of
the non-diagonal matrices of
+
=
∗
( ) +
and
and
, respectively. Then
(3.54)
+
;
and
+
are
=
and
.
Using the same strategy, the second term is:
,
,
− ( , ) =
=
where
( , )
⋮
( , )
⋯
⋱
⋯
=[
⋯
( , )
−
( , )
⋮
,
( , )
⋮
( , )
−
⋮ +
⋯
⋱
⋯
⋮
⋮
⋮
].
(3.55)
− ( , ) = ( , ) +
,
By following the same strategy, the third term is given as follows:
( )− ( )=
(3.56)
Then, the error dynamics (3.27) can be written as:
+
+
+
( ) +
( , ) +
( ) +
+
−
=0
∗
+
(3.57)
84
Using (3.26), the error dynamics is:
+
Using
=
+
,
+
+
( ) +
=
( ) + ( , ) +
( ) + ( , ) =0
(3.59)
, the error dynamics becomes:
+
( ) +
=0
(3.60)
CHAPITRE 4
ARTICLE 3: DISTRIBUTED CONTROL STRATEGY FOR FLEXIBLE LINK
MANIPULATORS
1
2
Article soumis à la revue « Robotica » en Février 2013.
Abstract
This paper presents a nonlinear distributed control strategy for flexible-link manipulators to
solve the tracking control problem in the joint space and cancel vibrations of the links. First,
the dynamic of an n-flexible-link manipulator is decomposed into n subsystems. Each
subsystem has a pair of one joint and one link. The distributed control strategy is applied to
each subsystem starting from the last subsystem. The strategy of control consists in
controlling the nth joint and stabilizing the nth link by assuming that the remaining subsystems
are stable. Then, going backward to the (n-1)th subsystem , the same control strategy is
applied to each corresponding joint-link subsystem until the first. Sliding mode technique is
used to develop the control law of each subsystem and the global stability of the resulting
tracking errors is proved using Lyapunov technique. This algorithm was tested on a twoflexible-link manipulator and gave effective results, a good tracking performance, and
capability to eliminate the links’ vibrations.
Key Words: Distributed control, flexible-link manipulators, sliding mode, stability, tracking
trajectories.
86
4.1
Introduction
There are many advantages of using manipulators with thin and lightweight links in contrast
to traditional rigid manipulators. Indeed, flexible-link manipulators have faster response
time, lower energy consumption, lower overall mass, low-rated actuators, and, in general,
lower overall cost. Due to links’ flexibility, the dynamical model of flexible-link
manipulators is much more complicated than that of rigid manipulators. As a result of this
complicated dynamic model, several challenges in the design and implementation of
controllers were motivated. Indeed, the number of controlled variables for a flexible-link
manipulator is strictly less than the number of mechanical degrees of freedom, i.e. it
represents an underactuated system. In this case, the control problem is twofold: in addition
to motion objectives as in a rigid manipulator, it must also stabilize the vibrations that are
naturally excited. Two possible configurations can describe the dynamical model of flexible
manipulators. First, the dynamical model can be regarded as one multi-input and multi-output
(MIMO) system; one controller is used in this case for all joints and links. Second, the
dynamical model can be viewed as interconnected subsystems. Each subsystem has a pair of
one joint and one link and is controlled with one controller.
Many control strategies are based on the MIMO representation of the dynamical model of
flexible manipulators. In the linear case, Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) approach and the
stable factorization technique were used in [1, 2]. A comparative study of a State-Feedback
controller and a Linear Quadratic Regulator (LQR) using the tip deflection feedback
measured by a strain gauge were proposed in [3] to minimize the link vibrations of a single
link flexible manipulator. The generalization of the computed-torque method is used in [4, 5]
for the tracking control of nonlinear flexible-link manipulators. The objectives were to track
desired trajectories in the joint space and vibration suppression in the links. Adaptive control
is used in [6, 7] where the system parameters are considered unknown. The reinforcement
learning (RL) technique is used in [6] for developing a real-time adaptive control of a twolink flexible manipulator. The controller consists of a proportional derivative (PD) tracking
loop and an adaptive bloc based on RL loop used for tip trajectory control and cancelling the
87
deflection of a two-link flexible manipulator. Intelligent control strategies were also applied
to flexible link manipulators in [8-10]. Several works used sliding mode to control the
flexible link manipulators [11, 12]. Sliding mode technique based on a partial feedback
linearization controller was used in [12] to achieve set point precision positioning control for
a single flexible link manipulator with payload. For a two-flexible-link manipulator, a highorder nonsingular terminal sliding mode optimal control scheme is used in [11] to solve the
non-minimum phase and chattering problems.
All the previous control schemes use one controller for all joints and links. Unfortunately,
when using the dynamical model as one MIMO system, the real-time implementation of
these controllers is not easy due to the complexity of their structures [13]. To overcome this
problem, the dynamical model of flexible manipulators can be considered as n interconnected
subsystems. Each subsystem consists of one joint and the corresponding flexible link. Several
control schemes used this configuration. Decentralized control is used in [14, 15] for flexible
links manipulators. In [14], the authors used the decentralized control strategy featuring a
proportional derivative (PD) controller for the joint, and a linear quadratic regulator (LQR)
for the link to control two-flexible-link manipulators. A decentralized control strategy
composed of a PD controller for the joint, and a linear velocity feedback controller for the
flexible link was proposed in [15]. Independent joint control is used in [16] for the endpoint
position control problem of a two-flexible-link mechanism with very flexible links. The
drawback of this method is that the authors used acceleration sensing for acceleration
measurement, which is not always available. Using the nonlinear model of flexible
manipulators, a hierarchical control strategy to track desired trajectories in the workspace of
a two-flexible-link manipulator was developed in [17]. A feedback linearization approach is
used for each subsystem (a pair of joint and link) to develop control laws. To simplify the
real-time implementation we present in this paper, a distributed control strategy is proposed
for multi-link flexible manipulators to track desired trajectories in the joint space and to
remove link vibration. The control strategy consists to rewrite, in the first time, the
dynamical model of n-flexible-links manipulator as n subsystems. Each subsystem contains a
pair of one joint and one link. Secondly, the control strategy consists to start by controlling
88
the last subsystem while considering the remaining subsystems stable. Then, going backward
to the (n-1)-th subsystem, the same strategy is applied, and so on, until the first subsystem.
The control laws are developed using sliding mode technique. Lyapunov theory is used to
prove the global stability of the error dynamics. This control strategy is implemented on a
two-flexible-link manipulator.
This paper is organized as follows: section 4.2 presents the description and the modeling of
the n-flexible-link manipulator. The distributed control strategy of multi-flexible link and
stability analysis of the error dynamics are presented in section 4.3. Section 4.4 presents the
experimental results of the proposed control strategy of a two-flexible-link manipulator.
Finally, conclusions are given in section 4.5.
4.2
Modeling and problem formulation
The n-flexible-link manipulator is shown in Figure 4.1. The links are presented in a cascade
form and actuated by individual motors. An inertial payload is attached to the end effectors.
The motion of each link is assumed to be in the horizontal plane and has a very small
deflection. Using Lagrange equations, the dynamical model of an n DOF flexible manipulator
is given by (De Luca et Siciliano, 1991):
( ) + ( , ) +
where M is the inertia and mass matrix,
+
( , )
=
(4.1)
is the Coriolis and centrifugal forces
vector, D is the friction matrix and K is the rigidity matrix. q represents the vector of the
generalized coordinates and
is the vector of the applied torques.
Note: in the rest of paper, the scalar is written in lower case, the vector in lower case bold
and the matrix is in upper case.
For the n rigid coordinates and n flexible links, the deformation of the ith flexible link is given
by the following equation:
89
( , )=
where
∅ ( )
( )
= 1, … ,
is the jth generalized flexible coordinate, ∅ ( ) is its jth shape function and
(4.2)
is
the number of retained flexible modes of the ith flexible link. Note that the total number of
flexible modes is
=∑
and the number of rigid modes is n.
Figure 4.1 Flexible-link manipulator.
The dynamical model (4.1) can be written as follows:
90
]
[
×
×
×
×
0
+ 0
where
and
[ ]
+
(
)×(
0
+
×
×
×
×
)
0
0
×
0
×
×
×
=
×
0
(4.3)
×
×
×
are the mass and inertia matrices for the rigid and the flexible parts
respectively.
is a coupled element. The subscripts
and
denote the rigid and flexible
modes. In this work we consider only the first flexible mode of each link, then z=n.
such as:
There exists a non-singular matrix of transformation
(4.4)
=
where
=[
coordinate,
] =[
⋯
=[
the transformed one,
⋯
⋯
=[
⋯
]
is the original generalized
⋯
] =[
…
] is
] is the generalized coordinate associated with the ith
subsystem (ith joint and link) and the matrix of transformation
is given by:
1 10 … 000 … 0 0 0
00 … 000 … 000
=
2
⋮
⋮
0 0 … 0 0 0… 0 0 0
10 … 000 … 000
00 … 010 … 000 00 … 000 … 000
00 … 000 … 000 00 … 010 … 000
⋮
⋮
00 … 000 … 001 00 … 000 … 000
00 … 000 … 0 0 0 0 0 … 0 0 0 … 0 0 1
(4.5)
Using the previous transformation, the dynamical model (4.1) can be written as follows:
( )
+ ( , )
+
+
=
(4.6)
91
=
where
=
and
, note that the vectors
( ) and ̅ ( , ) = ̅
( )=
different order, then :
and
,
have the same elements but in
.
Equation (4.6) is equivalent to the following expression:
( ) + ̅( , ) +
( )
where
=
×
( )
=
×
,
=
×
+
̅( , )
;
(4.7)
=
( , )
=
×
;
=
×
;
.
The dynamical model (4.7) can be written as follows:
( )
⋮
( )
+
=[
where
= [0
⋮
×
̅ ( , )
⋮
̅ ( , )
] ;
…0
×
=[
0
×
; ̅ =
=
⋮
…0
+
⋮
⋮
…
…
];
= [0
;
0
= 0
×
+
⋮
⋮
=
(4.8)
⋮ ]; ̅ = [ ̅ … ̅ … ̅ ]
…0
×
0
×
;
0
0
= 0
×
0
…0
×
],
.
The properties that will be used in the control law development can be deduced from the
dynamical model of the flexible link manipulator and are given as follows:
,
P1:
,
,
and
are symmetric positive definite matrices (De Luca et Siciliano,
1991).
( , )−2 ( , )
=0 ∀
∈ℛ
(4.9)
Let the desired trajectory associated to the rigid part of the ith subsystem, its first and secondorder derivatives be
( ),
( ) and
( ) respectively, and
( ),
( ) and
( ) are those associated to the flexible part of this subsystem. The objective is to track
92
desired trajectories in the joint space and cancel vibration of the links. The desired positions
of the flexible modes are then set to zero. Therefore, the desired trajectories must be carefully
chosen so as to satisfy the control objective:
,
4.3
=(
(4.10)
, 0)
Distributed control strategy
In this section, we present a distributed control strategy for n-flexible-link manipulator to
track desired trajectories in the joint space while eliminating links’ vibrations. The n-flexiblelink system can be viewed as n interconnected subsystems. Each subsystem has a pair of a
joint and a flexible link. The distributed control strategy consists in controlling the nth
subsystem while assuming that the remaining subsystems are stable. Then, the same strategy
is applied backward to the (n-1)th subsystem and so on until the first subsystem.
4.3.1
Control law development
As mentioned, the control strategy consists to begin by controlling the last subsystem. The
equation of motion of the nth subsystem is given from (4.8) as follows:
( ) + ̅ ( , ) +
where
= [0
=[
×
…
…0
×
]
…
]
×
;
×
+
(4.11)
=
; ̅ = [ ̅ … ̅ … ̅ ]
= [0
×
…0
×
]
×
and
×
=
;
00 ⋯ 1
00 ⋯ 0
×
.
The nth subsystem is controlled by assuming that the remaining subsystems are stable. Then
we can define a generalized coordinate as follows:
=[
where
=[
⋯
(
)
]
(4.12)
] for i=1 … n-1. Note that the rigid and flexible coordinates of the
nth subsystem are the controlled ones and the rigid and flexible coordinates of the remaining
93
subsystems are the desired ones. The velocity
acceleration
and the
. Using the new coordinate, the corresponding
equation of motion is given as follows:
(
+ ̅
)
,
+
+
(4.13)
=
In other form, (4.13) can be written as:
(
+ ̅
)
,
+
+
+ ̅
+
=
0
(4.14)
Define the sliding surface of nth subsystem as follows:
=
where
=
−
+
+
=
, and
−
−
=
=
−
+
+
are the error signals and
(4.15)
,
are positive
constants.
The previous sliding surface can be written as follows:
=
where
=
+
−
−
=
=
and
=
+
−
(4.16)
.
To control the nth subsystem, we propose the following control law:
=
where
+
−
(4.17)
94
+
=
0
=
) + ̅
(
=
=
∈ℛ
where
×
̅ =[
̅ … =[
⋯
,
;
≠0
;
=0
+
=
+
̅ ]
−
⋯
(4.20)
=[
=
×
… (
… ,
⋯
] =[
(4.19)
+
̅
is a diagonal positive matrix,
̅ … (4.18)
]
;
×
) and,
]
…
(4.21)
=
( )
=
(4.22)
+
( )
(4.23)
̅
and
=
̅
are
̅ ( , )
the
high
̅ ( , )
+
order
+
terms
of
the
̅
( ,
)
Taylor
series
for
( )and ̅ ( ),respectively (Bartle et Sherbert, 2000) (see Appendix for more detail).
This control strategy is used backward for the remaining subsystems. Taking for example the
ith subsystem, the corresponding generalized coordinate can be written as follows:
=[
where
=[
⋯
(
)
(
] , = 1, … , and ≠ ,and
(4.24)
]
)
=[
] .
95
The new equation of motion is given as follows:
+ ̅ ( ,
( )
where
=
=[
⋯
0 … 010 ⋯ 0
0 … 000 ⋯ 0
×
=[
+
⋯
; ̅ =
=
+
] ;
…
0
= 0
;
(4.25)
=
] ; ̅ = [ ̅ ⋯ ̅
…
;
)
0
…
=[
0
= 0
;
̅ ] ;
⋯
0
] ;
…
.
The previous equation of motion is equivalent to:
+ ̅ ( ,
( )
)
+
+
( )
+
+ ̅
,
(4.26)
=
0
The sliding surface of ith subsystem is given as follows:
=
where
=
+
are the error signals and
−
−
=
=
and
,
=
+
(4.27)
−
.
=
−
, and
=
−
are positive constants.
The proposed control law of the ith subsystem is:
=
+
(4.28)
−
where
+
=
0
;
≠0
;
=0
(4.29)
96
=
( ) + ̅
=
=
where
̅ =[
∈ℛ
×
=
̅ … ̅ ]
×
̅
̅ ( , )
̅ =
+
(4.30)
+
̅
−
(4.31)
=[
… … ]
×
;
and:
( )
=∑
, and
+
is a diagonal positive matrix,
̅ … ,
+
+
( )
̅ ( , )
(4.32)
+
̅
( ,
)
(4.33)
are the high order terms of the Taylor series.
Flexible
manipulator
-
+
4.3.2
Stability analysis
This section presents the stability analysis of the error dynamics for all subsystems. The n
control laws (4.28) can be written as follows:
97
−
(4.34)
∈ ℜ is the first n elements of the vector , given in (4.30), while
are the
=
where
remaining elements of .
+
, given in (4.29), in the ith element.
∈ ℜ has
The sliding surface for all subsystems can be written as follows;
=
+
+
=
−
−
=
+
+
−
−
=
=
(4.35)
−
Using (4.35), the dynamical model (4.1) is given as follows:
( )( − ) + ( , )( − ) + ( − ) +
(4.36)
=
The error dynamics can be deduced as follows:
( ) + ( , ) +
( ) + ( , ) +
=
+
+
+
−
(4.37)
Proposition 1: The error dynamics (4.37) is equivalent to the following expression:
( ) + ( , ) +
+
=
−
+
(4.38)
For the stability analysis, let us define the following positive Lyapunov function:
=
Take the time derivative of
1
2
( )
(4.39)
1
2
(4.40)
( ) to get
( )=
+
Using (4.38), ( ) becomes:
( )=
=−
− ( , ) −
( +
) +
−
+
−
+
−
+
+
98
Using the transformation matrix
, we can write:
−
+
where
=
and
−
+
=
=[
=
(4.41)
; = 1… .
−
+
]
=−
+
+
(4.42)
Using (4.29), we can write:
=0
(4.43)
=0
(4.44)
:
Then,
−
+
=
=0
(4.45)
Then, the time derivative of ( ) becomes:
( )=−
Because
and
( +
)
are positive definite diagonal matrices, then
(4.46)
( ) is negative. Using
LaSalle theorem (Spong et Vidyasagar, 1989), the error dynamics is globally asymptotically
stable.
99
4.4
Application to two-flexible-link manipulator
4.4.1
System description
The system considered in this section is a two-flexible-link manipulator shown in Fig.4.1. It
consists of two motors, two flexible links, and a payload. It moves in the horizontal plane and
is connected by rigid revolute joints. The system is actuated by two torques generated by the
motors. The i-th motor has an angle
and the i-th flexible link, supposed uniform, has a
mass mi and length Li, linear density ρi, and rigidity EIi. mp is the mass of the payload. The
second link is attached to the rotor of the second motor and the first link is attached to the
first motor. Axes (
links.
,
) for link 1 and (
,
,
) for link 2, move with the corresponding
is the fixed reference frame. The deformations of the links are assumed to be
small and the flexible links are modeled as Euler-Bernoulli beams.
,
( )
,
( )
Figure 4.3 Two-flexible-link manipulator.
In this section, the two-flexible-link model given in (De Luca et Siciliano, 1991) is modified
by only considering the first flexible mode of each link (see Appendix). Then, we have
= 2,
= 2and
=
= 1.
The dynamical model of the two-flexible-link manipulator is given by:
100
( ) + ( , ) +
+
=
(4.47)
where
=
0
0
=
0
0
;
0
0
0
0
0 0
0 0
0 ,
0
=
=
,
0
0
=
0
0
;
1
= 0
0
0
0
1 and
0
0
=
0
0
0
0
0 0
0 0
0 ;
0
.
As in (4.3), we can write:
=
;
;
=
=
=
;
;
=
0
0
=
;
0
=
and
0
=
;
.
For two flexible links, the corresponding transformation matrix (4.5) becomes,
1
= 0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
(4.48)
Using the matrix of transformation (4.48), the dynamical model (4.47) is equivalent to the
following equation:
( ) + ̅( , ) +
+
(4.49)
=
where
=
; ̅=
;
=
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
;
0 0
0
101
0 0
0
=
0 0
0 0
0 0
0 0
;
0 0
0
=
1
; = 0
0
0
=
0
0 and
1
0
=
In the two subsystems form, (4.49) can be written as:
+
̅
̅
̅
+
̅
+
(4.50)
=
=
where
0
= 0
0
=
;
=
0
0
0
=
̅
=
=
0
0
0 0
;
0 0
=
=
;
; ̅
=
=
;
̅
;
0
= 0
0 0
;
0 0
̅
;
0
= 0
0 0
;
0 0
;
;
=
;
;
=
;
=
;
=
;
=
;
0 0
;
0 0
=
=
1 0
;
0 0
0 1
.
0 0
Equation (4.50) can be written in the following form that will be used for the control law:
+
where
=[
[
]; ̅ = [ ̅
4.4.2
];
̅
̅
+
̅ =[ ̅
̅ ];
+
=
̅ ];
=[
];
=[
];
(4.51)
=[
=[
];
=
].
Distributed control law
For a two-flexible-link manipulator, the control law is developed in two steps. The first
consists of developing the control law for the second subsystem (second joint and link) by
102
assuming that the first subsystem is stable. In the second step, we develop the control law for
the first subsystem using the same strategy.
Starting now by the last subsystem, the generalized rigid and flexible coordinates are given
by:
=[
] =[
]
(4.52)
Note that, for the first subsystem, the rigid and flexible coordinates are the desired
coordinates and for the second subsystem they are the controlled ones.
According to dynamical model (4.51), the equation of motion of the second link is given by:
(
)
+ ̅
,
+
+
=
=
(4.53)
0
The control law proposed for the second subsystem is given by the following equation:
=
+
(4.54)
−
where
+
=
0
=
=
(
) + ̅
=
where
=[
=
0 0
0 0
] =
0
0
,
=
;
;
≠0
;
=0
+
+
(4.55)
+
(4.56)
−
and
=
(4.57)
;
=[
] ;
103
] =[
=[
=[
=
and
( )and
] =
( )
are
];
̅ =[
+
(
the
̅ ]
̅ ]
);
high
=[
;
( , )
=
order
( , )
+
terms
of
+
the
Taylor
(
)
series
for
( , ),respectively.
Proceeding to the first subsystem and developing the control law assuming that the second
subsystem is stable, the equation of motion of the first subsystem is given by:
(
)
+ ̅
,
+
+
=
=
0
(4.58)
where
=[
] =[
]
(4.59)
The control law is given by :
=
+
−
(4.60)
where
+
=
0
=
=
(
) + ̅
,
;
≠0
;
=0
+
+
(4.61)
+
(4.62)
104
=
=
where
0
0
=[
( )
=
=
0
0
0
;
0
]
×
+
;
̅ =[
(
);
−
and
̅ =
are positive constants,
̅ ]
̅
are
the
high
order
×
.
( , )
2
and
(4.63)
+
( , )
+
(
)
2
terms
of
the
Taylor
series
for
( )and ̅ ( , ),respectively.
4.4.3
Experimental results
In this section, the control strategies presented in the previous sections are tested on the twodegree-of-freedom (dof) Serial Flexible Link robot (Figure 4.33) manufactured by Quanser.
The system parameters are given in Table 4.1. The system consists of two motors, two serial
flexible links actuated by dc motors, and two strain gauges clamped at the base of each
flexible beam, used for measurement of tips deflection.
Figure 4.4 Quanser two link flexible robot.
105
Table 4.1 System physical parameters
Parameter
Link 1
Link 2
Link length (Li)
0.202 m
0.2 m
Elasticity
2.068 1011 N/m2
2.068 1011 N/m2
Link moment of inertia
0.17 kg.m2
0.0064 10-6 kg.m2
Gear ratio
100
50
Rotor moment of inertia
6.28 10-6 kg.m2
1.03 10-6 kg.m2
Drive moment of inertia
7.63 10-4 kg.m2
44.55 10-6 kg.m2
Drive Torque constant
0.119 Nm/A
0.0234 N.m/A
Maximum Rotation
+/- 90 deg
+/- 90 deg
The experimental setup of the two link serial flexible manipulator robot is shown in Figure 4.
The main components of the setup are: a linear amplifier, Q8 terminal board, DAQ system,
sensors such as strain gauges, encoder and limit switches. The interface between the
computer and the setup is the Quanser Q8 data acquisition board. Simulink with Real-Time
Workshop (RTW) of Mathworks® is used for real-time implementation of the proposed
controllers. Q8 software is used to transform the data from the computer to the system, which
allows the SIMULINK models to run in real-time target. The torque input provided by the
control algorithm is sent to the robot through Q8 data acquisition and the linear current
amplifier. A current sensor measures the current of each actuator.
106
Linear current amplifier
Current
sensor
Control signal
PC
Strain
gauge
Q8
Encoder
Figure 4.5 Real-Time setup.
The desired trajectory of the joint takes up a polynomial function given by the following
expressions (Craig, 2005):
( )=
for 0 ≤ ≤
( )=
+
+
+
+
+
( )=
+
+
+
+
+
( ) = 0
= 5 . For ≥
,
( )=
and
The desired trajectories are given in Figure 4.6.
( )= .
(4.64)
(4.65)
0.2
0.1
0.3
0.15
0.05
0.2
0.1
0.05
0.1
0
ddqrd1 (rad/s 2)
0.4
dqrd1 (rad/s)
qrd1 (rad)
107
0
0
5
(a)
10
0.8
0
-0.05
0
5
(c)
-0.1
10
0.35
0
5
(e)
10
0.2
0.3
0.1
0.4
0.2
ddqrd2(rad/s 2)
0.25
dqrd2 (rad/s)
qrd2 (rad)
0.6
0.2
0.15
0.1
0
-0.1
0.05
0
0
5
(b)
time (s)
10
0
0
5
(d)
time (s)
10
-0.2
0
5
(f)
time (s)
10
Figure 4.6 Desired trajectories: (a)-(b) position, (c)-(d) velocity,
(e)-(f) acceleration of rigid part.
The controller’s gains are chosen using a trial and error method as follows: For the
distributed control strategy, the selected gains are:
25and
= 15;
= 10,
=
= 10.
The previous theoretical development of the control law that ensures the global stability is
given in the general case, i.e. for any high order in the Taylor series. In the real-time
implementation, a finite order is fixed. In this section, and for simplicity, the Taylor series is
limited to the first order. Then,
=
= 0.
The experimental results for the distributed control are shown in Figures 4.7-4.9.
108
0.4
0.8
qr2 & qrd2 (rad)
qr1 & qrd1 (rad)
0.6
desired
real
0.4
0.2
0
0
2
4
8
0.2
0.1
0
10
x 10
0
2
4
6
8
10
6
(d)
time (s)
8
10
(b)
-3
10
10
x 10
5
er2 (rad)
er1 (rad)
desired
real
(a)
-3
15
6
0.3
5
0
0
-5
0
2
4
6
8
10
-5
0
2
(c)
time (s)
4
Figure 4.7 Distributed control: (a)-(b) joint tracking trajectories,
(c)-(d) joint tracking errors.
-3
x 10
8
ef1 (rad)
6
4
2
0
-2
0
2
4
2
4
6
8
10
6
8
10
-3
ef2 (rad)
2
x 10
1
0
-1
0
time (s)
Figure 4.8 Distributed control: errors of flexible parts.
109
15
10
tau1 (N)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
time (s)
6
7
8
9
10
10
tau2 (N)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
Figure 4.9 Distributed control: input torque.
The results of the developed distributed control method were compared with a PD type
control to show the contribution of this proposed control strategy using the same desired
trajectories. The PD control law can be written as follows:
=
where K and K
( −
are constant
)+
( −
=
gain matrices.
(4.66)
)
(10,10,10,10) and
(8,8,8,8)
0.8
qr2&qrd2(rad)
qr1&qrd1(rad)
0.4
0.6
desired
real
0.4
0.2
0
desired
real
0.2
0.1
0
-3
15
5
(a)
0
10
x 10
5
(b)
10
0.01
er2(rad)
5
0
-0.01
0
-5
0
0.02
10
er1(rad)
0.3
-0.02
0
5
(c)
time (s)
10
0
5
(d)
time (s)
Figure 4.10 PD control: (a)-(b) joint tracking trajectories,
(c)-(d) joint tracking errors.
10
=
110
0.1
0.08
e
f1
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
time (s)
6
7
8
9
10
-3
5
x 10
4
e
f2
3
2
1
0
-1
0
Figure 4.11 PD control : errors of flexible parts.
10
tau1 (N)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
time (s)
6
7
8
9
10
40
tau2 (N)
20
0
-20
-40
Figure 4.12 PD control: input torques.
According to the experimental results, for the distributed control strategy, a good tracking in
the joint space is shown in Figure 4.7. This good tracking is confirmed by the very small
tracking errors, less than 0.01 rad for the first joint and 0.008 rad for the second joint. For the
flexible coordinates, a small error was obtained not exceeding 0.006 rad as shown in Figure
4.8. The input torque is shown in Figure 4.9. The errors obtained explain the ability of the
distributed control strategy to cancel vibration in the links. The results of the distributed
control strategy were compared with the PD controller results (Figures 4.10-4.12). For the
distributed control method, the tracking errors of the joints and the links’ vibrations are
smaller than those resulting from the PD controller. Finally, we can conclude that the
111
distributed control strategy eliminates vibration and gives good tracking of the desired
trajectories.
4.5
Conclusion
This paper presents a distributed control strategy for flexible-link manipulators. This strategy
consists to start by controlling the last subsystem composed of the nth joint and link by
assuming that the remaining subsystems are stable. Then, working backward one subsystem
at a time toward the first subsystem, we use the same strategy. The global stability is proven
using Lyapunov approach. Experimental results, compared with a PD control, show that the
distributed control strategy gives good tracking and cancels the links’ vibration.
4.6
Appendix
Proof of proposition 4.1
Let us define the second term of the error dynamics (4.37) as follows:
( ) + ( , ) +
=
+
+
(4.67)
−
Using the transformation (4.6), the previous error dynamics is equivalent to :
( ) + ̅( , ) +
=
( )=
where
;
=
,
( )
=
and
For the ith subsystem
=
where
=[
( , )
+
−
;
=
(4.68)
=
;
;
=
=
is given as:
( ) + ̅ ( , ) +
( )=[
⋯
̅( , ) =
;
+
] ;
⋯
] ;
=[
+
̅ ( , )=[ ̅
⋯
] and
+
−
⋯
̅ ] ;
=
(4.69)
=[
0 … 010 ⋯ 0
0 … 000 ⋯ 0
⋯
×
.
] ;
112
( )=
( )=
( )+
!
where
( −
( ) ( −
)
)+
( )( −
)+⋯
evaluated at
=
( ) is a Hessian
and
( )=
( )+
( )
[
⋯
]
…
⋮
(
(
=
( )−
=
( )−
where
=∑
( )
( )
=
follows:
( )−
+
−
( )=
=
( )−
where
=∑
Taylor series for
⋮
)
)
( ) and
)
(
)
+
( )
given as
( )
( )+∑
we can write:
( )
( )−
(
( )
Using the same strategy of Taylor series for
( )=
−
⋮
−
−
⋮
−
+
.
( )
+
( ). Then, we can write:
.
and
are the high order terms of the
113
( )=
( )=
̅ ( , )= ̅
( )−
= ̅
,
,
(4.70)
̅
−
and
=
( ) + ̅
,
−
̅
−
+
+
+
−
(4.71)
Using (4.30) and (4.31), the equation (4.71) can be written as follows:
( )−
( )+
=
−
(4.72)
Using (4.29), we can deduce:
=
−
( )+
(4.73)
Then,
( ) + ( , ) +
+
=
−
+
(4.74)
CHAPITRE 5
ARTICLE 4: ADAPTIVE CONTROL FOR FLEXIBLE LINK MANIPULATORS
USING DISTRIBUTED CONTROL STRATEGY
1
2
Article soumis à la revue «Robotics and Autonomous Systems » en Février 2013.
Abstract: This paper presents an adaptive distributed control strategy for n-serial-flexiblelink manipulators. The proposed adaptive controller is used for flexible-link-manipulators 1)
to solve the tracking control problem in the joint space and 2) to cancel vibrations of the
links. The dynamical model of flexible link manipulators is reorganized to take the form of n
interconnected subsystems. Each subsystem has a pair of one joint and one link. The system
parameters are supposed unknown. The adaptive distributed strategy controls one subsystem
in each step starting from the last subsystem. The nth subsystem is controlled by assuming
that the remaining subsystems are stable. Then, proceeding backward to (n-1)th system, the
same strategy is applied, and so one until the frist subsystem is reached. The gradient-based
estimator is used to estimate the parameters of each subsystem. The control law of the ith
subsystem uses its own estimated parameters and the estimated parameters of all upper-level
subsystems. Global stability of error dynamics is proved using the Lyapunov approach. This
algorithm was implemented in real time on a two-flexible-link-manipulator and a comparison
with the non-adaptive version shows the effectiveness of this approach.
Key Words: Hierarchical control, adaptive control, flexible-link manipulators, stability,
identification.
116
5.1
Introduction
Flexible link manipulators present some inherent advantages over conventional rigid robots
such as lower energy consumption, faster response, relatively smaller actuators, higher
payload-to-weight ratio and less overall cost. They can be found in a large diversity of
applications such as: nuclear maintenance, microsurgery, space robots, contouring control,
collision control, pattern recognition, and many others. Due to all these advantages and
applications, the control of flexible link manipulators has received considerable attention in
the literature [1, 2]. Flexible link manipulators are multivariable systems and their dynamics
are strongly coupled and highly nonlinear. The dynamical model of flexible manipulators can
be considered as one multi-input and multi-output (MIMO) system and one controller is
considered for all links and joints. Many control strategies are proposed in the literature using
this configuration. When the system parameters are known, linear control [3-5], feedback
control [6-8], and sliding-mode control [9-12] have been proposed for flexible link
manipulators’ control problems. A proportional, integral, derivative (PID) controller was
used in [4] to control the flexible manipulator. The controller is presented as a general second
order linear regulator and its parameters were systematically chosen by pole placement. A
feedback control using conventional motor with a gear actuator affected by non-linear
friction torque is presented in [8] to solve the tracking problem in joint space of a flexible
manipulator. A sliding mode controller is proposed in [10] for a two-link flexible
manipulator to control the end-point position. An inverse dynamics terminal sliding mode
control strategy is proposed. Adaptive control is used when the system parameters are
unknown [13-16]. Non-adaptive and adaptive controllers were proposed in [16] for a one
flexible link manipulator to track desired trajectories in the joint space. The asymptotical
stability of the error dynamics is proved using Lyapunov theory.
When using the dynamical model as one MIMO system, all joints and links are controlled by
a single controller. In this case, the control structure becomes more complex and the real time
implementation in industrial applications is not easy [17]. To overcome this problem, the
dynamical model of a flexible manipulator can be viewed as an interconnection of multiple
117
subsystems where each subsystem is controlled using one controller. In this case, many
advantages are offered, such as simplicity of implementation, fault tolerance, reduction of
computational effort, etc. Using this configuration, decentralized control was proposed in
[18-20] for flexible link manipulators. An indirect adaptive decentralized control for a class
of two time scale interconnected systems is proposed in [18]. The dynamics of the slow
subsystem are developed using the integral manifold and the dynamics of the fast mode are
presented by the fast subsystem. The adaptive controller uses the effects of unmodeled
dynamics, identification errors, and parameter variations. Distributed control strategy was
used in [21] to track desired trajectories in the workspace for a two-flexible-link manipulator.
The redefinition output technique was used to select a non-collocated output, ensuring
stability of internal dynamics. The control strategy consists in starting by stabilizing the last
link while considering the remaining links stable. Then, the same strategy is applied
backward until the first link. Only local stability was proved for this control strategy. The
distributed control strategy was applied in [22, 23] to track workspace trajectories for rigid
manipulators.
In this paper, the distributed control strategy is modified to take into account the flexibility of
the links. In contrast to rigid manipulators, flexible manipulators are under-actuated systems,
i.e. the deflection variables are not actuated. In this case, a subsystem has two parts: in
addition to joints as in a rigid manipulator, it must also include the corresponding flexible
link. The dynamical model is reorganized, in the first step, to take the form of n
interconnected subsystems using a non-singular transformation matrix. In this form, each
subsystem contains its own parameters and the parameters of upper level subsystems. Then,
distributed control strategy is used from the last subsystem proceeding backwards until the
first one. Each subsystem is controlled by assuming that the remaining subsystems are stable
and follow their desired trajectories. The unknown parameters of the last subsystem are
estimated and used for the lower level (n-1)th subsystem. The control law of each subsystem
is developed using its own estimated parameters and the parameters which were estimated in
the previous steps. Lyapunov theory is used to conclude the global stability. A real-time
118
implementation of a two-flexible-link manipulator is given as an example of the proposed
control strategy and to show the effectiveness of this controller.
The paper is organized as follows: section 5.2 presents the modeling and problem
formulation. The distributed adaptive control strategy of a multi-flexible-link manipulator is
presented in section 5.3. Section 5.4 presents the stability analysis of the errors dynamics. In
section 5.5, the proposed control strategy is applied to two-flexible-link manipulator and
experimental results are shown. Finally, conclusions are given in section 5.6.
5.2
Modeling and problem formulation
The n-flexible-link manipulator is shown in Figure 5.1. The links are presented in a cascade
form and actuated with individual motors. An inertial payload is clamped to the end
effectors. The motion of each link is assumed to be in the horizontal plane and has a very
small deflection. Using Lagrange equations, the dynamical model of an n DOF flexible
manipulator is given by (De Luca et Siciliano, 1991):
( ) + ( , ) +
+
=
(5.1)
where M is the inertia and mass matrix, ( , ) is the Coriolis and centrifugal forces vector,
D is the friction matrix and K is the rigidity matrix. q represents the vector of the generalized
coordinates and
is the vector of the applied torques. For n rigid coordinates and n flexible
links, the deformation of the ith flexible link is given as follows:
( , )=
where
∅ ( )
( )
= 1, … ,
is the jth generalized flexible coordinate, ∅ ( ) is its jth shape function and
(5.2)
is
the number of the retained flexible modes of the ith flexible link. The total number of the
flexible modes is
=∑
and the number of the rigid modes is n.
Usually, the dynamical model (5.1) is written as couples of rigid and flexible parts as
follows:
119
0
+ 0
+
where
and
respectively.
matrix ( , ).
0
0
+ 0
0
=
0
(5.3)
are the mass and inertia matrices for the rigid and the flexible parts
is a coupled element. The same decomposition is used for the Coriolis
is the stifness diagonal matrix and
the flexible part. The subscripts
and
is the damping diagonal matrix of
denote the rigid and flexible modes. In this work we
consider only the first flexible mode of each link, then:
= 1 and z=n.
Figure 5.1 Flexible-link manipulator.
In general, the dynamical model is written as rigid and flexible parts as given in (5.3). The
generalized coordinate ( = [
] ) includes the rigid coordinates in the first n elements
and the remaining elements are the flexible coordinates. In this paper, to develop the
distributed control law, we need to reorganise the elements given in the generalized
coordinates and the dynamical model to take the form of n-interconnected subsystems. Each
120
=[
subsystem has a pair of a joint and a link (
singular matrix of transformation
] ). Then, there exists a non-
such as:
=
where
=[
one,
=[
⋯
] =[
⋯
⋯
(5.4)
⋯
] is the old generalized coordinate,
⋯
] =[
]
…
is the new
] is the generalized coordinate associated with the ith subsystem (ith joint
=[
and link) and the matrix of transformation
is given by:
10 … 000 … 0 0 0
00 … 000 … 000
=
⋮
⋮
0 0 … 0 0 0… 0 0 0
10 … 000 … 000
00 … 010 … 000 00 … 000 … 000
00 … 000 … 000 00 … 010 … 000
⋮
⋮
00 … 000 … 001 00 … 000 … 000
00 … 000 … 0 0 0 0 0 … 0 0 0 … 0 0 1
(5.5)
Using (5.4), the dynamical model (5.1) can be written as follows:
+ ( , )
( )
where
=
=
and
+
+
=
(5.6)
.
( ) + ̅( , ) +
where
=
( )=
( )
….
; ̅( , ) =
…
+
( , )
=
;
.
(5.7)
=
;
=
,
=
.
121
The obtained dynamical model (5.7) takes the form of n interconnected subsystems given as
follows:
( )
⋮
( )
where
⋮ +
=[
̅ ( , )
⋮
̅ ( , )
⋮ +
⋮
=[
…
…
] ;
̅ = [ ̅ … ̅ … ̅ ]
= [0 … 0
0 … 0]
×
;
×
,
⋮ +
= [0 … 0
]
⋮
⋮
×
=
⋮ ;
0 … 0]
;
×
̅
; ̅ =
=
0
;
0
= 0
0
;
0 … 0 1 0 … 0
0 … 0 0 0 … 0
=
×
̅
̅
×
0
0
(5.8)
=
;
̅
.
Let us define the sliding surface as follows:
=
=
We can also write:
+
+
−
−
=
⋯
] =[
=[
+
+
−
−
=
⋯
=
−
(5.9)
]
Using the transformation matrix, a new form of the sliding surface can be written as follows:
̅=
=[
⋯ ⋯
The same idea is used for , then
=
=[
⋯
] =[
=[
⋯
⋯
] =[
=[
⋯
⋯
…
]
…
⋯
(5.10)
] and
]
]
(5.11)
122
The properties that will be used in the control law development can be deduced from the
dynamical model as follows:
,
P1:
,
,
and
are symmetric positive definite matrices.
( , )−2 ( , )
=0 ∀
∈ℛ
(5.12)
Let the desired trajectory associated to the rigid part of the ith subsystem, its first and second(t), q
order derivatives be q
(t) and q
(t) respectively, and q (t), q (t) and q (t)
are those associated to the flexible part of this subsystem. The objective is to track the
desired trajectories in the joint space and cancel the vibrations of the links. The desired
positions of the flexible modes are then set to zero.
5.3
Adaptive distributed control strategy
This section presents the development of a distributed adaptive control strategy for nflexible-link manipulator to track desired trajectories in the joint space while reducing links
vibrations. The distributed control strategy consists in controlling the flexible manipulator
starting by the last subsystem and then working backward until the first one. Each subsystem
is controlled by assuming that the remaining ones are stable. For the nth subsystem, the
equation of motion is derived from (5.8) as follows:
( ) + ̅ ( , ) +
=[
where
= [0
×
…
…0
×
…
]
×
;
]
×
= [0
+
=
(5.13)
; ̅ = [ ̅ … ̅ … ̅ ]
×
…0
×
]
×
and
The generalized coordinate associate to the nth subsystem is given by:
×
;
=
00 ⋯ 1
00 ⋯ 0
×
.
123
=[
⋯
=[
⋯
(
)
]
(
)
(
]
)
(5.14)
Note that the rigid and flexible coordinates of the nth subsystem are the controlled ones while
the rigid and flexible coordinates of the remaining subsystems are the desired ones. Using the
new coordinate, the corresponding equation of motion becomes:
(
)
where the velocity
derivative of
+ ̅
,
+
+
=
(5.15)
is the time
.
There exists a vector
=
∈ℜ
with components depending on manipulators’
parameters (masses, moments in inertia, etc.), such as:
,
where
,
+
∈ℜ
known functions,
independent of the parameters
0
=
is given in (5.11) and
) + ̅
(
=
+
(5.16)
is the regressor matrix which contains all
0
∈ℜ
and
,
.
is the remaining term which is
.
The control law of the last subsystem can be proposed as follows:
=
+
+
̂
+
−
(5.17)
where
+
+
̂
+
+
=
0
̂ =
̂
̂
=
(
) + ̅
,
+
;
≠ 0
;
= 0
(5.18)
(5.19)
124
=
0
=
and
( , )
and
( )
(5.20)
+
( , )
+
̅ )
) +(
=∑
;
0
=
=(
( )
+
( ,
)
( )and
( ),respectively.
The adaptive laws for rigid and flexible parts are given as follows:
̂
=
̂
and
where
(5.21)
=
are some positive definite gains.
The same strategy is used backward for the remaining subsystems. Taking for example the ith
subsystem, the equation of motion using the new associated coordinate is given as follows:
where
0 … 010 ⋯ 0
0 … 000 ⋯ 0
×
( )
+ ̅
=[
⋯
,
=
;
+
⋯
…
̅ =
×
0
0
0
(5.22)
=
] ; ̅ = [ ̅ ⋯ ̅
…
=[
;
+
] ;
=[
;
0
= 0
×
…
̅ ] ;
⋯
…
0
and
=
]
=
×
and the corresponding coordinate is:
×
=[
=[
⋯
(
)
] , = 1, … , and ≠ ,and
(
)
=[
]
(5.23)
] .
125
=[
There exists a vector
] ∈ℜ
with components depending on
0
=
manipulators’ parameters and the regressor matrix
which contains all
0
known functions such as:
,
where
,
+
( ) + ̅
=
are the terms independent of
,
+
(5.24)
.
The proposed control law is given as follows:
=
+
+
̂ +
−
(5.25)
where
+
+
̂ +
+
;
=
0
̂ =
;
̂
=
̂
( ) + ̅
=
( )
=∑
and
̅ =
and
̅ ( , )
≠ 0
+
+
,
=
+
̅
( );
=
0
̅ ( , )
(5.26)
= 0
+
(5.27)
(5.28)
0
+
̅
( ,
)
( )and
( ),respectively.
The corresponding adaptive laws are given as follows:
̂ =
(5.29)
126
̂
=
The ith control law is presented in Figure 5.2.
Sliding
surface
Flexible manipulator
−
+ ̅
̂
+
Parameters
estimation
The n control laws can be written as follows:
=
where
=[
̂
̂ =[
…
…
] and
+
+
̂ +
̂ ] ,
=[
= diag(
−
…
(5.30)
] ,
=[
…
] ,
)
The adaptive laws are given as follows:
̂ =
(5.31)
̂ =
where
=
(
) and
=
(
) are some positive definite gain matrices.
127
nth
subsystem
n-th
̂
( ̂ )
control law
̂
(n-1)th
(n-1)-th
̂
b
( ̂ , ̂
control
̂ , ̂
)
law
i-th
i
th
subsystem
̂ , ̂
control
,…, ̂
( ̂ , ̂
,…, ̂ )
law
̂
First
control
First
subsystem
̂ , ̂
,…, ̂ ,…, ̂
̂
law
Figure 5.3 Distributed adaptive control strategy.
Figure 5.3 shows the distributed adaptive control strategy. Starting with the last subsystem
and using its own estimated parameters, the nth control law is developed. Then going
backward to the (n-1)th subsystem, the control law is computed using its own estimated
parameters and the estimated parameters of the nth (upper level) subsystem. For an ith
subsystem, the controller depends on its own estimated parameters and the estimated
parameters of all upper level subsystems (nth, ….,(i+1)th). The same strategy is used for each
subsequent subsystem until the first one.
128
5.4
Stability analysis
The global stability is studied by inserting the control law (5.30) in the initial dynamical
model (5.1). From (5.9), the velocity
=
−s
=
−s
can be written as follows:
(5.32)
Using (5.32) and (5.1), the error dynamics can be deduced as follows:
( ) + ( , ) +
+
( ) + ( , ) +
=
+
+
−
(5.33)
Proposition 1: The error dynamics (5.33) is equivalent to the following expression:
( ) + ( , ) +
+
=
− +
+
+
+
(5.34)
+
Proof: See Appendix.
For the stability analysis, let us define the following positive Lyapunov function:
=
=
where
;
= diag(
1
2
,
( ) +
),
1
2
(5.35)
=
+
Take the time derivative of ( ) to get
( )=
=
1
2
( ) +
− ( , ) −
1
2
( ) +
−
+
+
− +
+
+
+
+
( ) +
129
=−
( +
) +
=−
( +
) +
+
− +
+
+
+
+
where
=
+
− +
+
+
+
+
=
+
(5.36)
Proposition 2
Using the dynamical model (5.1) and the control law (5.30), the error dynamics is globally
asymptotically stable and the time derivative of
( ) is equivalent to the following
expression:
( )=−
( +
)
(5.37)
Proof: See Appendix
5.5
Experimental results
The system considered in this work is the two-flexible-link manipulator manufactured by
Quanser, shown in Figure 5.4. It consists of two motors, two flexible links, and a payload. It
moves in the horizontal plane and is connected by rigid revolute joints. Two motors actuate
the system and generate the torques. Each flexible link is supposed uniform, has a mass mi
and length Li.
(
,
,
is the fixed reference frame. (
,
) moves with the first link while
) moves with the second link. The flexible links are modeled as Euler-Bernoulli beams
and the deformations of the links are assumed to be small.
130
,
( )
,
( )
The model of the two-flexible-link system given in(De Luca et Siciliano, 1990; 1991) is
modified in this work by only considering the first flexible mode of each link (Fareh, Saad et
= 2,
Saad, 2013a). Then, we have
= 2and
=
= 1. The dynamical model of the
two-flexible-link manipulator is given in (5.3), where:
=
;
;
=
=
=
;
;
=
0
0
and
;
=
=
;
=
0
0
The control strategies presented in the previous sections are applied and implemented on the
two-degree-of-freedom (dof) Serial Flexible Link robot (Figure 5.4) manufactured by
Quanser. The system consists of two hubs with two serial flexible links actuated by two
motors. The tips deflection is measured using two strain gauges clamped at the base of each
flexible beam. Table 5.1 shows the system parameters.
131
Figure 5.5 Quanser two-link flexible robot.
Parameter
Table 5.1 System parameters
Link 1
Link 2
Link length (Li)
Link moment of inertia
0.202 m
0.17 kg.m2
0.2 m
0.0064 10-6 kg.m2
Elasticity
2.068 1011 N/m2
2.068 1011 N/m2
Gear ratio
Drive Torque constant
100
0.119 Nm/A
50
0.0234 N.m/A
Drive moment of inertia
7.63 10-4 kg.m2
44.55 10-6 kg.m2
Rotor moment of inertia
6.28 10-6 kg.m2
1.03 10-6 kg.m2
Maximum Rotation
+/- 90 deg
+/- 90 deg
The experimental setup of the serial two flexible links robot manipulator is shown in Figure
5.5. It consists of a Q8 terminal board, DAQ system, sensors such as strain gauges, encoder
and limit switches. The proposed controllers are tested on Real-Time using Workshop
(RTW) of Mathworks®.
132
P
Linear current
Amplifier
Q8
Encoder
signal
Control signal
Current sensor signal
Quanser two links flexible
Figure 5.6. Real time setup.
The desired trajectory of the joint can be represented by a polynomial function given by the
following expressions (Craig, 2005) (see figure 5.7):
for 0 ≤ ≤
( )=
+
+
+
+
+
(5.38)
( )=
+
+
+
+
+
(5.39)
= 5 . For ≥
,
( )=
( )=
and
( )=0
( ) = . For the flexible mode:
(5.40)
0.2
0.1
0.3
0.15
0.05
0.2
0.1
0.1
0.05
0
0
5
(a)
10
0
5
(c)
0
-0.05
-0.1
10
0
0.4
0.2
0.6
0.3
0.1
0.4
0.2
0
0
5
(b)
time (s)
10
ddqrd2(rad/s 2)
0.8
dqrd2 (rad/s)
qrd2 (rad)
0
ddqrd1 (rad/s 2)
0.4
dqrd1 (rad/s)
qrd1 (rad)
133
0.2
0.1
0
0
5
(d)
time (s)
10
5
(e)
10
0
-0.1
-0.2
0
5
(f)
time (s)
10
Figure 5.7. Desired trajectories: (a)-(b) position, (c)-(d) velocity,
(e)-(f) acceleration of rigid part.
Using a trial and error method, the controller’s gains are chosen as follows: for the
= 15;
distributed adaptive control strategy, the selected gains are:
25and
= 10,
=
= 10.
For an i-th subsystem, the previous theoretical development of the control law is given in the
general case. For the sake of simplicity and the real-time implementation, a finite order
=
Taylor series is fixed. The Taylor series is limited to the first order. Then,
= 0.
The uncertain parameters are chosen as follows:
For the second subsystem
=[
] and
For the first subsystem:
=[
where
] and
] :
=[
=[
=[
=[
] . Then
is developed using ̂ .
] :
] ;
is developed using ̂ ,
is given in (De Luca et Siciliano, 1991) and
=
+
and
+
.
The experimental results of the distributed control are shown in Figures 5.8-5.10.
.
+
+
134
0.8
0.4
desired
real
0.7
0.35
0.5
0.4
0.3
0.25
0.2
0.15
0.2
0.1
0.1
0.05
0
desired
real
0.3
qr2 & qrd2 (rad)
qr1 & qrd1 (rad)
0.6
0
2
4
6
8
0
10
0
2
4
(a)
-3
3
6
8
10
(b)
-3
x 10
1.5
x 10
2.5
1
er2 (rad)
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
0
2
4
6
8
-1
10
(c)
time (s)
0
2
4
6
8
10
(d)
time (s)
Figure 5.8 Adaptive control: (a)-(b) joints’ tracking trajectories,
(c)-(d) joints’ tracking errors.
-3
x 10
1
0.5
ef1
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
(a)
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
(b)
time (s)
6
7
8
9
10
-4
2
x 10
0
ef2
er1 (rad)
2
1.5
-2
-4
-6
0
Figure 5.9. Adaptive control: errors of flexible part.
135
15
10
tau1 (N)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
time (s)
6
7
8
9
10
10
tau2 (N)
5
0
-5
-10
0
1
Figure 5.10 Adaptive control: control input.
To show the contribution of the developed adaptive distributed control method, the results
were compared with a non-adaptive control version. The experimental results of the nonadaptive controller are given in Figures 5.10-5.13.
0.4
0.6
qr2&qrd2(rad)
qr1&qrd1(rad)
0.8
desired
real
0.4
0.2
0
0
2
4
8
0.2
0.1
0
10
x 10
0
2
4
6
8
10
6
(d)
time (s)
8
10
(b)
-3
10
10
x 10
5
er2(rad)
er1(rad)
desired
real
(a)
-3
15
6
0.3
5
0
0
-5
0
2
4
6
(c)
time (s)
8
10
-5
0
2
4
Figure 5.11 Distributed control: (a)-(b) joints’ tracking trajectories,
(c)-(d) joints’ tracking errors.
136
-3
x 10
8
ef1 (rad)
6
4
2
0
-2
0
2
4
2
4
6
8
10
6
8
10
-3
ef2 (rad)
2
x 10
1
0
-1
0
time (s)
Figure 5.12 Distributed control: errors of the flexible parts.
15
tau1(N)
10
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
time (s)
6
7
8
9
10
10
tau2(N)
5
0
-5
-10
0
1
2
3
Figure 5.13 Distributed control: control input.
According to the experimental results, a good tracking is obtained in the joint space for the
distributed adaptive control strategy. The tracking of the desired trajectory of joint 1 is shown
in Figure 5.8-a and that of joint 2 is given in Figure 5.8-b. The tracking errors of joints 1 and
2 are given in Figures 5.8-c and 5.8-d, respectively. The good quality of the tracking obtained
is confirmed by the tracking errors which do not exceed 0.0025 rad for joint 1 and 0.001 rad
for joint 2. For flexible part, the desired trajectories are set to zero to minimize vibration in
137
the links. The errors, shown in Figure 5.9, are less than 0.0005. The control input for joints 1
and 2 are given in Figure 5.10. The non-adaptive version was tested on the two-flexible-link
manipulator using the same desired trajectories. Figure 5.11 shows the tracking of joints 1, 2
and the corresponding tracking errors. The tracking errors of the flexible part are given in
Figure 5.12, while the input torque signals are given in Figure 5.13. For the adaptive
distributed control method, the tracking errors of the joints and the links’ vibrations are
smaller than those resulting from the non-adaptive control. Therefore, we can conclude that
the adaptive controller reduce the vibrations and gives a good tracking of the desired
trajectories.
5.6
Conclusion
This paper presents a distributed adaptive control strategy for flexible links manipulators.
The control strategy consists in reorganizing the dynamical model into n subsystems. Each
subsystem has a pair of joint and link. We start by controlling the last subsystem, then we
progress backward until the first subsystem. The control law of a subsystem uses its own
estimated parameters and the parameters already estimated in the upper level subsystems.
The global stability is proved using Lyapunov theory. Experimental results compared with a
non-adaptive controller show that the distributed adaptive control strategy gives good
tracking and reduces the links’ vibrations.
138
5.7
Appendix
Proof of proposition 1
From the error dynamics (5.33), let us define the second term as follows:
( ) + ( , ) +
=
=
=
;
+
̅ and
=
where
̅ =
;
+
+
( ) + ̅( , ) +
=
.
;
( )=
(5.41)
. Equation (5.41) becomes:
By multiplying (5.42) by the transformation matrix
̅ =
−
and equations: (5.4), (5.9) and (5.11), we can write:
+ ( , )
( )
=
=
;
+
( )
̅+
(5.42)
, we obtain:
+
̅+
−
̅( , ) =
;
−
(5.43)
( , )
=
;
;
=
th
For the i subsystem, ̅ is the ith element of ̅ and is given as follows:
( ) + ̅ ( , ) +
̅ =
=[
where:
…
]
…
= [0
×
…
…0
×
]
= [0
×
…
…0
×
]
×
;
×
+
+
̅−
(5.44)
; ̅ = [ ̅ … ̅ … ̅ ]
= [0
×
…
…0
×
]
×
×
;
=[
0] .
,
( )=
where
( )+
( ) ( −
)+
1
( −
2!
)
evaluated at
( )( −
=
and
)+⋯
( ) is a Hessian
139
( )=
( )+
( )
[
⋯
]
…
⋮
(
(
=
( )
( )−
+
( )=
where
( )
=∑
=
follows:
−
⋮
−
−
⋮
−
)
(
)
+
( )
( )
( )−
−
( )−
⋮
)
)
(
(5.45)
( ) and
( )
( )+∑
given as
. The same idea is used for the
Coriolis matrix C:
̅ ( , )= ̅
,
̅
−
(5.46)
Using (5.45) and (5.46), we can write:
( )=
( )−
̅ ( , )= ̅
,
(5.47)
̅
−
and (5.44) becomes:
̅ =
where:
( ) + ̅
,
−
] =
=[
̅=[
̅
−
̅
+
;
+
+
= [0
+
̅−
(5.48)
] ;
]
Using (5.24), the last equation (5.48) can be written as follows:
̅ =
+
+
+
−
−
+
−
+
(5.49)
140
Using (5.25), we can deduce:
̅ =
=
where
= 0 );
+
− ̂
=
− +
−
+
=− ̂
and
−
=
(5.50)
+
(the system parameters
are assumed constant, then
.
The n elements of ̅ can be written as follows:
̅ =[ ̅
As done for ,
and ,
=−
where
…
̅ ]
(5.51)
can be reorganized as rigid and flexible parts using the matrix
=
̅ =[
+
and
⋯
⋯
=
+
]
−
:
(5.52)
+
+
Then, (5.43) can be written as:
=
… ] ;
= [
where
= [
= [
− +
−
+
+
… … … = [
(5.53)
+
] ;
]
] ;
=
(
);
=
(
+
− +
−
+
); = 1 … .
The error dynamics (5.33) is equivalent to:
( ) + ( , ) +
+
=
+
(5.54)
As given in section 5.2, ̅ , ̅ ,
of the vectors: ,
,
̅ and ̅ can be obtained by changing the order of elements
and . Then, we can write:
141
( ) + ( , ) +
+
=
= ̅
− +
−
+
+
̅
̅=
(5.55)
+
̅ =
(5.56)
and
=
̅ + ̅
̅
̅ =
+
(5.57)
=
where
=
+
=[
; ̅ =
− +
+
+
+
;
+
]
We can write:
0
=
=
0
(5.58)
+
Then:
=[
=−
]
− +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=−
+
+
+
+
=
+
The parameters system
̂ ;
= − ̂ and
=
− ̂
+
+
+
+
− ̂ +
+
+
+
+
and
−
+
+
−
̂
=
are assumed constant, then:
= − ̂ . Then :
+
+
− ̂
+
−
+
+ ̂
̂
− ̂ ;
=
−
142
Using the adaptive laws of the ith subsystem:
̂ =
(5.59)
=
(5.60)
̂
then:
=−
+
+
+
+
+ ̂
̂
(5.61)
Using (5.26), the equation (5.61) becomes:
+
=−
+
+
=−
=−
+
+
+
+ ̂
̂
+
+
+
̂
̂ +
+
̂
+ ̂
+
̂ +
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
̂
= 0. Then
Using the adaptive law (5.60), we can conclude that
= 0 and the time
derivative of V becomes:
( )=−
Since
are positive matrices, then
and
Using (5.62),
dynamics (5.34),
conclude that
)
( ) ≤ 0.
(5.62)
( ) is a continuous function of .
( ) is nonincreasing in t. Then we can conclude that , definition of s given in (5.9), equivalently,
( +
‖ ‖
and from the definition of ,
. On the other hand, we have −
< ∞, i.e.
→ 0 as → ∞, i.e., ,
. From the
. Using the error
= (0) − (∞) < ∞ or
. Using Barbalat Lemma (Slotine et Li, 1991) we can
→ 0 asymptotically as → ∞.
CHAPITRE 6
ARTICLE 5: WORKSPACE TRAJECTORY TRACKING CONTROL FOR TWOFLEXIBLE-LINK MANIPULATOR THROUGH OUTPUT REDEFINITION
1
2
Article publié à la revue «International Journal of Modelling, Identification and Control » en
Février 2013.
Abstract
In this paper, a control strategy and a stability analysis for a two-flexible-link manipulator are
presented to track a desired trajectory in the workspace. The inverse dynamics problem is
solved using a virtual space and the quasi-static approach. Flexible manipulators are nonminimum phase systems when the controlled output is the tip position. To overcome this
problem, an output redefinition technique is used. Two steps are presented to control the
manipulator’s tip position. First, assuming that the first link is stable, we develop a control
law for the last link to stabilize the error dynamics using the feedback linearization approach.
The weighted parameter defining the non-collocated output is selected to guarantee bounded
internal dynamics such that the output is as close as possible to the tip. Second, the same
strategy is followed for the first link. Simulation results are presented to show good tracking
of the desired trajectory in the workspace.
Keywords: Flexible manipulators, dynamic inversion, output redefinition, feedback
linearization, passivity.
144
6.1
Introduction
Control of flexible manipulators has been the focus of much research in recent years. This is
due to the many advantages of flexible manipulators as compared to rigid manipulators. For
instance, flexible manipulators are faster, less massive and consume less energy. Since the
tasks are defined in the workspace, many studies were interested in controlling the tip of such
manipulators (De Luca et al., 1998; Matsuno and Hatayama, 1999; Wang and Yu, 2010;
Wang et al., 2009; Zhao-Hui, 2002; 2008). For flexible manipulators, the workspace and the
joint space are linked by kinematic and dynamic relationships. The inverse kinematic is then
not sufficient to transform the desired trajectory, defined in the workspace, to the joint space.
To solve this problem, an intermediate space, called virtual space (Bigras et al., 2003; de
Luca and Siciliano, 1989; Lucibello and Di Benedetto, 1993) is defined. The virtual space is
linked to the workspace by a simple kinematic relation and has the same number of degreesof-freedom (DOF) as the joint space. There are two steps to transform the desired trajectory
from the workspace to the joint space. The first one represents the transformation from the
workspace to the virtual space by using an inverse kinematic. In (de Luca and Siciliano,
1989), the virtual space coordinates for a one flexible link manipulator is used and in (Bigras
et al., 2003), it is used for a class of manipulators where the last link is flexible. In the second
step, the transformation from the virtual space to the joint space is achieved by solving
nonlinear equations characterizing the flexible part. In (Pfeiffer, 1989), the quasi-static
approach is used to adjust the desired trajectory of the joints by taking into account link
deformations. In (Kwon and Book, 1994), an iterative solution using a causal-anticausal
integration method is proposed to solve the inverse dynamic problem. When controlling the
position of the end-effector, flexible link manipulators are non-minimum phase systems
(Cannon and Schmitz, 1984). To overcome this problem, the output redefinition technique is
used in (Lucibello and Di Benedetto, 1993; Moallem et al., 2001; Saad et al., 2000) to
guarantee stable internal dynamics. The redefined output is usually chosen as the motor’s
angle augmented by a weighted value of the tip angle. The weighting parameter is chosen
such that the selected output is the closest to the extremity with stable zero-dynamics.
145
Multi-link flexible manipulators can be seen either as a one MIMO system or as
interconnected SISO subsystems. In the first case, many control schemes use a single
controller for all joints and links. The feedback linearization technique is used in (Atashzar et
al., 2010; Bigras et al., 2003; Modi et al., 1993; Woosoon, 1994) to control flexible
manipulators in the joint space. In this case, the input torques and the joints’ position outputs
are collocated; the internal dynamics are then bounded (Woosoon, 1994). The non-minimum
phase characteristic limits the application of the feedback linearization approach to control
the end-effector position. This problem can be solved by the output redefinition technique.
Adaptive control is also used for flexible link control in (Bai, 1998; Hoseini, 2010; Yang and
Jung Hua, 1997). A sliding mode approach is used in (Cheung, 1995; Elkaranshway, 2011)
for flexible link manipulators.
In the previous nonlinear control strategies, a single controller is used for all joints and links
of flexible manipulators wich are regarded as one MIMO system. Unfortunately, due to the
complexity of the control structures, it is not easy to use this configuration on the real-time
implementation in industrial control systems (Fu et al., 1987). For this reason, many
industrial controls are viewed as interconnected subsystems (joints and links). Many
advantages exist in this case such as reduction of computational effort, simplicity of
implementation, etc. For this configuration, many control strategies are used. The
decentralised control approach is used in (Bona and Li, 1992; Feiyue et al., 1993) for flexible
link manipulators. An independent joint control method is also used in (Hillsley, 1993). A
hierarchical control strategy is used in (Fareh et al., 2012 ) to solve the tracking control
problem in the workspace for a 7-DOF hyper redundant articulated nimble adaptable trunks
(ANAT) rigid manipulator. The hierarchical control strategy consists in controlling the last
joint while assuming that the remaining joints are stable and follow their desired trajectories.
Then, going backward, the same strategy is applied to control the (n-1)-th joint while
assuming the remaining joints stable and follow their desired trajectories, and so on until the
first joint. The feedback linearization approach was used to develop the control law and
asymptotical stability is proved using Lyapunov theory. This algorithm was experimented on
146
the 7-DOF ANAT manipulator and gave effective results and good tracking of a desired
trajectory defined in the workspace.
In this paper, a nonlinear control strategy ensuring trajectory tracking in the workspace is
proposed for two-flexible-link manipulators. To solve the non-minimum phase problem, the
output redefinition method is used to select a non-collocated output ensuring stability of
internal dynamics. First, to solve the inverse dynamic problem, a trajectory transformation
from the workspace to the joint space through a virtual space is used. Secondly, a nonlinear
control strategy for the flexible manipulator is presented. This strategy is valid for n flexible
links and is based on a hierarchical form. In fact, we begin by stabilizing the last link by
considering the remaining links stable. Thereafter, we go backward until the first link. The
stabilization of an i-th link is ensured using the feedback linearization approach. The noncollocated output is parameterized with a real parameter that is selected to guarantee bounded
internal dynamics. In this paper, we use passivity and the circle criterion to analyze stability
of the tracking error dynamics and to determine the new weighted outputs for two-flexiblelink manipulators. The simulations show the effectiveness of the proposed method.
The paper is organized as follows: section 6.2 presents a description and modeling of the
two-flexible-link manipulator. Section 6.3 proposes a transformation of the desired trajectory
from the workspace to the joint space. The nonlinear control strategy is given in section 6.4.
Section 5 presents the application and simulation of the proposed control strategy to the
system at hand. Finally, conclusions are given in section 6.6.
6.2
Modeling
The system considered in this work is shown in Figure 1. It is a two-link flexible manipulator
moving in the horizontal plane and connected by rigid revolute joints. It consists of two
motors, two flexible links, and a payload. Two torques generated by the motors are acting on
the system. The angle of the i-th motor is
( ), its inertia coefficient is Imi (i=1,2). The i-th
flexible arm, supposed uniform, has a mass mi and length Li, linear density ρi, and rigidity
147
EIi. The payload has a mass mp. The first link is attached to the first motor and the second
,
link is clamped to the rotor of the second motor.
(
,
), and (
,
link, respectively.
is the fixed reference frame, while
) are the links neutral axes and are moving with the first and the second
,
is linked to the second base. The flexible links are modeled as
Euler-Bernoulli beams and the deformations are assumed to be small.
Using the Lagrangian formulation, the equation of motion of an n DOF manipulator can be
written as:
( ) + ( , )+
+
=
(6.1)
where M is the mass matrix, D is the friction matrix, K is the rigidity matrix, and ( , ) is
the Coriolis and centrifugal forces vector. q represents the vector of the generalized
coordinates, and τ is the vector of the applied torques. Assume that there are a total of n rigid
coordinates and n flexible links, the deformation of the i-th flexible link can be expressed as
follows:
( , )=
where
∅ ( )
( )
= 1, … ,
(6.2)
is the j-th generalized flexible coordinate of the i-th flexible link, ∅ ( ) is its j-th
shape function and
flexible modes is
is the number of the retained flexible modes. The total number of the
=∑
. In (Saad et al., 2006), a detailed comparison between
assumed based models and finite element ones has been carried on a single flexible link
system for one to eight flexible modes. This comparison shows that clamped beam shape
functions for the AMM and cubic spline finite elements for the FEM describe best the shape
functions of flexible link manipulators.
In our case, we have modified the model of the two flexible links presented in (De Luca et
Siciliano, 1990; 1991) by only considering the first flexible mode of each link (see Appendix
B).
148
,
( )
,
( )
= 2, and
Then, we have
+
=
= 1. Equation (6.1) can be written as:
( , )
0
+ 0
( , )
0
0
+ 0
0
=
(6.3)
0
where:
=
;
The subscripts
and
=
;
=
;
=
denotes the rigid and flexible modes for the i-th link.
generalized coordinates associated with the movement of the rigid part, and
associated with the
,
,
,
∈ℜ
are
flexible part. The dynamical equation of motion of the flexible
manipulators has the following properties:
P1:
∈ ℜ are the
and
are symmetric positive definite matrices.
149
P2: The first and second links are characterized by two sub-matrices:
and
=
P3: There exist a matrix
2
6.3
=
that are symmetric positive definite.
( , ) such that
( , )=
( , ) and ∀ ∈ ℜ
,
−
= 0.
Trajectory transformation
In this section, we transform in the desired trajectory from the workspace to the
manipulator’s joint space. The flexible manipulator is a non-minimum phase system when
the end-effector is considered as the output (Cannon et Schmitz, 1984). In the linear case,
transfer functions have one or more zeros in the right half s-plane. For the nonlinear system,
the zero dynamics are unstable.
The workspace and the joint space are linked by kinematic and dynamic relationships. In the
first step, we use the kinematic relation to transform the desired trajectory from the
workspace to a virtual space. In the second step, we transform the desired trajectory from the
virtual space to the generalized flexible coordinates space. The flexible coordinates are
calculated by solving a nonlinear equation for the flexible part using the quasi-static
approach. The generalized rigid coordinates are deduced from the generalized flexible
coordinates and the generalized coordinates defined in the virtual space. The transformation
of the desired trajectories from the workspace to the joint space is shown in Figure 6.2.
150
Work
Kinematic
space
relation
Virtual
Quasi-static
Joint
approach
space
space
Figure 6.2 Transformation of the desired trajectories.
Then, it is easy to find the virtual generalized coordinates using an inverse kinematic as done
for rigid manipulators. For an i-th link, the virtual coordinate
relative to
is the link’s angular position
as shown in Figure 6.3.
Figure 6.3 Virtual space.
The deformation is assumed to be small. According to Figure 6.3, we can write:
−
=
(
)≈
(6.4)
Then, the generalized coordinate in the virtual space is:
=
+
(6.5)
151
=
where
∅ ( ), … , ∅
( ) , with
being the length of the i-th flexible link, and
∅ is the shape function of link i and mode j. The velocity and the acceleration in the virtual
space can be found using the Jacobian matrix.
The quasi-static approach (Pfeiffer, 1989) can be used to compute the generalized flexible
and rigid coordinates in the joint space. This approach neglects the velocity and acceleration
=
of the flexible coordinates (
= 0) when solving the inverse dynamics for the desired
flexible trajectories. From (6.3), we get:
+
+
Neglecting
and
( , )+
+
=0
and using (6.5),
is found by solving the following nonlinear
equation:
(
)
+
(
,
)+
=0
(6.6)
=
(6.7)
where
=
−
;
=
;
In the final step, the generalized rigid coordinates are given by (6.7).
6.4
Control Strategy
6.4.1
Hierarchical control strategy for n flexible links
The control strategy presented in (Fareh, Saad et Saad, 2012 ) was applied and experimented
on a 7-DOF rigid manipulator. This strategy is modified to take into account link
flexibility. In fact, the control strategy consists in stabilizing the last joint and flexible link by
assuming that the remaining joints and flexible links are stable. Then we go backward to the
(n-1)-th joint and flexible link assuming the previous joints and links are stable, and so on
until the first joint and flexible link. In each step we define a new non-collocated output and
we use the feedback linearization approach to develop the control law. The weighted
parameter characterizing the non-collocated output, that ensures bounded internal dynamics,
152
is found by studying the asymptotical stability of the resulting tracking error dynamics. The
control strategy is shown in Figure 6.4.
For each link, we follow the following steps:
Step1. Set = ; Assume that the first (i-1) joints and links are stable, i.e. the generalized
coordinates follow their desired trajectories.
Step2. Stabilize the i-th joint and flexible link by applying the following procedure:
Define a new non collocated output as the angle of the i-th motor augmented by a weighted
value of the i-th link’s extremity angle:
=
+
,
0≤
(6.8)
<1
Redefine the dynamical model with the new generalized coordinates:
=[
(6.9)
]
The new model is obtained by replacing in (6.3) the i-th rigid generalized coordinate
the new non-collocated output
Develop the control law
by
given in (6.8).
by applying the feedback linearization approach: first, separate
the i-th acceleration of the flexible generalized coordinate
from the flexible part of the
new model. Second, insert this term in the rigid part to obtain the following form of the
control law:
= ( ,
where
,
)
(6.10)
is a control law that ensures tracking of the new output. Finally, the linearized
dynamics and the internal dynamics take the following form:
=
= ( ,
(6.11)
,
Find the critical value of the weighted parameter
)
such that the output is the nearest to the
i-th link’s extremity while ensuring bounded internal dynamics. Then, study the asymptotical
stability of the errors dynamics of the flexible part and choose the critical value which
corresponds to its limit of stability. The passivity is used to analyze the stability.
153
Step3. Set =
− 1 and go back to Step1.
i=n
New non collocated output (8)
New Model
Control law (10)
Critical value of
i=i-1
No
i=0
Yes
End
Figure 6.4 Control strategy.
6.4.2
Application to two flexible links manipulator
We now apply the previous strategy to a two-flexible-link manipulator as shown in Figure
6.1. From (6.3), the dynamical model is given by:
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
(6.12)
(6.13)
154
+
+
+
+
+
+
=0
(6.14)
+
+
+
+
+
+
=0
(6.15)
In the first step, we transform the desired trajectories in triangular form (Figure 6.5) from
workspace to joint space. By following the same strategy given in section 6.3, the virtual
space is defined as if it was a 2-DOF rigid manipulator as follows:
=
=
=
where
;
=
+
+
∅( )
, = 1,2;
(
); and
=
=
=
(
2(
=± 1−
;
=
)−
)
2( ,
2( ,
,
;
)
=
(6.16)
+
=
and
).
Using the Jacobian, the velocity and acceleration of the virtual coordinates are given by:
(
=
where (
)=
)
− s − s
c + c
=
;
− s
c
(
)
− (
)
(6.17)
.
Using (6.16), the rigid coordinates and their time derivatives are replaced in (6.12)-(6.15) by
the following expressions:
=
−
;
=
;
=
; = 1, 2
(6.18)
The generalized flexible coordinates are calculated using the following nonlinear equations:
155
+
+
,
,
+
=0
(6.19)
+
+
,
,
+
=0
(6.20)
The generalized rigid coordinates are then given by (6.18).
6.4.2.1
Control and stability of the second link
We assume in this section that the first link is stable. Then its generalized coordinates,
velocities, and accelerations follow their desired trajectories.
=[
] ;
0] ;
=[
0]
=[
The dynamical equations of the second link are given by (6.13) and (6.15):
The objective is to stabilize the second link and to track the desired trajectory in the
workspace by selecting a non-collocated output close to the tip. The new output is given by:
=
where
=
∅ (
+
β
0≤
,
(6.21)
<1
)
.
The generalized rigid coordinates of the second link and their derivatives can be expressed as
follows:
=
−
β
;
=
−
β
;
=
−
(6.22)
β
By substitution (6.22) in (6.13) and (6.15), the new dynamical model is given by:
+
+
+(
+(
−
−
β
)
β
)
+
+
+
(6.23)
=
+
=0
(6.24)
156
By isolating
in (6.24), the internal dynamics of the second link is given by:
=−
where:
=(
−
− ̅ −
−
) . , and
β
(6.25)
−
≠
is chosen such that:
Inserting (6.25) in (6.23), the control law is chosen as follows:
∗
=
where:
∗
∗
=
∗
−(
=
−(
−
= −(
−
∗
+
−
)
β
) ̅ ;
β
)
β
∗
+
∗
.
;
= −(
+
∗
∗
=
−
(6.26)
∗
+
−(
)
β
−
β
)
;
;
is the new control law.
Proposition 6.1
By considering the transformation matrix
=[
coordinates
∗
]
≠
is then nonzero if
=
1
0
β
1
between the new generalized
and the former generalized coordinates
=[
] ,
.
The proof of proposition is given in Appendix A.
To ensure the stability of the output tracking error, we choose the new control law as follows:
=
where
=
=
−
+
β
+
(6.27)
+
is the desired acceleration of the new weighted output, and
is its tracking error.
,
The tracking errors dynamics for the new output and internal dynamics are:
157
=
=
−
= −(
−
−
)
=
−(
(6.28)
−
)−( ̅
− ̅)
(6.29)
−
−
−
−
In state space form, (6.28)-(6.29) can be written as:
=
=
=
=
=[
Let
=
−
−
=
−
=
−
] =[
=[
] ;
] =
(6.30)
;
=[
] ;
.
The origin of (6.30) is asymptotically stable if the system is output passive and zero-state
observable (Khalil, 1996).
Proposition 6.2
The system (6.30) is output passive and
and the input
,
→ 0 as → ∞ if
is chosen as the output
is given by:
=
+
(6.31)
+
Proof: see Appendix A.
It remains now to verify the second condition (zero-state observability) by cancelling the
input and the output in the error dynamics of the flexible part. After that we study the
asymptotical stability of the origin and find the critical value of
, if it exists.
158
Proposition 6.3
The error dynamics of the flexible part given in (6.29) can be represented as a feedback
connection of a linear system and a nonlinear memoryless element:
:
=
+
=
(6.32)
=− ( , )
=
where
−
0
( )
1
;
− ( )
= (
−
0
β
)
;
= [−
β
0]and
( , ) is a nonlinear element (see Appendix A for the demonstration).
Proposition 6.4
If the nonlinearity element
then the origin
( , ) is passive and the linear system is input strictly passive,
= 0 of (6.32) is asymptotically stable (Khalil, 1996).There exists
≤
that ensures the asymptotical stability of the origin.
The proof of Proposition 6.4 is given in Appendix A.
The critical value of
is selected such that
is Hurwitz and the Nyquist diagram of
lies
in the right half-plan (Khalil, 1996).
6.4.2.2
Control and stability of the first link
After the stabilization and control of the second link, we follow the same strategy to control
and stabilize the first link. The dynamical equations of the first link are given in (6.12) and
(6.14).
We define the new weighted output, velocity and acceleration as follows:
159
=
+
β
;
=
+
β
;
=
+
β
.
Then,
=
−
β
(6.33)
Substituting (6.33) and its derivatives into (6.14), the internal dynamics is:
=−
where:
=(
−
− ̅ −
−
)
β
and
−
(6.34)
≠
is chosen such that
.
The control law is chosen by inserting (6.34) in (6.12);
∗
=
where:
∗
∗
=
−(
β
)
∗
−(
=
−
−
β
∗
+
+
)
β
) ̅;
∗
∗
;
∗
∗
+
=
= −(
∗
+
−
(6.35)
−(
−
β
β
)
;
)
∗
= −(
−
is nonzero using the Schur complement as in the previous section.
To track the desired new output trajectory, we choose the following control law:
=
+
+
where
is the desired acceleration,
output,
and
=
(6.36)
−
is the tracking error of the new
The errors dynamics of the new output and the flexible coordinates are given by the
following state space model:
Let:
=[
] =[
=
=
=
=
−
=
=
=
=
−
] ;
=[
] =
(6.37)
;
=[
] .
160
→ 0 as
As already shown, the system is output passive and
→ ∞ if we consider the
following strictly passive control (Khalil, 1996).
=−
−
+
(6.38)
The error dynamics of the flexible part (6.34) can be expressed as:
=
where ,
,
=
( ,
,
)
,
,
,
(6.39)
=
,
=
, and
( ,
,
) is given in
Appendix A.
It remains to check the zero-state observability by setting the input and output to zero and
studying the asymptotic stability of the origin of the errors dynamics.
Proposition 6.5
The asymptotical stability of the origin of (6.39) is equivalent to the asymptotical stability of
the following system:
=
where
and
0
−
1
(6.40)
−
are given in (6.34). The proof of proposition 6.5 is given in Appendix A.
is given when the eigenvalues of (6.40) change their signs from
negative to positive.
6.5
Simulation results
The parameters of the two flexible links manipulator are described in Table 1. The
controllers parameters are chosen by using a trial and error method as follow:
100and
=
= 250.
=
=
161
Parameter
Value
Hub inertia (Jhi)
0.1 kg.m2
Link length (Li)
0.5 m
Link linear density ( )
1 kg/m
Link rigidity (EIi)
10N.m2
Link mass (mi)
0.5 kg
Payload mass (mp)
0.1 kg
Payload inertia (Jp)
0.0005 kg.m2
0.4
0.4
0.38
0.38
0.36
0.36
X(t), Y(t)
Yd(m)
The workspace desired trajectory in triangular form is shown by Figure 6.5.
0.34
0.34
0.32
0.32
0.3
0.3
0.3
0.32
0.34
0.36
Xd(m)
(a)
0.38
0.4
X(t)
Y(t)
0
1
2
time (s)
(b)
3
4
Figure 6.5 Workspace desired trajectory: (a) Yd vs Xd and (b) xd(t), yd(t).
For the system parameters given in Table 6.1, the critical values of the weighted parameters
of the second link and the first link are, respectively,
and 6.7). Nyquist diagram is done for
= 0.9 <
and
= 0.8 <
equations (6.25) and (6.34).
= 0.92 and
= 0.85 (Figures 6.6
given in (6.53). Simulation results were done with
. Note that these values respect the conditions given in
162
-3
1.5
x 10
Nyquist Diagram
2500
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
First eigen value
second eign value
2000
Eigen value
Im aginary Ax is
1
1500
1000
Alpha2=0.92
500
0
-0.01
-0.005 Real Axis
0
0.005
0.01
0
0.2
0.4
0.6
Alpha2
(a)
0.8
1
(b)
Figure 6.6 (a) Nyquist diagram, and (b) eigenvalues evolution.
2000
first eign value
second eign value
1500
g
1000
Alpha1=0.85
500
0
-500
0
0.2
0.4
0.6
Alpha 1
Figure 6.7 Eigenvalues vs.
0.8
1
.
The workspace tracking is given in Figure 6.8. The virtual and joint space tracking are given
in Figures 6.9 and 6.10, respectively. The joints tracking errors are given in Figure 6.11.
163
0.4
XYd
XY
0.38
Y(m)
0.36
0.34
0.32
0.3
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
X(m)
Figure 6.8 Tracking of X-Y trajectory.
2.4
Q2 (rad)
Q1(rad)
0
-0.2
-0.4
0
1
3
dQ2 (rad/s)
0
1
5
2
time (s)
(c)
3
0
1
2
time (s)
(e)
1
2
time (s)
(b)
3
4
0
1
2
time (s)
(d)
3
4
3
4
0
1
2
time (s)
(f)
3
4
0
-2
4
0
-5
0
2
0
-2
2
4
ddQ2 (rad/s 2)
ddQ1 (rad/s 2)
dQ1 (rad/s)
2
2
time (s)
(a)
2.2
5
0
-5
Figure 6.9 (a)-(b) Position of virtual joints, (c)-(d) velocity of virtual joints,
(e)-(f) acceleration of virtual joints.
164
-0.1
2.3
qr2 (rad)
qr1 (rad)
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
0
1
2
time (s)
(a)
0.02
3
2.2
2.1
2
4
0
1
2
time (s)
(b)
3
4
1
2
time (s)
(d)
3
4
-4
10
0
x 10
qf2
qf1
5
-0.02
-0.04
0
0
1
2
time (s)
(c)
3
-5
4
0
Figure 6.10 (a)-(b) Flexible coordinates; (c)-(d) Rigid coordinates.
-3
5
er2 (rad)
er1(rad)
-3
x 10
5
0
-5
0
1
3
1
-3
x 10
3
0
1
2
time (s)
(e)
2
time (s)
(b)
3
4
1
2
time (s)
(d)
3
4
1
2
time (s)
(f)
3
4
0
0
-3
2
0
-2
1
5
-5
4
ey (m)
ex (m)
2
2
time (s)
(c)
0
x 10
10
-0.02
0
-5
-4
0
-0.04
0
-10
4
ef2
ef1
0.02
2
time (s)
(a)
x 10
3
4
x 10
0
-2
0
Figure 6.11 (a)-(b) Errors of joints 1 and 2; (c)-(d) errors of flexible
coordinates 1, 2; (e)-(f) tracking errors of workspace trajectories x(t) and y(t).
165
According to the simulation results, we can conclude that the trajectory defined in the
workspace was well transformed to the joint space by using the virtual space and the quasistatic approach. This good transformation is showed in Figure 6.9, which represents the
position, velocity and acceleration in virtual space, and Figure 6.10 which represents the rigid
and flexible coordinates in joint space. The control strategy was effective to ensure the
tracking of the joints trajectories and reduce vibrations at the extremity. The good tracking in
joint space is showed in Figure 6.11.a, b, c, and d witch represent tracking errors in the joint
space. In the workspace, the good tracking is showed in Figure 6.8 and the tracking errors are
given in Figures 6.11-e and f.
The new selected outputs are near links extremities. This
explains the satisfactory results obtained using this approach. This control strategy has
many advantages. Indeed, it is easier to study one arm at each step than to study the stability
of the over whole system. In addition, this strategy takes a hierarchical form.
6.6
Conclusion and future work
In this paper, nonlinear control laws and stability analysis have been presented to stabilize
the tracking errors of a two flexible links manipulator. A desired trajectory defined in the
workspace has been transformed to the joint space using a virtual space transformation and
the quasi-static approach. A desired trajectory (triangle) chosen in the workspace has been
successfully transformed to the joint space using this transformation procedure. The control
strategy used in this paper consists of stabilizing the system starting with the last flexible link
and going backward until the first link. In each step, the output redefinition technique was
used to select the nearest point to the extremity. This strategy shows good tracking
trajectory in the workspace. Asymptotical stability of the tracking errors has been guaranteed
using the passivity theory. In the present work, we were interested by the local stability of
two flexible links manipulator. The global stability of the same control strategy is being
investigated and will be considered in future work.
166
6.7
Appendix A
The new generalized coordinates
=[
coordinates
=
1
0
∗(
+
β
(6.41)
=
β
. Then we can write:
1
∗(
where:
] are linked with the former generalized
] by a nonsingular transformation matrix T:
=
where:
=[
−
−
)=
section 6.2.Since
)=
( )
=
β
β
and
(
(6.42)
)
( )=
is represented in
( ) is a non-singular positive definite matrix and (
a nonzero element, then the Schur complement
∗
of
−
β
−
β
) is
is a nonzero element
(Zhang, 2005).
Let
be the input and
the output. We consider the following energy function:
( )=
1
2
(6.43)
The time derivative of V is:
( )=
=
The system (6.30) is then passive. This passivity is preserved with the following control law
(Ortega, 1998; Saad, 2004):
167
=−
where
(6.44)
+
is a new control input. With
as the input and
as the output, the system is
output strictly passive. The control law is given by:
=−
and
where
−
(6.45)
+
> 0. Then we can conclude that
,
→
0 (Ortega, 1998).
Using the parameter system given in Appendix B, The errors dynamics of the flexible part
(6.29-6.30) is written as:
=
=−
)
B),
= [−
=
where
−(
−[
−
β
0] ,
=
)−(
−
,
]
=
and
(6.46)
( , ) = −(
+
[
+
[
(
)−
[
+ℎ
,
and
(
)−
(
(
− )]
− )]
)−
(
(
)]
are constants and are given in Appendix B.
Using Taylor series, the last element can be written as:
(
)−
(
)=
−
). Using the system parameters (Appendix
−
( , ) can be written as follows:
( , )= ℎ
and ℎ
−
( , )
(
)
+
(
)
Then, the memoryless time-varying nonlinearity can be expressed as follows:
168
( )
( , )=
where ( ) = ℎ
(
)
(
( )
)
+ ( , )
(6.47)
and the new nonlinearity element is given by:
( , ) = ( )[
+ ( )[
( )=ℎ
+
(
(
)−
)−
− )]
(6.48)
− )]
(
; ( )=
+
(
.
Thus, we can rewrite the errors dynamics of the flexible part (6.46) as follows:
=
( )
(6.49)
( , )
−
where:
( )=
0
− ( )
1
;
− ( )
0
− β
= (
( )=(
−
β
)
−
( )=(
−
β
)
−
)
( )
( )
(
(
)
)
The errors dynamics can be represented as a feedback connection of a linear system and a
nonlinear memoryless system as follows:
:
=
=
+
(6.50)
=− ( , )
The origin of (6.32) is asymptotically stable if the nonlinear element ( , )is passive and the
linear system is input strictly passive (Ortega, 1998). For the nonlinear element, we can write:
169
(
)−
(
− ) = 2 cos(
− y⁄2)sin(y⁄2)
(
)−
(
− ) = −2 sin(
− y⁄2)sin(y⁄2)
Then, we can rewrite the memoryless nonlinearity as follows:
( , ) = 2 ( ) cos(
− y⁄2) sin(y⁄2) − 2 ( ) sin(
− y⁄2) sin(y⁄2)
(6.51)
( ), ( ), and ( ) are given in (6.47-6.48) and are bounded. Then we can write:
where
≤ ( ) ≤ ; ( ) =
is constant and the nonlinear term as:
(6.52)
− y ≤y ( , )≤ y
=
where
+
=
and
+
We can conclude that the nonlinear element ( , ) is passive (Khalil, 1996).
For the linear system, we can write:
( )=
(6.53)
+ ∆( )
where
= −
( )
If
∆( ) 0
(
−
1
∆( ) =
;
0
( )
0
( );
( )=
( )
(
)
;
( )=
)
is asymptotically stable then, the uniform asymptotical stability is preserved for any
→
0 (Khalil, 1996). However,
( ) → 0 as
→ ∞. Then, ∆( ) → 0 as
Finally, the passivity of the linear system depends only on
appropriate choice of
.
The errors dynamic of the flexible part is:
→ ∞.
. This can be easily done by an
170
=
where
=
;
,
,
,
=
( ,
+
( ) = −[
−
β
]
+
( ) = −[
−
β
]
+ℎ
−
(6.54)
,
, )
( )
,0 =
,
( )
( )
+
+ℎ
β
] [2
( ) = −[
−
β
] ℎ
(6.55)
+ℎ
+ℎ
−
( )
+ℎ
β ℎ
( ) = −[
+
+2
β ℎ
]
β ℎ
To facilitate the stability analysis, equation (6.54) can be expressed as (Coppel, 1965):
=
where:
,
It is clear that:
=
( )
+
,
( )
( , 0) = 0 and
+
+
( )
≤
,
(6.56)
,
;
,
=
where
0
( )
= sup(
( )) a non negative
constant. Then, the asymptotical stability of the origin of (6.56) is equivalent to:
=
where: ( ) =
0
( )
= ( )
,
1
( )=
( ) ;
+ ( )
(6.57)
0
0
→
as → ∞
( )
0
The asymptotical stability of the origin of (6.57) depends only on the subsystem:
= ( )
(6.58)
Now, we analyze the asymptotical stability of the previous subsystem to choose the critical
value of
. ( ) can be written as:
171
( )=
Where:
( )=
0
1
−
β
] [
( ) = −[
−
β
]
We know that:
0
( )
;∆( ) =
( ) = −[
−
( ) + ∆( )
,
0
;
( )
=−
ℎ
,
,
;
=−
]
+ℎ
β ℎ
,
(6.59)
+ℎ
+ℎ
+ℎ
+2
β ℎ
( ),
→ 0 as → ∞, then
( ) → 0, (∆( ) →
0).
Then the asymptotical stability of the origin of (6.59) is equivalent to the asymptotical
stability of the origin of the following system:
=
where
and
0
1
(6.60)
−
−
are given in (6.34). The critical value of
is given when the eigenvalues
of (6.60) change their signs from negative to positive.
Appendix B : Dynamical Model of two flexible links with one mode
The following dynamical model is deduced from (Khalil, 1996) by considering only one
flexible mode to alleviate the computation.
+
where:
(
(
(
(
,
,
,
,
)
)
+
)
)
0
0
+
0
0
=
0
0
172
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+(
+(
+
+
+
+
) ) +
+(
+
) +
+
+
+
;
=
;
=
coefficients are given as follow:
=
+
+
+
+
+
+
= 2(
+
) = 2(
+
)
= −2 =
+
+ +
=(
+
) =
+
=− =
+
+
+ +
∅, +
=
+
(∅ , + ∅ , )
= −(∅ , + ∅ , )
=
+ ∅ , +
∅ , =
+
∅ ,
= +
∅ , =
+
+ +
=
+
+ +
∅, =(
+
)∅ , = −∅ , = −(
+
)∅ , =
+ ∅ , +
∅ , =
= 2(
+
)∅ , ∅ , = −2∅ , ∅ , =
+ ∅ , +
∅ , ∅, =( +
∅ , )∅ , = −( +
∅ , )∅ , =
=∅ , − ∅ , The
+
+
(
+
+
)
∅, 173
= −
=∅ , ∅
,
The Coriolis and centrifugal forces vector coefficients are: = ℎ
+ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
+ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
= ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
= ℎ
+ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
+ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
= ℎ
+ℎ
+ ℎ
+ℎ
The ℎ coefficients are given as follow:
ℎ
= −2(
+
) ℎ
= 2(
+
) ∅, − ∅, ℎ
= −2( +
∅ , ) ℎ
= −(
+
) ℎ
= −(
+
) ∅, ℎ
= −2( +
∅ , ) ℎ
= −2( +
∅ , ) ∅, ℎ
= 2(
+
)
ℎ
=
+
ℎ
= −(
+
∅ , )
ℎ
= −2 ℎ
=− ℎ
=− ∅ , − ∅ , ℎ
=(
+
) ℎ
= 2(
+
)∅ , ℎ
= −(
+
)
ℎ
= −( +
∅ , )
ℎ
= ℎ
=∅ , + ∅ , ℎ
=∅ , ∅ , ℎ
=( +
∅ , )∅ , ℎ
= −(
+
) ∅, − ∅, ℎ
= −2(
+
)∅ , ℎ
= −2( +
∅ , )∅ , +ℎ
174
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
= −(
+
)∅ , = −2(
+
)∅ , ∅ , = −2( +
∅ , )∅ , = −2( +
∅ , )∅ , ∅ , =− ∅ , + ∅ , = −∅ , = −2∅ , ∅ , = −(
+
)∅ , = −2( +
∅ , )∅ , =( +
∅ , ) = 2( +
∅ , )∅ , = +
∅ , = −( +
∅ , )∅ , CHAPITRE 7
ARTICLE 6: WORKSPACE TRAKING CONTROL OF TWO-FLEXIBLE-LINK
MANIPULATOR USING DISTRIBUTED CONTROL STRATEGY
1
2
Article soumis à la revue « Journal of Dynamical and Control Systems » en Février 2013.
Abstract : In this paper, a distributed nonlinear control strategy for two-flexible-link
manipulators is presented to track a desired trajectory in the robot’s workspace. The inverse
dynamics problem is solved by transforming the desired trajectory from the workspace to the
joint space using an intermediate space, called virtual space, and then using the quasi-static
approach. To solve the non-minimum phase problem, an output redefinition technique is
used. This output consists of the motor’s angle augmented with a weighted value of the link’s
extremity. The distributed control strategy consists in controlling the last link by assuming
that the first link is stable and follows its desired trajectories. The control law is developed to
stabilize the error dynamics and to guarantee bounded internal dynamics such that the new
output is as close as possible to the tip. The weighted parameter defining the non-collocated
output is then selected. The same procedure is applied to control and stabilize the first link.
The asymptotical stability is proved using Lyapunov theory. This algorithm is applied to a
two-flexible-link manipulator in the horizontal plane and simulations showed a good tracking
of the desired trajectory in the workspace.
Key Words: Flexible manipulators, inverse dynamics, output redefinition, internal dynamics,
stability analysis.
176
7.1
Introduction
Many control strategies for manipulators have been the focus of several studies in recent
years. The robot manipulators consist of a sequence of links and joints in various
combinations. In industrial applications, most of the existing manipulators use rigid links and
joints, and are known as rigid manipulators. Rigid manipulators are generally slow,
extremely rigid and massive, and the useful load is very low compared to their weight. To
improve the performance of the robot manipulators, their links must be lighter and therefore
they become more flexible. Flexible manipulators present more advantages when compared
to rigid manipulators: they are faster, less massive, and consume less energy. Some flexible
manipulators are used in different areas e.g. the aerospace applications (Hirzinger et al.,
2003) and medical applications (Hagn, 2008).
For flexible manipulators, the problem of workspace tracking trajectory is less covered so far
than joint space tracking. There are few solutions to the workspace tracking problem,
particularly for manipulators with many flexible links. The workspace tracking trajectory is
very important since most of the tasks are defined in the operational space, such as painting,
welding, and assembly. The flexible link manipulators are a non-minimum phase system
when controlling the position of the end-effector (Cannon et Schmitz, 1984). Unlike rigid
manipulators, the inverse kinematics of flexible manipulators is not sufficient to transform
the desired trajectory from workspace to joint space because they are linked by kinematics
and dynamics relationships. To solve this problem, many studies focused on the output
redefinition technique (Bigras, 2003; Cuvillon, 2012; de Luca et Siciliano, 1989; Mosayebi,
2012). This technique consists in selecting a new output as close as possible to the tip such
that internal dynamics become bounded. In (Bigras, 2003), this approach was used for a class
of manipulators where the last link is flexible. An intermediate space between the joint space
and the workspace called virtual space is used to transform the desired trajectory from the
workspace to the joint space. The virtual space is linked with the workspace by a simple
kinematics relation as in rigid manipulators. In (de Luca et Siciliano, 1989), the output
177
redefinition technique was used for one flexible link manipulator. This output consists of the
motor’s angle augmented with a weighted value of the angle of links extremity.
The nonlinear dynamics of flexible link manipulators combined with their under-actuated
nature (the deflection variables are not actuated) present a challenging control problem.
Multi-flexible-link manipulators can be controlled as one MIMO system so a single
controller is used for all joints and links or as a set of interconnected subsystems so each pair
of joint and link is controlled by its own controller. For the first case, many control schemes
were used. Several studies used linearization around a nominal configuration of flexible
manipulators model (De Wit, 1996; Siciliano et Khatib, 2008). Some nonlinear effects such
as the variation of inertia matrix around an operating point were taken into account in the
control design methodology. In (Moallem, Patel et Khorasani, 2001b), a control method
based on the input-output linearization was developed to track a desired trajectory in the
workspace for a class of flexible link manipulators when the last link is flexible. To select an
output near the tip that guarantees the stability of the zero dynamics, authors used the output
redefinition technique. A robust adaptive controller was developed in (Bigras, Saad et
O'Shea, 2001) for a class of flexible link manipulators where the last link is flexible. This
controller is based on feedback linearization and uses the virtual joint space that is
kinematically related to workspace. For trajectory tracking control problems, many other
techniques were covered in the literature such as: singular perturbation technique(Siciliano et
Book, 1988), sliding mode control (Zhang, 2009), inversion-based nonlinear control (De
Luca, 1993), etc.
All the above mentioned control methods use a single controller for all joints and links as one
MIMO system. Unfortunately, due to the complexity of the control structures, the real time
implementation in industrial applications is not easy (Fu, Gonzalez et Lee, 1987). A solution
to this problem can be followed by considering the dynamics of the robot manipulators as
interconnected subsystems (joint and link). Many control schemes consider this
configuration. In (Khorrami, 1993), a decentralized control method for flexible link
manipulators was used. The authors used a simple proportional derivative (PD) controller for
178
the joints and a linear quadratic regulator (LQR) with output feedback for each link. In (Sun,
2002), a PD controller was used for each joint and the measurement of linear velocity of the
tip position was used for controlling each link. A distributed control strategy was introduced
in (Fareh, Saad et Saad, 2012b) for rigid link manipulators. The distributed control strategy
consists in controlling one joint at a time starting with the last joint and going backward until
the first one. Lyapunov theory was used to prove the global stability of the error dynamics
and this controller was successfully applied on a 7 DOF manipulator. This control strategy
was modified in (Fareh, Saad et Saad, 2013a) to take into account links’ flexibility. A good
tracking performance in the workspace of a two-flexible-link manipulator was obtained.
However, the control law, based on the feedback linearization approach, ensures only local
stability. In this paper, a nonlinear distributed control strategy is presented for a two-flexiblelink manipulator that ensures global stability. This strategy consists of controlling the second
joint and link by assuming that the remaining joint and link are stable and follow their
desired trajectories. Then, going backward, the first joint and link are controlled by following
the same strategy. For the inversion dynamics problem, the virtual space and the quasi-static
approach are used. The output redefinition technique is used to obtain the nearest point to the
tip that ensures bounded internal dynamics. The Lyapunov approach is used to analyze
stability of the tracking errors.
The paper is organized as follows: Section 7.2 presents the modeling of the two-flexible-link
manipulator and presents its main proprieties that will be used in the control law design.
Section 7.3 presents the distributed control strategy. The stability analysis is given in Section
7.4. The control method is applied on a two-flexible-link manipulator and the simulations are
given in Section 7.5. Finally, a conclusion is given in Section 7.6.
179
7.2
Modeling
7.2.1
System description
Figure 7.1 shows a two-flexible-link manipulator. This system moves in the horizontal plane
and consists of two motors that generate two torques, two flexible links with mass mi, length
Li, linear density ρi, and rigidity EIi (i=1, 2), and a payload that has a mass mp. The first link
is attached to the first motor, and the second link is clamped to the rotor of the second motor.
The flexible links are supposed uniform and are modeled as Euler-Bernoulli beams and the
deformations are assumed to be small.
,
( )
,
( )
Using Lagrange equations, the dynamical model of an n DOF flexible manipulator is given
by (De Luca et Siciliano, 1991):
( ) + ( , )+
where M is the inertia and mass matrix,
+
=
(7.1)
( , ) is the Coriolis and centrifugal forces vector,
D is the friction matrix and K is the rigidity matrix. q represents the vector of the generalized
coordinates and
is the vector of the applied torques. For the n rigid coordinates and n
flexible links, the deformation of the i-th flexible link is given by the following equation:
180
( , )=
∅ ( )
( )
= 1, … ,
(7.2)
is the j-th generalized flexible coordinate, ∅ ( ) is its j-th shape function and
where
is the number of the retained flexible modes of the i-th flexible link. Note that the total
=∑
number of the flexible modes is
and the number of the rigid modes is n. The
dynamical model (7.1) can be written as follows:
+
∈ℜ
where
×
and
∈ℜ
respectively.
×
( , )
0
+ 0
( , )
∈ℜ
×
0
0
+ 0
0
=
0
(7.3)
are mass and inertia matrices for rigid and flexible part
is a coupled element.
is the stifness diagonal matrix and
is the damping diagonal matrix of the flexible part. The subscripts
and
denotes the rigid
and flexible modes.
7.2.2
Proprieties and problem formulation
The dynamical model of the flexible link manipulators has the following properties that will
be used in the control law development:
P1:
,
,
,
and
are symmetric positive definite matrices (De Luca et Siciliano,
1991).
P2. From P1, we can deduce that the diagonal elements of M are positive (Bhatia, 2007):
( ) > 0; for = 1 …
(7.4)
P3: There exists a matrix ( , ) such that:
( , )= ( , )
(7.5)
181
( , )−2 ( , )
=0 ∀
∈ℛ
P5. The propriety P4 is preserved for the diagonal elements of
(7.6)
( ) and ( , ). Then, we
can write:
( )−2
( , ) = 0; for = 1 …
(7.7)
The new non-collocated output of the i-th link defined by the motor’s angle augmented with
a weighted value
of the end point angular position is given as follows:
=
where
=
+
∅ ( ), … , ∅ ( ) , with
,
0≤
<1
(7.8)
being the length of the i-th flexible link, and ∅
is the shape function of link i and mode j. In this paper, we consider only the first flexible
mode of each link (i.e.
= 1). Thus, we have
= .
In the distributed control strategy, when controlling the i-th link, we assume that the other
links follow their desired trajectories. For the i-th link, a new generalized coordinate
is
defined such that the i-th coordinate is the controlled one and the other links follow their
desired trajectories such that:
=
where (
⋯
,
(
)
(
)…
⋯
(
)
(
)…
(7.9)
) are the rigid and flexible modes associated with the i-th motor and link,
respectively. The objective of this work is to track a desired trajectory defined in the
workspace of a two-flexible-link manipulator using distributed control. Three steps are
followed to achieve this objective:
Step 1. Transform the desired trajectory from the workspace to the joint space using inverse
kinematics and quasi-static approach.
182
Step 2. Develop the control law for the second and first links to stabilize the errors dynamics
and to guarantee bounded internal dynamics such that the output is as close as possible to the
tip.
Step 3. Study the global stability.
7.3
Distributed control strategy
7.3.1
Inverse dynamics
To achieve the objective of workspace tracking trajectories, we need to transform the desired
trajectories from the workspace to the joint space. The flexible manipulator is a nonminimum phase system when the end-effector is used as the output. In this case, kinematic
and dynamic relationships link the workspace and the joint space. To overcome this problem,
an intermediate space called virtual space can be used. Then the desired workspace trajectory
is transformed to the virtual space using an inverse kinematics relation as in rigid
manipulators. To transform the desired trajectories from the virtual space to the joint pace,
the quasi-static approach can be used to solve a nonlinear equation for the flexible part.
Using inverse kinematics as in rigid manipulators, the generalized coordinates in virtual
space can be easily found. The deformation is assumed to be small. According to Figure 7.2,
we can write:
−
=
(
)≈
(7.10)
In the virtual space, the generalized coordinate is given as follows:
=
where
=
∅( )
+
, ∅ is the shape function of link i.
(7.11)
183
Figure 7.2 Virtual space.
Using the Jacobian matrix as in rigid manipulators, the velocity and acceleration in the
virtual space can be deduced. Then, for a two DOF manipulator, the inverse kinematics is
given by the following equation:
=
2( , ) −
=
=
=
=
=
2(
,
2( , )
+
)
(7.12)
( )
( )
−
(7.13)
( ) ( )
(7.14)
where x and y are the workspace desired positions,
=
;
=± 1−
and
( )=
−
−
+
−
is the Jacobian
matrix.
= sin(
link 1 and
);
= cos(
) ;
= sin(
+
);
= cos(
+
);
is length of
is length of link 2. The rigid and flexible coordinates are derived via quasi-
static approach and using the generalized coordinates in the virtual space.
The dynamical model (7.3) can be written as a function of the desired coordinates as follows:
184
(
(
)
)
(
+
+
(
)
)
+
(
(
+
,
)=
)+
,
+
(7.15)
=0
(7.16)
The generalized flexible and rigid coordinates in the joint space are deduced using the quasistatic approach. In the first step, the nonlinear equation of the flexible part (7.16) is solved to
find the generalized flexible coordinates. The quasi-static approach neglects the desired
=
velocity and acceleration of the flexible coordinates (
= 0). Then, the equation of
the flexible part (7.16) can be written as follows:
(
)
+
(
,
)+
=0
(7.17)
=
(7.18)
where:
=
−
;
=
Using (7.18), the generalized flexible coordinates
;
are found by solving (7.17). Then the
generalized rigid coordinates are given by (7.18).
7.4
Control strategy
For two-flexible-link manipulator, the distributed control strategy consists of controlling and
stabilizing the last joint and flexible link by assuming that the first joint and flexible link are
stable and follow their desired trajectories. Then, we move backward and apply the same
procedure to the first joint and link. For each step, a new non-collocated output and a control
law are developed. The weighting parameter characterizing the non-collocated output is
calculated such as the tracking error is asymptotically stable. Thus, the system becomes
minimum phase with the selected new weighted outputs.
185
In this paper, the two-flexible-link model given in (De Luca et Siciliano, 1990; 1991) is
modified by considering only the first flexible mode of each link (Fareh, Saad et Saad,
=
2013a). Thus, we have:
= 2, and
=
= 1.
Using P3, the dynamical model of the two-flexible-link manipulator can be written as:
( ) + ( , ) +
where
0
0
=
0
0
=
0 0
0 0
0 ;
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
=
(7.19)
=
;
0
0
0
0
+
;
0 0
0 0
0 ,
0
=
,
1
= 0
0
0
0
1 and
0
0
=
.
In rigid and flexible part decomposition, the dynamical model (7.19) can be written as:
0
+ 0
+
where
=
=
;
;
=
0
=
0
+ 0
=
0
0
=
=
;
;
0
and
=
;
=
0
0
(7.20)
0
;
.
To develop a control law, the dynamical model (7.19) is written as two interconnected
subsystems. Each subsystem has a pair of joint and link. There exists a non-singular matrix
of transformation
such as:
=
(7.21)
186
=[
where
] =[
]
] =[
=[
]
is the original generalized coordinate,
is the transformed one and the matrix of
is given by:
transformation
1
= 0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
(7.22)
Using the previous transformation, the dynamical model (7.19) can be written as follows:
+ ( , )
( )
where
=
and
=
+
+
=
(7.23)
.
( ) + ̅( , ) +
where
; ̅=
( )
=
( , )
] ; =
[
=
1
0
+
;
0
0
=
(7.24)
=
0 0
1 0
and
; = [
=
;
=
] =
.
The modified dynamical model (7.24) can be written as follows:
+
̅
̅
̅
+
̅
+
(7.25)
=
where
0
= 0
=
0
;
;
=
; ̅
=
0 0
;
0 0
0
= 0
0
; ̅
=
;
=
0 0
;
0 0
=
=
;
;
187
=
0
0
0
=
̅
;
=
;
=
̅
;
0
= 0
0 0
;
0 0
0
=
=
;
=
;
0 0
;
0 0
=
;
;
=
=
1 0
;
0 0
0 1
.
0 0
Equation (7.25) can be written in the following form that will be used for control law:
̅
+
where
=[
[
]; ̅ = [ ̅
+
̅
̅ =[ ̅
];
̅ ];
+
=
̅ ];
=[
(7.26)
=[
];
];
=[
=[
];
=
].
The first and the second subsystems can be characterized by two mass and inertia symmetric
positive definite matrices:
=
=
and
.
The new generalized coordinate, used for the second joint and link while the first joint and
link are assumed stable, is given as follows:
=[
] =[
]
(7.27)
Note that the coordinates of the first subsystem are the desired ones, and the coordinates of
the second subsystem are the controlled ones. Using (7.26), the equation of motion of the
second joint and link can be written as:
(
The velocity
)
+ ̅
,
+
+
=
(7.28)
.
According to (7.8), the new non-collocated output is given as follows:
188
=
=
where
=
∅
(
)
+
,
0≤
<1
(7.29)
when considering just one mode.
is the weighted parameter
characterizing the second non-collocated output.
Using (7.29), the equation of motion of the second subsystem is given as follows:
+
+(
+
+
+ℂ
+
=
β
+
+
(7.30)
+(
+ℂ
−
)
β
=
+
+
where ℂ
−
−
+
and ℂ
)
β
+
=
−
+
+
(7.31)
=0
β
The internal dynamics of the second link is deduced from (7.31) as follows:
= −ℳ
−ℳ
−ℳ
−
where:
(
−
β
)
;
β
) ℂ ;
and
is chosen such as:
−
)
−
−
(7.32)
=(
=(
−
−
ℳ
−
β
−
)
β
=(
=(
ℳ
;
β
)
=(
−
≠
.
−
;
β
β
)
=(
−
−
)
;
β
;
ℳ
=
)
;
=(
−
Inserting (7.32) in (7.30), we get:
∗
+
∗
+
+
∗
∗
=
+
∗
+
∗
+
∗
+
∗
+
∗
(7.33)
189
∗
where:
∗
(
−(
=
−
β
)
β
−(
=
;
−
−
∗
)
;
∗
= −(
∗
)ℳ ;
β
−
∗
)ℳ ;
β
=
−(
β
)
=
−
−(
−
β
β
)
;
∗
and
−(
=
= −(
−
)
−
∗
;
∗
= ̅
)
β
)ℳ ;
β
=
−
−(
−
.
To control the second link, we propose the following control law:
=
where
∗
=
where
+
=δ
=
∗
∗
−
+δ
;
∗
+
∗
+
+
∗
=
+δ
(7.34)
is for the flexible part and δ
is used for the rigid part,
=
δ
+
∗
∗
β
+δ
−
∗
+
∗
+
+
+δ
∗
∗
=
and
∗
∗
+
∗
+
+δ
+
∗
is the setting term.
∗
(7.35)
∗
+
+δ
∗
> 0. The terms of δ
,
(7.36)
(7.37)
are
given in Appendix.
Now going backward for the first subsystem and assuming that the second subsystem is
stable. The new generalized coordinate associate to the second subsystem becomes:
=[
] =[
]
(7.38)
Using (7.26), the equation of motion of the first subsystem (i.e. first link and joint) is given
as follows:
(
)
+ ̅
,
+
+
=
(7.39)
190
The new non-collocated output, defined as the angle of the first motor augmented by a
weighted value of the link’s extremity angle, is given as follows:
=
∅
=β =
where
(
)
+
,
0≤
(7.40)
<1
for one mode.
Using (7.39) and (7.40), the equation of motion of the first joint and link is given as follows:
+(
+
+ℂ
−
+
+ℂ
Let us define ℂ
=
+
−
)
β
+
+
−
and ℂ
−ℳ
+
−
−
−
(7.43)
(
β
)
;
=(
β
)
;
and
is selected such as:
)
.
−
−
β
β
−
=(
−
(7.42)
is given from (7.42) as follows:
−
ℳ
=(
+
=0
=
where:
−
+
+
−ℳ
−
+
(7.41)
To find the internal dynamics of the first link,
= −ℳ
+
=
+(
+
)
β
)
β
ℳ
;
−
=(
)
β
=(
−
−
)
β
;
=(
β
)
−
;
;ℳ
β
=
) ℂ ;
=(
−
≠
. Using the same strategy, the control
+δ
(7.44)
law of the first subsystem is given as follows:
=
where:
+
191
=
∗
=
δ
where
∗
=
1,2,3,4;
+
+
∗
∗
+δ
∗
=δ
=
−
−(
∗
;
−
= −(
∗
+
+
∗
∗
−
∗
β
)
∗
+
∗
+δ
;
∗
∗
∗
−
∗
= 1,2,4;
=
= −(
∗
+
+
=
and
)ℳ ;
∗
+
+δ
+
β
∗
+
∗
β
+δ
=
∗
−
(7.45)
∗
+
+δ
(7.46)
∗
(7.47)
> 0.
;
−(
β
are given in Appendix.
i=2
Redefined output (29)
Modified Model (30)-(31)
Control law (34)
Critical value of
i=i-1
No
i=0
Yes
End
Figure 7.3 Distributed control strategy.
−
)
β
)
;
. The terms of δ
=
192
7.5
Stability analysis
This section presents the stability analysis of the tracking errors of the rigid and the flexible
parts. First, we study the global stability of the rigid part by inserting the two control laws in
the initial dynamical model. Second, the stability of the flexible part is studied to select the
weighted parameters and guarantee bounded internal dynamics such that the new output is as
close as possible to the tip.
7.5.1
Stability of rigid part
In compact form, the first (7.34) and second (7.44) control laws can be written as follows:
=
+
+ δτ
(7.48)
where:
=
+
∗
=
∗
0
0
∗
0
0
0
;
∗
∗
0
=
;
∗
=
;
∗
∗
∗
+δ
0
∗
∗
0
∗
+
∗
∗
;
∗
∗
∗
∗
+
∗
;
;
=
∗
∗
+
∗
+
0
0
=
∗
∗
+ β
δτ = δ
=
∗
+
=
+
∗
∗
∗
∗
+
(7.49)
∗
(7.50)
∗
0
(7.51)
∗
;
∗
0
∗
=
∗
+
∗
∗
+
∗
;
∗
∗
∗
∗
=
∗
=
;
0
∗
∗
0
∗
0
0
∗
;
∗
;
∗
=
=
To study the global stability, we insert the control law given in (7.48) in the dynamical model
given in (7.1).
193
Proposition 1
The equation of motion of the two-flexible-link manipulator (7.19) is equivalent to the
following model:
∗
(
) +
∗
(
,
=[
where
∗
∗
∗
∗
∗
) +
∗
] ;
∗
, and
=
(
,
)
+
=
∗
∗
∗
∗
and
∗
∗
∗
∗
;
∗
−2
∗
=0 ∀
∗
∗
+
∗
=
(7.52)
is positive definite matrix;
∗
=
satisfy the following skew-symmetric
property:
∗
∈ℛ
(7.53)
∗
can be written as:
∗
∗
where
∗
=
is the diagonal elements and
+
∗
∗
(7.54)
is the non-diagonal elements of
∗
. Then, the
dynamical model (7.52) can be written as follows:
∗
(
) +
∗
(
) +
∗
(
,
) +
∗
(
,
)
+
∗
+
∗
=
(7.55)
Using (7.54), the control law (7.48) is equivalent to :
=
+
+
∗
+
∗
+
( )
∗
∗
+
+ δτ
∗
( )
+
∗
,
+
∗
,
(7.56)
194
Now, the global stability is studied by inserting the control law (7.56) in the dynamical
model (7.55). Then, the error dynamics are given by the following equation:
+[
+
∗
+
∗
∗
( )
( , )
∗
−
−
∗
(
(
) ]+[
∗
( )
,
)
∗
( , )
+
−
−
∗
∗
(
(
) ]
,
)
(7.57)
+ δτ = 0
Proposition 2
When using the control law (7.56) and the dynamical model (7.55), the error dynamics given
by (7.57) are equivalent to:
+
+
∗(
) +
∗(
,
∗
) +
(
) =0
(7.58)
To prove the asymptotical stability of the error dynamics, we propose the following
Lyapunov function:
=
1
2
∗
+
1
2
(7.59)
The time derivative of V is:
( )=
∗
=
−
∗
+
∗
−
∗
+
−
−
∗
+
+
Using proposition 1, we can conclude that:
( )=−
(
+
∗
)
(7.60)
195
∗
, and
are positive definite diagonal matrices. Then, using LaSalle theorem (Spong et
Vidyasagar, 1989), the error dynamics are globally asymptotically stable.
7.5.2
Stability of the flexible part
In this section, asymptotical stability of the flexible part is studied using the internal
dynamics. From the dynamical model given in (7.1) and (7.3), the equation of motion of the
flexible part of the second link is given by:
+
+
+
+
+
+
=0
(7.61)
Using the new generalized coordinate (7.27) and the new non-collocated output (7.29), the
equation (7.61) is equivalent to:
+
+(
+
)
−
+
+
+
(7.62)
=0
from (7.62) as follows:
The internal dynamics of the second link are given by subtracting
= −ℳ
−ℳ
−ℳ
−ℋ −
where
ℳ
=(
(
β
)
; ℋ =(
−
β
)
is chosen such as
−
=(
−
−
)
β
and
=(
ℳ
;
β
−
)
−
(7.63)
)
β
=(
;
≠
The quasi-static approach, using the inverse dynamics, neglects
−
;
β
ℳ
)
=
;
.
and
. Then, the
tracking errors of the rigid and flexible part of the second link are given by the following
expressions:
196
=
−
−ℳ )
= −(ℳ
−
− (ℋ
−ℳ
−
−
−ℋ )
(7.64)
−
In the above section, the tracking error of the rigid part was proved to be asymptotically
stable, then
,
,
→ 0 as
→ ∞. Then, the tracking error of the flexible part can be
written as:
= −(ℳ
−ℳ )
− (ℋ
−ℋ )−
−
(7.65)
In state space form, the tracking error of the flexible part takes the same form than the one
obtained in (Fareh, Saad et Saad, 2013a) and is given by the following expression:
=
=
Let
=[
] =
(7.66)
−
=
;
−
is selected such that
.
is Hurwitz and the Nyquist diagram of
= −
is in the right half-plan (Fareh, Saad et Saad, 2013a), where
0
−
1
.
and
The same procedure is now applied, proceeding to the first joint-link subsystem. Using (7.1)
and (7.3), the equation of motion of the flexible part of the first link is given by:
+
+
+
+
+
+
=0
(7.67)
Using the new generalized coordinate (7.38) and the new non-collocated output (7.40), the
equation of motion becomes:
+(
+
=0
−
β
)
+
+
+
+
(7.68)
197
Subtracting
from (7.68), the internal dynamics is given as follows:
= −ℳ
where:
(
−
−ℳ
−ℳ
ℳ
=(
−
β
)
;
ℋ =(
)
and
=(
−
)
β
−
−ℋ −
−
;
ℳ
=(
β
)
;
is chosen such as
−
≠
(7.69)
β
)
=(
−
;
β
ℳ
)
=
;
.
In the state space form, the tracking error of the flexible part of the first link can be written as
follows:
Let:
=[
] =
=
=
=
=
(7.70)
−
.
As already shown in the stability analysis of the rigid part,
,
→ 0 as → ∞. The
error dynamics of the flexible part (7.70) take the same form as the one obtained one in
(Fareh, Saad et Saad, 2013a).
is selected when the eigenvalues of
change their signs from
negative to positive, i.e. the internal dynamics become instable (Fareh, Saad et Saad, 2013a),
where:
7.6
=
0
−
1
−
.
Simulation results
The two-flexible-link manipulator shown in Figure 7.2 is used to test the control strategy
performance. Using the trial and error method, the controllers’ gains are chosen as: 12,
= 10, = 15, =
= 18. In sections 7.3 and 7.4, the theoretical development of
the control law and stability analysis are given in the general case i.e. for any higher order.
In the simulation case, a finite order of Taylor series is fixed. In this section, and for
simplicity, the Taylor series is limited to the first order. Then,
=
Table 7.1 presents the parameters of the two-flexible-link manipulator.
=
= 0.
198
Parameter
Value
Hub inertia (Jhi)
0.1 kg.m2
Link length (Li)
0.5 m
Link linear density ( )
1 kg/m
Link rigidity (EIi)
10N.m2
Link mass (mi)
0.5 kg
Payload mass (mp)
0.1 kg
Payload inertia (Jp)
0.0005 kg.m2
Simulation results are given in the following figures.
0.42
0.4
0.38
Y(m)
0.36
0.34
0.32
0.3
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
X(m)
0.4
0.42
Figure 7.4 X-Y desired workspace trajectory.
0.44
0.46
199
0.5
0.45
0.4
0.35
y-d(m
)
x-d(m
)
0.45
0.4
0.3
0.35
0.3
0.25
0.2
0
5
(a)
0.5
0
-0.5
-1
0
5
(c)
10
0
-0.5
-1
10
0
5
(d)
10
20
2
10
0
-10
-20
5
(b)
0.5
yp-point-d(m
/s )
2
xp-point-d(m
/s )
20
0
1
ypoint-d(m
/s)
xpoint-d(m
/s)
1
10
10
0
-10
-20
0
5
(e)
time (s)
10
0
5
(f)
time (s)
10
2.6
-0.2
2.4
Q
d2(rad)
-0.1
-0.3
2
-0.5
1.8
0
5
(a)
10
2
4
1
2
0
-1
-2
0
5
(c)
0
5
(d)
10
0
10
2
ddQ
d2(rad/s )
2
5
(b)
50
20
0
-20
-40
0
-2
-4
10
40
ddQ
d1(rad/s )
2.2
-0.4
dQ
d2(rad/s)
dQ
d1(rad/s)
Q
d1(rad)
Figure 7.5 Desired workspace trajectory: (a)-(b) position trajectory,
(c)-(d) velocity trajectories and (e)-(f) acceleration trajectories.
0
5
(e)
time (s)
10
0
-50
0
2
4
6
(f)
time (s)
8
Figure 7.6 Desired virtual space trajectories: (a)-(b) position trajectories,
(c)-(d) velocity trajectories and (e)-(f) acceleration trajectories.
10
200
2.5
qrd2(rad0
qrd1(rad)
0
-0.5
-1
0
5
(a)
2
1.5
10
0
-2
0
5
(c)
-5
10
0
5
(d)
10
50
ddqrd2(rad/s )
2
2
ddqrd1(rad/s )
10
0
50
0
-50
0
5
(e)
-50
0
5
(f)
10
qfd2
0.02
0
-0.5
0
10
0.5
qfd1
5
(b)
5
dqrd2(rad/s)
dqrd1(rad/s)
2
0
0
5
(g)
time (s)
0.01
0
-0.01
10
0
5
(h)
time (s)
10
Figure 7.7 Desired joint space trajectories: (a)-(b) positiontrajectories of rigid coordinates,
(c)-(d) velocity trajectories of rigidcoordinates, (e)-(f) acceleration trajectories of rigid
coordinatesand (g)-(h) position trajectories of flexible coordinates.
-3
1.5
x 10
Nyquist Diagram
2500
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
First eigen value
second eign value
2000
Eigen value
Imaginary Axis
1
1500
1000
Alpha2=0.92
500
0
-0.01
-0.005 Real Axis
0
(b)
0.005
0.01
0
0.2
0.4
0.6
Alpha2
0.8
1
(b)
Figure 7.8 Stability of second link. (a) Nyquist diagram, and (b) eigenvalues evolution.
Tirée de (Fareh, Saad et Saad, 2013a)
201
2000
first eign value
second eign value
Eign Value
1500
1000
500
Alpha1=0.85
0
-500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Alpha 1
Figure 7.9 Stability of first link: Eigenvalues vs
Tirée de (Fareh, Saad et Saad, 2013a).
-0.1
-0.15
-0.25
y1d
y1
-0.3
-0.35
-0.4
-0.45
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.3
y2d
y2
2.2
y2(m
)
y1(m
)
-0.2
2.1
2
1.9
1.8
0
1
2
3
4
5
time (s)
6
7
8
9
Figure 7.10 Tracking trajectories of non-collocated outputs.
10
202
-3
1
ey2 (m)
ey1 (m)
-3
x 10
2
0
-2
0
2
2
-3
x 10
4
6
8
0
-1
10
x 10
(a)
0
2
4
6
8
10
6
(d)
time (s)
8
10
(b)
-4
2
x 10
ef2
ef1
0
-2
-4
0
2
4
6
8
0
-2
10
0
2
4
(c)
time (s)
Figure 7.11. Tracking errors in joint space. (a)-(b) tracking errors of non-collocated
outputs and (c)-(d) tracking errors of the flexible coordinates.
X (m)
0.5
xd
x
0.4
0.3
0.2
0
1
2
3
4
5
(a)
6
7
8
9
10
9
10
0.45
Y (m)
0.4
0.35
yd
y
0.3
0.25
0
1
2
3
4
5
(b)
time (s)
6
7
8
Figure 7.12. Tracking in the workspace. (a) x-position tracking and
(b) y-position tracking.
203
-3
4
x 10
ex (m)
2
0
-2
-4
0
2
4
ey (m)
2
6
8
10
6
8
10
(a)
-3
x 10
0
-2
-4
0
2
4
(b)
time (s)
Figure 7.13. Workspace tracking errors. (a) x-position tracking errors and
(b) y-position tracking errors.
1
Z (m)
0.5
0
-0.5
-1
0.45
0.4
0.35
0.3
Y (m)
0.25
0.25
0.3
0.35
X (m)
Figure 7.14. X-Y workspace tracking.
0.4
0.45
0.5
204
For two-flexible-link manipulators, the desired workspace trajectory is chosen as lozenge
form. The results of the inverse kinematics problem are given in Figures 7.4-7.7. Workspace
trajectory is shown in Figures 7.4-7.5, virtual space trajectories are given in Figure 7.6 and
joint space trajectories are shown in Figure 7.7. According to simulation results, the
workspace desired trajectory was well transformed to the joint space using the virtual space
and the quasi-static approach. For the second subsystem, the Nyquist diagram and the
evolution of eigenvalues of
eigenvalues evolution of
are given in Figure 7.8. For the first subsystem, the
is given in Figure 7.9. Using the system parameters given in
Table 7.1, the critical value of the second and first links are
respectively. The simulation results were obtained with
= 0.92. and
= 0.9 <
and
= 0.85,
= 0.8 <
.
Note that these values satisfy the conditions given in equations (7.28) and (7.38). A good
tracking performance of the new non-collocated output was obtained as shown in Figure
7.10. This tracking is confirmed by Figure 7.11 which shows the tracking error. In the
workspace, a good tracking performance is shown in Figure 7.12 and the tracking error
shown in Figure 7.13 doesn’t exceed 2mm in x-position and y-position. The good tracking in
the workspace is confirmed in Figure 7.14 that shows the tracking of the desired lozenge.
Thus, we can conclude that the control strategy was effective to ensure the tracking of the
non-collocated output and to reduce vibrations at the extremity; this explains the satisfactory
results obtained using this approach.
7.7
Conclusion
This paper presents a nonlinear distributed control for two-flexible-link manipulator. For the
inverse dynamics, a virtual space, linked with the workspace by a simple kinematics relation
as in rigid manipulators, and a quasi-static approach were used. Using this transformation
procedure, a workspace desired trajectory (lozenge) has been successfully transformed to the
joint space. The distributed control strategy presented in this paper use the output redefinition
technique and consists of stabilizing the flexible manipulators starting with the last joint and
flexible link and going backward until the first joint and link. Lyapunov theory was used to
205
prove the asymptotical stability. An adaptive version of this control strategy will be
investigated in future work.
7.8
Appendix
Using (7.3) and (7.5), the dynamical model can be written as follows:
0
+ 0
0
+
+
+
=
+
+
+
+
+
0
+ 0
0
=
0
(7.71)
Equation (7.71) can be written as:
+
(7.72)
=0
(7.73)
Using the outputs redefinition (7.29) and (7.40), we can write:
=
where
=[
] ;
− β
] ;
=[
(7.74)
] =[
β=
β
0
0
. Then,
β
the dynamical model becomes:
+ℳ
+ℳ
+
+
+
+
=
+
+
(7.75)
=0
(7.76)
206
where ℳ
β
=
− β
=
;
− β
; ℳ
=
− β
=
;
−
;
Deducing
from (7.76), we get the following internal dynamics:
= −ℳ
+
+
+
+
(7.77)
Inserting (7.77) in (7.75), we obtain:
∗
∗
where
∗
=
+
∗
+
∗
;
∗
−ℳ ℳ
= −ℳ ℳ
∗
and
+
=
∗
∗
+
=
−ℳ ℳ
= −ℳ ℳ
(7.78)
∗
;
=
−ℳ ℳ
;
.
The models using the collocated output (7.3) and the new output (7.75)-(7.76) are linked by a
non-singular positive transformation matrix as follows:
+ β
=
where
=[
] and
1
0
=
=T
(7.79)
β
.
1
Using the transformation T, the mass matrix becomes:
( )=
where; ℳ (
)=
( )
( )
( )
( )
(
ℳ(
)− β
(
)=
) and ℳ (
(
)
ℳ (
)
(
)
ℳ (
)
)=
(
)− β
(7.80)
(
), or in a
matrix form:
ℳ(
)=
(
)
(7.81)
207
is selected such that ℳ is positive definite matrix. Then, using P1 and P2,
The parameter
ℳ ,ℳ
and ℳ are positive definite matrices. The same transformation matrix can be
used for the Coriolis matrix as follows:
(
̅
)=
where (
,
)= (
=
;
̅
,
)
− β
=
and
From P4, by multiplying (7.6) by a constant matrix
ℳ(
)−2 (
,
(7.82)
)
=
=0 ∀
∈ℛ
(7.83)
given by:
−ℳ ℳ
(7.84)
is positive (Bhatia, 2007). Then, from P2, the diagonal elements of
The Schur complement of
.
, we can write:
The Schur complement of the positive definite matrix ℳ
∗
− β
∗
are also positive.
is given by the following equation:
∗
=
−
(7.85)
Using the dynamical model of the two-flexible-link manipulator (Fareh, Saad et Saad,
2013a), we can write:
∗
−2
∗
=0 ∀
∈ℛ
(7.86)
In the following section, we study the error dynamics given by (7.57). In the first step, we
investigate
[
∗
∗
( )
∗
( , )
the
∗
−
−
following
) ],[
(
∗
(
,
)
∗
( )
.
elements
−
∗
(
of
) ],
the
∗
( , )
error
−
∗
(
dynamics:
,
)
and
208
The first element is developed as:
∗
[
∗
=
∗
=
∗
(
0
)
(
(
)
)
∗
(
(
=[
(
) ]
∗
−
(
0
)
∗
0
(
)
(7.87)
)
)
] ,
=[
where
∗
)
∗
−
−
∗
∗
−
∗
0
∗ (
∗
∗
( )
] ,
=[
] and
=[
] .
∗
(
∗
)=
=
∗
(
)−
=
∗
(
)−
(
(
)+
(
)
)
(
)+
−
(
−
( )
)
( )
+
where
(
=
)
(
+
)
−
∗
∗
(
∗
)=
(
(
( )
). Then,
∗
)+
The Taylor series is also applied to the following elements to obtain:
∗
∗
∗
∗
∗
( )=
(
( )=
∗
,
∗(
=
( , )=
(
∗
∗
)+
)+
)+
,
(
,
∗
∗
∗
)+
Then the previous elements in the error dynamics become:
∗
( )
∗
−
∗
(
) =
∗
(
)[
∗
− ]+
∗
∗
(7.88)
(7.89)
209
=
[
∗
∗
( )
−
( , )
−
∗
∗
(
(
,
∗
(
) ]=
)
∗
) +
∗
(
∗(
=
(
∗
∗
∗
) +
,
) +
∗
) +
Inserting these expressions into the error dynamics (7.57), they become:
+
+
∗
(
∗
+
∗
) +
+
(
∗
∗
) +
+
∗
(
∗(
) +
,
) +
+ δτ = 0
∗
∗
(7.90)
Using the expression of δτ given in (7.51), the error dynamics become:
+
+
∗(
) +
∗(
,
) +
∗
(
) =0
(7.91)
CONCLUSIONS ET RECOMMANDATION
Cette thèse poursuivait les principaux objectifs suivants: i) proposer une stratégie de
commande distribuée et robuste pour les manipulateurs rigides assurant la stabilité des
erreurs de suivi; ii) modifier cette stratégie de commande pour tenir compte de la flexibilité
des bras au niveau des manipulateurs flexibles en assurant la poursuite dans l’espace
articulaire et cartésien.
Pour atteindre les objectifs visés, la modélisation des manipulateurs rigides et flexibles
constitue une étape primordiale afin de déduire les principales propriétés à utiliser dans le
développement des lois de commande. Premièrement, un modèle mathématique d’un
manipulateur rigide à 7 ddl (ANAT) a été développé pour l’exploiter dans le développement
de la commande distribuée et adaptative. Par la suite, nous avons développé un modèle
mathématique d’un manipulateur à deux bras flexibles.
Pour développer une stratégie de commande distribuée assurant la stabilité de la dynamique
des erreurs de suivi dans l’espace de travail des manipulateurs rigides, trois étapes ont été
suivies; 1) utilisation de la cinématique inverse pour transformer la trajectoire désirée définie
dans l’espace de travail vers l’espace articulaire; 2) développement d’une stratégie de
commande distribuée pour assurer la stabilité de la dynamique des erreurs de suivi et 3)
utilisation de la cinématique directe pour transformer la trajectoire obtenue dans l’espace
articulaire vers l’espace de travail. Afin de faciliter l’implémentation en temps réel de la
stratégie de commande, la dynamique du système a été mise sous forme d’un ensemble de
sous-systèmes interconnectés, dont chacun représente une articulation. En commençant par la
dernière articulation, une loi de commande est développée en supposant que le reste des
articulations est stable. Cette démarche a été appliquée, au rebours, jusqu’au premier joint.
La stabilité globale de tous les sous-systèmes a été prouvée par l’approche de Lyapunov.
L’implémentation en temps réel de cette stratégie sur un manipulateur rigide à 7 ddl (ANAT)
a montré un bon suivi de trajectoire désirée sous forme triangulaire. Cette stratégie a été
212
comparée avec celle du couple pré-calculé pour montrer son efficacité et son apport par
rapport à une configuration classique.
Une version adaptative de la stratégie de commande distribuée, dite « hiérarchique », a
ensuite été proposée pour assurer la robustesse de la loi de commande tout en suivant des
trajectoires désirées dans l’espace de travail. Après la transformation de la trajectoire désirée
de l’espace de travail vers l’espace articulaire via la cinématique inverse, la stratégie de
commande adaptative a été ensuite développée à partir de la dernière articulation jusqu’au
premier. Une seule commande par articulation est développée à chaque étape. La loi de
commande du dernier sous système a été développée en utilisant juste les paramètres estimés
existant dans l’équation de mouvement de la dernière articulation. La loi de commande de la
ième articulation dépend de ses propres paramètres estimés et celles de tous les sous-systèmes
de niveau supérieur. Une implémentation à temps réel a été présentée pour un manipulateur à
7 ddl pour montrer l’efficacité et la performance de cette approche. Une comparaison avec la
version non-adaptative a été également présentée.
La stratégie de commande déjà développée pour les manipulateurs rigides a été modifiée
pour prendre en considération la flexibilité existant dans les manipulateurs à bras flexibles.
Le premier objectif était le développement d’une commande distribuée pour assurer la
stabilité de la dynamique des erreurs dans l’espace articulaire des manipulateurs flexibles. Le
modèle dynamique a été réorganisé pour prendre la forme d’un ensemble de sous-systèmes
interconnectés. Chaque sous-système est représenté par une articulation et son bras flexible
associé. La stratégie de commande consiste à commander un seul sous-système à la fois en
commençant par le dernier. En effet, le dernier sous-système est contrôlé en supposant que le
reste des sous-systèmes sont stables. Puis, la même procédure est suivie au rebours jusqu’au
premier sous-système. Cette stratégie de commande a été implémentée en temps-réel sur un
robot à deux bras flexibles. L’étude expérimentale a montré un bon suivi de trajectoire et une
réduction des vibrations au niveau des bras flexibles. Une comparaison avec une commande
PD a montré l’apport et l’efficacité de cette stratégie de commande par rapport à une
configuration classique.
213
Pour assurer la robustesse de la loi de commande distribuée développée pour les
manipulateurs flexibles, une commande adaptative indirecte a été développée pour suivre les
trajectoires désirées dans l’espace articulaire et minimiser les vibrations au niveau des b. La
loi de commande du dernier sous-système a été développée en utilisant les paramètres
estimés existant dans l’équation de mouvement de ce système. En reculant vers l’arrière, la
loi de commande du ième sous-système est développée en fonction de ses propres paramètres
estimés et les paramètres déjà estimés dans les sous-systèmes de niveaux supérieurs. La
stabilité globale a été prouvée par l’approche de Lyapunov. Les résultats expérimentaux ont
montré que cette commande adaptative assure un bon suivi de trajectoire dans l’espace
articulaire et qu’elle est capable de minimiser les vibrations mieux que la version nonadaptative.
La stratégie de commande distribuée a été étendue pour assurer un suivi de trajectoire dans
l’espace de travail pour un manipulateur à deux bras flexibles. Lors du contrôle de
l’extrémité d’un manipulateur flexible, le système devient à non-minimum de phase et la
dynamique interne n’est plus bornée. La technique de redéfinition de sortie a été utilisée pour
sélectionner la sortie la plus proche possible de l’extrémité assurant une dynamique interne
bornée. L’espace de travail et articulaire ne sont plus liés par une seule relation cinématique,
comme le cas des manipulateurs rigides. Donc, la cinématique inverse n’est plus suffisante
pour transformer les trajectoires désirées de l’espace de travail vers l’espace articulaire des
manipulateurs flexibles. Un espace intermédiaire nommé « espace virtuel » a été défini pour
résoudre le problème de l’inversion de la dynamique. Le modèle dynamique du manipulateur
à deux bras flexibles a été organisé, dans un premier temps, pour prendre la forme de deux
sous-systèmes interconnectés. Chaque sous-système contient une articulation et le bras
flexible associé. En commençant par le deuxième sous-système, nous avons supposé que le
premier sous-système est stable et une loi de commande basée sur l’approche de linéarisation
par retour d’état a été développée. La loi de commande pour le premier sous-système a été
développée en utilisant la même démarche.
214
Pour étudier la stabilité de la dynamique interne, le théorème de passivité est utilisé. En effet,
la dynamique interne est divisée en deux parties: une partie linéaire en contre réaction une
partie non linéaire. Avec ce genre des systèmes, la théorie de passivité permet d’étudier la
stabilité généralisée du système et de démontrer sa convergence asymptotique, voir
exponentielle et globale. La valeur critique du paramètre caractérisant la sortie paramétrisée a
été déduite en utilisant la passivité de la dynamique interne. Juste la stabilité locale a été
prouvée par cette stratégie de commande. Les résultats de simulation montrent un bon suivi
de trajectoire dans l’espace de travail sous forme triangulaire. Afin d’assurer la stabilité
globale des erreurs de suivi, la loi de commande distribuée développée pour les
manipulateurs rigides a été modifiée et appliquée sur un robot à deux bras flexibles. La
technique de redéfinition de sortie, l’espace virtuel et l’approche quasi-statique ont été
utilisés pour résoudre les problèmes de déphasage non-minimal et de l’inversion de la
dynamique. La théorie de Lyapunov a été utilisée pour démontrer la stabilité globale de la
partie rigide et flexible. Un bon suivi de trajectoire sous forme d’un losange a été obtenu
avec cette loi de commande.
Finalement nous pouvons conclure que la stratégie de commande développée, que ce soit
pour les manipulateurs rigides ou flexibles, assure toujours la stabilité des erreurs de suivi et
minimise les vibrations dans les bras flexibles.
Des limitations et des problèmes peuvent être soulevés dans cette thèse. Dans le cas des
manipulateurs flexibles, le nombre de modes flexibles a été limité à un seul mode. Il est clair
cependant que plus le nombre de modes flexibles augmente plus le modèle dynamique du
manipulateur à bras flexible devient plus précis. L’augmentation du nombre de modes
flexibles est fortement recommandable pour voir son effet sur la précision en utilisant la
même stratégie de commande.
La stratégie de commande, assurant le suivi de trajectoire dans l’espace de travail, a été
appliquée à un robot à deux bras flexible. Une généralisation à plusieurs bras flexibles est
toujours possible.
215
L’inversion de la dynamique du manipulateur flexible utilise l’approche quasi-statique qui
néglige la vitesse et l’accélération de la dynamique flexible. Le développement d’autres
approches, qui tiennent en compte la dynamique flexible, peut donner plus de précision lors
de l’inversion de la dynamique.
Afin de rendre cette stratégie de commande plus utile pour l’industrie ou pour les robots de
service, elle peut être modifiée pour l’appliquer à des manipulateurs mobiles. En effet, une
nouvelle stratégie consiste à contrôler une plate-forme pour suivre une trajectoire bien définie
afin d’amener le manipulateur à l’endroit de l’exécution de la tâche. Puis, la stratégie de
commande distribuée peut être appliquée pendant la phase de manipulation tout en faisant
une attention particulière au problème de la coordination de la plate-forme et du bras.
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226
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Transactions on Industrial Electronics, vol. 51, no 1, p. 26-34.
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Zhang, Fuzhen. 2005. The Schur complement and its applications / [ressource électronique].
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227
ANNEXE
Dans cette section, on présente quelques détails pour démontrer quelques propositions
données dans le Chapitre 6.
Détails pour Proposition 6.2
Le système précédent est passif si on prend la sortie l’erreur de la vitesse
et l’entrée
.
Pour démontrer cette passivité soit la fonction d’énergie suivante :
( )=
1
2
⇒ ( )=
(1)
=
= ( )≥0
Donc :
La propriété de passivité est conservée avec la loi de commande suivant :
=−
+
=−
+
(2)
En choisissant la fonction d’énergie suivante :
( )=
1
2
+
1
2
(3)
La dérivée de cette fonction d’énergie est donnée par :
( )=
+
=
+
=
=
+
+
=
=
Donc :
= ( )≥0
(4)
228
Par la suite, le système (
,
) est toujours passif.
En choisissant, la loi de commande suivante :
=−
où
−
(5)
+
≥.
La relation entre l’entrée
et la sortie
devient strictement passive à la sortie. En effet,
soit la fonction d’énergie suivante :
( )=
1
2
+
1
2
+
1
2
(6)
≥0
adérivéedecettefonctionestdonnéeparl’expressionsuivante:
( )=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−
−
−
+
+
Donc :
−
+
≥
+
(7)
= ( )≥0
On peut écrire donc :
avec
=−
(8)
∈ℛ
D’où le système est strictement passif à la sortie.
Donc, d’après (Ortega 1998) les erreurs de la position
et la vitesse
→ 0 quand
→
∞.
Détails pour Proposition 6.3
Après la stabilisation de la partie rigide, on choisit maintenant
flexible devienne asymptotiquement stable.
pour que la dynamique
229
Le point d’équilibre du système
= 0 est asymptotiquement stable si le système est (Khalil,
1996):
i.
Strictement passif à la sortie, et;
ii.
Détectable.
La première condition est déjà vérifiée dans la section précédente et pour tester la
détectabilité du système, on vérifie la stabilité asymptotique du point d’équilibre en annulant
l’entrée et la sortie de la dynamique de la partie flexible suivante :
=
=
= [−
=
Avec
=
⇒ ( , )= ℎ
=−
β
[
−
(9)
0]
+
+
−[
−
]
( , )
β
(
[
(
)−
)−
(
(
− )]
− )]
(
+ℎ
(
)−
) Soit :
( )=ℎ
+
( )=
( )=ℎ
En utilisant le développement de Taylor :
( , )= ( , )+
;
=
( , )[ − ]
=
;
(
)=
(
)−
(
)(
=
(
)+
(
)
Soit
=
( , )[ − ] +
=
)+
−
+
(
)
(
)(
−
)
230
(
=
)+
(
(
−
)
)
−
+
(
(
)
)
En plus, on a :
=
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
−
−
=
−
Donc :
(
(
(
)
−
(
)
Or, à partir de la section précédente on a
,
→ 0 quand → ∞.
=−
(
+
)
)−
(
+
)
(9)
)
Donc :
( , ) = ( )[
(
)−
(
− )] + ( )[
(
+ ( )
(
( )
=
)
)
(
)−
(
+
+
( )
(
)−
(
)
)
(
− )]
+
( , )
Avec :
( , ) = ( )[
+ ( )[
( , ) = ( )[
(
(
)−
)−
(
(
(
− )]
− )] + ( )[
(
Or, on a :
(
)−
(
− ) = 2 cos(
(
)−
(
− ) = −2 sin(
(10)
− )]
− y⁄2)sin(y⁄2)
− y⁄2)sin(y⁄2)
)−
(
− )]
231
Donc :
( , ) = 2 ( ) cos(
− y⁄2) sin(y⁄2) − 2 ( ) sin(
− y⁄2)sin(y⁄2)
Cette dynamique peut être mise sous la forme suivante :
=
=
Avec :
−
0
( )
( )
1
− ( )
− [
−
0
β
( , )
]
(11)
( , )
−
( )=[
−
β
]
−
( )=[
−
β
]
−
( )
( )
(
(
)
)
pour la quelle le point d’équilibre
Il existe une valeur critique de
= 0 soit
asymptotiquement stable.
La dynamique précédente peut être mise sous forme d’un système linéaire en contre réaction
d’une fonction linéaire comme le montre la figure suivante :
0
Système linéaire
+
y(t)
Système non linéaire
( , )
Figure 1. système à contre réaction.
Avec
:
En contre réaction avec :
=
=
+
(12)
232
=−
( , )
(13)
Le point d’équilibre du système précédent est globalement asymptotiquement stable si la
partie non linéaire
(Khalil, 1996).
( , ) est passive et le système linéaire est strictement passif à l’entrée

école de technologie supérieure université du québec

Transcription

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