A Variational Approach to Moir 24 5att4rn Synth4@i@ Guy Lebanon

A Variational Approach to Moir 24 5att4rn Synth4@i@ Guy Lebanon

Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
!" # " $&%'& "
( (
)+*,.-/1032543654
jkmlbnF/1oqpsrutvnF*3wBxyQzB/1{D4
718:9<;:=8>;<?A@B?DCDEF9FGIHJGD;<KL?NMOP9QMSRTKLRT=RT?
|3?}^F8<aSRT]~?>9FR5GYX[Z\G:]^_=QR`?>a U C>KL?>9FCD?
U CDEFG>GVHWGYX[Z\G:]^_=QR`?>a U CbKc?b9FCD?
@B?DCPE9FKLG:9A€5OYMSaY8:?SHOP9QMSRTKLRT=RT?3GmX‚@B?PCDEF9GVHJGD;:i
Z\8<aN9F?d;<KL?e?SHcHJG<9'fg9FKLh>?>aDMSKLR`i
j*3ƒ5*3yQz…„†‡‰ˆ\†Š†5†
v‹ Œ5VŽ<:1‘QŽ
© ” šB—V’!ª“F¡ ”L“•B—3– ž<˜_• —<™BQ—<¡Nš —‚“œ«› šB—<š_— ­ “B¬ žV¤ ž<Ÿ Ÿ_˜_•— • ˜ ™B“ —<¤ š” ¡ ¡”§“ š “‰”L“œ› •Q›£—V“œ®1• — ¯ ”¢’°› “Q”¢£F•B—V—[– ¤˜_ Q• ¡S—3¡S— š • “ šBšB¤3¥ ”  šB• —<—‚ •˜_¥§Q¦ ¡S¡SžV— “œ• ›
šB¤¨
¡b™_“ Q¡A” ”Jª “ “ šW”L±²¡A› —V³ ” ¤N¡ ” š´Fš¦ • “QµŸ ¡b™B“·— µ “œ•D” £ ›” š_Ÿ Q¥ ” ”¢› ”§ž Q£F—V”J¸ ¤ © Ÿ Ÿ ¡vF˜_• ˜_“ —< ” •A”§“ ” š+¡>•S™BŸ —¤ Ÿ ˜¶— •m¨
¡˜ “Ÿ ˜ ¤ ”§ž!¡ •½”¢›“Qš µ«›“ “FQ”L£F•B—°—– u˜_·” Q¤«¡N¡>¡S• ™B— •— ¸ š+—V¤N¤¦»ž š¥§¡b¡ • ™B—V¤ ” ” ¤ ª_—<Q”L•¥§¥§¤ ¡ ˜B 3¥ ›” ¡b“FQ™ ”L¡ •Bž<– • —°—<Q¤ ¡ ” šB˜_£ — • ˜”L› ¤ Q£F¡ —V¤vš ¡>™_Q¥§¡<—F¼ ¯º ¹3™B—<™Bš —
¤ ˜_—¾ “ ˜ ” ”§¤S“ —Vª\¼ ¥§¥ Ÿ_•D—” —<Q¥ — ¡> šª_”L• —V¤ —V›¿ª “F”L•œ– —[˜_Q•¡S¡N— 3šB” ¤<¯ © • ”
šBª ¡ šB¤u—<šB¤ šB£A¡b™_Q¡[ª_—V¤ —Vª —~˜_·¡S¡S— š ¥§¥ —À˜ —V¤S—<šF¡ š¡b™B—
¤”L› Ÿ ˜_— • ˜ “ Ÿ¤ ” ¡ ”J”§Ã_“ Ÿš “Qµ ¡ “”¢› µYQ• £F—V¤3“œ ›Ä• —‚” ÁBš ž“Q “œšW“ ¼_”™ “ — ¸ — • ¡bŸ ™B—V¦•D”Lª › “ š “ “ ¡¤b˜_”L—› žV”µ ¦v¡b™Bž —V¤S—
© —!Q—V£F³_—V˜B¤ ¥ “” š ¡N—VªÅ—V¡ ¥§“ ¦F¯°˜ •D¹u“ ™Bª — ŸBž — —V—V¸ ª •D”§“œŸ ¤vš ª_—V™ £ • —V—V¤ ¤ šB£&“Qµ[¡b¸B™B”—¤ ” ¤© ” ¥ ˜_” ¡D— ¦ÆFšB˜ ªº¤S—<—VšBª ¤ Ÿ_• —!Q£ª_—V—V¤ ¤ ”L• F—Vªš
˜ •D“ ˜¶Ç — • •m¡ µd”“œ—V•S¤<› ¯ ž ž<•D” •D” µÈ“B• ”L›
›
_
Ÿ
•
“
Ÿ
•
Q
“
¨
—


š
—
S
¡
—

b
¡
B
™
—
Q

F
£
V
—
¤
b
¡
_
™
Q

¡
<
—
Q

¤
—
B
™
<
—
š
B
š
É
—
¤
_
˜
—
˜
¤ ” ¡ ”§“ š¸B” ” ¤” © ©” ”—V¡S¡S— “Q• µ ¡b™_šÊ›Fš ““ ”¢•B¡b™B– — •  • — • ” š¡ •D“ “ ª ŸBž —Vª\¯AŸ_¹3› ™B—V¤S— ¸Bž<” •DŸ” ¡S— •D”  • — › © ·¤S—Vª ““ š
¡b¡b™B™B——‚ª ” £ ¤ ” ¡ ”§Ë ¥ Q¡D¡ ¦ ”J“ š ¡b™B™ —”Jž ™&¡bFÁQ—v—V¤‰˜_˜BQ¥¢¡S ¡Sž — — šB ¤™B¡ —<š!¡b˜ ™B• —!—V¤S™ —<š¡ ” šB£š ¡b™B— ¤ ”LQ› ¥3Q¤S£¦B—V¤S¤ ¡S— “ šª ” šB¤ ž<ª • —V¡Sš—
ªž ” ¤b“B˜B“ ¥L<” ¦B¤<¯ÍÌʗ”L› ™B— • —˜ •D“ ˜ “ ¤S“ —¡ ”¢“Ê›¿• ”J—VË ¤ “ ¥ ¸ —vž¡>™B“— µY• —V—Vž<ª •½“œ” ›Î•D” ” š ›“”¢•B—A– ¤S¦_š¡b™B—V¤ ” ¤ © ¦
™ ¤ šB£¡b™B— Q£F—V¤u¡b™_Q¡ ˜B¡ —
¡b™B— ™ ¤S—<š ¡N— _¯
Ï
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Ð ÑÒ&ÓÔ3ÕÍÖ+×+Ø~ÓuÙÕ&Ò
‰Ú ÛWÜ!ÝbÜQÞ>ßàß!áBâ`ÞgÜã ä:áœß!ÜFåçæYÞbáBßéèWÞ>ÜQê\äVÛ+ë[ÛWÜQÞbÜ&â`ÝAÞ>Ü:æYÜQÞåÝ>áëÀìÝbÜQÞ>ÜFíºåNâ`îTïŠð!ډÛWÜ°ß!áBâ`ÞWÜ ã
åNâ`îTï°ä:áBêñåNâdåSÝVå‰áFæÝNë~ávîdìQò_ÜQÞåóáFææPìFôWÞ>âÈä
õWÞbÜFå>åSÜFí!Ý>áBöœÜQÝ>ÛgÜQÞQð3÷å3Ý>ÛWÜ¿åNâTî`ï&ô\ÜQêñíWå[ìê\í&æYáœîdíWå<ø
Ý>ÛgÜÝSë~ávîdìQò_ÜQÞVå3åSÛWâcæYÝ[ë[â`Ý>ÛÊÞ>ÜFåSõ\ÜFä:Ý[Ý>áváœêWÜÉìêWáœÝ>ÛWÜÞäQìFù\åNâ`êWövÝ>ÛgÜìFõWõ\ÜFìÞìê\ä<ÜáæâTê1Ý>ÜÞNú
æYÜQÞbâTêWöÊõ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å<ð+ډÛWÜ!ß!áœâTÞgÜvã Ý>ÜFäVÛWêWâÈû¶ùWÜæYáœÞßÊìFêù1æPìBä:ÝbùWÞ>â`êWöä:îTáœÝ>ÛWÜFåAë[ìœåíÜQü_ÜîTáBõ\ÜFí
âTê+ý3ÛWâ`ê\ìvìvîTáBêgövÝ>âTß°ÜìFöBáWøŠìêñíÍîdìFÝ>ÜQÞ[â`êÝbÞ>á1íùñä:ÜFí!Ý>áèWÞVìFê\ä:ÜAâTê ÏFþFÿ ô1ò!Ý>ÛWÜ êWöœîTâdåSÛ
ßÊìFêùæPìœä:Ý>ùgÞ>ÜQÞ [ìBí1öBÜQÞð ìFÝ>ùWÞìî‰ß°áBâTÞgÜ&ã õgÛWÜQêWáœß!ÜQê\ìäQìêÆô\ÜåNÜQÜQêÅâTêíWìâ`îTòºîTâLæYÜ_ø æYáœÞ
Ü gìß!õgîT܂âTê!ÝbÛWÜæYáBîdígå‰áæóìß!áFü1âTêWöAê1òî`áBêÊä<ùWÞ>ÝìâTêÊáœÞ[ë[ÛWÜQêî`á_áBï1âTêWövÝbÛWÞ>áœùWöBÛõ\ìÞìî`îTÜQî
ë[âTÞbÜ:úPß!ÜFåNÛÊæYÜQê\ä:Ü·å:ðÉډÛW
Ü ñÞVåNÝ¿å>ä:â`ÜQêÝb⠊äAáBô\åSÜQÞ>üœìFÝ>âTáœê\åë~ÜQÞ>ÜÉßÊìBí1Üvôò \áBÞVí ‚ì·ò1îTÜâTöBÛ
Ï ë[ÛWá°åNùgöBöBÜ·åNÝ>Ü·íÍÝ>áù\åSÜÝbÛWÜAß!áBâ`ÞgÜ
ã õgÛWÜQêWáœß!ÜQêWáœê&æYáBނÝ>ÜFåSÝ>â`êWöû¶ùñìîTâ`ÝSò&áFæöœÞVìÝbâTêWö»å:ð
‰Ú ë~á!öBá»ìîÈåÜ1âdåSÝ
â`ê+ß!áBâ`ÞWÜAã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\åÞ>ÜFåSÜFìÞäIÛ ðAډÛWÜ\ÞVåSÝAâdå
ÝbÛWÜìê\ìFîTògåNâÈå
áæÀß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å<ðAډÛWâdå[ù\åNùñìîTî`òÊâTê1ü_áBîTü_Ü·å[åNáBß°ÜõgہògåNâÈäQìîåNâ`Ý>ù\ìFÝ>âTáœê+âTêë[ÛWâdäVÛß!áœâTÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
ìõgõ Ü·ìÞvÜQâ`Ý>ÛWÜQÞAê\ìFÝ>ùWÞìî`îTòºáBÞvô1ò+ہùWß'ìê´â`êÝbÜQÞ>ü_ÜQê1Ý>â`áBêð°Ú‰ÛWÜÊÝVìœåNïºâdåÝbáºìê\ìFîTòQÜ°ìê\í
äVÛ\ìÞìBä:ÝbÜQÞ>â QÜAÝ>ÛWÜÉõ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å:ð á»åNÝáFæ‰ÝbÛWÜvÞ>Ü·åNÜFìFÞVäVÛâTêß!áBâ`ÞgÜAã õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\åìFê\ìî`òWåSâdåí1ÜFìîÈå
ë[âTÝbÛ \ê\íâ`êWövÜFû_ù\ìÝbâTáBêñå[íÜFå>ä<Þ>âTôgâTêWöÉÝ>ÛWÜß°áBâTÞgÜ
ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå:ð ½ê°ß!áBâ`ÞWÜã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>êåNò1ê1Ý>ÛWÜFåSâdå
Ý>ÛgÜ!öBÜQêgÜQÞVìFÝ>âTáœê´áæ«ä<ÜQÞ>ÝìâTêºß!áœâTÞgÜã õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\åAâdåÞbÜFû_ùWâTÞbÜFí5ðÊډÛWÜÊåSòê1Ý>ÛgÜFåNâÈå¿õgÞ>á1ä:ÜFåbåâTêú
ü_áBî`ü_ÜFåuõgÞ>á1íù\ä<âTêWöÝSë‰ávâTß'ìöBÜ·å‰åNùñäIÛÝ>Û\ìFÝ[ë[ÛWÜQêÝbÛWÜFåSÜâ`ßÊìöœÜFå‰ìFÞ>ÜÉåNùgõ ÜÞ>âTß°õ á»åNÜFí!ÝbÛWÜ
Þ>Ü·û¶ùWâ`Þ>ÜFí!ß!áœâTÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
ÜQß!ÜQÞböBÜ_ð áœâTÞgÜÉã åSòê1Ý>ÛWÜ·åNâdå«ìê\í+ìFê\ìî`òWåSâdå‚ìÞ>ÜvÝbâTöœÛÝbîTòÊîTâ`êWï_ÜFí
ìêñíÍùWê\í1ÜQÞVåSÝVìêñíâTêWöáBêgÜÝìBåSïÍöœâTü_ÜFå3âTê\åSâTöœÛÝ[áœêÝ>ÛgÜáœÝ>ÛWÜÞQð
ùWÞbâTêWöÝ>ÛWܺò_ÜFìÞåÊíâ ŠÜQÞbÜQêÝ°ß!ÜQÝ>Ûgá1íWå!Ý>á ß°á1íÜQîAìFê\íqìFê\ìî`
ò ÜÝbÛWÜß°áBâTÞgÜ+ã õWÛWÜ:ú
êWáœß!ÜQêWáœêÛ\ìœå¿ô\ÜQÜê+åNùgöBöBÜ·åNÝ>Ü·í5!ð ºÜåNÛñìîTîíÜFåbä:Þ>â`ô\ÜÝSë‰á!ß'ìâTê…ìõWõgÞ>á_ìœäIÛgÜFå
Ý>á°ß!á1íÜQî
Ý>Ûg܉ß!áœâTÞgÜ3ã õWÛgÜQêWáBß°ÜQêWáBêÉâTêvÝbÛW܉êW"Ü Ý3åSÜFä:ÝbâTáBê $ð #»ÜFä:Ý>â`áB&ê %
ôWÞ>â`(Ü '\òAß!ÜQê1Ý>â`áBê\ååSáBß!ÜÀìõWõgîTâcú
äQìFÝ>âTáœê\åuáFæÝ>ÛW܂ß!áœâTÞgÜ[ã õgÛWÜQêWáœß!ÜQêWáœê)ð #_Ü·ä:Ý>â`áBê õWÞbÜFåNÜQê1ÝVåÝbÛWÜ
ß°áBâTÞgÜ[ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbêÊåNò1ê1Ý>ÛWÜFåSâdå
õWÞbáBôWî`ÜQß ìêñíâTêÉåSÜFä:Ý>â`áBê ÿ øœä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâdìuæYáBÞß°ÜFìBåSùWÞ>â`êWö[Ý>ÛWÜ3õ\ÜQÞSæYáBÞ>ß'ìê\ä:Ü3áFæ\ß!áBâ`ÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
âTê°ìAåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBêÊìFÞ>܂âTê1Ý>Þ>á1í1ù\ä:ÜFí5*ð #_ÜFä:ÝbâTáœê +AíâÈå>ä:ù\åbåNÜFåÝbÛWÜ
â`êÝbÜQöBÞìôWâ`îTâ`ÝNòÉä:áœê\åNÝbÞVìFâTê1Ý
ë[ÛWâÈäIÛ´Üê\åNùWÞbÜFåÝ>ÛñìÝì+ä:ÜQÞbÝVìFâTê´ü_ÜFä<Ý>áB,Þ \ÜîdíâÈåvìöBÞVìœíâTÜêÝ \ÜQîdíŠ-ð #»ÜFä:Ý>â`áBê þ ÞbÜQü1âTÜQë‚å
åNáœß!Üô\ìœåNâÈä¿ÞbÜFåNùgîTÝVåæYÞ>áœß üœìÞ>âÈìÝbâTáBêñìîäQìFîdä:ùWî`ù\å‰ìFê\íÍÝbÛWÜQâ`މù\åSÜâ`ê!ß!áœâTÞgÜ«ã åNò1ê1Ý>ÛWÜFåSâdå~ìê\í
åNÜ·ä:Ý>â`áB/ê .ìBígíÞ>ÜFåbåNÜFå3Ý>ÛW܂õWÞbáBôWî`ÜQß áæÞbÜFä:áFü_ÜQÞ>â`êWöÝbÛWÜ
õ\áœÝ>ÜQê1Ý>âÈìîWæYùWê\ä:ÝbâTáœê!áæ ìöBÞìBíâ`ÜQê1Ý
\ÜQîÈí50
ð #_ÜFä<Ý>âTáœ2ê 1ä:áBê\ä<îTù\íÜ·å‰ë[âTÝ>ÛåSáBß!ÜÞbÜFåNùgîTÝVå[ìFê\íä<îTá_åSâTêWövÞbÜQßÊìFÞ>ïgå:ð
‰Ú ÛgÞ>áBùgöBÛWáœùWÝ
ÝbÛWâdå‰õñìõ\ÜQނë‰Üë[â`îTîí1âdå>ä<ù\å>å‰ÝbÛWÜAäQìœåNÜAáæóåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBêáFæÝSë~ávâTßÊìFöBÜFå
æYáBÞAÝbÛWÜå>ìFï_Üváæ‚åSâTß!õgîTâdä<âTÝSòBðDÝâÈå
êWáœÝÝbá_á+íâ43Êä<ùWîT݂Ý>áÊÜ1Ý>ÜQêñíÝ>ÛWÜvÞbÜFåNùWî`ÝVå
ÝbáåNÜQü_ÜQÞìî
åNùgõ ÜÞ>âTß°õ á»åNÜFíÊâTßÊìFöBÜFå<ð)ºÜë[â`îTîìœå>åNùgß!Üvìvß&ùgîTÝ>â`õWîTâÈäQìÝbâTüœÜåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBê+ÞbùWîTÜ»ð5#_ù\äVÛ
ì&ÞbùWîTÜÉâdå
ß!áœÝ>â`üBìFÝ>ÜFí!ô1òÝbÛWÜßùWîTÝbâTõWî`âdäQìFÝ>âLáBêÊ(Ü ŠÜFä<Ý
â`ß!õWîTâÈä:âTÝ3â`ê+îdìQòâ`êWöÝ>ÞVìFê\åNõñìÞ>Üê\ä:âTÜ·å
áBêáBêWܺìFêWáBÝbÛWÜQÞ6ð DÝ&âÈå:ø‰ÛWáFë~ÜQü_ÜQÞQøõ\á»å>åNâ`ôWîTÜÝ>áÆä<áBê\åSâdíÜQÞváœÝ>ÛWÜÞ!åSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBê ÞbùWîTÜ·å
7 ð‚Ú‰ÛWÜÉêWáBêWî`âTêWÜ·ìÞ>â`ÝSò!áæ~Ý>ÛgÜßùWîTÝbâTõWî`âTäìÝ>â`üBÜ«åNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBêÅìîTî`áFë‚åçêWÜëqæYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:âTÜFå<ø
ë[ÛWâÈäIÛÅíá+êWáœÝÜ 1âdåSÝâTêºÝ>ÛgÜ!áBÞbâTöBâ`ê\ìî~âTßÊìFöBÜÝ>á…ìõWõ\ÜFìFÞvâTê´ÝbÛWÜÊåNùgõ ÜÞ>âTß°õ á»åNÜFí+âTß'ìöBÜ
8 åSÜQÜèâ`öBùWÞbÜFå Ï 9ú %;:<
ð DêÍæPìœä:ÝAêWáBêWî`âTêWÜ·ìÞ>â`ÝSò!âdåìFÝAÝ>ÛWÜvÛWÜ·ìÞ>Ý«áæ~Ý>ÛWÜvß°áBâTÞgÜã õWÛgÜQêWáBß°ÜQêWáBê
ìêñíÍîTâ`êWÜFìFÞ[åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê+î`âTï_Ü«ìBíWíâ`Ý>â`áBêíá_ÜFå[êWáB݂ÜQî`âdä:â`Ýuâ`Ý 8 åSÜQÜÉèâTöœùWÞ>Ü :ð
=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâ`öWð Ï7> \ â`êWÜFìFÞ[öBÞVìFÝ>â`êWö&êgáWð Ï
èâ`öWð => \ â`êWÜFìFÞ[öBÞVìFÝ>â`êWö&êgáWð
%
=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTöWð?% > ùWîTÝbâTõWî`âdäQìFÝ>â`ü_܂åNùWõ\ÜQÞbõ á»åNâ`Ý>âTáœê+áæóèâTöœùWÞ>Ü·å Ï ìFê\í
èâTögð @> ÷íWí1âTÝ>â`ü_ÜåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœê+áæóèâTöœùWÞ>ÜFå Ï ìêñí
=
=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
&Õ ÙÔDE C FHG ÓÓ E Ô‰Ò G Ò G<I"JLK Ù K
ډë‰á ß°á1íÜQîdå!æYáBÞ+ß!áœâTÞgÜã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê ìêñìîTògåNâÈå+ìÞbÜ ÞbÜQü1âTÜQë~ÜFí5ðډÛWÜÆâ`ê\íâdä<âdìîAÜFû_ù\ìFÝ>âTáœê
ß!ÜQÝbÛWá1íáœõ ÜÞVìÝbÜFåvâTê´ÝbÛWÜÊâTßÊìFöBÜõWîdìFêWÜìê\í´Ý>ÛgÜèWáœùWÞ>â`ÜQÞvíáœßÊìâ`ê´ß!ÜQÝbÛWá1íáœõ ÜÞVìÝbÜFå
âTêÊÝbÛWÜæYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<ò&õWîÈìêWÜ»*ð ÜQÝVìFâTî`ÜFí!íÜFåbä:Þ>â`õWÝ>â`áBê\å‰áFæ3Ý>ÛgÜFåNÜß°á1íÜQîdå[ìFõWõ\ÜFìނâTê Ï( ð
A
MNPO
B
QSRTVUXWY,U[Z\U[]*^_Ta`5b]dc@U[efWhgiT\cjReY
ډÛWÜ~åNâ`ß!õWî`ÜFåN݊ìêñí¿áœîdíÜ·åNÝß!á1íÜî·æYáœÞìFê\ìî`ò âTêWö~Ý>ÛWÜ3öBÜáBß!ÜQÝbÞ>âÈäåSÛ\ìõ\Ü3áæ\ß°áBâTÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
âTêÆÝbÛWÜ+åSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBêáæAÝSë~á´ä:ùgÞ>ü1âTîTâ`êWÜFìFÞöœÞVìFÝ>âTêgö_å&âÈåÝ>ÛWÜâTê\íâÈä:âdìFî 8 áBÞõ\ìÞìß!ÜQÝbÞ>âÈä:
ÜFû_ù\ìÝbâTáœê ß!ÜQÝ>Ûgá1í åSùWÞ>ü_Üò_ÜFí´âTê "Ï = ìê\í 1 ð ډÛWâÈå&ß!á1íÜQî[âÈå&ô\ìœåNÜFí áœê Ý>ÛW܅ä:ùWÞ>ü_Ü
ÜFû_ù\ìÝbâTáœê\åáFæÉÝ>ÛWÜáBÞ>â`öBâ`ê\ìî«ä:ùWÞbüâ`îTâTêgÜFìÞÉöBÞVìFÝ>â`êWö_å<kð mæAÜFìœäIÛáæAÝbÛWÜáœÞ>âTöœâTê\ìFî
îÈìQò_ÜQÞVåâÈå
Þ>Üö_ìÞíÜFí+ìœåìê+â`ê\íÜ 1ÜFí'æPìFß!âTî`ò&áFæÀä:ùWÞ>ü_Ü·å:ø\Ý>ÛWÜÉß!áBâ`ÞWÜAã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê+áæ~Ý>ÛgÜvåNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê
æYáBÞbßÊå[ìvêWÜQë â`ê\íÜ 1ÜFíæPìFß!âTî`ò&áFæ~ä:ùWÞbü_ÜFå:ø1ë[ÛWá_åSÜÜFû_ù\ìÝbâTáœê\å
äìêô\ÜÉâTêæYÜQÞbÞ>ÜFí&æYÞbáBß ÝbÛWÜ
ÜFû_ù\ìÝbâTáœê\å‰áæ3ÝbÛWÜAáBÞbâTöBâ`ê\ìîöœÞVìFÝ>âTêgö_å:ð
÷äQä:áœÞVíâ`êWöÝbáÝbÛWâdåß!á1í1ÜQîWÝ>ÛgÜ[áBÞ>â`öBâ`ê\ìî\âTß'ìöBÜ·åä:áœê\åNâÈåNÝ3áæ ôWîdìœäIï ä:ùWÞbü_ÜFåáBê°ìë[ÛWâTÝbÜ
ô\ìœäIï1öBÞbáBùWê\íŠðډÛWÜä:ùgÞ>ü_ÜFå‰â`ê+ÜFìBäVÛâ`ßÊìöœÜìFÞ>Ü ìBå>åSùWß!ÜFíÊÝ>á!ô\ÜvÝbÛWÜÜFû_ù\ìFîÛWÜâTöBÛ1Ý«ä:áBêú
Ý>áœùWÞVåAáæ‚ÝSë‰áíâ`ß!ÜQê\åSâTáœê\ìîæYùgê\ä:Ý>â`áBê\å<ð ÜÝ>Û1ù\åÛ\ìQü_ÜÝNë~áÊâTßÊìFöBÜFå
ë[ÛgâdäVÛ´ä:áœê\åNâÈåNÝÉáæ
ôWîÈìBäVïä<ùWÞ>ü_ÜFíAöBÞìÝ>â`êWö_åë[ÛWá»åNÜ«ä:ÜQê1Ý>ÜQÞbîTâ`êWÜFåìÞbÜ[Ý>ÛWÜ~ÜFû_ù\ìîWÛgÜQâTöœÛÝä:áBê1Ý>áœùWÞVåáFæ5ÝSë~á
æYùWê\äIú
Ý>â`áBê\må l 8on\prq :3ìFê\_í s 8on\prq :3ìBå‰æYáBî`îTáFë‚å
l 8on\prq u
: t
s 8on\prq u
: t
v
vuwHx
y
z{wHx
Ï
8 :
_âTêñä:ÜÝbÛWÜâ`ßÊìöœÜFå[ìÞbÜvôWâTê\ìFÞ>òÊÝ>ÛgÜßùWîTÝbâTõWî`âdäQìFÝ>âLü_ÜåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœê+âdåìFîdåNá'ìêº÷,,
áBõ\ÜQÞìÝbáBÞQðLuìœäIÛÅáæ‚Ý>ÛgÜ!ä:ùgÞ>ü_ÜFåâTêºô\áBÝbÛ â`ßÊìöœÜFå
Û\ìœåvìê´â`ê\íÜ+öœâTü_ÜQêºô1ò+Ý>ÛWÜ!ÛgÜQâTöœÛÝ
áæ‚ÝbÛWÜ!ÞbÜFåNõ\ÜFä:ÝbâTü_Ü°ä:áBê1Ý>áœùWÞQð…÷åìÊÞ>ÜFåSùWîTÝ ìBí|Vìœä:ÜQê1Ývä:ùWÞbü_ÜFåöBÜQÝ ìBí|Vìœä:ÜQê1Ýâ`êÝbÜQöBÜQÞåAìBå
âTêñíâdä:Ü·å:}ð ºÜÉíÜQêWáœÝ>ÜÝbÛWÜAâTê\í1âdä:ÜFå3áæÝ>ÛWÜÉä:ùgÞ>ü_ÜFå3áBêÊáBêWÜAâ`ßÊìöœÜôò°ìêÊâ`êÝbÜQöBÜQÞ~üœìÞ>âÈìôWî`Ü
v ìFê\íÝ>ÛgÜ&â`ê\íâdä<ÜFå
áæ‚ÝbÛWÜ°ä:ùWÞ>ü_Ü·å
âTêºÝ>ÛWÜ°åNÜ·ä:áBê\í+âTß'ìöBÜvô1ò+Ý>ÛgÜ&â`êÝbÜQöBÜQÞ«üBìFÞ>âÈìôWî`
Ü yð
ډÛWÜAä<á_áBÞVí1âTê\ìFÝ>ÜFå v p yíÜ \êWÜAìFê 8 v p y~:êWÜQÝQð Dê!ÜFìBäVÛ!õ\áBâ`êÝ[áFæÝ>ÛWÜ 8 v p y~:êgÜQÝQø1ì€ê v
ìêñíìLê y+ä:ùWÞbü_ÜâTê1Ý>ÜQÞåNÜFä<ÝQð
ډÛWÜ 8o‚pr„ƒ :Aß°áBâTÞgÜ!ã ä<ùWÞ>ü_ÜFåÉìÞbÜ+í(Ü ñêWÜFí´ìœåÝbÛWÜä:ùWÞ>ü_Ü·0å |>áBâ`êWâTêgö+Ý>ÛWÜ!â`êÝbÜQÞVåSÜFä:ÝbâTáBê
õ\áBâ`êÝåçáF*æ vàìê\€í y+ä:ùWÞ>ü_Ü·å‰ë[ÛWá_åSÜâ`ê\íâÈä:ÜFå‰áBô\ÜQò
#
 ‚ v†…
 ƒ yLtˆ‡
8= :
ë[ÛWÜQÞbÜ ‚pr„ƒ ìFÞ>ÜÉä:áœê\åNÝìê1Ý
â`êÝbÜQöBÜQÞå[ìê\퀇 ÞbùWê\å[áFü_ÜQމÝbÛWÜÉåNÜQ݂áæâTê1Ý>ÜQöœÜQÞVå<ð
ý3áBê\ä<ÜQõWÝ>ùñìîTî`ò!ô1ò&î`ÜQÝ>ÝbâTêWö‰vàìê\í2y+üBìFÞ>òÊä<áBê1Ý>âTê1ùWáœù\åNî`ò_øÝbÛWÜ 8o‚"pr„ƒ :‰ß!áœâTÞgÜã ä:ùgÞ>ü_ÜFå
áBô\ÜQò1âTêgö
‚ vŠ… „ƒ y_t‹‡ ‡dwHx
8 %„:
ô\ÜFä:áœß!Üä:áBê1Ý>â`êùgáBù\åÉä:ùWÞ>ü_Ü·å:ø5ÝbÛ\ìÝÉßÊìQòô\Ü!Þ>Üö_ìÞíÜFí´ìœåÜFû_ù\ìFîcúPÛWÜQâTöœÛÝÉä:áœêÝbáBùWÞåáFæ«ì
êWÜQë.ôWâ`üBìFÞ>âÈìÝ>ÜæYùWêñä:Ý>â`áBê Œ 8on\prq :Vð
ÿ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
a
b
n=1
c
d
n=3
m=1
m=2
m=3
èâ`öWð ÿ> _# ùWôWÝbÞVìBä<Ý>âTü_Ü¿ìê\íìBíWíâ`Ý>â`ü_Üß!áBâ`ÞgÜã â`ê!Ý>ÛgÜâ`ê\íâÈä:âdìFî5ÜFû_ù\ìÝbâTáœêÍß°á1íÜQî
‰Ú ÛgÜ&áœÞVíÜQÞAáFæ[Ý>ÛgÜ 8‚pr„ƒ :‚ß!áBâ`ÞWÜã âÈåAíÜ(\êWÜ·í ÝbáÍô\Ü!ÝbÛWÜvÛWâ`öBÛWÜFåSÝÉìô\åSáBîTùgÝ>Ü!üœìî`ùWÜáæ
ð ډÛg܎\ÞåNÝáBÞVí1ÜQÞ&ß°áBâTÞgÜFã åìFÞ>ÜÝ>ÛWÜQÞbÜ:æYáBÞbÜÊÝ>ÛWÜìBígíâTÝbâTü_ÜÊß!áBâ`ÞgÜ2㠏2…kz6th‡«ìê\í
Ý>ÛgÜ!åSùWôWÝ>ÞìBä:ÝbâTü_Üvß!áœâTÞg܉㠏Ž‘zDt’‡Sð&ډÛgÜ{\ÞVåSÝAáBÞVí1ÜQÞß!áœâTÞgÜã õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\åÉìÞ>ÜÝ>ÛgÜ!ä:ùgÞ>ü_ÜFå
ä:áœêWêWÜFä:ÝbâTêWöÉÝ>ÛW܂âTê1Ý>ÜÞVåNÜ·ä:Ý>â`áBêõ áœâTê1ÝVå3áæä:áœê\åNÝìê1Ý[åNùgß ìFê\íÊä:áBê\åSÝVìFêÝÀíâ ŠÜQÞbÜQê\ä:܂áæÝbÛWÜ
ä:ùWÞbü_ÜFå5âTêñíÜ ‚üBìFîTùWÜ·å:dð DêÉèâ`öBùWÞbÜ ÿ ø 8 „ì :ìFê\í 8 “ô :ŠåNÛgáëÅÝNë~á
ôgâTê\ìFÞ>òâ`ßÊìöœÜFå5ë[ÛWá_åSÜ[ä:ùgÞ>ü_ÜFå
ä:áœÞ>Þ>Ü·åNõ\áBê\í!ÝbávÜFû¶ùñìî5ÛgÜQâTöœÛÝÀä:áBê1Ý>áœùWÞVå‰áFæ3ìAÞ>áBùgê\íÊåNùWß!ß°âTÝQað Dê 8 ä :ÝbÛWÜAåNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê
áæ 8 „ì :ìê\í 8 ”ô :vâdå&"Ü ÛWâ`ôWâTÝbÜFí ìFê\í âTê 8 ?í :vÝ>ÛWܺåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêqâ`ßÊìöœÜâd‰å Qá_áBß!Ü·í âTêð
ډÛWÜÊåSùWôWÝbÞVìBä<Ý>âTü_Üß!áœâTÞgÜvã â`ê 8 ?í :âdåAíÜ·å>ä:ÞbâTô\ÜFíô1ò+Ý>ÛWÜ'åNÛWáœÞ>Ýví1âdìöœáBê\ìFîdåáFæ‚Ý>ÛWÜÊä<ùWÞ>ü_ÜFí
õ\ìFÞVìî`îTÜQî`áBöœÞVìß'å‰ìêñíÍÝ>ÛgÜìœíWíâ`Ý>âTü_Ü«ß!áBâ`ÞWÜã âÈå[íÜFå>ä<Þ>âTô\ÜFíôò!ÝbÛWÜAîTáœêWö!í1âdìöœáBê\ìFîdå<ð
‚pr„ƒ
+
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Dark areas: black gratings
fall between each other
Bright areas: black gratings fall
on top of each other
è âTöWð•+ > ‰Þ>â`öBÛ1Ý[ìêñííWìFÞ>ïìÞbÜFìBå[âTê!ÝbÛWÜÉåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBê+áæöBÞìÝbâTêWö»å
ý3î`ÜFìÞbîTò_ø3êWáœÝ!ìFîTî‚Ý>ÛWÜ 8o ‚ pr ƒ :Éß!áBâ`ÞgÜFã åAüâÈåNù\ìFîTî`òÆåNÝìê\í áœùWÝQð.ډÛWÜüâÈåNâTôgâTîTâ`ÝSò+áæAÝbÛWÜ
ß!áœâTÞgÜ«ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å
ë[âTî`îô\ÜvíâÈå>ä:ù\åbåNÜFíÊâTêöBÞ>Ü·ìÝ>ÜÞ
î`ÜQêWöBÝbÛîÈìÝ>ÜÞQðm–åSù\ìî`îTòÊáBêgîTò\ÞVåSÝ
áœÞVíÜÞ
ß!áœâTÞgÜ·ã åvåNÝVìFê\í áœùWÝ&úÉâcæìÝ°ìîTîPð6Dê ÝbÛWÜ+äQìœåNÜáæ,\ÞåNÝáBÞíÜQÞ!ß!áœâTÞgÜFã ååSáBß!ÜQÝbâTß!Ü·å¿áœêWîTò
Ý>ÛgÜvìBígíâTÝbâTü_ÜAáBÞáœêWîTòÊÝbÛWÜvåSùWôWÝ>ÞìBä:ÝbâTü_ÜAß!áœâTÞgÜÉã åSÝVìêñíáBùWÝAìFê\í+åNáœß!ÜQÝbâTß!ÜåuêWá°ß!áBâ`ÞWÜã âÈå
ìõgõ\ìÞbÜQêÝóìÝ3ìFîTîDð÷
êâ`êÝbùWâTÝbâTü_Ü3Ü 1õWîdìFê\ìÝbâTáœêæYáBÞÝ>ÛWÜ[ü1âdåSâTôWâ`îTâTÝSò‚áæŠÝ>Ûg0Ü \ÞVåSÝáBÞíÜQÞß!áœâTÞgÜFã å
öBâ`ü_ÜQêâ`ê Ï âdå > mæ3Ý>ÛgÜvöBÞVìFÝ>â`êWö_åáæÀÝ>ÛWÜvÝSë~á!âTßÊìFöBÜFå[âTê1Ý>ÜÞVåNÜ·ä:Ý
Ü·ìBäVÛáBÝbÛWÜQÞÉìÝ¿ìÍåSßÊìî`î
ìêgöBîTÜ»øÝ>ÛgÜåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBê'ä:áBê1ÝVìFâTê\å~íWìÞbï_ÜQÞ~ìê\í&ôgÞ>âTöœÛÝbÜQÞ~ìÞbÜFìBå<ð3ډÛWÜAìÞbÜFìBå3ë[ÛWÜQÞbÜ
ÝbÛWÜ
ÝSë‰á+ôWîÈìBäVïöœÞVìFÝ>âTêgö_åæPìîTî[áœêÆÝ>áBõáæ«ÜFìBäVÛÆáBÝbÛWÜQÞìõgõ Ü·ìÞôWÞ>â`öBÛ1Ý>ÜQÞvÝbÛ\ìê ìÞ>Ü·ìBåë[ÛWÜQÞbÜ
ÝSë‰áAôWîÈìBäVïvöBÞVìFÝ>â`êWö_åuæPìFîTî\ô\ÜQÝSë‰ÜQÜQêvÜ·ìBäVÛ&áœÝ>ÛWÜQÞ;ø \î`îTâ`êWöAÝ>ÛWÜ«åNõ\ìœä:Üô\ÜQÝbÝ>ÜQÞ 8 åSÜQÜ«èâTöœùWÞ>—Ü +;:ð
ډÛWâÈåäQìFù\åNÜFåÝbÛWÜ!ìFõWõ\ÜFìÞìê\ä<ÜÍáFæ[ôWÞbâTöœÛÝÉß!áBâ`ÞWÜã ôñìê\íWåvìFîTáœêWöÝbÛWÜ&î`âTêWÜ·å¿ÝbÛ\ìÝÉä:áœêWêWÜFä<Ý
ä:î`á_åNÜ·åN݂ä:Þbá_å>åSâTêWöõ\áBâ`êÝå‰âTêÊÝ>ÛWÜÉåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBê ð
#_ùWô\åSÝ>â`Ý>ùWÝbâTêWö 8 Ï :3âTê 8 %„:‰ÞbÜFåNùWî`ÝVå‰â`êÍÜîTâTß°âcêñìÝ>â`êWöAÝ>ÛWÜAâ`ê\íâdä<ÜF0
å v py
 ‚ l 8on\prq :“…
 ƒ s 8on\prq :dt˜‡
‡}wHx™
8 :
Ü«äQìFê&Ýbہù\å3åSÝVìÝbÜ
ÝbÛ\ìÝ~Ý>ÛWÜ«ä:ÜQê1Ý>ÜÞ>îTâ`êWÜFå5áFæÝ>ÛWÜ 8‚pr„ƒ :ß!áBâ`ÞW܂ã ä:áœÞ>Þ>Ü·åNõ\áBê\ígåuÝ>áAÝbÛWÜ
ÜFû_ù\ìî3ÛWÜâTöBÛ1Ývä<áBê1Ý>áBùgÞVåáFæmŒ 8on\prq :t ‚ l 8on\prq :}… „ƒ s 8on\prq :VðÊډÛgÜ!âTê\í1âdä:âÈìîÜFû_ù\ìFÝ>âTáœê
ß!ÜQÝbÛWá1íWåÜQê\ìFôWîTÜ·å‰ìä<áBß!õWî`ÜQÝ>Ü~öBÜQáœß!ÜQÝbÞ>âdä[åSõ\ÜFä:â äQìÝbâTáBê°áæÝ>ÛgÜ
ß!áœâTÞg܂ã ä:ùWÞ>ü_Ü·åóôñìBåNÜ·í'áœê
Ý>ÛgÜ!âTß!õgîTâdä<âc݂öBÜáBß!ÜQÝbÞ>âÈävåNõ\ÜFä:4⠊äQìÝbâTáœê´áæ‚ÝbÛWÜÊä:ùWÞbü_ÜFåâTê´ÝbÛWÜ!ÝSë‰ááBÞbâTöBâ`ê\ìî3â`ßÊìöœÜFåAìBå
ÜFû_ù\ìîLúDÛgÜQâTöœÛÝÀä:áBê1Ý>áœùWÞVå[áæ3ôgâTüœìÞbâdìÝbÜæYùWê\ä:ÝbâTáBêñå:ð
þ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Additive moire
Subtractive moire
è â`öWð þ„> ‚áBêúPüâÈåNâ`ôWîTÜAìœíWíâ`Ý>âTü_Ü¿ìê\íåNùWôWÝbÞVìœä:Ý>â`ü_Üß!áBâ`ÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
ډÛgÜuâ`ê\íâÈä:âdìFîÜ·û¶ù\ìFÝ>â`áBêAß!ÜQÝbÛWá1í
Û\ìœååSÜQü_ÜQÞVìFîœíÞVìQë[ô\ìœäIïgå:ð½êAáœÞVíÜQÞÝbá[ù\åNÜ3ÝbÛWÜ3âTê\íâÈä:âdìFî
ÜFû_ù\ìÝbâTáœê+ë‰ÜvêWÜQÜ·íÜ õgîTâdä<âT݂ìêñìîTò1Ý>âÈäÜ 1õWÞbÜFå>åSâTáBêñåçæYáBÞAÝ>ÛgÜä:ùWÞ>ü_Ü·åçë[ÛWâÈäIÛ+ß'ì·ò°êWáBÝAô\Ü
Þ>Ü·ìBíâ`îTòAìQüœìâ`îdìôgîTÜ_ð÷
î`Ý>ÛWáœùWöBÛvÝbÛW܉ß!ÜÝ>ÛWá1íöBâ`ü_ÜFåù\åì«ä:áBê\í1âTÝ>â`áBêAæYáBÞÝ>ÛWÜ~õ á»å>åSâTôWî`Ü[ß!áBâ`ÞWÜ ã
ä:ùWÞbü_ÜFåvøâ`Ýí1á_ÜFåêWáœÝÝbÜQîTî3ù\åAë[ÛWÜQÝ>ÛgÜQÞAÝ>ÛWÜ!ß°áBâTÞgÜvã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbêë[â`îTî3âTêñíÜQÜFí+ô\Ü!üâÈåNâ`ôWîTÜvÝbá
Ý>ÛgÜ
Û1ùWßÊìFê&ÜQò_Ü»ðèWáœÞ‰Ü gìß!õgîTÜ_øœä:áBêñåNâdí1ÜQÞ3Ý>ÛWÜAåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœê!áæìæPìß!â`îTòAáæÛWáœÞ>â QáBê1ÝVìFî
îTâ`êWÜFåìFê\ívìÀæPìFß!âTî`ò
áFæ\ü_ÜQÞbÝ>âdäìîBî`âTêWÜ·å:ðډÛWÜ[åSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêvë[âTîTî1ä<áBê\åSâdåNÝáæ åSßÊìî`î_å>û_ù\ìFÞ>ÜFå<ð
ډÛWÜQÞbÜAë[âTîTîŠêWáB݂ô\ÜÉìê1ò!üâÈåNâ`ôWîTÜõñìÝ>ÝbÜQÞ>êìFîTÝ>ÛgáBùWöœÛÝ>ÛgšÜ ñÞVåN݂áBÞíÜQÞ[ß!áœâTÞgÜ
ã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê\å‚ìÞbÜ
íâÈìöBáœê\ìîîTâ`êWÜFå~ä:áBêWêgÜFä:Ý>â`êWövÝ>ÛgÜáœõWõ\á_åSâTÝ>ÜÉü_ÜQÞ>Ýbâdä:Ü·åuáæÜFìœäIÛå>û_ù\ìFÞ>Ü 8 åSÜQÜÉèâTöœùWÞ>Ü þ :ð
MNoM
QSRTV›efbmœ?U[T\œVY,emgŠ]*UXWhgŠT\c?Re5Y
#_áæPìÞ3ë~܂ìBå>åSùWß!ÜFíÝbÛ\ìÝ3ÝbÛWÜ
áœÞ>â`öBâTêñìîWâ`ßÊìöœÜFåë‰ÜÞ>Ü[ôWâ`ê\ìÞbòâTß'ìöBÜ·ååNÛWáFë[â`êWöAÝ>ÛW܂ÜFû_ù\ìî
ÛWÜQâ`öBÛ1Ý3ä:áœêÝbáBùWÞåóáFæal 8on\prq :ìFê\í{s 8on\prq :ìBåôWîÈìBäVïvä:ùgÞ>ü_ÜFåáBê°ìë[ÛWâTÝbÜ[ô\ìBäVïöœÞ>áœùWê\í5ðdºÜ
êWáFë öœÜQêWÜQÞìîTâ QÜÝbÛWâdå[åSÜQÝ>ÝbâTêWövÝbÛWÞ>áœùWöBÛÝ>ÛWÜÉä:áœê\ä:ÜQõWÝ[áFæõ\ÜQÞbâTá1íâÈäõWÞ>á\îTÜ_ð
ډÛWÜáœÞ>â`öBâTêñìîâTß'ìöBÜ·å‰ìÞbÜvìFîTîTáFë~ÜFí&Ý>áô\ܞ 8 l 8on\prq :X:~ìFê\í{ž 8 s 8n\prq :P:ë[ÛWÜÞ>Ü,ž 8oŸ :3âÈå
ìÍõ\ÜQÞbâTá1íâÈäæYùWê\ä:ÝbâTáœêáFæ‚áBêWÜüœìÞ>âÈìôWî`Ü&ë[â`Ý>Ûºõ\ÜQÞ>â`á1íáæÀáBêWÜ_/ð m*æ ž 8Ÿ :‚âdåÝVìFï_ÜQêÝbáÊô Ü'ì
íâÈå>ä:ÞbÜQÝ>Üâ`ß!õWùWîÈåN܂Ý>ÞìâTê
Ï Ÿ wHx
ž 8Ÿ :*t’ ÜQîdåSÜ
¡
Ý>ÛgÜâTß'ìöBÜ·då ž 8 l 8on\prq :X:Àìê\í ž 8 s 8on\prq :X:~Þ>ÜFíùñä:ÜAÝ>á!ôWâ`ê\ìÞbòÊâTßÊìFöBÜFå[ë[âTÝbÛ+ä:ùWÞbü_ÜFå‰Þ>ÜõWÞ>Ü:ú
åNÜêÝbâTêWövÜFû_ù\ìFîcúPÛWÜQâTöœÛÝÀä:áBê1Ý>áœùWÞVå[á)æ l ìêñ_í sð
DêÊÝ>Ûgâdå[åNÜ·ä:Ý>â`áBêÊë‰Üë[â`îTîÞbÜFåNÝbÞ>âdä<݉áBùgÞVåNÜîTü_ÜFå3Ý>áîTâTêgÜFì¢
Þ l ìê\€í s
l 8on\prq :}t-ž ‚Pn …-£ ‚[q
s 8on\prq :dt¤ž ƒn …-£ ƒrq
ž ‚p ž ƒp £ ‚rp £ ƒ w¥‰™
áœÝ>ÜÝ>Û\ìFÝ,ž 8 l 8n~p¦q :P:‚ìê\íHž 8 s 8n\prq :P:[ë[âTî`î3ô Üõ\ÜQÞ>â`á1íâdäâTßÊìFöBÜFå<ð{DêÆèâTöBùgÞ>Ü/. 8 ì;:ø3ì
îTâ`êWÜFìFÞ
æYùWê\ä:ÝbâTáœêl 8on\prq :~âdåAåNÛWáFë[êð‰Dê 8 ô”: 8 ä:‚ìFê\í 8 íj:Vø?ž 8 l 8n\prq :P:[âdå«åNÛWáFë[êøë[ÛWÜQÞbÜ
.
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
a
b
èâTögð@. >0§ ÜÞ>âTá1í1âdä
õWÞbá\î`ÜFå[áæóìî`âTêWÜFìFÞuæYùWêñä:Ý>â`áBê
Ý>ÛgÜõ\ÜQÞbâTá1íâÈäõWÞbá\î`ܞÍâÈå
ìíâdåbä:Þ>ÜÝ>Üâ`ß!õWùWîÈåNÜÝbÞVìâ`êø\ä:á»åNâTêgÜvìêñíå>û_ù\ìFÞ>ÜëÀìQü_ÜöBÞìÝ>â`êWö
Þ>Ü·åNõ\ÜFä:ÝbâTü_ÜQî`ò_ð‚÷
îTÝbÛWáBùWöœÛ+ë‰ÜÉÛWÜQÞ>ÜÉÞ>ÜFåSÝ>Þbâdä:݂áBùWÞåNÜQî`ü_ÜFå[Ý>áÊîTâ`êWÜFìÞ[æYùWê\ä<Ý>âTáœê\å:øŠÞ>ÜFåSùWîTÝåçáœôú
ÝVìFâTêWÜ·íâTêÝbÛWâdå«äQìBåSÜìÞ>ÜvùñåNÜ:æYùWîåNâ`ê\ä:ÜÉßÊìê1ò&æYùWê\ä<Ý>âTáœê\åäQìFê+îTá1äQìFîTî`òÍô\ÜìFõWõWÞ>á 1âTßÊìFÝ>ÜFí
ô1òÊìîTâ`êWÜFìމæYùgê\ä:Ý>â`áBê 8 ÝbÛW,Ü \ÞVåSÝ[ÝSë‰áÝ>ÜQÞbßÊåáæ3ÝbÛWÜ = ÚìQòî`áBÞ[Ü 1õ\ìFê\åNâ`áB“ê :ð
ډÛgܺèñáœùWÞ>â`ÜQÞ°íáBßÊìFâTêß!ÜQÝ>Ûgá1í ìêñìîTò QÜFåÝ>ÛWÜß!áBâ`ÞWÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>ê â`ê ÝbÛWÜæYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:ò ‚
íáœßÊìâ`êð3÷äQä:áœÞVíâ`êWöÝbá&ÝbÛWÜÉä:áBê1ü_áBî`ùWÝ>â`áBêÊÝ>ÛgÜQáBÞbÜQß+ø_Ý>ÛWÜAßùWîTÝbâTõWî`âdäQìFÝ>â`üB܂åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê
Þ>ùgîTÜâ`ê+Ý>ÛWÜvâ`ßÊìöœÜvíáœßÊìâ`êÝbÞVìêñå½æYáBÞbßÊå
ÝbáÊì&ÝSë‰áÊí1âTß!ÜQêñåNâTáœê\ìîä:áœêü_áœîTùWÝbâTáBêô\ÜQÝSë‰ÜQÜQê
Ý>ÛgÜåSõ\ÜFä:Ý>ÞìáFæÝbÛWÜAáBÞbâTöBâ`ê\ìîâ`ßÊìöœÜFå
Œ 8on\prq :dt¨ž 8 l 8on\prq :X:\©Pž 8 s 8on\prq :X:ª« ¬ 8  p z@:dt6­ ž 8 l 8on\prq :X: 7® ­ ž 8 s 8n\prq :P: ™ 8 ÿ :
ډÛgÜèWáœùWÞ>â`ÜQÞÝbÞVìêñå½æYáBÞbß áfæ ž 8on :<th¯ ƒo°²±9³r´ âd{å µ 8 “:‰t·¶ 8 ƒo_°²±P‹¹4³[º»¸~´¼@:ð³¾½o¿PDÀ êÆÝ>ÛWÜ°ÝNë~áºíâcú
ß!ÜQêñåNâTáœê\ìîÀíáBß'ìâTêÅÝ>ÛWÜèWáBùWÞbâTÜQÞÉÝ>Þìê\åDæYáBÞ>ß áFmæ ž 8on\prq :{th¯
âd{å µ 8  p zÁ:<t
c
d
ÂoûÄ,ÅÇƝÈÊÉ\Ë7̲Ë7ÍÏÎ\ДÍ*ÌrÑÒ˝Å\žƝÍ}ÓÒÔÊÔÊÒrÐ\ÈÊĝÕÖÒםξÈØÍÏΔž΍ÌrÄÉ»ÓÒ(ÎÇÙÛÚ[ÒÄÜÍÏÄ"žÈÊÒÄ<Ý4ɾÍ[ÍÞàßÏáâ
Ýíìåoîâ¾ï êðPñoò(óõôrör÷ø[ùPú»û ì û î
ã Ýäåæ(â•ç_è?è{é
ê éë
Ýíìåoîâ“ç€è@èé ã Ýäåæ(âÇï ðPñoò(óõôrör÷ø[ùPúíû ä û æ
ê é
ë
1
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Vð3ډÛWâÈåuÞbÜFåNùWî`Ý~åNÛWáFë‚åuÝbÛ\ìÝ~Ý>ÛWÜ¿èñáœùWÞ>â`ÜQÞ3Ý>Þìê\åDæYáBÞ>ßáæìAõ\ÜQÞ>â`á1íâdä‰æYùWê\äIú
Ý>â`áBêÅä:áBêñåNâdåSÝVåáæÀÝ>Þìê\åSîdìÝbÜFíºìê\íºå>äQìFîTÜFíâ`ß!õWùWîÈåNÜFå<ðAèWáBÞÉì!õ ÜÞ>âTá1í1âdäæYùWê\ä<Ý>âTáœê_ž 8on\prq :Vø
âTÝå[èWáBùWÞbâTÜQނåSÜQÞ>â`ÜFå‰íÜ·ä:áBß!õ\á»åNâTÝbâTáœêÍâÈå
¶ 8 !L¸ ‚Pp zmH¸ ƒ :
ýü
ž 8on\prq :dt
ýü
þ ¯
ƒo°²±P¹
þ
´¼
¿PÀ
ډÛWÜ°èWáBùWÞbâTÜQÞAÝ>Þìê\åDæYáBÞbßáæž 8n\prþq ÿ:Àâdü åÞ>"ÜFÿìœíü âTî`òáœôWÝVìFâTêWÜFíæYÞ>áœßÝ>ÛWÜ°èWáBùWÞbâTÜQÞÉåSÜQÞ>â`ÜFåíÜ:ú
ä:áœß!õ\á_åNâ`Ý>â`áBêìê\í!î`âTêWÜFìFÞ>â`ÝNòáæÝ>ÛgÜèWáœùWÞ>â`ÜQÞ[Ý>Þìê\åDæYáBÞ>ß
µ 8  p z@:dt
ýü
ýü
þ ¶ 8 <¨v2 p z¨y“z:r™
_âTêñä:ÜÝbÛWÜâ`ßÊìöœÜFådž 8 l 8on\prþq ÿ:X:Àü ìêñíÿ ž ü 8 s 8on\prq :X:ÀìÞbÜõ\ÜQÞ>â`á1íâdäœø ÝbÛWÜQâTÞ«åNõ\ÜFä<Ý>ÞVì°ä:áBê\åSâdåSÝ
áæÉÝbÞVìêñåNîdìFÝ>ÜFí ìFê\í å>äìîTÜ·í âTß°õWùWîdåSÜFå:ð.èWùWÞbÝ>ÛWÜQÞbß!áBÞbÜ_ø3ôòÆÝ>ÛgÜ+ä:áœêü_áœîTùWÝbâTáBêÝ>ÛWÜáBÞ>Üß+ø
¬ 8  p z@:~ä:áBêñåNâdåSÝVå‰áFæ3Ý>Þìê\åSîdìÝbÜFíÊìê\íå>äQìFîTÜFí!â`ß!õWùWîÈåNÜFå~ìBå‰ë‰ÜîTîDð
#»âTê\ä:Ü
l 8on\prq :}t¨ž ‚Pn …-£ ‚[q
s 8on\prq :}t¨ž ƒrn …-£ ƒrq
ž 8 l 8n~p¦q :P:3ìêñ
í ž 8 s 8on\prq :X:Ûñì·ü_܂æYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<òä:áBß!õ\áœêWÜQê1ÝVåuáœêWîTòâTê°Ý>ÛWÜÉíâ`Þ>ÜFä:ÝbâTáœê&áFæÝbÛWÜ
öBÞìBíâ`ÜQê1ÝVå l ìFê\í sð3ډÛgâdå[ß!ÜFìêñå‰Ý>Û\ìFÝ
ÝbÛWÜæYÞbÜFû¶ùgÜQê\ä:ò°íáBß'ìâTêÊÞbÜQõWÞ>Ü·åNÜQê1ÝVìFÝ>âTáœêÊáæ
ž 8 l 8n~p¦q :P:ìFê\_
í ž 8 s 8n\prq :P:[ë[âTî`î3Û\ìQü_Ü&â`ß!õWùWîÈåNÜFå[áBêWî`òºìî`áBêWö+ÝbÛWÜ&î`âTêWÜ·få ž ‚  …˜£ ‚ zìê\í
ƒ
ƒ
ž …˜£ z ðډÛWâÈåäQìFê´ìFîdåSáô\ÜÊåNÜÜQê æYÞbáBßÝbÛWÜæPìœä:ÝÝbÛ\ì
Ý ž 8 lf:¿ìê\€í ž 8 s\:«ìÞ>Ü°Þ>áBÝìÝbÜFí
Ï õ\ÜQÞ>â`á1íâdäæYùgê\ä:Ý>â`áBê\å‚áBê+Ý>ÛgÜ n ì âÈå:ðAډÛWÜQÞbÜ:æYáBÞbÜ_“ø ­ l ìFê\_í ­ s ìÞbÜváBôWÝìâTêgÜFí ô1ò
Þ>áœÝVìFÝ>âTêgö&ÝbÛWÜ Ï åSõ\ÜFä:Ý>ÞìæYÞ>áœß ÝbÛWÜ ì âÈå‰ôò!ÝbÛWÜÉå>ìFß!ÜAìêgöBîTÜ·å:ð
DêÍÝbÛWÜÉäQìBåSÜAáæ~ìvÞVìFâdåNÜ·íÍä<á_åNâ`êWÜAõWÞ>á \îT
Ü ž 8 ©:3âÈå‰öBâ`ü_ÜQêÊôò
Ï ä:á_å 8 = l 8on\prq :X:”… Ï p
ž 8 l 8on\prq :X:at
=
=
ìêñí áBêgîTò´ÝbÛWÞ>ÜQÜÊâ`ß!õWùWîÈåNÜFåë[âTî`î[Ü 1âdåNÝÉâTêÆÝ>ÛgÜ'æYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:òÅíáœßÊìâ`êðÆډë‰áºâTß!õgùWîdåSÜFåìFÝ
ÜQâ`Ý>ÛWÜQÞ'åNâdí1ÜFå!áæÝ>ÛgÜáœÞ>âTöœâTê ìÞbÜ´ä:áœêÝbÞ>â`ôWùWÝ>Ü·í ô1ò ÝbÛWÜ´ä<á_åNâ`êWÜ+æYùWê\ä:ÝbâTáBê ð ډÛWÜFåSÜÝSë~á
âTß°õWùWîdåSÜFåvìÞbÜ+ìFÝÊíâdåSÝVìFê\ä:ÜáœêWÜæYÞ>áœß Ý>ÛWÜáBÞ>â`öBâ`ê.ìê\í î`âTÜìî`áBêWö´ÝbÛWÜî`âTêW/Ü ž ‚ _… £ ‚ z
ë[ÛWÜQÞbÜ s_tž ‚ n …£ ‚ q ð3ډÛgÜÝ>ÛWâ`ÞVí&â`ß!õWùWîÈåNÜ[âÈå‰ä:áœêÝbÞ>âTôgùWÝ>ÜFíôòvÝbÛWÜAä:áœê\åNÝìê1Ý[Ý>ÜQÞbßìê\í
îTâ`ÜFå‰ìFÝ
ÝbÛWÜAáBÞbâTöBâ`ê 8 åNÜÜèâTöBùgÞ>Ü 1;:ð
ډÛgÜAä:áBê1ü_áBî`ùWÝ>â`áBê!áFæÝbÛWÜâ`ß!õWùWîÈåN܂åNõ\ÜFä<Ý>ÞVìâÈåuõ\ÜQÞSæYáBÞ>ß°ÜFí&ìœå[ìvíâdåbä:Þ>ÜÝ>Ü«ä:áBê1ü_áBî`ùWÝ>â`áBêð
3ìBäVÛ âTß!õgùWîdåSÜÍâ`ê ÝbÛWܺåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBê åNõ\ÜFä:ÝbÞ>ùWß ë[âTî`î
ô\Ü+ÝbÛWÜ+ü_ÜFä:ÝbáBÞ>âÈìî‚åSùWß áFæÝSë~á
âTß°õWùWîdåSÜFå:øWáœêWÜæYÞbáBßàÜFìBäVÛáœÞ>âTöœâTê\ìFîâTß'ìöBÜ»fð ºÜë[â`îTîîdìFô ÜîÝbÛWÜ 8‚pr„ƒ :‚åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê
âTß°õWùWîdåSÜÊìBåvÝ>ÛgÜâTß°õWùWîdåSÜÊä:ÞbÜFìÝbÜFí´ôòÆÝ>ÛgÜÍü_Ü·ä:Ý>áœÞ>âdìFî‚åNùWß áFæAÝ>ÛWÜ ‚ âTß°õWùWîdåSÜ!âTêÆÝbÛWÜ
\ÞåN݂áBÞ>â`öBâ`ê\ìîåNõ\ÜFä:ÝbÞ>ùWßàìFê\íÝ>ÛWÜ „ƒ â`ß!õWùWîÈåNÜâ`êÝbÛWÜvåSÜFä:áBêñíÍáBÞbâTöœâTê\ìFîåSõ Ü·ä:Ý>ÞbùWß+ð~ډÛWÜ
ìß°õWîTâ`Ý>ù\íÜáægÝ>ÛgÜ 8‚pr„ƒ :\âTß°õWùWîdåSÜâÈå5Ý>ÛWÜõWÞ>á1íùñä:ÝáFæWÝbÛWÜ~ìß!õgîTâTÝbù\íÜFåWáFæWÝbÛWÜ ‚ â`ß!õWùWîÈåNÜ
âTêÝ>ÛgfÜ \ÞåNÝ~áBÞ>â`öBâ`ê\ìîŠåNõ\ÜFä<Ý>Þ>ùgßìê\í&ÝbÛWÜ „ƒ âTß!õWùgîdåNÜ~âTêÝ>ÛWÜ«åNÜ·ä:áBê\íváBÞbâTöœâTê\ìFîåNõ\ÜFä<Ý>Þ>ùgß+ð
èâTöœùWÞ>Ü·å "Ï ¡ ìê\í ÏBÏ åNÛWáFë‚åÝ>ÛWÜ«åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBêáæ ÝNë~áAîTâTêgÜFìÞöœÞVìFÝ>âTêgö_åë[âTÝbÛ!ìÞVìFâdåSÜFí
ä:á»åNâTêgÜ&õWÞbá \î`Ü_ð!èâTöBùgÞ>Ü ÏBÏ åNÛWáFë‚åßùWîTÝbâTõWî`â`äQìÝbâTüBÜÉåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBê 8 ;ì :¿ìê\íºâTÝVåAåSõ Ü·ä:Ý>Þì
8 ä :~ìê\íìBíWíâ`Ý>â`ü_ÜAåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBê 8 “
ô :~ìêñíÍâTÝå[åNõ\ÜFä:ÝbÞVì 8 jí :ð
Ï¡
#
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTögð@1 > ډÛWÜAÝSë‰ávÞìâdåSÜFíÊä:á_åSâTêWÜAöœÞVìÝbâTêWö»åìêñí'ÝbÛWÜQâ`ނåNõ\ÜFä:ÝbÞVì
ÏBÏ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
æ
æ
³Ïº
³7º
³
³[º
ä
³ º
ƝÍdÉÇËÍ[Ú[ÅÇξםًҲӕžƝÍ7ÎÇɾÅa΍̲ÈÊÉÇÍdÚ[ÒɾÈÊĝÍ*ÕÎoÌržÈØÄÕ
³
"
³ 7º º#" ³ º#" ³ º #º "
!
³$ º º#" ³ º#" ³$ º º#"
$³ º " ! ä
ƝÍdɾË7Í[ÚÏÅÇÎÇ×Ù6ÒrÓ?ÅÇƝÍdɾםË7ÍÏÎÇËÒÉÇÈÊžÈØÒ(Ä
èâ`öBùWÞbÜ Ï¡> _# ùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBêâ`êÊÝ>ÛWÜæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:òíáœßÊìâ`ê Ï
Ï=
ä
ƝÍdɾË7Í[ÚÏÅÇÎÇ×ًÒrÓ@ÅÇƝÍ)ÉÇÍ[Ú[Ò(ĝÑÎoÌrÈÊÉÇÍ[Ñ,Ú[Ò(ÉÇÈÊĝÍdÕÎoÌržÈØÄÕ
æ
³$ º
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
multiplicative superposition
additive superposition
èâTöWð ÏBÏ7> _# ùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê+â`êÍÝbÛWÜæYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:òíáBß'ìâTê
Ï%
=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
3ìœäIÛ´â`ß!õWùWîÈåNÜvâ`ê´Ý>ÛWÜ = åSõ Ü·ä:Ý>ÞbùWß âÈåäVÛ\ìÞìBä:ÝbÜQÞ>âQÜFí+ôò+ÝbÛWÞ>ÜÜ!ßÊìâ`ê+õWÞ>áœõ\ÜQÞ>ÝbâTÜFå >
âTÝåçîÈìô\ÜQîPø5âTÝåçöœÜQáBß!ÜÝ>Þ>âÈäîTá1äQìFÝ>âTáœêºìê\íâ`ÝVå‚ìß!õgîTâTÝbù\íÜ_ð‚Úá!Ý>ÛgÜöBÜáBß!ÜQÝbÞ>âÈä¿î`á1äQìÝbâTáœê+áæ
ìêÆâ`ß!õWùWîÈåNÜ_øìÍæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:ò+ü_ÜFä:ÝbáBÞ&¸ % âdåvìFÝ>ÝìBäVÛWÜFí 8 âTê´ÝbÛWÜ!æYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<òºíáBßÊìFâTê“:ð+ډÛWâÈå
ü_ÜFä:ÝbáBÞäQìFê ô\Ü"Ü õWÞbÜFå>åSÜFí´âTêÆõ\áBîÈìÞÊä:á_áœÞVíâ`ê\ìÝbÜFå 8 ¸ p' :ë[ÛgÜQÞ>€Ü ¸ âdåvÝ>ÛWÜíâÈåNÝVìFê\ä:Üáæ
¸ % æYÞ>áœß ÝbÛWÜ!áœÞ>âTöœâTêÆìFê\í ' âdåAÝ>ÛWÜÊìFêWöBî`ÜÊá(
æ ¸% Hð Dê´ÝbÜQÞ>ßÊåáFæÝbÛWÜ!âTß'ìöBÜ°íáœßÊìâ`êøÝbÛWÜ
öBÜáBß!ÜQÝbÞ>âÈä&îTá1äQìFÝ>â`áBê áæìê âTß°õWùWîdåSÜ!âTêÆÝbÛWÜ+åSõ Ü·ä:Ý>ÞbùWß íÜQÝ>ÜÞ>ß!â`êWÜFåÝbÛWÜÍæYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:-ò ¸
ìêñíÝ>ÛWÜ íâTÞbÜFä:Ý>â`áBê ' áæ~Ý>ÛWÜ ä:áBÞbÞ>ÜFåSõ\áBê\íâ`êWö!õ\ÜQÞbâTá1íâÈää:áœß!õ\áBêWÜQê1Ý[âTêÝ>ÛWÜÉâTßÊìFöBÜ_ðÀډÛWÜ
ìß°õWîTâ`Ý>ù\íÜ«áæ~Ý>ÛWÜÉâTß!õgùWîdåSÜÞ>ÜQõgÞ>ÜFåSÜQêÝå‰Ý>ÛWÜÉâTê1Ý>ÜQêñåNâTÝSòáæ~Ý>Ûñì݂õ ÜÞ>âTá1í1âdää<áBß!õ\áBêgÜQêÝ[â`ê
Ý>ÛgÜâ`ßÊìöœÜ_ð
ډÛW܉öœÜQáBß°ÜQÝ>ÞbâdäîTá1äQìFÝ>â`áBê\åë[ÛgâdäVÛâ`ê\ä:î`ù\íÜ3âTß!õgùWîdåSÜFå5âTêÉÝ>ÛWÜÀåNùWõ\ÜQÞbõ á»åNâ`Ý>âTáœêåNõ\ÜFä:ÝbÞ>ùWß
ôWùWÝíá_ÜFåêWáBÝâ`ê\ä:î`ù\íÜ3âTß!õgùWîdåSÜFå â`êÝ>Ûg܉áBÞbâTöœâTê\ìFîWåSõ Ü·ä:Ý>Þì
Þ>ÜQõgÞ>ÜFåSÜQêÝÝbÛW܉߰áBâTÞgÜã õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å<ð
ډÛWÜFåS܉â`ß!õWùWîÈåNÜFå\Þ>ÜQõWÞbÜFåNÜêÝêWÜë æYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:ò«ä:áœß!õ\áBêWÜQê1ÝVåä:ÞbÜFìÝbÜFíôòAÝ>ÛgÜ[åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê
ìêñíÍêWáœÝ
ô1òÊáBêWÜAáæóÝ>ÛWÜÉáBÞ>â`öBâ`ê\ìîâ`ßÊìöœÜFå[ìî`áBêWÜ_ð Dß!õWùWîÈåNÜFå3ë[ÛWâdäVÛìÞbÜîdìFô\ÜQîTÜF2í ¸ ¹ ) À áœÞ
¸ ¹ À æYáœÞ3åNáœß!
Ü +5Ü 1âdåNÝâTêváBêgÜ
áFæÝ>ÛgÜ[áBÞ>â`öBâ`ê\ìî\âTß'ìöBÜ·ååSâTê\ä:Ü ¸3Þ>ÜQõWÞbÜFåNÜêÝÝbÛWÜ ýÅÝ>ÜQÞbß+ð
)*
DêÝ>ÛWÜ«äQìœåN܂áæáBÝbÛWÜQÞ3õWÞbá \î`ÜFå‰åSù\äIÛ°ìBå~å>û_ù\ìÞbÜ
ëÀìQü_Ü_øBë‰Ü‚ë[âTî`îWÛ\ìQü_Ü«ìîdåSáÛWâ`öBÛWÜÞuáœÞVíÜÞ
ß!áœâTÞgÜ[ã â`ß!õWùWîÈåNÜFå<ðډÛWÜAåSõ\ÜFä:Ý>ÞbùWß áæ ìî`âTêWÜFìFÞ3å>û_ù\ìFÞ>ÜëÀì·ü_Ü[öœÞVìFÝ>âTêgöâdå3ìFê!âTê ñêWâTÝbÜåSÜQÝ3áæ
âTß°õWùWîdåSÜFå[ìî`áBêWöÊÝbÛWÜæYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:òÊíâ`Þ>ÜFä:ÝbâTáœêðý3áœêü_áœîTùWÝbâTáBê+áFæ~ÝNë~áÊåNùñäIÛ+â`ß!õWùWîÈåNÜAÝ>ÞìâTêñå
ë[âTî`î5ÞbÜFåNùWî`Ý[âTêìêâTê ñêWâTÝbÜîdìFÝ>Ý>âÈä:ÜAä:áFü_ÜQÞbâTêWöÉÝ>ÛWÜAÜQê1Ý>â`Þ>Ü
æYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:òõWîÈìêWÜ 8 åSÜQ5Ü \ö Ï = :Vð
,
áFë‰ÜQü_ÜÞQø\ë‰Üvë[âTî`îåSÛWáFë ÝbÛ\ìÝÝbÛWÜìß°õWîTâ`Ý>ù\íÜÉáæ~âTß°õWùWîdåSÜFå‚ì·ëÀìQòÍæYÞ>áœß ÝbÛWÜváBÞbâTöBâ`ê
Ý>Üê\í&Ý><á ÜQÞ>ág}ð ºÜAäQìêíâÈåNÞbÜQö_ìFÞVí!âTß!õgùWîdåSÜFåë[âTÝbÛ!îTáFë.ìFß!õWîTâ`Ý>ù\í1ÜåSâTê\ä:܂Ý>ÛgÜQâTÞ~(Ü ŠÜFä:݉áœê
Ý>ÛgÜâ`ßÊìöœÜâdå[åSßÊìî`îDð
áBÞbÜæYáBÞbßÊìî`îTò_øWî`ÜQ*
Ý ž 8Ÿ :[ô\Üvì&õ\ÜQÞbâTá1íâÈä¿æYùWêñä:Ý>â`áBêë[Ûgá_åNÜvüœìFîTùWÜFå«ìÞ>ÜÉô\áBùWê\í1ÜFí ô\Ü:ú
ÝSë‰ÜQÜê ¡ ìêñí Ï ð~ډÛWÜQê…ìî`îâTÝVå[èWáœùWÞ>â`ÜQނåNÜQÞbâTÜFå[ä<á_(Ü 3Êä<âTÜQê1ÝVå 8 âTß!õWùgîdåNÜ«ìß°õWîTâ`Ý>ù\íÜ·²å :Ûñì·ü_Ü
ìôñåNáBî`ùWÝ>ÜÉüœìîTùgÜFå‰ô\ÜQÝSë‰ÜQÜQê ¡ ìFê\í 7Ï >
ž 8on :*t
ýü
þÿ
þ ¯
ƒo°r±
þ
³²´
ü
465
Ï 495 ¯ ƒo°r± þ ³r´:7 n 1 -­Ï
Ï
ƒo°r± ³²´87
n 1 - 1
þ
ž 8on :X¯
¡.-0/ / t21
þ
1 13
1
13
1 1
1
èWùWÞ>ÝbÛWÜQÞ>ß°áBÞ>Ü»øâTÝvâdåvÝ>ÞbùWÜ!æYáBÞ°ìê1òä:áBê1ü_ÜQÞ>öœÜQê1ÝvèWáBùWÞbâTÜQÞ°åNÜÞ>âTÜ·åÝ>Û\1 ìFÝ / þ /<; ¡ ìBå
æ ž 8n :ÀÛ\ìB,å yÅä:áBê1Ý>â`êùWáœù\åíÜÞ>âTüœìFÝ>âTü_¼jÜ·‚ å:øWÝ>ÛgÜQê+âTÝåèWáBùWÞbâTÜQÞ
/ v / Ý>ÜQêñíÝ>á>=.ðáœÞ>ÜQáFü_ÜQÞøWâc
Ý>Þìê\åDæYáBÞbßuµ 8 “:ÝbÜQê\í!Ý>á ¡ ìBå /  /?; = ìÝ[î`ÜFìBåSÝ[ìBåuæPìœåN݂ìœå AÏ @  8 åNÜQÜ þ õ\ìöœÜ þ" : >
îB `BâTC ß / µ 8 “: / tEDGF  Ï ¼j‚?H ™
ډÛ1ù\å:øÝ>ÛgÜ!åSß!á_áBÝbÛWÜQÞÝbÛWÜæYùWê\ä:ÝbâTüáœêøÝ>ÛWÜvß!áœÞ>ÜvÞìõWâÈíîTòÝ>ÛWÜä:á_Ü 3Êä:â`ÜQê1ÝVå[áæ[ÝbÛWÜ°åNÜQÞbâTÜFå
Ý>Üê\í!Ý>‰á QÜQÞ>ágð
çÜ·äQìî`îÝ>Û\ìFÝ
ÝbÛWÜÉåNõ\ÜFä:ÝbÞVìváæ3ÝbÛWÜáœÞ>âTöœâTê\ìFîâTßÊìFöBÜFå‰âÈå‰öBâ`ü_ÜQêÊô_
ò µ 8  :~Þ>áœÝVìFÝ>ÜFíìîTáœêWö
Ý>ÛgÜ
æYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:ò!í1âTÞ>Ü·ä:Ý>â`áBê\å<ð÷
îÈåNáWø1Ý>ÛWÜ¿ìß!õWî`âTÝbù\íÜ‚áæÝ>ÛWÜ 8‚pr„ƒ :3âTß°õWùWîdåSÜ[âdå3Ý>ÛWÜAõWÞbá1í¶ú
ù\ä:ÝAáFæ[Ý>ÛgÜ!ìFß!õWîTâ`Ý>ù\í1ÜFåçáFæ[ÝbÛWÜ ‚ ìê\í „ƒ â`ß!õWùWîÈåNÜFå[âTêºÝ>ÛgÜváBÞ>â`öBâ`ê\ìî3âTß'ìöBÜ·ååNõ\ÜFä:ÝbÞVì1ð
Ï(
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
K
K
I
J
J
¹3™B—‚¤b˜¶— ž ¡ •SŸ_› “·µ ¡b™B—<L • ¤S¡3£ • ·¡ ” šB£F¤
¹3™B—[¤b˜¶— ž ¡ •SŸ_›­“Qµ ¡>™B—[¤S— žV“ šBª£ • Q¡ ” šB£
K
J
u¹ ™B—[¤b˜_— ž ¡ •NŸ_› “Qµ ¡b™B—[¤ Ÿ ˜¶— • ˜ “ ¤ ” ¡ ”§“ š
èâ`öBùWÞbÜ Ï=> #_ùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBêâ`êÊÝ>ÛWÜæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:òíáœßÊìâ`ê_%
ÏQÿ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
‰Ú ÛWÜQÞbÜ:æYáBÞbÜ_øÝ>ÛgÜÊìß!õgîT‚ âTÝbù\íÜv¼?‚ áFæÝbÛWÜ 8o‚p¦„ƒ :AâTß!õWùgîdåNÜvâ`ê´Ý>ÛgÜÊåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBê ë[â`îTî3Ý>Üê\í
Ý>á ¡ æPìœåNÝ>ÜÞÝ>ÛñìêNM º ½O ë[ÛWÜQÞ>Ü  ‚ ìê\í¤ ƒ ìFÞ>Ü!ÝbÛWÜîTá1äQìFÝ>âTáœê\åáæ‚ÝbÛWÜ ‚ ìê\í „ƒ
âTß°õWùWîdåSÜFå:ð
ډÛgÜèñáœùWÞ>â`ÜQÞ«ìõWõWÞbá_ìœäIÛ+Û\ìœåÝ>ÛWÜ ìBíüœìê1ÝVìFöBÜÝ>Û\ìFÝâT݂ÜQê\ìFôWîTÜ·å
Ý>áÊìFê\ìî`òÜÝ>ÛgÜvß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\åvâTêÆÝ>ÛgÜ'æYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:òÅíáœßÊìâ`ê ë[ÛgâdäVÛ âÈåvìåSùWâTÝìôWî`ÜíáBßÊìFâTê´æYáBÞ°íÜFä<âdíâ`êWöÝbÛWÜ
Þ>Ü·åNõ\áBê\åSÜáFæ3Ý>ÛWÜAü1âdåSù\ìî åNògåNÝ>Üß+ð
DêqÝbÛWÜ´äìBåNܺáæ êWáBêgîTâTêgÜFìÞÊöBÞìÝbâTêWö»å:øAÝ>ÛWÜÅåNõ\ÜFä:ÝbÞ>ùWß áFævÝbÛWÜöœÞVìFÝ>âTêgö_åÍêgá îTáœêWöBÜÞ
ä:áœê\åNâÈåNÝVå‰áFæâ`ß!õWùWîÈåNÜFå3ìFê\í!ßÊìQò&ô\ÜAä:áœêÝbâTê1ùWáBùñå:*ð DÝ[âdå3Ý>ÛWÜQêÊâ`ß!õ\á_å>åSâTôWî`Ü
Ýbáìê\ìFîTò QÜÝbÛWÜ
åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBêÊåSõ\ÜFä:Ý>ÞbùWß ë[âTÝbÛ&ÝbÛWÜ«å>ìß°Ü
ÜFìœåNÜ«ìBå3ô Ü<æYáBÞ>Ü»Pð ,
áFë‰Üü_ÜQÞQø_ìî`á1äQìîWæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:ò
ìêñìîTògåNâÈåäìêvù\åS܉Ý>ÛgÜ[ìô\áFü_܉ÞbÜFåNùgîTÝVååNâ`ê\ä:ÜÀìê1òåSß!á_áBÝbÛæYùWêñä:Ý>â`áBêäQìFêô\Ü[ìFõWõWÞ>á 1âTßÊìFÝ>ÜFí
ô1òÊìîTâ`êWÜFìމæYùgê\ä:Ý>â`áBêÊâTêìvåSßÊìî`î5ÜQêWáœùWöBÛÞ>ÜQöœâTáœêð
Q
RÊT
Õ S E GFHFDI ÙFØ G Ó3ÙÕ&Ò K .Õ U&S Õ&ÙDÔ E C FHG ÓÓ E Ô‰Ò K
ډÛWÜÉß!áBâ`ÞWÜAã õWÛWÜQêgáBß!ÜQêgáBêÛñìBåçæYáœùWê\í+åNÜü_ÜQÞVìFîâTê1Ý>ÜQÞbÜFåNÝbâTêWöìFõWõWîTâÈäQìÝbâTáœê\å:ð«Ú‰ÛWÜFåNÜ ìõWõgîTâcú
äQìFÝ>âTáœê\åÞìêWöœÜ‰æYÞ>áBß ìÞbÝÝ>áAí1á1ä:ùWß!ÜQê1ÝåNÜ·ä:ùWÞ>â`ÝSò_ð÷ íÜFåbä:Þ>â`õWÝ>â`áBêÉáæ åNÜQü_ÜÞVìîgìõgõWîTâÈäQìÝbâTáBêñå
âdåuæYáœùWê\íÊâTê Ï }ð ºÜAôWÞ>â`(Ü '\òÊí1ÜFå>ä:ÞbâTô\ÜAåSáBß!ÜAáæÝ>ÛgÜFåNÜAô\ÜQîTáFëAð
VXW:Y
‰Ú ÛWÜ5ñÞVåNÝ[ùñåNÜáFæÝ>ÛWÜß°áBâTÞgÜ[ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å‰ë[ìœå‰âTêÝ>ÛWÜ«õWÞ>á1íùñä:Ý>â`áBêÊáæóä:îTáœÝ>Ûð÷qß!áœâTÞg܂ã ä<îTáBÝbÛ
âdå[ßÊìœíÜAáæ~åSÜQü_ÜQÞVìFîîdìQò_ÜQÞå‰áææPìFôWÞ>âÈäõWÞbÜFå>åSÜFíÍÝbáBöBÜÝ>ÛWÜQÞðm ÛWÜQêÝbÛWÜvä<îTáBÝbÛâÈåçô\ÜQê1ÝQøWÝbÛWÜ
Þ>ÜîdìÝbâTü_Ü[õ\á_åSâTÝbâTáBêÊáFæÝbÛWÜîdìQò_ÜQÞå3åNÛWâLæYÝQð3ډÛWâÈåuÞ>Ü·åNùWî`ÝVåuâ`ê!üœìÞbâdìÝbâTáœê\å‰áæÝ>ÛWÜ«üâÈåNâTôgîT܂ß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å&ë[ÛgâdäVÛ äìõWÝbùWÞ>ÜFåvÝ>ÛgÜÜQò_ÜÊáæ¿Ý>ÛWÜáBô\åSÜQÞ>ü_ÜQÞ[ð Z‚Ý>ÛWÜÞ!ìFõWõWîTâÈäQìÝbâTáœê\åáFæÉß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å[âTêìÞb݂ìÞbÜß°ÜQêÝbâTáœêWÜFí&â`ê ÏœÏ ð
\^]`_6abdc9eYgf:ch_6aWijYk
÷ ÞbÜFä:ÜQê1Ý>î`ò[õWÞ>áœõ á»åNÜFíÉìõWõgîTâdäìÝ>â`áBêAâdåí1á1ä:ùWß!ÜQê1݊ìùWÝbÛWÜQê1Ý>âÈäQìÝbâTáBê¿ìê\íÉìê1Ý>âcú½ä:áœùWêÝbÜQÞNæYÜâTÝ>â`êWöWð
ډÛWÜ«íá1ä:ùWß°ÜQêÝóäQìê!ô\܂õWÞ>áœÝ>ÜFä<Ý>ÜFívôòìAÛWâTöœÛ!û_ù\ìFîTâTÝSòÉÛ\ìîLædúDÝbáBêWÜâ`ßÊìöœÜ_ðډÛWÜÛ\ìFîcædúPÝ>áœêWÜ
âTß'ìöBÜ¿ä:áBê\åSâdåSÝ[áæ3ÝbâTê1ò!íáœÝVå[ë[âTÝbÛìõgÞ>ÜFíÜ\êWÜFíÊíÜQî`âdäQìFÝ>Ü«åNÛ\ìFõ\Ü_ð0 ÛWÜQêÊÝbÛWâdå‰Û\ìFîcædúPÝ>áœêWÜ
âTß'ìöBÜ«âdå[åNùgõ ÜÞ>âTß°õ á»åNÜFí!ô1òÊìä:ÜQÞ>Ýìâ`mê lVìœíWìõWÝbÜFí n&õñìÝ>ÝbÜQÞ>êgÜFíåbä:Þ>ÜQÜêøWìvÛWâTöœÛWîTò°üâÈåNâTôgîTÜ
ß!áœâTÞgÜ[ã âÈå‰åSÜQÜQê0ð #_â`ê\ä:Ü«íÜQÝìâTîÈåuáFæÝ>ÛWÜÝbâTê1òvÛ\ìîLædúDÝbáBêWÜÉíáœÝVå[íáÉêWáBÝ[ÞbÜFåNâÈåNÝ~õWÛWáBÝbá1ä:áBõ1ò1âTêWögø
å>äìêWêWâ`êWö!áœÞAì!üBìFÞ>â`ÜQÝSò!áæ~áBÝbÛWÜQÞAí1âTöBâ`ÝVìFîáœÞìFê\ìî`áBöä:áœõò1âTêWöß!ÜQÝbÛWá1í5øŠìæPìîÈåN4â \ÜFíí1á1äIú
ùWß!ÜêÝ~äQìFêâTß°ß!ÜQí1âdìÝbÜQîTòÉô\ÜÞbÜFä:áœöBêWâ QÜFí!ôò°Ý>ÛWÜÉìôñåNÜQê\ä<Ü_øáœÞ
ÝbÛWÜÉä:áBÞbÞ>ùWõWÝbÜFíåSÛ\ìõ\ÜÉáæ
Ý>ÛgÜß°áBâTÞgÜ
ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êâTêÊÝ>ÛgÜåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêáæóÝ>ÛWÜÉíá1ä:ùgß!ÜQê1݉ë[âTÝbÛÊÝ>ÛWÜÉä:á1íÜ·íÍåbä:Þ>ÜÜQêð
÷
êWáœÝ>ÛWÜQÞß!ÜQÝ>Ûgá1íÝ>áÉíÜQÝbÜFä:Ý3ä:áœùWê1Ý>ÜQÞSæYÜQâTÝbâTêWö«ä:áBêñåNâdåSÝVåáæŠõWÞbâTê1Ý>â`êWöáBêÝ>Ûg܂íá1ä:ùWß!ÜêÝ
åNáœß!ÜvåSõ\ÜFä:âdìFîÞbÜQõ\ÜQÝ>â`Ý>â`ü_ÜÜîTÜQß!ÜêÝåuÝ>ÛñìÝöœÜQêWÜQÞìÝ>Ü ìÊåNÝ>ÞbáBêWö°ß!áBâ`ÞWÜAã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê+ë[ÛWÜQê+ÝbÛWÜ
íá1ä:ùgß!ÜQê1ÝâÈåä:áBùgêÝbÜQÞNæYÜQâ`Ý>ÜFíAôòÉß!ÜFìFê\åáæŠÛ\ìFîcædúPÝ>áœêWÜ
ÞbÜQõWÞbá1íù\ä:ÝbâTáBê øí1âTöBâ`ÝVìFîWõWÛWáœÝ>á1ä:áœõò_ú
âTêgöÍáœÞô1ò+íâ`öBâ`ÝVìî~åbäQìêWêgâTêWögðÊډÛWÜFåNÜ°ìêñíáBÝbÛWÜQÞAß!ÜQÝbÛWá1íWåâTêºíá1ä<ùWß!ÜQê1ÝAåNÜ·ä:ùWÞ>â`ÝSò+ìÞbÜ
íÜFåbä:Þ>â`ô\ÜFí!âTê =1(Ï ð
Ï+
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
opYWqiresqeqtjkfuirf
_ÝbÞVìâ`ê´ìFê\ìî`òWåSâdåAâdåÝ>ÛWÜ'íÜQÝ>Ü·ä:Ý>â`áBê+áæ«åSÝ>ÞìâTêÅìõgõWîTâ`ÜFí áœêÆìÍô\á1íò»ð_áœâTÞgÜvã ß°ÜQÝ>ÛWá1ígå¿â`ê
åNÝbÞVìFâTê+ìFê\ìî`òWåSâdå
ùñåNÜõñìâTê1Ý>Ü·í'öœÞVìFÝ>âTêgö_å
áœêºåNùWÞSæPìBä:ÜFå[áæ~ô\á1íâ`ÜFå:ð,#_ÝbÞVìâ`ê+ìFõWõWîTâ`ÜFíÍáœêÝbÛWÜ
ô\á1íò_øŠäQìùñåNÜFå‚íÜ:æYáœÞ>ßÊìFÝ>âTáœê\åuáFæ3Ý>ÛgÜô\á1íòpv§å«åNÛ\ìFõ Ü»ð‰Ú‰ÛWÜ·åNÜÉíÜ:æYáœÞ>ßÊìFÝ>âTáœêÊÞ>ÜFåSùWîTÝ[â`êí1âdå½ú
õWîÈìBä:ÜQß°ÜQêÝ\áFæ5ÝbÛW܉õñìâTê1Ý>Ü·í¿öœÞVìFÝ>âTêgö_å:dð ÛgÜQêÝbÛWÜ[íâÈåNõWîÈìBä:Ü·í¿öœÞVìFÝ>âTêgö_åìFÞ>܂åNùgõ ÜÞ>âTß°õ á»åNÜFí
ë[âTÝbÛ+ì&ÞbÜ:æYÜQÞbÜQê\ä:ÜöœÞVìFÝ>âTêgö_å:ø íâdåSÝ>áBÞbÝ>ÜFíÊß!áBâ`ÞgÜÉã ä:áœêÝbáBùWÞåçë[â`îTîìõgõ Ü·ìÞQ—ð DÝ
âÈåçõ\á_åbåNâ`ôWîTÜvÝbá
ìêñìîTò QÜAÝ>ÛgÜAíÜ:æYáœÞ>ßÊìFÝ>âTáœê!áæóÝ>ÛWÜô\á1íâ`ÜFå[ôò!ÝbÛWÜAíÜ<æYáBÞ>ß'ìÝ>â`áBê!â`êÊÝ>ÛWÜÉíâÈåNÝ>áœÞ>ÝbÜFí!ß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å Ï 1 ð
#
wqhY:Yc9Wexf:irbyatrqhY8ir]edqezxqeq{tr]|d_6]bd}a`Yi~e|
áBâ`ÞgÜ!
ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñåväQìêÆô\Üù\åSÜFíÝbá´åSâTßùWîdìFÝ>Üíâ45ÜÞ>ÜQê1ÝõWÛ1ògåNâdäìîTî`òß°ÜFìêWâ`êWöæYùgî‰åSõ\ìÝbâdìFî
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å 1 ðèWáBÞAÜgìß!õgîTÜ_ø\Ý>ÛWÜÜFû_ùWâTõ\áœÝ>ÜQê1Ý>âÈìîîTâTêgÜFåáæ‚ìFêÜîTÜFä:ÝbÞ>âÈäš\ÜQîÈíâTêÅì!õWîdìFêWÜ
ô\ÜQÝSë‰ÜQÜêÆìõWÞ>áœÝ>áœê ìêñí ìFêÆÜQîTÜFä<Ý>Þ>áœêÆäQìFê ô\ÜåNâ`ß&ùgîdìÝbÜFí+ôòÅì+åNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBê áFæÝSë~á
öBÞìÝbâTêWö»å:ðv÷
îÈåNá!ô1ò+åSùWõ\ÜQÞ>â`ß!õ\á_åSâTêWöÝSë‰á!öœÞVìÝbâTêWö»åáFæ[ä<áBê\ä:ÜêÝbÞ>âdäÉä:âTÞä:îTÜ·å‰âTÝâÈå
õ\á_å>åSâTôWî`Ü
Ý>á åNâTßùWîÈìÝ>Ü°âTê1Ý>ÜQÞSæYÜQÞ>ÜQêñä:Ü!áæ¿ë[ìQü_Ü:æYÞ>áœêÝåá1ää:ùWÞ>â`êWöºë[ÛWÜQê ÝbÛWÜ+åSùWÞNæPìœä:Ü+áæìõ\áBê\í âÈå
Ügä:âTÝbÜFí!åSâTßùWîTÝìêWÜQáœù\åNî`òìÝ[ÝSë‰á°í4â 5ÜÞ>ÜQê1݉õ\áBâ`êÝå 8 åNÜQÜ¿èâTöœùWÞ>Ü ÿ :ð
DÝuâÈåõ á»å>åSâTôWî`Ü
Ýbáß!ÜFìœåNùWÞb܂íâdåSÝVìFê\ä:ÜFåâTêìFê!áBõgÝ>âdäìîŠåNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâ`Ý>â`áBê!áFæÝSë‰áAöBÞìÝbâTêWö»å:ð
ډÛWÜFåSÜß°ÜFìBåSùWÞ>ÜQß°ÜQê_ÝVåväQìFêqô\ܺÞ>ÜQö»ìÞíÜFí.ìBåìFê\ìî`áBö ä:áBß!õgùWÝVìFÝ>âTáœê áæ Ý>ÛWÜ+ÜFû_ù\ìFÝ>âTáœê
ß!á1íÜîTâTêgö+Ý>ÛWÜÊß!áœâTÞgÜÊã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê˜ð ½êáBùWÞîdìœåNÝ!ß°ÜQêÝbâTáœêWÜFí+Ü WìFß!õWî`Ü_øâTÝâdåõ\á_åbåNâ`ôWîTÜ+Ýbá
ä:áœß!õWùWÝbÜ3ìê\ìFîTáœöBáBùñåNîTòAÝbÛWÜ3âTê1Ý>ÜQÞSæYÜQÞ>ÜQêñä:ÜÜ·û¶ù\ìFÝ>â`áBêAáægÝSë‰á[ë[ìQü_Ü:æYÞbáBê1ÝVå5ù\åSâTêWö[ÝSë~á[âTßÊìFöBÜFå
áæuä:áBê\ä<ÜQêÝbÞ>âÈä
ä:â`ÞVä:î`ÜFå:ð
ډÛWÜöBÜQêWÜÞVìÝbâTáœê+áæ[ÝbÛWÜöBÞVìFÝ>â`êWö_åßÊìQòÊÞ>ÜFû_ùWâ`Þ>ÜvìFê´ìFê\ìî`áBö…ä:áBß!õgùWÝVìFÝ>âTáœê+ôòâTÝåNÜQîLæ
ôWùWÝÉâTÝÉâdååSáBß!ÜÝ>âTß°ÜQå
ß°áBÞ>Üä<áBê1ü_ÜQêWâTÜêÝÝbá+öBÜQêgÜQÞVìFÝ>ÜÝ>ÛWÜ!öœÞVìFÝ>âTêgö_åÝ>ÛñìêÆÝ>áöBÜQêWÜÞVìÝbÜ
Ý>ÛgÜÞbÜFû_ùWâTÞbÜFí!ä:áœß!õWùWÝìÝ>â`áBê\ìFî5ÞbÜFåNùWî`ÝQð
€Xc9}Wc9f:c9eYqhY8ir]ed]h‚f:aWƒq_6c9f
Dê\åNÝbÜFìBíáæÞ>ÜQõWÞbÜFåNÜêÝbâTêWöÉÝ>ÛWÜÜ·û¶ù\ìFî5ÛWÜâTöBÛ1Ý[ä<áBê1Ý>áBùgÞVåuáFæ3åSáBß!Ü«åNùgÞNæPìBä<Üâ`݉âÈå‰åNáœß!ÜQÝbâTß!ÜFå
æYÜFìœåNâTôgîT܂Ý>áíÜFåSâTöœê!ÝSë‰áöœÞVìFÝ>âTêgö_å[Ý>Û\ìF݉ë[ÛWÜQêåSùWõ\ÜQÞ>â`ß!õ\á_åNÜ·íë[â`îTî5öœÜQêWÜQÞìÝbÜÝ>ÛWÜ¿íÜFåNâ`Þ>ÜFí
ÜFû_ù\ìîŠÛWÜQâ`öBÛ1݉ä<áBê1Ý>áBùgÞVå[ìBå‰ß°áBâTÞgÜ[ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å 1 ðډÛWâdå~ìõWõWî`âdäQìFÝ>â`áBê!âÈå‰ä:î`á_åNÜîTòvÞ>ÜîdìÝbÜFí&Ýbá
Ý>ÛgÜvÝ>áBõgâdäáæ~áœùWÞÞ>Ü·åNÜFìFÞVäVÛºåNâTêñä:ÜÝbÛWÜû¶ùñìîTâ`ÝSòÍáFæ~Ý>ÛWÜvÞbÜQõWÞ>Ü·åNÜQê1ÝVìFÝ>âTáœê+íÜõ Üê\íWåáBê+ÝbÛWÜ
ü1âdåNâ`ôWâTî`âTÝSòáFæ3Ý>ÛgÜß°áBâTÞgÜ
ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>ê ð
uÔ Õ.ˆ I"E S Õ.UGS Õ&ÙQÔE C KaJ Ò&ӆ E!K Ù K
#_ò1êÝbÛWÜFåSâdå[áæ3ß!áœâTÞgÜ
ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
âdå[Ý>ÛWÜÉöBÜQêgÜQÞVìFÝ>âTáœê+áæ3ÝSë~á!âTßÊìFöBÜFå‰ÝbÛ\ìÝ«ë[ÛWÜQê+åSùWõ\ÜQÞ>â`ß&ú
õ\á_åSÜFíë[âTî`î3Þ>ÜQü_ÜFìFîÝ>ÛgÜ&â`êÝbÜQê\íÜFíß°áBâTÞgÜvã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbêð ºÜ&ÞbÜFåNÝìÝ>ÜÝ>ÛgÜ!ä:áœê\íâ`Ý>âTáœêæYáBÞAÝbÛWÜ
öBÜêWÜQÞVìFÝ>â`áBê+áæçì!ä:ÜQÞbÝVìFâTê+ß!áœâTÞgÜAã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê<ð \ÜQÝ l 8on\prq : p s 8on\prq :3ô\ÜvÝNë~á = 9ú æYùWê\ä:ÝbâTáBêñå
ìêñí îTÜÝ ž 8oŸ : ô ܅ì Ï [ú õ\ÜQÞbâTá1íâÈä&æYùWê\ä:ÝbâTáBêë[âTÝbÛ õ\ÜQÞbâTá1í áFæAùWêWâ`ÝNò»ð ډÛW܅åNùWõ\ÜQÞbõ\á_åNâLú
Ý>â`áBêž 8 l 8on\prq :X:•©Çž 8 s 8on\prq :X:\ë[â`îTî\ä:áœêÝìâ`ê&ÝbÛWÜ 8‚pr„ƒ :ß!áBâ`ÞgÜ~ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê&ë[ÛWá»åNÜöœÜQáBß°ÜQÝ>Þbâdä
Ïþ
„
…‡† E
F
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
îdìQò_áœùWÝ[âdå‰ÝbÛWÜAÜFû¶ùñìî5ÛgÜQâTöœÛÝ‚ä:áœêÝbáBùWÞåçáFæ}Œ 8n\prq :3âLæÝbÛWÜæYáBî`îTáFë[âTêWöä<áBê\íâ`Ý>â`áBêÊÛWáBîÈíWå
Œ 8n~p¦q :dt
‚ l 8on\prq :?…
„ƒ s 8n~p¦q :¦™
8 +„:
‰Ú ÛWâdåä:áœê\íâTÝbâTáœê í1ÜQÝ>ÜQÞbß!âTêgÜFå,s.ä:áBß!õgîTÜQÝbÜQîTòÊæYÞ>áBß ŒÆìFê\íÛl‚ðÆډÛWÜQÞ>ÜÊâÈå:ø3ÛWáFë‰ÜQü_ÜQÞø
ìÊíÜQöœÞ>ÜQÜváFæ‰æYÞ>ÜÜFíáBßàâTêºäVÛWá_á_åSâTêWö€lqáœÞsðvډÛWÜvß°áBâTÞgÜã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>êÅíÜFåbä:Þ>â`ô Ü·íÍô1òŽŒ+ë[â`îTî
åNÝìê\íváBùgÝüâÈåNù\ìFîTî`ò
æYáBÞ3åSáBß!ÜÀäIÛgáBâdä<ÜFå áFæ lìFê\íò_ÜQÝâTÝßÊìQòô\Ü[ÛWâÈíWíÜQêAæYÞ>áœß Ý>Ûg܉Û1ùWßÊìê
ü1âdåNùñìîåNògåNÝbÜQßÎæYáœÞ[áBÝ>ÛgÜQނäIÛgáBâdä<ÜFå[íùWÜAÝ>ávâ`ÝVå‰â`êWÛWÜQÞbÜQê*Ý \îTÝbÜQÞ>â`êWövõWÞbá1ä:ÜFå>å<ð
܂ë[âTî`@î \ÞVåSÝ[íÜQÝbÜQÞ>ß°âTêWÜ~ä:ÞbâTÝ>ÜÞ>âdì
æYáœÞuÜüBìFîTù\ìFÝ>â`êWöÝbÛWÜåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêÍâ`ßÊìöœÜ_að [ìBåSÜFí
áBêÅÝ>ÛWÜFåSÜ!ä<Þ>âTÝbÜQÞ>âÈì&ë‰Ü°ë[âTîTîóäIÛWá_á»åN2Ü l ìFê\í s ÝbÛ\ìÝÉë[âTî`î3å>ìFÝ>âdåDæYò 8 +„:AìêñíáBõWÝbâTß!â QÜváBùgÞ
õ\ÜQÞNæYáœÞ>ßÊìFê\ä:ÜAä<Þ>âTÝbÜQÞ>âÈìð
èWÞ>áBß ÛgÜQÞ>܂áBêø1ë‰Ü‚ë[âTî`î5í1ÜFìî\ë[âTÝbÛÊåNò1ê1Ý>ÛWÜFåSâdåá”æ \ÞVåS݉áœÞVíÜQÞ 8 Ï p  Ï :ß!áœâTÞgÜ[ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
åNâ`ê\ä:ÜÛWâTöœÛWÜQÞAáBÞíÜQÞAß!áœâTÞgÜvã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñåìFÞ>Ü!öœÜQêWÜQÞìî`îTòî`ÜFå>åAíáœß!âTêñìê1Ý 8 åSÜQÜ!åSÜFä:ÝbâTáBê = ð = :ð
#_ò1êÝbÛWÜFåSâdå
áFæ‰ÝbÛWÜ 8 Ï p Ï :‚áœÞÛgâTöBÛgÜQÞáBÞíÜQÞß°áBâTÞgÜ
ã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê\åÞbÜFû¶ùgâTÞ>Ü·å
åSáBß!Ü åNÝ>Þìâ`öBÛ1ÝNæYáBÞSú
ë[ìFÞVíÊß!á1íâ äQìÝbâTáBêñå:ð
Ô _ÕvÔ<S G Ò+Ø E Ø[ԉÙ<Ó E ԉ٠G
ÛWÜQê°åNò1ê1Ý>ÛWÜFåSâíQâ`êWöß!áœâTÞg܉ã õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å3ë‰Ü[Û\ìQü_܂Ý>áÉäIÛgá_á_åNܗlÆìê\í/s°æYÞbáBßìFê&â`ê\êWâ`Ý>܂åNÜÝ
áææYùWê\ä<Ý>âTáœê\å‰ë[ÛWâÈäIÛÊåbìÝbâdå½æYò 8 +„:Vð Dê!Ý>ÛWâÈå[åNÜFä<Ý>âTáœê!ë‰Ü«õWÞ>áœõ á»åNÜ ä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâdìÝ>ávÜFåSÝ>â`ßÊìÝbÜ
ÝbÛWÜ
ü1âdåNùñìîõ ÜÞNæYáBÞbßÊìêñä:ÜAáæ3ÝbÛWÜß!áœâTÞgÜ_ã 0ð [ìœåNÜFíÊáBê+ÝbÛWÜFåNÜ ä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâdìAë‰Üväìê+í1ÜFä:âdí1Üë[ÛgÜQÝ>ÛWÜÞ
áBêgÜAäIÛgáBâdä<Ü
áF*æ lìê\2í sÍÝbÛ\ìÝÀå>ìFÝ>âdåDæYò 8 +„:âÈåuô\ÜQÝ>ÝbÜQމÝbÛ\ìêìFêWáBÝbÛWÜQÞQð DêÊåNÜ·ä:Ý>â`áBê þ ë‰Üù\åSÜ
Ý>ÛgÜFåNÜÉä:ÞbâTÝ>ÜÞ>âdìAÝ>ááBõWÝbâTßÊìFîTî`òäIÛWá_á»åNÜ l ìêñ_í sð
ÜÉë[âTî`~î \ÞåNÝAä<áBê\åSâdíÜQނõ\ÜQÞNæYáœÞ>ßÊìFê\ä:ÜÉä:ÞbâTÝ>ÜÞ>âdìæYáBނîTâ`êWÜFìFÞ
ß!áœâTÞgÜ_ã 0ð ºÜìBå>åSùWß!ÜÉÝ>Û\ìFÝ
Ý>Ûg܉åSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêvâTßÊìFöBÜ~ìê\íAÝ>ÛWÜ3ÞbÜFåNùWî`Ý>â`êWö[ß!áBâ`ÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñåìÞb܉ìFõWõWÞbá 1âTß'ìÝ>ÜîTò‚îTâTêgÜFìÞ
âTê°ìåSßÊìî`îWÜQêWáœùWöBÛÊÞbÜQöBâ`áBê*ð [ìœåNÜFíváBê!î`á1äQìî ìê\ìFîTògåNâÈå‰ìêñí&Ý>ÛWÜ«Þ>ÜFåSùWîTÝåæYáœÞ‰î`âTêWÜFìFÞ3ß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ÜQÞNæYáœÞ>ßÊìFê\ä:Üë~ÜAë[âTîTî\æYáBÞbß&ùWîÈìÝbÜAä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâdìæYáBÞ[öBÜêWÜQÞVìFîß!áBâ`ÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå:ð
‰
‹NPO
Š E U
Œ<UXWT}]dœVgŠeUoœŽT&
 T~œe)œ”gŠ]0WZ\T
Dê èâTöBùgÞ>Ü Ï %1øü_ÜQÞ>ÝbâdäQìFî
ôñìÞVå!áFæ°ä:á_åSâTê1ù\åNáœâdíWìFîõWÞ>á\îTܺë[âTÝbÛqüœìFÞ>âTáœù\å&æYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:òìê\í
ìß°õWîTâ`Ý>ù\íÜóìÞ>Ü~åSÛWáFë[êð3ډÛWÜuæYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:ò«íÜFä<Þ>ÜFìœåNÜFåìFîTáBêgöÝ>ÛWÜ n 읁âÈåìê\íAÝ>ÛWÜÀìß!õWî`âTÝbù\íÜ
íÜFä<Þ>ÜFìœåNÜFå‚ìî`áBêWö!ÝbÛWÜ q ì1âdå<ð,Dê+èâ`öBùWÞbÜ Ï øì!äVÛWÜFåbå½úPô\á_ìÞíâdååSÛWáFë‰ÜFíìê\íâ`ê+èâ`öBùWÞbÜ
ÏQÿ ø ÝbÛWÜÉå>ìFß!ÜAäVÛWÜFå>åDúDô\á»ìÞVíÊâdå‰ÞbáBÝVìFÝ>ÜFíÊôò _ÿ íÜQöBÞbÜQÜFå =¡ ð
\á_áBï1âTêWö'ìÝ«èâTöœùWÞ>Ü Ï %ë~ÜÉäQìê…íÜFíù\ä<ÜÝ>Û\ìFÝ
ÝbÛWÜÉåNÜQêñåNâTÝbâTü1âTÝSòváæóÝ>ÛWÜAÛ1ùWßÊìê°üâÈåNù\ìFî
åNògåNÝbÜQß Ýbáä:á_åSâTê1ù\åNáœâdíWìFîöœÞVìÝbâTêWö»åçüœìFÞ>âTÜ·å‰ë[âTÝ>ÛÊÝbÛWÜÉåNõ\ìFÝ>âdìFî5æYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:ò&áFæ3Ý>ÛgÜä<á_åNâ`êWÜ_ð
DêèâTöœùWÞ>Ü Ïÿ ÛgáBÞ>â QáBê1ÝVìFîWìFê\ívü_ÜQÞ>ÝbâdäQìFîî`âTêWÜFåìÞb܂åNÜQÜêìê\ívâTê èâTöœùWÞ>Ü Ï ø_Ý>ÛWÜ·åNÜ[îTâ`êWÜFå
ë[ÛWâÈäIÛìFÞ>Ü[Þ>áœÝVìFÝ>ÜFí&ô1ò »ÿ íÜQöBÞbÜQÜFåìFÞ>܂îTÜFåbåìõgõ\ìÞbÜQêÝð3èâTöœùWÞ>Ü·å (Ï ú Ïÿ íÜQß!áœê\åNÝbÞVìÝb܉ÝbÛWÜ
êWáœêúDâÈåNáœÝ>Þ>áœõò+áFæ~Ý>ÛWÜÉüâÈåNù\ìFîåSòWåSÝ>ÜQß åNÜQê\åSâTÝbâTü1âTÝSò > ډÛWÜvÛ1ùWßÊìFêÍü1âdåSù\ìîóåNògåNÝ>Üß âÈåçß°áBÞ>Ü
åNÜê\åNâ`Ý>âTü_ÜÉìFÝ ¡ ìê\Hí 1 ¡ íÜQöœÞ>ÜQÜFå‚Ý>Û\ìFêºìÝ _ÿ í1ÜQöBÞbÜQÜFå
ÝbáÊäIÛñìêWöœÜFå
ë[âTÝbÛÜFû_ù\ìFî3ä:áBê1Ý>ÞìBåSÝ
ìêñí'æYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:ò_ð
Ï.
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTögð Ï % > ü_ÜQÞ>ÝbâdäQìFî5ô\ìFÞVå[ë[âTÝ>Ûä:á»åNâ`êWÜAõWÞ>á\îTÜAë[âTÝbÛÊüBìFÞ>â`áBù\å‰æYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:òìê\íìß!õgîTâTÝbù\íÜ
Ï1
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTöWð Ï@> ÷ äIÛWÜ·å>å½úPô\á_ìFÞVíìFÝ ¡ œá Þ>â`ÜQêÝìÝbâTáBê
èâ`öWð ÏQÿ> ÷ äVÛWÜFåbå½úPô á»ìÞíÍÞ>áœÝVìFÝ>ÜFíÊôò
=¡
°‘
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
ډÛgÜä<áBê1Ý>ÞVìœåN݂áæóìõñìÝ>ÝbÜQÞ>ê’vâÈå[íÜ(\êgÜFí!ôò
“ t
’ þP” ´ •
 ’
þ )–
’ þP” ´ •
… ’
þ )–
ë[ÛWÜQÞbÜX’ þ—” ´ ìêñ혒 þ)– ìFÞ>ÜvÝbÛWÜ&ß'ì1âTßvùWßsìê\í+ß!â`êWâTßùWßâTê1Ý>ÜQê\åSâTÝbâTÜFå‰â`êÝbÛWÜvõ\ìÝbÝ>ÜQÞbê
Þ>Ü·åNõ\ÜFä:ÝbâTü_ÜQî`ò_ð5èWáœÞìFêvìôñåNáBî`ùWÝ>Ü~ùWêWâLæYáBÞ>ß â`ßÊìöœÜ_ø?’ þ—” ´ tE’ þ)– ìê\í “ t ¡ ðèWáœÞì‚å>û_ù\ìÞbÜ
ë[ìQü_ÜAöBÞìÝbâTêWö»å:ø`’ þP” ´ t Ï p ’ þ)– t ¡ p “ t Ï ð5#_âTêñä:ÜAÝ>ÛWÜ íÜQêWáœß!âTê\ìFÝ>áœÞ[âdå[õWÞ>áœõ áœÞ>ÝbâTáBêñìî
Ý>á«Ý>ÛWÜ~ß!ÜFìêÉâTê1Ý>ÜQêñåNâTÝSò_øFä<áBê1Ý>ÞVìœåNÝäQìêìFîdåSáô\܂ä:áBê\åSâdíÜÞ>ÜFíÉìBåÝbÛW܂íÜQöœÞ>ÜQÜ~áæ\ß!á1í1ùWîdìFÝ>âTáœê
áæâTê1Ý>Üê\åNâ`ÝNò°ìô\áFü_ÜAÝ>ÛWÜAß!Ü·ìêðèñáœÞ‚åNâ`êù\åSáBâÈíWìîöœÞVìÝbâTêWö»åçÝbÛWÜÉä:áBê1Ý>ÞìBåSÝ
âÈå‰õWÞ>áœõ áœÞ>ÝbâTáBêñìî
Ý>áÝ>ÛgÜìFß!õWî`âTÝ>ùñíÜ_ð
ډÛWÜÉä:áBê1Ý>ÞìBåSÝåSÜQê\åNâ`Ý>â`üâ`ÝNòæYùgê\ä:Ý>â`áBê 8 mý #¶)è :‰áFæ3ìåNògåNÝbÜQß âÈå
áBùgÝ>õWùWÝ«ä:áœêÝbÞVìBåSÝ ™
“š™› t
âTêgõWùW݂ä:áœêÝbÞVìBåSÝ
DÝ
âÈåçêgáBÝ«ìîTëÀìQòWå‰æYÜFìBåSâTôWî`ÜAÝ>á!ß!Ü·ìBåNùgÞ>ÜAÝ>ÛWÜÉáBùWÝbõWùWÝ[æYáBÞÛ1ùWßÊìFê\å‰âTê…ì&ä<áBß!õWî`ÜQÝ>ÜîTò°ä:áBêú
Ý>ÞbáBî`îTÜFí&æPìBåSÛWâTáœê,ð ‚ÜFä:ÜFåbå>ìÞbâTî`ò_øõ\åSòWäVÛWáœîTáBöœâdäQìFî"Ü õ\ÜQÞbâTß!ÜQê1ÝVå3ìFÞ>ÜùñåNÜFí5ø\Þ>Ü·û¶ùWâ`Þ>â`êWövßÊìê1ò
ìBåbåNùWß°õWÝ>â`áBê\å[ìFô áœùWÝÝbÛWÜÉåNògåNÝ>Üß ô\ÜQÛ\ìQüâ`áBÞð
ډÛWÜ"Ü õ\ÜQÞbâTß!ÜQê1ÝVìFî\õWÞ>á1ä:Ü·íùWÞ>ÜAæYáBނß!ÜFìœåNùWÞbâTêWövÝbÛWÜvmý #1è â`êü_áœîTü_ÜFå3õWÞ>ÜFåSÜQê1Ý>âTêgö&ÜFìœäIÛ
áæ ìAåNÜÝáFæü_ÜQÞbÝ>âdäìî1åNâ`êùñåNáBâÈíWìîgöBÞVìFÝ>â`êWö_åáœê!ì‚üâÈåNù\ìFî\íâdåSõWîdìQòAÝ>á¿ì¿ü1âTÜë‰ÜQÞë[ÛWáÉäQìFêvüœìÞ>ò
Ý>ÛgÜvä:áœêÝbÞVìBåSÝAä:áœêÝbÞ>áBîë[ÛWâ`îTÜß'ìâTê1ÝVìFâTêWâ`êWövä<áBê\åSÝVìê1ÝAìQü_ÜQÞìöBÜÉîTùWß°âTê\ìFê\ä:Ü_ð[èWáœÞì&öœâTü_ÜQê
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>êä:á_ìFÞVåSÜQêWÜFåbå:øWÝ>ÛgÜüâ`ÜQë‰ÜÞuâÈå‰ìœåNï_ÜFí!Ý>áìœí |>ù\åSÝ[Ý>ÛWÜAä<áBê1Ý>ÞVìœåNÝ[ùWê1Ý>â`î5ÝbÛWÜöBÞìÝbâTêWövâÈå
|>ù\åSÝuôñìÞ>ÜîTòví1âdåNÝbâTêWöœùWâdåSÛ\ìôgîTÜ_ð3ډÛWÜ[ÝbÛWÞ>Ü·åNÛWáœîdíváæä:áœêÝbÞVìBåSÝ3õ ÜÞVä:ÜQõgÝ>âTáœê 8 “:âÈåáBôWÝìâTêgÜFí
ìÝ íâ ŠÜQÞbÜQê1ÝAåNõ\ìFÝ>âÈìîuæYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:â`ÜFåìFê\íÝ>ÛgÜ!ä:áœêÝbÞVìœåNÝvåSÜQê\åSâTÝ>â`üâ`ÝSò'æYùgê\ä:Ý>â`áBêºâdåAÝVìï_ÜêÝbá
ô\ÜAõWÞ>áœõ áœÞ>ÝbâTáBêñìîÝbávÝ>ÛWÜAâTê1ü_ÜQÞåNÜáFæ 8 “:3ìBå‰æYáBî`îTáFë‚å
8þ :
“š™› 8 “:dt œ ™
8 “:
3û¶ùñìÝ>â`áBê 8 þ :Éâdå&Ü 1õWîÈìâTêgÜFí´ôòìBåbåNâ`öBêWâ`êWöÆì´ä:áœê\åNÝìê1Ý
Ý>á´ôñìÞ>ÜîTòÆíâÈåNÝbâTêWöœùWâdåSÛ\ìôWî`Ü
œ
ä:áœêÝbÞVìBåSÝQð
‚á_áBîTÜò . Û\ìBå‚õWÞ>áFü1âdíÜFíÊÝ>ÛWÜAæYáBî`îTáFë[âTêWöÜFû_ù\ìÝbâTáœêÝ>‰
á \Ý
ÝbÛWÜíWìFÝVìæYÞbáBß Ý>ÛWÜ ìô\áFü_Ü
Ü 1õ\ÜQÞ>â`ß!ÜQê1ÝVå
Ÿ ‚~ $¡ u¢
Ÿ ‚
8 .„:
“Ž™› 8  :t 1 ÿ ™ ¡œž
ÿ
¯
IÏ Û¯ :¢ 1
1
1
ÛWÜQÞbÜ  t = ¸?ø ¸âÈå‰Ý>ÛWÜÉåNõñìÝ>âÈìî5æYÞbÜFû¶ùgÜQê\ä:ò°ìî`áBêWövÝbÛWÜ n ì 1âdå‰â`êä:òWä<îTÜFåõ\ÜQނíÜQöœÞ>ÜQÜ·å
ìêñí œ t ¡ ™ ¡7¡Bÿ ð3÷ õgîTáBÝáæÝbÛWâdåæYùWê\ä:ÝbâTáBêvâÈååNÛgáëâTêèâ`öBùWÞbÜ Ï +1ð3ډÛWÜ[ô\ìêñíõ\ìBåbåuê\ìFÝ>ùWÞbÜ
áæÝbÛWÜ “š™› äQìFêÊô Ü«Ü õgîdìâ`êWÜFívôòß!á1íÜîTâTêgöÝ>ÛWÜ«üâÈåNù\ìFîåNògåNÝbÜQßsìBå[ìäìBå>äìBíÜAåSòWåSÝ>ÜQß
ä:áœß!õWÞ>âÈåNÜFí!áFæ‚ìê+áœõWÝ>âÈäQìîóåNùWô\åSòWåSÝ>ÜQß æYáBî`îTáFë‰ÜFíÊôòì&ÞbÜFä:ÜQõgÝ>áBÞSúDêgÜQùWÞ>áœê+õWÞ>á1ä<ÜFå>åSáBÞ 8 åSÜQÜ
èâ`öBùWÞbÜ ÏFþ :ð‰Ú‰ÛWÜÉáBõWÝbâdäQìFîåNùWôñåNògåNÝ>Üß äQìêÊô\Üß°á1íÜQîTÜ·í!ìBå‚ìî`áFëqõ\ìœå>0å \îTÝbÜQÞ[ë[ÛWâ`îTÜÝbÛWÜ
Þ>Ü·ä:ÜQõWÝbáBÞNúPêWÜQùgÞ>áBêÊõWÞbá1ä:ÜFåbåNáBÞ¿äQìêÊô\ÜAß!á1íÜQî`ÜFí&ô1òÊìÛWâTöœÛõ\ìœå>0å \îTÝbÜQÞQð
=Ï
1.5
contrast sensitivity
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
2
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
Spatial frequency (cyc/deg)
16
èâ`öWð Ï + > [ ìFê\í!õ\ìBåbåNâ`êWö!áæÝ>ÛgÜü1âdåSù\ìîåSòWåSÝ>ÜQß
Optical system
18
20
Physically in the brain and
pathway to the brain
Physically in the eye
Image
14
Retina
Light
Energy
Visual Pathway
Electric
Energy
èâ`öWð Ïþ > ‚, ùWßÊìê°üâÈåNù\ìFîåNògåNÝ>Üß ìœå
ìäQìBåbäQìBí1ÜåSòWåSÝ>ÜQß
==
Perception
9
distance in meters of gratings image
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
9.5
8.5
8
7.5
7
0
0.5
1
1.5
2
Grating orientation in radians
2.5
3
3.5
è â`öWð Ï . > ‚áBêúPâdåSáBÝ>ÞbáBõ1ò!áæóÝ>ÛWÜAü1âdåNùñìîåSòWåSÝ>ÜQß
÷ ÞbÜQüâ`ÜQë áæÝ>ÛgÜêgáBêúPâdåSáBÝ>ÞbáBõ1òáFæÝbÛWÜAüâÈåNù\ìFîåNògåNÝ>Üß Ï . ø\í1ÜFå>ä:ÞbâTô\ÜFå‰ÞbÜFåNùWî`ÝVå‰áFæÝbÛWÜ
æYáBî`îTáFë[âTêgö+܁õ\ÜQÞbâTß!ÜêÝ¤ð £‚ÞVìFÝ>âTêgö_å&ë~ÜQÞ>ÜÊõWÞbÜFåNÜQê1Ý>Ü·íÝ>áÅìü1âTÜQë~ÜQÞvìFÝ!íâ4ŠÜQÞ>ÜQê1ÝìêgöBîTÜ·å
ìêñí+íâŠÜQÞbÜQêÝ«íâÈåNÝVìFê\ä:ÜFå<ðAډÛWÜíâÈåNÝVìFê\ä:ÜFå«ìÝë[ÛWâÈäIÛÝ>ÛWÜvöœÞVìFÝ>âTêgö_å
ë~ÜQÞ>ÜÉô\ìÞbÜQîTòüâÈåNâTôgîTÜ
Þ>ÜõWÞ>ÜFåSÜQê1ÝuÝbÛWÜAåSÜQê\åNâ`Ý>â`üâ`ÝNòÉáæÝbÛWÜü1âdåNùñìîŠåNògåNÝbÜQßÎÝbááœÞ>âTÜêÝìÝ>â`áBê\å~ìê\íâdå‰åSÛWáFë[êÊâTê Ï .ð
÷å‚ìß!Ü·ìBåNùgÞ>ÜáFæ‰ÝbÛWÜAüâÈåNâ`ôWâTî`âTÝSòváæ~ìFêâ`ß!õWùWîÈåNÜë[ÛWá»åNÜÉîTá1äQìFÝ>âTáœê+áBêÝ>ÛWÜæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:ò
õWîÈìêWÜAâdå ¸+% ë‰ÜAÝìï_Ü ¥
8 ¸}% :dt§¦ ‚8¨ ¸ % ¨ :a©A¦ ƒ8 ìFêWöBî`Ü 8 ¸\% :X:
8 1„:
ÛWÜQÞb.Ü ¦ ‚ ìFê\©í ¦ ƒ ìÞbÜÝ>ÛgÜ¿æYùgê\ä:Ý>â`áBê\å‰áœôWÝVìFâTêWÜ·í°æYÞbáBß Ý>ÛgÜìFô\áü_ÜAÝSë‰áv"Ü õ\ÜQÞbâTß!ÜQê1ÝVå<ð
[ÜFäQìFîTî_ÝbÛ\ìÝæYáœÞÝ>ÛgÜ[ÞVìâÈåNÜFíÉä:á_åSâTê1ù\åNáœâdíWìFîWõWÞb
á \î`܉ë‰Ü[Ûñì·ü_Ü~áBêWî`òAÝ>ÛW*Ü \ÞVåSÝáBÞíÜQÞß!áœâTÞgÜ_ã ð
Dêß°áBâTÞgÜ
ã õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>êÅåNò1êÝbÛWÜFåSâdå:øŠë‰ÜÞ>ÜFä:ÜâTü_ÜAÝ>ÛWÜ°íÜFåSâTÞbÜFíõ\ìÝbÝ>ÜQÞb_ê ž 8 Œ 8n~p¦q :P:,tkž 8 ž ‚rn …
£ ‚9q : ìBåvâTêWõgùWÝQð ډÛgÜöBÞìBíâ`ÜQê1Ý&áFæAÝ>ÛW܅íÜFåSâTÞ>Ü·í õñìÝ>ÝbÜQÞ>ª
ê Œkt 8 ž p £;:Éõ\áBâ`êÝå&ìFÝ&ÝbÛWÜ
Þ>Ü·û¶ùWâ`Þ>ÜFíÍæYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:ò…íâTÞbÜFä:ÝbâTáBê 2ð ½êÅìBígíâTÝbâTáBê ø AÏ @ ¨ Œ ¨ âdåÝbÛWÜ!í1âdåNÝìê\ä<Ü!ô\ÜQÝSë‰ÜQÜQê+ÝSë~á
ìB"í |VìBä:ÜQê1݂õ ÜÞ>âTá1ígåçáFaæ ž 8 Œ 8on\prq :X:Vð~ډÛWÜQÞbÜ:æYáBÞbÜAÝ>ÛWÜÉßÊìöœêWâTÝbù\íÜáFæ3Ý>ÛWÜ åNõ\ìFÝ>âÈìî5æYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:ò
á—æ ž 8 Œ 8on\prq :X:AâÈå ¨ Œ ¨ 6ð DêáBÝ>ÛgÜQÞ!ë‰áœÞVíWå<øuæYáB&Þ ž 8 Œ 8n\prq :P:ÝbáÆìõgõ Ü·ìÞÊìœå&Ý>ÛWÜ 8 Ï p  Ï :
ß!áœâTÞgÜ»ã ø ¸ % ¹í‚ « ‚À åNÛgáBùWîÈí ô\Ü!Ü·û¶ù\ìFî‰Ýbá ŒŠDð #»âTê\ä:ÜâTêÅß!áBâ`ÞWÜ°ã åNò1êÝbÛWÜFåNâÈåë‰Ü!ÞbÜFä:ÜQâ`ü_Ü ŒÅìBå
âTêgõWùWÝQøWÝbÛWÜAîTá1äQìFÝ>â`áBêÊáæ ¸ % ¹í‚ « ‚À âdå[åNÜÝ[ô^ò <Œ!ë[ÛWÜê 8 +;:~âdå[åbìÝ>âÈ9å \Ü·í5ð
ډÛWÜæYÞbÜQÜFíáœß âTêäVÛWá_á_åSâTêWö'íâ ŠÜQÞbÜQêÝ l ìFê\_í s+Ý>ÛñìÝ«å>ìÝbâdåDæYò 8 +;:Àìî`îTáFë‚å
ä<áBê1Ý>Þ>áœîTî`âTêWö
Ý>ÛgÜîTá1äQìFÝ>â`áBêÊáæ ¸ % ¹í‚ ‚À ð3èñáœÞ‰ÝbÛWÜ 8 Ï p  Ï :3ß!áBâ`ÞgÜ[ã Ýbávô ÜAü1âdåSâTôWî`Ü_øBë‰Ü¿åNÛWáœùWîdí!ß!â`êWâTßíâ <܉ÝbÛWÜ
= %
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
ü1âdåNâ`ôWâTî`âTÝSòáFæ3Ý>ÛgÜ 8 Ï p Ï :‰ß°áBâTÞgÜ_ã ðډÛWÜáœõWÝ>â`ßÊìî”sp¬j­ƒ® p lP¬j­ƒ®5æYáBނÝ>Ûgâdå‰ß!â`êWâTßâíFìFÝ>â`áBêvâdå
8 "Ï ¡ :
s¯¬°­±®·t
ìFÞ>ö3ß!² â`ê ¦ ‚8¨ ¸ % ¹í‚ ‚À ¨ :a©?¦ ƒ8 ìêWöœîTÜ 8 ¸ % ¹í‚ ‚À :X:
8 ÏœÏ :
lP¬°­±®·t
Œ…¨sp¬j­ƒ®
¸ % ¹‚ ‚oÀ äQìFêÍô\Ü ä:áBß!õgùWÝ>ÜFíôò
¸ % ¹ ‚ ‚oÀ t
¸ %² …
¸A% ³2txs{…˜lSt
ë[ÛWÜQÞbÜAë‰ÜAù\åNÜ·í'ÝbÛWÜæYáBî`îTáFë[âTêWövÞbÜFåNùgîTÝ
Œ/t6l¨s2«
s{…˜
Œ
= lSt´
Œ…dsa™
èâTöœùWÞ>Ü·å Ï 1·ú =Ï åNÛgáë Ý>ÛgÞ>ÜQÜÆåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœê áæ°îTâ`êWÜFìFÞöBÞìÝbâTêWö»å:ð Dê èâ`öBùWÞbÜ Ï 11ø
¨ s ¨ t ¨ Œ ¨ øâ`êèâTöBùgÞ>Ü =¡ ø ¨ s ¨ t = ¨ Œ ¨ ìFê\íÍâ`êèâTöœùWÞ>Ü =Ï ø ¨ s ¨ t ¨ Œ ¨ ™
÷å ¨ s ¨ âdåâTê\ä:ÞbÜFìBåSÜFí5ø[Ý>ÛgÜæYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<ò ü_Ü·ä:Ý>áœÞ&ÝbÛ\ìÝä:áœÞ>Þ>Ü·åNõ\áBê\ígå'ÝbáÆÝ>ÛWÜ 8 Ï p Ï :
ß!áœâTÞgÜ«ã ô Ü·ä:áBß!Ü·åuîdìFÞ>öœÜQÞ[âTêÊßÊìFöBêWâ`Ý>ù\íÜ»ð3÷äQä:áœÞVíâ`êWövÝ>ávÝbÛWÜü1âdåSâTôWâ`îTâTÝSòAæYùWê\ä:ÝbâTáBê 8 1;:~Ý>ÛWâÈå
ß!ÜFìFê\åuÝbÛ\ì݂Ý>ÛgÜüâÈåNù\ìFîåNògåNÝbÜQß ë[âTî`î5ô\ÜAîTÜFåbå‰Þ>ÜFåSõ\áBê\åSâTü_ÜÝbá&ÝbÛWâdåuæYÞbÜFû¶ùgÜQê\ä:ò_ø_ÛWÜê\ä:ÜÝbÛWÜ
õ\ÜQÞNæYáœÞ>ßÊìFê\ä:Üë[â`îTîâ`ß!õWÞ>áFü_Ü«ìBå ¨ s ¨ âÈåçâ`ê\ä:ÞbÜFìBåSÜFí50ð #_ù\äVÛÊùWê\ä:áœêÝbÞ>áœîTîTÜ·í'â`ß!õWÞbáü_Üß&Ü<êÝ
âTê°Ý>ÛWÜAõ\ÜQÞNæYáœÞ>ßÊìFê\ä:Üô\ÜFä<áBß!ÜFåõWÞbáBôWî`ÜQßÊìFÝ>âdä[ë[ÛWÜQêÊë~Üù\åNÜÉíâ`öBâ`ÝVìîß°ÜFíâdìÝbávÞ>ÜQõWÞbÜFåNÜêÝ
Ý>ÛgÜ!âTßÊìFöBÜFå<ð+÷åAë‰Ü&æYùWÞbÝ>ÛWÜÞâTêñä:Þ>ÜFìœåNÜ ¨ s ¨ ÝbÛWÜÊíâ`öBâ`Ý>íâ ·ìÝ>â`áBê´Ü 5Ü·ä:Ýë[â`îTî~äQìùñåNÜ!ÝbÛWÜ
âTß'ìöBÜ·åÝ>á+ôgîTùWÞðډÛgÜåSõ\ìBä<ÜÍô\ÜQÝSë~ÜQÜQê´ÝbÛWÜ!öBÞìÝbâTêWö»åë[â`îTî‰ô\ÜåNáºåSßÊìî`îDøÝ>Û\ìFÝåNÜQü_ÜQÞìî
öBÞìÝbâTêWö»åçë[â`îTjî ñÝ
â`êÍáœêWÜAõWíâ 1ÜQîPð
Ú á¿ìBäQä:áœùWê1ÝæYáBÞÝ>ÛW܂í1âTöBâ`Ý>â FìÝbâTáBêA(Ü ŠÜFä<Ýâ`êÝ>ÛgÜ[õ ÜÞNæYáBÞbßÊìêñä:Ü~ä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâdìøœìêgáBÝ>ÛgÜQÞÝ>ÜÞ>ß
µ øWë[â`îTî5ô\Ü ìBíWíÜ·í'Ýbá 8 1;:ÀìBåuæYáœîTîTáFë‚å
¥
8 ¸ % ¹í‚ ‚À :dtE¦ ‚8¶¨ ¸ % ¹í‚ ‚À ¨ :a©?¦ ƒ8 ìFêWöBî`Ü 8 ¸ % ¹í‚ ‚À :P:\…xµ 8¨ ¸ % ¹í‚ ‚À ¨ :
8 "Ï = :
ډÛWâdåÝ>ÜQÞbß­ë[â`îTî1ô\ÜFä:áBß°Ü[íáœß!âTê\ìFêÝæYáBÞü_ÜQÞ>òÛgâTöBÛvæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:âTÜ·åìê\íõWÞbÜQü_ÜQê1ÝÝbÛWÜ[ùWêú
ô\áBùWêñíÜFí!íÜ·ä:Þ>ÜFìœåNÜ[â`ê 8 Ï = :Vð~ډÛWâdå3íâ`öBâ`Ý>íâ ·ìÝ>â`áBêvÝbÜQÞ>Nß µ 8¨ ¸ % ¹í‚ ‚À ¨ :åNÛWáœùWîdíô Ü[êgÜQöBî`âTöBâ`ôWîTÜ
æYáBÞAî`áë æYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:â`ÜFå‚ìê\í´í1áBß!â`ê\ìê1Ý
æYáBÞAÛWâ`öBÛæYÞbÜFû_ùWÜQê\ä:â`ÜFå:&ð ½êÅìBígíâTÝbâTáBêÅÝ>áäIÛgá_á_åNâ`êWö
µ ë[â`Ý>ÛÊÝ>ÛgÜFåNÜAõWÞbáBõ\ÜQÞ>ÝbâTÜFå<øë~ÜåSÛWáBùgîdíäVÛWá_á»åNÜÝbÛWÜÉä:Þ>á»å>åSâTêWöõ\áBâTê1Ý
8 Ï %;:
µ 8¨ ¸ % ¹‚ ‚oÀ±¨ :*t(¦ ‚8¨ ¸ % ¹í‚ ‚À±¨ :a©Qß!âT·
ê ¦ ƒ8 ìêgöBîTÜ 8 ¸ % ¹‚ ‚oÀ :X:
ë[âTÝbÛväQìFÞ>Ü_ðÚáí1áåSáÝ>ÛWÜæYùWêñä:Ý>â`áBTê µ 8 ©:Šë[ìœåäVÛWá»åNÜQêAÝ>á‚ô\܉áFæ\Ý>ÛWÜ3æYáBÞb¸ß µ 8 ©4:*t‹v µ ¹ 8 ©4:
ë[ÛWÜQÞbº
Ü µ ¹ 8 ©:~âdå[ìFê+âTê\ä:ÞbÜFìBåSâTêWövõ\áœîTò1êWáBß!âÈìîìFê\Hí v âÈå
ìvõ\ìÞìß!ÜÝ>ÜQÞ0ð v âÈå
íÜÝ>ÜQÞbß!âTêWÜ·í
âTêÊáœÞVíÜQÞ[Ýbá!åSÜQÝ[Ý>ÛgÜä<Þ>á_åbåNâ`êWö&õ\áœâTê1Ý 8 Ï %„:[ìœå
í1ÜFå>ä:ÞbâTô\ÜFí!ô\ÜQîTáFëAð
Ü«í(Ü ñêWÜ
ÝbÛWÜAíâ`öBâ`Ý>íâ ·ìÝ>â`áBêvÝbÛWÞ>ÜFåSÛWáBîÈXí 3 ³ ìBå3Ý>ÛW܂æYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<òvìÝ3ë[ÛWâÈäIÛÝSë‰áAõ\ÜQÞ>â`á1íWå
áæóÝ>ÛWÜAöBÞìÝbâTêWö»5å l ìFê\2í såSÝVìÞbÝ[Ý>áß!ÜQÞböBÜáœêÍÝbÛWÜÉíâdåSõWîdìQò_ð
Ü°íÜQêgáBÝ>(Ü s ¹ ìFê\»
í l ¹ ìBåÝbÛWÜvæYùWê\ä:ÝbâTáBêñåä<áBß!õWùgÝ>ÜFí+ôò+Ü·û¶ù\ìFÝ>â`áBê\å 8 "Ï ¡ :ÉìFê\í 8 ÏœÏ :ð
¨
¨
ºÜë~áBùWîÈíÍî`âTï_Ü xs ¹ ìFê\í ¨ &l ¹ ¨ Ý>áô Ü åNßÊìFîTî`ÜQމÝbÛ\ìêÝ>ÛWÜ íâTöœâTÝ>â FìÝbâTáœêÍÝbÛWÞ>Ü·åNÛWáœîdíÍô1ò
¼ ‚¾½ ¡>
¨ ´s ¹ ¨ž¿ 3 ³  ¼ ‚ ¨ &l ¹ ¨À¿ 3 ³  ¼ ‚
8 Ï :
=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating
The second grating
The superposition of the gratings
èâ`öWð Ï 1 > $gìß°õWîT܂áæ3î`âTêWÜ·ìމ߰áBâTÞgÜ ã > ¨ /s ¨ t
Bÿ
=
¨ Œ ¨ ™
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating
The second grating
The superposition of the gratings
èâ`öWð =¡> dgìß!õgîT܂áæ3î`âTêWÜFìFމß!áœâTÞgÜ ã > ¨ s ¨ t
= +
=
¨ Œ ¨ ™
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating
The second grating
The superposition of the gratings
èâ`öWð =Ï7> dgìß!õgîT܂áæ3î`âTêWÜFìFމß!áœâTÞgÜ ã > ¨ s ¨ t
¶þ
=
¨ Œ ¨ ™
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
_â`ê\ä:ÜvÝ>ÛgÜ!äVÛWáBâÈä:ÜáF悵 ìŠÜFä:ÝVåÝbÛWÜ!äVÛWáœâdä:ÜváFæÁsƹ ìê\í+áBêgîTò+Ý>ÛgÜQêÂl.¹ âdåAä:áBß°õWùWÝ>Ü·í5ø ë~Ü
ë[âTî`î5Ü1õWî`áBÞ>Ü«Ý>ÛWÜAÞ>ÜîdìÝbâTáœêÍô\ÜQÝSë~ÜQÜQê ¨ s ¨ ìFê\í ¨ /l ¨ ð
#
Œ
lD¨s
t
Œ…ds
¨
Œ…d/
s ¨ - ¨ Œ ¨ … ¨ s ¨
l
t
mæÝbÛWÜÉä:áBêñíâTÝbâTáBê
¨ l ¨
t
¨ xs ¹ ¨À¿ 3 ³  ¼ ‚
Ïÿ :
8
Ï
ÛWáœîdíWå<ø ë~ÜÛ\ìQü_Ü
8 +;:
¨ ¸l ¹ ¨ - 3 ³  ¼ ‚ … ¨ Œ ¨
ÜÉíÜêWáBÝbÜÝbÛWÜæYÞ>ÜFû_ùWÜQêñä:ò&áFæ3Ý>ÛgÜä<Þ>á_åbåNâ`êWö&õ\áœâTê1݂ìBå¸?ðÄVð0mæë~Üìœå>åSùWß!ÜAÝ>Û\ìFÝ
¨ xs ¹ ¨ - ¸ÃÅ­0… ¼ ƒp
ÏFþ :
8
¼ ƒ·½ ¡
ë‰Ü°ìÞbÞ>â`ü_ÜìÝÝbÛWÜvæYáBîTî`áFë[âTêWöÊÞ>Ü·åNùWî`Ý > PæÀë‰Ü°äIÛgá_á_åNÜ°Ý>ÛWÜ°ä:Þ>á»å>åSâTêWöõ áœâTê1ÝæYÞbÜFû¶ùgÜQê\ä:òL¸?ÃÅ­
ìBää:áBÞíâTêWövÝbá
8 Ï .;:
¸?ÃÅ­ - 3 ³  ¨ Œ ¨  ¼ ‚  ¼ ƒ
s+
¹ ìêñ‡
í l ¹ ë[âTî`îåbìÝ>âÈå½æYò
¨ xs ¹ ¨ - 3 ³  ¼ ‚  ¨ Œ ¨p
¨ &l ¹ ¨ - 3 ³  ¼ ‚ ™
÷ õWî`áBÝáFæAìÊÝSòõWâÈäQìî·µ âdåÉåNÛWáFë[êÆâTê èâTöœùWÞ>Ü =7= ìê\íÆìÊõWîTáœÝváæ 8 Ï"= :æYáœÞvü_ÜFä:Ý>áœÞVå
Î
ë[âTÝbÛS?1ÜFíÆìêgöBîTÜ+âÈåvåNÛWáFë[ê â`ê èâ`öBùWÞbÜ = %ð.ډÛWÜîTá1äQìFÝ>âTáœê áæAÝbÛWÜ+ä<Þ>á_åbåNâ`êWöõ\áœâTê1Ý&âÈå
íÜQß°áBê\åSÝ>ÞVìFÝ>ÜFíâTêèâTöœùWÞ>Ü = ë[ÛWâÈäIÛåSÛWáFë‚å
åSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBê…ìBäVÛWâTÜü_ÜFíæYáBÞÁs ¹ p l[¹ ð
DêÝbùWâTÝbâTü_ÜQî`ò_øWÝ>ÛWÜüœìî`ùWÜ&áFæ ¼ ‚ Þ>ÜõWÞ>ÜFåSÜQê1ÝVå
ÛWáFë ßù\äVÛÍë~Ü&ë~áBùWîÈí î`âTï_ÜÉÝ>áåNÝì·òºìQëÀì·ò
æYÞ>áœß ÝbÛWÜÊíâ`öBâ`Ý>íâ ·ìÝ>â`áBêºÝ>ÛWÞbÜFåNÛgáBîdíÅìê\í ¼ ƒ ÞbÜQõWÞbÜFåNÜQê1ÝVåAÝ>ÛWÜ°õ á»å>åSâTôWâ`îTâTÝSò+ÝbÛ\ìÝÉÝ>ÛWÜ!ß°âTêWâLú
ß!â FìÝbâTáBê°õWÞ>á1ä:Ü·íùWÞ>ÜAë[â`îTîäìÞ>Þbò ¨ xs ¹ ¨ ô Üò_áBê\íÊÝ>ÛWÜÉä:Þbá_å>åSâTêWöõ\áBâ`êÝð
‹NoM
Æ_T\œe)œ“gi]0WZ\TVe<_WefWÈǝ^[U¦WfT}]dœVgŠeU9œšT&
 ,]dcc@T\œ“WÉ
ډÛWÜÊü1âdåNâ`ôWâTî`âTÝSòáFæAÝ>ÛgÜ 8 Ï p Ï :Aß!áBâ`ÞgÜ!ã â`êÆì+öBÜQêWÜÞVìî‚åSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœê áFü_ÜQÞvì+Þ>ÜöBâTáœêsÊÄâÈå
í(Ü ñêWÜFíÊìBå
Ë
¥
449Ì
7 7
ë‰ÜÞ>Ü
¥
8 ¸ % ¹ ‚ ‚À : 8 5
Ê :dt
8 ¸ % ¹í‚ ‚À 8on\prq :X: n
q
3âdå‰ÝbÛWÜæYùWê\ä:ÝbâTáBêíÜ\êWÜFí!âTê 8 Ï= :ð
Z‚ü_ÜQÞ[ìíâdåbä:Þ>ÜÝ>Üâ`ßÊìöœÜŽ’váæóåNâQÜ.µ ÍÎ ë‰ÜAÛ\ìQü_Ü
8 ¸ % í¹ ‚ ‚À 8n\prq :P:
Ë
8 ¸ % ¹ ‚ ‚oÀ : 8 ’ :*t
ý
ý
Ï
‚E± Ð ‚
)ÿ ÿ
= .
¥
8 ¸ % ¹ ‚ ‚oÀ 8 + !p Ñ :X:
8 =7¡ :
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
èâ`öWð =7=> ÷ ÝNò1õWâÈäQìîµ
6
8
10
12
14
16
18
20
8 ©4:
2
1.5
1
0.5
0
0
2
èâTögð = % > á1íâ4\ÜFí!ô\ìFê\í¶úPõ\ìBåbåNâTêgö
4
6
= 1
8
10
12
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating
The second grating
The superpositon of the gratings
èâ`öWð =@> ‚Z õWÝ>â`ßÊìîŠîTâTêgÜFìÞ~ß!áBâ`ÞWÜ ã
% ¡
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Ù ÒÓ EžÓ Ô G ˆÙ I Ù<Ó J ØÀÕ&Ò K ÓÔ G ÙFÒ&Ó
ÛWÜQê.ß!â`êWâTß!â4Qâ`êWöºÝ>ÛWܺüâÈåNâ`ôWâTî`âTÝSò´áæÝbÛWÜ 8 Ï p Ï :!ß°áBâTÞgÜ+ã ÜFû_ù\ìÝbâTáBê 8 =¡ :ÊíÜõ Üê\íWåÍáœê
¸ % ¹‚ ‚oÀ 8n\prq :2t = s 8on\prq :)…Ô
Π8on\prq :VV
ð #_âTêñä:Ü 8 =7¡ :íÜõ Üê\íWå!Ü1õWîTâÈä:âTÝbîTòºáBê§sø‰ë~Ü
ßÊìQò°åNÝVìFÝ>ÜAÝ>ÛgÜáœõWÝ>â`ß!íâ ·ìÝ>â`áBê!õgÞ>áBôgîTÜQßsìBå
¥
æYáBÞ[ÜFìœäIÛ 8 + p!Ñ :}\êñ>í s ¬j­ƒ® 8 + p!Ñ :3Ý>Û\ìFÝ[ë[âTîTîŠß!âTêgâTß!â :Ü 8 ¸ % ¹‚ ‚oÀ 8 + p!Ñ :X:¦™
ډÛWÜõgÞ>áBôgîTÜQßë[âTÝbÛåSù\äVÛ+ìvå>äVÛWÜQß°Ü
âÈåçÝbÛ\ìÝ[ÝbÛWÜAáBôWÝìâTêgÜFíÍü_ÜFä<Ý>áB*Þ \ÜQîÈÕí /s ¬j­ƒ® ßÊìQò
êWáœÝ!ô\ܺì´ä:áBêñåNÜQÞbüBìFÝ>â`ü_Ü ñÜQîdí5ð ډÛWâdåvß!ÜFìFê\åvÝ>Û\ìFÝ!êWáæYùWêñä:Ý>â`áBê äìê ô\ÜÍæYáœùWê\í5ø‚Ý>Û\ìFÝ
sp¬j­ƒ®5ë[âTî`î\ô Ü«âTÝVå3öBÞìBíâ`ÜQêÝð3÷qôWÞbâTÜ:æ Þ>ÜQü1âTÜQëáæ = ­ä<áBê\åSÜQÞ>üœìÝbâTü_m
Ü \ÜQîÈíWåuâÈåuöBâ`ü_ÜQêâTê!ÝbÛWÜ
ìõgõ Üê\íí⠊ð
êæYáBÞä:âTêWöÝ>ÛgÜâ`êÝbÜQöBÞìôWâ`îTâ`ÝNòÉÝ>ÜFåSÝ 8 åNÜQÜ 8 % þ :‰â`êÊÝ>ÛWÜÉìõgõ Üê\ííâ ?:æYáBÀ
Þ søë‰Ü¿ìÞ>ÜÉîTÜFí
Ý>áÝ>ÛgÜ¿æYáœîTî`áë[â`êWövõWÞbáBôWî`ÜQß >
Ë
8 ¸ % ¹‚ ‚oÀ : 8 ’:
8 =1Ï :
s¯¬j­ƒ®\t.ìFÞ>ö3ß!âTê
Öp²
åNùWô |>ÜFä<݉Ý>á > s ´r¿ tˆs ¿[´
÷å[ë‰ÜÉåNÛñìîTîåSÜQÜâ`êÊÝ>ÛWÜÉêWÜ 1݂åNÜFä:ÝbâTáœêÍáœùWނüBìFÞ>âÈìÝ>â`áBê\ìFîåSáBî`ùWÝ>â`áBêë[â`îTîêWáœÝ
â`ß!õ\á_åSÜâ`êÝbÜ:ú
öBÞìôWâ`îTâ`ÝNò ìBå3ìÛ\ìÞí&ä<áBê\åSÝ>ÞVìFâTê1ÝQø_ôWùWÝ3ë~܂åNÛ\ìFîTîWÜQê1æYáBÞVä<Ü[âTÝ~ìõWõgÞ>á â`ßÊìÝbÜQîTò«üâÈììõ Üê\ìî`ÝNò
Ý>ÜÞ>ß+ð
×
Ø E!K × I Ó K U_Ô3T
Õ S Ù G ԉ٠G Ó3ÙÕ&Ò G
I Ø G
I Ø‚× I × K
DêÊÝ>ÛWâÈå
åSÜFä:Ý>â`áBêÊë‰ÜÉë[âTî`îåNÝìÝbÜvåNáœß!ÜAÞ>ÜFåSùWîTÝåuæYÞ>áœß üœìFÞ>âdìFÝ>â`áBê\ìFîäQìFîdä:ùgîTù\å‰ÝbÛ\ìÝ«ìÞbÜù\åSÜFí
âTê+ÝbÛWÜvæYáBîTî`áFë[âTêWöÊåSÜFä:ÝbâTáBêñå:ðèWáBÞÉì!ß!áBÞbÜä:áBß!õgîTÜQÝbÜí1ÜFå>ä:ÞbâTõWÝbâTáœê+Þ>Ü:æYÜQނæYáBÞAÜ gìß!õWî`ÜÝbá
Ï + áœÞ þ ð
ډÛWÜväìîdä<ùWîTù\å‰áFæ3üœìÞbâdìÝbâTáœê\å
í1ÜFìîÈåçë[â`Ý>ÛÊß!âTêgâTß!4â Qâ`êWöæYùWê\ä:ÝbâTáBêñìîdå<ð‰÷ æYùWê\ä:ÝbâTáœê\ìîâÈå
ì&æYùWê\ä:ÝbâTáœêæYÞ>áBß ìÊåNÜQÝAáæ3æYùWêñä:Ý>â`áBê\åÝ>áÊÝbÛWÜvÞ>ÜFìFîîTâ`êWÜ_ðÉ÷­æYùWê\íWìFß!ÜQê1ÝVìFîÞbÜFåNùWî`Ýáæ~ÝbÛWÜ
äQìFîdä:ùWî`ù\åáæŠüœìÞ>âÈìÝbâTáBêñåóâÈå ÝbÛ\ìÝÝ>ÛWÜ[Ü 1Ý>ÞbÜQßÊì‰áFæ æYùgê\ä:Ý>â`áBê\ìFîdåßù\åSÝå>ìÝbâdåDæYòvìêìœå>åSá1ä:âdìFÝ>ÜFí
í4â 5ÜÞ>ÜQê1Ý>âÈìî5Ü·û¶ù\ìFÝ>â`áBêäQìî`îTÜFíÝ>ÛWÜ ùWîTÜÞ[ÜFû¶ùñìÝ>â`áBêÊáFü_ÜQމÝbÛWÜÉíáBß'ìâTê ð
ډÛWÜ ùWîTÜÞÜFû_ù\ìFÝ>âTáœêâÈåìåNù 3Êä:â`ÜQê1ÝôWùWÝêWáœÝêWÜFä<ÜFå>åbìÞ>òÉä:áœê\íâ`Ý>âTáœêæYáœÞÝ>ÛWÜ["Ü âÈåNÝ>Üê\ä:Ü
áæ ìFêqÜ 1Ý>ÞbÜQßùWߋð ‰òÆÜ 1Ý>ÞbÜQßÊìë‰Ü+ß°ÜFìêîTá1äQìFîß!âTêgâTß°ìø3ßÊì 1âTßÊììê\í âTê '\ÜFä:ÝbâTáBê
õ\áBâ`êÝå:_ð ºÜÊìBåbåNùWß°Ü&ÝbÛ\ìÝ ìîTî3æYùWê\ä:ÝbâTáœê\åìFê\í æYùWê\ä<Ý>âTáœê\ìîÈåìFÞ>ÜÊä:áœêÝbâTê1ùWáBùñåìêñí Ûñì·ü_Ü
íÜQÞbâTüœìÝbâTü_ÜFå<ð÷
êgáBÝ>ÛgÜQނìBåbåNùWß!õgÝ>âTáœêÊâdå‰Ý>ÛñìÝ[Ý>ÛgÜ¿æYùgê\ä:Ý>â`áBê\ìFîüœìîTùgÜFå
ìFÞ>ÜAõ\á_åSâTÝ>â`ü_Ü_ð
èWáBÞ‚Ü WìFß!õWî`ÜìæYùWê\ä:ÝbâTáœê\ìî ’ ‚ ë[ÛWâÈäIÛíÜQõ\ÜQêñíWåçáœê+ìvôWâTüœìFÞ>âdìFÝ>ÜæYùWê\ä<Ý>âTáœê Ÿ@8n~p¦q :óìBå
æYáBî`îTáFë‚å
449Ì
7 7
Ò
…‡† E
› 8on\prq?prŸ@prŸ´prŸ¿ : n q
’ ‚"õŸ t
ò1âTÜQîÈíWåuÝbÛWÜæYáBîTî`áFë[âTêWö‰ùWî`ÜQÞ[ÜFû_ù\ìÝbâTáBê
›ÛÚ 
Ü
Ü ›`Ú~Ý 
n
%
Ï
Ü
Ü ›`ÚÞ t ¡
q
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
÷ íâŠÜQÞbÜQêÝ3æYùWê\ä:ÝbâTáœê\ìîP’ ƒ ë[ÛWâÈäIÛÊí1ÜQõ\ÜQê\íWå[áBê
44 Ì
’ ƒ õŸ t
3ìêñíÍâTÝå[íÜQÞbâTüœìÝbâTü_ÜFå3îTâTï_Ü«åNá
Ÿ@8on\prq :
7 7
› 8n~p¦qjprŸ@p¦Ÿ ´ p¦Ÿ ¿ p¦Ÿ ´r´ prŸ ´r¿ prŸ ¿[¿ : n q
ò1âTÜQîÈíWåuÝbÛWÜæYáBîTî`áFë[âTêWö‰ùWî`ÜQÞ[ÜFû_ù\ìÝbâTáBê
›`Ú 
Ü
Ü ›`Ú Ý 
n
ƒ
Ü
Ü ›`Ú Þ …
q
Ü
Ü ƒ ›`Ú Ý!Ý …
n
Ü
n
Ü
ƒ
q
Ü
ډÛWÜvæYùWê\ä:ÝbâTáBêñì ë[ÛWâdäVÛºíÜQõ\ÜQêñíWåáœêÝbÛWÜ&öœÞVìœíâTÜQê1ÝAáæ
ìBå‰æYáBî`îTáFë‚å
8 ž 8on\prq : p £ 8on\prq :X:
’  ž p £ t
446Ì
ƒ
›`Ú Ý$Þ …
Ü
Ü ƒ ›`Ú Þ!Þ t ¡
q
Vø5âPðÂÜ_ð.
Ÿ@8on\prq :
Ÿ@8on\prq :5t
7 7
› 8on\prq?p ž p £ p ž ´p ž ¿p £ ´p £ ¿ : n q
ò1âTÜQîÈíWå‰ìä:áBùgõWîTÜFíÊåSÜQÝ[áæóíâŠÜQÞbÜQê1Ý>âdìFî\ùWî`ÜQÞ[ÜFû_ù\ìÝbâTáBêñå
› ­¢
›ß 
Ü › ­Ý 
n
Ü
Ü
n
t
¡
Ü ›ß Þ
t
¡
q
Ü
Ü ›ß Ý 
Ü › ­Þ
Ü
q
‰Ú ÛWÜùWîTÜQÞÀíâŠÜQÞbÜQê1Ý>âdìFî\ÜFû¶ùñìÝ>â`áBê\å‰ÞbÜFû_ùWâTÞbÜ
ô\áBùgê\íWìÞbòä:áBê\í1âTÝ>â`áBê\å3Ý>ávÛ\ìQü_ÜAìvåSõ\ÜFä:âcú
\ÜFíÊåSáBîTùgÝ>âTáœêð·,
áFë~ÜQü_ÜQÞQø_â`êßÊìFêòõWÞ>áœôWîTÜßÊåuÝbÛWÜQÞ>ÜÉìFÞ>Üêgá&â`ß!õ\á_åNÜ·í&õWÞ>â`áBÞ«ä:áBêñíâTÝbâTáBêñå
áBêÝ>ÛWÜAô\áBùgê\íWìÞbòÊüBìFîTùWÜ·åçáœÞ
ÝbÛWÜAô ÜÛ\ìQüâ`áBÞ[áæóÝ>ÛWÜæYùWê\ä<Ý>âTáœêìÝ[Ý>ÛgÜô\áBùWêñíWìÞbòÍß'ì·òô\Ü
Þ>Ü·åNÝ>Þbâdä:ÝbÜFíô1òvåNáœß!Ü[öBÜêWÜQÞVìFî\ä:áœê\íâTÝbâTáœê\å:*ð DêåNùñäIÛ°äQìBåSÜFå:ø_ÝbÛWÜ[üœìÞ>âÈìÝbâTáBêñìîŠäQìîÈä:ùWî`ù\ååNùgõú
õWî`âTÜFå5ù\åë[âTÝbÛæYùWÞ>ÝbÛWÜQÞä:áBê\í1âTÝ>â`áBê\å æYáœÞÝbÛW܉ô\áœùWê\íWìFÞ>òüœìFîTùWÜFå<ðډÛWÜFåNÜÀä:áBêñíâTÝbâTáBêñåìFÞ>Ü~ìîÈåNá
êWÜFä<ÜFå>åbìÞ>ò ä:áBêñíâTÝbâTáBêñåæYáœÞ3Ý>ÛW܉æYùWêñä:Ý>â`áBê\ìFîWÝ>áAô\ÜåSÝVìFÝ>âTáœê\ìÞbòvë[âTÝbÛvÞ>ÜFåSõ Ü·ä:Ý3Ý>áüœìÞbâdìFÝ>âTáœê\å
8 åSÜQÜ "þ õ\ìöœÜ =7¡ .„:V5
ð #_ùñäIÛä:áœê\íâTÝbâTáœê\å[ìÞbÜäìîTî`ÜFí&ê\ìFÝ>ùWÞìîô\áBùWê\ígìÞ>ò…ä:áBêñíâTÝbâTáBêñå:ð
DêÍÝbÛWÜÉäQìBåSÜAá·
æ ’ ‚ øWÝ>ÛWÜAê\ìFÝ>ùWÞìîô\áBùWê\ígìÞ>òä:áœê\íâ`Ý>âTáœêÊâdå
8
› Ú Ý p › Ú Þ :a© _
y% t ¡
ë[ÛWÜQÞbÜ y % âdå‰Ý>ÛgÜêgáBÞ>ß'ìîÝ>ávÝbÛWÜAô\áBùWê\ígìÞ>ò
y_
% tàF~
7
7
q
n
76á p 67 á H ™
èWáBނ’ øWÝbÛWÜAê\ìÝbùWÞVìFîô áœùWê\íWìFÞ>ò…ä:áBê\í1âTÝ>â`áBê\å[ìFÞ>Ü
8
› ­ Ý p › ­ Þ :a© _
y% t ¡ p
8
% =
›ßjÝ p ›ß~Þ :a© _
y% t ¡
_þ :
8=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
[ÜFäQìFîTîÝbÛ\ì݂Ý>ÛW¥ ÜÉüâÈåNâ`ôWâTî`âTÝSòváæ3ÝbÛWÜ 8 Ï p Ï :[ß!áœâTÞgÜ«ã âTê+ìåNß'ìîTî ìÞbÜFì!åNùgÞ>Þ>áœùWê\íâ`êWö 8n~p¦q :
âdå‰Ü ¥ õWÞbÜFå>åSÜFí!ôò 8 ž 8on\prq : p £ 8on\prq :X:ë[ÛWÜQÞbÜ 8 ž 8n\prq : p £ 8n\prq :P:\t(sð
÷íWíâ`êWöAì
õ\ÜQêñìîTÝSòÉÝ>ÜQÞbß­ë[ÛgâdäVÛvÞ>ÜQõWÞbÜFåNÜêÝÝ>ÛWÜ[â`êÝbÜQöBÞìôWâ`îTâ`ÝNò¿ä:áBê\åSÝ>ÞìâTê1Ý3ìFê\ívå>û_ù\ìÞSú
âTêgö ÞbÜFåNùWî`ÝVå‰â`êÍÝbÛWÜæYáBî`îTáFë[âTêWöæYùgê\ä:Ý>â`áBê\ìFî
"
44 Ì
’ ž p £ t
3û¶ùñìÝ>â`áBê

¥
ƒ
8 ž p £„:\…•â 8 ž ¿ ¤£ ´ :
ƒ
7 7
¢ n q ™
8 = .;:
‰âÈå‰âTê’ æYáœÞ>ß ìF¥šê\¥íÍâ`ÝVåmùWîTÜÞ[ÜFû¶ùñìÝ>â`áBê\å[ìFÞ>Ü
8 = .„:
 £ r´ ¿ h
: t
¥Ž¥ ­¢…•â 8 ž Ï¿ ¿ ¨
ß …•â 8 £ ´r´ Hž ¿[´ h

: t
8 = 1;:

¡
¡
‰òÊíâÈå>ä:ÞbÜQÝ>âQâTêgö 8 = 1„:‰ÝbÛWÜæYáBîTî`áFë[âTêWövâ`Ý>ÜQÞìÝ>â`ü_ÜAå>äVÛWÜQß°Ü[âdå‰áBôgÝVìâ`êWÜFí
¥
¥
Ï
Ï
¼?‚
8 žã ± p £ã ± : ­ 8 žã ± p £ã ± :
£ã ± 
žã ±
t
ž{ä ã ± 
)* )å ¥
)å )å
)*
)*
= ¹ )å
= â ¥
Ï
Ï
¼j‚
8ž ã ± p £ ã ± : ß 8ž ã ± p £ ã ± :
£ ã±
t
£ä ã ± 
ž ã ± 
)å
)å
= ¹ )*
= â
ë[ÛWÜÞ>Ü ž ±[¼?‚ …Hž ± ‚ )* )å )* )*
)*
žä ±
t
)*
£ä ±
t
)*
)*
t
£¹ ±
t
)
ž¹ ±
)*
)*
=
¼ ‚ ± ¨
£ j
… £ ‚ o± ´
) )* =
ž ¼j‚ ±[¼?‚ …Hž ‚ ± ‚ Hž ¼?‚ ± ‚ €ž
£ ¼j‚ ±[¼j‚ …¨£
)
)* )
‚ ± ‚ ¨£ ¼j‚ ± ‚ ¨£
)* )
‚ ±9¼j‚
)* ‚ ±9¼j‚
)* ‰Ú ÛWÜväVÛWáœâdä:ÜáFæ3âTêñä:îTù\í1âTêWöÉÝ>ÛWÜÉâTê1Ý>ÜQöœÞVìôgâTîTâ`ÝSòä:áBê\åSÝ>ÞìâTê1ÝVå‚ìBå‚ìvõ Üê\ìî`ÝNò°Ý>ÜQÞbß ë‰áœÞ>ïgå
ô\ÜQÝ>ÝbÜQÞÝbÛ\ìêÆáœÝ>ÛWÜQÞìFõWõWÞbá_ìBäVÛWÜFåÝbÛ\ìÝvÝbÞ>òºÝ>á…åNÝ>Þbâdä:ÝbîTò+ÜQê1æYáBÞVä<Ü!Ý>ÛWÜ°âTê1Ý>ÜQöœÞVìôgâTîTâ`ÝSòºä:áBêú
åNÝbÞVìFâTê1ÝVå Ï"¡ ðډÛgÜuõñìÞVìFß!ÜQÝbÜQÞâ«ÜQê\ìôgîTÜFåä:áœêÝbÞ>áœîBáægÝ>ÛgÜuÝbÞVìœíÜ:úPáô\ÜQÝSë‰ÜQÜêAìŽlVåSß!á_áBÝbÛWÜQÞn
ü_ÜFä:ÝbáB*Þ \ÜQîdíÝ>Û\ìFÝ[ë[âTîTî\ÜQêñìôWî`Üô\ÜQÝ>ÝbÜQމÞbÜFä:áFü_ÜQÞ>òváF*æ sìê\íÊìü_ÜFä<Ý>áB*Þ \ÜQîÈí&ë[ÛWâdäVÛ!ÞbÜFìBäVÛWÜFå
îTáFë~ÜQމü1âdåSâTôWâ`îTâTÝSò_ð
÷å‰âTêgâTÝ>âÈìî ä:áBê\í1âTÝ>â`áBê\å<øWë‰ÜÝbá_áBïìê…ìÞbôWâTÝbÞVìÞbò!ü_ÜFä:ÝbáB*Þ \ÜQîdíŠð3ډÛWÜAô áœùWê\íWìFÞ>òä:áœê\íâcú
Ý>â`áBê\å[ìFÞ>ÜÉíÜFåbä:Þ>â`ô\ÜFí!âTêÊåSÜFä:Ý>â`áB€ê 1*ð ‚áBÝ>ÜAÝbÛ\ìÝ[ÝbÛWÜAê\ìÝbùWÞVìFîô áœùWê\íWìFÞ>òä:áœê\íâTÝbâTáœê\å 8 =_þ :
âTêÊÝbÛWâdå[äQìœåNÜAÞ>Ü·íù\ä:ÜAÝ>ávÝbÛWÜAâTê1Ý>ÜQöœÞVìFôWâTî`âTÝSòä:áBêñíâTÝbâTáB‰ê ž ¿ t‹£ ´ áBêô áœùWê\íWìFÞ>ò_ð
Ø E Ø[‚
æ
Õ Ù E ԉÙFÒ Ó † E Ù Ó †Â
Ó U_Ô3TÕ S Ó Ô G Ö+Ù E Ò&Ó
çNPO
èVT}U$éfR*cª²œÁefg
é)œ?]*Y,U[TdW*cx5œÁe<ê,^[Tdg
‰Ú ÛWÜÉÛWÜQâTöœÛÝ‰æYÞbáBß öBÞìBíâ`ÜQê1Ý[õWÞ>áœôWîTÜQß íÜFìîÈåçë[â`Ý>ÛÊæYáBîTî`áFë[âTêWövõWÞbáBôWî`ÜQß > £‚âTü_Üêìvü_ÜFä:ÝbáBÞ
\ÜQîÈí › % 8n\prq :ø;\êñíÍìæYùWê\ä<Ý>âTáœê€s 8on\prq :3åSù\äVÛÍÝbÛ\ìÝÀs 8on\prq :}t › % 8n~p¦q :ð
%%
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
áBÝbÜÝ>Ûñì݂Ý>ÛWÜAåSáBî`ùWÝ>â`áBê€sâdå3êWáBÝ[ùWêgâdû_ùWÜAåNâ`ê\ä:ÜAìœíWíâ`êWöìvä:áBêñåNÝVìFêÝ‚Ý>ÜÞ>ßÝ>á‰sÍë[â`îTî
Þ>Ü·åNùWî`Ýâ`êìFêWáBÝbÛWÜQÞ3åSáBî`ùWÝ>â`áBêÝbáÝ>Ûg܉õWÞbáBôWî`ÜQß+ðډÛWâÈå õgÞ>áBôgîTÜQß äQìFêÝ>ÛgÜQÞ>Ü:æYáœÞ>Ü3ô\Ü[ä:îÈìBåbåNâñÜFí
ìBå[ìFêÊâTêWâ`Ý>âdìFî\üBìFîTùWÜ«õWÞ>áœôWîTÜQß > £‚â`ü_ÜQêÊìê°âTêWâ`Ý>âdìFî5üœìî`ùWÜAìFÝ[åNáœß!Üî`á1äQìÝbâTáBê s 8on prq :óìê\í
› % 8on\prq :V„ø \ê\_
í s 8on\prq :æYáœÞ‚ìîTîÝbÛWÜAÞ>ÜQöœâTáœêð
÷ åNâTß°õWîTÜ«åNáœîTùWÝbâTáBêÝ>ávÝbÛWâdå‰õWÞbáBôWî`ÜQß âÈå
s 8n~p¦q :dtˆs 8on
4{ë
prq :\…
7
s{© % ‡[™
8% ¡ :
WÛ ÜQÞbÜ “ âdå~ìä:ùgÞ>ü_܉æYÞ>áœß 8n prq :Ýbá 8n~p¦q :ðډÛWâÈåuß!ÜQÝbÛWá1íìîTî`áFë‚åóùñåuÝ>á ä:áBß°õWùWÝ>Ü
l ä<áBß!õWî`ÜQÝ>ÜîTòáœê\ä:ÜìêâTêWâ`Ý>âÈìî3üœìîTùgÜ_l 8on p¦q (:AâÈåvíÜQÝbÜQÞ>ß!â`êWÜFí5ð…Ú‰ÛWÜÊõWÞ>áœôWîTÜQß ë[âTÝbÛ
ÜFû_ù\ìÝbâTáœê 8 % ¡ :AâdåAÝ>Û\ìFÝvâTÝAâdåAêùgß!ÜQÞ>âÈäQìî`îTòÊùWê\åSÝVìFôWîTÜ_ð…÷ÎÛWÜQâ`öBÛ1ÝüœìFîTùWÜÊìFÝåNáœß!Ü&õ\áœâTê1Ý
ë‰áœùWîdíŠø â`êÝ>ÛgÜõWÞbÜFåNÜQêñä:ÜáFæ3êWáBâÈåNÜ_øŠíÜQõ\ÜQêñíáBêÝbÛWÜvâTê1Ý>ÜöBÞVìFÝ>â`áBêõñìÝ>ÛÝ>Û\ìFÝë[ìœå
ÝVìFï_ÜQêð
DÝâÈåô ÜÝ>Ý>ÜÞvÝ>_
á \ê\íÆìô\ÜFåS
Ý \ÝåSùWÞNæPìœä:2Ü sì!Ýbá sð´Ú‰ÛgâdåväQìFê ô\ÜìBää:áBß!õgîTâdåSÛWÜFí+ôò ì
üœìÞbâdìÝbâTáœê\ìîgäQìîÈä:ùWî`ù\ååSÜQÝ>ÝbâTêWö "Ï ¡ ðډÛWÜ~üBìFÞ>âÈìÝ>â`áBê\ìFîWìFõWõWÞbá_ìBäVÛvÝ>á«ÛWÜQâTöœÛÝ5æYÞbáBß öBÞìBíâ`ÜQê1Ý
âdå[í1âdå>ä<ù\å>åSÜFí!âTêÊÝ>ÛWÜAêW"Ü Ý‚åSùWô\åNÜ·ä:Ý>â`áBêð
çNoM
í]dœ?U[]$c•U[efW]*^Z\]*^[Z}b^XbÉ(É@T\cc•UXWéîe)œ RfT}U$éfR*cª²œÁefg
é)œ?]*Y,U[TdW*c
‚âTü_ÜQêÝ>ÛWÜ+ü_Ü·ä:Ý>áœÞ{\ÜQîÈí › % 8n\prq :€t 8 ž 8on\prq : p £ 8on\prq :X:ÉìFê\í.ì õ\á»å>åNâ`ôWîTܺìFõWõWÞbá1âTß'ìÝ>Ü
åNáœîTùWÝbâTáœêHsïì‚ë~ÜAë[âdåNÛÝ>ávß!â`êWâTß°âÜ[Ý>ÛWÜæYáBî`îTáFë[âTêgöæYùWê\ä:ÝbâTáBêñìî
449Ì
ƒ
ı7 7
8 s ì´ Hžj: … 8 s ì¿ ¨£;: n q
8% Ï :
ý~ìîÈä:ùWîdìFÝ>â`êWövÝ>ÛWÜ ùWî`ÜQÞ[ÜFû_ù\ìÝbâTáBê!æYáœÞ 8 % Ï :~ò1âTÜQîÈíWå
£
ð s ì t¨ž ´ …¨£ ¿
ÛWÜQÞbÜ ð sì‚âdå‰Ý>ÛgÜ
ŠìFõWîdìœä:âdìFêáFæsïì >
Ü
ƒ
sïì
…
n ƒ
Ü
ƒ
sïì
™
q ƒ
‰Ú ÛWâÈå ÜFû_ù\ìFÝ>âTáœêâÈåìåSÜFä:áœê\íáœÞVíÜQÞÜQî`îTâTõgÜ Ý>âdä § —Ü äQìFîTî`ÜFí § áBâÈå>åNáœêÜFû_ù\ìFÝ>âTáœêðډÛgÜ § áœâdå>åSáBê
ÜFû_ù\ìÝbâTáœê!âdåë[âdí1ÜQîTòåSÝ>ù\íâ`ÜFíìê\í&ß'ìê1òõWÞbá1ä:ÜFíùWÞbÜFåóæYáœÞ‰ê1ùWß!ÜQÞbâdäQìFîWåSáBî`ùWÝ>â`áBê\å3܁âÈåNÝðdDê
áBùgÞ[܁õ\ÜQÞbâTß!ÜêÝåóë~Üù\åSÜFíÍÝSë‰áÉß!ÜQÝbÛWá1íWå‰Ý>áåSáBî`ü_ÜÝbÛWâdå‰Ü·û¶ù\ìFÝ>â`áBêð<Z‚êWÜâÈå[ìßùWî`Ý>âTöœÞ>âÈí
ß!ÜQÝbÛWá1í!ìFê\íÍÝbÛWÜAáBÝ>ÛgÜQÞ[âdå‰ô\ìœåNÜFíÊáBêåNâ`êWÜAÝ>Þìê\åDæYáBÞ>ß'å[ìê\íÊÝ>Þ>âÈíâdìFöBáœê\ìîåSáBîTùgÝ>âTáœê\å Ï"þ ð
Z‚ê\ä:܂ìö»ìâ`êøêWáœÝ>Ü[ÝbÛ\ìÝ3Ý>ÛgâdåÜFû_ù\ìÝbâTáBêí1á_ÜFåêWáBÝ3ùWêWâÈû¶ùgÜQîTòÉåNõ\ÜFä<âcæYòvìAåSáBîTùgÝ>âTáœê&ë[â`Ý>ہú
áBùgÝ
æYùWÞ>ÝbÛWÜQÞ«ä:áBêñåNÝ>Þìâ`êÝå:,ð DêÊæPìBä:Ýø ë~ÜväQìFê+ìBígí+ìê1òÍæYùWê\ä<Ý>âTáœê ñÝbÛ\ìÝAåbìÝbâdå½æYò ð ñ t ¡
Ý>áÉÝ>ÛWÜ«åNáœîTùWÝbâTáœêðèWáBÞ~Ý>ÛWâÈåõ\ìÞbÝ>âdä<ùWîdìFÞuõgÞ>áBôgîTÜQß+øFÝ>ÛgÜ
ê\ìFÝ>ùWÞìîŠô áœùWê\íWìFÞ>òÊä<áBê\íâ`Ý>â`áBê\å3ìÞbÜ
8 s ì´ p s ì¿ :a© y_
% t
ë[ÛWÜQÞbÜ y % âdå‰Ý>ÛgÜêgáBÞ>ß'ìîÝ>ávÝbÛWÜAô\áBùWê\ígìÞ>ò
y_
% tàF~
7
%
q
8 ž p £„:a© y %
76á
p
7
n
76á H ™
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Tâ ÝbÛ Ý>ÛWÜFåSÜô\áBùgê\íWìÞbò ä<áBê\íâ`Ý>â`áBê\å<øçÝbÛWܺåNáœîTùWÝbâTáœê âdå!åSÝ>âTî`î[êWáBÝÊùWêgâdû_ùWÜ_ø[åSâTê\ä:ܺìFê
ìÞbôWâTÝbÞVìFÞ>ò°ä:áBê\åSÝVìFêÝ‚äQìFê!ô\ÜAìBígíÜFí!Ý>á‰s ì ë[âTÝbÛWáBùg݂äIÛ\ìFêWöBâ`êWöÝbÛWÜ
æYùWêñä:Ý>â`áBê\ìFîDð3ÚáöBÜ݂ì
ùWêWâÈû¶ùgÜåSáBî`ùWÝ>â`áBêøWáœêWÜÉäQìê?ìÞbôWâTÝbÞVìFÞ>ò!ÛWÜâTöBÛ1݂ì݂åSáBß!Ü«õ áœâTê1ÝQð
ÔÀÙS E &Ò Ó G
I Ô E!K × I Ó K
ÛWÜQêåSáBîTü1âTêgö 8 = 1„:3ë‰Ü Ûñì·ü_ Ü«Ý>á°åNõ\ÜFä:âLæYò!ìô\áBùgê\íWìÞbòä:áBê\í1âTÝ>â`áBêìêñíÍìFêÊâTêWâ`Ý>âdìFî5üœìî`ùWÜ_ð
ډÛWÜÉâTêWâ`Ý>âdìFî5üœìî`ùWÜâÈ)å ž ± p £ ± æYáœÞìFîTî + pÑ âTêÝ>ÛWÜÉíáœßÊìâ`êð[ډÛWÜAô\áBùgê\íWìÞbòºä:áBêñíâTÝbâTáBêÊâÈå
Ý>ÛgÜ[ùWõŠíWìÝbÜÞ>ùWî`܉æYÞ>áœß )*áB êW܂)*âT ÝbÜQÞVìFÝ>âTáœêvÝ>áAÝ>ÛgÜ[êWÜ 1݉ìFîTáœêWöAÝ>ÛW܂ô\áBùWê\ígìÞ>òáæ Ý>ÛW܂í1áBßÊìFâTêð
#_â`ê\ä:Ü[ë‰Ü‚Û\ìQü_܂êWávìAõWÞ>â`áBÞ>âgïêWáFë[î`ÜFíöB܂áæÝbÛW܂ô áœùWê\íWìFÞ>ò!üœìFîTùWÜFå<ø_ë‰Ü‚ë[âTîTîñä:áBê\åSâdíÜÞuÝSë~á
ß!ÜQÝbÛWá1íWåuæYáœÞ[ùWõŠíWìÝbâTêWö!ÝbÛWÜAô\áBùWê\ígìÞ>òÊüœìî`ùWÜFå‰ô\ÜQÝSë‰ÜÜQêÊâTÝ>ÜÞVìÝbâTáœê\å:ð
mæ‚ë‰ÜÛ\ìQü_Ü!ìœíWíâTÝbâTáœê\ìî~ïêWáFë[î`ÜFíöBÜ°áBê´ÝbÛWÜÊíÜFåSâTÞbÜFŽ
í žÅìê\¨í £!ë‰Ü°ßÊìQòô\ÜÊìôgîTÜ!Ýbá
âTêñä:áBÞbõ áœÞVìFÝ>Ü+Ý>Ûgâdå&ï1êWáFë[îTÜFí1öBÜâ`êÝbá´Ý>ÛgÜô\áBùWêñíWìÞbò.ä:áBê\í1âTÝ>â`áBêð èWáœÞ!Ü gìß!õWî`Ü_ø3âcæAÝbÛWÜ
íÜFåSâTÞbÜFí!õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê+äQìFê+ô ÜÉÞ>áœîTîTÜ·íÍìFîTáœêWö!Ý>ÛgÜ n ìFê\í q ì âÈåçùWõÝ>á&æYáœÞ>ß Ý>ÛgÜåSùWÞNæPìœä:ÜáFæÀì
Ý>ÛgÞ>ÜQÜÉíâ`ß!ÜQê\åSâTáBêñìî\Ý>áœÞ>ù\å[áBÞ«íáBê1ùWÝøWõ ÜÞ>âTá1í1âdäô\áBùWê\ígìÞ>òä:áœê\íâ`Ý>âTáœê\å‚äQìêÊô\ÜAù\åNÜFíŠð
Dêõ\ÜQÞ>â`á1íâdäAô\áBùWê\ígìÞ>òºä<áBê\íâ`Ý>â`áBê\å<ø ÝbÛWÜô\áBùgê\íWìÞbòüœìî`ùWÜvâTêÊÝbÛWÜvêWÜ 1Ý[âTÝbÜQÞVìFÝ>âTáœêâÈå
ÝVìFï_ÜQêvæYÞ>áBßÝ>ÛgÜAä:áBß°õWùWÝ>Ü·íüœìî`ùWÜFå~ìîTáœêWöÝbÛWÜáœõWõ\á_åNâ`Ý>ÜAô\áBùWêñíWìÞbò_ð‰èWáœÞ‰Ý>ÛgÜäQìœåNÜáFæ3ìFê
âTß'ìöBšÜ ’váæóåNâ Q.Ü ÎºÍÎ+øWÝ>ÛgÜùgõ5ígìÝ>ÜÉÞ>ùWî`Üâdå
ò
óÔô FE
¼j‚
ž{㠂
)* ¼j‚
ã
)* ¼j‚
ž ã‚
Ð ) ‚
¼j
ž ã
)
žã
ž
t
t
t
t
‚
)*
ž 㠃
)* Ð
žã ‚
)
ž ƒã
Ð )
ì êñíÍÝ>ÛgÜô\áœùWê\íWìFÞ>òÊáæ£ )*ã ± âÈå‰ùWõŠíWìÝbÜFÐ íÍâ`êìvåSâTß!â`îdìFމßÊìFêWêWÜQÞð
§ ÜQÞbâTá1íâÈäô\áBùWêñíWìÞbò´ä:áœê\íâ`Ý>âTáœê\å
ë[â`îTîõ ÜÞNæYáBÞbß ë~ÜQîTîæYáBÞõ\ÜQÞbâTá1íâÈävåNÛ\ìFõ\ÜFå:øôWùWÝ«Ý>ÛWâÈå
âdå‰ÛñìÞVí1îTò!ÝbÛWÜAöBÜQêWÜÞVìîäìBåNÜ»ð
Dê+Ý>ÛWÜöBÜQêgÜQÞVìFî3äQìBåSÜ_øâcæ~ë‰Üvï1êWÜQ‹
ë ž ¿p £ ´ áBêºÝ>ÛWÜô\áBùWê\ígìÞ>òºë‰Üä<áBùWîÈíùWõŠíWìÝbÜ&ÝbÛWÜ
ô\áBùWêñíWìÞbòÍüœìFîTùWÜFå[ô1ò&â`êÝbÜQöBÞìÝ>â`áBê
±
4
7
8
!
p
Ñ
8
p
Ñ
ž Ï : t
ž Ï
 Ï :a…
ž ¿ 8 Ï p±õ : õ
± ‚
±
4
7
ž 8 Î p!Ñ : t
ž 8 Î p!Ñ  Ï :\…
ž ¿ 8 Î p!Ñ : õ
± ‚
‚
4
7
8 %7%;:
ž 8 + p Ï :ht
ž 8 + p = :a
ž ¿78 + p±õ : õ
ƒ
4
7
ž 8 + p Î_:ht
ž 8 + p  Ï :\…
ž ¿8 + p±õ : õ
Ð ‚
ډÛWÜAüœìî`ùWÜFå‰á)æ £väQìêÊô\ÜvåSâTß!â`îdìÞbîTòÉùWõŠíWìÝbÜFí5ð Ð
% ÿ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
ډÛW܂âTê1Ý>ÜQöœÞVìÝbâTáœê!äQìFê&ô\܂êùgß!ÜQÞ>âÈäQìî`îTò«ìõWõgÞ>ᝁâ`ßÊìÝbÜFíô1òÝ>ÛgÜ
ÝbÞVìõ\ÜáBâdígìî\Þ>ùWî`Ü 8 åSÜQÜ
ìõgõ Üê\ííâ ?:~ìBå‰æYáBî`îTáFë‚å
Ï 8 ž ¿ 8 Ï pÑ  Ï :\…Lž ¿ 8 Ï p!Ñ :X:
ž 8 Ï pÑ : t
ž 8 Ï p!Ñ  Ï :a
=
Ï 8 ž ¿8 Î p!Ñ  Ï :a…Hž ¿8 Î p!Ñ :P:
ž 8 Î pÑ : t
ž 8 Î p!Ñ  Ï :a…
=
Ï
8 ž ¿8 + p = :\…Hž ¿78 + p Ï :P:
8% :
ž 8+ p Ï : t
ž 8 + p = :
=
Ï 8 ž ¿ 8 + p Î_:\…Hž ¿ 8 + p  Ï :X:
ž 8 + p Î_: t
ž 8 + p Î  Ï :\…
=
ºÜêWáFë.Ý>ùWÞbê!Ý>ávÝbÛWÜAõWÞ>áœôWîTÜß áæóìõWõWÞbá â`ßÊìÝbâTêWöÉÝ>ÛWÜAí1ÜQÞ>â`üBìFÝ>â`ü_ÜFåâTê 8 % :)ð ºÜAäQìFê
ìõgõWÞ>á 1âTßÊìFÝ>/Ü £ ´8 + p Ï : p £ ´ 8 + p ΀: p +,t = ™™™Î  Ï ô1ò´ä<ÜQêÝbÞVìFî‰í1⠊ÜQÞ>Üê\ä:ÜvæYáBÞ>ßùWîÈì 8 åSÜQÜ
ìõgõ Üê\ííâ = :Vð[ډÛWÜÉüœìîTùgÜFåçáFæ £ ´„8 Ï p!Ñ : p £ ´78 Î p!Ñ :[äQìFêô\ÜvìFõWõWÞbá 1âTß'ìÝ>Ü·í'ô1ò&æYáœÞ>ë[ìFÞVíáœÞ
ô\ìœäIï1ë[ìFÞVí&æYáBÞbß&ùWîÈìBå<}ð ºÜäìêÊêWáFëqùñåNÜAÝ>ÛWÜæPìœä:Ý[Ý>Û\ìF*Ý žÊìê\€í £åbìÝ>âÈå½æY<ò ž ¿ t‹£ ´ áBêÊÝbÛWÜ
ô\áBùWêñíWìÞbòÍÝbá!ä<áBß!õWùgÝ>mÜ ž ¿ êWÜQÜFí1ÜFí&æYáBÞ[Ý>ÛgÜìFô\áü_Ü ä:áBß°õWùWÝVìFÝ>â`áBêð
ډÛWÜAüœìîTùgÜFå
ìFÝ[Ý>ÛWÜÉä:áœÞ>êWÜÞV*å ž 8 Ï p Ï : p ž 8 Ï p ΀: p ž 8 Î p Ï : ž 8 Î p ÎH: p £ 8 Ï p Ï : p £ 8 Ï p Î_:
£ 8 Î p Ï : p £ 8 Î p ΀:‚ìÞbÜåNùW
ô |>ÜFä<ÝÝ>á!îÈìÞböBÜvê1ùWß!ÜQÞbâdäQìFîÜQÞ>ÞbáBÞAìFê\íë‰ÜìQü_ÜQÞìöBÜvÝbÛWÜQß ë[âTÝbÛ
üœìî`ùWÜFåuæYÞ>áœß êWÜQâ`öBÛ1ô\áBÞ>â`êWöõWíâ 1ÜQîdå<ð
èWáBÞß!áœÞ>ÜÉíÜQÝìâ`îdå[áBê+ê1ùWß!ÜQÞbâdäQìFî5í1⠊ÜQÞ>ÜêÝbâdìÝbâTáœêø â`êÝbÜQöBÞìÝbâTáBê…ìê\íÝbÛWÜvìœå>åSá1ä:âdìFÝ>ÜFí
ÜQÞbÞ>áBނåSÜQÜÉìõWõ\ÜQêñííâ = ð
ÚáÊÜQüœìî`ù\ìÝbÜ&ÝbÛWÜìî`öBáBÞbâTÝbÛWßâTÝAë‰áœùWîdí+ô\Ü!í1ÜFåNâ`ÞVìôgîTÜvÝ>áåSòê1Ý>ÛWÜ·åNíâ Üß!áœâTÞgÜvã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå
ë[ÛWá»åNÜváBõgÝ>âTß'ìaî sºìê\Hí l âdå[ïêgáë[ê 5ð ºÜvä:áœùWîdíÊÝ>ÛWÜQê…ä:áBß°õ\ìÞbÜÝbÛWÜáœõWÝ>â`ßÊìaî sÅìê\Hí l
ë[âTÝbÛÊÝ>ÛWÜæYùWê\ä<Ý>âTáœê\åuæYáBùgê\íÍô1ò!Ý>ÛgÜß°âTêWâ`ß&â FìÝbâTáBêvõgÞ>á1ä:ÜFåbå:ð
èâTêñíâTêWö[áœõWÝ>â`ßÊì7î svìFê\í l!æYáBÞìÞbôWâTÝbÞVìFÞ>òß!áœâTÞgÜã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å5Þ>Ü·û¶ùWâ`Þ>Ü"Ü Û\ìFù\åNÝbâTü_ÜåNÜFìFÞVäVÛ
áFü_ÜQÞvìÍæYùgê\ä:Ý>â`áBêÆåSõ\ìBä<Ü_ð #_ù\äVÛÆåNÜFìFÞVäVÛÆâdå:øâ`ê´Ý>ÛgÜ!öBÜQêgÜQÞVìFî‚äQìBåSÜ_ø3ä:îTÜ·ìÞ>î`ò+âTß!õgÞVìBä<Ý>âdäìîDð
,
áFë‰Üü_ÜQÞQøæYáœÞ‚ä:ÜQÞbÝVìâ`ê&ß°áBâTÞgÜ[ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å:øWáœõWÝ>â`ßÊìîŠåSòê1Ý>ÛWÜ·åNâdå3äQìFêÊô Ü¿ä:áBß!õgùWÝ>ÜFívë[âTÝbÛWáBùgÝ
Ü1Û\ìùñåNÝ>â`ü_ÜAåNÜ·ìÞVäVÛð3÷
êÊÜ gìß°õWîT܂áæ~åSù\äVÛÍß°áBâTÞgÜ
ã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñåçâÈå‰îTâTêgÜFìÞ~õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å:ð
èWÞ>áBßsÝ>ÛWÜAåSÝ>Þbù\ä:Ý>ùgÞ>ÜáFæÝbÛWÜAáBõWÝbâTßÊìFîTâTÝSò ä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâTáBêâTÝ[âÈå‰ä:î`ÜFìÞ~Ý>Û\ìFÝ[Ý>ÛWÜ«áBõWÝbâTßÊìF`î s
åNÛgáBùWîÈíô Üä<áBê\åSÝVìê1ÝÝbÛWÞ>áœùWöBÛWáœùWÝAÝ>ÛWÜÉâTßÊìFöBÜ_ð‚Ú‰ÛWÜváœõWÝ>â`ßÊìaî sÅåNÛWáœùWîdíÝbÛWÜQÞ>Ü<æYáBÞ>ÜÉô\Üì
îTâ`êWÜFìFމâTß'ìöBÜ»ð
Ú ,á \êñíÝ>ÛWÜ~áBõWÝbâTßÊìF@î svë‰Ü[õWÞbá1ä:ÜQÜFívìœå æYáBî`îTáFë‚å:ð ü_ÜQÞ>òAîTâ`êWÜFìFÞ æYùWêñä:Ý>â`áB‰ê svâdåäVÛ\ìÞìBäIú
Ý>ÜÞ>íâ ÜFíô1òAÝNë~áõ\ìFÞVìß°ÜQÝ>ÜQÞå 8 ž p £;:t(s}™œèâ`ê\íâTêgƒ öÝ>ÛWÜ[áœõWÝ>â`ßÊì•î s&ÞbÜFíù\ä:Ü·å â`êvÝ>ÛWâÈåäQìBåSÜ
Ý>áAÜQüœìFîTù\ìFÝ>âTêgöÝbÛWÜ[õ\ÜQÞNæYáœÞ>ßÊìFê\ä:܂ä:ÞbâTÝbÜQÞ>âÈìçáFü_ÜQ*Þ ¥ ¥ ðډÛgÜ
áœõWÝ>â`ßÊ¥ ì•î s&âdåêWáœÝ3ùWêW¥ âdû_ùW܂åSâTê\ä:Ü
Ý>ÛgÜõ\ÜQÞSæYáBÞbßÊìê\ä<ÜAä:Þ>â`Ý>ÜQÞbâdìAâdå[åNò1ß!ß!ÜÝ>Þ>â`ä‰ë[â`Ý>ÛÊÞ>ÜFåSõ\ÜFä:Ý[Ý>ávÞb(Ü '\ÜFä<Ý>âTáœêìÞ>áœùWê\íÊÝ>ÛWÜAîTâ`êWÜFå
n t ¡ prq t ¡ prq t n\prq tV n d
ð Dê!áBÝbÛWÜQÞ3ë‰áœÞVíWå<ø 8 ž p £ :*t 8 ž p —£ :*t 8 0ž p £ :
ìêñíåNááBê ð
ÜÉÝ>ÛWÜêºäIÛWÜ·äIï!ÝbÛWÜvåSáBî`ùWÝ>â`áBêæYáBùgê\íôòÊÝbÛWÜâ`Ý>ÜQÞìÝ>â`ü_ÜÉå>äVÛWÜQß!Ü_ð #_ÝVìFÞ>Ý>â`êWö&æYÞbáBßìFê
âTêgâTÝ>âÈìî»ä:áBê\í1âTÝ>â`áBêAáæ 8 ž p £;:dt 8 ¡ p Ï :ìFê\íùñåNâTêgö[Ý>ÛWÜ3ô\áBùWêñíWìÞbòvä:áœê\íâTÝbâTáœê\å 8 % :Šë‰Ü~ìÞbÞ>âTü_Ü
ìÝ«Ý>ÛWÜ åNáBî`ùWÝ>â`áBê+ë[ÛWá»åNÜöBÞìBíâ`ÜQêÝ‚âdå[âdí1ÜQêÝbâdäQìFîÝ>á!áœêWÜváæ~ÝbÛWÜáœõWÝ>â`ßÊìîöBÞìBíâ`ÜQêÝå:ð«Ú‰ÛWÜ
âTêgâTÝ>âÈìîŠüBìFîTùWÜ·å[ìÞ>Ü åNÛWáFë[êâTêèâTöœùWÞ>Ü =œÿ ìFê\íÍÝbÛWÜAüBìFîTùWÜ·å
ìFÝ
â`Ý>ÜQÞìÝ>â`áBê =¡ ìÞbÜÉåNÛWáFë[êâ`ê
%+
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâ`öBùWÞbÜ = +ð~ډÛWÜvígìBåNÛgÜFíÍü_ÜFä<Ý>áBÞ~Þ>ÜQõgÞ>ÜFåSÜQêÝ~Ý>ÛWÜÉöBÞìBíâ`ÜQêÝ[áFæÝbÛWÜAáBÞbâTöBâ`ê\ìîîTâ`êWÜFìFމâTß'ìöBÜ
ìêñíÍÝ>ÛgÜåSáBî`âdí!ü_ÜFä:ÝbáBÞVå3Þ>ÜQõgÞ>ÜFåSÜQêÝ[ÝbÛWÜÉä:áBß°õWùWÝ>Ü·íXsð
DÝÉâdåâ`êÝbÜQÞ>Ü·åNÝ>â`êWöÊÝ>áºåSÝVìÞbÝvë[âTÝbÛ´ÝSë‰áÍæYùgê\ä:Ý>â`áBê\å<ø3ä:Þ>Ü·ìÝ>Ü'ìåNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBê ìê\íæYÜQÜFí
Ý>Ûgâdå‰åSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêÝ>ávÝbÛWÜâ`Ý>ÜQÞìÝ>â`ü_Ü
õgÞ>á1ä:ÜFí1ùWÞ>Ü_*ð Dê!öœÜQêWÜQÞìîPøÝ>ÛgÜåSáBî`ùWÝ>â`áBê!ë[â`îTî5êgáBÝ[ô\Ü
Ý>ÛgÜvå>ìFß!ÜÉìBå
ÝbÛWÜAÝSë‰ááBÞ>â`öBâ`ê\ìîæYùWê\ä:ÝbâTáœê\å:ð‚Ú‰ÛWÜÉÞ>ÜFìœåNáBêæYáœÞ
ÝbÛWâdå[âdå[Ý>ÛñìÝõWÞbáBô\ìFôWîTòÊÝbÛWÜ
åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBêÊë‰Ü¿åNÝVìFÞ>ÝbÜFí&ë[âTÝbÛ!ë[ìœå‰êWáBÝ[áœõWÝ>â`ßÊìîgáBÞ[Ý>ÛñìÝ[Ý>ÛgÜìFîTöBáœÞ>â`Ý>ÛWß ä<áBê1ü_ÜQÞ>öœÜ
Ýbá
ìíâ ŠÜQÞbÜQêÝ~îTá1äQìFîß!âTêgâTßvùWßð
,
áFë‰ÜQü_ÜÞQøBë~ÜåSù\äQä:ÜQÜ·íÜFíâTê'äQìîÈä:ùWîdìFÝ>â`êWöAÝ>ÛW܂ÝSë‰áAáBÞbâTöBâ`ê\ìî\æYùWê\ä:ÝbâTáœê\åuâ`ê&ÝbÛWÜçæYáœîTî`áë‰ú
âTêgöäìBåNÜ»!ð ºÜ!åSÝVìFÞ>ÝAë[âTÝbÛ+ÝNë~á!ÜQî`îTâTõñåNÜFå
ë[Ûgá_åNÜ°ä:ÜQê1Ý>ÜÞVå‚ìÞ>Ü°åNÛgâcæYÝ>Ü·í+ìîTáœêWöÊÝ>ÛW<Ü ºì âÈå:ð
ډÛWÜAÜFû_ù\ìÝbâTáœê\åÀæYáœÞ[ÝSë‰áåNùñäIÛÊÜQî`îTâTõñåNÜFå~ìÞ>Ü
á ƒ
8on 
8n …
ƒ
ö á ƒ
:
ö
ƒ
ƒ
q
:
…
…
q
÷
÷ƒ
ƒ
t

ƒ
ñ
ƒ
t
ƒ
‰Ú ÛWÜAâTê\í1âdä:âÈìî5Ü·û¶ù\ìFÝ>â`áBêÊâdå
ñ‰  t¨ž
‰òÊÜQîTâ`ß!âTêñìÝ>â`áBêÊáæøñìFê\í  æYÞ>áBßàÝ>ÛWÜ·åNÜvÜFû_ù\ìÝbâTáœê\åìêñíìQæYÝ>ÜQÞAåSáBß!ÜÉÞ>ÜFìFÞ>ÞìêWöœÜQß!ÜQê1ÝVå
Ý>ÛgÜ¿æYáœîTî`áë[â`êWövÜFû_ù\ìÝbâTáœêÍâÈå‰áBôWÝìâ`êWÜFí Ï =
ƒ
ƒ
n
q
8% ÿ :
ƒ á ƒ t Ï
ƒ ƒ  8÷ ƒ ƒ
ž @ : ÷
ö ž
ë[ÛWâÈäIÛÊÞ>ÜõWÞ>ÜFåSÜQê1ÝVå‰ìvÛ1òõ\ÜQÞbô áœîdìõ\ìFÞVìFß!ÜQÝ>ÜÞ>íâ ÜFíô1<ò žŠð
Dê\íÜQÜFíŠøë[ÛWÜQêÅë‰Ü!ù\åSÜFíÝbÛWÜ!åSòê1Ý>ÛgÜFåNâÈåìî`öBáœÞ>âTÝbÛWß Ý>áõgÞ>á1íù\ä<ÜÍÛ1ò1õ ÜÞ>ô\áBî`âdävß!áBâ`ÞWÜ ã
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å<ø‰åSù\äIÛÆÜQî`îTâ`õ\åNÜFåë~ÜQÞ>Ü&æYáœùWê\í5¨ð Dêèâ`öBùWÞbÜ =¶þ Þ>ÜFåSùWîTÝåvìÞbÜåSÛWáFë[ê´æYáBÞê\ìÝbùWÞVìFî
ô\áBùWêñíWìÞbòÆä:áBêñíâTÝbâTáBêñåìêñíâTêÅèâTöœùWÞ>Ü = .ÞbÜFåNùgîTÝVåAìFÞ>ÜÊåSÛWáFë[êæYáBÞÉõ ÜÞ>âTá1í1âdä&ô\áBùgê\íWìÞbò
ä:áœê\íâTÝbâTáœê\å:ð
ډÛWÜâ`Ý>ÜQÞìÝbâTü_ÜõWÞbá1ä:ÜFåbå
ä:áœêü_ÜÞ>öBÜ·íæPìBåSÝ
â`êáBùgÞ
Ü 1õ\ÜQÞ>â`ß!ÜQê1ÝVå<}𠖫åNù\ìFîTîTò'ì·æYÝ>ÜÞìFô áœùWÝ
=¡7¡ âTÝbÜQÞVìFÝ>â`áBê\å<ø ÝbÛWÜQÞ>ÜÉë[ìœåçêWá'ìõWõ\ìFÞ>ÜQê1Ý«äIÛ\ìFêWöBÜÉâTêÝ>ÛWÜÉâTßÊìFöBÜFå<ð[÷ õWîTáœÝáæ3ÝbÛWÜß°âTêWâLú
ß!â QÜFíæYùWê\ä:ÝbâTáBêñìîüœìî`ùWÜFåuæYáBނÝ>ÛgÜìFô\áü_ÜAÜ 1õ\ÜQÞ>â`ß!ÜQê1Ýâdå‰õgîTáBÝbÝ>ÜFí!â`êèâTöBùgÞ>Ü = 11ð
ډÛgÜõ\ìFÞVìß°ÜQÝ>ÜQ^Þ â ìîTî`áFë‚å&ä:áœêÝbÞ>áœîTîTâ`êWöºÝ>ÛWxÜ låNß!á_áœÝ>ÛWêWÜ·å>±å nºáæÉÝ>ÛW܅åNáœîTùWÝbâTáBê ð ډÛWÜ
Þ>Ü·åNùWî`ÝVåâTêèâ`öBùWÞbÜF<å % ¡ ë‰ÜÞ>Ü!áœôWÝVìFâTêWÜFí´æYáBXÞ â‹t =¡7¡ ðqý3áœß!õ\ìÞbÜ!Ý>ÛgÜFåNÜÊâTß'ìöBÜ·åë[âTÝbÛ
èâ`öBùWÞbÜ % Ï ë[ÛgâdäVÛ!ë[ìœåçáœôWÝVìFâTêWÜFí!æYáBžÞ ât Ï ¡¡7¡ ð
÷­æPìBä:ÜâTß'ìöBÜ ìê\í+âTÝåõ ÜÞ>âTá1í1âdäõWÞbá \î`Ü!ìFÞ>ÜåNÛgáë[êÅâTêºèâ`öBùWÞbÜFå % = Øø %%1ð&ډÛgÜ!ä:áœß&ú
õWùWÝbÜF2í s+ìê\€í l ìê\íÊÝ>ÛWÜÉåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBêâTßÊìFöBÜâÈå[åNÛWáFë[êâTêèâTöœùWÞ>Ü·må % Øø % ÿ ð
ډÛW܂õ ÜÞ>âTá1í1âdä[õWÞ>á \îT܂áæÝbÛW܉æPìBä:܂âTß'ìöBÜ[â`ê!èâTöBùgÞ>—Ü %+âdå3åNÛgáë[ê°âTê°èâTöœùWÞ>—Ü % þ ð3ډÛWÜ
ä:áœß!õWùWÝbÜF{í sìê\2í lìÞ>ÜÉåSÛWáFë[êÍâ`êÊèâ`öBùWÞbÜ %.vìFê\í!Ý>ÛWÜAåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêâTß'ìöB܂âdå~åNÛWáFë[ê
âTêèâ`öBùWÞbÜ %1ð
% þ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTögð =Bÿ> \ â`êWÜFìÞ[ß°áBâTÞgÜ_ã ø_âTêWâ`Ý>âÈìîä<áBê\íâ`Ý>â`áBê
èâTöWð = + > \ âTêWÜ·ìÞ[ß!áœâTÞgÜ»ã ø¶â`Ý>ÜQÞìÝbâTáBê
%.
=7¡
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating
The second grating
The superposed gratings
èâ`öWð =_þ„> , òõ\ÜQÞbô\áBîTâÈä
õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê\å<øWÞ>ÜFåSùWîTÝåuæYáBނê\ìÝbùWÞVìFîô áœùWê\íWìFÞ>ò…ä:áBê\í1âTÝ>â`áBê\å
%1
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating
The second grating
The superposed gratings
èâTöWð = . > , ò1õ ÜÞ>ô\áBî`âdä
õ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê\å<øWÞ>ÜFåSùWîTÝåuæYáBނõ\ÜQÞ>â`á1íâdäô\áBùWêñíWìÞbòä<áBê\íâ`Ý>â`áBê\å
„¡
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
5
12
x 10
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Iteration
120
140
160
180
200
è âTöWð = 1 > ÜFä:ÞbÜFìBåSÜâTê!æYùWêñä:Ý>â`áBê\ìFîüBìFîTùWÜ
ډÛgÜ!Þ>ÜFåSùWîTÝåáFæ‚Ý>ÛWâÈåë‰áBÞbï´åSùWöBöœÜFåNÝìFêWáBÝbÛWÜQÞìFõWõWîTâÈäQìÝbâTáœê´ë[ÛWâdäVÛºß!âTöœÛÝAÛ\ìQü_Üô ÜÜQê
áFü_ÜQÞ>î`á_áBï_ÜFíŠð,mæ3Ý>ÛgÜvíÜFåSâTÞbÜFíÍõ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>ê+âÈååNß!á_áœÝ>Ûø\Ý>ÛgÜvÝNë~á&áœÞ>â`öBâTêñìîâ`ßÊìöœÜFåçô\ÜFìFÞîTâ`Ý>ÝbîTÜ
áBÞ«êWá&ÞbÜFåNÜß&ôWîÈìê\ä<ÜÝ>áÝ>ÛWÜ íÜFåSâTÞ>Ü·íÍõ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>êð‚Ú‰ÛWÜ íÜFåNâ`Þ>ÜFíÊõ\ìÝbÝ>ÜQÞbêâÈå
ä:ÞbÜFìÝbÜFíÍô1ò!ÝbÛWÜ
êWáœêWîTâ`êWÜFìނåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœêÍæYÞ>áœß ô áœÝ>ÛâTßÊìFöBÜFå<ð
áBâ`ÞWÜ3
ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbêÉåNò1êÝbÛWÜFåNâÈå5ßÊìQò
ÝbÛWÜQêAô\Ü3ù\åNÜFí
æYáœÞåSáBß!Ü3åSáBÞbÝáFæ\üâÈåNù\ìFî_ä:ÞbòõgÝ>áBöœÞVìFõWہò»ð
Dê\åNÝbÜFìBí áæÝbÞVìFê\åNß!â`Ý>ÝbâTêWöºÝ>ÛWܺâTß'ìöBÜ+áœê ìê.ùWê\åSÜFä:ùWÞbÜFí.äIÛ\ìFêWêWÜQîPø
â`Ý!âdå!õ\á_åbåNâTôgîTÜ´Ýbá
Ý>Þìê\åSß!âTÝÝNë~áAâTßÊìFöBÜFåë[ÛWâdäVÛ°ä:Þ>ÜFìFÝ>Ü[ß!áœâTÞg܉ã õ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>êáæÝ>Ûg܂íÜFåNâ`Þ>ÜFívõ\ìFÝ>Ý>ÜÞ>ê—ð ,
áFë‰ÜQü_ÜQÞø
êWáœÝ>ÜÊÝ>Û\ìFÝæYáBÞvêWáœêú½åNß!á_áœÝ>ÛÆâTßÊìFöBÜFåÉåNù\äVÛÆìœåÝ>ÛWÜ&æPìœä:ÜÊâTßÊìFöBÜâTêÆèâTöBùgÞ>2Ü %7++ìÞ>Ü·ìBåváæ
íâÈå>ä:áœêÝbâTê1ùWâTÝbâTÜFåÛWâ`êÝbâTêWövÝbÛWÜAô áœùWê\íWìFÞ>òÊáæóÝ>ÛWÜæPìBä<Üß'ì·òô\ÜÉíÜQÝ>Ü·ä:Ý>ÜFíâT€ê l ìê\€í sð
÷ ß!ÜQÝ>Ûgá1í æYáBÞüâÈåNù\ìFî‚ä:Þ>ò1õWÝbáBöBÞìõWÛ1òæYáœÞ&ôWâ`ê\ìÞbò´âTß'ìöBÜ·åÛ\ìœåô\ÜQÜQêÆõWÞbáBõ\á_åSÜFí â`ê
Ï % ÝbÛ\ìÝìFîTîTáFë‚åvõ\ÜQÞNæYÜFä<ÝÞ>Ü·ä:áBê\åSÝ>Þbù\ä:Ý>â`áBêÆôWùWÝvÝbÛWÜÊÞ>ÜFä<áBê\åSÝ>Þ>ùñä:Ý>ÜFí´â`ßÊìöœÜ&âÈåÛ\ìîLæÝbÛWÜ
Þ>Ü·åNáBî`ùWÝ>â`áBêºáæ~Ý>ÛgÜ&ÝbÞVìêñåNß!â`Ý>Ý>Ü·íÍâTß'ìöBÜ·å:ð $1Ý>Üê\íâTêgöÍÝbÛWâdå‚ß!ÜQÝ>Ûgá1íÍæYáBÞAöBÞì·ò_úPîTÜQü_ÜQîâTßú
ìöœÜFå[ë[âTîTîÞbÜFû_ùWâTÞbÜÝ>Þìê\åSß!âTÝbÝ>âTêgövÝNë~ávü_ÜQÞ>ò°îdìÞböBÜAâTß'ìöBÜ·å:ð ½êÊß!áœâTÞgÜAã åNò1êÝbÛWÜFåSâdå:øWõ\ÜQÞSæYÜFä:Ý
Þ>Ü·ä:áBê\åSÝ>Þbù\ä:Ý>â`áBê+âÈå¿êgáBÝAõ\á_å>åSâTôWî`Ü_ùð ,
áFë‰ÜQü_ÜÞQøŠìBåâdåAåNÜÜQê+âTêºÝ>ÛWÜvõgÞ>ÜQü1âTáœù\åÜ WìFß!õWî`ÜFå:øWâ`Ý
âdå‚áæYÝ>ÜêÜFìœåNòÝbá!Þ>Ü·ä:áBöœêWíâ QÜÉÝ>ÛWÜvõñìÝ>ÝbÜQÞ>êÊæYÞ>áœß Ý>ÛgÜåNùWõ\ÜQÞbõ á»åNâ`Ý>âTáœêŽð Z‚ùWÞõ\ÜQÞSæYáBÞ>ß'ìê\ä:Ü
ä:ÞbâTÝ>ÜÞ>âdìÊë‰ÜQÞbÜíÜFåNâ`öBêWÜ·íÅæYáœÞ&ü1âdåSâTôWâ`îTâ`ÝNòáæAÝbÛWÜÊß!áBâ`ÞgÜã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\å:xð Z‚Ý>ÛWÜÞìõWõWî`âdäQìFÝ>â`áBê\å<ø
åNùñäIÛÊìœåçÝbÞ>ùWÜ«üâÈåNù\ìFîä:Þ>ò1õWÝ>áœöBÞìõWÛ1ò!ä<ÜQÞ>ÝìâTêgîTòÞ>ÜFû_ùWâTÞbÜí1⠊ÜQÞ>ÜêÝ~õ ÜÞNæYáBÞbßÊìêñä:ÜAä:ÞbâTÝ>ÜÞ>âdì1ð
ډÛWÜAáBõgÝ>âTß°íâ FìFÝ>âTáœêÊå>äVÛWÜQß°Ü_øBÛWáFë‰Üü_ÜQÞQø1ßÊìQòvÞ>ÜQßÊìFâTê!ÝbÛWÜÉå>ìFß!Ü_ð
DêÊáBùgÞAå>äVÛWÜQß!܂æYáBނß!áBâ`ÞWÜA
ã åSòê1Ý>ÛWÜ·åNâdå‰ÝbÛWÜvåSùWõ\ÜQÞ>õ\á»åNâTÝbâTáœê+âTßÊìFöBÜÉä:áBêñåNâdåSÝVå[áæ3î`áFëqæYÞ>Ü:ú
û_ùWÜQê\ä:ò¿ìê\íAÛWâTöœÛæYÞ>Ü·û¶ùWÜê\ä:ò«ä:áBß!õ\áœêWÜQê1ÝVå:ðډÛWÜ3î`áëºæYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<òä:áœß!õ\áBêWÜêÝå5Þ>ÜQõWÞbÜFåNÜêÝ
Ý>ÛgÜíÜFåNâ`Þ>ÜFíõñìÝ>ÝbÜQÞ>êÅìêñí QÜÞ>á!áœÞVíÜQÞAß!áœâTÞgÜã õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå:ðډÛWÜvÛWâ`öBÛ+æYÞ>ÜFû_ùWÜQê\ä<òä<áBß!õ\áú
êWÜQê1ÝVå3Þ>ÜQõgÞ>ÜFåSÜQêÝ3ÝbÛWÜ 8 Ï p Ï :3ß°áBâTÞgÜ
ã ÝbÜQÞ>ß'åë[ÛWâdäVÛ!ë~ÜQÞ>ùÜ l>õWùñåNÛWÜF{í náœùWÝVåSâdíÜÝbÛWÜü1âdåSâTôWâ`îTâTÝSò
WÏ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating, iteration:24
The second grating
The superposed gratings
èâTögð?% ¡> [ ÜFåNùWî`ÝuæYáœÞúât
„=
=¡¡
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
The desired pattern
The first grating, iteration:24
The second grating
The superposed gratings
èâTöWð•% Ï7> [ ÜFåNùgîT݉æYáBނât Ï"¡¡7¡
%
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâ`öWð@% => è\ìBä:ÜAâTß'ìöBÜ Ï
èâTöWð?%7% >§ ÜQÞbâTá1íâÈä
õWÞ>á\îTÜAáFæ~èâTöœùWÞ>Ü% =
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâ`öWð?% @> l ì ê\í€s+ä:áBß!õgùWÝ>ÜFívæYáBނèâ`öBùWÞbÜ%7%
_ÿ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTögð@% ÿ> ډÛWÜvåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBêáæ3ÝbÛWÜAâTßÊìFöBÜFå3âTêèâ`öBùWÞbÜ%
+
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâ`öWð@%7+ > è\ìBä:ÜAâTß'ìöBÜ
=
èâTögð?% þ„> ډÛWÜAõ\ÜQÞ>â`á1íâdäõWÞbá\î`ÜAáæóèâTöœùWÞ>Ü%+
þ
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
a
èâ`öWð?%7. > l ì ê\í€s+ä:áBß!õgùWÝ>ÜFívæYáBނèâ`öBùWÞbÜ% þ
.
b
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
èâTögð@%71 > ډÛWÜvåSùWõ\ÜQÞ>õ\á_åSâTÝbâTáBêáæ3ÝbÛWÜAâTßÊìFöBÜFå3âTêèâ`öBùWÞbÜ%.
1
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
è â`öW𠄡> \áFë‰úPõ\ìBåbåf\î`Ý>ÜQÞbâTêWöìFõWõWîTâ`ÜFí&Ýbá!èâ`öBùWÞbÜ%1
ä:â`ÞVä:î`ÜìFê\íÛWâ`öBÛWÜQÞ«áBÞVí1ÜQÞß!áœâTÞgÜ·ã å:ðmÜäìê+Ý>ÛgÜQÞ>Ü:æYáœÞ>Ü ìõWõWî`òî`áë‰úPõ\ìœå>å5\îTÝbÜQÞ>â`êWöÝ>á!ÝbÛWÜ
åNùgõ ÜÞ>õ\á_åSâTÝ>â`áBêâTßÊìFöBÜ3Ý>á«ÜQêWÛ\ìFê\ä:Ü[Ý>ÛgÜ[íÜFåSâTÞbÜFíõ\ìFÝ>ÝbÜQÞ>êð3÷‚êÜgìß!õgîTÜ3áæ ìõgõWîTò1âTêWö«åNâ`ß&ú
õWî`Ü&î`áë‰úPõ\ìœå>åšñîTÝ>ÜÞ>âTêgöÍâÈååSÛWáFë[ê´âTêÅèâTöœùWÞ>Ü „¡ ð ý3áœß!õ\ìFÞ>ÜÝ>ÛWÜÞ>ÜFä<áBê\åSÝ>Þ>ùñä:Ý>ÜFí+âTß'ìöBÜ
8 èâTöBùgÞ>Ü „¡ :‰ë[â`Ý>ÛÊÝ>ÛWÜAáœÞ>âTöœâTê\ìFîõ\ìÝbÝ>ÜQÞbê 8 èâ`öBùWÞb
Ü % þ :ð
mæâTêÊìœíWíâTÝbâTáœêøÝbÛWÜõ\ÜQÞ>â`á1íâdä‚õWÞ>á \îTÜAí1á_ÜFå‰êWáBÝ[Ûñì·ü_Ü¿
ì ýÝ>ÜQÞbß+ø QÜÞ>ááœÞVíÜÞ[ß!áBâ`ÞWÜ ã
íáêWáBÝ["Ü âÈåN݂ìêñíÍÛWÜQêñä:Üë‰ÜAÜ 1õ\ÜFä:Ý~ô ÜÝ>Ý>ÜÞ[Þ>ÜFä:áœê\åNÝbÞ>ù\ä<Ý>âTáœêð
Ò+Ö+Ù¶ô
û
A‚ü
ýÎÕ&Ò K~E ÔÙ G Ó3ÙuÙ E Ù E Ø~ÓÕvÔ»þ E!I Ö K
÷ = ­ü_ÜFä<Ý>áB0Þ ñÜQîdí › % 8n\prq :3âÈå
ì°ä:áBê\åSÜQÞ>üœìFÝ>âTü_Ü,\Üîdí!âcæ3ÝbÛWÜQÞbÜÜ"âÈåNÝVå‚ìæYùWê\ä:ÝbâTáBêLs 8n~p¦q :
åNùñäIÛÊÝ>ÛñìÝ
û
FHFE
s 8n\prq :at › % 8on\prq :r™
DêÝbÛWâdåäQìœåNÜ~Ý>ÛWÜ3æYùWê\ä:ÝbâTáBê&s 8n~p¦q :gâdåäQìî`îTÜFíÝ>Ûg܉õ\áBÝbÜQêÝbâdìFîBæYùWê\ä:ÝbâTáBêÉáæ\ÝbÛWÜ)ñÜQîdíE› % 8on\prq :Vð
ډÛWÜAë‰áœÞ>ïíáBêgÜâ`êìü_ÜFä<Ý>áB*Þ \ÜQîÈí › % 8n~p¦q :dt§µ 8on\prq :±ÿ …•Î 8on\prq : ÿ áFü_ÜQÞÀì&åSß!á_áBÝbÛ
ÿ¡
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
õ\ìFÞVìß°ÜQÝ>ÜQÞbâíQÜ·í&ä:ùgÞ>ü_Ü % 8rõ :3âÈå
Ë
t
4
® ÿ
® ÿ”
› % © y%
76á
8 %7+;:
ë[ÛWÜQÞbÜ y% âdå‰Ý>ÛgÜùgêWâTÝ[ÝìêWöœÜQêÝ‚ü_ÜFä:ÝbáBÞÀìîTáœêWöÝ>ÛWÜÉä:ùWÞbü_Ü % 8~õ :Vð3ډÛWÜAâTê1Ý>ÜöBÞVìFôWâTî`âTÝSòä:áœê\íâcú
Ý>â`áBêåNÝìÝbÜFåçÝbÛ\ì݂Ý>ÛgÜë~áBÞbïÊíáBêgÜìFÞ>áœùWê\í+ìê1òÊä:î`á_åSÜFí!îTá_áBõâdå0QÜÞ>áWð
÷ ÞbÜFåNùgîTÝæYÞ>áœßäQìîÈä:ùWîTùñåuåSÝVìFÝ>ÜFå3Ý>Û\ìF݉Ý>ÛgÜçæYáœîTîTáFë[â`êWöAÝNë~áÉåNÝVìFÝ>ÜQß°ÜQêÝåìÞbÜÜFû_ùWâTüœìFîTÜQê1Ý
8 ¾â :°Ú‰ÛWÜAâ`êÝbÜQöBÞìôWâ`îTâTÝSòä:áœê\íâ`Ý>âTáœêÊÛWáBîÈíWåÀæYáœÞ‚ìü_Ü·ä:Ý>áœ)
Þ \ÜQîÈí › % 8n\prq :ð
8 â`¾â :ډÛWÜAü_ÜFä<Ý>áB0
Þ ñÜQîdí › % 8on\prq :âÈå[ì&ä:áœê\åNÜÞ>üœìÝbâTü_5Ü \Üîdí5ð
#_âTêñä:ÜäVÛWÜFäVï1âTêWöAí1âTÞ>Ü·ä:Ý>î`òÝbÛWÜâ`êÝbÜQöBÞìôWâ`îTâTÝSòÉä:áœê\íâTÝbâTáœê!âTê1ü_áBî`ü_ÜFåìFê!âT
ê \êWâTÝbÜ
ê1ùWßô\ÜQÞ
áæ âTê1Ý>ÜQöœÞVìFÝ>âTáœê\å:ø[ÝbÛWÜæYáBî`îTáFë[âTêWöÅÝ>ÜFåSÝ&æYáBÞäVÛWÜFäVïâ`êWöâ`êÝbÜQöBÞìôWâ`îTâ`ÝNò ä:áBê\í1âTÝ>â`áBê âÈå&áæYÝbÜQê
ù\åSÜFí5ð
\ÜQx
Ý › % 8on\prq :dt(µ 8on\prq :±ÿ …mÎ 8n~p¦q : ÿ ô\Üɚì ñÜQîdí&ë[Ûgá_åNÜ¿ä:áBß!õ\áœêWÜQê1ÝuæYùWê\ä<Ý>âTáœê\åuÛñì·ü_Ü
ä:áœêÝbâTê1ùWáBù\)å ñÞVåN݂õ\ìFÞ>Ý>âÈìîíÜÞ>âTüœìFÝ>âTü_Ü·å:ðډÛgÜQê › % âdå[ä:áœê\åNÜQÞbüœìÝ>â`ü_Üâcæóìêñí'áœêWîTò°âcæ
µ
Î
8% þ :
tNÜ
™
Ü
q
n
Ü
Ü
× S E ԉÙFØ G<I Ö+Ù E Ô E ÒÓ3Ù G ÓuÙÕ&Ò G Ò+Ö ÙFÒ&Ó EžÓ Ô G Ó3ÙÕ&Ò
ډÛWÜ°íÜQÞbâTüœìÝbâTü_ÜáFæ«ì&æYùWê\ä:ÝbâTáB¤ê ¸ ìFÝ n âÈåí1(Ü \êWÜFíºìBå ¸
8n :t î`âTß C ³ ¹Ø´ ¼ À ³¹Ê´ À ™
ÚáÊìõWõgÞ>á â`ßÊìÝbÜAÝ>ÛWâÈåçê1ùWßô ÜÞQøWåSùWõWõ\á_åSÜ \ÞVåSÝÝ>ÛñìÝ n w 8 ö p ÷ :~ìê\Hí ¸w “ ö p ÷ ìê\í
Ý>ÛñìÝ n ‚ t n d…˜ñ_w 8on p ÷ : p¦njƒ t n 0 ñ_w 8 ö prn (:¦™
÷äQä:áœÞVíâ`êWövÝ>ávÝbÛWÜÉÚìQò1îTáœÞ
Ü 1õ\ìFê\åNâ`áBê
¸ 8on *
…dñ“:*t6¸ 8on :\…¨¸ 8on : ñ …
¸ 8on *
dñ“:*t‹¸ 8 n :a¤¸ 8 n :$ñ
…
ƒ
¸ 8n :$ñ
…
= ƒ
¸
8n $: ñ

=
¹ XÀ
¸
8 :$ñ
% ¹ XÀ
8 :$ñ
¸
% ډÛWÜæYáBÞbë[ìFÞVíìFê\íÍôñìBäVïëÀìÞVíÊíâ4ŠÜQÞ>ÜQêñä:Ü
æYáBÞbß&ùgîdìBå~ìÞbÜáBôgÝVìâ`êWÜFí&æYÞ>áœß
…dñ“:a¨¸ 8on :
… D 8 ñ“:
s
ñ
¸ 8 n :a¤¸ 8n *
…dñ“:
¸ 8 n :*t
… D 8“
s
ñ :
ñ
¸ 8n :*t
‰òÊåNùgôWÝ>ÞìBä:ÝbâTêWö 8 %1;:3æYÞ>áœß
¸ 8n ( :*t
8 %7.;:
8 %71;:
ø 8 %1;:
8 %7.;:
¸ 8n
3ë‰ÜAáBôgÝVìâ`êÝbÛWÜÉä:ÜQê1Ý>ÞVìFîíâ4ŠÜQÞ>ÜQêñä:Ü
æYáBÞbß&ùgîdì
8
8 ¡ :
gÏ :
8 %.„:
¸ 8n )
…˜ñ :a¨¸ 8on mñ“:
ƒ
…sD 8 ñ :
= ñ
ÿÏ
8 = :
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
‰òºä:áBß°õ\ìÞbâTêWö 8 „¡ :Vø 8 WÏ :Aìêñí 8 = :ë~ÜvêWáBÝbÜ!Ý>ÛñìÝAÝ>ÛWÜÜQÞbÞ>áBÞAâ`êÝbÛWÜ!ä<ÜQêÝbÞVìFî3íâcædú
æYÜQÞbÜQê\ä:ÜAæYáBÞ>ßùWîÈìöBÞ>áFë‚åAåNùgô\åNÝìê1Ý>âdìFîTî`òåSîTáFë‰ÜÞÝ>Û\ìFê+Ý>ÛWÜváœÝ>ÛWÜÞAìõWõgÞ>ᝁâ`ßÊìÝbâTáœê\åçë[ÛgÜQê
ñ ; ¡ ð
Ú á°ìõgõWÞ>á 1âTßÊìFÝ>ÜÝbÛWÜAâTê1Ý>ÜQöœÞVìî
4 ”
7
¸ 8on : n
ë[ÛWÜQêÊáœêWîTò2¸ 8 ö :[ìFê\í2¸ 8 ÷ :ÀìÞbÜï1êWáFë[êÊë‰ÜAù\åSÜÝ>ÛgÜÝbÞVìFõ Ü"QáBâÈíWìîÞbùWîTÜ >
4 ”
7
¸ 8n : n t
ñ 8 ¸ 8 ö :\…¨¸ 8 ÷ X: :
… D 8ñ :
s
=
ë[ÛWÜQÞbܚñŽt ÷  ö ð
áBÞbÜ[íÜQÝìâ`îdåáBêê1ùWß!ÜÞ>âdäìî_í1âŠÜQÞ>ÜêÝbâdìÝbâTáœêìFê\íâTê1Ý>ÜöBÞVìFÝ>â`áBêväìêô\Ü3æYáBùWê\íâ`êß!á»åNÝ
ê1ùWß!ÜQÞbâdäQìFî5ìFê\ìî`òWåSâdå‰Ýb܁Ýbô\á_áBïgå:øWæYáBÞ[Ügìß!õgîTÜ + ð
Ø E U E Ô E Ò+Ø E!K
(Ï ÷
ß!âÈíÞ>áœm
Þ VðTø "!$#&%' (*,) +.- %/- -1032îTù1ë‰ÜQÞÀ÷äQìœíÜQß!âÈä § ùgôú
îTâÈåNÛWÜÞVå =¡7¡¡ ð
= ÷
ß!âÈíÞ>áœd
Þ Vð_ìFê\‰í Øð ?ð ,‚ÜQÞVåbäIÛpø lVèWáBùWÞbâTÜQÞSúDôñìBåNÜ·í&ìFê\ìî`òWåSâdå3ìê\íåNò1ê1Ý>ÛWÜFåSâdåáFæß!áœâTÞgÜFã å
âTê.Ý>ÛgܺåNùWõ\ÜQÞbõ á»åNâ`Ý>âTáœê áæ öBÜQáœß!ÜQÝbÞ>âdäìîTî`ò´Ý>Þìê\åDæYáBÞbß!ÜFí õ\ÜQÞ>â`á1íâdä+åSÝ>Þbù\ä:Ý>ùgÞ>ÜFƒå n546
7 +86:9;=<>6:?@%/6A3áBîPð Ïÿ ”
ø áWð ÿ +ìQò Ï 11.1ð
% ‰ÞVìœä:ÜQë~ÜQîT
î AðTBø DC: E(FGIH -1J#K %LH -MN(OPJQH"+ +RS(<THU( -1J 0+Aä £‚ÞVìQë‰ú ,
âTî`î
õWùWôgîTâdåSÛWâTêgöWø\åNÜ·ä:áBê\í!ÜFí1âTÝ>â`áBêø Ï 17.+ð
‰Þ>ò1êWö»íWìÛWš
î Zð`Žø l:ý3ÛñìÞVìœä:Ý>ÜÞ>âdåSÝ>âÈäQåáFæ åNùWõ\ÜQÞbõ á»åNÜFí õñìÝ>ÝbÜQÞ>êñå&âTêáBõWÝbâdäQƒå nV4
6 7 +86
9;=<>6:?@%/6AuáœîD•ð ++”
ø ágð =ÊÏ 1 þ +
ÿ ‰Þ>ò1êWö»íWìÛWX
î ZÉð`Xø lráBâ`ÞgÜ ã > èWáBÞbßÊìÝbâTáœê ìê\í â`êÝbÜQÞ>õWÞbÜQÝVìFÝ>â`áBê n 7 +W(<THV?X<WHYAuáœîDð
= 8 Ï :Vø\õWõ Ï ú Ï % Ï 1 þBþ ð
+ ‰ùWÞíÜQ’
ê Að ðÉìê\[
í ZWÊð ðÉè\ìâ`Þ>ÜF\
å ]^E%/"(<THUR'?@-HURS!_JK(`J 0 åSíâ 1Ý>Û ÜFí1âTÝ>â`áBêø Ï 11 þ
‰Þ>á_áœïWåý3áBî`Ü § ùgôWîTâÈåNÛWâ`êWöWð
þ ý3áBùgÞVìê1m
Ý Að_ìFê\{í É6ð ,
âTî`ô\ÜQÞ>Ýaø bBTc=M>JX(-/bdHU%'HU(<THURefc!gJK(<.J 0¢DêÝbÜQÞVåbä:âTÜê\ä:Ü
ø ½êñäBð A3áBîPð Ï ð
§ ùWôWî`âdåNÛgÜQÞVå<?
. á_áœîTÜQ
ò Að § ðT¾ø l § Þ>ÜFí1âdä:ÝbâTêWöÊôWÞbâTöBÛ1Ý>êgÜFå>åìFõWõ\ÜFìÞìê\ä<ÜÊìÝAÜFíöœÜFåù\åNâ`êWöÊîTâ`êWÜFìÞ¿ìê\í
êWáœêWîTâ`êWÜFìÞü1âdåNùñìî«íÜFå>ä<Þ>âTôgâTêWöæYùWêñä:Ý>â`áBê\ƒå nh9efiIjkH --EHUR%/TlW(-Umœ,ø ÜQê1ü_ÜQ‰Þ +ìQò
Ï 1 þFÿ
1 £‚âTöœÜQ
Þ ,ðT`ø l¦áBâTÞgÜFã ±å nonf %a+:6qprbdHU6ts*(Ou?v+ +RwJ<ð A3áBîPð "Ï = õWõ?ð % = 1·9ú %+ Ï ø Ï 1.7+ð
ÿ=
Technion - Computer Science Department - Technical Report CIS-2000-06 - 2000
Ï ,
áœÞ>ê<ðx2vð § ðìê\í<´ðxZWð‰Þ>á_áœïWå·lVډÛWÜ~üœìÞ>âÈìÝbâTáBêñìîgìõWõWÞbá_ìœäIÛvÝbáåSÛ\ìõ\܉æYÞ>áœß åNÛ\ìœí¶ú
âTêgö6ndnf %a+:6Xyz(`JK( - {|XH"+c(<.Jai.%'H_me}I=<"IJTJK(-Um/%% >`Ïþ" ú =¡ %1ø Ï 17.+1ð
Ϝ(Ï Z«åNÝbÜQÞQø¯£ÉðTølZ‚õWÝbâdäQìFî÷
Þ>Ý n/?~+ +RS(FM 7 +(<.J&A3áBîDð ø”
áWð ÏBÏÏ 17+ ÿ õWõ ð Ï % ÿ 1·ú Ï %7+1Wð
"Ï = Z«åNÝbÜQÕ
Þ £Éð`mø ´dð ´ìœå>åSÜQÞ>ßÊìFê ìFê\í ý‚,ð \ë‰ÜQÞbîTâ`êWxö lVډÛWÜáBÞ>ÜÝ>âdäìî[âTê1Ý>ÜÞ>õWÞbÜQÝVìFÝ>âTáœê\åváæ
ß!áœâTÞgÜ«ã õ\ìÝbÝ>ÜQÞbê\±å nD4
6 7 +$6:9;=<>6;?@%/6A3áBîPð ÿ ágð =ÍÏ 1+ ð
Ï % ìFáB2
Þ ´ð`ø
÷Éfð #_Ûñìß!â`Þ lIAâÈåNù\ìFîAä:Þ>ò1õWÝbáBöBÞìõWÛ1{ò n€j&:‚ 7 nz‚&ƒe&…„‡† †_ˆŠ‰z‹_ŒŽU‘
"¡
’W“T=”O•—–;˜š™,›œ ‡”WžŸU ‡¡¢› £cŒIO¤cŽU‹_Œ&¥_Ÿ‡ŸU ž
¦ ¥§U¨'–UŒl©/ªX_•”«‹_OŽ‡¬:¢­"®X¤'“¬‹~¯D=¤°U±"“ŒI‹v>¤²©³“I¬‹_‡ŒI•&>°;©S´;ŒTU±“IO‡¤µŽUŒT=“I«¤Ž ¶·¸efc(O¹
RS>J=6:bdH_m6º¥U¢££:žº¥Tµ8Ÿ‡»¢;¼‹_½ŒI²>ŒI•¾¥_º1¿K§ž
¦ ¥K >¨&ª,UŽU‹KŒT¶¸À&žS–tžO¢,­TÁŽU‹_‡¯u‹_“ŒI±K>”Ð>££Œ ‡±.¬B“D¯uU«Œ³
ċ £²>“I“‹_ŒI¤Å±_=”±"”‘>“OU¤²·¾Æ}ÇÈ>É=Ê
È$Ë&ÌPÍÎXÆfÍcÏgÐKÑÉTÒUÓÔ;È=É_ÑFÎTÌÏ/ÕfU”ž
¿=»¢
£c£:ž:¥"§×Ögµl¥"§U§¾¥_ŸU ‡Ÿž
¦ ¥KØ>¨'›=Ž >¤ÚÙ&žO¢—ÛÜÝÌWÇÈ>Þ ßÉ"ÌÑÈ ÝhÌÈàÌÍÎáÉTÒUÓSÉ_ß ÓSß×оÈ$ËáâKÒ Ç"ÑÒUÌÑÈ Ý1Ð ãáäa=œ ‹_Œ3‰åc½”O‘±_>“OU¤²¶
’W¤±Užc˜a‹_æÚç蝇ŒIéo¥KŸU؇Ÿž
¦ ¥=¿_¨'› “ŒT>¤cŽêÀ&ž…ÛÜ.ÝÌWÇÈ=Þ ßÉ"ÌÑÈ ÝëÌWÈìÒ"í íÓSÑFÎÞëî'ÒUÌÍÎî'ÒUÌWÑÉTÐ ã¢àïd‹_”O”«‹=¶$”«‹_•1µ™v>¯½Œ©Ž‡‹
£Œ‹=¶I¶¢:¥_ŸUº‡Øž
¦ ¥Kº>¨&ðtg•”O‡ŒtñBžO¢­IՏ‘¶$=”©¶±"ŒI«¯uO¤²>“I«U¤@>¤©UŒO‹_¤“T=“IO‡¤·òcÈ ßÇÝÒUÓÈ$Ëfó~í íÓôÑFÎÞ¸õtíÌWÑÉ.Ð
öU¤‹¥KŸUØU»ž
¦ ¥KŸ>¨&ð~¬‹_±K>ŒI‘¶z‰tž`›ž«¢~Û÷dÈ ÑÇ*øÎ ËKÇÑÝUùÎIÐ}ÑݚÐÌÇIÒ ÑÝ&Ò ÝÒUÓSÏgÐKÑ`Ð ãv‰t‹_ŒIŽ×>¯u‡¤£ŒI‹g¶I¶"¢‡úû'¢U¥KŸU؇Ÿž
¦ և¡>¨&úa”«±T¬¤‹_•ªž³Ûü&Ñýù ÑOÌÒUÓÍcÒUÓ ËÌÈ ÝÑÝUù
ã3ño’8ðY‰åŒ‹=¶I¶¥_Ÿ‡º1¿×ž
¦ Ö¥"¨Õv>¤þªÿ‹K¤‹=¶I¶8‹XªšžS–tžO¢aÛõtíÌWÑÉTÒUÓ;Þ È=É_ßî/ÎÝÌ:Ð=ÎÉ_ßÇÑOÌϲ㞠ÁaŒ“I‹=±T¬'ÙXU¶8‹ ¢~ ¶$“U¤:¢¥KŸUŸUº
¶8‹=±"‡¤©G‹=©O“I«U¤lž
U»